A Primeira E A Segunda Formas Fundamentais No Pseudo-

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A PRIMEIRA E A SEGUNDA FORMAS FUNDAMENTAIS NO PSEUDOESPAÇO DE LORENTZ MINKOWSKI E SUAS RELAÇÕES COM O ESPAÇO EUCLIDIANO. Silva, Ismael Teixeira (Ms)(1) Guadalupe, Irwen Valle (Dr.)(2) RESUMO Este trabalho tem por objetivo tecer comparações entre o cálculo da primeira e segunda forma fundamentais para superfícies no espaço tridimensional Euclidiano – R3, e no pseudo-espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski – L3. Palavras-chave Aplicação de Gauss , Formas fundamentais, Geometria diferencial, Lorentz-Minkowski. ABSTRACT The aim of this work is to compare the calculation between the first and second fundamental forms for the surfaces in the Euclidian tridimensional space – R3, and in the tridimensional pseudo-space of Lorentz-Minkowski – L3.

Keywords Differential geometry, Fundamental forms, Gauss Map, Lorentz-Minkowski.

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Docente do Centro Universitário de Lavras – Unilavras. Mestre em Matemática e Estatística pela Universidade Vale do Rio Verde – Unincor. Contato: [email protected] Professor orientador. Universidade Vale do Rio Verde – Unincor. Doutor (Livre Docente) em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas – Unicamp. Contato: [email protected], [email protected].

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1 INTRODUÇÃO Este trabalho tem por objetivo fazer um estudo comparativo da primeira e segunda formas fundamentais no espaço tridimensional euclidiano, R3 e no pseudo-espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski, L3. Este último tem sua importância nas aplicações em Física, onde sua maior expressão é na Teoria da Relatividade Especial de Albert Einstein, onde é mais comumente formulada. Nessa configuração as três dimensões usuais do espaço são combinadas com uma única dimensão de tempo para formar uma variedade quadridimensional para representar um espaço-tempo. Após definir o pseudo-espaço de Lorentz-Minkowski e apresentar vários conceitos importantes utilizados na geometria diferencial e a plicação normal de Gauss são determinados os coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais e sua aplicação na geometria de superfícies em R3 e em L3.

2 O ESPAÇO TRIDIMENSIONAL DE LORENTZ-MINKOWSKI – L3 Definição: Seja R3 = {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 Î R}, o espaço real tridimensional. Dados os vetores x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) em R3, definimos o pseudo-produto escalar de x e y por: áx, yñ 1 = – x1 y1 + x2 y2 + x3 y3. Milani, Shojaeifard (2006) apresentam o pseudo-produto escalar em L3 como áx, yñ 1 = x1 y1 + x2 y2 – x3 y3, porém, a mudança de posição do sinal (–) em nada modifica a geometria das superfícies geradas nesta métrica. Chamaremos (R3, áx, yñ 1) de pseudo-espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski e escreveremos L3 = R31 para denotar (R3, áx, yñ 1 ). Como o pseudo-produto escalar pode ser positivo, negativo ou nulo, este não pode ser, portanto, um produto interno. Seja v = (v1, v2, v3) Î L3. A forma quadrática áv, vñ 1 define, segundo Walrave (1995), o vetor como sendo tipo espaço, tempo ou luz. Definição: Seja v um vetor em um espaço L3. Dizemos que v é:

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a) Tipo espaço (spacelike), se áv, vñ 1 > 0. Exemplo: v = (2, 3, 1) áv, vñ 1 = –22 + 32 + 12 = 6 > 0. b) Tipo luz (lightlike), se áv, vñ1 = 0. Exemplo: v = (5, 3, 4) áv, vñ 1 = –52 + 32 + 42 = 0. c) Tipo tempo (timelike), se áv, vñ 1 < 0. Exemplo: v = (3, 2, 2) áv, vñ 1 = –32 + 22 + 22 = –1 < 0. O índice 1 em á,ñ1 indica um sinal negativo na assinatura da métrica, ou seja, enquanto a assinatura da métrica em R3 é (+, +, +), a assinatura de L3 é (–, +, +), para garantir dois vetores ortogonais tipo espaço e um vetor tipo tempo ortogonal aos dois primeiros na base ortonormal de L3. 2.1 Norma e base ortonormal Definição: Se v = (v1, v2, v3) Î L3, definimos a norma de v por:

