Activitats De Regles De Derivaci2
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Departament de Matemàtiques. IES Alcudia
MAT-I
Activitats de regles de derivació Activitats de les pàgines 308 i 309 Nº Funció Derivada 2 1 f ( x) = 3x − 6 x + 5 f ' ( x) = 2·3 x − 6 + 0 2 1 1 f ( x) = x + 3 x = f ' ( x) = x −1 / 2 + x − 2 / 3 2 3 = x1 / 2 + x1 / 3 3 4 5 6
f ( x) = 2 x + 3 5 x = = (2 x)1 / 2 + (5 x)1 / 3 1 f ( x) = = x−3 / 2 x x f ( x) = sin x·cos x
Derivada simplificada f ' ( x) = 6 x − 6 f ' ( x) =
1 1 f ' ( x) = (2 x) −1 / 2 ·2 + (5 x) − 2 / 3 ·5 2 3
3 f ' ( x) = − x −5 / 2 2 f ' ( x) = cos x·cos x + sin x·(− sin x)
7
f ( x) = x·e x
cos x·cos x − sin x·(− sin x) cos 2 x f ' ( x) = 1·e x + x·e x
8
f ( x) = x·2 x
f ' ( x) = 1·2 x + x·2 x ·ln 2
9
f ( x) = ( x 2 + 1)·log 2 x
f ' ( x) = 2 x·log 2 x + ( x 2 + 1)·
10
11
12
f ( x) = tg x =
f ( x) =
sin x cos x
x2 + 1 x2 − 1
x3 + 3x 2 − 5 x + 3 = x 3 = x 2 + 3x − 5 + x log x f ( x) = x f ( x) =
13
f ( x) = sin( x 2 − 5 x + 7)
14
f ( x) = (5 x + 3) 2 / 3
15 16
f ( x) = sin(3 x + 1)·cos(3x + 1) f ( x) =
log x 2 x
17 18
f ( x) = cos(3x − π )
19 20
f ( x) = x·e 2 x +1
f ( x) = 1 + 2 x
f ( x) =
sin( x 2 + 1) 1 − x2
f ' ( x) =
1 1 · ln 2 x
1 2 x
+
1 3
3 x2
1 5 + 2 x 3 3 (5 x) 2
f ' ( x) =
3
f ' ( x) = −
2 x5 f ' ( x) = cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x 1 f ' ( x) = cos 2 x f ' ( x) = e x ·(1 + x)
f ' ( x) = 2 x ·(1 + x·ln 2) f ' ( x) = 2 x·log 2 x +
x2 + 1 x·ln 2
− 4x ( x 2 − 1) 2
2 x·( x 2 − 1) − ( x 2 + 1)·2 x ( x 2 − 1) 2 3 f ' ( x) = 2 x + 3 − 0 − 2 x
f ' ( x) =
1 1 · · x − log x·1 f ' ( x) = ln 10 x 2 x 2 f ' ( x) = cos( x − 5 x + 7)·(2 x − 5) 2 f ' ( x) = (5 x + 3) −1 / 3 ·5 3
1 − log x f ' ( x) = ln 10 2 x
f ' ( x) =
f ' ( x) = 2 x + 3 −
3 x2
f ' ( x ) = ( 2 x − 5)·cos( x 2 − 5 x + 7)
f ' ( x) =
[
10 3 5x + 3 3
f ' ( x) = cos(3x + 1)·3·cos(3x + 1) + sin(3x + 1)·(− sin(3x + 1))·3 1 1 · 2 ·2 x· x − log x 2 ·1 f ' ( x) = ln 10 x x2 f ' ( x) = − sin(3x − π )·3 1 f ' ( x) = ·2 2 1 + 2x
f ' ( x ) = 3 cos 2 (3x + 1) − sin 2 (3x + 1)
f ' ( x) = 1·e 2 x +1 + x·e 2 x+1 ·2
f ' ( x) = e 2 x+1 ·(1 + 2 x)
]
