Activ Con Funciones Para Windows.doc

Prof. Juan José Sosa

Es usual encontrar información presentada en forma de grafico. Ellos nos muestran relaciones entre distintas variables, muchas de estas son funciones. Las gráficas de contenido matemático se han convertido en el lenguaje más universal de finales del siglo XX. En cualquier medio de comunicación cada vez que se quiere dar información cuantitativa de un proceso aparece una gráfica matemática. Sus ventajas son incuestionables, son capaces de ofrecer gran cantidad de información de un simple vistazo y son un instrumento imprescindible en campos tan dispares como la medicina, la economía, la física, la biología y hasta en el deporte.

¡A trabajar!

Prof, Juan José Sosa

Actividades para trabajar con software

PRIMERA PARTE Nos familiarizamos con el software… ACTIVIDAD 1: Se registraron en la siguiente tabla el peso de dos hermanos, Juan y Flor. Juan Edad Peso 2.5 15 5 19 7.5 20 10 30 12.5 40 15 55 17.5 55 20 60 22.5 62 25 65

Edad 2.5 5 7.5 10 17.5 20 22.5 25

Flor Peso 10 15 20 21 49 49 49 49

Representaremos gráficamente estos valores en un sistema de ejes coordenados. Para ello seguiremos los siguientes pasos: - Al abrir el programa FUNCIONES para Windows 2.7 - Aparecerá una ventana como la siguiente:

-Pulsamos el botón función numérica del cuadro de dialogo principal -Escogemos la primera función F(x) -En la tabla que aparece, cargamos los valores correspondientes a Juan -Activamos las opciones Lineal y Mostrar puntos -Pulsamos el botón Aceptar -Repetimos la operación para los valores correspondientes a Flor. Utilizamos para ello la función: G(x) -Valores de los ejes:

Origen eje X Unidad eje X Final eje X

0 5 30

Origen eje Y Unidad eje Y Final eje Y

0 10 70

-Pulsamos el botón Aceptar -En el Menú Opciones, seleccionamos Rejilla y Valor Unidad ejes Juan José Sosa- [email protected]

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Actividades para trabajar con software -Desde Opciones, Copiamos el grafico en el portapapeles y lo pegamos aquí:

Grafico

a) ¿A que edad tuvieron el mismo peso? (Prueba desde el menú: 2 fu > cortes) b) ¿A partir de que edad, Juan superó el peso de Flor? c) ¿Qué sucedió con el peso de flor a partir de los 15 años?

Desde el año 2000 hasta la fecha en la Ciudad Verde se publica un solo diario.

Observa la tabla, que muestra, para cada año hasta el 2008, la cantidad de ejemplares vendidos y representa gráficamente

Pasos: - Pulsamos el botón función numérica del cuadro de dialogo principal. - Escogemos la primera función F(x) - Introducimos los valores de la tabla de ventas de ejemplares - Activamos las opciones Lineal y Mostrar puntos. - Pulsamos el botón Aceptar. - Elegimos una Escala adecuada para leer el grafico - En el Menú Opciones, copiamos el grafico en el portapapeles y lo pegamos aquí

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Ventas del diario Millones de ejemplares 1.5 2 2.2 2.5 1.8 1.6 1.2 1.5 2

Grafico

1. 2. 3. 4.

¿Cuántos ejemplares se vendieron en el año 2000? ¿Y en el año 2002? ¿Cuál fue el año en que más ejemplares se vendieron? (Prueba desde el menú: 1fu > máximos) ¿Hubo años en que las ventas fueran inferiores a 2.000.000 de ejemplares? Indique cuáles. Explique cuál ha sido el comportamiento de las ventas del diario a lo largo de todos los años relevados.

ACTIVIDAD 3: En el día de ayer, el tanque de agua de una casa contiene 1000 litros de agua a la hora 0. Esa cantidad se mantiene hasta la hora 7 cuando comienza a disminuir y llega a 400 litros a las 8, sigue bajando y llega a 300 litros a las 9 de la mañana. A partir de allí se mantiene constante hasta las 18. A esa hora se abre la llave de paso y la cantidad de agua aumenta hasta los 900 litros a las 18:30 horas y se mantiene (en 900 litros) hasta la hora 24. Hacer un grafico que muestre la variación de la cantidad de agua del tranque en función del tiempo transcurrido entre las horas 0 y 24 del día de ayer.

Grafico

Juan José Sosa- [email protected]

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a) Construye el grafico de la función “ y es el vuelto que corresponde al gasto x ”,si pago con $100, a partir de la tabla armada. (Problema 2 de guía)

Grafico

b) Ahora vamos a graficar esa recta a partir de la formula hallada que es: y=……………… Pasos: -En el renglón correspondiente a la función F(x), escribimos nuestra formula

-Configuramos los valores de los ejes: Origen eje X Unidad eje X Final eje X

-1 10 100

Origen eje Y Unidad eje Y Final eje Y

-1 10 100

-Pulsamos el botón Aceptar. -Copiamos el grafico en el portapapeles y pegamos

Grafico

Responde: ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de corte con el eje X? ¿Qué significado tiene? ¿Y con el eje Y?

