Agirlikmerk Yeni

AĞIRLIK MERKEZİ Bir cisme etki eden yerçekimi kuvvetine Ağırlık denir. Ağırlık vektörel bir büyüklüktür. Yere dik bir kuvvet olup uzantısı yerin merkezinden geçer. Cismin coğrafi konumuna ve yerden yüksekliğine göre değişir. Yer kabuğundan yukarı çıkıldıkça azalır. Merkeze inildikçe azalır. Merkezde sıfırdır. Yerin merkezinden yer kabuğuna doğru gidildikçe artar. Ekvatordan kutuplara doğru gidildikçe ağırlık artar. Eğer Dünya dönmemiş olsaydı ağırlık daha büyük olurdu. Atmosfer olmasaydı daha fazla olurdu. g = 9,8 N/kg ya da g = 9,8m/sn2 Kütlesi 1 kg olan bir cisme yaklaşık 9,8 N’luk bir kuvvet etki eder. Ya da serbest bırakılan bir cisim hızını saniyede 9,8 m/sn artırır.

G=mxg G = kg x N/kg G = Newton

Kütle : Bir cismin hacmini dolduran madde miktarına kütle denir. Not : Kütle evrenin her yerinde aynıdır. Fakat ağırlık evrenin her yerinde aynı değildir. Dünya üzerinde değiştiği gibi kainattaki yerine göre de değişir. Örneğin aydaki çekim kuvveti Dünya’daki çekim kuvvetinin 1/6’sı kadardır. mı

m2

m3

m4

G3

Bir cismin m kütleli küçük parçalardan meydana geldiğini düşünürsek, Yerçekimi kuvveti tüm m kütleli parçalara etki eder. Bu küçük küçük ağırlıkların bileşkesi o cismin ağırlık merkezini oluşturur. Cismin tüm kütlesinin veya tüm ağırlığının bu noktada toplandığını düşünebiliriz. 1- Bir cismi ağırlık merkezinden astığımızda, o cisim dengede kalır. 2- Bir cisim hangi noktasından asılırsa asılsın ipin kendisi veya uzantısı mutlaka ağırlık merkezinden geçer.

G4

G1

G2 G

-

Düzgün geometrik şekillerin ağırlık merkezi, geometrik merkezleridir. Üçgenin ağırlık merkezi ise kenarortaylarının kesim noktasıdır. Yarım daire şeklindeki levha için ağırlık merkezi daire merkezinden a = 4r/3¶ uzaklıktadır. Yarım küre için ağırlık merkezi, küre merkezinden a = 3r/8 uzaklıktadır.

G Kare levha

G dairesel levha

G çubuk

G silindir

Türdeş cisimlerde, ağırlık yarine tel ve çubuk şeklinde olanlar için uzunluk (bir boyutlu), daire, kare levha gibi yüzeysel (iki boyutlu) cisimler için alanlar, silindir ve küre gibi hacimsel (üç boyutlu) cisimler için hacimler alınarak cisimlerin ağırlıkları karşılaştırabilir. Y

Y4 Y3 Y2 Y1

mı m3

X1 X2

m2 m4

X3 X4

X ve Y eksenlerine göre moment alırsak bileşke kuvvetin, yani cismin ağırlık merkezinin koordinatların bulmuş oluruz. Yine, burada da moment konusunda kullandığımız ; X = ∑M (yatay için) ; Y = ∑M (düşey için) kullanalım. X ∑F ∑F

Formülleri şekle uygulayacak olursak; X = G1.X1 + G2.X2 + G3.X3 + G4.X4 G1 + G2 + G3 + G4

;

Y = G1.Y1 + G2.Y2 + G3.Y3 + G4.Y4 G1 + G2 + G3 + G4

Yer çekimi kuvvetinin bulunmadığı yerlerde ( g = 0 N/kg ) ağırlık merkezinden söz edilemez. Bu durumda ağırlık merkezi yerine kütle merkezini kullanırız. Bir cismin kütle merkezi ile ağırlık merkezi aynı noktadadır. Yapacağımız işlemlerde bir değişiklik olmaz. Örnek 1 :

K

M

L

K

22 = 4 br2

N

M

L

Aynı maddeden yapılmış türdeş levhalar şekildeki gibi birbirlerine perçinlenmiştir. Sistem hangi noktadan asılırsa dengede kalır?

