A Lea To Ire 1

  • November 2019
  • PDF

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  • Words: 6,075
  • Pages: 21




































































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Ω = [0, 1].

{1, . . . , n}. Ω = {0, 1}n . n









Ω = {0, 1}.

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∅∈A 

 

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A.  

 















{Ai }i∈I 



  













A ∈ A ⇒ Ac ∈ A S i∈I Ai ∈ A

Ω A







Ω = [0, 1].

A

A =]3/4, 1]. ω(i) ≥ n/2}. i=1

A = {ω ∈ Ω :

Pn Ω = {0, 1}n .

A = {0}. Ω = {0, 1}.

Ω. A



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A = P(Ω) = {∅, {0}, {0}, {0, 0} . . . Ω}. -

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A = {∅, {0, 0}, {1, 1}, Ω}.











 



 

  



 





[0, 1], R, Rd P(Ω) Ω

Ω P(Ω) •



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Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j.











P(Ai ) i

P(∪i Ai ) =

P P(Ω) = 1.







P : A 7→ [0, 1]

A

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ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω, p(ω) = p

P







  









. ωi i

P n− i ωi

Ω = {0, 1}n . n











Ω = {0, 1}.

p(1) = 1 − p(0) = p

p(ω). P(A) =

X

A⊂Ω: {p(ω) = P({ω}), ω ∈ Ω.}









⇔ •Ω

1 0/

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p(x)dx. P(A) =







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R •

p(x)dx = 1. Rd

Z

B Rd

p : Rd 7→ R+ R

Rd , B Rd •

Rd . R

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:= 0 sinon .



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1D (x) := 1 si x ∈ D

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p(x) = (Vol(D))−1 1D (x),

 











T P(A) =







D P

D ⊂ Rd

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A







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i





 

 





Ai ) = limi→∞ P(Ai ) P(

\

Ai+1 ⊂ Ai , (Ai )

Ai ) = limi→∞ P(Ai )









i

[ P(

i

i











P(







P(Ac ) = 1 − P(A)

P(Ai ) Ai ) ≤

X [

(Ai )

Ai ⊂ Ai+1 , (Ai )

A⊂B P(A) ≤ P(B)

(Ω, A) P

1 0/

.



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4



  



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PX (I) = P(X −1 (I)) := P({X ∈ I}).





 

  

 













X −1 (I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} := {X ∈ I}

 







 















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X : Ω 7→ Rd













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X : Ω 7→ R

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i.e ∈ A.

X •

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(Ω, A, P) •

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PXi (1) = p = 1 − PXi (0).











 

&

Xn (ω1 , . . . , ωn , . . .) = ωn







PX (x) = P(X = x), x ∈ E.

 















p= p, Xn :

Xn : Ω→{0, 1} n

Ω = {0, 1}n n •

X E X

5

2 1

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Sn :

i=1

Xi . n, p.

PSn (k) = P(ω ∈ Ω : = card(ω ∈ Ω :

X i

n X

ωi = k)

i=1

ωi = k)pk (1 − p)n−k

= Cnk pk (1 − p)n−k . )

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T = inf{k ≥ 1 : Xk = 1} ∈ {1, . . . , n} ∪ {∞}





T :

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PT (k) = P(ω ∈ Ω : ω1 = . . . ωk−1 = 0, ωk = 1) = (1 − p)k−1 p, PT (∞) = (1 − p)n .























Sn =

Pn

5

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1

1

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T = inf{k ≥ 1 : Xk = 1}. -



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{T = ∞} "

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{T < ∞}

p. T :

Ω = {0, 1}N∗ •

PT (k) = P(ω ∈ Ω : ω1 = . . . ωk−1 = 0, ωk = 1) = (1 − p)k−1 p. P(T > n) = (1 − p)n \ P(T = ∞) = P( {T > n}) = limn→∞ P({T > n}) = 0. n

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P(X ∈]a, b]) = FX (b) − FX (a).





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• limx→−∞ FX (x) = 0, limx→+∞ FX (x) = 1

























 







 

&

FX : R 7→ [0, 1], FX (x) = P(X ≤ x)

 











a




• FX

X R X

2 

1

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pX (x) = xe−x 1]0,∞[ (x)



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8 7 6 5 4 3 2







X





X • PX

1 0

pX (u)du −∞

pX ⇔ FX (x) =

Rx

2 

1

1 0/

.

 -,

4



  



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3

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pX (x) = λe−λx 1]0,∞[ (x)



 

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1 1[a,b] (x) . pX (x) = b−a



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P(X ∈ [x, x + dx[) ' pX (x)dx

 











λ>0 •





x2 1 pX (x) = √ exp − . 2 2π •

]a, b[ [a, b] •

PX (X = x) = 0 X

+

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P [X ≤ x] = P [F −1 (U ) ≤ x] = P [U ≤ F (x)] = F (x)







  



 

 5



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F −1 (u) = min{x ∈ R : F (x) ≥ u} ,

 











  

 





 

  







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F X := F −1 (U )







F −1 :]0, 1[→ R

F X

  



U −→

1 0/

.





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4



  



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12











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−1 FX (U ) = −λ−1 ln(1 − U ) =loi −λ−1 ln U

 











  





λ FX (x) = 1 − exp{−λx}





    



x≥0 FX (x) = (x − a)/(b − a) , x ∈ [a, b] •

]a, b[ • X = a + (b − a)U

1 0/

.





-,

4



  



5

5

3

12

5



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