Actv Limits Sol
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Actv Limits Sol as PDF for free.
More details
- Words: 3,262
- Pages: 6
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MAT-I
Límits i continuïtat de funcions Calcula els límits següents. En cas que el límit no existeixi indica quins són els límits laterals. x2 − x − 3x 2 + 8 x 1) lím 23) lím x→0 x→ +∞ x−4 x2 3 2 x − 3x − 3x 2 + 8 x lím 2) lím 24) x →0 x→ −∞ x−4 2x 2 2− x 25) lím3π sin x 3) lím 2 x→ x→2 x − 4 2 x +1 26) límπ tg x 4) lím x→ x →1 / 2 2 x − 1 2 2 lím log 2 x 27) x + 2x + 1 x→ 0+ 5) lím 2 x → −1 x + 8 x + 7 x2 − 2x + 3 x 2 + 2x + 1 28) lím 6) lím 2 x→ 0 x +1 x→ −7 x + 8 x + 7 2 x + 5x + 7 x−3 29) lím 7) lím 2 x→ −∞ 2 x 2 + x + 1 x→ − 2 x − 4 − x 2 + 3x + 21 2x − 3 30) lím 8) lím x→ −∞ 5 x 2 − 4 x 3 + 2 x x → 4 ( x − 4 )2 x 3 − 2 x 2 − 10 x 3x lím 31) 9) lím x→ +∞ − x 2 + 5 x 3 − x + 3 x →1 x − 1 4 + x − 2 x3 x 2 − 25 lím 32) 10) lím x→ −∞ 2 x 2 − 3 x + 11 x →5 x − 5 x2 (2 x 2 − 3 x + 1) x 2 − 25 − 33) lím 11) lím 2 x→ ∞ x − 2 x →5 x − 10 x + 25 2( x − 2) x 4 − 3 x 3 − 3 x 2 + 11x − 6 12) lím x →1 x 3 − 4 x 2 + 5x − 2 13) lím (3x − 5) x→ + ∞
14) lím (−3x + 7)
34) lím
x→ + ∞
35) lím
x→ + ∞
x→ +∞
15) lím (6 x 2 − 10 x + 17) x→ −∞
16) lím
x→ + ∞
17) lím
x → −∞
18) lím
x→ ±∞
19) lím
x→ + ∞
20) lím
x→ + ∞
21) lím
x→ −∞
22) lím
x→ + ∞
1 x − 14 x2 3 x −5 2x + 3 2 x − 4x +1 2 x 2 + 3x 5x2 − 4x + 1 − 7 x 2 + 3x 3x 2 − 4 x + 1 x2 − 2x 2x + 7
36) lím
2x + 3 2
x − 4x + 1 2x − 4 2 x3 − 4 x 2x2
x3 + 2 x x −2 37) lím x→ 4 x − 4 2− x 38) lím x→ 2 2 x − 4 2x − 4 39) lím x→ 2 2 − 2 x x→ + ∞
2x + 3 − x 3− x 2x − 4x − 3 41) lím x→ 3 x2 − 9
40) lím
x→ 3
( 4x + 2x − 4x − 3 ) 43) lím ( x − 2 x + 1 − x + 4 x + 4 ) 2
42) lím
2
x→ +∞
2
2
x→ + ∞
1
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MAT-I
Solucions: 1) Laterals lím f ( x) = +∞ i lím f ( x) = −∞ x→0−
x →0+
2) -3/2 3) -1/4 4) Laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x→1 / 2−
x →1 / 2+
5) 0 6) Laterals lím f ( x) = +∞ i lím f ( x) = −∞ x→−7 −
x→−7+
7) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x → −2 −
x → −2 +
8) +∞ 9) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x →1−
x →1+
10) 10 11) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x →5 −
x →5+
12) 6 13) +∞ 14) -∞ 15) +∞ 16) 0 17) 0 18) 0 19) 0 20) 2/5 21) -7/3 22) +∞ 23) -∞ 24) +∞ 25) -1 26) laterals lím f ( x) = +∞ i lím f ( x) = −∞ x → π2
−
x → π2
+
27) -∞ 28) 3 29) 1/2 30) 0 31) 1/5 32) +∞ 33) 3/2 34) 2 35) 0 36) +∞ 37) 1/4 38) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x→2 −
