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´ 3. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL ANALISIS FUNCIONAL 1. EL TEOREMA DE HAHN–BANACH Teorema. (Teorema de Hahn–Banach, forma anal´ıtica) Sea X un espacio normado, M un subespacio vectorial, m∗ ∈ M ∗ un funcional lineal y continuo sobre M . Entonces existe un funcional lineal y continuo sobre X, x∗ ∈ X ∗ que extiende a m∗ (x∗ (x) = m∗ (x) para todo x ∈ M ) y tal que kx∗ k = km∗ k. Consecuencias. Sea X es un espacio normado. 1. Dado x ∈ X, existe x∗ ∈ X ∗ con kx∗ k = 1, tal que kxk = x∗ x. Por tanto kxk = max{|x∗ x| : kx∗ k ≤ 1}. 2. Dado x ∈ X, x = 0 si y s´olo si x∗ x = 0, para todo x∗ ∈ X ∗ . 3. Si X 6= {Θ}, entonces X ∗ 6= {Θ}. 4. Un subespacio vectorial M es denso si y s´olo si para todo x∗ ∈ X ∗ que se anula sobre M (x∗ (m) = 0 para todo m ∈ M ) se tiene x∗ = 0. 2. EL TEOREMA DE BANACH–STEINHAUS Teorema. (Teorema de Baire) Sea (X, d) un espacio m´etrico completo y (Fn ) conjuntos cerrados con interior vacio. Entonces ∪n Fn tiene interior vacio. Nota. Se dice que un conjunto es diseminado si su clausura tiene interior vacio (es muy peque˜ no); es de primera categor´ıa si es uni´on numerable de conjuntos raros (es peque˜ no); es de segunda categor´ıa si no es de primera categor´ıa (es grande). Teorema. (Teorema de Banach–Steinhaus o Principio de acotaci´on uniforme) Sean X y Y espacios de Banach y (Tα )α∈A una familia de operadores lineales y continuos de X en Y . Si se cumple que para todo x ∈ X existe Mx > 0 tal que kTα xk ≤ Mx , para todo α ∈ A, entonces existe M > 0 tal que kTα k ≤ M , para todo α ∈ A. Consecuencias. 1. El l´ımite puntual de una sucesi´on de operadores lineales y continuos entre dos espacios de Banach, es un operador lineal y continuo. 2. A ⊂ X es acotado si y s´olo si para todo x∗ ∈ X ∗ , se tiene sup{|x∗ x| : x ∈ A} < +∞. 3. A ⊂ X ∗ es acotado si y s´olo si para todo x ∈ X, se tiene sup{|x∗ x| : x∗ ∈ A} < +∞. ´ ABIERTA Y DEL GRAFO CERRADO 3. TEOREMAS DE LA APLICACION Teorema. (Teorema de la aplicaci´on abierta) Sean X y Y espacios de Banach y T : X −→ Y un operador lineal, continuo y sobreyectivo. Entonces T es abierto. Consecuencias. 1. Un operador lineal y continuo entre espacios de Banach que sea biyectivo es un isomorfismo. 2. Sea X un espacio vectorial y k · k1 y k · k2 dos normas que lo hagan completo y tales que k · k1 ≤ C · k · k2 , entonces son normas equivalentes. An´ alisis Funcional, 2011/12

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Tema 3: Teoremas fundamentales del an´ alisis funcional

Proposici´ on. Si f : X −→ Y una aplicaci´on continua entre espacios topol´ogicos Hausdorff, entonces el grafo de f , {(x, f (x)) : x ∈ X} es cerrado en X × Y . Teorema. (Teorema del grafo cerrado) Sean X y Y espacios de Banach y T : X −→ Y un operador lineal cuyo grafo es cerrado, entonces T es continuo. Corolario. Si T : X −→ Y es lineal y cumple que xn → 0 y T xn → z implican que z = 0, entonces T es continuo. 4. APLICACIONES Proposici´ on. (`∞ )∗ 6= `1 . Proposici´ on. Extensi´on del concepto de l´ımite a `∞ (l´ımites de Banach). ∗ Proposici´ on. Sea (xn ) una base P∞de Schauder de X. Entonces los funcionales coeficientes xn : X −→ R ∗ definidos por xn (x) = an si x = 1 an xn son lineales y continuos.

Teorema. Una sucesi´on (xn ) es una base de Schauder de un espacio de Banach X si y s´olo si cumple xn 6= 0, para todo n, el subespacio vectorial generado por (xn ) es denso en X, y existe K > 0 tal que si n ≤ m y ak ∈ R se tiene n m °X °X ° ° ° ° ak xk k ≤ K · ° ak xk °. ° 1

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Teorema. El sistema de Haar es una base de Schauder en Lp [0, 1], 1 ≤ p < +∞. Teorema. El sistema de Schauder es una base de Schauder en C[0, 1]. Teorema. (Teorema P de Muntz) Sea λn > 0 con 1/λn = +∞, entonces las combinaciones lineales de elementos de {1, xλn : n ∈ N} son densas en C[0, 1]. Teorema. (du Bois-Reymond, 1873) Existe una funci´on continua en T cuya serie de Fourier no converge en alg´ un punto. 5. PROBLEMAS • Probar que L2 [0, 1] es de primera categor´ıa en L1 [0, 1]. • Usando el teorema de Baire probar existen funciones f [0, 1] → R continuas que no son derivables en ning´ un punto. • SeaP (an ) una sucesi´on de n´ umeros realesPque cumple que dada cualquier sucesi´on (xn ) con lim xn = 0, la serie an xn es convergente. Probar que |an | < ∞. • Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y seaP A = (ank ) una matriz doblemente infinita tal que si (xk ) ∈ `p entonces la sucesi´on (zn ) definida por zn = k ank xk , est´a en `p . Probar que A(xk ) = (zn ) define un operador lineal y continuo de `p en `p . P • Sea (xn ) una sucesi´on en un espacio de Banach X tal que para cierto 1 ≤ p < ∞ se cumple que |x∗ xn |p < ∞, para todo x∗ ∈ X ∗ . Probar que existe C > 0 tal que ¡ X ∗ p ¢1/p |x xn | ≤ C · kx∗ k para todo x∗ ∈ X ∗ . R1 • Comprobar que en C([0, 1]) con la norma kf k1 = 0 |f (x)| dx no se cumple el teorema de Banach-Steinhaus R1 (considerar la sucesi´on un (f ) = n 0n f (x) dx). • Demostrar que toda norma en C[0, 1], que lo haga espacio de Banach y que implique la convergencia puntual, es equivalente a la norma del supremo. An´ alisis Funcional, 2011/12

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