2 − log x 2 f ' ( x) = ln 10 2 x f ' ( x) = −3·sin(3 x − π ) 1 f ' ( x) = 1 + 2x f ' ( x) =
f ' ( x) = cos( x 2 + 1)·2 x· 1 − x 2 − sin( x 2 + 1)· 2
( 1− x )
2
( −2 x ) 2 1− x
cos( x 2 + 1)·4 x·(1 − x 2 ) + 2 x·sin( x 2 + 1) 2
2 (1 − x 2 ) 3
Departament de Matemàtiques. IES Alcudia
MAT-I
Activitats de les pàgines 320 i 321 Nº Funció Derivada 3 2 2 15 f ( x) = 2 x + 3x − 6 f ' ( x) = 3·2 x + 2·3x1 − 0 16 f ( x) = cos(2 x + π ) f ' ( x) = − sin( 2 x + π )·2 17 18
19
20
x + 2 3 1 f ( x) = 7x +1
1 +0 3 0 − 1·7 f ' ( x) = (7 x + 1) 2
f ( x) =
f ( x) = sin
f ( x) =
f ' ( x) =
x x + cos 2 2
x 1 x 1 f ' ( x) = cos · − sin · 2 2 2 2
2 ( x + 3) 3
f ' ( x) =
0 − 2·3( x + 3) 2 ( x + 3) 6
Derivada simplificada f ' ( x) = 6 x 2 + 6 x ; f ' (1) = 12 f ' ( x) = −2 sin( 2 x + π ) ; f ' ( 0) = 0 1 17 1 f ' ( x) = ; f ' (− ) = 3 3 3 −7 f ' ( x) = ; (7 x + 1) 2 f ' (0) = −7 1 x x f ' ( x) = cos − sin ; 2 2 2
f ' (π ) = −1 / 2 −6 ; f ' ( x) = ( x + 3) 4
f ' (−1) = −
21
22
f ( x) =
f ( x) =
x 3 3x 2 x + − 2 2 2
f ' ( x) = 3
1 = ( x − 4) −1 / 2 x−4
f ' ( x) =
x2 3x 1 +2 − 2 2 2
−1 ( x − 4) −3 / 2 2
3x 2 1 + 3x − ; 2 2 23 f ' ( 2) = 2
f ' ( x) =
f ' ( x) =
f ' (8) =
23
f ( x ) = x·sin(π − x )
3 8
−1 2 ( x − 4) 3
;
−1 16
f ' ( x) = 1·sin(π − x ) + x cos(π − x )·(−1)
f ' ( x) = sin(π − x) − x cos(π − x);
f ' ( x) = 3·(5 x − 2) 2 ·5
f '( ) =1 2 f ' ( x) = 15(5 x − 2) 2 ;
π
24
f ( x) = (5 x − 2) 3
1 f ' ( ) = 15 5
25 26a 26b 27a 27b
f ( x) =
x+5 x−5
e x + e− x 2 2 f ( x ) = ( x − 3)3
f ( x) =
f ( x) =
f ' ( x) =
1·( x − 5) − ( x + 5)·1 ( x − 5) 2
f ' ( x) =
1 x (e + e − x ·(−1)) 2
f ' ( x) = 3·( x 2 − 3) 2 ·2 x f ' ( x) = 1 − 0
x3 − x2 = x −1 x2
f ( x) = x 2 + 1
f ' ( x) =
28a
f ( x ) = 3 ( x + 6) = ( x + 6)
28b
f ( x ) = sin x
2
2/3
1 2
·2 x
2 x +1 2 f ' ( x) = ( x + 6) −1/ 3 3 1 f ' ( x) = ·cos x 2 sin x
− 10 ; f ' (3) = − 5 2 ( x − 5) 2 1 f ' ( x) = (e x − e − x ) 2 f ' ( x) =
f ' ( x) = 6 x·( x 2 − 3) 2 f ' ( x) = 1
f ' ( x) =
x 2
x +1 2 f ' ( x) = 3 3 x+6 cos x f ' ( x) = 2 sin x
Departament de Matemàtiques. IES Alcudia
Nº 29a
Funció f ( x) =
−3
= −3(1 − x 2 ) −1/ 2
2
1− x
29b 30a
f ( x ) = 7 x +1 ·e − x 1 x f ( x) = + 3x 3
30b
f ( x) = ln 3x + e
31a
