921

2

ISBN 973-85554-7-7 Bucuresti 2006

3

Omul ia decizii pe tot parcursul vieţii sale, din fragedă pruncie, până la adânci bătrâneţe. Întrebarea este: Sunt ele optime? Cartea aceasta vă va învăţa să luaţi decizii optime în paradigma Multiple Attribute Decision Making. Autorul

4

CUPRINS 1. Modelul MADM 1.1 Modelul MADM de la origini şi până în prezent 1.2 Taxonomia modelelor MADM 1.3 State-of-the-art al domeniului 1.4 Modelul MADM generalizat 1.5 Indicaţii metodologice privind modelarea MADM 2. Problema alegerii optime Generarea problemelor de alegere optimă peste modelul 2.1 MADM Indicaţii metodologice privind rezolvarea problemelor de 2.2 alegere optimă Rezolvarea problemelor de alegere optimă la un singur 2.3 nivel 2.4 Metode de normalizare 2.5 Metode de rezolvare 3. Exemplu complex de problemă de alegere optimă 4. MADM - Transfer tehnologic 4.1 BF1: Proiectarea unei baze de date MADM 4.1.1 Entităţi principale 4.1.2 Entităţi de legătură 4.1.3 Schema bazei de date 4.1.4 Tabelele descriptive ale entităţilor 4.2 BF2: Generarea, rezolvarea şi stocarea soluţiei problemei de alegere optimă 4.2.1 Specificarea blocului funcţional BF2 4.2.2 Specificarea procedurilor apelate la nivelul 1 al blocului funcţional BF2 4.2.3 Specificarea procedurilor apelate la nivelurile 2, 3 ale blocului funcţional BF2 4.2.4 Specificarea automatizării rulărilor blocului funcţional BF2

pag 1 2 3 4 16 24 58 59 59 64 65 70 83 95 96 96 97 97 98 108 108 110 119 138

5

5. Exemple de utilizare MADM în realizarea aplicaţiilor informatice avansate 5.1 Aprovizionarea tehnico-materială în epoca e-aplicaţiilor 5.1.1 Preţuri generalizate şi amendate 5.1.2 Meritul furnizorilor 5.1.3 Scurtă prezentare a produsului program TeleSUPPLY 5.1.4 Funcţiile produsului program Tele-SUPPLY 5.1.5 Lucrul cu produsul program Tele-SUPPLY 5.1.6 Interfaţa Tele-SUPPLY – utilizator 5.1.7 Concluzii şi câteva rezultate experimentale Referinţe bibliografice 5.2 Intreţinerea infrastructurii sistemelor de producţie complexe 5.2.1 Modelarea infrastucturii unui sistem de producţie folosind produsul program RELSYAN 5.2.2 Construirea şi rezolvarea problemelor de simulare a funcţionării infrastructurii sistemelor de producţie şi rezolvarea lor 5.2.3 Soluţia optimă a problemelor de simulare Monte Carlo 5.2.4 Concluzii şi viitorul produsului program Referinţe bibliografice 5.3 Afaceri de procesare pentru întrepriderile petrochimice 5.3.1 Modelul matematic de planificare a producţiei 5.3.2 Obţinerea planului de producţie prin cooperarecoordonare 5.3.3 Rezolvarea problemei de programare liniară multicriterială 5.3.4 Produsul program Tele-PROCESSING şi caracteristicile sale 5.3.5 Concluzii asupra modernizării afacerii de procesare Referinţe bibliografice Bibliografie extinsă

142 143 144 148 148 150 150 153 154 155 157 157 161 164 166 167 169 170 176 178 180 182 183 186

1

1. Modelul MADM Procesul decizional este un ansamblu de activităţi umane care, în esenţă, constă în conştientizarea mai multor posibilităţi de a acţiona într-un context dat, analizarea consecinţelor acestora în raport cu un scop propus, alegerea şi implementarea acelei acţiuni considerată optimă într-o viziune axiologică adoptată. Principalele etape ale acestui proces sunt următoarele: 1. Declanşarea, caracterizată de sesizarea necesităţii de a acţiona ca răspuns la apariţia unor evenimente purtătoare de perturbaţii / agresiuni / schimbări / câştiguri / pierderi / oportunităţi / etc.; 2. Tensiunea decizională, definită prin preocuparea colectivă, de cele mai multe ori instinctivă şi neconcertată, de a percepe, chiar imprecis sau incomplet, problema decizională generată de evenimentele declanşatoare; 3. Formularea iniţială a problemei decizionale, pusă în evidenţă în variante informale, relativ diferite, în funcţie de viziunile diferiţilor actori angrenaţi în decizie între care pot apărea primele conflicte de opinii; 4. Enunţarea problemei decizionale formale, construită prin efort organizat de către mulţimea actorilor care se structurează armonios prin asignarea de roluri oficiale (decidenţi, experţi, consultanţi, executanţi etc.); 5. Rezolvarea problemei decizionale formale, presupunând aplicarea uneia sau mai multor metode capabile să furnizeze soluţii alternative pentru care se determină, prin simulare, consecinţele implementării lor, în final alegându-se cea considerată optimă; 6. Implementarea deciziei optime, subsumând totalitatea acţiunilor întreprinse în vederea obţinerii rezultatului scontat; 7. Verificarea corectitudinii / completitudinii / optimalitătii deciziei, putându-se conchide că procesul decizional s-a încheiat sau se poate reveni la una din etapele anterioare. Este unanim recunoscut faptul că informatizarea proceselor decizionale este o activitate foarte complexă şi dificil de realizat, fiind strâns legată de un context decizional dat. Totuşi etapele patru şi cinci din enumerarea de mai sus pot beneficia de un suport software standard, fiind îndeobşte cunoscut că, în majoritatea cazurilor, în aceste etape se poate apela la domeniul deciziei multi-atribut (Multi-Attribute Decision Making – MADM) care este capabila sa rezolve de maniera naturala problema alegerii optime (Optimal Choice Problem – OCP). MADM este un câmp în cadrul cercetărilor operaţionale deschis, în principal, prin lucrările şcolilor americane şi franceze şi dezvoltat spectaculos până în prezent, lucrările mai recente dovedind această afirmaţie. OCP se poate rezolva în cadrul multor teorii. Am aminti aici numai trei dintre ele: teoria negocierilor, teoria jocurilor şi teoria generala a deciziilor. Primele două presupun interactivitate cu decidentul / decidentii, a treia insa oferă automatizare completă daca se utilizeaza, din cadrul ei, numai o parte si anume decizia multi-atribut. Pentru început să dăm câteva informaţii istorice despre modelul MADM.

2

1.1 Modelul MADM de la origini şi până în prezent În Figura 1.1 F1, intitulată în original ”AIDS for the Decision Making Process” şi preluată din “Advances in Soft Computing and Mathematical Sciences” Task #3, Research Lead: Debora Daberkow, Georgia Institute of Technology, 1998, se prezintă o panoplie aproape completă de instrumente de luare a deciziilor aparţinând cu precădere domeniilor modelare matematică şi inteligenţă artificială.

Figura 1.1 F1 Suportul procesului de luare a deciziilor În cadrul acesteia, MADM-ul ocupă un loc bine determinat, pe măsura importanţei sale. Ceea ce nu a putut să ilustreze foarte clar această figură este legătura dintre MADM şi celelalte metode matematice care iau în considerare, în elaborarea unei decizii, mai multe criterii de optim. Mai mult, nu se pot sesiza legăturile dintre MADM şi principalele metode aparţinând de domeniul inteligenţei artificiale. Pentru a înlătura aceste neajunsuri, vom apela la tehnica taxonomică a genului proxim şi diferenţei specifice în vederea structurării domeniului deciziilor multi-criteriale, mai mult, se va prezenta procesul dezvoltării domeniului de la începuturile sale până în prezent, arătând, cu această ocazie, cum metodele de inteligenţă artificială au penetrat domeniul, dând naştere modelelor hibride. În deceniul 1941-1950, două rezultate ştiinţifice obţinute într-un domeniu nou, numit atunci Cercetări Operaţionale, s-au dovedit deosebit de importante pentru ceea ce avea să se numească ceva mai târziu Teoria Deciziei. Primul rezultat se referă la

3

Teoria Utilităţii, dezvoltată de J. von Neumann şi O. Morgenstern. Al doilea rezultat se referă la rezolvarea problemei de Programare Liniară, prin apariţia algoritmului simplex datorat lui G. Danzig. Pe această bază, întărită cu dezvoltări subiacente, a apărut importantul subdomeniu al Cercetărilor Operaţionale numit MCDM, atunci când cercetătorii (matematicieni, ingineri, economişti) şi-au pus problema utilizării rezultatelor ştiinţifice anterior amintite în probleme de decizie care presupuneau mai multe criterii de optim. De remarcat că, odată cu dezvoltarea informaticii, tot mai des, în locul abrevierii MCDM se întâlneşte abrevierea MCDA (Multiple Criteria Decision Aids). Aceasta înseamnă că modelele matematice şi metodele de rezolvare a problemelor generate de acestea sunt instrumentate informatic prin existenţa unor produse program care ajută nemijlocit la luarea deciziei. Încă de la început, în cadrul domeniului MCDM, s-au diferenţiat două subdomenii: MODM (Multiple Objective Decision Making) şi MADM. MODM referă acele modele în care variabilele decizionale nu sunt prezentate explicit şi, în consecinţă, trebuie construite de un anume algoritm. MADM referă acele modele în care variabilele decizionale sunt prezentate explicit. În consecinţă, MODM implică design şi alegere iar MADM direct alegere. Cel mai rapid în dezvoltare s-a dovedit subdomeniul MOLP, lucrările lui P.L. Yu, S. Zionts, M. Zeleny şi R. Steuer au contribuit decisiv la stabilizarea rezultatelor de cercetare, astfel încât P. Korhonen a putut să pună în circulaţie primul produs program de programare liniară multi-criterială numit VIG. Mai apoi, cercetările s-au extins la cazurile neliniar, fuzzy, stochastic, boolean, numere întregi etc. Deşi mai timidă la început, dezvoltarea subdomeniului MADM a consemnat rezultate deosebite, MADM ajungând în prezent să concureze, ca intindere şi adâncime, MODM. Lucrările de început ale lui K. May, E.W. Adams, R. Fagot, D.B. Yutema, W.S. Torgerson, R L. Keeney şi H. Raiffa din şcoala americană, au utilizat teoria valorii în rezolvarea problemelor de tip MADM. Pe baza lor, s-au dezvoltat şi alte metode dintre care cea mai proeminentă este Analytic Hierarchy Process aparţinând lui T.L. Saaty. Şcoala franceză, reprezentată de B. Roy, P. Bertier, B. Mareschal, J.P. Brans şi P.H. Vinke, a utilizat mulţimile parţial ordonate, în speţă anumite tipuri de grafuri, pentru a da o soluţionare diferită aceluiaşi gen de probleme. Metodele Electre şi Promethee au făcut carieră alături de metodele elaborate în şcoala americană. 1.2 Taxonomia modelelor MADM Metodele MCDM, după felul în care se combină calculul şi procesul de decizie în găsirea unei soluţii, se împart în trei clase. Prima clasă, numită cu articularea apriori a preferinţelor, conţine metodele în care decidentul se foloseşte direct de o funcţie de agregare care combină obiectivele individuale în vederea transformării problemei multi-critericale într-o problemă monocriterială. A doua clasă, numită cu articularea aposteriori a preferinţelor, conţine metodele în care decidentului i se prezintă o mulţime de soluţii, de obicei monocriteriale, pe baza cărora se selectează / construieşte o soluţie de compromis. A treia şi ultima clasă conţine metodele în care, într-un proces iterativ, etapele de optimizare şi cele de decizie se succed, provocând îmbunătăţirea soluţiei pe baza informaţiilor acumulate la fiecare pas. O altă clasificare a metodelor MCDM se poate face ţinând cont de natura informaţiilor prelucrate. Astfel, întâlnim metode ce prelucrează informaţie certă sau informaţie incertă. Informaţia incertă poate

4

proveni din modele de tip stochastic (modele cu risc) sau modele de tip fuzzy (modele lingvistice). O clasificare importantă a modelelor MCDM se face ţinând cont de validitatea informaţiilor prelucrate de metode. Astfel, întâlnim metode ce prelucrează informaţie validă sau informaţie invalidă. Invaliditatea informaţiei referă incorectitudienea sintactică / semantică, incompletitudinea sau incredibilitatea ei. În raport cu cerinţele teoriei deciziei, alte clasificări ar fi în metode care tratează probleme monodecident sau multidecident şi în metode care tratează probleme monostare a naturii sau multistare a naturii. 1.3 State-of-the-art al domeniului După cum reiese din clasificările prezentate anterior, domeniul MCDM, şi implicit domeniul MADM, a beneficiat, pe parcursul dezvoltării sale, de multe hibridizări de natură matematicăi. Hibridizarea cu elemente de inteligenţă artificială se va prezenta în cele ce urmează. În ultimii 25 de ani, în cadrul inteligenţei artificiale, s-au afirmat câteva paradigme de succes: algoritmii genetici, reţelele neuronale şi calculul inferenţial bazat pe reguli de producţie. Problema alegerii optime, dezvoltată în cadrul definit de modelul MADM, a fost influenţată de toate cele trei paradigme. Până acum, nimeni nu a realizat un survey pe acest subiect pentru faptul că domeniul nu este stabilizat. De aceea, în continuare, vom exemplifica relativ succint influenţa paradigmelor amintite mai sus asupra modelului MADM atât la nivel teoretic cât şi la nivel practic. Referindu-ne la algoritmii genetici, pentru a trata influenţa lor asupra problemelor de alegere optimă generate de modelul MADM, este necesar să introducem câteva noţiuni de bază. În primul rând, trebuie să amintim că se lucrează cu aşa-zisele modele evoluţioniste. Acestea sunt definite de structuri de date (în care un rol important îl joacă aşa-zişii cromozomi, care sunt alcătuiţi din gene), operatori (încrucişare, mutaţie) şi tehnici speciale (selecţie, amestecare, împărţire în clase / genuri, dominanţă, ierarhizare) precum şi o metodologie inspirată din teoria biologică a evoluţionismului. Un individ este definit de unul sau mai mulţi cromozomi, mai mulţi indivizi formează o populaţie, populaţia se împarte în clase, clasele au elite. Aplicând operatori şi tehnici evoluţioniste, indivizii, uneori şi populaţiile, evoluează pe generaţii, ajungând să se obţină indivizi sau elite utile într-o cultură datăii. Modelul este astfel foarte general, doar două componente sunt dependente de problema de rezolvat: codificarea / maparea pe model şi funcţia de evaluare / axiologia specifică. Considerând problema alegerii optime în această paradigmă, rezolvitorul genetic se poate vedea ca o cutie neagră cu o mulţime de butoane de control reprezentând diverşi parametri / atribute care pot avea mai multe combinaţii, peste care se defineşte o funcţie de evaluare a unei anumite utilităţi. Intrarea o constituie populaţia de indivizi / obiecte iar ieşirea este valoarea funcţiei de utilitate care induce implicit o apreciere / ierarhizare / clasificare a indivizilor din cadrul populaţiei respective. Se dă în cele ce urmează, sub forma unor scheme logice, metodologia principială de rezolvare a unor probleme de tip MOLP şi MADM, în ipoteze generale care permit abordarea multor probleme. Schema 1.3 S1 referă NSGA (Nondominated Sorting Genetic Algorithm) iar Schema 1.3 S2 referă SPEA (Strength Pareto Evolutionary Algorithm).

5

Schema 1.3 S1. Algoritmul genetic de sortare / filtrare prin non-dominare1 Aceşti algoritmi sunt utilizaţi în diferite metode de rezolvare a problemelor de tip MOLP / MADM cum ar fi, spre exemplu, metoda VEGA (Vector Evaluated Genetic Algorithm). De notat faptul că algoritmii genetici prezentaţi sunt utilizaţi cu precădere la rezolvarea problemelor MOLP. Principial, ei se pot folosi şi la rezolvarea problemelor MADM, au existat câteva tentative, însă, mai ales în cazul problemelor de mari dimensiuni, nici un astfel de algoritm nu poate concura cu cele treizeci de metode clasice de rezolvare, dezvoltate în paradigma calculului numeric. 1

Dupa Carlos A. Coello Coello (1998), “An Updated Survey of GA-Based Multiobjective Optimization Techniques”, ACM Computing Surveys.

6

Schema 1.3 S2. Algoritmul genetic evoluţionist bazat pe metoda tare Pareto2 Metodele matematice sunt net superioare prin baza teoretică folosită şi timpul de calcul redus. De altfel, nu toate problemele MADM se pot rezolva cu ajutorul algoritmilor genetici. În concluzie, algoritmii genetici nu s-au dezvoltat în sensul furnizării de noi rezolvări problemei MADM ci, mai ales, pentru a trata anumite aspecte în cadrul acesteia. Totuşi, în continuare se dă un exemplu mai puţin ambiţios care ilustrează cum se poate rezolva o problemă de tipul MADM folosind algoritmi genetici. Exemplul este luat după Jim Oliver,”Finding Decision Rules with Genetic Algorithms“ în AI Expert, martie 1994: “Luarea deciziilor având la bază o paletă largă de opţiuni n-a fost niciodată mai uşoară ca acum când avem la îndemână algoritmii genetici”. Multe decizii implică obiective contradictorii, care nu pot fi optimizate simultan. De exemplu, la alegerea unui apartament, nici una dintre opţiunile disponibile nu prezintă cel mai convenabil drum casă – serviciu, cel mai bun cartier iar apartamentul nu poate fi închiriat la cel mai mic preţ; pentru luarea unei decizii de acest fel, trebuie 2

Dupa Eckart Zitzler and Lothar Thiele (1998), “An Evolutionary Algorithm for Multiobjective Optimization: The Strength Pareto Approach”, TIK Report, No. 43, May.

7

examinate compromisurile. Depinde de procesul decizional şi de preferinţele decidentului cum sunt făcute aceste compromisuri. Un spectru larg de metode de cercetare este folosit pentru studiul preferinţelor şi deciziilor, plecând de la abordări pe baze formale, cum ar fi metodologia conjunctivă, până la metodele pur comportamentale care utilizează analizele de protocol. În acest articol, punctul de plecare este o mulţime de opţiuni (o listă de opţiuni făcute de un individ) sau o clasificare a preferinţei (o listă de alternative ierarhizate în ordinea preferinţei). Utilizând rezultatele altor cercetări, vom pune diferitele restricţii sub forma pe care o pot lua preferinţele sau deciziile. Vom arăta că algoritmul genetic va descoperi cu succes modele decizionale care reproduc opţiunile. Mai întâi, vom trece în revistă două tipuri de modele decizionale. Regulile de compensare modelează, de manieră explicită, felul în care aspectele pozitive ale unei alternative le pot compensa pe cele negative. A doua abordare, numită necompensatorie, recunoaşte că atributele multiple crează complexitate; indivizii încearcă să simplifice situaţia de decizie folosind o varietate de tehnici euristice. Regulile de compensare presupun că decidentul, atunci când evaluează alternative, preţuieşte un atribut în detrimentul altuia după modul în care caracteristicile pozitive le pot compensa pe cele negative. Tehnicile bazate pe ”valoare multi-atribut“ sunt o modalitate de cuantificare a importanţei obiectelor aflate în competiţie, importanţa apoi agregată, rezultând o singură evaluare numerică globală a fiecărei alternative. ”Valoarea“ fiecărei opţiuni aflată la dispoziţia decidentului este deci o funcţie depinzând de mulţimea atributelor. Forma funcţională cea mai simplă presupune că fiecare atribut are o valoare aditiv independentă care, ponderată şi însumată după toate atributele, dă valoarea globală a alternativei. Această aborbare este atractivă pentru că, dându-se ierarhizarea preferinţelor alternativelor, aceste modele se potrivesc uşor cu metodele standard de regresie. Regulile necompensatorii aleg o alternativă bazată pe o submulţime a atributelor, neţinând seama de valorile celorlalte atribute. De exemplu, o persoană care doreşte să cumpere o casă poate considera ca inacceptabil un drum casă – serviciu care durează două ore şi poate refuza astfel de case, indiferent de preţ şi de celelalte atribute. Pentru a investiga acest tip de prelucrare cognitivă, au fost folosite mai multe metode de cercetare, incluzând protocoale verbale, mişcările ochiului şi experimente pe şoareci de laborator. E. Johnson şi J. Payne, apoi E. Johnson, R. Meyer, şi S. Ghose descriu mai multe modele necompensatorii: - Modelul eliminării prin aspecte (EBA - Elimination by aspects): se pleacă de la un model de tip Tversky, în care atributele sunt afişate în ordinea descrescătoare a importanţei lor. Opţiunile care nu ating o valoare prag sunt eliminate. De exemplu, o persoană care doreşte să cumpere o casă poate elimina mai întâi toate casele situate în afara unei arii geografice, apoi casele în afara unei palete de preţuri şi aşa mai departe; - Modelul lexicografic: se alege alternativa care este cea mai bună în cel mai important atribut, indiferent de valorile celorlalte atribute. Un exemplu ar fi studentul care vrea să călătorească şi selectează un bilet de avion numai după preţ, în pofida plecării la ora 2:00 a.m. şi a schimbării avionului de trei ori; - Modelul conjunctiv: alternativele sunt eliminate dacă nu trec de o combinaţie de praguri. Acest model este numit şi de satisfacţie;

8

- Modelul EBA pe faze (modelul compensatoriu): spunem că avem un model EBA pe faze dacă aplicăm EBA pentru o submulţime de două sau mai multe alternative, iar apoi aplicăm o regulă de compensare pentru alternativele rămase. Operatori de decizie Metodele de cercetare amintite mai sus (protocoale verbale, mişcările ochiului, experimente pe şoareci de laborator) implică analize extensive făcute de către cercetători. Vom pleca de la aceste abordări şi vom arăta cum poate fi utilizat un algoritm genetic pentru a mapa o regulă a procesului decizional datelor alegerii. În mare, ideea este să începem cu o supramulţime de ”operatori elementari de decizie“ care pot fi combinaţi pentru a forma reguli de alegere valide empiric. Algoritmul genetic caută să combine operatorii de aşa manieră încât să se mapeze cel mai bine peste datele alegerii. Operatorii sunt obţinuţi din euristici de decizie comună. De exemplu, un decident poate privi de la prima până la ultima alternativă şi pentru fiecare dintre ele, de la primul până la ultimul atribut; valorile pot fi comparate fiecare cu fiecare, valorile maximă şi minimă pot fi notate, unele alternative pot fi eliminate şi tot aşa până se ajunge la o decizie. Codificarea algoritmilor genetici şi rezultate Vom prezenta metodologia şi rezultatele unui algoritm genetic în vederea descoperirii regulilor de decizie secvenţială. Vom prezenta un exemplu simplu care ilustrează un tip de mulţime de date ţinând de “marketing-ul vulgar” şi vom arăta cum este codat algoritmul genetic. Aşa cum este de aşteptat, algoritmul genetic învaţă repede regula de decizie, care este un concept boolean simplu. Mica cercetare de piaţă a fost îndreptată spre potrivirea regulilor de alegere necompensatorii mulţimii de date. Un prim grup format din I. Currim, R. Meyer şi N. Le, a utilizat sistemul CLS de învăţare automată pentru a descoperi arbori de decizie care corespund unei mulţimi de alternative. Ei au ilustrat funcţionarea CLS pe mulţimea de date referitoare la apartamentele ipotetice prezentate în Tabelul 1.3 T1. Vom presupune, aşa cum au făcut Currim, Meyer şi Le, că acceptabilitatea înseamnă că o anumită combinaţie de praguri este satisfăcută. Astfel, vom considera o regulă conjunctivă compusă din operatorii elementari mai mare sau egal cu şi mai mic sau egal cu un prag. De fapt, Tabelul 1.3 T1 arată că regula de decizie este destul de simplă: If (chiria <= 500) and (distanţa <= 2 mile) then acceptă alternativa. Tabelul 1.3 T1. Setul de date pe care lucrează sistemul de clasificare prin învăţare Apartamentul Chiria ($) Distanţa (mile) Acceptabilitatea 1 2 3 4 5 6 7 8 9

450 500 600 450 500 600 450 500 600

1,5 1,5 1,5 2 2 2 3 3 3

DA DA NU DA DA NU NU NU NU

9

În cercetări legate de acest subiect, un alt grup format din D. Greene şi S. Smith au folosit simularea pentru a compara performanţele modelelor logice şi ale celor bazate pe algoritmi genetici şi clustering. Elementele mulţimii opţiunilor au avut atribute exprimate boolean. Algoritmul genetic lucrează bine, descoperind reguli exprimate în forma normal-disjunctivă chiar şi în medii “cu zgomot”. Aceste reguli de decizie sunt codificate uşor într-o structură binară. Simplitatea acestei probleme ilustrative cere doar un cromozom de 6 biţi. Biţii 1 şi 4: Operatori 0 înseamnă ”>=“ 1 înseamnă ”<=“

01 = 1,5 mile 10 = 2 mile 11 = 3 mile (00 = nu este operaţie)

Biţii 2 şi 3: Valoare chirie 01 = 450 / lună 10 = 500 / lună 11 = 600 / lună (00 = nu este operaţie)

Fiecare regulă reprezentată de un cromozom este presupusă a fi o regulă pentru acceptabilitate. Ca de exemplu, cromozomul 110001 se decodifică astfel: If (chiria <= 500) and (distanţa >= 1,5) then aceptă alternativa. Funcţia obiectiv a recompensat o regulă prin atribuirea numărului de apartamente acceptabile care au fost corect anticipate. Pentru această problemă simplă, algoritmul genetic a descoperit uşor regula conjunctivă corectă. Odată cu apariţia modelelor conexioniste, reprezentate de reţelele neuronale de tip feedforward şi de tip feedbackiii, un nou impuls a fost dat domeniului MCMD. Când Hopfield a definit clasa reţelelor neuronale de tip feedback, ce diferă semnificativ de clasa reţelelor feedforward utilizate în primele faze ale dezvoltării calculului neuronal, a fost evidentă posibilitatea utilizării lor în rezolvarea problemelor de optimizare. Modelul Hopfield este un model recurent, în care dinamicile joacă un rol important şi este mult mai complicat decât un model feedforward. O reţea Hopfield poate fi reprezentată ca în figura următoare:

1

2

.......

N

Figura 1.3 F2. Arhitectura reţelei Hopfield Arhitectura reţelei Hopfield se prezintă prin n neuroni interconectaţi care îşi actualizează valorile de activare asincron şi independent. Toţi neuronii sunt şi neuroni

10

de intrare şi neuroni de ieşire. Iniţial, valorile de activare au fost binare. Hopfield a dat funcţiilor de activare valorile 1 şi 0, dar utilizarea valorilor +1 şi -1 prezintă unele avantaje care au fost exploatate de alţi cercetători. Evoluţia acestor reţele a condus la introducerea unor valori de activare continue, în acest caz limita funcţiei de activare fiind dată de o sigmoidă. Odată cu apariţia lucrărilor lui Hopfield şi Tank, care au rezolvat problema comis-voiajorului apelând la calculul neuronal, reţelele Hopfield au fost studiate mai intens în vederea abordării problemelor de optimizare, la început de tip MOLP iar, mai apoi, şi probleme mai complicate. Cercetări intense au fundamentat matematic rezolvarea tuturor problemelor de programare matematică în paradigma conexionistă. În acest caz, dinamicile reţelelor neuronale sunt descrise de un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare neliniare şi de o funcţie de energie asociată, numită funcţie Lyapunov sau funcţie de potenţial, care se minimizează în timpul procesului de calcul. Nu s-au obţinut rezultate convenabile în rezolvarea problemelor de tip MADM. De aceea, se pot vedea multe aplicaţii ale reţelelor neuronale în hibridizarea modelelor MADM dar foarte puţine încercări de tratare exhaustivă în paradigma conexionistă a unei probleme de alegere optimă. În cele ce urmează, se oferă o soluţie de hibridizare a metodei TOPSIS cu calcul neuronal, soluţie prezentată de Y. Cha, S. Cho şi M. Jung de la Department of Industrial Engineering, Pohan University of Science and Technology, Korea, în studiul “Satisfaction assessment of production schedules using Extended TOPSIS”, studiu finanţat de KOSEF în cadrul programului “Support of UniversityIndustry Cooperative Activities” (1999-2000). Evaluarea ordonanţării şi criteriile multiple Putem evalua o ordonanţare prin implementarea acesteia în cadrul procesului de producţie şi evaluarea rezultatelor producţiei. Totuşi, putem tot atât de bine să estimăm gradul de satisfacţie oferit de o ordonanţare prin simularea ordonanţării şi calcularea diferiţilor indicatori de performanţă. Utilizăm indicatorii de performanţă proveniţi din simulare drept criterii pentru gradul de satisfacţie oferit de o ordonanţare. Spre exemplificare, un simulator de ordonanţări pentru un sistem de producţie poate să furnizeze diferite criterii după cum se vede în figura de mai jos.

Figura 1.3 F3. Evaluarea multi-criterială a ordonanţării

11

Simulatorul de ordonanţări din Figura 1.3 F3 furnizează şapte criterii. Descrierile pentru fiecare criteriu sunt: i. ii. iii. iv. v. vi. vii.

UTMEDM - utilizarea medie a maşinilor, UTMINM - utilizarea minimă a maşinilor, UZMEDM - uzura medie a maşinilor, UZMAXM - uzura maximă a maşinilor, CANTMEDP - cantitatea medie procesată, NRTCADM - număr total de căderi maşină, TTCADM - timp total căderi maşini.

Procesul de evaluare a ordonanţării presupune agregarea acestor şapte criterii şi deducerea unei valori globale pentru gradul de satisfacţie. Metoda NFMSA. Figura 1.3 F4 furnizează o vedere de ansamblu asupra metodologiei de evaluare a unei ordonanţări. Ea include şi utilizează NFMSA (Neural Fuzzy Methodology for Schedule Assessment) ca o metodologie de agregare dar reprezintă o procedură NFMSA simplificată şi tehnici NFMSA simplificate. Prima fază este preprocesarea criteriilor, unde valorile criteriilor obţinute din simulare sunt fuzzyficate şi expertiza disponibilă este adăugată. A doua fază este reprezentată de ponderarea şi agregarea criteriilor, unde se obţin importanţele relative ale criteriilor şi criteriile sunt agregate într-un scor ce evaluează ordonanţarea. Această fază face uz de metoda TOPSIS (Technique for Order Performance by Similarity to Ideal Solution) extinsă. Am extins metoda TOPSIS utilizând ponderarea furnizată de o reţea neuronală şi un operator bazat pe distanţa fuzzy. Preprocesarea criteriilor Valorile criteriilor obţinute din simulare sunt valori certe. În faza de preprocesare a criteriilor, fiecare criteriu este fuzzy-ficat pornind de la cele n rezultate de simulare obţinute în tot atâtea iteraţii. Unele valori ale criteriilor nu pot fi obţinute din simulatorul ordonanţărilor, fiind date de mediul în care funcţionează simulatorul sau de condiţiile de lucru din unitatea productivă. În astfel de cazuri, un expert sau însuşi decidentul trebuie să furnizeze aceste informaţii, folosindu-se de valorile criteriilor şi status-ul unităţii productive. TOPSIS clasic Metoda TOPSIS este o tehnică dintre cele mai importante pentru rezolvarea problemei MADM, în care se evaluează o alternativă dintr-un set de alternative caracterizate prin atributele lor. TOPSIS se bazează pe un concept simplu şi intuitiv dar care permite agregarea sistematică şi consistentă a atributelor (Kim şi alţii 1997). Conceptul şi procedura de ansamblu a metodei TOPSIS sunt următoarele:

12

Figura 1.3 F4. Procedura generală a metodei NFMSA 1) Transformarea valorilor atributelor în valori normalizate şi evaluate unitar în scopul comparării lor; 2) Maparea celor m alternative, fiecare având n atribute, peste m puncte în spaţiul n-dimensional; 3) Definirea celei mai bune soluţii ca fiind soluţia ideală şi a celei mai rele soluţii ca fiind soluţia negativ-ideală; 4) Calcularea distanţelor de la punctele care definesc fiecare alternativă la punctele care definesc soluţia ideală şi, respectiv, soluţia negativ-ideală; 5) Calcularea pentru fiecare alternativă, a unei măsuri de similaritate cu soluţia ideală, măsură care se apropie de 1 cu cât alternativa este mai aproape de soluţia ideală şi în acelaşi timp mai depărtată de soluţia negativ-ideală; 6) Selecţia celei mai bune alternative (care are măsura de similaritate cea mai mare). Măsura de similaritate din pasul (5) se poate utiliza ca un scor de evaluare globală. În metodologia propusă, uzăm de această valoare ca de un scor final pentru evaluarea unei ordonanţări. Procesul de evaluare din pasul (1) cere ponderarea relativă a

13

atributelor / criteriilor, proces care este dependent de expertiza subiectivă. Datele certe utilizate în această tehnică sunt inadecvate scopului de a reprezenta expertiza exprimată lingvistic şi imprecis. Pentru a surmonta această inadecvare a metodei TOPSIS la evaluarea ordonanţărilor, se extinde metoda TOPSIS şi se propune o tehnică TOPSIS extinsă pentru metodologia de evaluare a ordonanţărilor. Metoda TOPSIS extinsă include un proces de ponderare sistematică şi consistentă a atributelor, proces bazat pe o reţea neuronală, şi utilizează un operator al distanţei fuzzy pentru a lucra cu date reprezentate prin triunghiuri fuzzy. Extinderera metodei TOPSIS În 1991, Garson a propus o tehnică de analiză a impactului unui nod de intrare asupra nodurilor de ieşire într-o reţea neuronală utilizând ponderi de conexiune pe muchiile dintre noduri. Într-o reţea neuronală, cu nV noduri de intrare, un nod de ieşire, n H noduri pe stratul ascuns, WV , adică impactul nodului de intrare V asupra nodului de ieşire, se defineşte astfel: nV  nH  WV = ∑  I V j O j / ∑ I V j k j

nV    nV  nH   / ∑ ∑  I V j / ∑ I V j O j  , k  i  j   

(1.3 R1)

unde I ij reprezintă ponderea de conexiune de la nodul de intrare i la nodul ascuns j iar O j este ponderea de conexiune de la nodul ascuns j la nodul de ieşire. Ponderarea criteriilor în NFMSA adoptă această tehnică de calcul a ponderilor atributelor. TOPSIS utilizează distanţa dintre două alternative pentru definirea unei măsuri de comparare a lor. Dacă valorile atributelor sunt valori fixe oarecare, distanţa între două alternative A = ( a1 , a 2 , ..., a n ) şi B = ( b1 ,b2 , ...,bn ) din spaţiul n-dimensional este:

dist ( A, B ) = ( a1 − b1 )2 + ( a2 − b2 )2 + ...+ ( an − bn )2

(1.3 R2)

Pe de altă parte, dacă valorile atributelor sunt triunghiuri fuzzy de forma ( α ,β , γ ) , formula de mai sus nu poate fi utilizată, pentru că operatorul “–“ nu se poate aplica numerelor triunghiulare fuzzy. De aceea, definim distanţa d ( x , y ) între două numere triunghiulare fuzzy x şi y ca diferenţă dintre acestea, şi o aplicăm în cadrul metodei TOPSIS extinsă.

d ( x , y ) = d s + d b , unde x = ( α 1 ,β1 , γ 1 ) , y = ( α 2 ,β 2 , γ 2 )

(1.3 R3)

d s = ( α 1 − α 2 + β1 − β 2 + γ 1 − γ 2 ) / 3

(1.3 R4)

14

db =

(α1 + γ 1 −2 β1 ) / 2 ( γ 1 − α1 )  − (α 2 + γ 2 −2 β 2 ) / 2 ( γ 2 − α 2 ) 

( λ1

*

(1.3 R5)

− α1 + γ 2 − α 2 ) / 4

unde d s reprezintă distanţa la origine care apare în Figura 1.3 F5 (a) iar d b reprezintă diferenţa formelor triunghiulare care apare în Figura 1.3 F5 (b).

(a)

(b) Figura 1.3 F5. Distanţele d s şi d b

În cele ce urmează, operatorul distanţei fuzzy între două numere triunghiulare fuzzy A = ( a1 , a 2 , ..., a n ) şi B = ( b1 ,b2 , ...,bn ) reprezintă distanţa între două alternative în spaţiul n-dimensional. Aceasta poate fi definită astfel:

dist( A, B ) = { d ( a1 ,b1 )}2 + { d ( a2 ,b2 )}2 + ...+ { d ( an ,bn )}2

(1.3 R6)

Metoda TOPSIS extinsă în cadrul NFMSA NFMSA, adică metodologia de evalauare a ordonanţărilor prin agregarea criteriilor de optim, constă deci într-o fază de ponderare a criteriilor şi o fază de agregare a lor. NFMSA utilizează metoda TOPSIS extinsă ca tehnică de agregare în scopul obţinerii unei măsuri de similaritate pe baza informaţiilor oferite de criterii / atribute. Intrarea în NFMSA include criteriile fuzzy-ficate triunghiular şi expertiza fuzzy-ficată tot triunghiular, aceasta din urmă neputând fi obţinută din simularea ordonanţărilor. Scorul de evaluare finală pentru o ordonanţare derivă din măsura de similaritate obţinută în faza de agregare a criteriilor. Deci, scorul de evaluare finală poate fi utilizat în luarea deciziei

15

în scopul evaluării ordonanţărilor şi, în consecinţă, în selectarea unei politici de ordonanţare optime. Figura 1.3 F6 descrie procedura TOPSIS extinsă în cadrul NFMSA.

Figura 1.3 F6. Metoda NFMSA de extindere a metodei TOPSIS. Ultima paradigmă AI, demnă de luat în considerare pentru beneficiile pe care le aduce domeniului MADM, este cea a calculului inferenţial, bazat pe reguli de producţie exprimate de experţi / decidenţi, reguli care lucrează peste o bază de date / fapte generate de model precum şi de rezultatele problemelor de alegere optimă generate peste acesta. Aici nu se aduc exemplificări din literatura de specialitateiv pentru că însăşi lucrarea de faţă va fi o demonstraţie pentru această manieră de lucru care, de fapt, face

16

trecerea, din punct de vedere informatic, de la DSS (Decision Support Systems) la ADSS (Advanced Decision Support Systems). Pe scurt, va fi stabilit fundamentul teoretic al unui sistem expert ad-hoc care va înlătura dezavantajele modelului MADM, şi anume: posibila invaliditate şi probabila soluţie multiplă a problemelor de alegere optimă generate peste acesta. 1.4 Modelul MADM generalizat Revenind la scopul nostru curent, modelul MADM generalizat, să delimităm mai întâi cadrul matematic utilizat. Ne orientăm către metodele şcolii americane care sunt compatibile cu exigenţele din axiomele lui Arrow. Aceste axiome au la bază sistemul axiomatic al teoriei utilităţii al lui von Neumann şi Morgenstern. Sistemul axiomatic von Neumann-Morgenstern, ca şi alte sisteme de fundamentare a operării cu utilităţi, consideră că, la nivelul unui decident individual, o alegere între două variante a şi b este raţională când se poate exprima precis că a este preferabil, echivalent sau nonpreferabil lui b şi dacă se respectă regula de tranzitivitate. La nivelul unui grup de decizie, cerinţele, de raţionalitate sunt mai complexe. J. K. Arrow defineşte cinci astfel de condiţii: Condiţia 1. Metoda de decizie colectivă trebuie să fie aplicabilă mulţimii tuturor variantelor posibile; Condiţia 2. Dacă o anumită variantă urcă pe scara preferinţelor fiecărui individ, atunci ea trebuie să urce pe scara preferinţelor grupului; Condiţia 3. Dacă decizia se referă la n alternative posibile, “clasamentul” făcut de grup acestora nu trebuie să fie modificat prin luarea în considerare a unei noi variante. De exemplu, dacă se compară variantele a şi b, prima fiind preferată şi se ia în considerare varianta c, relaţia între a şi b nu trebuie să se modifice; Condiţia 4. Regula după care se extrage decizia colectivă nu trebuie să fie independentă de opiniile individuale, ci trebuie să depindă direct de acestea; Condiţia 5. Decizia colectivă nu trebuie să fie identică cu opinia unui anumit membru al grupului, fără a ţine seama de opiniile celorlalţi. Plecând de la aceste condiţii, Arrow demonstrează că nu există nici o metodă de decizie colectivă care să satisfacă cele cinci condiţii de raţionalitate enunţate şi care să ducă la o soluţie coerentă când numărul decidenţilor este mai mare sau egal cu 2, iar numărul alternativelor superior lui 2. Acest rezultat denumit paradoxul lui Arrow, a fost mult dezbătut şi analizat, propunându-se o serie de metode pentru ieşirea din impas. Unele dintre ele vor fi apelate şi de noi. De-a lungul anilor, mai multe sisteme informatice dezvoltate în ICI au utilizat metode tinând de domeniul deciziei multi-atribut. Dar domeniul MADM in ansamblul sau nu a fost abordat niciodata. Putem considera ca modelul MADM prezentat la nivelul state-of-the-art prin intermediul acestei cartii va fi util în definirea şi rezolvarea problemei alegerii optime în cadrul aplicaţiilor de cele mai diverse tipuri. Aplicatiile vor putea referi un model matematic extins al problemei deciziei multi-atribut. Modelul va include mulţimile decidenţilor / experţilor / utilizatorilor, stărilor naturii, obiectelor, atributelor, metodelor de normalizare, metodelor de

17

rezolvare şi un set de relaţii între aceste mulţimi exprimate prin matricea atributelor (o matrice 4D), vectorul (matricea) importantelor (absolute / relative) ale decidenţilor / stărilor naturii / atributelor, vectori pentru înregistrarea evaluărilor subiective şi obiective ale obiectelor şi un sistem de scale fuzzy. Atributele pot fi exprimate în maniera booleană / ordinală / cardinală / fuzzy sau prin utilizarea variabilelor aleatoare. În plus, pentru considerarea cazului cel mai general, matricea atributelor va avea un caracter hibrid fiind divizată, în mod intuitiv, în două zone, prima fiind zona complet definită, iar cea de-a doua fiind zona incomplet definită. În prima zonă, fiecare atribut are o valoare bine precizată pentru orice obiect, în orice stare a naturii şi în opinia fiecărui decident. În a doua zonă a matricei, valorile atributelor referitoare la anumite obiecte, anumite stări ale naturii şi în viziunea anumitor decidenţi sunt neprecizate. Problema deciziilor multi-dimensionale presupune un proces caracterizat de următoarele elemente: criteriile de decizie (punctele de vedere din care se examinează problema); obiectivul sau obiectivele care se urmăresc; decidentul, adică individul sau grupul de indivizi care urmăresc să ia o hotărâre pentru realizarea în cele mai bune condiţii a obiectivului sau obiectivelor propuse; mulţimea alternativelor, care cuprinde toate variantele posibile de a acţiona pentru atingerea obiectivelor considerate; mulţimea stărilor posibile, fiecare stare reprezentând complexul de condiţii care determină apariţia unei anumite consecinţe pentru o anumită alternativă şi un obiectiv precizat; mulţimea atributelor alternativelor care de obicei este de cardinal foarte mare; utilitatea pe care o aşteaptă decidentul în urma alegerii unei alternative de anumite atribute. Vom prezenta în cele ce urmează modelul matematic general utilizat, modelul alegerii optime. Modelul este dezvoltat în paradigma MADM şi este referit de toate metodele de rezolvare existente în literatura de specialitate. 1. Mulţimea decidenţilor D = {d[l] | l = 1,l }, unde l = | D | = Card D, fiecare decident fiind caracterizat de: • cod_d[l] = codul asociat decidentului d[l]; • den_d[l] = denumirea decidentului d[l]; • aff_d[l] = afilierea decidentului d[l]; • fun_d[l] = funcţia decidentului d[l]; • des_d[l] = descrierea pe larg a decidentului d[l]; • imp_d[l] = importanţa relativă a decidentului d[l]. Importanţa relativă a fiecărui decident verifică: 0 < imp_d[l] < 1, ( ∀) l = 1,l ; l

∑ imp_ d[l] = 1. l =1

Notăm: ImpD = {imp_d[l]| l = 1,l }.

18

2. Mulţimea S = {s[k]| k = 1, k }, unde k = | S | = Card S, ale cărei elemente se numesc stări ale naturii. Fiecare stare a naturii s[k] este caracterizată de: • cod_s[k] = codul asociat stării naturii s[k]; • den_s[k] = denumirea stării naturii s[k]; • des_s[k] = descrierea pe larg a starii naturii s[k]; • imp_s[k] = importanţa relativă a stării s[k]. Importanţa relativă a fiecărei stări verifică: 0 < imp_s[k] < 1, ( ∀) k = 1, k ; k ∑ imp_ s[k] = 1 . k =1 Notăm ImpS = { imp_s[k]| k = 1, k }. 3. Mulţimea obiectelor O = {o[i] | i = 1, i }, unde i = | O | = Card O, fiecare element fiind caracterizat de: • cod_o[i] = codul asociat obiectului o[i]; • den_o[i] = denumirea obiectului o[i]; • des_o[i] = descrierea pe larg a obiectului o[i]; • imp_o[i] = importanţa evaluată a obiectului o[i]. 4. Mulţimea atributelor A = {a[j] | j = 1, j }, unde j = | A | = Card A, fiecare element fiind caracterizat de: • cod_a[j] = codul asociat atributului a[j]; • den_a[j] = denumirea atributului a[j]; • des_a[j] = descrierea pe larg a atributului a[j]; • exprim_a[j] = modul exprimării atributului a[j], astfel: daca a[j] este exprimat boolean −2, −1, daca a[j] este exprimat ordinal  exprim_a[j] =  0, daca a[j] este exprimat cardinal  p ∈ N *, daca a[j] este exprimat fuzzy  r ∈ N *, daca a[j] este exprimat prin variabila aletoare Exprimarea cardinală a atributelor desemnează evaluarea prin valori numerice concrete ale acestora. Există însă situaţii în care această exprimare nu este posibilă din lipsa unei documentări prealabile sau nu este esenţialmente necesară. Prin urmare, s-a pus problema introducerii exprimărilor Booleene, ordinale, vagi sau prin variabile aleatoare. Exprimarea Booleană referă dacă un obiect are sau nu un anumit atribut, exprimarea ordinală constă în precizarea locului ocupat de un obiect în ierarhia indusă de un anumit atribut, exprimarea prin cuantile vagi constă în precizarea de manieră calitativă a atributului iar exprimarea prin variabile aleatoare consta in precizarea unor valori posibile ale atributului impreuna cu probabilitatile asociate acestor valori. De observat ca, intrucât metodele de rezolvare a problemei de alegere optima, în marea lor

19

majoritate, operează, în ultimă instanţă, exclusiv cu exprimări numerice ale atributelor, apare ca absolut necesară introducerea unor mecanisme de transpunere numerică a exprimărilor prin cuantile vagi. Acest lucru se realizează prin introducerea unui sistem de scale. O scală este o funcţie bijectivă între o mulţime finită de cuantile vagi şi o mulţime de blocuri de valori numerice. Facem precizarea că întregul "p" reprezintă codul scalei de definire a cuantilelor vagi prin care este exprimat atributul respectiv. Notăm Ex = {exprim_a[j]| j = 1, j }. Mulţimea Ex are semnificaţia imaginii unei funcţii j

A ∈ {-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, …} ; • um_a[j] = unitatea de măsură în care se exprimă atributul a[j]; Pentru a se realiza o caracterizare cât mai fidelă a fiecărui atribut, s-au mai introdus în model următoarele elemente: • sense_a[j] = sensul atributului a[j], astfel: "max", daca a[j] este considerat cu atat mai bun  cu cat valoarea sa este mai mare sense_a[j] =  "min", daca a[j] este considerat cu atat mai bun  cu cat valoarea sa este mai mica  • Corespunzător exprimărilor de mai sus, un atribut poate avea o plajă de valori precizată prin: - pes_a[j] = marginea inferioară posibilă a atributului a[j], - opt_a[j] = marginea superioară posibilă a atributului a[j], dacă atributul este de maxim, sau: - opt_a[j] = marginea inferioară posibilă a atributului a[j], - pes_a[j] = marginea superioară posibilă a atributului a[j], dacă atributul este de minim. In definiţiile anterioare, sensul conceptului de "margine superioară", respectiv "margine inferioară" este acela de valoarea cea mai bună a atributului (posibilă) respectiv de valoarea cea mai proastă (posibilă) având, în definitiv, semnificaţia de valoare optimă şi valoare pesimă. Fie u1[j], u2[j] două valori ale atributului a[j] a cărui exprimare exprim_a[j] a fost fixată. Dacă u1[j] este mai bună decât u2[j] în raport cu sensul atributului (de maxim sau de minim), vom scrie: u2[j]≥ u1[j]. Notăm Lim = {( pes_a[j], opt_a[j])| j = 1, j } sau Lim = {( opt_a[j], pes_a[j])| j = 1, j }, funcţie de sensul atributului. Uneori, plaja valorilor deteminată de pesim şi optim poate fi restrânsă prin stabilirea unor standarde, noua plajă de valori menţinându-şi caracteristica de compacitate. Aceste standarde sunt definite de: - pesst_a[j] = marginea inferioară admisă a atributului a[j], - optst_a[j] = marginea superioară admisă a atributului a[j], sau

20

- optst_a[j] = marginea inferioară admisă a atributului a[j], - pesst_a[j] = marginea superioară admisă a atributului a[j], funcţie de sensul atributului, de maxim, respectiv de minim. În notaţia de mai sus avem: optst_a[j] ≥ pesst_a[j], dacă atributul a[j] este de maxim; pesst_a[j] ≥ optst_a[j], dacă atributul a[j] este de minim. Notăm Stand = {(pesst_a[j], optst_a[j])| j = 1, j } sau Stand = {(optst_a[j], pesst_a[j])| j = 1, j }, funcţie sensul atributului. • imp_a[j] = importanţa absolută a atributului a[j]. Importanţa absolută a fiecărui atribut verifică: 0 < imp_a[j] < 1, (∀) j = 1, j ; j

∑ imp_a[j] = 1 . j =1

Notăm: ImpA = {imp_a[j]| j = 1, j }. Costrucţia modelului constă esenţial în stabilirea unor relaţii între ultimele două componente definite mai sus (O - O, O - A, A - A) prin intermediul mulţimilor S şi D (a căror importanţă devine astfel evidentă). Pentru a exprima aceste relaţii sunt necesare următoarele componente: 5. Mulţimea OASD = {niv_oasd[i,j,k,l]| i = 1, i , j = 1, j , k = 1, k , l = 1, l } numită matricea atributelor. Vom cosidera că această matrice este partiţionată în două zone de dimensiuni i x jj x k x l, respectiv i x (j-jj) x k x l, unde 0 < jj < j. Prima dintre aceste zone este una complet definită, fiecare atribut dintre aceste jj fiind exprimat pentru fiecare obiect, în fiecare stare a naturii, în viziunea fiecărui decident. Cealaltă zonă este una incomplet definită, existând atribute ale unor obiecte, în anumite stări ale naturii, care nu pot fi exprimate în viziunea anumitor decidenţi din necunoaşterea acestora. Zona complet definită poate fi asimilată unei funcţii definite pe O x S x D, funcţie care asociază fiecărui obiect oi, în fiecare stare a naturii sk, în viziunea fiecărui decident dl, un vector cu jj componente al nivelelor atributelor (niv_oasd[i,1,k,l], ..., niv_oasd[i,jj,k,l]). Metodele convenţionale de rezolvare a problemei alegerii optime operează în exclusivitate cu datele stocate în zona complet definită a masivului OASD. Datele corespunzătoare zonei incomplet definite sunt utilizate în scopul realizării unor discriminări în cazul obţinerii unui optim multiplu al problemei şi evident nu pot fi procesate în mod clasic. •

Fiecare element din mulţimea OASD este caracterizat de: niv_oasd[i,j,k,l] = nivelul atributului a[j] al obiectului o[i] în starea s[k] în viziunea decidentului d[l].

21

6. Mulţimea AASD a importanţelor relative ale atributelor. Definim importanţa relativă a atributului a[j1] în raport cu atributul a[j2] ca fiind acel număr real pozitiv care exprimă de câte ori este mai important atributul a[j1] faţă de atributul a[j2], pentru decidentul d[l], în starea s[k]. Elementele mulţimii AASD sunt notate irel_aa[j1,j2,k,l], unde 1≤ j1, j2 ≤ j; 1 ≤ k ≤ k; 1 ≤ l ≤ l. Mulţimea AASD are semnificaţia imaginii unei funcţii: A x A x S x D → (0, ∞). În acest moment putem considera că modelul are toate componentele fundamentale definite. Scopurile problemei alegerii optime sunt: S1: determinarea unui obiect optim sau pesim; S2: realizarea unei ierarhizari a obiectelor; S3: realizarea unei evaluari a fiecarui obiect. În contextul modelului prezentat, a rezolva o problemă de alegere optima revine la a construi o funcţie de evaluare f : O → ℜ ( ℵ ), funcţie care, în majoritatea cazurilor corespunde conceptului de funcţie de utilitate globală aşa cum a fost introdus de J. von Neumann şi O. Morgenstern. 7. Mulţimea de fapte Eval_od = {eval_od[i,l]| i = 1, i , l = 1, l }, unde eval_od[i,l] = locul pe care îl ocupă obiectul o[i] într-o ierarhie subiectivă realizată de decidentul d[l]. Această mulţime are semnificaţia imaginii unei funcţii D → Oi. 8. Mulţimea de fapte Eval_om = {eval_om[i,m]|| i = 1, i , m = 1, m ⋅ n }, unde m = numărul de metode de rezolvare, n = numărul de metode de normalizare; conţine evaluările obiectelor, evaluări rezultate în urma rezolvării problemei de alegere optimă printr-o metodă şi, acolo unde este cazul, printr-un anumit set de parametri asociaţi. După rularea unui set de metode, fiecărui obiect o(i) i se asociază un vector de evaluări , unde m este numărul metodelor de rezolvare utilizate. U (i ) = (u (i, m)) m =1, m

9. Mulţimea de fapte Car = {car_o[i]|| i = 1, i } conţine elemente de caracterizare a soluţiei problemei de alegere optimă, astfel: car_o[i] = -1, dacă o[i] este “out of standard”; r, dacă o[i] este dominat de r obiecte; iu, dacă o[i] domină u obiecte; i2v, dacă o[i] este cel mai bine evaluat prin v atribute; z/i, dacă o[i] este cel mai rău evaluat prin z atribute. În plus, car_o[i] poate avea o valoare obţinută prin însumarea valorilor de caracterizare simplă de forma r, iu, i2v, z/i eventual înmulţită cu -1. Caracterizarea astfel obţinută (de natură complexă) reprezintă conjuncţia logică a caracterizărilor simple care intervin. Metodele de analiză, asociază fiecărui obiect o(i) o matrice de caracteristici V (i ) = (v (i , p, q)) p=1, 3 , ale cărei componente au următoarele semnificaţii: q =1, 6

• v(i, p, 1) = numărul minim / maxim / mediu de atribute prin care o[i] este în afara standardelor; • v(i, p, 2) = numărul minim / maxim / mediu de atribute prin care o[i] este cel mai bine plasat; • v(i, p, 3) = numărul minim / maxim / mediu de atribute prin care o[i] este cel mai slab plasat;

22

• v(i, p, 4) = numărul minim / maxim / mediu de obiecte dominate de obiectul o[i]; • v(i, p, 5) = numărul minim / maxim / mediu de obiecte care domină obiectul o[i]; • v(i, 1, 6) = indexul clasei de echivalenţă Eq de care aparţine o[i], ( O = U E n fiind n

obţinută printr-o anumită metodă de clasificare); • v(i, 2, 6) = indexul obiectului reprezentativ pentru clasa sa de echivalenţă; • v(i, 3, 6) = meritul clasei căreia îi aparţine obiectul o[i]. În toate aceste definiţii, în contextul q = 1, 5 , pentru p = 1, 2, 3 se calculează minimul, maximul, respectiv media pe mulţimea D x S. Această categorie de fapte poate să ia naştere la cererea utilizatorului, pe parcursul procesului de optimizare repetată sau prin acumulare de fapte declanşată automat. 10. Mulţimea de reguli de productie Exp = {reg_γ | reg_γ = (IF Cond_γ THEN Act_γ)} defineşte cunoaşterea expert. Regulile de producţie specifice domeniului, exprimate de experţi, pot preciza, pentru anumite obiecte, neconcordanţele existente între valorile atributelor şi, de asemenea, pot extinde partea complet definită a matricei consecinţelor în defavoarea părţii incomplet definite, prin completarea intrărilor necunoscute ale matricei cu valori calculate pe baza datelor existente la un moment dat. În acest fel, modelul câştigă în corectitudine / completitudine. Pentru a putea defini multimea Exp, fie urmatoarele: • Lj este o mulţime de valori pentru atribute (o listă, un interval etc.); • expr indică o expresie care trebuie să corespundă tipului declarat al atributului; • [lo_a(j), up_a(j)] este un interval restrâns de variaţie pentru atributul a[j]. Se introduc doua clase de reguli de productie. Într-o prezentare simplificată, forma generală a claselor de reguli este: Reguli de validare. Regulile de validare detectează contradicţiile în atributele modelului şi avertizează analistul de existenţa acestora, putând genera, în acelaşi timp, o valoare acceptabilă pentru atributul care a produs contradicţia. IF există un obiect o(i) pentru care, în opinia expertului d(k) şi în starea naturii s(l)

c klij ∈ L j1 Λ .. Λ cklij ∈ L jr Λ oi ∈ E q 1

r

THEN c klij ∉ L j pentru anumiţi

j ∉{ j1 , .. , jr } şi afişează lista acestor indici, pentru fiecare valoare greşită a atributului propune o valoare corespunzătoare c klij ∈ { expr ( c klij ( pentru anumiţi k ∈1, k , l ∈1, l , i ∈1, i , j ∈1, j , unde cklij au fost deja definiţi), v(i, 1, 6)}, pentru (k, l, i, j) - tuplu cu k, l, i invocaţi în ipoteză şi j ∉{ j1 , .. , jr } , alege una dintre valorile propuse sau inserează o valoare bună. Reguli de completare. Regulile de completare pot fi definite de analist sau generate automat de un algoritm, în concordanţă cu contextul faptic. Astfel, procesul de completare nu este condiţionat de existenţa regulilor de completare definite de analist.

