A Teoria Do Or

Resumo O nosso objetivo no presente trabalho é expressar uma construção teórica da ciência econômica através de uma linguagem matemática, na intenção de exemplificarmos sua eficiência enquanto linguagem esclarecedora e completa para expressão do pensamento e entendimento de fatos econômicos. Para tanto, tomamos como tema o Equilíbrio Walrasiano e sua formulação por parte de Arrow e Debreu de 1954, suas premissas e implicações. Esta escolha foi feita tendo em vista a importância deste resultado que marca uma época do despontar de uma linha de visão reformulada da teoria econômica representando um importante fato da história do desenvolvimento desta ciência. Inicialmente faremos uma explanação das teorias, do consumidor e da firma, relacionando alguns de seus conceitos e resultados com uma abordagem matemática destes, levando em consideração as contribuições de tais segmentos da teoria econômica para a compreensão do Equilíbrio Walrasiano. Explicitaremos a formulação lógica e teórica do Equilíbrio Walrasiano, e a sua definição em linguagem matemática e o exemplificaremos com a caixa de Edgeworth. Em seguida demonstraremos a Lei de Walras, e também a existência e unicidade do Equilíbrio Walrasiano. Em seguida levantaremos algumas considerações importantes abrangendo as implicações deste resultado e sua formulação matemática para a teoria econômica, e de algumas críticas relevantes. Por fim, concluímos que a linguagem matemática representa uma grande contribuição para compreensão do pensamento teórica econômico, e que, quando manuseada com esclarecimento é capaz de lançar luz a questões extremamente pertinentes de uma teoria. A teoria do Consumidor Introdução Esta consiste na seção da teoria econômica que se dedica a explicar e estudar o comportamento dos indivíduos em e um sistema econômico, fazendo parte da abordagem microeconômica. Seu ponto de partida habitual é o postulado de “racionalidade”, segundo o qual todo consumidor guia suas ações no sentido de maximizar sua satisfação, através do consumo de mercadorias postas a sua disposição no mercado. Este postulado implica a existência de uma consciência das alternativas a sua disposição e uma capacidade para avaliálas. O termo racionalidade aqui tem o conceito de comportamento individualista, hedonista e maximizador apresentado a teoria pelos autores utilitaristas. A função utilidade Esta seria a forma de representação do grau de satisfação que o consumidor atribui ao consumo das várias quantidades de determinada mercadoria. O conceito de utilidade esta desprovido de conotação sensorial. A teoria econômica neoclássica formulada por economistas no final do século XIX, estabelece que cada consumidor possua uma função utilidade pessoal a qual usa para estabelecer uma relação cardinal de utilidade entre deferentes mercadorias, e compará-las quantitativamente. Esta é uma hipótese muito forte, assumir apenas que, diante de suas preferências o consumidor tem a capacidade de decidir entre um bem ou outro, estabelecendo assim uma relação ordinal de utilidade. Assim o postulado de racionalidade exige apensa que o consumidor seja capaz de alinha as mercadorias em uma ordem de preferências. A abordagem matemática Seja B um conjunto de bens econômicos disponíveis em um situação considerada.

Ex.: B = { ( x1 ,..., x n ) : x ∈ IR} onde cada xi corresponde a um bem em uma seqüência de bens datados. B = { ( x1 ,..., x n ) : x ∈ IR} onde cada xi corresponde a quantidade de uma substâncias em um alimento. Assim B pode ser IR n . Preferências e utilidade Def.1: Uma preferência  em B é uma preordem em B. Isto é,  é uma relação completa ou total em B ( subconjunto de BxB ) tal que: i.  é completa ou total : ∀x, y ∈B ou x  y ou y  x. ii.  é transitiva : ∀x, y , z ∈B se x  y e y  z então x  z. Perceba que x  y apenas significa que (x,y) ∈  . Perceba também que por i.  é reflexiva ( ∀ x ∈ B temos x  x) mas não é anti-simétrica , e que quando x  y ou y  x escrevemos apenas x~y. Def.2: Uma função de utilidade é uma função u, que associa a cada elemento x ∈ B um nível de satisfação u(x): u: B → IR Vejamos alguns exemplos de curvas de indiferença de uma função utilidade: B = IR 2+, u(x,x) = u ( x1 , x 2 ) = x1α ⋅ x12−α 0< α <1 onde x1 e x 2 sejam bens distintos, onde um não substitui o outro:

Na figura acima ilustradmos as curvas de indiferença do consumidor onde para os diferentes pontos de uma mesma curva ele irá conseguir o mesmo valor de utilidade, matematicamente temos as curvas de nível de u ( x1 , x 2 ) = c ∈ IR. Perceba que quanto mais para cima e para a direita a curva vai maior é a utilidade do consumidor, pois aumenta as quantidades possíveis de consumo. Do ponto de vista analítico a função utilidade é de muita valia, na descrição do comportamento de um consumidor. Agora precisamos definir quando uma dada função é uma função utilidade quando esta é capaz de representar a preferência de um consumidor. Para isso vamos a seguinte definição:

Def.3: Uma preferência  e uma utilidade u estão associadas quando, ou  que representa u ( neste caso denotamos  u ) ou que u representa  ( neste caso denotamos u  ) quando, para todo x e y: x  y ⇔u ( x ) ≥ u ( y )

Observe que para uma utilidade u, podemos definir trivialmente uma preferência  u representando u: x u y ⇔ u ( x ) ≥ u ( y )

Mas a recíproca não é verdadeira, pois nem sempre podemos definir uma preferência  a partir de uma utilidade u  . Para o nosso objetivo principal é importante contemplarmos algumas propriedades importantes das utilidades e preferências. Vamos supor que B ⊂ IR n , e que assim temos  ⊂ IR n × IR n . Def.4: i.