Actividad 7 Adriana

Alumna: Adriana Grillet C.I: 19601984 Sección I-005-D Ing. de Petróleo

Valencia, 03 de junio del 2008

Espacio vectorial Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. Las operaciones que podemos realizar entre ellos son: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, el producto punto, el producto vectorial y el triple producto escalar con algunas restricciones naturales como el cierre de estas operaciones, la asociatividad de estas y la combinación de estas operaciones, siguiendo, llegamos a la descripción de una estructura matemática llamada espacio vectorial. En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección [LWJ98], ya sea una fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones. Definición formal Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Y un conjunto V dotado de una ley de composición interna (+), (suma de vectores), y una ley de composición externa (·), (producto por un escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y solo si: •

V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composición interna (+), (suma de vectores). Esto significa que: 1. La suma de vectores es ley de composición interna.

2. La suma de vectores es asociativa. 3. La suma de vectores es conmutativa. 4. Existe un elemento neutro o nulo. 5. Existe un elemento simétrico u opuesto aditivo. Dónde representa el vector nulo. •

Respecto a su ley de composición externa (·), (producto por un escalar), se cumple: 6. El producto es ley de composición externa. 7. El producto posee asociatividad mixta. 8. El producto es distributivo respecto a la suma en V. 9. El producto es distributivo respecto a la suma en K. 10. Existe el elemento neutro para el producto.

Espacio vectorial Definición: Un conjunto V , cuyos elementos se denotan mediante u, v, w, ..., se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K (si K es R se dice que es un espacio vectorial real y si K es C se dice que es un espacio vectorial complejo), si en él se han definido dos operaciones: la suma, +, como operación interna, de manera que a cada par de elementos u y v de V se le hace corresponder el elemento u+ v de V, y la multiplicación por escalares como operación externa, de manera que a todo elemento u ∈ V y a todo elemento a ∈ K le hace corresponder el elemento a · u ∈ V, que satisfacen las siguientes propiedades: (S1) (Conmutativa) u + v = v + u para todo u, v de V . (S2) (Asociativa) u + ( v + w) = ( u + v) + w para todo u, v, w de V . (S3) Existe un elemento de V, designado por 0 y denominado neutro, tal que u+ 0 = u para todo u de V . (S4) Para todo u de V existe un elemento, designado por − u y denominado opuesto de u, tal que u + (− u) = 0. (M1) 1 · u = u para todo u de V , donde 1 denota el elemento unidad de K. (M2) (Seudoasociativa) a (b u) = (ab) u para todo u de V y todo a, b de K. (M3) (Distributiva respecto a la suma de escalares) (a + b) u = a u + b u para todo u de V y todo a, b de K. (M4) (Distributiva respecto a la suma de vectores) a ( u + v) = a u + a v para todo u, v de V y todo a de K. Cualquier conjunto Rn tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares R. No sólo los Rn tienen estructura de espacio vectorial, también

la tiene el conjunto de matrices Mn×m, el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, el conjunto de funciones continuas en el intervalo [a, b] .... A partir de ahora nos centraresmos en espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números reales, K = R. 3.2.1 Propiedades de los espacios vectoriales Si V es un espacio vectorial, se verifica que: 1. Si u, v y w son elementos de V tales que u + w = v + w entonces u = v. 2. Si 0 es el elemento neutro de V y λ ∈ R entonces λ · 0 = 0. 3. Si v ∈ V entonces 0 · v = 0. 4. Si v ∈ V entonces −1 · v = − v que es el elemento opuesto de v. 5. Si v ∈ V y λ ∈ R tales que λ · v = 0 entonces o bien λ = 0 o bien v = 0.

Propiedades del espacio vectorial. Además se cumplen las siguientes 10 propiedades (5 propiedades para la suma vectorial y 5 para el producto por escalares): (En adelante, y como es costumbre, los vectores se indican con letras latinas con una flecha encima; si no es así se trata de escalares) •

Para la Suma de vectores

•

Para el Producto por Escalares

1 Cerradura Asociativid 2 ad Conmutati 3 vidad Inverso 4 Aditivo Neutro 5 Aditivo 6 Cerradura 7 Asociativa Distributiv 8 a1 Distributiv 9 a2 1 Neutro del

0 producto (Aquí la suma entre escalares es la definida para el cuerpo de escalares; parece lioso pero la suma entre vectores puede ser construida con otras reglas muy diferentes a las de la suma entre escalares. Sin embargo, como ocurre con los vectores geométricos habituales y los números reales, una suma puede llevar a la otra o estar relacionadas.) Otras propiedades. Las propiedades de la 1 a la 5 indican que conmutativo bajo la suma vectorial.