23

IF există un obiect o(i) pentru care, în opinia expertului d(k) şi în starea naturii s(l)

c klij ∈ L j1 Λ .. Λ cklij ∈ L jr Λ oi ∈ E q THEN c klij = expr ( c klij ( pentru 1

r

anumiţi k ∈1, k , l ∈1, l , i ∈1, i , j ∈1, j , unde cklij au fost deja definiţi), v(i, 1, 6)) pentru anumiţi cklij cu k, l, i invocaţi în ipoteză şi având anterior valori de tip NULL. Vezi lucrul cu regulile de productie asupra modelului MADM:

Schema 1.4 S1 Schema logica pentru obtinerea unui model consistent

24

În acest moment, modelul matematic este complet definit ca model consistent. Pentru o mai bună înţelegere a acestuia vom aduce în continuare (pe cât posibil în ordinea prezentării componentelor modelului) o serie de: 1.5 Indicaţii metodologice privind modelarea MADM 1. Mulţimea obiectelor poate avea un grad ridicat de generalitate, singura condiţie impusă asupra sa fiind aceea ca fiecare obiect să poată fi apreciat în raport cu fiecare atribut ţinând de zona complet definită a matricei atributelor. În plus, fără a fi absolut necesară o asemenea limitare, putem considera că numărul obiectelor este de ordinul sutelor (<1000). 2. Atributele problemei de alegere optima pot fi atât de tip explicit, cât şi de tip implicit, fiind de la sine înţeles că cele de tip implicit ţin exclusiv de zona incomplet definită a matricei consecinţelor, în timp ce cele de tip explicit ţin atât de zona incomplet definita, cât şi de zona complet definită a matricei consecinţelor. Deşi nici această limitare nu este absolut necesară, putem fixa numărul de atribute la ordinul zecilor (<50). 3. Unităţile de măsură ale atributelor sunt necesare numai în cazul exprimărilor cardinale, exprimărilor fuzzy şi exprimarilor prin variabile aleatoare ale acestora. În cadrul modelului, rolul acestor entităţi este exclusiv acela de a conferi o semnificaţie unor exprimări numerice altfel abstracte. 4. Exprimarea ordinală a unui atribut este cea mai săracă în informaţii dintre toate tipurile de exprimare, întrucât nu permite raportări relative ale evaluărilor obiectelor. Astfel, dacă maşinile (obiectele) o1, o2, o3 au atributul "viteza maximă" exprimat cardinal: 255 km/h, 190 km/h, 180 km/h, acelaşi atribut exprimat ordinal este: 1, 2, 3, ceea ce ilustrează faptul că obiectul o1 este cel mai bun, obiectul o2 este pe locul 2 iar obiectul o3 este pe ultimul loc. Este însă evident faptul că exprimarea ordinală omite faptul că obiectul o1 este totuşi mult mai bun decât obiectele o2 şi o3. 5. Fie U o mulţime univers, (care se refera la un domeniu bine precizat) cu elemente u ∈ U, iar A şi B mulţimi astfel încât A⊆U şi B⊆U (se spune că A şi B sunt submulţimi sau părţi ale mulţimii U). În mod evident A∪B şi A∩B sunt părţi ale mulţimii U. De asemenea, diferenţa U-A este o submulţime a mulţimii U; aceasta se notează prin CU(A) sau C(A) când mulţimea U este fixată şi se numeşte complementara mulţimii A în raport cu mulţimea U: CU(A) = { x ∈ U | x ∉ A }. Cu această notaţie, au loc şi legile lui DeMorgan: CU(A∪B) = CU(A)∩CU(B), CU(A∩B) = CU(A)∩CU(B). Noţiunea de (sub)mulţime fuzzy (în engleză fuzzy set) a fost introdusă în matematică şi deci in stiinta de Lotfi A. Zadeh, începând cu anul 1965, cu scopul de a modela caracterul imprecis al apartenenţei. El a propus generalizarea conceptului de apartenenţă binară a unui element la o mulţime crisp deoarece teoria clasică a mulţimilor limitează, într-un fel, posibilitatea descrierii matematice a unor situaţii reale. De exemplu folosind teoria clasică a mulţimilor, putem considera următoarele mulţimi

25

disjuncte: Frig = (-10°..0°], Rece = (0°, 10°], Călduţ = (10°, 20°], Cald = (20°, 30°]. Totuşi, percepţia umană a nivelului de răcire/încălzire poate fi descrisă mai potrivit printr-o tranziţie pentru care punctele 0°, 10° şi 20° nu reprezintă bariere ale fiecărui nivel. Aceasta este în concordanţă cu situaţia concretă în care unii oameni percep o vreme caldă la temperatura de 18°. In teoria multimilor crisp, apartenenta la mulţime a elementelor o caracterizam cu ajutorul functiei caracteristice, care ia valoarea 1 daca x apartine lui A si valoarea zero , altfel. De exemplu, folosind intervalul [-10°, 30°], cu ajutorul funcţiei caracteristice a mulţimilor definim Frig, Rece, Călduţ şi Cald: ϕFrig(x) = if x in [-10°, 0°] then 1 else 0; ϕRece(x) = if x in (0°, 10°] then 1 else 0; ϕCălduţ(x) = if x in (10°, 20°] then 1 else 0 ϕCald(x) = if x in (20°, 30°] then 1 else 0. Printr-un model de tip continuu precum:

5 1 x ∈ [− 10°,−4°] 6 x + 3 ,  ϕFrig(x) = − 1 x + 1 , x ∈ (− 4°,0°] , ϕRece(x) =  2  8 altfel 0, 

1 1 12 x + 2 , x ∈ (0°,6°]  1 7 − x + , x ∈ (6°,10°] , 4  8 altfel 0, 

1 1 12 x − 3 , x ∈ (10°,16°]  1 ϕCălduţ(x) =  − x + 3, x ∈ (16°,20°] , ϕCald(x) =  8 altfel 0, 

7 1 x ∈ (20°,26°] 12 x − 6 ,  1 15 − x + , x ∈ (26°,30°] , 2  4 altfel 0, 

putem nuanta gradele de apartenenţă ale valorilor temperaturii x la “mulţimile” Frig, Rece, Călduţ şi Cald. Aceste noi entităţi {x, ϕ(x) | x ∈[-10°, 30°] } definesc ceea ce se numesc (sub)mulţimi fuzzy. Ele vin să modeleze deci nuantat situaţii lingvistice precum: “Acum este frig” sau “Astăzi este foarte cald.” Dacă pentru mulţimile crisp apartenenţa unui element la mulţime este de tip binar (da / nu), în cazul mulţimilor fuzzy este vorba de un grad de apartenenţă. Deci, pentru fiecare element trebuie specificat gradul său de apartenenţă. Definiţie. Fie X o mulţime crisp de obiecte ce urmează a fi analizate folosind tehnici fuzzy, atunci A := {( x, ϕA(x) ) | x ∈ X} defineşte o (sub)mulţime fuzzy a mulţimii X, unde ϕA reprezintă funcţia de apartenenţă, iar valoarea ϕA(x) reprezintă gradul de apartenenţă al elementului x la (sub)mulţimea fuzzy A. S-a convenit ca 0 ≤ ϕA(x) ≤ 1, x

26

∈ X (sugerata de notiunea de probabilitate care exprima sansa ca A sa apartina lui X). Functia de apartenenta exprima deci si un grad de precizie (sau imprecizie) privind apartenenta lui x la A. Mulţimea X se mai numeşte univers de discurs sau mulţime referenţial. Notăm F(X) familia tuturor (sub)mulţimilor fuzzy definite pe universul de discurs X. Atunci când mulţimea X este precizată ne vom referi la o mulţime fuzzy prin funcţia sa de apartenenţă şi vom scrie ϕ ∈ F(X). Exemplul cu oameni înalţi Caracteristica unei persoane de a fi înaltă este o noţiune imprecisă. Universul de discurs considerat este mulţimea oamenilor. Pentru a specifica un model fuzzy, notăm h(x) înălţimea, în cm, a unei persoane x şi definim funcţia de apartenenţă la clasa oamenilor înalţi prin:

h( x) < 150 0,  h( x) − 150 ϕINALT =  , 150 ≤ h( x) ≤ 200 . 200  h( x) > 200. 1, O altă cale de obţinere a mulţimilor fuzzy porneşte de la generalizarea valorii de adevăr. În logica bivalentă, o afirmaţie este fie falsă, fie adevărată. Muţimile fuzzy permit introducerea valorilor de adevăr intermediare. Pentru exemplul de mai sus valoarea de adevăr a afirmaţiei “x este INALT” poate fi specificată prin ϕINALT(x). Trebuie făcută o distincţie între fenomenele aleatoare şi cele fuzzy. Desigur există situaţii când fenomenele aleatoare şi fuzzy apar simultan. În principiu, fenomenul aleator rezultă din nesiguranţa în ceea ce priveşte apartenenţa sau neapartenenţa unui obiect la o clasă, dar este vorba de un eveniment ce poate să apară sau nu – este vorba de o probabilitate de apariţie. În cadrul unui fenomen de natură fuzzy există grade de apartenenţă intermediare între apartenenţă (apartenenţa completă) şi neapartenenţă. Pentru un eveniment A care are evenimentul contrar C(A) (cu A ∩ C(A) = Φ =: evenimentul imposibil), în teoria probabilităţilor P(A) + P(C(A)) = 1, dar aşa cum se va vedea mai jos, ϕA(x) + ϕC(A)(x) nu este în general egală cu 1. În exemplele de mai sus au fost considerate funcţii de tip liniar, gradul de apartenenţă fiind determinat pe baza unei caracteristici măsurabile. Pentru mulţimi referenţial finite (discrete), funcţia de apartenenţă se poate specifica tabelar. O formă compactă de scriere foloseşte simbolul + şi ansamblul ϕ(x)/x - reprezentarea prin perechi. De exemplu, dacă mulţimea univers este X = {a, b, c, d, e} o submulţime fuzzy F a mulţimii X se poate reprezenta astfel: F = 0.4/a + 0.2/b + 0.5/c + 0.4/d + 1.0/e sau tabelar: X ϕF(x)

a 0.4

b 0.2

c 0.5

d 0.4

e 1.0

27

Să observăm că ϕF nu defineşte o probabilitate, gradul de apartenenţă este nenegativ, dar suma gradelor de apartenenţă diferă de valoarea 1.0. Mulţimea referenţial poate fi şi de tip continuu, funcţia de apartenenţă fiind dată cu ajutorul unei expresii - reprezentare funcţională - ca în exemplele următoare (construite prin corespondenta cu unele repartitii particulare de probabilitate). Funcţia de apartenenţă liniară Fie a
x≤a 0,  ϕa,b(x) = ( x − a ) /(b − a ), a ≤ x ≤ b 1, x ≥ b.  Funcţia de apartenenţă exponenţială Fie a şi b numere reale, a > 0 şi b oarecare. Modelul exponenţial al funcţiilor de apartenenţă este:

1 − e ( − a ( x −b )) ,

x≥b

0,

x < b.

ϕa,b(x) = 



Funcţie de apartenenţă triunghiulară Modelul triunghiular de centru m (număr real oarecare) şi deplasare d (număr real strict pozitiv) este:

 m−x 1 − , m−d ≤ x ≤ m+d d  0, altfel.

ϕm,d(x) = 

Funcţia de apartenenţă gaussiană Pentru a > 0 şi m un număr real oarecare, modelul gaussian al funcţiei de apartenenţă este: ϕa,m(x) = e

− a ( x−m)2

.

Funcţia de apartenenţă trapezoidală Fie a, b, c şi d numere reale astfel încât a < b < c < d. Modelul trapezoidal al funcţiei de apartenenţă este:

( x − a ) /(b − a ), 1,  ϕa,b,c,d(x) =  ( x − d ) /(c − d ), 0,

a≤ x d .

Mulţimea “impuls” Fie t ∈ R. Funcţia de apartenenţă dată prin modelul:

28

1, x = t 0, x ≠ t

ϕt(x) = 1{t } ( x ) =  descrie o mulţime aşa zisă “singleton”. Mulţimea interval Fia a < b numere reale. Modelul interval este:

1, x ∈ [a, b] 0, altfel.

ϕa,b(x) = 1[a ,b ] ( x) = 

Se spune că funcţia de apartenenţă furnizează o reprezentare pe verticală a unei mulţimi fuzzy. Reprezentarea pe orizontală este realizată cu ajutorul tăieturilor. Să definim mulţimea fuzzy a numerelor reale foarte apropiate de numărul zero. Dacă A este mulţimea fuzzy dorită atunci un model pentru funcţia de apartenenţă ϕA poate fi:

ϕ A ( x) =

1 . 1+ x2

Efectuând calculele obţinem: ϕA(1) = 0.5; ϕA(0) = 1; ϕA(2) = 0.2; ϕA(-2) = 0.2, ϕA(3) = 0.1; ϕA(-3) = 0.1. Un alt model ar putea fi: 2

 1  ϕ A ( x) =  . 2  1+ x  În acest caz: ϕA(1) = 0.25; ϕA(0) = 1; ϕA(2) = 0.04; ϕA(-2) = 0.04, ϕA(3) = 0.01; ϕA(-3) = 0.01. Similar, putem defini mulţimea fuzzy a numerelor apropiate de numărul real a cu ajutorul funcţiei de apartenenţă:

ϕ A ( x) =

1 . 1 + ( x − a) 2

Exemple de scale fuzzy: O scală fuzzy completă pentru exprimarea vârstei se dă în Figura 1.5 F1. copil adolescent tanar

matur

batran

Varsta (ani) 0 5 6

12 14 15 16 18 20 21 22 30

34 35

40

48

52

55 57 67 68 70

Figura 1.5 F1. O scală ce exemplifică vârsta exprimată fuzzy.

29

O scală fuzzy care exprimă prin cuantile vagi tensiunea arterială umană este dată prin Tabelul 1.5 T1. Tabelul 1.5 T1. Exemplu de exprimare a tensiunii arteriale prin intervale de valori Periculos de Ingrijorator Ingrijorator Periculos de Normala mica de mica de mare mare Tensiune 7 8 9-14 15-16 17-18 O scală fuzzy care exprimă prin cuantile vagi tip note aspectul exterior al unei persoane este dată prin Tabelul 1.5 T2. Tabelul 1.5 T2. Exemplu de exprimare a atributelor prin note F. urat Urat Mediu Placut Estetica 1 2 5 6

Frumos 8

F. frumos 10

Simpla analiză a valorilor asociate pe o scală cuantilelor vagi prin care este exprimat un atribut, permite obţinerea informaţiei privind natura scalei: echidistanţa sau neechidistanţa. Deci exprimările prin cuantile vagi se fac prin aprecieri calitative de tipul: foarte bun, mediu, prost, foarte prost etc. Esenţiale în definirea acestor cuantile sunt scalele asociate acestora. În cadrul unei asemenea scale, fiecărei cuantile i se asociază în mod unic un trapez fuzzy care o defineşte complet. Vom conveni să acceptăm în definirea cuantilelor şi trapeze degenerate, reduse la triunghiuri, segmente sau puncte, dupa cum se va vedea in Figura 1.5 F2. Scalele de definire şi interpretare a cuantilelor au următoarea structură: - denf_ac = eticheta de scală; - cf_ac = numele cuantilei vagi; - btrf_ac = blocul de definire a trapezului fuzzy. Precizăm că blocul de definire a trapezului fuzzy este constituit din patru valori numerice (abscisele vârfurilor trapezului) dintre care una sau două sau trei valori pot lipsi. Pentru ordonatele vârfurilor trapezului alegerile se fac în mod implicit, ca mai jos: - dacă s-au dat patru abscise, se aleg în ordine 0, 1, 1, 0; - dacă s-au dat trei abscise, se aleg în ordine 0, 1, 0; - dacă s-au dat două abscise, se aleg în ordine 0, 1; - dacă s-a dat o singură abscisă, se alege 1. În general, o cuantilă vagă se defineşte printr-o linie poligonală cu mai mult de patru vârfuri; totuşi, considerăm că alegerea pentru definire a unui trapez (inclusiv degenerat) este satisfăcătoare din punctul de vedere al acurateţei calculelor.

30

atribut

adolescent

1 ( x2 , y 2 )

( x3 , y3 )

( x1 , y1 )

O

( x4 , y 4 )

15

atribut

16

18

vârsta (ani)

forma sportiva

( x2 , y 2 )

1

O

20

atribut

( x1 , y1 )

40

80

( x3 , y3 )

antrenament (zile)

gust

( x2 , y 2 )

1

( x1 , y1 )

O atribut

20

( x3 , y3 )

2

5

sarat (mg)

promovare

( x2 , y 2 )

1

( x1 , y1 ) O 5 note ( ≥ 5 ) Figura 1.5 F2. Diferite modalităţi de exprimare vagă a atributelor

31

Prin convenţie, orice scală fuzzy trebuie să fie alcătuită în conformitate cu o relaţie de ordine naturală dată de apropierea de optim. Această convenţie prevede ca, pe orice scală fuzzy, cuantilele să fie ordonate de la extremitatea stângă a scalei la extremitatea dreaptă a scalei. Pentru a se putea realiza normalizarea coloanei corespunzătoare unui atribut exprimat prin cuantile vagi, este necesar ca pesimul şi optimul exprimate prin cuantile vagi (atunci când acestea se cunosc) să fie prezente pe scala asociată atributului respectiv (acestea fiind în mod automat capete de scală). Atragem atenţia că există numeroase situaţii în care ordinea cuantilelor vagi pe o scală nu coincide cu ordinea naturală (de la valori mici la valori mari), în funcţie de semnificaţia exprimării prin cuantile vagi a atributului relativ la domeniul de definire a problemei alegerii optime. 6. Problema alegerii optime poate contine si atribute de tip variabila aleatoare. Pentru a explica noţiunea de variabilă aleatoare să considerăm mulţimea a numerelor reale şi mulţimea B constând din intervalele de forma ( −∞, a ) ; a ∈ , precum şi din complementare, reuniuni sau intersecţii de astfel de intervale. Mulţimea B se numeşte familia mulţimilor boreliene pe dreapta reală iar perechea ( algebră numită corpul mulţimilor boreliene de pe dreaptă. Definiţie. O funcţie X : E → câmpul de probabilitate unde X

−1

,

B)

este o sigma

se numeşte măsurabilă sau variabilă aleatoare pe

( E, S , P )

dacă pentru orice B ∈ B avem X

−1

( B) ∈ S ,

( B ) este preimaginea mulţimii B prin aplicaţia X.

Sensul intuitiv al noţiunii abstracte de variabilă aleatoare este următorul: ea este o valoare asociată evenimentelor (o măsură !) care ne permite să calculăm probabilităţi

(

ca ea să ia anumite valori (adică P ( X ∈ B ) = P X

−1

( B )) ,

ultima probabilitate

având sens, căci este definită pe S. Mai simplu, la o variabilă aleatoare, pe lângă valorile pe care aceasta le poate lua, cunoaştem şi probabilităţile ca variabila să ia acele valori. Faptul că X ia valori în intervalul ( −∞, x ) , x ∈ îl vom scrie

P ( X ∈ ( −∞, x ) ) = P ( X < x ) .

În aplicaţii se utilizează de regulă variabile aleatoare deoarece în practică observaţiile revin la măsurători numerice. Definiţie. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare X este funcţia reală

F ( x ) = P ( X < x ) , ∀x ∈ , 0 ≤ F ( x ) ≤ 1. Funcţia de repartiţie are următoarele proprietăţi: a) Este nedescrescătoare, adică ∀a < b, F ( a ) ≤ F ( b ) ;

32

b) F ( −∞ ) = 0 (deoarece { X < −∞} este evenimentul imposibil!),

F ( +∞ ) = 1 (deoarece { X < ∞} este evenimentul sigur!). Faptul că o variabilă aleatoare X are funcţia de repartiţie F ( x ) se notează

XÎ F. O variabilă aleatoare este cunoscută dacă se cunoaşte funcţia ei de repartiţie. Cu ajutorul acestei funcţii se poate de exemplu determina un interval [ a, b ) astfel încât

unde

P ( X ∈ [ a, b ) ) = F ( b ) − F ( a ) = δ

δ este un număr dat; dacă acest număr este mare atunci înseamnă că valorile

variabilei aleatoare se concentrează pe intervalul [ a, b ) . Se numeşte

α - cuantilă a variabilei aleatoare X Î F ( x ) valoarea ξα dată

de relaţia F (ξα ) = α , 0 < α < 1 . O variabilă aleatoare care ia valori cu probabilităţi nenule într-o mulţime discretă se numeşte variabilă aleatoare discretă. Repartiţia unei astfel de variabile X este de forma:

a X : 1  p1 m

cu conditia ca

∑p i =1

i

a2 p2

... am   ... pm 

= 1 . Când m = ∞ seria este convergentă. Probabilităţile pi se

pot scrie sub forma Pi = f ( i ) , funcţia f numindu-se funcţie de frecvenţă. Funcţia de repartiţie a variabilei discrete este o funcţie în scară, adică

 0, daca x < a1  p , daca a ≤ x < a 1 2  1  p1 + p2 , daca a2 ≤ x < a3  F ( x ) = P ( X < x ) =  ......  p + p + ... + p , daca a ≤ x < a k k k +1 2  1  ......  p p ... p 1, daca a x <∞ k ≤  1+ 2+ + m =

33

Definiţie. Dacă variabila aleatoare X ia o mulţime de valori de puterea continuumului şi funcţia sa de repartiţie este derivabilă, atunci derivata sa f ( x ) = F ' ( x ) se numeşte densitate de repartiţie. Punctul m0 care este maxim local al densităţii f se numeşte mod, iar repartiţiile care au un singur mod se numesc unimodale. Desigur, are loc relaţia

F ( x) =

x

∫ f ( u ) du

−∞

Valoarea modală m0 a lui f unimodală, este valoarea cea mai probabilă. Din cele precizate mai sus rezultă că o funcţie f ( x ) , x ∈

este densitate de repartiţie dacă

a) f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ cl ; b)

∫

+∞

−∞

f ( x ) dx (condiţia de normare).

Definiţie. Fiind dată o variabilă discretă X de repartiţie (

a1

a2

... am

p1

p2 ...

pm

) sau o

variabilă continuă X (având densitatea de repartiţie f), se numeşte valoarea medie a funcţiei ϕ ( X ) , mărimea m

E ϕ ( X )  = ∑ piϕ ( ai ) (cazul discret) i =1

E ϕ ( X )  =

+∞

∫ ϕ ( u ) f ( u ) du (cazul continuu)

−∞

presupunând că suma, respectiv integrala sunt convergente. Dacă

ϕ (t ) = t r , r ∈

+

r atunci M r = E  X 

se numeşte momentul de

ordinul r (când el există desigur). Mărimea m = m1 = E [ X ] se mai numeşte şi valoarea medie, sau media lui X. Dacă

2 r ϕ ( t ) = ( t − m ) , atunci µr = E ( X − m )  se numeşte momentul



centrat de ordinul r. Momentul centrat se mai notează



µ2 se mai numeşte şi dispersie sau varianţă şi

σ = Var ( X ) = µ2 . 2

Operatorul E este liniar; dacă X şi Y sunt variabile aleatoare şi constante, atunci

α , β sunt

34

E [α X + β Y ] = α E [ X ] + β E [Y ] Există legături între momentele centrate şi cele obişnuite. De exemplu, se poate arăta cu uşurinţă că

σ 2 = Var [ X ] = m2 − m12

Mărimea σ = σ se mai numeşte deviaţie standard sau abatere standard sau abatere medie pătratică. Momentele joacă un rol important în lucrul cu variabile aleatoare. Foarte utila este următoarea inegalitate a lui Tchebysheff. 2

Dacă variabila aleatoare X are media m şi dispersia

σ 2 , atunci:

1 , ∀t > 0 t2 Inegalitatea spune de fapt că dacă se cunosc m şi σ atunci o valoare a lui X se găseşte 1 în intervalul ( m − tσ , m + tσ ) cu o probabilitate cel puţin egală cu 1 − 2 . t

P ( X − m < tσ ) ≥ 1 −

Inegalitatea lui Tchebysheff este un caz particular al inegalităţii lui Markov care spune că: k E Y    , ∀ε > 0,∀k > 0 P E [Y ] ≥ ε ≥ k

(

)

ε

unde E  X  (când există) este momentul absolut de ordinul k. k





Dacă în inegalitate punem y = X − m şi Tchebysheff.

ε =tσ , t > 0 obţinem inegalitatea lui

Pentru calculul momentelor este de mare ajutor funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare. Funcţia complexă:

ϕ ( t ) = E  eitX  , i = −1, t ∈ se numeşte funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X. Deci, pentru X discretă funcţia caracteristică este

ϕ ( t ) = ∑ pn eita iar dacă X n

n

este o variabilă aleatoare continuă cu densitatea f atunci

ϕ (t ) =

+∞

∫e

−∞

Se observă că funcţia

itu

f ( u ) du .

ϕ ( t ) este definită întotdeauna, deoarece seria, respectiv

integrala sunt întotdeauna convergente.

35

Dacă variabila aleatoare X are momente de ordinul r, atunci orice moment

k ,1 ≤ k ≤ r se calculează cu formula mk =

1 ik

 d kϕ ( t )    , derivata de ordinul k k  dt ( 0)

calculându-se în punctul t = 0 . Vom prezenta pe scurt câteva exemple de variabile aleatoare, respectiv de repartiţii de probabilitate (numite uneori distribuţii de probabilitate). - Repartiţii discrete:

 0 1  , p > 0, p + q = 1 .  p q

a) Variabila aleatoare Bernoulli are repartiţia Z :  Funcţia

de

frecvenţă

f

şi

funcţia

de

repartiţie

F

sunt

respectiv

0, daca x < 0  f ( 0 ) = q, f (1) = q, F ( x ) = q, daca 0 ≤ x < 1 iar funcţia caracteristică este  1, daca x ≥ 1 

ϕ ( t ) = 0eit .0 + peit = peit . Calculand direct, rezultă că:

m = E [ Z ] = p, m2 = p, σ 2 = Var [ Z ] = m2 − m 2 = p − p 2 = p (1 − p ) = pq . +

b) Variabila binomială Binom(n,p) cu n ∈ N , probabilitate de forma:

0 X :  p0

p ∈ (0,1) are repartiţia de

1 Ln α α n −α  , p = Cn p q , α = 0,1,K , n, q = 1 − p. p1 L pn  α

Denumirea de “binomială” provine din faptul că pα , α = 0,1,K , n reprezintă

( p + q)

termenul general al dezvoltării binomului

n

. Se observă că variabila

X ∈ Binom(n, p) (adică are repartiţia Binom(n, p) ), reprezintă numărul de succese în n probe Bernoulli independente, sau X =

n

∑Z i =1

i

unde Z i sunt variabile Bernoulli

independente stochastic. Funcţia caracteristică şi

ϕ ( t ) = ( q + peit ) , m = np , σ 2 = npq.

m

şi

σ 2 sunt relativ:

n

In relaţia precedentă s-a folosit proprietatea că funcţia caracteristică a sumei de variabile independente este egală cu produsul funcţiilor caracteristice ale acestor variabile.

36

Variabila binomială X poate fi interpretată şi cu ajutorul unui experiment de extragere dintr-o urnă care conţine N bile din care A sunt bile albe şi B sunt bile negre, A + B = N . Probabilitatea ca la o extragere la întamplare din urnă să obţinem o

A . Dacă extragerea unei bile este urmată de reintroducerea ei in N urnă (extragere cu intoarcere! ) atunci variabila X Î Binom(n, p ) este numărul de bilă albă este p =

bile albe rezultate din n extrageri independente succesive, cu întoarcere. c) Variabila discretă X , care ia valori in

P(X =α ) = C

α −1 n +α −1

şi care are funcţia de frecvenţă: α

p q , q = 1 − p , α = 0,1, 2,K k

se numeste variabilă Pascal ( k , p ) , k ∈ , p ∈ ( 0,1) sau variabilă binomială cu exponent negativ. Se poate arăta ca variabila X Î Pascal (k , p ) reprezintă numărul (aleator!) de eşecuri până ce se obţin k succese, într-un şir de probe Bernoulli independente. Media şi dispersia variabilei Pascal ( k , p ) sunt date respectiv de formulele:

m = E[X ] =

kq kq , σ 2 = Var ( X ) = 2 . p p

În cazul k=1 repartiţia Pascal (1, p ) este numită repartiţia geometrică deoarece în acest caz P ( X = α ) = pq

α

este termenul general al progresiei geometrice de raţie q,

0 < q < 1. d) Să presupunem că suntem în cazul experimentului cu urnă prezentat cu ocazia repartiţiei binomiale, cu diferenţa că după ce se extrage o bilă, aceasta nu se mai întoarce în urnă. Variabila hipergeometrică X este numărul de bile albe obţinute in n extracţii fară intoarcere. Deci X ia valorile 0,1, 2,K , n n < Ν dar extragerile în acest caz sunt dependente. Să notăm cu I extragerea unei bile albe şi cu J extragerea unei bile negre. Dacă de exemplu la prima extragere s-a realizat o bilă albă I atunci la cea de-a doua extragere vom avea probabilităţile:

P(I / I ) =

A −1 B . , P( J / I ) = N −1 N −1

P(I / J ) =

A B −1 , P( J / J ) = , N −1 N −1

Asemănător vom avea:

iar la a treia extragere vom obţine probabilităţile:

P ( I / II ) =

A−2 B A −1 , P( J / II ) = , P ( I / IJ ) = = P( I / JI ) , N −2 N −2 N −2

37

P ( J / IJ ) =

B −1 A B−2 , P ( J / JJ ) = . = P ( J / JI ), P ( I / JJ ) = N −2 N −2 N −2

Dacă în n extrageri fără intoarcere s-au extras a bile albe (şi deci b=n-a bile negre) atunci se poate arăta că variabila hipergeometrică are proprietatea:

P( X = a) =

C Aa CBb , a = 0,1,K , n, CNn

iar după efectuarea unor calcule se obţin formulele:

np  n ( Np − 1) + N (1 − p )  , E [ X ] = np, E  X 2  = N −1  N −n A , p = , N = A+ B . Var ( X ) = np (1 − p ) N −1 N e) Variabila discretă X ∈

are repartiţia Poisson(λ ) , de parametru

+

funcţia sa de frecvenţă este: pα = P ( X = α ) = caracteristică este

ϕ ( t ) = eλ ( e

it

−1)

λ > 0 , dacă

α

λ −λ e . Se arată că funcţia α!

, iar de aici se deduc formulele:

m = E [ X ] = λ , E  X 2  = λ 2 + λ , σ 2 = Var ( X ) = E  X 2  − ( E [ X ]) = λ. Repartiţia Poisson este repartiţia evenimentelor rare. Mai precis, daca X este 2

numărul aleator de evenimente ce apar într-un interval de timp egal cu unu şi media lor este λ (care se mai numeşte şi intensitatea de apariţie a evenimentelor rare), atunci X are repartiţia Poisson(λ ) . - Repartiţii continue a)

( a, b ) ,

Repartiţia uniformă. Variabila aleatoare V care ia valori in intervalul

−∞ < a < b < +∞ are repartiţia uniforma pe ( a, b ) dacă densitatea sa de

repartiţie este:

k , k > 0, dacă x ∈ ( a, b ) g ( x) =  . 0, altfel Dacă g ( x ) trebuie să satisfacă relaţia de normare, rezultă că :

 1 , dacă x ∈ ( a, b )  g ( x) = b − a . 0, altfel

38

O repartiţie particulară importantă este repartiţia uniformă pe intervalul ( 0,1) , care are deci densitatea:

1, dacă x ∈ ( 0,1) g ( x) =  . 0, altfel

Să notăm cu U variabila care are repartiţie uniformă pe

( 0,1) ,

care se numeşte

variabilă uniformă 0 – 1. Din expresiile densităţilor uniforme rezultă că funcţiile de repartiţie ale variabilelor uniforme U si V sunt respectiv:

0, dacă x ≤ a 0, dacă x ≤ 0 x−a   G ( x) =  , dacă x ∈ ( a, b ) , F ( x ) =  x, dacă x ∈ ( 0,1) . 1, dacă x ≥ 1 b − a  1, dacă x ≥ b Variabilele aleatoare uniforme au proprietatea că toate punctele din intervalele în care iau valori sunt egal probabile. Între variabilele uniforme U şi V au loc relaţiile: V = a + (b − a )U , U =

V −a . b−a

b) Repartiţia normală. Variabila aleatoare X are repartiţia normală de parametri

m şi σ

( notată N ( m, σ ) ) dacă densitatea sa de repartiţie este: 1 − f ( x) = e 2π

( x − m )2 2σ 2

,x∈

.

Prin calcule simple se arată că:

1 E[X ] = 2π

+∞

( x − m )2

1 ∫−∞ xe 2σ dx = m, Var ( X ) = 2π Modulul variabilei normale N ( m, σ ) este m0 = m. −

+∞

2

2 −

∫ ( x − m) e

( x − m )2 2σ 2

dx = σ 2 .

−∞

Repartiţia normală a fost introdusă de Gauss pentru a caracteriza faptul că erorile care se produc când se măsoară o mărime fizică m prezintă o simetrie faţă de m , iar σ este un indicator de precizie al măsurătorilor (adică cu cât σ este mai mic, cu atât măsurătorile sunt mai precise). O repartiţie normală particulară, dar importantă este repartiţia normală N ( 0,1) care are deci densitatea de repartiţie: 2

1 − x2 ϕ ( x) = e . Variabila Z normală N ( 0,1) se numeşte variabilă normală 2π standard. Între variabila Z Î N ( 0,1) şi variabila X Î N ( m, σ ) au loc relaţiile: X = m + Zσ , Z =

X −m

σ

39

iar între funcţiile de repartiţie: P ( Z < z ) = φ ( z ) , P ( X < x ) = F ( x ) are loc relaţia:

 x−m F ( x) = φ  .  σ  Notând zα şi xα α - cuantilele variabilelor Z , respectiv X , din relaţia precedentă rezultă că:

X α = m + zα σ

deci este suficient să cunoaştem numai funcţia de repartiţie

φ ( z ) şi cuantilele ei

pentru a determina cuantila corespunzătoare a oricărei variabile normale N ( m, σ ) . Notând:

1 L ( x) = 2π

x

∫e

−

t2 2

dt

0

numită funcţia lui Laplace, rezultă relaţia:

 1, dacă z ≥ 0 , −1, dacă z < 0

1 2

φ ( z ) = + sgn ( z ) L ( z ) , sgn ( z ) = 

adică funcţia L ( x ) poate fi utilizată pentru calculul cuantilelor oricărei repartiţii normale. De asemenea dacă este nevoie să se determine un interval minim în care X să ia valori cu o probabilitate dată p atunci se determină mai întâi cuantila z p astfel 1−

2

   p  = 1 − iar intervalul căutat este:  m − z1− p σ , m + z1− p σ  . 2     2 2 Uneori, când este vorba de α - cuantila superioară t, care satisface relaţia P ( x ≥ t ) = α , aceasta se notează pentru simplificare t = zα .

încât



φz

p 1− 2

Repartiţia normală este importantă pentru că în multe situaţii ea este o repartiţie limită. c) Repartiţia

χ 2 . Dacă Z1 , Z 2 ,K , Z n sunt variabile aleatoare normale n

N ( 0,1) independente, atunci variabila χ n2 = ∑ Z i2 se numeşte variabilă χ 2 cu n i =1

grade de libertate. Dacă însă, variabilele Z i , 1 ≤ i ≤ n sunt normale N ( mi ,1) atunci n

variabila

χ n ,δ = ∑ Z i2 se numeşte variabilă χ 2 necentrată cu n grade de libertate şi i =1

cu parametrul de excentricitate δ unde

n

δ 2 = ∑ mi2 . Densitatea de repartiţie χ n2 i =1

40

centrată

( )

Var χ n2 pe

n x −1 −  1 2 2 , dacă x > 0 x e  n  2 n este: iar E  χ n2  = n , f ( x) =  2 Γ   2    0, altfel = 2n , m0 = n − 2 . Variabila χ n2,δ are o densitate de repartiţie complicată

care

E  χ

2 n ,δ

nu

o

prezentăm

 = n + δ , Var  χ 2

2 n ,δ

aici.

(

 = 2 n + 2δ

2

Se

).

χ n2 atunci variabila: tn =

Z

arăta

că

N ( 0,1) independentă de

d) Repartiţia Student. Dacă Z este o variabilă variabila

poate

se numeşte variabilă t sau variabilă student

χn n

cu

n

grade

de

libertate.

Densitatea

de

repartiţie

Student

este:

 n +1 n +1 Γ   x 2 − 2 2  1+ f ( x) =  . Se poate vedea uşor că E [tn ] = 0 = m0 .   n  n  Γ  2 e) Repartiţia F a lui Snedecor. Dacă independente, atunci variabila: Fn1 ,n2 = Snedecor) cu

( n1 , n2 )

χ n2 , χ n2 sunt două variabile χ 2 centrate şi 1

n2 χ n1 χ

2 n1 2 n2

2

se numeşte variabilă F centrată (a lui

grade de libertate (pentru care

ordinea

( n1 , n2 )

este

importantă!) şi are densitatea de repartiţie:

n +n  Γ 1 2  n1  2  n1 x 2 −1 1 + n1 f ( x) =  n  n  n  n2 Γ 1 Γ 2  2 2  2 Prin calcule se deduce că:

m0 =

n2 ( n1 − 2 )

 x 

−

1 ( n1 + n2 ) 2

.

2n22 ( n1 + n2 − 2 ) n , E  Fn1 ,n2  = 2 , Var  Fn1 ,n2  = . 2 n1 ( n2 + 2 ) n2 − 4 n1 ( n2 − 2 ) ( n2 − 4 )

41

Folosind variabile

χ 2 independente şi necentrate se pot defini variabile simplu

necentrate de forma Fn1 , n2 ;δ1 ,0 , Fn1 ,n2 ;0,δ 2 sau dublu necentrate Fn1 ,n2 ;δ1 ,δ 2 . În statistică se foloseşte de obicei variabila simplu necentrată Fn1 ,n2 ;δ1 = Fn1 ,n2 ;δ1 ,0 . f) Repartiţia lognormală. Variabila Y > 0 are repartiţia lognormală LN ( µ , σ ) dacă variabila X = log Y este normală N ( µ , σ ) . Densitatea de repartiţie a lui Y este: ( log y − µ )2

− 1 2 f ( y) = e 2σ . y 2πσ 2 Notând m = E [Y ] , s = Var (Y ) , se arată că între m, s şi µ , σ au loc relaţiile

1

 m2



 m2



µ = log m − log  2 + 1 , σ 2 = log  2 + 1 . 2 s  s  g)

Repartiţia

exponenţială

negativă.

exponenţială negativă de parametri ( α ∈ ,

X >0

Variabila

are

repartiţia

λ > 0 ), notată Exp (α , λ ) dacă

densitatea sa de repartiţie este

 0, daca x ≤ α . f ( x ) =  − λ ( x −α ) , daca x > α λ e Prin calcule simple se deduc formulele:

E[X ] =α + Variabila Z Î

1

λ

, Var ( X ) =

1

λ2

.

Exp ( 0,1) se numeşte variabilă exponenţială standard şi se notează

simplu Exp (1) , iar legătura ei cu X Î

Exp (α , λ ) este dată de relaţia X = α +

Funcţiile de repartiţie ale variabilelor Z şi X sunt respectiv:

1 − e− x , daca x > 0 G ( x) = P (Z < x) =  0, daca x ≤ 0 − λ x −α 1 − e ( ) , daca x > α , F ( x ) = G (λ ( X − α )) . F ( x) =  0, daca x ≤ α Cea mai utilizată repartiţie exponenţială este repartiţia Exp ( 0, λ ) = Exp ( λ ) .

Z

λ

.

42

h) Repartiţia Weibull. Variabila pozitivă X este variabilă Weibull de (α , λ ,υ ) , α ∈ , λ > 0, υ > 0 , dacă densitatea sa de repartiţie este:

 υ  x − α υ −1 − x − a   e  λ  , daca x > α . f ( x ) =  λ  λ    0, altfel υ

α este parametru de locaţie, λ este parametru de scală, iar υ este parametru de formă. Variabila Z Î Weibull ( 0,1,υ ) este variabila Weibull standard. Relaţia între variabilele Weibull X şi Z este X = α + Z λ , iar funcţiile lor de repartiţie Parametrul

satisfac relaţiile:

Pentru

0, daca x ≤ α  υ F ( x) = P ( X < x) =   x −α  −  1 − e  λ  , altfel

0, daca z < 0  x −α  G (z) = P(Z < z) =  , F ( x) = G  . − xυ  λ   1 − e , altfel variabila Weibull ( 0, λ ,υ ) funcţia de fiabilitate

este

υ

P ( X ≥ x) = F ( x) = e

x −  λ

.

i) Repartiţia Gamma. Variabila pozitivă X are repartiţia Gamma (α , λ ,υ ) , α ∈ , λ > 0, υ > 0 dacă densitatea sa de repartiţie este

 λυ υ −1 ( x − α ) e−λ ( x−α ) , daca x > α  . f ( x ) =  Γ (υ )  0, altfel 

Variabila particulară Y Î Gamma ( 0,1,υ ) este variabila Gamma standard şi între Y şi X are loc relaţia X = α +

Y

λ

.

Funcţia caracteristică a lui Y şi media, respectiv dispersia sunt:

ϕ ( t ) = E  eitY  = de unde E [ X ] = α +

1

(1 − it )

υ

, E [Y ] = υ , Var (Y ) = υ ,

υ υ υ −1 , Var ( X ) = 2 iar modul lui X este m0 = α + . λ λ λ

43

O repartiţie Gamma particulară este repartiţia Erlang ( λ , k ) ,

λ > 0, k ∈

+

care este

de fapt repartiţia Gamma ( 0, λ , k ) . Se arată că dacă Z1 , Z 2 ,K , Z k sunt variabile

exponenţiale Exp ( λ ) atunci variabila aleatoare Ek = Z1 + Z 2 + L + Z k are repartiţia

Erlang ( 0, λ , k ) . Repartiţia Erlang ( 0,1, k ) este numită Erlang standard.

j) Repartiţia Lomax. Variabila aleatoare X are repartiţia Lomax ( a, θ ) , a,

 0, daca x ≤ 0  aθ θ > 0, dacă densitatea sa de repartiţie este f ( x ) =  . , daca x > 0  (1 + θ x )a +1  Media şi dispersia variabilei X sunt respectiv:

E[X ] =

a 1 , Var ( X ) = 2 , a ≠ 1, a ≠ 2 . 2 θ ( a − 1) θ ( a − 1) ( a − 2 )

k) Repartiţia logistică. Variabila Y are repartiţia logistică standard dacă densitatea sa de repartiţie este f ( x ) =

e− x

(1 + e ) −x

2

, x∈

, de unde rezultă că funcţia

de repartiţie este:

F ( x) =

1 . 1 + e− x

Prin calcule se deduce că E [Y ] = 0, Var (Y ) =

π2

.

3 Densitatea şi funcţia de repartiţie logistică X Î Log (α , β ) , α , β > 0 , non standard, sunt:

g ( x) =

αβ e−α x

(1 + β e ) −α x

2

, G ( x) =

1 . 1 + β e −α x

l) Repartiţia Beta. Variabila Y are repartiţia Beta ( a, b ) , a, b > 0 , dacă densitatea sa de repartiţie este b −1  1 a −1 Γ (a + b)  B a, b x (1 − x ) , daca x ∈ ( 0,1) ) , B ( a, b ) = g ( x) =  ( . Γ ( a ) Γ (b)  0, altfel 

44

Funcţia B ( a, b ) este funcţia specială Beta de unde provine şi numele repartiţiei. Se arată că:

E [Y ] = Densitatea

de

a ab , Var (Y ) = . 2 a+b ( a + b ) ( a + b + 1)

repartiţie

g ( x)

este

unimodală,

modul

având

expresia

a −1 , a + b − 2 ≠ 0. a+b−2 Dacă Y1 Î Gamma ( 0,1, a ) , Y2 Î Gamma ( 0,1, b ) şi cele două variabile sunt m0 =

independente, atunci variabila X =

Y1 are repartiţia Beta ( a, b ) . Repartiţia Y1 + Y2

Beta ( a, b ) caracterizează frecvenţa relativă p a unui experiment aleator (adică p este probabilitatea empirică a unui eveniment precizat). m) Repartiţia valorii extreme. Variabila Y are repartiţia valorii extreme sau repartiţia Gumbel dacă densitatea sa de repartiţie este

 0, daca x ≤ 0  , λ > 0. g ( x ) =  1 − e x −1+ x  e λ , altfel λ 0, daca x ≤ 0  Funcţia de repartiţie a lui Y este P (Y < x ) = G ( x ) =  . e x −1 − 1 − e λ , altfel n) Repartiţia Cauchy. Variabila Y are repartiţia Cauchy standard dacă densitatea sa de repartiţie este g ( x ) =

1 , x∈ π 1 + x2

ϕY ( t ) = E eitY  = e t , t ∈

şi deoarece această funcţie nu are derivată în punctul 0,

(

)

. Funcţia caracteristică a lui Y este

rezultă că variabila Cauchy nu are momente de nici un ordin (este un exemplu tipic în acest sens!). Se arată că dacă Z1 , Z 2 sunt variabile normale N ( 0,1) independente atunci variabila

Z1 are repartiţia Cauchy standard. Dacă X 1 Î N ( m1 , σ 1 ) , X 2 Î N ( m2 , σ 2 ) Z2 x sunt variabile (normale) independente, atunci variabila X = 1 are repartiţia Cauchy x2 Y=

45

non-standard; o astfel de repartiţie are densitatea de repartiţie de forma

f ( x) = k

1

( x − c) 1+

2

, a > 0, c ∈

unde k este o constantă de normare.

a

Dam mai jos, in Figura 1.5 F3, cateva densitati de repartitie cu care se lucreaza mai frecvent in modelarea MADM:

Figura 1.5 F3. Cateva densitati de repartitie mai uzuale 7. Tipurile de scalare prezentate până acum se referă în principal la atributele de tip explicit. Modelul extins al problemei alegerii optime conţine şi atribute de tip implicit, atribute care nu se pretează cuantificării (cum ar fi implicaţiile logice, convingerile

46

experţilor bazate doar pe o experienţă vastă dar nevalidate matematic etc). Acest tip de atribute ţin de domeniul cunoaşterii expert, iar informaţiile legate de ele sunt stocate într-o bază de fapte şi reguli de tip expert. Această bază de cunoştinţe este alcătuită dintr-un ansamblu de reguli de tipul: IF condiţie (compusă) THEN acţiune (compusă). Utilitatea acestei baze de cunoştinţe este multiplă: - soluţionarea stărilor conflictuale între deciziile individuale ale decidenţilor, conflicte ce pot apare în diferite etape ale rezolvării problemei alegerii optime; - discriminarea în mulţimea soluţiilor în cazul unui optim multiplu al problemei alegerii optime; - recomandarea unei anumite metode de rezolvare în funcţie de specificul datelor problemei alegerii optime. 8. Referitor la plajele de valori posibile ale atributelor, se constată că mulţimea acestor plaje apare structurată ca un vector dublu (a cărui dimensiune este egală cu numărul atributelor de tip explicit). Introducerea acestui vector în model a fost dictată de faptul că un număr ridicat de metode de normalizare pornesc nu de la matricea OASD în forma sa iniţială (caracterizată de un grad ridicat de neomogenitate cauzat de existenţa mai multor tipuri de exprimare a atributelor) ci de la o formă normalizată a acesteia (în care intrările sunt valori cuprinse între 0 şi 1, valoarea atributului unui obiect fiind cu atât mai apropiată de 1 cu cât obiectul este mai apropiat de optim prin atributul respectiv). Precizarea cât mai exactă a acestor plaje are ca efect obţinerea unei matrice normalizate cât mai conformă cu realitatea (care exprimă fidel relaţia dintre nivelurile unui atribut asociate obiectelor prin raportare la realitatea obiectivă) şi nu dependenţa de o alegere (uneori aleatoare) a mulţimii obiectelor. Evident, există situaţii în care decidenţii nu pot preciza una din limitele atributului (de exemplu, se poate spune că timpul minim în care un om poate parcurge pe jos distanţa de 100m este 9.8s, dar nu se poate spune care este timpul maxim de parcurgere a acestei distanţe) şi există situaţii în care decidenţii nu pot preciza nici una dintre limitele acestuia (de exemplu, numărul de persoane care se găsesc pe o stradă la un moment dat). Reamintim că relaţia de ordine "mai bun" (≥) definită în cadrul modelului pentru nivelurile unui atribut este strâns legată de sensul atributului respectiv (de maxim sau de minim). Având în vedere acest aspect, în cazul necunoaşterii unei limite pentru un atribut, vom aproxima această limită în mod grosier, astfel: a) pentru atribute de maxim: - opt_a[j] se alege: 1, dacă exprim_a[j] = -2; 1, dacă exprim_a[j] = -1; 1020, dacă exprim_a[j] = 0; cuantila vagă din dreapta scalei, dacă exprim_a[j] > 0; (1.5 R1) - pes_a[j] se alege: 0, dacă exprim_a[j] = -2; 1020, dacă exprim_a[j] = -1; -1020, dacă exprim_a[j] = 0; cuantila vagă din stânga scalei, dacă exprim_a[j] > 0. (1.5 R2)

47

b) pentru atribute de minim: - opt_a[j] se alege: 0, dacă exprim_a[j] = -2; 1020, dacă exprim_a[j] = -1; -1020, dacă exprim_a[j] = 0; cuantila vagă din stânga scalei, dacă exprim_a[j] > 0; (1.5 R3) - pes_a[j] se alege: 1, dacă exprim_a[j] = -2; 1, dacă exprim_a[j] = -1; 1020, dacă exprim_a[j] = 0; cuantila vagă din dreapta scalei, dacă exprim_a[j] > 0. (1.5 R4) În condiţiile de mai sus, apare ca evidentă legătura existentă între vectorul dublu al limitelor atributelor şi vectorul sensurilor atributelor. Această legătură este surprinsă de următoarea: Teoremă 1.5 T1: Cunoaşterea vectorului sensurilor este echivalentă cu cunoaşterea vectorului dublu al limitelor. Demonstraţie: Pentru a fixa notaţiile, fie T = (t1 , t 2 , ..., t j ) vectorul sensurilor atributelor, unde:

" maxim", daca atributul a j este de maxim;  t = j " minim", daca atributul a j este de minim . ”T⇒Lim”: Presupunem cunoscut t j , (∀) j = 1, j . -

dacă t j =”maxim” ⇒ alegem opt _ a[ j ] din formula (1.5 R1) şi pes _ a[ j ] din formula (1.5 R2), în conformitate cu exprim _ a[ j ] .

-

dacă t j =”minim” ⇒ alegem opt _ a[ j ] din formula (1.5 R3) şi pes _ a[ j ] din formula (1.5 R4), în conformitate cu exprim _ a[ j ] .

” Lim ⇒ T”: Presupunem cunoscute perechile ( opt _ a[ j ] ,

(∀) j = 1, j . dacă exprim _ a[ j ] = 1: o dacă opt _ a[ j ] > pes _ a[ j ] ⇒ t j = ”maxim”;

-

o -

-

dacă pes _ a[ j ] > opt _ a[ j ] ⇒ t j = ”minim”;

dacă exprim _ a[ j ] = 2: o

daca opt _ a[ j ] > pes _ a[ j ] ⇒ t j = ”minim”;

o

daca pes _ a[ j ] > opt _ a[ j ] ⇒ t j = ”maxim”;

dacă exprim _ a[ j ] = 3, se consultă scala asociată atributului a j :

pes _ a[ j ] ),

48

o

dacă opt _ a[ j ] este la dreapta lui pes _ a[ j ] ⇒ t j = ”maxim”;

o

dacă pes _ a[ j ] este la stânga lui opt _ a[ j ] ⇒ t j = ”minim”;

ceea ce arată că T este deplin cunoscut, şi demonstraţia se încheie. Deşi, în baza teoremei precedente, vectorul sensurilor şi vectorul dublu al limitelor atributelor sunt echivalenti (în sensul că cunoaşterea unuia conduce la constituirea celuilalt), este evident că vectorul dublu al limitelor atributelor conţine un plus de informaţie faţă de vectorul sensurilor atributelor prin însăşi introducerea unor plaje de valori pentru atribute. 9. Mulţimea standardelor, structurată ca un vector dublu, a fost introdusă în modelul matematic în ideea diminuării plajelor admisibile de valori ale atributelor prin introducerea unor exigenţe suplimentare ale decidenţilor în raport cu mulţimea obiectelor. Evident, absenţa precizării unei componente a unei perechi de forma (pesst_a[j], optst_a[j]) exprimă o exigenţă parţială a decidenţilor, iar absenţa ambelor componente ale acestui vector dublu pentru un anumit atribut exprimă lipsa exigenţelor suplimentare faţă de atributul respectiv. Precizarea unei mulţimi de standarde poate avea ca efecte: - reducerea dimensiunii modelului prin eliminarea, încă din start, a elementelor care sunt "out of standard" prin cel puţin un atribut şi rezolvarea problemei în modelul redus; - rezolvarea problemei fără reducerea dimensiunii în prealabil şi marcarea, în cadrul soluţiei, a obiectelor care sunt "out of standard". 10. Fără a fi absolut necesar, putem considera Card S ≤ 5, întrucât: - sunt greu de imaginat cazuri concrete în care să se impună rezolvarea problemei într-un număr de stări ale naturii superior lui 5; - fiind practic imposibil ca un număr mare de stări ale naturii să fie echiprobabile, faptul că una din aceste stări este mai probabilă decât celelalte ar conduce la luarea în consideraţie a unor stări ale naturii cu probabilităţi de apariţie inferioare lui 0,1 (uneori chiar foarte mici) ceea ce face ca aceste stări să fie, practic, nesemnificative pentru problema alegerii optime. 11. Fără a fi absolut necesar, putem considera Card D ≤ 5, întrucât: - practica demonstrează că această condiţie apare ca firească, situaţie în care l ≥ 6 fiind foarte rare; - într-un colectiv de decidenţi există, cel mai adesea, unul cu importanţă mai mare decât a celorlalţi şi luând 1 ≥ 6, unii dintre decidenţi ar avea o importanţă relativ mică, ei neputând influenţa decât într-o mică măsură soluţia problemei; - dacă totuşi numărul de decidenţi este cel puţin 6, se pot imagina metode de rezolvare a problemei alegerii optime bazate pe cele existente (prin formarea de grupuri de decidenţi cu cel mult 5 componenţi şi agregarea soluţiilor obţinute de fiecare grup etc.).

