Aique Polimodal Ii - Completo.pdf

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Esta carpeta responde a 2. o Polimodal y su equivalente en el nuevo Sistema de Educación Secundaria.

carpeta de Matemática Sistemas de dos ecuat::iones cuadráticas

Cuademillo4

Recta tangente a una parábola

4- Funciones racionales

complejos

Inecuaciones cuadráticas

Revisión inicial

Revisión inicial

En el mundo real

Punciones de proporcionalidad inversa

Cuademillo1 1.

Los números reales y los números

Los números reales

Libre competencia de mercado

Adición y sustracción de radicales

El cine y las persecuciones

Funciones de fórmula:f{x) =

..!:_ X

Multiplicación y división de radicales

Más actMdades

Racionalizaciones de denominadores

Au'toevaluación

Funciones de fórmula:f(x) = ax: b

denomibadores

Cuaderni11o 3

Funciones de fórmula:j{x) =

Ampliación del campo numérico

3· Funciones polinómicas.

Los números complejos

Factorización de polinomios

El conjugado y el opuesto de un

Revisión inicial

númere complejo

Las funciones potenciales

Operaciones con números complejos

las funciones polinómicas

Forma binómica y forma polar de un

Las funciones polinómicas y los polinomios

número Gomplejo

Adicici>n y sustracción de polinomios

Ecuaciones en (

Multiplicación de polinomios

Racionalización de numeradores y de

Ecuaciones cuadráticas en ( Representación gráfica en el conjunto de números complejos En el múndo real

División entera de monomios División entera de polinomios La regla de Ruffini Valor de un polinomio para x = a.

Los números irracionales y el cín:ulo

Raíces de un polinomio

Los relojes y los números complejos

Teoremq. del resto

Más actividades Autoeval.u ación

Factorización de polinomios Factor común Polinomios de segundo grado Otros casos

Cuadernillo z 2.

Funciones cuadráticas

Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros

Revisión inicial

Grado y raíces de un polinomio

El modelo cuadrático

Las funciones polinómicas y sus gráfkas

La función cuadrática Ecuaciones cuadráticas

Conjunto de positividad y negatividad Remnstruccipn de fórmulas polinómicas a

Resolución de ecuaciones

partir de sus gráfiCas

cuadráticas completas

ka factorización de polinomios como

Construcción de la gráfica de una

herramienta paTa resolver ecuaciones

functón cuadrática

Los polinomios y las raíces no reales

El discriminante

El camb1o de variable en la resolución

Forma factorizada y canónica de la

de ecuaciones

función cuadrática

En el mundo reaf

Relaciones entre las raíces y los coeficientes Problemas con máximos y mínimos

los polinomios en la construcción de un ascensor Funciones polinómicas que permiten

Crecimiento y decrec;imiento

estimar costos

Intervalos de positividad e intervalos

Más actividades

de negatividad

Autoevaluación

Sistemas mixtos de dos ecuacione·s

Actividades integradoras

ax + b ---=ex+ d

Functones racionales Funciones de fórmula:f{x)

k = ~(x....;.;._ a).,..,.2

Funciones de fórmula:f{x) =

P~)

Q x)

En el mundo real

Lentes y lupas La primera ley cuantitativa en la historia de la Física Más actividades Autoevaluadón

Cuadernillo s

s. Cónicas Revisión inicial

Secciones cónkas Circunferencia Distancia entre dos puntos Elipse Hipérbola Parábola En el mundo real

Historia de las secciones cónicas Trayectorias elípticas Más actividades Autoevaluación Actividades integradoras

Cuadernillo 6 Respuestas a las actividades de los cuadernillos 1 a

s.

'

CUADERNILLO 1 -·

' .

1. los númeTos reales y. 1os números complejos · • 1n1 · 'c¡·al , Rev1·s1on

3

......................................................................... . 4

los números reale·s ····-·····················································5 Adición y sustracción de radicales .............................. 6 Mult1plicación y división de radicales ........................] Racionalización de denominadores ............................ 8 Racionalización de numeradores y de denominadores ........................... ...........................................g Ampliación del campo numérico ...............................10 l os números complejos ..................................................11 El conjugado y el opuesto de un número complejo ......-..........................................................................12 Operaciones con números complejos .......................13 Forma binómico y forma polar de un número complejo .............. ~··················--···························14 Ec·uaciones en 0:. .................................. .....-......................................15 Ecuaciones cuadráticas en ( ....................................15 Representación gráfica en el conjunto de números complejos .................................................-...........16 En el mundo real .........................................................................17

los números irracionales y el circulo .....................17 los relojes y los números complejos .....................18 Más actjvidades ...... 19 Autoevaluación ........................................... ..........................22 -t . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S

,

•

Cada conjunto numérico surgió ante la necesidad de resolver una determinada situación d~ la vida real o del contexto matemático. Por ejemplo, para contar, se usan los números naturales; para medir y repartir, se necesitan los racionales; para determinar el contorno de figuras circulares, se utilizan los irracionales. Todos estos conjuntos numéricos conforman

........,.,.,

"' •

el conjunto de los números reales; y con ellos, se pueden resolver diversas clases de ecuaciones, excepto las del tipo

xn = a, cuando n es par y a es menor que cero. En este

,

último caso, se recurre a los números complejos.

1 Ubiquen los siguientes números en el diagrama. 2 · -3 ,·...J2 '· O ·{9 · 2 S · 3' 1

7; n; -25;

. r::

-\j

j; 1

(Recuerden que

-t;

6,.---: +\j

=

<1>

1

1

<j>;

,....

1

IR

"\

,

"

~-125;

7L

'IN

,....

-1;2,3;3,9


+{5 es el numero , de oro). 2

2 Indiquen cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas y expliquen por qué. ~ Todos los números naturales son enteros. ·.

~

Todos los números enteros son naturales.

~ Algunos números racionales son enteros.

.2J Algunos números naturales son irracionales .

..l.J El cuadrado de un número racional puede ser irracional. _j El cuadrado de un número irracional puede ser racional.

3 Indiquen cuáles de las siguientes ecuaciones no tienen solución en IR . ( 2x - 1Y + 36 = 1 - 4x .:::.J (x - 2)2 = 29 - 4x

~x +4=0

2

2J 6x2 - 216

.:J

~

= O

_) x2 + 1

3_x-4 + 8 = -40

= -6

4

4 , Completen.

e

e

_)

e

_)

31°

7,5 cm 8cm

A

A

B

A

B ...............

-~e: :: ····························

sen 22° 30' = - - AC

B · ··· · ···~· · ······

cos 31o = 11 cm

se = ...................................... AB = ········-·····································

IIC: == .................................... .

Los números reales ([} Agrupen las potencias que tengan la misma base y apliquen las propiedades necesarias para obtener la expresión más sencilla: 3

~ (t)~\192

5)

b ~ 25 2 . ( 25 : 125

Para leer y recordar • En el conjunto de los números reales, las propiedades de la potenciación y de la radicación permiten escribir expresiones equivalentes a otras de manera dada, aunque estas son válidas sólo en los casos en que las operaciones sean posibles. • X

1

• x·n

x~O

= X

=(j_)n=j_ X

X

Xn

•

~X • y

=.VX ·V

•vr:rx = n.~

•

~X: y

=-YX :-rf

•

~

~0

= 1x 1si n es impar

~ = x si n es par • Además, para todo número real a, si a

lx 1 = a< > x

= a v x = -a

lx 1S a< S

S= {-a; a}

~ O:

>X~

lxl~a< >xS-avx~a

-a A X S a

= [-a; a]

S

= (-co; -a]

U

(a; + co)

~ Representen en una recta numérica la solución de las siguientes ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de los números reales: ~

lxl

=

5

!J

~

lxl

< 5

fJ

(x+1Y~16

(1) Escriban una inecuación del tipo 1x 1 < a, 1x 1 ~ a, 1x 1 > a o 1x 1 > a cuyo conjunto solución sea en cada caso el representado a continuación:

(

1 -3

(

1 -1

-2

t -3

1 -2

1

t

o

1

]

1

-1

o

)

1

3

2

E

1

1

2

X

1 3

) X

•

Adición y sustracción de radicales {]) El área de una de las dos caras cuadradas de un prisma como el de la figura es de 2 cm2 . ~ Calculen la medida de cada arista. .......•.•....•........•...........•.....•..........•...................................................................................... X

~ Calculen la suma de todas las aristas.

__

3x X

•••••••• ••••••••••• • •••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Para observar

._.,_

_,/

J

1

• Dos o más radicales pueden sumarse o restarse siempre que sean semejantes, es dedr, que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplo: • En algunos casos, cuando los radicales no son semejantes, podremos reducirlos mediante un procedimiento llamado extracdón de factores del radical, que consiste en factorizar los radicandos, distribuir las raices y simplificar. factorizamos los radicandos Ejemplo: ~

,-,-~=~ - - - - . " '

{18+-18---132 =~3 2 .2+#-# =~3 2 . 2 +-Y2 2 . 2 -~24 . 2 =

='"g

. 12 + H...., -12 - # .~ = 3 •-Ji+2 • -v2- 2 -Y2 = -Y?: 2

•

aplicamos propiedad distributiva de la radicadón

(!) Hallen el perímetro de las siguientes figuras, cuyas medidas están en centímetros. ~

8

~ 8

'\J 2

(

2-{7

8

A

~ ~ t .,----""""'''

----

2

o

A

(

(

8

2

1 A

8

-Y2

1,5{7

!J

-----1

(

~

A

(

'J.

~

o

o

A

~

o

AC = 2 80 = 6

(IOJ Resuelvan los siguientes cálculos.

·····························•·······················•······················•······•·················

• • • • • • • • • • o . o. o o •• • o o • • •• o • • • • • • • o • • • • • • •• o . . . . . . . . o o ••• o •• o ••••• o • • • • • o • o o • • • • • o. o •• o •••• o. o. o • o ••• o •

••••••••••••••••••• • •• •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• • •••• •• • ••••••••••••••

...•........................................................... .....................

··········•···••••··••••·•••···•·••·••······•••··•·•······•·····•···•·•••····•·•·••·····•·•·······•••

·····•···•······•······· ······•····················•···•····················•······

..•.•••••••••.•••••••••••••••••••••••••••.••.•............•.... ••..... ...................... .........

.•...................•.. ........ .••......... ................••.. ...................

Multiplicación y división de radicales (Jl) ~

La base del rectángulo mide 2-{3 cm y la altura -{6 cm. Calculen el área del rectángulo.

·····•···•·••••······•••••••••••••••••••••••·••••••·•·············································································

~

Calculen el área del romboide .

• • • • • • o o o •• o o • • • • • • o o o • •• o o ••• o. o o ••• o. o o o •• o o o o . o o o o . o o. o ••• o o. o • • • • • o • • • • • • o o. o o o o o • • • o ••• o. o. o • o ••• o o. o o. o. o •• o o o o •• o o o o •• o o. o o

Para observar • Para multiplicar o dividir radicales de igual fndice, utilizamos el siguiente procedimiento, basado en la propiedad distributiva:

=1% Ejemplos:

2.v • Para multiplicar o dividir radicales de distinto fndice, se deben buscar radicales equivalentes de modo tal que todos tengan igual indice.

•

Ejemplo:

(12) Resuelvan las siguientes operaciones y simplifiquen siempre que sea posible. ~

4

-{3.-{2. 6 .-{8 =

3 .

2'

• • • • o o • • • • • o • • • o. o • • • • • • • o • • • • • • • • • • o. o • • • • • o • • o o • • • o o • • • • • • o

• o • • • • o o. o • • • o • • • • • o o o o • • • o • " o • o • o o • • • • • o • • • • • o • • • • • • • • • • o • • • •

.................................................. ............

..............................................................

~ (~-~))s

~

(15. V6) : (V.F)

!J

S)

18.19

8 -

-3

•••••...........•.....•.•....••.•..••................•••••••••

..............................................................

(13) Resuelvan las siguientes operaciones y simplifiquen cuando sea posible.

~ (15-~)(!5+13)

4

~ (t+ fi)' !J 2 --I3 [1 --J3 (1 +v'3)]

Racionalización de denominadores ()4) Utilicen la calculadora para obtener valores aproximados de las siguientes expresiones y unan con flechas las que sean equivalentes. 1

~ 3

--J3 1

-{2 +1

-12- 1 1

/

Para observar Racionalizar un denominador significa transformar una expresión con denominador irracional en otra equivalente con denominador racional. En los siguientes ejemplos, pueden observar algunos recursos algebraicos útiles para racionalizar denominadores.

En casos como el segundo, el cálculo se facilita recordando que: (a+ b).(a- b) = a 2

-

b2 •

(15) Sin utilizar la calculadora, analicen si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. ~ -{3-1 =

{3

2

+ 1

~

-f6 1-{6

-f6

5.

=

-

6

--v 15 -{12 +-{2= -5 + 3

!)

10

2

~lo

fJ 12 = '/8

(16) Racionalicen los denominadores de las siguientes expresiones y descubran cuáles representan ~

numeras enteros.

•

Racionalizaciones de numeradores y de denominadores (17) Sin usar calculadora, comprueben que traten de generalizar

Jz

-{2. Hagan lo mismo con ~ = {5 y luego

=

{-¡ ={Osi a " O. Para leer y recordar

Consideren una expresión con numerador o denominador irracional. Racionalizar el numerador (o denominador) de dicha expresión significa transformarla en otra expresión equivalente con numerador (o denominador) radonal. Para lograr esto, en algunas situadones, se multiplica y divide por lo que se suele llamar el conjugado.

.......

El conjqgatfo &!.

V3 + 1 rs--·--·----...;p.,_..,.¡__1

~........._-

---~

(18) En

los siguientes ejemplos, se utilizaron distintos recursos algebraicos para racionalizar el numerador o denominador. Completen el cálculo y decidan si las operaciones efectuadas permitie• ron cumplir la consigna. !!)

~

1_1 .V3 V3V3V3

~ v'3 - 1=v'3 -1.v'3 +1= V3+1 \Í3+1 v'3+1

d

~

1

1

Ylc

m=m·m n m m= m· m j{

(19) Racionalicen los denominadores. !!)

~

-1

4x

X

Vx

7

\fX7

~ Racionalicen los numeradores. !)

vx+1

VX+

!!J

.,

1+Vx 1

-v'x

W) Sin utilizar calculadora, analicen si la siguiente expresión es verdadera. f f+ ~3 + -{55

=

2V3

+

3-12 - V30

1

Ampliación del campo numérico (22] Marquen con una cruz todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen las soluciones de las ecuaciones, cuando corresponda. .

-

-

. -- ¡.-; .

. ...

'· ..

'

:

IR ~====~==~~~==~1----------~~----------~~---------·~---~-~,~-·--·----, IN

.

'

.

¡

'

x+2=-1 .

2

. .

.·

x-2=-0

: .

·.

2

X+

· .

1 =0

Para leer y recordar

C.'

Como sabemos, en IR no podemos resolver raices cuadradas de números negativos, como

--[:i, ya que no

existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a -1. Se utiliza el simbolo i para indicar un número tal que f2 = -1. Teniendo en cuenta La igualdad a partir de La cual Lo definimos, y que este número no es real, podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones. Ejemplos:

x 2 +2=0

r+1=0

X2

Xt

= 7•

Xz

= - 7•

Comprobación:

i 2 + 1 =o -1 + 1 =

o ./

= -2

¡\

Xt

= ..¡::2

Xt

= -{2 j

Xz Xz

=-{="2

= -{2 j

Comprobación:

(-i) 2 +1 = o (-1Y. ¡z + 1 = o -1 + 1 =

o ./

<12 i)Z + 2 = o 2 • i2 + 2 =

2 • ( -1) + 2

o

= o ./

(-...J2 ;y+ 2 = o 2 • i2 + 2 =

o

2 . (-1) + 2 = o./

(.23) Utilicen el símbolo i para expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones. .9J (x • • • o. o o • • • • o • • • o. o o o. o o o o o o o o • • • o . . . . . . .

o • • o • • • • • • o o • • • o o • o o • • • • • o. o • o o • o • • • • • •

~ 9x

2

+ 16 =O

o • • o • o o o. o. o • • • o • • • o • • o. o • • • • • • o. o . . . . o.

1

1 -=-3-

K+1

K+.f..

iJ - - --

+

5/ =

10x

• o o. o • o • o •••• o. o • o o o o. o o •••• •• o ••• o •• o •

~ ---'4x2 +

-1 = 1 4

3 .......................................

••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••

. . . . o •• o • • • • • • • o • o o • o o ... o •• o • • o. o • • • o • o o

Los números complejos Para leer y recordar • A los números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, los llamamos números complejos.

z

= a + bi

Se suele utilizar La Letra z para designar

i verifica que i 2 = -1.

un número complejo.

i es La unidad imaginaria.

a se Llama parte real de z. lo escribimos asi: a= Re(z) Ejemplos:

z1 =

z2

2 - 3i

/\

b se llama parte imaginaria de z. lo escribimos asi: b = Im(z) 2 •

z 3 = -5

=-7

3

\

/

• AL conjunto de todos los números complejos, Lo designamos con el simbolo
[24) ~ /

~------------¡:- ( ·:

·--- ..

---~----~:IR~.---------~ 1

1

z · : : . . · -. . ·--

Q__,:-

11

.- --.....-. -:IN: ·- . '}-

Consideren la siguiente tabla. Complétenla. ,.

.. .

:·;:.·····.

~:-:

e

:._,,.··::··:~

Número coJ.J~Pléi~-~-~! f<, '. '

z;.

.·:· i:::;_H ~- . ':'?;. ~ .~·~~:. ~ .

5 + 3i

•c ·:

•?::.:':"_

"'"

..•

,;' ~:~·t\

~-.::_;~---

~

Indiquen cuáles de los númeParte- im~niria >1 ~-::te . _ : . ''·'"'~·•:!:.· }iñ z r:~~~'''·' :..,·:-: . ros complejos que aparecen en la 5-~l,,;::~:~ ' .. ' "' ( )~·., ;,., .~1~·. :1 tabla son: l. reales. 1·rut ...

2

8

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• lbS 1

r%'M1 '-

2 3

IW

Fi

:lil•

-4

-

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

1

-3

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

2- v i

••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••• ••••••••••••••••

11. imaginarios puros.

Si

o 4

4

o

•••• •••• •• ••••• •• ••••• ••• ••• • • •• ••••• •• ••••• •• ••••••••••

•••••••••••• • • • •••••••••••••• • ••••••••••• • ••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

o

o ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

El conjugado y el opuesto de un número complejo ,

/

/"_,....,'

Para leer y recordar

A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes números complejos: • el conjugado de z es

z = a- bi {la parte real es igual y la parte imaginaria es la opuesta).

• el opuesto de z es -z = -a - bi {La parte real y la parte imaginaria son opuestas). Ejemplos: Z 1 = -1 -2i Zz

Z1

-z1 = 1 + 2i

= -1 + 2i

-z2

= 4i

= -4i

z3 = 6

~ ~

Completen el cuadro.

/

z -

~

-z

'

-

-z

--

1..+2-i 3 2 2 - 6i

' 1.

-7 +-f3 j

- 3

2

__1 ,.

-fS j

2

1

!

~ Analicen si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifiquen la respuesta.

l. Ningún número complejo es igual a su conjugado. 11. Ningún número complejo es igual a su opuesto.

@6) Sea z = a + bi un número complejo. ~

Escriban en un lenguaje simbólico: l. La suma entre un número complejo y su conjugado es dos veces la parte real.

11. El producto entre un número complejo y su conjugado es igual al cuadrado de su módulo. ~ Verifiquen las propiedades anteriores para:

l. z = 6 - i

n. z = 4i

[il)

Encuentren un número complejo que cumpla en cada caso la siguiente condición: ~

z=-z

~ z+z=-z

•

Operaciones con números complejos Para observar En los siguientes ejemplos, pueden observar cómo realizamos las cuatro operaciones básicas con números complejos. Consideremos Z 1 = 2 + 3i y

Z2

= 1 - Si.

• Adición +

Z1

Z2

= (2 + 3i) + (1 - Si) = (2 + 1) + (3 - S)i = 3 -

2i

• Sustracción Z1

Z2

-

= (2 + 3i)- (1- Si)= (2- 1) + (3 + S)i = 1 + 8i

• Multiplicación

z 1 • z 2 = ( 2 + 3 i) • ( 1 - Si)

=2 . 1 + 2 • (-Si) + 3i . 1 + 3i . (-Si)

= 17 '-v-'

= 2 - 1 Oi + 3 i - 1S f2

7i

-1

• División

Para resolver la división entre dos números complejos, siendo el divisor no nulo, multiplicamos ambos por el conjugado del divisor, del siguiente modo:

z

z

Z2

Z2

z

__.!...:__.!..2:

Zz

(2 + 3i) (1 -Si)

•

(1 + Si) 2 + 10i + 3i- 1S (1 +5i) 1 2 - (5i) 2

-13 + 13i 1 1 . -+ 7 26 2 2

-

Observen que multiplicar por una fracción de igual numerador y denominador es como multiplicar por 1, por lo tanto, la igualdad no se altera.

@8)

Consideren los complejos z 1

=

-2 + i; z 2 = 3 + 5i y z3

OJ z1 + z2 - z3

!) (zl

+

~ zl

iJ (-z

1

Zz- z3

+

[29) Consideren los complejos

=

4 - i y resuelvan los siguientes cálculos.

Zz) z3

z2).( Z1

+

z1 = 3 - i; z2 =

-

4i y

-

z3 )

z3 = 7

+

2i y resuelvan las siguientes divisiones.

(30J Consideren la unidad imaginaria i. ~

Completen sus potencias. f6 =

7'() = • • • • • • • • • o • • o o • • • • o. o • • • •• •

¡t

¡s =

= o o o •• o o o •••• o o o • • o • • • o. o o o o

~

• o • • • • • o o o • • o • •• o • • o • o • o • o o

• o • o • o ••• o •••••• o • • •••• o • ••

o • • • • • o • • • • • • • • o. o •••• o o. o o

• o • o • o o ••• o ••••• o. o • • • • • • • •

i' o •• o o • • o. o. o o o •• o • • • o o •••••

= o o ••••• o o o •••••••• o •••• o. o o

Analicen los valores que obtuvieron y expliquen qué regularidad observan. ••···••·•••• ·••••········••••·•••••··················•••·•·•·•·•···········•········································································•··•·········· •••••••••••••••••••••••••••••••••·••••··•···

(31) Calculen las siguientes potencias. ~

!)

¡m =

~

j 44

~

¡242

= =

i 94

=

·············································

....................................................

.•••••.••••.•................•.•.•..••••••...

.................................. ..............

................................................

~ i 69 = ....... •.••..........•.......................

.2) (i3)5 =

h) (79)27

.................................................

= ............................................. .

i J ¡J3 . i11

= ·············•········•·••••••••··•··

....................................

Forma binómica y forma polar de un número complejo (32] Utilicen el teorema de Pitágoras para calcular el módulo de 1

v

1

v=

(4; 3).

= . ..................................................................................................................................................... ...............................................

33 Averigüen cuál de las siguientes medidas corresponde, aproximadamente, al ángulo que forma con el eje x, si

v = (4; 3) . ~ 36°52'12"

.!) 143°7'48"

v

~ 53°7'48"

Para leer y recordar Un número complejo se puede escribir de distintas maneras.

z=a

+

bi es un número complejo escrito en forma binómica. [Z

1\

=(lzl; a) es un número complejo escrito en forma polar, siendo lz 1 = ...J a + b y a el ángulo que forma el vector

z

2

1\

2

v·• 1 ,

¡u

que lo representa con el semieje positivo de las abscisas.

(34) Indiquen, en forma binómica y en forma polar, los

l fie ~m }( m ri•

números complejos que están representados a la derecha, como en el ejemplo.

""'

Z1 =

z2 --

(5 + 5i)= (YsO; 45 ·)

1

6

z3

K

Zt

1'-

••••••••••• • • ••• • o •• ••••• o •••• •••••• • ••• •

z4

.........................................

•.• ••••••••••••••••••••••••••. ••••••.•. ••

-~

. . .

~ ~2 /

-~~ ">C

7

V

Z3= .. ....................................... .

z4 ---

Z¡ =

•••• •

•

•

•••• •

•••••••••• •

'1

,

[7 !Zs

•••• •••••• 6 •••••••

~

V

17

1/

•

q t : f t:l

ia

•

"

'\.: z, !"'..

z6

Zs =

..••...•........••....•..•...............

(35) Las distintas formas de expresar números complejos se pueden verificar usando calculadora científica. .5!) Escriban en forma binómica y en forma polar el número complejo que se observa representado geométricamente. z = .......................... (forma binómica)

'

• e 11 E. 'rla~ina rio

'{ ~

1

1'\.

s· ~

~ en al

z = ........................... (forma polar)

~ Verifiquen estos resultados con la calculadora siguiendo las instrucciones.

- - --- ------ x-r (--- -tSHIFT

De binómica a polar

'

l

f'SHIFT

IZI

De polar a binómica

-

-fSHIFT

[(

-tSHIFT

[

IZI

(á.)

.

. ----. -- . ----------. -

~

b

-

A

.... -....... .

• ................................................... •

-

a

- ------------... --.. -... ... -1 •

Ecuaciones en C ,

Para leer y recordar

'

Para resolver ecuaciones en el conjunto de los números complejos, se procede de forma similar que en el campo de los números reales, salvo en el caso de presentarse ecuaciones con módulo.

Ecuaciones cuadráticas en C Si z1 y z 2 son números complejos y raíces o ceros de la ecuación cuadrática a~ + bz + e, con a, b y e números reales, entonces z1 y z 2 son números complejos conjugados, es decir: z1 = p + qi y z 2 = p - qi.

