A Causal

Modèles de prévision, simulation et aide à la décision basés sur la réponse en marketing

Michel Calciu [email protected]

2.

Modèles de réaction au mix marketing

1.

Cours IAE de Lille 2008 Ce document présente des modèles de prévision et aide à la décision basés sur la réponse en marketing (1) et les méthodes de calcul et traitement statistique qui permettent leur opérationnalisation. Pour les calculs et graphiques le système R, c'està-dire la version « open source » du système S est utilisé (2). La concision, l'élégance de son langage ainsi que la flexibilité et la capacité de mobiliser des méthodes de calcul des plus simples aux plus sophistiquées nous amène à recommander l'usage de ce système à la place ou en complément du tableur et des logiciels statistiques traditionnels. Ce document est encore en cours de développement. Des versions mises à jour seront disponibles sur Internet à l'adresse http://claree.univlille1.fr/cocoon/mc_slides/slides_acausal/

Organisation et hiérarchie des modèles

4.

Introduction

1. 2. 3.

Le modèle causal Un modèle causal général pour la réponse en marketing (Lilien 1987): Un prototype - le modèle ADBUG (Litle, 1970)

Formes des modèles de réponse

1.

Effets statiques 1. Modèles à une variable explicative 1. Modèle linéaire 2. Modèles à paramètres linéaires et variables nonlinéaires 1. Polynômes 2. Modèle des séries de puissances 3. Modèles à racine fractionnelle 4. Modèles Semi-logarithmique 4. Modèles nonlinéaires 1. Modèle Exponentiel Modifié 2. Modèle logistique 3. Modèle Gompertz 4. Modèle ADBUDG 3. Modèles à plusieurs variables explicatives 1. Modèle linéaire

2. Modèles Nonlinéaires 3. Adjonction d'interaction 4. Modèles multiplicatifs 5. Modèles avec transformation logistique 5. Modèles de part de marché 1. Modèles multiplicatifs 2. Modèles d'attractivité 3. Interaction Competitive Multiplicative (MCI) 4. Logit Multinomial (MNL) Effets dynamiques

5.

Modèles de choix des caractéristiques des produits 1. Modèles de la Valeur Espérée 2. Régression de la Préférence 3. L'Analyse Conjointe 2. Modèles de Prix 1. Le modèle Classique 2. Le prix psychologique 3. Fixation du prix - Etat des connaissances 4. Prise en compte de la courbe d'expérience 3. Modèles Publicitaires 1. Un modèle de réaction à la publicité 2. La Réaction à la Publicité - État des connaissances 4. Les Modèles de Promotion des Ventes 1. Un modèle promotionnel 5. Les Modèles de la Force de Vente 1. Les Modèles de la Force de Vente Modèles du mix Marketing 1. L'interaction du mix 2. Réaction de la concurrence Estimation des Modèles 1. Estimation objective 1. Régression linéaire 2. Régression non-linéaire 2. Estimation subjective (decision calculus)

Le modèle causal Présentation

La réponse en marketing peut être représenté par un modèle causal. La forme générale d'un modèle causal est: y = f(xj) (1) ou y est la variable à expliquer, dépendante et xj sont les variables explicatives, indépendantes - Un cas particulier les séries chronologiques y = f(t) ou y dépend d'une seul variable le temps

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

(2)

1

Un modèle causal général pour la réponse en marketing (Lilien 1987): 5. x=seq(0,5,1) 6. y=b+(a-b)*(x^c/(d^c+x^c)) 7. profit=0.3*y-x 8. df=data.frame(Effort=x, Ventes=y, Profit=profit) 9. c=2 10. d=3.32 11. y=b+(a-b)*(x^c/(d^c+x^c)) 12. profit=0.3*y-x 13. df$Ventes2=y 14. df$Profit2=profit 15. c=1 16. d=1 17. y=b+(a-b)*(x^c/(d^c+x^c)) 18. profit=0.3*y-x 19. df$Ventes3=y 20. df$Profit3=profit 21. # show Ventes 22. matplot(x, df[,seq(2,7,2)], pch = 1:3, type = "o", col = 1:3,xlab="Effort", ylab="Reponse" 23. legend(min(x), max(y),names(df)[seq(2,7,2)], lwd=3, col=1:3, pch=1:3) 24. # show Profits 25. matplot(x, df[,seq(3,7,2)], pch = 1:3, type = "o", col = 1:3,xlab="Effort", ylab="Reponse") 26. legend(min(x), max(profit),names(df)[seq(3,7,2)], lwd=3, col=1:3, pch=1:3)

Yt = ft(Xt, Ct, Et, Yt-1) + et (3) ou Yt = les ventes à l'instant t Xt = les valeurs de variables mix marketing à l'instant t Ct = les valeurs de variables mix marketing de la concurrence à l'instant t Et = les valeurs de variables de l'environnement à l'instant t Yt-1 = les ventes précédentes incorporant les effets passés du mix, de la concurrence et de l'environnement et = une erreur aléatoire

Un prototype - le modèle ADBUG (Litle, 1970) Modèle de réaction des ventes aux dépenses publicitaires:

Tableau 1 - Ventes en fonctions des dépenses publicitaire publicité (millions francs) 0 1 2 …. n Ventes (millions unités) 30 40 50 …. 60 Application d'un forme simplifiée du modèle ADBUDG (Little, 1970)

y =3030

x  x 2 

ou x est le budget publicitaire. Une formulation générale bien adaptée est : a

x y =minmax−min a a b x

Si la marge unitaire est de 0.3 euros le profit sera: Profit=0.3f  x − x = marge*Ventes - Coûts Publicitaires Exemples

• • •

Modèle Adbudg initial pour 2 Mil. pub 45 Mil. Ventes [ 2.1] Modèle Adbudg avec inflexion pour 2 Mil. pub 32 Mil. Ventes [ 2.2] Modèle Adbudg accéléré pour 1 Mil. pub 50 Mil. Ventes [2.3]

Listing 1

1. 2. 3. 4.

Analyse:

(4)

(5)

(6)

En fixant les coefficients initiaux du modèle a=60, b=30, c=1 et d=2 on calcule les ventes et le profit pour un effort marketing (budget publicitaire) qui varie entre 0 et 5. En augmentant le coefficient d (d=3.32) on diminue la réactivité du modèle qui se reflètent dans le ventes et dans le profit (Ventes2 et Profit2). Le coefficient c augmenté à 2 a pour effet d'accroître la valeur du dénominateur par rapport au numérateur quand les x sont petits et de l'inverser ensuite ce qui génère une inflexion et donne au modèle l'allure d'une vraie courbe en "S". En diminuant le coefficient d (d=1) la réactivité du modèle devient supérieure au modèle initiale (Ventes3 et Profit3) et en remettant c=1 le modèle perd sa forme en "S". Tableau 2 - Ventes et Profit obtenu en faisant varier les coefficients du modèle de réponse (ADBUDG) 1 2 3 4 5 6

Effort 0 1 2 3 4 5

Ventes 30.00000 40.00000 45.00000 48.00000 50.00000 51.42857

Profit 9.00000 11.00000 11.50000 11.40000 11.00000 10.42857

Ventes2 Profit2 Ventes3 Profit3 30.00000 9.000000 30.0 9.00 36.94444 10.083333 45.0 12.50 41.27820 10.383459 50.0 13.00 44.24051 10.272152 52.5 12.75 46.39344 9.918033 54.0 12.20 48.02885 9.408654 55.0 11.50

a=60 b=30 c=1 d=2

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

2

Figure 1- Ventes obtenues en faisant varier les coefficients du modèle de réponse à la publicité (ADBUDG)

Figure 2 - Profit enregistré en faisant varier les coefficients du modèle de réponse à la publicité (ADBUDG)

Le graphique montre que la dépense publicitaire optimum avoisine 2 milions de euros. Critères de classification des modèles de réponse

• • • •

Le nombre de variables: une ou plusieurs Forme mathématique de l'interaction des variables: linéaire, non-linéaire (multiplicative, autres) Statique/dynamique: avec ou sans prise en compte du temps Effets statiques (les instances de base)

Modèles à une variable explicative A. - Modèle linéaire

ou a1 est la pente de la droite et ao est la valeur de Y quand X = 0 Forme : linéaire Réponse marginale : a1 Limite inf. (X-->0) : a0 Limite sup. (X-->infinie) : illimité Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

y =abx

(7)

3

Exemples :

• •

Modèle linéaire initial [2.6] Modèle linéaire avec réaction supérieure [ 2.8]

11

10

Listing 2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

32

-0.4

42

2.6

Figure 3 Croissance linéaire des ventes (faible et forte) x=seq(0,10,1) y=2+3*x profit=0.3*y-x df=data.frame(Effort=x, Ventes=y, Profit=profit) y=2+4*x profit=0.3*y-x df$Ventes2=y df$Profit2=profit df # show Ventes matplot(x, df[,seq(2,5,2)], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Effort", ylab="Reponse") legend(min(x), max(df[,seq(2,5,2)]),names(df)[seq(2,5,2)], lwd=3, col=1:2, pch=1:2) # show Profits matplot(x, df[,seq(3,5,2)], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Effort", ylab="Reponse") legend(min(x), max(df[,seq(3,5,2)]),names(df)[seq(3,5,2)], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: Deux modèle linéaires sont calculés pour représenter les ventes (y) en fonction des dépenses marketing (x), le première avec une pente de 3 et le deuxième avec une pente de 4. Même si les ventes représentées par le premier modèle augmentent elles sont dépassées par les dépenses ce qui a pour effet la baisse constante du profit. En revanche la pente plus accentuée qu'enregistrent les ventes dans le deuxième modèle (Ventes2) permet de dépasser la croissance des dépenses et offre un profit croissant (Profit2) Tableau 3 - Croissance linéaire des ventes - les profit baissent quand elle est faible et augmentent quand elle est forte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Effort Ventes Profit Ventes2 Profit2 0 2 0.6 2 0.6 1 5 0.5 6 0.8 2 8 0.4 10 1.0 3 11 0.3 14 1.2 4 14 0.2 18 1.4 5 17 0.1 22 1.6 6 20 0.0 26 1.8 7 23 -0.1 30 2.0 8 26 -0.2 34 2.2 9 29 -0.3 38 2.4

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

4

Figure 4 - Profit en baisse pour des ventes en faible croissance et en hausse autrement

11. legend(min(x),max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

B. - Modèles à paramètres linéaires et variables nonlinéaires Polynômes

y =a 0 a 1 g 1  x a 2 g 2  x ...a n g n  x 

(8)

Modèle des séries de puissances

y =a 0 a 1 x a 2 x 2...a n x n

(9)

Forme : différentes Réponse marginale : a1 Limite inf. (X-->0) : a0 Limite sup. (X-->0): Exemples :

• •

Modèle des séries de puissances a rythme croissant [ 2.12] Modèle des séries de puissances a rythme décroissant [ 2.13]

Listing 3 Estimation des paramètres par régression linéaire simple

Pour comprendre l'estimation par régression linéaire voir le chapitre destiné a cette méthode: Listing 2'

1. # Estimation lineaire 2. x=1:9 3. y=2+4*x + rnorm(9,0,2) # réalité simulée: modèle linéaire avec terme d'erreur aléatoire 4. y=round(y) #arrondir 5. #x=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9) 6. #y=(7,9,10,19,26,25,33,34,38) 7. rl = lm(y ~ x) # regression lineaire 8. yt = predict(rl) 9. df=data.frame(Effort=x, VentesR=y, VentesL=yt) 10. matplot(x, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Effort", ylab="Reponse")

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

x=seq(0,10,1) y=+2+4*x+0.4*x^2 profit=0.3*y-x df=data.frame(Effort=x, Ventes=y, Profit=profit) y=+2+4*x-0.1*x^2 profit=0.3*y-x df$Ventes2=y df$Profit2=profit matplot(x, df[,c(2,4)], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 10. legend(min(x), max(df[,c(2,4)]),names(df)[c(2,4)], lwd=2, col=1:2, pch=1:2) 11. matplot(x, df[,c(3,5)], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 12. legend(min(x), max(df[,c(3,5)]),names(df)[c(3,5)], lwd=2, col=1:2, pch=1:2)

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

5

Analyse:

Figure 6 - Profits qui résultent de ventes à rendement croissant et décroissant

Le troisième coefficient du modèle affecte la forme de la courbe de réponse. Quand il est positif (ici 0.4) les rendements sont croissants. Quand il est négatif (ici -0.1) les rendements sont décroissants (Ventes2) ce qui est plus réaliste pour une fonction de réponse en marketing. Tableau 4 - Rendement croissant et décroissant des ventes et leur impacte sur le profit 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Effort Ventes Profit Ventes2 Profit2 0 2.0 0.60 2.0 0.60 1 6.4 0.92 5.9 0.77 2 11.6 1.48 9.6 0.88 3 17.6 2.28 13.1 0.93 4 24.4 3.32 16.4 0.92 5 32.0 4.60 19.5 0.85 6 40.4 6.12 22.4 0.72 7 49.6 7.88 25.1 0.53 8 59.6 9.88 27.6 0.28 9 70.4 12.12 29.9 -0.03 10 82.0 14.60 32.0 -0.40

Figure 5 - Ventes à rendement croissant et décroissant Le graphique montre que profit maximal est de 3-4 millions Modèles à racine fractionnelle

y =a 0 a 1 x

a2

(10)

Forme : trois allures possibles en fonction de a2: <= -1; (-1; 1); >1 Réponse marginale : .. Limite inf. (X-->0) : .. Limite sup. (X-->0) : .. Exemples :

• •

Modèle de Racine Fractionnelle, rythme décroissant applicable aux prix [ 2.15] Modèle de Racine Fractionnelle, accroissement à rythme décroissant [ 2.15_2]

Listing 4

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

a=0 b=1 c=-0.5 d=0 x=seq(1,10,1) y=a+b*x^c

6

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

profit=0.3*y-x df=data.frame(Effort=x, Ventes=y, Profit=profit) c=0.5 y=a+b*x^c profit=0.3*y-x df$Ventes2=y df$Profit2=profit df # show Ventes matplot(x, df[,seq(2,5,2)], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Effort", ylab="Reponse") 17. legend(min(x), max(df[,seq(2,5,2)]),names(df)[seq(2,5,2)], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse:

•

Modèle de Racine Fractionnelle, rythme croissant [ 2.15_3]

Listing 5

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

a=0 b=1 c=1.5 d=0 x=seq(1,10,1) y=a+b*x^c matplot(x, y, pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits")

Analyse:

On calcule d'abord un modèle à racine fractionnelle avec un rythme décroissant indiqué par le coefficient c (c=-0.5) . Il est applicable aux prix. Quand le coefficient c est positif mais inférieur a 1 (ici c= 0.5) on enregistre un accroissement des ventes à rythme décroissant (Ventes2).