Dois vetores u e v em L3 são ortogonais se áv, vñ 1 = 0 e um vetor u em L3 que verifica áu, uñ 1 = ±1 é chamado de vetor unitário. Definição: Uma base {v1, v2, v3} em L3 é chamada de base ortonormal se os vetores v1, v2 e v3 são mutuamente ortogonais. Corolário: Se v é um vetor tipo tempo em L3 e u ¹ 0 é ortogonal a v, então u é um vetor tipo espaço. 2.2 O produto vetorial no espaço L3. Definição: Seja u, v Î L3, define-se o produto vetorial de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), nesta ordem, como sendo o único vetor u Ù v Î L3 definido por:

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Onde {e1, e2, e3} é uma base ortonormal de L3. Por analogia às propriedades do produto vetorial em R3 definidas em Steinbruch, Winterle (1987), o produto vetorial em L3 verifica: i. u Ù v = – (v Ù u), u, v Î L3. ii. (au + bv) Ù w = (au Ù w) + (bv Ù w), a, b Î R. iii. u Ù v = 0 se, e somente se u, v são linearmente dependentes. iv. (u Ù v) Ù w = áv, wñ u – áu, wñ v 2.3 O produto misto no espaço L3. Rodrigues (2006) demonstra que o produto misto de três vetores u, v, w Î L3, onde u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) é dado por:

i.

áu, u Ù vñ 1 = áv, u Ù vñ 1 = 0

ii.

3 GEOMETRIA DIFERENCIAL DE SUPERFÍCIES TIPO ESPAÇO EM L3. Definição: Gray (1999) afirma que uma superfície regular é uma aplicação X : U Ì R2 ® M (M = R3 ou M = L3) de um conjunto aberto U Ì R2 para M tal que: i. X é diferenciável, isto é, se escrevermos X(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v) Ì U, as funções x(u,v), y(u,v), z(u,v) possuem derivadas parciais contínuas de todas as ordens em U.

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ii. Para cada ponto q Î U a diferencial dX(q) : R2 ® M é um-a-um (condição de regularidade). A aplicação X é chamada parametrização e as variáveis u e v são chamadas de parâmetros da superfície X. O conjunto imagem S = X(u,v) Ì M é chamado traço de X. Definição: Seja X : U Ì R2 ® M uma superfície parametrizada, então, fixando-se q = (u0, v0) Î U, as curvas u ® X(u, v0) e v ® X(u0, v) são chamadas curvas coordenadas de X em q (FIGURA 1). Esta curva tem em X(q) o vetor tangente ¶X/¶u = Xu, onde as derivadas são calculadas no ponto q = (u0, v0).

FIGURA 1 CURVAS COORDENADAS DE UMA SUPERFÍCIE REGULAR EM M. 3.1 O Plano tangente Definição: Seja X : U Ì R2 ® M uma superfície parametrizada. Um vetor w Î M é chamado vetor tangente a X em q = (u0, v0) se w = a’(t0), onde a(t) = X(u(t), v(t)) é uma curva da superfície, tal que (u(t0), v(t0)) = (u0, v0). Definição: O plano tangente a X em q = (u0, v0) é o conjunto de todos os vetores tangentes a X em q, obtidos como combinação linear de Xu(u0, v0) e Xv(u0, v0), denotado por TqX (FIGURA 2).

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FIGURA 2 PLANO TANGENTE A X EM Q = (U0, V0) Î X(U). Definição: Uma superfície X : U Ì R2 ® M é chamada superfície tipo espaço se o plano tangente em todo ponto é tipo espaço, isto é, áv, vñ1 > 0 para cada v Î TqX. Observação: Toda superfície clássica em R3 com a métrica euclidiana é tipo espaço. 3.2 O vetor normal unitário Seja X : U Ì R2 ® M uma superfície tipo espaço. Se Xu e Xv são vetores tipo espaço do plano tangente TqX, então existe uma única direção normal a este plano e portanto existem dois vetores unitários normais a X em q como sendo o vetor

Se o domínio da superfície X é um aberto U Ì R2 então, variando (u, v) Î U, temos uma aplicação diferenciável N : U® M, denominada aplicação normal de Gauss, definida por

Se M = R3, a imagem de N(u, v) está contida na esfera unitária S2(1), centrada na origem. Por outro lado, se M = L3, temos que áXu Ù Xv, Xuñ 1 = áXu Ù Xv, Xvñ 1 = 0, e assim, Xu Ù Xv, por definição anterior, é um vetor tipo tempo. O vetor normal à superfície é perpendicular ao plano tangente, Por conseqüência, o vetor normal unitário N(q) é um vetor tipo tempo de L3 cuja imagem está contida no pseudo-espaço hiperbólico definido por: H2(–1) = {(x, y, z) Î L3; –x2 + y2 + z2 = –1, x > 0}.

