Ai4 Rules Of Exponents

Rules of Exponents    Before we begin, let’s start with a quick review of what exponents are and how they work. If you remember back to  the order of operations tutorial we mentioned that there are a few fundamental operations that you will use to  combine numbers together:      1. Addition and Subtraction  2. Multiplication and Division  3. Exponents and Logarithms    There are lots of very convenient patterns that these operations share, but looking at the big picture, these are 3 very  distinct categories.  When we start working with exponents, you will see a number of connections with multiplication  and division but don’t get closed‐minded in believing that this is all that exponents do. You will eventually come  across things like  20.7  or   eπ i   which cannot be described conveniently with basic multiplication and division. But we  will get to those things later, let’s first begin with those elementary patterns.     When you started learning about numbers, you began with addition and subtraction. When you added or subtracted  numbers over and over you discovered multiplication and division as quicker ways to group items. For example:    0 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15     It takes 5 threes to get from 0 to 15 so we can write  5 ⋅ 3 = 15    

15 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 = 0     It takes 5 threes to get from 15 to 0 so we can write 

15 =5  3

  The same concept can be applied to exponents. When you multiply or divide something over and over you can use  exponents as a quicker way to group numbers together.    

1 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 35     

 

1 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ 3 = 3 −5  

 

  Now wait . . . I get the multiplication but what is all this about division and negative exponents?     Remember that each of these basic operations has an inverse that can undo it. So if we multiply over and over, it can  be undone by dividing over and over. So when we start talking about negative exponents, you can start by thinking of  this as repeated division (though there is more to it than just repeated division so a better way is to think of them as  just the inverse of the positive exponents). Here’s an example.     We will start with 1 and multiply by 3 over and over. Look at the table below:    Number of Times We’ve Multiplied by Three  0  1  2  3  4  5  Result  1  3  9  27  81  243    Now we will do the same thing with division:     Number of Times We’ve Divided by Three  0  1  2  3  4  5  Result 

1 

1   3

1   9

1   27

1   81

1   243

    Notice the relationship between these values. The division values are just the inverse of the multiplication values!   Let’s put these two tables together to get the whole picture of what’s happening.  

MULTIPLICATION Æ  ‐5 

‐4 

‐3 

‐2 

‐1 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

1   243

1   81

1   27

1   9

1   3

1 

3 

9 

27 

81 

243 

     Å DIVISION    So let’s translate this into some expressions. Look at the columns for ‐4 and 4.     Remember that we were using 3 as our multiplicand/divisor so the base of our exponential expression will be 3.   The exponent is the number of times that we have multiplied or divided by 3. In this case 4 and ‐4.  

34 = 81

 and             3−4

=

 

1 81

This can be done with any value in the table. Suppose we continued out to 10 on each side.    

 

 

 

 

  310 =  59049

and 

3−10 =

1 59049

  You can do the same thing with any base too.  

22 = 4 and 2−2 =

1     4

75 = 16807 and 7 −5 =

1   16807

(−4)3 = −64 and (−4) −3 = −

1   64

  This leads us to our first rule of exponents: 

If x ≠ 0 then x − m =

1 xm

 

***WARNING***   There is a big difference between when the exponent is negative and when the base is negative.  −23 is very different  from  2−3 .  

( −2 )

3

= ( −2 )( −2 )( −2 ) = −8  

2−3 =

1 1 =   23 8

  1 1 1 = = − (−2) = (−2)3 ( −2)(−2)(−2) 8 −3

 

Now that we have that basic concept down, let’s take it one step further. Since negative exponents deal with  fractions, let’s practice working on some situations that will come up involving fractions.   Remember that negative exponents are the reciprocals of their positive counterparts so if you are dealing with  negative exponents in fractions, you just switch whether the expression is on the top or bottom. Here’s an example: 

2 2 2 1 = = ÷ x −3 1 x3 ⎛1⎞ ⎜ 3⎟ ⎝x ⎠ So    

2 x3 = ⋅ 1 1

= 2 x3

 

2 = 2x3 .   The  x −3  moved from the denominator to the numerator and the exponent turned positive.   −3 x

Remember way back to when you learned about multiplying and dividing fractions? When you divide a fraction by a  fraction you have to flip the divisor over and multiply. Well, negative exponents are essentially fractions so that’s  basically all we did here. The nice thing is, you don’t have to do all that work every time. All we really did was move  the x from the bottom to the top of the fraction. This always works!!  