Quand le coefficient c est positif et supérieur à 1 (ici c=1.5) on obtient une réponse à rythme croissant.

Figure 8 - Modèle de réponse à rythme croissant Figure 7 - Réponse à rythme décroissant et réponse avec accroissement à rythme décroissant

•

Modèle de Racine Fractionnelle, équivalent au modèle de saturation [2.15_4]

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

7

Listing 6

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Modèles Semi-logarithmique

a=10 b=-10 c=-1 x=seq(1,10,1) y=a+b*x^c matplot(x, y, pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits")

y =a 0 a 1 ln  x 

(11)

Forme : concave Réponse marginale : b ea0/a1 quand x = e-a0/a1 Limite inf. (X-->0) : 0 quand x = e-a0/a1 Limite sup. (X-->0) : illimité Listing 7

Analyse Une forme particulière de réponse obtenue du même modèle de racine fractionnelle, est le modèle de saturation. Dans ce cas le coefficient c=-1. Le modèle devient alors y=a+b/x ou a exprime le niveau de saturation (ici a=10) et b est négatif. Ici b=-a pour que la réponse soit égale à zéro quand x = 1.

Figure 9 - Modèle de saturation

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

a=1 b=1 x=seq(1,10,1) y=a+b*log(x) df=data.frame(Effort=x, Ventes=y) a=0 y=a+b*log(x) df$Ventes2=y b=2 y=a+b*log(x) df$Ventes3=y matplot(x, df[,2:4], pch = 1:3, type = "o", col = 1:3,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits" 13. legend(min(x), max(df[,2:4]),names(df)[2:4], lwd=3, col=1:3, pch=1:3)

Analyse: Vue les contraintes imposées par la définition des logarithme ici la valeur minimum de x est 1. La première formulation de la réaction de ventes pose a=1 qui indique la valeur minimum de la fonction. Dans les autre deux formulations a=0 d'abord avec b=1 pour donner un deuxième courbe (Ventes2) et ensuite b=2 ce qui imprime au ventes une croissance plus importante (Ventes3).

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

8

Figure 10 - Modèle semilogarithmique

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

c=0 d=0 x=seq(0,10,1) y=a*(1-exp(-b*x))+c df=data.frame(Effort=x, Ventes=y) b=0.4 y=a*(1-exp(-b*x))+c df$Ventes2=y df matplot(x, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 13. legend(min(x), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: Deux forme du modèle sont construites un qui approche lentement la saturation (b=0.2) et un autre qui l'approche plus rapidement (b=0.4)

Figure 11 - Modèle exponentiel modifié

C. - Modèles nonlinéaires Modèle Exponentiel Modifié ax

y =minmax−min1−e 

(12)

Forme : concave Réponse marginale : a0 a1 Limite inf. (X-->0) : a2 Limite sup. (X-->0) : a0+a2 Exemples:

• •

Modèle Exponentiel Modifie, approche lentement la saturation [ 2.17] Modèle Exponentiel Modifie, approche rapidement la saturation [ 2.17_2]

Listing 8

1. 2.

a=10 b=0.2

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

9

Figure 12 - Modèles Logistiques croissants

Modèle logistique

y =min Forme : forme en S Réponse marginale : a0a2e-a1/(1+e-a1) 2 Limite inf. (X-->0) : a0/(1+e-a1) + a3 Limite sup. (X-->0) : a0+a3 Exemples:

• •

 max−min  1e− a b x 

(13)

Modèle Logistique, approche lentement la saturation [2.18] Modèle Logistique, approche rapidement la saturation [ 2.18_2]

Listing 9

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

a=10 b=-2 c=0.3 d=3 x=seq(0,10,1) y=a*(1/(1+exp(-b-c*x)))+d df=data.frame(Effort=x, Ventes=y) c=0.6 y=a*(1/(1+exp(-b-c*x)))+d df$Ventes2=y df matplot(x, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 13. legend(min(x), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

•

Modèle Logistique, décroissant applicable aux prix [ 2.18_3]

Listing 10

Analyse: Deux forme du modèle sont construites une qui approche lentement la saturation (c=0.3) et un autre qui l'approche plus rapidement (c=0.6)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

a=10 b=-2 c=-0.3 d=3 x=seq(0,10,1) y=a*(1/(1+exp(-b-c*x)))+d df=data.frame(Effort=x, Ventes=y) df matplot(x, y, type="l", xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits")

10

Analyse:

Listing 11

La seule différence par rapport aux formulation précédentes est que le coefficient c est négatif (ici c=-0.3). Cela rend la rend le modèle décroissant et apte pour représenter la réponse (Ventes) par rapport aux prix par exemple.

Figure 13 - Modèle Logistique décroissant

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

a=10 b=0.1 c=0.2 d=0 x=seq(0,10,1) y=a*b^c^x+d df=data.frame(Effort=x, Ventes=y) c=0.6 y=a*b^c^x+d df$Ventes2=y c=0.9 y=a*b^c^x+d df$Ventes3=y b=0.2 c=0.6 y=a*b^c^x+d df$Ventes4=y df matplot(x, df[,2:5], pch = 1:4, type = "o", col = 1:4,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 20. legend(min(x), max(df[,2:5]),names(df)[2:5], lwd=3, col=1:4, pch=1:4)

Analyse: Les premières trois formulations du modèle Gompertz jouent sur l'augmentation du coefficient c. Quand c=0.2, la réponse (Ventes) approche rapidement la saturation. Quand c=0.6 elle approche la saturation à une vitesse moyenne (Ventes2) et quand c=0.9 elle approche lentement la saturation (Ventes3). La modification du coefficient b augmente le niveau de l'origine de la réponse (Ventes4) Modèle Gompertz

y =minmax−min a b y a 3 a 0 a a1

x

(14)

x 2

Forme : S Réponse marginale : a0a1ln(a2 ln(a3)) Limite inf. (X-->0) : a0 a1 + a3 Limite sup. (X-->0): a0 + a3 Exemples :

• • • •

Modèle Gompertz, approche lentement la saturation [ 2.19] Modèle Gompertz, approche la saturation à une vitesse moyenne [ 2.19_2] Modèle Gompertz, approche rapidement la saturation [ 2.19_3] Modèle Gompertz, modification de l'origine [ 2.19_4] Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

11

Figure 14 - Modèle Gompertz 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

a=10 b=1 c=0.5 d=2 x=seq(0,10,1) y=b+(a-b)*(x^c/(d^c+x^c)) df=data.frame(Effort=x, Ventes=y) c=2 y=b+(a-b)*(x^c/(d^c+x^c)) df$Ventes2=y df matplot(x, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits" 13. legend(min(x), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: Deux forme du modèle sont construites une (Ventes) qui approche lentement la saturation (c=0.5) et une autre (Ventes2) qui l'approche plus rapidement (c=2)

Modèle ADBUDG a

y =minmax−min

x a a b x

(15)

Forme : S quand a2 >1 et concave autrement Réponse marginale : 0 pour a2 >1 et infinie autrement Limite inf. (X-->0) : a1 Limite sup. (X-->0) : ao Exemples:

• •

Modèle Adbudg, approche lentement la saturation [2.20] Modèle Adbudg, approche rapidement la saturation (forme en S) [2.20_2]

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

12

Figure 15 - Modèle ADBUDG

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

c=2 d=2 x=seq(0,10,1) y=b+(a-b)*(x^c/(d^c+x^c)) df=data.frame(Effort=x, Ventes.ForceV=y) d=1.5 y=b+(a-b)*(x^c/(d^c+x^c)) df$Ventes.Pub=y df matplot(x, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits" 13. legend(min(x), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: On utilise le modèle Adbudg légèrement plus sensible grâce au coefficient d=1.5 pour représenter la réponse (Ventes.Pub) aux budget de publicité, et un modèle légèrement moins sensible d=2 pour représenter la réaction (Ventes.ForceV) à taille de la force de ventes.

Modèles à plusieurs variables explicatives Modèle linéaire

y =a 0 a 1 x 1a 2 x 2 ...a k x k

(16)

Modèles Nonlinéaires

y =a 0 a 1 g 1  x a 2 g 2  x ...a k g k  x  (17) Exemples : • Modèle Adbudg, légèrement plus sensible à la publicité qu'à la force de vente [ 2.21] • Modèle Adbudg, légèrement moins sensible à la force de vente qu'à la publicité[ 2.21_2] Listing 12

1. 2.

a=10 b=0

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

13

Figure 16 - Modèles Adbudg pour représenter la sensibilité des ventes à la publicité et à la force de ventes.

18. df 19. matplot(x2, df[,2:3], pch=1:2, type = "o", col = 1:2, xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 20. legend(min(x), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: Malgré le faite que le marché est légèrement plus sensible à la publicité, la force de vente est plus efficace avec un poids de 1.6 par rapport a seulement 1 pour la publicité dans le modèle qui regroupe les deux variables. Pour mettre en valeur cette différence d'efficacité on calcule deux cas de figure extrêmes. La première représente la réponse (Ventes.Pub) quand la taille de la force de ventes est réduite à zéro et la publicité varie. La deuxième représente la réponse (Vente.ForceV) quand la publicité est réduite à zéro et la taille de la force de vente varie.

Figure 17 - Modèle

•

Modèle à deux variables sans interactions [ 2.23]

Listing 13

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

a=10 b=0 c=2 d1=2 d2=1.5 x1=seq(0,9,1) # varie x2=rep(0,10) # fix g1=b+(a-b)*x1^c/(d1^c+x1^c) #Force V g2=b+(a-b)*x2^c/(d2^c+x2^c) #Pub y=15+1.6*g1+1*g2 df=data.frame(Effort=x1, Ventes.ForceV=y) x1=rep(0,10) # fix x2=seq(0,9,1) # varie g1=b+(a-b)*x1^c/(d1^c+x1^c) g2=b+(a-b)*x2^c/(d2^c+x2^c) y=15+1.6*g1+1*g2 df$Ventes.Pub=y

Adjonction d'interaction

y =a 0 a 1 g 1  x 1 a 2 g 2  x 2 a 3 g 1  x 1  g 2  x 2 

(18)

Exemples : Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

14

• •

Modèle à deux variables avec interaction positive [ 2.24] Modèle à deux variables avec interaction négative [ 2.25]

Figure 18 - Effet d'interaction zéro, positive et négative entre deux variable du mix marketing

Listing 14

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

a=10 b=0 c=2 d1=2 d2=1.5 x1=seq(0,9,1) # publicite varie x2=rep(5,10) # force de vent fixé a 5 g1=b+(a-b)*x1^c/(d1^c+x1^c) g2=b+(a-b)*x2^c/(d2^c+x2^c) y=15+1.6*g1+1*g2 df=data.frame(Effort=x1, Ventes.Interaction0 = y) y=15+1.6*g1+1*g2+0.05*g1*g2 df$Ventes.Interact.Pos = y y=15+1.6*g1+1*g2-0.05*g1*g2 df$Ventes.Interact.Neg = y df matplot(x1, df[,2:4], pch=1:4, type = "o", col = 1:3, xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits" 18. legend(min(x), max(df[,2:4]),names(df)[2:4], lwd=3, col=1:3, pch=1:3)

Modèles multiplicatifs

Analyse: Pour illustrer les effets d'interaction entre les variables du mix marketing le modèle précédent est repris en utilisant un budget de publicité qui varie et un taille de la force de vente fixé à 5. Trois cas de figure sont présentés: le premier sans interaction entre les deux variables, le deuxième avec un interaction positive et le dernier avec un interaction négative

modèle Log-Linéaire a1

a2

ak

y =a 0 x 1 x 2 ... x k

(19)

on peut montrer que a1, a2 .. an sont des coefficients d'élasticité

dy a 1 y = dx 1 x 1 dy / y a1= dx 1 / x 1

(20) (21)

Ce modèle est est linéaire pour les logarithmes des variables.

ln  y =ln a 0 a 1 ln x 1 a 2 ln  x 2 ...a k ln  x k 

(22)

Exemples : • Modèle loglinéaire recherche du prix optimum en gardant la pub. Fixé à 2 [ 2.30] • Modèle loglinéaire recherche du prix optimum en gardant la pub. Fixé à 8 [ 2.30_2]

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

15

Listing 15

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

x1=rep(2,10) x2=seq(3,12,1) y=100*x1^0.5*x2^-2 profit=(x2-3)*y-x1 df=data.frame(Effort=x2, Profit2=profit) x1=rep(8,10) y=100*x1^0.5*x2^-2 profit=(x2-3)*y-x1 df$Profit8=profit df matplot(x2, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 12. legend(min(x2), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: En utilisant un modèle de réponse loglinéaire on cherche le prix (x2) optimum en fixant le budget de publicité (x1) dans un première étape à 2 et on calcul le profit (Profit2), ensuite on fait le même calcul avec le budget de pub. fixé à 8 pour obtenir une autre courbe du profit (Profit8).

