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ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

1.- 𝑓(𝑥) =

4𝑥 2 −5 2𝑥 2 +8

X y

-2 0,6

-1 -0,1

0 -0,6

1 -0,1

𝑆𝒊 𝑿 = −𝟐 𝑦=

4𝑥(−2)2 − 5 2(−2)2 + 8

𝑦=

16 − 5 8+8

𝑋 = −2 𝑒𝑠 𝑦 =

11 16

𝑦 = 0,6 𝑺𝒊 𝑿 = −𝟏 𝑦=

4𝑥(−1)2 − 5 2(−1)2 + 8

𝑦= 𝑋 = −1 ,

4−5 2+8 𝑦=

𝑦 = −0,1

𝑆𝒊 𝑿 = 𝟎

−1 10

2 0,6

4𝑥(0)2 − 5 2(0)2 + 8

𝑦=

0−5 0+8

=

𝑋= 0 → 𝑦=

−5 8

𝑦 = 0,6 El dominio es: [−2, −1,0,1,2]

El rango es: [0,6, −0,1; −0,6; −0,1; 0,6]

2.-

Calcular la simetría de las siguientes funciones: 𝑎. − 𝒇(𝒙) =

𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐

Se reemplaza: 𝑓(1) =

3(1)2 − 3 3(1)2 + 12

𝑓(1) =

3(1) − 3 3(1) + 12

𝑓(1) =

3−3 0 = 3 + 12 15

𝑓(1) = 0

𝑏. − 𝒈(𝒙) = 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟗) . 𝑔(−𝑥) = −𝑥((−𝑥)2 − 9) 𝑔(−𝑥) = −𝑥(𝑥 − 9) Por lo tanto g(x) ≠ g(-x) diferentes. Si reemplazamos con Números: 𝑔(1) = 1(1)2 − 9) 𝑔(1) = 1(1 − 9) 𝑔(1) = 1(−8) → 𝑔(1) = −8 𝑆𝒊 𝑿 = −𝟏

𝑔(−1) = −1(−1)2 − 9) 𝑔(−1) = −1(1 − 9) 𝑔(−1) = −1(−8) 𝑔(−1) = 8 𝑔(𝑥) ≠ 𝑔(−𝑥): − 8 ≠ 8

c.- 𝒍(𝒙) =

𝒙−𝟐 𝒙𝟐 −𝟏

𝑙(1) =

−1 (1)2 − 1

𝑙(1) =

1−2 −1 = 0 1−1

−1 0

𝑙(1) =

𝑙(1) = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 , 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟; 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑖 𝑋 = −1 𝑙(−1) =

𝑙(−1) =

−1 − 2 (−1)2 −3 1−1

𝑙(−1) =

−3 0

𝑙(1) = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 , 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 Comprobación geogebra:

1

Problema 3. Determine la inversa de la función 𝑓(𝑥) =

2−𝑥 5 ( 7 )

Geogebra.

Desarrollo analítico

1

2−𝑥 5 𝑓(𝑥) = ( ) 7 Igualamos a y

1

2−𝑥 5 𝑦=( ) 7 Elevamos a la quinta potencia ambos lados de la ecuación. 1

5

2−𝑥 5 𝑦 5 = (( ) ) 7

𝑦5 =

2−𝑥 7

y compruebe con

Ahora pasamos a multiplicar el denominador 7𝑦 5 = 2 − 𝑥

7𝑦 5 − 2 = −𝑥 Se multiplica la ecuación por menos uno

−7𝑦 5 + 2 = 𝑥 Comprobamos con Geogebra

Problema 4. Determine el rango de la siguiente función 𝑓(𝑥) = Geogebra

Resolución analítica 𝑓(𝑥) = Igualamos a y

5𝑥 − 2 𝑥+9

5𝑥−2 𝑥+9

y compruebe con

𝑦=

5𝑥 − 2 𝑥+9

Pasamos a multiplicar el denominador

𝑦(𝑥 + 9) = 5𝑥 − 2

Ahora

𝑦𝑥 + 9𝑦 = 5𝑥 − 2

Reunimos términos semejantes

𝑦𝑥 − 5𝑥 = −9𝑦 − 2 Sacamos factor común 𝑥(𝑦 − 5) = −9𝑦 − 2 Despejando x nos queda que: 𝑥=

−9𝑦 − 2 𝑦−5

Claramente la el denominador no puede ser cero, por tal motivo el rango es: 𝑦 ∈ 𝑅: (−∞, 5)𝑢(5, ∞)

Comprobamos con Geogebra

5.- Funciones: 𝒂. − 𝒇(𝒙) =

𝟑𝒙 + 𝟐 𝟓

Determine analíticamente y compruebe con geogebra: a.- f +g

𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) =

𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) =

Geogebra:

𝟑𝒙 + 𝟐 𝟐 + 𝟓 𝒙−𝟑

(𝟑𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟑) + 𝟏𝟎 𝟓(𝒙 − 𝟑)

𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟔 + 𝟏𝟎 𝟓(𝒙 − 𝟑)

𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) =

𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟒 𝟓(𝒙 − 𝟑)

𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) =

𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟒 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓

𝒃. − 𝒈(𝒙) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = (

2 3𝑥 + 2 )( ) 𝑥−3 5

𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) =

3(3𝑥 + 2) 5(𝑥 − 3)

𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) =

𝒄. − (𝒇𝒐𝒈)𝒙 =

𝟐 𝒙−𝟑

6𝑥 + 4 5𝑥 − 15

𝟑(

𝟐 )+𝟐 𝒙−𝟑 𝟓

𝟔 𝒙 − 𝟑+𝟐 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = 𝟓 𝟔 + 𝟐(𝒙 − 𝟑) 𝒙−𝟑 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = 𝟓

