A E Aluno Apostila Prof

1) Revisão Matemática

a) Potenciação: É a expressão an , onde a variável a (um número real) é conhecida como base e n (um número inteiro ou uma fração) é o expoente. Propriedades principais da potenciação: a0 = 1 a-n = 1/an an+m = an x am (a x b)n = an x bn (a ÷ b)n = an ÷ bn (an)m = an x m

b) Radiciação: É a expressão n a lida como raiz enésima de a. Propriedades principais da radiciação: n n n

a = a1/n a m = am/n a x n b =

n

axb = (a x b)1/n

c) Função Logarítmica: Quando possuímos dois números, como 4 e 16, que podem ser relacionados entre si pela expressão 42 = 16, definimos o expoente 2 como o logaritmo na base 4 de 16, enunciado pela expressão log4 16 = 2. Propriedades principais do logaritmo: log (a x b) = (log a) + (log b) log (a ÷ b) = (log a) – (log b) log ab = b (log a)

d) Progressão Aritmética: Uma seqüência de números está em progressão aritmética (PA) quando cada número puder ser obtido a partir do número anterior somado a um valor constante. Traduzido pela equação: número = (número anterior) + (valor constante) Principais expressões da PA: an = a1 + (n-1)r expressão do termo genérico da PA Sn = [(a1 + an) x n] ÷ 2 expressão da soma dos termos de uma PA

e) Progressão Geométrica: Uma seqüência de números está em progressão geométrica (PG) quando cada número puder ser obtido a partir do número anterior multiplicado por um valor constante. Traduzido pela equação: número = (número anterior) x (valor constante) Principais expressões da PG: an = a1 x qn-1 expressão do termo genérico da PG n Sn = [a1 x (q - 1)] ÷ (q – 1) expressão da soma dos termos de uma PG f) Representação Percentual: Quando desejamos representar um número decimal na forma percentual deve multiplicá-lo por cem (100) e acrescentar o símbolo da porcentagem (%). Assim, considerando a um número representado na forma decimal, temos a expressão: a = (a x 100) % Da mesma forma, se temos um número representado na forma percentual, e desejamos representá-lo na forma decimal, devemos dividi-lo por cem (100).

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2) Principais teclas e funções da HP 12-C a) Ligar e desligar a calculadora: ON A HP está preparada para trabalhar com a vírgula(,) ou com o ponto(.) como separadores de casa decimal. Quando desejar alterar o separador de casa decimal de ponto para vírgula (ou vice-versa), mantenha a tecla . apertada antes de ligar a calculadora. b) Acessar funções descritas em amarelo acima da tecla: f Quando desejar acessar uma função descrita em amarelo (função AMORT, por exemplo) tecle f (antes de apertar a tecla n). A tecla f serve também para definir o número de casas decimais que desejamos que nos seja mostrado no visor da calculadora. Se digitarmos, por exemplo, f 4 a calculadora apresentará no visor os valores arredondados para 4 casas decimais. c) Acessar a função em azul descritas na parte inferior da tecla: g Quando desejar acessar uma função descrita em azul (função LN, por exemplo) tecle g (antes de apertar a tecla %T). d) Entrar com um valor para armazenamento na máquina: ENTER A calculadora HP trabalha, na realização de operações aritméticas, no sistema conhecido como Notação Polonesa. Neste sistema de operação entra-se, inicialmente, com os valores a serem operados e em seguida com a operação aritmética desejada. Para “guardar” os números informados a calculadora se utiliza de quatro registradores (áreas de armazenamento) chamados de X, Y, Z e T. Se desejarmos, por exemplo, operarmos os números “a” e “b” deveremos entrar na calculadora com a seguinte seqüência: digitar o primeiro número  a (informação no registrador X) armazenar o valor digitado ENTER (passa a informação para Y) digitar o segundo número  b (informação no registrador X) entrar c/ a operação  operador aritmético (opera o conteúdo de X com o conteúdo de Y e coloca o resultado no registrador X).

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e) Trocar o sinal de um número no visor: CHS A função CHS transforma um número positivo em negativo e vice-versa. f) Operadores aritméticos: + - x ÷ Utilizados nas operações de soma, subtração, multiplicação e divisão respectivamente Exemplo: Calcular 2 + 3 Seqüência na HP T 2 ENTER 0 3 0 0 0 0

Registradores X Y Z

Visor 2 2

2 2 3

+ 0

0 2 3

5

0 0 2 5

0

g) Zerar a informação no visor: CLX Limpa o conteúdo do registrador X (informação mostrada no visor). Seqüência na HP Visor 2 2 CLX 0 h) Zerar o conteúdo dos registradores: f REG Limpa o conteúdo dos registradores X, Y, Z e T (função em amarelo na tecla CLX). i) Potenciação: yx Utilizado na operação de potenciação. Exemplo: Calcular 32 Registradores Seqüência na HP 3 ENTER 0 2 0 0 0 0

Visor

X 3 3

Y 3 3

2 y 0

x

9

4

Z 0 3 2

T 0 0 3 9

0

j) Inverso de um número: 1/x Apura o valor de um dividido pelo número informado. Exemplo: Calcular 1/5. . Seqüência na HP 5 1/x

Visor 1 0,20

k) Porcentagem: % Calcula o valor do percentual aplicado sobre determinado valor. Exemplo: Calcular 20% de 200. Seqüência na HP 200 ENTER 20 %

Visor 200 200 20 40

l) Diferença Percentual:..∆% Calcula a variação (percentual de acréscimo ou decréscimo) entre dois números. Exemplo: Calcular a variação percentual entre R$ 5.000,00 e R$ 10.000,00. Seqüência na HP Visor 5000 5000 ENTER 5000 10000 10000 % 100 (significa uma variação de 100%) m) Porcentagem do Total: %T Calcula a participação percentual de uma parcela em um valor total. Exemplo: Calcular a participação percentual de um sócio que possua R$ 7.500,00 do capital total de R$ 15.000,00 de uma pequena empresa. Seqüência na HP Visor 15000 15000 ENTER 15000 5

7500 %T

7500 50,00

(significa participação de 50%)

n) Função Logarítmica: LN Calcula o logaritmo de um número (função em azul na tecla de %T). Exemplo: Calcular o log de 25000 Seqüência na HP 25000 ENTER g LN