N

2.3/2 = 3 br2

Karenin alanı 4br2, üçgenin alanı 3br2 yapar. Alanlardan faydalanıp ağırlıklarını karşılaştırabiliriz. K noktasına göre; X = ∑M → X = 0 + 3.3 → X = 9/7 birim. ∑F 4 +3 Sistemin ağırlık merkezi K noktasından 9/7 birim uzaklıktadır. Yani L-M arasındadır.

Şu şekilde de düşünebiliriz. Sistemin asıldığında dengede olabilmesi için askı noktasına göre sağlı ve sollu momentlerin birbirine eşit olması gerekir. buradan yola çıkarak askı noktasını tahmin edebiliriz. Örnek 2 : 2r

r

2r

22

r

12

12

r

Aynı maddeden yapılmış 2r, r, r yarıçaplı üç dairesel türdeş levha birbirine perçinlenmiştir (monte edilmiştir). Sistemin ağırlık merkezi 2r yarıçaplı dairesel levhadan kaç r uzaklıktadır.

r

Dairelerin alanlarından ağırlıklarını karşılaştıralım. Alan formülünün tamamını kullanmamıza gerek yok. Çünkü hepsinde pi’ler ortak. Yalnızca yarıçapların karelerini almamız yeterli olur. 2r yarıçaplı dairenin merkezine göre moment alırsak; x = 4.0 + 1.3 + 1.5 → x = 8/6r → x = 4/3r uzakta olur. 4+1+1

Soruyu, dairesel levhaları gruplandırarak ta çözebilirdik.

Örnek 3 :

2r

r

Eğer bunlar dairesel levha olmayıp, aynı maddeden yapılmış, kalınlıkları aynı, türdeş teller olsaydı. Sistemin ağırlık merkezi 2r yarıçaplı telden ne kadar uzaklıkta olurdu.

r

Bu sefer ağırlıklarını karşılaştırmak için alanlarından yararlanmayacağız. Uzunluklarından karşılaştırma yapmamız gerekir. Onun içinde çevrelerin bulmamız gerekir. Ç = 2¶r formülüyle bulunur. 2¶’ler hepsinde ayın olduğu için yarıçaplarına göre ağırlıklarını karşılaştırabiliriz. X = ∑M → x = 2.0 + 1.3 + 1.5 → 8/4 = 2r uzaklktadır. ∑F 2+1+1 ya da

2r

r

r

2r

2r

Örnek 4 : Aynı maddeden yapılmış türdeş, daire şeklindeki iki levha şekildeki gibi birbirine perçinlenmiştir. O’ merkezli R yarıçaplı daire, 2R yarıçaplı dairenin içinden çıkartılarak, R yarıçaplı daireye perçinlenirse sistemin yen ağırlık merkezi “O” noktasından kaç R uzakta olur?

2R O

O’ R

R

O’’

1

Yarıçaplarının karelerine göre ağırlıklarını karşılaştıralım. Yine O noktasına göre moment alalım. Çıkan dairenin momentini (-) alalım. Ters tarafa döndürüyor gibi düşünmemizde bir sakınca yoktur. Her zaman çıkanın momentini (-) alsak bir sorun çıkmaz.

2R O

4

O’ R

R

R

O’’

1

1 2

Not : Şunu unutmamak gerekir. Ağırlık merkezi sorularının çözümünün paralel kuvvetlerin dengesinden bir farkı yoktur. Bu yüzden ağırlık merkezi sorularında x = ∑M kullanmamızda ∑F bir sakınca yoktur. 1

O noktasına göre moment alırsak; X = -1.1 + 2.4 → x = 7/5R uzaklıktadır. 4+2-1

O R O’ R

O’’ R

R

4 2

Daireleri ayrı ayrı kullansak ta sonuç yine değişmez. Örnek 5 : Şekildeki düzgün, türdeş levhadan taralı alan çıkartılıp, yanına eklenirse ağırlık merkezi ilk duruma göre kaç birim yer değiştirir?

8br2 taraftadır.