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3.3 A primeira forma fundamental Definição: Seja X : U Ì R2 ® M uma superfície tipo espaço. A forma quadrática Iq : TqX ® R dada por v ® Iq = áv, vñ = || v ||2 > 0 v Î TqX é chamada primeira forma fundamental da superfície regular X Ì M em q Î X, denotada por Iq. Expressa-se a primeira forma fundamental na base {Xu,Xv} associada à parametrização X(u,v) em q=(u0, v0).Visto que um vetor tangente

α(t)=X(u(t),v(t)), t Î I = (–x, x), com

q=(u0,v0), temos: Iq=áα’(t₀), α’(t₀)ñ q Iq = áXuu’+Xvv’, Xuu’ + Xvv’ñ q Iq = áXu, Xuñ q (u’)2 + 2áXu, Xvñ q u’v’ + áXv, Xvñ q (v’)2 Iq = E(u’)2 + 2Fu’v’ + G(v’)2 onde, E(u0, v0) = áXu, Xuñ q F(u0, v0) = áXu, Xvñ q G(u0, v0) = áXv, Xvñ q são os coeficientes da primeira forma fundamental. De outra forma, seja v Î Tq tal que v = aXu(q) + bXv(q), onde a, b, Î R. Logo, Iq=áv, vñ q = áaXu(q) + bXv(q), aXu(q) + bXv(q)ñ q Iq = a2áXu, Xuñ q + 2abáXu, Xvñ q + b2áXv, Xvñ Iq = a2 Eq + 2abFq + b2G em que E, F e G, coeficientes da primeira forma fundamental, são funções das variáveis u e v e possuem, de acordo com Tenenblat(1990), as seguintes propriedades: E(u, v) > 0 e G(u, v) > 0, para todo (u, v), pois os vetores tangentes Xu e Xv são não nulos.

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i. E(u, v) G(u, v) – F2 (u, v) > 0. De fato, como || Xu Ù Xv ||2 + áXu, Xvñ 2 = || Xu ||2 || Xv ||2, temos que EG – F2 = || Xu ||2 || Xv ||2 – áXu, Xvñ 2 = || Xu Ù Xv ||2 > 0 Se M = L3, aplicando a propriedade (ii) do produto misto em L3, temos:

áu Ù v, u Ù v ñ = áXu, Xvñ 2 – áXu, XuñáXv, Xvñ = F2 – EG Porém, como Xux Xv é tipo tempo, temos: –(áXu, Xvñ 2 – áXu, XuñáXv, Xvñ) = áXu, Xvñ 2 – áXu, XuñáXv, Xvñ = EG – F2 > 0. Logo, para qualquer superfície tipo espaço em M = R3 ou M = L3, a forma quadrática EG – F2 = || Xu Ù Xv ||2 > 0. Caso EG – F2 £ 0, a superfície não é tipo espaço e é denominada superfície Lorentziana (VAN DE WOESTIJNE, 1990). Geometricamente, a primeira forma fundamental se apresenta como ferramenta para se calcular medidas sobre a superfície – comprimento de curvas, ângulos de vetores tangentes e áreas de regiões – sem fazer menção ao espaço ambiente que esta se encontra (TENENBLAT, 1990).

4 APLICAÇÃO NORMAL DE GAUSS E A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL Definição: Seja X : U Ì R2 ® M (M = R3 ou M = L3) uma superfície tipo espaço de M. O sinal e da superfície X é: +1, se áN, Nñ = 1 –1, se áN, Nñ = –1 4.1 A geometria da aplicação normal de Gauss

