A12 Modulation

ANNEXE 12. MODULATION.

A12. 1. Modulation d'amplitude. A12. 1. 1. Cas général en modulation d'amplitude (MDA). Soit une porteuse vo(t) = Vo . cos (w o . t ) et un signal modulant s(t), le signal modulé en amplitude a pour expression: v(t)

= s ( t ) . cos wo . t + Vo. cos wo . t = Vo . { 1 + s ( t ) / Vo } . cos wo . t

Le signal s ( t ) est quelconque et peut se décomposer en série de Fourier: v ( t )= ( 1/2 ){ Si Si . cos [ (wo+ Wi).t - fi ] + Si Si.cos [ (wo- Wi).t + fi ] } + Vo. cos wo.t Les Si étant les modules de s(t). La figure A12.1 donne la représentation du spectre correspondant. Le taux de modulation d'amplitude est donné par: K = Smax / Vo Si Vmax est l'amplitude crête à crête du signal modulé, et Vmin son amplitude minimum, le taux de modulation est encore défini par: K = ( Vmax - Vmin ) / ( Vmax + Vmin )

Figure A12.1. Spectre de modulation d'amplitude.

A12. 1. 2 . Cas du signal modulant sinusoïdal et porteuse sinusoïdale. s ( t ) = So . cos W.t v(t) = Vo . { 1 + (So / Vo) . cos ( W.t -f ) }. cos wo . t = Vo . { 1 + K . cos ( W.t -f ) }. cos wo . t =( So/2).cos{ (wo+ W).t - fi } + (So/2) . cos { (wo- W).t + fi ] } + Vo. cos wo.t Semblable au cas général avec une seule raie K = taux de modulation d'amplitude.

CEM Annexe 12

Modulation

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A12. 1. 3 . Cas où la porteuse n'est pas sinusoïdale. La porteuse se décompose en séries de Fourier : v ( t ) = S ( t ) . { Vo + V1. cos( wo t ± f1 ) + V2. cos( 2 . wo.t ± f2 ) + .....} Il se forme un spectre de modulation d'amplitude autour de chaque raie du spectre de la porteuse.

A12. 1. 4 . Puissance d'une onde modulée en amplitude. Si le signal se dissipe dans une résistance, la puissance de la porteuse non modulée a pour expression: Pp = Vo² / 2.R Appelons puissance instantanée la puissance moyenne pendant une période de la porteuse modulée (temps faible devant 1/W): Pi

=( Vo² / 2.R) . { 1 + K . cos ( W.t -f ) }² = Pp . { 1 + K . cos ( W.t -f ) }²

Appelons puissance moyenne la puissance moyenne sur un temps grand devant la période du signal modulant Soit: t >> 1 / W. Pm

= ( Vo² / 2.R) . { 1 + K²/2 } = Pp .{ 1 + K²/2 }

A12. 1. 5. Exemple de circuits de modulation d'amplitude. Le principe de base est donné sur la figure A12.2.

Figure A12.2 . Principe de la modulation d'amplitude . io =( vp / Rp) + (vm / Rm) io = 0

pour vp > 0 pour vp < 0

Le signal BF (vm, ou signal modulant), n'a pas la possibilité d'ouvrir la diode lorsque vp (porteuse HF, ou signal modulé ) est négatif. Il faut deux circuits symétriques pour obtenir le signal modulé complet. La figure A12.3 donne deux exemples de circuits classiques dans lesquels le transistor effectue la somme et la détection.

CEM Annexe 12

Modulation

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Figure A12.3. Modulateurs d'amplitude classiques. C'est la jonction base émetteur qui joue le rôle de diode, et la sortie est amplifiée. Les deux circuits sont similaires. Dans le circuit de la figure A12.4. la diode est remplacée par un commutateur (qui doit commuter à la vitesse de la fréquence porteuse). Il est généralement utilisé pour les systèmes à suppression de porteuse. Il est possible de conserver la porteuse en ajoutant une composante continue en A1 et A2 égale à ± la valeur crête du signal HF.

Figure A12.4. Modulateur à suppression de porteuse . Sur la figure A12.5. le principe de fonctionnement est à peu près identique. La porteuse ouvre à tour de rôle les transistors Q1, Q2 et Q3, Q4, ce qui fait apparaître la tension de modulation tantôt sur R1, tantôt sur R2: Q6 conducteur porteuse positive modulation sur R1 >> porteuse négative modulation sur R2 Q5 conducteur: les rôles sont inversés. Ainsi, un signal de modulation sans composante continue, donne une élimination de porteuse. Avec composante continue il donne une modulation normale

CEM Annexe 12

Modulation

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. Figure A12.5 Modulateur d'amplitude. La figure A12.6. fonctionne sur le même principe, en plus simple, il n'y a pas de suppression de porteuse. Cette figure montre comment se forme la modulation.

Figure A12.6 Modulation d'amplitude .

A12. 1. 6. Amélioration de la linéarité. La figure A12.7. donne une méthode d'amélioration de la linéarité en utilisant un signal HF rectangulaire plutôt que sinusoïdal:

Figure A12.7. Modulateur avec porteuse rectangulaire.