4br2

4br2

Bir cismin içinden bir parça çıkarıldıktan sonra geriye düzgün geometrik bir şekil kalıyorsa, ağırlık merkezinin yeni yerini bulurken yukarıdaki gibi işlem yapmamıza gerek yoktur. Yeni oluşan şekil üzerinde alanlarından ağırlıkları bulunur ve moment alınarak yeni ağırlık merkezi bulunur. Sol baştaki kuvvete göre moment alırsak; X = 8.0 + 4.2 + 4.4 → x = 24 → x = 1,5 birim ilk kuv. uzak. 8+4+4 16 Yeni ağırlık merkezi ilk baştaki ağırlık merkezinden 0,5 br sağ

Örnek 6 : X Y 2r

Z r

r

Yoğunlukları sırasıyla 2,2 gr/cm3, 2,8 gr/cm3, 3 gr/cm3 olan x, y ve z küreleri birbirlerine monte edilmiştir. Sistem nereden asılırsa dengede kalır?

X

Y 2r

Z r

r

Aynı maddeden yapılmadıkları için ağırlıklarını hacimlerden faydalanıp karşılaştırmalıyız. m1 = V. d → m1 = 4/3¶(2r)3.2,2 → m1 = 17,6.4/3¶r3 m2 = V.d → m2 = 4/3 ¶r3.2,8 m3 = V.d → m3 = 4/3 ¶ r3.3

17,6

2,8

3

İlk kuvvete göre moment alırsak; x = 17,6.0 + 2,8.3 + 3.5 → x = 23,4 → x = 1r uzaktadır. 17,6 + 2,8 + 3 23,4 Örnek 7 : m Şekildeki m, 2m ve 3m kütleli cisimlerin kütle merkezi neresidir?

2m

6m

2m

m

3m 1

2 9m

6m

Örnek 8 : 2m

m

Şekilde görüldüğü gibi bu üç cismin oluşturdukları sistemin ağırlık merkezi kırmızı ile belirtilen yerdir. 2m – 6m ve m – 6m kütlelerinin kütle merkezi neresi olur?

6m

2m – 6m arasındaki kütle merkezini bulmak istersek, ilk önce üç kütleyi çizgilerle birbirine bağlıyalım ve sonra m kütlesinden çizmeye başlayıp, m sistemin ağırlık merkezinden geçip kütleler arasındaki çizgiyi kestiğimiz yer 2m-6m arasındaki ağırlık merkezidir. Diğerleri içinde aynı yol izlenir.

2m

6m

Örnek 9 : 2m

Şekildeki m, 2m ve 3m kütleli cisimlerin kütle merkezi neresidir?

m

6m Y 2m

m

Bu sefer çözümünü bileşke kuvvetin koordinatlarını bularak yapalım.

9m X

6m

X = 2m.1 + m.4 + 6m.2 → x = 18m → x = 2 birim 2m + m + 6m 9m y = 2m.3 + m.3 + 6m.0 → y = 9m → y = 1 birim 2m + m + 6m 9m

Örnek 10 :

K

K

Şeklide görüldüğü gibi 2P ağırlığındaki düzgün, türdeş çubuk dengededir. Çubuğun üzerinde bulunan P ağırlığındaki top ok L M N O R yönünde harekete geçerse Çubuk top hangi noktaya geldiğinde devrilir?

Top “O” noktası üzerindeyken M desteğine göre çubuk dengededir. Çünkü desteğe göre momentler eşittir. “O” L M N O R noktasından sonra topun momenti daha büyük olur ve çubuk devrilir.(sağa doğru) 2p

P

Örnek 11 : 2p

4p K

4p

L

M

N

O

1 K

R

S

Y

2p

2 L

M 6p

N O

R

S

Y

Şeklideki çubuk tavana iplerle bağlanmıştır. İplerdeki gerilmeler verildiğine göre çubuğun ağırlık merkezi kaç P’dir? ve hangi noktadadır.

İpteki gerilmeler ile ağırlık merkezine olan uzaklıklar ters orantılıdır. Yani gerilmeler “2”ye “1” ise, ağırlık merkezine uzaklıkları “1”e “2” olur. ( 3 bölmeye 1 dedik.)

Örnek 12 : Şekildeki sistem dengededir. Ağırlıksız çubuk üzerindeki yüklerin her biri P ağırlığında olduğuna göre; İplerdeki gerilme kuvvetleri ve desteğin tepkisi kaç P’dir.

