Aba

page 71 %OO.

--

DU&

PREMIeRE COMPOSITION D E MATHh4ATIQUES

;RoUPE A

: 6 heures

Les candidats sont invitCs d lire I'dnoncC attentivement. Lors de la correction, il s e 4 'tenu compte & h qWlitC et de la précision de la rédaction. On juct$em les riponses aux questions soit par des démonstr4tio~soit par la construction de contre-exemples.

Le but du problème est de généraliser la notion d'inverse d'une matrice carrCe (inversible) à coefficients dans un corps commutatif.

Les différentes parties du problhme sont assez indépendantes pour qu'on puisse aborder Yune sans avoir complètement traité les précédentes. On fixe un corps commutatif k. Les matrices considirées sont à coefficients dans k. Si r et s sont deux entiers au moins &aux à 1, on note M, ,, ,( k ) l'espace vectoriel sur k des matrices à r lignes et s colonnes à coefficients dans k. Pour B E M, , ,( k ) , on note LB E M, ,, ,( k ) la matrice trunsposde de B ; si r = s , on note Tr ( B ) la trace de B , c'est-à-dire la somme de ses coefficients diagonaux. On associe à B E M , , ,( k ) l'application k-linéaire 'pB de kJ dans kr dont la matrice dans les bases canoniques est B, et on note Im (B)son image et Ker ( B) son noyau. Onfixe dans la suite deux entiers m et n ,au moins égaux à 1, et une matrice A non nulle de M m dont on note p le rang.

(1) (2) (3)

La lettre X désigne une matrice de M, AXA = A ;

XAX

=

,(k)

,, m ( k ) . On considère les relations suivantes :

x;

AX = XA.

(quand m = n)

Si les relations (1) et (2),sont vcrifiées, on dit que X est un inverse faible de A. Si X est un pseudo-inverse de A quand les relations (l(2) ), et (3) sont satisfaites.

m=

n, on dit que

1

.

1. On considère deux entiers p et q au moins baux à 1, et une matrice B de M, ,, , ( k ) On suppose que X vC&e (1)et qu'il existe Y dans M, ,, ( k ) vérifiant BYB = B. Soit C une matrice de M m ( k ). Prouver qu'une condition nécessaire et suffinte pour que i'équation AZB = C ait une solution 2 dans M, ,, ( k ) est qu'on ait AXCYB = C .Montrer que si cette condition est satisfaite, les solutions sont les matrices de la forme 2 = XCY + T XATBY,OÙT~~~COU~~M,~,(~).

,

,

-

,

2. On garde p , q, X , B, Y comme en 1.' et on considère une matrice D de M, ( k ) et une matrice E de ( k ) . Prouver qu'une condition nécessaire et suffisante pour que ie système des deux Cquations AZ = D M, ,, , et ZB = E ait une solution Z dans M, ,, ( k ) est que chacune de ces équations ait une solution et qu'on ait i'égalité AE = DB .

II 1. On suppose que X vCrifie (1).Prouver que AX et XA sont des matrices de projection et que A, . d m e rang, égai à Tr ( A X ) . On suppose dbonnais, dans cette partie II, que m et n sont &aux.

AX

et XA ont

2. On suppose A inversible. Si X vérifie (1). prouver que X est unique et est un pseudo-inverse de A. Peut-on obtenir fa m8me conclusion en supposant seulement que X vérifie (2) et (3)?

3. Trouver une matrice de hi, , ,( k ) possédant plusieurs inverses faibles. 4. On suppose que X et X' E Ax'- XA, puis =

x

x.

M, ,, m ( k ) sont des pseudo-inverses de A. Calculant AXAX'. prouver qu'on a

Si A admet un pseudo-inverse, celui-ci est donc unique; on l'appellera le pseudo-inverse de A.

Tournez ia page S. V.P.

-

.....

pe5€ 7 2 me=

I

E.M.S. 1LY-SE'JRE'; ___ G ~ o L ~ . P-'" F~

5. Supposons que A admette un pseudo-inverse X. Prouver que les matrices suivantes admettent un pseudo-inverse, et le calculer.

X; A A pour tout A E k" ; Ak pour tout entier k 2 1;

'A ; RAR-l pour toute matrice inversible R dans M,

,, (k).

6. On suppose Im (A) n Ker (A) = { O } . Prouver que k" est somme directe de Im (A) et Ker (A) et que, pour tout vecteur u de km ,il existe un unique vecteur w de Im (A) tel que p,, ( w ) - u appartienne à Ker (A). Si on note t/J ( u ) ce vecteur, montrer que l'application v JI ( u ) de k" dans lui-m2me est linCaire et a pour matrice un pseudo-inverse de A.

-

.

7. Inversement, supposons que A admette un pseudo-inverse X Prouver qu'on a Im ( X ) = Im ( A ) , Ker (X) = Ker (A), que Im (A) et Ker (A) sont supplémentaires dans km, et que AX est k matrice de la projection de km sur Im (A) pardilement à Ker (A).

8. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : A admet un pseudo inverse; Im (Aa) = Im ( A ) ; Ker ( A a ) = Ker ( A ) ; A et Aa ont meme rang; Il existe V E M, ,( k ) vérifiant : AaV = A; Il existe W E M, ,( k ) vérifiant : WAa = A .

,, ( k ) virifiant (4) et (5) respectivement. Prouver qu*on a WAV = A r que WAV est un pseudo-inverse de A.

9. Soient V et W dans M,

Dans la suite du problime, on fixe

-

WaAet

un automorphisme involutif c du corps k , c'est-à-dire que, posant

c(X) = i ~ k p o u r A d a n s k , o n a :

X+,=X+;;

- --

XCr=XCr \

et On pourra penser, par exemple à

t

-

-

-X1 ==A1

pourX,pdansk où 1' dcsigne l'&ment unit& de k.

= id,, ou bien B k = C, c C t a n t la conjugaison complexe.

Pour B E M, ,, ,(k), de coefficients b ~ on, note BO E M, , ,, ( k ) et on a p p d e matrice adjointe de A c d e dont les coefficients b;, vérifient b;, = bf,. On dira qu'une matrice est auto@ointe si d e est hale à son adjointe (ce qui implique qu'il s'agit d'une matrice carrée).

-

-

On revient au cas où l'on ne suppose plus m = n. Outre ies relations (1)et (2). on consid&reles relations

(6)

(7)

AX XA

X'A', = A'X'. Si X vérifie (l(2), ), (6) et (7),on dit que X est un inverse généralisé de A .

A 1. Si r est un entier, r 2 1, et si B

E

M,

,( k ), C E M, ,, ,(k), prouver qu'on

a (BC)' = COB'.

2. Si A est une matrice carrée inversible, A-' est l'unique inverse générdsé de A . Tournez In page S.

V. 1'.

..

E N S. ULM-SEVRES Groupe Q-'"!,-.' ": ' 3. Montrer que X vérifie (2) et (6) si et seulement s'il vCrifie (8) =*A* X. De meme, X vCrifie (1) et (7)si et seulement s'il vdrifie (9) xAA* A*.

-

-

4. Prouver que

Y E M,

,,, ( k )est un

inverse gCnCralisC de A si et sedement si les relations (IO) et (11) sont

satisfaites (10)

A*Y*Y = Y , A * A Y m A*.

(11)

5. On suppose que X vCrifie (8) et (9)et que Y E M, ,, (k)vdrifie (IO) et (11).Prouver qu'on a X = Y. En ddduire que A possbde au plus un inverse gCnCraW. Si A admet un inverse gCn&aIisC, il est unique et on l'appellera l'inverse gCnCralisC de A.

6. On suppose que A posdde l'inverse ginCralisC A , A*A et AA+ ont mé?me rang ; (i) (ii) A est l'inverse gCnCrPlis6 de X ; de A* ; (iii) X* est l'inverse gCnC& XX* est l'inverse gCnir$isC de A*A. (iv)

X. Prouver ies

assertions suivantes ;

7. Si A est une matrice carrée, qui commute à A* et qui possbde l'inverse gCnCralisC X, alors A admet le pseudo'

inverse

x.

B

-

1. Montrer qu'une condition nCcessaire et suffisante pour que A posdde un inverse ghbalisc est qu'il existe BA* vCrifie B E M, ,(k) vCrifiant BA*M* = A*. (Si B v M e cette @&t4, on pourra prouver que X (9) et prouver (8) à l'aide de (1)). 2. Montrer qu'il existe un entier j 2 O et des scalaires X,,

...,A,

non tous nuls, tels que

f

On choisit une t d e relation et on note 1 le plus petit entier i 2 O td que At On pose :

+ O.

j-1-1

i - O

Vérifier qu'on a :

B (A*A)'+' = (A*A)'.

-

8. bans cette question, on suppose que pour toute matrice 3 à &cients dans k, la relation B*B O implique B = O. V i d e r que c'est bien le cas si k = C , ttant la conjugaison complexe. Prouver que si deux matrices C et C' 1 coefficients dans k et à m-colonnes vGifient CAA* = C'Mo,dors des vCrifient aussi CA = C'A. En dCduire que si B est choisi comme en (2), alors B est un inverse gCnC&C de A.

IV Soit s un entier vCrifiant 1 d s < inf (m, n ) . Si 1 est une partie à s QCments de (1, ..., m } , J une partie à s ClCments de (1,. ,n } , on note A1.J la matrice extraite de A obtenue en supprimant les lignes d'indice non dans 1 et les colonnes d'indice non dans J. On note P, (rn) l'ensemble des parties à s ClCments de { 1, . , m } a son cardinal, P, ( n ) cdui des parties à s CiCments de { 1, ... n}, son cardinal. On numérote 1 (l), ..., 1 ( a )les QCments de P, (m) et J (l),J (g) ceux de P, ( n ) . ( k ) dont le coe6cient dans la ligne i et la colonne j est On construit la matrice D, (A) de Ma det ( A I (,). (,)). On rappde que p ddsigne le rang de A.

..

....

1. Calculer a.

.