1 = x4   −4 x

a2 = a 2b 2     −2 b

 

5w5t 3 5w5t 3 k 9 = k −9 p 3 p3

3gh5 3 ⋅ 42 f 2 d gh5 = 4−2 q 6 f −2 d −1 q6

  

  The same method works if the negative exponent is on the top of the equation. Anytime you have a negative  exponent on the top of a fraction, just move that part down to the bottom. If you have a negative exponent on the  bottom, move it up to the top. (DON’T FORGET TO CHANGE THE SIGN WHEN YOU MOVE IT!!!). Notice in the  examples below how anything with a negative exponent gets moved and anything with a positive exponent doesn’t  change. 

( −a

( −a )( b ) x )( b )( c ) = c                            y ( ) 8

8

4

−3

4

−3

3

5

=

1 3 5 x y

4 x 4 y −6 z −1 x4 =                                      8 2 y 6 z1

 

5a 2b −4c −5 d 6 5 ⋅ 22 a 2 d 6 f 11 g 3 = 2−2 e9 f −11 g −3 b 4 c 5 e9

( −2 ) ( −4 ) ( 3) = ( 3) ( −7 ) ( −8 ) −7 5 −8 2 4 5   ( −7 ) ( 5) ( −8) ( −2 ) ( −4 ) ( 5) −2

   

−4

3

3

7

8

  Read these examples carefully. Negative exponents tend to be one of the more confusing rules of exponents and an  easy one to confuse since they are often combined with other negative numbers that can trip you up. (Notice  especially what is going on in the first and last example where the bases are negative).   BE CAREFUL!  If the exponent is negative, then you move the expression. It has nothing to do with the base being  positive or negative, only the EXPONENT.  

 

Now that we have a good definition for positive and negative exponents, let’s look at some ways to combine  exponential expressions together. These rules are pretty easy but it’s very common to mix them up so pay attention  to detail when you are working through problems and make sure you are using the correct rules.     Multiplication Rule of Exponents  We all know that  46 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4  and  43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 .  So what do you think  46 ⋅ 43 equals?  Well, another way to write this would be   46 ⋅ 43 = (4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4) ⋅ (4 ⋅ 4 ⋅ 4)   or   49 .  So   46 ⋅ 43 = 49 .   You can probably already see the pattern (I told you these were easy).  Let’s try one more with letters:   What is another way to write   a 5 ⋅ a 21 ?   Well, you could write it all out like we did with the 4’s but we know what’s  going to happen. We will have 5 a’s and 21 a’s so in total we will be multiplying 26 a’s. So can’t we just write  a 26 ?  Yes, yes you can. But here’s a curve ball. How would you simplify   x5 ⋅ y 2 ?  Take a guess….    Let’s write it out:   x5 ⋅ y 2 = ( x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x) ⋅ ( y ⋅ y ) .   Hmmm, we can’t really combine these all together like we did  before. If we wrote  ( xy )7  that wouldn’t make sense since we don’t have 7 pairs of xy. We are measuring two  different things here so we can’t really combine them into one convenient expression. It’s best to just leave this as 

x5 y 2 .     So let’s formalize what we just did here.  If you multiply two or more exponential expressions with the same base,  you can just add the exponents.  

x m ⋅ x n = x m+n     Here are a few more examples (notice that some of these involve negative exponents…read carefully!!):     

314 ⋅ 353 = 367

( −2) 4 ⋅ ( −2)8 = ( −2)12

2 x5 y 6 x16 y = 2 x 21 y 7

3 x 5 ⋅ 7 x 9 = 21x14  

4k −10 ⋅ 3k 3 = 12k −7 =

1 (12a 4b5c −3 )( a −2bc8 ) = 6a 2b 6 c5   2

12   k7

Division Rule of Exponents  Now that you have seen how to combine exponential expressions using multiplication, division should be relatively  simple. Recall that if you have an expression like 

3x  you can cancel out the 3’s since dividing them just gives you 1.   3

68 We will use the same idea when reducing exponential expressions with division. Take the example  5 .   6 We could rewrite this as:  

68 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 63 = = = 63 .    65 6⋅6⋅6⋅6⋅6 1

Each time 6 is divided by 6, it just leaves a 1, so we can cancel out a bunch of them until we get to the simplest  version. Let’s look at one more. What about 

w4 ?  w9

w4 w⋅ w⋅ w⋅ w 1 = = 5 9 w w⋅ w⋅ w⋅ w⋅ w⋅ w⋅ w⋅ w⋅ w w

(or w−5 )  

So can you see the shortcut yet? Remember when we multiplied expressions we just added the exponents. So  doesn’t it make sense that division would do the opposite? And it does!   If you divide two or more exponential expressions with the same base, you can just subtract the exponents.  

xm = x m−n   n x   Notice how it even worked when the bottom exponent was larger. Again, this rule will work with any exponent…even  negatives! Be really careful though, the basic rule is easy but it can get really tough when you start dealing with  negative exponents. Here are some more examples. Read carefully and see if you can follow how we got the answers.  

324 = 314 10 3

(−2)3 1 = = (−2) −4 7 4 (−2) (−2)

15 x 9 = 5 x8   3x

 

r −4 1 −11 = r = r7 r11

t 3m6 t2 2 −2 =t m = 2 tm8 m      

− 9 x − 6 y 4 − 3 −3 5 3 y5 = ⋅x y = − 3 12 x −3 y −1 4 4x

Remember how negative exponents just swap their position in the top/bottom of the fraction? Instead of trying to  subtract the negative exponents, let’s look at another way to simplify the last example. Everywhere there is a  negative exponent, we will just move it up or down in the fraction.  

−9 x −6 y 4 −9 x3 y1 y 4 = −3 −1 12 x y 12 x 6

−9 x3 y1 y 4 −3x3 y 5 3 y5 = =− 3      and using our new rules we get:    12 x 6 4 x6 4x

 

The reason we mention this is to let you know that when you start working with more complicated problems, there  are often a number of different paths that can take you to the same answer. Keep your eyes open for the different  options that are available then use whatever is easiest for you. The more you do it, the more you will start to notice  some shortcuts and be able to find the fastest and most efficient route.     Distributive Properties of Exponents  The last step is to look at what happens when you group items together. You may see the following rules listed  elsewhere under multiplication or division rules but it really makes no difference. We felt it would make more sense  to group them under the distributive property since they follow similar patterns.  

( )  ? 

First we examine what happens when you take a power to a power. How would we deal with  43

2

Let’s write it out. This is essentially saying we have two groups of  43 .  

(43 ) 2 = (43 )(43 ) = (4 ⋅ 4 ⋅ 4)(4 ⋅ 4 ⋅ 4) = 46  

( )

So  43

2

= 46 .  Two groups of three gives 6. See the pattern? Let’s do one more. What about  ( q 6 ) ?  3

( q6 ) = (q6 )(q6 )(q6 ) = q18   3

Three groups of six gives us 18. Basically all we do here is multiply. Our rule will say that when you raise an exponent  to another exponent you can just multiply the exponents. 

( xm ) = xm ⋅ n   n

  BE CAREFUL!! This one is easy to confuse with the first multiplication rule. If you are ever unsure whether to add or  multiply, just expand it out and count up how many you have. For example:  

a 4 ⋅ a 2 = (a ⋅ a ⋅ a ⋅ a) ⋅ (a ⋅ a ) = a 6

(a 4 ) 2 = (a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ) ⋅ (a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ) = a8  

Very different things, but they can be confused easily. Watch out. 

The previous example distributed an exponent over a single term inside the parenthesis. If we have two or more  terms grouped together we can distribute the exponent to all terms.   BUT…remember that exponents have a close relationship with multiplication and division, so EXPONENTS CAN ONLY  DISTRIBUTE OVER MULTIPLICATION AND DIVISION!  For example:    (a ⋅ b)3 = (a ⋅ b)(a ⋅ b)(a ⋅ b) = (a ⋅ a ⋅ a )(b ⋅ b ⋅ b) = a 3b3       The exponent distributed to a and b.   3 ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞⎛ a ⎞ ⎛ a ⋅ a ⋅ a ⎞ a = Here’s another:   ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜   ⎟ 3 ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠⎝ b ⎠ ⎝ b ⋅ b ⋅ b ⎠ b 3

Again the exponent distributed to both a and b.  

  Notice how both of these examples dealt with multiplication or division. There was no addition or subtraction!  Exponents do not distribute over addition or subtraction!!     Here is an example which is one of the most common mistakes made by algebra students everywhere:   What is   (a + b) 2 ?  I really hope you didn’t say  a 2 + b 2 .  If you did, we forgive you, but make sure this is the last time you ever do that.  Exponents do not distribute over addition or subtraction. Don’t believe it? Try plugging in some numbers:   

(2 + 5) 2 = 7 2 = 49  

22 + 52 = 4 + 25 = 29   Not the same.  