Figure 19 - Le profit par rapport aux prix et deux niveaux de budget de publicité

Le prix optimum est proche de 6. • Modèle loglinéaire recherche du niveau de pub optimum avec le prix fixé à son optimum [ 2.30_3] • Modèle loglinéaire recherche du niveau de pub optimum avec le prix fixé au double de son optimum [ 2.30_4] Listing 16

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

x1=seq(0,45,1) x2=rep(6,46) y=100*x1^0.5*x2^-2 profit=(x2-3)*y-x1 df=data.frame(Effort=x1, Profit6=profit) x2=rep(12,46) y=100*x1^0.5*x2^-2 profit=(x2-3)*y-x1 df$Profit12=profit df matplot(x1, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 12. legend(min(x1), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: En posant le prix a son niveau optimum déterminé précédemment (x2=6) on fait varier le budget du publicité pour obtenir une première courbe du profit (Profit6). Ensuite on double le prix (x2=12) et on applique la même variation de la publicité. Résulte une deuxième courbe du profit (Profit12)

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

16

Figure 20 - Le profit par rapport aux dépenses publicitaires et deux niveaux de prix

8. 9.

matplot(x1, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") legend(min(x1), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse:

Figure 21 - Transformation logistique des modèles d'interaction linéaires et multiplicatifs

Modèles avec transformation logistique

y =min

max −min 1e

− a0a1 x 1a2 x 2a3 x 1 x 2 

(23)

Exemple : Modèle d'interaction additif avec transformation logistique [ 2.34]

y =min

 max−min 1e −a x x ... x 0

a1 1

a2 2

ak k



Exemple Modèle d'interaction multiplicatif avec transformation logistique [ 2.35]

Modèles de part de marché Modèles multiplicatifs

Listing 17

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(24)

x1=seq(0,9,1) x2=rep(1,10) y=7/(1+exp(-(-3+x1+1.6*x2-0.05*x1*x2))) df=data.frame(Effort=x1, Ventes.Logit.Lin=y) y=7/(1+exp(-(x1^0.5*x2^-2))) df$Ventes.Logit.Mult=y df

L'attractivité d'une offre est souvent modélisé comme une fonction de réponse multiplicative, ayant comme variable explicatives les caractéristiques de l'offre (xk) qui ont comme exposants des coefficients bk . Ces coefficients sont les inconnues qui seront trouvé par le processus d'estimation du modèle. (25) A j =b 0 x b11 x b2 2 ... x bk k

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

17

Modèles d'attractivité

Exemples

La part de marché est le rapport entre l'attractivité de notre offre et la somme des attractivités de toutes les offres présentes sur le marché. Dans des situations de "duopole" ou on regarde notre offre par rapport à celle de la concurrence dans son ensemble la formule de calcul de la part de marché est la suivante:

Analyses de sensibilité par rapport à « notre » publicité • Modèle de part de marché - Sensibilité à la Publicité 1 [2.43-49.1] • Modèle de part de marché - Sensibilité à la Publicité 2 [2.43-49.2] • Modèle de part de marché - Sensibilité à la Publicité 3 [2.43-49.3] • Modèle de part de marché - Sensibilité à la Publicité 4 [2.43-49.4]

notre part =

nous nous eux 

(26)

En générale on prend en compte de manière explicite plusieurs concurrents ce qui corresponde à des situation d'oligopole et la formule appliqué est

1. 2. 3.

Aj

S j=

J

(27)

∑ Aj

4.

j =1

ou K

A j =e

b0

∏ X bj k ε j k

(28)

k =1

ou j = 1 à J le nombre de marques sur le marché

Particularités du choix spatial

Quand le choix est spatial, chaque situation de choix se caractérise par un positionnement dans l'espace définie par des coordonnées horizontales (x) et verticales (y). L'attractivité vue d'une situation de choix i dépend aussi de la distance entre le positionnement spatial de la situation de choix i et celui du point d'offre (alternative de choix) j. La formule de calcul de l'attractivité devra inclure cette variable supplémentaire qui est la distance (?.?). b (29) A ij = A j d ijd La formule de la part de marché sera aussi corrigé pour faire ressortir cette particularité du choix spatial.

A ij

S ij =

Listing 18

J

∑  A ij 

(30)

j =1

ou

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

mshare=function(){ # Attractions na=1*(b1+(a1-b1)*((x1)^c1/(d1^c1+ (x1)^c1)))^0.6*(a2+b2*(x2)^c2)^0.4 ca=1*(b4+(a4-b4)*((+1*x4)^c4/(d4^c4+ (+1*x4)^c4)))^0.6*(a5+b5*(x5)^c5)^0.4 # Part de marché nms=na/(na+ca) return(nms) } # attribuer valeurs aux coefs a1=2; b1=0.5; c1=2; d1=7 a2=0; b2=3; c2=-1.5; d2=0 a4=2; b4=0.5; c4=2 ; d4=7 a5=0; b5=3; c5=-1.5; d5=0 # Valeurs des variables marketing x1=seq(0,40,1) # notre pub # Variables fixes # Notre Prix; Leur pub ; Leur Prix x2=rep(2,41); x4=rep(3,41) ; x5=rep(2,41) df=data.frame(Notre.Pub=x1, Part1=mshare()) # Leur pub (+) x4=rep(6,41) df$Part2=mshare() # Leur pub (); Leur Prix (-) x4=rep(3,41); x5=rep(1.6,41) df$Part3=mshare() # Notre Prix (-); Leur Prix (-/+)) x2=rep(1.6,41); x5=rep(2,41) df$Part4=mshare()

matplot(x1, df[,2:5], pch = 1:4, type = "o", col = 1:4,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits" 36. legend(min(x), max(df[,2:5]),names(df)[2:5], lwd=3, col=1:4, pch=1:4)

K

A ij =e

b0

∏ X bijk ε j k

(31)

k =1

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

18

Figure 22 - Analyse de sensibilité de la part de marché aux dépenses publicitaire et aux actions de la concurrence

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

x1=rep(3,6);x4=rep(3,6);x5=rep(2,6) df=data.frame(Notre.Prix=x2, Part1=mshare()) # Notre Pub x1=rep(6,6) df$Part2=mshare() # Notre pub; Leur pub x1=rep(3,6) x4=rep(6,6) df$Part3=mshare() # Leur pub ; Leur Prix x4=rep(3,6); x5=rep(1.6,6) df$Part4=mshare()

matplot(x2, df[,2:5], pch = 1:4, type = "o", col = 1:4,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits" 30. legend(min(x2), max(df[,2:5]),names(df)[2:5], lwd=3, col=1:4, pch=1:4)

Figure 23 - Sensibilité de la part de marché aux prix et aux actions de la concurrence

Analyses de sensibilité par rapport à « notre » prix • Modèle de part de marché - Sensibilité au Prix 5 [2.43-49.5] • Modèle de part de marché - Sensibilité au Prix 6 [2.43-49.6] • Modèle de part de marché - Sensibilité au Prix 7 [2.43-49.7] • Modèle de part de marché - Sensibilité au Prix 8 [2.43-49.8] Listing 19

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

# mshare() necessaire # attribuer valeurs aux coefs a1=2; b1=0.5; c1=2; d1=7 # Pub Adbudg a2=0; b2=3; c2=-1.5; d2=0 # Prix Fracroot a4=2; b4=0.5; c4=2 ; d4=7 # Pub Adbudg a5=0; b5=3; c5=-1.5; d5=0 # Prix Fracroot # Valeurs des variables marketing x2=seq(1,6,1) # notre prix # Variables fixes # Notre Prix; Leur pub ; Leur Prix

Recherche du budget de publicité qui assure un profit optimum quand notre prix et celui de la concurrence = 2 et la publicité du concurrent = 2.

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

19

Figure 24 - Analyse de sensibilité de publicité

Figure 25 - Sensibilité du profit par rapport au prix

Sensibilité du profit par rapport au prix quand la publicité = 7 elle met en evidence un prix optimal de 4.5.

Dépenses publicitaires optimales quand on applique le prix optimal (4.5)

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

20

Figure 26 - Dépenses publicitaire optimales en utilisant le prix optimum déterminé auparavant

Nos ventes comparées aux ventes totales du marché à différents niveau de prix. On observe que pour le prix optimum (x2=4.5) et quand on utilise le budget de publicité optimum (x1=7) notre part de marché sera de 55%. Interaction Compétitive Multiplicative (MCI)

A ij =e

b0

S ij =

K

∏ X ijkb ε j

(32)

k

k=1

A ij

J

(33)

∑  A ij  j =1

la forme linéarisé du modèle de part de marché (Si) est:

log  ou

S

,

X

et

K S ij X =a*i ∑ b k log  kij ε *i S i. X ki. k=1

e

sont les moyennes géométriques de Sij, * i

a =a i a e e *i =log i  ei.

Figure 27 -

Xki . =

∏ J

J

j =1

X kij =exp 

1 J

(34)

X kij

et (35) (36)

J

∑ ln X kij 

(37)

j=1

Example [2.50.1] Logit Multinomial (MNL) K

A ij =exp  a ij ∑ b k X kij e ij 

(38)

k=1

la forme linéarisée du modèle de part de marché (Si) est:

log Example [2.50.2]

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

K S ij =a*ij ∑ b k  X kij − Xki. e ij −ei.  S i. k=1

(39)

21

Tableau 5 - Calcul des probabilités de choix spatial

Estimation d'un modèle MCI spatial

Figure 28 - Exemple de comportement de choix spatial

Situations de choix 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

x 1.3 66.8 87.2 51.6 30.6 7.8 46.2 15.6 47.7 69.9 68.0 89.7 89.1 67.1 34.8 23.5 8.0 75.1 19.5 61.8 66.1 67.5 39.6 56.1 82.7 48.2 4.7 67.4 68.6 65.1 41.7 24.3 66.4 50.7 58.3 18.8 72.9 5.4 28.9 41.9 42.6 94.2 96.0 84.6 58.3 38.9 94.2 95.0 15.6 13.7

y poid 21.6 920 50.8 144 23.5 447 89.1 580 79.5 533 88.0 217 12.2 573 38.7 86 39.3 25 94.3 544 20.8 906 4.4 620 13.6 493 11.0 781 6.5 580 54.7 129 31.7 445 48.0 667 57.4 937 78.3 991 97.2 46 83.1 665 99.2 933 86.0 14 62.8 437 9.8 470 78.6 971 84.9 402 58.0 74 90.6 818 84.0 401 67.9 867 39.7 714 54.0 402 45.8 427 51.7 794 29.1 389 36.9 874 63.4 79 78.9 316 19.6 767 5.3 674 14.5 61 71.9 107 48.3 298 35.8 400 41.5 36 14.3 946 81.6 705 79.2 403

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

Alternatives [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,]

x 76 90 57 96 71 35

y c1 c2 18 6 4 70 2 2 51 1 6 24 5 6 95 4 5 96 4 6

Probabilités de choix [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] [8,] [9,] [10,] [11,] [12,] [13,] [14,] [15,] [16,] [17,] [18,] [19,] [20,] [21,] [22,] [23,] [24,] [25,] [26,] [27,] [28,] [29,] [30,] [31,] [32,] [33,] [34,] [35,] [36,] [37,] [38,] [39,] [40,] [41,] [42,] [43,] [44,] [45,] [46,] [47,] [48,] [49,] [50,]