49

Practica demonstreză într-adevăr că în procesul decizional sunt rareori implicaţi mai mulţi decidenţi. Dacă totuşi asemenea situaţii apar, se pot imagina metode de rezolvare ale problemei alegerii optime în acest context, prin alcătuirea de grupuri de câte maxim 5 decidenţi, rezolvarea problemei în cadrul fiecărui grup şi agregarea soluţiilor obţinute (tot printr-o metodă specifică problemei). 12. Conceptul de importanţă relativă a decidentului desemnează o masură a experienţei şi competenţei acestuia exprimată prin raportare la ceilalţi decidenţi sau, într-un context mai general, locul pe care acesta îl ocupă într-o ierarhie a tuturor decidenţilor implicaţi în rezolvarea unei probleme. Este clar că, într-un grup de decidenţi, un anumit decident poate avea o importanţă iar în alt grup, acelaşi decident poate avea o altă importanţă. 13. Există posibilitatea de a exprima într-o manieră relativă importanţele pentru oricare din elementele celor patru entităţi fundamentale: O, A, S, D. 14. Zona complet definită a matricei OASD apare ca un bloc în patru dimensiuni: i, j, k, l. Se presupune îndeplinită condiţia de omogenitate a exprimării atributelor în matricea OASD în ceea ce priveşte unitatea de măsura a acestora. Astfel, fixând un anumit atribut aj toate elementele niv_oasd[i, j, k, l] sunt exprimate în aceeaşi unitate de măsură. În plus, se presupune îndeplinită condiţia de omogenitate în ceea ce priveşte unitatea de măsură a atributului aj (în exprimare cardianală) pentru toate obiectele, toate stările naturii şi toti decidenţii, cât şi condiţia ca un atribut să aibă acelaşi tip de exprimare în toate stările naturii şi pentru toţi decidenţii; în cazul exprimării atributelor prin cuantile vagi definite de trapeze fuzzy, se presupune că toate atributele au acest tip de exprimare. 15. Rezolvarea problemelor în care cel puţin un atribut este exprimat prin trapeze fuzzy se poate face fie prin de-fuzzy-ficarea tuturor atributelor astfel exprimate şi aplicarea unor metode clasice, fie prin aplicarea de metode specifice problemelor fuzzy, acest tip de abordare necesitând ca toate atributele să fie exprimate prin trapeze fuzzy eventual degenerate. 16. Mulţimea AASD a importanţelor relative ale atributelor apare ca un masiv în patru dimensiuni. Chiar şi în cazul problemelor de dimensiuni medii (j=20, k=l=3) încărcarea elementelor acestui masiv (20 x 20 x 3 x 3 elemente) este un proces anevoios. În plus, există situaţii în care se cunosc nu importanţele relative ale atributelor, ci chiar importanţele ca atare ale acestora (exprimate adesea prin punctaje obţinute prin raportarea la un optim real sau fictiv). Vom lua în consideraţie şi această mulţime notată ASD şi numită mulţimea importanţelor atributelor. Aceasta apare ca un masiv tridimensional ASD= {pond_a[j,k,l]| j = 1, j , k = 1, k , l = 1, l }. Printr-un procedeu simplu de normalizare (după cum se va vedea în cele ce urmează) se poate presupune că, fixând k şi l, fiecare element pond _ a[ j , k , l ] are semnificaţia unei ponderi:

50

0 < pond _ a[ j , k , l ] < 1, (∀) j = 1, j , (∀) k = 1, k , (∀) l = 1, l j

∑ pond_a[ j , k , l ] = 1, (∀) j = 1, j , (∀) k = 1, k , (∀) l = 1, l . j =1

Vom numi vectorul de mai sus vectorul ponderilor atributelor. 17. Vom nota, pentru k şi l fixaţi: irel _ aa[ j1 , j 2 , k , l ] = b[ j1 , j 2 ] . Fie setul de relaţii:

b[ j , j ] = 1, (∀) j = 1, j

(1.5 R5)

b[ j1 , j 2 ] ⋅ b[ j 2 , j1 ] = 1 (∀) j1 , j 2 = 1, j

(1.5 R6)

b[ j1 , j 2 ] ⋅ b[ j 2 , j3 ] = b[ j1 , j3 ] , (∀) j1 , j 2 , j3 = 1, j

(1.5 R7)

Fie k şi l fixati şi B= (b[ j1 , j 2 ])1≤ j1 , j2 ≤ j secţiunea în AASD după k şi l. Definiţie: Spunem că matricea B este: - coerentă, dacă se verifică relaţiile (1.5 R5), (1.5 R6), (1.5 R7); - slab coerentă, dacă se verifică relaţiile (1.5 R5), (1.5 R6); - incoerentă, dacă se verifică relaţiile (1.5 R5). Legătura dintre mulţimile AASD şi ASD este exprimată de următoarele rezultate: Teorema 1.5 T2: Cunoaşterea mulţimii AASD este echivalentă cu cunoaşterea mulţimii ASD. Demonstraţie: ”ASD⇒AASD”: Presupunem cunoscută mulţimea ASD; fie atributele a j1 , a j2 cărora decidentul d l le acordă ponderile pond _ a[ j1 , k , l ] ,

pond _ a[ j 2 , k , l ] în starea s k . Vom alege: pond _ a[ j1 , k , l ] irel _ aa[ j1 , j 2 , k , l ] = pond _ a[ j 2 , k , l ]

(1.5 R8)

Vom arăta că relaţia (1.5 R8) defineşte pentru orice k şi l câte o matrice B coerentă astfel:

pond _ a[ j1 , k , l ] = 1, (∀) j1 = 1, j pond _ a[ j1 , k , l ] pond _ a[ j1 , k , l ] pond _ a[ j 2 , k , l ] b[ j1 , j 2 ] ⋅ b[ j2 , j1 ] = ⋅ = 1, pond _ a[ j 2 , k , l ] pond _ a[ j1 , k , l ] b[ j1 , j1 ] =

(∀) j1 , j2 = 1, j b[ j1 , j 2 ] ⋅ b[ j 2 , j3 ] =

pond _ a[ j1 , k , l ] pond _ a[ j 2 , k , l ] ⋅ = b[ j1 , j3 ] , pond _ a[ j 2 , k , l ] pond _ a[ j3 , k , l ]

(∀) j1 , j 2 , j3 = 1, j ceea ce demonstrează implicaţia.

51

”AASD⇒ASD”: Presupunem cunoscută mulţimea AASD. Fie k, l fixaţi. Vrem să determinăm valorile variabilelor ( p1 , p 2 , ..., p j ) astfel încât:

p j1  , ∀ j1 , j2 = 1, j b[ j1 , j2 ] = p j2    j p =1 j  ∑ j =1 j

(1.5 R9)

j

Considerăm funcţia Z : ∆ → R , Z ( p1 , p 2 , ..., p j ) = ∑ ∑ (b[ j1 , j 2 ] p j2 − p j1 ) , 2

j1 =1 j2 =1



 ∑ p j = 1 . j =1   Observăm că pentru a determina un n-uplu ( p1 , p 2 , ..., p j ) care să verifice relaţiile (1.5 R9) este echivalent cu a determina un punct din ∆ în care Z să se anuleze. Cum ∀ ( p1 , p 2 , ..., p j )∈∆ , Z ( p1 , p 2 , ..., p j ) ≥ 0 , deducem că punctele în care se verifică (1.5 R9) sunt punctele de minim ale lui Z dacă astfel de puncte există. Întrucât nu unde ∆ = ( p1 , p 2 , ..., p j ) ∈ (0,1)

n

j

putem şti dacă cerinţa de a se realiza (1.5 R9) nu este prea restrictivă, vom impune condiţia ca ( p1 , p 2 , ..., p j ) să fie doar punct de minim pentru Z (este uşor de observat că dacă o matrice B verifică relaţii de tipul (1.5 R9) ⇒ B este coerentă). Pentru acest lucru considerăm funcţia lui Lagrange: j j  j  L = ∑ ∑ (b[ j1 , j 2 ] p j2 − p j1 ) + 2λ  ∑ ( p[ j ] − 1 . j1 =1 j2 =1 j = 1   Împunând condiţiile de anulare a derivatelor lui L se obţine sistemul: c[1,1] p1 + ... + c[1, j] p j + λ = 0  M  c[ j,1] p1 + ... + c[ j, j] p j + λ = 0  p1 + ... + p j =1 

unde: j

c[ j1 , j1 ] = ∑ b[ j , j1 ]2 + 2 , (∀) j1 = 1, j j =1 j ≠ j1

c[ j1 , j 2 ] = −(b[ j1 , j 2 ] + b[ j 2 , j1 ]) , (∀) j1 ≠ j 2 ; j1 , j 2 = 1, j . Sistemul de mai sus are j +1 ecuaţii şi j +1 necunoscute: ( p1 , p 2 , ..., p j , λ ) şi poate fi rezolvat cu metoda lui Gauss; prin rezolvare se poate ajunge la obţinerea mai multor mulţimi ASD şi demonstraţia se încheie. Din demonstraţia acestei teoreme rezultă următoarele observaţii:

52

a) Implicaţia ASD ⇒ AASD oferă o metodă de construcţie a unei mulţimi AASD în care fiecare matrice B este coerentă. b) Implicaţia AASD ⇒ ASD conţine o metodă de determinare a mulţimii ASD într-un cadru foarte larg (în care fiecare matrice B este incoerentă) conducând, după aplicarea metodei prezentate la ASD ⇒ AASD, la coerentizarea lui AASD. Dacă toate matricele B din AASD sunt coerente, putem oferi un rezultat mai precis decât cel din teorema 1.5 T2: Propoziţia 1.5 P1: Mulţimea AASD (coerentă) este perfect determinată de elementele irel _ aa[ j1 , j 2 , k , l ] cu 1 ≤ j1 , j 2 ≤ j , 1 ≤ k ≤ k , 1 ≤ l ≤ l . Demonstraţie: Fie k , l fixaţi. relaţia 1.5 R4 arată că B are pe diagonala principală j valori de 1. Relaţia 1.5 R6 arată că, odată determinat b[ j1 , j 2 ] (cu j 2 > j1 ), elementul b[ j 2 , j1 ] se poate determina. Considerăm propoziţia: P(r):”se cunosc elementele b[ r , j ] , (∀) r = 1, j -1, (∀) j = r + 1, j “ pe care o demonstrăm prin inducţie după r . P(1) este adevarată (din ipoteza). Presupunem cunoscute elementele b[ r , r + 1] , …, b[ r , j] si fie j ∈ {r + 2, ..., j} . Din relaţia 1.5 R7 deducem:

b[ r + 1, j ] =

b[r , j ] b[r , r + 1]

şi demonstraţia se încheie. Teorema 1.5 T3: Dacă AASD este coerentă (adică toate matricele B sunt coerente) atunci există o unică mulţime ASD astfel încât relaţiile 1.5 R 9 să fie verificate. Demonstraţie: Fie k , l fixaţi. Relaţiile 1.5 R9) sunt echivalente cu sistemul:

 p1 = b[1, 2] p 2 = b[1, 3] p3 = ... = b[1, j] p j   p 2 = b[2, 3] p3 = ... = b[2, j] p j M   p j− 2 = b[ j − 2, j − 1] p j−1 = ... = b[ j − 2, j] p j   p j−1 = b[ j − 1, j] p j j ∑ p j = 1  j =1 În baza relaţiilor 1.5 R7 unele din ecuaţiile sistemului de mai sus sunt redundante. Făcând eliminările, se obţine:

53

 p j−1 = b[ j − 1, j] p j  M  p1 = b[1, j] p j j ∑ p = 1  j =1 j  

j-1

 

⇒ p j 1 + ∑ b[ j , j]  = 1 ⇒ p j = j =1

1 j-1

1 + ∑ b[ j , j]

si p j =

j =1

b[ j , j] j

1 + ∑ b[r , j]

, (∀) j = 1, j-1

r =1

(1.5 R10) ceea ce încheie demonstraţia, deoarece: irel _ aa[ j1 , j 2 , k , l ] = b[ j1 , j 2 ] =

1 + j-1 b[r , j] p  ∑  j1 p j1 pond _ a[ j1 , k , l ]  r =1  . = = j-1 p j2 pond _ a[ j 2 , k , l ] 1 + b[r , j] p ∑   j2   r =1 Cu alte cuvinte, pornind de la o mulţime AASD coerentă, construind mulţimea ASD prin relaţiile 1.5 R10 şi aplicând construcţia de la ASD⇒AASD se constată că se ajunge de unde am plecat. Rezultatele de mai sus conturează destul de clar relaţia dintre ASD şi AASD situându-le oarecum în acelaşi plan. Am preferat în model mulţimea AASD mulţimii ASD deoarece, deşi poate introduce un grad de inconsistenţă în datele problemei, exprimările importanţelor relative sunt totuşi mai naturale (surprinzând mai fidel raporturile dintre importanţele atributelor) decât exprimările importanţelor ca atare ale atributelor, realizate de cele mai multe ori printr-o simplă notare a atributelor. Soluţia problemei alegerii optime este deplin concordantă cu datele problemei numai într-una din următoarele situaţii: - se introduce mulţimea importanţelor ASD; - se introduce mulţimea importanţelor relative AASD, care să fie coerentă. Utilizarea unei matrice AASD slab coerente sau incoerente atrage dupa sine necesitatea coerentizării acesteia, soluţia problemei fiind deplin concordantă cu matricea rezultată după coerentizare, nu cu cea initială. Menţionăm că utilizatorul trebuie să aibă posibilitatea să opteze pentru una din aceste mulţimi. Precizăm că cele mai multe din metodele de rezolvare prezentate pornesc de la mulţimea ponderilor ASD. Dacă utilizatorul produsului program are abilitatea de a încărca elementele acestei mulţimi, soluţia problemei va fi în deplină concordanţă cu mulţimea încărcată. Dacă utilizatorul preferă să introducă elementele mulţimii importanţelor relative AASD, există posibilitatea ca matricele introduse de acesta să fie coerente. Prin urmare, se va determina (conform 1.5 T3) mulţimea ponderilor corespunzătoare, apoi se va

54

construi din această nouă mulţime a importanţelor relative (care de această dată este cel putin coerentă), iar metoda de rezolvare a problemei va porni fie de la această nouă mulţime de tip AASD, fie de la vectorul ponderilor mai sus determinat. Prin urmare, soluţia problemei va fi concordantă într-o măsură mai mică cu mulţimea AASD încărcată de utilizator. 18. Utilitatea mulţimii Eval_od este una multiplă: a) ierarhizarea subiectivă exprimată de această mulţime pentru un anumit decident marchează o anumită preferinţă a acestuia pentru anumite obiecte, preferinţă cauzată de convingerile acestuia. Precizăm că există metode de rezolvare a problemei alegerii optime care utilizează elementele acestei mulţimi; b) aceasta poate fi o expresie a competenţei decidenţilor prin compararea ierarhizării pe care o conţine cu cea dată de una din metodele de rezolvare a problemei. Relaţiile care se stabilesc între scopurile problemei alegerii optime sunt exprimate de următoarea: Teorema 1.5 T4: S3⇒S1⇒S2. În plus, dacă se doreşte o evaluare ordinală, avem S3⇒S1⇒S2. Demonstraţie: “S1⇒ S2”: Presupunem că ştim să obţinem obiectul optim din orice mulţime finită de obiecte O, cu Car O = i. Aplicăm o metodă de obţinere a acestui optim pentru O şi obţinem elemenetul oi1 . Aplicăm metoda de obţinere a obiectului optim pentru O \ { oi1 } şi obţinem elementul oi1 . Se iterează procedeul de mai sus până când în O rămâne un singur element. Ordinea în care au fost găsite elementele (oi1 , oi2 , ... ) va fi ordinea în ierarhia cautată. “S2⇒ S3”: Presupunem că cunoaştem o ierarhizare a obiectelor din O. Ordinea dată de această ierarhizare constituie o evaluare ordinală a obiectelor din O. Întrucât o evaluare cardinală a obiectelor nu poate fi determinată de simpla lor ierarhizare, implicaţia S2⇒ S3 este valabilă doar în cazul evaluărilor ordinale. “S3⇒ S1”: Presupunem că avem la dispoziţie o evaluare a fiecărui obiect din O. - dacă evaluarea este de natură cardinală, obiectul optim va fi acela pentru care evaluarea este maximă; - dacă evaluarea este de natură ordinală, obiectul optim va fi acela a cărui evaluare este 1. “S2⇒ S1”: Rezultă din echivalenţa evaluării ordinale cu ierarhizarea obiectelor şi din cele demonstrate mai sus, ceea ce încheie demonstraţia. 19. Referitor la mulţimea Eval_om (care conţine o soluţie a problemei alegerii optime) facem precizarea că exigenţa noastră este ca soluţia să fie unică în raport cu fiecare metodă, ceea ce semnifică faptul că nu sunt admise "soluţii parţiale" (corespunzătoare unor anumiţi decidenţi şi/sau anumitor stări ale naturii). Fără a reduce generalitatea putem fixa la 5 numărul maxim de asemenea mulţimi.

55

20. Numim caracterizare a unui obiect, raportul în care acesta se găseşte atât cu celelalte obiecte (câte obiecte domină, de câte este dominat, prin câte atribute este cel mai bine evaluat) cât şi cu obiectele fictive sau reale definite de standardele atributelor (dacă este sau nu ”out of standard“). În cadrul modelului, mulţimea Car este cea menită să exprime, prin componentele sale, caracterizări pentru obiecte. O asemenea caracterizare este gândită ca o funcţie injectivă definită pe O cu valori în ℜ. Aceată funcţie este însoţită de o procedură de "decodificare" (interpretare) a valorilor sale. Informaţiile stocate în această mulţime sunt menite să îmbogăţească soluţia problemei cu date care nu rezultă din metodele clasice de rezolvare, date utilizate în faza finală a stabilirii soluţiei problemei, când sunt necesare discriminări suplimentare între soluţiile obţinute. Propoziţia 1.5 P2: 2 O valoare car_o[i] ≠ NULL de modul inferior lui i ⋅ j constituie o caracterizare a obiectului oi , (∀) i = 1, i . Demonstraţie: Presupunem car_o[i] ≠ 0 ( ≠ NULL). Oricum, notând e = car_o[i], e ∈ Z. - dacă e < 0 ⇒ obiectul oi este ”out of standard“; -

dacă e > 0 ⇒ obiectul oi este conform standardelor;

-

dacă e < i ⇒ obiectul oi este dominat (în toate stările) de e obiecte şi nu domină nici un obiect;

-

-

e   < i obiecte;  i 

dacă e∈[i, i ) ⇒ obiectul oi domină  2

o

dacă i ∣ e ⇒ obiectul oi nu este dominat;

o

dacă i ∤ e ⇒ obiectul oi este dominat de  e − i ⋅ 

  

dacă e∈[i , i ⋅ j) ⇒ există 2

2

e

i2

 e    obiecte;  i 

< j atribute prin care obiectul oi este mai bine

evaluat; 2 o dacă i ∣ e ⇒ obiectul oi nu domină şi nu este dominat; o

dacă i ∤ e atunci: 2

-

 e  e − i2 ⋅  2   i  obiecte şi nu dacă i ∣ e ⇒ obiectul oi domină i

este dominat;

56

-

dacă i ∤ e atunci:

e  e  e  ⇒ obiectul domină ≥ i o i − ⋅   2   i 2  i  i   i   e  e  e   2 obiecte şi este dominat de  e − i ⋅  2  − i  − i ⋅  2     i   i  i    

a) dacă e − i ⋅  2

obiecte;

e  e − i 2 ⋅  2  < i ⇒ obiectul oi nu domină alte obiecte i    e  2 dar este dominat de  e − i ⋅  2   obiecte şi demonstraţia se    i  

b) dacă

încheie. De exemplu, dacă i = 3, j = 4 si car_o[i] = 29 ⇒ 29 > i

2

2

= 27 ( i =9) ⇒ există 1

atribut prin care obiectul oi este cel mai bine evaluat. Se observă că i ∤ 29 iar 29 – 9 ⋅ 3 = 2 < i ⇒ oi nu domină alte obiecte dar este dominat de 2 obiecte. Mulţimea Car conţine informaţii suplimentare despre soluţie de tipul: obiectul oi nu numai că are evaluarea eval_om[i] dar el chiar domină u obiecte, este dominat de r obiecte, este cel mai bine evaluat prin v atribute şi este (sau nu) ”out of standard“. 21. După cum s-a putut observa, modelul conţine o serie de elemente de tip importanţă. Metodele de rezolvare a problemei alegerii optime operează cu aceste elemente într-o r

formă normalizată. Astfel, dacă importanţele p1 , p 2 , ..., pr > 0 astfel încât ∑ pα ≠ 1 α =1

se aleg ca importante valorile normalizate pα ' =

pα r

∑ pβ

, (∀)α = 1, r si astfel

β =1 r

∑ pα ' ≠ 1

α =1

22. Cu excepţia zonei incomplet definite a masivului OASD, toate elementele modelului matematic prezentat au fost introduse în limbajul funcţiilor, ceea ce face ca toate aceste elementele să fie, în mod implicit, masive dense. De aici decurge necesitatea cunoaşterii prealabile a tuturor informaţiilor necesare definirii complete a modelului. Excepţie de la această cerinţă face numai zona incomplet definită a

57

masivului OASD, în care se acceptă incompletitudinea datelor. Această zonă este completată ulterior utilizând metode specifice inteligenţei artificiale, deşi este de presupus că vor rămâne elemente necunoscute chiar şi după această etapă. Sa facem o scurta recapitulare asupra modelelor si modelarii MADM. După cum s-a văzut la modul general, modelele de decizii multiatribut presupun existenţa unei mulţimi de obiecte date şi a unei mulţimi de atribute în raport cu care se cere alegerea unui obiect optim. Se poate afirma, fără să se greşească, că orice formulare de problemă, în care se urmăreşte alegerea unui obiect optim in raport cu mai multe atribute, conform unui procedeu care poate fi algoritmizat, conduce natural la un model MADM. În legătură cu mulţimea obiectelor, singura restricţie care se impune, pentru ca sa se poata aborda rezolvarea unei probleme de alegere optima, este ca aceasta să fie finită şi să aibă cel puţin două elemente. Fiecare obiect din această mulţime este evaluat prin intermediul mulţimii de atribute despre care se presupune a fi nevidă. Se urmăreşte alegerea unui obiect de aşa natură încât să fie satisfăcute, la modul optim, atributele avute în vedere. Problema poate să comporte un grad ridicat de complexitate chiar şi atunci când se au în vedere doar câteva atribute. În momentul în care numărul atributelor este mai mare, complexitatea problemei creşte considerabil. Această creştere a complexităţii derivă din faptul că, în quasi-totalitatea situaţiilor reale, atributele sunt conflictuale, altfel spus, un obiect se poate situa pe un loc foarte bun în raport cu unul din atribute, dar pe un loc foarte slab în raport cu un alt atribut. Atenţie, de regulă, în MADM se impune condiţia ca atributele să fie mutual independente.

58

2. PROBLEMA ALEGERII OPTIME Se poate afirma, fără să se greşească, că orice formulare de problemă, în care se urmăreşte alegerea unui obiect optim într-o mulţime discretă, conform unui procedeu care poate fi algoritmizat, conduce natural la necesitatea unui model MADM. În legătură cu mulţimea obiectelor, singura restricţie care se impune, pentru ca să se poată aborda rezolvarea unei probleme de alegere optimă, este ca aceasta să fie finită şi să aibă cel puţin două elemente. Fiecare obiect din această mulţime este evaluat prin intermediul mulţimii de atribute despre care se presupune a fi nevidă. Se urmăreşte alegerea unui obiect de aşa natură încât să fie satisfăcute, la modul optim, atributele avute în vedere. Problema poate să comporte un grad ridicat de complexitate chiar şi atunci când se au în vedere doar câteva atribute. În momentul în care numărul atributelor este mai mare, complexitatea problemei creşte considerabil. Această creştere a complexităţii derivă din faptul că, în quasi-totalitatea situaţiilor reale, atributele sunt conflictuale, altfel spus, un obiect se poate situa pe un loc foarte bun în raport cu unul din atribute, dar pe un loc foarte slab în raport cu un alt atribut. De regulă, se impune condiţia ca mulţimea atributelor să fie finită iar atributele să fie mutual independente. Specific problemelor de decizii multiatribut este deci faptul că, dată fiind o mulţime de obiecte (alternative, variante), se fac mai multe aprecieri asupra acestei mulţimi, ţinând cont de mai multe atribute ale obiectelor, aprecierile având natura neomogenă sau, în cele mai multe cazuri, conflictuală. Această natură conflictuală a aprecierilor poate să aibă mai multe cauze, cele mai importante fiind: - caracterul intrinsec conflictual al atributelor, - existenţa mai multor specialişti (decidenţi, experţi) care participă la evaluarea obiectelor, - luarea în considerare a mai multor stări ale naturii. Pe de altă parte, rezolvarea unei probleme de alegere optimă implică: - punctul de vedere al matematicianului relativ la problema dată (cum înţelege el să determine obiectul optim), - algoritmul care implementează acest punct de vedere, - validitatea modelului. Problema alegerii optime presupune ridicarea sa peste modelul MADM consistent definit. În construcţia unui model MADM, după stabilirea mulţimii decidenţilor, aceştia, în mod independent, într-o primă etapă, stabilesc mulţimea stărilor naturii, mulţimea atributelor şi mulţimea obiectelor, apoi încarcă matricile obiecte – atribute pentru stările naturii. Pentru că nimeni nu coordonează această activitate, fiecare decident va alege stările naturii, atributele şi obiectele pe care crede de cuvintă că trebuie să fie entităţi ale modelului. Într-o a doua etapă, decidenţii convin asupra entităţilor finale ale modelului şi fiecare decident va asigna în fiecare stare a naturii valori precise tuturor atributelor, căutând să redea modelului proprietatea de completitudine. În cazul în care problema este caracterizată de incompletitudine, într-o a treia etapă, reguli de productie, înglobând cunoaşterea expert, vor completa datele absente. De asemenea, regulile de validare se vor ocupa cu validarea datelor de intrare din punct de vedere al corectitudinii sintactice / semantice şi al credibilităţii. Proprietatea de corectitudine sintactică şi semantică a datelor problemei se referă la

59

valorile pe care decidenţii le asignează atributelor, valori ce trebuiesc să satisfacă anumite condiţii (a avea un anumit tip, numeric sau alfanumeric, a se situa în anumite intervale, a fi exprimate în aceeaşi unitate de măsură, etc.). Proprietatea de credibilitate se referă la relaţiile între atributele unui anume obiect, care relaţii să facă credibilă existenţa unui astfel de obiect. Astfel datele de intrare ce formează relaţia ODSA, în care fiecare element reprezintă, pentru un anumit obiect, valoarea unui atribut într-o anumită stare a naturii şi în viziunea unui anumit decident pot fi percepute ca un tensor în patru dimensiuni. De la acest tensor, ca principală sursă de date, plus importanţele atributelor, stărilor naturii şi decidenţilor, se pleacă în generarea problemelor de alegere optimă. 2.1 Generarea problemelor de alegere optimă peste modelul MADM Generarea problemelor de alegere optimă, ca activitate conceptuală, presupune, la intrare un model MADM, consistent definit, plus un set de parametri de intrare, iar la ieşire un set de scalări, vectori şi masive structuraţi de aşa manieră încât să faciliteze rezolvarea multinivel a problemei. Parametrii de intrare se referă la ce decidenţi, stări ale naturii, atribute şi obiecte intră în instanţă / problema respectivă alături de numele său. Problemele de alegere optimă ce presupun mai mulţi decidenţi şi mai multe stări ale naturii reprezintă, din punct de vedere istoric, o extensie a problemelor de tip monodecident şi mono-stare a naturii. Astăzi totuşi problema trebuie privită aşa cum apare ea: cu mai mulţi decidenţi şi mai multe stări ale naturii, cu mai mulţi decidenţi şi o singură stare a naturii, cu un decident şi mai multe stări ale naturii, cu un decident şi o singură stare a naturii. Aceasta pentru că am definit o rezolvare unitară pentru toate aceste cazuri. S-a amintit despre necesitatea facilitării calculelor multinivel. Aceasta decurge din însăşi structura multinivel a modelului MADM. Cadrul decizional pentru judecarea obiectelor, sau cum obişnuiesc să spună alţi specialişti în domeniu, variantelor decizionale, este definit în ordine ierarhică de decidenţi, stări ale naturii şi atribute. 2.2 Indicaţii metodologice privind rezolvarea problemelor de alegere optimă Rezolvarea unei probleme de alegere optimă în paradigma MADM, care implică mai mulţi decidenţi şi mai multe stări ale naturii, presupune construcţia unui arbore special, de tipul celui din Figura 2.2 F1. Rădăcina acestui arbore, nivelul 0, este reprezentată de modelul consistent definit cu instanţa sa (problema generată), la nivelul 1 în acest arbore se găsesc decidenţii d1, d2,…, dl, la nivelul 2 se găsesc stările naturii s1, s2,…, sk iar la ultimul nivel, nivelul 3, se găsesc atributele a1, a2,…, aj. De remarcat că acest arbore are proprietatea că fiecare nod de pe un anumit nivel are aceiaşi descendenţi (ca număr şi semnificaţie). Aceasta pentru că, dacă pentru început, fiecare decident din mulţimea D = { d [l ] | l = 1,l } îşi stabileşte mulţimea stărilor naturii şi mulţimea atributelor pe care le consideră semnificative, în final toţi decidenţii convin asupra aceleiaşi mulţimi de stări ale naturii S = { s[k ] | k = 1, k } şi aceleiaşi mulţimi a atributelor A = { a[ j ] | j = 1, j }, fiecare decident fiind obligat să atribuie valori pentru toate atributele din acest arbore, în toate stările naturii. Un element al nivelului

60

„frunză” al arborelui, notat în figura cu Codsa , în care indicii respectă ierarhia definită, are următoarea semnificaţie: pentru obiectul o , valoarea atributului a dată de decidentul d , în starea naturii s (unde d ∈ { d [l ] | l = 1, l }, s ∈ { s[k ] | k = 1, k }, a ∈ { a[ j ] |

j = 1, j }, o ∈ { o[i ] | i = 1, i }). De asemenea, ponderile pentru decidenţi l

pond_ d[1], pond_ d[2],..., pond_ d[l], cu ∑ pond_ d[l] =1, ponderile pentru stările naturii l =1

k

pond _ s[1], pond _ s[2], ..., pond _ s[k], cu ∑ pond_ s[k] =1 , şi ponderile pentru atribute k =1

pond_ a[1], pond_ a[2],..., pond_ a[j], cu

j

∑ pond _ a[ j] = 1 , sunt aranjate în figură în

j =1

conformitate cu ierarhia stabilită. Se observă că dacă abordăm problema în care alegem, de exemplu, d= d1 şi s= s1, obţinem o problemă în care, pentru rezolvarea ei, contează numai datele A = { a[ j ] | j = 1, j }, O = { o[i ] | i = 1, i } şi ponderile atributelor pond _ a[ j ] , j = 1, j , adică o problemă clasică mono-decident şi mono-stare a naturii. De remarcat că aceaste date, considerate împreună, reprezintă o parte a tensorului figurat în reprezentarea pictorială. Exact cum s-a construit această problemă, considerând produsul cartezian al decidenţilor cu stările naturii, se construiesc l x k probleme bi-dimensionale care se rezolvă separat, reducându-se acest nivel al grafului. Rezolvările oferă soluţii care sunt depuse în masivul { Cods } cu d ∈ { d [l ] | l = 1, l }, s ∈ { s[k ] | k = 1, k } şi o ∈ { o[i ] | i = 1, i }. Acest masiv se trece pe arborele

redus la nivelul ”stări ale naturii” care devine astfel noul ultim nivel, vezi Figura 2.2 F2. Deoarece se doreşte păstrarea coerenţei metodologice, în continuare se rezolvă, la fel ca la pasul anterior, l probleme bi-dimensionale, pentru fiecare decident în parte. Şi arborele se reduce din nou cu un nivel. Soluţiile rezultate în masivul { Cod } cu d ∈ { d [l ] | l = 1, l } şi o ∈ { o[i ] | i = 1, i }, se trec pe arborele redus la nivelul „decidenţi”. Vezi Figura 2.2 F3. Este astfel de rezolvat o singură şi ultimă problemă mono-dimensională. Rezolvarea oferă o soluţie { Co } cu o ∈ { o[i ] | i = 1, i }, valorile respective primind numele de merite se trec pe Figura 2.2 F4.

Precizări: 1) La fiecare nivel de rezolvare al subproblemelor trebuie să ţinem cont de ponderile fiecărei entităţi (atribute, stări ale naturii, decidenţi), în cazul în care acestea nu se regăsesc în datele problemei ele vor fi considerate egale; 2) De asemenea, intervalele de variaţie precum şi sensul (minim sau maxim) ale atributelor trebuiesc transportate coerent la fiecare nivel de rezolvare; 3) După reducerea dimensiunii dată de atribute, există 2 alternative de a continua rezolvarea problemei iniţiale: o primă altenativă este aceea de a agrega rezultatele fiecărei stări în parte corespunzătoare fiecărui decident sau de a agrega rezultatele tuturor stărilor pentru fiecare decident în parte. Întrucât iniţial am pornit de la

61

Figura 2.2 F1. Optimizare cu procesarea informaţiei despre atribute

62

Figura 2.2 F2. Optimizare cu procesarea informaţiei despre stările naturii

63

Figura 2.2 F3. Optimizare cu procesarea informaţiei despre decidenţi

Figura 2.2 F4. Soluţia optimă, o ierahie a obiectelor pe baza unor valori numite merite

64

principiul rezolvării problemei iniţiale de sus în jos şi de la stânga la dreapta se alege cea de-a doua alternativă pentru păstrarea coerenţei metodei de rezolvare; 4) Dacă unul dintre niveluri lipseşte, şi anume nivelurile 1 / 2, se lucrează cu cele care au rămas în acelaşi fel ca cel descris mai sus; 5) Cu cele de mai sus algoritmul este coerent şi se poate aplica în două ipostaze diferite, ambele cu sens decizional: - - de sus până jos, pe toate nivelurile, acţionează aceeaşi metodă MADM; - - la niveluri diferite pot fi apelate metode diferite, dacă decidenţii găsesc că acest lucru este util.

2.3 Rezolvarea problemelor de alegere optimă la un singur nivel După cum s-a văzut la modul general în paragraful anterior, problemele de decizii multiatribut presupun existenţa unei mulţimi de obiecte date şi a unei mulţimi de caracteristici în raport cu care, la fiecare nivel, se cere alegerea unui obiect optim. Alegerea se face după acelaşi algoritm la orice nivel, şi pentru că cititorii sunt obişnuiţi cu denumirea de caracteristici, în loc de atribute, tot aşa vor fi denumite criteriile de optim în continuare. În prezent există o gamă foarte largă de metode de rezolvare a problemei deciziei multi-atribut, se prezintă aici 16 metode pentru a se putea aprecia ce presupune rezolvarea unei probleme de alegere optimă în paradigma MADM. Setul de metode, este destul de cuprinzător, ca să poată trata aproape orice problemă practică. Criteriul de alegere a ţinut cont de respectarea diversităţii în abordarea matematică. Rezolvarea matematică a problemei alegerii optime, în prezenta carte, presupune aplicarea uneia dintre metodele următoare: MAXIMIN, MAXIMAX, non-dominanţei, funcţiei de utilitate liniară, Pareto, TOPSIS, Onicescu amendată, scorurilor, diametrelor, TODIM, numărului de obiecte dominate pentru fiecare obiect, numărului de obiecte dominante pentru fiecare obiect, numărului minim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai bine evaluate, numărului maxim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai bine evaluate, numărului minim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai rău evaluate, numărului maxim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai rău evaluate şi construirea optimului global. Majoritatea acestor metode necesită normalizarea datelor de intrare, operaţiune realizată prin intermediul a cinci metode de tip von Neumann - Morgenstern. O analiză a tehnicilor de rezolvare matematică a problemei de alegere optimă pune în evidenţă două clase distincte de metode de rezolvare: metode de evaluare a obiectelor (primele 10 metode) şi metode de caracterizare a obiectelor (ultimele 6 metode). Distincţia care se face între cele două clase de metode este pe deplin justificată dacă se au în vedere următoarele argumente: - Spiritul metodelor de evaluare a obiectelor este acela de a aprecia explicit, în raport cu scopul problemei, fiecare obiect sau numai o parte a mulţimii obiectelor. Indiferent că sunt de tip compensatoriu sau de tip necompensatoriu, fie că se calculează utilitatea în sens von Neuman - Morgenstern a fiecărui obiect, fie că este produsă o ierarhizare a obiectelor, fie că este ales un obiect sau o clasă de obiecte optime fără a furniza informaţii despre celelalte obiecte, metoda de evaluare a obiectelor este aceea care determină în mod efectiv optimul problemei;

65

- Metodele de caracterizare a obiectelor nu furnizează o apreciere explicită în raport cu scopul problemei. Specific acestor metode este faptul că ele furnizează, pentru fiecare obiect, informaţii care permit conturarea unei imagini asupra caracteristicilor acestuia. Informaţiile rezultate în urma aplicării acestor metode permit, pe de o parte, restrângerea dimensiunilor problemei iar, pe de altă parte, stabilirea relaţiilor de dominanţă şi de bună / slabă apreciere prin fiecare atribut pe mulţimea obiectelor. Metodele de caracterizare permit, pe de o parte, discriminarea în mulţimea soluţiilor optime (în cazul în care aplicarea unor metode de evaluare conduce la un optim multiplu pentru problema dată), iar pe de altă parte, discriminarea între soluţiile optime determinate prin aplicarea unui set de metode de evaluare pe problema dată. Informaţiile generate de aceste metode constituie elementele pe baza cărora se determină meritul claselor rezultate în urma aplicării tehnicilor de simulare bazată pe cunoştinţe, permiţând astfel accelerarea procedurii de determinare a optimului global al problemei (prin operarea în ultimă instanţă cu clase de obiecte, şi nu cu obiecte). În urma aplicării metodelor de caracterizare, se determină, pentru fiecare obiect, pe mulţimea tuturor perechilor (stare, decident) numărul minim / maxim / mediu de atribute prin care este în afara standardelor, de obiecte pe care le domină, de obiecte de care este dominat, de atribute prin care este cel mai bine apreciat, de atribute prin care este cel mai slab apreciat. Pe baza informaţiilor furnizate de metodele de caracterizare se efectuează clasificarea obiectelor în clase de echivalenţă şi ierarhizarea obiectelor din competiţia finală (în mod obişnuit primele trei obiecte rezultate ca optime din aplicarea metodelor matematice de evaluare) utilizând contextul informaţional existent şi meritul claselor cărora le aparţin aceste obiecte. Toate informaţiile utile acestui scop sunt folosite pentru luarea unei decizii ştiinţific fundamentate în locul alegerii fără o bază de discernământ mai elaborată.

2.4 Metode de normalizare Metodele de normalizare sunt metode matematice care efectuează o prelucrare iniţială asupra datelor modelului. Această operaţie nu are nici o semnificaţie pentru un utilizator final. Ea este cerută de cele mai multe metode de rezolvare a problemelor de alegere optimă generate peste modelul matematic prezentat. Metodele de normalizare date mai jos au proprietatea că aduc la un numitor comun valorile tensorului ODSA sau echivalent OASD. În plus, ele înglobează în matricea Nor _ OASD informaţia asupra tipului atributului (minim sau maxim). În acest fel, dacă am dori ierarhizarea obiectelor numai după atributul a j ar fi suficient să ordonăm descrescător elementele coloanei j din matricea Nor _ OASD .

Metoda von Neuman – Morgenstern clasică Se determină funcţia liniară y = ax + b astfel încât avem sistemul liniar:

0 = a ⋅ pes _ a[ j ] + b  1 = a ⋅ opt _ a[ j ] + b

66

cu necunoscutele a, b . Rezolvându-l, obţinem transformarea liniară:

y=

x − pes _ a[ j ] . opt _ a[ j ] − pes _ a[ j ]

Principiul metodei constă în interpolarea prin intermediul acestei funcţii liniare a nivelelor atributelor pentru fiecare obiect. Interpolarea conduce la obţinerea pentru valoarea pesimă pes _ a[ j ] valoarea normalizată 0 şi pentru valoarea optimă

opt _ a[ j ] valoarea normalizată 1. Aceasta este cea mai folosită metodă de normalizare. Algoritm Pas 1: calculăm elementele matricei normalizate

nor _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] =

niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] − pes _ a[ j ] , opt _ a[ j ] − pes _ a[ j ]

i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd

s = 1, k }, l = 1, l .

Pas 2: STOP. Observaţii: - Obiectul oi este apreciat optim în raport cu atributul a j pentru valoarea maximă a lui nor _ oasd [i , j , nume_fisier , l ] ; - 0 ≤ nor _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] ≤ 1 .

Metoda von Neuman – Morgenstern 1 Pas 1: Dacă a j este atribut de minim, se ia

opt _ a[ j ] := min( niv _ oasd [i , j , nume_fisier,l ]) şi j =1, j

pes _ a[ j ] := max( niv _ oasd [i , j , nume_fisier,l ]) ; j =1, j

Se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd :

nor _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] =

opt_a[ j ] - niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] , opt_a[ j ] - pes_a[ j ]

67

unde i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd

s = 1, k }, l = 1, l

şi se trece la Pas 3. Pas 2: Dacă a j este atribut de maxim, se ia

opt _ a[ j ] := max( niv _ oasd [i , j , nume_fisier,l ]) şi j =1, j

pes _ a[ j ] := min( niv _ oasd [i , j , nume_fisier,l ]) ; j =1, j

Se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd :

nor _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] = unde

i = 1, i ,

niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] - pes_a[ j ] , opt_a[ j ] - pes_a[ j ]

j = 1, j , nume_fisier

parcurge { Masiv _ oasd

s = 1, k },

l = 1, l . Pas 3: STOP.

Metoda von Neuman – Morgenstern 2 Pas 1: Dacă nor _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] < 0, se trece la Pas 4; Pas 2: Dacă a j este atribut de minim, se ia

pes _ a[ j ] := max(niv _ oasd [i , j , nume_fisier,l ]) ; j =1, j

Se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd :

pes_a[ j ] - niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] , pes_a[ j ]

nor _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] =

unde i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd

s = 1, k }, l = 1, l

si se trece la Pas 4; Pas 3: Dacă a j este atribut de maxim, se ia

opt _ a[ j ] := max( niv _ oasd [i , j , nume_fisier,l ]) ; j =1, j

Se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd :

nor _ oasd [i , j ,nume_fisier ,l ] =

niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] , unde: opt_a[ j ]

68

i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd

s = 1, k }, l = 1, l şi se

trece la Pas 4; Pas 4: STOP. Metoda von Neuman – Morgenstern 3 Pas 1: Dacă a j este atribut de minim, se ia

opt _ a[ j ] := min( niv _ oasd [i , j , nume_fisier,l ]) ; j =1, j

Se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd :

nor _ oasd [i , j ,nume_fisier ,l ] =

pes_a[ j ] , unde: niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ]

i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd

s = 1, k }, l = 1, l şi se

trece la Pas 3; Pas 2: Dacă a j este atribut de maxim, se ia

opt _ a[ j ] := max( niv _ oasd [i , j , nume_fisier,l ]) ; j =1, j

Se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd :

nor _ oasd [i , j ,nume_fisier ,l ] =

niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] , unde: pes_a[ j ]

i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd

s = 1, k }, l = 1, l şi se

trece la Pas 3; Pas 3: STOP.

Metoda von Neuman – Morgenstern 4 Pas 1: Dacă pes _ a[ j ] < opt _ a[ j ] ( a j este atribut de minim), se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd :

nor _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] =

niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ]  ∑ ( niv _ oasd [i , j ,nume_fisier ,l ]) 2     i =1  i

unde i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd şi se trece la Pas 3;

1/ 2

,

s = 1, k }, l = 1, l

69

Pas 2: Dacă pes _ a[ j ] > opt _ a[ j ] ( a j este atribut de maxim), se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd

nor _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] =

niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ]  ∑ ( niv _ oasd [i , j ,nume_fisier ,l ]) 2     i =1  i

unde i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd

1/ 2

,

s = 1, k }, l = 1, l

şi se trece la Pas 3; Pas 3: STOP. Obs: Această metodă este cunoscută şi sub numele de normalizare vectorială.

Metoda von Neuman – Morgenstern 5 Pas 1: Dacă pes _ a[ j ] > opt _ a[ j ] ( a j este atribut de minim), se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd :

nor _ oasd [i , j ,nume_fisier ,l ] = 1 −

niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] i

,

unde

∑ niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ]

i =1

i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd

s = 1, k }, l = 1, l şi se

trece la Pas 3; Pas 2: Dacă pes _ a[ j ] < opt _ a[ j ] ( a j este atribut de maxim), se calculează elementele matricei normalizate Nor _ oasd :

nor _ oasd [i , j ,nume_fisier ,l ] =

niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ] i

,

unde

∑ niv _ oasd [i , j , nume_fisier ,l ]

i =1

i = 1, i , j = 1, j , nume_fisier parcurge { Masiv _ oasd

s = 1, k }, l = 1, l şi se

trece la Pas 3; Pas 3: STOP. După cum s-a mai spus, există foarte multe metode de rezolvare a problemelor de alegere optimă. Evident, ele sunt mai mult sau mai puţin înrudite. Am putea spune că, în unele cazuri, de exemplu la problemele ce calculează distanţe, doar metrica diferă de la o metodă la alta. Trebuie să afirmăm aici că ne-am orientat numai spre metode care pot avea succes la utilizatori prin faptul că, dacă se consumă o anumită

70

energie din partea acestora, până la urmă metodele sunt înţelese în intimitatea lor şi, în consecinţă, rezultatul furnizat este şi acceptat.

2.5 Metode de rezolvare Metoda MAXIMIN Fie OBJECTS mulţimea obiectelor. Metoda MAXIMIN iterativă va promova, la fiecare iteraţie, un obiect optim căruia i se va asocia o evaluare care, în final, va conduce la ordonarea descrescătoare a obiectelor o(i ) , i = 1, i . i = 1 : Se consideră niv _ oasd * [i1 , j , nume _ fisier , l ] = max min niv _ oasd [i1 , j , nume _ fisier , l ] , i =1,i j =1, j

1 cu i = 1, i , obiectul optim căruia îi asociem eval _ o * [i1 ] = = 1 ; i Fie mulţimea OBJECTS \ {o * [i1 ]} . i = 2 : Se consideră niv _ oasd * [i 2 , j , nume _ fisier , l ] = max min niv _ oasd [i1 , j , nume _ fisier , l ] i =1,i \{i1 } j =1, j

1 1 cu i = 1, i \ {i1 } , obiectul optim căruia îi asociem eval _ o * [i2 ] = = ; i 2 Iteraţia se opreşte în momentul în care mulţimea de obiecte pe care se aplică metoda nu mai conţine nici un element. În concluzie, se obţine următoarea ordonare descrescătoare: o * [i1 ] , o * [i 2 ] , o * [i i ] făcută după evaluările 1 1 eval _ o * [i1 ] = 1 , eval _ o * [i2 ] = , …, eval _ o * [ii ] = . 2 i

Metoda MAXIMAX Fie OBJECTS mulţimea obiectelor. Metoda MAXIMAX iterativă va promova, la fiecare iteraţie, un obiect optim căruia i se va asocia o evaluare care, în final, va conduce la ordonarea descrescătoare a obiectelor o(i ) , i = 1, i . i = 1 : Se consideră niv _ oasd * [i1 , j , nume _ fisier , l ] = max max niv _ oasd [i1 , j , nume _ fisier , l ] i =1,i j =1, j

1 cu i = 1, i , obiectul optim căruia îi asociem eval _ o * [i1 ] = = 1 ; i Fie mulţimea OBJECTS \ {o * [i1 ]} . i = 2 : Se consideră

71

niv _ oasd * [i 2 , j , nume _ fisier , l ] = max max niv _ oasd [i1 , j , nume _ fisier , l ] i =1,i \{i1 } j =1, j

1 1 cu i = 1, i \ {i1 } , obiectul optim căruia îi asociem eval _ o * [i2 ] = = ; i 2 Iteraţia se opreşte în momentul în care mulţimea de obiecte pe care se aplică metoda nu mai conţine nici un element. În concluzie, se obţine următoarea ordonare descrescătoare: o * [i1 ] , o * [i2 ] , o * [i i ] făcută după evaluările 1 1 eval _ o * [i1 ] = 1 , eval _ o * [i2 ] = , …, eval _ o * [ii ] = . 2 i Metoda non-dominanţei Metoda non-dominanţei filtrează obiectele non-dominate evaluându-le cu valoarea 1 iar pe cele dominate evaluându-le cu valoarea 0. Dacă cardinalul mulţimii obiectelor non-dominate este egal cu 1, atunci obiectul conţinut în acea mulţime este obiectul optim. Dacă cardinalul mulţimii obiectelor non-dominate este strict mai mare ca 1, de obicei, se mai face un studiu al caracteristicilor obiectelor pentru a ajunge la obiectul optim. Fie un i fixat, pentru a stabili dacă obiectul o(i fixat ) este non-dominat se fac următoarele i ⋅ j teste: niv _ oasd [i fixat , j , nume _ fisier , l ] ≥ niv _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] .

Dacă pentru orice i = 1, i şi j = 1, j testul de mai sus dă valoarea adevărat, atunci obiectul o(i fixat ) este non-dominat. Metoda funcţiei de utilitate liniară Această metodă se bazează, după cum o arată şi numele, pe calculul unei funcţii foarte simple, de aşa-zisă utilitate, funcţie cu exprimare liniară. De altfel, cu utilizarea de astfel de funcţii a debutat domeniul MADM. Deşi foarte simplă, această metodă conduce la rezultate foarte apropiate de cele estimate de utilizator. Odată definită o astfel de funcţie de utilitate liniară, se poate obţine o ierarhizare a obiectelor în funcţie de valorile descrescătoare ale funcţiei. Evident, obiectul optim este acela pentru care valoarea funcţiei este maximă. Se lucrează cu matricea normalizată iar valoarea funcţiei într-un obiect, adică un punct j -dimensional, este suma, după toate cele j atribute, a produselor dintre valorile normalizate ale caracteristicilor sale prin ponderile corespunzătoare. Funcţia de utilitate liniară este o funcţie notată util : O → R a cărei expresie analitică este:

72 i

∑ pond _ a[ j , k , l ] ⋅ nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ]

util (oi ) =

i =1

i

, i = 1, i .