T

2p

Aynı ip üzerindeki gerilmeler aynı olacağından dolayı, iki ipteki gerilmeler eşit olur. Desteğe göre moment alırsak;

T

T.1 + T.4 = 2P.1 + 4P.2 → T = 2P olur. Desteğin tepkisi de yukarı yönlüdür. O zaman yukarıdakiler = aşağıdakilerden N+ T + T = 4P + 2P → N + 2P + 2P = 6P → N = 2P olur.

4p

Örnek 13 : Özdeş ve türdeş karelerden oluşan sistemlerden hangileri verilen şekilde dengede kalır?

I

III

II

Sistemlerin dengede kalabilmesi için askı eksenlerine göre sağlı ve sollu momentlerin birbirine eşit olması gerekir. Şekilde de görüldüğü gibi üçü de dengede kalabilir. Çünkü askı eksenine göre sağlı ve sollu momentler eşittir.

2 2

2

2 2

2

Örnek 14 : şeklideki özdeş küplerden cisimler birbirine perçinlenmiştir. Cisimler serbest bırakılırsa hangileri dengede kalabilir? I

II

III

2 1

Sistemlerin devrilmesi için dönme eksenine göre sağ taraftaki momentlerin sol taraftaki momentlerden büyük olması gerekir.. Küplerin bir kenarı 2 birim olsun. I.için : 2.1 >1.1 dengede kalır. II.için: 2.1 = 2.1 dengede kalır. III.için: 2.2 > 2.1 dengede kalır. 2 2

2 2

Bu şekilde olsaydı. O zaman 2.2 = 4.1 ve hala dengede kalırdı. Sağ tarafa bir küp daha ilave etseydik o zaman sağa doru yıkılırdı.

2

4

Örnek 15 :

K R M L

P

Hangileri çıkartılırsa düzgün, türdeş levha dengede kalmaya devam eder? IK ve R IIP ve R IIIM ve L IVK ve L

Çıkartılacak parçaların dönme eksenine göre sağlı ve sollu momentleri eşit ise dengede kalmaya devam eder. Ağırlıklar aynı olduğuna göre çıkan parçaların sağlı sollu dönme eksenine göre momentlerine baksak yeterli olur. K 1,5 br ≠ 0,5 br R dengede kalmaz. P 1,5 ≠ 0,5 R dengede kalmaz. M 0,5 ≠ 1,5 L dengede kalmaz. K 1,5 = 1,5 L dengede kalır. Örnek 16 : Şekildeki düzgün, türdeş tellerden hangileri asıldığı gibi dengede kalabilir?

I

II

III

Askı eksenlerini uzatırsak, tellerin dengede kalabilmesi için askı eksenine göre tel parçalarının momentlerinin birbirine eşit olması gerekir. O zaman II VE III’ün dengede kalacağı açıkça görülür. Ağırlıklar için tellerin uzunluklarından faydalanırız.

Örnek 17 : Özdeş, türdeş karelerden oluşan levhalardan hangileri serbest bırakıldığında dengede kalabilir? ı

ıı

ııı

Levhaların sola doğru devrilebilmesi için “1’ numaralı ipe göre sol taraftaki karelerin momentlerinin, sağ taraftaki karelerin “1” numaralı ipe göre momentlerinden büyük olması gerekir. Karenin bir kenarının uzunluğu 2br olsun. O zaman; 1.1 < 3 . 3 → 1 < 9 sol tarafa doğru devrilmez.

1

1

3 3.3 > 1.1 → 9 > 1 sağ tarafa doğru da devrilmez. Yani dengede kalır.

2

3

1

Diğer levhalar için de aynı işlemleri yaparsak, I ve III numaralı levhaların dengede kaldığını görürüz. II. Levha sağa doğru devrilir. Örnek 18 : Özdeş ve türdeş kare levhalardan oluşan sistem F kuvveti tarafından dengede tutulduğuna göre; bir kare levhanın ağırlığı kaç newton’dur?

F=5N

F=5N

İpin sağındaki kare levhalar ile F kuvveti sistemi aynı yöne doğru çevirmek istemektedir. O zaman ipe göre moment alırsak; (Her bir karenin bir kenarı 2br ve bir karenin ağırlığı P olsun.) 2P.3 + 1P.1 = 5.4 + 2P.1 → 7P = 20 + 2P → 5P = 20 → P = 4 N olur.

2 1 2