When you start working with quadratic equations, we will touch on this some more. For now just be very careful not  to get tricked into using these rules for addition and subtraction. None of the exponent rules apply to addition or  subtraction!!  That being said, let’s recap the last two distributive properties:   m

⎛x⎞ xm ⎜ ⎟ = m y ⎝ y⎠

( x ⋅ y)m = x m y m

 

These formulas have been generalized for 2 variables x and y but you can distribute over any number of variables as  long as they all involve multiplication or division. Here are a few examples:   4

⎛ 35 ⎞ 320 ⎜ 6 ⎟ = 24 ⎝5 ⎠ 5

4 −3 7

7 28 −21

( rs t ) = r s t

r 7 s 28 = 21 t

x 4 ( y 2 z 9 ) 2 x 4 y 4 z18 xz18 = 3 21 = 17 x y y ( xy 7 )3

  We can’t say this enough:  BE CAREFUL! Take your time, look for shortcuts, and expand it all out if you need to.  

Now that we have looked at all the major concepts, this is a good point to pause and answer a question that we  haven’t touched on yet:   What about zero?  How do we deal with things like      05

0−3

(−3)0

50

00    ? 

    Zeroes and Exponents  Well, first let’s look at the division rule we talked about. What happens if the exponents are the same? For example: 

a2 .   Our rule says we just subtract the exponents, so  2 − 2 = 0 .   a2 So our answer is  a 0 , but what is that?    Well what happens if you take a number divided by itself (such as  a 2  and   a 2  )?   All the a’s just cancel themselves  out and you get 1!   So this tells us that  a 0 = 1 .   In fact, this is true for any value of a.  Anything to the power of 0 equals 1.   

5 =1

0

⎛ b −4 k 2 h 3 z ⎞ =1  ⎜ 3 4 kb ⎟ − 4 z 7 h ⎝ ⎠

4 (− xyz )0 = 1 7

(−3) = 1

0

0

If this is still confusing, look back at the table we created in the very beginning using 3 as a base:  

MULTIPLICATION Æ 

   

‐5 

‐4 

‐3 

‐2 

‐1 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

1   243

1   81

1   27

1   9

1   3

1 

3 

9 

27 

81 

243 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Å DIVISION 

Notice the value at 0?  Its 1!! If you follow the pattern of multiplication and division this should make sense why we  have to use one and not zero.        

So that takes care of zero as an exponent but what happens when you have 0 as a base such as  05 .  This should be  easy since we know that 0 times anything is 0 so the answer should obviously be 0.   However, what if the exponent was negative? What do you think would happen if we had  0−6 ? Remember back to  our rule for negative exponents and how it had that disclaimer that  x ≠ 0 ?   Look what happens if we try to do  0−6 .   By our rule,    0−6 =

1 1 = .    06 0

DANGER, DANGER, DANGER!! Clear the area! Duck and cover!  You CANNOT divide by 0!!  This value is UNDEFINED! It does not equal 0 or 1 or any other value. Undefined.  So what do you think happens if we take  0−1 ,  0−1399 , or   0−51 ?  It’s always undefined!  You can’t divide by 0 so you  can’t take zero to a negative power. Ever.     This leaves us with one last unanswered question. So if anything to the zero power is 1 and zero times anything is  zero, what is  00 ?    Well this is a tricky one that mathematicians have argued about throughout history. You will probably hear this  described as “indeterminate” which basically means that it depends on the situation. There are certain cases where it  makes sense to call it 0 but this creates a lot of problems and forces us to rewrite a number of theorems to add in  special cases when x=0.  Mathematicians don’t really like inconsistency so calling it 0 creates some issues. However,  saying it always equals 1 can create some sticky situations as well. Even so, there are still many situations where a  value of 1 makes a lot of sense, especially when you start looking at limits and calculus.   So what do we call  00 ?  I think if we took a vote among all the mathematicians in the world, a value of 1 would win  since it tends to make life easier, but the best advice is to ask your teacher how you should handle it since they are  the ones grading your papers!    So that’s it for the basic rules of exponents. Let’s end with a quick recap of the key points.   1. Negative exponents are the inverse of positive exponents  2. When you multiply two expressions with the same base, you can add the exponents  3. When you divide two expressions with the same base, you can subtract the exponents  4. When you take a power to another power, you multiply the exponents  5. Exponents will distribute over multiplication and division but NOT addition or subtraction  6. Anything to the power of 0 equals 1 (ask your teacher what to do about  00 )  7. When dealing with negative exponents and division, remember that you cannot divide by 0.   Remember to take the time to examine a problem before starting. It’s easy to mix up the rules and make tiny  mistakes, so be careful and if you ever forget, you can always expand everything out and count. Good luck!  www.mathmadesimple.org