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Actividades para trabajar con software En un comercio se realiza un descuento del 25% sobre el precio de lista si se realiza el pago en efectivo. (Problema 3 de la guía) La formula para calcular el Immpote es: I =0,75·p donde p es el precio y D el descuento. a) Grafiquen la función I

Grafico

¿Qué significa que la recta pase por el punto de coordenadas (0,0)? b) Completen la siguiente tabla, para ello, utiliza la herramienta Imagen y Antiimagen del menú 1fu

Precio de lista

135

80

56

Importe a pagar

Juan José Sosa- [email protected]

30

19,50

20 18

15,9

20

200

500

452 376

25 12

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Actividades para trabajar con software

SEGUNDA PARTE Funciones Lineales. La Recta Como sabes, la ecuación de la recta es de la forma y = a x + b , donde a y b son números cualquiera. Con la ayuda del software, vamos a investigar cual es el significado de los parámetros a y b.

Ejercicio 1

Con ayuda del software vamos a graficar las siguientes funciones: y1 = x

y2 = 2x

y3 =

1 2

x

y

4

= 5x

a) Graficamos primero las dos primeras.

Grafico

¿En que se parecen y en que se diferencian las funciones y1 e y2? Compara los ángulos que forman cada una de estas rectas con el sentido positivo del eje X b) Ahora representa las dos primeras con la tercera función, y3.

Grafico

¿En que se diferencian? Compara los ángulos que forman cada una de estas rectas con el sentido positivo del eje X c) En el mismo grafico, grafica y4.

Grafico ¿Qué paso? Compara los ángulos que forman cada una de estas rectas con el sentido positivo del eje X d) Antes de graficar: ¿Dónde estarán situadas las rectas y = 3x, y = 7x ; y = 2/3 x? e) ¿Estas funciones son crecientes o decrecientes? Elige un punto (de coordenadas fácilmente observables) que tomarás como origen de desplazamiento. Mueve una unidad en la dirección del eje de las abscisas y mira cuánto tienes que subir para llegar de nuevo a la recta de la que partiste. Repite para otros puntos de la misma recta y para todas las rectas. ¿Qué paso? ¿Cómo es su crecimiento? f) completa la tabla:

Ecuación y = a x

Nº de unidades de desplazamiento en la dirección OY

y= x Y = 2x

y=

1 2

Valor del coeficiente de x: “a” 1

2

x

Y = 5x Y = 3x Y = 7x y= y=

2 3 5 4

x x

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Actividades para trabajar con software g) Al coeficiente a en la ecuación de la recta se le llama PENDIENTE. ¿Qué creen que representa el valor de a en la ecuación de la recta y = a x? ¿Por qué crees tú que se llama pendiente? h) Repite los pasos de la actividad anterior para las siguientes rectas: y1 = − x

y2 = −2x

1

y3 = −

2

x

y4 = −5x

Pega el grafico aquí:

Grafico

i) Completa Ecuación y = a x

Nº de unidades de desplazamiento en la dirección OY

Y = -x

1 (bajamos)

Valor del coeficiente de x: “a”

Y = -2x y=−

1 2

x

Y = -5x

EJERCICIO 2 Representa gráficamente y completa la siguiente tabla

Ecuación de la recta y = a x

y=−

3 2

x

Pendiente

−

Unidades de desplazamiento en la dirección OY por unidad de desplazamiento en la dirección OX

3

3

2

2

Y = 2x

2

Y = -4x

-4

(bajamos)

Crecimiento

Decreciente Creciente

Y = 6x

6 (subimos)

Y = -3x

3 (bajamos)

Y = ax 0 Y= 0

Grafico

EJERCICIO 3 Juan José Sosa- [email protected]

7

Actividades para trabajar con software Escribe la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

Y

Y

1

1 X -1

X

1

-1

1

-1

-1

Y

1 X -1

1 -1

Ejercicio 4 a) Representa gráficamente la función y1 = 2x Configurando al: Eje X: entre -7 y 7, de 1 en 1 Eje Y: entre -5 y 5, de 1 en 1

Grafico b) En el mismo sistema, representa una a una las siguientes funciones: y2 = 2x - 4

y3 = 2x +3

y4 = 2x +

5 2

Grafico c) Conclusiones: i) ¿Cómo son estas rectas? ii) Escribe el punto de corte de cada una de estas con el eje de ordenadas Y. y1 corta al eje de ordenadas Y en el _ _ _ _ _ _ y2 corta al eje de ordenadas Y en el _ _ _ _ _ _ y3 corta al eje de ordenadas Y en el _ _ _ _ _ _ y4 corta al eje de ordenadas Y en el _ _ _ _ _ _ Este punto se llama ORDENADA EN EL ORIGEN Juan José Sosa- [email protected]

8

Actividades para trabajar con software d) Completa la tabla siguiente: Ecuación y = ax + b

Pendiente

Ordenada en el origen

y = -x + 2 1

y = 2x − y=

1 2

2 2

2

x 0

2

0

-3

-4

1/2

Y= 3x + b Y= -2x – p Y= mx + 4 Y = -mx – n

-4 1/2 Ejercicio 5 Dadas las funciones y2 = x + 3

y2 = 2x + 3

y3 = -2x +3

y4 = 5x + 3

a) ¿En que se parecen y en que se diferencian? b) Represéntalos en un mismo sistema de ejes coordenados. ¿Que pasó?