x f ( x) = 2 1+ x f ( x ) = e 2 x ·tg x
31b 32a 32b 33a
33b 34a 34b
f ( x) =
f ( x) =
x3 x2 − 4 3
x f ( x) = ·e1− x 2 3π f ( x) = sin = −1 2 x2 f ( x ) = log 3− x
35b
f ( x) = ln x
37a
37b
f ' ( x) =
x2 3
f ( x ) = arctg ( x 2 + 1) f ( x ) = arccos
1 x
f ( x ) = arctg
x 2
Derivada simplificada
−1 ·(−3)·(1 − x 2 ) −3 / 2 ·( −2 x ) 2
f ' ( x ) = 7 x +1 ·ln 7·e − x + 7 x+1 ·e − x ·(−1) −1 1 f ' ( x) = 2 + 3x 3 1 1 f ' ( x) = ·3 + e x · 3x 2 x 2 x 1·(1 + x ) − x·2 x f ' ( x) = 2 · 2 2 2 1 + x (1 + x ) 1 f ' ( x) = e 2 x ·2·tg x + e 2 x · 2 cos x
3 x 2 ·( x − 1) 2 − x 3 ·2( x − 1) ( x − 1) 4
f ' ( x ) = 2 cos x·(− sin x ) + e sin x ·cos x 1
f ' ( x) = 2
x3 x2 − 4 2
3 x 2 ( x 2 − 4) − x 3 ·2 x · ( x 2 − 4) 2 3
f ' ( x) =
− 3x (1 − x 2 )3
f ' ( x) = 7 x +1 ·e − x ·(ln 7 − 1) −1 1 f ' ( x) = 2 + 3x 3 1 e x f ' ( x) = + x 2 x
f ' ( x) =
2 x (1 − x 2 ) (1 + x 2 )3
1 f ' ( x ) = e 2 x · 2·tg x + cos 2 x x 2 ( x − 3) f ' ( x) = ( x − 1)3 f ' ( x ) = − sin 2 x + e sin x ·cos x
f ' ( x) =
x 4 − 12 x 2 2 x 3 ( x 2 − 4) 3 2
3
x 1 x f ' ( x) = 3 · ·e1− x + e1− x ·( −1) 2 2 2 f ' ( x) = 0
3 x x f ' ( x) = e1− x − e1− x 22 2 f ' ( x) = 0
1 1 2 x·(3 − x) − x 2 ·(−1) · 2 · ln 10 x (3 − x ) 2 3− x 2 1 f ' ( x) = 3 tg x 2 · 2 2 ·2 x cos x 1 1 f ' ( x) = · 2 ln x x 1 2x f ' ( x) = · 2 x2 3 1 − 3 1 f ' ( x) = ·2 x 1 + ( x 2 + 1) 2 −1 −1 f ' ( x) = · 2 2 1 x 1− x 1 1 f ' ( x) = · 2 x 2·2 x 1 + 2
f ' ( x) =
f ' ( x) =
(
3
f ( x) = arcsin
Derivada
f ' ( x) =
f ( x ) = cos 2 x + e sin x
f ( x) = (tg x 2 )
36b
2
x3 ( x − 1) 2
35a
36a
x
MAT-I
)
6−x ln 10· x·(3 − x)
tg 2 x 2 cos 2 x 2 1 f ' ( x) = 2 x ln x 2x f ' ( x) = 9 − x4
f ' ( x) = 6 x·
f ' ( x) = f ' ( x) =
f ' ( x) =
2x x + 2x2 + 2 1 4
x x2 −1
1 x ·( x + 4)
Departament de Matemàtiques. IES Alcudia
Nº 38a
f ( x) = arctg x
38b
f ( x) = arccos e − x
39a 39b
Funció
f ( x) = x + x f ( x) = arctg
1− x 1+ x
MAT-I
Derivada 1 1 f ' ( x) = · 2 2 arctg x 1 + x f ' ( x) = f ' ( x) = f ' ( x) =
−1
( )
1 − e−x
2
·e − x ·( −1)
1 ·1 + 2 x+ x 2 x 1
− 1·(1 + x) − (1 − x )·1 · (1 + x) 2 1− x 1+ 1+ x 1
2
Derivada simplificada f ' ( x) = f ' ( x) =
1 1 · 2 2 arctg x 1 + x e− x 1 − e −2 x