∑ pond _ a[ j , k , l ]

i =1

Toate cele i merite sunt înregistrate în vectorul (util (o1 ), util (o 2 ), ..., util (oi )) . Metoda Pareto Această metodă se bazează pe calculul distanţei între cele i puncte j -dimensionale de caracterizare prin atribute ale obiectelor şi punctul ideal care ar reprezenta un obiect caracterizat de atribute de valoare egală cu opt _ a[ j] , dacă atributul este de maxim, sau cu pes _ a[ j] , dacă atributul este de minim. După economistul Pareto, distanţa este aceea provenită din norma L1 iar normalizarea datelor trebuie făcută tot sub inspiraţia acestei norme. Principiul Pareto spune că soluţia optimă este dată de obiectul care se află la cea mai mică distanţă de ideal. Meritele obiectelor sunt calculate prin luarea complementarelor faţă de 1 a distanţelor normalizate. Algoritmul este următorul: Pas 1: Se construieşte un vector al nivelelor optime care imaginar o + , prin  max( nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ]),  i=1, i  niv _ opt[ j ] =   min( nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ]),  i=1, i 

vor caracteriza un obiect dacă se doreşte o evaluare orientată spre alegerea optimului dacă se doreşte o evaluare orientată spre alegerea pesimului

(∀) j = 1, j ; Pas 2: Pentru fiecare i ∈ {1, 2, ..., i} se calculează distanţa în modul în ℜ între nivelele j

+

lui oi si o : j

d + [i ] = ∑ pond _ a[ j , k , l ] ⋅ | nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] − niv _ opt[ j ] | ; j =1

Pas 3: Se consideră vectorul (d + [1], d + [2], ..., d + [i ]) de evaluare a obiectelor. Se ordonează crescător elementele acestuia obţinându-se implicit o ierarhie a obiectelor; Pas 4: STOP Metoda TOPSIS Această metodă se bazează de asemenea pe un calcul de distanţă, între cele i puncte j dimensionale de caracterizare prin atribute ale obiectelor şi două puncte ideale care ar

73

reprezenta, primul, numit ideal + şi notat o + , un obiect caracterizat de atribute de valoare egală cu opt _ a[ j] dacă atributul este de maxim, sau cu pes _ a[ j] dacă atributul este de minim iar al doilea, numit ideal − şi notat o , un obiect caracterizat de atribute de valoare egală cu pes _ a[ j] dacă atributul este de maxim sau cu opt _ a[ j] dacă atributul este de minim. După opinia autorilor metodei, distanţa luată în considerare trebuie să fie aceea provenită din norma L2, adică distanţa euclidiană care dă o măsură mai bună în calcularea distanţelor. Ca normalizarea datelor să fie în concordantă cu tipul distanţei alese, s-a ales ca valorile atributelor şi marginile lor, inferioare şi superioare, să se împartă la radical din sumă, după toate obiectele, a pătratelor acestor valori. Soluţia optimă este dată de obiectul care se află la cea mai mică distanţă de punctul ideal pozitiv şi-n acelaşi timp la cea mai mare distanţă de punctul ideal negativ. Meritul fiecărui obiect este calculat printr-o formulă care asigură că acesta ia valori între 0 şi 1. Algoritmul este următorul: −

Pas 1: Se construieşte o nouă mulţime Nor _ oasd în care: nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] := nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] ⋅ pond _ a[ j , k , l ] , (∀) i = 1, i , j = 1, j ; Pas 2: Se construieşte un vector al nivelelor optime care imaginar o + , prin  max( nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ]),  i =1, i  niv _ opt[ j ] =   min( nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ]),  i =1, i 

vor caracteriza un obiect dacă se doreşte o evaluare orientată spre alegerea optimului dacă se doreşte o evaluare orientată spre alegerea pesimului

(∀) j = 1, j ; Pas 3: Se construieşte un vector al nivelelor pesime care imaginar o − , prin  min( nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ]),  i =1, i  niv _ opt[ j ] =  max( nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ]),  i =1, i  

vor caracteriza un obiect dacă se doreşte o evaluare orientată spre alegerea optimului dacă se doreşte o evaluare orientată spre alegerea pesimului

(∀) j = 1, j ; Pas 4: Pentru fiecare i ∈ {1, 2, ..., i} se calculează distanţa euclidiană în ℜ +

−

nivelele lui oi si o respectiv între nivelele lui oi şi o :

j

între

74

 j  d + [i ] =  ∑ ( nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] − niv _ opt[ j ]) 2   j =1 

1/ 2

 j  d − [i ] =  ∑ ( nor _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] − niv _ pes[ j ]) 2   j =1  Pas 5: Se calculează funcţia de evaluare eval _ om[i, m] =

d − [i ] d − [i ] + d + [i ]

, 1/ 2

;

, (∀) i = 1, i ;

Pas 6: STOP. Metoda Onicescu amendată Cele două versiuni ale acestei metode pornesc de la funcţia, loc _ oa (i, j ) = locul pe care îl ocupă obiectul oi în ierarhizarea indusă de atributul a j (în raport cu sensul acestuia) pentru orice i = 1, i , j = 1, j , mai precis loc _ oa : {1, ..., i} × {1, ..., j} → N . Trebuie precizat că dacă două sau mai multe obiecte ocupă acelaşi loc în raport cu un atribut dat, locul imediat următor nu este lăsat liber ci este atribuit în ordinea obiectelor care urmează. Metoda porneşte atât de la matricea consecinţelor cât şi de la forma normalizată a acesteia. Este de preferat să se pornească cu matricea în forma normalizată deoarece nu mai este necesar să se ţină seama de tipul atributului (maxim sau minim) aşa cum se întâmplă în cazul în care se lucrează cu matricea iniţială. Algoritmul este următorul: Varianta I Pas 1: Se construieşte matricea locurilor Loc_oa: = (loc_oa[i, j ])i=1,i , j =1, j

(∀) i = 1, i, j = 1, j unde loc_oa[i, j ] este locul ocupat de obiectul oi în ierarhizarea indusă de atributul a j . Pas 2: Se construieşte matricea Nap_o: = (nap_o[i, α ])i =1,i unde nap_o[i, α ] = numărul α =1,i

de apariţii ale obiectului oi pe locul α . Pas 3: Se calculează 1 1 1 eval _ om[i, m] = nap _ o[i,1] + 2 nap _ o[i, 2] + ... + i nap _ o[i, i ] 2 2 2 Pas 4: STOP. Varianta II Matricea Nap_o: = (nap_o[i, α ])i =1,i se determină pornind de la matricea Loc_oa . α =1,i

Algoritmul porneşte cu această matrice nulă şi, parcurgând elementele lui Loc_oa pentru fiecare loc_oa[i, α ] = t se face nap_o[i, α ] := nap_o[i, t ] + 1

75

Pas 1: Se construieşte matricea locurilor Loc_oa . Pas 2: Se calculează j pond _ a[ j , k , l ] eval _ om[i, m] = ∑ , ∀i = 1, i j =1 2loc _ oa[i , j ] Pas 3: STOP. Observaţie: Pentru cazul în care s-au furnizat coeficienţii de importanţă Onicescu a propus ca în această metodă elementele vectorului ponderilor să fie calculate cu 1 , j = 1, j . formula pond _ a[ j , k , l ] = 2j 1 1 1 Amendarea acestei metode ţine de faptul că în loc de şirul 1 , 2 , ..., i se foloseşte 2 2 2 şirul 1, 2, ..., i. Aceasta face ca metoda să verifice axioma a treia a lui Arrow şi, în plus, să nu ridice probleme la memorarea numerelor de forma 1/2i unde i>32 / 64 / etc. Axioma citată se referă la faptul că, dacă obiectele se ordonează unele faţă de altele într-un anumit fel conform unei metode şi dacă scoatem un obiect sau mai multe din mulţimea obiectelor o nouă ordonare după aceeaşi metodă va da aceleaşi ordonări relative pentru obiectele rămase. Metoda scorurilor Metoda scorurilor foloseşte în rezolvare o obişnuinţă destul de veche a oamenilor. Atunci când mai multe persoane au participat la o competiţie şi aceştea au câştigat diferite premii, se pune în mod natural problema ordonării lor, ordonare care să ilustreze modul cum s-au comportat în competiţie. Situaţii practice foarte diverse întâlnim la tot pasul: olimpiadele sportive, întrecerile între clasele aceluiaşi liceu, clasamentele mondiale ale şahiştilor etc. În cazul de faţă avem de-a face cu un algoritm complex care se bazează pe j ordonări ale vectorilor celor i obiecte funcţie de atributele lor. Obiectelor care conţin atribute egale cu opt _ a[ j] , dacă sunt de maxim, sau egale cu pes _ a[ j] , dacă sunt de minim, li se aduc cele mai mari punctaje. Punctaje mai mici aduc şi celelalte poziţii în ordonări, funcţie de rangul ocupat de obiecte într-o anume ordonare şi de partiţia intervalului [ pes _ a[ j] , opt _ a[ j] ]. Adunând punctajele câştigate de fiecare obiect obţinem un scor după care se poate face o ierarhizare corectă a obiectelor. La sfârşit, se construiesc scoruri normalizate. Metoda de faţă este în concordanţă cu axioma a treia a lui Arrow ceea ce o poate promova în aplicaţiile practice. De remarcat că, de obicei, nu toate metodele bazate pe scoruri respectă axioma anterior amintită. Algoritmul este următorul: Pas 1: Se consideră partiţia intervalului [0,1] în 10 diviziuni de lungime 1/10. Fie o ordonare a obiectelor oi după atributul j. Astfel, loc_oa[i, j ] este locul ocupat de obiectul oi în ierarhizarea indusă de atributul a j . Segmentul [0, i] într-o primă fază

76

preia locurile din ordonarea respectivă apoi se condensează peste segmentul [0, 1] care are deja diviziunile respective făcute; Pas 2: Fiecare obiect ajunge într-o anumită diviziune a segmentului [0, 1]. În consecinţă i se acordă nota egală cu numărătorul capătului din stânga al diviziunii plus o unitate; Pas 3: Reluând paşii 1 şi 2 pentru toţi j = 1, j şi însumând notele obţinute pentru fiecare obiect, se obţin scorurile obiectelor. Acestea se normalizează prin orice procedură de normalizare şi se consideră ca merite ale obiectelor; Pas 4: STOP. Metoda diametrelor Prin această metodă în ierarhizarea obiectelor se ţine cont de omogenitatea / eterogenitatea acestora în raport cu atributele. Un obiect este omogen dacă ia valori apropiate pentru toate atributele, respectiv eterogen dacă ia valori foarte mari în raport cu anumite atribute şi foarte mici în raport cu altele, cu condiţia în care toate atributele sunt fie de maxim fie de minim. Pentru această metodă considerăm următoarele funcţii: 1. loc _ oa : {1, ..., i} × {1, ..., j} → N , loc _ oa (i, j ) = locul pe care îl ocupă obiectul oi în ierarhizarea indusă de atributul a j (în raport cu sensul acestuia) pentru orice i = 1, i , j = 1, j . j

2. apr : O → ℜ , apr(oi ) = ∑ [i − loc _ oa[i, j ]] ⋅ pond _ a[ j , k , l ] , (∀) i = 1, i . j =1

3. diam : O → ℵ , apr(oi ) = max (loc _ oa[i, j ]) − min (loc _ oa[i, j ]) , (∀) i = 1, i . j =1, j

j =1, j

1 4. agr : O → ℜ , agr(oi ) = [apr(oi ) + (i − diam(oi ))] , i = 1, i . 2 Algoritmul este următorul: Pas 1: Se calculează agr(oi ) , (∀) i = 1, i ; Pas 2: Se evaluează obiectele prin funcţia de evaluare agr în raport cu scopul problemei MADM; Pas 3: STOP. Metoda TODIM Această metodă foloseşte o altă tehnică pentru a determina obiectul optim. Pentru realizarea acestui scop ea are nevoie de importanţele relative ale atributelor, care nu se află printre datele de intrare. Nu se află, pentru că un utilizator poate preciza un sistem de importanţe relative, care să fie coerent, numai cu instruire specială şi cu foarte mare atenţie. La faza de prezentare a metodologiei domeniului, s-a dat însă o metodă după care se pot obţine importanţele relative pentru atribute pornind de la importanţele lor absolute. Metoda TODIM calculează ponderile totale ale fiecărui atribut relativ la

77

mulţimea importanţelor relative şi se consideră indicele pe care se realizează maximul. Folosind acest indice, se calculează dominanţele absolute între oricare două obiecte oi 1

şi oi , din cele i existente, prin însumarea produselor dintre importanţele relative la 2

acel indice şi diferenţa dintre valorile, corespunzătoare acelor indici, din matricea caracteristicilor normalizată, în care coloanele sunt toate de maxim. Evaluările obiectelor sunt date de o formulă de normalizare a sumelor dominanţelor obiectelor. Algoritmul este următorul: Pas 1: Se calculează ponderea totală a fiecărui atribut relativ la mulţimea AASD astfel:  1 j pondt _ a[ j , k , l ] =  ∑ irel_aa[ j, j1 , k, l ]  , (∀) j1 = 1, j ; j  j =1  Pas 2: Se determină j0 astfel încât: pondt _ a[ j 0 , k , l ] = max( pondt _ a[ j , k , l ]) ; j =1, j

Pas 3: Se calculează dominanţa relativă a oricăror două obiecte distincte după formula: j

dom(oi , oi ) = ∑ irel_aa[ j 0 , j, k, l ](nor _ oasd [i1 , j, nume _ fisier , l ] 1

2

j =1

- nor _ oasd [i 2 , j, nume _ fisier , l ]) , (∀) i1 ,i2 = 1,i ; Pas 4: Se construieşte funcţia de evaluare punând i  i  ∑ dom(oi , oi ) − min  ∑ dom( oi , oi )  i = 1 , i i =1  i =1  , (∀) i1 = 1, i ; eval _ om[i1 , m] =  i   i  max ∑ dom(oi , oi )  − min  ∑ dom(oi , oi )  i =1, i  i =1  i =1, i i =1  Pas 5: STOP. 1

2

2

2

2

2

2

Metoda numărului de obiecte dominate pentru fiecare obiect Această metodă numără obiectele pe care le domină, fiecare obiect fiind evaluat astfel prin numărul obiectelor pe care le domină. Evident, acest număr va fi cuprins între 0 şi i. Obiectul cu cel mai mare număr de obiecte pe care le domină va fi considerat obiectul optim. Pas 1: n=0 Pas 2: Fie un i fixat, adică i fixat , şi un i oarecare, i ∈ 1,i . Pentru a stabili dacă obiectul o(i fixat ) este non-dominat de o(i ) se fac următoarele j teste: niv _ oasd [i fixat , j , nume _ fisier , l ] ≥ niv _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] .

Dacă toate testele j = 1, j dau în evaluarea expresiei logice “adevărat” atunci obiectul o(i fixat ) domină obiectul o(i ) şi se contorizează în numărul obiectelor dominate

78

n=n+1. Pasul se reiterează pentru toţi i = 1, i şi se obţine numărul de obiecte pe care le domină obiectul o(i fixat ) . Pas 3: Dacă au fost fixaţi, pe rând, toţi indicii i ai obiectelor se trece la Pas 4, dacă nu, se trece la Pas 2: Pas 4: STOP Metoda numărului de obiecte dominante pentru fiecare obiect Această metodă numără obiectele dominante pentru un obiect, fiecare obiect fiind evaluat astfel prin numărul obiectelor de care este dominat. Evident, acest număr va fi cuprins între 0 şi i. Obiectul cu cel mai mic număr de obiecte dominante va fi considerat obiectul optim. Pas 1: n=0 Pas 2: Fie un i fixat, adică i fixat , şi un i oarecare, i ∈ 1,i . Pentru a stabili dacă obiectul o(i fixat ) este dominat de o(i ) se fac următoarele j teste: niv _ oasd [i fixat , j , nume _ fisier , l ] ≤ niv _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] .

Dacă toate testele j = 1, j dau în evaluarea expresiei logice “adevărat” atunci obiectul o(i fixat ) este dominat obiectul o(i ) şi se contorizează în numărul obiectelor dominante

n=n+1. Pasul se reiterează pentru toţi i = 1, i şi se obţine numărul obiectelor dominante pentru obiectul o(i fixat ) . Pas 3: Dacă au fost fixaţi, pe rând, toţi indicii i ai obiectelor se trece la Pas 4, dacă nu, se trece la Pas 1: Pas 4: STOP Metoda numărului minim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai bine evaluate Pentru un obiect fixat, metoda numără la câte caracteristici este el mai bine evaluat în raport cu un obiect i ∈ 1,i . Făcând această numărătoare pe rând în raport cu fiecare obiect, rezultă un vector n(i) de i elemente, valoarea fiecărui element fiind cuprinsă în intervalul [0, j]. Din vector se ia minimul, se factorizează la j şi se depozitează ca evaluare a obiectului fixat. Se repetă procedeul pentru toate obiectele i ∈ 1,i . Obiectul cu cel mai mare număr minim de caracteristici prin care este cel mai bine evaluat va fi considerat obiectul optim. Pas 1: Fie un i fixat, adică i fixat , şi un i oarecare, i ∈ 1,i . Pentru a stabili în câte carecteristici este mai bine evaluat obiectul o(i fixat ) în raport cu obiectul o(i ) se fac următoarele j teste: niv _ oasd [i fixat , j , nume _ fisier , l ] ≥ niv _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] .

79

Numărul de teste care dau în evaluarea expresiei logice “adevărat”, factorizat la j, se depozitează într-un vector n(i) pe poziţia i. Pasul se reiterează pentru toţi i = 1, i şi se ia minimul din vectorul n(i) care se trece ca număr minim de caracteristici prin care obiectul fixat este cel mai bine evaluat. .Pas 2: Dacă au fost fixaţi, pe rând, toţi indicii i ai obiectelor se trece la Pas 3, dacă nu, se trece la Pas 1: Pas 3: STOP Metoda numărului maxim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai bine evaluate Pentru un obiect fixat, metoda numără la câte caracteristici este el mai bine evaluat în raport cu un obiect i ∈ 1,i . Făcând această numărătoare pe rând în raport cu fiecare obiect, rezultă un vector nr(i) de i elemente, valoarea fiecărui element fiind cuprinsă în intervalul [0, j]. Din vector se ia maximul, se factorizează la j şi se depozitează ca evaluare a obiectului fixat. Se repetă procedeul pentru toate obiectele i ∈ 1,i . Obiectul cu cel mai mare număr maxim de caracteristici prin care este cel mai bine evaluat va fi considerat obiectul optim. Pas 1: Fie un i fixat, adică i fixat , şi un i oarecare, i ∈ 1,i . Pentru a stabili în câte carecteristici este mai bine evaluat obiectul o(i fixat ) în raport cu obiectul o(i ) se fac următoarele j teste: niv _ oasd [i fixat , j , nume _ fisier , l ] ≥ niv _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] . Numărul de teste care dau în evaluarea expresiei logice “adevărat”, factorizat la j, se depozitează într-un vector nr(i) pe poziţia i. Pasul se reiterează pentru toţi i = 1, i şi se ia maximul din vectorul nr(i) care se trece ca număr maxim de caracteristici prin care obiectul fixat este cel mai bine evaluat. .Pas 2: Dacă au fost fixaţi, pe rând, toţi indicii i ai obiectelor se trece la Pas 3, dacă nu, se trece la Pas 1: Pas 3: STOP Metoda numărului minim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai rău evaluate Pentru un obiect fixat, metoda numără la câte caracteristici este el mai rău evaluat în raport cu un obiect i ∈ 1,i . Făcând această numărătoare pe rând în raport cu fiecare obiect, rezultă un vector n(i) de i elemente, valoarea fiecărui element fiind cuprinsă în intervalul [0, j]. Din vector se ia minimul, se factorizează la j şi se depozitează ca evaluare a obiectului fixat. Se repetă procedeul pentru toate obiectele i ∈ 1,i . Obiectul cu cel mai mic număr minim de caracteristici prin care este cel mai rău evaluat va fi considerat obiectul optim.

80

Pas 1: Fie un i fixat, adică i fixat , şi un i oarecare, i ∈ 1,i . Pentru a stabili în câte carecteristici este mai rău evaluat obiectul o(i fixat ) în raport cu obiectul o(i ) se fac următoarele j teste: niv _ oasd [i fixat , j , nume _ fisier , l ] < niv _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] . Numărul de teste care dau în evaluarea expresiei logice “adevărat”, factorizat la j, se depozitează într-un vector n(i) pe poziţia i. Pasul se reiterează pentru toţi i = 1, i şi se ia minimul din vectorul n(i) care se trece ca număr minim de caracteristici prin care obiectul fixat este cel mai rău evaluat. .Pas 2: Dacă au fost fixaţi, pe rând, toţi indicii i ai obiectelor se trece la Pas 3, dacă nu, se trece la Pas 1: Pas 3: STOP Metoda numărului maxim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai rău evaluate Pentru un obiect fixat, metoda numără la câte caracteristici este el mai rău evaluat în raport cu un obiect i ∈ 1,i . Făcând această numărătoare pe rând în raport cu fiecare obiect, rezultă un vector n(i) de i elemente, valoarea fiecărui element fiind cuprinsă în intervalul [0, j]. Din vector se ia maximul, se factorizează la j şi se depozitează ca evaluare a obiectului fixat. Se repetă procedeul pentru toate obiectele i ∈ 1,i . Obiectul cu cel mai mic număr maxim de caracteristici prin care este cel mai rău evaluat va fi considerat obiectul optim. Pas 1: Fie un i fixat, adică i fixat , şi un i oarecare, i ∈ 1,i . Pentru a stabili în câte carecteristici este mai rău evaluat obiectul o(i fixat ) în raport cu obiectul o(i ) se fac următoarele j teste: niv _ oasd [i fixat , j , nume _ fisier , l ] < niv _ oasd [i, j , nume _ fisier , l ] . Numărul de teste care dau în evaluarea expresiei logice “adevărat”, factorizat la j, se depozitează într-un vector n(i) pe poziţia i. Pasul se reiterează pentru toţi i = 1, i şi se ia maximul din vectorul n(i) care se trece ca număr maxim de caracteristici prin care obiectul fixat este cel mai rău evaluat. .Pas 2: Dacă au fost fixaţi, pe rând, toţi indicii i ai obiectelor se trece la Pas 3, dacă nu, se trece la Pas 1: Pas 3: STOP Metoda optimului global Întrucât fiecare metodă se bazează pe diferite puncte de vedere în rezolvarea problemei de decizie multi-atribut, este, după cum am mai afirmat, evident faptul că, aplicând diferite metode pe acelaşi set de date, se ajunge adesea la soluţii optime distincte. Două clase de reguli de producţie, distincte ca funcţionalitate, rezolvă problema

81

decidabilităţii. Acestea prelucrează fapte noi, furnizate de metodele de rezolvare matematică. Pentru înlăturarea optimului multiplu se presupun disponibile cele de mai jos. - Date de caracterizare obţinute printr-o metodă de acest gen: - Specificaţii necesare: 1. g(i) indică optimul global; 2. O* conţine obiectele găsite ca optime în urma rezolvării multiple a problemei de alegere optimă. - Reguli de producţie: Reguli de eliminare. Regulile de eliminare pot avea mai multe forme generice, datorate relaţiilor care se stabilesc între obiecte (de exemplu, relaţia de dominanţă) sau datorate unor restricţii impuse atributelor obiectelor. Aceste reguli formează o ierarhie care controlează modul lor de activare, de la cele mai restrictive către cele mai puţin restrictive. IF o(i1) domină o(i2) în opinia a minimum k (< k) experţi, în minimum l (< l) stări ale naturii, şi pentru minimum j (< j) atribute THEN elimină o(i2), afişează indicii corespunzători k, l, i1, i2, j. IF există un obiect o(i) pentru care, în opinia expertului d(k) şi în starea naturii s(l) cklij ∉ [stlo_a(j), stup_a(j)} pentru minimum j (≤ j) atribute THEN elimină o(i), indicii corespunzători k, l, i, j. IF există un obiect o(i) pentru care, în opinia expertului d(k) şi în starea naturii s(l) cklij ∉ [lo_a(j), up_a(j)} pentru minimum j (≤ j) atribute THEN elimină o(i), afişează indicii corespunzători k, l, i, j. (aceste reguli pot fi generate şi recursiv (începând de la valorile maxime posibile ale indicilor k, l, j şi descrescându-le cu 1 până când partea de condiţie este satisfăcută, evident, pentru valori semnificative ale indicilor k, l, j). Este posibil, într-o viziune nepretenţioasă, ca optimul global să apară la acest pas. Reguli de discriminare. Dacă la această etapă optimul global este în continuare unul multiplu, se propune utilizarea unei funcţii de evaluare globală: m 3 6 q q g (i ) = iround ( i ∑ g1 (i, m)) + iround ( i / j ∑ (−1) g 2 (i, q )) +iround ( i ∑ (−1) g3 (i, q)) q =4 m=1 q =1

Primul termen reprezintă scorul general rezultat din multi-rezolvarea problemei de alegere optimă iar ultimii doi termeni aduc un bonus sau o penalizare, furnizate de matricea atributelor. Expresiile analitice ale acestor termeni sunt: daca u (m) = u (m) 1 , - g1 (i, m) =  (u (i, m) − u (m)) /(u (m) − u (m)) altfel unde u (m) = min u (i, m) şi u (m) = max u (i, m) ; i i - g 2 (i, m) = v(i,3, q ) ;

82 daca v(3, q ) = v(3, q ) 1 - g 3 (i , q ) =  , (v(i,3, q ) − v(3, q )) /(v(3, q ) − v(3, q )) altfel

unde v(3, q ) = min v(i,3, q) şi v(3, q ) = max v(i,3, q) . i i IF card(O*) > 1 THEN calculează g(i) pentru o(i) ∈ O*, ordonează O* după valorile g(i), afişează ierarhia finală. Aceste reguli se procesează după schema dată în Schema 2.5 S1:

Schema 2.5 S1. Algoritmul optimului global În acest moment, problema alegerii optime se poate spune că este complet rezolvată!

83

3. EXEMPLU COMPLEX DE PROBLEMA DE ALEGERE OPTIMA Îmbunătăţirea prin metode raţionale a calităţii şi productivităţii într-o centru de calcul necesită o planificare strategică. În ideea planificării, scopurile şi obiectivele pe termen lung (atributele) trebuie explicitate în mod clar. Atributele tipice sunt satisfacţia clientului, evitarea reluării unor activităţi, raportul dintre câştigul total şi cheltuielile totale etc. În general, acestea sunt independente şi nu sunt cuantificabile. Odată ce un număr de alternative strategice fezabile (obiecte) au fost generate, urmează estimarea impactului acestora asupra diferitelor atribute. Deoarece natura selecţiei unei alternative strategice este, în esenţă, multi-criterială, se folosesc metodele de rezolvare de tip MADM. Pentru alegerea metodei de rezolvare se au în vedere următoarele cerinţe: - Interdependenţele posibile dintre obiectele considerate trebuie studiate analitic; - Metoda trebuie să ţină seama atât de aspectul cantitativ cât şi de cel calitativ al atributelor. Problema comensurabilităţii atributelor a fost studiată de diferiţi autori şi s-a ajuns la concluzia că nu toate atributele sunt uşor de cuantificat; - Evaluarea diferitelor obiecte trebuie făcută boolean, ordinal, cardinal sau după scale fuzzy; - Caracterul vag al impacturilor asupra atributelor şi al importanţei acestora trebuie luat cu precădere în considerare folosind noţiuni ale teoriei mulţimilor fuzzy; - Metoda trebuie să fie adaptabilă pentru tratarea clară a structurilor conceptuale în domeniul atributelor şi, în particular, a structurii ierarhice. Aceasta deoarece, deşi atributul trebuie să fie independent la un nivel de decizie, inter-relaţiile dintre diferite niveluri există în multe situaţii; - Resursele pentru analiza senzitivităţii trebuie introduse în programe de grafică interactivă pe calculator, care să permită utilizarea flexibilă a metodei chiar şi de managerii fără cunoştinte solide în cercetări operaţionale. În Brazilia s-a studiat o astfel de problemă de îmbunătăţire a calităţii şi productivităţii activităţii dintr-un centru de calcul, cercetare facută de Luiz Gomes de la Departamentul de Inginerie Industrială al Universităţii din Rio de Janeiro în colaborare cu Joao Oliveira de la SERPRO (Comitetul pentru Tehnologie Informatică), cercetare sprijinită de Secretariatul pentru Ştiinţă şi Tehnologie al guvernului brazilian. Această problemă a fost extinsă de noi în sensul definit de această lucrare şi este prezentată în continuare. În procesul de definire şi rezolvare a problemei îmbunătăţirii calităţii şi productivităţii activităţii dintr-un centru de calcul, analistul a parcurs, în mod esenţial, două etape definite de metodologia de modelare: - Definirea contextului MADM; - Modelarea MADM propriu-zisă. - Contextul MADM al unei probleme de alegere optimă este alcătuit din: - numele problemei (N) - mulţimea decidenţilor (D); - mulţimea stărilor naturii (S); - mulţimea atributelor impreuna cu sistemul de scale fuzzy pentru definirea şi descrierea a cuantilelor vagi (F);

84

- setul de metode de normalizare adecvate problemei;(R1) - setul de metode de rezolvare adecvate şi recomandate rezolvării problemei (R2). În modelarea propriu-zisă este importantă stabilirea setului de obiecte (strategii) fezabile şi a setului de atribute (criterii de evaluare a strategiilor) corespunzătoare problemei de alegere optimă. Pentru problema îmbunătăţirii calităţii şi productivităţii activităţii dintr-un centru de calcul s-a considerat următoarea formulare, in limbaj de analiză, a problemei: Dimensiunea 1. Software - Atribute cantitative - timpul de dezvoltare software (a(1)), - rata erorilor de sistem (a(2)), - productivitatea elaborării de software (a(3)). - Atribute calitative - calitatea serviciilor oferite utilizatorului (a(4)). Dimensiunea 2. Hardware - Atribute cantitative - timpul mort pe echipament (a(5)), - productivitatea echipamentului (a(6)), - necesarul de întreţinere preventivă / corectivă (a(7)), - timpul mediu între cădere şi repunere în funcţiune (a(8)). Dimensiunea 3. Livrare produse software - Atribute cantitative - numărul orelor de instruire a clienţilor (a(9)), - costul livrărilor returnate (a(10)), - costul reluării unor activităţi din cauza problemelor de livrare (a(11)), - numărul acţiunilor legale cauzate de livrarea unor produse neconforme cu specificaţiile contractului (a(12)). - Atribute calitative - deprecierea imaginii organizaţiei datorită slabei calităţi a produselor livrate (a(13)). Dimensiunea 4. Resurse umane - Atribute cantitative - numărul angajaţilor ce urmează a fi instruiţi (a(14)), - numărul problemelor datorate erorilor de operare (a(15)), - timpul de neutilizare a sistemului datorită erorilor de operare (a(16)), - productivitatea angajaţilor (a(17)), - rata fluctuaţiei angajaţilor (a(18)), - rata absenteismului (a(19)), - productivitatea sistemului (a(20)). - Atribute calitative - calitatea cursurilor sau a programelor de instruire (a(21)), - calitatea participării angajaţilor în procesele de rezolvare a problemelor organizatorice (a(22)).

85

Alegerea strategiilor de îmbunătăţire a calităţii şi productivităţii într-un centru de calcul s-a făcut ţinând cont de aceste atribute. Strategiile avute în vedere au fost următoarele: A - dezvoltarea planificării şi implementării de instrumente de inginerie software; B - îmbunătăţirea / optimizarea utilizării echipamentului instalat; C - implicarea clienţilor în specificaţia echipamentului solicitat; D - instruirea continuă a angajaţilor pentru realizarea scopurilor organizaţiei; E - dezvoltarea programului motivaţional. Această listă de atribute şi obiecte trebuie adaptată la fiecare aplicaţie, eventual chiar completată. In cazul de fata, se consideră un centru de calcul pentru care s-au generat trei obiecte compuse OC1, OC2, OC3, fiecare fiind o combinaţie a obiectelor A, B, C, D, E. Astfel, obiectul OC1 acordă o mai mare importanţă obiectului B, apoi obiectului A şi pe urmă lui C. O mică importanţă este dată obiectelor D şi E. Pe de altă parte, OC2 acordă o importanţă mai mare obiectului C şi o importanţă relativ mică celorlalte patru. OC3 acordă o importanţă mai mare obiectului D şi o importanţă mai mică celorlalte patru. Experţii care au luat parte la alegerea strategiei sunt în număr de doi: - trimisul ministerului de care aparţine centrul de calcul (d(1)), - managerul centrului de calcul (d(2)). Stările naturii luate în consideraţie sunt: - perioada de stabilitate financiară (s(1)), - perioada de inflaţie (s(2)). Evaluarea atributelor pentru fiecare obiect, în fiecare stare a naturii şi în viziunea fiecărui decident (matricea consecinţelor) se face : 1. ordinal pentru atributele: - numărul problemelor datorate erorilor de operare, - timpul de neutilizare a sistemului datorită erorilor de operare, - rata absenteismului, - calitatea cursurilor sau a programelor de instruire, - rata fluctuaţiei angajaţilor. 2. cardinal pentru atributele: - costul livrărilor returnate, - numărul angajaţilor ce urmează a fi instruiţi. 3. prin cuantile vagi exprimate prin funcţii de apartenenţă fuzzy de tip trapezoidal, conform următoarelor scale. Pentru atributul: - timp dezvoltare software foarte rău 4.4 4.7 5.1 5.2

insuficient 3.5 4 4.2

Pentru atributele: - rata erorilor de sistem;

moderat 2.5 2.8 3.1 3.5

bun 1.5 2 2.5

excelent 0.5 1 1.5

86

-

productivitatea elaborării de software; calitatea serviciilor oferite utilizatorului; productivitatea echipamentului; necesarul de întreţinere preventivă / corectivă; timpul mediu între cadere şi repunere în funcţiune; numărul orelor de instruire a clienţilor; costul reluării unor activităţi din cauza problemelor de livrare; numărul acţiunilor legale cauzate de livrarea unor produse neconforme cu specificaţiile contractului; deprecierea imaginii organizaţiei datorită slabei calităţi a produselor livrate; productivitatea angajaţilor; productivitatea sistemului; calitatea participării angajaţilor în procesele de rezolvare a problemelor organizatorice foarte rău 1

Insufficient 2

moderat 3

bun 4

excelent 5

Pentru atributul: - timp mort pe echipament rău 3 4 5

bun 1.5 2 3

excelent 0.1 0.5 1 1.5

Pentru următoarele atribute s-au definit limitele între care pot lua valori: - productivitatea elaborării de software Lo-standard = moderat - timp mort pe echipament Lo-standard = bun - costul livrărilor returnate Pessimum = 5.2, Optimum =1.65 - costul reluării unor activităţi din cauza problemelor de livrare Lo-standard = bun - numărul angajaţilor ce urmează a fi instruiţi Pessimum = 10, Optimum =125 - productivitatea sistemului Up-standard = bun - calitatea participării angajaţilor în procesele de rezolvare a problemelor organizatorice Lo-standard = moderat. În principiu, nu toate atributele de mai sus au aceeaşi importanţă şi, de aceea, au fost introduse valorile importanţelor lor absolute, pentru fiecare cuplu (decident, stare):

87

Tabelul 1. Importantele absolute ale atributelor A(1) A(2) A(3) A(4) A(5) A(6) A(7) A(8) A(9) A(10) A(11) A(12) A(13) A(14) A(15) A(16) A(17) A(18) A(19) A(20) A(21) A(22)

(d(1),s(1)) 0.1 0.1 0.2 0.21 0.1 0.08 0.1 0.2 0.11 0.21 0.11 0.17 0.0022 0.07 0.17 0.144 0.22 0.16 0.008 0.14 0.5 0.005

(d(1),s(2)) 0.01 0.01 0.34 0.123 0.113 0.156 0.117 0.15 0.23 0.2 0.16 0.321 0.41 0.24 0.39 0.21 0.22 0.167 0.2 0.5 0.1 0.6

(d(2),s(1)) 0.3 0.2 0.11 0.31 0.4 0.15 0.13 0.115 0.172 0.213 0.41 0.275 0.237 0.111 0.521 0.42 0.222 0.44 0.123 0.132 0.4 0.1

(d(2),s(2)) 0.1 0.7 0.7 0.7 0.12 0.23 0.24 0.156 0.345 0.356 0.372 0.21 0.31 0.314 0.26 0.22 0.17 0.1 0.111 0.21 0.22 0.42

Tabelele 2, 3, 4, 5 prezintă valoarea fiecărui atribut al fiecărui obiect compus OC1, OC2, OC3, pentru fiecare cuplu (decident, stare). Tabelul 2. Matricea (obiecte*atribute)T (d(1), s(1)) Strategii propuse Atribute timp dezvoltare software erori sistem productivitate servicii oferite utilizatorului timp mort productivitate echipament întreţinere MTBF/MTTR Instruire cost returnare reluare activitate răspundere depreciere imagine angajaţi instruiţi probleme operaţionale timp nefolosit productivitate angajaţi calitate instruire fluctuaţie angajaţi absenteism productivitate sistem participare angajaţi

OC1

moderat bun moderat excelent excelent excelent moderat 3.1 moderat 12 foarte rau 2 3 3 insuficient

C2

foarte rău bun insuficient moderat insuficient excelent 1.95 bun 14 2 2 insuficient 3 2 2 foarte rău moderat

OC3

bun bun bun moderat bun bun bun moderat bun 3.8 bun bun bun 105 1 1 bun 1 1 1 excelent bun

88

Tabelul 3. Matricea (obiecte*atribute)T (d(1), s(2)) Atribute timp dezvoltare software erori sistem productivitate servicii oferite utilizatorului timp mort productivitate echipament întreţinere MTBF/MTTR Instruire cost returnare reluare activitate răspundere depreciere imagine angajaţi instruiţi probleme operaţionale timp nefolosit productivitate angajaţi calitate instruire fluctuaţie angajaţi absenteism productivitate sistem participare angajaţi

Strategii propuse OC1

moderat bun moderat bun bun excelent insuficient 4.1 bun moderat 13 2 3 foarte rău 3 1 2 excelent

OC2

moderat insuficient moderat bun foarte rău moderat moderat excelent 2.5 bun excelent moderat 21 1 2 moderat 1 3 1 insuficient

OC3

excelent moderat foarte rău bun insuficient bun 4.75 moderat moderat insuficient 95 3 1 excelent 2 2 3 bun -

Tabelul 4. Matricea (obiecte*atribute)T (d(2), s(1)) Atribute timp dezvoltare software erori sistem productivitate servicii oferite utilizatorului timp mort productivitate echipament întreţinere MTBF/MTTR instruire cost returnare reluare activitate răspundere depreciere imagine angajaţi instruiţi probleme operaţionale timp nefolosit productivitate angajaţi calitate instruire fluctuaţie angajaţi absenteism productivitate sistem participare angajaţi

Strategii propuse OC1

OC2

OC3

bun bun moderat insuficient bun excelent moderat bun 3.25 moderat 25 2 2 insuficient 1 2 3 moderat -

moderat moderat bun bun bun moderat insuficient 2.05 moderat excelent 15 1 3 bun 3 1 1 insuficient foarte rău

excelent moderat moderat excelent excelent insuficient bun excelent bun 3.75 excelent excelent bun 102 3 1 moderat 2 3 2 excelent bun

89 T

Tabelul 5. Matricea (obiecte*atribute) (d(2), s(2)) Atribute timp dezvoltare software erori sistem productivitate servicii oferite utilizatorului timp mort productivitate echipament întreţinere MTBF/MTTR instruire cost returnare reluare activitate răspundere depreciere imagine angajaţi instruiţi probleme operaţionale timp nefolosit productivitate angajaţi calitate instruire fluctuaţie angajaţi absenteism productivitate sistem participare angajaţi

Strategii propuse OC1

OC2

moderat foarte rău bun rău excelent bun insuficient 5.0 bun 21 2 3 insuficient 3 1 2 moderat -

moderat moderat insuficient bun rău moderat moderat bun 2.7 moderat bun bun 25 3 1 2 2 3 insuficient moderat

OC3

bun bun insuficient excelent bun insuficient moderat 4.5 insuficient moderat 92 1 2 moderat 1 3 1 excelent -

După cum se observă, matricele consecinţelor conţin zone incomplet definite. Se prezintă în continuare câteva exemple de aplicare a regulilor din sistemul de producţii descris anterior, în urma cărora s-au putut obţine matrice ale consecinţelor complet definite şi coerente pentru problema de faţă. Reguli de validare Pentru atributele care au restricţii în domeniul de valori: 1) IF există o(i) în opinia decidentului d(l) şi în starea naturii s(k) cu ci,21 = excelent THEN ci,21 = bun (atributul a(21) are Up-standard = bun); 2) IF există o(i) în opinia decidentului d(l) şi în starea naturii s(k) cu ci,5 ∈{foarte rău, insuficient, moderat} THEN ci,5 = bun (atributul a(5) are Lo-standard = bun); 3) IF există o(i) în opinia decidentului d(l) şi în starea naturii s(k) cu (ci,10 < 10) ∨ (ci,10 > 125) THEN ci,10 este invalid şi urmează a fi completat. Pentru atribute care sunt în corelaţie unele cu altele: 4) IF există o(i) în opinia decidentului d(l) şi în starea naturii s(k) cu (ci,17∈{bun, excelent} ) ∧ (ci,18 ≥ 2) ) ∧ (ci,19 ≥ 2) ) ∧ (ci,20 ≥ 2) ) ∧ (ci,21∈{foarte rău, insuficient, moderat}) THEN ai,21 = bun;

90

5) IF există o(i) în opinia decidentului d(l) şi în starea naturii s(k) cu (ci,18 > 3) ∧ (ci,18 < 1) THEN invalidare ci,18 şi urmează să fie completat. Reguli de completare Completarearea matricei consecinţelor pentru un anumit decident şi o anumită stare se face în funcţie de: - valorile înregistrate în matricele consecinţelor ale celorlalţi decidenţi - stări, valorile corespunzătore obiectelor din aceeaşi clasă din matricea dată (alte coloane), - valorile atributelor pentru acelaşi obiect pentru care există valori înregistrate. Deoarece cele trei modalităţi de completare sunt de naturi diferite, nu s-a definit în mod explicit o funcţie globală de completare. Pentru obiectul o(i), atributului a(j) din matricea consecinţelor corespunzătoare decidentului d(l) şi stării s(k), care are valoarea NULL, i se atribuie o valoare astfel: a) Dacă în matricele consecinţelor corespunzătoare celorlalte perechi (decident stare) există valori înregistrate pentru elementul (i, j), valoarea se va lua în funcţie de acestea, putându-se propune diferite formule (media ponderată, valoarea dată de decidentul cu pondere maximă etc.); b) Dacă în matricea consecinţelor pentru decidentul d(l) şi starea naturii s(k) există obiecte din aceeaşi clasă ca şi obiectul o(i) care au valori înregistrate pentru atributul a(j), valoarea se va lua în funcţie de acestea, asemănător ca la punctul a); c) Dacă se găsesc acele atribute a ( j1 ), a( j2 ), ... , a ( jn ) care sunt în corelaţie cu atributul a(j) se propune o funcţie de determinare a elementului (i, j) în raport cu elementele (i, j1), (i, j2), ... , (i, jn). 6) IF o(i1), o(i2) ∈ Eq (aparţin aceleiaşi clase) ∧ ( ci , j ∈ Lj (mulţimea valorilor 1 acceptate pentru atributul a(j))) THEN ci2 , j = ci1 , j ; Exemplu: IF (OC1 şi OC2 sunt în acceeaşi clasă de obiecte ) ∧ (ci,12 = bun) THEN c2,12 = bun; 7) IF există o(i) în opinia decidentului d(l) şi în starea naturii s(k) cu (ci,2 ∈ L2) THEN pentru i, l din ipoteză, starea k1 ≠ k şi ci,2 = NULL se atribuie lui ci,2,k1,l = ci,2,k,l . Exemplu : IF pentru decidentul d(2), în starea s(2) la obiectul o(2) avem c2,2 = insuficient THEN pentru decidentul d(1), în starea s(2) la obiectul o(2) avem c2,2 = insuficient; 8) IF există o(i) în opinia decidentului d(l) şi în starea naturii s(k) cu (ci,2 ∈ L2) ∧ (ci,3 ∈ L3) ∧ (ci,6 ∈ L6) ∧ (ci,17 ∈ L17)

91

THEN ci,1 = f(ci,2, ci,3, ci,6, ci,17) = p2* ci,2+p3* ci,3+ p6* ci,6+ p17* ci,17, cu p2+ p3 + p6 + p17 = 1. În formula de mai sus am admis că atributul “timp de dezvoltare software” depinde de: - rata erorilor de sistem, - productivitatea elaborării de software, - productivitatea echipamentelor, - productivitatea angajaţilor, cu ponderile respectiv p1, p2, p3, p4. Exemplu: pentru decidentul d(1), în starea s(1) la obiectul o(2) considerând ponderile p1 = p2 = p3 = p4 = 0.25 calculăm ci,1= 0.25*2+0.25*1+0.25*2+0.25*2 = 1.75 ⇔ insuficient. 9) IF există o(i) în opinia decidentului d(l) şi în starea naturii s(k) cu (ci,1 ∈ Lj) ∧ (ci,2 ∈ Lj) ∧ (ci,3 ∈ Lj) ∧ (ci,15 ∈ Lj) ∧ (ci,17 ∈ Lj) ∧ (ci,21 ∈ Lj) THEN ci,4 = f(ci,1, ci,2, ci,3, ci,15 , ci,17 , ci,21) = p1* ci,1+p3* ci,3+ p6* ci,6+ p15*ci,15+ p17* ci,17+ p21* ci,21 cu p1 + p3 + p6 + p15 + p17 + p21 = 1, iar valorile ci,j trebuie aduse la acceaşi scală. Având în vedere că atributul a(15) este de tip ordinal având valorile în mulţimea (1,2,3) îi asociem o scală cuprinsă între 1 şi 5 astfel : 1 ↔ 4.5, 2 ↔ 3, 3↔1.5, pentru a concorda cu valorile celorlalte atribute. În formulă s-a presupus că atributul calitatea serviciilor oferite utilizatorului depinde de: - timp dezvoltare software, - rata erorilor de sistem, - productivitatea elaborării de software, - numărul problemelor datorate erorilor de operare, - productivitatea angajaţilor, - productivitate sistem, cu ponderile respectiv p1, p2, p3, p15, p17, p21. Exemplu: pentru decidentul d(1), în starea s(1) la obiectul o(2) considerând ponderile p1 = 0.4, p2 = 0.1, p3 = 0.1, p15 = 0.1, p17 = 0.1, p21 = 0.2 calculăm ci,4 = 0.4*3 + 0.1*4 + 0.1*3 + 0.1*1.5 + 0.1*1 + 0.2*2 = 2.55 ⇔ moderat. 10) IF există o(i) în opinia decidentului d(l) şi în starea naturii s(k) cu (ci,10 < 2) ∧ (ci,12 ∈{bun, excelent}) THEN ci,13 = bun. Exemplu: pentru decidentul d(1), în starea s(1) la obiectul o(2) (c2,10 < 2) ∧ (c2,12 ∈ bun) ⇒ c2,13 = bun. Aplicând astfel de reguli de validare şi completare, s-a ajuns la următoarele matrice ale atributelor:

92

Tabelul 6. Matricea (obiecte*atribute)T (d(1), s(1)) Atribute timp dezvoltare software erori sistem productivitate servicii oferite utilizatorului timp mort productivitate echipament întreţinere MTBF/MTTR Instruire cost returnare reluare activitate răspundere depreciere imagine angajaţi instruiţi probleme operaţionale timp nefolosit productivitate angajaţi calitate instruire fluctuaţie angajaţi absenteism productivitate sistem participare angajaţi

Strategii propuse OC1

moderat bun moderat moderat excelent excelent excelent excelent moderat 3.1 moderat bun insuficient 12 3 3 foarte rău 2 3 3 insuficient insuficient

OC2

OC3

insuficient insuficient foarte rău moderat bun insuficient moderat insuficient excelent 1.95 excelent bun bun 14 2 2 insuficient 3 2 2 foarte rău moderat

bun bun bun moderat bun bun bun moderat bun 3.8 bun bun bun 105 1 1 bun 1 1 1 bun bun

Tabelul 7. Matricea (obiecte*atribute)T (d(1), s(2)) Atribute timp dezvoltare software erori sistem productivitate servicii oferite utilizatorului timp mort productivitate echipament întreţinere MTBF/MTTR Instruire cost returnare reluare activitate răspundere depreciere imagine angajaţi instruiţi probleme operaţionale timp nefolosit productivitate angajaţi calitate instruire fluctuaţie angajaţi absenteism productivitate sistem participare angajaţi

Strategii propuse OC1

OC2

OC3

moderat bun insuficient moderat bun excelent bun excelent insuficient 4.1 bun bun moderat 13 2 3 foarte rău 3 1 2 insuficient excelent

moderat insuficient insuficient moderat bun foarte rău moderat moderat excelent 2.5 bun excelent moderat 21 1 2 moderat 1 3 1 moderat insufficient

excelent moderat moderat foarte rău excelent bun bun insuficient bun 4.75 moderat moderat insuficient 95 3 1 excelent 2 2 3 bun bun

93

Tabelul 8. Matricea (obiecte*atribute)T (d(2), s(1)) Atribute timp dezvoltare software erori sistem productivitate servicii oferite utilizatorului timp mort productivitate echipament întreţinere MTBF/MTTR instruire cost returnare reluare activitate răspundere depreciere imagine angajaţi instruiţi probleme operaţionale timp nefolosit productivitate angajaţi calitate instruire fluctuaţie angajaţi absenteism productivitate sistem participare angajaţi

Strategii propuse OC1

bun bun moderat insuficient bun bun excelent moderat bun 3.25 insuficient moderat foarte rău 25 2 2 insuficient 1 2 3 moderat moderat

OC2

Moderat moderat insuficient bun Bun bun moderat insuficient excelent 2.05 moderat bun excelent 15 1 3 bun 3 1 1 insuficient foarte rău

OC3

excelent moderat moderat excelent excelent insuficient bun excelent bun 3.75 excelent excelent bun 102 3 1 moderat 2 3 2 excelent bun

Tabelul 9. Matricea (obiecte*atribute)T (d(2), s(2)) Atribute timp dezvoltare software erori sistem productivitate servicii oferite utilizatorului timp mort productivitate echipament întreţinere MTBF/MTTR instruire cost returnare reluare activitate răspundere depreciere imagine angajaţi instruiţi probleme operaţionale timp nefolosit productivitate angajaţi calitate instruire fluctuaţie angajaţi absenteism productivitate sistem participare angajaţi

Strategii propuse OC1

OC2

moderat moderat foarte rău bun rău bun excelent bun insuficient 5.0 bun bun insuficient 21 2 3 insuficient 3 1 2 moderat excelent

moderat moderat insuficient bun rău moderat bun moderat bun 2.7 moderat bun bun 25 3 1 bun 2 2 3 insuficient moderat

OC3

bun bun insuficient insuficient excelent bun moderat insuficient moderat 4.5 insuficient moderat moderat 92 1 2 moderat 1 3 1 excelent bun

94

Odată încheiată faza de modelare, s-a trecut la faza de rezolvare a problemei: - împerecherea de elemente din mulţimea metodelor de normalizare cu elemente din mulţimea metodelor de rezolvare, mulţimi stabilite în contextul MADM; - rezolvarea problemei prin aceste seturi de metode. Setul de metode matematice alese: - metodele de normalizare de tip von Neumann - Morgenstern: V1 - V5; - metodele de rezolvare: Maximax, Maximin, Onicescu, Todim, metoda funcţiei de utilitate liniară plus analiza domonantei. Soluţiile rezultate în urma fazei de rezolvare a problemei cu produsul OPTCHOICE au fost trecute în Tabelul 10 şi Tabelul 11. Prin folosirea metodelor de normalizare şi rezolvare de mai jos s-au obţinut următoarele utilităţi globale: Tabelul 10. Rezolvarea problemei Metoda normalizare Von Neumann - Morgenstern 1 Von Neumann - Morgenstern 2 Von Neumann - Morgenstern 3 Von Neumann - Morgenstern 4 Von Neumann - Morgenstern 5

Metoda de rezolvare Maximax Maximin Onicescu TODIM Funcţiei liniare de utilitate

OC1

OC2

OC3

0 1 0.125 0.006 0.3939

0 1 0.25 0 0.4094

1 0 0.5 1 0.4989

Metodele de analiza a dominanţei folosite au condus la următorii vectori de caracterizare: Tabelul 11. Rezultatele metodelor adiţionale Metoda de caracterizare Număr minim de atribute out of standard Număr maxim de atribute out of standard Număr minim de obiecte pe care le domină Număr maxim de obiecte pe care le domină Număr minim de obiecte de care este dominat Număr maxim de obiecte de care este dominat Număr minim de atribute prin care este cel mai bine evaluat Număr maxim de atribute prin care este cel mai bine evaluat Număr minim de atribute prin care este cel mai rău evaluat Număr maxim de atribute prin care este cel mai rău evaluat Numărul clasei de echivalenţă din care face parte Meritul clasei de echivalenţă din care face parte

OC1

OC2

OC3

1 1 0 0 0 0 5 8 8 11 1 0.7

3 4 0 0 0 0 6 9 6 12 1 0.7

0 1 0 0 0 0 7 15 3 8 2 1.6

În final s-a calculat funcţia de merit general care a determinat optimul global, în speţă obiectul o(3).

95

4. MADM – TRANSFER TEHNOLOGIC Această secţiune se adresează informaticienilor care au aprofundat secţiunile anterioare şi s-au decis să utilizeze cunoştinţele acumulate la un nivel superior. Principalul ei scop este facilitarea înglobării în aplicaţii informatice a unor module de alegere optimă care să ridice calitatea software-ului respectiv. Se ştie că scopul final al oricărei teorii este aplicarea sa în practică. Dar pentru aceasta trebuie străbătut un drum destul de lung şi anevoios. În cazul de faţă pentru ca problema alegerii optime să beneficieze de un software performant, s-au parcurs mai multe etape. Prima etapă ar fi legată de alegerea paradigmei MADM pentru dezvoltarea modelului de alegere optimă. Dacă s-ar fi ales programarea matematică / teoria jocurilor / teoria negocierilor / etc, din start s-ar fi pornit pe un drum greşit. A doua etapă ar fi elaborarea, la nivel matematic, a modelului de alegere optimă cu întreg arsenalul de normalizare a datelor şi rezolvare a problemelor generabile peste acest model. Dacă modelul nu ar fi fost consistent (adică valid sintactic / semantic, complet şi credibil) şi decidabil (adică problemele ridicate peste acesta, cu soluţii diferite în optimizări diferite, să aibă şi o soluţie globală), putem afirma că aplicabilitatea ar fi fost compromisă încă de la această etapă. A treia etapă ridică probleme şi mai grele. Dacă se cunosc foarte bine modelul matematic şi metodele de rezolvare a problemelor de alegere optimă, aceasta nu înseamnă că se poate trece foarte uşor la baza de date reprezentând modelul şi la pseudo-codul algoritmilor reprezentând metodele de rezolvare. De obicei acesta este locul în care se rupe lanţul cunoaşterii unei singure persoane. De aceea există atât de puţine produse informatice în clasa produselor informatice bazate pe modelare matematică. Raţiunea existenţei secţiunii curente se leagă tocmai de dorinţa de a furniza un ajutor important în trecerea peste acest prag. A patra etapă este programarea, în care trebuie să se facă apel la cunoştiinţele legate de un SGBD (Sistem de Gestiune a Bazelor de Date) şi de un limbaj de nivel înalt orientat şi pe algoritmică. Aici se poate greşi printr-o alegere neadecvată a software-ului de bază şi prin orientarea spre o soluţie hardware neinspirată. A cincia, şi ultima etapă, este implementarea care înseamnă aplicarea practică propriu-zisă cu respectarea anumitor paşi indicaţi de metodologia informatică. Şi această etapă implică riscuri, mai ales atunci când se predă prea repede aplicaţia în cauza unor persoane cu slabă calificare în domeniu. În principiu, etapa implementării poate declanşa reluări ale procesului de la o etapă anterioară dar o aplicaţie se zice că a fost foarte bine realizată dacă astfel de reveniri nu există iar exploatarea curentă decurge cu succes. Proiectantul de aplicaţii informatice, care să includă problema alegerii optime, trebuie să fie capabil să-şi realizeze singur aceste module program specifice. Înseamnă că, în primul rând să aibă suficiente informaţii despre cum se realizează o bază de date care să reprezinte un model MADM iar în al doilea rând să poată scrie, pornind de la aceste date, programe de rezolvare a unei probleme de alegere optimă. Ambele cunoştinţe îi vor fi transferate în această secţiune a cărţii. După cum se poate întrevede foarte uşor, o aplicaţie care implementează probleme complexe de alegere optimă se instalează pe două sisteme de calcul: interfaţa şi baza de date a produsului, inclusiv modelul matematic, pe un server de SQL, ORACLE etc. (eventual de WEB şi MAIL dacă aplicaţia este o e-aplicatie) iar

96

rezolvitorul problemelor de alegere optimă generate peste modelul matematic, pe un sistem utilat cu limbajele MSVC sau FORTRAN şi specializat în tratarea în condiţii de eficienţă informatică a calculelor matematice. De aceea, vor exista două blocuri funcţionale, convenţional numite BF1 şi BF2. 4.1 BF1: Proiectarea unei baze de date MADM Proiecţia modelului MADM, generator de probleme de alegere optimă, pe structuri de date organizate şi gestionate cu un SGBD este numită în continuare baza de date MADM: Bazele de date relaţionale sunt cel mai folosit tip de baze de date şi în cazul de faţă sunt singurele recomandabile. Ele au o bază teoretică solidă, dată de algebra relaţională. Bazele de date relaţionale sunt formate din relaţii, numite de analişti entităţi iar de programatori tabele. Aceasta pentru că o entitate este un tabel care are un nume, coloane şi linii. Fiecare coloană corespunde unui anumit tip de date şi are un nume unic. Fiecare linie reprezintă câte o înregistrare şi conţine un set de valori individuale care corespund coloanelor. Fiecare înregistrare necesită o metodă de identificare. Coloana de identificare dintr-o tabelă se numeşte cheie primară. Intrările din această coloană nu pot fi nule, sunt unice şi, de obicei, se incrementează automat. Baza de date relaţională oferă accesul rapid la date, poate fi uşor interogată pentru a extrage seturi de date care îndeplinesc anumite criterii, permite accesul concurent al mai multor utilizatori, oferă un acces secvenţial dar şi direct la date, are încorporate sisteme de privilegii pentru diferite categorii de utilizatori. Utilizarea acestui tip de bază de date permite răspunsul rapid şi uşor la interogări cu privire la toate entităţile modelelor şi problemelor. În funcţiile de interogare sunt incluse atât căutarea şi extragerea datelor cât şi operaţii de actualizare a bazei de date: adăugare, modificare, ştergere. Interogarea se realizează procedural, datele localizându-se prin căutări succesive. Baza de date este descrisă prin programele care folosesc datele. Descrierea vizează structurile de date, legăturile dintre acestea, regulile care asigură coerenţa datelor. Baza de date MADM cuprinde entităţi principale şi entităţi de legătură care folosesc chei ca referinţe între tabele. În timp ce entităţile principale descriu obiecte concrete din lumea reală (decidenţi, stări ale naturii, obiecte, atribute, etc.), entităţile de legătură descriu relaţiile dintre două obiecte reale (obiecteatribute, probleme-decident, etc.) fiind asociate deoseori cu unele genuri de tranzacţii din domeniul pe care îl reprezintă. În continuare prezentăm entităţile din această bază, termenii scrişi cu caractere îngroşate sunt chei primare în relaţia în care sunt subliniaţi iar termenii scrişi cu caractere cursive sunt chei externe. 4.1.1 Entităţi principale Baza de date MADM trebuie să conţină minimal următoarele entităţi principale: MODELS_CATEGORIES (Model_category, Name, Description, Opening_date, Last_update), MODELS (Model, Model_category, Name, Opening_date, Last_update),

97

PROBLEMS (Problem, Model, Name, Opening_date, Last_update, Last_solving), NORMALIZATIONS (Normalization, Name) METHODS (Method, Name), DECISION_MAKERS (Decision_maker, Model, Name, Affiliation, Function, Importance), STATES_OF_NATURE (State_of_nature, Model, Name, Description, Importance), ATTRIBUTES (Attribute, Model, Name, Measure_unit, Importance, Sense, Lower_limit, Upper_limit), FUZZY_SCALES (Name, Attribute, Left_abscissa, Top_abscissa, Right_abscissa), OBJECTS (Object, Model, Name, Description), 4.1.2 Entităţi de legătură Baza de date MADM trebuie să conţină minimal următoarele entităţi de legătură: DECISION_MAKERS - STATES_OF_NATURE - ATTRIBUTES - OBJECTS (Decision_maker, State_of_nature, Attribute, Object, Value), PROBLEMS - NORMALIZATIONS (Problem, Normalization), PROBLEMS - METHODS (Problem, Method), PROBLEMS - DECISION_MAKERS (Problem, Decision_maker), PROBLEMS - STATES_OF_NATURE (Problem, State_of_nature), PROBLEMS - ATTRIBUTES (Problem, Attribute), PROBLEMS - OBJECTS (Problem, Objects), PROBLEMS - NORMALIZATION - METHODS – OBJECTS (Problem, Normalization, Method, Object, Evaluation).