[,1] 0.00 0.28 0.29 0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 0.59 0.00 0.04 0.21 0.90 0.34 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.31 0.00 0.00 0.00 0.34 0.00 0.29 0.00 0.12 0.00 0.00 0.00 0.73 0.33 0.52 0.00 0.50 0.50 0.02 0.29 0.00 0.00

[,2] 0.00 0.19 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.53 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.64 0.00 0.37 0.32 0.39 0.00 0.10 0.21 0.00 0.00 0.08 0.19 0.19 0.00 0.00 0.14 0.00 0.47 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.31 0.06 0.00 0.37 0.00 0.00 0.00

[,3] 0.00 0.29 0.22 0.09 0.67 0.00 0.90 0.00 0.41 0.00 0.33 0.00 0.00 0.11 0.00 1.00 0.00 0.22 0.34 0.45 0.00 0.06 0.00 0.07 0.17 0.00 0.00 0.59 0.47 0.23 0.12 0.60 0.37 1.00 0.24 1.00 0.20 0.00 0.73 0.25 0.27 0.00 0.00 0.55 0.44 0.50 0.29 0.00 0.00 0.00

[,4] 0.00 0.24 0.48 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.63 0.79 0.10 0.56 0.00 0.00 0.00 0.12 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.32 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.14 0.00 0.00 0.00 0.68 0.00 0.00 0.00 0.00 0.67 0.48 0.00 0.00 0.00 0.33 0.71 0.00 0.00

[,5] 0.00 0.00 0.00 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.14 0.58 0.29 0.49 0.18 0.30 0.00 0.00 0.17 0.03 0.12 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.28 0.00 0.00 0.00 0.15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

[,6] 0.00 0.00 0.00 0.64 0.33 1.00 0.00 0.00 0.00 0.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.66 0.04 0.10 0.26 0.51 0.65 0.00 0.00 1.00 0.16 0.00 0.46 0.63 0.40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.27 0.47 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00

22

Listing 20

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

# simulation des donn?es ns=20 # no. de situations de choix nc= 6 # no. d`alternatives de choix nx=2 # no. caracteristiques des alternatives de choix schoix=c(round(runif(2*ns,0,100),1), round(runif(ns,0,1000))); # simul. situations de choix dim(schoix)=c(ns,3) schoix=data.frame(x= schoix[,1],y=schoix[,2], poid=schoix[,3]) cat("\n\nTableau des situations de choix\n") schoix #plot(c(0,100), c(0,100), xlab="x", ylab="y", main="Comportement de choix spatial") # Polygones de Voronoi library(tripack) plot(voronoi.mosaic(schoix$x,schoix$y,duplicate="remove"),xlab="x" , ylab="y", main="Comportement de choix spatial", col="red") points(schoix$x, schoix$y, cex=schoix$poid*5/max(schoix$poid), pch=0)

15. 16. achoix=c(round(runif(2*nc,0,100),), round(runif(nx*nc,1,7))) # simul choix 17. dim(achoix)=c(nc,2+nx) 18. colnames(achoix)=c("x","y",paste(rep("c",nx), 1:nx,sep="")) 19. #achoix=data.frame(x=achoix[,1], y=achoix[,2], var1=achoix[,3], var2=achoix[,4]) 20. cat("\n\nTableau des choix\n") 21. achoix 22. points(achoix[,1], achoix[,2], pch=2, col="red") 23. 24. # calcul des distance des situations de choix vers les choix 25. dij=sqrt(outer(schoix[,1],achoix[,1],FUN="-")^2+outer(schoix[,2],a choix[,2],FUN="-")^2) 26. cat("\n\nDistances des situations de choix [en ligne] aux choix [en colonne]\n") 27. dij 28. # simul. comportements de choix 29. pz=0.4 # part des choix (non zero) 30. cij = runif(ns*nc) 31. cij = ifelse(dij<mean(dij)*2*pz,cij,0) # elimine les choix ?loign? s 32. zij = ifelse(cij==0,0,1) # incidence du choix 33. 34. cat("\n\n Comportement de choix\n") 35. cij # comportements 36. 37. cat("\n\nprobabilit?s de choix\n") # (risque division par zero !!!) 38. pij=diag(as.vector(1/cij%*%rep(1,ncol(cij)))) %*% cij 39. pij 40. 41. # Plot comportement de choix

42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72.

maxs=max(schoix$poid) for(i in 1:ns){ for(j in 1:nc){ if(zij[i,j]){ tx=c(schoix[i,"x"], achoix[j,1]) ty=c(schoix[i,"y"], achoix[j,2]) twd=pij[i,j]*schoix$poid[i]*5/maxs lines(tx, ty, lwd=twd) } } } # log centrage l=y=d=0 x=rep(0,2) dim(x)=c(1,2) dfx=data.frame(x) # permet d`ajouter des elements dynamiquement for(i in 1:ns){ pij[i, ]=ifelse(pij[i, ]==0,1,pij[i, ]) # eviter la multipl. avec zero for(j in 1:nc){ if(zij[i,j]){ l=l+1 y[l]=log(pij[i,j]/(prod(pij[i, ])^1/(nc-sum(zij[i,])+nc))) d[l]=log(dij[i,j]/(prod(dij[i, ])^1/(nc-sum(zij[i,])+nc))) # un seul x #x[l,] = log(achoix[j,3:ncol(achoix)]/ (prod(achoix[,3:ncol(achoix)])^1/(nc-sum(zij[i,])+nc))) # astuce pour utiliser les operation matricielles pour remplacer prod() # x=1:3 # prod(x) # solution 1 # exp(sum(log(x))) # solution 2 dfx[l,] = log(achoix[j,3:ncol(achoix)]/(exp(rep(1,nc)%* %log(achoix[,3:ncol(achoix)]))^1/(nc-sum(zij[i,])+nc))) } } }

73. 74. 75. 76. 77. cat("\n\nDonn?es logcentr?es pour estimation par r?gression lin? aire\n") 78. df=data.frame(y.logcentr = y, x1.logcentr = dfx[,1], x2.logcentr=dfx[,2], d=d) 79. df 80. 81. # estimation par regression lin?aire 82. nk.lm=lm(y~dfx$X1+dfx$X2+d) 83. y.predicted=predict(nk.lm) 84. df$ypred.logcentr=y.predicted 85. 86. # probabilit?s de choix retrouv?es par "inverse logcentrage" 87. df$yreel=exp(y)/sum(exp(y)) 88. df$ypred=exp(y.predicted)/sum(exp(y.predicted)) 89. cat("\n\nTableau final apr?s regression et `inverse logcentrage`\n") 90. df 91. matplot(1:length(y), df[,6:7], pch = 1:2, type = "p", col = 1:2,xlab="Situations de choix", ylab="Probabilite")

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

23

2

y t =a 1 f  x t a 1 λ f  x t −1 a 1 λ f  x t −2 ...

92. legend(1, max(df),names(df)[6:7], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

(41)

On utilise la procédure de Koyck: 1) on décale l'équation précédente d'une période et on la multiplie avec λ : 2

λ y t−1 = λ a 1 f  x t −1  λ a 1 f  x t−2 ...

Analyse: Le choix spatial .. Les situations de choix sont par exemple les cartiers ou ilôts dans une ville qui sont définis par une position dans l'espace et par un nombre de clients qui y résident. Dans le listing 20 les situations de choix sont simulées à la ligne 5 et auxiliairement leur territoire est délimité sous forme de polygones de Voronoi à la ligne 13. Les alternatives de choix pour ces clients sont des unités de distribution localisées dans l'espace et qui comportent des caractéristiques qui sont à l'origine de leur attractivité. Pour une situation de choix donnée la distance par rapport à chaque alternative est aussi une variable qui influence le choix. Le comportement de choix est influencé par les distances entre les situations et les alternatives de choix calculées à la ligne 25 . Ce comportement est simulé par des valeurs aléatoires positives ligne 30 qui sont annulées par endroit ou les situations et les alternatives de choix sont trop éloignées. Finalement le comportement de choix est représenté par les probabilités de choix proportionnelles à ces valeurs ligne 38. Le comportement de choix est représenté graphiquement lignes 41 – 52, dans la figure 28 par des lignes qui partent de chaque situation de choix vers les alternatives pour lesquelles il existe une probabilité de choix non nulle et l'épaisseur de lignes est proportionnelle poids (nombre de clients) de chaque situation de choix pondéré par la probabilité de choix. Cette situation qui simule une situation réelle constitue le point de départ des calculs qui visent à ajuster un modèle de type MCI spatial. A chaque probabilité de choix (part de marché) non nulle d'une alternative à partir d'une situation de choix on associe comme variable explicatives les caractéristiques des alternatives et la distance entre la situation de choix et l'alternative. Afin d'obtenir un relation linéaire les valeurs de la variable expliquée (probabilité ou part de marché) et des variables explicatives sont log-centrées selon les formules 34 et 37 (lignes 56 – 75). Pour le calcul des moyennes géométriques des variables explicatives de manière matricielle on utilise l'artifice de calcul qui nous permet de calculer matriciellement la somme de logarithmes des valeurs de variables, qu'on transforme en produit des variable par exponentiation ligne 72. Les coefficients qui caractérisent la relation entre la part de marché observé (ici simulé) et les variables définissant les alternatives de choix sont obtenus par régression linéaire ligne 82. Le modèle ainsi calibré permet de prédire les probabilités de choix logcentrés lignes 83. Les probabilités prédites peuvent être comparées aux probabilités réelles après « inverse logcentrage » ligne 87-88 afin d'évaluer graphiquement (lignes 91-92) la qualité de l'ajustement du modèle.

Effets dynamiques Lissage exponentiel et prcédure de Koyck

y t =a 1 f  x t a 2 f  x t −1 a 3 f  x t −2 ... a i1 on suppose que l'effet de X sur Q décroît de manière régulière ( =λ ai

(40) ) et on transforme la

(42)

2) et on soustrait les deux équations ou bien

y t −λ y t −1 =a 1 f  x t 

(43)

y t =a 1 f  x t  λ y t −1

(44)

a1 mesure l'effet à court terme et λ l'effet des actions passées Cette dernière expression permet de représenter des effets de retard dans la réponse aux stimuli marketing. Elle peut aussi illustrer des effets de mémoire en publicité par exemple ou l'effort marketing présent est renforcé par le souvenir des efforts passés comme dans la formule suivante. x ' t =a 1 x t  λ x ' t −1 (45) Dans la section qui porte sur les modèle de publicité les effets de retard et mémoire seront traités avec plus de détail. Quand pendant de longues périodes la réponse et les efforts marketing sont stables ( x t =x t −1= x et y t = y t −1= y ) l' équation ( 43) devient:

y= ou

a1 1− λ

a1 f x 1− λ

mesure l'effet à long terme de l'effort marketing et

(46)

1 1− λ

est le terme

multiplicatif des dépenses marketing sur le long terme. On retrouve une variante de cette démarche dans la modélisation de la relation client et notamment dans le calcul de la valeur du client à long terme. Elle est particulièrement adapté à des situations de type rétention de clientèle ou « lost for good » qui seront développés dans une autre section.