CEM Annexe 12

Modulation

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En effet : K = ( vm . Rp ) / ( vp . Rm )

rapport des courants

"K" étant la profondeur de modulation. Le montage de la figure A12.8 utilise une contre réaction. Le filtre de la boucle de contre réaction est un court circuit pour la haute fréquence.

Figure A12.8. Amélioration de la linéarité par contre réaction. La diode et le circuit RC est un détecteur reconstituant le signal basse fréquence (au gain de boucle près). En réalité, H = A.ve / vs(t). Soit G.A le gain de boucle total, alors ve = s(t) / (1 + G.A), le signal de sortie a pour expression: vs = Vo . { 1 + s ( t ) / Vo.(1 + G.A) } . cos wot C'est a dire : K' = K / (1 + G.A) s( t ) est le signal modulant basse fréquence. K' est le taux de modulation avec contre réaction. K est le taux de modulation sans contre réaction. Si le signal de sortie vs tend vers la saturation, le gain de boucle G.A diminue, ce qui entraîne une augmentation de K' c'est a dire du taux de modulation. Cette valeur reste donc constante en compensant par une augmentation du taux de modulation, jusqu'à ce qu'il atteigne 100% (après quoi il n'y a plus de régulation).

A12. 1. 7. Autre type de modulation d'amplitude. A12. 1. 7. 1. Modulation à double bande latérale et suppression de porteuse. Des exemples ont été donnés figure A12.4. et A12.5. les figures A12.9 et A12.10 en sont deux autres. Le signal de sortie a pour expression: vs ( t ) = Vo . s( t ) . cos wo t

CEM Annexe 12

Modulation

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Figure A12.9. Modulateur avec élimination de porteuse

Figure A12.10. Modulateur avec élimination de porteuse. La figure A12.10. donne en même temps la réponse en sortie.

A12. 1. 7. 2. Modulation à bande latérale indépendante. Les deux filtres H1 et H2 de la figure A12.11 sont utilisés pour séparer deux signaux modulant indépendants. Les sorties des modulateurs sont déphasées de - p/2 autour wo .

Figure A12.11. Modulation à bande latérale indépendante . Le signal de sortie a pour expression : vs ( t ) = s 1( t ) . cos wo t + s 2( t ) . sin wo t Il faut un détecteur synchrone en réception pour séparer les signaux. (Voir §A12.2.2.4.)

A12. 1. 7. 3. Modulation à bande latérale unique. La figure A12.12. résout le problème sans filtre :

CEM Annexe 12

Modulation

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Figure A12.12 .Modulateur à bande latérale unique. ° Si le signal d'entrée est de la forme cos W t , le signal de sortie est: vs ( t ) = 2 .  2. cos(wo t + p / 4 )+ 2 . K . sin ( wo + W ) . t Il ne reste que la bande latérale supérieure. Pour émettre la bande latérale inférieure, il faut remplacer la somme par une différence (ajouter un déphaseur de p, ou un inverseur), ou changer le déphaseur p/2 de place (attaque de la porteuse ou du signal BF). ° Dans le cas d'un signal modulant quelconque: vs ( t ) = s ( t ) . cos wo t - s ( t )* . sin wo t (développement en série de Fourier d'un seul côté de la porteuse).

A12. 2 . Démodulation d'amplitude. A12. 2. 1. Détection quadratique et linéaire. Soit le schéma de la figure A12.13. et la caractéristique de la diode correspondante :

Figure A12.13. Principe de détection . Le signal ve est de la forme: ve ( t ) = Vo [ 1 + F ( t ) ] . cos wo t

CEM Annexe 12

Modulation

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La caractéristique de la diode ( au voisinage de zéro) est: i = k . ve² En effectuant l'opération il apparaît un terme basse fréquence: i1 = k . Vo² . F( t ) Si la caractéristique est linéaire, (i = k' . ve), la composante basse fréquence du courant de sortie devient (en considérant la caractéristique symétrique de part et d'autre du zéro): i' = ( 2 / p ) . k' .Vo .F ( t ) Il est facile de vérifier qu'une caractéristique cubique ne donne pas de détection. D'une façon générale les signaux faibles subissent une détection quadratique, et les signaux forts une détection linéaire. Le résultat donne toujours la composante basse fréquence, mais avec un coefficient de conversion différent, ceci diminue la dynamique (variation d'amplitude du signal utile). Une polarisation convenable de la diode amène un compromis acceptable.

A12. 2. 2. Montages divers de détection. A12. 2. 2. 1. Montages classique de détection. La figure A12.14. donne le montage traditionnel avec la polarisation VA de la diode .

Figure A12.14. Détecteur classique. Dans le montage de la figure A12.15. la diode est remplacée par la jonction base émetteur du transistor.

Figure A12.15. Détecteur à transistor.

CEM Annexe 12

Modulation

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Figure A12.16. Variante du détecteur à transistor.

A12. 2. 2. 3. Détecteur de modulation à double bande latérale et sans porteuse.

Figure A12.17. (voir §A12.2.2.4. pour reconstituer une porteuse). A12. 2.2.4. Détecteur pour modulation en BLU (bande latérale unique) figure A12.18.

Figure A12.18. Détecteur BLU. La porteuse est généralement en signaux rectangulaires. Elle est obtenue en amplifiant à saturation le signal de réception.