Visor 25000 25000 10,13

o) Função Calendário: M.DY

D.MY

∆DYS

DATE

A função calendário permite obter as seguintes informações: . número de dias transcorridos entre duas data (função ∆DYS) . nova data (inclusive com o dia da semana) transcorridos um número determinados de dias a partir de uma data informada (função DATE) A calculadora permite você informar as datas no formato dia/mês/ano ou mês/dia/ano. Se você desejar trabalhar no formato mês/dia/ano tecle a função M.DY. Se desejar trabalhar no formato dia/mês/ano tecle a função D.MY e, nesse caso aparecerá no visor a indicação D.MY. Exemplo: Uma aplicação iniciada em 05 de maio de 1999 teve seu resgate efetuado em 22 de setembro de 1999. Qual o prazo da aplicação em dias? Seqüência na HP Visor g D.MY D.MY preparar formato dia/mês/ano 05.051999 05.051999 entrar com data (dia.mêsano)ENTER 5,051999 com 6 casas decimais 22.091999 22.091999 entrar com data (dia.mêsano)g ∆DYS 140 140 dias entre as datas Exemplo: Uma aplicação iniciada em 05 de maio de 1999 será resgatada em 180 dias. Qual a data de seu resgate? Seqüência na HP Visor g D.MY D.MY preparar formato dia/mês/ano

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05.051999 05.051999 entrar com data (dia.mêsano)ENTER 5,051999 com 6 casas decimais 180 180,00 entrar com número de dias g DATE 1.11.1999 1 a data é 01/11/99, 2a feira (1)

p) Zerar o conteúdo de todos os registradores financeiros:

..f FIN

Limpa o conteúdo dos registradores financeiros (por exemplo PV, n, e CFj) utilizados pela calculadora nos cálculos financeiros. q) Trocar o conteúdo dos registradores:

..X⇔Y

Troca o conteúdo do registrador X com o conteúdo do registrador Y. r) Armazenar dados em memória auxiliar: STO A HP12-c permitir utilizarmos 20 endereços como áreas de armazenamento do conteúdo do registrador X. Estes endereços são identificados de 0 a 9 e de .0 a .9 . Quando utilizamos o comando STO seguido de um dos 20 endereços válido o conteúdo do registrador X é armazenado para futuro acesso. O comando f REG limpa o conteúdo de todos os endereços de memória auxiliar. s) Chamada de um dado armazenado: RCL Quando desejarmos operar com um valor anteriormente armazenado utilizamos o comando RCL seguido do número correspondente ao endereço desejado. Exemplo: Guardar a informação atualmente no visor da HP no endereço .9 e recupera-lo em seguida. Seqüência na HP Visor 3250 3250 valor do conteúdo do registrador X STO .9 3250 armazena em .9 o valor 3250 CLX 0,00 limpa o conteúdo do registrador X RCL .9 3250 restaura em X o valor armazenado no endereço .9

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t) Exercícios: 1. Representar os seguinte números na forma percentual: a) 0,005 b) 0,15 c) 3,18 d) 1,00 2.

Efetue:

a) (2 + 4,378)5 b) 12,6 + 2,5683 - 14 - 0,722 d) ((2,143 + 7,002) x (14,284 - 7,204)) / 2,748

c) 23/5

3. Um objeto que estava sendo vendido a R$ 2.50,00 foi majorado em 20%. Qual o seu novo preço? 4. Um título em abril de 98 era cotado a R$ 1.120,072. Qual sua cotação em maio de 98 se seu aumento foi de 2,5%? 5. A remuneração de um operário no mês era de R$ 723,00. Qual será sua nova remuneração se for corrigida por um índice de 11,75% e se sobre este montante incidir um percentual de 2,15% a título de produtividade? 6. Qual o percentual de aumento dado a um funcionário cujo salário passou de R$ 822,00 para R$ 865,16? 7. Os investidores A, B e C possuem o capital total de uma empresa, sabendo que cada um possui respectivamente R$ 32.400,00, R$ 93.000,00 e R$ 161.378,00. Qual a participação percentual de cada investidor? 8. Qual o preço de venda de um produto adquirido por R$42,20 se o lucro desejado é de 14%? 9. Um dólar ($) custa R$1,24 e custava a um ano R$ 0,94. Qual sua variação percentual no período? 10. Qual a evolução anual de uma empresa que faturou R$120.000,00, R$142.348,00 e R$ 157.222,00, respectivamente, nos últimos 3 anos? Qual sua variação considerando 2 anos (primeiro e terceiro anos)?

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3) Conceitos Básicos e Terminologia Preliminar A Matemática Financeira tem como objetivo básico estudar e equacionar o problema da variação ou evolução das unidades monetárias(dinheiro) no tempo.

Capital Inicial, Valor Presente ou Principal (C): é a quantidade monetária inicial envolvida em uma transação financeira.

Juros (J): é a remuneração do Capital Inicial a qualquer título. É o rendimento monetário ( excetuando-se a correção monetária).

Taxa de Juros (i): fator que aplicado ao Capital Inicial determina o valor dos Juros. Pode ser expressa sob a forma decimal ou percentual e está sempre associada a uma unidade de tempo.

Prazo (n): espaço de tempo de uma aplicação. Número de períodos que a taxa incide sobre o capital.

Montante ou Valor Futuro (M): quantidade monetária resultante de uma aplicação financeira. O Capital Inicial acrescido do Juros.

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4) Regime de Juros Simples É o regime de capitalização segundo o qual os juros são calculado sempre sobre o capital inicial em todos os períodos. No regime de juros simples o valor dos juros é constante em cada período. Os juros formados em um período não rendem juros nos períodos seguintes.

a) Cálculo dos Juros:

J=Cxixn

No período 1: No período 2: No período 3: . . No período n:

J = Cxi J = Cxi +Cxi J =Cxix2 J = Cxi +Cxi+Cxi J = Cxix3 J = Cxixn

b) Cálculo do Montante: M = C (1 + i x n) M = C+ J M = C +Cxixn M = C (1 + i x n) Exemplo: Qual o montante acumulado em 5 meses por uma pessoa que aplicou sua reserva financeira de R$1.000,00 em uma aplicação que rende 10 % ao mês? MÊS

Valor no Início do Mês

Juros do Mês

Valor no Final do Mês

1

1.000,00

1.100,00

2

1.100,00

3

1.200,00

4

1.300,00

5

1.400,00

1000 x 0,10 = 100 1000 x 0,10 = 100 1000 x 0,10 = 100 1000 x 0,10 = 100 1000 x 0,10 = 100

M = C (1 + i x n) M = 1000 (1 + 0,10 x 5) M = 1.500,00

10

1.200,00 1.300,00 1.400,00 1.500,00

c) Cálculo do Capital Inicial:

C = M ÷ (1 + i x n)

M = C x (1 + i x n) d) Cálculo do Prazo:

C = M ÷ (1 + i x n)

n = (M – C) ÷ (C x i)

M = C x (1 + i x n) (M ÷ C) –1 = i x n (M – C) ÷ (C x i) = n e) Cálculo da Taxa de Juros:

  

M÷C = 1+ixn (M – C) ÷ C = i x n n = (M – C) ÷ (C x i)

i = (M – C) ÷ (C x n)

M = C x (1 + i x n) (M ÷ C) –1 = i x n (M – C) ÷ (C x n) = i

  

M÷C = 1+ixn (M – C) ÷ C = i x n i = (M – C) ÷ (C x n)

f) Cálculo dos Juros Bancários e do Montante usando as funções financeira da HP: Limpar os registradores financeiros  f FIN Registrar o capital inicial com sinal trocado  CHS PV Registrar a taxa de juros anual  i Registrar o prazo em número de dias  n Calcular os juros bancários (ano comercial)  f INT Calcular o montante  + g) Cálculo dos Juros Exatos e do Montante usando as funções financeira da HP: Limpar os registradores financeiros  f FIN Registrar o capital inicial com sinal trocado  CHS PV Registrar a taxa de juros anual  i Registrar o prazo em número de dias  n Calcular os juros bancários (ano comercial)  f INT Calcular os juros exatos (ano civil)  R↓ X⇔Y Calcular o montante  + h) Conceito de Juros Bancários e Juros Exatos

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Os juros bancários (comercial ou ordinário) são obtidos considerando-se o ano comercial de 360 dias (12 meses de 30 dias). Os juros exatos são obtidos considerando-se o ano civil de 365 dias. i) Exercícios sobre Juros Simples 1. Qual o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de R$ 1.000,00 com uma taxa de 24% a.a, no regime de juros simples? E se considerar-se uma taxa de 12% ao semestre? Idem para 6% ao trimestre e para 2% a.m.? 2. Qual o valor do juros de uma aplicação de R$ 30.000,00, durante 72 dias, à taxa de 14,3% a.m., no regime de capitalização simples considerando: a) o ano comercial b) o ano civil 3. Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 à taxa de 24% ao ano, durante 7 meses. 4. Um capital de R$ 150.000,00, aplicado durante 14 meses, rendeu juros de R$ 43.750,00. Determinar a taxa anual. 5. Durante 855 dias certo capital gerou o montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. 6. Em quanto tempo um capital de R$ 800.000,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia gera um montante de R$ 1.000.000,00? 7. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? 8. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ do seu valor? 9. Um tomador obtém um empréstimo de R$100.000,00 à taxa de juros simples de 150 % aa em um prazo de 6 meses. Quanto pagará na ocasião do resgate? 10. Para se obter um juros de R$ 13.500,00 em um período de 45 dias, à taxa de 12% a.m., qual será o capital necessário para a aplicação? 11. Uma empresa possui um compromisso em 10.10.1999 de R$ 490.000,00. Quanto deve aplicar hoje, sabendo que a taxa de mercado é de 120% aa? 12. Uma empresa aplicou R$ 2.000.000,00 no Open Market no dia 15.07.99 e resgatou essa aplicação no dia 21.07.99 por R$ 2.018.000,00. Qual foi a taxa de rendimento proporcionada por essa operação? 13. Certo cliente aplicou toda a sua poupança em uma operação pré-fixada a 180 % ao ano, em juros simples, por 18 meses. Em seguida resgatou e reaplicou a

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170 % ao ano, pelo mesmo regime de capitalização, por 9 meses. Sabendo-se que o saldo final é de R$ 470.000,00, pede-se o valor do capital inicial.

5) Desconto Bancário Desconto (D) é a diferença entre o valor futuro (S, valor nominal ou de resgate na data do vencimento) e o valor atual (P, valor na data da operação). O valor do desconto estará sempre associado a uma taxa de desconto(d). a) Cálculo do Desconto: D = S x d x n b) Cálculo do Valor Atual(ou Valor Presente):

P = S (1 - d x n)

P = S - D P = S - Sxdxn P = S (1 - d x n) Exemplo:

P=?

S = 2.000,00

n = 90 dias

d = 2,5% a.m

P = S (1 – d x n) P = 2.000 (1 – 0,025 x 3) P = 1.850,00 c) Cálculo do Valor Futuro:

S = P ÷ (1 - d x n)

P = S (1 - d x n) S = P ÷ (1 - d x n) d) Cálculo do Prazo:

n = (S – P) ÷ (S x d)

e) Cálculo da Taxa de Desconto:

d = (S – P) ÷ (S x n)

f) Cálculo do Desconto e do Valor Presente usando as funções financeira da HP: Limpar os registradores financeiros  f FIN Registrar o valor nominal c/ sinal trocado  CHS PV Registrar a taxa de desconto anual  i Registrar o prazo em número de dias  n

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Calcular o desconto bancário Calcular o valor presente

 f INT  -

g) Exercícios sobre Desconto Bancário 1. Descontei no banco uma duplicata no valor de R$ 48.000,00 vencível em 75 dias. O banco cobra 10% ao mês de desconto bancário. Calcular quanto recebi no dia da operação. 2. Qual foi a taxa mensal de juros efetivamente paga por mês na operação anterior? 3. Uma duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. 4. Calcular o valor do desconto de um título de R$ 100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% ao mês. 5. Sabendo-se que o desconto de uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, com 150 dias a vencer, gerou um crédito de R$ 22.075,00 na conta do cliente, determinar a taxa mensal de desconto. 6. Um título no valor de R$ 10.000,00 foi descontado a taxa de 2,5% ao mês, gerando um desconto de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a operação foi feita de acordo com o conceito de desconto bancário, calcular o prazo do título. 7. Determinar quanto dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00, que sofreu desconto bancário de R$ 548,80, à taxa de 32% ao ano. 8. Um titulo de R$ 240.000,00 foi descontado em um banco a uma taxa de desconto de 3% a. m sessenta dias antes de seu vencimento. Qual o valor pago ao portador. 9. Qual a taxa de juros obtida pelo capital emprestado no exercício anterior?