Exemples

On utilise les modèle d'efficacité des dépenses publicitaires 2.30 et 2.31 (publicité statique optimum est 10 et prix statique optimal = 6 • Effets dynamiques des dépenses publicitaires, faible effet dynamique (0,2) dépense constante[2.59.1] • Effets dynamiques des dépenses publicitaires, faible effet dynamique (0,2) dépenses par impulsions [2.59.2] • Effets dynamiques des dépenses publicitaires, fort effet dynamique (0,8) dépense constante[2.59.3] • Effets dynamiques des dépenses publicitaires, faible effet dynamique (0,8) dépenses par impulsions [2.59.4] • Effets dynamiques des dépenses publicitaires, faible effet dynamique (0,8) dépense constante sous contrainte budgétaire[2.59.5]

formule:

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

24

•

Effets dynamiques des dépenses publicitaires, faible effet dynamique (0,8) dépenses par impulsions sous contrainte budgétaire[2.59.6]

Figure 29 - Dépenses publicitaires constantes ou par impulsion et effets dynamiques

Listing 21

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.

dynamic=function(){ yct=100*x1^0.5*x2^-2 ylt=rep(0,10) ylt[1]=yct[1] for(i in 2:10){ ylt[i]=alfa*yct[i]+lambda*ylt[i-1] } return(y) } x1=rep(15,10); x2=rep(6,10) alfa=0.8; lambda=0.2 y=dynamic() df=data.frame(Ventes=y, Profit1=(x2-1.5)*y-x1) x1=rep(c(25,5),5) alfa=0.8; lambda=0.2 df$Profit2=(x2-1.5)*dynamic()-x1 x1=rep(15,10) alfa=0.2; lambda=0.8 df$Profit3=(x2-1.5)*dynamic()-x1 x1=rep(c(25,5),5) alfa=0.2; lambda=0.8 df$Profit4=(x2-1.5)*dynamic()-x1

Modèle de Bass ou modèle de diffusion des nouveaux produit

x1=rep(5,10) alfa=0.2;lambda=0.8 df$Profit5=(x2-1.5)*dynamic()-x1 x1=rep(c(9,1),5) alfa=0.2; lambda=0.8 df$Profit6=(x2-1.5)*dynamic()-x1

df matplot(1:10, df[,2:7], pch = 1:6, type = "o", col = 1:6,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 38. legend(1, max(df[,2:7]),names(df)[2:7], lwd=3, col=1:6, pch=1:6)

Un autre effet dynamique à part celui du retard et de la mémorisation est celui de la diffusion de nouveau produits ou des innovation technologique. Le prototype des modèles de diffusion utilisés en marketing est celui de Bass (19??). Le modèle de Bass postule que le nombre d'adopteurs d'un nouveau produit dépend à chaque période du nombre de clients potentiels n'ayant pas encore acheté le produit. Ce potentiel est stimulé par un facteur externe comme la publicité par exemple et par un facteur interne. Le facteur interne exprime l'effet de bouche à oreille qui lui dépend aussi du nombre cumulé d'adopteurs.

dy t = aby t  N − y t  dt

(47)

ou a= facteur externe, b= facteur interne, N= nombre potentiel de clients, y t = nombre total d'adopteurs jusqu'en période t

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

25

Figure 30 - Les cycle e vie d'un produit exprimé en terme de ventes (modèle de diffusion de Bass)

Exemple

Le potentiel du marché est fixé à 1000, la durée du processus analysé est de 20 périodes le facteur externe (effet de publicité) a=0,01 et le facteur interne (importance du bouche à oreille) b=0,001. [2.65] Listing 22

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

a=0.01 # external factor b=0.001 # internal factor yt=0 dy=rep(0,20) for(i in 1:20){ dy[i]=(a+b*yt)*(1000-yt) yt=yt+dy[i] } dy matplot(1:20, dy, pch = 1:1, type = "o", col = 1:1,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits")

Analyse Les premières quatre lignes de code donnent des valeurs aux variables a, b et initialisent la variable yt et le vecteur dy à zéro. Les lignes 5 et 8 renferment une boucle ou i progresse de 1 à 20. Pour chaque i à la ligne 6 la ième valeur du vecteur dy est le produit de 1000 moins yt et d'une fonction linéaire de sa valeur précédente yt. yt est la somme cumulée durant i étapes du vecteur dy. La ligne 9 affiche les valeurs du vecteur dy à la fin du processus (boucle) et la ligne dix représente graphiquement les valeurs de dy qui correspondent à chaque période. La relation dans la boucle veut dire que dy[i], le nombre d'adopteurs du nouveau produit à la période i , dépend du nombre de nombre de clients potentiels n'ayant pas encore adopté le produit (1000-yt) pondéré par un facteur externe comme l'effet de la publicité (a) et un effet de bouche à oreille (b) qui lui dépend du nombre de personnes ayant déjà acheté (adopté) yt.

Estimation nonlinéaire du modèle de Bass

De la formulation récursive sous forme d'équation différentielle qu'on retrouve dans l'expression (47) on peut obtenir par intégration la fonction de diffusion des innovations ayant comme seule variable explicative le temps (Srinivasan et Mason , 1986)

y  t = N [

1−exp− ab  t  1−exp− ab t −1 − ] b b 1 exp− ab  t  1 exp− ab t −1 a a

(48)

C'est cette fonction qu'on mobilise quand on veut estimer le potentiel (N) et les coefficients d'influence externe (a) et interne (b) à partir de données réelles ou simulées. Estimation des modèles de diffusion

Comme il s'agit d'une fonction nonlinéaire, pour estimer ces indicateurs qui caractérisent le processus de diffusion, le recours à une procédure d'estimation nonlinéaire s'impose. Parmi les difficultés que Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

26

rencontrent ces procédures on compte la nécessité de proposer des estimations initiales pour les coefficients à estimer, et si ces estimations initiales sont éloignés de l'optimum réel on encours souvent le risque de tomber sur des optima locaux qui correspondent à des mauvaises estimations. Mahajan et al. (1988) proposent une formulation linéaire du modèle de Bass si on connaît le potentiel (N) du marché. Elle permet l'estimation de coefficients à l'aide de la méthode des moindre carrés. (49) y  t = β 1 y t −1β 2 N ¿ t −1e t  où

−b , β 2 0 N ¿ 2 2 N t −1= N t −1−N  t−2 β 1 =1b −aβ 11

,

β2=

et

Exemple

4.27 8.81 9.92 9.27 6.47 3.28 0.95 4.46 4.87 1.28 0.00 1.08 1.11 0.90 0.00 0.00 0.00 2.65 3.83 0.69

Listing 23

21. 22. 23. 24. 25. 26.

y1=c(0,y[1:(length(y)-1)]) # y(t-1) mlinflmixte=formula(y~0+y1+Nx) # modèle linéaire sans intercept reglin=lm(mlinflmixte) summary(reglin) b= reglin$coef q_ = -b[2]*m # influence interne cf. formule (11) dans Venkatraman et al (1994) 27. p_ = 1+q-b[1] # influence externe cf. formule (11) dans Venkatraman et al (1994) 28. 29. 30. # Estimation par les moindres carrés nonlinéaires 31. minflmixte=formula(y ~ m_*((1-exp(-(p+q)*t))/(1+q/p*exp((p+q)*t))-(1-exp(-(p+q)*(t-1)))/(1+q/p*exp(-(p+q)*(t-1))))) 32. regnonlin=nls(minflmixte, start = list(p =p_ , q = q_, m_=m),trace = TRUE) 33. summary(regnonlin) 34. 35. # Donn?es calcul?es par le mod?le 36. my=predict(regnonlin) 37. coef=round(regnonlin$m$getPars(),2) 38. 39. ## Visualisation des donn?es 40. df=data.frame(y, my, N) 41. names(df)= c("No.reel","No.calculé", "No.cumulé") 42. matplot(t,df,pch = 1:3, type = "p", col = 1:3,xlab="P?riodes", ylab="Adoption") 43. title(main = paste("Mod?le de diffusion \n(potentiel=",coef[3],", infl.interne=",coef[2],", infl.externe=",coef[1],")")) 44. legend(1, max(df),names(df), lwd=3, col=1:3, pch=1:3)

Analyse: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

## génération (simulation) des données # inputs m=50 # potentiel du marché p=0.1 # influence interne q=0.5 # influence externe t=1:20 # periodes ss=2 # ecarttype du terme d`erreur

# modèle de diffusion (influence mixte: externe et interne) y=m*((1-exp(-(p+q)*t))/(1+q/p*exp(-(p+q)*t))-(1-exp((p+q)*(t-1)))/(1+q/p*exp(-(p+q)*(t-1)))) 11. e=rnorm(10,s=ss) # terme d`erreure simulé 12. y=ifelse(y+e<0,0,y+e) # données d`adoption simulées 13. N=cumsum(y) 14. 15. ## Estimation linéaire 16. # cf. formule (11) dans Venkatraman et al (1994) 17. 18. N1=c(0,N[1:(length(N)-1)]) # N(t-1) 19. N2=c(0,0,N[1:(length(N)-2)]) # N(t-2) 20. Nx= N1^2 - N2^2 # N*

Entre les lignes 1 et 13 sont générés les données en spécifiant d'avance le potentiel et les coefficients d'influence interne et externe du processus de diffusion qu'on veut simuler et dont on veut estimer rétroactivement les coefficients. La ligne 10 génère selon la formule 48 les ventes qui correspondent au processus de diffusion caractérisé dans le lignes 3 à 5. Pour rendre les données ainsi générées plus réalistes on rajoute un terme d'erreur distribué normalement avec un écart type de 2 aux lignes 11 et 12. A la ligne 13 on calcule les ventes cumulées qui seront utilisées dans l'estimation linéaire. Une fois les données générées on peut tester une première estimation des coefficients p et q. en utilisant la formule (49) dans les lignes 18-21. La formule sans intercept définie à la ligne 22 est utilisé dans la régression linéaire appliquée dans la ligne 23. Les résultats attendus du calcul de régression, c'est à dire les coefficients p et q, récupéré dans les lignes 26 et 27. Avec cette première estimation linéaire et les coefficients indicatifs qu'elle fournit on peut entamer l'estimation nonlinéare à la ligne 31 en utilisant la formules (48) La régression nonlinéaire effectué à la ligne 32 permet non seulement d'estimer les coefficients p et q mais aussi le potentiel m. Le modèle ainsi estimé est utilisé pour prédire les valeurs ajustées et de les comparer aux données « réelles » (simulées) dans les lignes 36. Un tableau et une représentation Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

27

graphique des ventes réelles et ajustées ainsi que des ventes cumulées est donné dans les dernières lignes (40-44). Exemple

Modèles de réaction au mix marketing

•

Présentation

Les sections suivantes s'organisent autour de la notion de mix marketing et focalisent sur chacune des variables qui composent le mix marketing et présente des modèles qui représentent l'impact de chaque variable, c'est à dire: • Modèles de choix de produits • Modèles de prix • Modèles publicitaires • Modèles de Promotion de ventes • Modèles de la Force de ventes

Modèles de choix des caractéristiques des produits Présentation

On s'intéresse ici aux caractéristiques qui affectent le positionnement perçu des produits. Les limites cognitives de l'homme font en générale que lors du choix d'un produit un nombre restreint de critères soit réellement pris en compte. Modèles de la Valeur Espérée

Les modèles de la valeur espérée sont fondés sur le principe d'accumulation, où "l'utilité" totale est la somme des niveaux de perception ( x k i ) de l'objet sur chacun des critères, pondérée par l'importance (

w ki

) associée à ce niveau de perception par l'interview: K

s i =∑ k=1 w k i x k i

(50)

où si est l'utilité associé au produit par l'individu i Ces scores d'utilité individuelle si peuvent être transformés en probabilités individuelles d'achat par simple multiplication avec une constante issue du rapport de la probabilité d'achat maximum et le score d'utilité maximum.

pi =

pmax s max  s  i

(52)

Politique de produit - Modèles de valeur espérée [ 4.1-3]

Listing 24

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

# Modèles de valeur espérée K=2 # no critères I=10 # no individus # Perception produit echelle 1-7 # input (1) x=round(runif(I*K, min=1, max=7)) dim(x)=c(I,K) colnames(x)=colnames(x, do.NULL=F, prefix="x") # Importance des critères par individu # input (2) w=round(runif(I*K, min=1, max=5)) dim(w)=c(I,K) colnames(w)=colnames(w, do.NULL=F, prefix="w") # Scores Individuels proportionnels aux probabilités d`achat s=(x*w)%*%c(1,1) dim(s)=c(I,1) colnames(s)="s" maxprob=0.3 p=maxprob/max(s)*s colnames(p)="p" df=data.frame(cbind(x,w,s,p)) df cat("Ventes") (sum(df[,"p"])) # Effets de la modification des caractéristiques d`un produit # input (3) deltax=c(0,2) deltaVentes=sum(((w%*%diag(deltax))%*%c(1,1))%*%(maxprob/maxp))

Analyse:

. La somme de ces probabilités donne les ventes Les données d'entrée sont les niveaux de perception des attributs du produit et l'importance accordé à ces attributs (critères) par chaque individu. Chacun des 10 répondant (r=10) donne une note entre 1 et 7 pour le niveau de perception et une note de 1 à 5 pour l'importance qu'ils accordent à chacun des 2 critères (K=2)

espérées: I

y =∑ p i

I

pmax Δy = ∑ Δsi max  s  i=1

(51)

i=1

Observations : si , pi sont inconnues d'avance et le Wik et Xik sont des mesures déclaratives .. Dans la continuité de cette démarche on peut aussi estimer l'effet sur les ventes de changements perçus dans les attributs. Il s'agit d'abord de calculer la différence dans la valeur espéré pour chaque répondant et de transformer les valeurs espérés individuelles en probabilités d'achat comme précédemment:

Exemple: Dix répondants évaluent un produit en terme de niveau de perception et d'importance sur deux attributs comme dans le tableau 6.