𝟐𝒙 𝒙 (𝒇𝒐𝒈)𝒙 = − 𝟑 𝟓 𝟐𝒙 𝟐𝒙 = 𝟓(𝒙 − 𝟑) 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓

(𝒇𝒐𝒈)𝒙 =

𝒅. − (𝒇𝒐𝒈)𝒙 =

(𝒇𝒐𝒈)𝒙 =

𝟐 𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝟑 𝟓

𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎 = = 𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝟏𝟓 𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝟏𝟓 𝟑𝒙 − 𝟏𝟑 𝟓

6.- El crecimiento de un cultivo de bacteria.. Donde t es el tiempo de reproducción en horas 𝐵(𝑡) = 10𝑒 −0,3𝑡 𝒚(𝒕) =

𝒌 𝟏 + 𝑨𝒆−𝒓𝒕

Reemplazamos valores: 𝟓𝟏𝟎 𝟏 + 𝟏𝟎(𝟐, 𝟕𝟏)−𝟎,𝟑

𝒚(𝒕) =

𝒚(𝒕) =

(𝒕) =

𝟓𝟏𝟎 𝟏 + 𝟏𝟎(𝟎, 𝟕𝟗)

𝟓𝟏𝟎 𝟓𝟏𝟎 = 𝟏 + 𝟕, 𝟗 𝟖, 𝟗

(𝒕) = 𝟓𝟕, 𝟑

¿Cuántas horas han transcurrido si la población de bacteria arcamos 510 bacterias? Respuesta: han transcurrido 57,3 horas.

7.- Conversiones Convertir a grados  

15𝜋 8 17𝜋 3

a grados: a grados:

15𝜋 180° 180° 2700° ∗ 𝜋 = 𝜋 = 8 = 8 17𝜋 180° 3060° ∗ 𝜋 = 3 = 340° 3

337,5°

2𝜋 5



a grados:

2𝜋 5

∗

Convertir a radianes

180° 𝜋

=

360° 5

= 72°

:

405° se multiplica por 𝜋 /180dado a que el circulo es de 360° o 2 𝜋 radianes. 𝜋

.−405 ∗ 180 Radianes. Se multiplica 𝜋

.−405 180 Se usa 1 como una fracción −405

.

𝜋

*180 Se multiplica

1

−405𝜋

.

180

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Factoriza 45 a partir de 180 45(−9𝜋)

.

Se cancela 45

45(4) −9𝜋

.

Se mueve el signo negativo

4

.−

9𝜋

Radianes.

4

- 316° se multiplica por 𝜋/180 316

.

𝜋

*180 Factoriza el máximo común denominador 4

1

4∗79

.

1

𝜋

*4∗45 Se cancela 45

79 𝜋

. 1 *45r multiplicar. 79𝜋

. 45 Radianes

-526 se multiplica por 𝜋 /180 −526

.

1

−526𝜋

.

180

𝜋

*180 Se multiplica Factoriza 2 a partir de 180

2(−263𝜋)

.

2(90) −(263)𝜋

.

.−

90 263𝜋 90

Se cancela 2

Multiplica Radianes.

8.- Encontrar el perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 45 cm y el ángulo opuesto a la base mide 35° comprobar con geogebra. La sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es 180°. α + β + 35 ° = 180° (i) Para un triángulo isósceles los catetos del vértice opuesto a la base son de la misma longitud: A = B. Además, los ángulos adyacentes a la base son idénticos: α=β El Perímetro (P) de un triángulo es la sumatoria de sus lados o aristas: P = A + B + base En consecuencia, para este problema se tiene: P = 2A + base P = 2A + 45 cm (ii) Despejando los ángulos de la ecuación (i): α + β + 35 ° = 180° 2 α + 35° = 180° 180° - 35 ° = 2 α α = (180° - 35°)/2 = 145°/22 = 72,5° α = β = 72,5° Aplicando la Ley de los Senos se hallan las longitudes de los catetos. A/Sen β = B/ Sen α = 45 cm/ Sen 35° A/Sen β = 45 cm/ Sen 35° A = B = 45 cm (Sen β / Sen 35°) A = B = 45 cm (Sen 72,5°/Sen 35°) = 45 cm (0,95372/ 0,57358) = 45 cm (1,66275) = 74,82375 cm

A = B = 74,82375 cm Por lo tanto, el Perímetro será de acuerdo a la ecuación (i): P = 2A + 45 cm P = 2(74,82375 cm) + 45cm = 149,6475 + 45 cm = 194,6475 cm P = 194,6475 cm

9.- Un rio tiene 2 orillas paralelas donde los putos P y Q de una orilla se observa un punto N de la orilla opuesta…. N

40° 50°

P

30 m

Q

Para calcular el ancho del rio partimos el triángulo oblicuángulo en 2 iguales y aplicamos la relación trigonométrica tangente de 40° así: Tan 40°= lado opuesto/lado verano 𝒕𝒂𝒏𝟒𝟎° =

𝒙 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒐 "𝒙" 𝟏𝟓𝒎

𝒙 = (𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟎°)(𝟏𝟓𝒎) 𝒙 = (𝟎, 𝟖𝟑𝟗)(𝟏𝟓𝒎) 𝒙 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝒎 Respuesta: el ancho del rio es de 12,5 m 10.- Encuentre el valor de X que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre: 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° 2𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) + cos(𝑥) − 1 = 0 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 =

1 2

𝐷𝑒𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 "X", x= 𝑆𝑒𝑛−1 = En gráfica del seno Y= sen x

Respuesta: la solución de x: 𝜋

𝑥 = [6 ;

5𝜋 ] 6

que equivalen a 30° y 159°

1 2