Actividad_2_operaciones_con_matrices.pdf

Unidad 1: Matrices y determinantes Competencia: Utiliza las matrices, sus propiedades, el determinante y operaciones entre ellas, para resolver problemas de aplicación en las diferentes áreas de las matemáticas y de la ingeniería. Definición de una Matriz Se denomina matriz de orden 𝑚 × 𝑛 a todo arreglo de elementos 𝑎𝑖𝑗 dispuestos en m filas y n columnas, respectivamente.

 a11 a12 a  21 a22 A   a31 a32   ... ...  am1 am 2

a13 a23 a33 ... am3

a1n  a2 n  a3n    ai j   ...  ... amn 

... ... ...

Las matrices de denotan por una letra mayúscula, por un arreglo de filas y columnas o por un elemento representativo en minúscula escrito entre corchetes,  ai j  , ci j  . El tamaño de una matriz se determinará por el número de filas y columnas, es decir, el orden de la matriz, m  n :

 2 3  A   1 0  matriz de 3 × 2, es decir, 3 filas y 2 columnas  2 1 1 0 0  1 B  0 1 0 2 

matriz de 2 × 4, es decir 2 filas y 4 columnas

Definición de la igualdad de matrices Dos matrices A   ai j  y B  bi j  son iguales si tienen el mismo orden 𝑚 × 𝑛 y ai j  ci j para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑦 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.

Definición de la suma y diferencia Si A   ai j  y B  bi j  son matrices de tamaño 𝑚 × 𝑛, entonces su suma o diferencia es la matriz de tamaño 𝑚 × 𝑛 dada por 𝐴 ± 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑖𝑗 ]. Para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑦 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛. Solo es posible sumar o restar dos matrices que tengan el mismo orden o tamaño.

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Ejemplos: Dadas las matrices

3 4 0 3  A  5 8 2 3  6 2 9 0  Hallar A + B y A - B

4 5 8  2 B  3 4  2 0 0 4 0 4

   

4 3  C  2  3 5 8

   

 1  1  8 5   A B   2 4 4 3   6  2 9  4

7 9 8 1  A  B  8 12 0 3  6 6 9 4 

La suma (o diferencia) de A y C, B y C no se puede realizar por no ser del mismo orden.

Definición de la multiplicación por un escalar: Si A   aij  es una matriz de tamaño 𝑚 × 𝑛 y 𝑘 es un escalar, entonces el múltiplo escalar de A por k es la matriz de tamaño 𝑚 × 𝑛 dada por 𝑘𝐴 = [𝑘𝑎𝑖𝑗 ]. Para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑦 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 Ejemplos. Dada la matriz A

 - 1 2 A   3 1  - 2 0 Hallar 3𝐴, 2𝐴 𝑦 (−1)𝐴

- 3 3A   9 - 6

6 3 0

 2 4 2A   6 2  4 0

1  1A   3  2

- 2 - 1 0 

Definición de la multiplicación de matrices La multiplicación de matrices no es conmutativa 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Para que este definida la multiplicación de matrices se necesita que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. Por ejemplo, si la matriz A es de tamaño 3 × 4, entonces se requiere que la matriz B sea de tamaño 4 × 𝑛 donde 𝑛 puede tomar un valor de al menos 1 para que la multiplicación este definida. Si A   aij  es una matriz de tamaño 𝑚 × 𝑛 y si B  bij  es una matriz de tamaño 𝑛 × 𝑝, entonces el producto 𝐴𝐵 es una matriz de tamaño 𝑚 × 𝑝 Página 2 de 4

AB  ci j  donde n

ci j   aik  bkj  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ai 3  b3 j  ...  ai n  bn j k 1

Ejemplos: Dadas las siguientes matrices

2  1 3  A   4  1 2

 2  1 2 B   4 0 6  2 3 1

  1 4 C   2 1

Calcular AB

 2 1 2   2  2  1 4  3   2  2   1   1  0  3  3 2  2   1  6  3 1  2 1 3   A B   4 0 6        4 1 2   2 3 1   4  2   1 4  2   2  4   1   1 0  2  3 4  2   1  6  2 1    4  4  6 2  0  9 4  6  3  6 7 1     8  4  4 4  0  6 8  6  2   0 2 4  En donde cada elemento cij se obtiene de la siguiente manera: 2 C11  2  1 3  4   (2) (2)  (1) (4)  (3) (2)  6  2

- 1 C12  2  1 3  0   (2) (-1)  (1) (0)  (3) (3)  7  3   2 C13  2  1 3 6  (2) (2)  (1) (6)  (3) (1)  1 1 2 C21  4 - 1 2  4   (4) (2)  (1) (4)  (2) (2)  0  2

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- 1 C22  4 - 1 2  0   (4) (-1)  (1) (0)  (2) (3)  2  3   2 C23  4 - 1 2 6  (4) (2)  (1) (6)  (2) (1)  4 1

El producto AC no es posible formarlo, ya que el número de columnas de A es diferente al número de filas de C. Actividad 2: Operaciones de suma, resta, multiplicación de matrices, así como la multiplicación por un escalar Realiza las operaciones indicadas 1.

3.

7 3 −15 9 ( −7 5) + ( 0 −4 ) −2 −18 −1 6 7 3 −15 9 3 ( −7 5) − 5 ( 0 −4 ) −2 −18 −1 6

5.

2.

7 12 − (11 5 −8) − (−3 − 5 10 ) −6 −2 −9 12 −1 0

4.

18 2 −19 −2 3 4 2⁄ − 1 − 8 ) + (− 4⁄ − 1⁄ 0) ( 7 9 2 −3⁄ −12 7 −6 5 1 4

6.

1 − 3⁄2 −2 36 4 −38 4 1⁄ 16 ) + (2⁄ 0 ) ( −2 − ⁄7 4 9 5 1 −24 14 − 3⁄2 3 − ⁄2 − ⁄2

8.

5 −1 −4 7 −1 −9 ( 2 4)[ ] 0 3 8 −2 −8 6

−3 8 4 −2 ( 7 ) − 3 (−9) + 1⁄2 ( 1 ) 2 6 −2

7.

9.

11.

13.

 2 3   4 1    3 2 1 2        1 2   0 6    1 4 0 3  7 3 11 12⁄5 −8 ( 0 −4 ) ( ) 0 −2 −18 12 −1

 5 1 2  1 0 1      1 3 2  1 0 0   1 1 5  2 1 1     2 −3 −4 2 −3 −4 0 ) (4⁄9 1⁄2 0) (4⁄9 1⁄2 6 −5 −1 6 −5 −1

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10.

12.

14.

5 −1 −4 7 −1 −9 ( 2 4)( ) 0 3 8 −2 −8 6

 2 3 5  1 4 6      1 0 6  2 3 5   2 3 1  1 0 4     2 −3 −4 2 −3 −4 0 ) (4⁄9 1⁄2 0) (4⁄9 1⁄2 6 −5 −1 6 −5 −1