A Derivadas E Primitivas

INSTITUTO POLITÉCNICO DE TOMAR

Escola Superior de Tecnologia de Tomar Área Interdepartamental de Matemática Curso de Engenharia Civil

TABELAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA

Tabela de Trigonometria tg (x ) =

sen ( x ) cos ( x )

cotg ( x ) =

1

sec(x ) =

tg ( x )

cosec( x ) =

1 cos ( x )

1 sen (x )

1. sen 2 (x ) + cos 2 (x ) = 1

8. cos(2 x ) = cos 2 ( x ) − sen 2 ( x )

2. 1 + tg 2 (x ) = sec 2 ( x )

9. tg (2 x ) =

3. 1 + cotg 2 ( x ) = cos ec 2 ( x )

1 − cos( x ) § x· 10. sen¨ ¸ = ± 2 ©2¹

1 + cos( x ) §x· 11. cos¨ ¸ = ± 2 ©2¹

4. sen( x ± y ) = sen ( x ) cos( y ) ± sen ( y ) cos( x )

1 − cos(x ) §x· 12. tg¨ ¸ = ± 1 + cos( x ) ©2¹ 2 tg ( x / 2) 13. sen ( x ) = 1 + tg 2 ( x / 2)

5. cos( x ± y ) = cos( x ) cos( y )  sen (x ) sen ( y ) 6. tg ( x ± y ) =

2 tg (x ) 1 − tg 2 (x )

tg ( x ) ± tg ( y ) 1  tg (x )tg ( y )

14. cos( x ) =

7. sen (2 x ) = 2 sen ( x ) cos(x )

§x± 15. sen ( x ) ± sen ( y ) = 2 sen ¨ © 2 §x+ 16. cos( x ) + cos( y ) = 2 cos¨ © 2

1 − tg 2 ( x / 2) 1 + tg 2 ( x / 2)

y· §x y· ¸ cos¨ ¸ ¹ © 2 ¹ y· §x− y· ¸ cos¨ ¸ ¹ © 2 ¹

§x+ y· §x− y· 17. cos( x ) − cos( y ) = −2 sen¨ ¸ sen¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹

0

π/6

π/4

Seno

0

1/2

2 /2

Coseno

1

3 /2

Tangente

0

3 /3

2 /2 1

π/3

π/2

π

3π/2

3 /2 1/2

1

0

-1

0

-1

0

3

-

0

-

Tabelas de Análise Matemática - 1/5

Tabela de Derivadas u = f (x )

v = g (x )

α = constante

k = constante

a = constante

1. k' = 0

′ 17. (tg u ) = u ' sec 2 u

2. x' = 1

′ 18. (cotg u ) = −u ' cosec 2 u

3. (u ± v)' = u '±v'

19. (sec u )′ = u ' sec u tg u

4. (uv)' = u ' v + uv'

20. (cosec u )′ = −u ' cosec u cotg u

′ u ' v − uv' u 5.   = v2 v

21. (arc sen u )′ =

7. (u ) ′ = α u

9.

( u )′ =

α −1

u'

u'

8. ( u ) ′ =

2 u u'

n

1− u 2

22. (arc cos u )′ = −

6. (ku ) ' = ku ' α

u'

n n u n −1

23. (arc tg u )′ =

u' 1− u 2

u' 1+ u 2

′ 24. (arc cotg u ) = −

25. (arc sec u )′ =

u' 1+ u 2 u'

u u 2 −1

10. (e u ) ′ = e u u '

′ 26. (arc cosec u ) = −

11. (a u ) ′ = a u u ' ln a

′ 27. (sh u ) = u ' ch u

12. (u v ) ′ = u v v ' ln u + vu v −1u '

′ 28. (ch u ) = u ' sh u

u' 13. (ln u )′ = u

u' 29. (tgh u )′ = 2 = u ' sech 2 u ch u

14. (log a u )′ =

15. (sen u

)′

16. (cos u

)′

u' u ln a

= u ' cos u

= −u ' sen u

′ 30. (arg sh u ) = ′ 31. (arg ch u ) =

32. (arg tgh u )′ =

u' u u 2 −1

u' 1+ u 2 u' u 2 −1 u' 1− u 2

Tabelas de Análise Matemática - 2/5

Tabela de Primitivas Pf ( x) = F( x) ⇒ F' ( x) = f ( x) u = f (x )

v = g (x )

α = constante

a = constante

k = constante

I - Primitivas Imediatas 1. Pk = kx

13. P u' cosec u cotg u = −cosec u

2. Pku = kPu

14. P

3. Pu α u ' =

4. P 5. P

u α +1 , α ≠ −1 α +1

u' = ln u u u' 2 u

= u

6. Pe u u ' = e u

7. Pa u u ' =

15. P

1− u2

= arc sen u = −arc cos u

u' a −u 2

= arc sen

2

u' = arc tg u = −arc cotg u 1+ u2

17. P

u u u' 1 1 = arc tg = − arc cotg 2 a a a a a +u 2

u' u u2 −1

= arc sec u = −arc cosec u

19. P u' ch u = sh u

8. P u' sen u = − cos u

20. P u' sh u = ch u

9. P u' cos u = sen u

21. P u' sech 2 u = tgh u

10. P u' sec u = tg u

22. P

11. P u' cosec u = −cotg u

23. P

12. P u' sec u tg u = sec u

24. P

2

2

u u = −arc cos a a

16. P

18. P

au ln a

u'

u' u 2 +1 u' u2 −1

= arg sh u = arg ch u

u' = arg tgh u , u < 1 1− u2

II - Integração por Partes P( uv ) = (Pu) v – P((Pu) v ′ )

Tabelas de Análise Matemática - 3/5

III - Integração por Substituição FR (…) indica que se trata de uma fracção que envolve apenas somas, diferenças, produtos e quocientes do que se encontra entre parêntesis.

Função a Primitivar : 1.

2.

1 (x 2 + a 2 ) k

1. x = a tg (t )

, k ∈ IN, k > 1

P( x) (ax + bx + c) 2

Substituição a Efectuar :

, k ∈ IN, k > 1, b 2 − 4ac < 0,

k

2. ax +

b =t 2

onde P( x) é um polinómio de grau inferior a 2k

3.

P( x) (( x − p ) 2 + q 2 )

k

, k ∈ IN,

3. x = p + qt

onde P( x) é um polinómio de grau inferior a 2k x k -1

4. x

2k

+a

4. x k = at

, k ∈Q

5. a mx = t , m = m.d.c.(r, s, ...)

5. FR ( a rx , a sx , ... )

6.

p r q FR ( x , x s , ... ) p q

7. FR ( x, (ax + b) , (ax

6. x = t m , m = m.m.c.(q, s, ...) r s + b)

p

, ... )

7. ax + b = t m , m = m.m.c.(q, s, ...)

r

ax + b m = t , m = m.m.c.(q, s, ...) cx + d

ax + b q ax + b s ) ,( ) , ... ) 8. FR ( x, ( cx + d cx + d

8.

9. FR ( x, a 2 − b 2 x 2 )

9. x =

10. FR ( x, a 2 + b 2 x 2 )

10. x =

a tg (t ) b

11. FR ( x, b 2 x 2 − a 2 )

11. x =

a sec(t ) b

12. FR ( x, x , a - bx )

12. x =

a a sen 2 (t ) ou x = cos 2 (t ) b b

13. FR ( x, x , a + bx )

13. x =

a 2 tg t b

a a sen (t ) ou x = cos(t ) b b

Tabelas de Análise Matemática - 4/5

(

14. FR x, x , bx − a

)

15. FR  x, ax 2 + bx + c   

14. x =

a sec 2 (t ) b

15. Se a>0 faz-se

ax 2 + bx + c = x a + t

Se c>0 faz-se

ax 2 + bx + c = c + tx

Noutros casos, bem como nos anteriores, faz-se

ax 2 + bx + c = (x − α ) t ou

ax 2 + bx + c = (x − β ) t , com ax 2 + bx + c = a (x − α )(x − β )

16. x

m

( a + bx ) n

p q

16. Se Se

m +1 ∈ Ζ faz-se a + bx n = t q n m +1 p + ∈ Ζ faz-se a + bx n = x n t q n q

17. FR (sen (mx ), cos(mx ) )

17. mx = t

18. FR (sen ( x ), cos( x ) )

18.

a) Se FR é ímpar em cos(x ) ,

a) sen ( x ) = t

isto é, se: FR (sen ( x ),− cos( x )) = - FR (sen ( x ), cos( x ))

b) Se FR é ímpar em sen ( x ) ,

b) cos( x ) = t

isto é, se: FR (− sen ( x ), cos( x )) = - FR (sen (x ), cos( x ))

c) Se FR é par em sen ( x )

 π c) tg ( x ) = t (supondo x ∈  0 ,  ), sendo  2

e cos(x ) ,isto é, se

sen ( x ) =

t 1+ t

2

e cos( x ) =

t 1+ t2

FR (− sen ( x ),− cos( x )) = FR (sen ( x ), cos( x ))

d) Nos restantes casos,

2t x d) tg  = t , sendo sen ( x ) = e 1+ t2 2

assim como nos anteriores

cos(x ) =

1− t2 1+ t2

Tabelas de Análise Matemática - 5/5