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Definição: Seja X(u, v) uma superfície tipo espaço de M (M = R3 ou M = L3) orientada pelo vetor unitário normal N. Se X(u, v) tem sinal e, isto é, sinaláN, Nñ = e, as superfícies X(u, v) são dadas por: X(u, v) = S2(1), se e = 1 X(u, v) = H2(–1), se e = –1 onde S2(1) é a esfera unitária e H2(–1) o pseudo-espaço hiperbólico. A aplicação N : U Ì R2 ® M é chamada aplicação normal de Gauss de X(u, v), onde a diferencial dNq de N em q Î U é uma aplicação linear de TqX em TN(q)M. Como TqX e TN(q)M são os mesmos espaços vetoriais, dNq pode ser obtida como uma aplicação linear. A diferencial dNq = TqX ® TqX da aplicação de Gauss é uma aplicação linear autoadjunta, em particular, dNq(xu) = Nu e dNq(xv) = Nv. Logo, áNu, xvñ = áxu, Nuñ o que equivale a dizer que áNu, xvñ = –áN, xuvñ = áNv xuñ O fato de dNq : TqX ® TqX ser uma aplicação linear auto-adjunta nos permite associar a dNq uma forma quadrática Q em TqX dada por Q(v) = ádNq(v), vñ, v Î TqX. Definição: A forma quadrática IIq = á–dNq(v), vñ É chamada segunda forma fundamental da superfície tipo espaço X(u, v) em q. Seja X(u, v) uma parametrização em um ponto q Î U de uma superfície tipo espaço X, e seja a curva a(t) = X(u(t), v(t)) uma curva parametrizada em X, com q = (u(0), v(0)). Para simplificar a notação, convecionaremos que todas as funções que aparecem abaixo indicam seus valores no ponto q. O vetor tangente a α(t) em q é α’=Xuu’ + Xvv’ e dN(α’) = N’(u(t), v(t)) = Nuu’+ Nvv’. Portanto, a expressão da segunda forma fundamental na base {Xu ,Xv} é dada por: IIq(α’) = á–dN(α’),α’ñ = –ádN(α’),α’ñ IIq(α’) = –áNuu’+ Nvv’, Xuu’+ Xvv’ñ IIq(α’) = áNu, Xuñ(u’)2 + (áNu, Xvñ + áNv, Xuñ)u’v’ + áNv, Xvñ(v’)2 Sendo áN, Xuñ = áN, Xvñ = 0, temos:

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e = –áNu, Xuñ = áN, Xuuñ f = –áNu, Xvñ = áN, Xuvñ = áN, Xvuñ = –áNv, Xuñ g = –áNv, Xvñ = áN, Xvvñ portanto, obtemos: IIq(α′)=e(u’)2 + 2fu’v’ + g(v’)2 onde e, f e g são chamados de coeficientes da segunda forma fundamental da superfície parametrizada X(u,v). De modo mais simples, pode-se escrever os coeficientes da segunda forma fundamental em função de outros parâmetros: e = –áNu, Xuñ = áN, Xuuñ

mas, se || Xu Ù Xv ||2 = EG – F2, temos que:

Verifica-se que a segunda forma fundamental independe da curva escolhida. Seja v = aXu(u0, v0) + bXv(u0, v0), e considere uma curva qualquer a(t) = X(u(t), v(t)) Ì X(u, v) tal que q = (u(t0), v(t0)) e a’(t) = v, isto é, (u(t0), v(t0)) = (u0, v0) = (u’(t0), v’(t0)) = (a, b). Como a’(t) = u’(t)Xu(u(t), v(t)) + v’(t)Xv(u(t), v(t)) e a”(t) = u”(t)Xu(u(t), v(t)) + (u’(t)2Xuu(u(t), v(t)) + 2u’(t)v’(t)Xuv(u(t), v(t)) + (v’(t)2Xvv(u(t)) + v”(t)Xv(u(t), v(t)), temos que IIq = áa”(t 0), N(uo, v0)ñ IIq = (a2áXuu, Nñ + 2abáXuv, Nñ + b2áXvv, Nñ) onde esta última expressão não depende da curva a(t).