4.1.3 Schema bazei de date Schema bazei de date prezintă entităţile (tabelele) cu relaţiile dintre ele. Entităţile sunt, reprezentate prin dreptunghiuri, fiecare dreptunghi conţinând, în afara liniei cu mnemonica entităţii, atâtea linii câte chei se află printre coloanele tabelei. Mai întâi se indică cheia primară, dacă aceasta există, apoi cheile externe. În baza de date, tipurile de relaţii fundamentale utilizate sunt de unu-la-unu şi de unul-la-mai-mulţi. Într-o relaţie unu-la-unu, se află în legătură câte o singură linie din cele două entităţi relaţionate. Într-o relaţie unu-la-mai-mulţi, se află în legătură câte o singură linie din prima entitate cu mai multe linii din cea de-a doua entitate. Relaţiile sunt reprezentate prin linii între dreptunghiurile reprezentând entităţile bazei. O relaţie unu-la-unu este

98

reprezentată printr-o linie având la capăt un “1”. O relaţie unul-la-mai-mulţi este reprezentată printr-o linie având la capăt un simbol “∞”. Ansamblul entităţilor şi relaţiilor bazei de date MADM sunt cuprinse în următoarea schemă relaţională:

Figura 4.1.3 F1. Diagrama de structură a bazei de date 4.1.4 Tabele descriptive ale entităţilor Dăm în continuare descrierea completă a entităţilor care compun baza de date. Ele sunt prezentate conform tabelelor lor de definiţie care presupun denumirea, natura, lungimea şi condiţiile asupra câmpurilor componente. Prezentarea se face ţinând cont de ordinea naturală indusă de diagrama anterioară:

99

Tabel 4.1.4 T1 Entitatea principală MODELS_CATEGORIES Nume

Tip

Nul

Name

int(4) varchar(50)

No no

Description

varchar(256)

Models_category

Cheie primary

Legătură

Opening_date

datetime

no

Last_update

datetime

no

Implicit

Observatii

autoincrement spaces spaces 00-00-00 00:00:00 00-00-00 00:00:00

Models_category = Codul ascuns al categoriei de modele, Name = Numele categoriei de modele, Description = Descrierea pe scurt a rostului pentru care au fost asociate mai multe modele la un loc, Opening_date = Data la care a fost deschisă categoria de modele, Last_update = Data la care s-a făcut ultima actualizare a categoriei de modele. Tabel 4.1.4 T2 Entitatea principală MODELS Nume

Legătură

Tip

Nul

y

int(4) int(4) varchar(50)

no no no

Opening_date

datetime

no

Last_update

datetime

no

Model Model_category Name

Cheie primary

Implicit

Observatii

autoincrement 0 spaces 00-00-00 00:00:00 00-00-00 00:00:00

Model = Codul ascuns al modelului, Model_category = Referinţa la entitatea MODELS_CATEGORIES, Name = Numele modelului, Opening_date = Data la care a fost deschis modelul, Last_update = Data la care s-a făcut ultima actualizare a modelului. Tabel 4.1.4 T3 Entitatea principală PROBLEMS Nume

Tip int(4) int(4) varchar(50)

Nul

Opening_date

datetime

no

Last_update

datetime

no

Last_solving

datetime

no

Problem Model Name

Cheie primary

Legătură

y

no no no

Implicit

Observatii

autoincrement 0 spaces 00-00-00 00:00:00 00-00-00 00:00:00 00-00-00 00:00:00

Problem = Codul ascuns al problemei, Model = Referinţa la entitatea MODELS, Name = Numele problemei, Opening_date = Data la care a fost deschisă problema, Last_update = Data la care s-a făcut ultima actualizare a problemei,

100

Last_solving = Data la care s-a făcut ultima rezolvare a problemei. Tabel 4.1.4 T4 Entitatea principală NORMALIZATIONS Nume

Normalization Name

Cheie primary

Legătură

Tip int(4) varchar(50)

Nul

Implicit

no no

spaces

Nul

Implicit

Observatii

autoincrement

Normalization = Codul ascuns al normalizării, Name = Numele normalizării. Tabel 4.1.4 T5 Entitatea principală METHODS Nume

Method Name

Cheie primary

Legătură

Tip int(4) varchar(50)

no no

spaces

Nul

Implicit

Observatii

autoincrement

Method = Codul ascuns al metodei de rezolvare, Name = Numele metodei de rezolvare. Tabel 4.1.4 T6 Entitatea principală DECISION_MAKERS Nume

Decision_maker Model Name Affiliation Function Importance

Cheie primary

Legătură

y

Tip int(4) int(4) varchar(50) varchar(50) varchar(50) int(4)

no no no no no no

Observatii

autoincrement 0 spaces spaces spaces 1

Decision_maker = Codul ascuns al decidentului. Model = Referinţa la entitatea MODELS, Name = Numele decidentului, Affiliation = Locul de muncă al decidentului, Function = Funcţia decidentului la locul său de muncă, Importance = Importanţa absolută a decidentului. Tabel 4.1.4 T7 Entitatea principală STATES_OF_NATURE Nume

State_of_nature Model Name Description Importance

Cheie primary

Legătură

y

Tip int(4) int(4) varchar(50) varchar(256)

int(4)

Nul

no no no no no

Implicit

Observatii

autoincrement 0 spaces spaces 1

State_of_nature = Codul ascuns al stării naturii, Model = Referinţa la entitatea MODELS, Name = Numele stării naturii, Description = Descrierea pe scurt a condiţiilor care induc anumite valori în masivul consecinţelor, Importance = Importanţa absolută a stării naturii.

101

Tabel 4.1.4 T8 Entitatea principală ATTRIBUTES Nume

Attribute Model Name Measure_unit Importance Sense Lower_limit Upper_limit

Cheie primary

Legătură

y

Tip int(4) int(4) varchar(50) varchar(5) int(4) varchar(3) varchar(15) varchar(15)

Nul

no no no no no no yes yes

Implicit

Observatii

autoincrement 0 spaces spaces 1 spaces

0 1

to redefine to redefine

Observatii

Attribute = Codul ascuns al atributului, Model = Referinţa la entitatea MODELS, Name = Numele atributului, Measure_unit = Unitatea de măsură a atributului, Importance = Importanţa absolută a atributului, Sense = Sensul optimizării (max / min), Lower_limit = Limita inferioară valorilor atributului, Uppeer_limit = Limita superioară valorilor atributului. Tabel 4.1.4 T9 Entitatea principală FUZZY_SCALES Nume

Cheie

Name Attribute Left_abscissa Top_abscissa Right_abscissa

Legătură

Tip

Nul

Implicit

y

varchar(50) int(4)

no no no no no

spaces 0

float float float

0 0 0

occurs 11 occurs 11 occurs 11

Name = Numele scalei fuzzy, Attribute = Referinţa la entitatea ATTRIBUTES Left_abscissa = abscisa primului vârf al triunghiului fuzzy, Top_abscissa = abscisa celui de-al doilea vârf al triunghiului fuzzy, Right_abscissa = abscisa celui de-al treilea vârf al triunghiului fuzzy. Tabel 4.1.4 T10 Entitatea principală OBJECTS Nume

Object Model Name Description

Cheie primary

Legătură

y

Tip int(4) int(4) varchar(50) varchar(256)

Object = Codul ascuns al obiectului, Model = Referinţa la entitatea MODELS, Name = Numele obiectului, Description = Descrierea pe scurt a obiectului.

Nul

no no no no

Implicit

Observatii

autoincrement 0 spaces spaces

102

Tabel 4.1.4 T11 Entitatea de legătură DECISION_MAKERSSTATES_OF_NATURE-ATTRIBUTES-OBJECTS Nume

Cheie

Decident State_of_nature Attribute Object Value

Legătură

Tip

Nul

Implicit

Observatii

y y y y

int(4) int(4) int(4) int(4) varchar(15)

no no no no no

0 0 0 0 spaces

    to redefine

Decident = Referinţa la entitatea DECISION_MAKERS, State_of_nature = Referinţa la entitatea STATE_OF_NATURE, Attribute = Referinţa la entitatea ATTRIBUTES, Object = Referinţa la entitatea OBJECTS, Value = Pentru obiectul în cauză, valoarea atribului respectiv, în starea respectivă şi-n viziunea decidentului respectiv. Tabel 4.1.4 T12 Entitatea de legătură PROBLEMS-DECISION_MAKERS Nume

Cheie

Problem Decision_maker

Legătură

Tip

Nul

Implicit

Observatii

y y

int(4) int(4)

no no

0 0

 

Problem = Referinţa la entitatea PROBLEMS, Decision_maker = Referinţa la entitatea DECISION_MAKERS. Tabel 4.1.4 T13 Entitatea de legătură PROBLEMS-STATES_OF_NATURE Nume

Cheie

Problem State_of_nature

Legătură

Tip

Nul

Implicit

Observatii

y y

int(4) int(4)

no no

0 0

 

Problem = Referinţa la entitatea PROBLEMS, State_of_nature = Referinţa la entitatea STATES_OF_NATURE. Tabel 4.1.4 T14 Entitatea de legătură PROBLEMS-ATTRIBUTES Nume

Cheie

Problem Attribute

Legătură

Tip

Nul

Implicit

Observatii

y y

int(4) int(4)

no no

0 0

 

Problem = Referinţa la entitatea PROBLEMS, Attribute = Referinţa la entitatea ATTRIBUTES. Tabel 4.1.4 T15 Entitatea de legătură PROBLEMS-OBJECTS Nume

Problem Object

Cheie

Legătură

Tip

Nul

Implicit

Observatii

y y

int(4) int(4)

no no

0 0

 

Problem = Referinţa la entitatea PROBLEMS, Object = Referinţa la entitatea OBJECTS.

103

Tabel 4.1.4 T16 Entitatea de legătură PROBLEMS-NORMALIZATIONS Nume

Cheie

Problem Normalization

Legătură

Tip

Nul

Implicit

Observatii

y y

int(4) int(4)

no no

0 0

 

Problem = Referinţa la entitatea PROBLEMS, Normalization = Referinţa la entitatea NORMALIZATION. Tabel 4.1.4 T17 Entitatea de legătură PROBLEMS-METHODS Nume

Cheie

Problem Method

Legătură

Tip

Nul

Implicit

Observatii

y y

int(4) int(4)

no no

0 0

 

Problem = Referinţa la entitatea PROBLEMS, Methods = Referinţa la entitatea METHODS. Tabel 4.1.4 T18 Entitatea de legătură PROBLEMS-NORMALIZATIONSMETHODS-OBJECTS Nume

Problem Normalization Method Object Evaluation

Cheie

Legătură

Tip

Nul

Implicit

Observatii

y

int(4) int(4) int(4) int(4) float

no no no no no

0

   

y

y y

0

0 0 0

Problem = Referinţa la entitatea PROBLEMS, Normalization = Referinţa la entitatea NORMALIZATION, Methods = Referinţa la entitatea METHODS, Object = Referinţa la entitatea OBJECTS, Evaluation = Pentru obiectul în cauză, evaluarea sa, ca soluţie a respectivei probleme, în care s-a considerat respectiva normalizare şi respectiva metodă de rezolvare. O problemă importantă este cea a consistenţei datelor din baza de date în raport cu modelul matematic. Consistenţa unui model de tip MADM, care trebuie asigurată de baza de date, se judecă, din punct de vedere strict al activităţii de modelare şi gestiune a datelor, în raport cu validitatea (sintactică şi semantică), completitudinea şi credibilitatea datelor sale. Un SGBD relaţional asigură automat date sintactic şi semantic corecte, deci valide, după cum s-a putut constata din descrierea bazei de date. Completitudinea şi credibilitatea sunt coordonate ce trebuie urmărite de factorul uman, în acest caz de decidenţii ce s-au înscris în model. Acest lucru înseamnă, pe de o parte, că toţi decidenţii, care sunt independenţi unii de alţii, au definit complet matricea DECISION_MAKERS-STATES_OF_NATURE-ATTRIBUTES-OBJECTS adică au stabilit pentru orice realizare în acest cvadruplu o valoare acceptată de sistem iar, pe de altă parte, că toate aceste valori plus ponderile decidenţilor / stărilor naturii / atributelor sunt în concordanţă cu cunoaşterea expert în domeniul de care ţine modelul. Acest din urmă deziderat nu este sigur că se poate realiza doar cu instrumentele ce ţin de baza de date, este nevoie de tehnici de inteligenţă artificială şi de cunoaştere expert. Oricum, în

104

cazul în care un model definit în baza de date MADM nu este consistent, produsul software trebuie să considere totuşi ca permisiv, la operaţiile de generare – rezolvare – stocare soluţie probleme de alegere optimă, sub-modelul consistent maximal. În cele ce urmează, se vor da informaţii necesare şi suficiente pentru ca un specialist în Inteligenţă Artificială să poată proiecta un mini-sistem expert bazat pe reguli de producţie care să rezolve problemele anunţate mai sus. Componenta de tip expert trebuie să corespundă, ca structură, în totalitate standardelor reprezentării cunoaşterii expert prin intermediul regulilor. Din acest motiv, numim această componentă baza de cunoştinţe. Precizăm suplimentar că procesul complex al integrării cunoaşterii de tip expert exclude o structurare a bazei de cunoştinte analoagă structurării bazei de date. În acest caz, baza de fapte se va confunda cu baza de date iar baza de reguli se va ţine într-un fişier secvenţial, cu articol variabil. Baza de fapte va fi gestionată cu CLIPS ("C" Language Integrated Production System), minimum V6.0, un shell de sisteme expert adecvat la problemă. Fisierul va suferi un proces de validare (înlăturare greşeli sintactice şi semantice, circuite, acţiuni contradictorii, etc.). La execuţie regulile vor fi ierarhizate şi apoi lansate în execuţie. Execuţia lor va conduce la o bază de date consistentă de pe care se pot ridica probleme de alegere optimă bine puse. În consecinţă, modelul problemei este reprezentat, din punct de vedere informatic, de o bancă informaţională cu caracter hibrid, de tip clasic şi de tip expert, adică ea conţine şi date / fapte şi cunoştinţe. Considerăm că pentru baza de date nu mai trebuie să dăm instrucţiuni de gestiune, aceasta fiind o operaţie uşoară pentru orice proiectant de aplicaţii informatice. Acelaşi lucru este valabil şi pentru baza reguli, gestiunea lor fiind şi mai uşoară decât în cazul bazei de date. Odată ce baza de reguli este construită şi baza de fapte este pregătită, sistemul expert ce implementează cele două module expert este gata să execute regulile. Într-un limbaj obişnuit, punctul de început, punctul de sfârşit şi succesiunea de operaţii sunt definite explicit de “programator”. Modul în care decurge programul nu trebuie să fie explicitat de utilizator. Cunoştinţele (regulile) şi datele (faptele şi instanţele) sunt separate iar motorul de inferenţă din sistemul expert este folosit pentru a aplica cunoştinţele asupra datelor. Principiul de bază al executării regulilor este următorul: a) execuţia este oprită dacă a fost atins numărul maxim de declanşări de reguli sau dacă lista de activări este vidă; altfel, prima regulă din agendă este selectată pentru a fi executată; dacă lista este vidă atunci execuţia este oprită; altfel se reia pasul a); b) se execută RHS-ul regulii alese; dacă se foloseşte instrucţiunea return în RHS-ul regulii, atunci numărul de reguli declanşate este incrementat şi comparat cu numărul maxim de declanşări; c) după rezultatul de la punctul b) regulile pot fi activate sau dezactivate. Regulile activate (cele care au partea de condiţie satisfăcută) sunt plasate în agenda modulului în care au fost definite. Poziţia în agendă este determinată de salience-ul regulii şi de strategiile de rezolvare a conflictelor. Regulile dezactivate sunt mutate din agendă; d) dacă se utilizează salience-ul dinamic, valorile de salience ale regulilor din agendă se reevaluează şi se repetă procesul de la pasul a).

105

Procesarea sistemului de producţii se face de obicei prin înlănţuire înainte (forward chaining), dirijată de ierarhia definită la prezentarea claselor de reguli. Sistemul expert îşi face automat agenda de lucru. Agenda este o listă a regulilor care au partea de condiţie satisfăcută şi nu au fost încă executate. Fiecare modul are agenda sa proprie. Agenda se comportă similar unei stive. Regula din vârful stivei este prima care va fi executată. Când o regulă este activată din nou, plasarea sa în agendă se realizează respectând următoarele etape: a) regula nou activată este plasată deasupra tuturor regulilor care au salience-ul mai mic şi dedesubtul tuturor regulilor ce au salience-ul mai mare; b) în cazul regulilor cu acelaşi salience, strategia curentă de rezolvare a conflictului este folosită pentru a determina plasarea acestora printre alte reguli cu salience egal; c) dacă o regulă este activată (înaintea ei fiind activate altele) prin adăugarea sau ştergerea aceluiaşi fapt şi etapele a) şi b), enumerate anterior, nu dau rezultate, în sensul că nu se obţine o ordine de plasare în agendă, atunci regula este arbitrar ordonată în raport cu alte reguli cu care a fost activată; în acest caz, ordinea în care au fost definite regulile au un efect arbitrar în rezolvarea conflictului. În sistemele expert există de obicei şapte tipuri de strategii de rezolvare a conflictelor: stategia în adâncime, strategia în lăţime, strategia regulilor cele mai simple, strategia regulilor cele mai complexe, strategia LEX, strategia MEA şi strategia aleatoare. Strategia în adâncime Regulile nou activate sunt plasate deasupra tuturor regulilor care au acelaşi salience. De exemplu: dacă faptul a activează regula 1 şi regula 2 şi faptul b activează regula 3 şi regula 4, atunci, dacă faptul a este adăugat la baza de fapte înaintea faptului b, regula 3 şi regula 4 vor fi deasupra regulii 1 şi regulii 2 în agendă. Deci, poziţia în agendă a regulii 1 în raport cu poziţia celei de a doua şi poziţia în agendă a regulii 3 în raport cu poziţia regulii 4 va fi arbitrară. Strategia în lăţime Regulile nou activate sunt plasate dedesubtul tuturor regulilor care au acelaşi salience. De exemplu: dacă faptul a activează regula 1 şi regula 2 şi faptul b activează regula 3 şi regula 4, atunci, dacă faptul a este adăugat la baza de fapte înaintea faptului b, regula 1 şi regula 2 vor fi deasupra regulii 3 şi regulii 4 în agendă. Deci, poziţia în agendă a regulii 1 în raport cu poziţia celei de a doua şi poziţia în agendă a regulii 3 în raport cu poziţia regulii 4 va fi arbitrară. Strategia regulilor cele mai simple Printre regulile cu acelaşi salience, regulile nou activate sunt plasate deasupra tuturor activărilor regulilor cu aceeaşi specificitate sau mai mare. Specificitatea unei reguli este determinată de numărul de comparaţii care trebuie să se facă în partea stângă a regulii (în LHS). Fiecare comparare cu un număr sau cu o variabilă căreia i se atribuie un număr duce la creşterea cu o unitate a specificităţii. De asemenea, fiecare funcţie apelată în LHS-ul unei reguli sau testele făcute asupra elementelor condiţionale conduce la incrementarea specificităţii. Funcţiile logice and, or şi not nu duc la incrementarea specificităţii ci argumentele lor.

106

Strategia regulilor cele mai complexe Printre regulile cu acelaşi salience, regulile nou activate sunt plasate deasupra tuturor activărilor regulilor cu aceeaşi specificitate sau mai mică. Strategia LEX Dintre regulile cu acelaşi salience, regulile nou activate sunt plasate în agendă folosind o strategie descrisă în cele ce urmează. Prima dintre entităţile implicate în activarea regulii este folosită pentru a determina poziţia activării. Fiecare fapt şi instanţă sunt caracterizate de un indicator de timp (“time tag”) pentru a indica prioritatea relativă referitoare la toate celelalte fapte şi instanţe din sistem. Fiecare entitate asociată cu fiecare activare a regulii este sortată în ordinea descrescătoare a indicatorului de timp, necesară la determinarea poziţiei în agendă. Activarea cu entitatea mai recentă este plasată înaintea activărilor cu entităţi mai puţin recente. Pentru a determina ordinea poziţiei a două activări se compară rând pe rând indicatorii de timp a celor două activări începând cu indicatorul de timp cu cea mai mare valoare. Compararea trebuie să continue până când indicatorul de timp al unei activări este mai mare decât indicatorul de timp corespunzător al celeilalte activări. Activarea cu indicatorul de timp având cea mai mare valoare este plasată în agendă înaintea celeilalte activări. Dacă o activare are mai multe entităţi decât o altă activare şi indicatorii de timp comparaţi sunt identici, atunci activarea cu mai mulţi indicatori de timp este plasată în agendă înaintea celeilalte entităţi. Dacă două activări au aceeaşi prioritate, activarea cu cea mai mare specificitate este plasată deasupra activării cu o mai mică specificitate. Strategia MEA Dintre regulile cu acelaşi salience, regula nou activată este plasată în agendă folosind o anume strategie. O activare al cărei indicator de timp asociat primei entităţi este mai mare decât indicatorul de timp asociat primei entităţi a altei activări, este plasată în agendă înaintea celeilalte activări. Dacă ambele activări au acelaşi indicator de timp asociat primei entităţi, atunci se foloseşte strategia MEA pentru a determina poziţia activărilor în agendă. Mai mult, cu această strategie, entităţilor ce conţin o negaţie li se asociază un pseudo-indicator de timp. Strategia aleatoare Fiecărei activări i se asociază un număr aleator care este folosit în determinarea poziţiei în agendă a activărilor cu acelaşi salience. Acest număr aleator se păstrează când se schimbă strategia de control, aşa că se obţine aceeaşi ordine când se selectează această strategie de control din nou. În cazul rezolvării unei probleme de alegere optimă, diferitele strategii nu urmăresc obţinerea de noi soluţii interesante pentru decident ci, mai degrabă, îi întăresc convingerea în corectitudinea soluţiei pentru că, prin orice strategie, se obţine acelaşi rezultat. Componentele explicative, care arată modul în care regulile sunt activate de fapte, pot ajuta utilizatorul să dea o mai bună formulare şi rezolvare a problemei. Componenta conversaţională, de mare importanţă, oferă, în etapa definirii modelului, o mare cantitate de informaţii ajutătoare (valori greşite ale atributelor, valori posibile ale atributelor în concordanţă cu diferitele politici adoptate în cadrul procesului de completare, coloane incomplet definite în matricea consecinţelor şi care nu au şanse de a fi completate, avansarea în îmbunătăţirea modelului etc) iar în etapa determinării optimului global, o bună justificare a soluţiei găsite.

107

OBSERVAŢII: - Nu toate aplicaţiile vor fi foarte complexe şi deci nu vor necesita o componentă de tip sistem expert. Atunci singura grijă în administrarea datelor va fi aceea de a realiza o structură de date performantă în raport cu prelucrările ce urmează a se efectua peste acea structură de date; - Trebuie ţinută seama că prelucrările elementare vor coexista cu calculele matematice ale modelului alegerii optime. În multe aplicaţii prelucrările elementare exced ca volum pe cele provenite dintr-un model matematic, deci trebuie găsit un echilibru între proiectarea bazei de date cu orientare spre prelucrări elementare şi proictarea bazei de date cu orientare spre prelucrările de natură matematică; - Pentru a avea o imagine cuprinzătoare asupra ansamblului gestiunii de date şi cunoştinţe se dă în cele ce urmează o schemă de sistem în care toate fluxurile de date / cunoştinte sunt evidenţiate corespunzător. Vezi Figura 4.1.4 F2; - Aceeaşi figură evidenţiază şi prelucrările ce vor fi tratate în capitolul următor.

Figura 4.1.4 F2 Gestiunea datelor / cunoştinţelor şi prelucrările MADM

108

4.2 BF2: Generarea, rezolvarea şi stocarea soluţiei problemei de alegere optimă Rezolvarea problemelor de alegere optimă presupune în primul rând un proces de generare în memoria internă a gazdei rezolvitorului a configuraţiei de date ale problemei. Această configuraţie diferă destul de mult de configuraţia datelor în baza de date. Este un lucru normal, pentru că datele sunt organizate în memoria externă în vederea stocării / regăsirii optime iar în memoria internă în vederea facilitării execuţiei algoritmilor şi calculelor. În plus, la rezolvare după diverse metode matematice, datele modelului se transformă în datele problemei prin aplicarea funcţiilor de normalizare, aşa că în final imaginea memorie disc va diferi destul de mult de imaginea memorie internă a datelor problemei. S-a stabilit că problemele de alegere optimă se generează şi se execută pe un calculator puternic care poate rezolva în regim concurent zeci sau chiar sute de procese de calcul matematic de mare viteză. Ca o primă regulă, un monitor trebuie să supravegheze permanent firul de aşteptare cu coordonatele problemelor de rezolvat şi, în cazul că acesta este nevid, să lanseze procesele de rezolvare pe rând, după principiul first in – first served, având grijă ca încărcarea calculatorului să nu împieteze asupra vitezei sale de calcul. Rezolvarea unei singure probleme presupune o succesiune de trei operaţii distincte. Prima este generarea problemei de alegere optimă în memoria calculatorului gazdă a rezolvărilor, aceasta pornind de la coordonatele problemei aflate în firul de aşteptare şi de la datele ei aflate în baza de date, care date trebuie normalizate după metoda de normalizare selectată. A doua este rezolvarea multiplă a problemei după metodele selectate din mulţimea de metode de rezolvare, care la acest nivel de dezvoltare al specificaţiilor OPTCHOICE conţine 16 metode, plus calcularea soluţiei globale. În fine a treia şi ultima este depunerea în baza de date a soluţiilor problemei. Atâta timp cât se derulează procesul rezolvării unei probleme, utilizatorul trebuie să aibă la consultarea soluţiei un mesaj de atenţionare că procesul de rezolvare este în curs de desfăşurare, precizându-se cât este timpul de aşteptare. Pentru specificarea algoritmilor asociaţi generării şi rezolvării de probleme de alegere optimă, s-a ales un pseudo-cod care să fie apropiat, la generare, limbajelor ce lucrează pe bazele de date, iar la rezolvare, limbajelor algoritmice de nivel înalt. În acest fel, transferul tehnologic se poate face şi către persoane cu minimă specializare în domeniu. 4.2.1 Specificarea blocului funcţional BF2 În pseudo-cod, succesiunea celor trei operaţii prevăzute de rezolvarea problemelor de alegere optimă, în cazul cel mai general, în care generarea şi rezolvarea se face în mod continuu, este ilustrată de programul BF2 (bloc funcţional numărul doi). BF2 este un program complex care preia la intrare parametrii de definire a problemei, accesând singura entitate a bazei de date care este independentă, anume WAITING_LINE, pe baza acestor parametri, prin lucrul pe baza de date, generează şi

109

normalizează problemele de alege optimă, le rezolvă iar la ieşire stochează soluţiile lor în baza de date. BF2 este compus din proceduri, după cum urmează: -

PROCEDURE_BF2_0 este un modul program care preia din baza de date informaţiile referitoare la problemă, mai precis metoda de normalizare şi metodele de rezolvare ce urmează a fi utilizate;

-

Modulele program PROCEDURE_BF2_1, PROCEDURE_BF2_2, PROCEDURE_BF2_3, PROCEDURE_BF2_4 şi PROCEDURE_BF2_5 aduc din baza de date în memorie datele problemei şi le normalizează pe cele de normalizat;

-

PROCEDURE_BF2_6 este un modul program care rezolvă multiplu problema după generarea ei;

-

În sfârşit, modulul PROCEDURE_BF2_7, stochează, în baza de date, soluţiile problemei.

PROGRAM BF2 GLOBAL INTEGER WProblem, WNormalization, INTEGER MM, WMethod(MM), REAL WMImportance(MM), INTEGER DD, WDecident(DD), REAL WDImportance(DD), INTEGER SS, WState(SS), REAL WSImportance(SS), INTEGER AA, WAttribute(AA), REAL WAImportance(AA), CHARACTER(3) WSense(AA), CHARACTER(15) WLo(AA), WUp(AA), INTEGER OO, WObject(OO), REAL WEval(OO, MM), CHARACTER(15) WValue(DD, SS, AA, OO) BEGIN PROGRAM DD=0, SS=0, AA=0, OO=0, MM=0 OPEN TABLE WAITING_ LINE SCAN FOR Status=0 WProblem=Problem Status=1 REWRITE EXIT ENDSCAN CLOSE WAITING_ LINE DO PROCEDURE_BF2_0 (WProblem, WNormalization MM, WMethod(MM), WMImportance(MM)) DO PROCEDURE_BF2_1 (WProblem, DD, WDecident(DD), WDImportance(DD)) DO PROCEDURE_BF2_2 (WProblem, SS, WState(SS), WSImportance(SS)) DO PROCEDURE_BF2_3 (WProblem, AA, WAttribute(AA), WAImportance(AA), WSense(AA), WLo(AA), WUp(AA)) DO PROCEDURE_BF2_4 (WProblem,

110

DO PROCEDURE_BF2_5

DO PROCEDURE_BF2_6

DO PROCEDURE_BF2_7

OO, WObject(OO)) (WProblem, DD, WDecident(DD), WDImportance(DD), SS, WState(SS), WSImportance(SS), AA, WAttribute(AA), WAImortance(AA), WSense(AA), WLo(AA), WUp(AA), OO, WObject(OO), WValue(DD, SS, AA, OO)) (MM, WMethod(MM), WMImportance(MM) DD, WDImportance(DD), SS, WSImportance(SS), AA, WAImportance(AA), OO, WValue(DD, SS, AA, OO), WEval(OO, MM)) (WProblem, OO, WObject(OO), WEval(OO, MM))

ENDPROGRAM 4.2.2 Specificarea procedurilor apelate la nivelul 1 al blocului funcţional BF2

Normalizare şi Metode de rezolvare PROCEDURE_BF2_0 are la intrare codul problemei preluat din entitatea PROBLEMS şi entităţile PROBLEMS-NORMALIZATIONS, METHODS, PROBLEMSMETHODS, iar la ieşire codul intern al metodei de normalizare şi vectorii codurilor interne ale metodelor de rezolvare şi al importanţelor lor. PROCEDURE_BF2_0 (WProblem,WNormalization MM, WMethod(MM), WMImportance(MM)) BEGIN PROCEDURE OPEN PROBLEMS-NORMALIZATIONS SCAN FOR WProblem=Problem WNormalization=Normalization ENDSCAN CLOSE PROBLEMS-NORMALIZATIONS SUM=0 OPEN METHODS IN B OPEN PROBLEMS-METHODS DO UNTIL EOF IN PROBLEMS-METHODS SCAN FROM LAST POSITION FOR WProblem=Problem MM=MM+1 WMethod(MM)=Method SEEK IN B FOR WMethod(MM)=B_Method WMImportance(MM)=B_Importance ENDSCAN

111

ENDDO CLOSE PROBLEMS-METHODS CLOSE METHODS ENDPROCEDURE

Decidenţi PROCEDURE_BF2_1 are la intrare codul problemei şi entităţile PROBLEMSDECISION_MAKERS, DECISION_MAKERS iar la ieşire vectorii codurilor interne ale decidenţilor şi al importanţelor lor. PROCEDURE BF2_1

(WProblem, DD, WDecident(DD), WDImportance(DD))

BEGIN PROCEDURE OPEN DECISION_MAKERS IN B OPEN PROBLEMS-DECISION_MAKERS DO UNTIL EOF IN PROBLEMS-DECISION_MAKERS SCAN FROM LAST POSITION FOR WProblem=Problem DD=DD+1 WDecident(DD)=Decident SEEK IN B FOR WDecident(DD)=B_Decident WDImportance(DD)=B_Importance ENDSCAN ENDDO Sum=0 DO FOR D=1,DD Sum=Sum+ WDImportance(D) ENDDO DO FOR D=1,DD WDImportance(D)=WDImportance(D)/Sum ENDDO CLOSE PROBLEMS-DECISION_MAKERS CLOSE DECISION_MAKERS ENDPROCEDURE

Stări ale naturii PROCEDURE_BF2_2 are la intrare codul problemei şi entităţile PROBLEMSSTATES_OF_NATURE, STATES_OF_NATURE iar la ieşire vectorii codurilor interne ale stărilor naturii şi al importanţelor lor. PROCEDURE_BF2_2 (WProblem, SS, WState(SS), WSImportance(SS)) BEGIN PROCEDURE OPEN STATES_OF_NATURE IN B OPEN PROBLEMS-STATES_OF_NATURE DO UNTIL EOF IN PROBLEMS-STATES_OF_NATURE SCAN FROM LAST POSITION FOR WProblem=Problem

112

SS=SS+1 WState(SS)=State SEEK IN B FOR WState(SS)=B_State WSImportance(SS)=B_Importance ENDSCAN ENDDO Sum=0 DO FOR S=1,SS Sum=Sum+ WSImportance(S) ENDDO DO FOR S=1,SS WSImportance(S)=WSImportance(S)/Sum ENDDO CLOSE PROBLEMS-STATES_OF_NATURE CLOSE STATES_OF_NATURE ENDPROCEDURE

Atribute PROCEDURE_BF2_3 are la intrare codul problemei şi entităţile PROBLEMSATTRIBUTES, ATTRIBUTES iar la ieşire vectorii codurilor interne ale atributelor, împreună cu importanţele, sensurile şi marginile inferioare / superioare ale lor. PROCEDURE_BF2_3 (WProblem, AA, WAttribute(AA), WAImportance(AA), WSense(AA), WLo(AA), WUp(AA), WLoSt(AA), WUpSt(AA)) BEGIN PROCEDURE OPEN ATTRIBUTES IN B OPEN PROBLEMS-ATTRIBUTES DO UNTIL EOF IN PROBLEMS-ATTRIBUTES SCAN FROM LAST POSITION FOR WProblem=Problem AA=AA+1 WAttribute(AA)=Attribute SEEK IN B FOR WAttribute(AA)=B_ Attribute WAImportance(AA)=B_Importance WSense(AA)=B_Sense WLo(AA)=B_LowerLimit WUp(AA)=B_UpperLimit ENDSCAN ENDDO Sum=0 DO FOR A=1,AA Sum=Sum+ WAImportance(A) ENDDO DO FOR A=1,AA WAImportance(A)=WAImportance(A)/Sum ENDDO

113

CLOSE PROBLEMS-ATTRIBUTES CLOSE ATTRIBUTES ENDPROCEDURE

Obiecte PROCEDURE_BF2_4 are la intrare codul problemei şi entitatea PROBLEMSOBJECTS iar la ieşire vectorul de coduri interne ale obiectelor. PROCEDURE_BF2_4 (WProblem, OO, WObject(OO)) BEGIN PROCEDURE OPEN PROBLEMS-OBJECTS DO UNTIL EOF IN PROBLEMS-OBJECTS SCAN FROM LAST POSITION FOR WProblem=Problem OO=OO+1 WObject(OO)=Object ENDSCAN ENDDO CLOSE PROBLEMS-OBJECTS ENDPROCEDURE

Decidenţi – Stări ale Naturii – Atribute - Obiecte PROCEDURE_BF2_5 are la intrare codul problemei şi vectorii de coduri interne ale obiectelor, decidenţilor (împreună cu importanţele lor), stărilor naturii (împreună cu importanţele lor), atributelor (împreună cu importanţele lor, limitele inferioare / superioare) şi entitatea DECISION_MAKERS-STATES_OF_NATURE-ATTRIBUTESOBJECTS iar la ieşire masivul de valori ale legăturilor dintre aceste entităţi, cunoscut sub numele de masivul atributelor / caracteristicilor obiectelor în toate stările naturii şin opinia tuturor decidenţilor. PROCEDURE_BF2_5 (WProblem,WNormalization, DD, WDecident(DD), WDImportance(DD), SS, WState(SS), WSImportance(SS), AA, WAttribute(AA), WAImportance(AA), WSense(AA), WLo(AA), WUp(AA), OO, WObject(OO), WValue(DD, SS, AA, OO)) BEGIN PROCEDURE OPEN DECISION_MAKERS-STATES_OF_NATURE-ATTRIBUTES-OBJECTS DO FOR D FROM 1 BY 1 UNTIL D>DD DO FOR S FROM 1 BY 1 UNTIL S>SS DO FOR A FROM 1 BY 1 UNTIL A>AA DO FOR O FROM 1 BY 1 UNTIL O>OO SCAN FROM LAST POSITION FOR WDecident(D)=Decident AND WState(S)=State AND WAttribute(A)=Attribute AND WObject(O)=Object

114

WValue(D, S, A, O)=Value EXIT ENDSCAN ENDDO ENDDO ENDDO ENDDO CLOSE DECISION_MAKERS-STATES_OF_NATURE-ATTRIBUTES-OBJECTS OPEN FUZZY_ SCALES DO FOR D FROM 1 BY 1 UNTIL D>DD DO FOR S FROM 1 BY 1 UNTIL S>SS DO FOR A FROM 1 BY 1 UNTIL A>AA DO FOR O FROM 1 BY 1 UNTIL O>OO IF WValue(D, S, A, O) IS NUMERIC IF WSense(A)=”MAX” THEN DO CASE CASE WNormalization=1 IF WUp(A)>WLo(A) THEN WValue(D, S, A, O)= (WUp(A)-WValue( D, S, A, O))/ (WUp(A)-WLo(A)) ELSE IF WUp(A)>0 THEN WValue(D, S, A, O)= WValue(D, S, A, O)/ WUp(A) ENDIF ENDIF CASE WNormalization=2 IF WUp(A)>0 THEN WValue(D, S, A, O)= WValue(D, S, A, O)/WUp(A) ENDIF CASE WNormalization=3 IF WUp(A)>0 THEN WValue(D, S, A, O)= WValue(D, S, A, O)/WUp(A) ENDIF CASE WNormalization=4 IF (SUM[I=1,OO](WValue(D, S, A, O))+ WLo(A)+WUp(A))>0 THEN WValue(D, S, A, O)= WValue(D, S, A, O)/ (SUM[I=1,OO](WValue(D, S, A, O))+ WLo(A)+WUp(A)) ENDIF CASE WNormalization=5 IF (SQRT(SUM[I=1,OO](WValue(D,S, A,O))**2+

115

WLo(A)**2+WUp(A)**2)>0 THEN WValue(D, S, A, O)= WValue(D, S, A, O)/ (SQRT(SUM[I=1,OO](WValue(D,S,A,O))**2+ WLo(A)**2+WUp(A)**2) ENDIF ENDCASE ELSE DO CASE CASE WNormalization=1 IF WUp(A)>WLo(A) THEN WValue(D, S, A, O)= (Value(D, S, A, O)-WLo(A))/ (WUp(A)-WLo(A)) ELSE IF WUp(A)>0 THEN WValue(D, S, A, O)= 1-WValue(D, S, A, O)/ WUp(A) ELSE WValue(D, S, A, O)= 1-WValue(D, S, A, O) ENDIF ENDIF CASE WNormalization=2 IF WUp(A)>0 THEN WValue(D, S, A, O)= 1-WValue(D, S, A, O)/ WUp(A) ELSE IF WUp(A)=0 THEN WValue(D, S, A, O)= 1-WValue(D, S, A, O) ENDIF ENDIF CASE WNormalization=3 IF WLo(A)>0 THEN WValue(D, S, A, O)= 1-WLo(A)/WValue(D, S, A, O) ELSE IF WValue(D, S, A, O)>0 THEN WValue(D, S, A, O)= 1/WValue(D, S, A, O) ELSE WValue(D, S, A, O)=1 ENDIF ENDIF CASE WNormalization=4 IF (SUM[I=1,OO](WValue(D, S, A, O))+

116

WLo(A)+WUp(A)))>0 THEN WValue(D, S, A, O)=1-WValue(D, S, A, O)/ (SUM[I=1,OO](WValue(D, S, A, O))+ WLo(A)+WUp(A)) ELSE WValue(D, S, A, O)=1 ENDIF CASE WNormalization=5 IF (SQRT(SUM[I=1,OO](WValue(D,S,A,O))**2+ WLo(A)**2+WUp(A)**2))>0 THEN WValue(D, S, A, O)=1-WValue(D, S, A, O)/ (SQRT(SUM[I=1,OO](WValue(D,S,A O))**2+ WLo(A)**2+WUp(A)**2)) ELSE WValue(D, S, A, O)=1 ENDIF ENDCASE ENDIF ELSE READ IN FUZZY_SCALE ON KEY WAttribute(A) Value1=(Left_Abscissa(1)+Top_Abscissa(1)+ Right_Abscissa(1))/3 DO FOR I FROM 1 BY 1 UNTIL Value(D, S, A, O)=Fuzzy_Name(I) ENDDO Value2=(Left_Abscissa(I)+Top_Abscissa(I)+ Right_Abscissa(I))/3 DO FOR I FROM 1 BY 1 UNTIL SPACES=Fuzzy_Name(I) ENDDO I=I-1 Value3=(Left_Abscissa(I)+Top_Abscissa(I)+ Right_Abscissa(I))/3 IF WSense(A)=”MAX” THEN DO CASE CASE WNormalization=1 IF Value3>Value1 THEN WValue(D, S, A, O)= (Value3- Value2)/ (Value3- Value1) ELSE IF Value3>0 THEN WValue(D, S, A, O)= Value2/Value3 ENDIF ENDIF

117

CASE WNormalization=2 IF Value3>0 THEN WValue(D, S, A, O)= Value2/Value3 ENDIF CASE WNormalization=3 IF Value3>0 THEN WValue(D, S, A, O)= Value2/Value3 ENDIF CASE WNormalization=4 IF (SUM[I=1,OO](Value(I) ON SCALE)+ Value1+Value3)>0 THEN WValue(D, S, A, O)=Value2/ (SUM[I=1,OO](Value(I) ON SCALE)+ Value1+Value3) ENDIF CASE WNormalization=5 IF (SQRT(SUM[I=1,OO](Value(I) ON SCALE)**2+Value1**2+Value3**2)>0 THEN WValue(D, S, A, O)=Value2/ (SQRT(SUM[I=1,OO](Value(I) ON SCALE)**2+Value1**2+Value3**2) ENDIF ENDCASE ELSE DO CASE CASE WNormalization=1 IF Value3> Value1 THEN WValue(D, S, A, O)= (Value2-Value1)/ (Value3-Value1) ELSE IF Value3>0 THEN WValue(D, S, A, O)= 1- Value2/ Value3 ENDIF ENDIF CASE WNormalization=2 IF Value3>0 THEN WValue(D, S, A, O)= 1- Value2/ Value3 ENDIF CASE WNormalization=3 IF Value3>0 THEN

118

WValue(D, S, A, O)= (1/ Value2)(1/ Value3) ENDIF CASE WNormalization=4 IF (SUM[I=1,OO](Value(I) ON SCALE)+ Value1+Value3)>0 THEN WValue(D, S, A, O)=1-Value2/ (SUM[I=1,OO](Value(I) ON SCALE)+ Value1+Value3) ENDIF CASE WNormalization=5 IF (SQRT(SUM[I=1,OO](Value(I) ON SCALE)**2+Value1**2+Value3**2)>0 THEN WValue(D, S, A, O)=1-Value2/ (SQRT(SUM[I=1,OO](Value(I) ON SCALE)**2+Value1**2+Value3**2) ENDIF ENDCASE ENDIF ENDIF ENDDO ENDDO ENDDO ENDDO CLOSE FUZZY_ SCALES ENDPROCEDURE Memoria internă a calculatorului gazdă a rezolvitorului problemei de alegere optimă va conţine în acest moment datele necesare şi suficiente pentru rezolvarea problemei conform definirii sale. Aceste date sunt următoarele: - WProblem, - MM, WMethod(MM), WMImportance(MM), - DD, WDecident(DD), WDImportance(DD), - SS, WState(SS), WSImportance(SS), - AA, WAttribute(AA), WAImportance(AA), - OO, WObject(OO), WEval(OO, MM), - WValue(DD, SS, AA, OO). Să observăm că la acest moment problema este normalizată, toate elementele masivului sunt valori între 0 şi 1 în timp ce limitele inferioare şi superioare de variaţie ale atributelor sunt egale cu 0, respectiv cu 1. Toate atributele au devenit de maxim.

119

4.2.3 Specificarea procedurilor apelate la nivelurile 2, 3 ale blocului functional BF2 Aşa cum s-a arătat în secţiunea anterioară, rezolvarea problemei de alegere optimă presupune în primul rând ca problema să fie generată în memoria internă a calculatorului gazdă a rezovitorului. Pornind de la datele memorate, a căror configuraţie este perfect definită în acest moment prin punerea în evidenţă a hărţii memoriei, se poate trece la rezolvarea problemei. PROCEDURE_BF2_6 execută această operaţie prin lansarea succesivă a procedurilor: PROCEDURE_BF2_6_1, PROCEDURE_BF2_6_2, PROCEDURE_BF2_6_3, PROCEDURE_BF2_6_4, PROCEDURE_BF2_6_5, PROCEDURE_BF2_6_6, PROCEDURE_BF2_6_7, PROCEDURE_BF2_6_8, PROCEDURE_BF2_6_9, PROCEDURE_BF2_6_10, PROCEDURE_BF2_6_11, PROCEDURE_BF2_6_12, PROCEDURE_BF2_6_13, PROCEDURE_BF2_6_14, PROCEDURE_BF2_6_15, PROCEDURE_BF2_6_16, si PROCEDURE_BF2_6_17. Ele implementează respectiv metodele: MAXIMIN, MAXIMAX, nondominantei, funcţiei de utilitate liniară, Pareto, TOPSIS, Onicescu amendată, scorurilor, diametrelor, TODIM, numărului de obiecte dominate pentru fiecare obiect, numărului de obiecte dominante pentru fiecare obiect, numărului minim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai bine evaluate, numărului maxim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai bine evaluate, numărului minim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai rău evaluate, numărului maxim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai rău evaluate şi construirea optimului global. De precizat aici că prin orientarea spre modelul de tip MADM cu informaţie asupra atributelor, conform metodologiei şcolii americane, implicit s-au ales metode de rezolvare compatibile cu acest model. Mai mult, metodele sunt alese de aşa manieră încât să fie cât mai diverse din punctul de vedere al concepţiei de rezolvare. Primele metode sunt doar nişte aplicaţii ale principiilor de maxim deseori folosite în matematică, altele, în spirit Von Newman şi Oscar Morgenstern, calculează o funcţie de utilitate, altele calculează punctaje după o obişnuinţă veche de când lumea, altele folosesc conceptul Pareto (de distanţă la soluţia ideală), altele se bazează pe importanţe relative şi, în sfârşit, altele apelează la dominanţă. Este prezentă condiţia asigurării rapidităţii calculelor pentru că lucrul nu presupune accesul la memoria externă decât în cadrul operaţiilor de swaping executate de sistemul de operare.

Rezolvare multiplă PROCEDURE_BF2_6 are la intrare vectorul metodelor de rezolvare cerute de utilizator, vectorii importanţelor metodelor / decidenţilor / stărilor naturii / atributelor şi masivul de valori normalizate ale legăturilor decidenţi – stări ale naturii – atribute obiecte iar la ieşire matricea de evaluări ale obiectelor după toate metodele matematice enumerate mai sus. Această matrice conţine evaluări ale obiectelor, numite de obicei

120

merite, cu semnificaţii depinzând de metodele de rezolvare. Cele şaisprezece module, implicate fiecare în calcularea unei anumite soluţii, au la intrare aceleaşi date de intrare utilizate integral sau parţial, după metoda de rezolvare, şi la ieşire o singură coloană a matricei de evaluări ale obiectelor. Modulul de calcul al soluţiei globale are la intrare coloanele corespunzătoare metodelor de rezolvare din matricea de evaluări ale obiectelor şi vectorul de importanţe al metodelor de rezolvare iar la ieşire coloana soluţiei globale din matricea de evaluări ale obiectelor. Coloana în cauză, stocată pe indicele “0”, care este în baza de date codul implicit al soluţiilor globale, se calculează ca medie aritmetică ponderată a celorlalte coloane prin linia importanţelor metodelor de rezolvare. PROCEDURE_BF2_6 (MM, WMethod(MM), WMImportance(MM), DD, WDImportance(DD), SS, WSImportance(SS), AA, WAImportance(AA), OO, WEval(OO, MM), WValue(DD, SS, AA, OO)) BEGIN PROCEDURE DO FOR M=1,MM *NIVELUL 3 DO FOR D=1,DD DO FOR S=1,SS EXTRACT WAValue(AA, OO) FROM WValue(DD, SS, AA, OO) FOR CURRENT D, S DO FOR O=1,OO WAValue(0, O)=0 ENDDO DO CASE CASE WMethod(M)=1 CALL PROCEDURE_BF2_6_1 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=2 CALL PROCEDURE_BF2_6_2 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=3 CALL PROCEDURE_BF2_6_3 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=4 CALL PROCEDURE_BF2_6_4 (AA, OO, WAValue(AA, OO), WAImportance(AA)) CASE WMethod(M)=5 CALL PROCEDURE_BF2_6_5 (AA, OO, WAValue(AA, OO), WAImportance(AA)) CASE WMethod(M)=6 CALL PROCEDURE_BF2_6_6 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=7 CALL PROCEDURE_BF2_6_7 (AA, OO, WAValue(AA, OO), WAImportance(AA))

121

CASE WMethod(M)=8 CALL PROCEDURE_BF2_6_8 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=9 CALL PROCEDURE_BF2_6_9 (AA, OO, WAValue(AA, OO), WAImportance(AA)) CASE WMethod(M)=10 CALL PROCEDURE_BF2_6_10 (AA, OO, WAValue(AA, OO), WAImportance(AA)) CASE WMethod(M)=11 CALL PROCEDURE_BF2_6_11 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=12 CALL PROCEDURE_BF2_6_12 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=13 CALL PROCEDURE_BF2_6_13 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=14 CALL PROCEDURE_BF2_6_14 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=15 CALL PROCEDURE_BF2_6_15 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) CASE WMethod(M)=16 CALL PROCEDURE_BF2_6_16 (AA, OO, WAValue(AA, OO)) ENDCASE UPDATE WValue(DD, SS, 0, OO) FROM WAValue(AA, OO) FOR CURRENT D, S ENDDO ENDDO *NIVELUL 2 DO FOR D=1,DD EXTRACT WSValue(SS, OO) FROM WValue(DD, SS, AA, OO) FOR CURRENT D DO FOR O=1,OO WSValue(0, O)=0 ENDDO DO CASE CASE WMethod(M)=1 CALL PROCEDURE_BF2_6_1 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=2 CALL PROCEDURE_BF2_6_2 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=3 CALL PROCEDURE_BF2_6_3 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=4 CALL PROCEDURE_BF2_6_4 (SS, OO, WSValue(SS, OO), WSImportance(SS)) CASE WMethod(M)=5 CALL PROCEDURE_BF2_6_5 (SS, OO, WSValue(SS, OO), WSImportance(SS)) CASE WMethod(M)=6

122

CALL PROCEDURE_BF2_6_6 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=7 CALL PROCEDURE_BF2_6_7 (SS, OO, WSValue(SS, OO), WSImportance(SS)) CASE WMethod(M)=8 CALL PROCEDURE_BF2_6_8 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=9 CALL PROCEDURE_BF2_6_9 (SS, OO, WSValue(SS, OO), WSImportance(SS)) CASE WMethod(M)=10 CALL PROCEDURE_BF2_6_10 (SS, OO, WSValue(SS, OO), WSImportance(SS)) CASE WMethod(M)=11 CALL PROCEDURE_BF2_6_11 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=12 CALL PROCEDURE_BF2_6_12 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=13 CALL PROCEDURE_BF2_6_13 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=14 CALL PROCEDURE_BF2_6_14 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=15 CALL PROCEDURE_BF2_6_15 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) CASE WMethod(M)=16 CALL PROCEDURE_BF2_6_16 (SS, OO, WSValue(SS, OO)) ENDCASE UPDATE WValue(DD, 0, 0, OO) FROM WSValue(SS, OO) FOR CURRENT D ENDDO *NIVELUL 1 EXTRACT WDValue(DD, OO) FROM WValue(DD, SS, AA, OO) FOR RADIX NODE DO FOR O=1,OO WDValue(0, O)=0 ENDDO DO CASE CASE WMethod(M)=1 CALL PROCEDURE_BF2_6_1 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=2 CALL PROCEDURE_BF2_6_2 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=3 CALL PROCEDURE_BF2_6_3 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=4 CALL PROCEDURE_BF2_6_4 (DD, OO, WDValue(DD, OO), WDImportance(DD)) CASE WMethod(M)=5 CALL PROCEDURE_BF2_6_5 (DD, OO, WDValue(DD, OO),

123

WDImportance(DD)) CASE WMethod(M)=6 CALL PROCEDURE_BF2_6_6 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=7 CALL PROCEDURE_BF2_6_7 (DD, OO, WDValue(DD, OO), WDImportance(DD)) CASE WMethod(M)=8 CALL PROCEDURE_BF2_6_8 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=9 CALL PROCEDURE_BF2_6_9 (DD, OO, WDValue(DD, OO), WDImportance(DD)) CASE WMethod(M)=10 CALL PROCEDURE_BF2_6_10 (DD, OO, WDValue(DD, OO), WDImportance(DD)) CASE WMethod(M)=11 CALL PROCEDURE_BF2_6_11 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=12 CALL PROCEDURE_BF2_6_12 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=13 CALL PROCEDURE_BF2_6_13 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=14 CALL PROCEDURE_BF2_6_14 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=15 CALL PROCEDURE_BF2_6_15 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) CASE WMethod(M)=16 CALL PROCEDURE_BF2_6_16 (DD, OO, WDValue(DD, OO)) ENDCASE UPDATE WValue(0, 0, 0, OO) FROM WDValue(DD, OO) FOR RADIX NODE DO FOR O=1,OO WEval(O, M)=WValue (0, 0, 0, O) ENDDO ENDDO CALL PROCEDURE_BF2_6_17 (OO, MM, WEval(OO, MM), WMImportance(MM)) ENDPROCEDURE Metode de evaluare: Metoda MAXIMIN În cazul de faţă, principiul MAXIMIN se aplică matricii WNValue(CC, OO), luând mai întâi, pentru fiecare obiect O=1,OO, minimul pe coloana corespunzătoare. Se obţine astfel un OO-vector reprezentat de WNValue(0, OO). Apoi se ia maximul pe linie în acest vector. În vector, indicele corespunzător maximului precizează obiectul optim. Obiectul optim se marchează în vectorul II(OO). Repetând procedeul pentru mulţimea

124

de obiecte din care am extras obiectul optim se obţine un alt obiect optim şi aşa mai departe până la obţinerea unei mulţimi vide de obiecte. Pentru a putea avea la final o evaluare a obiectelor, acestora li se ataşează utilităţi. Obiectului ieşit optim la iteraţia I i se ataşează utilitatea 1/I. PROCEDURE_BF2_6_1 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER WMin, Wmax, C, O, I, J, II(OO) REAL WNValue(CC, OO) DO FOR O=1,OO II(O)=0 ENDDO DO FOR O=1,OO WMin=1 DO FOR I=1,OO IF II(I)=0 THEN DO FOR C=1, CC IF WNValue(C, I)<WMin THEN WMin=WNValue(C, I) ENDIF ENDDO WNValue(0, I)=WMin ENDIF WMax=0 ENDDO DO FOR I=1,OO IF II(I)=0 THEN IF WNValue(0, I)>WMax THEN WMax=WNValue(0, I) J=I ENDIF ENDIF ENDDO WNValue(0, J)=1/O II(J)=1 ENDDO ENDPROCEDURE

Metoda MAXIMAX Similar principiului MAXIMIN, principiul MAXIMAX se aplică tot matricii WNValue(CC, OO) dar de data aceasta, luând mai întâi, pentru fiecare obiect O=1,OO, maximul pe coloana corespunzătoare. Se obţine astfel tot un OO-vector reprezentat de WNValue(0, OO). Apoi se ia maximul pe linie în acest vector. În vector, indicele corespunzător maximului precizează obiectul optim. Obiectul optim se marchează în vectorul II(OO). Repetând procedeul pentru mulţimea de obiecte din care am extras

125

obiectul optim se obţine un alt obiect optim şi aşa mai departe până la obţinerea unei muţimi vide de obiecte. Pentru a putea avea la final o evaluare a obiectelor, acestora li se ataşează utilităţi. Obiectului ieşit optim la iteraţia I i se ataşează utilitatea 1/I. PROCEDURE_BF2_6_2 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER WMax, C, O, I, J, II(OO) REAL WNValue(CC, OO) DO FOR O=1,OO II(O)=0 ENDDO DO FOR O=1,OO WMax=0 DO FOR I=1,OO IF II(I)=0 THEN DO FOR C=1,CC IF WNValue(C, I)>WMax THEN WMax=WNValue(C, I) ENDIF ENDDO WNValue(0, I)=WMax ENDIF ENDDO WMax=0 DO FOR I=1,OO IF II(I)=0 THEN IF WNValue(0, I)>WMax THEN WMax=WNValue(0, I) J=I ENDIF ENDIF ENDDO WNValue(0, J)=1/O II(J)=1 ENDDO ENDPROCEDURE Metoda non-dominantei Uzând de matricea WNValue(CC, OO), pentru fiecare obiect de indice O se testează nedominarea lui în raport cu fiecare din celelalte obiecte. Aceasta se face de-a lungul tuturor caracteristicilor, în număr de CC. Unui obiect nedominat i se atribuie evaluarea 1 iar unui obiect dominat i se atribuie evaluarea 0. PROCEDURE_BF2_6_3 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, J REAL WNValue(CC, OO)

126

DO FOR O=1,OO I=0 DO FOR C=1,CC DO FOR J=1,OO IF WNValue(C, O)>= WNValue(C,J) THEN I=I+1 ENDIF ENDDO ENDDO IF I=CC*OO THEN WNValue(0, O)=1 ELSE WNValue(0, O)=0 ENDIF ENDDO ENDPROCEDURE Metoda funcţiei de utilitate liniară Utilitatea unui obiect O, cu O=1,OO, este suma carateristicilor sale normalizate, care se găsesc în matricea WNValue(CC, OO) pe coloana O, ponderate cu importanţele absolute ale respectivelor caracteristici, care se găsesc în vectorul WNImportance(CC). PROCEDURE_BF2_6_4 (CC, OO, WNValue(CC, OO), WNImportance(CC)) INTEGER C, O REAL WNValue(CC, OO), WNImportance(CC) DO FOR O=1,OO DO C=1,CC WNValue(0, O)=WNValue(0, O)+ WNImportance(C)*WNValue(C, O) ENDDO ENDDO ENDPROCEDURE Metoda Pareto Datorită faptului că, anterior, sensul optimizării caracteristicilor, pentru toate caracteristicile, a fost adus la maximum, punctul ideal este un vector de dimensiune CC cu toate componentele egale cu 1. Astfel, se calculează, pentru fiecare obiect O, cu O=1,OO, distanţa, provenită din norma L1, la acest punct ideal prin însumarea diferenţelor (1- WNValue(C,O)) după C, cu C=1,CC, diferenţele fiind ponderate prin importanţele absolute corespunzătoare WNImportance(C) ce se găsesc în vectorul WNImportance(CC). Pentru că distanţa cea mai mică denota obiectul optim sau obiectele optime iar în acest software valorile cât mai apropiate de 1 sunt considerate cele mai bune, va trebui să se treacă de la distanţă la merit prin luarea în final a complementarei faţă de 1.