A12. 2. 2. 5. Détecteur synchrone. L'efficacité est d'autant meilleure que l'oscillateur local et la porteuse sont en phase, s2 peut être obtenu en amplifiant jusqu'à saturation le signal reçu s1 figure A12.19.

CEM Annexe 12

Modulation

Figure A12.19. Détecteur synchrone.

A12. 2. 3. Efficacité des détecteurs à modulation d'amplitude. A12. 2. 3. 1. Détecteur quadratique. Soit ve le signal modulé arrivant sur le détecteur: ve = Vo . [ 1 + K f ( t ) ] . cos wo t Le signal de sortie est alors: vs = ( 1/2) Vo² ( 1 + 2 K f ( t ) ) .( 1 + cos2 wo t ) Efficacité de détection: I vs utile I / (ve enveloppe ) =[(Vo.K.f (t) ] / [ 1+K. f (t)] Elle dépend de l'amplitude de la porteuse. Coefficient de distorsion harmonique: H=K/4

A12. 2. 3. 2. Détection linéaire (avec une diode). ve = Vo . [ 1 + K . f ( t ) ] . cos wo t vs = ( Vo / p ) .( 1 + K f ( t ) ) . [1 + (p / 2 ) . cos wo t + ... ] Efficacité de détection: 1/p Il n'y a théoriquement pas de distorsion harmonique. Avec deux diodes l'efficacité est double.

A12. 2. 3. 3. Détection synchrone . ve = Vo . [ 1 + K . f ( t ) ] . cos wo t vs = ( Vo ( 1 + K f ( t ) ). cos wo t ] . cos ( wo t - f ) Après filtrage il reste: vs = ( 1 / 2 ). Vo . K . f ( t ) . cos f = ( s ( t ) / 2 ) .cos f Efficacité de détection ( 1 / 2 ) .cos f Pas de distorsion harmonique.

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CEM Annexe 12

Modulation

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A12. 2. 3. 4. Détection en double bande latérale et suppression de porteuse. ve = s ( t ) . Vo . cos wo t vs = a . s ( t ) . cos ( wo t - f ) a est un facteur de conversion du détecteur. f est la différence de phase entre l'oscillateur local et la porteuse. Comme pour la détection synchrone, il est important que ces deux signaux soient en phase. Efficacité de détection : ( a / Vo ) . cos f Avec f # 0)

A12. 3. Modulation de phase et de fréquence. A12. 3. 1. Expression générale . vs ( t ) = Vo . cos f ( t ) En modulation d'amplitude c'est le terme Vo qui est variable. En modulation de phase ou de fréquence ce terme est constant , c'est f ( t ) qui est variable. Modulation de phase: Signal modulé en phase Pulsation: Déviation de phase: Déviation de fréquence:

:

Modulation de fréquence: Signal modulé en fréquence: Phase: Déviation de fréquence: Déviation de phase:

f ( t ) = wo t + mp . s ( t ) v ( t ) = Vo . cos ( wo t + mp . s ( t ) ) w ( t ) = wo + mp . d s( t )/dt = df/dt Df = mp Df = mp . DWMax / 2.p w ( t ) = wo + mf . f ( t ) v ( t ) = Vo . cos ( wo t + mf .  f ( t ) dt ) f ( t ) = wo t + mf .  f ( t ) dt ) Df = mf Df = mf.Df Max

A12. 3. 2. Cas du signal modulant sinusoïdal. A12. 3. 2. 1 Cas de la modulation de phase. v ( t ) = Vo . cos ( wo t + mp . cos W t ) mp est homogène à une phase ( Df ) en radians. La pulsation instantanée est: w ( t ) = wo + mp . W . sin W t

( w = df/dt)

A12. 3. 2. 2 . Cas de la modulation de fréquence. w ( t ) = wo + mf . sin W t v ( t ) = Vo . cos ( wo t + ( mf / W ) . cos W t )

CEM Annexe 12

Modulation

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mf est homogène à une pulsation ( Dw ) radian / seconde. En écrivant: m = mf / W ou mp

(pour une ondulation sinusoïdale).

Les deux expressions (modulation de phase et modulation de fréquence) deviennent identiques, les deux modulations se traitent donc de la même façon. C'est cette valeur m qui est appelée indice de modulation.

A12. 3. 2. 3 . Approximation avec m² << 1. L'expression du signal modulé est: v(t)

= Vo . cos wo t + Vo . m . sin W t . sin wo t = Vo . cos wo t - (m /2) . Vo . cos ( wo - W ) t +( m / 2) . Vo . cos ( wo + W ) t

Le spectre est très semblable à celui de la modulation d'amplitude, à une rotation de p près de la raie inférieure.