1 ·1 + 2 x+ x 2 x −1 f ' ( x) = 1 + x2
f ' ( x) =
1
MAT-I
Activitats de regles de derivació Activitats de les pàgines 308 i 309 Nº Funció Derivada 2 1 f ( x) = 3x − 6 x + 5 f ' ( x) = 2·3 x − 6 + 0 2 1 1 f ( x) = x + 3 x = f ' ( x) = x −1 / 2 + x − 2 / 3 2 3 = x1 / 2 + x1 / 3 3 4 5 6
f ( x) = 2 x + 3 5 x = = (2 x)1 / 2 + (5 x)1 / 3 1 f ( x) = = x−3 / 2 x x f ( x) = sin x·cos x
Derivada simplificada f ' ( x) = 6 x − 6 f ' ( x) =
1 1 f ' ( x) = (2 x) −1 / 2 ·2 + (5 x) − 2 / 3 ·5 2 3
3 f ' ( x) = − x −5 / 2 2 f ' ( x) = cos x·cos x + sin x·(− sin x)
7
f ( x) = x·e x
cos x·cos x − sin x·(− sin x) cos 2 x f ' ( x) = 1·e x + x·e x
8
f ( x) = x·2 x
f ' ( x) = 1·2 x + x·2 x ·ln 2
9
f ( x) = ( x 2 + 1)·log 2 x
f ' ( x) = 2 x·log 2 x + ( x 2 + 1)·
10
11
12
f ( x) = tg x =
f ( x) =
sin x cos x
x2 + 1 x2 − 1
x3 + 3x 2 − 5 x + 3 = x 3 = x 2 + 3x − 5 + x log x f ( x) = x f ( x) =
13
f ( x) = sin( x 2 − 5 x + 7)
14
f ( x) = (5 x + 3) 2 / 3
15 16
f ( x) = sin(3 x + 1)·cos(3x + 1) f ( x) =
log x 2 x
17 18
f ( x) = cos(3x − π )
19 20
f ( x) = x·e 2 x +1
f ( x) = 1 + 2 x
f ( x) =
sin( x 2 + 1) 1 − x2
f ' ( x) =
1 1 · ln 2 x
1 2 x
+
1 3
3 x2
1 5 + 2 x 3 3 (5 x) 2
f ' ( x) =
3
f ' ( x) = −
2 x5 f ' ( x) = cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x 1 f ' ( x) = cos 2 x f ' ( x) = e x ·(1 + x)
f ' ( x) = 2 x ·(1 + x·ln 2) f ' ( x) = 2 x·log 2 x +
x2 + 1 x·ln 2
− 4x ( x 2 − 1) 2
2 x·( x 2 − 1) − ( x 2 + 1)·2 x ( x 2 − 1) 2 3 f ' ( x) = 2 x + 3 − 0 − 2 x
f ' ( x) =
1 1 · · x − log x·1 f ' ( x) = ln 10 x 2 x 2 f ' ( x) = cos( x − 5 x + 7)·(2 x − 5) 2 f ' ( x) = (5 x + 3) −1 / 3 ·5 3
1 − log x f ' ( x) = ln 10 2 x
f ' ( x) =
f ' ( x) = 2 x + 3 −
3 x2
f ' ( x ) = ( 2 x − 5)·cos( x 2 − 5 x + 7)
f ' ( x) =
[
10 3 5x + 3 3
f ' ( x) = cos(3x + 1)·3·cos(3x + 1) + sin(3x + 1)·(− sin(3x + 1))·3 1 1 · 2 ·2 x· x − log x 2 ·1 f ' ( x) = ln 10 x x2 f ' ( x) = − sin(3x − π )·3 1 f ' ( x) = ·2 2 1 + 2x
f ' ( x ) = 3 cos 2 (3x + 1) − sin 2 (3x + 1)
f ' ( x) = 1·e 2 x +1 + x·e 2 x+1 ·2
f ' ( x) = e 2 x+1 ·(1 + 2 x)
]
2 − log x 2 f ' ( x) = ln 10 2 x f ' ( x) = −3·sin(3 x − π ) 1 f ' ( x) = 1 + 2x f ' ( x) =
f ' ( x) = cos( x 2 + 1)·2 x· 1 − x 2 − sin( x 2 + 1)· 2