Además se cumple que:

-<

Ejemplo: Para encontrar la ecuación cuadrática cuyas raices complejas son: ,... b z1 +z2 =2+2=4 = - a y z 2 = 2 - i se cumple que: -< z 1 + z 2 = 2 2 + 1 2= 5 =.E_ a Para a = 1 la ecuación es z 2

4z + 5 = O.

-

(36) Resuelvan las ecuaciones en ([ y representen gráficamente la solución. ~

z + ( 3 + i)

2

-

~ - 3z + 3 (z + 1

3

i = 1 + 4i

r = 9i + 3z

2

(2 - z)

~ (1 +

i) .

~ _1_ z

+ 2 (z - i) + _1_ = - 7i + ]_ z

2

.

7

=

i5

-

1

i

2

(37) Verifiquen que las siguientes ecuaciones tengan las mismas soluciones. i

+ 2z + 2 = O y ( z +

1

: i ) .(z +

1

~i

) =O

(~8) Hallen los números complejos que cumplan simultáneamente:

z+Z = 2 - i -z + Z = 3i 1

1

2z - z 1 = z + 2i

z + 3z1 = 4- 2i 2z- Z1 = 8 + 3i

z-

(39) Escriban la expresión polinómica que permita tener

~:. ·

Z1 =

8

IIie irriardn'lrio

¡::;.

como solución los números complejos representados.

J.

':1

? 1

.

- - - ~ - ~ -L¡ ., )

-

.:::1

.J.

1¡::;.

.

¡;,

ffi 3

l

lí

al

,....

Representación gráfica en el conjunto de números complejos Para leer y recordar Así como para representar cualquier número real se necesita un eje o una recta graduada, para representar cualquier número complejo se necesita un plano cartesiano, con dos ejes graduados. Ejemplo: La representación gráfica del conjunto definido por comprensión A = { z E

[ / Re(z) = 2} y la de

8 = {z E [ / Im(z) < 1} son: In#' ~

Eie imacdn 'riJ 1

!o

¡..,

~4-~~~ . +-i~~-+-+-r4-4-+-~~-+-+­

t:.

t::.

:e:

¡

J.

/.

,..,

1 •

'?

--) - • -3 - 2

9

-a.,

1) 12

-l--l-+-i--+3--~-l-1J-.--t-+-+-+--+--l-+--l-1f---4-+-l-

'

'

h-.:::;=1---

¡

¡

~

L.

~

j

E ([} Re(z) < 2

1\ Imz

ilfl. tea .

. ·¡

1) 12

,

1 •

't_

1

1J3 1!4 1l_ 1 1-

!

--

:.::f .t·~,

,_ ,_ ,_ ,_ ,_ J__.;

·~ ·-

SJ F = {z E [/ IRe(z)l < 2}

< l}

~ E= {z E { / Re(z) ~ 2 1\ Imz ~ 11}

~ E= {z E ([} llm(z) 1> 1} • ,-r- e· 1e¡1ma;"7n ano •

[4-1) Teniendo en cuenta que el módulo de un número complejo z = a + bi

/ "

Representen gráficamente:

SJ

1'\.

Eje~

-

a( ,

'

\

J

-1

'- ..... ., _, V

lzl <3

1 ~

1

1

-

lzl = 3 lzl < 1

.....

~

es igual a la longitud del vector que lo representa con origen en (O; 0) y extremo (a; b), la representación gráfica del conjunto A= {zE { /lzl = 1} es:

~

~-

Representen los siguientes números complejos .

.5!) D = {z

~

.

1

¡

'

-

'"'

la ,

J

- -... _-

- ~.---

... - -l.

- ) --:~ -~ -2 -

li3 1'4 1?'

~4-~~-~~-~~-+~·~4-~~~-+-+-+­

@

1

~ lzl ~3

{j 2J Escriban por comprensión el conjunto de números complejos cuya representación gráfica es la siguiente:

•

...~ in '11!:. • ·1rio

l a~ ~

~ ,./~

.,

t:.

1:

"'

/.

1

~

1

-

¡..

:~ .

.,

...

....e:-·~ r••

1

.,

1

"7

t:.

..

-

o

~

5 - + - S - 2 - Lo

Eie irn '.ldnarib.

1

~

' '

f

(

,-...

1 01 2 131 4 5"

"El

1

1

- 5 -4 -B - - L, )

...

¡~

!., 1'

•

'

t

a

"1'~

9 10 u~ 1 31j4

Los números irracionales y el círculo Si se rodea un círculo de cualquier tamaño con un hilo y luego se divide esta medida por la del diámetro, siempre se obtiene un número un poco mayor que 3. Esta relación se mantiene siempre, independientemente del círculo escogido. Al número que expresa la razón entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diámetro, se lo llamó Jí (esta letra griega es la equivalente a nuestra p y es la primera letra de la palabra griega periphereia, que significa 'circunferencia'). Los matemáticos de la Antigüedad creyeron que este número era racional y le buscaron una representación fraccionaria. Recién en el siglo XVIII, el matemático J. H. Lambert demostró que es irracional. Seguramente, sin saber que es irracional, hayan utilizado muchas veces alguna aproximación de su valor en distintos cálculos relacionados con longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas que involucran circunferencias y círculos.

@,a) Un comerciante debe transportar objetos cilíndricos de vidrio, de 8 cm de diámetro y 6 cm de altura. Puede optar por dos tipos de cajas, como las descriptas en la tabla.

Altura (cm taj,a ttpo 4 i.

Caja tipo &

•

40

32

. . . J ... ·- -

56

22

10

se t •

t

9

•'

~

Expresen en forma exacta: l. el volumen de uno de los cilindros. Il. el área total de uno de los cilindros.

~

Redondeen a los centésimos las medidas que calcularon en ~ .

~

¿Cuál es la cantidad máxima de cilindros que puede entrar en cada caja?

~

El volumen libre en cada caja se llena con un material especial que sirve para evitar o, eventualrnente, amortiguar golpes. Expresen el volumen libre de cada caja: l. en forma exacta. 11. en forma aproximada, redondeando a los milésimos.

!.) ¿Cu_ál de las dos cajas elegirá el comerciante, si se deben cumplir dos requisitos: que entre el

máximo de cilindros posible y que quede el mínimo de espacio libre?

~ Resuelvan y escriban la solución en el conjunto de los números reales. ~ 1 X+

10

1-

1

=

0

(x - 6) . (x - 6)

~

(3x + 1) 2

=

-1

5x - ( 49 + 8x)

11 . (X + 2)

=

-x . (x + 3)

47 Resuelvan y escriban el conjunto solul3x

41

+

~

~

----¡

5

1 5

2 . 5

- 1-1 + X 1> - 1 ~ 1-x + 11 < -1

1 2 . ~ -5+ -5¡

-

~ Resuelvan las siguientes ecuaciones en C.

3)2< 4

351 > - 35 ~

=

1 - 2i •

-

~ 2z - i + 3 - i = O

el denominador. ~

~ el numerador.

~

~ Resuelvan y escriban el conjunto solución en el conjunto de los números reales.

~ Y2 x_ e • } r;. ~ Y.2 X

-

1 +

2

(

51)-3

lv' 12 5 - v'48 x 1 = m

z . + 2i = 1

1 -

7

(53) Escriban un número complejo en cada

~

v'8 x = Y1s

~V~5 X = 21.3 -

( 1 - i) 2 + ( 2 - z) i = 3

caso que cumpla las condiciones indicadas.

~ mx+Nx+\Í3=1

~

z + ( 3 - i) 2

2

1 racionalicen: 2n+ 2

(4.8) En la expresión n ~

O

2 . 5

1

---]

< 25

~

1X

=

números complejos y represéntenlos gráficamente en un mismo sistema de ejes.

~ lx+7l>36

.fJ

2)

~ en[

1+ -2¡. ~ 5 5

.!J v(-2x +

-

~ en 11

enQ

ción en el conjunto de los números reales. ~

. (x

2

(51) Encuentren el inverso de los siguientes

.!) (2x + 5) 2 - 16 = 20x + 25

.fJ

-

2

~ en IR

4

=

1x

~

~ (x - 6) . (x - 6) = O ~

~ Resuelvan la ecuación:

Re (z) > 2 y Im (z)

=

3

~ Re (z) < Im (z) y Im (z) < O ~

Re (z) + Im (z)

=

8

•_-

.- --,:-

• _.

~

-:

-~

;

~ MAS

---:_-~-------.:.--:::-·---<:--.-~--

. --

-

-. ---.::-<·.·

. -. ·; _:..

' -.-· . .-·. -.-

. ·- --

• --. ~---

- . - .• ':..._

.· .. _;

ACTIVIDADES -.. . ,'_. __-_.:··.··--·· - .

:_...,...:.-.·_,:-'~---~-:~<---<~;-· ._-:,..,-~-:-

:.-. :-._· ,._·

... "·

-· ·-.

un número complejo que sea igual a su conjugado.

~ un número complejo que sea igual a su opuesto. ~

un número complejo que sea igual a su • Inverso.

(5§} Resuelvan las siguientes operaciones con números complejos. ~ 3 + i 1 + ¡s

3

~ (7'8 - 2f9 ) + (1 + 2i7)

-

(9 + 4i 11 )

(3 + i27 ) - 2 - 3i

números complejos:

~z

=

({8 ; 45° )

~ z = (-{18; 135°) ~z

=

~ z

= (1;

(-{32; 225°) 270°)

~

Investiguen qué relación debe haber entre los coeficientes a y b de una ecuación de la forma ax2 + b = O, para qu e no tenga soluciones en IR.

(61) Usen la calculadora p ara escribir la forma polar de los siguientes números complejos.

~6) Averigüen el número complejo z para que se cumplan las siguientes igualdades. ~ 3+i =-2_-~¡ ~ z+i

z- 2

5

5

~ z=

3 -{3 +-ª- i 2 2

b tz=2+ 5 -{3i =../ 2 2 ~

= 2i

d~

z

=

-2- 2i l

z = - y+

@7) Siendo z = 3k - k~ , hallen k para que 1z 1= 10. 1 - 37

($08) Escriban en forma polar los siguientes números complejos presentados en forma binó• mica.

~ z=1-i ~

z

=

5i

~ z = -4 + 4i !) z = -10

fJ

z = - 4i

9.J z =

-13. 2

1

~ Usen la calculadora para escribir la forma binómica de los siguientes números. ~

z

~

z = (2; 330°)

~

z

=

(1; 135°)

~

z

=

(10; 30°)

=

(5; 120°)

63

Encuentren los valores de p y q para que se cumplan las siguientes igualdades. !!) (6 + pi).(l- 4i) = 11q - 20i

-2 + 2i

h.J z=2

-. · .

(§2! Hallen la forma binómica de los siguientes

-

2

-

-- . ,_

~

z-

..

. .,

~ Escriban, si es posible,

~ (3 + 2i 5 )

--- .. . - ---- ---····. --

:'¡'

• ,·-.: ~'

~ 2p - 1 Oi 3+ i

=

_ 8 qi

..

4

Escriban por comprensión el conjunto de números complejos cuya representación gráfica es la siguiente:

¡

lnJ

~

r:.·

;., ,...

•J'" "

1~

•w;

rn 'fl1

•

",..,

¡.,

~

lt.: 1 ~:.

oí ~ -JE¡¡~~w.

1 1

l.

~

.,

-- .,

~

¡-

J. • ¡- - 2. ¡..

t:.. 1;.. l.

-

l'l

-

11

'n

-5 - -· - -~ -4

1

)

•

1 ()1 ~ 1{3 j

'"'.(l

l--

-B -

...

'

-,,"'

t\..

..... ro....

41 5'

--

...

••

••

li:.

1

lnJ

... - - -·-· ~-

j

- '"' . -.. .. ,..

-J

S

e

~· ~

.

·r-'fl r-

! . 1 )1 ~ 13114 ~

~~

J

~

' 1 ~:.

~

•

(65) Hallen la forma binómica del inverso de los siguientes números complejos y represéntenlos gráficamente en un mismo sistema de ejes.

~ -~·; •~Hfl·

¡ ·~

~~

'

.. -

.

..t.

!"'"' •

" ,

¡.. •

.t.:

h ~

-- -

c'l

¡,

1-

~

11

\

?

t

-... 1'-.

l'l

~

(2; 60°)

¡.,

~ (2; 120°)

l·t.:

¡¡::

~ (2; 240°)

'.l. :'l

~ (2; 300°)

'?

-

l:'.,l

1

-;

- ) - - + - - - 1.¡

j

)

!

8

~

•

¡-

1 )1 2 13 1 41 5

....

(66) Hallen dos números complejos conjugados tales que la suma sea 6 y la diferencia 4i.

'l

:.t. .1;.

·~

1 1

.a·

Escriban la ecuación cuadrática 2 Z + bz + e = O, = siendo b y e números reales, y sabiendo que una de las raíces es: ;;;.;;...o'

. 'ij ~#~;~~ 1

•

.,

1

t.:

1

1

¡ 1:.

1 1

1 ~

• 1

.¡

- - ~- + -

/.

~

:1

'l

•

-J

•

.

i 1

c.:

1

• ..,

j

1

•

- - ' -~.u;; 1-

6- i

~ (Yi2; 45°)

•

:?

r

1

~

J

-2 -!1

)

1!J - i

•

i':l

j

1

~ 6 + i

R

1

r

l

1-

!o< 1

•

1

~~

1 01 2 1 3 1 ~1 5

...........,8 Representen gráficamente los siguientes

conjuntos de números complejos. ~ A = {z E (

1!J A= {z E

/1 z 1$;

3 /\ Re(z) < 1}

(/lzl > 1/\ IIm(z) 1< 2}

a-s.

Marquen la opción correcta.

1

5

Si

Gráficamente, un número complejo y su

3 .

a4 ----':;-::;- = 27-

1

27. a

J

""----"

denadas.

--

33 5

--

conjugado son siempre: ~ ~ simétricos con respecto al eje de las or-

va2

~ 1a 1 =

,

entonces~

'i

_jjaj=v'3

!!) simétricos con respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

"'-'"

_:) simétricos con respecto al eje de las

_j

a=- V3

_j

a= -{3

3

abscisas.

g) simétricos respecto del origen de coordenadas.

6

Un hexágono regular tiene 2 cm de lado. La

distancia que hay desde el centro de esta figura hasta uno de sus lados es la misma que:

2

Para todo

a y b perteneciente

al conjunto

_j la medida de la hipotenusa de un cua-

de números reales, se cumple que:

-.......

drado de 3 cm de lado.

.!J ia+bl=lai+Jbl ¿)la+ bl

$;

!...) la medida de la hipotenusa de un cuadrado de 2 cm de lado.

lal + lbl

_j la medida de la altura de un triángulo

...___... 2J ia+bl>lal+lb~ .._..,___

3

equilátero de 2 cm de lado.

_j la medida de la altura de un triángulo

::Jia+bl=lal-lbl

equilátero de 3 cm de lado.

El sistema de ecuaciones:

tiene como solución:

~x=2+v'6 2

~x=2-v'6 .._ 2 "'-'--'" E)

........_..

4

X =

..::) X

=

V2

+ 2v'3 {3

v'3 + 2v'3 2

Los números complejos Z2

V2.x - V3y = V32 v'2.x- V3y =m .

y=1- 2v'6 3

v'2 - 2v'3 v'2 2v'2 v'3 y=

_j

y=

~

::._)

={ i

X2=

- -{3

=fi X2= -f3¡ X1 =·Vi X2= -{ 3; X3={31; X1

x3 ={fi;

X4 = -

-{3¡

3

Z1

= -6 + 6i

y

8

El opuesto deJ conjugado de 3 + 2i es:

= (6 ..J2; 315 °):

0

3 + 'iJ

son conjugados.

.::) son opuestos. "----J

Las soluciones de la ecuación x4 - 9 = O son:

_j X1

y=1+ 2v'6 3

!!) son iguales.

J J :;:::=::

7

.;:;) tienen distinto módulo.

_J 3- 2i

CUADERNILLO 2

:2.

Funciones cuadráticas

. . '· . . . l ReVJS7ón 1n1c1a

·······~·····················································'!······4

El m odelo cuadrátice ....................................................... 5 La función cuadrática ......................................................] Ecuaciones cuadráticas ...................,..............................9 Resolución de ec:uaciones cuadráticas completas ...............................................11 Construcción de la gráfica de una función cuadra.'t'1c·a ...........~ ........... ~ .._. ....... 13 El discriminante ...................................................,._............... 14 Forma factorizada y ca1_1ónica de la función cuadrática •e.o•u••···-····--·· ............................... ,........_.......15 Relaciones entre las raíces y los coeficientes ......16 Problemas con máximos y míntmos .........................17 Crecimiento y decrecimiento ......................................18 Inter-valos de pesitividad e intervalos de ne·gativi dad .. ·-·...... ·-·· .......................................................... -......19 Sistemas mixtos de ·dos ecuaciones .......................... 20 Sistemas de dos ecuaciones cuadráticas ................. 21 Recta tangente a una parábola .................................. 22lnecuaciones cuadráticas ................ ,.........~..................24 En el mundo real .............._........ 25 Libre competencia de mercado ..............................25 El cine y las persecud_ones ...................................... 26 Más activi.dade$ ....................................... "'......................... 27 ! .................. . .. . .................. . . .

9.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

..............

A.u-toevaluación ··········.·····~········ ...........................,........ ., .... 30

•

1

;.:..;r·•f:_ •

t.as funciones cuadráticas permiten describir innumerables

-

fenómenos relacionados con distintas ciencias, como la Biología, la Física, la Economía y la Astronomía. Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadrática'S eran conocidas ya en la Antigüedad. Desdé entonces- los matemáticos· desarrollaron curiosos métodos para su .

resolución, basados en procedimientos geométricos. En la actualidad, gracias al desarrollo del lenguaje simbólico, utilizamos métodos sustentados aJgebraicamente que resultan más convenientes. Las formas descripta$ por las

funciones cuadráticas se observan en mucbas situaciones cotidianas, como la que ven en la imagen.

1 Resuelvan las siguientes potencias.

4 Hallen el valor de cada expresión para los valores de la variable que se indican, como en el ejemplo.

:' 1 _;.¡

: 1

.=..!

P(x) = 3x2 - x + 5 P(-2) = 3(-2/- (-2) + 5 = 19

- 4 3 -10-4 =

~

Q(x) = x . (7 - x) Q(-3)

iJ -(-1)32 =

.:J R(X)

= .............................................. .

= 2-

3x -

i

R( 5) = ~ ................................................... .

2 Indiquen V (verdadero) o F (falso) en cada

2J S (x)

= 4x + x

2

-

6

una de las siguientes igualdades. 5(0,5) ;: : - ··············································· ~ T(x) =

i -

7 + 5x

T( -4) = •.•.•.•..•.••...•.•........................ · · · · ·

5 Unan con flechas las expresiones equiva-

3 Resuelvan, cuando sea posible, las siguientes ecuaciones.

lentes. 2 2 a + b + 2ab 2 2 a + b - 2ab b2 - ab a2- b2 2

2

.:!) 5x

4

.:;) 2x

a + ab -

-

(a + b)a (a (a (a (a

+ b)

2 2

- b) + b)(a - b) - b)b

13 = 7 5 = 27

.2J (x + 3)(x- 3) = (-4/

~ 3x- 2 = x(3- 8x) 2

.:;) x(x + 2)

= 2x - 8

~ (3x- 4) = 9x(x + 2) 2

6

Resuelvan las siguientes situaciones.

.0 El área de un cuadrado es de 64 cm2 • ¿Cuál es la longitud de un lado? ····················••t••······ ·· · · ·· ···· ····~·········· ······· ···· · ····· · ·······

.:J Un cartel luminoso de forma triangular tiene una superficie de 6m2, y la longitud de subase es el triple de la longitud de su altura. Calculen cuánto miden la base y la altura. ··· ···· ······ · ····· ··· ·················· · ··~·········· ·· ···· ···· ············ ·· ···

El modelo cuadrático (1) Suave Confort es

una empresa de decoración, con gran prestigio y muchos años de experiencia en el rubro, que decidió abrir su taller de confección artesanal de tapices. Confeccionan una serie de nuevos tapices cuadrados que miden entre 1 y 3 m de lado, con diseños exclusivos y a pedido. El precio del tapiz se calcula en $300 por metro cuadrado. ~

Teniendo en cuenta que l es el lado del tapiz y P su precio, completen la siguiente tabla de valores.

•'a4» (m) l

1

Al.

..

:i n

~~ l\ '

¡.,, 1""' ~ ~.., ,

1...

.(}

I ~L 1. ., .

1'11

1.....

~~(} Mlf'II¡'Q

'•&:.r---t----~

2,5

.... --

1 .&. J

,

'

11 '1.

-

n, ~.

V '

"'

J

... V

o r;

1 r;

2 r;

1;¡dc fmll 1

,r

~ Representen los valores que obtuvieron en el gráfico y unan los puntos con una curva. ~

Consideren la función P(l) que asigna, a cada medida del lado, el precio correspondiente de un tapiz. l. Escriban la fórmula de P(l).

················· ···················································································································································-·····

11. ¿Cuál es la variable independiente~ ····················································································································-·····················································

III.¿Cuál es la variable dependiente? ·········-································································································································································

rv. Indiquen el dominio y la imagen de la función P(l) en esta situación. ······················································································································-···················································

CIJ Marcelo es repartidor de diarios en Villa Hermosa y excelente ciclista. Para mantener su estado físico y poder competir, debe entrenarse continuamente, por lo que ha decidido efectuar el reparto en bicicleta. Todas las mañanas, va arrojando los diarios uno a uno en las puertas de sus clientes sin detenerse y, así, se entrena mientras trabaja. La distancia al puesto de diarios d (en kilómetros) a la que se encuentra en cada momento durante su jornada de trabajo está expresada en función del tiempo t (en horas) mediante la siguiente fórmula: d{t) = t{6 - t) ~

Completen la siguiente tabla de valores.

.

..... lJl .... tn ri~ ( 1~!

1

- ~o-

1

'

1

j i

·"

1" tiempo (h) · ,. Distancia (km) 1:>' ~ -~

t

.,,.., _...

.

r . ,

d

1"'

.

In ¡-

r-

o

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1

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2,5

!

i

1

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1

IJ

.

4-

3

3-

4

2-

'

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-- -

i !

1

5,5

•

!

í

r

6

1 •

1

·'

•

'

l .... ~

'

1

1

'

TiE1m~K.h~

~ Representen los datos de la tabla en el gráfico y unan los puntos con una curva. ~ Respondan a las siguientes preguntas.

l. ¿Cuántas horas dura el recorrido? •••••••••••• •• • • •••• ••• •••• ••• • • ••• •• ••••••••• ••••••••••••• • • • ••• •• •••••••• • ••••••• • ••••••••••••• •• •••••••••••••••••••••• • •• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

• •

• •

• • • • • • •

• •

• • • • •

• • • • • • •

• • • • • • •

• ..

~

••• •

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• ••••• ••• ••••••••••• •• ••••••••• •

••••• t •

•••••• • • •• ••• •

1 •

••••• •

••••• •

•••••••• •• ••• •••• •

11. ¿Cuántos kilómetros hace diariamente para completar el reparto? •••••••••••••• •• ••••••••••••• • •••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •

•••••• ••••••

•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

111. Si Marcelo sale a trabajar a las 4:00, ¿a qué hora se encuentra más lejos del puesto y a qué distancia está en ese momento? •••••••••••••••••••• •• •• •••• • •••••••••••••••••••••• • • • ••••••••••••••••••• •••• • ••••••••••••• • ••• • •••••••• • •• • • • ••••••••••••••••••••• • •••••• • •••••• • ••••••••••••• • •••••••••

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

La función cuadrática Para leer y recordar 1

• Llamamos función cuadrática a toda función que pueda expresarse de la forma: f(x) = ax2 + bx +e

(a~

O) -~

a E IR- {O} --7 coeficiente principal o cuadrático b E IR - coeficiente del término lineal e E IR --7 término independiente

-3 - 2

.....

-~ •

... 'l

_, _ ....

• El dominio natural de estas funciones es IR, y al re-

;_

presentarlas gráficamente, se obtiene una curva lla-

f

....

mada parábola. • Cada parábola presenta un eje de simetría paralelo al eje

.-A

y de ordenadas, sobre él, y un punto llamado vértice

1

o . .,

1

'

·9 - \

en el que la curva pasa de ser creciente a decreciente o • Vlceversa.

x) = x 2 - 2J - 8

/

.,

. .!.

{1; .- 9' i-2 ' 4

ra~·

n ,y

01~' '"

• Los ceros o rafees reales de una función cuadrática son

a

Ul

..

-a

las abscisas de los puntos de contacto entre su gráfica y el eje de las x.

C2J Completen la tabla de valores eligiendo adecuadamente los valores para x, representen la curva y señalen en el gráfico el vértice y el eje de simetría de cada una de las siguientes funciones cuadráticas. ~ f(x)

=

~ f(x)

/-4 V_

= /

-

4x + 3

1

1 '

¡y .-

~

,.

r:

.;,

-

V

..

;_

J

"T

~ .,

- ) - 4 - 3 - ~ -rt .-o

1 .. ~

..

., -..

J

-

"'

~

1 1

_.,

~

-4 - ~

-

'..

...

- ~ -~ ......o

-

_';l

l

'

-

......

/. -.

-.,

5-

.,.,_

~ '~

f, -

- ~-

1

•

/

,

X

\,.

\.

y

'j l '.1

o ·

1

1

/ \.

/.'

'

X

y

~ -o,sl o

- /

'

'J

t

~

il

'

1 '

(lO) Observen atentamente las gráficas y las fórmulas correspondientes, y completen las siguientes oraciones. • El eje de simetría de tod,as estas parábolas es la recta de ecuación x= ...... , que es el eje de ordenadas.