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6) Regime de Juros Compostos É o regime de capitalização segundo o qual os juros de um período são incorporados ao capital para o período seguinte. Os juros formados em um período rendem juros nos períodos seguintes. A taxa de juros incide sobre o montante do período anterior. a) Cálculo do Montante: M = C (1 + i )n M1 = C + J  M1 = C + C x i  M1 = C (1 + i) M2 = M1 (1 + i)  M2 = C (1 + i) (1 + i)  M2 = C (1 + i)2 M3 = M2 (1 + i)  M3 = C (1 + i)2 (1 + i)  M2 = C (1 + i)3 . . Mn = C (1 + i)n Exemplo: Qual o montante acumulado em 5 meses por uma pessoa que aplicou sua reserva financeira de R$1.000,00 em uma aplicação que rende 10 % ao mês? MÊS

Início do Mês

Juros do Mês

Final do Mês

1

1.000,00

1.100,00

2

1.100,00

3

1.210,00

4

1.331,00

5

1.464,10

1000,00 x 0,10 = 100,00 1100,00 x 0,10 = 110,00 1210,00 x 0,10 = 121,00 1331,00 x 0,10 = 131,10 1464,10 x 0,10 = 146,41

1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51

M = C (1 + i)n M = 1000 (1 + 0,10)5 M = 1.610,51 b) Cálculo dos Juros:

J = C [ (1 + i)n – 1]

J = M - C  J = C (1 + i)n – C  J = C [ (1 + i)n – 1] c) Cálculo do Capital Inicial:

C = M ÷ (1 + i)n

M = C x (1 + i)n



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C = M ÷ (1 + i)n

d) Cálculo do Prazo:

n = (Log M – Log C) ÷ Log (1 + i)

e) Cálculo da Taxa de Juros:

i = (M ÷ C)1/n - 1

Exemplo: Qual o montante de uma aplicação de R$15.000,00, pelo prazo de nove meses, à taxa de 2% ao mês? M = C (1 + i)n  M = 15000 (1 + 0,02)9  M = 17.926,39 f) Cálculo do Montante usando as funções financeira da HP-12C: Limpar os registradores financeiros Registrar o capital inicial com sinal trocado

 f FIN  CHS

Registrar a taxa de juros Registrar o prazo Calcular o montante

 i  <prazo> n  FV

PV

g) Cálculo do Capital Inicial usando as funções financeira da HP-12C: Limpar os registradores financeiros Registrar o montante com sinal trocado

 f FIN  <mon> CHS

Registrar a taxa de juros Registrar o prazo Calcular o capital inicial

 i  <prazo> n  PV

FV

h) Cálculo da Taxa de Juros compostos usando as funções financeira da HP-12C: Limpar os registradores financeiros  f FIN Registrar o capital inicial com sinal trocado  CHS PV Registrar o montante  <montante> FV Registrar o prazo  <prazo> n Calcular a taxa de juros  i

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i) Cálculo do Prazo(número de períodos) usando as funções financeira da HP-12C: Limpar os registradores financeiros  f FIN Registrar o capital inicial com sinal trocado  CHS PV Registrar a taxa de juros  i Registrar o montante  <montante> FV Calcular o prazo  n j) Exercícios sobre Juros Compostos 1. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês. 2. Um agiota empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo. 3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo que um empréstimo de R$ 20.000,00 será resgatado por R$ 36.018,23. 4. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter R$ 1.000.000,00 no final de 19 meses? 5. Calcular o montante composto de R$ 10.000,00 aplicados a juros de 5% ao mês durante 1 ano e 5 meses? 6. Calcular o montante de uma aplicação de 3 anos e 9 meses sobre um capital de R$ 60.000,00 a 108% ao ano no regime composto. 7. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses pelo dobro do seu valor? 8. A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. 9. É mais vantajoso aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês? 10. No final de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, tem seu valor quadruplicado: a)no regime de capitalização composta b)no regime decapitalização simples.

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11. Um terreno está sendo oferecido por R$ 450.000,00 a vista ou R$ 150.000,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 350.000,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que a taxa média do mercado para aplicações gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é com o Imposto de Renda já computado), determinar a melhor opção para um interessado que possua os recursos disponíveis para compra-lo. 12. A que taxa quadrimestral, no regime de juros compostos, terei que aplicar R$ 101.509,84, para receber R$ 423.500,00, em dois anos três meses e dezoito dias?

7) Taxas a) Taxas Proporcionais São aquelas que aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante, no regime de juros simples. Exemplo:

C = 10.000 n = 6 meses i = 2% a.m M = ? M = C (1+ i x n) M = 10000 (1 + 0,02 x 6)  M = 11.200 C = 10.000 n = 6 meses i = 6% a.t M=? M = C (1+ i x n) M = 10000 (1 + 0,06 x 2)  M = 11.200

As taxas de 2% a.m (dois por cento ao mês) e 6% a.t (seis por cento ao trimestre) são proporcionais pois aplicadas sobre um mesmo capital (10.000), durante o mesmo período (6 meses) produzem o mesmo montante (11.200) b) Taxas Equivalentes São aquelas que aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante, no regime de juros compostos. Exemplo:

C = 1.000 n = 2 anos i = 5% a.t M=? M = C (1+ i)n M = 10000 (1 + 0,05)8  M = 1.477,46 C = 1.000 n = 2 anos i = 10,25% a.t M=? n M = C (1+ i) M = 10000 (1 + 0,1025)4  M = 1.477,46

As taxas de 5% a.t (cinco por cento ao trimestre)e 10,25% a.s (dez e vinte e cinco por cento ao semestre) são equivalentes pois aplicadas sobre um

18

mesmo capital (1.000), durante o mesmo período (2 anos) produzem o mesmo montante (1.477,46). Formula da Equivalência onde:

i = [(1 + i’)n / n’ – 1] x 100 i = taxa procurada i’ = taxa informada n = referencia de tempo da taxa procurada n’= referencia de tempo da taxa informada

Exemplo: Qual a taxa semestral equivalente a taxa trimestral de 5%? i = [(1 + 0,05)6/3 – 1] x 100  i = 10,25% a.s c) Taxas Nominais São aquelas em que a unidade de referencia de seu tempo não coincide com o período de capitalização. A taxa nominal é muito usada no mercado financeiro (chamada taxa de referencia), mas não é usada nos cálculos financeiros. d) Taxas Efetivas São aquelas em que a unidade de referencia de seu tempo coincide com o período de capitalização (ou qualquer taxa equivalente a ela). Exemplo:

Caderneta de Poupança Taxa Nominal de 6% ao ano com capitalização mensal 6% a.a (nominal)

6,17% a.a (efetiva)