es grupo abeliano o

También, de las propiedades anteriores, se pueden probar inmediatamente las siguientes fórmulas útiles: 11 12 13 Combinación lineal de vectores Un vector es combinación lineal de otros vectores si se puede obtener mediante operaciones de suma de otros vectores. Por ejemplo: el vector (3,5) es combinación lineal del vector (1,1) y (0,2) pues se puede obtener multiplicando por 3 el vector (1,1) y sumándole el vector (0,2). Sistema de vectores Este concepto es muy sencillo. Un sistema de vectores es un conjunto de vectores. Un sistema de vectores es libre si son linealmente independientes entre si. En caso contrario se dice que es ligado. Subespacio vectorial En cualquier estructura algebraica, resulta de particular interés, el estudio de los subconjuntos que tienen la misma estructura que el conjunto en consideración. En nuestro caso, estamos interesados en subconjuntos de un espacio vectorial dado.

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. Las operaciones que podemos realizar entre ellos son: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, el producto punto, el producto vectorial y el triple producto escalar con algunas restricciones naturales como el cierre de estas operaciones, la asociatividad de estas y la combinación de estas operaciones, siguiendo, llegamos a la descripción de una estructura matemática llamada espacio vectorial. Definición Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V. S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos. Condición de existencia de subespacio El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si: 1. S no es un conjunto vacío. 2. S es igual o está incluído en V. 3. La suma es ley de composición interna. 4. El producto es ley de composición externa. Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio. Operaciones con subespacios Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Intersección La intersección de dos subespacios es un subespacio de V. Suma La suma de dos subespacios es un subespacio de V. Suma directa Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa". Es decir que si . Dependencia e independencia lineal En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Los vectores que no son linealmente independientes son linealmente dependientes. Sea un conjunto de vectores. Diremos que es una combinación lineal de los vectores de , o que es generado por , si existen tales que Decimos que

.

es linealmente dependiente si existen escalares

no todos nulos tales que decir, que toda combinación

lineal

. En caso contrario, es igualada a implique

diremos que es linealmente independiente. 1. Cualquier conjunto que contenga al

es linealmente dependiente.

2. Un vector es linealmente independiente si y solo si es no nulo. 3. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si al menos uno de ellos es combinación lineal de los demas. 4. Si un conjunto tiene un subconjunto linealmente dependiente, entonces es linealmente dependiente. 5. Si un conjunto es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo es linealmente independiente. 6. Si un conjunto

es linealmente independiente y es linealmente dependiente entonces es combinación lineal de los vectores de .

Vector en Rn Hasta ahora nos hemos limitado al estudio de vector en dimensiones 2 y 3 con el fín de lograr la mayor claridad posible y mantener la motivación del estudiante. Esperamos que ya esté preparado para un mayor grado de abstracción algebraica ya que el sentido geométrico se puede mantener hasta el espacio R3 en el cual nos movemos materialmente. Sin embargo es necesario crear espacios vectoriales abstractos para modelar la realidad, ya que en la práctica los problemas que se deben resolver, generalizando los asuntos y métodos planeados en R2 y R3 , constan de cientos, y a menudo, miles de variables x1, x2, x3, x,4, x5, x6, etc. El espacio vectorial Rn es el conjunto de todos los vector con n componentes (x1, x2, x3, ... , xn), dotado de las siguientes operaciones: Suma de vector Para cada par de = (x1, x2, x3, ... , xn) e y = (y1, y2, y3, ... , yn), definimos la suma de vector denotada por x + y, así: (x1, x2, x3, ... , xn) + (y1, y2, y3, ... , yn) = (x1+ y1, x2 + y2, x3 + y3 ... + xn + yn) (pre)multiplicación de un vector por un número. Para cada número

y cada vector

x = (x1, x2, x3, ... , xn), definimos el producto

x, como el vector:

x = ( x1,

x2,

x3, ... ,

xn)

Método alternativo usando determinantes Un método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son linealmente dependientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es cero. Dados los vectores:

La matriz formada por éstos es:

El determinante de esta matríz es:

Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes. Ejemplo Sea V = Rn y consideremos los siguientes elementos en V:

Entonces e1, e2,..., en son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica en R. Demostración Supongamos que a1, a2,..., an son elementos de R tales que:

Pero

Entonces ai = 0 para todo i en {1,..., n}.