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

28

Tableau 6 – Calcul de la valeur espérée et estimation des ventes. ENTREES SORTIES Répondants Perceptions Importance Valeure éspérée Probabilité (x1) (x2) (w1) (w2) (s) (p) 1 2 3 4 5 (2x4)+(3x5) maxp/max(s)*(s) 1 1 6 2 2 14 0,1 2 2 7 1 2 16 0,11 3 4 6 5 4 44 0,3 4 3 2 3 3 15 0,1 5 5 1 5 4 29 0,2 6 4 6 2 3 26 0,18 7 4 6 2 4 32 0,22 8 5 4 2 5 30 0,2 9 3 3 2 4 18 0,12 10 2 5 1 3 17 0,12 Ventes espérées 1,65 Les évaluations collectées servent au calcul de la valeur espéré du produit pour chaque répondant et une probabilité d'achat proportionnelle à cette valeur espérée. La probabilité d'achat du répondant avec la plus grande valeur espérée est maximum et fixée d'avance par jugement d'expert (..). La somme des probabilités indique les ventes potentielles du produit soit 1,65 produits pour 10 client ce qui indique que de manière générale 16% des prospects achèteront le produit. Régression de la Préférence

Dans la régression de préférence ce sont les coefficients d'importance qui sont à estimer à partir des jugements de préférence et des évaluations des attributs des produits recueillis auprès d'un répondant. Il s'agit d'un modèle linéaire de la forme suivante: K

p i =∑ k=1 w k x k i

Les coefficients d'importance sont obtenus par régression linéaire à partir des données collectées.

•

Politique de produit - Régression de la préférence[4.4]

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

# Regression de la preférence K=2 # no critères I=10 # no produits # Perception produit echelle 1-7 # input (1) x=round(runif(I*K, min=1, max=7)) dim(x)=c(I,K) colnames(x)=colnames(x, do.NULL=F, prefix="Percp.") # Score de préférence # importance à estimer de critères pour un groupe dindividus # input (2) w=c(0.3, 0.7) err=rnorm(10,1, 0.5) p=round(x%*%(w)+err) colnames(p)="ScorePref" rownames(p)=rownames(p, do.NULL=F, prefix="Obs.") df=data.frame(cbind(p,x)) df # Estimation de limportance acordée aux caractéristique par un même groupe dindividu 20. w.lm=lm(p~0+x) 21. w.lm[[1]]

Analyse: Les niveaux de perception des attributs des produits par les répondants sont simulés à la ligne 6 et utilisés pour calculer des scores de préférence (p i) en utilisant des pondérations d'importance fixés d'avance (ligne 12). Pour rendre la relation entre perceptions et scores de préférence moins déterministe on rajoute un terme d'erreur distribué normalement (ligne 14). De la collecte des données ainsi simulée (voir Tableau 7) on passe à l'estimation des poids d'importance par régression linéaire (ligne 20 et 21, voir Tableau 8.). Tableau 7 - Scores de préférences et perceptions des caracteristique d'un produit

(53)

pi = le jugement de préférence du produit pour l'individu i (peut être un score où un classement de préférence) Wk = importance à estimer par le modèle de la caractéristique Xki. x k i = évaluation par l'individu i du produit suivant la caractéristique k.

Exemple

Listing 25

Obs.1 Obs.2 Obs.3 Obs.4 Obs.5 Obs.6 Obs.7 Obs.8 Obs.9 Obs.10

ScorePref Percp.1 Percp.2 6 3 7 4 4 3 8 5 6 5 1 6 6 3 5 7 4 5 6 2 7 7 4 7 5 2 5 3 1 2

Estimation par régression de l'importance accordée aux caractéristiques par un même groupe d'individus

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

29

Tableau 8 - Coefficient d'importance estimés par régression

ligne 6). On obtient ainsi le tableau 9.b (ligne 7 et 8) qui oppose la préférence comme variable dépendante qui est expliqué par les variables muettes indiquant la présence ou absence des niveau d'attributs. Les coefficients qui peuvent être estimé par régression linéaire (ligne 12) indiquent les utilité partielles que semblent exprimer pour chaque niveau d'attribut celui qui à fournit le classement de préférence.

xPercp.1 xPercp.2 0.7023002 0.6776436

L'analyse Conjointe K

Tableau 9 - Analyse conjointe sur 24 concepts de produits Ordre de préférence en fonction Plan d'expériences complet des niveaux des attributs (a) (b)

P

p ℑ =∑ ∑ λ k p d mkp

(54)

k =1 p =1

ou pim = est la préférence de l'individu i pour le produit m (exprimé sous forme d'un classement ou scores) λimk = utilité partielle de l'individu i estimé pour le produit m sur la caractéristique k dmkp = variable muette indiquant la présence (d=1) ou l'absence (d=0) du niveau p de la caractéristique k dans le produit m Exemple : • Politique de produit - Analyse conjointe [4.5]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Listing 26

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

# Plan dexperience complet des niveaux dattributs dd = data.frame(a = gl(2,12), b = gl(4,3,24), c=gl(3,1,24)) # balanced 3-way dd # Modèle de préférence individuelle mm=model.matrix(~ 0+ a + b + c, dd) pref=order(runif(24)) df=data.frame(cbind(pref,mm)) colnames(df)=c("ordre", "a1", "a2", "b2", "b3", "b4", "c2", "c3") df #Utilités partielles attach(df) conj.lm=lm(df$ordre~ 0 + df$a1+ df$a2 + df$b2 + df$b3 + df$b4 + df$c2 + df$c3) conj.lm[[1]] # Utilités de concepts (profils) u = predict(conj.lm) # u=mm %*% conj.lm[[1]] # parts de marche des concepts ms=u/sum(u)

a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

ordre 1 17 2 4 3 21 4 22 5 1 6 14 7 6 8 24 9 2 10 16 11 18 12 5 13 10 14 3 15 12 16 20 17 23 18 15 19 7 20 13 21 8 22 19 23 9 24 11

a1 a2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

b2 b3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

b4 c2 c3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Estimation (ici par régression linéaire) des utilités partielles accordées par l'individu (client) aux différents niveaux d'attributs (voir Tableau 10)

Tableau 10 - Utilités partielles estimées (ici par régression) des niveaux d'attributs Analyse:

df$a1 df$a2 13.291667 13.291667

df$b2 df$b3 4.666667 -1.166667

df$b4 df$c2 df$c3 1.833333 -2.750000 -3.625000

La ligne 2 génère un plan d'expérience complet qui correspond à toute les combinaisons possibles des 2x4x3 niveaux des trois attributs qui décrivent autant de concepts de produits différents (Tableaux 9.a). Chaque niveau des attributs a, b et c est transformé dans des variables muettes en ligne 5. Tous les concepts de produits sont classés selon un ordre de préférence (généré de manière aléatoire à la Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

30

Listing 28

Analyse individuelle (Adapté de Green et Krieger, 1993)

Listing 27

1. 2. 3. 4. 5.

int K = noindiv; int[] L ; // AttrLevels[].Count; int LM=nolevels ; // // ou i=1, …Lj, et j=1, … M // primary data input (p. 494 last) float partworthstab = new float [K]

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

a=35 b=-2 c=1 d=-4 x=seq(0,5,1) y=a*(1/(1+exp(-b-c*x)))+d profit=0.7*y-x df=data.frame(PerGarantie=x, Ventes=y, Profit=profit) df matplot(x, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 11. legend(1, max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

(also

Utilités partielles individuelles

Un profil (concept) s est défini par ses niveaux d’attributs (un vecteur des niveaux d’attributs is avec (i1s, … iMs) L’utilité d’un profil s (concept) pour un individu k est : Uk,s = Uk(is) = Uk(i1s, … iMs) = + a(k) (10) ou = l’utilité partielle du niveau I de l’attribut j ; i=1, .. Lj ; j = 1, … M ; Un plan d’expériences utilisé pour un individu k est une collection de S profils (concepts) : Pk,S avec (i1 .. is .. iS)

Analyse En faisant varier la durée de la garantie (x) de 0 à 5 périodes (ligne 5) on calcule les ventes (y) exprimés en tant que fonction logistique de la période de garantie (ligne 6) et on calcule le profit (ligne). Les dernières lignes construisent le tableau et le graphique qui comparent la période de garantie aux ventes et au profit.

La part de marché d’un profile par rapport à d’autres profils présents dans le plan d’expériences présenté à l’individu k sera alors : π k,s = Uαk,s /

(11)

Le même raisonnement s’applique au niveau du marché quand plusieurs individus appartiennent à des segments caractérisés par des utilités partielles données. Les parts de marché π k,s calculées au niveau individuel (et cette fois par rapport à des profils de produits existant sur le marché) peuvent alors être pondérées en utilisant , ou W(k) est le poids des individus appartenant à la catégorie de structure préférentielle k, ( W(k) >=0 ; =1). On obtient ainsi la part de marché d’un profil par rapport

Segments de marché

Le système de pondérations peut continuer pour inclure des critères de segmentation démographique qui se superposeraient à la segmentation par la structure préférentielle. Dkn = catégorie démographique de l’indiv k pour la variable n ( parmi N variables socio-demo). En = les poids de chacune des N vars démographiques Autre exemples • Politique de produit - Ventes espérées suivant la durée de la garantie[4.6]

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

31

Figure 31 - Ventes espérées en fonction de la durée de la période de garantie

6.

matplot(x, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = rainbow(2),xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits")

Analyse:

Figure 32 - Ventes et profit avec une fonction de demande linéaire

Modèles de Prix Le modèle Classique

Fonction linéaire

y =a−bP

(55)

y =aP b

(56)

Fonction de Demande à élasticité constante de Prix Exemples

•

Modèle de demande linéaire par rapport au prix[4.10-11]

Listing 29

1. 2. 3. 4. 5.

x=seq(0,10,1) y=+30-4*x profit=y*(x-1.5) df=data.frame(Effort=x, Ventes=y, Profit=profit) df

•

Modèle de demande à élasticité de prix constante[4.13-14]

Listing 30

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

x=seq(1,10,1) y=90*x^-1.5 profit=y*(x-1.5) df=data.frame(Effort=x, Ventes=y, Profit=profit) df matplot(x, df, pch = 1:2, type = "o", col = rainbow(2),xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profit") legend(1, max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

32

Analyse:

Figure 33 - Vente et profit avec une fonction de demande à élasticité constante

Les modèles de prix sont en général statiques et ne permettent pas d'identifier des changements du marché. Exemple • Méthode du prix psychologique [ p.81] Listing 31

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

# Prix psychologique ptropbas=pnorm(30:130,60,15) ptropcher=pnorm(30:130, 100,15) prixopt=(ptropbas-ptropcher) df=data.frame(TropBas=ptropbas, Optimum=prixopt, TropCher=ptropcher) matplot(30:130, df, pch = 1:3, type = "o", col = 1:3,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") legend(40, max(df),names(df), lwd=3, col=1:2, pch=1:3)

Analyse:

Figure 34 - Méthode du prix psychologique

Le prix psychologique

Gabor et Granger (1966) et Sowter, Gabor et Granger (1971) caractérisent le rapport entre le prix et la qualité par le concept de limite - une relation connue en littérature économique comme le prix de réservation. Un consommateur ayant l'intention d'acheter le produit à deux limites des prix à l'esprit: une limite supérieur au-dessus de la quelles il trouvera le produit trop cher et une limite inférieure en-dessous de la quelle il doute de la qualité du produit. Fixation du prix - Etat des connaissances

Lilien et Kotler affirment que les sociétés n'excellent pas dans la détermination du prix optimal. Elle ne tiennent pas suffisamment compte de l'intensité de la demande et de la psychologie du client. Les prix sont fixés souvent indépendamment de la stratégie de positionnement. Il ne varient suffisamment pour qu'on puisse enregistrer les différences de réaction en fonction de articles et des segments de marché. Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

33

Figure 35 - Fixation du prix en fonction de la courbe d'expérience

Prise en compte de la courbe d'expérience

C t =kV t −b

(57) ou C(t) est le coût unitaire de production; V(t) est le volume de production cumulée, k et b sont des constantes Exemple: les modèle utilisés par Dolan et Jeuland (1981), pour étudier la fixation des prix dans un marché monopolistique avec une baisse de coût lié à la courbe d'expérience et plusieurs fonctions de demande dont: −dP t  (58) V  t=ae concrètement on peut analyser la rentabilité relative de trois politiques de prix différentes (hausse des prix, prix constants, baisse des prix) pendant plusieurs périodes utilisant les expressions suivantes: −0.0Prix  t  (59) V  t=150e (60) C t = 00V  t−1−0.0 Exemple : • Fixation du prix au cours du temps avec baisse du coût lié à la courbe d'expérience [4.15-16] Listing 32

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

# Fixation du prix au cours du temps avec baisse du coût lié à la courbe d'expérience t=0:8 print("Prix décroissant") prix=seq(7,3,-0.5) #cat("Prix constant") #prix=rep(5,10) #cat("Prix croissant") #prix=seq(3,7,0.5) # Ventes en fonction du prix(t) ventes=150*exp(-0.3*prix) # Ventes cumulées ventescum=cumsum(ventes) cout=10*ventescum^-0.2 df=data.frame(Prix=prix, Ventes=ventes, VentesCum = ventescum, Cout=cout) matplot(t, df, pch = 1:4, type = "o", col = 1:4,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") legend(1, max(df),names(df), lwd=3, col=1:4, pch=1:4)

Modèles Publicitaires Un modèle de réaction à la publicité

Le modèle BRANDAID (Little, 1975) dans sa partie destinée à la publicité par d'un niveau de ventes de référence V0 et postule qu'il existe un taux de publicité p0 (taux de référence) qui maintiendra ce niveau de ventes. Il suppose aussi que les réaction à long terme vers r(a) des ventes à un certain taux de publicité (index) a(t)=p(t)/p(0) (ou p(t) est le taux de publicité au temps t il est fonction du budget publicitaire, l'efficacité média et du rendement de la création publicitaire) tende des valeurs asymptotiques données par l'expression: (61) r [a t ]=k 1−e−bat c La dynamique du processus est donnée par les expressions suivantes: (62) e t =α e t−11−αr [a t ] (63) V t =V 0e t  ou V(t) sont les ventes à l'instant t pour intégrer l'effet de la mémorisation sur l'index publicitaire a on peut redéfinir a(t) (64) a ' t =1− λ x t  λ a ' t −1 Exemple pour le tableur: (65) r [a t ]= 2.51−e−0.25a t 0.45 Exemples

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

34

• •

Modèle publicitaire - Stratégie de publicité constante [ 4.17-21.1] Modèle publicitaire - Stratégie de publicité par impulsions [ 4.17-21.2] Les deux modèles font jouer les effets dynamique (effet immédiat lambda et effet à long terme terme alfa). Les deux stratégies sont: Stratégie 1 (pub const.) 1,2 par période; Stratégie 2 (pub par impulsions) dépenses de pub alternatives: 1,4; 1; 0; ...