÷12 i = [(1 + 0,005)12 – 1] x 100 0,5% a. m (efetiva) Uma taxa nominal mantém relação de proporcionalidade com a taxa efetiva associada a seu período de capitalização. A taxa efetiva derivada de uma taxa nominal é a utilizada nos cálculos financeiros. Se uma taxa é efetiva, qualquer taxa equivalente a ela é, também uma taxa efetiva. e) Taxas Reais 19

São aquelas onde o efeito da inflação do período está neutralizado. taxa real = [(1 + taxa efetiva) ÷ (1 + taxa de inflação)] - 1 f) Exercícios sobre Taxas 1. Calcular as taxas trimestral, semestral e anual equivalentes e proporcionais à taxa de juros de 5% ao mês. 2. Um banco anuncia uma taxa anual de CDB de 42%. Qual a rentabilidade de um cliente que aplicar durante 36 dias? 3. Determinar as taxas equivalentes: a) anual equivalente a 2% a.m b) c) d) e)

mensal equivalente a 60,103% a.a mensal equivalente a 0,194425% a.d anual equivalente a 1% à quinzena trimestral equivalente a 47,745% em 2 (dois) anos

4. Qual a taxa efetiva anual originária da taxa nominal de 12% a.a considerando capitalização mensal? 5. Obter a taxa efetiva anual que corresponde a uma taxa nominal de 480% ao ano com período de capitalização semestral e a taxa efetiva trimestral derivada de uma taxa nominal de 35% a.a. em uma aplicação de capitalização mensal? 6. Determine a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 30% a.m. com capitalização diária. 7. Dada a taxa efetiva anual de 60,103%, calcule a respectiva taxa nominal anual? 8. Calcular o montante composto do capital de R$ 15.000,00, a taxa nominal de 2% a.m , durante 4 anos e 2 meses, com capitalização trimestral?

20

9. Suponha que um CDB pague a taxa efetiva 50% e que a inflação no período tenha sido de 45%. Qual a taxa real do CDB?

8) Série de Pagamentos Uniformes São os valores, iguais, pagos, recebidos ou acumulados distribuídos de forma uniforme durante um determinado prazo (número de períodos). a) Série de Termos Postecipados: são os pagamentos efetuados no final dos respectivos períodos. Também chamado de Termos Vencidos. 0 1 2 3 ..... ..... n-1 n __________________________________________ ↓↓ ↓ ↓ ↓ PMT PMT PMT PMT PMT •

Fator de Acumulação de Capital - FAC Neste caso conhecemos os valores da série de pagamentos (PMT), a taxa (i), o prazo (n) e queremos apurar o montante (FV). Esquematicamente temos: 0 1 2 3 ..... ..... n-1 FV |_______________________________________ ↓ ↓ ↓ ↓ Formula para cálculo do valor futuro (montante): FV = PMT x [(1 + i)n – 1] ÷ i Exemplo: Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, a taxa de 3% ao mês? FV = 500 x [(1 + 0,03)48 – 1] ÷ 0,03 

FV = 52.204,20

Seqüência de execução na HP-12C para calculo do montante:

21

Indicar pagamentos postecipados  Armazenar o valor das prestações

g END  <prestação>

Armazenar a taxa Armazenar o número de períodos Calcular o valor futuro

< taxa > i n FV

PMT

•

  

Fator de Formação de Capital - FFC Este fator é utilizado para obtermos o valor das prestações constantes (PMT), quando é conhecido o valor futuro (FV), a taxa (i) e o número de prestações (n). Esquematicamente temos: 0 1 2 3 ..... ..... n-1 <montante> |_______________________________________ ↓ ↓ ↓ ↓ Formula para cálculo da prestação: PMT = FV x (i ÷ [(1 + i)n – 1]) Exemplo: Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente em um “Fundo de Renda Fixa”, durante 5 anos, para que possa resgatar R$ 200.000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 2% ao mês? PMT = 200.000 x (0,02 ÷ [(1 + 0,02)60 – 1]) 

PMT = 1.753,59

Seqüência de execução na HP-12C: Indicar pagamentos postecipados  Armazenar o valor do valor futuro

g END  <montante>

Armazenar a taxa Armazenar o número de períodos Calcular o valor das prestações

< taxa > i n PMT

FV

•

  

Fator de Valor Atual - FVA Fornece o valor presente (PV) da série de pagamentos uniforme. 22

PV 1 2 3 ..... ..... n-1 n |______________________________________ ↓ ↓ ↓ ↓ Formula para cálculo do valor presente: PV = PMT x ([(1 + i)n - 1]) ÷ ([(1 + i)n x i]) Exemplo: Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 100,00 cada uma? PV = 100 x [(1 + 0,04)5 - 1] ÷ [(1 + 0,04)5 x 0,04]



PV = 445,18

Seqüência de execução na HP-12C: Indicar pagamentos postecipados  Armazenar o valor das prestações

g END  <prestação>

Armazenar a taxa Armazenar o número de períodos Calcular o valor presente

< taxa > i n PV

PMT

•

  

Fator de Recuperação de Capital - FRC Este fator permite calcular as prestações constantes (PMT), quando é conhecida a taxa (i), o número de prestações (n) e o capital inicial (PV). Este fator é utilizado no Sistema de Amortização Francês (Tabela Price). 1 2 3 ..... ..... n-1 n |______________________________________ ↓ ↓ ↓ ↓ Formula para cálculo da prestação: PMT = PV x ([(1 + i)n x i]) ÷ ([(1 + i)n - 1]) Exemplo: Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido, por uma instituição financeira, para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas.

23

Sabendo-se que a taxa de juros é de 3,5% ao mês, calcular os valor da prestação. PMT = 30.000 x [(1 + 0,035)12 x 0,035] ÷ [(1 + 0,035)12 - 1] PMT = 3.104,52



Seqüência de execução na HP-12C: Indicar pagamentos postecipados Armazenar o valor presente inicial> PV Armazenar a taxa >i Armazenar o número de períodos Calcular o valor das prestações b)



g END 
 

n PMT

Série de Termos Antecipados: são os pagamentos efetuados no início dos respectivos períodos. 0 1 2 3 ..... ..... n-1 n ____________________________________↑ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

•

Fator de Acumulação de Capital - FAC Neste caso conhecemos os valores de PMT e desejamos apurar FV. Formula para cálculo do valor futuro (montante): FV = PMT x[(1 + i) x [(1 + i)n – 1]] ÷ i Seqüência de execução na HP-12C para calculo do montante: Indicar pagamentos antecipados  Armazenar o valor das prestações PMT Armazenar a taxa Armazenar o número de períodos  Calcular o valor futuro 

•

Fator de Formação de Capital - FFC

24

g BEG  <prestação>  < taxa > i n FV

Este fator é utilizado para obtermos PMT fornecido FV. Formula para cálculo da prestação: PMT = FV x (i ÷[(1 + i) x [(1 + i)n – 1])] Seqüência de execução na HP-12C:

FV

•

Indicar pagamentos antecipados  Armazenar o valor do valor futuro Armazenar a taxa Armazenar o número de períodos  Calcular o valor das prestações 

g BEG  <montante>  < taxa > i n PMT

Fator de Valor Atual - FVA Fornece o valor presente (PV) da série de pagamentos uniforme, conhecido PMT. Formula para cálculo do valor presente: PV = PMT x ([(1 + i)n - 1]) ÷ ([(1 + i)n-1 x i]) Seqüência de execução na HP-12C: Indicar pagamentos antecipados  Armazenar o valor das prestações

g BEG  <prestação>

Armazenar a taxa Armazenar o número de períodos Calcular o valor presente

< taxa > i n PV

PMT

•

  

Fator de Recuperação de Capital - FRC Este fator permite calcular PMT quando é conhecido PV. Fator utilizado na Tabela Price. Formula para cálculo da prestação: PMT = PV x ([(1 + i)n-1 x i]) ÷ ([(1 + i)n - 1]) 25

Seqüência de execução na HP-12C: Indicar pagamentos antecipados Armazenar o valor presente inicial> PV Armazenar a taxa Armazenar o número de períodos Calcular o valor das prestações

26



g BEG 
  

< taxa > i n PMT

c) Exercícios sobre Séries de Pagamentos Uniformes 1) Qual o valor presente de um imóvel de 10 prestações mensais iguais de R$ 38.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 15% ao mês? 2) Qual o valor de cada uma das 4 prestações mensais e iguais originárias de um empréstimo de R$ 200.000,00 a taxa de 18% ao mês? 3) Um poupador efetuou 10 depósitos no final de cada mês de R$ 20.000,00 em uma aplicação cuja taxa mensal era de 26,8%. Quanto o poupador possui na aplicação após 10 meses? 4) Quanto deve depositar ao final de cada mês, uma grande empresa que pretende acumular em 1 ano o total de R$ 1.363.537,44, a uma taxa de 14% ao mês? 5) Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais iguais de R$ 2.500,00, e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, calcular o valor líquido a ser creditado ao financiado, de acordo com o conceito de termos vencidos e de termos antecipados. 6)

Determinar a que taxa de juros R$ 5.000,00 por mês gera um montante de R$ 800.000,00 no final de quatro anos e meio, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do 1o mês.

7) Sabendo-se que uma instituição paga 46,41% ao ano para aplicações programadas, calcular o montante que será obtido no final de 18 meses por uma pessoa que aplicar 6 parcelas trimestrais de R$ 10.000,00 cada uma, sendo a primeira aplicação efetuada hoje. 8) Um veículo “Zero KM” foi adquirido por R$ 220.000,00, sendo 70% financiados em 12 parcelas iguais. Sabendo-se que a financeira cobra uma taxa de 4,5% a.m., calcular o valor da prestação mensal. 9) Uma apartamento, no valor de R$ 50.000,00, é financiado por uma imobiliária, para pagamento em 13 parcelas iguais de R$ 5.328,31, sendo a primeira paga no ato da compra. Calcular a taxa de juros cobrada pela imobiliária. 10)Um automóvel é financiado, para ser pago em 20 prestações mensais iguais de R$ 6.000,00, Sabendo-se que a taxa cobrada é de 5% ao mês, determinar o valor financiado considerando as hipóteses de conceito de termos vencidos e de termos antecipados.

27

9) Sistemas de Amortização São os modelos utilizados para o pagamento de dívidas originárias de financiamentos.

a) Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) Neste plano a dívida é amortizada em parcelas iguais e periódicas utilizando- se, usualmente do conceito de termos vencidos. Na Tabela Price a prestação (uniforme) é calculado pelo FRC (fator de recuperação de capital). O valor do juros é obtido sobre o saldo devedor e a amortização resulta do valor da prestação subtraindo-se o juros do período. Exemplo: Uma dívida de R$12.000,00 será paga em 6 parcelas mensais, a juros de 3% a.m. O pagamento mensal deve incluir, além dos juros do período, a amortização da dívida. Montagem da evolução do pagamento utilizando-se das fórmulas: FRC 

PMT = PV x ([(1 + i)n x i]) ÷ ([(1 + i)n - 1]) PMT = 12000 ([(1 + 0,03)6 x 0,03]) ÷ ([(1 + 0,03)6 – 1]) PMT = 2.215,17

Cálculo dos juros do 1o mês: J = 12000 x 0,03 Cálculo do valor amortizado: V.A. = 2.215,15 – 360 V.A.=1.855,17

 

J = 360

Quadro de Amortização Período 0 1 2 3 4 5 6 Total

Prestação 2.215,17 2.215,17 2.215,17 2.215,17 2.215,17 2.215,17 13.291,02

Juros 360,00 304,35 247,02 187,97 127,16 64,52 1.291,02

28

Amortização 1.855,17 1.910,87 1968,15 2.027,20 2.088,01 2.150,65 12000,05

Saldo Devedor 12.000,00 10.144,83 8.233,96 6.265,81 4.238,61 2.150,60 -

Montagem da evolução dos pagamentos utilizando-se da HP: f FIN f REG g END 12000 CHS PV 6n 3i PMT 0n 1 f AMORT (360,00) X⇔Y RCL PV 1 f AMORT X⇔Y RCL PV 1 f AMORT X⇔Y RCL PV 1 f AMORT (187,97) X⇔Y RCL PV 1 f AMORT X⇔Y RCL PV 1 f AMORT X⇔Y RCL PV

 limpa o conteúdo dos registradores financeiros  limpa o conteúdo dos registradores X, Y, Z e T  indica termos vencidos ou postecipados  armazena o valor do capital inicial  armazena o número de períodos  armazena a taxa de juros  calcula o valor da prestação (2.215,17)  zera o registrador n  mostra o juros pago na 1a prestação  a amortização na 1a prestação (1.855,17)  saldo devedor após o 1º pgto (10.144,83)  o juros pago na 2a prestação (304,35)  a amortização na 2a prestação (1.910,87)  saldo devedor após o 2º pgto (8.233,96)  o juros pago na 3a prestação (247,02)  a amortização na 3a prestação (1.968,15)  saldo devedor após o 3º pgto (6.265,81)  mostra o juros pago na 4a prestação  a amortização na 4a prestação (2.2027,20)  saldo devedor após o 4º pgto (4.238,61)  o juros pago na 5a prestação (127,16)  a amortização na 5a prestação (2.088,01)  saldo devedor após o 5º pgto (2.150,60)  o juros pago na 6a prestação (64,52)  a amortização na 6a prestação (2.150,65)  saldo devedor após o 6º pagamento (zero)

b) Sistema de Amortização Constante (SAC) Sistema aonde os valores amortizados periodicamente são iguais. As prestações decrescem em progressão aritmética dentro, usualmente, do conceito de termos vencidos. O SAC tem ampla utilização no Sistema Financeiro da Habitação. O Valor constante da amortização é obtido pela divisão do valor do empréstimo pelo número de prestações contratado. Os juros periódicos são

29

calculados sobre o saldo devedor sendo o valor da prestação obtido pela soma dos juros pelo valor da amortização do período.

30

c) Exercícios sobre Sistemas de Amortização 1) Elaborar um plano de pagamento, com base no Sistema de Amortização Constante, correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00 à taxa de 3% ao mês, a ser liquidado em 10 prestações mensais. Período Amortização Juros Prestação Saldo Devedor

2) A quantia de R$ 200.000,00 foi financiada em 4 prestações iguais, à taxa de juros de 18% a.m. . Calcular o valor da prestação e mostrar a evolução do pagamento (tabela price). Amortização Saldo Devedor Período Prestação Juros

3) Um eletrodoméstico cujo preço à vista é de R$ 200.000,00 foi financiada em 4 prestações iguais, à taxa de juros compostos de 18% a.m., a primeira paga no ato da compra. Calcular o valor da prestação e mostrar a evolução do pagamento (tabela price). Amortização Saldo Devedor Período Prestação Juros

31

10)Série de Pagamentos Variáveis São valores variáveis pagos, recebidos ou acumulados distribuídos de forma uniforme durante um determinado prazo (número de períodos). Podemos apresentar como exemplo de série de pagamentos variáveis o seguinte esquema: 0 1 2 3 ..... ..... ..... n __________________________________________ ↓↓ ↓ ↓ Vlr1 Vlr2 Vlr3 Vlrn a) Valor Presente (ou Atual): Consiste no valor atual correspondente a série de pagamentos efetuada. Para apurarmos o valor atual total de uma série devemos somar os valores presente de cada uma das parcelas (pagamentos ou recebimentos) existentes. A formula genérica para o cálculo do VP é: VP = Vlr0 + (Vlr1 / (1 + i)1) + (Vlr2 / (1 + i)2) + ... + (Vlrn / (1 + i)n) n

VP =

Σ

(CFj / (1+ i)n)

onde cada Vlr (fluxo) corresponde a um recebimento (entrada) ou a um

j=0

pagamento (saída) no fluxo de caixa. Exemplo: Qual o valor presente obtido considerando o pagamento de R$ 430,00 em 30 dias, R$ 820,00 em 60 dias e R$ 2.000,00 em 90 dias e uma taxa de 5% ao mês.

32

VP = VP1 + VP2 + VP3 , onde VP1 = valor presente da 1a parcela; VP2 = valor presente da 2a parcela e VP3 = Valor presente da 3a parcela. VP1 = 430/(1+0,05)1  VP1 = 409,52 2 VP2 = 820/(1+0,05)  VP2 = 743,76 VP3 = 2000/(1+0,05)3  VP3 = 1.727,68 VP = 409,52 + 743,76 + 1.727,68 VP = 2.880,96 Seqüência de execução na HP-12C para solução do exercício anterior (a seqüência da entrada das prestações é obrigatoriamente na ordem dos pagamentos) : Limpar os registradores financeiros  f FIN Registrar 0 em CF0 (prestação no momento 0) 0 g CF0 Registrar 1a parcela  430 g CFj a Registrar 2 parcela  820 g CFj a Registrar 3 parcela  2000g CFj Registrar a taxa de juros  5 i Calcular o valor presente líquido  f NPV b) Valor Futuro: Consiste no montante obtido na série de pagamentos. Para apurarmos o montante de uma série variável devemos somar os valores futuro de cada uma das parcelas (pagamentos ou recebimentos) existentes. Exemplo: Qual o montante obtido considerando o pagamento de R$ 430,00 em 30 dias, R$ 820,00 em 60 dias e R$ 2.000,00 em 90 dias e uma taxa de 5% ao mês. VF = VF1 + VF2 + VF3 , onde VF1= montante considerando a 1a parcela como capital inicial; VF2= montante considerando a 2a parcela como capital inicial e VF3 = montante considerando a 3a parcela como capital inicial. VF1 = 430x(1+0,05)2  VF1 = 474,08 1 VF2 = 820x(1+0,05)  VF2 = 861,00 VF3 = 2000x(1+0,05)0  VF3 = 2.000,00 VF = 474,08 + 861,00 + 2.000,00  VF = 3.335,08 Seqüência de execução na HP-12C para solução do exercício anterior (a seqüência de entrada dos fluxos é obrigatoriamente na ordem dos pagamentos/recebimentos) :

33

Limpar os registradores financeiros  f FIN Registrar 0 em CF0 (prestação no momento 0) 0 g CF0 Registrar 1a parcela  430 g CFj a Registrar 2 parcela  820 g CFj a Registrar 3 parcela  2000 g CFj Registrar a taxa de juros  5 i Calcular o valor presente líquido  f NPV Armazenar o VPL como capital inicial  2.880,96 PV Calcular o montante  FV c) Valor Presente Líquido: Em uma análise de fluxo de caixa defini-se valor presente líquido com a diferença entre o valor atual dos fluxos de entradas (recebimentos) e o valor atual dos fluxo de saídas (pagamentos). d) Taxa Interna de Retorno: A Taxa Interna de Retorno é a taxa que aplicada aos fluxos de caixas de entrada e saída (entradas e desembolsos) determinam, em uma série de pagamentos variáveis com periodicidade regular, um Valor Presente Líquido igual a zero. O esquema abaixo mostra um exemplo de fluxo de caixa onde o valor no momento 0 (Vlr0) tem sinal oposto ao dos demais fluxos. Vlr1 Vlr2 Vlr3 Vlrn ↓↓ ↓ ↓ -------------------------------------------------------------↓ 1 2 3 ..... ..... ..... n Vlr0 Pela definição de VPL , TIR e considerando o exemplo acima, podemos afirmar que: n

TIR



Vlr0 + Σ(CFj / (1+ i)n) = 0 j=1

Exemplo: Considerando o fluxo de caixa abaixo, determine a TIR. Mês 0 1 2

Projeto Empresarial 01 ( R$ 250.000,00) 125.000,00 150.000,00

34

Seqüência de execução na HP-12C para da Taxa Interna de Retorno do exercício: Limpar os registradores financeiros Registrar 250.000,00 em CF0 (em 0) Registrar 125.000,00 em CFj (em 1) Registrar 150.000,00 em CFj (em 2) Calcular o valor da TIR 

35

 f FIN  2500000 CHS g CF0  125000 g CFj  150000 g CFj f IRR

e) Exercícios sobre Séries de Pagamentos Variáveis 1) Considerando o fluxo de caixa abaixo e uma taxa de juros de 3% ao mês, determinar o seu valor atual. 150,00 168,00 175,00 192,00 |_______|__________|__________| 0 1 2 3 2) Compare as séries de pagamentos mensais abaixo e indique qual delas é resultado do financiamento de um capital maior, considerando que em ambas a taxa utilizada foi de 5% a.m. 525,00 551,25 578,81 |_______|__________|__________| 0 1 2 3 402,87 402,87 402,88 402,88 |_______|__________|__________| 0 1 2 3 3) Considerando um custo financeiro de 2% ao mês, determinada empresa deve optar por apenas um dos projetos cujos fluxos de caixa são mostrados abaixo. Se fosse você o responsável pela avaliação financeira do processo, qual dos projetos indicaria? Mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Projeto Empresarial 01 ( R$ 25.000,00) 1.000,00 1.000,00 1.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 8.000,00 8.000,00

Projeto Empresarial 02 ( R$ 25.000,00) 1.000,00 2.000,00 4.000,00 4.000,00 2.000,00 1.000,00 1.000,00 2.000,00 4.000,00 8.000,00 8.000,00

4) Considerando os fluxos de caixa dos projetos acima, qual a Taxa Interna de Retorno de cada projeto. Faça uma análise conjugando o valor da TIR obtido com o resultado alcançado no exercício anterior.

36

1. Revisão Matemática a) b) c) d) e) f)

...................1

Potenciação: Radiciação: Função Logarítmica: Progressão Aritmética: Progressão Geométrica: Representação Percentual:

......................1 ......................1 ......................1 ......................2 ......................2 ......................2

2. Principais teclas e funções da HP 12-C

......................3

a) Ligar e desligar a calculadora: ......................3 b) Acessar funções descritas em amarelo acima da tecla: ......................3 c) Acessar a função em azul descritas na parte inferior da tecla .............3 d) Entrar com um valor para armazenamento na máquina: ......................3 e) Trocar o sinal de um número no visor: ......................4 f) Operadores aritméticos: ......................4 g) Zerar a informação no visor: ......................4 h) Zerar o conteúdo dos registradores: ......................4 i) Potenciação: ......................4 j) Inverso de um número: ......................5 k) Porcentagem: ......................5 l) Diferença Percentual: ......................5 m) Porcentagem do Total: ......................5 n) Função Logarítmica: ......................6 o) Função Calendário: ......................6 p) Zerar o conteúdo de todos os registradores financeiros: ......................7 q) Trocar o conteúdo dos registradores: ......................7 r) Armazenamento em memória auxiliar: ......................7 s) Chamada de dados em memória auxiliar ......................7 t) Exercícios: ......................8 3. Conceitos Básicos e Terminologia Preliminar ......................9 4. Regime de Juros Simples

.....................10

a) Cálculo dos Juros:

.....................10 37

b) c) d) e) f) g) h) i)

Cálculo do Montante: .....................10 Cálculo do Capital Inicial: .....................10 Cálculo do Prazo: .....................11 Cálculo da Taxa de Juros: .....................11 Cálculo dos Juros Bancários e do Montante usando a HP-12C:..........11 Cálculo dos Juros Exatos e do Montante usando a HP-12C:................11 Conceito de Juros Bancários e Juros Exatos: ......................11 Exercícios sobre Juros Simples ......................12

5. Desconto Bancário

.....................13

a) Cálculo do Desconto: .....................13 b) Cálculo do Valor Atual: ..................... 13 c) Cálculo do Valor Futuro: ..................... 13 d) Cálculo do Prazo: ..................... 13 e) Cálculo da Taxa de Desconto: ..................... 13 f) Cálculo do Desconto e do Valor Presente usando a HP-12C:................13 g) Exercícios sobre Desconto Bancário: ..................... 14 6. Regime de Juros Compostos

.....................15

a) Cálculo do Montante: .....................15 b) Cálculo dos Juros: ..................... 15 c) Cálculo do Capital Inicial: .....................15 d) Cálculo do Prazo: ..................... 16 e) Cálculo da Taxa de Juros: .....................16 f) Cálculo do Montante usando a HP-12C: .....................16 g) Cálculo do Capital Inicial usando a HP-12C: .....................16 h) Cálculo da Taxa de Juros compostos usando a HP-12C:.....................16 i) Cálculo do Prazo usando a HP-12C: .....................16 j) Exercícios sobre Juros Compostos: ..................... 17 7. Taxas

.....................18

a) Taxas Proporcionais: b) Taxas Equivalentes: c) Taxas Nominais:

.....................18 .....................18 .....................19 38

d) Taxas Efetivas: e) Taxas Reais: f) Exercícios sobre Taxas:

.....................19 .....................19 .....................20

8. Série de Pagamentos Uniformes a) Série de Termos Postecipados: b) Série de Termos Antecipados: c) Exercícios sobre Séries de Pagamentos Uniformes:

9. Sistemas de Amortização

.....................21 .....................21 .....................24 .....................26 .....................27

a) Sistema Francês de Amortização: b) Sistema de Amortização Constante: c) Exercícios sobre Sistemas de Amortização: 10. Série de Pagamentos Variáveis a) Valor Presente (Atual): b) Valor Futuro: c) Valor Presente Líquido d) Taxa Interna de Retorno e) Exercícios sobre Séries de Pagamentos Variáveis:

39

.....................27 .....................28 .....................29 .....................30 .....................30 .....................31 .....................31 .....................32 .....................33