x→2+
39) -4 40) 2/3 41) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x →3 −
x → 3+
42) 1/2 43) -3
2
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MAT-I
Notació: 0- un nombre negatiu molt proper a zero, per exemple, -0.0001 0+ un nombre positiu molt proper a zero, per exemple, 0.0001 Resolució: x2 − x 0 x/ ·( x − 1) ( x − 1) − 1 = lím = ; cal cercar límits laterals 1) lím 2 = ; indeterminació; = lím 2 / x →0 x →0 x →0 x x x 0 (factoritza) 0 ( x − 1) − 1 ( x − 1) − 1 = − = +∞; lím = + = −∞ lím− → + x 0 x →0 x x 0 0 3 2 2/ 0 x − 3x x/ ( x − 3) x−3 −3 2) lím = ; indeterminació; = lím = lím = 2 2 / x →0 x →0 x →0 (factoritza) 2x 0 2 x/ 2 2 −1 2− x −1 2− x 0 − ( x − 2) 3) lím 2 = = lím lím 2 = ; indeterminació; = lím x →2 x − 4 x → 2 x − 4 x → 2 ( x − 2)·( x + 2) x→2 x + 2 (factoritza) 4 0 x +1 3 / 2 = ; cal cercar límits laterals; 4) lím x →1 / 2 2 x − 1 0 x +1 3 / 2 x +1 3 / 2 = + = +∞ lím − = − = −∞; lím − x →1 / 2 2 x − 1 x →1 / 2 2 x − 1 0 0 2 2 ( x + 1) ( x + 1) 0 x + 2x + 1 0 = ; indeterminació; = lím = lím = =0 5) lím 2 x → −1 x + 8 x + 7 x → − 1 x → − 1 0 (factoritza) ( x + 1)·( x + 7) ( x + 7) 6
x2 + 2x + 1 x +1 − 6 6) lím 2 ; cal cercar límits laterals; = lím = x→ −7 x + 8 x + 7 x → −7 x + 7 0 x +1 − 6 x +1 − 6 = + = −∞ lím − = − = +∞; lím + x→ −7 x + 7 x→ −7 x + 7 0 0 x−3 −5 ; cal cercar límits laterals 7) lím 2 = x→ − 2 x − 4 0 x −3 −5 x −3 −5 = + = −∞; = − = +∞ lím − 2 lím + 2 x→ −2 x − 4 x→ −2 x − 4 0 0 2x − 3 5 = cal cercar límits laterals 8) lím x → 4 ( x − 4 )2 0 2x − 3 5 2x − 3 5 = + = +∞; lím+ = + = +∞; lím− 2 2 x → 4 ( x − 4) x → 4 ( x − 4) 0 0 3x 3 = ; cal cercar límits laterals 9) lím x →1 x − 1 0 3x 3 3x 3 = − = −∞; lím+ = + = +∞; lím− x→ 1 x − 1 x→ 1 x − 1 0 0 2 x − 25 0 ( x + 5)·( x − 5) = ; indeterminació; = lím = lím( x + 5) = 10 10) lím x →5 x − 5 x → 5 x →5 (factoritza) 0 x−5 0 x 2 − 25 ( x + 5)·( x − 5) x + 5 10 = ; indeterminació; = lím = ; 11) lím 2 = lím 2 x →5 x − 10 x + 25 x →5 x →5 x − 5 (factoritza) 0 ( x − 5) 0 x + 5 10 x + 5 10 = + = +∞ cal cercar límits laterals lím− = − = −∞; lím+ x→ 5 x − 5 x→ 5 x − 5 0 0 ( x − 1) 2 ·( x + 2)·( x − 3) ( x + 2)·( x − 3) x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 11x − 6 0 = ; indeterm.; = lím =6 lím 3 2 2 x →1 x →1 0 (factoritza) x →1 ( x − 1) ·( x − 2) ( x − 2) x − 4x + 5x − 2
12) lím
3
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MAT-I
13) lím (3x − 5) = 3·(+∞) = +∞ Recorda: Quan feim un límit a l’infinit d’un polinomi basta x→ + ∞
14) lím (−3x + 7) = −3·(+∞) = −∞
mirar la potència superior de x.