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Utilizando-se as expressões dos coeficientes e, f e g retro-mencionadas, podemos escrever: IIq = a2e + 2abf + b2g 4.2 Exemplos de aplicações A) O catenóide em R3 A superfície obtida pela revolução da curva catenária em torno do eixo Ox, denominada catenóide (FIGURA 3), pode ser dada em R3, segundo Do Carmo (2005) pela parametrização: X(u, v) = (u, cosh(u)cos(v), cosh(u)sen(v))

FIGURA 3 CATENÓIDE EM R3 E SUAS PROJEÇÕES. i) Derivadas de ordem superior: Xu = (1, –cosh(u)cos(v), senh(u)sen(v)) Xv = (0, –cosh(u)sen(v),cosh(u)cos(v)) Xuu = (0, cosh(u)cos(v), cosh(u)sen(v)) Xvv = (0, –cosh(u)cos(v), –cosh(u)sen(v)) Xuv = (0, –senh(u)sen(v),senh(u)cos(v)) ii) I forma fundamental: E = áXu, Xuñ = 1 + senh2(u)cos2(v) + sinh2(u)sen2(v) = 1 + senh2(u) E = cosh2(u) F = áXu, Xvñ = senh(u)cos(v)cosh(u)sen(v) – senh(u)cos(v)cosh(u)sen(v)

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F=0 G = áXu, Xuñ = 0 + cosh2(u)sen2(v) + cosh2(u)cos2(v) G = cosh2(u) Iq = a2E + 2abF + b2G Iq = a2 cosh2(u) + 2ab×0 + b2 cosh2(u) Iq = (a2 + b2) cosh2(u), a,b Î R. iii) II forma fundamental EG – F2 = cosh2(u)cosh2(u) – 0 = cosh4(u)

e = –1

f=0

g=1 IIq = a2e + 2abf + b2g IIq = a2(–1) + 2ab×0 + b2 ×1 IIq = b2 – a2, a,b Î R.

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B) O catenóide em L3 O catenóide de primeiro tipo em L3 (FIGURA 4), também denominado por Yang, Kim (2006) catenóide elítico, é obtido pela rotação da catenária em torno de um eixo tipo tempo. Pode ser parametrizado, segundo Van de Woestijne (1990) como: X(u, v) = (u, –sen(v)senh(u), cos(v)senh(u))

FIGURA 4 CATENÓIDE DE PRIMEIRO TIPO EM L3 E SUAS PROJEÇÕES. i) Derivadas de ordem superior: Xu = (1, –sin(v)cosh(u), cos(v)cosh(u)) Xuu = (0, –sin(v)sinh(u), cos(v)sinh(u)) Xv = (0, –sinh(u)cos(v), –sinh(u)sin(v)) Xvv = (0, sinh(u)sin(v), –sinh(u)cos(v)) Xuv = (0, –cosh(u)cos(v), –cosh(u)sin(v)) ii) I forma fundamental: E = áXu, Xuñ1 = –1 + sen2(v)cosh2(u) + cos2(v)cosh2(u) = –1 + cosh2(u) E = senh2(u) F = áXu, Xvñ 1 = sen(v)cosh(u)senh(u)cos(v) – sen(v)cosh(u)senh(u)cos(v) F=0 G = áXv, Xvñ1 = –0 + senh2(u)cos2(v) + sen2(v)senh2(u) G = senh2(u) Iq = a2E + 2abF + b2G

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Iq = a2 si\enh2(u) + 2ab×0 + b2 senh2(u) Iq = (a2 + b2)senh2(u), a,b Î R. iii) II forma fundamental EG – F2 = senh2(u)senh2(u) – 0 = senh4(u)

e = –1

f=0

g=1 IIq = a2e + 2abf + b2g IIq = a2(–1) + 2ab×0 + b2 ×1 IIq = b2 – a2, a,b Î R. C) O helicóide em R3 Considere uma hélice cilíndrica dada por a(t) = (acos(t), asen(t), bt), t Î R, a > 0 e b¹0. Por cada ponto da hélice pode-se traçar uma reta paralela ao plano xy e que intersecta o eixo Oz.

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A superfície gerada por essas retas, que muito se assemelha a uma escada em espiral é denominada helicóide (FIGURA 5) ou, segundo Picado (2006), um helicóide é a superfície descrita por uma hélice de avião quando este se move em linha reta com velocidade constante. É uma superfície regrada obtida pela isometria do catenóide, cuja parametrização pode ser dada segundo Do Carmo (2005) por: X(u, v) = (senh(u)cos(v), senh(u)sen(v), v)

FIGURA 5 HELICÓIDE EM R3 E SUAS PROJEÇÕES. i) I forma fundamental: E = cosh2(u); F = 0; G = cosh2(u) Iq = (a2 + b2)cosh2(u), a,b Î R. Comparando os resultados obtidos acima com aqueles obtidos para o catenóide em R3, percebe-se que EC = EH = cosh2(u), FC = FH = 0 e GC = GH = cosh2(u), caracterizando, então que as superfícies são localmente isométricas (FIGURA 6).