127

PROCEDURE_BF2_6_5 (CC, OO, WNValue(CC, OO), WNImportance(CC)) INTEGER C, O REAL WNValue(CC, OO), WNImportance(CC) DO FOR O=1,OO DO C=1,CC WNValue(0, O)=WNValue(0, O)+ WNImportance(C)*(1-WNValue(C,O)) ENDDO WNValue(0, O)=1-WNValue(0, O) ENDDO ENDPROCEDURE Metoda TOPSIS Datorită faptului că, anterior, sensul optimizării caracteristicilor, pentru toate caracteristicile, a fost adus la maximum, punctul ideal pozitiv este un vector de dimensiune CC cu toate componentele egale cu 1 iar punctul ideal negativ este un vector de dimensiune CC cu toate componentele egale cu 0. Astfel, se calculează, pentru fiecare obiect O, cu O=1,OO, distanţele, provenite din norma L2, la aceste puncte ideale prin luarea radicalilor din suma după C, cu C=1,CC, a pătratelor diferenţelor (1- WNValue(C,O))**2, respectiv a pătratelor WNValue(C,O))**2. Aceste distanţe sunt folosite pentru a construi în mod direct un merit depus în vectorul WNValue(0, OO). PROCEDURE_BF2_6_6 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O REAL WDistancePlus, WDistanceMinus, WNValue(CC, OO) DO FOR O=1,OO WDistancePlus=0 WDistanceMinus=0 DO C=1,CC WDistancePlus= WDistancePlus+(1-WNValue(C, O))**2 WDistanceMinus= WDistanceMinus+WNValue(C, O)**2 ENDDO WNValue(0,O)= WDistanceMinus/(WDistanceMinus+ WDistancePlus) ENDDO ENDPROCEDURE Metoda Onicescu amendată Pentru fiecare caracteristică C, cu C=1,CC, se consideră vectorul linie WNValue(C, OO) care se ordonează descrescător după valorile acelei caracteristici. Există astfel CC ordonări ale obiectelor. Pe baza lor se calculează un vector a cărui elemente arată de câte ori un obiect ocupă corespunzător locurile 1, 2, 3,…,OO. Acest vector astfel obţinut se înmulţeşte scalar cu vectorul importanţelor caracteristicilor WNImportance(CC) iar fiecare componentă a sa se împarte la rangul său. Evident se lucrează în complementara faţă de 1 pentru ca obiectul optim să aibă meritul cât mai

128

aproape de 1. Ca acest lucru să fie într-adevăr posibil, la final fiecare evaluare WNValue(0,O), cu O=1,OO, se împarte cu maximul după O a acestor evaluări. PROCEDURE_BF2_6_7 (CC, OO, WNImportance(CC), WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, Sigma(OO) REAL Max, WNImportance(CC), WNValue(CC, OO) Max=0 DO FOR O=1,OO WNValue(0,O)=0 ENDDO DO FOR C=1,CC SORT DESCENDING WNValue(C, OO) GIVING Sigma(OO) DO FOR O=1,OO DO FOR I=1,OO IF Sigma(O)=I THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+ WNImportance(C)*(OO-I)/I ENDIF ENDDO ENDDO ENDDO DO FOR O=1,OO IF WNValue(0,O)> Max Max= WNValue(0,O) ENDIF ENDDO DO FOR O=1,OO WNValue(0,O)=WNValue(0,O)/Max ENDDO ENDPROCEDURE Metoda scorurilor Pentru fiecare caracteristică C, cu C=1,CC, se consideră vectorul linie WNValue(C, OO) care se ordonează descrescător după valorile acelei caracteristici. Se mai consideră intervalul [0, 1] împărţit în zece diviziuni, după cum urmează [0, 1/10), [1/10, 2/10), [2/10, 3/10),…[9/10, 1]. Considerând acestea, se stabileşte pentru fiecare obiect O, cu O=1,OO, intervalul în care a fost distribuit de ordonarea făcută. Astfel obiectul primeşte în WNValue(C, O) nota egală cu numărătorul fracţiei ce defineşte marginea stângă a intervalului gazdă plus 1. Însumând aceste note după toate ordonările şi distribuirile ce trebuiesc făcute, în număr de CC, se obţine, pentru fiecare obiect O, un scor care este normalizat pentru încadrarea în intervalul [0, 1] a evaluărilor WNValue(0, OO). PROCEDURE_BF2_6_8 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, Sigma(OO) REAL Sum, WNValue(CC, OO) DO FOR O=1,OO

129

WNValue(0,O)=0 ENDDO DO FOR C=1,CC SORT DESCENDING WNValue(C, OO) GIVING Sigma(OO) DO FOR O=1,OO I=Sigma(O) IF 1-WNValue(C, I)<1/10 THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+10 ELSE IF 1-WNValue(C, I)<2/10 THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+9 ELSE IF 1-WNValue(C, I)<3/10 THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+8 ELSE IF 1-WNValue(C, I)<4/10 THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+7 ELSE IF 1-WNValue(C, I)<5/10 THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+6 ELSE IF 1-WNValue(C, I)<6/10 THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+5 ELSE IF 1-WNValue(C, I)<7/10 THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+4 ELSE IF 1-WNValue(C, I)<8/10 THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+3 ELSE IF 1-WNValue(C, I)<9/10 THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+2 ELSE WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+1 ENDIF ENDIF ENDIF ENDIF ENDIF ENDIF ENDIF ENDIF ENDIF ENDDO ENDDO Sum=0

130

DO FOR O=1,OO Sum= Sum+WNValue(0,O) ENDDO DO FOR O=1,OO WNValue(0,O)= WNValue(0,O)/Sum ENDDO ENDPROCEDURE Metoda diametrelor Pentru fiecare caracteristică C, cu C=1,CC, se ordonează descrescător vectorul WNValue(C, OO). Într-o primă instanţă, evaluarea WNValue(0,O) este dată de suma după C, C=1,CC, din produsul dintre importanţa caracteristicei, WNImportance(C), prin complementara faţă de OO a poziţiei I ocupate în ordonarea C de către obiectul O. În acelaşi timp, se determină cea mai bună şi cea mai rea poziţie ocupată de fiecare din cele OO obiecte în toate cele CC ordonări. În a doua instanţă, elementele vectorului evaluărilor, WNValue(0,OO), sunt amendate cu diametrele obiectelor şi anume cu WNFirst(O)-WNLast(O) luate în complementară faţă de OO. In final se găseşte maximul după O, O=1,OO, în vectorul WNValue(0,OO) ale cărui elemente se normalizează prin acest maxim. PROCEDURE_BF2_6_9 (CC, OO, WNImportance(CC), WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, Sigma(OO) REAL Max, WNImportance(CC), WNValue(CC, OO), WNFirst(OO), WNLast(OO) Max=0 DO FOR O=1,OO WNValue(0,O)=0 WNLast(O)=0 ENDDO DO FOR O=1,OO WNFirst(O)=OO ENDDO DO FOR C=1,CC SORT DESCENDING WNValue(C, OO) GIVING Sigma(OO) DO FOR O=1,OO DO FOR I=1,OO IF Sigma(O)=I THEN WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+WNImportance(C)*(OO-I) IF WNFirst(O)>I THEN WNFirst(O)=I ENDIF IF WNLast(O)
131

ENDDO ENDDO DO FOR O=1,OO WNValue(0,O)=WNValue(0,O)+(OO-(WNLast(O)-WNFirst(O))) IF WNValue(0,O)> Max Max= WNValue(0,O) ENDIF ENDDO DO FOR O=1,OO WNValue(0,O)=WNValue(0,O)/Max ENDDO ENDPROCEDURE Metoda TODIM Pentru început, pornind de la vectorul importanţelor absolute WNImportance(CC) se construieşte matricea importanţelor relative WRImportance(CC, CC). Apoi, imediat după aceasta, se calculează vectorul WPondTot(CC), al ponderilor totale ale fiecărui atribut relativ la mulţimea importanţelor relative şi se consideră indicele pe care se realizează maximum-ul, în speţă C0. Folosind acest indice, se calculează dominanţele absolute WDObjects(O1, O2) între oricare două obiecte O1 şi O2, din cele OO existente, prin însumarea produselor dintre importanţele relative la acel indice, anume WRImportance(C0, C) şi diferenţa dintre valorile corespunzătoare acelor indici, anume WNValue(C, O1)-WNValue(C, O2) din matricea caracteristicilor normalizată WNValue(CC, OO) în care coloanele sunt toate de maxim. Evaluările obiectelor WNValue(0, OO) sunt date de o formulă de normalizare a sumelor dominaţelor obiectelor. PROCEDURE BF2_MODUL_6_10 (CC, OO, WNImportance(CC), WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, C0, C1, C2, I REAL WNImportance(CC), WNValue(CC, OO), WRImportance(CC, CC), WPondTot(CC), WDObjects(CC+1, CC) DO FOR C1=1,CC DO FOR C2=1,CC WRImportance(C1, C2)=WNImportance(C1)/WNImportance(C2) ENDDO ENDDO DO FOR C2=1,CC WPondTot(C2)=0 DO FOR C1=1,CC WPondTot(C2)=WPondTot(C2)+WRImportance(C1, C2) ENDDO WPondTot(C2)= WPondTot(C2)/CC ENDDO WPondTot(0)=0

132

DO FOR C=1,CC IF WPondTot(C)>WPondTot(0) THEN WPondTot(0)= WPondTot(C) C0=C ENDIF ENDDO DO FOR O1=1,OO DO FOR O2=1,OO WDObjects(O1, O2)=0 DO FOR C=1,CC WDObjects(O1, O2)=WDObjects(O1, O2)+WRImportance(C0, C)* (WNValue(C, O1)-WNValue(C, O2)) ENDDO ENDDO ENDDO WDObjects(0, O1)=0 DO FOR O=1,OO WDObjects(O1, 0)=WDObjects(O1, 0)+WDObjects(O1, O) ENDDO WDObjects(0, 0)=1 DO FOR O=1,OO IF WDObjects(O, 0)<WDObjects(0, 0) THEN WDObjects(0, 0)=WDObjects(O, 0) ENDIF ENDDO WDObjects(OO+1, 0)=0 DO FOR O=1,OO IF WDObjects(O, 0)>WDObjects(OO+1, 0) THEN WDObjects(OO+1, 0)=WDObjects(O, 0) ENDIF ENDDO DO FOR O=1,OO WNValue(0, O) =(WDObjects(O, 0)-WDObjects(0, 0))/ (WDObjects(OO+1, 0)-WDObjects(0, 0)) ENDDO ENDPROCEDURE Metode de caracterizare: Metoda numărului de obiecte dominate pentru fiecare obiect Pentru fiecare obiect O, cu O=1,OO, se determină numărul de obiecte dominate prin compararea pe rând, cu fiecare obiect J, cu J=1,OO, a caracteristicilor lor, în speţă WNValue(C, O) şi WNValue(C, J). Acest număr se depune în vectorul WNValue(0,

133

OO) pe componenta O. Vectorul WNValue(0, OO) în final se normalizează prin împărţire la OO, PROCEDURE_BF2_6_11 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, J REAL WNValue(CC, OO) DO O=1,OO WNValue(0, O) ENDDO DO FOR O=1,OO I=0 DO FOR J=1,OO DO FOR C=1,CC IF WNValue(C, O)>= WNValue(C, J) THEN I=I+1 ENDIF ENDDO IF I=CC THEN WNValue(0, O)= WNValue(0, O)+1 ENDIF ENDDO ENDDO DO FOR O=1,OO WNValue(0, O)= WNValue(0, O)/OO ENDDO ENDPROCEDURE Metoda numărului de obiecte dominante pentru fiecare obiect Pentru fiecare obiect O, cu O=1,OO, se determină numărul de obiecte dominante prin compararea pe rând, cu fiecare obiect J, cu J=1,OO, a caracteristicilor lor, în speţă WNValue(C, O) şi WNValue(C, J). Acest număr se depune în vectorul WNValue(0, OO) pe componenta O. Vectorul WNValue(0, OO) în final se normalizează prin împărţire la OO, PROCEDURE_BF2_6_12 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, J REAL WNValue(CC, OO) DO O=1,OO WNValue(0, O) ENDDO DO FOR O=1,OO I=0 DO FOR J=1,OO DO FOR C=1,CC IF WNValue(C, O)<= WNValue(C, J) THEN

134

I=I+1 ENDIF ENDDO IF I=CC THEN WNValue(0, O)= WNValue(0, O)+1 ENDIF ENDDO ENDDO DO FOR O=1,OO WNValue(0, O)= WNValue(0, O)/OO ENDDO ENDPROCEDURE Metoda numărului minim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai bine evaluate Pentru fiecare obiect O, cu O=1,OO, se determină numărul de caracteristici prin care obiectul este mai bine evaluat în raport cu obiectele J, cu J=1,OO, şi se depun în vectorul WNrCharacteristics(OO). În acest vector se găseşte minimul care furnizează pentru obiectul O evaluarea WNValue(0, O). Aceasta este chiar minimul factorizat la numărul caractericticilor. PROCEDURE_BF2_6_13 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, J, Min REAL WNValue(CC, OO), WNrCharacteristics(OO) DO O=1,OO WNValue(0, O) ENDDO DO FOR O=1,OO DO FOR J=1,OO I=0 DO FOR C=1,CC IF WNValue(C, O)>= WNValue(C, J) AND O NOT=J THEN I=I+1 ENDIF ENDDO WNrCharacteristics(J)=I ENDDO Min=CC DO FOR J=1,OO IF WNrCharacteristics(J)<Min Min=WNrCharacteristics(J) ENDIF ENDDO WNValue(0, O)=Min/CC

135

ENDDO ENDPROCEDURE Metoda numărului maxim de caracteristci prin care obiectele sunt cel mai bine evaluate Pentru fiecare obiect O, cu O=1,OO, se determină numărul de caracteristici prin care obiectul este mai bine evaluat în raport cu obiectele J, cu J=1,OO, şi se depun în vectorul WNrCharacteristics(OO). În acest vector se găseşte maximul care furnizează pentru obiectul O evaluarea WNValue(0, O). Aceasta este chiar maximul factorizat la numărul caractericticilor. PROCEDURE_BF2_6_14 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, J, Max REAL WNValue(CC, OO), WNrCharacteristics(OO) DO O=1,OO WNValue(0, O) ENDDO DO FOR O=1,OO DO FOR J=1,OO I=0 DO FOR C=1,CC IF WNValue(C, O)>= WNValue(C, J) AND O NOT=J THEN I=I+1 ENDIF ENDDO WNrCharacteristics(J)=I ENDDO Max=0 DO FOR J=1,OO IF WNrCharacteristics(J)>Max Max=WNrCharacteristics(J) ENDIF ENDDO WNValue(0, O)=Max/CC ENDDO ENDPROCEDURE Metoda numărului minim de caracteristici prin care obiectele sunt cel mai rău evaluate Pentru fiecare obiect O, cu O=1,OO, se determină numărul de caracteristici prin care obiectul este mai rău evaluat în raport cu obiectele J, cu J=1,OO, şi se depun în vectorul WNrCharacteristics(OO). În respectivul vector se găseşte minimul care

136

furnizează pentru obiectul O evaluarea WNValue(0, O). Aceasta este chiar minimul factorizat la numărul caractericticilor. PROCEDURE_BF2_6_15 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, J, Min REAL WNValue(CC, OO), WNrCharacteristics(OO) DO O=1,OO WNValue(0, O) ENDDO DO FOR O=1,OO DO FOR J=1,OO I=0 DO FOR C=1,CC IF WNValue(C, O)< WNValue(C, J) AND O NOT=J THEN I=I+1 ENDIF ENDDO WNrCharacteristics(J)=I ENDDO Min=CC DO FOR J=1,OO IF WNrCharacteristics(J)<Min Min=WNrCharacteristics(J) ENDIF ENDDO WNValue(0, O)=Min/CC ENDDO ENDPROCEDURE Metoda numărului maxim de caracteristci prin care obiectele sunt cel mai rău evaluate Pentru fiecare obiect O, cu O=1,OO, se determină numărul de caracteristici prin care obiectul este mai rău evaluat în raport cu obiectele J, cu J=1,OO, şi se depun în vectorul WNrCharacteristics(OO). În respectivul vector se găseşte maximul care furnizează pentru obiectul O evaluarea WNValue(0, O). Aceasta este chiar maximul factorizat la numărul caractericticilor. PROCEDURE_BF2_6_16 (CC, OO, WNValue(CC, OO)) INTEGER C, O, I, J, Max REAL WNValue(CC, OO), WNrCharacteristics(OO) DO O=1,OO WNValue(0, O) ENDDO DO FOR O=1,OO DO FOR J=1,OO I=0 DO FOR C=1,CC

137

IF WNValue(C, O)>= WNValue(C, J) AND O NOT=J THEN I=I+1 ENDIF ENDDO WNrCharacteristics(J)=I ENDDO Max=0 DO FOR J=1,OO IF WNrCharacteristics(J)>Max Max=WNrCharacteristics(J) ENDIF ENDDO WNValue(0, O)=Max/CC ENDDO ENDPROCEDURE Construirea optimului global Obţinerea optimului global încununează rezolvarea problemei de alegere optimă. Pornind de la optimele date de metodele matematice, care sunt stocate în matricea WEval(OO, MM), se calculează mediile aritmetice ale coloanelor acesteia ponderate cu vectorul linie al importanţelor metodelor şi se depozitează în vectorul coloana WEval(OO, 0). PROCEDURE BF2_6_17 (OO, MM, WEval(OO, MM), WMImportance(MM)) DO FOR O=1,OO WEval(O, 0)=0 DO FOR M=1,MM WEval(O, 0)=WEval(O, 0)+WMImportance(M)* WEval(O, M) ENDDO ENDDO ENDPROCEDURE Înregistrarea soluţiilor optime După rezolvarea problemei de alegere optimă, operaţia următoare este înregistrarea soluţiilor optime în baza de date. Pornind de la datele din memoria internă a calculatorului gazdă a rezolvitorului, PROCEDURE_BF2_7 execută această operaţie prin accesarea bazei de date aflate în memoria externă a calculatorului gazdă a site-ului OPTCHOICE şi depunerea soluţiilor împreună cu anunţarea monitorului sistemului că secvenţa generare – rezolvare – stocare soluţii problemă s-a încheiat cu succes. Modulul are deci la intrare WProblem, OO, WObject(OO) şi WEval(OO, NN, MM) iar la ieşire entităţile PROBLEMS-NORMALIZATIONS-METHODES-OBJECTS şi WAITING_LINE actualizate. PROCEDURE_BF2_7

(WProblem,

138

OO, WObject(OO), NN, WNormalization(NN), MM, WMethod(MM), WEval(OO, NN, MM)) OPEN PROBLEMS-NORMALIZATION-METHODS-OBJECTS DO FOR N=1,NN DO FOR M=1,MM DO FOR O=1,OO SEEK FOR WProblem=Problem AND WNormalization(N)=Normalization AND WMethod(M)=Method AND WObject(K)=Object IF NOT IVK Evaluation=WEval(O, N, M) REWRITE ELSE APPEND BLANK Problem=Wproblem Method=WMethod(M) Object=WObject(O) Evaluation=WEval(O, M) REWRITE ENDIF ENDDO ENDDO ENDDO CLOSE PROBLEMS-NORMALIZATIONS-METHODES-OBJECTS OPEN WAITING_LINE SCAN FOR WProblem=Problem AND Status=1 Status=2 REWRITE EXIT ENDSCAN CLOSE WAITING_LINE ENDPROCEDURE 4.2.4 Specificarea automatizării rulărilor blocului funcţional BF2 După ce modulele produsului program elaborat au fost instalate pe echipamentele de calcul, modulele ce ţin de baza de date a modelelor MADM pe server-ul de SQL, WEB şi MAIL iar modulele ce ţin de optimizări pe calculatorul gazdă al rezolvării problemelor de alegere optimă, înainte de orice trebuie realizat monitorul rezolvitorului. Acesta, numit BF2_MONITOR are rolul de a prelua coordonatele de identificare ale problemelor de rezolvat, lansarea în execuţie a modulelor asociate rezolvărilor, urmărirea modului de finalizare a execuţiilor şi gestionarea lor optimă. Înseamnă că, din punct de vedere al legăturii cu primul sistem

139

de calcul, monitorul nu intervine decât pe entitatea WAITING_LINE iar din punctul de vedere al celui de-al doilea sistem de calcul, monitorul este un program ce-i foloseşte numai memoria internă. În esenţă, se execută un ciclu infinit caracterizat de etape înlănţuite secvenţial, cu reluare mereu de la prima etapă. Dacă se dovedeşte că nu are nimic de făcut mai mult timp, monitorul trece în stare dormantă până la apelul (evenimentul) de trezire primit de la primul calculator, care face acest lucru de fiecare dată când înregistrează în firul de aşteptare noi coordonate ale unei probleme de rezolvat. Parametrii monitorului, anume timpul înregistrat de la ultima lansare în execuţie a unei rezolvări (trecerea căruia determină începerea somnului) şi timpul maxim alocat unei rezolvări sunt la îndemâna administratorului de sistem fiind fixaţi în memorie. Etapa 0: Monitorul este trezit; Etapa 1: Determină, în firul de aşteptare, prima problemă de rezolvat, având deci Status=0; Etapa 2: Şterge, din firul de aşteptare, replicile acestei probleme de rezolvat pentru a preveni execuţiile multiple asupra aceluiaşi set de date ale problemei; Etapa 3: Lansează în execuţie problema determinată la Etapa 1; Etapa 4: Şterge, din firul de aşteptare, problemele a căror execuţie s-a încheiat cu succes, având deci Status=2; Etapa 5: Măsoară, pentru problemele în execuţie, caracterizate de Status=1, timpul scurs de la lansarea în execuţie până la momentul curent şi, dacă acest timp depăşeşte valoarea maximă admisă, crează condiţiile pentru relansarea în execuţie a problemelor în cauză; Etapa 6: Masoară tipul scurs de la ultima operaţie executată în beneficiul sistemului OPTCHOICE şi dacă acesta depăşeşte valoarea maximă admisă, comandă trecerea în starea dormantă; Etapa 7: Reia ciclul de la Etapa 1. PROGRAM BF2_MONITOR GLOBAL ON NET Wake_up_call BEGIN PROGRAM Wake_up_call=1 I=0 Max_Procese=50 Max_Execution_Time=1800 Max_Staying_Time=180 DO WHILE Wake_up_call=1 OPEN WAITING_LINE SCAN FOR Status=0 ACCEPT WTime FROM Time I=I+1 IF I<Max_Procese WVModel(I)=Model WVProblem(I)=Problem

140

WVTime(I)=WTime Status=1 REWRITE EXIT GO TOP SCAN FOR WVModel(I)=Model AND WVProblem(I)=Problem AND Status=0 DELETE ENDSCAN EXECUTE PROGRAM_BF2 ACCEPT WLast_Action_Time FROM Time ELSE I=I-1 ENDIF GO TOP SCAN FOR Status=2 DELETE J=1 DO WHILE NOT (J<=I AND WVModel(I)=Model AND WVProblem(I)=Problem) J=J+1 ENDDO DO WHILE J0 I=I-1 ENDIF ENDSCAN J=1 DO WHILE J Max_Execution_Time WVTime(J)= Wtime GO TOP SCAN FOR WVModel(I)=Model AND WVProblem(I)=Problem AND Status=1 Status=0 REWRITE ENDSCAN ACCEPT WTime FROM Time

141

IF WTtime-WLast_Action_Time> Max_Staying_Time Wake_up_call=0 DO WHILE Wake_up_call=0 SLEEP AND WAIT FOR Wake_up_call=1 ENDDO ENDIF CLOSE WAITING_LINE ENDDO ENDPROGRAM Considerăm că la acest nivel de transfer al cunoştinţelor de proiectare – programare orice echipă de realizatori de aplicaţii informatice este capabilă să înglobeze problema alegerii optime în lucrarea lor!

142

5. EXEMPLE DE UTILIZARE MADM ÎN REALIZAREA APLICAŢIILOR INFORMATICE AVANSATE În această secţiune a cărţii se prezintă trei exemple reale de utilizare a MADM în realizarea unor aplicaţii informatice avansate. Este vorba de domenii diferite dar în fiecare domeniu rolul MADM-ului este covârşitor. Primul exemplu foloseşte decizia multiatribut ca singur element de modelare matematică, al doilea şi al treilea exemplu folosesc decizia multiatribut în conjuncţie cu alte elemente de modelare matematică şi anume cu simularea Monte Carlo, respectiv cu optimizarea liniară multicriterială. În primul capitol se introduce o noţiune economică nouă, bazată pe teoria deciziilor multiatribut, aceea a preţurilor generalizate şi amendate, precum şi noţiunea duală acesteia, meritul furnizorului. Ele vor fi folosite la definirea concepţiei pentru realizarea unui produs program care să asiste activitatea de aprovizionare a unei întreprinderi industriale. Se ştie că întreprinderile industriale achiziţionează trei feluri de mărfuri: produse, servicii şi lucrări. Produsul program Tele-SUPPLY este conceput să realizeze, via Internet, achiziţia tuturor celor trei feluri de mărfuri. Astfel, el poate aproviziona, în regim de comerţ electronic, materiile prime şi materialele necesare producţiei şi, în regim de licitaţie electronică, obiecte, serviciile şi lucrările necesare investiţiilor. În ambele cazuri, comenzile sunt lansate automat. În cel de-al doilea capitol, se prezintă produsul software RELSYAN care este destinat obţinerii programelor de întreţinere optimă pentru infrastructuri de sisteme de producţie coerente şi reparabile. Sistemele de producţie mari beneficiază de o modelare matematică modernă, modelarea pictoriala, care oferă o descriere morfologica şi fiziologica completă a infrastructurii sistemului de producţie. În timpul funcţionării sale, se consideră că apar evenimente aleatoare endogene / exogene ce perturbă producţia. Infrastructura sistemului de producţie e reprezentată de o diagramă de structură şi unul sau mai mulţi arbori de avarie. Pentru a crea o bază solidă pentru luarea deciziei în managementul întreţinerii, produsul program este capabil să simuleze, folosind metoda Monte Carlo, viaţa sistemului de producţie luând în considerare diferite strategii de întreţinere, politici în domeniul forţei de muncă şi al achiziţiei pieselor de schimb, deprinderi / abilităţi în operare, accidente şi factori externi de stres. Mai mult, folosind parametrii analitici de fiabilitate, disponibilitate şi întreţinere, se propune o decizie optimă prin folosirea metodelor de decizie avansate. În cel de-al treilea capitol, se prezintă un exemplu menit să ilustreze implementarea rapidă a modelelor de alegere optimă în aplicaţii avansate de afaceri electronice. Acest exemplu se numeşte Tele-PROCESSING. El permite potenţialilor parteneri de afaceri ai unei întreprinderi petrochimice să verifice, de la distanţă, posibilitatea de a face afaceri de procesare prin intermediul unui dialog cu calculatorul întreprinderii. De asemenea, el permite managerilor întreprinderii să aleagă cele mai bune afaceri de procesare dintr-o clasă bine definită de propuneri de procesare. Alegerea optimă are la bază tot un model MADM. Acest model este general, cu mai mulţi decidenţi şi mai multe stări ale naturii, atributele fiind de tip boolean, ordinal şi cardinal. Mai mult şi metodele MADM utilizate sunt in număr de cinci. Toate trei exemplele, din domenii diferite, arată că modelul MADM este esenţial în definirea unor probleme de alegere optimă, mai mult chiar, ar trebui făcut un efort deosebit să rezolvi probleme de alegere optimă în afara paradigmei MADM!

143

5.1 Aprovizionarea tehnico-materială în epoca e-aplicatiilor În zilele noastre, aprovizionarea tehnico-materială a unei întreprinderi industriale nu se mai percepe ca o activitate cu obiectivul centrat pe acea întreprindere (Amor, 1999) ci, din ce în ce mai mult, ca o activitate care priveşte întreprinderea de-a lungul lanţurilor sale de aprovizionare. Una dintre cele mai importante probleme în managementul lanţurilor de aprovizionare (SCM - Supply Chain Management) (Ayers, 2002; Simchi-Levi şi alţii, 1999; Industrialhub, 2006) ale unei întreprinderi industriale este managementul optimal al ciclului cererea de oferte – procesarea ofertelor – lansarea comenzilor de aprovizionare. Despre acest lucru va fi vorba în acest capitol. Pentru a fi competitivă, întreprinderea trebuie să aibă o politică de aprovizionare bine definită. Aceeaşi exigenţă trebuie să existe şi la furnizorii întreprinderii, la furnizorii furnizorilor şi aşa mai departe. Pentru achiziţii de nivel mic şi mediu, lanţurile de aprovizionare pot fi deservite de proceduri obişnuite de e-commerce şi e-procurement (Grieger, 2003). Însă, pentru întreprinderi mari şi achiziţii de volum şi valoare mare, trebuie avut în vedere un instrument informatic modern care să asiste activitatea de aprovizionare. Astfel, sistemele informatice ale tuturor întreprinderilor incluse în acelaşi graf al lanţurilor de aprovizionare trebuie să conţină o componentă modernă dedicată activităţii de aprovizionare, care să lucreze via Internet. Aceasta trebuie să fie deschisă potenţialilor furnizori aflaţi oriunde pe mapamond, care să poată lansa ofertele lor după afişarea cererilor de oferte ale întreprinderii. În acest caz, pentru acelaşi nivel şi orizont temporal, pot exista mai multe oferte pentru acelaşi obiect de cumpărat (de exemplu, pentru întreprinderile cu producţie continuă: materii prime, materiale auxiliare, ingredienţi etc., iar pentru întreprinderile cu producţie discretă: componente, subansamble, ansamble, scule şi dispozitive, piese de schimb, combustibili, lubrifianţi, echipamente de protecţie) iar întreprinderea, ca să lucreze în regim de optimalitate, trebuie să le ordoneze după anumite criterii şi apoi să le accepte pe cele mai bune. În marea majoritate a cazurilor, preţul nu este noţiunea economică de pus la baza raţionamentelor după care se desfăşoară activitatea de aprovizionare. Această afirmaţie poate fi şocantă, pentru că nimic în economia clasică nu se mişcă în afara preţurilor. Însă adesea se aude spunându-se: “Acest obiect a costat mai mult decât preţul său”. Nu este de neglijat această afirmaţie, ea este izvorâtă din practica economică. De altfel, o întreagă serie de reproşuri la adresa preţurilor, sintetizate în astfel de afirmaţii, se întâlnesc în practica economică. Se va arăta că, în ordonarea ofertelor furnizorilor, absolut necesară este mult mai potrivit să considerăm alte noţiuni economice, ce-i drept derivate din noţiunea de preţ. Se aminteşte că preţul reflectă numai echilibrul între cheltuieli şi beneficiu, la producător, şi echilibrul între cerere şi ofertă, pe piaţă. Atenţie, preţul unui obiect reflectă valoarea sa de întrebuinţare numai în cadrul unor economii consolidate şi numai la mijlocul ciclului său de viaţă. Preţurile obişnuite nu includ o serie de factori importanţi pentru abordarea analizelor de investiţii, producţie, aprovizionare, desfacere etc. Cum acest capitol se referă numai la aprovizionarea tehnico-materială, se va face o construcţie necesară şi suficientă acestei activităţi economice, cu precizarea că metoda este valabilă şi în alte construcţii dar acţionând diferit şi anume conform cu scopul urmărit. Conformitatea cu scopul urmărit în activitatea de aprovizionare este precizată prin următoarele: echilibrul relativ între

144

calitatea obiectelor de cumpărat şi preţuri, în contextul ofertelor multiple, fiabilitatea obiectelor în funcţiune la clienţi şi comportamentul comercial al furnizorilor, ca să enumerăm doar câteva, evident pe cele mai importante. O noţiune economică nouă este introdusă astfel încât ea să înglobeze toţi aceşti factori. Evident, preţurile obişnuite sunt folosite în continuare dar numai la editarea comenzilor. 5.1.1 Preţuri generalizate şi amendate Luând în considerare ofertele pentru obiectele de cumpărat, obiecte definite de caracteristicile lor, incluzând cel puţin preţurile şi cantităţile corespunzătoare, preţurile generalizate sunt calculate folosind o tehnică MADM (Hwang şi Yoon, 1981). Apoi, folosind inteligenţa artificială, mai precis calculul bazat pe cunoştinţe, este realizată o altă analiză a mulţimii obiectelor de cumpărat precum şi a furnizorilor asociaţi. Cuantile sofisticate, caracterizând fiabilitatea obiectelor de cumpărat şi comportamentul comercial al furnizorilor respectivi, vor folosi la determinarea unor bonusuri / penalităţi care se vor aplica preţurilor generalizate rezultând preţurile generalizate şi amendate. În momentul lansării comenzilor, obiectele sunt ierarhizate de la cel mai bun la cel mai puţin bun folosind aceste preţuri generalizate şi amendate. Cu cât sunt mai mici aceşti indicatori, cu atât sunt mai bune obiectele din ofertele furnizorilor. În cele ce urmează vom introduce în mod gradat noul concept de preţ generalizat şi amendat. Pentru un obiect oˆ , prezent într-o anumită cerere de ofertă cu cantitatea necesară q( oˆ ), care apare şi în ofertele furnizorilor, se consideră: - S( oˆ )={s( oˆ ,i) | i=1, .., i}, mulţimea potenţialilor furnizori ai obiectului oˆ ; - O( oˆ )={oi( oˆ ) | i = 1, .., i}, mulţimea tuturor obiectelor oi( oˆ ), din clasa oˆ , oferite de potenţialii furnizori. oi( oˆ ) este obiectul oferit de furnizorul i iar pentru orice astfel de obiect, cantitatea oferită corespunzător este q(oi( oˆ )); - A( oˆ )={aj( oˆ ) | j = 1, .., j}, mulţimea acelor atribute care sunt considerate de către întreprindere ca fiind importante pentru a realiza o bună definire a obiectului oˆ . Valorile atributelor trebuie precizate de către fiecare furnizor. Pentru fiecare obiect, preţul este primul atribut, prin urmare a1( oˆ ) reprezintă preţul clasei de obiecte oˆ . Fiecare atribut aj( oˆ ) are asociat un tip (cardinal sau Boolean), un interval de valori standard (de forma [loj( oˆ ), upj( oˆ )]), sensul de bună apreciere (sensej( oˆ ), care poate lua două valori, max sau min, după cum cea mai mare valoare a atributului este considerată cea mai bună sau, respectiv, cea mai mică valoare a atributului este considerată ce mai bună) şi o pondere [weightj( oˆ )]. Ponderile atributelor satisfac condiţiile uzuale 0<weightj( oˆ )<1, ∑ weight j (oˆ ) =1. Bazându-ne pe principiul 1≤ j≤ j

importanţelor, atributele aj( oˆ ) pentru care intervalul valorilor standard este degenerat, (adică pentru loj( oˆ ) = upj( oˆ )) sunt eliminate din model, deci nu vor avea efect asupra evaluării obiectelor; - C( oˆ )=(cij( oˆ )), matricea caracteristicilor, elementul său generic fiind cij( oˆ ) şi reprezentând valoarea atributului aj( oˆ ) pentru obiectul oi( oˆ ).

145

Datorită naturii eterogene a atributelor, matricea caracteristicilor nu permite o evaluare imediată a obiectelor oferite de furnizori. Acest dezavantaj poate fi depăşit prin utilizarea unei proceduri de normalizare a coloanelor matricei caracteristicilor. Există câteva metode de normalizare a coloanelor, fiecare metodă produce coloane ale căror elemente sunt cuprinse în intervalul (0, 1) astfel încât dacă sensul este sensej( oˆ )=”min”, cu cât mai mică este valoarea unui element de coloană, cu atât mai bun este atributul respectiv şi, dacă sensej( oˆ )=”max”, cu cât mai mare este valoarea unui element de coloană, cu atât mai bun este atributul respectiv. Utilizând un produs program de uz general, normalizarea este o etapă care se execută separat dar în acest caz ea se află cuprinsă în metoda de rezolvare. După normalizare, caractersiticile îşi pierd unitatea de măsură, şi pot fi combinate în diferite calcule matematice. În domeniul MADM, după cum s-a văzut, sunt peste 20 de metode de rezolvare, care pot fi aplicate modelului prezentat anterior. Însă, nu toate aceste metode conduc la obţinerea preţului generalizat. Indicatorul de evaluare a obiectelor, produs prin aplicarea unei anumite metode, trebuie să se comporte ca un preţ: cu cât este mai mic, cu atât este mai bun pentru întreprindere. După analizarea diferitelor metode de rezolvare, a fost aleasă metoda Pareto, care minimizează distanţa la punctul ideal. Punctul ideal, în acest caz, este un obiect real sau iluzoriu care are cele mai bune valori posibile pe fiecare coloană. În continuare, este prezentat, în pseudocod, algoritmul folosit pentru calculul preţurilor generalizate: FOR i = 1,i gpi( oˆ )=0 ENDFOR FOR j = 1,j dj ( oˆ ) = upj( oˆ ) – loj( oˆ ) FOR i = 1,i IF sensej ( oˆ ) = ”min” THEN gpi( oˆ ) = gpi( oˆ ) + wj( oˆ )* [upj( oˆ ) – cij( oˆ )] / dj( oˆ ) ELSE gpi( oˆ ) = gpi( oˆ ) + wj( oˆ )* [cij( oˆ ) – loj( oˆ )] / dj( oˆ ) ENDIF ENDFOR ENDFOR În acest algoritm, preţul generalizat este iniţializat cu valoarea 0 şi se pregăteşte, prin calculul lui dj( oˆ ), normalizarea fiecărei coloane a matricei caracteristicilor începând cu prima coloană (cea corespunzătoare atributului preţ). Pentru fiecare intrare, cij( oˆ ) din matricea caracteristicilor, metoda de rezolvare Pareto calculează un index nij( oˆ )=[upj( oˆ ) – cij( oˆ )] / dj( oˆ ) sau nij( oˆ )=[cij( oˆ ) – loj( oˆ )] / dj( oˆ ) care este o măsură a depărtării obiectului oi( oˆ ) de obiectul ideal o care are atributul aj( oˆ ) egal cu upj ( oˆ ) respectiv loj ( oˆ ), în concordanţă cu sensul sensej( oˆ ). Dacă, pentru o coloană dată j, indexul nij( oˆ ) al obiectului oi( oˆ ) este calculat, preţul generalizat gpi( oˆ ) al obiectului oi( oˆ ) creşte cu o fracţie din nij( oˆ ), dată prin înmulţirea cu ponderea wj( oˆ ) a atributului aj( oˆ ). În concluzie, după aplicarea acestei proceduri, fiecare obiect oi( oˆ )

146

are un preţ generalizat gpi( oˆ ) care este media ponderată, prin importanţele atributelor, a indicilor nij( oˆ ). Astfel, preţul generalizat gpi( oˆ ) reprezintă distanţa medie ponderată a obiectului oi( oˆ ) faţă de obiectul ideal o . Dacă obiectul o se află în mulţimea O( oˆ ) atunci preţul său generalizat este 0. Obiectele oferite de furnizori pot fi astfel în mod natural ierarhizate în concordanţă cu preţurile lor generalizate: cel mai bun obiect este acela care are cel mai mic preţ generalizat şi cu cât un obiect are un preţ generalizat mai mare cu atât el devine mai puţin atractiv. Metoda de selecţie se aplică chiar, la fiecare obiect oi( oˆ ), şi dacă preţul este singurul atribut. În acest caz, preţurile generalizate nu sunt altceva decât preţurile normalizate. Aceste preţuri generalizate nu sunt stocate în baza de date pentru că ele aşteaptă să fie amendate. Preţurile generalizate ale obiectelor iau în calcul toate atributele modelului definit. Totuşi, mai pot exista şi alţi factori pe care decidentul îi poate lua în considerare, factori care nu sunt reflectaţi de către nici un atribut (Resteanu şi Resteanu, 2005; Resteanu 2005a; Resteanu, 2005b). Aceşti factori trebuie şi pot include informaţii statistice legate de experienţa anterioară dobândită în lucrul cu furnizorii, în sensul unui parteneriat excelent sau cu probleme la unii dintre furnizori. Astfel, pot exista înregistrări ale unor probleme de fiabilitate deosebite la unele obiecte ale unor furnizori, înregistrări ale întârzierilor în livrarea unor obiecte de către unii furnizori etc. Astfel de factori nu pot fi incluşi în matricea caracteristicilor deoarece sunt dificil de cuantificat şi / sau sunt disponibile doar pentru unii dintre furnizori. Totuşi, aceşti factori joacă un rol important în actul decizional; de aceea ei trebuie luaţi în considerare. Conceptul de preţ generalizat si amendat (Resteanu, 2005c) al unui obiect de la un anume furnizor ia în considerare toţi aceşti factori care prezintă o importanţă deosebită. Preţul generalizat al unui obiect poate fi redus de un bonus sau mai multe bonusuri, lucru care reflectă o experienţă pozitivă în relaţia cu respectivul furnizor, sau poate fi ridicat de către o penalitate sau mai multe penalităţi, în situaţia în care s-a înregistrat o experienţă negativă. Astfel, preţul generalizat şi amendat al unui obiect notat agpi( oˆ ), se calculează utilizând formula: agpi( oˆ ) = gpi( oˆ ) + cori( oˆ ), unde cori( oˆ ) reprezintă o corecţie determinată de decident (expert) / decidenţi (experţi), bazată pe informaţia statistică înmagazinată. În cele ce urmează se prezintă modul de calcul al preţurilor generalizate şi amendate folosind o mulţime de reguli de producţie care fac parte dintr-un mini-sistem expert (Giarratano şi Riley, 1999). Acesta conţine atât fapte ale procesului de aprovizionare cât şi cunoştinţe ale experţilor în aprovizionare. Regulile de producţie sunt exprimate de către experţii locali în format general: IF cond1 Λ cond 2 Λ .. Λ cond m THEN act1 , act 2 , .., act n . Procesarea sistemului de producţii se face prin înlănţuire înainte. Strategia care controlează ordinea în care regulile sunt declanşate este cea în adâncime. Pentru a ilustra modul cum este utilizat sistemul expert, să presupunem că datele statistice înmagazinate conţin, pentru o clasă de obiecte oˆ şi un obiect oi( oˆ ) din acea clasă, următoarele fapte: Cantitatea totală furnizată anterior (wtq(oi( oˆ ))); Costul total al operaţiunilor executate la clienţii întreprinderii datorate problemelor de fiabilitate (wtrc(oi( oˆ )));

147

-

Costul total al pierderilor datorate întârzierilor în livrare de la 1 zi la 10 zile (wtlc1o( oˆ ,i)); Costul total al pierderilor datorate întârzierilor în livrare de la 11 zile la 20 zile (wtlc2o( oˆ ,i)); Costul total al pierderilor datorate întârzierilor în livrare de la 21 zile la 30 zile (wtlc3o( oˆ ,i)); Costul total al pierderilor datorate incidentelor de nelivrare (wtnsco( oˆ ,i)). Toate aceste costuri sunt normalizate. Aceasta înseamnă că ele, în expresie naturală, ele sunt împărţite la costurile de producţie totale. Preţurile generalizate gpi( oˆ ) nu sunt stocate în baza de date, ele aşteaptă să fie amendate. Amendarea constă într-o procedură iterativă KBC clasică. Fiecare pas se ocupă de un obiect. Într-o prezentare simplificată, formele generice ale claselor de reguli, care se găsesc la baza de reguli, sunt prezentate în continuare: IF o( oˆ ,i)=wo( oˆ ,i) Λ wtro( oˆ ,i)>0 THEN gp( oˆ ,i)=gp( oˆ ,i)+q(o( oˆ ,i))/wtq(o( oˆ ,i))*wtrco( oˆ ,i), IF o( oˆ ,i)=wo( oˆ ,i) Λ wtlc1o( oˆ ,i)>0 THEN gp( oˆ ,i)=gp( oˆ ,i)+q(o( oˆ ,i))/wtq(o( oˆ ,i))*wtlc1o( oˆ ,i), IF o( oˆ ,i)=wo( oˆ ,i) Λ wtlc2o( oˆ ,i)>0 THEN gp( oˆ ,i)=gp( oˆ ,i)+q(o( oˆ ,i))/wtq(o( oˆ ,i))*wtlc2o( oˆ ,i), IF o( oˆ ,i)=wo( oˆ ,i) Λ wtlc3o( oˆ ,i)>0 THEN gp( oˆ ,i)=gp( oˆ ,i)+q(o( oˆ ,i))/wtq(o( oˆ ,i))*wtlc3o( oˆ ,i), IF o( oˆ ,i)=wo( oˆ ,i) Λ wtnsco( oˆ ,i)>0 THEN gp( oˆ ,i)=gp( oˆ ,i)+q(o( oˆ ,i))/wtq(o( oˆ ,i))*wtnsco( oˆ ,i), IF o( oˆ ,i)=wo( oˆ ,i) Λ q(o( oˆ ,i))> q(o) THEN gp( oˆ ,i)=gp( oˆ ,i)-0.05, IF o( oˆ ,i)=wo( oˆ ,i) Λ q(o( oˆ ,i))<<wtq(o( oˆ ,i)) Λ wtrco( oˆ ,i)+wtlc1o( oˆ ,i)+wtlc2o( oˆ ,i)+wtlc3o( oˆ ,i)+wtnsco( oˆ ,i)=0 THEN gp( oˆ ,i)=gp( oˆ ,i)-0.05. Este de notat faptul că dacă utilizatorii direcţi, adică lucrătorii Departamentului Aprovizionare, au cunoştinţe de inteligenţă artificială, aceştia pot extinde mulţimea de reguli adăugând propriile lor reguli, în concordanţă cu politicile de aprovizionare specifice întreprinderii. Aceasta este o sarcină simplă întrucât shell-ul expert are un modul de asistare novici care asistă utilizatorii neinformaticieni să construiască o mulţime consistentă de reguli de producţie. Primele cinci reguli de producţie sunt penalităţi în timp ce restul sunt bonusuri. Acestea amendează preţurile generalizate, obţinându-se preţurile generalizate şi amendate agp( oˆ ,i). Când procesul de declanşare a regulilor încetează, se face următorul transfer: FOR i=1,i DO agp( oˆ ,i)=gp( oˆ ,i) ENDFOR Aceşti indicatori, agp( oˆ ,i), sunt înregistraţi în baza de date. În absenţa stocării într-o magazie de date a informaţiilor statistice asupra comportamentulul obiectelor şi

148

furnizorilor, preţurile generalizate şi amendate agpi( oˆ ) nu pot fi calculate şi rămâne ca preţurile generalizate gpi( oˆ ) să fie înregistrate în baza de date ca indicatori de lucru în continuare. După ce se calculează toate preţurile generalizate şi amendate, ofertele partenerilor pot fi ierarhizate prin sortarea, în ordine crescătoare, după preţurile generalizate şi amendate. Cu cât preţul generalizat şi amendat este mai mic cu atât obiectul respectiv este mai bun. Un obiect care are cel mai mic preţ generalizat şi amendat este considerat cel mai puţin costisitor şi este declarat optim din punct de vedere matematic la întocmirea comenzilor de aprovizionare. Deoarece cantitatea pe care un furnizor o pune la dispoziţie poate fi mai mică decât necesarul întreprinderii, se impune ca întreprinderea să comande de la mai mulţi furnizori. În acest caz, sunt considerate obiectele următoare în lista ordonată. 5.1.2 Meritul furnizorilor Când procesul de calcul al preţurilor generalizate şi amendate încetează, se consideră următorul indicator: smi( oˆ ) = 1- agpi( oˆ ) numit meritul furnizorului referitor la obiectul oi( oˆ ) (Resteanu şi Somodi, 2006), şi aceasta pentru i=1,i. Prin urmare, meritul fiecărui furnizor smi( oˆ ) este calculat drept complementul faţă de 1 al preţului generalizat şi amendat corespunzător lui oi( oˆ ). Se poate constata foarte uşor că un furnizor are merite diferite în raport cu mulţimea de produse şi un anume partener de afaceri. Cu cât sunt mai mari aceşti indicatori, cu atât sunt mai buni aceşti furnizori. Deşi preţul generalizat şi amendat şi meritul furnizorului includ aceeaşi cantitate de informaţie în raport cu un obiect dat, ele sunt noţiuni economice cu interpretări diferite. După ce se calculează meritul furnizorilor, pentru fiecare obiect de aprovizionat în parte, partenerii pot fi ierarhizaţi prin sortarea, în ordine crescătoare, după merit. Licitaţiile electronice vor utiliza aceste liste ordonate. După o licitaţie, la momentul lansării comenzilor, furnizorii sunt deci deja ordonaţi de la cel mai bun la cel mai slab în funcţie de meritele lor corespunzătoare obiectelor cuprinse în ofertele făcute la licitaţie. 5.1.3 Scurtă prezentare a produsului program Tele-SUPPLY Tele-SUPPLY a fost dezvoltat pentru a susţine, la nivelul actual al posibilităţilor ICT, activitatea de aprovizionare a unei întreprinderi industriale (Resteanu şi alţii, 2000; Resteanu şi alţii, 2001). Acesta este un produs program care permite potenţialilor furnizori să-şi trimită ofertele pe Internet ca răspuns la o cerere de oferte a întreprinderii industriale făcută tot pe Internet. O ofertă, transmisă la un moment dat, va actualiza baza de date a întreprinderii, în dreptul cererii de oferte făcută de întreprindere. Lucrătorii Departamentului Aprovizionare trebuie să proceseze ofertele primite pentru a decide dacă acestea pot fi acceptate ca atare sau cu anumite modificări, dacă sunt amânate la decizie sau dacă sunt respinse de la bun început. Această operaţiune se realizează prin negocieri cu furnizorii via computerul întreprinderii conectat la Internet. În final, numai ofertele acceptate vor fi luate în considerare la momentul lansării comenzilor. Produsul program Tele-SUPPLY se constituie astfel

149

într-un suport de decizie în managementului ciclului cerere de oferte – procesare oferte – lansare comenzi de aprovizionare. Mai mult, el este un sistem de asistare a deciziei avansat deoarece înglobează cunoştinţe de modelare matematică şi inteligenţă artificială, adică foloseşte un model hibrid pentru rezolvarea unei probleme practice. Tele-SUPPLY lucrează ca o anvelopă peste Componenta Aprovizionare a sistemului informatic al întreprinderii a cărei bază de date conţine toate informaţiile legate de calculul dinamic al necesarului de obiecte de aprovizionat, de fiabilitate a obiectelor vândute clienţilor şi de regimul comportamental al furnizorilor. Transferând din acestă bază de date informaţiile structurate minimale, se construiesc, folosind SQL Server 7.0 Enterprise Edition care este capabil să gestioneze, în acelaşi timp, componente de tipul On-Line Transaction Processing (OLTP) şi On-Line Analytical Processing (OLAP), baza de date şi magazia de date ale produsului program Tele-SUPPLY. Produsul program are deci două baze de date, una pentru tranzacţii curente si alta pentru tranzacţii statistice. Ca toate produsele software avansate lucrând pe site-ul unei întreprinderi (Resteanu şi alţii, 2000), Tele-SUPPLY are două componente. Prima componentă se adresează lucrătorilor din cadrul Departamentului Aprovizionare al întreprinderii şi rulează pe Intranet. Programele sunt scrise în Microsoft Visual C - MSVC 6.0 şi C Language Integrated Production System - CLIPS 6.2. A doua componentă se adresează furnizorilor şi deci rulează pe Internet. Programele sunt scrise în Active Server Pages ASP. O componentă automată, al cărei rol este de a înlocui intervenţia specialiştilor întreprinderii în procesele de calcul şi de comunicaţie, leagă cele două componente. Această componentă are la bază un program de supervizare, dezvoltat în tehnica dormantă, care rulează, la o cadenţă dată, modulele de program conform unui program predefinit. E uşor de imaginat ce se întâmplă când optimizările se execută pe serverul furnizorului. Dacă mai mulţi furnizori încearcă să acceseze simultan serverul, activităţile de realizat, adică interfaţa cu utilizatorul şi optimizările, vor putea depăşi puterea de calcul a calculatorului. Pentru a executa uşor aceste sarcini, pe lângă server, este utilizat un calculator special destinat executării optimizărilor. De altfel, configuraţia reţelei Intranet a înteprinderii este esenţială pentru a realiza o bună implementare a soluţiei informatice. Problemele de securitate au fost ridicate de o manieră deosebită. Pentru exterior, există un modul bazat pe chei publice (Public Key Infrastructure – PKI) şi chei private care asigură controlul accesului, autentificarea utilizatorilor precum şi non-repudierea lor, integritatea datelor transferate, semnătura digitală etc. Pentru a putea accesa web site-ul folosind un browser, Microsoft Internet Explorer sau Netscape Navigator, orice potenţial furnizor trebuie mai întâi să se înregistreze. Produsul program are o procedură clasică de inregistrare dar trebuie făcută precizarea că un utilizator de pe Internet poate să se înregistreze ca partener de afaceri, adică ca un furnizor de produse, servicii sau lucrări, sau ca vizitator, caz în care el poate naviga pe tot site-ul dar acţiunile sale nu sunt înregistrate în sistem. Pentru interior, o componentă specială supervizează integritatea bazei de date. Orice acces neautorizat pe tabelele bazei de date, chiar şi cel al programatorilor, provoacă blocarea sistemului. Acesta îşi recapătă automat integritatea prin rularea unei proceduri speciale de refacere după incident. Programul de supervizare rulează toate acestea după un algoritm special conceput ca după implementare să nu mai fie necesară intervenţia proiectanţilor sistemului. Se poate