x→ +∞
15) lím (6 x 2 − 10 x + 17) = 6·(−∞) 2 = 6·(+∞) = +∞ x→ −∞
1 1 = =0 x +∞ − 14 − 14 − 14 =0 17) lím = = 2 2 x→ −∞ x (−∞) +∞ 3 3 = =0 18) lím x→ ± ∞ x − 5 ±∞
16) lím
x→ +∞
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
0
0
2x 3 2 3 + 2 + 2 2 +∞ 2x + 3 x x x x = 0 =0 ; indeterminació;= lím 2 = lím lím 2 = 0 0 x→ + ∞ x − 4 x + 1 + ∞ (divideix tot per x2) x → + ∞ x 4 x 1 x→ +∞ 1 − 4 + 1 1 − 2+ 2 2 2 x x x x x 3 2+ 2 2 x + 3x ∞ x =2 = = indeterminació;= lím lím 2 x→ + ∞ 5x 2 − 4 x + 1 x → + ∞ 4 1 ∞ (divideix tot per x ) 5− + 2 5 x x 3 −7+ 2 − 7 x + 3x − ∞ x = −7 = = indeterminació;= lím lím 2 x→ −∞ 3x 2 − 4 x + 1 x → − ∞ 4 1 3 ∞ (divideix tot per x ) 3− + 2 x x 2 1− x2 − 2x ∞ x = 1 = +∞ = = indeterminació;= lím lím + 2 x→ + ∞ 2 x + 7 x → + ∞ 2 7 ∞ (divideix tot per x ) + 2 0 x x 8 −3+ 2 − 3x + 8 x − ∞ x = − 3 = −∞ = lím indeterminació;= lím + x→ +∞ x → + ∞ 2 1 4 x−4 ∞ (divideix tot per x ) − 2 0 x x 8 −3+ 2 − 3x + 8 x − ∞ x = − 3 = +∞ indeterminació;= lím lím = x→ −∞ x → − ∞ 1 4 2 0− x−4 − ∞ (divideix tot per x ) − 2 x x 3π lím sin x = sin = sin 270º = −1 3π 2 x→ 2
26) lím tg x = cal fer límits lateralsÆ lím− tg x = +∞ ; lím+ tg x = −∞ x→
π
2
(amb calculadora)
Fixa’t!
π− 2
x→
π
2
x→
π
2
és del 1r quadrant i la tangent és positiva +
mentre que π2 és del 2n quadrant i la tangent és negativa 27) lím+ log 2 x = (amb calculadora)=-∞ x→ 0
Fixa’t que el límit per l’esquerra de zero (xÆ0-) no és pot fer ja que no existeixen logaritmes de nombres negatius.
4
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MAT-I
0 2 − 2·0 + 3 x2 − 2x + 3 = = 3 x→ 0 0 +1 x +1 1 + 5x + x72 1 x 2 + 5x + 7 + ∞ = ;indeterminat; = lím = 29) lím x→ −∞ 2 x 2 + x + 1 + ∞ (divideix tot per x2) x → −∞ 2 + 1x + x12 2
28) lím
− 1x + x32 + x213 − x 2 + 3x + 21 − ∞ 0 = ;indeterminat; 3= lím 5 = =0 30) lím 2 3 2 x→ −∞ 5x − 4 x + 2 x − ∞ (divideix tot per x ) x → − ∞ x − 4 + x 2 −4 1 − 2x − 10 +∞ x 3 − 2 x 2 − 10 x x2 = ;indeterminat; = lím 1 31) lím 3 1 x→ +∞ − x 2 + 5 x 3 − x + 3 x → + ∞ + ∞ (divideix tot per x ) − x + 5 − x2 + 32) lím
x→ −∞
3 x3
=
1 5
4 + x12 − 2 − 2 4 + x − 2x3 −∞ x3 ;indeterminat; = lím = − = +∞ = 2 x 2 − 3x + 11 + ∞ (divideix tot per x3) x → −∞ 2x − x32 + 11 0 3 x
x2 2 x 2 − (2 x 2 − 3x + 1) (2 x 2 − 3x + 1) = ∞ − ∞ = indeterminat; = lím = 33) lím − x→ ∞ x − 2 2( x − 2) 2( x − 2) (opera les fraccions) x → ∞ 1 3− x 3 3x − 1 ∞ = lím = ; indeterminat; = lím x→ ∞ 2 − 4 x→ ∞ 2 x − 4 2 ∞ x 2x + 3 ∞ 34) lím = = indeterminat; (divideix tot per x;Alerta: dins l’arrel x entra com x2) 2 x→ +∞ x − 4x +1 ∞ 2x 3 3 + 2+ 1 ( 2 x + 3 ) 2 x x x x = lím = lím = lím = =2 2 2 x→ + ∞ 1 x→ +∞ x→ +∞ 4 1 1 4 1 x − 4 x + 1 x x x 1− + 2 − + x x x2 x2 x2 ∞ 2x − 4 = = indeterminat; (divideix tot per x;Alerta: dins l’arrel x entra com x2) 35) lím 3 x→ + ∞ 2x − 4x ∞ = lím
1 x
3
x→ + ∞ 1 x
36) lím
2x2
x→ + ∞
3
x + 2x
= lím
x→ + ∞ 1 x2
37) lím
x→ 4
38) lím
x→ 2
(2 x − 4) 2x − 4x
= 1 x2
= lím
x→ +∞
2 − 4x 2x −
4 x
=
2 ∞
=
2 =0 ∞
∞ = indeterminat; (divideix tot per x2;Alerta: dins l’arrel x2 entra com x4) ∞
(2 x 2 ) x3 + 2x
= lím
x→ +∞
2 3
x x4
+ 2x 4x
= lím
x→ +∞
2 1 x
+
2 x3
=
2 0
=
2 = +∞ 0+
x −2 0 = =indeterminat; (racionalitza; multiplica i divideix per ( x + 2) i opera) x−4 0 ( x − 2)·( x + 2) 1 1 1 x−4 = lím = lím = lím = = x → 4 ( x − 4)·( x + 2) x → 4 ( x − 4)·( x + 2) x→ 4 4+2 4 x +2 2− x 2− 2 = ; cal cercar els límits laterals; 2x − 4 0 2 − x 2 − 2 0.58 2 − x 2 − 2 0.58 lím = = − = −∞; lím+ = = + = +∞; − → x→ 2− 2 x − 4 x 2 0 0 2x − 4 0+ 0
5
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
39) lím
x→ 2
2x − 4 0 = = indeterminat; (racionalitza; multiplica i divideix per (2 + 2 x ) i opera) 2 − 2x 0 (2 x − 4)·(2 + 2 x ) (2 x − 4)·(2 + 2 x ) = lím = lím − (2 + 2 x ) = −4 = lím x → 2 ( 2 − 2 x )·(2 + 2 x ) x→ 2 x→ 2 4 − 2x 2x + 3 − x 0 = = indeterminat; (multiplica i divideix per ( 2 x + 3 + x) i opera) 3− x 0 ( 2 x + 3 − x)·( 2 x + 3 + x) (2 x + 3 − x 2 ) = ( factoritza numerador ) = lím = lím x→ 3 x → 3 (3 − x )·( 2 x + 3 + x) (3 − x)·( 2 x + 3 + x) = 4 4 2 x +1 − ( x − 3)·( x + 1) = = = = lím = lím x → 3 − ( x − 3)·( 2 x + 3 + x ) x→ 3 2x + 3 + x 9 +3 6 3
40) lím
x→ 3
41) lím
x→ 3
2x − 4x − 3 3 = ; cal calcular límits laterals x2 − 9 0 2x − 4x − 3 3 2x − 4x − 3 3 = − = −∞; lím+ = + = +∞; = lím− 2 x→ 3 x→ 3 x −9 x2 − 9 0 0
42) lím
x→ + ∞
( 4x
2
x→ + ∞
= lím
x→ +∞
= lím
x→ + ∞
x→ + ∞
(x
2
)
+ 2 x − 4 x 2 − 3 = ∞ − ∞ = indeterminat;(multiplica i divideix pel conjugat)
= lím
43) lím
MAT-I
( 4x
2
)(
+ 2x − 4x2 − 3 · 4x2 + 2x + 4x2 − 3
( 4x
)
4 x 2 + 2 x − (4 x 2 − 3)
x→ + ∞ + 2x + 4x 2 − 3 4x2 + 2x + 4x2 − 3 2x + 3 ∞ = = indeterminat; (divideix tot per x)= 2 2 4x + 2x + 4x − 3 ∞
2 + 3x 4 + 2x + 4 − 3x
2
) = lím
2
2 1 = = . 4+ 4 4 2
=
=
Ves en compte que dins l’arrel divideixes per x2
)
− 2 x + 1 − x 2 + 4 x + 4 = ∞ − ∞ = indeterminat;
Tens dues solucions: 1) fer-ho com l’anterior (multiplica i divideix pel conjugat) 2) fixar-te que dins les arrels tens quadrats perfectes = lím
x→ +∞
( ( x −1)
2
)
− ( x + 2) 2 = lím (x − 1 − ( x + 2) ) =
= lím ( x − x − 1 − 2) = −3
x→ +∞
x→ +∞
6
MAT-I
Límits i continuïtat de funcions Calcula els límits següents. En cas que el límit no existeixi indica quins són els límits laterals. x2 − x − 3x 2 + 8 x 1) lím 23) lím x→0 x→ +∞ x−4 x2 3 2 x − 3x − 3x 2 + 8 x lím 2) lím 24) x →0 x→ −∞ x−4 2x 2 2− x 25) lím3π sin x 3) lím 2 x→ x→2 x − 4 2 x +1 26) límπ tg x 4) lím x→ x →1 / 2 2 x − 1 2 2 lím log 2 x 27) x + 2x + 1 x→ 0+ 5) lím 2 x → −1 x + 8 x + 7 x2 − 2x + 3 x 2 + 2x + 1 28) lím 6) lím 2 x→ 0 x +1 x→ −7 x + 8 x + 7 2 x + 5x + 7 x−3 29) lím 7) lím 2 x→ −∞ 2 x 2 + x + 1 x→ − 2 x − 4 − x 2 + 3x + 21 2x − 3 30) lím 8) lím x→ −∞ 5 x 2 − 4 x 3 + 2 x x → 4 ( x − 4 )2 x 3 − 2 x 2 − 10 x 3x lím 31) 9) lím x→ +∞ − x 2 + 5 x 3 − x + 3 x →1 x − 1 4 + x − 2 x3 x 2 − 25 lím 32) 10) lím x→ −∞ 2 x 2 − 3 x + 11 x →5 x − 5 x2 (2 x 2 − 3 x + 1) x 2 − 25 − 33) lím 11) lím 2 x→ ∞ x − 2 x →5 x − 10 x + 25 2( x − 2) x 4 − 3 x 3 − 3 x 2 + 11x − 6 12) lím x →1 x 3 − 4 x 2 + 5x − 2 13) lím (3x − 5) x→ + ∞
14) lím (−3x + 7)
34) lím
x→ + ∞
35) lím
x→ + ∞
x→ +∞
15) lím (6 x 2 − 10 x + 17) x→ −∞
16) lím
x→ + ∞
17) lím
x → −∞
18) lím
x→ ±∞
19) lím
x→ + ∞
20) lím
x→ + ∞
21) lím
x→ −∞
22) lím
x→ + ∞
1 x − 14 x2 3 x −5 2x + 3 2 x − 4x +1 2 x 2 + 3x 5x2 − 4x + 1 − 7 x 2 + 3x 3x 2 − 4 x + 1 x2 − 2x 2x + 7
36) lím
2x + 3 2
x − 4x + 1 2x − 4 2 x3 − 4 x 2x2
x3 + 2 x x −2 37) lím x→ 4 x − 4 2− x 38) lím x→ 2 2 x − 4 2x − 4 39) lím x→ 2 2 − 2 x x→ + ∞
2x + 3 − x 3− x 2x − 4x − 3 41) lím x→ 3 x2 − 9
40) lím
x→ 3
( 4x + 2x − 4x − 3 ) 43) lím ( x − 2 x + 1 − x + 4 x + 4 ) 2
42) lím
2
x→ +∞
2
2
x→ + ∞
1
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MAT-I
Solucions: 1) Laterals lím f ( x) = +∞ i lím f ( x) = −∞ x→0−
x →0+
2) -3/2 3) -1/4 4) Laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x→1 / 2−
x →1 / 2+
5) 0 6) Laterals lím f ( x) = +∞ i lím f ( x) = −∞ x→−7 −
x→−7+
7) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x → −2 −
x → −2 +
8) +∞ 9) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x →1−
x →1+
10) 10 11) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x →5 −
x →5+
12) 6 13) +∞ 14) -∞ 15) +∞ 16) 0 17) 0 18) 0 19) 0 20) 2/5 21) -7/3 22) +∞ 23) -∞ 24) +∞ 25) -1 26) laterals lím f ( x) = +∞ i lím f ( x) = −∞ x → π2
−
x → π2
+
27) -∞ 28) 3 29) 1/2 30) 0 31) 1/5 32) +∞ 33) 3/2 34) 2 35) 0 36) +∞ 37) 1/4 38) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x→2 −
x→2+
39) -4 40) 2/3 41) laterals lím f ( x) = −∞ i lím f ( x) = +∞ x →3 −
x → 3+
42) 1/2 43) -3
2
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MAT-I
Notació: 0- un nombre negatiu molt proper a zero, per exemple, -0.0001 0+ un nombre positiu molt proper a zero, per exemple, 0.0001 Resolució: x2 − x 0 x/ ·( x − 1) ( x − 1) − 1 = lím = ; cal cercar límits laterals 1) lím 2 = ; indeterminació; = lím 2 / x →0 x →0 x →0 x x x 0 (factoritza) 0 ( x − 1) − 1 ( x − 1) − 1 = − = +∞; lím = + = −∞ lím− → + x 0 x →0 x x 0 0 3 2 2/ 0 x − 3x x/ ( x − 3) x−3 −3 2) lím = ; indeterminació; = lím = lím = 2 2 / x →0 x →0 x →0 (factoritza) 2x 0 2 x/ 2 2 −1 2− x −1 2− x 0 − ( x − 2) 3) lím 2 = = lím lím 2 = ; indeterminació; = lím x →2 x − 4 x → 2 x − 4 x → 2 ( x − 2)·( x + 2) x→2 x + 2 (factoritza) 4 0 x +1 3 / 2 = ; cal cercar límits laterals; 4) lím x →1 / 2 2 x − 1 0 x +1 3 / 2 x +1 3 / 2 = + = +∞ lím − = − = −∞; lím − x →1 / 2 2 x − 1 x →1 / 2 2 x − 1 0 0 2 2 ( x + 1) ( x + 1) 0 x + 2x + 1 0 = ; indeterminació; = lím = lím = =0 5) lím 2 x → −1 x + 8 x + 7 x → − 1 x → − 1 0 (factoritza) ( x + 1)·( x + 7) ( x + 7) 6
x2 + 2x + 1 x +1 − 6 6) lím 2 ; cal cercar límits laterals; = lím = x→ −7 x + 8 x + 7 x → −7 x + 7 0 x +1 − 6 x +1 − 6 = + = −∞ lím − = − = +∞; lím + x→ −7 x + 7 x→ −7 x + 7 0 0 x−3 −5 ; cal cercar límits laterals 7) lím 2 = x→ − 2 x − 4 0 x −3 −5 x −3 −5 = + = −∞; = − = +∞ lím − 2 lím + 2 x→ −2 x − 4 x→ −2 x − 4 0 0 2x − 3 5 = cal cercar límits laterals 8) lím x → 4 ( x − 4 )2 0 2x − 3 5 2x − 3 5 = + = +∞; lím+ = + = +∞; lím− 2 2 x → 4 ( x − 4) x → 4 ( x − 4) 0 0 3x 3 = ; cal cercar límits laterals 9) lím x →1 x − 1 0 3x 3 3x 3 = − = −∞; lím+ = + = +∞; lím− x→ 1 x − 1 x→ 1 x − 1 0 0 2 x − 25 0 ( x + 5)·( x − 5) = ; indeterminació; = lím = lím( x + 5) = 10 10) lím x →5 x − 5 x → 5 x →5 (factoritza) 0 x−5 0 x 2 − 25 ( x + 5)·( x − 5) x + 5 10 = ; indeterminació; = lím = ; 11) lím 2 = lím 2 x →5 x − 10 x + 25 x →5 x →5 x − 5 (factoritza) 0 ( x − 5) 0 x + 5 10 x + 5 10 = + = +∞ cal cercar límits laterals lím− = − = −∞; lím+ x→ 5 x − 5 x→ 5 x − 5 0 0 ( x − 1) 2 ·( x + 2)·( x − 3) ( x + 2)·( x − 3) x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 11x − 6 0 = ; indeterm.; = lím =6 lím 3 2 2 x →1 x →1 0 (factoritza) x →1 ( x − 1) ·( x − 2) ( x − 2) x − 4x + 5x − 2
12) lím
3
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MAT-I
13) lím (3x − 5) = 3·(+∞) = +∞ Recorda: Quan feim un límit a l’infinit d’un polinomi basta x→ + ∞
14) lím (−3x + 7) = −3·(+∞) = −∞
mirar la potència superior de x.