1"' '

\ 1\

k= ~x2 1\

\

\

'\

IJllilt() ....................................................................... .

!'-..

• Cuando a es positivo, las ramas de la parábola

' " "' """' -

tienen forma de .... .. ..... .. ........ ... ... .......... ...... .......... . .

• Cuando a es negativo, las ramas de la parábola /

V

v

~

\

1

-.. :t--.

/

/

V

1/

V

"' •

'~

~

/

....

~

............

1'--...

V

.....

~

'

......... ......

.'0.. -X;

'

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..,

\

"

v

~

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1

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\

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1

......

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V

·2

1/ V 7 J 1/ / y / V .....- 7

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1

V

/

1

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1 J

..,

J

2

1/ 1

"

''\. \.

1

1

V

l\ 1\ \

~

1

"

\

~ ~

~

/

observa que las curvas ...................... ...................... ..

lt

1

¡ ..,

t'-.. t--." !'-.. ~

/

• A medida que el valor absoluto de a aumenta, se

~

n

\

\.

• El vértice de cada una de estas parábolas es el

tienen forma de ... ... ....... .. ..... ....... .. .. ..... .. ..... .. .. ... ..... .

1

\

!'..

1'-

[\ \

'

\

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

(11) Consideren las funciones que aparecen en la tabla. ~ Completen las tablas de valores y representen

I

l

Y~

i

cada función en el gráfico con distintos colores.

1

:1

i

., 1

"T

..,...

1

5 - f+ - ~

t

.....

-~ - ~ _1

plaza hacia ..............................; si e sufre un cambio

1

.......

plazamiento ............................................ ................. .

-7 -

1

-

.

f) -

1

~

• La variación del coeficiente e produce un des-

,....

_

o

1

~

_')

L,

negativo, la parábola se desplaza hacia .................. . '

1 • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••• •••••••••••••••••• •

l

1

~ Analicen los gráficos y completen las siguientes oraciones.

• Si e sufre un cambio positivo, la parábola se des-

' ..,

1

1

1 1

¡ 1

'

1

1

1

X

Ecuaciones cuadráticas .

'.

Para leer y recordar • Llamamos ecuadones cuadráticas o ecuadones de segundo grado a las ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax2 + bx + e= O (con a:¡ O). • Cuando igualamos a cero la fórmula de una función cuadrática para averiguar sus raíces, planteamos una ecuación cuadrática. • Las soludones reales de esta ecuación, que pueden ser dos, una o ninguna, son los valores buscados. • Dedmos que una ecuadón cuadrática es incompleta cuando alguno de sus coeficientes b o e, o ambos, son nulos. Observen cómo podemos resolver algunas ecuaciones cuadráticas incompletas.

x

2

'

'

' L

x' -

.Y

-

...

4 =O

l .

x2 = 4

"

~

lxl = Y4 lxl = 2 (x1 = 2) (x2 = -2)

-3x2

+

6x = O

x. j -3x + 6) = O

/[\ ..X

~ ( x;

= O)

~v

=O

- 3x + 6

6 = 3x

6: 3

1 ./

!\

=X

( 2 = x2 ) '

t

1

(12) Observen la figura y respondan a las siguientes preguntas. ~

¿Cuáles de las funciones representadas tienen dos ceros?

~ iCuáles tienen un solo punto de contacto con el eje de las x? ~

¿Cuáles no tienen ningún cero? y

) X

(13) Resuelvan las siguientes ecuaciones en IR, cuando sea posible. ~x

2

-

9 =O

~ x2 + 4 =O ~ 1

-i =o

~ 3x - x = 3x - 2

.9.J x( 3x - 2) = x

~ Sx- x 2 =O

!!J 4 -

2

!J 4x

2

+ 3x =O

•

!.J x(x

2

-

Sx

3x - x 2 = ( 3x - 2) 2 + 2) = 2x(x - 1)

----- ------- --- . -- ~ --- - -

(li) Consideren los prismas de base cuadrada que tienen 1,5 m de altura. 5!) Escriban la fórmula de una función que permita calcular el volumen del prisma en metros

cúbicos en función de la arista l de la base, en metros. Indiquen su dominio y represéntenla gráficamente. ~ ¿Cuánto mide el perímetro de la base de uno de estos prismas, si su volumen es 0,135 m 3?

(lS) Juan es artesano y tiene un problema con un cliente por una alfombra que le encargó. El señor García, su cliente, le pidió una alfombra cuadrada de 1,5 m de lado, cuyo precio era $450 ($200 el metro cuadrado), pero luego cambió de opinión y le pidió que hiciera una cuyo lado fuese el doble. García está dispuesto a pagar $900 por la nueva alfombra, pero Juan dice que el precio es el doble de lo que ofrece su cliente. ¿Quién tiene razón? Justifiquen la respuesta.

(16) Un jugador de golf, ubicado junto a uno de los orificios del campo, golpea la pelota con intención de lograr un hoyo de 90 m. (Recuerden que un hoyo es la distancia entre dos orificios consecutivos del campo). La trayectoria de la pelota responde a la función: h = 0,2d (1- 0,01d), donde hes la altura alcanzada y des la distancia horizontal recorrida. 5!) ¿Podrá la pelota pasar sobre una loma de 3 m de altura que se encuentra en la mitad del hoyo?

Justifiquen la respuesta. ~ En caso de hacerlo, ¿cumplirá con el objetivo del golfista? Justifiquen la respuesta.

(ti) La energía cinética de un móvil se mide en joules (un joule es la energía con que se desplaza un cuerpo de un kilogramo a una velocidad de un metro por segundo) y se calcula mediante la fórmula: Be= ~ m v 2 (donde m es la masa en kilogramos del cuerpo y v la velocidad con que se desplaza en m/ seg). ¿Con qué velocidad se desplaza una bala de 10 g de masa que en el momento de ser disparada tiene una energía cinética de 162 joules?

(iS) En un péndulo,

la relación entre su longitud L (en metros) y su período, que es el tiempo T (en segundos) que tarda en completar una oscilación, se puede aproximar mediante la siguiente fórmula

1~

=

(2~

r.

¿Cuál es el período de un péndulo de 40 cm de longitud?

(¡9) Calculen el área de un rectángulo de 12 cm de base y 13 cm de diagonal.

(iQ} Calculen el perímetro de un rombo si sus diagonales miden, respectivamente, 16 cm y 12 cm.

Resolución de ecuaciones cuadráticas completas Para leer y recordar Las soluciones x 1 y x 2 de cualquier ecuadón cuadrática, una vez reducida a la forma ax2 + bx + e = O

(con a

rr!

0), se pueden obtener mediante la siguiente fórmula, conocida como fórmula resolvente: -b :!:

Vb

2

-

4•a•e

2. a

Observen un ejemplo de cómo se aplica. 2

3x + 2x- S= O

-2:

v

22

4. 3 . 2. 3 -

(-s>

-

a= 3·, b = 2·, e= -S

-2 :v4 + 6o 6

-2!~ -

-2 + 8 xl = 6

6

.................................................. ~ -O, 5x

2

-

3x

= 4, 5

••••••••••• ••• •• •••••••••••••••••••••••••••••••••••

................................................... ~ x(x + 2)

= -1

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

{22) Observen la figura. Sabiendo que la imagen ocupa

8

6

¿ ¡

6 - 1 - 6

(21) Resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas. ~ 2i - 12x + 1O = O ~ i + 4x + 1 = 7 - i ..

- -2! x2

-2- 8 = 6

~ 8x + 26 =

- -10 - -S 6 3

i- 7

................................................... .

.!) x

2

-

4x

= 5

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••

55 cm

un área de 1350 cm2, calculen el ancho x del marco .

................................................................. ...................................

40 cm

••• ••• •••••••• •••••••• •••••••• •••• •• •••• ••••• ••••••••••••••••• ••••• ••••••••••••• • ••• •••••••••••••• •

............ ............ .............. .............................................................. •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

[23) Sobre la esquina de un terreno rectangular que tiene 50 m más de fondo que de frente, se construye una casa de 15m por 30m. Si queda libre una superficie de 4550 m 2 , calculen la medida del frente del terreno. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

•

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ' ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• o ••••••••••••••• o ...................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

•• •• ••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •••• •• •••••• ••• •• ••••• •••• •••• ••• ••••• •• •••••••• •••••••••••• •••• • •••••••• • • ••••• ••

(24) Hallen el valor de x en cada una de las siguientes figuras utilizando la información dada. (Las longitudes están expresadas en centímetros y las áreas en centímetros cuadrados; P : perímetro; A: área). x-2

)(

)(

1

1

.....

U'l

X

X+2

A= 60 2x- 5

X

3x+ 1

A= 150

2x- 5 3x

4x

p

=

20

x+2 A= 90

25 Un agricultor tiene un resto de 100 t de granos que puede vender a $190 la tonelada. Sabe que por cada $10 que aumente el precio, vende 5 t menos. ~ Si por la venta de granos cobró $18 700, ¿cuántas toneladas le quedaron?

~ ¿A qué precio vendió la tonelada? .!!} ¿Cuánto hubiera recibido por la venta de 90 t?

Construcción de la gráfica de una función cuadrática r'

Para observar

L

Para graficar la función f(x)= x 2 + 2x- 8, podemos proceder así: • Hallamo·s sus raíces aplicando la fórmula. xt; x2 =

v - - -----..!...-...!.. 22

-2 ±

1"'

4 . 1 . c-8) 2. 1

-

• Encontramos la ecuación del eje de simetría, que pasa por la abscisa del vértice, promediando las raíces (ya que estas equidistan del eje).

\ ~

x = -1

xv = -1

71

¡

ecuación del eje

~

abs_cisa del vértice

V

• Calculamos la ordenada del vértice.

1

'

2

'

Yv = f(xvJ = (-1) + 2 . (-1) - 8 = -9 =>

v = (-1; -9) -coordenadas del vértice

• Calculamos la ordenada al origen que es la imagen del O. (Recuerden que es la ordenada del punto de intersección de la curva con el eje de ordenadas).

/(0)

= 02 +

2.

o-

8

= -8

• Marcamos los puntos que obtuvimos y trazamos la gráfica aproximada.

(26) Consideren la fórmula resolvente de la ecuación cuadrática. !!) Demuestren que la ordenada del vértice también puede obtenerse

aplicando la fórmula xv = -

!2 .

~ Utilicen la fórmula hallada en ~ para calcular las coordenadas

del vértice de las siguientes funciones. l. f(x) = -i + 3x -10 11. g(x) = 2x2 + 1 111. h(x) = - --} i - x- 3

(27) Grafiquen las siguientes funciones cuadráticas. Indiquen de cada una: la ecuación de su eje de simetría, las coordenadas del vértice, las raíces reales (si las tiene) y la ordenada al origen.

2x + 1

2 ~ y=x

-x-6

1. x 2 + J. x - .1

~y=x

-

!!) y = x

~y

=

2

2

-

4

2

2

2x + 9

2

!) y= -x + 7x

9J y= 2x2- 8

f.J y= i- 9x

!!) y=

1i+6

El discriminante ,

Para observar

'

Se llama discriminante a la expresión b2

4ac, y se lo simboliza con la letra mayúscula griega 11 (delta). 11 = b2 - 4ac En la fórmula de una función cuadrática, pueden presentarse tres situaciones: -

La función tiene dos rafees reo-

La función tiene una sola rafz

La función no tiene rafees reales,

les distintas, y su gráfica corta el eje x en dos puntos.

real, y su gráfica tiene un solo punto de contacto con el eje x.

y su gráfica no tiene contacto

l

y

J ~y

;t

A

4

/ '\

- ¡O

con el eje x.

r\

l.

1

•• ... "

-~

X

-V- 1~

...,

"Y

~ .,

J

J

1

"

~ / 4

1 1

•

-. ~

1

L

\

X

~

1

••-'

;.

'

+y

•

- 2 - ~o

X

• 1

111>0 1

'

'

' l f1=o l

1 f1
{28) Observen el gráfico e

indiquen cuáles son las curvas que corresponden a las funciones cuadráticas cuyo discriminante es: ~ nulo.

~ negativo.

•

X

j

~ positivo.

~ Sin calcular sus raíces, indiquen la cantidad de soluciones reales (dos, una o ninguna) de cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas. ~ x 2 + 2x- 1 =O

~

si - 3x + 1 = o

~ 5x + 3 =O 2

~ 9x - 12x2 + 12

=

O

~ / - 5x + 2 =O .fJ 4 - 4x + i = O 9) 1 - 9i : : o

iJ i -

!!.J

!J o, s + o, si = o

2

4 + 4x = O

2x + 1

=

O

l.J3-i +x=O ~ 25x2 + 2x + 0,04 =O

30 Hallen los posibles valores de k para que las ecuaciones propuestas cumplan la condición pedida en cada caso.

2

x

+ kx =O

2

3x

-

x +k

=_ o -~~

_j

2

x + kx + 4 = O 2

_j 3x

-

6x + k

=_o__.. _..:J

x 2 + kx + 6 =O

O, 5x

2

-

x- k

=O

Forma factorizada y canónica de la función cuadrática ••

Para leer y recordar

Una función cuadrática con raíces x 1 y x 2 , ya sean reales, iguales o distintas, o complejas conjugadas, tiene una fórmula que puede expresarse en forma factorizada, asi:

Si conocemos Las coordenadas del vértice de una función cuadrática, su fórmula puede expresarse en

forma canónica asi: f(x) = a (x - xv/ + Yv

Xv: abscisa del vértice Yv: ordenada del vértice .

(31) Completen la tabla con las fórmulas de ca-

' ) •) )

V .- 1"

da una de las funciones que se representan en el siguiente gráfico.

l ) )

~

'l

1

'

t\

r

~

..

.

)

• l • )

1

1

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'

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l

' '•.

1

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V

o.

1\

1 1

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-

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l

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l

•

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1 1

•

~

.f2

-

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l. f>:1

lA

1\

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\ m

'

...

1 1

10

1

1

-.,

1

1 1

1 1

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·\

•• l ¡

j

\

.,

1

.,

1

1\. ./.

•

~

1

1

\

1 k

e:.

-

_ Forma factorizada f(x)

1

-

g(x) h(x)

k(x) l(x)

m(x)

~

X

'

,

1

1_.,

/'

~

"'\

l E:

1•

l

1

\

1

'

.

forma :.arnÓlli_sa

.

'

.!) •

•

Relaciones entre las raíces y los coeficientes ~--_,/ 1

L_J

Para leer y recordar

t

Las raices x 1 y x 2 de una función cuadrática se relacionan con los coeficientes a, b y e de su fórmula po-

linómica mediante las siguientes expresiones.

(3í) Hagan los cálculos necesarios y completen el cuadro. 1'

>:

E~resión ~ti nómica .

..

: _ _ _..... _

. . . .,·:--::.

1

.· .

~presi6ft

1

.

..

..

1•

factorizada -· .

:

:

a

..

>; b

..

11.

e

.

Xt

.

....

:-1

x2

i

'

..

'

1

2

-3 l

-2 2(x- 2) (x

+

3

-4

-1

-1

1) .

'

5

-

..

4

4

-4

1 2

-4

'

-3

-

1

33

Hallen la expresión polinómica de la función de segundo grado que cumple con las condiciones indicadas en cada caso. !!.) La suma de las raíces es 5; el producto de ambas es 6 y tiene ordenada al origen 3.

~ La ordenada al origen es -1; la suma de las raíces es 4 y el producto es 2. ~ El coeficiente principal es 1; la suma de las raíces es 3 y el producto es O.

34

Hallen la expresión de la función de segundo grado que cumple con las condiciones pedidas en cada caso y grafíquenla.

5!J Su gráfico pasa por el punto (1; - 1); su eje tiene ecuación x = -2 y la ordenada del vértice es 3. ~ El vértice es el punto (1 ; 2) y su ordenada al origen es 3. ~ Una raíz es 4 y la otra es O; el vértice es (2; -4).

35

Demuestren las fórmulas que relacionan los coeficientes con las raíces de la función cuadrática.

(36) El área de un rectángulo es 8 cm2 , y su perímetro,

12 cm. Escriban la fórmula de una función cuadrática cuyas raíces sean las medidas de los lados del rectángulo.

Problemas con máximos y mínimos /

,.

/

,

~---;r-'

Para leer y recordar

Muchas veces se presenta, en la resolución de un problema, la necesidad de encontrar un valor máximo o mfnimo que sea solución de la situación planteada. En muchos de los casos en que una función cuadrática es la interpretación matemática de la situación real, estas soluciones se encuentran identificando el vértice de la parábola.

(37J En el circo Mundo Rodante actúa el malabarista Evaristo. La fórmula que permite calcular la altura en función del tiempo que alcanzan los objetos que lanza Evaristo en su número es: D(t) = 4,5t - 2,25t2 +0,75 (donde D es la altura medida desde el piso, en metros, y t es el tiempo, en segundos, tomado a partir del instante en el que el objeto es lanzado). ~

Confeccionen el gráfico de la función.

~ Busquen las coordenadas del vértice. ~ ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por

los bolos que lanza Evaristo? ~ ¿Desde qué altura son lanzados?

(38) En una guardería infantil, se desea construir un corralito para que los bebés permanezcan en su interior jugando. El perímetro del corralito rectangular debe ser de 20 m exactos, y se desea que su superficie sea la máxima posible. ¿Cuáles deben ser las medidas del corralito?

(3~ La empresa La Santiagueña S. A. es una.importante productora de cestos de mimbre del mercado nacional. El costo promedio (en pesos) por unidad al producir una cantidad x de cestos es C(x) = 20 - 0,06x + 0,0002x 2 • ~

¿Qué número de cestos producidos minimizaría el costo promedio?

~ ¿Cuál sería el costo promedio si se produjera dicha c antidad?

{ig) ¿Cuál es la ganancia máxima G (en pesos) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto si su función de ganancia está dada por: G(x) = 60x- x 2? •• •••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• •••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••• • ••• • •••••• • •••• • •••• • • • ••••••••••• • ••••••••••••

(il) ¿Cuáles son las medidas de un terreno rectangular de área máxima que puede cercarse con sólo 500 m de alambre? •••••• • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••• ••• •••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••• •• •••••••••••••••••••••••• • ••••••••••• • ••••••

Crecimiento y decrecimiento ~ Confeccionen la gráfica para cada una de las siguientes funciones cuadráticas y luego completen la tabla.

.

1

~ f(x) =

i -

!!.J h(x) = -2x2 ~

m(x)

1

3x -3

(4 -x)(x-1)

=

1

~ p(x) = (2 - x)(3 + x) ~ g ( x) =

f.J

l(x)

i

+

l

1

2x - 8

••

6x + 9

2

= -4x - 4

.

1

1

!

/ f unaon ...

•'l

--:-

Intervalo de credmiento Intervalo de decrecimiento Má>{imo Minimo --·~ f(x) 4 y -2 (1; +oo) ( -oo; 1) No tiene -9 C-eros

-·

"

~·

n

-

.,

j T 1] 1

1

l.t ¡

•

,:

·, L;

i 1

~

1•

~

43 Analicen los gráficos que hicieron en la actividad anterior y completen las frases. ~ Una función cuadrática con coeficiente principal positivo es decreciente para valores del do-

minio menores que la abscisa del vértice y es ............... .......... ..... para los mayores.

!!J Si una función cuadrática es creciente para los valores de x que están a la izquierda de su eje, entonces su coeficiente principal es .............................. . ~ Toda función cuadrática que decrece para los valores de x que están a la derecha de su eje de

simetría es ......... ..................... para los valores de x que están a la izquierda de su eje.

Intervalos de positividad e intervalos de negatividad Para observar y

20 y

15 10

1

1

1

-4-

5

4

o

e+ = (-oo; -2) u (2; +oo) e = (-2; 2)

2

2

10

-20

-3 -2 -1

o

-2 -4

-30 -40

4 X

y

- 1

1

2 X

1-

-4-

:!-

t= -H

4

-2

X

-4

e+=.

(+

= (-1; 4)

e

= (- :tJ; -1)

u (4; +x)

C - IR

[j.4) En cada una de las siguientes funciones cuadráticas, hallen las raíces reales, si es que las tienen, hagan un gráfico aproximado (para esto tengan en cuenta el signo del coeficiente principal) y escriban el conjunto de positividad y el de negatividad. ~ f(x) =

i -

~ h(x) =

5x + 6

'

l..i 4

-

t

IY ~ J

:Y•

+ 2

y ~

.,

" ~

.o

•

&.

2

~

l

k

.

,

1 1 '

~

.,

<

l

•1

- - - -·

•

o

l

·.O

X

1

.,

~

'

o

'-

o

~

""l

1

h_t

1

1

l

'

?

~

o

• ~

X 1 = ............................. .

x1 = ............................. .

X1 = .....•......... . ..............

X 2 = ..•.... . ...•... .. .....•.•.•...

X2 =

...... ....................... .

X2 = •..•.••.•..•..•....••.........

•••••••••••••••••••••••••••••

• ••••••••••••••••••• • •• • •••••

• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •

C=

••••••••••••••• • ••••••• • •••••

C=

••••••••••••••••••••••••• • •••

C=

• ••••••• • •••••••• • •••• •• •••• •

(45) Hallen los conjuntos de positividad y de negatividad de cada una de las siguientes funciones. 2

~ f(x)= x + 4x

~ g(x)= 2x -

i -

1

~ h (x)=

i

~ k(x) =

+ 5x + 6 •

i - 3x -

6

Sistemas mixtos de dos ecuaciones /

Para observar

,

~----~--------------------------------------------. ' y' Vamos a resolver el siguiente sistema mixto de dos ecua~'

~,

ciones, una cuadrática y una lineal, con dos incógnitas:

-

e:..'

,. y= x 2

-

j

~

1

f.

4x + 4

<

y=2x-4

1

[1

'l

.,

V

\

\ 'l

Es útil tener presente que gráficamente el sistema está representado por una parábola y una recta, y "resolver-

-

- ¡O

1 ~¡ . ... 1

4

! )(

V

lo" significa encontrar las coordenadas del o de los puntos de intersección entre ambas gráficas, cuando estos

J~

existan. ,

Algebraicamente, podemos proceder asi: • Igualamos las ecuaciones. •

---~) x 2

-

4x + 4 = 2x - 4

x2

-

6x + 8 =O

Resolvemos la ecuación cuadrática resultante (aplicamos la fórmula resolvente).

•

)

Calculamos el valor de y que corresponde a cada uno de los valores de x (reemplazamos los valores de x que obtuvimos en cualquiera de las ecuaciones).

)

Yt = 4

•

Las soluciones del sistema de ecuaciones son:

)

(4; 4) y (2; O)

•

Comprobamos ambas ecuaciones y verificamos la ubi-

4 = 4

cación de los puntos en el gráfico.

)

2

-

Y2 =O 4. 4 + 4

4=2.4-4

o=

22

-

4 • 2 + 4

0=2.2-4

{4.6) Resuelvan los siguientes sistemas y represéntenlos gráficamente. ~

y=

3i

+

y =

X -

1

6x +

3

~

-i

+

=X +

2

y= y

x

~

y= y

i

+

= 5X -

3x4

4

~

y= si+ 15x y=x

47 Resuelvan el sistema de ecuaciones determinado por la parábola de vértice

V- (

f; f) que

tiene una de sus raíces en el origen de coordenadas, y la recta que contiene a los puntos A= (3; O) y B = (0; 3) . • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • • • ••••• ••• •••••••• • •••••• • •••••••• ••• •• ••• •••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • • • •••• •••• ••

........................................ ........................... ........................................................................................................ • • • •

• • • t ... .... .. .. .

. ..... . ....... . ....................................................... ..................... .... .. ..... ....... .. ...... . ............................... .

Sistemas de dos ecuaciones cuadráticas (48)El siguiente gráfico muestra dos parábolas a las que se les ha borrado parte de la curva. ' Y~

o

!!, L 1

.......

-~[

"JI

,,

... "'U

' 1\.

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o

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.o -a

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1~o

115 20 2!5

~

X

"~ .11 1: ; -

--....~

\

~ Escriban la ecuaCión de la función cuadrática asociada a cada una.

~ Busquen analíticamente los puntos de contacto entre arribas y completen el gráfico borrado. {i2JHallen analíticamente y verifiquen en forma gráfica las soluciones de estos sistemas de ecuaciones.

y=

2(x-

5)

2

-

32 •

y=

2(x + 1)(x + 9)

y= x 2 - 6x + 9 2

y = 3x - 24x - 48

2

y= (x- 2) + 1 2

y = (x - 10) + 1

y = (x-4) 2 (x - 4) 2

y=- x-4

{§Ql construyan en cada caso un sistema de dos ecuaciones cuadráticas que cumplan las siguientes condiciones. ~

Se intersequen en los puntos (1; O) y (2; 2) .

.!!J

No se intersequen.

E) Se intersequen solamente en el vértice, que debe ser común y coincidir con el origen de coor-

denadas.

~ Se intersequen solamente en un punto que no sea el vértice.

Recta tangente a una parábola Para observar La recta de ecuación y= 4x- 10 es tangente a la parábola de ecuación y= tx2 - 2, porque al resolver y= 4x- 10

analiticamente el sistema mixto

1 2- 2 --x Y- 2

se obtiene una sola solución: S = {(4; 6)}

La interpretación geométrica es que las gráficas de ambas funciones tienen contacto en un solo punto. .., ...

y

1

., n 1b

IJ

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1

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1 l.

1

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1

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S ~

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){

(

1 r'l 1 ')1

'L

-

'c.

-

o '

Si al resolver el sistema mixto hallamos dos soluciones, la recta es secante. Si no encontramos solución, la recta es exterior.