A12. 3. 2 4 . Approximation avec : m3 << 1 . Le signal se développe jusqu'à l'ordre 2, il faut donc ajouter deux raies supplémentaires. En effet: v( t ) = Vo . (1 - (m² /2) . sin ² W t ) . cos wo t - m .Vo .m .sin W. t .cos ( wo.t-p/2) v ( t ) = Vo. { - (m /2) . Vo . cos ( wo - W ) t + ( m / 2) . Vo . cos ( wo + W ) t + (m² /8) . Vo . cos ( wo - 2W ) t + ( m² / 8) . Vo . cos ( wo +2 W ) t + ( 1 - m ²/ 4 ) . cos wo t }

A12. 3. 2. 5 .Cas ou m est quelconque (toujours en modulation sinusoïdale).

j.m.sin f wo.t . ej = Ré e j wot jf -jf = Ré { e . ( e(m/2).e . e-(m/2).e )}

( v ( t ) / Vo )

f=Wt Avec Le développement en série de la partie entre parenthèse donne: = Ré . e

( v ( t ) / Vo )

jwot

jf j2f jpf +..... { Jo(m) +J1(m).e + J2(m).e +.. +Jp(m).e -jf -j2f -jpf +.....} + J-1(m).e + J-2(m).e + .... + J-p(m).e

Les "Jp(m) "étant les coefficients des fonctions de Bessel de première espèce. (voir annexe 15). Ces coefficients sont obtenus en développant en série les exponentielles et en effectuant tous les produits. Rappelons quelques valeurs en posant a=m/2: Jo(m) = 1- a

2

+ (1/2!) ².a 4 -

J1(m) = a - (1/2!) .a 3

+ (1/2!

....

n 2n +{(-1 ) / (n! ) ²} .a +.....

n (2n+1) 3! ).a5 + .... {(-1 ) / (n! (n+1 )! )} .a +.....

p n 2n Jp(m) = a . S {(-1 ) / (n! . (n+p )! )} .a

CEM Annexe 12

Modulation

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p n 2n J-p(m) = a . S {(-1 ) / (n! . (n-p )! )} .a Pour n
J-p = 0

Le spectre de l'onde modulée en phase ou en fréquence (selon la valeur et l'unité de "m") a pour expression: (v (t ) / Vo)

= Jo(m) .cos wo t + J1(m).cos ( wo + W ) t + J2(m).cos ( wo +2 W ) t +... + J-1(m).cos ( wo - W ) t + J-2(m).J2(m).cos ( wo -2 W ) t +...

Le spectre s'étale donc indéfiniment. Cependant en négligent les raies à plus de 60 dB de la porteuse non modulée, la bande passante utile peut s'exprimer approximativement par: B = 2. (m + q ) . F

ou

B = 2 . Df + 2 . q . F

F étant la fréquence de modulation maximum, ( F = W / 2p ). m et q étant définis par le tableau suivant: m m+q

0,4 1

1,2 2

2 3

2,8 4

3,7 5

4,5 6

10 12

1000 1006

Puissance de l'onde modulée en fréquence: Elle est égale à la puissance de la porteuse non modulée quel que soit l'indice ( P = Vo² / 2.R ) . Par contre l'amplitude de la porteuse ( égale à la valeur de Jo ) s'annule pour certaines valeurs de m : m = 2,41 5,52 8,65 11,79 ...... D'autres raies que la porteuse s'annulent pour certaines valeur de m. Certains procédés de mesure d'indice de modulation s'appuient sur cette propriété.

A12. 3. 3. Cas du signal modulant quelconque: A12. 3. 3. 1. Cas général. La représentation du spectre est trop complexe pour avoir un intérêt. Les indices de modulation sont définis ainsi: m = Df / Fmax

ou

m = Dfmax

La valeur de "q" définie au § A12.3.2.5. est pratiquement égale à 1 dans tous les cas. D'où la largeur de bande : B = 2 . ( m + 1 ) . Fmax ° Exemple Bande occupée par un canal de radiodiffusion en modulation de fréquence: fo = 100 MHz Fmax = 15 KHz Df = 75 KHz = B Donc: m = 75 / 15 = 5 B = 2.6.15 = 180 KHz Remarque: Cette bande de fréquence n'est pas la bande de bruit , cette dernière est inférieure en première approximation à Fmax (15 KHz), voir § A12.4.5.

A12. 3. 3. 2. Cas de deux signaux sinusoïdaux . v(t)

= Vo . cos ( wo t +

m 1. sin w1 t +

m 2. sin w2 t )

° Amplitude de la porteuse : Jo (m1 ) . Jo ( m2 ) . Ao .cos wo t

CEM Annexe 12

Modulation

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° Amplitude des raies multiples de w1 : Jp (m1).Jo ( m2 ) . Vo .cos (wo t + - p w1.t ) ° Amplitude des raies multiples de w2 : Jo (m1 ) . Jq ( m2 ) . Vo .cos ( wo t + -q w2 t ) ° Amplitude des raies dues à des battements de fréquences: Jp (m1 ) . Jq ( m2 ) . Vo .cos ( wo t + - p w1+ -q w2 t ) Dans tous ces cas : p = 1,2,3...

q = 1,2,3...

