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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UNIDAD 3 ESTRATEGIA PARA APRENDER A CALCULAR DERIVADAS TUTOR: DICKSON ENRIQUE LONDONO SALGADO

ESTUDIANTES:  EMIRO CALDERON  EDINSON BAZA

ADMINISTRACION DE EMPRESAS

2do SEMESTRE

CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

BARRANQUILLA

2018

18. Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal precioso con un costo total C dado por C(x) =10+75x-5x2+ x3/3 dólares Encuentre el nivel de producción x donde el costo marginal alcanza su mínimo. C(x)= 10+75x-5x2+ x3/3 CM= 75 – 10 + x2 CM= X2 – 10x + 75

CM´= 2x – 10 2x – 10 = 0 2X = 10 X= 5 CM´´ = 2 CM´´ > 0 CM ∈ m X 4 5 6

CM 51 50 51

19. La función de demanda para cierto bien está dado por y=15e^-x/3, donde "y" es el precio de unidad y "x" el número de unidades pedidas. Determinar el precio para los cuales el ingreso es máximo El ingreso es la cantidad de productos vendidos por el precio IT(x) = xy = 15xe^(-x/3) Y para hallar el máximo hay que derivar, igualar a 0 y despejar x IT '(x) = 15 [e^(-x/3) + xe^(-x/3)(-1/3)] = 15[e^(-x/3) - (x/3)e^(-x^3)] = 15e^(-x/3)(1 - x/3) = 0 La parte 15e^(-x/3) es siempre positiva nunca vale 0, luego lo que tiene que valer 0 es el factor de detrás 1 - x/3 = 0 1=x/3 x= 3 Luego el máximo ingreso se consigue produciendo 3 unidades. El precio por unidad cuando se consigue el ingreso máximo es

y(3) = 15e^(-3/3) = 15e^(-1) = 15/e = 5.518191618 El ingreso máximo es 3·y(3) = 45/e = 16.55457485 21. (Utilidad máxima) Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 cada una. El costo total de la empresa C por producir x unidades está dado en dólares por C 50 1.3x 0.001x2 a) Escriba la expresión para la utilidad total P como una función de x. b) Determine el volumen de producción x de modo que la utilidad P sea máxima. c) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima? I= p . q I= 4x C= 50+ 1.3X + 0.001X2

P(x)= I – CT P(x)= 4x – (50 + 1.3x + 0.001x2 ) P(x)= 4x – 50 - 1.3x - 0.001x2 P(x)= 0.001x2 + 2.7x – 50 P´ = - 0,002x + 2,7 -0,002x + 2,7 = 0 -0,002x = -2,7 X= 1350 P´´ = - 0.002 P´´ < 0 P ∈ M P(x) = - 0.001 ( 1350)2 +2.7 ( 1350) – 50 P(x)= 1772.50 X 1200 1300 1350 1400

P 1750 1770 1172.50 1170

22. (Utilidad máxima) Una compañía advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto que elabora a una tasa de $2 por unidad. Si estima

la función de costo del producto como (1000 1 2 (x/50)2) dólares por x unidades producidas: a) Encuentre una expresión para la utilidad total si se producen y venden x unidades. b) Determine el número de unidades producidas que maximizarían la utilidad. c) ¿Cuál es la cantidad de utilidad máxima? d) ¿Cuál sería la utilidad si se produjeran 6000 unidades? U(x)= I – C U(x)= 2x [1000 + ½ (x/50)2] U(x)= 2x – 1000 – x2/5000 U´= 2 – 0.0004x U´= 0 = 2 – 0.0004X X=2/0.0004 X= 5000 La utilidad será máxima con 5000 unidades producidas. C. U= 2 (5000) – 1000 – (5000)2/5000 = 4000 La utilidad máxima será de $4000 D.

x= 6000

U= 2(6000) – 1000 – (6000)2 /5000 = 3800 Cuando se produzca 6000 unidades la utilidad será de $3800

23. (Utilidad máxima) En el ejercicio 15, los artículos en cuestión se venden a $8 cada uno. Encuentre el valor de x que maximiza la utilidad y calcule la utilidad máxima. C(x)=4000+3x+0.001x2 I=8x G=8x - 4000-3x - 0.001x2 G=5x – 4000 - 0.001x2 G'=5 - 0.002x 50.002=x X=2500

G=5(2500) – 4000 – 0.001 (2500)2

=12500 – 4000 – 6250 G=2250 24. (Utilidad máxima) En el ejercicio 16, cada uno de los artículos se vende a $30. Determine el valor de x que maximiza la utilidad y calcule la utilidad máxima C(x)= (1 + x)2 I= P.X I = 30X U= I – C U= 30x – (1 + x )2 U= 30x – 1 – 2x – X2 U= 28x – 1 – x2