•Y

[51) Observen el gráfico y determinen un sistema mixto que cumpla con la condición pedida en cada caso. !!) La recta sea tangente a la parábola.

~ La recta sea secante a la parábola. ~

La recta sea exterior a la parábola.

1

b ú:

'·

1., ~

~

V ~

I ~-

(52Jrndiquen cuáles de las siguientes rectas son tangentes a la parábola de ecuación y=

ii -

2x + 4.

~ y=-2x+5

~ y=-

~ y=2x-11

~ X= 12

3x + 3

!) y=-2x+4

.f.J y=1

n

1¡., 1

53 Un grupo de amigos planea salir de vacaciones. Pagarán, por partes iguales, $600 cada uno por el alquiler de una combi. Si Gustavo y Mariano se sumaran al grupo, cada uno debería pagar $80 menos que antes. ¿Cuántos amigos planean viajar?

............................................................................................................................................................................

~ Luis tiene un juego de simulación de vuelos en su computadora, que muestra en pantalla la fórmula de la trayectoria de distintas naves. Un helicóptero se desplaza con una trayectoria dada por f(x) = -2r + 2px- 40000, y la fórmula que describe la trayectoria de un avión es g(x) = 20 000 - 400x. ¿Qué valores puede tomar ppara que el avión y el helicóptero no colisionen?

(55] En la diagramación de un diario escolar, se eligió utilizar 700 cm2 de papel para cada página. Se necesita que el largo sea 15 cm mayor que el ancho. ¿Cuáles son las medidas de la página que cumplen estas condiciones?

...........................................................................................................................................................................

[56] Hallen las dimensiones de un rectángulo de 40 cm

2

de área sabiendo que su altura es 3 cm me-

nor que la base. ••••••••••••• • ••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••• • ••••••

-

57

Considerando que las siguientes ecuaciones pueden formar un sistema, calculen qué valor o qué rango de valores podría tomar el número k para que el sistema tenga: ~

una única solución. .

~ dos soluciones distintas. ~

ninguna solución.

l.

y= x2

+ 10

y= kl

11.

+ 2x

y= 4x2

-

kx + 3

y = -1- 3x +k

[58] Resuelvan gráfica y analíticamente los siguientes sistemas de ecuaciones. y= x 2 + 3x y=

-i

+X+

4

y= 0,5i- 4x

y= 2- 0,5i

y= -2i + 2x + 8,5

y=

3i +X+ 4

Inecuaciones cuadráticas Para observar Para resolver una inecuadón cuadrática como x + 2 < x 2

-

4,

'

das: f(x) = x + 2 y g(x) = x

-

,_

\

es útil construir el gráfico de las dos funciones involucra2

!Y

4. Asf, el conjunto solu-

ción de la inecuación será el intervalo de valores para los

:-

coordenadas de los puntos de intersección entre ambas

g x) 1 J

tn

'\

cuales observamos que la gráfica de f(x) está u por debajo" de la gráfica de g(x). Si hallamos analíticamente las

~~

1

~

'

1 v_

n..... !\

- ~- ~

1::

' ~~

Lo

/(x

21, ~ ~

/

~

'

'

gráficas, podremos luego fácilmente escribir el conjunto solución de la inecuación planteada.

S= (-oo; -2) U (3; +oo)

~ Resuelvan las siguientes inecuaciones cuadráticas. ~

i -

~ 2x - 4

2 O > - 3x + 20

.!J - 3i - 3x + 4

~ 3i - 5 ~ 20 - 6i

!J 6x2 + 3x < 6 -

~ 2x2

SJ -2i -

2x + 7 ~ -8 - X

!!J 3x2 -

+ 4>-

~

i

-

6x + 4 < 4 - x

+ 5 ~ lx- 5

X

2x

i

+

X -

8

6

La inmobiliaria Pérez yPérez tiene una ganancia G (en miles de pesos) que puede calcularse en función del tiempo t (en meses) mediante la fórmula: G(t) =28t- 48- 2t2 (para tE [2; 12]). La competencia está representada por la inmobiliaria Arquímedes, cuya función de ganancia es: A(t) = 40- 2t para (tE [0, 20]). ~

Representen ambas funciones en el mismo gráfico.

~ Analicen la situación y contesten a las siguientes preguntas. l. ¿En qué mes logra Pérez y Pérez su máxima ganancia? ¿Cuál es dicha ganancia? 11. ¿En qué meses la ganancia de Arquímedes es inferior a la de su competidor? 111. ¿En qué período de tiempo Pérez y Pérez incrementa su ganancia? ¿Qué sucede en esa época con Arquímedes? :rv. ¿Cuándo tienen la misma ganancia?

. ·, :¡·: ~

.

Libre competencia de mercado Para analizar algunas situaciones relacionadas con la compra y la venta de ciertos bienes, algunos ecol).omistas utilizan un modelo llamado de libre competencia en el que se supone que ninguno de los compradores o vendedores influye particularmente en la regulación del mercado. Desde este enfoque, se definen las funciones de oferta y las funciones de demanda. Dichas funciones describen cómo varía la cantidad de unidades ofrecidas o demandadas, respectivamente, de un cierto bien, en relación con el precio. (6l)Tomemos el caso de la distribuidora de cosméticos Tua Pelle. Consideremos, como ejemplo, una mercancía cuya función de oferta está dada por: O(p) = 0,5 p2- lO, siendo O la cantidad de productos ofrecidos en miles de unidades y p su precio en pesos, por unidad. Durante el verano, la función de demanda que describe el comportamiento del mercado responde a la fórmula: D(p) =lOO - 0,3 p\ siendo D la cantidad de productos demandados en miles de unidades y p su precio en pesos, por unidad. ~

Representen en el gráfico las funciones O y D para valores positivos de todas las variables.

~ El precio de equilibrio, en un mercado de libre competencia, es el correspondiente al punto donde ambas curvas se cruzan. Averigüen las coordenadas de dicho punto y respondan a las siguientes preguntas. l. ¿Cuál es el precio de equilibrio para este bien? •••••••••••• • •••••••••••• ••••• ••••••••••• •• •••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••• •• •••••• •

11. ¿Cuál es la cantidad que se ofrece a dicho precio? • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

111. ¿Para qué precios la oferta supera la demanda?

e.m t "da dCJ e ...... ~

~

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1

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................................................................................................

rv. ¿Para qué precios la demanda supera la oferta?

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........................................................ .. ... ... .. ......... .. .. .. ... ......... .... ..........

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1 h 1 1? 1 ¿_ 1 Fi 1

~

~

p

El cine y las persecuciones En muchas películas de acción, hemos visto infinidad de <~persecuciones" entre vehículos. La mayoría de ellas termina cuando "los malos perseguidos" son atrapados por ((los buenos". Los físicos llaman problemas de encuentro al planteo de diversos interrogantes relacionados con este tipo de situaciones. La resolución de estos problemas, en muchos casos, se reduce al planteo de un sistema en el cual las ecuaciones involucradas son las que describen la posición de cada uno de los móviles en función del tiempo, llamadas ecuaciones horarias. La solución indica el punto de encuentro de los vehículos.

{62) En una escena de una película,

una patrulla de caminos está al costado de la ruta bajo la sombra de un árbol mientras controla el tránsito. En determinado momento, aparece un auto deportivo viajando a gran velocidad por la ruta. Los agentes salen a perseguirlos en el instante en que el auto pasa junto a ellos. Supongan que la ecuación de movimiento del auto deportivo es x(t) = 6t (x en kilómetros y ten minutos) y que el patrullero se desplaza según la ecuación x (t) = 5 t 2 + t (x en kilómetros y ten minutos). ~

Planteen y resuelvan el sistema de ecuaciones correspondiente .

............................................................................................................................................... ....................... ~ Contesten a las siguientes preguntas. l. ¿Cuánto tiempo dura la persecución?

.......................................................................................................................................................................... 11. ¿Cuántos kilómetros viaja la patrulla hasta alcanzar el auto deportivo?

............... ' ..................................................................................................................................................... . 111. ¿Tienen sentido los dos puntos de contacto entre ambas gráficas, en este problema? ¿Por qué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

.. 1 ......... .. ... .. .. .

...................... .

....... .

.............................. .

63 Hallen

la fórmula de la única función

cuadrática que cumple con las condiciones pedidas en cada caso. ~

Sus raíces son 2 y - 4, y su ordenada al

origen es 4.

~ f (- 5) =/(3)

= O, y su conjunto imagen es

(68)En una finca,

la producción de arroz se

calcula mediante la fórmula: P(x) = x(200 - x), que permite obtener la producción Pen toneladas, en funció n de la densidad x expresada en cantidad de plantas sembradas por metro cuadrado.

[-8; + oo) .

~ ¿Cuál es la densidad de plantas que pro-

~ Es simétrica respecto de la recta x = 4, su

picia la máxima producción?

máximo es /(4) = 5, y se anula en el origen de coordenadas.

64 Encuentren el o los valores que puede tomar k para que se cumpla la condición enunciada en cada caso. ~ f (x) = x 2 + kx + 9 tiene una sola raíz real.

~ f(x) = 4kx 2 + (2k + 6)x + 3 tiene uno de sus ceros en x = -2. ~ f(x)= kx 2 - 6x + 9 no tiene raíces reales.

(S_ Hallen los valores de m y n para que la ecuación mx 2 + n = O tenga: ~

dos raíces reales distintas.

~ ninguna raíz real. ~ una raíz real doble.

6

Hallen los valores de r y t, en caso de ser

~ Considerando que para no alterar la calidad del alimento no se deben sembrar más de 80 plantas de arroz por metro cuadrado, ¿cuál es la producción máxima posible si se respeta esta restricción? ¿Es posible obtener este dato calculando las coordenadas del vértice?

~ Consideren la función de la forma f(x) = (x- h) 2 • ~ Representen gráficamente las cinco fun-

ciones que se obtienen asignando a h los valores: O, 1, 2, - 2 y - 3.

~ Observen atentamente los gráficos y respondan a las siguientes preguntas. l. ¿Cuál es el desplazamiento que produce, en la parábola, un valor positivo de h? II. ¿Cuál es el desplazamiento que produce, en la parábola, un valor negativo de h?

posible, para que la ecuación rx 2 + tx = Otenga: ~

dos raíces reales distintas.

~ ninguna raíz real.

.sl

una s ola raíz real.

@

Resuelvan gráfica y analíticamente los

siguientes sistemas. -2x +y + 4

=

x(x - 5)

x +y= 3x- 4

é ~ Representen gráficamente las siguientes y + 2x

funciones.. ~

y = - 3 (x - 2)z + 12

~y

= 5A - 2 4x

,S) y

= -[ : -

2

- 5

:zx

=

x( 6 - x)

y+ x = -2x + 4 -x2

-

2(x + 1) + 3 = y - 2x - 2

3y- 6 = 3(x - 1)

(71) Juan dice que empezó a resolver un sistema mixto de ecuaciones y perdió los datos originales, aunque llegó a esta etapa: (y+ 4) 2 + 13(y + 4)- 38 =y- 19

@ Hallen las raíces complejas de las funciones cuadráticas graficadas.

,,.....

1

~ Encuentren el sistema mixto perdido y

-5_ - . - .

resuélvanlo analíticamente.

::.L 1

~

y

IX 11

~ ~ c.

•

.L

"l

!!) ¿Puede haber más de una solución?

t

"

-y

1:.

(72) El

J:

producto de dos números enteros consecutivos es 156. ¿Cuáles pueden ser esos números?

.

..... .'7

.O

f-

flaJ Despreciando la resistencia del aire, la

'

altura h (en metros) de un cuerpo en tiro vertical, para un instante t (en segundos) puede calcularse con la expresión, h(t) = h 0 + V0 t- 4,9t, donde V0 es la velocidad inicial (en m/ seg) y h0 es la altura inicial desde la cual comienza el movimiento (en metros).

¡ ,.~y

¡

1"' 1...

¡u

¡.., 1'

"""

...

-

.-'

~ Una pelota de fútbol es pateada desde el

suelo hacia arriba con una velocidad inicial de 19,6 m/s. l. Encuentren el instante en que alcanza la altura máxima. 11. Calculen la altura máxima. 111. Encuentren el momento en que toca el piso nuevamente. Iv. Encuentren los instantes en que alcanza una altura de 14,7 m.

!!) La pelota de fútbol es pateada desde la

!., 1"' \

1

1

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1..-

1

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f;

1

t

1

l

..."

azotea de un edificio de lOO m de altura con la velocidad inicial anterior. l. Encuentren el instante en que alcanza la altura máxima. 11, Calculen la altura máxima. 111. Encuentren el momento en que toca el piso nuevamente. Iv. Encuentren el instante en que se encuentra a 75,5 m del suelo.

..:.. -

9

l

i

1

7

L

1

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1 'T

1-.

1

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¡., [ .l.

-r -p -r - ~ -r -, -r ·~ Ir:

X

.

1

31 1

5 1

f

t.,+.M

i

1

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1

3x

•

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3x

¡

.....

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1 A

1

k

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1) /

V

V

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1

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\

l..x Lx 2

-

3

X

~

6x

L: '7

Jo

_b r

!

(75J Sombreen la región del plano que cumpla las siguientes condiciones:

:=.J y ::: x2 .=.J y

> x- x2

~

> X

1 .)

2

X

X

X

1

-

+2x+ 1

X

X

fl: Escriban, en función de x, la expresión canónica que permite encontrar el área sombreada de cada figura.

10x

1

1

1

-x

1

4

4x

10x

X 1

., -

.

X

'

.

3x h

1.

Xb

3x bn!

f

x+5

x+2

x+2

Marquen la opciór'! correcta.

1

Si una función cuadrática no tiene ceros y

su coeficiente principal es negativo, entonces:

0

5 • Los números que verifican la ecuación cua2

drática X + 3x + 2 = O son:

.:J 0

su conj unto imagen contiene sólo valores positivos.

1 y 2.

~J

E) 1 y -2 .

-1 y -2.

y 2.

.1) -1

2.) el vértice puede estar en el primer o

6

en el segundo cuadrante.

.sJ 5!J

-

la ord€nada al origen es negativa.

Si el vértice de una parábola es el punto

(-2; 3) y su coef¡ciente prindpal es negativo, entonces su conjunto imagen es:

su eje de simetría debe coincidir con el eje de ordenadas.

0 [3; +oo)

0 [ -2; +oo)

3]

S:!) [-oo; - 2)

~

2

la ecuación

a>t + bx = O (con a -:1 O y b -:1 O)

7

tiene soluciones reales:

~

:d

só~o si

la fórmula de la función/representada en

la figura es:

~ siempre.

.U

(-oo;

'f.) f(x) = x 2 + 2

a es positivo.

sólo si bes positivo.

0

sólo si a y b son opuestos.

~ f(x) =x2 + 2x

f(x) = -x2 + 2

.s) f(x) =

3

La gráfica def(x) = ax(x+b) (cono #O y b :1:0):

~J

~ corta el semieje positivo de las ordenadas.

..!) tiene un mínimo en x

=-fa para cual-

-x! + 2x

- .1

quier vafor. de a y b.

'

.:2) corta el eje x en 2 puntos.

fJ

4

no corta el eje x.

! .

Se arroja una pelota desde un puente.

la altura

y (en metros) alcanzada por la peioca

a la fórmula y= -4,9x2 + 14,7x + 19J6 entonces~

.:J 0

l

el puente Uene una altura de 14,7 m. ra máximJ1 alturq que alcanza la pelota es aproximadamente 30,63 m.

S) a los 2 segundos de haber sjdo Janza-

-Y. . t

!

en función del tiempo x (en segundos) responde

8

-3

-!2 - ~ 0 !

¡

r1f

'

~

J i

•

t

f

t

~- 1

'

;;.;; ',;,/ (

¡..Y+ ' ·c.

:::v:

1

"1

J

l. '

rS,i

i

¡

f di 1

~

f

)

.¡

t.

'

1

~

la pelota tarda 19 ,6 segundos €n tocar 1

l

r 1

JI /''-

..(

-~ ... 3 -2~~~F CAPÍTU LO 2

Xt

4

!

J

1

®

I

¡

~

•

f(x) = >!! + 2x+ 1 es:

' 1 el suelo.

--~

1

la curva que represent a a la función

~a, la pelota akanza la a1tura máxima.

d

,

_...

1

~

.

,_

~

1

~

~

'' '

xt ' '

CUADERNILLO 3

3· Funciones polinómicas. Factorización de polinomios

3 . ., . . . 7 Rev1s1on 1n1cla ..............................................,.......................4 Las funciones potenciales ···················~··························S Las funciones polinómicas ........................................... 6 Las funciones polinómicas y los polinomios ............7 Adición y sustracción de polinomios .......................... 8 Multiplicación de polinomios .......................................9 División entera de monomios .....................................10 División entera de polinomios .....................................11 La regla de Ruffini .................................-. ......................12 Valor de un polinomio para x = a. Raíces de

un polinomio ........................................... _.........................12 Teorema del resto .............................................................13 Factorización de polinomios ........................................14 Factor común .................................................................14 Polinomios de segundo grado ................................14 Otros casos ....................................................................... 15 Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros ......................................................16 Grado y raíceS" de un polinomio ..................................17 Las funciones polinómicas y sus gráficas ................18 Conjunto de positividad y negatividad ...............19 Reconstrucción de fórmulas polinómicas a partir de sus gráficas .................................................... 20 La factorización de polinomios como herramienta para resolver ecuaciones .................... 21 Los polinomios y las rakes no reales ........................ 22 El cambio de variable en la resolución de ecuac·iones .....................................,...-........................... 23 En el mundo real ........................................ 25 Los polinomios en la construcdón de un ascensor ...2 s Funciones polinómicas que permiten estimar costos .............................................-........................... 26 Más actividades .................................._. ..............................27 Autoevalua.ción .................................................................30 Actividades integradoras ...............................................31 ! .•.•••.•.•••••••••••••••

q,

•

.

.-1\\

·'-

~

.

Las funciones lineales y las cuadráticas forman parte de una familia más amplia: las funciones polinómiccts.

~

. .....'

., .. ~

t.rl

'

,

,'

Jlr

,.

;o. ~ ....,

1\t

Sus fórmulas, a las que llamamos polinomios, son de múltiples aplicaciones, ya que nos permiten expresar, por ejemplo, perímetros, áreas y volúmenes de figuras geométricas en función de sus dimensiones, aun coando estas sean variables. Come una forma de analizarlas, se utiliza una herramienta algebraica específica: la factorización de polinomios.

1 Resuelvan utilizando las propiedades de la potenciación. .!;)X

4

5

2

;!) [z3] 2 =

.y.x .y=

.fJ

x6 • ys . zs =

x . z3

2 Indiquen en cada caso si la expresión es una igualdad (I) o no (N) . .!lj X • (y + z) = X • y + X • Z

_QJ (x +y) . (x -y) = x2

_9

3

x+y X

-

y2

..!J (x + y)

=y

.

. (z +y) = (x +y) . z + (x +y) . y

Completen el siguiente texto usando los conceptos de exacta, múltiplo, divisory divisible. El resto de dividir 52 873 por 37 es ......... ..... . , es decir que dicha división es ............ . Por lo tanto, decimos que 52873 es ............... de 37, o que 37 es ........................ de 52873. Equivalentemente, podemos decir que 37 divide a ............... , o que 52 873 es ............... por 37.

4 Encuentren todos los divisores de los siguientes números.

l!!J2

.9-15

.sJ 30

lJ1

.!) -3

00 Hallen el divisor común mayor y el múltiplo común menor entm los siguientes números. EJ

.!) 360 y 162

}!) 50, 80 y 500

50 y 80

6

Observen la figura y respondan si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Para las que sean falsas, escriban la respuesta correcta. (S(A) significa área de la figura A) . .2) S(A) = 6/ - 3x 1

-.

2

_E) 5(8)

=X -X

.5:J S(C)

=

~

2(i - x)

5{A) + S(B)

=x .

8

X+l

e

x- 2

A

{7x ~2)

!:) S(A) + S(B) - S(C)

=.si.

... .

~-

3x

-,l

-~

X

Las funciones potenciales

CZJ Analicen las gráficas de las funciones que están representadas. ~

Completen los cuadros que siguen.

:"

'

" ' ...

1

1"'

...

~

,

....

...

1

\.

-2

-~ 1

...

¡¡v-o

lfl

...,_

1 'rJix •

__

J

~

1r(x) ¿¡¿

.....

=~

5

J

JI J

...

=-X

~

....

r¡

'

GJ

fli

;=X

1

~~ .)

-

......

J'

IntervalOs de credmi.ent-o

f(x)

m-(x)

g(x)

n(x)

h(x)

~ Expliquen el tipo de simetría que observan en cada grupo de curvas .

••• •••••••••• ••••••••••• ••••• • ••••• •••••• •••••••• •••• ••••• •••• •• ••••••••••••••••••••• • ••••• •••••• • •• •••• •• ••••••••••••••••••••••••••••••• •• • • •••••••••• • •••••••• • ••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••• ••••••••••••• • ••••••••••• • ••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••

r'

~--_,/ 1

Para leer y recordar

• Llamamos función potencial a toda función cuya expresión es de la forma:

f(x) = a • x" (a E IR, a

~O;

a se llama coeficiente de la función. n es el exponente e indica el grado de la función potencial. • El dominio de las funciones potenciales es IR.

y n EIN )

1

Las funciones polinómicas (ID

Realicen las siguientes actividades. ~ Grafiquen aproximadamente las siguientes funciones polinómicas ayudándose con las tablas de valores. 1 y~

f(x) = X'-

-

i'

1 •

6x + 5

...

x

- 4

g(x) = X'

2

- sx

+ 6x

y

1

1

X

y~

•

~

1

1 X

2 3

~ Completen el cuadro.

c. , ··~

"'

;

..

.

....

J(x.) ' -~ .

~

-"'· :e:<

L·: g{x}:~''

'iitx)··•·

·~

..P.·unto ·.. de contacto - con los e.es

·. :'. eje x .·.

•

eJe y

Las funciones polinómicas y los polinomios Para leer y recordar • Las funciones potenciales están asociadas a expresiones algebraicas de la forma a. x" (a E IR y n E IN), llamadas monomios; n indica el grado del monomio. Por ejemplo: el monomio 3x 5 es de grado 5. • Sumando funciones potenciales de distinto grado, se obtienen funciones polinómicas. • Las funciones polinómicas están asociadas a expresiones algebraicas de la forma

a0 x" + a0 _ 1x"- 1 + a0 _ 2x"- 2 + ••• +a 1x + aey llamadas polinomios. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En este capitulo, consideraremo-s polinomios y funciones polinómicas de una sola variable y nos referiremos indistintamente a unos u otras. Por ejemplo: 2x4

-

5x3 + 1 es un polinomio de grado 4.

x 3 + 4x es un binomio y 2x4 ...

-

--

Sx + 1 es un trinomio. 1

dos términos tres términos • Se llama polinomio nulo al que tiene todos sus coeficientes iguales a O. El polinomio nulo no tie-

ne grado.

(!) Indiquen cuáles de las siguientes expresiones no son polinomios y expliquen por qué. ~

~ D(x) =

A(x) = 3x + 1

~ 8 (x) ~ C(x)

(10J

3

2x

=

-

X+ X 4

!J E(x) =x

4x - 1

=vx

-

iJ G(x)

1

h ~

2x

•

!J F(x) = -º-x

.!J

2

=

x - 3x + 5

x3

H( x) = x I ( x)

=

5

}r;r 2

--y x

(x + 8) . (x - 1)

Completen la tabla como en el ejemplo. ..

/ Polinomio P(x) Grad-o Cbef!cienq priAdpal Término independiente Polinomio opuesto •P(x) . :..::. ,.;.f 3 2 .,...2xa + 4x2 + ' 2x -4x-2 5 3 5 l .

.

.

r-·

-~

'

'

sT

.

"

'

-

·~

.:;

C.

.

-:;111' ....

' • :ri'e

o e ecua;

5

' ""'"l"

3x + 2x + 1 .

•.--. 1t 1

oQ: -

.,..~·-

2

-x + 9 .

3

2x .

.

~·

¡

l

J

2

-

-

3x

..,

25

(11) Respondan a las preguntas. ~

¿Cuál es el coeficiente principal de un polinomio? ............................................................. ............ .

' . 1n . d epend'1ente d e un pol'1nom1o . '2..................................................................... . b ¿eu ál es el termino

~

~

Si tenemos un polinomio P(x) y queremos escribir su opuesto - P(x), ¿qué tenemos que cambiar? ·· ·· ··· · · ···· ··· ···· · ····························· · ·············· · ·················· · · ··········· ····· ···· ··· ··· ···· ··· ·····················~··················

Adición y sustracción de polinomios /

Para observar

,

,

1

~--~----------------------------------------~----

Para sumar polinomios, se suman los monomios que son del mismo grado. Por ejemplo: {-8x3 + Sx + 3} + {4x2 + x 3 + 3x} .

= (- 8x3 + x3 )

2

+ 4x + (Sx + 3x} + 3

= -7x3 + 4x2 +

En ocasiones, puede resultar conveniente disponerlos de alguna de las siguientes formas: - 8x3 + Ox2 + 5x -8x3 + 5x + 3

+

x3 + -7x3 +

+

2

4x

+

3x

4x2

+

8x +

3

+

3 3

x3

+

4x2

+

3x

- 7x3

+

4x

2

+

8x +

8x + 3

Para restar dos polinomios, al primero de ellos se le suma el opuesto del otro. Por ejemplo: {x2 + Sx- 1} - {2x3

[12]

3x2 }

= {x2 +

Sx - 1} + {- 2x3 + 3x2 )

= - 2x3 + 4x2 +Sx - 1

Resuelvan las siguientes sumas y restas de polinomios.

a J 2x + x b J 3x •

-

2

= ................................................................... 2

+ 5x = ... .. ..... ... ........ ... ...... .... .... ...... .. .... ...........

(13)

~ ( 2x

dJ (3x

Consideren los polinomios A(x) = 2x- x 3 + 1; B(x) y realicen las operaciones indicadas. ~

A(x) + B(x) ~ B(x) + D(x) ~ [A (x) - D(x)] + [B(x) - C(x)]

2

+ 3x

2

)

+ ( 4x + 1) = .................................................... ..

+ 2x) - (5x

= x3

-

2

2

-

x)

= .....................................................

1; C(x) = -2x + x 3

-

1 y D(x)

=

-x 3 + 6x 2 + 1,

!J A(x) + C(x) .!) A(x) - C(x)

.!J D(x)

+ C(x) - B(x)

14 Escriban: ~

dos polinomios de grado 3 cuya suma sea de grado 2. ~ dos polinomios de grado 4 cuya suma sea de grado l. ~ dos polinomios de grado 7 cuya suma sea de grado O. ~ dos polinomios de grado 2 cuya suma no tenga grado.

15 Se quiere romper una pared rectangular para colocar una ventana también rectangular. El largo de la pared es el doble del de la ventana, y las alturas de ambas son medio metro menores que su s respectivos largos. ~ Expresen el área de la pared que queda sin romper en función del largo de la ventana. ~ Hallen las medidas de la ventana y de la pared si el área de la pared que queda sin romper es 6m2 •

16

Se proyecta reasfaltar una pista de aterrizaje rectangular cuyo largo es l 00 veces su ancho. ~ Expresen: l. el perímetro de la pista en función de su ancho. 11. el perímetro de la pista en función de su largo. 111. el área de la pista en función de su ancho. N. el área de la pista en función de su largo. ~ Calculen el área de la pista si su p erímetro es de 6060 m. Para estas condiciones, escriban una fórmula que permita calcular el costo total del material en función del precio del metro cuadrado de asfalto.

Multiplicación de polinomios /

¡'"_,.._,•'

,

Para observar

,

Para multiplicar dos monomios, multiplicamos sus coeficientes y aplicamos Las propiedades de La potenciación para obtener el grado. Por ejemplo: (3x5 )

6 • ( 4x )

= (3 • 4) • (x5 • x 6) = 12x5+ 6 = 12x11

Para multipUcar dos poUnomios, aplicamos la propiedad distributiva. Por ejemplo: (-8x3 + Sx + 3) • (4x2 + 3x) = -32x5 - 24x4 + 20x3 + 15x2 + 12x2 + 9x 5 4 3 2 = -32x - 24x + 20x + 27x + 9x Cuando ambos tengan varios términos, puede resultar conveniente disponerlos de La siguiente forma: -8x 3 + X

+

Sx 2 4x

3

+ 3x

2

-24x4 -32xs

+

+ 15x +

20x3

-32x5 - 24x4 + 20x3

+ 9x

+ 12x2

2 + 9x

+ 27x

•

(j7) Resuelvan. ~ (2i) . (-4i)

=

• • • - • • • • • • • • o • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • o. o o. o • o o. o o o. o • • • o

••••.••••••.•.............••.•....•...•.•..•..•••••.

18

~ ( 2x) . ~ x

2

~ (3i - 4x) .

= .......................................................................

(si + x)

= .....................................................

Completen sabiendo que los grados de los polinomios M y N son 3 y 2, respectivamente. •

~

El grado de M. N es

~ El grado de M+ N es ~

El grado de M - N es

(¡9) Consideren los siguientes polinomios. A(X) = i + 3x - 1 8 (X) = X + 3 Efectúen los siguientes productos. ~ A(x) . B(x) ~ B(x) . A(x) ~ A(x) . D(x) ~ C(x) . C(x)

,

(2Q}

=

si -

D(x)

3x + 4

=

x- 3

!J B(x) . B(x)

f.J

A(x) . B(x) . D(x)

Multipliquen los siguientes binomios y d escubran una regla general.

~ (x + 4) . (x + 4)

(21)

e(x)

~ (x - 4) . (x - 4)

~ (i + 6) .

(i

+ 6)

~ (x

3

~ (x

5

(i -

-

6) .

6)

-

3) . (i + 3)

Multipliquen los siguientes binomios y descubran una regla gener~.

~ (x + 8) . (x - 8)

~ (x - 4) . (x + 4)

~ (x + 2) . (x 3

3

-

2)

División entera de monomios {2¿] Completen el cuadro cuando sea posible. /

Dividendo

10

o

Divisor

Cociente

Resto

Comprobación

~

2 5

10

2 "'"""'

xs

x2

...., le: 8x5

i

=5. 2 +o

-

1

6 =

x3

o

"'

2x5 c...

x2

10

-

---..--

13

o

5

2

xs

...

o

xs =-

F-

xs

(23]

o

Analicen las operaciones que realizaron y tachen las opciones que no sean correctas.

En una división entera entre monomios, cuando el dividendo es cero, o su grado es menor que el grado del divisor, el cociente es igual a cero, al divisor, al diuülendo, y el resto es igual a cero, al di vism; al dividendo. Como en toda división, el divisor no puede ser cero, de grado cero, de grado J.

t2i1 Efectúen las divisiones enteras] cuando sea posible, e indiquen el cociente y el resto en cada caso. Cociente:

Resto: o • • • o. o o • • • o • o • • • o o o o • • o • • • o • • • • • • o • • • • • o o o o o. o • • o o • • o. o.

Cociente:

o o. o. o • o • • o • o o o o •• o o o o • • •• o •••o • • o o •• o o o o o o o o • • •• o • o • o •••

Resto: ••• o o • o o o o • • o o o o. o. o. o • • • • • • • o o. o o o • • •••• • • o o. o o o o o o. o. • •

• o o •• ••• o • o. o o. o • • o o o. o • • • • o o o o o o o o o o. o o o • o • o o. o o • • o • o o. o

Cociente: ..... ............ ..........................•......•.••••. Resto: ..........•..........•.••................................

~

(2x) : ( ~

i)

Cociente: .............................

o • • o • • • o . o o oooo o oooooooooooo

Resto:

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o. o o o o o o o o. o o o o o o o o o o o o •• o o •• o o o o

División entera de polinomios Para observar

/.

Sea P(x)

__

..,__

=4x3 + 5x2 + 1 y Q(x) =x2 -

~/

2 para calcular P(x) : Q(x), podemos hacer asi:

• Ordenamos en forma decredente y completamos el polinomio dividendo. • Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo por el monomio de mayor grado del

~

.ftR

(x =4x. Multiplicamos este resultado por el divisor y

divisor: (4x •

-

4x3 + -4x3

3 )

2 )

:

lo escribimos debajo del dividendo con Los

+

5x2 +

+

+

Ox Bx

5x2 +

Bx

+

-5x

2

,;#

, ..x2.. - 2

1

4x + 5

!

1

+ 10 +

.Bx

codente

11-. resto +

signos cambiados para poder sumarlos. •

Repetimos el procedimiento hasta obtener un resto de menor grado que el divisor.

• Comprobamos que: P(x) = C(x). O(x) + R(x), es dedr que: 4x3 + 5x2 + 1 = (4x + 5) (x2

-

2) + (Bx + 11).

(25) Resuelvan las siguientes divisiones. Indiquen el cociente y el resto de cada una y comprobación. 2 ~ ( 3x + 2x - 1) : (4x)

26 ~

~ (6x

3

-

2i - 3) : (x - 1)

realicen la

~ (4/ + 5x - 6) : ( 2x + 4)

Realicen las siguientes actividades. M y N son polinomios. Si el grado de M es 7 y el grado de N es 2, ¿cuál es el grado del cociente

entero entre M y N? .................................................................................................................................. .

~ Si el grado del cociente entre dos polinomios M y N es 4, ¿cuál es la relación entre los grados de M y N? ..................................................................... ........... ........................ .................................................... .

(27) Indiquen si cada afirmación es verdadera o falsa y justifiquen la respuesta. ~ (x -1)

es divisor de

(r + 2x- 3) .

•••••.•••.•..•••....•..•••.•••••••••••••.•..••••••••.••....•••••••••••.•.•.••.....••.•.•.•.••••••••••.••.•••••.••.•••.••.•••.•....•.•..•..................••.....•......................•........................ •..•.

~ (r + 3xl - 4) es múltiplo de (x + 1). ································•••·•·•··••••·•••·················••·••••·••••·•••···•·•··•····•··••·•••···•··••·•················································································· ···············••·

~ (r + 3x-l) divi~ a

(r + 3r-x) .

••.•••..•••••.•...•...•••••••.•••.•.••••...••.•••••.••..•••••••••••••..•..•..•......................•...................................................................................................•..•....•....

1

~ El resto de dividir (x4 + 16) por (x- 2) es cero. ••.•••••••••.••••••••••••.••......•..•...•..........••••••••..•...•.•.••...••..................................................•.......•••.•••.•.........•....•....•....•...•..••.•..•.......•.•..••.•.••.•..••..••••.

!J La división (3r + 8r + 3x- 2) : (x + 2) es exacta. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••• •••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •••• •••• •••••••••• ••••••••••••••••••••••••••• ••••••• •••

•

La regla de Ruffini

,

,

Para leer y recordar

1

'

La regla de Ruffini es un método "abreviado" de efectuar la división de ciertos polinomios, que se puede usar cuando el divisor es de la forma x - a, siendo a un número real. En el ejemplo, se muestra cómo se aplica para resolver la división: (5x3

-

4x- 42) : (x - 3).

coeficientes del dividendo (ordenado y completo)

(

r----------~----------,, 5 o1 -42 1 opuesto del término ) independiente del divisor

Sumar

-4Sumar 1

15 +

45 +

1

J, 3-

Sumar

1

1

123 ~

multiplk~} 15 41 !.!!!.:: ;, resto de la división ~ 7;:C_2-~)cociente: 5X + 15x +41 J

2

repetir ciclo de operaciones

El cociente siempre resulta de un grado menor que el dividendo . •

(28)

Utilicen la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones. Indiquen el cociente y el resto en cada caso y realicen la comprobación. 2 ~ (8x - 3x + 4) : (x - 4) ~ (i + i - 2) : (x + 3)

.fJ (10i -

~ (5x - 1) : (x- 5) ~ (i - 3x - 30) : (x + 2) ~ (1 + i) : (x- 1) 2

.9) (10x +

~ (x

4

6) : (x + 3)

i

+ 25) : (x + 5)

81) : (3 + x)

-

Valor de un polinomio para x =a. Raíz de-un polinomio ,

/

Para leer y recordar

'

• Llamamos valor de un polinomio para x = a, y lo escribimos P(a), al número que resulta al reemplazar por el número a la variable x del polinomio y resolver todas las operaciones indicadas. • Si P(a) es cero, decimos que a es rafz de P(x), y redprocamente, si a es rafz de P(x), entonces P(a) =O. Ejemplo:

P(x) = 3x2 + 2x - 5

P(-1) = 3 • (-1) 2 + 2 • (-1} - 5 P(-1}=-4

~

~no

x3 + 2x2 - 4x -

P(1) =O~ 1 es raiz de P(x)

es raiz de P(x)

Consideren los siguientes polinomios. P( x) = i - 5x + 4 Q(x) =

P(1) = 3 • 12 + 2 • 1 - 5

2

R(x) = -4x + 10x - 4

S (x)

5

=

4

16x + 8x + 3

Hagan los cálculos necesarios e indiquen si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.

~ P(O) = 4

~

~ Q(1)

=

6

~ R(O)

P(1)

=

Q(-1)

fJ

~

S(1) = 9 . Q(-1) =

- P(O)

R(3) + P(-1) =

Rn )

9.J

S(1)- S(-1)

= P(-1)-

!!J O es raíz de R. i.J -4 no es raíz de S.

Q(1)

Teorema del resto .

Para leer y recordar

1

Si dividimos un polinomio P(x) por otro de la forma x- a, el resto de dicha división es igual a P(a), es decir, al valor de P(x) en x = a. P(x) 1 (x - a)_

7'

~ Q(x)

• (x-a) + R = P(x)

Q(x)

Reemplazando todas las x por a. Q(a) . (a - a)

+

R = P(a)

Q(a) • O + R = P(a) R = P(a)

El teorema del resto es muy util porque permite calcular directamente el resto de una división sin hacerla y, en particular, anticipar si una división es exacta.

(30)

Calculen el resto de las siguientes divisiones sin hacerlas.

~ (si

+ 3x - 14) : (x - 2) ················································

~ (4i ~ (x

3

3) : (x - 5) .............................................................

+ x - 5) : (x + 2) .......................................................

~ (1 +x

4 ):

(x- 4) ..............................................................

~ (x

2

+

fJ (i -

i -

2) : (x + 1) ................................................... ..

\) : (x 2

1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . ...

2

9J (16x

+ x + 64) : (x + 8) ............................................. ..

!!.J (x

16): (2 +x) ..............................................................

4 -

•

(31)

Unan con flechas cada polinomio con su raíz o sus raíces. A(x) = x 5 + 2x4

-

2x2

-2

-1

o B(x) = x 2

16

-

1 2

3

C(x) = 3x6

(3¿)

-

3

4

Calculen, en cada caso, el o los valores de m para que la división sea exacta.

a J (x

2

+ 3x - m) : (x + 2) ............................................................................................................................................................ .

2

b J (x + mx - 5 ) : (x + 1 ) ............................................................................................................................................................ C)

(x

dJ (x

2 +X -

3

-

6) : (x - m) ................................................................................................................................................................

m) : (x - 1 ) .......................................................................................... ·.··..···..······..··..····..··......···.. ·····..··.. ····.. ·· ..···..··..···..

Factorización de polinomios ,

/'

Para leer y recordar

• El proceso de transformar un polinomio en un producto de otro polinomio se llama factorizadón. En muchas ocasiones, factorizar un polinomio resulta útil para resolver ecuaciones, simplificar expresiones algebraicas y para trabajar con funciones polinómicas. • Para factorizar polinomios, se aplican diversos recursos algebraicos, algunos de los cuales analizamos a continuación.

Factor común (33) Completen como en el ejemplo. ~

a . (b + e)

~ 10x + 40 = 10 ( ............ ) .9) 2x4

ab + ac

=

~ pl + pq = p . ( ................ ) !J x ~ •

(3.4)

d ( .............. ) = d + dg

+ x = x ( ..............•... )

.fJ x3 + x2 = x2

( ....•........... )

4

!!.) 1Ox

.iJ

1i

=

x3

2i + 4x

-

+ 2x -

~

( • ••••••••••••• ••••• ••••• • )

2

2x

=

i

=

2

( • •••••••••••••• )

1

x ( ..•••••.•.. )

Saquen el factor común, cuando sea posible.

~ x +x

~ 3x6 + 18

3

~ / + 5x5

-

4

!J x . (x + 1)

3x

~ 4 . ( 4X - 3) 3

35

2

3x3

-

-

X • ( 4X

- 3) 2 +

5i . (4X -

+ 3 . (x + 1)

2

.9J

6i + 5x- 1

3) 7

Calculen el valor de m para que se verifique la igualdad en cada caso.

~ 5x

3

5 • ( 4x

+ m)

= 2 Ox8

+ 3 5x

~ x . [x 2 + (m + 1)]

3

= x3 -

4x

Polinomios de segundo grado

,

/.

Para leer y recordar

'

Los polinomios de grado 2 que tienen raices reales se pueden expresar en forma factorizada, según la siguiente igualdad:

P(x)

(36)

= ax2 + bx + e = a • (x -

x1 )

•

(x - x 2 ) donde x 1 y x 2 son las raices de P(x).

Completen el cuadro.

-1

-1

2

-2

3

3

-1 (x + 1) (x - 2)

2

~ - 3x- 5

3 (x + 5) (x - 5)

Otros casos Para observar

/.

Diferencia de cuadrados Llamamos diferenda de cuadrados a un binomio (polinomio de dos términos) que tiene la forma: x 2

-

a 2•

Estos polinomios tienen la ventaja de poder expresarse como producto de la suma de las bases a y b por

la diferencia de las bases a y b, es decir: x

Ejemplos:

2

x2 x

6

-

36

-

-

2

a = (x- a) (x +a)

4 = (x + 2) • ( x - 2)

= (x

3 2 ) -

62

= (x

3

+

6) (x3

6)

-

Trinomio cuadrado perfecto Llamamos trinomio cuadrado perfecto a un polinomio de tres términos que proviene de haber desarrollado el cuadrado de un binomio. Reconocemos que un trinomio es cuadrado perfecto cuando tiene esta forma:

a 2 + 2 • a . b + b2 Y Lo factorizamos expresándolo como el cuadrado del binomio del cual proviene: a 2 + 2 • a • b + b2 = (a + b) 2 Ejemplos: x2 + 10x + 25 =x2 + 2 • 5 • x + 52 = (x + 5) 2 6 3 2 x - 6x + 9 = (x3) + 2 . (-3) . x 3 + (-3) 2 = (x3 - 3) 2

(37) Descubran cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son diferencias de cuadrados, y a las que lo sean, exprésenlas como producto de la suma por la diferencia de las bases . 4 4 .!!) x - 2 5 = ~ 64x6 - 9 = .!) x + 9 = . .. . . . . . . o . . . . . . . . . . . . o . . . o . o o • • o o . . . . . . . o o • • o o • • o • • • • o .

• o o • o o ••••• o •• o . . . . . . . o •• o o o o .... o.

o . . . . . . . . . . . . o . . . o . . . . . . . . . . o .... .

•

~ 169- x10=

(38)

o o • • • o . . . . . . . o • • o o . . . . . . . o • • • o o o .. o o o . . . . . . . o • • • o • • • •

!!J -225 + i

...... ..........................

Expresen los siguientes trinomios como cuadrados de binomios cuando sea posible. • o •••••• o ••••••••••••••••••••• o •••• • o •••••••••••••••

~ x ~

=

12

+ 10i + 25 =

i -

o o ..... .. . . ... . . . ................ . ....... ...... .

4

12x + 3 6 =

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o. o . . . . . . . o ...

!!J

6.

x - 6x - 9 = • o o .... o . . . . . . . . . . . . . . o ••••••••••••••• o •••••••• o o o •• o •

!J 4x2

.fJ

3

-

24x + 36

=

81 - 18x + i =

........ .............................................

..................................................

(39] Expresen el área de la figura. ~ Como el área del cuadrado mayor.

a

········~························· ! ································· ···· ····· ······

~ Como la suma de las áreas de las figuras en las

que está subdividida. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••

~

b

Comparen ambos resultados. L _ _ _ _ _ _ __..Jl..__

_

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

"""""

a

V

b

_.)

Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros ,

Para leer y recordar

L'

Para factorizar polinomios de coeficientes enteros y grado mayor que 2, es muy útil tener en cuenta la siguiente propiedad, que se desprende del teorema de Gauss: Las posibles rafees radonales de un polinomio de coejidentes enteros, si an es el coefidente prindpal y a0 su término independiente, tienen la forma

-f-, siendo p divisor de a0 y q divisor de an.

Por ejemplo, para factorizar el polinomio M(x) = 3x3 + x 2

12x - 4 aplicando esta propiedad, podemos

-

hacer asi: • Escribimos todos los divisores del término independiente: P = {1, 2, 4, -1, -2, -4 }. • Escribimos todos los divisores del coeficiente principal: Q = {1, 3, -1, -3 }. • las posibles raices racionales de M(x) son los cocientes que podamos formar entre un número del conjunto P y otro del conjunto Q, es decir: 1; -1; 2; -2; 4; -4;

1;-1 ;1;-1 ;1;-1·

• Calculamos el valor de M(x) en estos números hasta encontrar uno que sea raiz. • Al encontrar una raiz, ya podemos escribir un divisor de M(x). • x =

--J- es rafz de M(x) ===> {x + f) es divisor de M(x).

• Dividimos M(x) • {x +

1) (usamos Ruffini).

1

-12

-4

-1

o

4

3

o

-12

o

12x- 4

=3 (x + 2) (x- 2) {x + 1)

3

)

• Al plantear la comprobación de la división (sin resolverla), vemos que ya hemos logrado expresar M(x) como produeto de otros dos polinomios. • Obtuvimos un factor de segundo grado; lo factorizamos, si es posible, con los recursos que ya conodamos.

)

3

3x + x

2

-

(iQ} Factoricen los siguientes polinomios. 3

2

aJ x

-

8x + 11x + 2o = ......

bJ x3

-

x2

64x + 64 = ..............................................................................................................................................................................

-

2

3

4

o o • • o o . o . o • • o . o o . . . . o o o o o • • • • o • • o o . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . o . . . . . . . . . . . . o o • • • o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o o . o 00 o • • • • o • • • • • • • o o • • • • •

e J x + 11x + 41x + 61x + 3 O = .............

dJ

1x

4

+ 3x + ~ x 3

2

-

o o . o . . . . . . . . o . o • • • • o o . . . . . . . . . . . . . . . o • • • • • • • • • • • • o . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . o . . . o . o . . . . . . . . . o o • • • o . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . o .. o o • • o . . . . o o o o o o . . . . . o . . ..

12x - 18 = .....

o o o o .. o o .. o o o o o o .. o o o o o o o o .. o o o o o .. o o o o .. o o o o o o o o o o .. o o o o o o o ...... o o .. o o o ...... o o o ...... o ...... o .... o .. o o o o o o ...... o o o ..........

41 Realicen las siguientes actividades. ~

Factoricen los siguientes polinomios. 1. x3 + i + x- 3 11. x3 + 5x2 + 5x + 2 5

III.i + 3i- 4 N. x4 - x 3 - 3x2 + 4x - 4

~ ¿Qué característica tienen en común estos polinomios factorizados?

Grado y raíces de un polinomio , Para leer y recordar / • Todo polinomio de una variable y de grado n que tenga n raices reales puede factorizarse como

r+ factor asociado a la raiz Xn an • (x - x1 )

•

(x - x 2) ••• (x - xn), siendo an el coeficiente principal y x1, x 2••• xn sus raíces.

• La multiplicidad de una raiz en un polinomio es la cantidad de veces que aparece, en su expresión factorizada, el factor asociado a dicha raiz. Por ejemplo: Si P(x)

=3

(x- 1) (x + 2} 3 (x- 5) 2 , en P, 1 es rafz simple, -2 es raiz triple o de multi-

plicidad 3 y 5 es raiz doble o de multiplicidad 2.

@2J Completen la siguiente tabla.

3

v --

n

2

J: -:il

x=6

1

@.3)

Con el objeto de ordenar sus CD, César quiere construir una caja con forma de prisma sin ta- pa. Para ello, cuenta con un cartón duro rectangular de 60 cm de largo por 45 cm de ancho, al que le corta un cuadrado en cada esquina. ~

Encuentren una expresión que sirva para calcular el volumen de la caja armada en función de la medida del lado de cada cuadrado cortado.

1 f--

•••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •• ••••••• •• ••••••••••••• • •••••••••••••••••••••

~ Indiquen cuál es el dominio, en esta situación, de la

'---- -

1

'1 1 1 1 1

-

- - - - - - -r -

- -

1 1 1 1

- - - --

¡- - ~

l

función polinómica asociada a dicha expresión.

1 •••• • •••••••••••••• •• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••• • • • •••••• • ••••••••• • •••••

1

--

-

-

-

-

-

- -

-

-

-

-- -

-

Las funciones polinómicas y sus gráficas Para observar Podemos obtener una representación gráfi-

Ejemplo: observen La gráfica de

ca aproximada de una función polinómica,

f(x) = (x- 2} 2 (x- 1} (x + 1} 3

sin hacer una tabla con muchos valores, tenien-

1

do en cuenta que:

r: f,

_}

• EL dominio es IR, y es continua.

n' - -4 -+---+--t+-r,

l

• La ordenada al origen, f(O), es el término independiente.

"'

• La curva tiene contacto con el eje de Las abscisas en los puntos en los que x = r, donde r es

1

-2

\

:

~ -~

.L

/ 1

[\

V 1 1 11

cada raiz real del polinomio. Si la multiplicidad

+-+--r--...-...~~r..

de r es impar, la curva "atraviesa" el eje x; si

-+--+---4trnv~-m"'--+-+-\~:!-+--IV'--t~~w...;--~+-+--t-

la multiplicidad es par, La curva "rebota" sin

~

J

lidd~d r bo~a .. í~~~~~,~,T~~7i-)~~~-t~~\~ .. ~~

¡nult plic dad

atravesarlo.

'\. :

1

/

rutti

. ,~~tt-r-t-1~pt~-1--r

• Entre raíces consecutivas, las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas. • A la derecha (izquierda) de La mayor (menor) de las raíces, las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas.

f( 'tf) = (X •

•

i-

t'' 3

!(X- 1)

~

Grafiquen en forma aproximada la función F(x) = 2 (x- l) (x + 2) 2 (x- 3) 3 siguiendo los pasos propuestos.

y

J

a J Las raíces de F son: ....................................................... ..

- r+

=............................................................... .

-~

- f3 - ~

~1'\

"

.. \no

-.L

~

~"'

-no... ~

Marquen las raíces en el eje x. Calculen F(O)

.. ""'"

Marquen el punto de corte con el eje de ordenadas.

-

--

•v

X

+r-

'

j

\n ... ,.., ~

., ~-

.,

~

Tracen la curva aproximadamente, teniendo en cuenta la multiplicidad de las raíces.

-

(4.5] Realicen un gráfico aproximado de las siguientes funciones polinómicas. ~ f(x) = i- 6x + 5 ~ g(x) = x 3 - 5i + 6x ~ h(x) = x4 (x 2 @.6)

.

9)

Hallen los puntos de contacto de las siguientes funciones polinómicas con los ejes coordenados. ~ f( x) =

2i - 3i - 18x -

8

~ g (X) = X4

-

5x2 + 4

Reconstrucción de fórmulas polinómicas a partir de sus gráficas 1

(4.8) La siguiente gráfica corresponde a una función poli-

y~

nómica de grado 3. !:!) Completen. Sus raíces son: .. '·

~.·l\

xl =

"L":'•'.,o..

.·

:.-

1

~

1\

1/.... "e \

1

.

1

'

X3 =

.. :

'

~

¡,oft_

.L

. -. '• -.

·~--~:~.

..

1

1

J

j

~e

~

- ~ - ~- 1

~

La expresión general de una función cúbica es:

.,

r-

f[x) =a. (x- x 1)(x - xz)(x- x 3 ).

/

o

}

~

X

~n

""

En este caso, tenernos: f(x) =a. (x ......)(x ...... )(x ...... ) (I)

~ Otro punto que pertenece a la gráfica es el (O; l 00). Reemplazando x =Oy fiO) sión (I), obtengan el valor de a y escriban la fórmula de la función .

=100 en la expre-

........................................... ................ ..................................... .......................................................................

(i2}

Inés realizó, en forma aproximada, las siguientes gráficas. Averigüen cuál de las fórmulas le corresponde a cada una. y

y ·2

o

o

111. f(x) = x 3

I.f(x) =-x(x+4). (x -4)

II.j(x)

=

x . (x - 2) . (x + 2)

X

-

o

16x

Iv. f(x) = -x . (x - 2) . (x + 2)

~

Hallen la fórmula de cada una de las funciones que aparecen en los gráficos. ~ Grado 3. ~ Grado 4. ~ Grado 5.

y~

1

~

,

..,.

L ..,.

\ ..

~.

1

.,

, ...

'\., ~

J

1

\.. J -~

~

J

\

o

..,.L

..

~:

-l

yJ ...

y~ ~

-~

-

.,

1

-~

V \ o ~

/

X

,...

í \

\ "/

o •

1

~

X

...

'{

La factorización de polinomios como herramienta para resolver ecuaciones Para observar Recordemos que: a . b

1

'

=O ===> a =O ó b =O.

Para resolver la ecuación x4

-

9x2 = O, podemos factorizar la expresión polinómica que tenemos en el

primer miembro: x4

-

9x2 = x2 (x2

-

9) = x2 (x + 3)(x- 3)

Entonces, x 2 (x + 3) (x - 3) = O ===> x2= O ó (x + 3) = O ó (x - 3) = O L__

____)

J

\.

--y---

X=

0

--...,.....-

X=

-3

1..

J

"""""

X=

3

Resolviendo cada una de estas ecuaciones, obtenemos las soluciones de la ecuación original. Las soluciones de la ecuación son: O, 3 y -3.

(5¡) Hallen, sin usar el lápiz y el papel, las soluciones de las siguientes ecuaciones. ~

~

(x + 1) . (x - 3) =O -

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • •• • • • • • • • •

~ (x + 4) . ( 2x - ..f2)

=

O

•• •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

O ~

x . (x + 2) . (x + 3) . (x - 9)

=

O

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • •

~ -2(i - 1) . (x + 6)

=

O

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • ••• • •• •• • • • •• • • • • •

Usen la factorización de polinomios para resolver las siguientes ecuaciones en IR.

i

+ 6/ +

X

+6 = 0

• • o •••• o •••• o o •• o. o • • • • • • • • o o • o ••• o • •• o • • • • • • • • o ... o •• o o • o • • • o •••• o • • • o. o o o o • o o o o o

.......... ...................•...................................................

.....•.••................... ........................•••.•....•••..•....•••...•.•.

.••••••.••••••.•••.•.••..•.••...••••....•...•••........ ..........................

.................................................................................

................................................................................ .

~ x + 1 oi

~ 5x . (x - 1) = 6 - 2 . (4x

3

- 4x -

40

=

o

3

-

1)

.................................................................................

.................................................................................

............................. ............ ........................................

.....................................................•.•••••..•.••.••••••••••••••

• • • • • • 1 •••••••••• ••• •••••••••••••••••••••• •• ••••••••••••••••••••• • •••••••• •• •• •• •

53

.......................................•.......•..••.•••••••••..••.••.••••..••••.

Un número entero es tal que el cubo del siguiente disminuido en el cuádruplo del cuadrado del anterior da como resultado treinta veces el número más dos. Averigüen si es primo.

Los polinomios y las raíces no reales [54JEncuentren las soluciones reales y 1o complejas de las siguientes ecuaciones: .!:!.)

i

+4

~ x 2 + 2x + 2

=O

~

=O

i

+ 9x = O

Para observar

/

• Las ecuaciones cuadráticas de la forma: ax2 + bx + e = O pueden, como se sabe, resolverse en general mediante la fórmula resolvente: x = • Si el discriminante es negativo (b 2

-

-b :!:

Vb

2

4 . a.e

-

2. a

•

4 . a. e< 0}, las soluciones son dos números complejos conjugados.

• Un polinomio de segundo grado de la forma P(x) = ax2 + bx + e en el cual b 2 - 4 . a . e< O no se anula para ningún valor de x, y en consecuencia, su gráfica no se interseca con el eje x de las abscisas y está toda por encima de dicho eje (si a> O} o toda por debajo (si a< 0).

55 Encuentren los valores de

k para que las siguientes funciones polinómicas no tengan raíces

reales. .!:!.) f(x) =

~ f(x) =

i - 5x + k

i -

~ f(x) =

5x + k

i- 5x + k

(56) Encuentren una condición necesaria y suficiente para que una función polinómica de grado 2 tenga o conjunto de positividad vacío o conjunto de negatividad vacío.

57 Verifiquen que x =ai es raíz de f(x) =x 2 + a 2

y obtengan conclusiones con respecto al valor de a.

(58) Completen la tabla:

59 Los gráficos corresponden a funciones polinómicas de grado mínimo que incluyen entre sus raíces x = -i. Escriban la expresión factorizada de cada una. •¡o.

' • ¡o.

• ¡o.

1~

..,•

[,

,

l.

~ ~~

. .

1'

&

5-

~ t-

.

~

•::. ·~

' JI

. i

·ro

-

-'(¡ •fu

•JO

..•

~

El cambio de variable en la resolución de ecuaciones @ ~

Sea la ecuación ax2 n + bxn + e = O, donde n es un número natural y a~ O . Sin = 1, ¿qué tipo de ecuación encuentran?

~ Completen la siguiente frase: la función polinómica asociada a esta ecuación para n = 2 es f(x) = ............................ , y su grado es ............. En cambio, la función polinómica aso-

ciada a esta ecuación para n = 3 es f(x) = ........ ............ , y su grado es ......... ... .

Para observar La ecuación x4 - 5x2 + 4 puede resolverse haciendo el cambio de variable x2 = z. Asi resulta que: 2

x4 = (x2) = z2. Reemplazando en la ecuación anterior queda la forma cuadrática z 2- 5z + 4 = O cuya soludón se puede obtener como z =

5! Y(-5) 2

-

4. 1 . 4

2. 1

; o sea luego se sustituye en el cambio de variable:

= 4 resulta x 2 = 4, por lo tanto x = 2 ó x 2 = - 2. Para z 2 = 1 resulta x 2 = 1, por lo tanto x3 = 1 ó x 4 = - 1. Para z1

1

Finalmente { 2; -2; 1; -1} es el conjunto solución de la ecuación.

(61) Sea la ecuación ~ - 9.0 + 8 = O, utilicen un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación cuadrática y hallen las soluciones reales. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• ••

• •••• • • • • • • • • • • • •• • ••• • • • ••• ••• • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • ••

62

Resuelvan las siguientes actividades.

!!.) Enuncien la propiedad utilizada que permite escribir x 2 n = (xn) 2 . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • • • • •• •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

•• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • •• • •

~ Inventen una ecuación del tipo a:xf* +

br + e= Oque tenga entre sus soluciones a x = 2 y a x = -3.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • ••• •• •• • • • ••• •• • ••• ••• • ••• • •••• ••••• • • • • • • • • • •••• • •• • •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • ••• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •••• •• ••• •• • • • •••• • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •• • •••• • •

~ Inventen una ecuación del tipo ~ +

b.0 + e= Oque tenga entre sus soluciones a x = 4.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

(63) C¿mpleten la tabla.

~K·;J

11@111

:::;sW _

6

_ . . ._ _ _ _

3

x - 7x - 8

-t¡.....-----+--------1-------.....-------.i..f

=o

~ El siguiente esquema muestra un corte transversal de un cono inscripto en una esfera.

1 •

1

1

...

---- .. -·:--~... ~ ,,•

1

~ El volumen de un cono de radio

r y altura h se calcula por medio de la fórmula Ve = _l_ . Jt . r 2 . h 3

Encuentren una función polinómica con coeficientes reales exactos que exprese el volumen de un cono circular recto, inscripto en una esfera de 9 cm radio, en función de h. ~ Hallen el dominio de la función volumen en el contexto del problema. ~ El volumen de una esfera de radio R se calcula por medio de la fórmula:

Ve=+· Jt. ~ Hallen, en función de h, la función polinómica con coeficientes reales exactos que exprese la diferencia entre el volumen de la esfera y el volumen del cono.

• ae-=.._4 ~

' Los polinomios en la construcción de un ascensor Algunas empresas de subterráneos empezaron a considerar de fundamental importancia la colocación de ascensores para uso exclusivo de personas discapacitadas (en las bocas de subte). En la mayoría de los casos, concretar esta tarea requiere un alto costo con características de distinta naturaleza, por lo cual se suelen establecer convenios con marcas conocidas, que cubren los costos de materiales e instalación a cambio de espacios publicitarios en todo el recorrido de la línea.

1

X

(65) En el caso que vamos a considerar, los constructores han establecido que por cada ascensor para colocar se tiene que excavar, desde la vereda, un hueco con forma de prisma recto, de base cuadrada de x metros de lado y profundidad igual al quíntuplo de la base. La base y las paredes del hueco deben estar totalmente cubiertas con cemento y deben llevar, además, a lo largo de sus cuatro aristas verticales, potentes vigas de hierro para evitar su distorsión; una superficie cuadrada igual a la base debe quedar libre para la puerta. Para presupuestar la obra, se consideran los siguientes costos.

'\,.

f'\..X 1

1 :

l .··

r< 1

:' i 1

Sx

j

1 j

¡ l . 1

x

J

•

~ puerta

" --", -

Materiales

Costo

Uso de máquina excavadora

$120 el metro cúbico para excavar

;rr-

Cemento

- Vigas de-hierro

$200 el metro cuadrado

--$60 ---el metro

Se arma una fórmula polinómica que permita calcular el costo total C(x) en función de la medida del lado de la base, que tiene los siguientes componentes: C(x.) =costo de máquina excavadora + costo de cemento + costo de vigas de hierro !!.) Hagan un esquema de la situación y, en función de la medida del lado de la base, encuentren .

expreswnes para: • el costo de la máquina excavadora. • el costo de :as ügas de hierro.

• el costo del cemento. • el costo total.

!!.) Calculen )as dimensiones del hueco del ascensor para que el costo total sea de $55 800.

Funciones polinómicas que permiten estimar costos (66) Una empresa que construye torres para sostener teleféricos tiene que montar una serie en los centros de esquí Chapelco y Las Leñas. Este trabajo tiene un costo fijo, pero la altura sobre el nivel del mar dificulta el transporte de materiales, su uso y su construcción. Por tal motivo, se tiene en cuenta un costo adicion al por cada torre. 1 Estudios hechos sobre la base de tareas de características similares determina1 ron que ese costo adicional (en pesos) está dado por la función polinómica: '1 1 \' C(a) = lOOd + 238a, donde a indica la al1 --• ... -· . tura en kilómetros sobre el nivel del mar. Esta fórmula se considera válida para valores positivos de a que no superen los 4 km.

•

1

-'

~ Expresen simbólicamente el dominio de la

función en el contexto de esta situación y represéntenla gráficamente para estos valores.

~

1 J

'

~y

1

................................................................................ .... .................. .... ...... ................................................. ~ Calculen cuál será el costo adicional que se

tendrá que abonar a la empresa por una torre en un centro de esquí a 1790 m sobre el nivel del mar. ~

...............................................................................

,

·.. '\..

................................................................................. ~

¿Qué diferencia de altura hay entre dos torres que cuestan $653,63 y $555,35, respectivamente?

..... ............................ ....... ...................................................................... . ..............................................................................

.

faZJ Encuentren a, by e para que:

[73] De cada una de las siguientes funciones

p r_x} .

Q(_~:) = -2x 3 + 5x 2 - 2x- 1 ,

Pf_t_J =

ar + bx+ e

siendo

y Q(x) = x - 1

~ Dado el polinomio mx3 + (n2 -

l)x 2 - px+ 2,

establezcan condiciones sobre los números m, n y p para que el polinomio sea de grado: S} tres. ~ dos. ~ uno.

polinómicas, hallen las raíces reales y su multiplicidad, indiquen las coordenadas de los puntos de contacto con los ejes, escriban los conjuntos de positividad y negatividad y representen gráficamente. ~ f(x) = (x- 4)3

~ f(x) = (x - 1) 2 • (x+ 4) ~,._,

Consideren los siguientes polinomios.

A(x) = 3x

2

-

~ f(x) =

5x + 2

Hallen los valores de m, n y p para que los polinomios A(x) y B(x) sean: ~ iguales. ~ opuestos.

P(x)

.!J

iJ

=x + 1 S(x) =x 2 -2x+ 1

R(x) = 4x3 + :x?-

2

•

.!J

+ 12x + 12

f(x) = X 4 - 25x 2

(Zj} Reconstruyan las fórmulas de las funcio-

P(x) . Q(x) + R(x)

~ S(x). [Q(x)JZ ~ P(x) . S(x)- Q(x) . R(x)

~

9x

-

f(x) = x 4 - 4x3 - 5x2

!!.J f(x) = 3x

Efectúen las operaciones indicadas en cada caso. ~

[3 . P(x) + R(x)] : Q(x)

nes polinómicas de grado 3 que están representadas en los siguientes gráficos. 1

1 !

:y

~ 2x 2 + Sx-3 ~

x 3 - 3x2 + 3x- l ~ x 4 - 5x2 + 4

.!J

417'c

/

V 1/

X - X5

!) x 5 -7x4 + 10x3 -

1

/

f71) Factoricen los siguientes polinomios. ~

9)2

-

+ 2x2 - 3x 3

Q(x)

1

X3

f(x) =

.!J f(x) = 36x

Consideren los siguientes polinomios.

=3x 2 -

2

(X

~ f(x) = 1900 (X+ 3)2 . (X - 2)

B(x) =(m+ n) x 2 +(m - n) x+ p

@

f

X

o

¡_ 12

'

• X2

+ 7x - 10

2r - 3x 2 - 9x+ 10

¡y 4 ~ 9

...__....., Sabiendo que la función polinómica P(x) = 3x4 + l2x3 + 9x 2 - 12x + b cumple la condición P(-2) =O, encuentren el valor de by todos los puntos donde el gráfico hace contacto con los ejes.

1

t:.

V'

1

7

r\-

~ ..,

... 1\,, .1.

1

V ['..._

-'

- -lh -2 ít

o

1

2

X

./

'i

. . -.. ... ·· . , ...• -:.._ ...·¡ .. MÁS:ACTIVIDADES~ .: · .· .' : -...

-.

-

'

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•

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----

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..... - ...

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,

__

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·- -·---·

-------

. .'.

;

··-·---

_-

._;.:_

·---

-

. - .. <-·-

:·.--_ - -- . '

fl5) Resuelvan las ecuaciones utilizando un cambio de variable adecuado y completen la tabla. · -Nútnem lfe solttdolfes

Soluciones reales

no reales ·

(76) Resuelvan las ecuaciones utilizando un cambio de variable adecuado y completen la tabla. Soluciones realés

-Númete se

Número de $1)luciQne.s

solutiones JtCJ rea le_ s

realis 6

8x

-

-

217 x 3 + 27 =O

8X 6 - 215 X 3 - 27 = 0

sK' +

215 x

3

-

27 =o '

tZZJ Factoricen las siguientes funciones polinómicas y decidan cuáles tienen raíces no reales.

~ f(x) = x 3

-

3x 2 + 5x- 15

........,;;;,-' El gráfico corresponde a una función polinómica de grado mínimo.

1 1-7' ~y 1~

grado 5 que incluya entre sus raíces x 1 =O, X 2 = i, X 3 = - 2 i.

/. ~

12

.1

1?

)

11 ¡,

-~ / ~

"

1

\ ~

ll

~

!1-:>

polinómica f(x) con coeficientes Teales de grado 6 tal que f (-1) = -20 y que incluya entre sus raíces X 1 =O, X 2 = i, X 3 = - 2i. E) la expresión factorizada de una función polinómica f(x) con coeficientes reales de

1,;:

il

~ la expresión factorizada de una función

\ --1

.

A

:J l

.

1

1

h

.

~ la expresión factorizada de una función polinómica f(x) con coeficientes reales de grado 5 tal que al dividirla por (x + 1) el resto sea 20 y que incluya entre sus raíces X1=

' /.

0,

X2 =

i,

X 3 =-2i.

[¡:

.!.) la expresión factorizada de una función

le

~~

polinómica f(x) con coeficientes reales de grado 3 que tenga raíces X 1 = O, X 2 = i, X 3 = -2i.

lo In 1n

•

1 t

(1!0Jconsideren el siguiente gráfico. Encuentren en cada caso, si es posible, la fórmula factorizada de una función con las mismas características y que cumpla las siguientes condiciones. ~

..!!) Hallen la fórmula de la función polinó-

mica de grado 3 representada. .

Y' ~

De grado 13 con todas sus raíces reales.

1

"t' '

~ Una función polinómica de grado 5 tal

7

que (1; 49) pertenezca a la misma y con todas sus raíces reales.

-~~ 'JI

~ 2_)

~ Una función polinómica de grado 10

t'-

'-...

o

~-

"

con todas sus raíces reales. 1

~ Una función polinómica de grado míni-

X

'"· ......

1

m o con (x2 + 4) múltiplo de esta.

~ Hallen la fórmula de una función polinó{ZEHallen, siempre que sea posible: ~

la expresión factorizada de una función polinómica f(x) con coeficientes reales de grado 6 que incluya entre sus raíces x . = O, X 2 = i, x3 = - 2i.

-

--;:o....-.--

mica de grado 4 representada y expliquen por qué no se ve la gráfica completa.

Marquen la opción correcta.

1

Los polinomios P(x) = x 3 +S~- x- 8 y

Q(x), = x3 -

'-----J

...____.~

~

6K + 12x-- 8 tienen en común:

ninguna raíz.

t.) dos raí~es.

4 f{x)

=x3 - x

2

-

2x es:

0 (O; 2)

2) una raíz.

.:!) tres Tqíces .

La fuflciór~ polinómif:a f(x) = 2x-" + 3.>1- 2x

'-----J

..__. !:J (-oo; +oo)

5

2

El conJunto de positividad de

fJ (-1; O) U (2; +oo) E:) (-oo; -1) U (O; 2)

Sif(x) = -nx3 + 3K + nx, y sabemos que

f( f) = O, enton<:es:

tiene contacto con el eje de las abscisas en: .::)n=2 ~ ningún punto.

_)un punto.

;_) n = -1

2.J dos puntos.

'---"

0 n=

-2

!.) tres puntos.

6

El grado de la función polinómiea

f

del

siguiente gráfico puede ser:

3

La ft:Jnción poHnómica Rx) = x3

-

y

4x tjene

como gráfico.

y

\

)

}

X

y.,.2 .....!:¡:_..-0,.¡¡..._....~,,~

2; X

~ 1

--.t':..o.----rt-......, . ,,~

e

x

\_,

7

.._ ~ tiene dos S{)luciones reales distintas.

y ,~ 1 ' •¿. 4

La ecuación 9x'~ + 6x2 ,¡;. 1 = O

......___. ~tiene tres soluciones reales distintas.

~

.~ 4 :X

"--"'

_)tiene cuatro soludones reales distintas. ~

no tiene soluciones reales.

Se quiere construir un baúl con forma de prisma rectangular y tapa con un contorno parabólico, como se muestra en la figura. Sin la tapa, el baúl tiene igual profundidad que altura, y su largo supera la altura en 50 cm.

([J Escriban la función polinómica que permite encontrar el volumen del baúl sin la tapa. ...........................·-·.............................................. ............................................................................................. . ..................................................................................................... .. .......... .. .. . .. .. .. .. .... . .... ..... ... .. ..... .... ... ... .... .....................

2

Hallen sus dimensiones sabiendo que su volumen es 144 000 cm3 .

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • ••• •••• •• •••• • • •• •••••• • ••••• • • •• •••••••••••• ••• ••••• • • • • •• ••••••••••••••••••••••••••• •• •••• ••

• .. • • • o o o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.... ... ....... . .... ... . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • o • • • • • • o . o • • • • • • • • • • • o • • • •• o • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • •• o • . . . . . . . . . . . .

.... . ....... . ........

([) Averigüen la fórmula del contorno parabólico que permita encastrar perfectamente con la parte de abajo, si la altura máxima del baúl es de 52 cm.

• o • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • o . . . . .. . . . . o o • • • o . . . . o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • . . . . . . . . . . . . . . . . .

. o ••• o .... o ••• •• • o •••••••••••••••••••

• • • • • • • .. o o • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • o • • • • • • • • • • • • o • •

C!:'

Calculen los centímetros exactos de vivo metálico que se necesita incorporar en los rombos de las caras laterales, si sus vértices están en los puntos medios de las aristas . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .. • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • o . . . . . . . . .

o o ••••• o o ••••••••••••••••••

.. • • • • • o o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • • • • o • o • o . . . . . . . . . . . . . . . . .

(I

Consideren una de las caras cuadradas del baúl. _j Represéntenla en un sistema de ejes cartesianos, haciendo coincidir un vértice con el origen de coordenadas y superponiendo la diagonal sobre el semieje positivo de las abscisas. _j Escriban la forma binómica y polar de los números complejos que determinan los cuatro vértices.

CUADERNILLO 4

4· Funciones racionales

3

. . , . .. . 1

Rev1s1on 1n1c1a ························~··········································4 Funciones de proporcionalidad inveTsa ..................... 5

Funciones de fórmula:f(x)

=

Funciones de fórmula:f{x) =

k ..............................6

X

k b .........................8

ax +

.. d e .~:, 1 f¡7 ,' ax + db ............. -......... 10 Funcwnes 1ormu a: 1x1 = ex+ Funciones racionales ......................................................12

Funciones de fórmula:f{x) = Funciones de fórmula:f{x)

k .....................14 2 (x- a)

= ~~~ .........................16

En el mundo real ..................................................................17

Lentes y lupas ................................................................. 17

La primera ley cuantitativa en la historia de la Fisica ................-............................................................18

Más actividades .........

H

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Autoevaluación .................................................................... 22

Tanto en el campo de la Economía, la Física, la Química, la Demografía y otras ciencias, se utilizan modelos asociados a funciones racionales. Desde la más simple (la función de proporcionalidad inversa), hasta la más compleja (el cociente de dos polinomios), se estudian para describir fenómenos naturales y para modelizar situaciones creadas experimentalmente. El análisis de este tipo de funciones hace necesario abordar el concepto de asíntota e introduce la noción de límite.

1 Una ensalada de legumbres y brotes, para 8 personas, requiere: 800 g de lentejas cocidas, 350 g de porotos, 250 g de brotes de soja, 2 cucharadas de cebolla de verdeo picada, 100 g de !omito y condimentos a gusto. Indiquen cuánto se necesita de cada insumo para elaborar la misma ensalada, pero para: _g) 4 personas.

~ 6 personas. ~ 12 personas.

Se deb~ cubrir una franja rectangular de 3 m de largo y 0,5 m de ancho con baldosas de madera del mismo ancho.

2

~

Completen la tabla. 1,5 .

0,25

0,1

X

Número de baldosas ...

.!!J ¿Cuál es la expresión que relaciona el número de baldosas con el largo de ellas? Esta relación, ¿es función? Justifiquen.

(!) Definan los conceptos dominio e imagen de una función.

(!) Respondan: 1 ~¿Cuál es la imagen de x =- 4 a través de la función f(x) = -x; ? 2) ¿Cuál es la preimagen para h = -2 a través de la función h(x) = XZ + x?

~ ¿Cuál es la preirnagen para p =- 3 a través de la función p(x) = - 2 2

X

?

'

•

5 Expresen los siguientes polinomios como un producto de factores primos:

··) ·, '' •,. • •

• 4

•

@

Hallen, en cada caso, los puntos de contacto con los ejes, los conjuntos de positividad y de negatividad, y luego realicen un gráfico aproximado de las siguientes funciones.

J!J

m(x) = x4 + XZ

CZJ Indiquen los valores de x que verifican las siguientes igualdades. fJ

1

1

x-2

2

X-

::J

x+3 -2 - + X - 9

-

X

x-1

=O

Funciones de proporcionalidad inversa ([) Sabrina debe recorrer una distancia de 630 km en su auto y quiere calcular, en forma aproximada, el tiempo que debería tardar en recorrerla de acuerdo con la velocidad constante a la que circule. T ('h)

=~· P"'•

o

o

*

..... [_, 9 • .. " ,!., ,,., !

loo-----. . , . , 6

~

V (km/h)

e

l..,.,

". 6~

;¡;, "'

2

,...____..¡,;¡; aoo ""

9~

100

Ayuden a Sabrina a completar la tabla.

~ Escriban una expresión que permita calcular el tiempo (en horas) en función de la velocidad (en

km/h) . ~

Grafiquen la relación anterior en un sistema cartesiano.

Para leer y recordar • Se llama función de proporcionalidad inversa a toda función cuya fórmula es: f(x)

=

k

(con k

E

IR - {O} y x *O)

X

• Su gráfica es una curva denominada hipérbola

equilátera.

Arriba aparecen las gráficas de los tipos de hipérbola equi-

látera. Con k> O, las ramas están en el l. o y 3. o cuadrante, y para k< O, las ramas están en la 2. o y 4. o cuadrante.

(!) Fernando cuenta con 120 frascos de perfume del mismo tamaño y decide guardar todos en cajas iguales que contengan la misma cantidad de frascos cada una. Si elige las cajas más grandes, puede colocar 12 frascos en cada una; y si elige las más chiquitas, 2. ~ Encuentren la expresión que rela.ciona el número de cajas y la cantidad de frascos por caja. Esta relación es función. ¿Por qué? ~ ¿Cuántas posibilidades tiene? ~

Realicen un gráfico cartesiano de la relación anterior.

~ Considerando el campo numérico al cual se ajusta el problema, ¿tiene sentido unir los puntos

marcados en el gráfico? Justifiquen. a

fib) El abuelo de Marcos tiene 20 hectáreas de campo en General Villegas. Para la mayoría de edad del nieto, decide regalarle 9000 m 2 de terreno. La condición que le pide Marcos es que sea de forma rectangular y, además, que debe cercar ese terreno.

b

g) Observen el esquema del terreno y elaboren una tabla con 5 ó 6 posibles valores de a y b.

~ Hallen una expresión que relacione el largo del terreno con el ancho. Dicha relación, ¿es función?

¿Por qué? ~

Grafiquen la relación anterior en un sistema de ejes cartesianos.

~ Considerando el conjunto numérico al cual se ajusta el problema, ¿tiene sentido unir los pun-

tos marcados en el gráfico? Justifiquen.

•

Funciones de fórmula: f(x) (11) Consideren la función: f(x) ~

=

4 X

=

!

.

¿Cuál es el dominio y cuál es el conjunto imagen? Justifiquen.

~ ¿Cuál es la intersección con los ejes? ~ Completen la tabla con el signo que toma la función y determinen, así, los conjuntos tividad y de negatividad.

o

(-oo; O)

X

Signo de f

d~ posi-

(O; +ao)

•

®

'

El símbolo ® significa que la función no tiene signo para ese valor de x, ya que se anula o no está definida. ~ Completen la tabla siguiente y, luego, respondan a la pregunta:

·100

10

X

r-

1000

10 000 -

----

·--

f(x)

-

--·- ,,_

·-

Cuando x toma valores positivos muy grandes, ¿a qué valor se aproximan las imágenes? !) Completen la tabla siguiente y luego respondan a la pregunta:

X

-10

-100

-1000

-10 000

f(x)

Cuando x toma valores n egativos muy grandes, ¿a qué valor se aproximan las imágenes?

Para leer y recordar

j

• Decimos que una recta de ecuación y = b (b

E

IR) es una asíntota horizontal de la función f cuando,

a medida que el valor absoluto de x aumenta, la función se aproxima a b. Ejemplo: la asintota horizontal de la función f (x)

4

=X

es la recta de ecuación y

=O.

• Simbólicamente, la idea de que a medjda que x toma valores absolutos muy grandes, f se acerca a b se representa:

Um f(x) = b x~oo

Esta expresión se lee: el limite cuando x tiende a infinito de fes b.

(12) Consideren la función: f (x)

= -

2

X

.

~

Analicen qué sucede cuando x se aproxima al valor que no forma parte del dominio, en este caso x = O, por la derecha. Completen la tabla y, luego, respondan a la pregunta. /

0,1

X ..

0,01

0,001

0,0001 !1

,--,

~.

f(x) '-

Cuando x toma valores positivos muy próximos a cero, ¿a qué valor se aproximan las imágenes? ~ Analicen qué sucede cuando x se aproxima al valor que no forma parte del dominio, en este caso x = O, por la izquierda. Completen la tabla y, luego, respondan a la pregunta. -0,1

X r

-0,01

-0,001

-0,0001

~,

f(x) '

·-

Cuando xtoma valores negativos muy próximos a cero, ¿a qué valor se aproximan las imágenes?

Para leer y recordar • Decimos que una recta de ecuación x = a, si a !é Dom1, es una asíntota vertical de la función f cuando, a medida que x toma valores más próximos a a, Las imágenes toman valores absolutos cada vez mayores. Ejemplo: la asíntota vertical de la función f (x) = -

2 X

es la recta de ecuación: x = O.

• Simbólicamente, La idea de que a medida que x se acerca a a, f(x) toma valores muy grandes en valor absoluto se representa: lim f(x) = oo x .....:;.o

Esta expresión se lee: el límite cuando x tiende a a de f(x) es infinito. En la gráfica de la función f, se aprecia que tiene dos asíntotas: una hori-

-4 -3 -2 -1

~

·~·--+-+:;2 +-+-t--t-flX C!... -+-~-.¡3- -+-1-l-...f-

zontal (y = O) y otra vertical (x = 0).

-+-+1-;+¡4-+-+-+-+-+-

{13) De cada una de las siguientes funciones, indiquen el dominio, el conjunto imagen, las coordenadas de los puntos de contacto con los ejes, escriban los conjuntos de positividad y de negatividad, la ecuación de las asíntotas verticales y horizontales, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y grafiquen la función.

~ f(x)

= __ 5 X

~

f(x)

=

1 X

8

=.1 f(x) - - x-

(14] Andrés desea juntar $1000 y, para ello, decide depositar una cierta cantidad de dinero en un banco y dejarla depositada durante un año. Luego de recorrer varias entida des bancarias, elabora el siguiente cuadro, donde relaciona la tasa de interés anual y el capital que debería depositar.

TétSS

_fa_pitat

an-ua~ (tt4)

depósitadQ ($)

X

e

7

934,60

-

~

($

$.1

«• ..!

.. '0'1

l '&

8

925,90

10

909,10

12

892;90

liuaua•

~·

n•114s J t4

.!!) ¿Cuál es la expresión que relaciona el capital que debe depositar C en función de la tasa anual x?

C(x) = 1000 ... + 1

~ Para una tasa del5%, ¿cuánto dinero debería depositar?

S) Si deposita $877,19, ¿cuál sería la tasa anual?

,_.,, r

Para observar

~---r' r

'

1

• Toda función de la forma f(x) = ax ~ b tiene las siguientes características:

• Oom¡= IR

-{-+}e Im¡=

IR- {O}

• l: X = -O b • Asmtota vert1ca

• Asíntota horizontal: y = O • Para x =- ..!!.._ no hay imagen y, para graficarla, es necesario Levantar el lápiz. Decimos entonces que la función a es discontinua en x = - ..!!.._. a

(15) Consideren la función: f(x) ~

~

=

1 x+1

•

Indiquen el dominio y el conjunto imagen. Justifiquen.

~ Indiquen la intersección con los ejes.

S.J Completen la tabla con el signo que toma la función y determinen los conjuntos de positividad y de negatividad.

••••

t.•..; +QO)

Signo ·def

g, Determinen las asíntotas vertical y horizontal. Justifiquen la respuesta. ~

fJ

Realicen el gráfico. Encuentren para qué valor de x hay discontinuidad.

(16) Para cada uno de los siguientes gráficos, indiquen el dominio, la imagen, los conjuntos de positividad y de negatividad, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los puntos de discontinuik k dad, y si responden a la fórmula: f(x) = o a la formaf(x) = b.

x

! f

¡

1

ax +

y~7+ •'.

l•

1 '

~··'

Y l'

l

1

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'

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1.A

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1

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•

~ -

l '7 1 1

'7

(17) Escriban, para cada uno de los casos del ejercicio anterior, las ecuaciones de las asíntotas horizontal y vertical. Justifiquen la respuesta usando límites de la forma:

lim f(x) =

oo

(e corresponde a un valor de x para el cual hay asíntota vertical), o lim f(x)

=

d (d

x---;;>oo

corresponde a un valor de y para el cual hay asíntota horizontal).

(IS) Propongan una función de la formaf(x) = y tal que f (1) = 1. Grafiquen la función.

k

ax + b

que tenga una asíntota vertical enf(x)

=-

3 4

(19) De cada una de las siguientes funciones, indiquen el dominio, el conjunto imagen, las coorde1

nadas de los puntos de contacto con los ejes, escriban los conjuntos de positividad y de negatividad, las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales, los límites que justifiquen las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los puntos de discontinuidad, y grafiquen la función.

~ f(x)

=

3

x-2

~ f(x)

=-

2

2x

+ 2

~ f(x)

=

4

2x + 3

~ Relean el problema

(14.). Consideren la variante de que la abuela de Andrés le prometió que le regalará $200 en el momento del depósito. !!) Completen la tabla con el capital que debe depositar, aproximado a los centésimos.

Tasa anual (%)

7

X

12

10

8

..

.....

Capital depositado ($)

e

--

•

~ Encuentren la expresión que relaciona el capital

C(x)

1

=

e depositado en función de X.

_ 1_00_0_ X

1

•••

+ 1

100 ~

Si la tasa es de 3,5%, ¿cuál debería ser el capital depositado?

~

Si el capital depositado es de $743,40, ¿cuál debería ser la tasa de interés? /

¡',..., 1

,

,

~--.,/

Para observar

• Toda función de la forma f(x) = ax + b con ex+ d

e~ O se denomina función homográfiea.

• El dominio y el conjunto imagen son: Dom1 = lR- {• la ecuación de la asíntota vertical es: x

f}

e Im/ = IR-

= - .!!... , y la de la asíntota e

{f}·

horizontal es: y

=.!!.. • e

Otra forma de obtener la ecuación de La asíntota horizontal es haciendo la división de los polinomios.

(21)

Condiseren la función: f(x)

=

x+

x-

~

•

•

• •

. ••

•

•

+ .. •

!!) Indiquen el conjunto dominio y el conjunto imagen. Justifiquen.

~ Indiquen la intersección con los ejes. •

~

Completen la tabla con el signo que toma la función y determinen los conjuntos de positividad y de negatividad.

X

( -~·1

Signo de f

~

••••

)

••••

(

....; ....)

®

••••

•

•

•

•

(.... ; +oo)

®

Determinen las asíntotas vertical y horizontal. Justifiquen la respuesta.

!) Determinen los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

fJ Realicen el gráfico. g) Encuentren para qué valor de x hay discontinuidad.

•• • • •

• •••••

•• • • ••

•

•

(22) Para cada uno de los siguientes gráficos correspondientes a funciones homográficas, indiquen el dominio, la imagen, los conjuntos de positividad y de negatividad, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los puntos de discontinuidad y a cuál de las siguientes fórmulas responde: k k ax + b f(x) = ,f(x) = b o f(x) = . x ax + ex+ d '

-t 1

-

'

1

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1

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1

(23] Escriban, para cada uno de los casos del ejercicio anterior, las ecuaciones de las asíntotas horizontal y vertical. Justifiquen la respuesta usando límites de una de las siguientes formas: Lim f(x) =

oo

(e corresponde a un valor de x para el cual hay asíntota vertical)

x~c

lim f(x) = d (d corresponde a un valor de y para el cual hay asíntota horizontal). x~oo

(24)

De cada una de las siguientes funciones, indiquen el dominio, la imagen, las coordenadas de los puntos de contacto con los ejes, escriban los conjuntos de positividad y de negatividad, la ecuación de las asíntotas verticales y horizontales, los límites que justifiquen las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los puntos de discontinuidad y grafiquen la función.

~ f(x)

=

~ f( x) = _ 2x - 1

x+3

2x- 2

(25) Para la función g(x) =

x+4

x-

= _

3x + 6 2x- 4

1 , indiquen si los siguientes valores pertenecen al conjunto imagen:

1 y= 2; y= - 1; y= l; y= n e y= - 2,5. X+

~ f(x)