A12. 3. 3. 3. Cas de modulation par des signaux carrés (en modulation de fréquence). L'amplitude des signaux correspond à une plage de fréquence de wo - Dw à wo + Dw. Sa période "T" correspond à une pulsation w telle que: m = Dw / w ° Amplitude de la porteuse: { (2 . Vo / p.m ). sin (pm / 2 ) } . cos wo t ° Amplitude des raies d'ordre ± n

S ( -1)n+1

2 . m . Vo ------------------ . sin{ (m.p / 2 ) + R(n) . p / 2 } . { cos (wo-n w) t - cos (wo+nw)t } p.(m²-n²)

Avec : R(n)

= 1 pour n impair = 0 pour n pair

A12. 3. 3. 4. Modulation d'une sous porteuse . Soit un signal de pulsation wo, modulé par un signal de pulsation ws, lui même modulé par un signal de pulsation W. Le premier signal est la porteuse, le second la sous porteuse, et le troisième, le signal modulant. L'expression du signal de sortie est alors: v(t) = Vo Sp Sq Jp(m) . Jq(ms) . cos { ( wo + p . ws + q . W ) t + fo + p.fs + qF } Avec

m = Dw / ws

ms = Dws / W

La pulsation instantanée a pour valeur : wi(t) = wo +Dw . cos{ws t + fs + m . sin ( W t + F ) } La pulsation pour l'onde simplement modulée en fréquence est :wf(t) = wo+Dw.cos{ W.t+F )

A12. 3. 4. Montages pour modulation de phase ou de fréquence. Le principe consiste à modifier la fréquence ou la phase d'un oscillateur. Il est important que la fréquence porteuse soit très stable car le récepteur peut interpréter ces instabilités comme une modulation. La figure A12. 20. donne un exemple dans lequel la réactance variable est une varicap permettant de faire varier la fréquence à partir d'une tension. La stabilité est obtenue par un asservissement en phase sur un oscillateur à quartz.

CEM Annexe 12

Modulation

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Figure A12.20. Modulateur de fréquence. Le filtre correcteur doit être à bande très étroite afin de laisser le système en boucle ouverte pour toutes les fréquences du signal modulant. L'indice de modulation de fréquence dépend de l'amplitude du signal BF et de la caractéristique "K " de la diode varicap (Hz/volt). Soit: mf = Vmax . K L'indice de modulation de phase est: mp = Vmax . K / W

( W = pulsation max du signal BF modulant ).

A12. 4. Démodulation de phase ou de fréquence. A12. 4. 1. Discriminateur à diode. C'est le circuit traditionnel représenté figure A12.21.

Figure A12.21. Discriminateur de fréquence à diode. Les deux circuits d'accord sont légèrement décalés de part et d'autre de la porteuse, la sortie effectue la somme vectorielle des deux détections. Le but est d'obtenir une zone aussi linéaire que possible entre - Df et +Df .

A12. 4. 2. Détecteur de phase à diode . DAP (Détecteur amplitude phase). Il est représenté sur la figure A12.22.

Figure A12.22. Détecteur de phase.

CEM Annexe 12

Modulation

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La valeur exacte de la tension de sortie est: vs = 2. r . b . E1 . Ao . sin f r = résistance de charge du détecteur. b = coefficient dépendant des caractéristiques des diodes. f = différence de phase entre l'oscillateur local et le signal reçu. Ce signal contient donc la modulation de phase (ou de fréquence). La linéarité est obtenue sans problèmes au voisinage de f = 0. Remarquons que la tension de sortie dépend aussi de l'amplitude des signaux, d'où l'intérêt d'un limiteur avant la détection.

A12. 4. 3. Détecteur de phase à transistors. Le même résultat est obtenu avec le montage de la figure A12.23. Ce montage a déjà été utilisé pour la modulation d'amplitude. Il est assez universel.

Figure A12.23. Détecteur de phase à transistor. Dans ce montage comme dans le précédent , si les deux fréquences d'entrée sont différentes, on obtient un mélangeur, ou changement de fréquence.

A12. 4 .4. Récepteur complet en modulation de phase ou de fréquence. La difficulté principale est de générer une fréquence locale rigoureusement égale à la porteuse émise. Il n'est pas possible comme dans la modulation d'amplitude d'amplifier le signal car la fréquence est variable. (Il existe cependant des systèmes assez complexes où après détection, le signal modulant est retranché de la porteuse dans un mélangeur). Dans la plupart des cas la solution consiste à utiliser des oscillateurs très stables en émission et en réception (par exemple des synthétiseurs). La fréquence peut de plus être recalée par un asservissement en phase comme le montre la figure A12.24.

Figure A12.24. Récepteur en modulation de fréquence .

CEM Annexe 12

Modulation

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En sortie, en plus du signal détecté, il reste une composante continue due à la dérive des quartz, facile à éliminer. La bande passante du filtre de contre réaction doit être très faible comme pour le modulateur .

A12. 4. 5. Efficacité de la détection en modulation de fréquence. L'expression de l'efficacité consiste à comparer le rapport signal sur bruit en modulation de fréquence au rapport signal sur bruit en modulation d'amplitude. Dans les circuits, le bruit d'amplitude produit un bruit de phase comme le montre la figure A12.25.

Figure A12.25. "a " est un bruit d'amplitude, il lui correspond un bruit de phase Df tel que: Df(bruit) = arc tg a / Vo # a / Vo (équivalent à mp du bruit) Considérons pour simplifier un signal utile sinusoïdal et un indice de modulation de phase mp: Df (signal) = mp . cos W t 2.p.Df (signal) = mp .W . sin W t = mf . sin W t = DW Max Si Fmax est la fréquence maximum du signal utile (Wmax / 2.p), les déviations de fréquence du signal et du bruit sont respectivement: déviation de fréquence signal déviation de fréquence bruit

=mp . W/2. p = Df( bruit) . Fmax

=mp . Fmax =(a/Vo ) . Fmax

En modulation d'amplitude, le bruit B est proportionnel à la bande: B = a ² . Fmax Les deux étant sous la même impédance.