150

spune că toţi competitorii pot avea încredere că sistemul care mijloceşte competiţia este caracterizat de corectitudine şi loialitate din partea întreprinderii. Rămâne în discuţie doar onoarea furnizorilor, însă se ştie că afacerile se bazează întotdeauna pe onoarea partenerilor. 5.1.4 Funcţiile produsului program Tele-SUPPLY Managementul ciclului de aprovizionare este acoperit integral, toate aspectele sunt abordate cu aceeaşi atenţie. Principalele facilităţi oferite de acest produs program sunt: - Cererile de oferte pot referi obiectele de cumpărat împreună cu caracteristicile lor şi cantităţile absolut necesare procesului de producţie şi activităţilor secundare. - Informaţia este structurată pe categorii de obiecte de cumpărat; - Sistemul poate prelua ofertele furnizorilor făcute ca răspuns la cererile de oferte; - Editarea ofertelor este asistată, se furnizează informaţii despre cantităţile necesare şi ofertele cumulate pentru un anumit obiect şi furnizor la un moment dat; - Cantităţile oferite pot fi din stoc sau din planurile de producţie. Când un furnizor lucrează cu cele două tipuri de cantităţi, el trebuie să ştie de la început că acestea sunt considerate separat; - Pentru cantităţile din plan, este posibilă selectarea nivelurilor şi orizonturilor temporale. Nivelurile temporale pot fi luna / trimestrul / anul iar orizonturile temporale pot fi prezent / viitor. De remarcat că, pentru cantităţile din plan, fiecare nivel suportă sub-intervale de timp şi anume: decade, luni şi, respectiv, trimestre. Sistemul de cantităţi este gestionat coerent în raport cu nivelurile şi orizonturile temporale; - Cantităţile specificate pot să nu reprezinte uneori întreaga cantitate necesară planului de producţie ci numai acele cantităţi care trebuie aprovizionate prin mijloace electronice. Deci, pentru început, o parte din aprovizionarea întreprinderii poate să rămână în manieră tradiţională; - Pornind de la ierarhizarea ofertelor, ordonate descrescător, de la cea mai bună până la cea mai rea, se lansează electronic comenzile de aprovizionare; - Tranzacţiile comerciale de volum mare sau de valoare mare pot fi derulate numai prin intermediul unor contracte economice, semnate după obţinerea rezultatelor unor licitaţii anume organizate (Resteanu, 2003); - Fluxul aprovizionării cu obiectele necesare planului de producţie începe numai în momentul în care banca furnizorului certifică plata făcută prin transfer bancar sau cec; - La dispoziţia utilizatorilor este pus un Help on-line, senzitiv la context. 5.1.5 Lucrul cu produsul program Tele-SUPPLY Componenta Internet a produsului program rulează pe un calculator puternic, organizat ca server SQL, server de WEB şi server de MAIL. Componenta Intranet a produsului program rulează pe calculatoare obişnuite care se găsesc în cadrul Departamentului Aprovizionare. Prima operaţiune în lucrul cu Tele-SUPPLY este instalarea software-ului urmată de generarea bazei de date şi a magaziei de date. Acest pas necesită personal foarte bine calificat. Ca o regulă, echipa de proiectanţi va duce la îndeplinire această operaţie. Pentru a pregăti bazele utilizării curente a produsului Tele-

151

SUPPLY, specialiştii din Departamentul Informatică al întreprinderii, în cooperare cu echipa de proiectare, realizează interfaţa între sistemul informatic al întreprinderii şi Tele-SUPPLY. Astfel, se transferă toate datele despre obiectele de cumpărat prin acest mijloc electronic din baza de date a întreprinderii în baza de date şi magazia de date a produsului program Tele-SUPPLY. Obiectele de cumpărat sunt împărţite în două clase depinzând de modul în care sunt achiziţionate: prin comenzi directe şi prin licitaţii. După acest pas, fiecare tranzacţie din baza de date a întreprinderii, care se referă la aceste mulţimi de date şi la scopurile lor, este replicată în baza de date a produsului program Tele-SUPPLY. În acelaşi timp, proiectanţii produsului, ajutaţi de personalul Departamentului Aprovizionare, scriu regulile de producţie care descriu cunoaşterea expert în domeniul aprovizionării. După ce s-a făcut instalarea şi cunoştinţele de tip expert au fost încărcate, furnizorii potenţiali ai întreprinderii pot accesa site-ul electronic al întreprinderii, şi anume Secţiunea Aprovizionare. Pentru a deţine acces complet la toate funcţiile produsului, reamintim că potenţialii furnizori trebuie să se înregistreaze în sistemul Tele-SUPPLY ca parteneri de afaceri. 1 ) Comenzi directe Pentru a face o ofertă, un furnizor alege o categorie de obiecte şi, în cadrul ei, un obiect necesar întreprinderii. După precizarea nivelului de timp şi a orizontului de lucru, pentru acel obiect este prezentată numai cererea întreprinderii care nu este acoperită cu oferte. Acum, furnizorul îşi poate înregistra oferta la obiectul respectiv completând atributele acestuia precum şi cantitatea oferită. Trebuie acordată o deosebită atenţie la completarea descrierii obiectului. Fiecare atribut trebuie completat cu acurateţe pentru că modelul matematic folosit pentru ierarhizarea dinamică a perechilor obiecte de aprovizionat – competitori se bazează pe aceste informaţii. Este disponibilă o facilitate prin care utilizatorii sunt asistaţi pentru a completa cât mai bine descrieri de atribute. De asemenea, se pot obţine informaţii despre cantităţile deja oferite. Furnizorul îşi poate calcula valoarea ofertei făcute înainte de transmiterea ei. După ce furnizorul a transmis oferta făcută, informaţiile din baza de date a întreprinderii se actualizează prin înregistrarea ofertei respective. Lucrătorii Departamentului Aprovizionare sunt anunţaţi, prin e-mail-uri lansate automat, când o nouă avalanşă de oferte apare în sistem şi se solicită o analiză din partea lor. Prelucrarea ofertelor de către lucrătorii Departamentului Aprovizionare se referă, după cum s-a mai spus, la trecerea ofertelor în revistă cu acceptarea ofertelor ca atare, acceptarea ofertelor în cantităţi mai mici, amânarea sau respingerea lor. La acest pas, pentru fiecare ofertă, se decide asupra acceptării sau respingerii ei, dar dacă este necesar, decizia în privinţa ei poate fi amânată. În cazul în care o ofertă este considerată ca inacceptabilă în forma curentă, dar totuşi cu un oarecare potenţial, furnizorul este invitat la negociere pentru a îmbunătăţi caracteristicile obiectului de cumpărat. Astfel oferta rămâne încă în sistem şi decizia legată de ea este amânată. În cazul în care o ofertă este considerată ca inacceptabilă, ea va fi eliminată din sistem. Totuşi, chiar şi în acest caz, unele oferte respinse pot fi reconsiderate prin reintroducerea lor în sistem. Când întreg portofoliul de oferte este finalizat, comenzile ferme sunt lansate. Ofertele acceptabile sunt ierarhizate de la cea mai bună la cea mai rea în termenii preţurilor generalizate şi amendate. Comenzile sunt standardizate, pe acelaşi formular de comandă este posibilă cererea, renunţarea sau modificarea în timp a cantităţii

152

obiectelor. Pentru a face posibilă monitorizarea activităţilor de aprovizionare, comenzile de aprovizionare sunt transferate automat sistemului informatic al întreprinderii. 2) Comenzi după o licitaţie În cele ce urmează se prezintă secvenţa de paşi: pregătire, înregistrare, licitare, relicitare, închidere şi decidere pentru o licitaţie electronică, folosind produsul program Tele-SUPPLY. Acesta suportă organizarea de licitaţii după o combinaţie între metodele anglo-saxonă şi olandeză (Resteanu, 2002a; Resteanu, 2002b; Resteanu, 2002c; Resteanu, 2002d; Resteanu, 2003). Pregătirea licitaţiei este un proces care se desfăşoară pe două niveluri. Primul este reprezentat de definirea obiectivelor de investiţii făcută de echipa de manageri din Departamentul de Investiţii, pentru că de obicei numai achiziţiile necesare unor investiţii se fac prin intermediul licitaţiilor. Al doilea nivel e reprezentat de declararea şi definirea claselor de obiecte care vor fi procurate pentru fiecare obiectiv de investiţii. Un obiectiv de investiţii e bine definit dacă sunt introduse următoarele informaţii: codul şi numele obiectivului, valoarea planificată şi modul de finanţare, data deschiderii licitaţiei şi termenul limită. Ca răspuns, sistemul calculează şi afişează necesarul de bani pentru îndeplinirea obiectivului, prin însumarea rezultatelor curente din toate licitaţiile care ţin de acel obiectiv de investiţii. O clasă de obiecte ţinând de un obiectiv de investiţii este bine definită dacă sunt furnizate următoarele informaţii: mai întâi, codul şi numele clasei de obiecte, unitatea de măsură, preţul planificat, cantitatea planificată, şi termenul limită al licitaţiei deschise pentru această clasă de obiecte. De asemenea, se precizează dacă prin licitaţie se cere o cantitate neapărat egală cu cea planificată sau cantitatea poate fi şi mai mică. Ca răspuns, sistemul calculează şi afişează, la orice moment, cantitatea provenită din licitaţii şi valoarea planificată vis a vis de valoarea provenită din licitaţii. Modulele program sunt realizate după principiul sistemelor mari şi complexe astfel că produsul este pregătit să suporte o participare fără limite iar dimensiunea fiecărei afaceri nu constituie o limitare. Procedura competiţiei este foarte simplă, obiectivele de investiţii şi clasele de obiecte de cumpărat, cu cantităţile necesare şi atributele lor sunt prezentate competitorilor într-o manieră prietenoasă. Ca şi în cazul comenzilor obişnuite, un competitor trebuie să completeze: numele obiectului său, cantitatea licitată şi toate atributele obiectului respectiv. În timpul licitaţiei, pentru un obiect fixat, produsul furnizează informaţii despre atributele acestuia în comparaţie cu atributele primelor trei obiecte clasate, altele decât obiectul fixat. Astfel, competitorii pot îmbunătăţi atributele obiectelor lor pentru a le face mai competitive. Sunt permise numai cinci sesiuni de actualizare a atributelor, însă nu se impun restricţii în ceea ce priveşte numărul de modificări ale cantităţii licitate şi preţului. Dacă cu 24 de ore înainte de încheierea licitaţiei, preţul unui competitor depăşeşte preţul planificat, considerat ca preţ limită superioară, se expediază un e-mail în care competitorul este informat asupra acestui aspect şi i se permite să mai modifice preţul o singură dată. Retragerea din licitaţie e posibilă în orice moment fără a avea consecinţe asupra credibilităţii competitorilor în licitaţii ulterioare.

153

În momentul când starea licitaţiei a devenit închisă, nu mai sunt posibile actualizări. Pentru obiectul în licitaţie sunt date toate caracteristicile cu care el a finalizat licitaţia. Competitorul trebuie să aştepte afişarea rezultatelor licitaţiei care apar în momentul când starea licitaţiei devine decisă. Funcţia de informare asupra derulării licitaţiei oferă, în orice moment, personalului avizat din Departamentele Investiţii şi Aprovizionare, clasamentul competitorilor şi implicit al obiectelor de achiziţionat. Pentru o pereche obiectiv de invesţii – clasă de obiecte sunt prezentate: valoarea planificată (cheltuieli planificate) şi valoarea rezultată (cheltuielile reale). Rezultatele licitaţiei sunt determinate după ierarhizarea competitorilor în raport cu meritul lor smi( oˆ ). Clasamentul curent este dat într-o tabelă conţinând următoarele câmpuri: compania, obiectul, meritul, preţul, cantitatea, valoarea şi cantitatea comandată. Cu o singură excepţie, toate câmpurile sunt numai în citire. Timp de 24 de ore, după momentul închiderii licitaţiei, lucrătorii avizaţi ai Departamentului Aprovizionare pot face modificări în coloana cantitatea comandată la furnizor. Astfel, este posibilă ignorarea rezultatelor deciderii automate a licitaţiei dar sistemul va arăta acest lucru. Toate corecţiile umane sunt înregistrate într-o tabelă a bazei de date care conţine: numele operatorului şi poziţia sa în firmă, compania parteneră, bunul / serviciul / lucrarea comandată, cantitatea şi preţul, momentul licitaţiei şi codul ei. În momentul când starea licitaţiei devine decisă, competitorii sunt informaţi asupra rezultatelor finale ale licitaţiei. Se oferă o privire de ansamblu asupra participanţilor. Se emit automat comenzi de aprovizionare sau, dacă obiectele de aprovizionat au un regim special pe piaţă, câştigătorul sau câştigătorii sunt invitaţi tot automat pentru semnarea contractelor economice. Este posibil ca unii potenţiali furnizori, cu toate că au fost invitaţi în calitate de câştigători ai licitaţiei, să ignore acest lucru. Următorii furnizori din ierarhia finală sunt chemaţi să semneze contractele. Oricum, lipsa de seriozitate a competitorilor este penalizată. Pentru următoarele licitaţii, aceasta va fi evidenţiată şi se va reflecta în meritul lor. Acest handicap va dispărea în timp numai prin câştigarea de noi licitaţii semnificative ca valoare. O specificare de rea credinţă a atributelor obiectelor, în contradicţie cu realitatea, va duce la excluderea competitorilor respectivi din lista partenerilor. 5.1.6 Interfaţa Tele-SUPPLY - utilizator Interfaţa Tele-SUPPLY este una prietenoasă, oameni fără pregătire specială în domeniile matematică şi informatică pot să utilizeze produsul program cu uşurinţă. Se poate remarca faptul că, deşi modelul matematic utilizat prezintă o mare complexitate, interfaţa dezvoltată pe Internet şi Intranet este una foarte simplă. Este necesară înţelegerea manierei de construire şi afişare a cererii de oferte a întreprinderii, cunoaşterea editării ofertelor şi a prelucrării acestora şi, în final, abilitatea purtării negocierilor pe întreg ciclul cerere de ofertă – procesare de ofertă – lansare de comandă. Singurul pas care se execută complet în afara sistemului informatic este semnarea contractelor economice, şi aceasta în principal datorită birocraţiei, acceptată ca necesară în acest domeniu! Lucrătorii din Departamentul Aprovizionare împreună cu specialişti din Departamentul Informatică al întreprinderii doar supraveghează sistemul şi răspund la e-mail-urile primite de la furnizori. Scopul principal a fost elaborarea unui mecanism în

154

cadrul căruia intervenţia umană să fie redusă la minimul necesar. Calculatorul întreprinderii rezolvă automat problemele MADM, ierarhizează perechile oferte – furnizori sau furnizori - oferte şi face să circule datele între modulele sistemului. 5.1.7 Concluzii şi câteva rezultate experimentale Capitolul care tocmai s-a sfârşit a pus problema găsirii unor indicatori buni pentru ierarhizarea ofertelor furnizorilor în vederea lansării unor comenzi de aprovizionare optime. Atât preţurile generalizate şi amendate cât şi meritul furnizorilor sunt elemente cheie folosite la ierarhizarea ofertelor furnizorilor. În încercarea de a crea un înlocuitor al omului care să rezolve anumite tipuri de probleme, s-au utilizat tehnici hibride. Multe probleme SCM pot fi rezolvate introducând elemente de inteligenţă artificială în metodele tradiţionale. Prezenta abordare are în vedere lucrul KBC în tandem cu tehnici MADM. Se anticipează că în viitorul apropiat, alte soluţii moderne vor fi oferite în domeniile managementul aprovizionării şi a desfacerii cu impact direct asupra eficienţei comerciale a întreprinderilor industriale. Aceste soluţii vor fi venind tot prin replicarea gândirii umane dar şi prin folosirea mijloacelor moderne specifice tehnologiei informaţiei şi a comunicaţiilor. Internet-ul a devenit deja un mediu stabil şi suficient de bogat pentru a susţine comerţul electronic şi procurement-ul la nivel industrial iar produsele program elaborate peste tot în lume în acest domeniu marchează începutul unei noi ere. În zilele noastre, e-applicaţiile cunosc o dezvoltare rapidă. În câţiva ani, vor apărea produse informatice de bază, elaborate de mari case de software, funcţionând pe Internet, capabile să asiste integral activitatea de aprovizionare. Cât despre Tele-SUPPLY, el este un produs program experimental. Experimentul s-a realizat la Petrobrazi, care este cea mai mare rafinărie din România. Lucrătorii Departamentului Aprovizionare şi furnizorii de ţiţei din ţară au pus la dispoziţie datele experimentului. Concluzia a fost că, din punct de vedere tehnic, această manieră de realizare a unei părţi din activitatea de aprovizionare este posibilă şi se constituie într-o soluţie de viitor. De asemenea, experimentul a arătat că soluţia matematico-informatică este bună. Dându-se un set de oferte multiple neordonate, pentru o mare varietate de ţiţeiuri de achiziţionat, cei mai mulţi lucrători ai Departamentului Aprovizionare au realizat manual aceeaşi ierarhizare a ofertelor ca şi algoritmul hibrid. Pentru exploatările terestre Ploieşti (Boldeşti, Băicoi, Berca), Videle (Videle, Roata, Poeni, Bolintin), Brăila, Timişoara (Timişoara, Arad), Piteşti (Piteşti, Ciureşti, Drăgăşani), Suplac (Suplac, Marghita), Moineşti (Moineşti, Modârzău, Zemeş), Craiova (Craiova, Stoina), Târgu-Jiu (Ticleni, Turburea), Târgovişte (Târgovişte, Moreni, Găeşti) şi pentru cele maritime Constanţa (Petromar), s-a experimentat aprovizionarea cu ţiţei în regim de e-commerce. Experimentele au certificat posibilitatea lansării automate a comenzilor. De asemenea, s-a simulat o licitaţie electronică încununată de succes. Achiziţiile în regim de e-auction pot conduce la economii ce pot reprezenta până la 25% din valoarea costurilor totale de achiziţie. Şi licitaţia simulată a produs economii care s-au apropiat de cele prevăzute de studiile teoretice.

155

Referinţe bibliografice Amor, D. (1999). The E-business ®evolution. Prentice Hall, Hewlett-Packard Professional Books. Ayers J. B. (2002). “Making Supply Chain Management Work: Design, Implementation, Partnerships, Technology, Profits”, Auerbach Publishers. Giarratano, J.C. and G.D. Riley (1999). Expert Systems: Principles and Programming 3rd edition. PWS Publishing Company, Boston. Grieger, M. (2003). “Electronic marketplace: A literature review and a call for supply chain management research”. In European Journal of Operational Research, Volume 144, Issue 2, 16 January, pp. 280-294. Hwang, C-L. and K.Yoon (1981). Multiple attribute decision making. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, New York. Resteanu, C., N. Andrei, E. Mitan (2000). “Continuous process plant as a system open to business”. In: Dietmar P.F. Moller Ed., Proceedings of the ESS 2000, 12-th European Simulation Symposium, Simulation in Industry. Hamburg, Germany, September 28-30, pp. 260-264. Resteanu, C., M. Dobre and S. Masei (2001). TELE-PRODCONT, a software for ecommerce and e-business in petrochemistry. In Proceedings of the “2nd European Conference on e-commerce / e-activities / e-working / e-business, e-learning, ehealth / on-line servicies, virtual institutes and their influences on the economic and social environment” – E-COMM-LINE 2001 (Bucharest, September 24-25), pp. 48-51. Resteanu, C. (2002). Electronic auction, Romanian achivements. In E-Business Romanian Perspective, Ed. ASE, ISSN 1454-0320, July 2002, pp. 72-81. Resteanu, C. (2002). Tele-AUCTION, a software that improves the procurement activity. In Proceedings of the “3rd European Conference on e-commerce / eactivities / e-working / e-business, e-learning, e-health / on-line servicies, virtual institutes and their influences on the economic and social environment” – ECOMM-LINE 2002, (Bucharest, September 26-27), pp. 45-49. Resteanu, C. (2002). Goods and services acquisition system by electronic auction. In Proceedings of twelth eBusiness and eWork 2002. Challenges and achievements in E-business and E-work. (Prague, October 16-18), pp. 372-377. Resteanu, C. (2002). Tele-AUCTION, a software for e-procurement. În Romanian Automation Review, vol IX, number 4, ISSN 1454-9077, November 2002, pp. 2530. Resteanu, C. (2003). Tele-AUCTION: An advanced e-procurement tool. In the abstract book of the 5th EURO / INFORMS Joint International Meeting - New Opportunities for Operations Research, (Instanbul, July 6-10), pp. 200. Resteanu, C. and M. Resteanu (2005). More Than Lowest Prices for Industrial Plants’ Supply. In Proceedings of The 6th European Conference e-learning / e-business /

156

e-government / e-work / e-health / e-democracy / e-mediary, virtual institutes, era, on-line / bb services, and their influences on the economic and social environment – E-COMM-LINE 2005. (Bucharest, Romania, September 19-20, 2005). Resteanu, C. (2005). More Than Lowest Prices for Production Needs. În Romanian Automation Review, September 2005, Vol. XVIII, number 3, ISSN 1454-9077, pp. 23-33. Resteanu, C. (2005). Optimal orders through plants’ supply chains. In E-Proceedings of the International Conference on Industrial Engineering and Systems Management – IESM ’05. (Marrakech, Morocco, May 16-19, 2005). Resteanu, C. (2005). Amended Generalized Prices Computing for Suppliers’ Offers Ranking in Supply Chain Management. In Proceedings of the Seventh International Conference on Informatics in Economy – Information & Knowledge Age. (Bucharest, Romania, May 19-20, 2005), pp. 218-223. Resteanu C. and M. Somodi (2006). On Amended Generalized Price and Supplier’s Merit in Supply Chain Management. The Business Review, Cambridge (ISSN 1553 - 5827), vol 5, number 1 September. Simchi-Levi, D., P. Kaminski and E. Simchi-Levi (1999). “Designing and Managing the Supply Chain: Concepts, Strategies, and Cases Studies”, McGraw-Hill Higher Education. http://www.industrialhub.com/supply-chain-management.htm.

157

5.2 Intreţinerea infrastructurii sistemelor de producţie complexe Produsul software RELSYAN poate fi considerat un instrument software pentru managementul, centrat pe fiabilitate, al întreţinerii infrastructurii sistemelor de producţie (Gerstbakh, 1989; Birolini, 1994). El este destinat în principal obţinerii de programe de întreţinere optime, care să satisfacă o mulţime mare de obiective. E bine ştiut faptul că metodele analitice şi cele bazate pe lanţurile Markov au multe dezavantaje, spre exemplu ele nu permit rate de cădere variabile în timp (Barlow şi Prochan, 1965). În consecinţă, RELSYAN implementează metoda de simulare Monte Carlo (Cassandras, 1993; Hoyland şi Raussand 1994; Fishman, 1996) pentru analiza modului în care funcţionează infrastructura sistemului de producţie. Modelarea este una dintre cele mai puternice funcţiuni ale produsului RELSYAN. Editoarele diagramelor de structură şi a arborilor de avarie ajută la crearea, într-o manieră grafică, a modelului infrastructurii sistemului de producţie (Resteanu şi alţii, 1998). Modelul creează fundamentele pentru generarea problemelor de simulare Monte Carlo şi oferă posibilitatea calculului rapid al funcţiei sistem (Resteanu şi alţii, 1999), aceasta constituindu-se în cheia de succes pentru acest tip de simulare. Componentele principale ale algoritmului de simulare Monte Carlo (Ripley, 1987; Văduva, 1977; Zeigler, 1976) sunt descrise succint. În vederea creării unei baze solide pentru luarea deciziei în managementul de întreţinere, produsul RELSYAN poate simula un număr mare de strategii diferite de întreţinere împreună cu politici de încărcare a forţei de muncă şi de achiziţionare a pieselor de schimb, modalităţi de exploatare a sistemului, îndemânare în operarea lui şi factori de stres externi. Pentru a preciza parametrii necesari în vederea obţinerii celei mai bune variante de strategie de întreţinere asociată cu o politică de încărcare a forţei de muncă şi de achiziţie a pieselor de schimb, se iau în discuţie ieşirile statistice (Sherwin şi Bosche, 1993; Shaked şi Shantikunar, 1990). Această alegere optimă se face prin intermediul teoriei MADM (Hwang şi Yoon, 1981; Resteanu şi alţii, 1996). 5.2.1 Modelarea infrastructurii unui sistem de producţie folosind produsul program RELSYAN Funcţia de modelare RELSYAN pune la dispoziţie un set de instrumente cu ajutorul căruia utilizatorul poate realiza modelul sistemului. De fapt, în orice aplicaţie informatică bazată pe simulare, există două tipuri de modele, modelul extern şi cel intern, însă utilizatorul final, adică omul din întreprindere care are de-a face cu modelul, îl percepe numai pe primul, cel de-al doilea fiind transparent pentru el. Modelul extern al sistemului de producţie este orientat obiect (Rumbaugh şi alţii, 1991) şi este reprezentat de o diagramă de structură şi unul sau mai mulţi arbori de avarie. Pentru modelarea sistemului, utilizatorul asociază un limbaj de modelare pictorială (LMP) cu metodele tradiţionale pentru achiziţia şi structurarea datelor primare folosite în analiza fiabilităţii sistemelor (AFS). Pentru modelarea infrastructurii sistemelor de producţie, interfaţa avansată (perechea LMP - AFS) dă descrierea morfo-fiziologică a sistemului. Din punct de vedere matematic, diagrama de structură este un multi-graf fără circuite şi arborele de avarie este un anume tip de arbore, ambele având acelaşi

158

mod de stocare. Cât despre modelul intern, el este o translatare a modelului extern întrun format orientat pe executarea rapidă a funcţiilor produsului RELSYAN. Entităţi de bază În primul rând se consideră baza de informaţii pentru procesul de modelare. Aceasta presupune existenţa blocurilor, componentelor, evenimentelor, intrărilor, fluxurilor interne, fişierelor de intrare ale sistemului (coduri, nume, comportamente individuale) şi fişierelor de management al întreţinerii (stocuri de piese de schimb şi politici de achiziţie, resurse de forţă de muncă şi modul de organizare a echipelor, sarcini de întreţinere corectivă / preventivă / condiţională etc.). Datele referitoare la aceste entităţi vor fi referite la descrierea sistemului şi la simularea funcţionării acestuia. Sistemele de mari dimensiuni referă o cantitate imensă de date care trebuie, pe cât posibil, precizate înainte de descrierea sistemului. Deşi aceasta este regula de bază, este permisă definirea elementelor de descriere în timpul desenării diagramelor de structură / arborilor de avarie. Implementarea RELSYAN nu depinde de existenţa unui software de control a întreţinerii. Dacă nu există un astfel de software, utilizatorul apelează la subfuncţia prezentată mai sus pentru pregătirea informaţiilor de bază, dacă acest software este deja implementat, atunci produsul RELSYAN va ataşa parţial sau total baza de date deja existentă. Descriere Structura infrastructurii sistemului de producţie şi comportamentul său se vor defini folosind editoarele grafice care vor produce diagramele de structură şi arborii de avarie (Figura 5.2.1.1 şi Figura 5.2.1.2).

Figura 5.2.1.1. Editorul grafic al diagramelor de structură

159

Figura 5.2.1.2. Editorul grafic al arborilor de avarie Diagrama de structură, a cărei editare ierarhică e dată de structura organizatorică a sistemului, va da entităţile structurale de bază şi le va organiza într-un formalism grafic care reprezintă sistemul. Conceptual vorbind, diagrama rezultată este un multigraf orientat. Nodurile sale vor fi reprezentate de pictograme: dreptunghiuri cu contur umbrit dacă este vorba de elemente de structură ne-terminale (blocuri) sau dreptunghiuri cu contur normal dacă este vorba de elemente de structură terminale (componente). Arcele multi-grafului sunt conexiuni între elementele de structură şi se judecă în termeni de efecte ale căderilor. Pentru a construi o diagramă de structură, utilizatorul are la dispoziţie două tipuri de micro-structuri de pictograme. Primul tip, denumit micro-structuri standard, conţine micro-structuri de componente sau blocuri seriale, paralele, (k-din-n, consecutive sau nu), stand-by (cu dispozitiv de avertizare sau fără), micro-structuri de tip punte. Micro-structurile standard sunt predefinite. Al doilea tip, denumit micro-structuri specifice sau utilizator, includ producţiile refolosibile ale utilizatorului. Utilizatorul e sfătuit să foloseacă în mod consecvent acest tip de structuri. De fapt, diferenţe între micro-structurile standard şi cele specifice, odată create, nu există, atât din punct de vedere al stocării cât şi din punct de vedere al utilizării lor. Un arbore de avarie este o diagramă logică care descrie interacţiunile între posibilele evenimente critice (accidente) ale sistemului şi factorii care produc aceste evenimente. Produsul RELSYAN foloseşte arbori de avarie calitativi. Atenţie, analiza cantitativă se face cu metoda Monte Carlo la timpul potrivit. Dacă diagrama de structură se referă la descrierea structurală, incluzând descrierea funcţională, arborii de avarie se referă mai mult la descrierea funcţională. Pentru a realiza descrierea arborelui de avarie utilizatorul foloseşte tot pictograme (dreptunghi cu un simbol de continuare,

160

simbol nedezvoltat care generează, prin personalizare, orice simbol grafic folosit: anume porţi şi / sau, transferuri in / out şi evenimente de bază. Utilizatorul trebuie să ataşeze, la elementele terminale ale celor două tipuri de diagrame, atribute care să le identifice şi să le definească funcţionarea. Pentru diferitele tipuri de căderi şi reparaţii se folosesc modelele: exponenţial, normal, log-normal, Weibull, Gamma, Pareto, Birnbaum-Saunders, Gumbel-small extreme, inverse-Gaussian, Rayleigh, Fisk etc. Diagramele de structură şi arborii de avarie pot fi validaţi în mod explicit, astfel că utilizatorul este în măsură să rezolve cazuri speciale cum ar fi: inconsistenţa şi incompletitudinea. Indiferent de descrierea structurală a sistemului, RELSYAN foloseşte funcţia de stare Φ ( x ) = Φ ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) care ia valoarea 1, dacă sistemul lucrează şi 0 altfel. Fiecare argument xi descrie, în acelaşi fel, starea componentei i. Modele hibride Pentru definirea modelului sistemului, RELSYAN permite folosirea unei diagrame de structură împreună cu unul sau mai mulţi arbori de avarie (Resteanu, 2000). De fapt, pentru modelarea sistemului, utilizatorul poate alege atât diagrame de structură cât şi arbori de avarie. În mod frecvent apare numai un tip de modelare şi anume arborii de avarie care se pot descrie mai uşor. Utilitatea lor este dovedită cu siguranţă pentru sisteme foarte complexe şi fiabile; dacă numărul componentelor care suportă căderi este redus, atunci se poate folosi unul sau mai mulţi arbori de avarie care să sintetizeze corespunzător comportamentul sistemului. Totuşi, acurateţea ieşirilor depinde de construcţia completă a arborilor de avarie. Dacă se folosesc numai arborii de avarie, se poate ca unele date din baza de date, referitoare la căderea componentelor sistemului, să nu se regăsescă în descriere. În acest caz aceste date sau sunt nesemnificative sau arborele de avarie este descris parţial. Chiar dacă descrierea unei diagrame de structură este o activitate laborioasă, odată realizată, aceasta va ţine seama de toate căderile posibile ale sistemului. Dacă utilizatorul nu este capabil să modeleze exact comportamentul sistemului prin intermediul arborilor de avarie, folosind diagramele de structură va realiza cu siguranţă acest lucru. Pentru sisteme complexe de mari dimensiuni este recomandabil să se folosească atât diagrame de structură cât şi arbori de avarie. Factorii endogeni şi factorii exogeni sunt de aceeaşi importanţă pentru o bună apreciere a funcţionării sistemului. Este dificil, dacă nu chiar imposibil, ca o diagramă de structură să redea comportamentul factorilor exogeni. În acelaşi timp, după cum am văzut, arborii de avarie nu pot fi doar o alternativă palidă a diagramei de structură, rolul lor este să completeze modelul sistemului până la identificarea cu sistemul real. Aşa-numiţii factori de stres (factori de de mediu (condiţii climaterice, condiţii de ambient), dezastre naturale (cum ar fi inundaţiile, furtunile, cutremurele, incendiile), sabotaje, conflicte militare, epuizare fizică sau psihică a operatorilor umani, nerespectarea programului de întreţinere etc.) nu pot fi prinşi în diagramele de structură. Dacă s-a recurs numai la folosirea diagramelor de structură, această descriere nu va conţine influenţa factorilor de stres. În concluzie, numai împreună diagrama de structură şi arborii de avarie pot constitui o soluţie în modelarea unui sistem supus analizei de fiabilitate! Este de menţionat că, în cazul unei astfel de modelări, utilizatorul este scutit să invoce concepte matematice de teoria fiabilităţii, cum sunt

161

funcţia de structură, mulţimi drum / tăietură etc. Acestea sunt înglobate, şi chiar mai mult, ascunse în descrierea morfo-fiziologică . 5.2.2 Construirea şi rezolvarea problemelor de simulare a funcţionării infrastructurii sistemelor de producţie şi rezolvarea lor Modelul infrastructurii sistemului de producţie în complexitatea sa, incluzând comportamentul său influenţat de factorii aleatori endogeni şi cei exogeni, stă la baza execuţiei principalelor funcţii RELSYAN. Construcţia problemelor de simulare Monte Carlo Dându-se un model, se pot construi mai multe probleme foarte diferite între ele. Acestea diferă pentru că parametrii precizaţi la intrare, destul de mulţi ca număr, pot fi daţi într-o varietate de combinaţii. Aceşti parametri sunt: - Numele lucrătorului din Departamentul Mecanic care face simularea funcţionării infrastructurii sistemului de producţie; - Starea naturii în care se face simularea funcţionării sistemului de producţie, anume: a) modul de funcţionare a sistemului de producţie (sub-solicitat, normal-solicitat sau supra-solicitat) şi b) codul arborelui / arborilor de avarie asociat / asociaţi diagramei de structură, care definesc mediul în care funcţionează infrastructura sistemului de producţie împreună cu probabilităţile lor de manifestare în cadrul modelului; - Aria maximală de considerare a modelului pentru care se va construi problema. Problemele se pot genera pentru întreg sistemul, care este cazul implicit, sau numai pentru o parte din el, dacă se precizează nivelul dorit din structura organizatorică; - Orizontul de timp, dat prin data de început şi data de sfârşit a simulării şi anumite momente de timp, în interiorul acestuia, la care se cere afişarea unor indicatori statistici; - Calendarul de funcţionare a sistemului de producţie şi regimul de schimburi; - Codul de identificare a unei strategii de întreţinere predefinite; - Codul de identificare a politicii stocurilor şi achiziţiei pieselor de schimb; - Codul de identificare a politicii forţei de muncă în Departamentul Mecanic; - Nivelul de afişare a rezultatelor simulării (indicatori statistici de bază, complementari, detaliaţi, resurse necesare întreţinerii sistemului pe tipuri de resurse). Specificarea unui anumit nivel din lista anterioară provoacă afişarea tuturor indicatorilor statistici până la acel nivel inclusiv. O problemă de simulare este bine definită de aceşti parametri. Dacă în sistem intră după simulare a doua problemă cu aceiaşi parametri de definire, numai ultima instanţiere persistă pentru prelucrări anterioare. Problemele având aceeaşi arie maximală şi acelaşi orizont de timp se consideră că aparţin aceleiaşi clase de echivalenţă. O problemă permite automat acordarea fină a parametrilor, cu menţinerea în aceeaşi clasă de echivalenţă, în concordanţă cu diferitele necesităţi de construire a problemelor de simulare a funcţionării infrastructurii sistemului de producţie. Astfel, plecând de la o problemă dată, se poate construi o nouă problemă, aparţinând aceleiaşi clase cu problema iniţială, fără a se relua de la început lucrul pe baza de date.

162

Rezolvarea problemelor de simulare Monte Carlo Metoda Monte Carlo răspunde cerinţelor specifice simulării funcţionării infrastructurii unui sistem de producţie pentru că ea poate lua în considerare un plan complex de întreţinere cu toate tipurile de întreţinere: corectivă (directă, amânată, curativă), preventivă (normală, condiţională, sistematică, ciclică, indicativă, critică, limitativă), mixtă (funcţională, pe celule, permisivă, ciclică, indicativă), toate politicile de achiziţie a pieselor de schimb, toate modalităţile de utilizare a forţei de muncă disponibile şi toate tipurile de căderi în funcţionare (datorate factorilor endogeni şi exogeni). Se presupune că sistemul este cu componente independente şi reparabile. Fiecare componentă are propriul ceas T [i ] (timp operaţional) precizat separat pentru fiecare tip de întreţinere (corectivă, preventivă, mixtă). Pentru a descrie funcţionarea dinamică a sistemului este folosită tehnica incrementării variabile a ceasului simulării, care se calculează în timpul simulărilor: clock = min T [i ] (5.2.2.1) 1≤ i ≤ n

Pe scurt, algoritmul de simulare este următorul: ceasul este iniţializat la 0, componentele sistemului se găsesc în diferite stări initiale, care sunt citite de sistemul RELSYAN la generarea problemei. Apoi ceasul simulării este avansat după regula evenimentului următor (i.e. dată de formula (5.2.2.1)). Componentele sunt apoi analizate la cădere şi repornire cu actualizarea statisticilor astfel: actualizarea totalurilor timpilor alocaţi reparaţiilor sau a timpilor de aşteptare, actualizarea cantitativă a resurselor (piese de schimb, mână de lucru) necesare pentru estimarea costurilor întreţinerii, actualizarea costurilor stocului de piese de schimb care intervin în managementul întreţinerii. După simularea unei traiectorii, se determină pentru caracteristicile de fiabilitate cerute: valorile medii, varianţele şi coeficienţii de corelaţie ale acestor caracteristici precum şi repartiţiile de probabilitate empirice (histograme sau tabele de contingenţă pentru perechi de astfel de caracteristici) (Devroye, 1986; Drosebeke şi alţii, 1989; Engin şi Tuncer, 1991; Văduva, 1994). Apoi, folosind un număr mare de traiectorii sunt calculate: mediile aritmetice, varianţa empirică sau alte statistici care furnizează informaţii mai precise, precizia fiind bineînţeles funcţie de numărul de traiectorii simulate. Soluţiile unei probleme de simulare Monte Carlo După rezolvarea unei probleme de simulare, produsul RELSYAN asigură accesul la indicatorii statistici de ieşire asociaţi parametrilor de intrare. Se oferă estimări ale indicatorilor RAM (Reliability, Availability, Maintainability). Statisticile oferite sunt de trei feluri: de bază, complementare şi detaliate. Indicatorii statistici de bază sunt: I01 – Fiabilitatea (R), I02 – Disponibilitatea (A), I03 – Mentenabilitatea (M), I04 – Costurile pentru achiziţia pieselor de schimb (CS), I05 – Costurile pentru plata forţei de muncă (CM). Indicatorii statistici complementari sunt: I06 – Indisponibilitatea (UA), I07 – Numărul de căderi ale sistemului (NSF), I08 – Timpul de staţionare (DT), I09 – Timpul de staţionare datorat căderilor (DTF), I10 – Timpul de staţionare datorat întreţinerii corective (DTC), I11 – Timpul de staţionare datorat întreţinerii preventive (DTP), I12 – Timpul de staţionare datorat lipsei pieselor de schimb (DTS), I13 – Timpul de staţionare datorat lipsei forţei de muncă (DTR), I14 – Costurile totale (TC), I15 –

163

Costurile pierderii de producţie datorate indisponibilităţii (UCP), I16 – Costurile întreţinerii (MC), I17 – Costuri datorate întreţinerii corective (MCC), I18 – Costuri datorate întreţinerii preventive (MCP), I19 – Costuri datorate lipsei pieselor de schimb (UCS), I20 – Costuri datorate lipsei forţei de muncă (UCR). Pentru fiecare indicator statistic de unul dintre tipurile menţionate mai sus se dau: codul, valoarea medie, deviaţia standard, limita inferioară, limita superioară şi, pentru perioada de simulare, reprezentarea grafică

, tabela de frecvenţă

(Figura 5.2.2.1), matricea de corelare . Indicatorii statistici de detaliu se împart în trei clase: - Pentru fiecare tip de componentă / mod de cădere / cauză a căderii: I21 – Timpul de staţionare datorat căderilor (DTF/C), I22 – Timpul de staţionare datorat întreţinerii preventive (DTP/C), I23 – Costul total (TC/C), I24 – Costul datorat întreţinerii corective (MCC/C), I25 – Costul datorat întreţinerii preventive (MCP/C); - Pentru fiecare tip de piese de schimb: I26 – Numărul necesar (NN/S), I27 – Timpul de staţionare datorat lipsei în stoc (DT/S), I28 – Costul total (TC/S), I29 – Costul datorat lipsei în stoc (UC/S); - Pentru fiecare tip de forţă de muncă: I30 – Numărul necesar de personal (NN/M), I31 – Ore lucrate (WH/M), I32 – Gradul de ocupare (DE/M), I33 – Timpul de staţionare datorat lipsei forţei de muncă (DT/M), I34 – Costul total (TC/M), I35 – Costul datorat lipsei forţei de muncă (UC/M). Pentru fiecare indicator statistic de tipurile menţionate mai sus se dau: codul, valoarea, importanţa dată de timpul de staţionare şi cea dată de costuri. Dacă se defineşte o politică de achiziţii a pieselor de schimb, atunci se calculează indicatorii I27, I28 şi I29, altfel se calculează numai I26. Analog, dacă se defineşte o politică în domeniul forţei de muncă, se calculează indicatorii I31, I32, I33, I34 şi I35, altfel se calculează numai I30. Toţi aceşti indicatori sunt calculaţi pe orizontul de timp dat la intrare sau la anumite momente de timp specificate în interiorul acestui orizont. De asemenea, ei pot fi prezentaţi la nivelul sistemului sau la sub-niveluri organizatorice care sunt definite la generarea problemei. Ieşirile sunt prezentate atât în mod clasic cât şi grafic. Să presupunem că indicatorul curent este NSF, atunci se obţine:

Figura 5.2.2.1 Informaţii statistice despre numărul de căderi ale sistemului

164

5.2.3 Soluţia optimă a problemelor de simulare Monte Carlo Compararea, fără un instrument special, a unui număr mare de strategii de întreţinere care aparţin aceleiaşi clase, este o sarcină dificilă prin prisma celor 35 de indicatori statistici. De aceea este necesară construirea unei probleme de alegere optimă pornind de la datele statistice asociate fiecărei strategii de întreţinere simulate cu metoda Monte Carlo. Pentru orice clasă de strategii de întreţinere care au fost analizate prin simularea funcţionării infrastructurii sistemului de producţie, se consideră următorul model MADM: - D = {d (l ) | l = 1, l}, ( l = card( D )), ale cărei elemente sunt decidenţii, adică persoanele din Departamentul Mecanic însărcinate cu optimizarea strategiilor de întreţinere a infrastructurii sistemului de producţie. Importanţele lor absolute I Da (l), stabilite prin negociere în cadrul mulţimii decidenţilor, sunt valabile pentru orice clasă a de strategii de întreţinere. Ele satisfac următoarele condiţii: 0 < I D (l ) ≤ 1 , descrescând de la primul la ultimul, şi

∑I

a D

(l ) = 1 ;

1≤ l ≤ l

- S = {s (k ) | k = 1, k}, ( k = card( S )), ale cărei elemente sunt stările naturii, fiecare dintre ele semnificând totalitatea condiţiilor care pentru aceeaşi strategie de întreţinere provoacă la simulare indicatori statistici diferiţi. Importanţele lor absolute I Sa (k) sunt bine definite pentru fiecare clasă de strategii de întreţinere în parte, printr-o analiză adecvată a elementelor clasei respective. Ele satisfac următoarele condiţii: a 0 < I S ( k ) ≤ 1 , descrescând de la primul la ultimul, şi ∑ I ( k ) = 1 ; a

S

1≤ k ≤ l

- M = {m(i ) | i = 1, i}, (i = card( M )), mulţimea tuturor strategiilor de întreţinere caracterizate prin simulare şi aparţinând aceleiaşi clase de strategii. Astfel, m(i) este strategia de întreţinere caracterizată la simularea i; - A = {a ( j ) | j = 1, j}, (j = card(A)), mulţimea atributelor considerate importante pentru a realiza o descriere bună a strategiilor de întreţinere în cadrul clasei de echivalenţă respective, în acest caz, cei 35 de indicatori statistici aleşi pentru a face discriminarea între strategiile de întreţinere. Pentru fiecare strategie de întreţinere, primul atribut din mulţimea atributelor este fiabilitatea, deoarece managementul întreţinerii este considerat ca fiind centrat pe fiabilitate. Astfel, a(1) reprezintă indicatorul de fiabilitate a clasei strategiilor de întreţinere. Fiecărui atribut a(j) i se asociază tipul cardinal, deoarece toţi indicatorii statistici rezultaţi din simulare sunt valori cardinale, sensul de apreciere sense(j), care poate lua una dintre valorile max sau min depinzând de faptul că sunt preferate valorile cele mai mari sau cele mai mici ale lui a(j) şi importanţa lui absolută I Aa (j). Importanţele atributelor, date de experţii în întreţinere şi valabile pentru orice clasă de strategii de întreţinere, satisfac următoarele condiţii: 0 < I A ( j ) ≤ 1 , a

descrescând de la primul la ultimul, şi

∑I 1≤ j ≤ j

a A

( j) = 1 .

165

- C={ ( c (i , j , k , l ) ) 1 ≤ i ≤ i , 1 ≤

j ≤ j

,1 ≤ k

≤ k ,1 ≤ l ≤ l

} un masiv 4-dimensional de tipul i

× j × k × l numit tensorul caracteristicilor; fiecare c (i , j , k , l ) în C reprezintă valoarea atributului a(j) pentru strategia de întreţinere m(i) în starea naturii s(k) şi în opinia decidentului d(l). Se doreşte prezentarea la lucru tot a metodei Pareto dar de data aceasta în cazul mai mulţi decidenţi şi mai multe stări ale naturii. După cum se ştie, metoda minimizează distanţa la punctul ideal, în acest caz o strategie de întreţinere care are cele mai bune caracteristici pe fiecare coloană a matricei caracteristicilor rezultate pentru oricare s(k) şi d(l) fixaţi. Astfel, trebuie să existe la îndemână lo_a(j) şi up_a(j). Din simulare însă nu reiese în mod direct intervalul de valori în care variază atributele în cadrul unei clase de echivalenţă. De aceea trebuie să se calculeze: lo_a(j) = min min min c (i , j , k , l ) şi up_a(j) = max max max c(i , j , k , l ) . 1≤ i ≤ i 1≤ k ≤ k 1≤ l ≤ l

1≤ i ≤ i

1≤ k ≤ k

1≤ l ≤ l

Atributele a(j) pentru care intervalul de valori standard este degenerat, adică pentru care lo_a(j) = up_a(j), se elimină din model; ele nu influenţează discriminarea finală a strategiilor de întreţinere. Se dă în continuare rezolvarea problemei de alegere optimă prin metoda Pareto, dată în pseudocod, însă în final se va trece de la distanţa la punctul ideal la merit pentru ca judecata utilizatorului să coincidă cu ieşirea metodei. for=1,l for l=1,l for k=1,k for i=1,i for j=1,j c(i,0,0,l)=0 d_a(j)=up_a(j)-lo_a(j) endfor if d_a(j)=0 then for k=1,k for i=1,i d_a(j)=1 c(i,0,0,l)= c(i,0,0,l) + endif for i=1,i (1- I Sa (k))* c(i,0,k,l) c(i,0,k,l)=0 endfor endfor endfor for i=1,i endfor if sense_a(j)=”max” then for i=1,i c(i,0,k,l)= c(i,0,k,l)+ c(i,0,0,l)=0 I Aa (j)*(up_a(j)endfor for l=1,l c(i,j,k,l))/d_a(j) for i=1,i else c(i,0,0,0)= c(i,0,0,0) + c(i,0,k,l)= c(i,0,k,l)+ a (1- I Da (l))* c(i,0,0,l) IA (j)*(c(i,j,k,l)endfor lo_a(j))/d_a(j) endfor endif sort des (1-c(i,0,0,0)),i=1,i giving endfor endfor (o(σ (i)),1-c(σ(i),0,0,0))i=1,i endfor endfor Calcul pentru un decident şi o stare a naturii

Reducerea decidenţilor şi a stărilor naturii

166

Strategiile de întreţinere pot fi astfel ierarhizate în mod natural în funcţie de evaluările (o(σ (i)),1-c(σ(i),0,0,0)) i=1,i după cum urmează: - Cea mai bună strategie de întreţinere este cea care are valoarea respectivă cea mai mare; - Cea mai puţin atractivă strategie este cea care are valoarea respectivă cea mai mică. Astfel, se poate alege strategia optimă de întreţinere a infrastructurii sistemului de producţie. 5.2.4 Concluzii şi viitorul produsului program În România, datorită dezvoltării întreprinderilor industriale mari, s-au intensificat eforturile pentru proiectarea de sisteme informatice menite să contribuie la managementul optimal al acestora. În acest sens, rezultatele obţinute de ICI au devenit cunoscute în cercuri informatice largi şi astfel a devenit posibilă cooperarea cu importante case producătoare de software. RELSYAN a fost dezvoltat pe contract cu firma SIVECO Franţa. Pentru a avea o imagine clară asupra performanţelor produsului RELSYAN, se vor prezenta rezultatele testării cu datele de casă ale proiectantului. S-a considerat un model de dimensiune şi complexitate medie (500 noduri, 6 nivele de imbricare, toate tipurile de micro-structuri, 30% k -din- n micro-structuri, doi arbori de avarie cu 125 de noduri, descriind evenimente de natură exogenă). Simularea s-a realizat pe durata unui an. Pentru simularea funcţionării infrastructurii sistemului de producţie s-au generat 5000 de istorii pentru fiecare strategie de întreţinere luată în analiză. S-au analizat 10 strategii de întreţinere în asociere cu 3 politici de aprovizionare cu piese de schimb şi 3 politici de utilizare a forţei de muncă. S-au testat toate facilităţile de calcul ale RELSYAN, inclusiv alegerea optimă a celei mai bune strategii de întreţinere. Este de remarcat faptul că timpul de evaluare a funcţiei sistem, după schimbările de stare a variabilelor, au luat 15% din timpul total de execuţie. Pe un sistem Pentium IV, performanţa este considerată ca fiind foarte bună, deoarece această simulare complexă se poate executa într-o oră. Pe piaţa mondială nu există, la ora actuală, un produs program care să ia în considerare, în timpul procesului de simulare cu metoda Monte Carlo, un model hibrid bazat pe o diagramă de structură şi unul sau mai mulţi arbori de avarie. Aceeaşi observaţie se poate face şi în cazul perechii simulare cu metoda Monte Carlo, optimizare MADM. După cum se poate vedea, este util, în managementul întreţinerii, să punem la lucru împreună simularea şi optimizarea pentru a obţine o bună strategie de întreţinere şi, în acelaşi timp, o bună politică de resurse adică piese de schimb şi forţă de muncă. RELSYAN are un viitor asigurat pentru că firma SIVECO îl prezintă la vânzare peste tot pe glob. Primele implementări la scală mare au avut loc în Grecia, Franţa şi Germania. Ele au dovedit eficienţa utilizării unui astfel de instrument de asistare a deciziei în activitatea de întreţinere a infrastructurii sistemelor de producţie. Implementările de până acum, destul de diverse, au probat capabilităţile produsului

167

program şi în cazul grefării pe un sistem informatic ce conţine o aplicaţie de tipul managementul infrastructurii sistemului de producţie şi în cazul când aceasta nu există.

Referinţe bibliografice Barlow, R.E. and F. Prochan (1965). Mathematical Theory of Reliability, John Wiley and Sons, New York. Birolini, A. (1994). Quality and Reliability of Technical Systems. Theory-PracticeManagement, Springer Verlag, Berlin. Cassandras, C. (1993). Discrete Events Systems Modeling and Performance Analysis, Richard D. Irvin and AKSEN Associates Inc. Devroye, L. (1986). Non-Uniform Random Variate Generation, Springer Verlag, Berlin. Droesbeke, JJ., B. Fichet and PH. Tassi (eds.) (1989). Analyse Statistique des Durees de la Vie. Modelisation des Donnees Censurees, Economica, Paris. Engin, S. and Y. Tuncer (1991). "The use of Copulas to Generate New Multivariate Distributions". The Frontiers of Statistical Computation, Simulation and Modeling, Vol.1, Proc. of ICOSCO-1, The First Conf. of Statistical Computing, Ed.Chief NELSON P.R., pp. 197-222. Fishman, S.G. (1996). Monte Carlo Concepts, Algorithms and Applications, SpringerVerlag, Berlin. Gerstbakh, I.B. (1989). Statistical Reliability Theory. Marcel Dekker, Inc., New York and Basel. Hoyland, A. and M. Raussand (1994). System Reliability Theory. Models and Statistical Methods, John Wiley and Sons, Inc. New York. Hwang, C-L. and K. Yoon (1981). Multiple attribute decision making. SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg, New York. Resteanu, C., F.G. Filip, C. Ionescu and M. Somodi (1996). “On Optimal Choice Problem Solving”. In Proceedings of SMC ‘96 Congress (Beijing, October 14-17). A.P. Sage and W. Zheng (Eds.), IEEE Publising House, Piscataway NJ, pp. 18641869. Resteanu, C., F.G. Filip, T.S. Stănescu and A. Mihăilescu (1998). “Building Pattern Charts and Fault Trees for Reliability, Availability and Maintainability Analysis”. In: The Proceedings of the 12th European Simulation Multi-Conference, Society for Computer Simulation International, Manchester, United Kingdom, pp. 211215. Resteanu, C., T.S. Stănescu and E. Mitan (1999). “On system function in RAM analysis”. In Proceedings of the IEPM ’99 International Conference on Industrial Engineering and Production Management, (Glasgow, July 12-15), pp. 107-115. Resteanu, C. and F.G. Filip (2002). Hybrid modelling in reliability analysis. In Proceedings of the “4-th International conference on Quality, Reliability, and Maintenance QRM 2002” (Oxford, March 21- 22), pp. 43-46. Rumbaugh, J., M. Blaha, W. Premerlani, F. Eaddy and W. Lorensen (1991). Object Oriented Modelling and Design. Prentice - Hall International, Inc., Englewood Cliffs, N. J.

168

Ripley, B.D. (1987). Stochastic Simulation. John Wiley and Sons, New York. Shaked, M. and G.J. Shantikunar (1990). Reliability and Maintainability. Handbook in OR & MS, Vol.2, D.P. Heyman, M.J. Sobel Eds., Elsevier Science Publishers B.V. (North Holland), pp. 653-713. Sherwin, D.J. and A. Bosche (1993). The Reliability, Availability and Productivness of Systems. Chapman and Hall, London. Văduva, I. (1977). Modele de Simulare cu Calculatorul. Editura Tehnica, Bucuresti. Văduva, I. (1994). "Fast Algorithms for Computer Generation of Random Vectors Used in Reliability and Applications". Preprint No. 1603, Januar 1994, Technische Hochschule Darmstadt, Germany. Zeigler, B.P. (1976). Theory of Modelling and Simulation. John Wiley and Sons, New York.

169

5.3 Afaceri de procesare pentru întreprinderile petrochimice În cele ce urmează este prezentat un exemplu menit să ilustreze, pentru afacerea de tip processing, posibilitatea încheierii de afaceri optime atât din punctul de vedere al întreprinderii petrochimice cât şi din cel al partenerilor săi de afaceri. Lucrarea s-a realizat pentru complexul petrochimic Petrobrazi. Modernizarea întreprinderilor industriale este un concept foarte complex. În opoziţie cu întreprinderile cu producţie discretă, care pentru modernizare pot adopta în afară de retehnologizare şi reorganizare internă, integrarea orizontală cu întreprinderile partenere, apelând la conceptul de întreprindere extinsă, întreprinderile cu producţie continuă pot apela, în stadiul actual de dezvoltare tehnologică, doar la reingineria proceselor lor de afaceri (Resteanu şi Filip, 1995; Resteanu şi Nistor, 2001; Resteanu şi alţii, 2001a; Resteanu şi alţii, 2001b; Resteanu şi alţii, 2001c). Pentru aceasta este nevoie să se reconsidere o serie de aspecte. Unul dintre acestea este planificarea producţiei, care trebuie să susţină simulări rapide ale aşa-numitelor afaceri de procesare. Întreprinderile cu producţie continuă, cele din domeniul petrochimiei în special, pot să obţină beneficii mari lucrând în regim de processing. În acest regim, materiile prime nu sunt cumpărate de către întreprinderea prelucrătoare, ele sunt deţinute de un partener de afaceri care intenţionează să obţină maximum posibil din prelucrarea lor. Deschiderea porţilor unei întreprinderi partenerilor de afaceri, pentru o mai bună cooperare, înseamnă un salt imens în mentalitatea tradiţională. Se apreciază de către economiştii de înaltă calificare, care activează în mari companii transfrontaliere, în mari universităţi şi în institute de cercetare renumite, că activitatea de aprovizionare va arăta la sfârşitul veacului curent cu totul altfel decât la sfârşitul veacului douăzeci. În domeniul petrochimic, această apreciere se adevereşte încă de pe acum. Aprovizionarea cu ţiţei la Petrobrazi prin aşa-zisele afaceri de processing nu înseamnă altceva decât faptul că oameni de afaceri care nu fac parte din societatea comercială respectivă se ocupă de aprovizionarea cu anumite cantităţi de ţiţei. Dezavantajul, în acest caz, este bombardarea întreprinderii cu propuneri de afaceri pentru prelucrarea unor loturi de materie primă, propuneri care nu se vor finaliza niciodată din cauza pretenţiilor exagerate ale oamenilor de afaceri. La Petrobrazi, pentru că rafinăria este foarte performantă, se înregistrează până la 50 de propuneri de processing pe an, ceea ce înseamnă că săptămânal conducerea la vârf a sucursalei, plus un decident de la nivelul PETROM, trebuie să se ocupe de analiza fezabilităţii propunerii. Aceasta înseamnă un mare consum de forţă de muncă de foarte mare calificare. O soluţie poate fi dialogul prin Internet între partenerii potenţiali şi un sistem de calcul al întreprinderii. Dialogul constă în definirea şi rezolvarea automată a unor probleme de progamare liniară multi-criterială pentru evaluarea profitului ambelor părţi. Odată afacerea găsită convenabilă, pot începe şi negocierile cu echipa de manageri ai întreprinderii. Astfel, se deschid noi drumuri spre afaceri reciproc avantajoase. Ca o regulă, datele modelului sunt proprietatea intelectuală a întreprinderii şi sunt secrete. Pentru a proteja aceste date, întreprinderea afişează pe Internet numai datele referitoare la listele de produse finite. Pentru un partener, este normal să furnizeze cantităţile de materii prime care vor fi procesate cu proprietăţile lor fizico-

170

chimice precum şi datele despre nivelurile asociate produselor finite. Principalele obiective incluse în mulţimea obiectivelor întreprinderii sunt: cantitatea de produse finite, valoarea de piaţă a produselor finite, valoarea producţiei nete, costurile de producţie, stocurile de produse finite, stocurile pe flux, costurile cu manopera, costurile de prevenire a poluării, profitul. Mulţimea obiectivelor partenerului conţine de obicei: costul materiei prime şi a ingredienţilor, costurile de transport, costurile de procesare, valoarea cantităţilor de produse finite şi, în final, profitul. Un partener de afaceri doreşte ca procedurile prezentate pe Internet să fie foarte uşor de folosit. Cererea de procesare iniţială precum şi protocolul de negociere pe Internet, constând în reiterarea cererii în alte condiţii de optimizare, trebuie să nu ridice probleme de înţelegere partenerului de afaceri. Lucătorii Departamentului Producţie vor urmări şi ei, de cele mai multe ori, cum decurge “negocierea” partenerilor cu calculatorul întreprinderii şi pot trimite e-mail-uri de direcţionare, atenţionare sau explicare în legătură cu procesul de optimizare. Rezultatele calculelor, adică nivelurile atinse în optimizarea producţiei inclusiv valorile obiectivelor, vor fi comunicate partenerului de afaceri la fiecare iteraţie. Pe scurt, după înregistrarea în sistem, un partener de afaceri poate prezenta o cerere de procesare, în care precizează caracteristicile ţiţeiului de prelucrat precum şi costul transportului. Sistemul calculează automat profitul reieşit din afacere. După optimizare se oferă în plus trei categorii de informaţii. Pe intrări: informaţii despre ingredienţi, pe ieşiri: informaţii despre produsele finite, pentru indicatorii calculaţi: valoarea ţiţeiului, costul transportului, costul ingredienţilor, costul procesării, valoarea produselor finite şi profitul. Partenerul de afaceri va fi, de cele mai multe ori, nevoit să reitereze cererea de optimizare, prin precizarea altor condiţii asupra nivelurilor produselor finite dorite la ieşire, până când este mulţumit de rezultate. Desigur că, uneori, partenerul poate renunţa la o afacere care nu se dovedeşte avantajoasă pentru el. Un complex industrial bazat pe procese tipic continue transformă materiile prime şi materialele auxiliare (de calităţi diferite şi cu proprietăţi fizico - chimice diferite) în produse finite printr-o serie de faze de procesare realizate în câte o celulă de producţie specializată (CPS) în realizarea unui produs intermediar sau final. Materiile prime / ingredienţii şi produsele intermediare / finite sunt admise şi, respectiv, livrate în mod normal prin intermediul conductelor, rezervoarelor de intrare / ieşire şi al magaziilor. La nivelul întreprinderii, interconexinile între CPS-uri sunt realizate în mod normal prin conducte prevăzute cu noduri de acumulare / distribuire şi în unele cazuri, cu rezervoare tampon de intrare / ieşire. Fluxul de materiale este, în mod uzual, orientat dinspre intrarea sistemului către ieşire, rareori există recirculări. Multiple utilităţi (energie electrică, diverşi combustibili, aer, abur, apă pentru răcire sau care intră în compoziţia diferitelor produse etc.) trebuie avute de asemenea în vedere. Se presupune că principalele CPS-uri lucrează în regimuri staţionare, specificate de tehnologiile de prelucrare, astfel încât funcţionarea continuă a întregului proces de producţie să fie garantată.

5.3.1 Modelul matematic de planificare a producţiei Descrierea matematică a unei astfel de întreprinderi (Bonner şi Moore, 1989; Ciriani şi Gliozzi, 1994; Simons, 1987; Fourer şi alţii, 1990), folosind modelarea

171

pictorială (Resteanu şi alţii, 2000; Rumbaugh şi alţii, 1991), este platforma pentru generarea problemelor de programare liniară multi-obiectiv. O problemă de planificare a producţiei include componente cum sunt restricţiile comerciale şi tehnologice şi diferite obiective. n Fie F = {x ∈ ℜ + x satisface relaţiile definite de comportamentul CPS - urilor întreprinderii} şi fie f ( x ) vectorul funcţiilor obiectiv de minimizat / maximizat la întreprindere. Astfel problema MOLP este definită după cum urmează: min f ( x)

(5.3.1.0)

x∈F

Să considerăm problema MOLP dată în forma canonică: min f ( x)   g ( x) ≥ b ,   x≥0 unde: f ( x) = ( f1 ( x),.., f o ( x)) , g ( x) = ( g1 ( x),.., g m ( x)) x = ( x1 ;.., xn ) , n

n

i =1

i =1

b = (b1 ;.., bm ) ,

0 = (01 ;..,0 n ) f l ( x) = ∑ cli xi , l ∈ 1, h , g j ( x) = ∑ a ji xi , j ∈ 1, m cli , a ji , b j ∈ ℜ , (∀) l ∈ 1, o ,

i ∈ 1, n , j ∈ 1, m . 6

Fie C = U Ck mulţimea CPS-urilor, descompusă în şase clase: 1) intrările k =1 sistemului, 2) celulele cu funcţionare bazată pe relaţii de tip randament, 3) celulele de amestec, 4) celulele cu funcţionare bazată pe relaţii de tip consum specific, 5) nodurile de acumulare / distribuire, 6) ieşirile sistemului. În terminologia multi-grafurilor (Berge, 1962; Harary, 1972; ), toate elementele lui C sunt noduri; în timp ce, pentru C1 şi C6 există numai arce de ieşire, respectiv intrare, pentru Ck (( ∀) k ∈ 2 ,5) ambele tipuri de arce sunt posibile. Pentru un anumit nod c, fie id(c) numărul de arce care intră în nod şi od(c) numărul arcelor care ies din nod. Pot fi identificate anumite trasături caracteristice ale modelului extern care reprezintă complexul industrial: 5

1) id(c)=0 (∀)c∈ C1 , od(c)=0 (∀)c∈ C6 şi 1≤id(c), od(c) ≤20 (∀)c ∈ U Ck ; k =2 2) nu există nici un ciclu de lungime unu; 3) toate recirculările conţin mai mult de două arce; 4) dimensiunile sunt mai de grabă mari, numărul de noduri şi arce în mod uzual ajunge la sute, respectiv mii, în consecinţă, o astfel de întreprindere este un sistem de mari dimensiuni. Fiecare clasă de CPS-uri are un comportament propriu, definit în cele ce urmează:

172 c

c

Pentru C1 , ( ∀) c ∈ 1, c1 , ieşirile Oi , disponibilul AVAC şi cantităţile Qmin , c

Qmax , verifică:

- relaţia de limitare a cantităţii disponibile c c c Qmin ≤ AVA ≤ Qmax

(5.3.1.1)

- relaţia de distribuire a cantităţii disponibile od (c) c c ∑ O ≤ AVA i=1 i

(5.3.1.2) c

c

c

Pentru C2 , ( ∀) c ∈ 1, c2 , intrările I j , ieşirile Oi , capacităţile CAPmin şi c

c

c

c

CAPmax , randamentele Rij de transformare a intrărilor I j în ieşirile Oi , cantităţile c

c

Qmin , Qmax şi ponderile pk , qk pentru intrări, respectiv ieşiri, verifică:

- relaţiile randamentelor id ( c )

c

c

c

Oi = ∑ Rij ⋅ I j (∀) i∈ 1, od ( c ) j =1 id ( c )

c

(5.3.1.3)

c

unde Rij îndeplineşte condiţia ∑ Rij = 1 (∀) i∈ 1, od ( c ) j =1

- relaţia de capacitate c

id ( c )

c

c

CAPmin ≤ ∑ I j ≤ CAPmax

(5.3.1.4)

j =1

- restricţiile impuse anumitor intrări c c c (∃) i∈{1,2..od(c)} astfel încât Qmin ≤ Oi ≤ Qmax - relaţiile de inter-condiţionare între intrări şi ieşiri

 ISUB c ⊆ ({1,2,.., id ( c)} \ { j}) (∃)  c  pk ∈ ℜ + ( ∀) k ∈ ISUB astfel încât

c

Ij =

∑

k ∈ISUB c

(5.3.1.5)

pentru j fixat

c

(5.3.1.6)

pk I k

OSUB c ⊆ ({1,2 ,.., od ( c)} \ {i}) pentru i fixat (∃)  c q k ∈ ℜ + ( ∀) k ∈ OSUB astfel încât

c

Oi =

∑

k ∈OSUB c

c

(5.3.1.7)

q k Ok

c

c

c

Pentru C3 , (∀) c∈ 1, c3 , intrările I j , ieşirile O , capacităţile CAPmin şi c

min

CAPmax , coeficienţii de amestec rj, calităţile QUALl

max

, QUALl

ale ieşirilor şi

173

calităţile QUALlj care definesc contribuţia intrării j la calitatea corespunzătoare ieşirii QUALl , verifică:

- relaţia amestecului liber id ( c )

c

c

O = ∑ Ij

(5.3.1.8)

j =1

- relaţia amestecului după reţetă I cj = r j O c , ( ∀) j 0 ≤ r j ≤ 1, ( ∀ ) j ∈ 1, id ( c )

cu

(5.3.1.9)

∈ 1, id ( c )

id ( c )

∑ rj =1

şi

j =1

- relaţiile calităţii standard c

id ( c )

min

O ⋅ QUALl

j =1

max

c

c

≤ ∑ QUALlj ⋅ I j , ( ∀) l

O ⋅ QUAL

l

id ( c )

∈ 1, l ( O

c

c

(5.3.1.10)

)

c

≥ ∑ QUALlj ⋅ I , ( ∀) l ∈ 1,l ( O )

(5.3.1.11)

j

j =1

- relaţia capacităţii c

c

c

CAPmin ≤ O ≤ CAPmax

(5.3.1.12) c

c

Pentru C4 , (∀) c∈ 1, c4 , intrările I j , ieşirile principale / secundare PRI _ Oi c

c

SEC _ Oi , capacităţile CAPmin , s

c c , Qi max i p min p

c

CAPmax , cantităţile Q c

specifice pentru obţinerea principalelor ieşiri SCi

pj

p

şi

, consumurile

şi proporţia obţinerii ieşirilor

c

secundare din prima ieşire principală RAi 1 , verifică: s

- relaţia balanţei intrări - ieşiri id ( c )

c

∑ Ij =

j =1

∑

i p ∈PRI _ OSUB c

c ip

PRI _ O

+

∑

i s ∈SEC _ OSUB c

c is

SEC _ O

unde:

PRI _ OSUB c , SEC _ OSUB c ⊂ {1,2,. . . , od ( c )}  c c PRI _ OSUB , SEC _ OSUB ≠ ∅  c c PRI _ OSUB I SEC _ OSUB = ∅  c c PRI _ OSUB U SEC _ OSUB = {1,2,. . . , od ( c )} card ( PRI _ OSUB c ) << card ( SEC _ OSUB c ) 

(5.3.1.13)

174

- relaţiile consumurilor specifice c ip

PRI _ O

i p ∈ PRI _ OSUB ⋅ I j (∀)   j ∈ 1, id ( c )

c ip j

= CS

- relaţiile fracţiilor secundare c c c SEC _ O = RA ⋅ PRI _ O1 , i i 1 s

c

( ∀)i s ∈ SEC _ OSUB

s

(5.3.1.14)

c

(5.3.1.15)

- relaţia capacităţii id ( c )

c

c

CAPmin ≤ ∑ I j ≤ CAP

c

(5.3.1.16)

max

j =1

- relaţia de restricţionare a ieşirilor principale c ( ∃)i p ∈ PRI _ OSUB astfel încât:

c i p min

Q

c i p max

c ip

≤Q

≤Q c Ij,

Pentru C5 , (∀) c∈ 1, c5 , intrările

(5.3.1.17) c

ieşirile Oi şi ponderile intrărilor, respectiv

ieşirilor pk, qk, verifică: - relaţia balanţei intrări - ieşiri id ( c )

od ( c )

c

∑ Ij = ∑

j =1

i =1

c Oi

(5.3.1.18)

- relaţiile de inter-condiţionare a intrărilor şi ieşirilor

 ISUB c ⊆ ({1,2,.., id ( c)} \ { j}) (∃)  c  pk ∈ ℜ + ( ∀) k ∈ ISUB c

Ij =

astfel încât

∑

k ∈ISUBc

c

(5.3.1.19)

pk I k

OSUB c ⊆ ({1,2 ,.., od ( c)} \ {i}) (∃)  c q k ∈ ℜ + ( ∀) k ∈ OSUB c

Oi =

astfel încât

pentru j fixat,

∑

k ∈OSUB c

pentru i fixat,

c

(5.3.1.20)

q k Ok c

c

c

Pentru C6 , (∀) c∈ 1, c6 , intrările I j , livrările DEL , cantitatea minimă necesară Omin c

şi cantitatea maximă ce poate fi stocată / transportată S / T _ Omax , verifică: - relaţia de acumulare a cantităţii livrabile c

id ( c )

c

DEL = ∑ I j j =1

- relaţia care limitează cantitatea livrabilă

(5.3.1.21)

175 c

c

c

Qmin ≤ DEL ≤ S / T _ Qmax

(5.3.1.22)

Observaţii: c

- Pentru conductele cu depozite intermediare, intrarile în depozitele intermediare I , c

c

c

ieşirile din depozitele intermediare O , capacitatea CAPmax , stocul iniţial I _ S , c

c

c

stocul final F _ S şi cantităţile înainte / după depozitul intermediar A _ Q şi P _ Q , verifică: - relaţia de conservare a debitului c c c c A_ Q + O = P _ Q + I (5.3.1.23) - relaţia de conservare pentru depozitele intermediare c c c c I + I_ S = O + F_ S (5.3.1.24) - relaţiile capacităţii depozitelor intermediare c

c

c

c

I + I _ S ≤ CAPmax , O ≤ I _ S

c

(5.3.1.25)

şi deci, legăturile au comportamentul lor propriu; - CPS-urile aparţinând lui C2 şi C4 pot avea mai multe moduri de funcţionare. Astfel, relaţiile (5.3.1.3), (5.3.1.13), (5.3.1.14), (5.3.1.15), (5.3.1.16) şi (5.3.1.17) trebuie supraindiciate printr-un indice r care indică regimul de funcţionare considerat. Ca o consecinţă, trebuie considerate neapărat şi următoarele relaţii: r (c)

cr

c

∑ I j = I j ( ∀) j ∈ 1, id ( c)

r =1 r (c)

cr

c

∑ O j = O j ( ∀) j ∈ 1, id ( c)

r =1

(5.3.1.26) (5.3.1.27)

- La un moment dat, CPS-urile aparţinând lui C3 pot funcţiona conform unei singure mulţimi de relaţii: (5.3.1.8) / (5.3.1.9) / (5.3.1.10) şi (5.3.1.11); - Decidentul poate defini o mulţime de funcţii obiectiv liniare, notate cu f = (f1(x), n f2(x),.., fl(x)), unde x ∈ ℜ + . De exemplu, valoarea producţiei marfă este: c

c

∑ DEL _ PRICE ⋅ DEL

c ∈C7'

(5.3.1.28)

C7 = C7' U C7'' unde  ' '' C7 I C7 = ∅ '

''

C7 fiind ieşirile livrabile şi C7 fiind ieşirile de tip rezidual.

- Parametrii şi variabilele ce descriu comportamentul CPS-urilor iau valori în ℜ+.

176

Astfel, există: n - variabile de decizie (produsele care trebuie realizate), m - restricţii ( m = m1 + m 2 , unde m1 sunt restricţii tehnologice şi m2 sunt restricţii comerciale), o - obiective ( o = o1 + o2 , unde o1 sunt obiectivele întreprinderii şi o2 sunt obiectivele partenerului). În acest domeniu, problemele MOLP au următoarele caracteristici: dimensiuni foarte mari (mii de linii şi de coloane), relaţiile de egalitate sunt predominante (rezultând din prima lege a lui Kirkhoff), raritate accentuată, mari diferenţe în ordinul de mărime al diferiţilor coeficienţi ai modelului, domenii de fezabilitate înguste (câteodată conducând la absenţa unei soluţii fezabile). Acestea sunt valabile, în principal, pentru restricţiile tehnologice. Însă problema conţine şi restricţii comerciale care sunt impuse de către partenerul de afaceri. Este vorba de precizarea limitelor pentru produsele finite. Recapitulând, principalele obiective ale întreprinderii sunt: cantităţile de produse finite, valoarea de piaţă a produselor finite, valoarea producţiei nete, costurile de producţie, stocurile de produse finite, stocurile pe flux, costurile cu munca vie, profitul, costul depoluării. Obiectivele partenerului sunt: costurile cu materia primă şi ingredienţii, costurile cu transportul, cantităţile solicitate pentru produsele finite şi profitul. Este adevărat că pentru aceste funcţii obiectiv se pot găsi aproximări liniare destul de bune. Totusi, de exemplu, este ştiut faptul că într-un sistem, scăderea costurilor se produce odată cu creşterea volumului producţiei, şi astfel, se cer exprimări pătratice. Mai mult, unele obiective se exprimă numai prin funcţii neliniare complicate sau tabelare, cum ar fi costurile depoluării. Un instrument care să trateze orice mulţime de funcţii obiectiv ar fi necesar, nu în cazurile de mici dimensiuni ci pentru probleme de mari dimensiuni. Este bine ştiut că un astfel de instrument nu există pe piaţă. Astfel, trebuie luată în considerare o metodă folosind instrumentele existente. O soluţie fezabilă este un rezolvitor de probleme de LP (Hwang şi Masud, 1979) în asociere cu calculul bazat pe modele MADM (Hwang şi Yoon, 1981; Resteanu şi alţii, 1995). 5.3.2 Obţinerea planului de producţie prin cooperare-coordonare Cadrul decizional pentru problemele MOLP se referă, în mod tradiţional, la funcţiile obiectiv, valorile acestora şi, desigur, la soluţia însăşi. În mod uzual, există o apreciere a gradului de acceptabilitate a nivelurilor lor, dar acest raţionament este limitat numai la informaţia conţinută în matricea consecinţelor. Va fi explicat mai jos ce se înţelege prin extinderea cadrului decizional. Decidenţii sunt structuraţi pe două nivele, cel al departamentelor de producţie, între care sunt relaţii de colaborare şi nivelul general al conducerii întreprinderii, care realizează coordonarea departamentelor. Pentru fiecare decident, accesul la contextul decizional este limitat în conformitate cu competenţa acestuia. Fiecare decident este responsabil pentru un set de obiective. Sistemul ca un întreg este controlat de activitatea de cooperare – coordonare realizată de mulţimea structurată a decidenţilor.

177

Relaţiile de colaborare presupun că fiecare departament are, la intrare, anumite resurse şi, la ieşire, anumite obiective stabilite de comun acord între departamente adiacente. Relaţiile de coordonare implică intervenţia decidenţilor de la nivelul întreprinderii, în cazul stabilirii obiectivelor finale, a unor obiective locale sau în cazul conflictului dintre două departamente adiacente. În ceea ce priveşte stările naturii, trebuie acentuat că obiectivele vor fi realizate într-un fel în cazul unei economii care funcţionează normal şi în cu totul alt mod în cazul inflaţiei sau deflaţiei. Unii indicatori vor fi evaluaţi într-un fel în situaţia în care resursele sunt în limite normale şi în alt fel în cazul abundenţei sau penuriei acestora; de asemenea, vor apărea diferenţieri la evaluarea indicatorilor în cazul în care piaţa este stabilă faţă de cazul când nu este. Este evident că noţiunea de stare a naturii apare în mod natural în astfel de probleme. Extensia cadrului decizional înseamnă de asemenea accesul la toate datele implicate în procesul de planificare, chiar dacă nu sunt în model dar sunt influenţate în mod evident de planul de producţie ce va fi adoptat. Aceste date pot fi obiective, chiar dacă pot fi exprimate numai de predicate de mare complexitate (după cum am mai spus: expresii neliniare, tabele, algoritmi laborioşi etc.). Metoda construieşte o soluţie preferată (adică o soluţie aleasă de decidenţi din mulţimea soluţiilor nedominate prin extinderea cadrului decizional) înlănţuind optimizările MOLP de la nivelurile departamentelor. Aşa cum s-a văzut, fiecare departament Dh al întreprinderii impune un domeniu de restricţii Fh definit de mulţimea relaţiilor asociate cu CPS-urile sale, şi astfel, pentru fiecare departament, se poate considera problema: (5.3.2.1) min f ( x), (∀)h = 1,d x∈Fh De observat că, cele d departamente ale întreprinderii sunt ordonate în conformitate cu fluxul producţiei. Funcţia vectorială f ( x) are o componente conţinând atât obiectivele întreprinderii cât şi cele ale partenerului. În acest moment, se consideră o = p + s, unde p – obiective principale, neapărat liniare, şi s – obiective secundare, nu neapărat liniare. În acest domeniu, are loc inegalitatea p << p + s . În general, p ≤ 10 pentru a realiza un timp de calcul rezonabil cu ajutorul rezolvitoarelor de probleme de PL. Numărul obiectivelor secundare poate fi mai mare, în număr de sute, în cele mai multe cazuri. Ele sunt reprezentate de indicatorii tehnici şi economici ai întreprinderii care, după cum s-a văzut, nu pot fi întotdeauna exprimaţi prin funcţii liniare. Problema **

va avea soluţia optimă x h . Soluţia globală va fi construită prin concatenarea acestor **

**

**

soluţii parţiale. Vom avea ( x1 , x 2 , ..., x d ). Este evident că, în lanţul respectiv, natura elementelor constitutive ale modelului se modifică. Din variabile ele devin constante şi din obiective pot deveni restricţii. Astfel, se obţine un lanţ coerent de probleme care trebuie rezolvate de către calculatorul întreprinderii cu implicarea angajaţilor departamentelor de producţie. Altă categorie de decidenţi, şi anume managerii întreprinderii, precum şi consilierii acestora, care sunt de obicei experţi având o bogată experienţă în domeniul producţiei, coordonează procesul de simulare a planurilor de producţie şi intervin prin decizii bazate pe cunoaşterea globală a stărilor, resurselor şi obiectivelor întreprinderii. Scopul este acela de a optimiza comportamentul de

178

ansamblu al întreprinderii prin cooperare – coordonare. În timp, odată cu dobândirea de experienţă în lucrul la nivelul departamentelor, funcţia de coordonare va deveni din ce în ce mai puţin necesară. Practic, doar în situaţii mai delicate va interveni nivelul superior iar acesta este un mare câştig de timp în favoarea managementului global al întreprinderii. Referitor la optimizările la nivelul departamentelor, soluţia construită se bazează pe ideea alegerii optime a ponderilor care definesc funcţia obiectiv globală, pornind de la funcţiile obiectiv elementare, luate în calculul iniţial. Aceasta se va realiza cu ajutorul metodelor de decizie multi-atribut. Se va dovedi astfel utilitatea acestor metode şi în conlucrarea cu alte metode matematice, pentru atingerea scopurilor acestora. 5.3.3 Rezolvarea problemei de programare liniară multi-criterială Pentru a prezenta algoritmul, să considerăm la nivel de departament, următoarea problemă MOLP, dată în forma canonică:

min f ( x)   g h ( x) ≥ b , x ≥ 0

(5.3.3.1)

Pasul 0 Primul nivel în ordonarea departamentelor este considerat drept departament curent. Pasul 1 Pentru fiecare departament Dh pe nivelul “departament” se execută în paralel următoarele acţiuni: Se negociază cu departamentele precedente “resursele” şi cu următoarele departamente “necesităţile”, astfel încât efectiv să aibă loc inegalitatea g ( x ) ≥ b . Dacă relaţia h

implică un domeniu vid, negocierea va fi reîncepută sau vor interveni decidenţii de la nivelul “întreprindere”. Altfel, pentru i = 1 la p , se rezolvă problemele cu un singur obiectiv min fi ( x) (5.3.3.2)   g h ( x) ≥ b, x ≥ 0 * * * obţinându-se x h (i ) şi f hi = fi ( x h (i )),(∀) i = 1, p . * * * * * * * Fie f = ( f h1 , f h 2 , ..., f hp ) soluţia ideală. Dacă (∃) x h astfel încât f ( x h ) = f atunci h h ** * * x h := x h este soluţia optimă parţială şi se trece la Pasul 5. Totuşi, în general x h ∉ Fh .

În acest caz, aşa cum s-a afirmat mai sus, decidenţii trebuie să obţină o soluţie preferată pornind de la mulţimea acestor soluţii nedominate prin extinderea contextului decizional. Extinderea contextului decizional înseamnă considerarea diferitelor păreri ale tuturor decidenţilor care văd, drept consecinţe a adoptării soluţiilor acestora, diferite valori pentru funcţiile obiectiv neliniare şi aceasta diferit în fiecare din stările naturii luate în calcul.

179

Pasul 2 Se calculează matricea consecinţelor extinsă cu ajutorul unor predicate construite anterior în conformitate cu natura calculatorie a acestor consecinţe, anume toţi

c h ,(∀) k = 1, d ; l = 1, s; i = 1, p; j = p + 1, o . Evident, c h klij

unde i = 1, p şi j = 1, p

klij

sunt consecinţele obţinute din procesul de optimizare şi h ∈ 1, d ; l1 , l 2 ∈ 1, s; i = 1, p; j = 1, p , c klii

ckh l ij = c kh l ij (∀) k1 , k2 ∈ 11

22

= fhi , (∀) i = 1, p . Obiectivelor secundare li *

se acordă, după cum se poate vedea în cele ce urmează, aceeaşi importanţă ca şi primelor p. Pasul 3 Se aplică una sau mai multe metode MADM acestor matrice a consecinţelor extinse calculate pentru fiecare element al produsului cartezian dintre mulţimea decidenţilor şi mulţimea stărilor naturii. Fiecare dintre metode va furniza un vector de ponderi; astfel h se consideră matricea ponderilor ( w ( j , i )) j =1, m ,i =1, p . După ce se compară toate liniile matricei între ele, se alege numai o linie. La alegere se ia în considerare faptul că, cu cât o pondere este mai mare, cu atât valoarea acelei funcţii obiectiv va fi mai aproape de valoarea sa ideală. Pentru a exemplifica modul cum o metodă MADM construieşte un vector de ponderi în matricea ponderilor, se va prezenta în continuare la lucru o astfel de metodă, mai precis metoda Onicescu. Pentru (∀) k şi (∀) l , fixaţi, şi pentru (∀) j = 1, p + s vectorii coloană (c ) klij i = 1, p

sunt ierarhizaţi crescător, obţinându-se p + s (= o) ierarhizări ale soluţiilor optime * . ( x h (i )) i = 1, p

1, dacă x* (i ) se clasează al m − lea în ierarhizarea j h

δ ( x*h (i )) =  mj

Fie

,

0, altfel p+s 1 m→∞ * n = ∑ δ ( x h (i )) şi → 0 . im j =1 mj 2m p n * * Considerând π ( x h (i )) = ∑ iml (∀) i = 1, p , vectorul (π ( x h (i ))) este i = 1, p m =1 2 utilizat la formarea vectorului ponderilor ( w egale

π w

i

kli

=

π w

j

klj

h ) cu ajutorul şirului de proporţii kli i = 1, p

p , (∀) i, j = 1, p şi al relaţiei ∑ wh = 1 . i =1 kli

180

Pentru reducerea celor s stări, pentru (∀) k fixat, matricei ( w aplică algoritmul prezentat anterior obţinându-se vectorul pentru reducerea celor d decidenţi se consideră matricea

h ) i se kil i =1, p,l =1,s

(wh )i=1, p . ki

În sfârşit,

( wh )

ik i =1, p,k =1,d ,

aplică acelaşi algoritm, obţinându-se vectorul final de ponderi

căreia i se

( wih )i =1, p . Astfel

rezultă nişte ponderi care înglobează în ele toată expertiza asupra noţiunii de optim la nivelul departamentului h. Pasul 4 Se rezolvă problema: p  wih f ( x) min i∑ =1 i   g ( x) ≥ b, x ≥ 0  h

Se obţin

x** h

şi f

**

h

(5.3.3.3)

care reprezintă soluţia preferată local.

Pasul 5

x*h* va fi concatenat la vectorul soluţiei globale, astfel încât se obţine **

**

**

**

, x h ) . Un nou nivel în descompunerea de nivel a sistemului ( x , x ,..., x 1 2 h −1 va fi abordat. Dacă nivelul curent a fost ultimul, se trece la Pasul 6, altfel se trece la Pasul 1. Pasul 6 Stop. 5.3.4 Produsul program Tele-PROCESSING şi caracteristicile sale Este important faptul că Tele-PROCESSING (Resteanu şi Mitan, 2003; Resteanu, 2003a; Resteanu, 2003b; Resteanu şi Mitan, 2004) lucrează ca o anvelopă peste produsul PIMS a cărui bază de date este astfel disponibilă. Ea conţine: ţiţeiurile cu caracteristicile lor, materiile prime, ingredienţii, produsele finale, capacităţile, datele tehnologice (privind randamentele de transformare, consumurile specifice, reţetele pentru amestecuri, relaţiile de inter-condiţionare intrări / ieşiri, capacităţile de stocare, regimurile de funcţionare), reparaţiile, orarul sistemului etc. Se poate lua în discuţie numai o cerere de procesare pentru un ţiţei pe care sistemul de producţie îl poate prelucra şi numai pentru acele capacităţi de producţie care sunt disponibile într-un anumit nivel de timp (decadă, lună, trimestru şi an). Chiar şi pentru acelaşi nivel de timp, în diferite orizonturi de timp, harta capacităţilor de producţie disponibile poate fi foarte diferită pentru că planurile de producţie normale pot fi diferite. Adăugând, la

181

aceste date de bază, informaţia structurată despre partenerii întreprinderii (utilizatori, companii şi băncile acestora), planurile de procesare simulate asociate şi un set de atribute de caracterizare a acestora, se pot obţine informaţii despre cadrul în care funcţionează produsul Tele-PROCESSING. Întreprinderea implementatoare poate şi trebuie să fie caracterizată de “atributele ţiţeiurilor” ce pot fi prelucrate de acea întreprindere. Aceste atribute, sau caracteristici, sunt importante din punct de vedere al sistemului tehnologic, pentru că se ştie că nu orice fel de ţiţei se poate procesa în orice fel de rafinărie. În consecinţă, personalul din compartimentul de producţie trebuie să specifice următoarele informaţii: numele atributului, unitatea de măsură, limita inferioară şi limita superioară. În acest fel, se crează un şablon pentru ţiţeiurile care pot fi tratate de către sistemul de producţie în cauză. Pe scurt, caracteristicile unui ţiţei anume îl recomandă pe acesta, în primul rând, la calitatea de a putea fi procesat într-o anume întreprindere petrochimică, iar în al doilea rând, la apartenenţa sa la o clasă de ţiţeiuri aflată în baza de date PIMS. Propuneri de procesare După accesarea site-ului, un partener de afaceri poate prezenta o cerere de procesare precizând: numele cererii de procesare, denumirea ţiţeiului, unitatea de măsură, preţul şi cantitatea lui. De aceeaşi importanţă este descrierea acestui ţiţei. Aceasta se realizează prin completarea tabelului definit de: nume atribut, unitate de măsură, nivel. De mai mică importanţă este prezentarea informaţiei despre costul transportului. Totuşi, aceasta este necesară pentru ca sistemul să calculeze automat profitul reieşit din afacere. Prin simpla apăsare a butonului Submit se declanşează preluarea cererii de procesare de către supervizorul produsului. Pentru a decide dacă ţiţeiul va fi sau nu prelucrat, supervizorul verifică proprietăţile acestuia. Dacă sunt inacceptabile din punct de vedere tehnologic, partenerul este invitat să furnizeze ţiţei cu alte caracteristici care să corespundă sistemului de producţie al întreprinderii. Dacă ţiţeiul este acceptabil, caracteristicile sunt îngheţate, adică nu mai pot fi modificate iar cererea de procesare este înaintată pentru optimizare ca problemă MOLP mecanismului de ordonanţare. Acesta inserează cererea în coada de aşteptare. Inserarea este făcută în concordanţă cu coeficientul de prioritate calculat având în vedere valoarea afacerii şi numărul anterior de optimizări. Chiar şi un calculator foarte puternic, nu poate rezolva simultan mai mult de cinci astfel de optimizări. Astfel, lansarea în execuţie este făcută gradat în timp. Partenerul se poate informa despre răspunsul întreprinderii prin consultarea stării optimizării. După ce s-a încheiat optimizarea, se oferă trei categorii de informaţii: a) Intrări (numele ingredientului necesar prelucrării, unitatea de măsură, cantitatea, preţul şi valoarea); b) Ieşiri (numele produsului finit, unitatea de măsură, limita inferioară, cantitatea optimă, limita superioară, preţul şi valoarea); c) Indicatorii economici (valoarea ţiţeiului, costul transportului, costul ingredienţilor, costul procesării, valoarea produselor finite şi profitul). În acest moment, partenerul de afaceri poate stabili anumite condiţii pentru nivelurile produselor finite, luând în considerare cerinţele şi cursul pieţei, şi poate solicita o nouă optimizare. Numărul optimizărilor, asemeni timpului alocat negocierilor, este limitat. După cum s-a arătat mai înainte, partenerul de afaceri analizează rezultatele fiecărei optimizări, adică nivelurile produselor finite obţinute în timpul optimizării şi valoarea profitului. Partenerul de afaceri poate considera necesar

182

ca iteraţiile de optimizare a producţiei să fie făcute de calculatorul întreprinderii până când se obţine cel mai bun rezultat. Uneori, dacă nu-i convin rezutatele, se poate retrage din afacere. Aceeaşi grijă pentru optimizări se aşteaptă de la Departamentul Producţie al întreprinderii care are la dispoziţie funcţii informatice asemănătoare ca descriere dar care permit numai consultarea. Cele mai bune propuneri de procesare Ţinând cont de faptul că mai mulţi parteneri de afaceri de procesare pot face simultan propuneri tentante pentru acelaşi nivel şi orizont temporal, trebuie ca propunerile să fie grupate, pentru fiecare nivel şi orizont temporal, în trei clase, funcţie de dimensiunea afacerii, şi anume: afaceri mari, mijlocii şi mici. Fiecare clasă beneficiază de o procedură de alegere optimă folosind, de exemplu, tot metoda de decizie multi-atribut Onicescu. Este evident, după cele arătate în paragrafele anterioare, că fiecare soluţie de plan generată de un partener de afaceri şi existentă într-o anumită clasă de echivalenţă are în final, după parcurgerea optimizărilor la nivelul departamentelor, o structură bine definită ca niveluri de produse finite, indicatori ai partenerului de afaceri şi valori ale zecilor sau sutelor de funcţii obiectiv urmărite de întreprindere şi raportate la mai mulţi decidenţi şi la mai multe stări ale naturii. Astfel, conducătorii întreprinderii pot aprecia, pe baze solide, care este cea mai bună propunere de procesare. 5.3.5 Concluzii asupra modernizării afacerii de procesare Optimizarea prin intermediul Internet-ului este o nouă tendinţă în tratarea problemelor industriale complexe. Astfel, Tele-PROCESSING are capacitatea de a susţine afacerile de processing prin utilizarea tehnicilor avansate de simulare şi optimizare. Punctul forte al produsului Tele-PROCESSING este faptul că oferă, pentru afacerea de tip processing, caracterul de optim atât din punctul de vedere al întreprinderii cât şi din cel al partenerilor săi de afaceri. Datorită existenţei unei importante industrii petrochimice (în România, capacitatea de prelucrare a industriei petrochmice se ridică la peste 30 Mt), au fost depuse în mod constant eforturi pentru proiectarea de sisteme informatice care să contribuie la reingineria domeniului. Produsul Tele-PROCESSING contribuie la modernizarea afacerilor de procesare şi la înviorarea afacerilor. Dezvoltarea economică rapidă prin intermediul cercetării şi inovării implică considerarea tehnologei IT ca o cale de consolidare a producţiei industriale. Capacitatea de a construi produse software de calitate pentru simularea rapidă a planurilor de producţie contribuie, în acelaşi timp, la creşterea volumului de afaceri al întreprinderii. Tele-PROCESSING este proiectat şi realizat utilizând tehnologia OPTCHOICE în contextul folosirii lui în tandem cu produsul program PIMS care simulează planuri de producţie optime. Încă de la această precizare se poate observa că modelele de tip MADM trebuie să lucreze în prezenţa modelelor de tip LP. Pentru că datele celor două modele se “intrepătrund”, este clar că, dacă dorim corectitudine şi performanţă informatică, nu putem folosi direct baza de date MADM şi nici programele MSVC care lucrează pe ea. Este foarte clar că trebuie să se folosească Nivelul II al tehnologiei OPTCHOICE pentru a realiza o lucrare de asemenea complexitate.

183

Dezvoltările viitoare ale produsului au în vedere extinderea posibilităţii de utilizare a acestuia în alte domenii industriale cu procese continue. Aceasta înseamnă că modulele care lucrează pe Internet şi mecanismul de simulare vor fi aceleaşi, numai modulele care lucrează pe Intranet vor suferi modificări. Astfel, o bună parte din programele scrise vor fi folosite în continuare, ceea ce va conduce la scurtarea timpului de realizare şi livrare precum şi a preţului produsului informatic. Mai mult, echipa de proiectare se preocupă pentru extinderea facilităţilor de tratare a optimizărilor concurente prin folosirea soluţiilor GRID.

Referinţe bibliografice Berge C. (1962). The Theory of Graphs and Its Applications. John Wiley & Sons, Inc., New York. Bonner & Moore. (1989). GAMMA 2000 User’s Manual Version 1.0, Bonner & Moore Management Science. Huston, Texas. Ciriani, T.A. and S. Gliozzi (1994). Algebraic Formulation of Mathematical Programming Models. Optimization in Industry, 2. Ciriani T. A., R. C. Leachman (Eds.), Wiley, London. Fourer, R., D.M. Gay and B.W. Kernighan (1990). A modeling language for mathematical programming. Management Science, 36, 5, pp. 519-554. Harary, F. (1972). Graph Theory. Addison - Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts - Menlo Park, California - London - Don Mills, Ontario. Hwang, C-L. and A.S.Md. Masud (1979). Multiple Objective Decision Making Methods and Applications. Springer Verlag, Berlin. Hwang, C-L. and K. Yoon (1981). Multiple attribute decision making. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, New York. Resteanu, C. and F.G. Filip (1995). Simulation as Complement to and Substitute for Optimization in DSS for Petrochemical Plants. Proceedings of the 9th European Simulation Multiconference. Verbraeck, A. and E. J. H. Kerckhoffs (Eds.), Delft University of Technology, The Netherlands, pp. 462-467. Resteanu, C., F.G. Filip, C. Ionescu and M. Somodi (1995). Knowledge-based Simulation in Multi-attribute Decision Making. Proceedings of EUROSIM ‘95 Simulation Congress (Vienna, Sept.11-15). F.Breitenecker and I.Husinsky (Eds.), North-Holland, Elsevier Science, Amsterdam, pp. 1271-1276. Resteanu, C., F.G. Filip, S. Stănescu and C. Ionescu (2000). A cooperative production planning method in the field of continuous process plants. Elsevier Science, International Journal of Production Economics 64, pp. 65-78. Resteanu, C. and P.M. Nistor (2001). PRODCONT-BUSINESS a business-to-business software for petrochemical plants. In Proceedings of The 5th International Symposium on Economic Informatics. INFOREC Printing House. (Bucharest, May 10-13), pp. 353-362.

184

Resteanu, C., E. Mitan and S. Masei (2001a). Production planning method for supporting processing business in petrochemistry. In: Preprints of LSS 2001 – The 9th IFAC / IFORS / IMACS / IFIP / Symposium. Large Scale Theory and Applications. (Bucharest, July 18-20), pp. 237-242. Resteanu, C., M. Dobre and S. Masei (2001b). TELE-PRODCONT, a software for ecommerce and e-business in petrochemistry. In Proceedings of the “2nd European Conference on e-commerce / e-activities / e-working / e-business, elearning, e-health / on-line servicies, virtual institutes and their influences on the economic and social environment” – E-COMM-LINE 2001 (Bucharest, September 24-25), pp. 48-51. Resteanu, C., M. Dobre and S. Masei (2001c). TELE-PRODCONT, a software for ecommerce and e-business in petrochemistry. In Romanian Automation Review, vol V, number 4, ISSN 1454-9077, Decembre 2001, pp. 17-20. Resteanu, C. and E. Mitan (2003). Remote simulation of crude oil processing in petrochemical plants. In Proceedings of the the sixth International Conference on Economic Informatics, INFOREC Printing House, (Bucharest, May 8-11), pp. 827-831. Resteanu, C. (2003a). Tele-PROCESSING, a software for petrochemical plants’ electronic processing business. În Romanian Automation Review, June 2003, Vol. XI, number 2, ISSN 1454-9077, pp. 23-33. Resteanu, C. (2003b). Tele-PROCESSING, a software for petrochemical plants’ electronic processing business. In Proceedings of the “4th European Conference on e-commerce / e-activities / e-working / e-business, e-learning, e-health / online servicies, virtual institutes and their influences on the economic and social environment” – E-COMM-LINE 2003 (Bucharest, September 25-26), pp. 51-60. Resteanu, C. and E. Mitan (2004). The Best Choice from Remote-made Processing Proposals in Petrochemistry. În Scientific Buletin of Politehnica University, Timişoara, Serie Automation and Computers, vol. 49 (63) 2004 number 2, ISSN 1224+600X, pp. 167-172. Rumbaugh, J., M. Blaha, W. Premerlani, F. Eaddy and W. Lorensen (1991). Object Oriented Modelling and Design. Prentice - Hall International, Inc., Englewood Cliffs, N. J. Simons, R.V. (1987) Mathematical programming modeling using MGG (Matrix Generated Generator). IMA Journal of Mathematical Management, 1, 267-276.

185

i

(Aluja, 1992), (Anderberg, 1973), (Andraşiu, 1982), (Andriole, 1989), (Arrow, 1951), (Arrow, 1959), (Arrow, 1963), (Baldwin, 1994), (Bana e Costa, 1990), (Bass, 1977), (Bellman, 1970), (Boldur-Lăţescu, 1973), (Brans et al., 1984), (Brans şi Vinke, 1985), (Buckley şi Hayashi, 1994), (Bui, 1988), (Carlsson şi Fuller, 1996), (Chang şi alţii, 1992), (Chen şi Hwang, 1992), (Chen şi Klein, 1997), (Cherhoff, 1959), (Chiclana şi alţii, 1998), (Cho şi alţii, 1998), (Czogala, 1990), (Delgado şi alţii, 1998), (Dong, 1985), (Gomes şi Oliveira, 1993), (Granovski şi Rogova, 1987), (Harker şi Vargas, 1987), (Hwang şi Yoon, 1981), (Hwang şi Lin, 1987), (Kacprzyk şi Fedrizzi, 1990), (Keeney, 1969), (Keeney şi Raiffa, 1993), (Koksalan şi Zionts, 2001), (Korhonen, 1986), (Laarhoven şi Pedrycz, 1983), (Lai şi Hwang, 1996), (Luce, 1958), (Maystre şi alţii, 1994), (Meldrum şi alţii, 1991), (von Neumann şi Morgenstern, 1947), (Paolucci şi Pesenti, 1991), (Park et al., 1996), (Perny şi Roy, 1992), (Ralph şi Hugh, 1995), (Ribeiro, 1996), (Roubens şi Vincke, 1985), (Roy, 1968), (Roy, 1996), (Saaty, 1980), (Sage, 1991), (Sen şi Yang, 1994), (Sen şi alţii, 1994), (Triantaphyllou, 2002), (Valls şi Torra, 2000), (Yager, 1993), (Yang, 1993), (Yang şi Sen, 1994), (Yoon şi Hwang, 1995), (Wang şi alţii, 1996), (Zeleny, 1982), (Zeleny, 1992), (Zimmermann şi alţii, 1992), (Zions, 1981), (Zopounidis, 2002) ii

(Back şi alţii, 1991), (Backer, 1985), (Bridges şi Goldberg, 1987), (Davidor, 1990), (Davis, 1991), (Fang, 1994), (Fonseca şi Fleming, 1995), (Goldberg, 1987), (Goldberg şi Deb, 1991), (Greffenstette, 1986, 1991), (Haasdick, 1994), (Reeks, 1994), (Ritthoff şi alţii, 2002), (Sen şi alţii, 1992), (Todd, 1995), (Todd şi Sen, 1997 a, b), (Zitzler, 1999) iii

(Agarwal, 2003), (Gallant, 1988), (Kim şi alţii, 1994), (Kim şi alţii, 1997), (Kim şi alţii, 1998), (Scott, 1998), (Wang, J. şi M. Bender, 1991), (Yang şi Sen, 1994 a, b), (Yang şi Sen, 1995) iv

(Agusti-Cullel, 2003), (Aluja, 1995), (Barnett, 1981), (Becerra-Fernandez, 2000), (Benjamins, 1998), (Choi şi alţii, 1998), (Decker, 1998), (Decker şi alţii, 1999), (Erdmann şi alţii, 2000), (Everitt, 1977), (Fodor şi Roubens, 1992, 1994), (Garvey şi alţii, 1981), (Gogus şi Boucher, 1997), (Greenwell,

186

1989), (Ignizio, 1991), (Jain şi Dubers, 1988), (Kifer şi alţii, 1995), (Kim şi alţii1988), (Kim şi Chung 1991), (Kim şi Kim, 1991), (Kim şi alţii1992), (Klein şi Methlie, 1995), (Lloyd şi Topor, 1984), (Lu şi alţii, 1999), (Ma, 1996), (Negoiţă şi Rălescu, 1987), (Ngweenyama şi Bryson, 1992), (Papamichail, 1998), (Pawlak, 1997), (Pinson şi Moraitis, 1996), (Pi-Shen şi alţii1990), (Poh, 1998), (Riano, 1998), (Schnurr şi Staab, 2000), (Shaw şi Fox, 1993), (Staab şi alţii, 2000), (Staab şi Maedche, 2000), (Staab şi O’Leary, 2000), (Vincke, 1992), (Werners şi Zimmermann, 1989), (Wiss, 1999), (Wooldridge, 2002), (Yang şi Sen, 1993), (Yang şi Sen, 1994 a, b), (Zadeh, 1983), (Zimmermann, 1987), (Zimmermann, 1990)

BIBLIOGRAFIE EXTINSĂ Agarwal, A., H. Pirkul and V.S. Jacob, Augmented neural networks for task schedulling, In: European Journal of Operational Research, Vol. 151, Issue 3, Dec., 2003. Agusti-Cullel, J., F. Esteve, P. Garcia, L. Godo and C. Sierra, Combining Multiplevalued Logics in Modular Expert Systems, Proc. 7 th Conference on Uncertainty in AI, Los Angeles, 17-25, 1991. Aluja, J.G., The Economic Environment in the Decision to Invest a Context of Uncertain, In: Advances in Fuzzy Sets and Applications Journal, Iasi, Romania, pp. 110-116, 1992. Aluja J. G., A.P. Tacu, H.N. Teodorescu, Fuzzy System and Expert System in Decision Making, In: Publising House Expert, Bucharest, Romania, 1995. Andreica, M., Stoica, M., Luban F., Metode cantitative în management, Editura Economică, Bucureşti, 1998 Boldur – Lăţescu G., Logica decizională şi conducerea sistemelor. Editura Academiei Române, Bucureşti, 1992 Anderberg, M.R., Cluster Analysis for Applications, Academic Press, New York, 1973. Andraşiu, M., A. Baciu, A. Pascu, E. Puşcaş şi Al. Taşnadi, Metode de decizii multicriteriale. Bucureşti, Editura Tehnică, 1986. Andraşiu, M., C. Calude şi Gh. Păun, Posibilităţi de agregare a deciziilor multicriteriale. Studii şi cercetări matematice, vol. 34, nr. 2, 1982. Andriole, S.J., Advanced Information Technology for Next Generation Decision Support, In: Information and decision technologies, Vol. 15, 243-257, 1989. Arrow, K. I., Social Choice and Individual Values, John Wiley and Sons eds., New York, USA, 1951. Arrow, K. J., Mathematical Methods in the Social Scientes. Proceedings of the First Standford Symposium, Standford University Press, 1959. Arrow, K.J., Social choice and individual values, Wiley, 1963. Aurian, J., Gh. Boldur şi S. Lazăr, Cercetare operaţională în construcţii. Bucuresti, Editura Stiinţifică, 1967.

187

Back, T., F. Hommfeister and H.P. Schwefel, A Survey of Evolution Strategies, In: Proc. 4th International Conf. of Genetic Algorithms, Morgan-Kaufmann, 1991. Backer, J., Adaptive selection methods for genetic algorithms, In: Proc. International Conf on Genetic Algorithms and Their Applications, J. Greffenstette, ed. Lawrence Erlbaum, 1985. Baciu, A., S. Crăete şi A. Pascu, Clasificarea dezvoltării economico-sociale a judeţelor ţării cu ajutorul unei metode multicriteriale. Modelare cibernetică a proceselor de producţie, vol. 1, Bucureşti, A.S.E., 1984. Baciu, A. şi A. Pascu, Decizii pentru criterii multiple în construcţii. Simpozionul “Modelarea cibernetică a proceselor de producţie”, Bucureşti, A.S.E., 1980. Baciu, A şi A. Pascu, Decizii multicriteriale, decizii fuzzy (cu aplicaţii în economie). Al VII-lea simpozion de informatică şi conducere, Cluj, 1981. Baciu, A., A. Pascu, A. şi E. Puşcaş, Alegerea deciziilor multicriteriale multiatribut. Cibernetica Aplicată, Bucureşti. Editura Academiei R.S.R., 1984. Baldwin, F., Fuzzy and evidential reasoning in AI, Ed.Research Studies Press, 1994. Bana e Costa, C.A. and P. Vincke, Multiple Criteria Decision Aid: An Overview, in: C.A. Bana e Costa ed., In: Readings in Multiple Criteria Decision Aid, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 1990. Barnett, J.A., Computational methods for mathematical theory of evidence, In: Proceedings of the 7th International Joint Conference on Artificial Intelligence, 868875, 1981. Bass, S. M. and H. Kwakermaak, Rating and Ranking of Multiple-Aspect Alternatives Using Fuzzy Sets. Automatica, vol. 13, 47-58,1977. Bellman, R.E. and L.A. Zadeh, Decision-Making in a Fuzzy Enviroment, Management Science, vol. 17, nr. 4, 1970. Becerra-Fernandez, I., The role of artificial intelligence technologies in the implementation of people-finder knowledge management systems, Staab & O’Leary, 2000. Benayoun, R., J. de Montogolfier, J. Tergny and O. Larichev, Linear Programming with Multiple Objective Functions: Step Method (STEM), In: Mathematical Programming, 1, 3, 366-375, 1971. Benjamins, V.R., D. Fensel and A. Gomez, Knowledge management through ontologies, In: PAKM 98 Practical Aspects of Knowledge Management — Proceedings of the 2nd International Conference, 1998. Bitran, G.R., Linear Multiple Objective Problems with Interval Coeficients, In: Management Science, 26 694-706, 1980. Bizon, N.; Gh. Serban, The Fuzzy Method of Linear Attribution, In: Proceedings oh the 9th International Conference on Control Systems on Computer Science, Bucharest, Roamnia, Vol. 2, 240-246, 1993. Bizon, N., Systems performances evaluation usign multi-criterions methods, BS thesis, Bucharest, Romania, 1996. Boldur, Gh., şi I. Băncilă, Metode şi mijloace moderne de luare a deciziilor în intreprinderi. I.D.T. Bucureşti, 1970. Boldur-Lăţescu, Gh., Procese informaţionale şi de decizie. Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1969.

188

Boldur-Lăţescu, Gh., Asupra deciziilor multicriteriale, Studii şi Cercetări de Calcul Economic şi Cibernetică Economică, nr. 4, 1970. Boldur-Lăţescu, Gh., Fundamentarea complexă a procesului decizional economic. Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1973. Boldur-Lăţescu, Gh., Logica decizională şi conducerea sistemelor, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1992. Brans, J.P., P.H. Vinke and B. Mareschal, PROMETHEE: A New Family of Outranking Methods in Multicriteria Analysis, In: J.P. Brans, ed., Operations Research ’84, Elsevier Science Publishers, 477-490, 1984. Brans, J.P. and P.H. Vinke, A Preference Ranking Organization Method (The PROMETHEE Method for Multiple Criteria Decision Making), Management Science, Vol. 31, 647-656, 1985. Bridges, C. and D. Goldberg, An analysis of reproduction and crossover in a binarycoded genetic algorithm, Proc. 2nd International Conf on Genetic Algorithms and Their Applications, J. Greffenstette, ed. Lawrence Erlbaum, 1987. Buckley, J.J., Stochastic versus Possibilistic Programming, In: Fuzzy Sets and Systems, 34, 173-177, 1990. Buckley, J.J., