Actividad 4

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Actividad 4: Álgebra booleana En el módulo Fundamentos de la electrónica has estudiado números binarios y funciones y compuertas lógicas. Estos temas ya fueron tratados nuevamente en las actividades anteriores de este módulo. En esta actividad aprenderás acerca del álgebra en relación con sistemas lógicos. Los principios de esta álgebra fueron formulados por el matemático inglés George Boole, y por lo tanto recibe el nombre de álgebra booleana.

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Esta actividad incluye los siguientes temas: Reseña general del álgebra booleana. Análisis de las funciones booleanas Inspección de una expresión booleana

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OBJETIVOS En esta actividad, realizarás lo siguiente: Aprender a identificar las funciones booleanas. Analizar expresiones booleanas. Aprender a crear tablas de verdad en base a expresiones booleanas.

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Introducción al álgebra booleana ¿Qué es el álgebra booleana? El álgebra booleana trata con operaciones de variables que sólo pueden tomar uno de dos valores: 0 o 1. 0 indica "falso", mientras 1 indica "verdadero". En principio, el álgebra booleana se parece al álgebra común. Por lo tanto, se usan signos similares.

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Operaciones con álgebra booleana El álgebra booleana permite simplificar varias funciones complejas. Las reducciones permiten comprender la función con más facilidad. Por ejemplo, pueden cancelarse los elementos que no afectan la salida final y crear un circuito que represente la función utilizando menos compuertas lógicas. Usar menos compuertas en un circuito se traduce en ahorro de tiempo y dinero.

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Tarea: Ilustrar el uso práctico del álgebra booleana Analiza el circuito que se muestra. ¿Puedes identificar las compuertas en el circuito? 1 En base a las compuertas del circuito, completa las salidas en la tabla. 2 Haz clic en Verificar en la pantalla de animación para verificar tus datos. 3 Si alguna de tus respuestas es incorrecta, corrígela. Haz clic en Verificar nuevamente para verificar los datos.

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Aplicación práctica del álgebra booleana Resultados idénticos con menos funciones Examina la figura. Es el mismo circuito que has analizado en la tarea que acabas de realizar. Como puedes ver, las salidas de ambos circuitos son idénticas. Las salidas son fáciles de identificar como idénticas analizando tanto los circuitos como las tablas de verdad. En funciones más complejas, es mucho más difícil reconocer formas equivalentes reducidas - simplificadas examinando la tabla de verdad. La reducción sólo puede lograrse mediante el uso de álgebra booleana y otros métodos de reducción.

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Expresiones booleanas En el álgebra "común", una combinación de valores fijos o variables dada constituye una expresión. En este sentido, el álgebra booleana es igual. Una expresión booleana es una combinación de valores fijos y variables, los que sólo pueden ser 1 o 0. Los distintos valores variables y fijos están relacionados mediante operaciones booleanas como AND, NOT y OR.

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Expresiones booleanas Continuación El orden de las operaciones booleanas primarias es el siguiente: 1 NOT 2 AND 3 OR Cuando dos operaciones tienen el mismo orden de importancia se realizan de izquierda a derecha.

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Funciones booleanas Dada una expresión booleana que contiene n variables, cada una de las cuales sólo puede valer 0 o 1, hay combinaciones posibles de los valores de las variables. Una función booleana expresa el resultado para todas estas combinaciones.

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Funciones booleanas Continuación Por ejemplo, dada la función Z = A* + C*D, se puede calcular la respuesta individualmente para cada combinación posible de A, B, C y D. Otra opción es crear una tabla de verdad que contenga cada una de todas las posibles combinaciones de variables A, B, C y D para determinar las salidas. De hecho, ambos métodos son idénticos, excepto que la tabla de verdad organiza los datos más claramente.

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Identidad booleana Dos expresiones que tienen salidas idénticas para cada combinación de entradas posible se dice que tienen la misma identidad booleana. Por ejemplo, en los circuitos que has examinado anteriormente, según se muestra, has observado la identidad booleana = A+B. Las dos expresiones son idénticas, como lo muestra la tabla de verdad que has analizado en la tarea que realizaste.

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Reglas del álgebra booleana Reglas para una variable única Al igual que en las matemáticas "comunes", el signo de multiplicación (o signo booleano AND "*") con frecuencia se omite en las expresiones, como por ejemplo A*B = AB y A*(A+B) = A (A+B). En las siguientes reglas del álgebra booleana, se ha mantenido el signo *, pero más adelante en esta actividad, así como en otras actividades, verás con frecuencia expresiones en donde se lo ha omitido. Nota: Los términos multiplicación y suma se usan aquí en referencia a las funciones booleanas AND y OR y no a las operaciones aritméticas. Reglas para una variable única Continuación Las siguientes reglas pueden aplicarse una expresión booleana con una variable única: Para cualquier variable dada A, su inversa se define como NOT(A) o . La multiplicación (función AND) o la suma (función OR) de la variable por sí misma da como resultado la variable única: A+A = A A*A = A Esto se conoce como la regla de

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identidad.

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Reglas para una variable única Continuación Multiplicar una variable por 1 da como resultado la variable: A*1 = A. Sumar 0 a una variable da como resultado la variable: A+0 = A. Sumar un 1 a una variable da como resultado una salida de 1: A+1 = 1. Sumar un 0 a una variable da como resultado la variable: A+0 = A. Multiplicar una variable por su inversa da como resultado 0: A* = 0. Sumar una variable a su inversa da como resultado 1: A+ = 1.

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Reglas para multiplicar variables Las operaciones booleanas obedecen las reglas conmutativa, distributiva y asociativa del álgebra normal. Ley conmutativa: Al sumar múltiples variables, el orden de las variables es intercambiable: A+B+C = A+C+B = B+A+C, y así. Al multiplicar distintas variables, el orden también es intercambiable: A*B*C = A*C*B = C*B*A, y así. Por supuesto, en una expresión que incluya tanto suma como multiplicación, el orden debe respetarse con cuidado para asegurar que se sumen y se multipliquen las variables correctas. A*B + C*D = B*A + D*C D*B + A*C.

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Reglas para múltiples variables - Continuación Ley asociativa: Al sumar múltiples variables, el orden de la operación no es significativo: (A+B)+C = A+(B+C). Del mismo modo, al multiplicar diversas variables, el orden de la operación no es significativo: (A*B)*C = A*(B*C). Es importante aclarar, sin embargo, que si se combinan varios operadores booleanos, debe respetarse el orden de las operaciones observado previamente.

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Reglas para múltiples variables - Continuación Ley distributiva: A*(B+C) = A*B + A*C El álgebra booleana extiende la ley distributiva: A+(B*C) = (A+B)*(A+C)

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Reducir expresiones - Teorema de De Morgan Existen varias leyes más para trabajar con variables múltiples. Algunas simplemente se postularán aquí y otras se probarán: Teorema de De Morgan: De Morgan fue un matemático británico que desarrolló dos reglas para permitir el manejo de un tipo de expresiones complejas. Más adelante en esta actividad analizarás la verdad de este teorema construyendo una tabla de verdad para representarlo. (

)=

*

(

)=

+

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Más reglas para reducir expresiones AB+A = A Esto se puede ver rápidamente una vez que se aplica la ley distributiva: AB+A = A*(B+ ) En las reglas para una única variable has aprendido que A+ = 1. Entonces la expresión de arriba es igual a A*(1) o A*1, que, por supuesto, es igual a A. Eso a veces se considera parte de la que se conoce como regla de redundancia.

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Reducir expresiones - Continuación (A+B)*(A+ ) = A Para comprobar esto se requieren varias de las reglas anteriormente enunciadas. Examina cuidadosamente lo siguiente:

(A+B)*(A+ ) = AA+AB+A +B Ahora reduce. Ya has aprendido que B =0. También has aprendido que sumar un 0 a una variable no modifica la variable. Por lo tanto, el 0 puede eliminarse de la expresión. También sabes que AA = A, y también puedes hacer este reemplazo: Ahora reduce la expresión restante: A+AB+A = A*(1+B+1) = A*(1) = A. Esto se considera a veces parte de la ley de redundancia.

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Reducir expresiones - Continuación A+AB = A: A+AB = A*(1+B) = A*1 = A Esta es una parte de la ley de redundancia. La otra parte de la ley de redundancia es como sigue: A*(A+B) = A A*(A+B) = AA+AB = A+AB = A*(1+B) = A*1 = A

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Reducir expresiones - Continuación A+ B = A+B A+ B = A*(1)+ B = A*(1+B)+ B = A+AB+ B = A+B*(A+ ) = A+B*(1) = A+B A*( +B) = AB A*( +B) = A +AB = 0+AB = AB Algunas de estas leyes se han probado a través del álgebra. También puede comprobarse su veracidad mediante el uso de tablas de verdad.

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Aplicar álgebra booleana a circuitos lógicos Analizar un circuito lógico complejo Examina la figura. Como puedes ver, este circuito lógico comprende varias compuertas, y los resultados de las compuertas son las entradas para otras compuertas. Cuando evalúas la función con atención, puedes ver que la compuerta final puede representarse mediante la siguiente expresión: Z = (A*B)*(B+( *C). Usando la ley distributiva, los paréntesis puede ser abiertos. Esto da como resultado la expresión: Z = ABB+AB C. En base a las reglas que has estudiado A = 0, y BB = B. Por lo tanto, el circuito que se muestra puede representarse mediante la expresión: Z = AB. En otras palabras, la función compleja que representa este circuito puede ser reemplazada por una simple función AND. O, hablando en forma práctica, una única compuerta AND puede reemplazar las cinco compuertas que se muestran en el circuito.

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Reducir un circuito complejo Estudia el circuito lógico de la figura. Como puedes ver, abarca seis compuertas. Ahora reduce la función: Z = AC+BC+ conmutativa].

C = (A+B+

)C [ley distributiva] = C(A+B+

) [ley

Usando las reglas de reducción que has aprendido, puedes reducir esta expresión: Z = C(A+ +B) = C(A+1) = C. Como puedes ver, las seis compuertas son en realidad redundantes. Puede obtenerse la misma salida con la simple expresión Z = C.

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En esta actividad Conclusión En esta actividad has estudiado los fundamentos del álgebra booleana. Has examinado las leyes del álgebra booleana y su aplicación a expresiones booleanas y circuitos lógicos. En las siguientes actividades podrás observar y comprender mejor la importancia del álgebra booleana en electrónica.

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