Actividad 11

Resolución del Examen Parcial 13/11/06 1.- La función

f ( x) = e− x + 4 x3 − 5 tiene una raíz en x = 1,05151652 .

Empezando con

x1 = 1 y x2 = 2 , usar ocho iteraciones del método de Bisección

para aproximar la raíz. a) Tabular el error después de cada iteración y también las estimaciones del error máximo. b) ¿El error real siempre es menos que la estimación del error máximo? c) ¿Los errores reales continúan disminuyendo?

x

Iteracion l 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1,0313 7 1,0469 8 1,0469

xu

2 1,5 1,25 1,125 1,0625 1,0625 1,0625 1,0547

f ( xl ) f ( xu ) f ( xr ) Ev

xr

1,5 1,25 1,125 1,0625 1,03125 1,046875 1,0546875 1,0507813

-0,632 27,135 8,723 -0,632 8,723 3,099 -0,632 3,099 1,019 -0,632 1,019 0,143 -0,632 0,143 -0,256 -0,256 0,143 -0,059 -0,059 0,143 0,0041 -0,059 0,041 -0,01

Ea

-0,4484 100 -0,1984 20 -0,0734 11,11 -0,011 5,88 0,0203 3,03 0,0046 1,49 -0,0032 0,74 0,0007 0,3

RESPUESTAS b) Verdadero. c) Verdadero.

2.- Encontrar la raíz cerca de

x=1

de

f ( x) = e x − 1 − 5 x3 empezando con x0 = 1 .

Et -46,64 -18,56 -6,98 -1,04 1,92 0,44 -0,3 0,06

a) ¿Cuan exacta es la estimación después de 4 iteraciones del método de Newton? b) ¿Cuantas iteraciones requiere el método de la bisección para lograr la misma exactitud? c) Tabule el número de dígitos correctos en cada iteración del método de Newton y observe si se duplican cada vez. f ( xi )

Método de Newton Raphson

x

E

x

Iteracion a i i +1 1 1 0,714286 100 2 0,71428571 0,559162 27,74 3 0,5591619 0,502173 11,34 4 0,50217345 0,494299 1,59

f ( xi )

-4 -1,0706 -0,2306 -0,0025

Método de Bisección

x

Iteracion l 1 0 2 0 3 0,25 4 0,375 5 0,4375 6 0,4688 7 0,4844

xu

xi +1 = 0,4942989921

b) 7 iteraciones. c) Verdadero.

Ea f ( xl ) f ( xu ) f ( xr )

1 0,5 100 0,3678 0,5 0,25 100 0,3678 0,5 0,375 33,33 0,3942 0,5 0,4375 14,28 0,2715 0,5 0,46875 6,67 0,151 0,5 0,484375 3,22 0,0728 0,5 0,492188 1,58 0,028

RESPUESTAS a)

xr

-4 -0,0185 -0,018 0,3942 -0,018 0,2715 -0,018 0,151 -0,018 0,0728 -0,018 0,028 -0,018 0,0056