..

Suite

+

PcqE 74 IBO=

-

ULY-SEVRES - ~ _ _ Groupe A-"l.- L

E N ?._= :

2. Prouver que D,

_

(A)est de rang O si s >

p et de rang 1 si i-= p .

3. On suppose rn = n et A autoadjointe. On prend s = p. Prouver qu'il existe un entier i , 1 < i 6 a , tel que AI soit inversible. 4. On suppose qu'on a m = n , c = i d k , que k est de caractéristique diEérente de 2 et que l'on a A* Prouver que p est pair.

+A

= O.

V 1. Supposons p = II. Prouver qu'il existe K E M, ,,, (k) tel que KA soit inversible dans M, K est une teile matrice, montrer que (KA)'l K est un inverse faible de A. 2. Supposons p = m. Prouver que

A possède un inverse faible.

3. Soit B une matrice de Mm rc ( k ), de rang p ,obtenue à partis de A en supprimant n un inverse faible de

,(k). Si

B. Prouver qu'on a BYA = A

- p c~lonnes,et soit Y -

, (k),de rang p , obtenue à partir de A en supprimant m p lignes, et Z un inverse faible de C. Posons D P YU. Prouver qu'on a BDC = A et que D est inversible. Posant X = ZD-' Y, prouver que X est un inverse faible de A (pour prouver (1). on pourra d'abord montrer qu'on a DCZ = Y B D = D).

4. Soit B comme dans 3. et soit C une matrice Mo

5. Gardons les notations de 4. Montrer que, si B*B est inversibie, on peut choisir Y de sorte que vérifie (6); montrer que si B*B et CC* sont invenibles, alors A possède un inverse généralisC.

6. Supposons que A '

ait m2me rang que A. Utilisant IV,prouver que

X

=

ZD-' Y

A possède un inverse faible X v C r i h t (6).

7. Montrer qu'une condition nCassaire et suffisante pour que A possède un inverse gCnCralisC est que A*A et M* aient m2me rang que A.

VI On suppose désormais que k est le corps C des nombres complexes, et que c est la conjugaison complexe. Quels que soient les entiers r et s au moins Cgaux à 1, on munit M, ,( C ) de ia forme hcrmitienne dC6nie positive < u , v > =

32

i - 1

&, g'. On note U

-

I U II la norme correspondante.

On identifie 'k à M,

( k );

j - 1

ainsi kr est un espace vectoriel hermitien. 1. Pour r et s des entiers au moins égaux à 1, et U ,V dans M, ,( C ) , prouver qu'on a : < U , V > = Tr (U*V) = Tr (W*). !

2. Prouver que A possède toujours un inverse généralisé. On notera désormais B+ l'inverse généralisé d'une matrice B à coefficients complexes. 3. Prouver que v A A + est la projection orthogonale sur Im (A). Si A est une matrice carrée posstdant un pseudo-inverse Y,prouve? qu'on a A+ = Y si et seulement si Im (A) et Ker (A)sont orthogonaux.

4. Soit Y

E

M, ,, ( k ) vCrifiant AYA = O. Prouver qu'on a < A+ ,Y > = O.

5. Inversement, supposons que X vérifie (1)et soit tel que, pour tout Y E M, ,,, ( k ) satisfaisant à AYA = O , onait < X, Y > = O. En prenant des matrices Y de la forme Z (1 A X ) où Z est une matrice n'ayant qu'un coefficientnon nul, prouver que X vérifie (8). De manière analogue, montrer que X vérifie (10) et que X est l'inverse généralisé de A.

-

6. Prouver que A + est, parmi les solutions X de (1). l'unique élément 7. Soit b E km;posonsc =

?A+

( b ) = A+ b .

Soit

x E

k"

minimise I X

; posons z =

1'. va ( x - c)

=

A

(x

- c).

-

-.

page 75 10mo

VI1 1. Prouver que les valeun propres de A*A sont des nombres rceL positifs.

L, on note E, k matria du projecteur orthogonal de k" sur l'espace propre attachd à A * et on pose UA = 1 AE, . On note L i'ensemble de ces valeurs propres non n d l a et, pour A

E

fi 2. Prouver qu'on a :

et

(AoA)+ =

2

A"

E,.

Prouver cgaiement iea fonyies :

U; U, = U, UL =

O pour A et p dans

L, distincts.

Calculer A+ en termes des UA.

3. Inversement, soit M un ensemble h i non vide de nombres r&b pitifÉ non nuis & pour &que A matrice V, E M m , ,, (C) non nulie, ttls que

Prouver qu'on a M = L et, pour A E

E

M ,une

L + UA = V,

Prouver que H est h d t i e n n e positive, et qu'on a

Ha = Mo,

u+ = u+, '

UU+ = HH+ A = HU.

P

H+H

P

M+,

Inversement, supposons qu'on ait A = H U avec H' E M m , ( C ) h d t i e n n e p o i t i v ~et U' E M VMfiant U + = U' et U'U* O H'+H'. Prouver qu'dom H = H' et U 31 U'.

m

II

(C)