( 1− x )
2
( −2 x ) 2 1− x
cos( x 2 + 1)·4 x·(1 − x 2 ) + 2 x·sin( x 2 + 1) 2
2 (1 − x 2 ) 3
Departament de Matemàtiques. IES Alcudia
MAT-I
Activitats de les pàgines 320 i 321 Nº Funció Derivada 3 2 2 15 f ( x) = 2 x + 3x − 6 f ' ( x) = 3·2 x + 2·3x1 − 0 16 f ( x) = cos(2 x + π ) f ' ( x) = − sin( 2 x + π )·2 17 18
19
20
x + 2 3 1 f ( x) = 7x +1
1 +0 3 0 − 1·7 f ' ( x) = (7 x + 1) 2
f ( x) =
f ( x) = sin
f ( x) =
f ' ( x) =
x x + cos 2 2
x 1 x 1 f ' ( x) = cos · − sin · 2 2 2 2
2 ( x + 3) 3
f ' ( x) =
0 − 2·3( x + 3) 2 ( x + 3) 6
Derivada simplificada f ' ( x) = 6 x 2 + 6 x ; f ' (1) = 12 f ' ( x) = −2 sin( 2 x + π ) ; f ' ( 0) = 0 1 17 1 f ' ( x) = ; f ' (− ) = 3 3 3 −7 f ' ( x) = ; (7 x + 1) 2 f ' (0) = −7 1 x x f ' ( x) = cos − sin ; 2 2 2
f ' (π ) = −1 / 2 −6 ; f ' ( x) = ( x + 3) 4
f ' (−1) = −
21
22
f ( x) =
f ( x) =
x 3 3x 2 x + − 2 2 2
f ' ( x) = 3
1 = ( x − 4) −1 / 2 x−4
f ' ( x) =
x2 3x 1 +2 − 2 2 2
−1 ( x − 4) −3 / 2 2
3x 2 1 + 3x − ; 2 2 23 f ' ( 2) = 2
f ' ( x) =
f ' ( x) =
f ' (8) =
23
f ( x ) = x·sin(π − x )
3 8
−1 2 ( x − 4) 3
;
−1 16
f ' ( x) = 1·sin(π − x ) + x cos(π − x )·(−1)
f ' ( x) = sin(π − x) − x cos(π − x);
f ' ( x) = 3·(5 x − 2) 2 ·5
f '( ) =1 2 f ' ( x) = 15(5 x − 2) 2 ;
π
24
f ( x) = (5 x − 2) 3
1 f ' ( ) = 15 5
25 26a 26b 27a 27b
f ( x) =
x+5 x−5
e x + e− x 2 2 f ( x ) = ( x − 3)3
f ( x) =
f ( x) =
f ' ( x) =
1·( x − 5) − ( x + 5)·1 ( x − 5) 2
f ' ( x) =
1 x (e + e − x ·(−1)) 2
f ' ( x) = 3·( x 2 − 3) 2 ·2 x f ' ( x) = 1 − 0
x3 − x2 = x −1 x2
f ( x) = x 2 + 1
f ' ( x) =
28a
f ( x ) = 3 ( x + 6) = ( x + 6)
28b
f ( x ) = sin x
2
2/3
1 2
·2 x
2 x +1 2 f ' ( x) = ( x + 6) −1/ 3 3 1 f ' ( x) = ·cos x 2 sin x
− 10 ; f ' (3) = − 5 2 ( x − 5) 2 1 f ' ( x) = (e x − e − x ) 2 f ' ( x) =
f ' ( x) = 6 x·( x 2 − 3) 2 f ' ( x) = 1
f ' ( x) =
x 2
x +1 2 f ' ( x) = 3 3 x+6 cos x f ' ( x) = 2 sin x
Departament de Matemàtiques. IES Alcudia
Nº 29a
Funció f ( x) =
−3
= −3(1 − x 2 ) −1/ 2
2
1− x
29b 30a
f ( x ) = 7 x +1 ·e − x 1 x f ( x) = + 3x 3
30b
f ( x) = ln 3x + e
31a
x f ( x) = 2 1+ x f ( x ) = e 2 x ·tg x
31b 32a 32b 33a
33b 34a 34b
f ( x) =
f ( x) =
x3 x2 − 4 3