Grafico

Todas las rectas que pasan por un mismo punto se denominan HAZ DE RECTAS. Las rectas del ejercicio 5 pertenecen al haz de rectas del punto (0,3) c) ¿Sabrías escribir la ecuación de cualquier recta de dicho haz? d) Escribe la ecuación del haz de rectas del punto (0,5)

Ejercicio 6 a) Con ayuda del software y en caso de no tenerlo, dibujándolas, indica cuales de las siguientes rectas son paralelas: Y = -x + 3

y = 2x – 8

y = -x – 1

y = 2x + 1

Grafico

b) Escribe la ecuación de una recta paralela a la recta de ecuación y = -x + 3 c) Escribe la ecuación de la recta paralela a la recta de ecuación y = 2x – 8, cuya ordenada en el origen es 5. d) Escribe la ecuación de cualquier recta paralela a la recta de ecuación Y = 2x + 1 Ejercicio 7 Juan José Sosa- [email protected]

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Actividades para trabajar con software a) Dibuja la recta que pasa por los puntos A (-6,0) y B (0,2) e indica su pendiente y la ordenada en el origen.

Grafico

b) Dibuja la recta que pasa por los puntos A(1,1) y B(-3,5). Indica los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Grafico

c) Dibuja la recta que pasa por el punto A(1,1) y tiene por pendiente 2. Completa las coordenadas de los puntos: B(2, y C( ,-1).

)

Grafico Ejercicio 8 Determina el valor de la ordenada en el origen y la pendiente de las siguientes rectas:

Ejercicio 9 Juan José Sosa- [email protected]

10

Actividades para trabajar con software Determina los valores de la ordenada en el origen y la pendiente de las siguientes rectas y escribe su expresión analítica (ecuación):

Ejercicio 10 Representa gráficamente las siguientes funciones graduando previamente los ejes Y = 2x + 3

y = -x + 2

Y = -3x + 1

Grafico

Ejercicio 11 Juan José Sosa- [email protected]

11

Actividades para trabajar con software Con ayuda del software completa la siguiente tabla: y=x-4

Ecuación

y = -x + 4

y = 2x + 1

y = -3x + 6

y = -x

Pendiente Valores de x para los que f(x) es positiva Valores de x para los que f(x) es cero Valores de x para los que f(x) es negativa

Grafico

Los valores de x para los que f(x) = 0 se llaman RAICES O CEROS de la función. Los valores de x para los que f(x) es positiva o negativa se llaman INTERVALOS DE POSITIVIDAD O NEGATIVIDAD, respectivamente. Ejercicio 12 Resuelve las siguientes ecuaciones: x–4=0

-x + 4 = 0

2x + 1 = 0

-3x + 6 = 0

-x = 0

Compara los resultados hallados con los valores de la tabla anterior.

Ejercicio 13

Vamos a graficar a las rectas de ecuaciones Y = 3x e y = 3x + 2 para valores de x mayores o iguales que -2.

Grafico

a) Las dos funciones son crecientes y su tasa de crecimiento es constante tiene el mismo valor para las dos. ¿Cuál es ese valor? b) Las dos rectas son paralelas ya que tienen la misma pendiente. ¿Sabrías expresar esta idea utilizando la palabra crecimiento?

c) Completa las tablas:

x 1

3 2

Juan José Sosa- [email protected]

y = 3x

y x

x

y= 3x + 2

y x

1

3 2

2

2

7

7

6 5

6 5

4

4

x

x

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Actividades para trabajar con software d) ¿Cómo es el crecimiento de ambas rectas? e) ¿Cómo son los cocientes

y x

en cada una de las rectas?

f) En las relaciones en que los cocientes

y x

se mantienen constantes se dice que son de PROPOCIONALIDAD DIRECTA,

y las cantidades que se relacionan se dice que son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Ejercicio 14 a) A continuación te presentamos cuatro enunciados, cada uno de los cuales establece una relación entre dos magnitudes x e y. Dos de ellos pueden ser interpretados gráficamente con las rectas anteriores. Investiga cuales son y asocia cada recta con su enunciado.

• • • •

A una fiesta asistieron x chicas e y chicos. Las chicas eran la tercera parte de los chicos Una fuente vierte agua a razón de 3 litros por minuto Un montacargas esta situado a 2 metros del suelo y asciende a razón de 3 metros por minuto A un numero lo multiplicamos por 3 y le sumamos 2

b) ¿En cuales de los enunciados anteriores las magnitudes que se relacionan son directamente proporcionales?

Juan José Sosa- [email protected]

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