Figure 36 - Comparaison de l'efficacité des politique de dépenses publicitaires: constantes et par impulsions

Listing 33

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

Analyse :

# Effets dynamiques alpha1=0.8 lambda=0.2 # Modèle pblicitaire 1 print("Stratégie de publicité constante") at=rep(1.2,10) # pub constante rat=2.5*(1-exp(-0.25*at))+0.45 # réaction à long terme des ventes à la pub (index) S0=100 # Ventes initiales et=rep(1,10) for(i in 2:10) et[i]=alpha1*et[i-1]+lambda*rat[i] # indice d`effet de la publicité St=S0*et # Ventes par periode df=data.frame(Temps=1:10, Ventes=St) # Modèle pblicitaire 2 print("Stratégie de publicité par impulsions") at=rep(c(1.4,1),5) # pub par impulsions rat=2.5*(1-exp(-0.25*at))+0.45 # réaction à long terme des ventes à la pub (index) S0=100 # Ventes initiales et=rep(1,10) for(i in 2:10) et[i]=alpha1*et[i-1]+lambda*rat[i] # indice d`effet de la publicité St=S0*et # Ventes par periode df$Ventes2=St df matplot(df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits" legend(1, max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

La Réaction à la Publicité - État des connaissances

Il existe un grand nombre de modèles. La plupart sont linéaires ou multiplicatifs avec des effets dynamiques estimés avec des données empiriques. Il y à aussi des formes complexes de modèles paramètres par des estimations subjectives.

Les Modèles de Promotion des Ventes Un modèles promotionnel

La Réaction à la promotion - Etat des connaissances

Gains ventes=ampleur∗Impact∗potentiel∗Volume marché (66) (67) f1=a x 1I 1−x 1  (68) f2= Adbudg  x 2  (69) y= f1∗ f2 (70) Profit= y− x 2 Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

35

Figure 37 - Ventes et profit en fonction de la part de marché initiale de la marque promue

Modèle Promotionnel - variation de ventes avec la part de marché [ 4.22-25.1] Listing 34

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

x1=seq(0,0.9,0.1) # parts de marché de la marque (varie) x2=rep(3,10) # cout de la promotion ( valeur fixe) f1=20*x1^0.3*(1-x1) # volume du marché * impact * potentiel f2=x2^2/(3^2+x2^2) # effet de l`ampleur de la promotion y=f1*f2 # volume * impact * potentiel * ampleur profit=y-x2 df=data.frame(PartM=x1, Ventes=y, Profit=profit) df matplot(x1, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 10. legend(min(x1), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: L'effet sur les ventes dépend du volume du marché (ici 20), de l'impacte de la promotion (une mesure d'accessibilité à la promotion pour ce qui ne bénéficient pas directement - ici x1^0.3) , le potentiel ou la fraction du marché qui n'est pas touché par la mesure à l'instant présent - ici (1-x1) et l'ampleur de la promotion (ou la mesure dans laquelle l'importance de la promotion arrive à tenter l'individu, en général un courbe en "S" en fonction de la valeur de la promotion - ici une fonction ADBUDG) . Modèle Promotionnel - niveau de la promotion optimum pour un part de marché donnée [ 4.22-25.2] Listing 35

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

x1=rep(0.1,10) # parts de marché de la marque x2=0:9 # cout de la promotion f1=20*x1^0.3*(1-x1) # impact * potentiel f2=x2^2/(3^2+x2^2) # effet de l`ampleur de la promotion y=f1*f2 profit=y-x2 df=data.frame(Promotion=x2, Ventes=y, Profit=profit) df matplot(x2, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits" 10. legend(min(x2), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse:

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

36

Listing 36

Figure 38 - Analyse de sensibilité des Ventes et du Profit avec un part de marché initiale de 10%

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

# Modèle de la Force de vente # d`après Lucas, Weinberg et Clowes x=0:45 # no vendeurs a=1 b1=0.43 b2=-0.29 P=61000 # Potentiel global W=69 # charge de travail globale y=a*x*(P/x)^b1*(W/x)^b2 # fonction des ventes (demande) m=2 # marge unitaire C=40 # cout par vendeur profit=m*y-C*x df=data.frame(ForceV=x, Ventes=y, Profit=profit) df matplot(x, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits" 16. legend(min(x), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: xx .. La figure 39 montre que le nombre de vendeurs optimum dans l'exemple donné est d'environ 12

Les Modèles de la Force de Vente Les Modèles de la Force de Vente

Le modèle proposé par Lucas, Weinberg et Clowes (1975) exprime les ventes comme une fonction du potentiel du territoire et la charge de travail estimée. Il utilise à la fois une structure linéaire et loglinaire.

P b W b    x x Profit=my−Cx

y=ax 

1

2

(71) (72)

Exemples : • Modèle de la Force de vente [ 4.27-29]

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

37

Figure 39 - Ventes et Profit en fonction de l'effort de vente (force de vente)

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

df=data.frame(Pub=x1, Ventes=y, Profit=profit) f2 = 5*x2^(-0.25*(1.5-4)) # elasticité du prix fixe pour une pub de 1.5 y=100*f1*f2 # 5.1 profit=(x2-3)*y-x1 df$Profit2=profit df matplot(x1, df[,3:4], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") legend(min(x1), max(df[,3:4]),names(df)[3:4], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: La figure 40 montre un profit optimum quand l'élasticité au prix dépend du niveau de la publicité et un profit croissant quand l'élasticité au prix est fixe et correspond à l'élasticité calculé précédemment pour une publicité optimale de 1.5, ce qui explique que les deux courbes du profit ce croisent à ce niveau de publicité.

Modèles du mix Marketing L'interaction du mix

Exemples

• Modèle ou l'élasticité du prix est fonction de l'effort publicitaire [ 5.1-3] En simplifiant l'état des connaissance actuel en la matière on peut dire qu'un publicité destiné à différencier nettement un produit peut faire baisser l'élasticité aux prix, et qu'un publicité destiné à mettre en valeur le rapport qualité/prix peut accroître cette élasticité. Listing 37

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

# Modèle ou l`elasticité prix est fonction de l`effort publicitaire x1=seq(0,5,0.5) x2=rep(11,11) f1 = 0.2+2.3*x1^1.5/(3.5^1.5+x1^1.5) # pub 5.2 f2 = 5*x2^(-0.25*(x1-4)) # prix 5.3 y=100*f1*f2 # 5.1 profit=(x2-3)*y-x1

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

38

Figure 40 - Évolution de profit en fonction de la publicité selon que l'élasticité prix s'accroît avec la publicité ou non.

17. matplot(t, df[,2:3], pch = 1:2, type = "o", col = 1:2,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 18. legend(mean(t), max(df[,2:3]),names(df)[2:3], lwd=3, col=1:2, pch=1:2)

Analyse: En égalant à zéro la dérivé de la fonction du profit on déduit le budget de publicité optimum à pratiquer. Quand l'usure de la pub qui affecte dans ce cas le coefficient b est ignoré le niveau de publicité optimum reste fixe dans le temps et dépend des coefficients initiaux du modèle. Quand l'usure est prise en compte la publicité optimum n'est pas fixe, elle dépend de l'usure dans ce cas du changement dans le temps du coefficient b (qui devient bt). La prise en compte de l'usure a chaque période quand on fixe le budget de publicité à un effet favorable sur les profit tel que l'illustre la figure 41.

Figure 41 - Profits d'un politique qui prend en compte l'usure la publicité comparée à une politique publicitaire qui prévoit des dépenses constantes.

•

Modèle de l'usure de la publicité [ 5.4-5]

Listing 38

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

# Modèle de l`usure de la publicité a=10 b=10 c=-1 t=1:10 bt=b*exp(-0.07*(t-1)) # effet d`usure sur le coef b de la pub xopt=(1-0.3*b)/(0.6*c) # pub optimum ingorant l`usure x=rep(xopt,10) y=a+bt*x+c*x^2 profit=0.3*y-x df=data.frame(Temps=t, Profit1=profit) xopt_t=(1-0.3*bt)/(0.6*c) # pub optimum utlisant l`usure x=xopt_t profit=0.3*y-x df$Profit2=profit df

•

Budget optimum quand l interaction des variables du mix et positive, négative ou zéro [5.6-9]

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

39

Listing 39

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

# Variation du budget optimum quand l interaction des variables du mix et positive, negative ou zero a=50 b=200 c=2 d=2 x1=seq(6,7.9,0.1) x2=rep(7,20) f1=a+(b-a)*x1^c/(d^c+x1^c) f2=a+(b-a)*x2^c/(d^c+x2^c) y=f1+f2 # sans interaction profit=0.3*y-x1-x2 df=data.frame(Effort=x1, Profit.InteractZero=profit) y=f1+f2+0.001*f1*f2 # interaction positive profit=0.3*y-x1-x2 df$Profit.InteractPos=profit y=f1+f2-0.001*f1*f2 # interaction negative profit=0.3*y-x1-x2 df$Profit.InteractNeg=profit df matplot(x1, df[,2:4], pch = 1:2, type = "o", col = 1:3,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") legend(0.75*max(x1), max(df[,2:4]),names(df)[2:4], lwd=3, col=1:3, pch=1:3)

Analyse:

Réaction de la concurrence

Exemples

Figure 42 - Profits quand l'interaction des variables du mix et positive, négative ou zéro

•

Modèle de concurrence [5.10-12]

Listing 40

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

# Modèle de Concurrence nx1=seq(6,10.5,0.5) nx2=rep(2,10) nattr=(5*nx1^-2)*(0.3+2*nx2^2/(2^2+nx2^2)) cx1=rep(9,10) cx2=rep(2,10) cattr=(5*cx1^-2)*(0.3+2*cx2^2/(2^2+cx2^2)) npart1=nattr/(nattr+3*cattr) # notre part - cas de référence npart2=nattr/(nattr+6*cattr) # notre part - marché plus large plus de concurrents y=1600*(cx1+cx2)^-1.5 profit1=npart1*y*(nx1-3)-nx2 profit2=npart2*y*(nx1-3)-nx2 df=data.frame(Effort=nx1, Part1=npart1, Profit1=profit1, Part2=npart2, Profit2=profit2)

40

14. #Politique de pub agressive de la concurence par rapport à notre prix 15. cx2=ifelse(nx1>=9,cx2,cx2+(9-nx1)) 16. cattr=(5*cx1^-2)*(0.3+2*cx2^2/(2^2+cx2^2)) 17. npart3=nattr/(nattr+6*cattr) # marché large 18. profit3=npart3*y*(nx1-3)-nx2 19. df$Part3=npart3 20. df$Profit3=profit3 21. df 22. matplot(nx1, df[,c(3,5,7)], pch = 1:3, type = "o", col = 1:3,xlab="Valeurs de x", ylab="Ventes et/ou Profits") 23. legend(min(nx1), max(df[,c(3,5,7)]),names(df)[c(3,5,7)], lwd=3, col=1:3, pch=1:3)

Figure 43 - Analyse du prix optimal sous trois hypothèses sur la nature de la concurrence

Analyse: La figure 43 montre l'évolution de nos profits en fonction du budget de publicité pratiqué dans trois situation différentes: 1) quand le marché est petit avec seulement 3 concurrents, 2) quand le marché est plus grand avec 6 concurrents (dans les premiers deux cas notre publicité est 2 et égale à celle des concurrents, et le prix des concurrents est 9), 3) quand le marché est grand et les concurrents pratiquent une politique publicitaire agressive par rapport à nos prix (quand nos prix sont en dessous de 9 ils ajoutent à leur budget de pub un somme égale à deux fois notre réduction de prix).