U´(x)= 28 – 2X

Umax=28 ( 14) – 1 – (14)2

28 – 2x = 0

Umax= 392 – 1 – 196

-2x = - 28

Umax= 195

X= 28/2 X= 14

25 R/(Utilidad Máxima) Para cierto articulo, la ecuación de demanda es P= 5 0.001x ¿Que valor de x maximiza el ingreso? Si la función de costo es C= 2800-x, encuentre el valor de x que maximiza la utilidad. Calcule la utilidad máxima Ingreso Total = x*P(x) IT = x*(5-0.001x) = 5x-0.001x² Ingreso Máximo: Condición de Primer Orden d(IT)/dx = 0:

5-0.002x = 0 x= 2500 Condición de segundo Orden d²(IT)/(dx0²) < 0 -0.002 < 0 Entonces decimos que la función toma máximo en 2500 Por lo tanto, el valor de x que maximiza el ingreso es 2500 Costo Total (CT) = 2800-x Beneficio o Utilidad: IT - CT U= 2800+4x-0.001x² Utilidad Máxima: Condición de Primer Orden dU/dx = 0: 4-0.002x = 0 x= 2000 condición de segundo Orden d²U/(dx0²) < 0 -0.002 < 0 Entonces decimos que la función toma máximo en 2000 Por lo tanto, el valor de x que maximiza la utilidad es 2000 26. (Utilidad máxima) Repita el ejercicio 25 para la ecuación de demanda p= 8 - 0.02x y la función de costo C =200+ 2x P= 8 – 0,02x C= 200 + 2x

I= P . X I= (8 – 0,02x)x I=8 – 0,02x2 I’=8 – 0,04x 8 – 0,04x=0 X= 8/0,04 X=200 I’’= -0,04 < 0 máxima en x U= i – c U= 8x-0,02x2-200-2x U= 6x – 0,02x2 – 200 U= 6 – 0,04x 6 – 0,04x X= 6 / 0,04 X= 150 I(200)= 8 (200) – 0,02 (200)2 I(200)= 1600 - 800 I(200)= 800

U’’ = - 0,04 < 0 Máxima en x = 150 U= 6 (150) – 0,02( 150)2 – 200 U= 900 – 450 – 200 U=250

27. (Efecto del impuesto en la producción) La función de costo total de una fábrica está dada por C(x)= 10 + 28x – 5x2 + x3/3 y la demanda del producto está dada por p= 2750 - 5x, donde p y x denotan el precio en dólares y la cantidad respectiva se grava con $222 de impuesto por cada unidad producida, que el fabricante añade a su costo. Determine el nivel de producción (después de creado el impuesto) necesario para maximizar las utilidades. Muestre que la

producción después del impuesto es menor que la producción antes del impuesto que maximiza las utilidades. Al costo se le debe agregar $222 por cada unidad, la nueva función de costo total es: C(x)= 10 + 28x – 5x2 + x3/3 + 222x = 10 + 250x – 5x2 + x3/3 La función de utilidad (π) esta dada por: Π(x)= p . x – CT = ( 2750 – 5X ) X- (10 + 250X -5X2 + X3/3) = 2750X – 5X2 – 10 – 250X + 5X2 – X3/3 = -10 + 2500X – X3/3 Se deriva la función de utilidad y se mira donde se alcanza su máximo d/dx Π(x) = 2500 –x2 = 0 ( 50 + x) (50- x) = 0 X= 50 Se vuelve a derivar y sustituir para comprobar que es un máximo d2/dx2 Π(x) = -2x

-2(50)=-100

como es negativo es un máximo La cantidad que máxima la utilidad después de los impuestos es: X=50 Para antes des de los impuestos se hace lo mismo Π(x)= p . x - CT = (2750 – 5X )x – (10 + 28x – 5 x2 + x3/3) = 2750x – 5x2 – 10 – 28x + 5x2 – x3/3 = -10 + 2722x – x3/3 d/dx Π(x) = 2722 – x2 = 0 x= √2722 = 52.17

28. (Efecto del impuesto en la productividad) Repita el ejercicio 27 para C(x) 30 +12x - 0.5x2 y p = 60 - 2x donde el impuesto es de $3 por unidad gravada. C(x)= 30 +12x - 0. 5x2 P = 60 - 2x Impuesto = $3/unidad I= P . X I= ( 60 – 2x)X I= 60x – 2x2 U= I - C U= 60x – 2x2 -30 – 12x += 0,5x2 U= 48x – 1,5x2 – 30 U’= 48 – 3x 48 - 3x = 0 X = 48/3 X = 16

C= 30 + 12x – 0,5x2 + 3x C= 30 + 15x - 0,5x2 U=I -C U= 60x – 2x2 – 30 -15x + 0,5x2 U= 45x – 1,5 x2 – 30 U’= 45 – 3x 45 – 3x = 0 X= 45/3 X= 15