Actividad 9. Mapa Conceptual.docx

Actividad 9 – Evaluativa Calculo diferencial e integral Yefferson Andres Rojas Niño ID:000671493

Juan Daniel Delgado Jaimes ID:000672988

Mapa conceptual

LA DERIVADA Y SUS PROBLEMAS EL PROBLEMA DE LA TANGENTE

EL PROBLEMA DE LA VELOCIDAD

EL PROBLEMA DE LOS VALORES

La pendiente de la recta tangente a una

A través de la derivada se puede

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

curva y = f(x) en un punto P(x₀,y₀)es igual a

obtener la velocidad de un objeto en

la derivada de la curva.

movimiento rectilíneo.

A través de la derivada se puede encontrar

f ( x ) −f ( a ) m=lim =f ´ (a) x −a x →a f ( a+h ) −f ( a) m=lim =¿ f h x →h

→

V a=lim

x →a

y - y₀ =f´(x) (x-x₀) Donde f´(x) es la derivada de la función ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL

S ( x )−f (a) x−a

→

→ (a) S ( a+h )−f S´= f´(t)= V V a=lim h x →h

V=f´(t)

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE

y - y₀ = m(x-x₀)

los valores máximos y mínimos (valores

d [ s ] d [ f (t ) ] = dt dt

d [ s ] df (t) = =V dt dt d ds d [ f ´ (t ) ] = dt dt dt

[ ]

−1

y- y₀ = (x m−1 y = f´(x) + b y =y₀mx y= +b -x₀) ECUACIÓN DE UNA(xFUNCIÓN LINEAL

2

d s

→

Derivada de=f la´cadena ´ ( a )=a 2

extremos) de una función. 1. Si f´(x) cambia de positivo a negativo en c (número crítico),entonces f(c) es un valor máximo relativo f. 2. Si f´(x) cambia de negativo a positivo en c (número crítico),entonces f(c) es un valor mínimo relativo f. 3. Si f´(x) no cambia su signo, entonces f(c)no es un valor máximo ni mínimo relativo. Se en cuentran haciendo f´(x)= 0

La derivada La podemos obtener a través de

La definición f ´ ( x)=lim h →0

f ( x+ h )−f (x) h

X cantidad de reglas Ejemplo: y=2x2

y´=

lim

h→0

y´= lim

h→0

2( x + y)2 −(2 x 2) h 2 x 2 + 4 x h+2 h2 −2 x 2 h

Dx [ y ] =2 Dx [ x 2 ] dy dx =2∗2 x 2−1 dx dx

Puede ser de la forma

dy =2∗2 x dx

Explicita

Implícita

❑

y´=

h( 4 x +2 h) lim h h→0

4 x +2 h y´= lim h→0 4 x +2(0) y´= lim h→0

y'=

dy =f ´ ( x ) dx

y´ ´=

d2 y =f ´ ´ (x) d x2

y ´ ´´ = y n=

3

d y =f ´ ´ ´ (x ) d x3 n

d y n =f ( x ) n dx

Se da cuando una ecuación de dos variables está dada de la forma: y=f(x) Y=x2 y´= 2x= a la derivada de la función

Derivada de orden

dy =4 x dx

Se da cuando unaecuación presenta sus variables de la forma: F(x,y)=0

y2+x2=0 2y

dy dx +2 x =0 dx dy

2yy´+2x=0

y2+x2=0

2y

dy dx +2 x =0 dx dx

2y+2xx´=0

y ´=

−2 x 2y

x´=

−2 y 2x

y´=

−x y

x´=

−x y

y´= pendiente

x´= reciproco de y

Propiedades de lasFunciones Senɸ.Cscɸ = 1 Cosɸ.Secɸ = 1 Cotɸ.Tanɸ =1 Tanɸ = senɸ/cosɸ

Trigonométricas

Cotɸ = cosɸ/senɸ 2

2

Sen ɸ = cos – 1 2

2

Tan ɸ +1 = sec ɸ Sen(A+B) = ln x

Logarítmicas

a

=x

An

= nlnA

ln

ln1 = 0 x

lne = x lne = 1 ln(A.B) = lnA + lnB ln(A/B) = lnA - lnB x

y

(e )

x

y

x

y

e .e = e 0

Exponenciales

x+y

=e

e = 1

e /e = e lnx

e

xy

x-y

= x

DERIVADA IMPLÍCITA

Pendiente

dy dx

Y = f(x) Y = variable dependiente

Tangente

−1 Aquídy dx

Lanormal

Dx[y] = Dx [f(x)]

dy dx También calcula la razón de cambio y la velocidad de un objeto

dy dx

= f’(x)

Implícita

Dy = f’(x) dx

∫ dy = ∫ f ' ( x ) dx

Diferencial

Integral Y = f(x) + c

Y’ = f’(x)

d2 y d x2 Calcula la aceleración, el punto de inflexión, los máximos y mínimos

Donde f(x) es la función antes de derivar

Dx [y’] = dx [f´(x)] Y’’ = f’’(x) Dx [y’’] = dx [f’’(x)] Y’’’ = f’’’(x)

y

n

=

f

n

y

Donde (x)

n

Es la derivada n – ésima de la función

y= f(x)

Aplicacione

dy Pendiente Tangente dx −1 dy Normal dx dy dx

Razón de cambio de la variable con respecto a la X Velocidad de un objeto en el instante X

dy =0 dx

Calculo de valores

críticos, en qué momento cambia el objeto de dirección

d2 y d x2   

Aceleración Punto de inflexión Cálculos de Máximo y Mínimo

dy dx

Y =Variable Dependiente =f

y’=f Dx [ y ’] = Dx [f ’(x)] y’’ = f ‘’ (x)

Dx [y’’] = Dx [f ‘’(x)] y’’’ = f ‘’’ (x)

´(x) Implícit a

dy = f ´(x) dx

∫ dy =∫ f ' ( x ) dx Diferencia l

Cada variable esta con su respectiva diferencial

Derivada N - ésima de la función o variable Y