Estimation des modèles Présentation

Estimer un modèles signifie attribuer des valeurs aux paramètres du modèle. Pour qu'un modèle soit réaliste et capable d'offrir de l'aide à la décision il doit reposer sur des mesures. Ces mesures s'appuient sur des données récoltées directement ou indirectement. On peut distinguer de catégories de méthodes d'estimation des modèles, l'estimation objective et subjective. L'estimation subjective se distingue par le faite que le données qu'elle utilisent reposent sur des jugement d'experts.

Estimation objective Présentation

L'estimation objective utilise des données pour paramétrer des modèles. [A faire .. parler des sources de données en marketing, (primaires, secondaires), enquêtes, panels de consommateur et distributeur etc.]

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

41

Régression linéaire Présentation

Exprime la corrélation entre la variable expliquée y et une ou plusieurs variables explicatives Xi par une équation ayant le format général: y = f(xj) + e (73) ou e est l'erreur d'approximation L'estimation par régression linéaire est facilement calculable et la plupart des calculettes et des tableurs disposent de fonctions spécialisées. Pour une illustration de l'utilisation du logiciel R on peut se référer à l'utilisation de la régression linéaire dans les modèle de régression des préférences et d'analyse conjointe utilisés dans la partie de ce document qui traite des modèles de choix des caractéristiques des produits. Le modèle linéaire

Si la corrélation est linéaire alors y = ao+ a1x1+ a2x2 + ... + akxk; exprime de manière matricielle cela correspond à:

y=

1

x 1 x  2

(74)



a 0 a ... x  k ∗ 1 ... a k 

qui équivaut à la minimisation de la somme de ses carrées. De la formule générale on déduit que l'erreur au moment i noté ei est égale à yi-fi et la somme des moindres carrés est min ei2= (yi-fi)2 =(yi-(ao+ a1x1i+ a2x2i + akxki))2. (78) ou sous forme matricielle: Min(y - Xa)' (y – Xa) (79) Solution algébrique

La minimisation des carrées est obtenue en égalant a zéro les dérivées partielles de ces expressions en fonction de ao, a1, a2...an ce qui a comme résultat le suivant système d'équations:

{

nao a 1 Σx 1 a 2 Σx 2 ......... a k Σx k =Σy a o Σ x 1 a 1 Σ x 1 x 1a 2 Σx 2 x 1.... a k Σx k x 1= Σ yx 1 a 0 Σx 2a 1 Σx 1 x 2 a 2 Σx 2 x 2....a k Σx k x 2 =Σyx 2 .. .... ...... a o Σx k a 1 Σx 1 x k a 2 Σx 2 x k .... a k Σ x k x k = Σyx k

}

(80)

n

(75)

ou

∑ x j=∑ x ij i=1

Solution matricielle

Organisation des données

ou sous forme matricielle:

si on entasse tous les observations de y dans un vecteur, on obtient: y = Xa + e ou

(X'X)a = X'y (81) Les solutions du système sont les coefficients du vecteur a: ao, a1, a2, ....an. a =(X'X)-1 X'y (82) Ayant les des valeurs possibles des variables explicatives xj on calcule la valeur de la fonction f(xj) qui représente la prévision de la variable expliquée y.

(76)

Indicateurs statistiques

Variation non expliquée Variation expliquée =

+

VN = Σ (Y-Yc)2  )2 VE = Σ (Yc - Y

Variation totale

(77)

VT = Σ (Y-

La MCO

Disposant de séries de données pour les valeurs de y, x1, x2 etc. on peut calculer les valeurs des coefficients ao, a1, a2 etc. telle que f(xj) (qu'on va appeler tout simplement f) approxime au mieux la corrélation existante. Autrement dit la moyenne de ses erreurs en valeur absolue doit être minime, ce

Coefficient de détermination multiple Coefficient de corrélation multiple Variance expliquée (factorielle) Variance non expliquée (résiduelle) Erreur standard de la régression

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

y=

a

1e

0 − a1 a2 x

a 3

)2

R2 = VE/VT R S2F = 1/k*VE S2R = 1/(n-k-1)*VN SR 42

Test en F Erreur standard (Ecart type) de b1

F = S2F/S2R

Erreur standard (Ecart type) de b2

Sb2 =

Sb1 =

∑ x ∑ x

2 1 2 2

Estimation subjective (decision calculus)

−n x12

−n x2

Présentation

2

Estimation par régression linéaire des modèles non-linéaires linéarisables

Modèles Racine fractionnelles Exponentiel Modifié Logistique

Formulation nonlinéaire

ln(a0+a2-y)=ln(a0)-a1x

y=a0 1 – e−a x a 2 a0 y= a 3 − a a x 1e y=a0 a1a a 3 1

1

Gompertz

Formulation linéarisée ln(y-a0)=ln(a1)+a2ln(x)

y=a0 a 1 x a2 ...

ln((y-a3)/(a0-y+a3))=a 1+a2x

Bibliographie

2

x 2

ln(-ln(y-a3)+ln(a0))=ln(-ln(a1))+ln(a 2)x

Adbudg

ln((a0-y)/(y-a1))=a2ln(a 3)-a2ln(x) a2

x y=a1 a 0 – a 1  3a a a x y=a0 x 1a x a2 ... x ak 2

Log-Linéaire

1

2

k

Calibrage du modèle à partir d'un seul expert Méthodes d'agrégation (pooling) des estimations individuelles par le choix de l'analyste Méthodes d'agrégation (pooling) des estimations individuelles par le choix du groupe Groupe coopérative (consensuel) Méthode Delphi Combiner les données de jugement et empiriques : estimation Bayesienne Illustration decision calculus: (locale) (distant)

2

Gary Lilien (1987) Analyse des Décisions Marketing (avec Lotus 1-2-3), Economica, G. Lilien, Ph. Kotler et K. S. Moorthy (1992) "Marketing Models", Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. J. Eliashberg et G.L. Lilien (Eds.) (1993) Handbooks in Operations Research and Management Science, Vol. 5, Marketing, Elsevier Science Publishers BV.

ln(y)=ln(a0)+a1ln(x1)+a 2ln(x2)+ ..

Régression non-linéaire Présentation

Méthode Newton-Gauss Méthode du Gradient Le gradient de plus grande pente Le gradient conjugué Méthode Levenberg-Marquard Méthode Simplex Les polynômes orthogonaux Estimation pour variables dépendantes binaires Estimation Logit Estimation Probit Solution d'équation multiples 2SLS

Notes Notes

1 La plupart des modèles sont adaptés de l'ouvrage de Gary Lilien "Analyse des Décisions Marketing (avec Lotus 1-2-3)" traduit en français par Pierre Desmet et publié aux éditions Economica en 1987. 2 Le système S est un langage de très haut niveau et un environnement d'analyse de données et graphiques. C'est le seul système statistique à avoir reçu le prestigieux Software System Award (1998) de la Association for Computing Machinery (ACM) qui lui reconnaît le mérite d'avoir « définitivement changé la manière dans laquelle les gens analysent, visualisent et manipulent les données ».

Modèles causaux et variables non observées Présentation

LISREL, PLS

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

43

Table des matières

Table des matières Modèles de prévision, simulation et aide à la décision basés sur la réponse en marketing......................1 Michel Calciu calciu@iae.univ-lille1.fr..................................................................................1 Cours IAE de Lille 2007.................................................................................................................1 Ce document présente des modèles de prévision et aide à la décision basés sur la réponse en marketing et les méthodes de calcul et traitement statistique qui permettent leur opérationnalisation. Pour les calculs et graphiques le système R, c'est-à-dire la version « open source » du système S est utilisé. La concision, l'élégance de son langage ainsi que la flexibilité et la capacité de mobiliser des méthodes de calcul des plus simples aux plus sophistiquées nous amène à recommander l'usage de ce système à la place ou en complément du tableur et des logiciels statistiques traditionnels. Ce document est encore en cours de développement. Des versions mises à jour seront disponibles sur Internet à l'adresse http://claree.univlille1.fr/cocoon/mc_slides/slides_acausal/........................................................................1 Organisation et hiérarchie des modèles................................................................................................1 Introduction..................................................................................................................1 Formes des modèles de réponse..................................................................................1 Modèles de réaction au mix marketing.......................................................................1 Le modèle causal...................................................................................................................................1 Présentation..................................................................................................................1 Un modèle causal général pour la réponse en marketing (Lilien 1987):...................1 Un prototype - le modèle ADBUG (Litle, 1970).................................................................................1 Modèle de réaction des ventes aux dépenses publicitaires:......................................1 Exemples......................................................................................................................2 Modèles à une variable explicative.......................................................................................................3 A. - Modèle linéaire.....................................................................................................3 Exemples :....................................................................................................................3 Estimation des paramètres par régression linéaire simple..........................................4 B. - Modèles à paramètres linéaires et variables nonlinéaires.............................................................4 Polynômes....................................................................................................................4 Modèle des séries de puissances.................................................................................4 Exemples :....................................................................................................................4 Modèles à racine fractionnelle....................................................................................5 Exemples :....................................................................................................................5 Modèles Semi-logarithmique......................................................................................7 C. - Modèles nonlinéaires......................................................................................................................7 Modèle Exponentiel Modifié.......................................................................................7 Exemples:.....................................................................................................................7 Modèle logistique........................................................................................................8 Exemples:.....................................................................................................................8 Modèle Gompertz........................................................................................................9 Exemples :....................................................................................................................9

Modèle ADBUDG.....................................................................................................10 Exemples:...................................................................................................................10 Modèles à plusieurs variables explicatives.........................................................................................10 Modèle linéaire..........................................................................................................10 Modèles Nonlinéaires................................................................................................10 Adjonction d'interaction............................................................................................12 Modèles multiplicatifs...............................................................................................12 Modèles avec transformation logistique...................................................................13 Modèles de part de marché.................................................................................................................14 Modèles multiplicatifs...............................................................................................14 Modèles d'attractivité.................................................................................................14 Particularités du choix spatial....................................................................................14 Exemples....................................................................................................................14 Interaction Compétitive Multiplicative (MCI).........................................................17 Logit Multinomial (MNL).........................................................................................17 Estimation d'un modèle MCI spatial.........................................................................18 Effets dynamiques...............................................................................................................................20 Lissage exponentiel et prcédure de Koyck...............................................................20 Exemples....................................................................................................................20 Modèle de Bass ou modèle de diffusion des nouveaux produit ..............................21 Exemple......................................................................................................................21 Estimation nonlinéaire du modèle de Bass...............................................................21 Estimation des modèles de diffusion.........................................................................22 Modèles de réaction au mix marketing...............................................................................................23 Présentation................................................................................................................23 Modèles de choix des caractéristiques des produits...........................................................................23 Présentation................................................................................................................23 Modèles de la Valeur Espérée...................................................................................23 Régression de la Préférence.......................................................................................24 L'analyse Conjointe...................................................................................................24 Analyse individuelle (Adapté de Green et Krieger, 1993).......................................25 Utilités partielles individuelles..................................................................................25 Segments de marché..................................................................................................25 Modèles de Prix...................................................................................................................................26 Le modèle Classique..................................................................................................26 Le prix psychologique...............................................................................................27 Fixation du prix - Etat des connaissances.................................................................27 Prise en compte de la courbe d'expérience...............................................................27 Modèles Publicitaires..........................................................................................................................28 Un modèle de réaction à la publicité.........................................................................28 La Réaction à la Publicité - État des connaissances.................................................29 Les Modèles de Promotion des Ventes...............................................................................................29 Un modèles promotionnel.........................................................................................29 Les Modèles de la Force de Vente......................................................................................................30 Les Modèles de la Force de Vente............................................................................30 Modèles du mix Marketing.................................................................................................................31 L'interaction du mix...................................................................................................31 Réaction de la concurrence........................................................................................32

Michel Calciu – IAE – Université Lille 1

44

Estimation des modèles.......................................................................................................................33 Présentation................................................................................................................33 Estimation objective............................................................................................................................33 Présentation................................................................................................................33 Régression linéaire..............................................................................................................................33 Présentation................................................................................................................33 Le modèle linéaire.....................................................................................................33 Organisation des données..........................................................................................33 La MCO.....................................................................................................................34 Solution algébrique....................................................................................................34 Solution matricielle....................................................................................................34 Indicateurs statistiques...............................................................................................34 Estimation par régression linéaire des modèles non-linéaires linéarisables............34 Régression non-linéaire.......................................................................................................................34 Présentation................................................................................................................34 Modèles causaux et variables non observées.....................................................................................34 Présentation................................................................................................................34 Estimation subjective (decision calculus)...........................................................................................34 Présentation................................................................................................................34 Bibliographie.......................................................................................................................................34 Notes....................................................................................................................................................35 Notes...........................................................................................................................35 Table des matières...............................................................................................................................35

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