x→ +∞
15) lím (6 x 2 − 10 x + 17) = 6·(−∞) 2 = 6·(+∞) = +∞ x→ −∞
1 1 = =0 x +∞ − 14 − 14 − 14 =0 17) lím = = 2 2 x→ −∞ x (−∞) +∞ 3 3 = =0 18) lím x→ ± ∞ x − 5 ±∞
16) lím
x→ +∞
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
0
0
2x 3 2 3 + 2 + 2 2 +∞ 2x + 3 x x x x = 0 =0 ; indeterminació;= lím 2 = lím lím 2 = 0 0 x→ + ∞ x − 4 x + 1 + ∞ (divideix tot per x2) x → + ∞ x 4 x 1 x→ +∞ 1 − 4 + 1 1 − 2+ 2 2 2 x x x x x 3 2+ 2 2 x + 3x ∞ x =2 = = indeterminació;= lím lím 2 x→ + ∞ 5x 2 − 4 x + 1 x → + ∞ 4 1 ∞ (divideix tot per x ) 5− + 2 5 x x 3 −7+ 2 − 7 x + 3x − ∞ x = −7 = = indeterminació;= lím lím 2 x→ −∞ 3x 2 − 4 x + 1 x → − ∞ 4 1 3 ∞ (divideix tot per x ) 3− + 2 x x 2 1− x2 − 2x ∞ x = 1 = +∞ = = indeterminació;= lím lím + 2 x→ + ∞ 2 x + 7 x → + ∞ 2 7 ∞ (divideix tot per x ) + 2 0 x x 8 −3+ 2 − 3x + 8 x − ∞ x = − 3 = −∞ = lím indeterminació;= lím + x→ +∞ x → + ∞ 2 1 4 x−4 ∞ (divideix tot per x ) − 2 0 x x 8 −3+ 2 − 3x + 8 x − ∞ x = − 3 = +∞ indeterminació;= lím lím = x→ −∞ x → − ∞ 1 4 2 0− x−4 − ∞ (divideix tot per x ) − 2 x x 3π lím sin x = sin = sin 270º = −1 3π 2 x→ 2
26) lím tg x = cal fer límits lateralsÆ lím− tg x = +∞ ; lím+ tg x = −∞ x→
π
2
(amb calculadora)
Fixa’t!
π− 2
x→
π
2
x→
π
2
és del 1r quadrant i la tangent és positiva +
mentre que π2 és del 2n quadrant i la tangent és negativa 27) lím+ log 2 x = (amb calculadora)=-∞ x→ 0
Fixa’t que el límit per l’esquerra de zero (xÆ0-) no és pot fer ja que no existeixen logaritmes de nombres negatius.
4
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
MAT-I
0 2 − 2·0 + 3 x2 − 2x + 3 = = 3 x→ 0 0 +1 x +1 1 + 5x + x72 1 x 2 + 5x + 7 + ∞ = ;indeterminat; = lím = 29) lím x→ −∞ 2 x 2 + x + 1 + ∞ (divideix tot per x2) x → −∞ 2 + 1x + x12 2
28) lím
− 1x + x32 + x213 − x 2 + 3x + 21 − ∞ 0 = ;indeterminat; 3= lím 5 = =0 30) lím 2 3 2 x→ −∞ 5x − 4 x + 2 x − ∞ (divideix tot per x ) x → − ∞ x − 4 + x 2 −4 1 − 2x − 10 +∞ x 3 − 2 x 2 − 10 x x2 = ;indeterminat; = lím 1 31) lím 3 1 x→ +∞ − x 2 + 5 x 3 − x + 3 x → + ∞ + ∞ (divideix tot per x ) − x + 5 − x2 + 32) lím
x→ −∞
3 x3
=
1 5
4 + x12 − 2 − 2 4 + x − 2x3 −∞ x3 ;indeterminat; = lím = − = +∞ = 2 x 2 − 3x + 11 + ∞ (divideix tot per x3) x → −∞ 2x − x32 + 11 0 3 x
x2 2 x 2 − (2 x 2 − 3x + 1) (2 x 2 − 3x + 1) = ∞ − ∞ = indeterminat; = lím = 33) lím − x→ ∞ x − 2 2( x − 2) 2( x − 2) (opera les fraccions) x → ∞ 1 3− x 3 3x − 1 ∞ = lím = ; indeterminat; = lím x→ ∞ 2 − 4 x→ ∞ 2 x − 4 2 ∞ x 2x + 3 ∞ 34) lím = = indeterminat; (divideix tot per x;Alerta: dins l’arrel x entra com x2) 2 x→ +∞ x − 4x +1 ∞ 2x 3 3 + 2+ 1 ( 2 x + 3 ) 2 x x x x = lím = lím = lím = =2 2 2 x→ + ∞ 1 x→ +∞ x→ +∞ 4 1 1 4 1 x − 4 x + 1 x x x 1− + 2 − + x x x2 x2 x2 ∞ 2x − 4 = = indeterminat; (divideix tot per x;Alerta: dins l’arrel x entra com x2) 35) lím 3 x→ + ∞ 2x − 4x ∞ = lím