x f ( x) = ·e1− x 2 3π f ( x) = sin = −1 2 x2 f ( x ) = log 3− x
35b
f ( x) = ln x
37a
37b
f ' ( x) =
x2 3
f ( x ) = arctg ( x 2 + 1) f ( x ) = arccos
1 x
f ( x ) = arctg
x 2
Derivada simplificada
−1 ·(−3)·(1 − x 2 ) −3 / 2 ·( −2 x ) 2
f ' ( x ) = 7 x +1 ·ln 7·e − x + 7 x+1 ·e − x ·(−1) −1 1 f ' ( x) = 2 + 3x 3 1 1 f ' ( x) = ·3 + e x · 3x 2 x 2 x 1·(1 + x ) − x·2 x f ' ( x) = 2 · 2 2 2 1 + x (1 + x ) 1 f ' ( x) = e 2 x ·2·tg x + e 2 x · 2 cos x
3 x 2 ·( x − 1) 2 − x 3 ·2( x − 1) ( x − 1) 4
f ' ( x ) = 2 cos x·(− sin x ) + e sin x ·cos x 1
f ' ( x) = 2
x3 x2 − 4 2
3 x 2 ( x 2 − 4) − x 3 ·2 x · ( x 2 − 4) 2 3
f ' ( x) =
− 3x (1 − x 2 )3
f ' ( x) = 7 x +1 ·e − x ·(ln 7 − 1) −1 1 f ' ( x) = 2 + 3x 3 1 e x f ' ( x) = + x 2 x
f ' ( x) =
2 x (1 − x 2 ) (1 + x 2 )3
1 f ' ( x ) = e 2 x · 2·tg x + cos 2 x x 2 ( x − 3) f ' ( x) = ( x − 1)3 f ' ( x ) = − sin 2 x + e sin x ·cos x
f ' ( x) =
x 4 − 12 x 2 2 x 3 ( x 2 − 4) 3 2
3
x 1 x f ' ( x) = 3 · ·e1− x + e1− x ·( −1) 2 2 2 f ' ( x) = 0
3 x x f ' ( x) = e1− x − e1− x 22 2 f ' ( x) = 0
1 1 2 x·(3 − x) − x 2 ·(−1) · 2 · ln 10 x (3 − x ) 2 3− x 2 1 f ' ( x) = 3 tg x 2 · 2 2 ·2 x cos x 1 1 f ' ( x) = · 2 ln x x 1 2x f ' ( x) = · 2 x2 3 1 − 3 1 f ' ( x) = ·2 x 1 + ( x 2 + 1) 2 −1 −1 f ' ( x) = · 2 2 1 x 1− x 1 1 f ' ( x) = · 2 x 2·2 x 1 + 2
f ' ( x) =
f ' ( x) =
(
3
f ( x) = arcsin
Derivada
f ' ( x) =
f ( x ) = cos 2 x + e sin x
f ( x) = (tg x 2 )
36b
2
x3 ( x − 1) 2
35a
36a
x
MAT-I
)
6−x ln 10· x·(3 − x)
tg 2 x 2 cos 2 x 2 1 f ' ( x) = 2 x ln x 2x f ' ( x) = 9 − x4
f ' ( x) = 6 x·
f ' ( x) = f ' ( x) =
f ' ( x) =
2x x + 2x2 + 2 1 4
x x2 −1
1 x ·( x + 4)
Departament de Matemàtiques. IES Alcudia
Nº 38a
f ( x) = arctg x
38b
f ( x) = arccos e − x
39a 39b
Funció
f ( x) = x + x f ( x) = arctg
1− x 1+ x
MAT-I
Derivada 1 1 f ' ( x) = · 2 2 arctg x 1 + x f ' ( x) = f ' ( x) = f ' ( x) =
−1
( )
1 − e−x
2
·e − x ·( −1)
1 ·1 + 2 x+ x 2 x 1
− 1·(1 + x) − (1 − x )·1 · (1 + x) 2 1− x 1+ 1+ x 1
2
Derivada simplificada f ' ( x) = f ' ( x) =
1 1 · 2 2 arctg x 1 + x e− x 1 − e −2 x
1 ·1 + 2 x+ x 2 x −1 f ' ( x) = 1 + x2
f ' ( x) =
1
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