Funciones racionales ,

Para leer y recordar • Toda función de la formaf(x)=

'

~~~,donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ~O, se denomina función

racional. Las funciones homográficas son también funciones racionales. • Do m¡= IR - {x/O(x) = O}, es decir, todos Los números reales, menos Las raices del denominador. .

EJemplo: f (x)

=

x 2 -1 X

,

2

h(x)

(26) Consideren la función: f(x)

=

x+2 2 X - 6

=

x2 - ~

•

•

X -

Observen que puede encontrarse una expresión equivalente af(x) , para todos los valores de x, excepto los que anulan el denominador. x-1 x-1 1 f(x) - 2 ; - x - 1 - (x - 1) (x + 1) x + 1

para x

Utilicen la expresión simplificada, que difiere de la original enx = ~

*1 1, y respondan a las

consignas.

¿Cuál es el dominio y cuál es el conjunto imagen? Justifiquen.

~ Indiquen la intersección con los ejes. ~

Completen la tabla con el signo que toma la función y determinen los conjuntos de positividad y de negatividad. ( -oo•,

X

....)

Signo de f

~

(

••••

....; ....)

.....

(•••• ; +oo)

®

®

Determinen la asíntota horizontal. Justifiquen la respuesta.

.!) Encuentren para qué valor de x hay discontinuidad .

.f.J

Determinen los intervalos de crecimiento y d ecrecimiento.

9) Expliquen cómo se visualizan en el gráfico de la función todas sus respuestas . --¡•

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1

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1

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1

"" ¡' !

1

l

i

¡

-~ ~

--

En x = -1 existe "" una discontinuida d esencial.

•

.

f(x)_,

--

--i- '1

En x = 1 existe una discontinuidad evitable.

(27)

De cada una de las siguientes funciones, indiquen el dominio, la imagen, las coordenadas de los puntos de contacto con los ejes, escriban los conjuntos de positividad y de negatividad, la ecuación de las asíntotas verticales y horizontales, los límites que justifiquen las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los puntos de discontinuidad, y grafiquen la función. !!} f(x) = x + 2 x2 - 4

E) m(x)

=

~ h(x) =

~ g(x)

=-

x

x+2

x2 + 3x x2 - 4x x2- 1 x+1

{is) Verifiquen si, en cada uno de los casos anteriores, la gráfica corta la asíntota horizontal, es decir, si y = b pertenece al conjunto imagen de la función.

[29) Para cada uno de los siguientes gráficos correspondientes a funciones homográficas, indiquen el dominio, la imagen, las asíntotas, las raíces, la ordenada al origen, los conjuntos de positividad y de negatividad, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los puntos de discontinuidad.

~

-t-'--4-L 1

1

--+--+---+----r- . -1-f..1 -+-+-+--t--+--+-l j ,- -+-+--t--t--+--+---+--

-+-+-r-+-~+~ FJ. lí

1

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1

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!!!!!

.

{áOJ Inventen una función racional que cumpla, en cada caso, con las siguientes condiciones: !!) El numerador sea un polinomio de primer grado, el denominador un polinomio de segundo

grado, pase por el punto (O; 1) y tenga asíntota horizohtal x

=

O.

~ El numerador sea una constante) el denominador un polinomio de segundo grado, y tenga

2 asíntotas verticales x

=

1yx

=

-2.

(31)

Jorge decide experimentar la relación entre la intensidad de una fuente luminosa y la distancia sobre la normal a una pantalla plana, cuando se ilumina esta última. Llegó a la conclusión de que, para lograr la misma iluminación sobre la pantalla, si duplicaba la intensidad, debía colocar la fuente al cuadrado de la distancia. llamamos iluminación E (se mide en lux: lx) al cociente entre la intensidad I (medida en candelas: cd) y el cuadrado de la distancia d (metros) entre la pantalla y la fuente. ~

1

)

--------------.---d

Escriban la expresión que relaciona la iluminación, la intensidad y la distancia.

~ Si la intensidad de una fuente es de 36 cd, completen el cuadro.

d (m)

2

1

3

4

E (lx) ~

Grafiquen la relación anterior en un sistema cartesiano.

Para leer y recordar

1

Toda función de la forma f (x) = ..;. tiene las siguientes características: X

• Dom¡ = IR - {O} e Im¡ = IR - {O} • Asíntota vertical: x = O • Asíntota horizontal: y = O

(32) Consideren la función: f(x) = ~ Indiquen el dominio de f.

1 X

2

•

~ ¿Cuál es el conjunto imagen de f? ~

Indiquen las intersecciones con los ejes.

~ Completen la siguiente tabla con el signo de f, indiquen los

ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de f. X

Signo de f

( -co•1

••••

)

••••

( •••• ; +co)

®

~ Indiquen las ecuaciones de las asíntotas. Justifiquen.

fJ

Determinen los conjuntos de crecimiento y de decrecimiento.

9J ¿Hay puntos de discontinuidad? ¿Cuáles son?

h.J Realicen el gráfico.

(33)

De cada una de las siguientes funciones, indiquen el dominio, la imagen (cuando sea posible), las coordenadas de los puntos de contacto con los ejes, escriban los conjuntos de positividad y de negatividad, las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales, los límites que justifiquen las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los puntos de discontinuidad, y grafiquen la función.

~ ~

2

~ m() x

f(x) = - -xz h(z) =

~

1

z3

!) j(x) =

1

= (x+1 ) 2

g(x) = - (x

~ 2)2

fJ

X2

1 + 1

r(t)= _ t _

t2 + 1

(34) Verifiquen si, en cada uno decir, si y

=

de los casos anteriores, la función corta la asíntota horizontal, es b es imagen de la función.

(35) Para cada uno de los siguientes gráficos correspondientes a las funciones racionales, se pide que indiquen el dominio, la imagen, las asíntotas, las raíces, la ordenada al origen, los conjuntos de positividad y de negatividad, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los puntos de discontinuidad.

V

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1

~ Inventen una función del tipo f(x)

'

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''

1 ·,

g) Pase por el punto (-1; 1) y tenga asíntota vertical en x = 2. =

i

que cumpla, en cada caso, con las siguientes con-

diciones: ~ Tenga una asíntota vertical en x

i

l

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Q,ó

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1

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1

•

1, y su conjunto imagen sean los reales negativos.

P(x) Funciones de fórmula: f(x) = O(x) (37) En un bingo de Villa Carlos Paz, se debe repartir un premio de $30 000 en partes iguales entre los ganadores. Cada uno de los que recibe el premio debe pagar al bingo $2 por ganador. !!) Completen la siguiente tabla.

Premio ganado por persona (P) Número de personas ganadoras (x)

10

20

50

40

~ Si Fernando recibió $1970, ¿cuántas personas ganaron? ~

Escriban la expresión que relaciona el premio neto recibido por cada ganador y la cantidad de personas que ganaron.

Para leer y recordar Tod a función de la forma f(x)= son polinomios, Q(x)

2

~~ , donde P(x) y Q(x)

Gráficamente: f(x)= x - x

x+l

* O, y la diferencia entre los grados -t--

de P(x) y Q(x) es uno, tiene una asfntota oblicua. Una de Las formas de obtenerla es hallando el cociente de La división entre Los polinomios. 2

Ejemplo:f(x)= x- x, entonces (x2

-

x):(x + 1), tiene

x+l como cociente: C(x) =x- 2, por lo tanto, la asíntota oblicua

l

es: y= x- 2. (No se considera el resto de La división).

(38] De cada una de las siguientes funciones, indiquen el dominio, las coordenadas de los puntos de contacto con los ejes, escriban los conjuntos de positividad y de negatividad, la ecuación de las asíntotas verticales y oblicuas, y los puntos de discontinuidad. \

!!) f(x) = x2 - 9

x-1

~ r(x)

=

x2 + 1 -x + 2

(39) Para cada uno de los siguientes gráficos correspondientes a funciones racionales, indiquen el dominio, las ecuaciones de las asíntotas, las raíces, la ordenada al origen, los conjuntos de positividad y de negatividad, y los puntos de discontinuidad. 1

~

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Lentes y lupas Al atardecer de un día caluroso, estaba yo sentado, con un libro en las manos, junto a una ventana abierta desde la que se veía un cerro lejano más allá del río. (... ). Levanté mi vista, miré distraídamente ·hacia la desnuda falda del cerro y vi algo singular: un monstruo repugnante descendió ligero desde la cumbre y desapareció en el bosque que había al pie ..." (Fragmentos de la narración "La esfinge", de Edgar A. Poe) . La escena descripta en el texto puede explicarse de la siguiente manera: u •••

-

El vidrio de la ventana actuó como una especie de lente, al aumentar el ángulo de la visual; y, por consiguiente, la imagen del objeto ocupó más sitio en la retina del ojo del observador del texto de Poe. Este fenómeno ocurre también en el microscopio y en el telescopio, que varían la marcha de los rayos que se reflejan en el objeto, aumentando el ángulo de la visual, lo que hace que la imagen que se forma en la retina se extienda. El microscopio más simple es el de una sola lente y es llamado, comúnmente, lupa. El aumento de este tipo de lente (cociente entre el tamaño del objeto aumentado y el tamaño real) está dado por la expresión: A =

-f

x-J

, donde f representa la distancia focal; y x, la distancia del lente

al objeto.

@

Sabrina tiene una lupa, cuya distancia focal es de 1Ocm.

~ ¿Cuál

es la expresión que relaciona el aumento de la lente y la distancia al objeto?

~ ¿A qué distancia debe colocar Sabrina el objeto para que este se vea en tamaño real? ~

¿A qué distancia del objeto debe ubicar la lupa para que el tamaño sea mayor del real?

~

¿Qué pasaría si colocara el objeto a 10 cm de la lupa?

~

GrafiqueL. la función ajustada al problema.

-

')

-

'

ct} !

La primera ley cuantitativa en la historia de la Física Los primeros físicos que estudiaron la relación entre el volumen de un gas y la presión1 que ejerce este sobre las paredes del recipiente que lo contiene, en forma paralela e independiente, fueron el británico Robert Boyle (1627-1691) y el francés Edme Mariotte (1620-1684). El resultado, que tiene validez para presiones no muy elevadas, es la conocida Ley de Boyle- Mariotte (1662), la cual constituye la primera ley cuantitativa en la historia de la Física, y dice: "A temperatura constante, los volúmenes de una masa gaseosa son inversamente proporcionales a la presión que soporta, es decir, que el producto entre la presión (P) y el volumen (V) es una constante": .

P . V = k, es d ecrr: V = ~

k p . ~

Las unidades de presión más usadas son el kg2 y la atmósfera, que equivale a 1,033lg__. 2 cm

Muchos peces tienen lo que se llama vejiga natatoria, que les permite flotar entre aguas. Si el pez sube, la vejiga aumenta su volumen.

cm

En la inspiración, el diafragma se contrae, y aumenta el volumen de la caja torácica. Esto se debe a que la presión interna disminuye, el aire de La atmósfera ingresa y aumenta el volumen de los pulmones. En La expiración, La presión interna aumenta, y el pulmón se desinfla.

(41) Una jeringa contiene 15 cm3 de aire a una temperatura constante y a una presión de 1 atmósfera. ~

Calculen la constante de proporcionalidad k.

~ Supongan que se tapa el orificio de salida y se comienza a variar la presión interna al empujar el émbolo, y escriban la expresión que relaciona el cambio de volumen en función de la presión. ~ ¿Cuál es el volumen, si se ejerce una presión de 1,3 atmósferas? ~ ¿Cuál sería la presión, si se desea un volumen de 8 cm3? ~ Grafiquen la función que relaciona el cambio de volumen en función de la presión.

1

Se define presión al cociente entre el módulo de La fuerza ejercida perpendicularmente a una superficie y el área de

esta: p

={-.

1

@.2) De las siguientes funciones, indiquen el

1

dominio, la imagen, los puntos de discontinuidad y las ecuaciones de las asíntotas.

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(f3J Los gráficos siguientes corresponden a las funciones racionales. Para cada función, indiquen el dominio, la imagen, los puntos de discontinuidad y las ecuaciones de las asíntotas.

~ Teniendo en cuenta los gráficos del ejercicio anterior, calculen los siguientes límites: ~

Del gráfico l. lim f(x)

~

X__,. + oo

y

•

1

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~ Del gráfico ~ l. lim f(x)

,.,,

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•

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1

1

Del gráfico ~ l. lim f(x) X__,. - oo

11. lim f(x) X_,._ 3

!Y·

....L

(4.5) Consideren una lente de 5 cm de distan-

..,

cia focal .

.,¡

~

Escriban la expresión que relaciona la distancia a un objeto en función del aumento.

,.. Q

~

_i

..

~ ¿A qué distancia se debería colocar un objeto para lograr que su imagen se duplique?

1

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1

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J

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~ 1

1

'll

X

Si colocamos el objeto a una distancia de 3,75 cm, ¿de cuánto es el aumento?

!J Grafiquen

la función que relaciona la distancia focal y la distancia del lente al objeto.

~ Las siguientes gráficas corresponden a funciones de fórmulaf(x) = x ~ b . Hallen la fórmula correspondiente a cada una. y

l '

l

l

-

1

X2

1

-

_f: '

~ f(x)

J 1

indiquen el dominio, la imagen, las coordenadas de los puntos de contacto con los ejes, los conjuntos de positividad y de negatividad, las ecuaciones de las asíntotas, los puntos de discontinuidad, y grafiquen la función. ~ f(x) = -x -1

2

1

-

-

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l

::.¡

•

1 1

...: !

-

1

(47] De cada una de las siguientes funciones,

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1

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+ 2

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1

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L 2 --l-4--$ ... 6~ ¡ l V

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1

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2

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(x + 4)2

1

.

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•

=

4

@.8) Eliana es dueña de un restaurante y dis-

A

3•

pone de $40 000 mensuales para el sueldo de sus empleados .

.,

!!) Si el restaurante tiene 40 empleados y

~

todos cobran igual, ¿cuánto cobra cada uno? ~ Encuentren la fórmula que permite calcular lo que cobra cada uno en función de la cantidad de empleados.

1

1r

~

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tí

~~

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- il-t> - ~-

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•

K

l.

y

!!} ¿Cuántos empleados debería tener el restaurante para que cada uno cobre $760? !.) Grafiquen ambas funciones en el mismo sistema cartesiano. Consideren el dominio de validez para la situación.

:

t\

\

i/

,

•

Si se deben descontar $40 fijos en concepto de ART, de lo que cobra cada empleado, ¿cuál sería ahora la expresión que relaciona el sueldo de cada uno en función del número de empleados?

«.;

1

.." ,.

~ Elaboren una gráfica en forma aproxima-

..

-,

¡.

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o

-

-1

!!) Dom¡ = IR - { -2}

~

~

r\

~

da que cumpla con las condiciones que se indican en cada caso.

lim f(x) = 3 ~! .X

X-?OO

lim f(x) = X

-?-2

oo

~ Do m¡ = lR - {1} lim f(x) = oo x-?1

lim f (x) = -4 x -?oo

(53] Los siguientes gráficos responden a fun-

3

ciones de lafórmulaf(x) = (x b)2 . Encuentren los valores de k y de b que se ajustan a cada caso. _t1l_A\.

l

.

J\

ln ,· ~

1 1'\

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Dom¡= IR - {- 3; 5} lim f(x) = oo

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1

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lim f(x) = 2

.,.

X -?oo

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1 i 1

, •

{§g Escriban

la fórmula de una función racional que cumpla con las condiciones indicadas en cada caso:

,

'.., 1

.. 1!.

-

.r

~

A H: y = O y A V: x = -5

i

o; .

~AH: y =-2 yAV: x =3

~

) mx2- 2x [51] Dada la expresión f(x) = dx2 + 4 ' asígnenles valores a m y a d para que la asíntota

:ti_-· ~

l

gJ

1/

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A

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•

•~

-2

\

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horizontal de f(x) sea la indicada en cada caso. ~ y=

.., .., ...

~

¡A ~

? if

~ y= 5

rL

(52) Indiquen el dominio de f,

la ecuación correspondiente a la asíntota oblicua y a la asíntota vertical, en cada caso. 2x2 + 3 !!Jf(x) = - x+1

5~ Elaboren la gráfica aproximada de una

.!!) f(x) = if - 3x

función que cumpla con las siguientes condiciones.

x2 + 6

Dom¡ = IR - {4} lim f(x)

= oo

Asíntota oblicua: y

=

2x + 2

Marquen la opción correcta.

1

Consideren la función f{x) =

6X 2

-

2 . Los

ex+ b valores de e y b para que la asíntota horizontal 1 seay=-l,ylavertical,x= son: 2 ~ e= -1 y b = 2

.::J e = -6 y b

1

La función que cumple con las condiciones:

• Do m¡= IR - { 2; 4}

• Lim f(x)

= oo

• fim f(x)

• lim f(x)

= -4

=

-2

x ~4

x~oo

tiene por gráfica:

2

=

4

.

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_)e= -6 y b = 3 _)e= 6 y b = -3

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2

La función que tiene como asíntota verti-

cal x = 3 y como conjunto de negatividad el inter-

.:5_,4.....3 ,2., .1F . 1..2 3 4 S 6 7 8 -9 • .? _ _ ,_ ...."!"' ; f' - O" • '' . • . -3 ' ¡...,. 1 .¡.. 1 --¡ ¡,: .L

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3

La función racional que se ajusta a la gráfica es:

_)f(x)

.:t...

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1

->f + 2x2 x2 + x

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1

CUADERNILLO S

5· Cónicas

3

Revisión inidal .................................................................... 4 . ' . Secc1ones con1cas ................................................................ s Circunferencia ................................................................... 6 Distancia entre dos puntos ............................................7 E:li¡Jse .................................................................................... ~ Hipérbola ............................................................................ g PaTábo1a ................................................................ ········-······1 o

el mundo real ...................................................................11 Historia de las secciones cónicas ............................11 Trayectorias elipticas .................................................. 12 Más actividades ..................................................................13 En

Autoevaluadón ................................................................14

Actividades integradoras ...............................................15

O:::(b; k

Si se corta un cono madzo de telgopor con

una cud1illa, se

puede observar que, de acuerdo con la inclinación de la hoja de l'a c_uchiUa, varía el contorno de las secciones que se obtienen. Es decir, esas secciones cónicas tienen forma de circunferencia si se coloca la hoja paralela a la base del cono; pero si se indina la hoja, se obtienen otras curvas. Al referir esas curvas (o cónicas) a un par de ejes cartesianos, puede obtenerse una ecuación para cada una de ellas. Cada cónica es un lugar geométrico porque todos los puntos que la forman cumplen determinadas c~racterísticas y; a su vez, todos los puntos que cumplen esas características perten~en

a eUa.

1 Consideren el punto A y la rectar. r

A ....:) Marquen un punto B que se halle a 2 cm de distancia de A. ¿Cuántas posibles ubicaciones hay para el punto B? .:i) Marquen un punto C que se halle a 2 cm de distancia de la recta r. ¿Cuántas ubicaciones distintas puede haber para C? .=.J Llamen D a un punto que esté simultáneamente a 2 cm de distancia de A y de r. ¿Es único el punto que cumple esta condición? .dJ Marquen otros tres puntos que se hallen, respectivamente, a 3 cm, a 4 cm y a 5 cm de distancia simultáneamente de A y de r. ¿Cuántos puntos hay que se hallen a igual distancia de A que de r?

2 Consideren un sistema de ejes cartesianos ortogonales. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambos ejes? Grafíquenlo.

3

¿Cuántos puntos de intersección puede haber entre una parábola y una recta? ¿Y entre dos parábolas? Justifiquen y grafiquen las distintas situaciones.

4

Hallen las coordenadas de los puntos de intersección de las gráficas en cada caso.

y y

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2

3

Secciones cónicas Para leer y recordar • Una recta que gira alrededor de otra recta, con la cual se corta en un punto fijo, genera una superficie • • comca.

Por ejemplo, la superficie cónica circular recta de la figura es generada por la recta g (generatriz) que gira alrededor de la recta e (eje). El punto V, en el que se intersecan ambas rectas, es el vértice de la superficie cónica.

& : ángulo determinado

V ~

por e y g.

~

~

t;.

~

1

• Las secciones cónicas son curvas que resultan de la intersección de un plano (plano secante) con una superficie cónica circular recta. Este plano determina un ángulo 13 con el eje. • Las siguientes secciones cónicas se obtienen como intersección de planos secantes que no incluyen el vértice de la superficie cónica. 1\

1\

1\

1\

Si a< 13 la cónica es una

Si a= 13 la cónica es una

elipse. En particular, si el plano secante es perpendicular la eje, se obtiene una circunferencia

una parábola.

• e 1 eJe

1

1 1 1 1

1

-

-e 1 eje

1\

1\

eje

Si a> 13 la cónica es una una hipérbola. " = goo 13

{]) Consideren un plano secante a una superficie cónica que pase por su vértice. En los casos que se mencionan a continuación indiquen, cuál figura se obtiene. !!) El plano es perpendicular al eje. ~ El plano es paralelo a la generatriz. ~

El plano contiene el eje.

Circunferencia Para leer y recordar • La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo Llamado centro es constante. • La ecuación de una circunferencia de centro en O = (h; k) y radio r (rE IR •) está dada por la fórmula (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 •

y

k ·------ , O •• •

h

X

Ejemplos: • La ecuación de la circunferencia de centro (4; -1) y radio 3 es (x- 4) 2 + (y+ 1) 2 = 9.

0: centro r: radio

• Queremos saber si X 2 + y 2 = 2y es la ecuación de una circunferencia. Igualamos la ecuación a O. -----------~ x 2 + y 2 - 2y = o Sumamos y restamos 1 para obtener un trinomio cuadrado perfecto y factorizamos. -----------+ x2 + y 2 - 2y + 1 - 1 = O ........,... (y- 1)2 Despejamos los cuadrados y obtenemos la ecuación de una circunferencia de centro (O; 1) y radio 1. --~ x2 + (y- 1) 2 = 1 l.

.J

~ Hallen la ecuación de las siguientes circunferencias de acuerdo con los datos indicados en cada caso. ~

Centro (O; O) y radio 5.

~Extremos de un diámetro (-1; -1) y (5; 5). ~

Tiene el mismo centro que la circunferencia cuya ecuación es X 2 + Y2 = - 2x y su radio es 3.

•

CZ) Resuelvan analítica y gráficamente los siguientes sistemas. xz +yz =1

(x- 3)2 + y 2 = 4

8

x2 + y 2 - 4x + By + 2 y= -x + 4

Encuentren el centro y el radio de cada una de las siguientes circunferencias. ~

x2 +

y-

6x + 2y + 9 = O

=

O

Distancia entre dos puntos 1'

,

.r:

-

Para observar

, ._

-

,,

-

-

.

.

"'

.

Observen cómo se calcula la distancia entre los puntos

! ' 1 ' 1 ''

P = (xt; Yt) Y O = (xz; Yz)·

.,V

. ' 1

''

.1 .f .'

~,,

"-,

'

!lo

'""' ~-,

u

TT

1 1' 1

'•' '

= (X xJ PM = (Yz- yJ Dist(P; O) = vf(x MQ

2 -

2 -

-

~ !n

J2

1 •'

• Consideramos el triángulo rectángulo PMO. • Aplicamos el teorema de Pitágoras: P02 = M02 + PW

'

J1

'•• 1

.1•' ''•'

'

.

-

,

..

)

1 ;'

>. "

",

.

)

;

1

.1

z

J

.

•

.1

xJ 2 + (y2

-

yJ 2

(!) Hallen las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD, clasifíquenlo y calculen su área y ' su penmetro.

-

X

'

•

10 Hallen el perímetro del triángulo ABC de la figura.

X

-

(11) ¿Cuántos

o

puntos de intersección puede haber entre una parábola y una circunferencia? Ejemplifiquen cada caso mediante la ecuación y la representación gráfica de las cónicas involucradas. ¿Cuál es la diferencia entre estas representaciones y las gráficas de las dos actividades anteriores?

Elipse Para leer y recordar • La elipse es el Lugar geométrico de Los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. • La ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos sobre el eje de abscisas

+t

es ~ = 1. Si los focos están sobre el eje de ordenadas, la ecua2 ción de la elipse es Y +~ = 1. a2 b2 • En ambos casos, se verifica que

y ••

•

••

', . .a

••

b

••

••

e

Ejemplos: • Para hallar la ecuación de la elipse de focos F1 = (3; O) y F2 = (-3; 0), cuyo eje mayor es 10, procedemos as1: Hallamos a resolviendo la ecuación

fz

(-e; O)

••

••

••

••

• f.=(c; O)

o

V¡=(a; O)

~

Ez e (O; -b)

2a = 10 ;;;;;, a= 5.

O: centro

Hallamos b mediante la relación a 2 = b2 + e: ;;;;;, b = 4. >f Y2 La ecuación es, entonces, + = 1. 25

~ yF2 :

focos

vl y v2 : vértices

16

vl v2: eje mayor

)

2a

E¡ E2 : eje menor

)

2b

F1 F2 : distancia focal 2

• En La ecuación :

) 2c

2

+

{s9= 1, hallamos Las coordenadas de Los vértices y focos de la siguiente manera:

4 Los focos están sobre el eje y porque v'289 > v'64, entonces a= v'289

e= v' 289 - 64 = 15. Entonces, V1 = (O; 17); V2 = (O; -17); F1

=17; b =v'64 =8 y

= (O; 8); F2 = (O; -8).

[12] Las siguientes ecuaciones representan elipses con centro en (O; O). Hallen los focos y los vértices. +

y2 16

= 1

(13) Tomen un vaso de vidrio de forma cilíndrica, ubíquen lo sobre una mesa h orizontal y agréguele algún líquido, sin que quede totalmente lleno. ~ ¿Qué forma tiene la curva que se observa en el borde de la superficie del líquido si miran desde arriba?

~ Inclinen un poco el vaso. ¿Qué forma tiene ahora el b orde de la superficie del líquido? ~ Supongan qu e el vaso esté ap oyado sobre la mesa con centro en un sistem a de coordenad as

ortogonales. ¿En dirección a qué eje h ay que inclinarlo para que los focos d e la curva estén a 90° del eje de las ab scisas?

X

Hipérbola Para leer y recordar • La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el módulo de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. • La ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas y focos sobre el eje de abscisas es

x2

y2

a2

b2

= 1. ; ;

• Si los focos están sobre el eje de ordenadas, La 2

P=(x; y)

;

;

~r-;=

2

ecuación es - x + L = 1. a2 b2

a' ,

• Las asíntotas de una hipérbola son las rectas

y

X

Ft=(-e; O) '

a

2

2

• En ambos casos, se verifica que c = b + a

2

2c

'

=.!!..x e y =- .ll.x. a

V1 V2 : 2a

;

•

''

0: centro

'

'

~y

''

''

;

;

''

Ejemplos:

r-;: focos

V1y V2 : vértices '' ''

• La ecuación de La hipérbola de focos F1 = (v'2; O) y f 2 =( -V2; O) y asíntotas y = x e y = -x se puede hallar de la siguiente manera:

•

Como

f¡ =1 o f¡ =-1, por las ecuaciones de las asíntotas, entonces 1 a 1 =1b !.

Reemplazamos en la expresión el= a 2 + b 2 y obtenemos (Vl ) 2 = a 2+ a 2• Despejamos: a2 = 1 y, por lo tanto, b 2 =1. La ecuación buscada es:x2 -y2 =1. 2

2

• Podemos hallar los focos de la hipérbola de ecuación .!.-.l.:= 1, de la siguiente manera: 9 4 Reemplazamos los valores de a y b en la relación ( 2 = a 2 + b2 y obtenemos e= V 9 + 4 =

m .

V9 > Y4, sus coordenadas son F1 = (ill; O) O), y las ecuaciones de las asíntotas son y= Lx e y=- Lx.

Como los focos están sobre el eje x porque

F2 = (-m;

3

y

3

(liJ Las siguientes ecuaciones representan hipérbolas con centro en (O; 0). Encuentren los focos, los vértices y las asíntotas.

~

Escriban las fórmulas y representen gráficamente C1 para k = 2 y C2 para a

~ ¿Cómo se llama la gráfica obtenida en cada caso? Compárenlas. ~

Investiguen si algún movimiento puede transformar una gráfica en la otra.

= b = 2.

Parábola Para leer y recordar • La parábola es el lugar geométrico de los puntos tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta llamada directriz son iguales. • La ecuación de una parábola con vértice en el 1 2 origen y directriz de ecuadón x = -p es Y = 4px. 1 y 1 1 • Si la ecuación de la directriz es y = -p, la 1 2 1 ecuación de la parábola es x = 4py. D=( -p; y)~~--1 1

1

1 1 1

1 1

Ejemplos: • La ecuación ·de la parábola de foco (5; O) y directriz x = -5 es y 2 = 4 • 5x, o sea, y 2 = 20x.

1 1

1 1 1 1

'

1 Q.l

f=(p; O)

X

1 1

a

1

)(1

• Para hallar las coordenadas del foco y La ecuación de la directriz de la parábola de ecuación y2 =-12x, procedemos de la siguiente manera:

N:

·e 1

0: vértice

~1

...

CUI ... 1 Ql

F: foco

1 1 1 1 1 1

Igualamos

4p

= -12

::::!;>

p

=-3.

Entonces el foco es F = (- 3; 0), y la directriz, x = 3.

(16) Hallen las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de las parábolas cuyas ecuaciones son las siguientes.

(17) Hallen la ecuación de las siguientes parábolas de acuerdo con los datos indicados en cada caso. 5!.) Foco en (4; O) y directriz de ecuación x = - 4.

~ Foco en (-12; O) y directriz de ecuación x =12. f.) Foco en (O; 8) y directriz de ecuación x = -8.

(lB) Resuelvan analítica y gráficamente los siguientes sistemas. yz = -x X+

y= -2

19 La parábola representada tiene vértice

1

y - - x=O 2 2

/.

(x - 8 ) 2 + Y2 = 4

1~

1?

(h ; k). Su fórmula general se

puede encontrar a partir de los siguientes datos: foco (h + p; k), directriz x =h-e y fórmula general (y- k) 2 = 4p (x - h).

.

-"'

11

~ ¿Es una función? ¿Por qué?

~

A

r7

l A:~

~·

'" 1'3 ¡ ..

.g) Escriban la fórmula.

J

..

/.

•

1' r-..... .

,

Historia de las secciones cónicas La palabra elipse proviene de la voz ellipsis, que significa 'deficiencia', y se utilizaba cuando un determinado rectángulo debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado o en otra figura. En cambio, hipérbola, 'avanzar más allá, se usaba en el caso en que el área excedía el segmento dado y parábola, (de 'colocar al lado' o 'comparar') indicaba que no había ni deficiencia ni exceso. Durante aproximadamente 150 años, se habían referido a las secciones cónicas por la forma en que habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo (oxitoma) secciones de un cono rectángulo (ortotoma), y secciones de un cono obtuso (amblitoma) . Arquímedes, aunque continuó utilizando estos nombres, también usó parábola como sinónimo de sección de un cono rectángulo. Fue Apolonio de Praga (262 a 190 a. de C.) quien inició el uso de las palabras elipse e hipérbola para nombrar las secciones cónicas. Algunos historiadores sostienen que esos nombres fueron adaptados de un uso anterior, posiblemente de los pitagóricos, como la solución de ecuaciones cuadráticas por el método de aplicación de áreas. Descartes determinó que, si se analiza el discriminante B 2 - 4AC de la ecuación general de segundo grado Ax 2 + Bxy + Cy + Dx + By+ F = O, puede determinarse si esta describe una parábola, una elipse o una hipérbola. • Si B 2 - 4AC = O, describe una parábola. • Si B 2 - 4AC < O, describe una hipérbola . • Si B 2 - 4AC > O, describe una elipse.

[20] Indiquen qué sección cónica describen cada una de las siguientes ecuaciones. ~ x 2 + 4y2 - 4x- l6y + 19 = O

~ x 2 + y 2 + 2xy-4y-l =O ~ -2x 2 + y 2 + xy+ 2x+ 2y+ l =O

·

Trayectorias elípticas Johannes Kepler (1571 -1630) fue quien descubrió la forma verdadera de las órbitas planetarias. La primera de estas leyes afrrma que las órbitas de los planetas son elipses con el Sol en uno de sus focos, aunque todas, excepto la de Mercurio, son casi circulares, incluso la de Júpiter, el mayor de los planetas. Todas las órbitas de los planetas se hallan aproximadamente en el mismo plano (llamado la eclíptica y definido por el plano de la órbita terrestre). La eclíptica está inclinada sólo 7 grados respecto al Ecuador del Sol. La excentricidad e indica la distancia del Sol al centro de la órbita. Por ejemplo, e = 0,50" indica que el Sol está a mitad de camino entre el centro de la órbita y un punto perteneciente a la elipse. La excentricidad de las elipses es siempre menor que 1 y cuanto más cercano a cero es, más se acerca la órbita a una circunferencia. 11

11

11

(2¡) Los siguientes números corresponden a valores muy aproximados de la excentricidad de cada uno de los ocho planetas, sin embargo están desordenados.

0,0068

---~~-1

0,0543 0,2056 1 0,0460 1 0,0082

l

l

0,0484 1 0,0934 0,0167

1~___,._____.......____,

Lean las consignas, decidan y completen cada casillero de la tabla. ~

Venus es el que tiene su órbita más cercana a una circunferencia.

~ La órbita de Mercurio es la más aplastada. ~ La suma de las órbitas de Mercurio y de Marte es 0,299, y su diferencia, 0,1122.

~ La órbita del mayor de los planetas es 0,0484. ~

La excentricidad de Saturno tiene como cifra de los centésimos un 5 .

.fJ La excentricidad de la Tierra es un número que está entre la excentricidad de Urano y la de Mercurio.

9..J La órbita de Neptuno es menos aplastada que la de Urano. -.

.

' Planeta e,

Metturi.c Venus .

~

Excentricidad

Tierra

Marte

Júpiter Saturno Urano

Neptuno

o

(22) Mario es jardinero y quiere construir un

[2§1 Determinen cuál es la ecuación que co-

cantero en forma de elipse sobre una superficie rectangular de 80 cm por 60 cm. Para ello, necesita ubicar los focos, clavar en ellos dos estacas y luego, con un piolín atado, trazar la elipse. ¿A qué distancia del centro debe ubicar los focos?

rresponde a cada uno de los gráficos que se muestran a continuación.

i (Y 1

i

¡

1 1

y

1

o

'"

"'

•

'\. /

"'

- -

l,l(

.

~

lt~

.

-

'

,

~

-1!

(i

1

i

1

1

1

1

y

23 Resuelvan los siguientes sistemas. x2

"'

'

/ ~

'1"'

~

1

y2 9

2x + 3y = 8

V

y+ 2 = (x- 2) 2

•

~

••

•

......

")-tW'••

\

-25-2

1

\.

"

~

...

25

- - - =1

16

V' '1 '

/ 1

1

1

-

•

"

• • •

• •

o. 5'

.......: --

• -;;¡

.

~

• /

•

1

•

"

;? X~

5 2o 2 5~ o~ • • :--... ..... • •~ 1

1

1

1

1

~

Encuentren las ecuaciones de las cónicas graficadas en cada una de las figuras. ~ Si se graficaran en un mismo par de ejes

cartesianos, ¿cuáles serían los puntos de intersección entre ellas? •

11

l.

1

1

~ ~

,

7 1

..

/

1

iJ

'

..,lLL 1

/

/.

~

¡

•

-6•

-l

-2

1\

II.y

x¡ ,..

'"".

l

'

y2

=

=

¿'

1

(x + 2) 2 + 4

.

-

xz

1\T. 16

l-

-4-

~

o

1

J

2

/. '

"1

'

" •

' - 5- .0/- is' •

•

!;'

• IV

........... .........

...

VI. 2x. y= 4

9

· ~

, •V "... • i\.1 o 5 • o. 5

~

'

X

-z,

l

,..

/"' ~

1

-~

'

:LI

~

-~ -~ ~

'"

r

1

...

-2 -2

1

V I ñ

.1

~

l. 36 + 49

.~.

'

3

1\ x2

,

•

V

~

,:''

~ - - --~~-- _....._~:'!........ ~- ~--- ---- ---·· --··· -··-

II.

r-.....

.~

1

1

1

1

'

r~

'· "

\

~

•

\

i

"l

\

J

i7

1

1\

v'

' 1' t ll

!"-...,

V"

1

.........

.

l

1

Marquen la opción correcta.

1

La cónica Y

2 -

1

8x =o:

5 ~ue

$:;) es una elipse con eje mayor 2 y eje menor 1 ......... 4"

La ecuación de la efipse de centro (O; O) y pasa por (O; -3) y (5; O) es:

::!) es una funciófl cuadrática.

tro (-2; 5) que contiene el punto (-2; O) es: 2

X

:d) (x + 2) + (y - 5) = 25

::J

= 25

6

(x + 2) 2 + (y - 5) 2 = 5

___..1 .2J (x-

yz

- + = 1 25 9

2

"' (x - 2) 2 + (y+ 5) 2 :2)

2

La ecuación de la hipérbola de vértices

v,= (2~ O) y V2 = (-2; O) y asíntotas~= 2x ey= -2x es:

2t + (Y+ 5) 2 = 5

X2

jl _

xz

y2

.!) - - - - 1 4 16

3

La recta que pasa por los puntos (1; 1) y (2; 2) 2

2

corta la elipsé de ecuación .!..._ +L = 1: 9 16

1 ••

0

!f). ~ sólo eh ~-lf; -Jf). ~ en (g· E) y (-E.· _ _g). 5 5 5 , 5 iV en (1!. _g\ y ( _ _g_. g). 5 ' S-, 5 ' 5

:d

sólo en ( ~;

-

-~=1

16

4

l

4

7

Las cónicas:

La ecuación 2x'2 +

yz -

corresponde a:

;!V una hipérbola. •

f!J

represen-tan una elipse y una hipérbola.

~ son das elipses

una drcunferencia~

con eje mayor :en el eje

de las ordenadas. J

0

D son dos elipses de iguales focos. 0. són do~ elipses con la misma excentricidad.

~ una elipse. .::!) una parábola .

4x -

4y + 2

=

o

-X2 y la parábola C2

Consideren la función racional C1 •• y

CD Hallen la hipérbola asociada a C

1

• •

X

+4

provocada por un giro de -45° de su gráfica.

•••• • ••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

····· ····· ····································································································································-· ·························· •••• • ••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

(]) Representen en un mismo sistema de ejes la hipérbola encontrada y la gráfica de C2 • l y~

~c. r J

"Y

..

J

A

"' •

"

-~ -p- ~ -~- ~ -~9

X

•

~

.,...

¡¡.

;

t

...

..

~~

~

, .... .

• ¡:;

.

•

1

(I) Calculen analíticamente las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas representadas. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••• • ••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••• • •••••••••• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••

..........•..•......................... ...••••..•....•.•.•.••..•.••.••..•......•••••••••....................•.••••.•.•••••••......••.•••.•••.•..•........•.....••.•.•.•. ~

(!) Clasifiquen el cuadrilátero con los puntos encontrados. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••••••••••••••••••••••

('§) Hallen para ese cuadrilátero: ~

el área exacta.

~ el perímetro exacto. ~

el seno, el coseno y la tangente exactos de los ángulos agudos. Exprésenlos con los denominadores racionalizados. L- --- •