(S/B ) MDA = Vo² / (a ² . Fmax )

En modulation de fréquence :

déviation signal :

= m²p . F ²max

f ² . df 0àFmax = a ². F 3max / (3.Vo²)

déviation bruit : =( a ² / Vo² ).

Df signal / Df bruit = 3. m²p . V ²o / ( a ² . Fmax ) {S / B ( MDF )} / {S / B ( MDA )} = 3 . m ²p = 3 . Df ² / F ²max Soit en decibel: gain MDF = 20 . log (Df / Fmax) . 3 ° Exemple de la radiodiffusion (Df = 75 KHz , Fmax = 15 KHz) Gain MDf par rapport à MDA= 8,66 # 19 dB

=Df(signal) =Df(bruit)

CEM Annexe 12

Modulation

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Tout se passe comme si la bande de bruit était divisée par Df . 3 / Fmax ° Remarque 1: Les résultats ne sont plus valables lorsque la porteuse est voisine du bruit. Avec des signaux très voisins du bruit (à partir de Vo² / a ² # 12 dB), le bruit monte très rapidement (à V ²o / a ² # 9 dB le gain est nul (0dB), puis il est négatif en dB). ° Remarque 2 : Ces résultats sont donnés pour un bruit parasite blanc. Si le bruit est d'origine impulsionnelle, (bruits industriels, orages ...) le gain devient: gain MDF = 20 . log (Df.2 / Fmax) Et il faut cette fois considérer les valeurs crêtes et non pas efficaces.

A12. 5. Modulation d'impulsion. A12. 5. 1. Modulation d'impulsion en amplitude. Le principe est donné sur la figure A12.26.

Figure A12.26. Modulation d'impulsion en amplitude . ° Cas ou f ( t ) = Cst = Vo Le spectre du signal a pour valeur: sin ( wo - w ) . t F1 ( w )

=2.t.Vo.Sn

----------------------- e ( wo - w ) . t

-j.n.w.T

La bande passante du signal constant (sans informations) est relativement importante.Dans le cas d'une modulation sinusoïdale: f ( t ) = Vo . cos W.t Avec un indice de modulation équivalent K (voir modulation d'amplitude), le spectre s'exprime par: sin (wo-w).t F2(w )=2.t.Vo.Sn{-------------------- + (wo - w).t Ce qui est représenté sur la figure A12.27.

K.sin ( wo - w+ W).t

K.sin (wo-w-W).t -j.n.w.T

-----------------------------+ ---------------------------} e 2.(wo - w + W).t 2.(wo-w-W).t

CEM Annexe 12

Modulation

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Figure A12.27. Spectre de modulation d'impulsion en amplitude. En supposant

T >> t >>1 / wo

La réception de ce signal s'effectue avec un détecteur qui reconstitue les impulsions sans porteuse, et un échantillonneur bloqueur suivi d'un filtre BF pour reconstituer le signal.

A8 . 5.2. Modulation de largeur d'impulsion. La largeur tn de l'impulsion est proportionnelle à l'amplitude du signal figure A12.28: tn = k . f ( nT )

Figure A12.28. Modulation de largeur d'impulsion. Dans le cas ou f ( t ) =Vo . cos W t, le spectre s'exprime par : sin ( wo - w ) . tn F1 ( w )

=2.Sn

---------------------- . tn ( wo - w ) . tn

e

-j.n.w.T

T >> tn maximum La démodulation s'effectue avec un détecteur et un intégrateur. Une modulation de position (ou de phase) est obtenue en ne considérant que le front arrière des impulsions.

A12. 5. 3. Modulation par impulsions codées. (Figure A12.29)

CEM Annexe 12

Modulation

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Figure A12.29. Modulation par impulsions codées . Le principe est donné sur la figure A12.31. Un code digital (c'est à dire un groupe d'impulsions) donne l'amplitude de la tension pour chaque échantillon. Si Fmax est la fréquence maximum à transmettre, et si chaque échantillon est codé par n bits (ou n impulsions) la bande du spectre transmis est de: B = n . Fmax La qualité de la réception s'évalue en probabilité d'erreur. Elle dépend du rapport signal sur bruit, et peut être définie par le tableau suivant de P . F . Panter S / N dB Pr Er bit

13,3

17,4

19,6

-2

-4

-6

10

10

10

21 10

22 -8

10

23 -

10

10

-12

S étant la puissance moyenne du signal, mais elle doit être pondérée selon le type de pulse (symétrique ou dissymétrique).

A12. 5. 4. Modulation Delta . Figure A12.30. Le signal est échantillonné à la fréquence d'horloge fh .Chaque fois que d'un échantillon à l'autre la tension augmente, le signal émis est un "1" , si la tension diminue d'un échantillon à l'autre, le signal émis est un "0" . C'est une façon très simple de digitaliser un signal analogique. La contre partie est que la reproduction n'est pas toujours très fidèle, en particulier, le système ne fait pas de différence entre deux signaux de même période et d'amplitude différente. L'enveloppe est légèrement corrigée si les signaux sont à peu près sinusoïdaux. En effet la modulation donne toujours des triangles, et le rapport entre le triangle et la sinusoïde est de p/2. L'amplitude d'un signal sinusoïdal est : Vo= fh . Dv / (2. p . F ) F = fréquence signal,

Dv = échelon de tension

Figure A12.30. Modulation Delta

fh = fréquence horloge

CEM Annexe 12

Modulation

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Un codage un peu plus fin consiste à coder sur plusieurs bits chaque différence entre deux échantillons.

A12. 6. Modulation par saut de fréquence. ( FSK= Frequency -Shift Keying) L'état "0" correspond à la fréquence f1 L'état "1" correspond à la fréquence f2 Par définition : fo = ( f1 + f2 ) / 2 = fréquence centrale ou moyenne Df = ( f2 - f1 ) / 2 = shift de fréquence m = 2. Df / R = indice de modulation R = Rapidité de modulation ( bauds ) du signal en bande de base . La figure A12.31. donne le spectre du signal modulé pour un signal en bande de base aléatoire.

Figure A12.31. Densité spectrale d'un signal FSK. Ce type de modulation est utilisé dans les modems à la vitesse de 1200 bauds, avec: f 1=1300 Hz f 2 = 2100 Hz Soit m = (2100 - 1300 ) / 1200 = 0,66 Ce qui correspond à la courbe présentant une densité spectrale très homogène donc des filtres facilement réalisables. Ce procédé permet de travailler à des vitesses très lentes et une bande de fréquence très étroite (m#1,4). Il est souvent utilisé avec m = 0,64. La probabilité d'erreur dépend du type de détection. ° Détecteur cohérent ( ou synchrone ): Les horloges d'émission et réception sont synchrones. Pe = 1/2 { 1 - erf ( S / 2No )

1/2

}

S = Energie contenue dans le signal No = densité de puissance de bruit (dépendant de l'indice de modulation ) erf = Fonction erreur définie en annexe 9 ° Détecteur non cohérent ( ou asynchrone ). Le récepteur est composé d'un filtre pour chaque fréquence, la détection consiste à sélectionner celui qui donne la plus grande amplitude. Pe = 1/2 { e

(- S / No

)

}

Cependant ces valeurs théoriques sont valables pour du bruit blanc. Le bruit dominant des lignes téléphoniques est surtout composé de bruit industriel et naturel très difficile à calculer et donnant des résultats différents.

CEM Annexe 12

Modulation

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A12. 7. Modulation par sauts de phase ( PSK ou Phase Shift Keying ) A12. 7. 1. Généralités. Dans ce type de modulation les sauts de fréquence sont remplacés par des sauts de phase . Il existe ainsi plusieurs possibilités de vitesse en fonction de la précision de détection des sauts de phase. ° Saut de phase de 180° 0 : phase de référence 1 : phase inversée La figure A12.32. donne la représentation temporelle.

Figure A12.32. PSK ( o /p ) code 011 La sinusoïde de référence est en général à1200 ou 2400 Hz ° Sauts de phase de 90°: La sinusoïde de référence est toujours à 2400 Hz. Il y a quatre sinusoïdes avec un déphasage de 90° pour passer de l'une à l'autre, figure A12.33.

Figure A12.33. modulation PSK ( 0 , 90° ), code 11 01 en pointillé. La solution consiste à coder chacune des quatre sinusoïdes, par exemple: 00 0° 01 90° 11 180° 10 270° En réalité il y a un problème de synchronisation au départ pour déterminer la sinusoïde de référence. Chaque phase n'est repérée que par rapport à la phase précédente. Le changement d'état s'effectue seulement tous les deux bits, ce qui permet de doubler le débit binaire pour une même bande. ° Sauts de phase de 45°: Le principe est toujours le même. Cette fois chaque sinusoïde est codée sur trois bits. La représentation temporelle devient très compliquée.

A12. 7. 2. Procédés de modulation et démodulation.

CEM Annexe 12

Modulation

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Il est possible de moduler directement la porteuse en sauts de phase, et transmettre ainsi un grand débit.

Figure A12.34. Modulateur, démodulateur 0 - p. La figure A12.34. donne l'exemple du modulateur démodulateur 0/p (deux états dephase). la durée d'un état est T. En sortie du démodulateur, une tension négative correspond à un saut de phase, et une tension positive correspond à un maintien de phase. C'est généralement de cette façon que sont codés les états. La figure A12.35 donne l'exemple d'un modulateur 0 - p/2 (quatre états de phase). On utilise un peu le même principe que le modulateur BLU. Le message binaire doit subir une petite transformation: il faut séparer les bits pair et impairs, leur durée est doublée. Après quoi, comme dans le cas précédent, l'état 1 est transformé en -E volts; et l'état 0 est transformé en +E volts.

Figure A12.35. Modulateur/démodulateur quatre phases. Les deux sorties du démodulateur donnent respectivement les états pairs et impairs. Il faut pour ceci que la porteuse soit reconstituée en phase avec la porteuse d'émission, ce qui n'est pas simple. Sans rentrer dans les détails nous dirons qu'un codage sur les changements d'états et non sur les états facilite le décodage. Pour une modulation à huit phases on utilise deux modulateurs quatre phases, l'un a sa porteuse déphasée de p/4 par rapport à l'autre (figure A12.36).

