Actividad Individual 5 Integrales Triples

Suárez Wendy C.I. 17.905.896 Sección: 002 Ing. Petróleo. Actividad Individual Nº 5 Integrales Triples en coordenadas polares. INTEGRALES TRIPLES Calculo de Volúmenes: Vol (v) = ∫∫∫ V dx dy dz Calculo de Masas: Masa (V) = ∫∫∫ V δ (x, y, z) dx dy dz Centro de masa: (∫∫∫ V x δ (x, y, z) dx dy dz) /M Momento de inercia: I0 = ∫∫∫ Vd ² δ (x, y, z) dx dy dz Extensión del teorema de Fubini a regiones generales:

∫∫∫ V F (x, y, z) dx dy dz = F (x, y, z) dx dy dz Teorema: Cambio de variables: Dada f: k Ì R³ ® R, F continua, G: r*Ì R³ ® R³, G Î C¹, inyectiva con G (k*), tal que det (DG (u, v, w) ≠ 0," (u, v, w)Î k*): entonces: ∫∫∫ kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ kF(g(u, v, w)) .|det (DG)|du dv dw F(x, y, z) = dv F(g(x, y, z)).|det(DG)| = dv Obs: el teorema sigue siendo valido si det DG (u, v, w) = 0 sobre un conjunto de puntos de medida 0 en k*. Aplicación: Coordenadas Cilíndricas:

X = r cos θ r = √ (x ² + y ²) (distancia al eje z) Y = r sen θ dv = Z=z G (r.cos θ, r.sen θ, z) ∫∫∫ kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ k*F(r.cos θ, r.sen θ, z).r.dz.dr.d θ Método de trabajo:

Ejemplo: Calcular el volumen de μ limitado por √ (x ² + y ²)≤ z ≤ R

Vol = R³/6

r dz dr d θ =

(Rr-r ²) dr d θ =

Rr ²/2-r³/3 |

dθ=

d θ = π R³/3

Integrales de Superficie: En superficie (reemplazar Z por su valor en la superficie) Área (s) = ∫∫ Axy |ÑF|/|F´z|dx dy; Φ (flujo) = ∫∫ Axy F .ÑF /|F´z| dx dy Ejemplo: s: z = √(x ² + y ²) Limites: x ² + y ² ≤ R

F (x, y, z) = √(x ² + y ²)-z F´ x = x/ (√ (x ² + y ²)) ÑF = (x/ (√ (x ² + y ²)), y/ (√ (x ² + F´ y = y/ (√ (x ² + y ²)), -1) y ²)) F´ z = -1

|ÑF| = √2 Área Lateral = ∫∫ Axy |ÑF|/|F´z| dx dy =∫∫ Axy √2.dx = √2 π R √2 ∫∫ Axy dx dy dy = ² Área del circulo Teorema de Gauss (o de la divergencia): Obs: Con este método se calcula el vector normal exterior a la superficie. F ds = ∫∫∫ V Ñ.F dx dy dz ÑF : Divergencia Te dan el flujo de una determinada función F (x, y, z). Delimitan una superficie con planos o superficies y piden calcular el flujo a través de la superficie frontera. Divergencia: ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z (derivadas de las componentes de la función del flujo) Obs: Si me queda el flujo neto negativo, significa que tiene sentido opuesto al normal exterior. Puntos: Fuente: origina campo (campo positivo). Sumidero: recibe campo. Pasante: Lo que entra = lo que sale.

Bibliografía http://www.fisicanet.com.ar/matematica/integrales/ap06_integral_triple.php