1 x
3
x→ + ∞ 1 x
36) lím
2x2
x→ + ∞
3
x + 2x
= lím
x→ + ∞ 1 x2
37) lím
x→ 4
38) lím
x→ 2
(2 x − 4) 2x − 4x
= 1 x2
= lím
x→ +∞
2 − 4x 2x −
4 x
=
2 ∞
=
2 =0 ∞
∞ = indeterminat; (divideix tot per x2;Alerta: dins l’arrel x2 entra com x4) ∞
(2 x 2 ) x3 + 2x
= lím
x→ +∞
2 3
x x4
+ 2x 4x
= lím
x→ +∞
2 1 x
+
2 x3
=
2 0
=
2 = +∞ 0+
x −2 0 = =indeterminat; (racionalitza; multiplica i divideix per ( x + 2) i opera) x−4 0 ( x − 2)·( x + 2) 1 1 1 x−4 = lím = lím = lím = = x → 4 ( x − 4)·( x + 2) x → 4 ( x − 4)·( x + 2) x→ 4 4+2 4 x +2 2− x 2− 2 = ; cal cercar els límits laterals; 2x − 4 0 2 − x 2 − 2 0.58 2 − x 2 − 2 0.58 lím = = − = −∞; lím+ = = + = +∞; − → x→ 2− 2 x − 4 x 2 0 0 2x − 4 0+ 0
5
Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia
39) lím
x→ 2
2x − 4 0 = = indeterminat; (racionalitza; multiplica i divideix per (2 + 2 x ) i opera) 2 − 2x 0 (2 x − 4)·(2 + 2 x ) (2 x − 4)·(2 + 2 x ) = lím = lím − (2 + 2 x ) = −4 = lím x → 2 ( 2 − 2 x )·(2 + 2 x ) x→ 2 x→ 2 4 − 2x 2x + 3 − x 0 = = indeterminat; (multiplica i divideix per ( 2 x + 3 + x) i opera) 3− x 0 ( 2 x + 3 − x)·( 2 x + 3 + x) (2 x + 3 − x 2 ) = ( factoritza numerador ) = lím = lím x→ 3 x → 3 (3 − x )·( 2 x + 3 + x) (3 − x)·( 2 x + 3 + x) = 4 4 2 x +1 − ( x − 3)·( x + 1) = = = = lím = lím x → 3 − ( x − 3)·( 2 x + 3 + x ) x→ 3 2x + 3 + x 9 +3 6 3
40) lím
x→ 3
41) lím
x→ 3
2x − 4x − 3 3 = ; cal calcular límits laterals x2 − 9 0 2x − 4x − 3 3 2x − 4x − 3 3 = − = −∞; lím+ = + = +∞; = lím− 2 x→ 3 x→ 3 x −9 x2 − 9 0 0
42) lím
x→ + ∞
( 4x
2
x→ + ∞
= lím
x→ +∞
= lím
x→ + ∞
x→ + ∞
(x
2
)
+ 2 x − 4 x 2 − 3 = ∞ − ∞ = indeterminat;(multiplica i divideix pel conjugat)
= lím
43) lím
MAT-I
( 4x
2
)(
+ 2x − 4x2 − 3 · 4x2 + 2x + 4x2 − 3
( 4x
)
4 x 2 + 2 x − (4 x 2 − 3)
x→ + ∞ + 2x + 4x 2 − 3 4x2 + 2x + 4x2 − 3 2x + 3 ∞ = = indeterminat; (divideix tot per x)= 2 2 4x + 2x + 4x − 3 ∞
2 + 3x 4 + 2x + 4 − 3x
2
) = lím
2
2 1 = = . 4+ 4 4 2
=
=
Ves en compte que dins l’arrel divideixes per x2
)
− 2 x + 1 − x 2 + 4 x + 4 = ∞ − ∞ = indeterminat;
Tens dues solucions: 1) fer-ho com l’anterior (multiplica i divideix pel conjugat) 2) fixar-te que dins les arrels tens quadrats perfectes = lím
x→ +∞
( ( x −1)
2
)
− ( x + 2) 2 = lím (x − 1 − ( x + 2) ) =
= lím ( x − x − 1 − 2) = −3
x→ +∞
x→ +∞
6
Related Documents
Actv Limits Sol
April 2020 5
Actv Sistema.docx
June 2020 4
Limits
April 2020 50
Actv.5_capa
May 2020 4
Actv. 3
October 2019 8