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FIGURA 6 DEFORMAÇÃO ISOMÉTRICA DO CATENÓIDE EM HELICÓIDE NA MÉTRICA R3. ii) II forma fundamental: e = 0; f = –1; g = 0 IIq = –2ab, a,b Î R. D) O helicóide de primeiro tipo em L3 Superfície conjugada ao catenóide de primeiro tipo em L3 (FIGURA 7), o helicóide de primeiro tipo, ou helicóide elítico é uma superfície regrada cuja parametrização pode ser dada, segundo Van de Woestijne (1990) por: X(u, v) = (–v, –cosh(u)cos(v), –cosh(u)sen(v))

FIGURA 7 HELICÓIDE DE PRIMEIRO TIPO EM L3 E SUAS PROJEÇÕES. i) I forma fundamental E = s=senh2(u); F = 0; G = senh2(u) Iq = (a2 + b2)senh2(u), a, b Î R. Comparando os resultados obtidos para o catenóide e helicóide de primeiro tipo em L3, percebe-se que a isometria entre o catenóide e o helicóide em L3 também acontece (FIGURA 8).

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FIGURA 8 DEFORMAÇÃO ISOMÉTRICA DO CATENÓIDE DE PRIMEIRO TIPO EM HELICÓIDE DE PRIMEIRO TIPO EM L3 ii) II forma fundamental e = 0; f = 1; g = 0 IIq = 2ab, a, b Î R. 5 CONCLUSÃO A mudança na métrica acarreta uma completa modificação na geometria das superfícies. Pôde-se perceber que o pseudo-produto escalar em L3 resulta nas modificações significativas da métrica, o que por sua vez resulta nas diferenças observadas na geometria das superfícies em R3 e L3. Dentre as diferenças mais significativas, observa-se que o catenóide em R3 não possui pontos de singularidade, o que não ocorre com a superfície equivalente em L3 conforme se vê nas figuras 3 e 4. Quanto ao helicóide, percebe-se que em R3, este é construído regrando-se a a reta paralela ao plano xy ao longo do eixo Oz, enquanto que em L3, a reta é regrada entre dois cilindros concêntricos de diâmetros diferentes, determinando um “furo” no centro da superfície, como se vê nas figuras 5 e 7. Uma outra conclusão importante é a manutenção da isometria entre o catenóide e o helicóide no pseudo-espaço L3, representadas nas figuras 6 e 8.

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Com o desenvolvimento da aplicação normal de Gauss, verificou-se que a forma de calculá-la não difere de R3 para L3, porém, as diferenças nos coeficientes da primeira e segunda formas fundamentais, conseqüência da alteração na geometria das superfícies, faz com que apresentem diferentes resultados que vão refletir diretamente em outras de suas propriedades geométricas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DO CARMO, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. 1ª. edição. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2005, 610 p. GRAY, A. Modern Differential geometry of curves and surfaces with MathematicaÒ. 2nd edition. New York (USA): CRC Press, 1999, 1053p. MILANI, V.; SHOJAEIFARD, A.

A new classification of surfaces of revolution in 3-

dimensional Minkowski Space. Transaction of the American Mathematical Society. 3-July 2006:1-11, 2006. PICADO, J. Apontamentos de Geometria Diferencial. Apostila. Coimbra(Pt): Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra, 2003, 192p. RODRIGUES, A. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies Tipo Espaço em L3. 2006. 71 f. Dissertação (Mestrado em Matemática e Estatística) - Universidade Vale do Rio Verde Unincor, Três Corações (MG). STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2ª. edição. São Paulo: Editora Mc Graw-Hill, 1987, 302 p. TENENBLAT, K. Introdução à Geometria Diferencial. 1ª. reimpressão. Brasília: Editora UnB, 1990, 278 p.

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WALRAVE, J. Curves and surfaces in Minkowski Space. Thesis (Doctorate). 1995. 112f. K. U. Leuven (Belgium), Faculteit Der Wetenschappen. YANG, S.D; KIM, Y.W. A family of maximal surfaces in Lorentz-Minkowski three space. American Mathematical Society, v. 134, n. 11, p. 3379-3390, November 2006.