CEM Annexe 12

Modulation

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Figure A12.36. Modulateur démodulateur huit phases.

A12.7.3. Intérêt de cette modulation. L'intérêt de la transmission numérique sur l'analogique, est qu'une fois les signaux analogiques échantillonnés et multiplexés, ils sont envoyés en série sur une même porteuse, alors qu'en analogique, il faut pratiquement une porteuse par canal (même en utilisant des sous porteuse, le problème est assez complexe). Cependant la bande passante utile en numérique est généralement plus importante qu'en analogique. Nous verrons que l'intérêt principal réside dans les performance en taux d'erreur et en puissance d’émission. Analogique: pour passer une bande téléphonique 300 à 3000 Hz, il suffit d'une bande de 4 KHz, donc 120 KHz pour passer 30 voies. Le rapport signal sur bruit de chaque signal doit être de 30 dB (ce qui correspond à une très bonne réception, il est très difficile de la ramener à un taux d'erreur, mais pour fixer les idées, nous l'évaluons à environ 10-3). Chaque canal doit avoir la puissance nécessaire pour assurer le rapport signal sur bruit, soit une puissance totale 30 fois plus importante ou 15 dB, soit une puissance de réception nécessaire de: Pra30 = -174 + 10*log(120 000) +(Fb # 10) + (S/N # 30)

# -83,2 dBm.

Numérique en bande de base: pour passer 30 voies il faut un débit de 2,048 Mbit/s, soit la durée d'un bit de 0,48 µs (recommandations du CCITT Européen). La bande de Nyquist (fN = 1/2T) est alors de 1,024 MHz, soit 34 KHz par canal. Si ce signal est filtré par un filtre en cosinus (ou filtre optimal) le taux d'erreur est défini de la façon suivante: taux erreur = (1/2).erfc {S/(s.2.2)} s étant la valeur efficace du bruit. Ce qui peut se représenter par le tableau suivant: (S/N) dB Taux erreur

16,1 10

-10

15 10

13,5 -8

10

-6

11,4 10

-4

9,8 10

7,3 -3

10

2,2 -2

10

-1

-3

Pour comparer avec la transmission analogique, un taux d'erreur de 10 est obtenu avec un rapport signal sur bruit de 9,8 dB. La bande passante étant 8,5 fois plus élevée, le bruit est 9 db plus haut, donc la puissance d'émission nécessaire environ : Prd = -174+10*log(1,024*106) + (FB # 10) + (S/N # 9,8) Soit 11 dB de moins

# -94,1dBm

CEM Annexe 12

Modulation

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Numérique en deux phases: La bande de Nyquist est double de la transmission en bande de base car on est symétrique par rapport à la porteuse. Le taux d'erreur s'exprime un peu de la même façon par: taux d'erreur = (1/2). erfc {C/(No.D)} C = puissance de la porteuse No = puissance du bruit par hertz de bande D = débit en bits par seconde (= 2,048 Mbits/s). Ce qui peut se représenter par le tableau suivant: porteuse/bruit dB taux d'erreur

13,1 10

-10

12 10

10,5 -8

10

-6

8,4 10

6,8 -4

10

10,3 -3

10

-2

5,2 10

-1

Le rapport signal sur bruit n'est que de 6,8 dB, mais il faut ajouter un bruit 3dB (bande double) à cause de la symétrie, 6,8 + 3 =9,8 dB comme en bande de base. Soit encore: Prd = -94 dBm Pas d'amélioration par rapport à la bande de base. Numérique en m phases: Pour comparer toutes les solutions, on choisit toujours un débit binaire de 2,048 Mbits/s, la durée d'un bit par contre est de: Tm =T.log2 m = 0,48. log2 m µs. La fréquence de Nyquist baisse dans les mêmes proportions: -6

fN = 1/(2Tm) = 1/{2.(log2 m.).0,48.10 } Le bruit est donc diminué de 10.log (log2m) dB (car on n'a pas changé le débit). Soit : Prd = {-94 - 10.log (log2m)} dB. Avec 64 phases (Prd # -94 - 10*log(6)) = -102 dBm, l'encombrement en fréquence (fN = 174 Khz) n'est pas beaucoup plus grand qu'en analogique, mais la puissance d'émission est beaucoup plus faible (19 dB de moins) pour une même sécurité de transmission (avec l'hypothèse du début, mais bien meilleurs qu'en bande de base). Ce type de modulation demande cependant une précaution par rapport à la bande de base, c'est qu'il ne faut pas écrêter le signal modulé, car son amplitude transporte l'information de phase.

REFERENCES de l'annexe 12. 1. Modulation , Noise , and Spectral analysis . P . F . Panter 1965 McGraw-Hill Book Compagny. 2. Reference Data For Radio Engineers 1983 . Modulation , Chapter 23 3. Electronique et Radioélectronique , H. Aberdam . Dunod 1963 . Chapitre 6 . 4. Radiotechnique et Télévision , H. Aberdam . Dunod 1963 . Chapitre 12. 5. Compléments de mathématiques André Angot . Revue d'optique 1965 . Chapitre 7 .

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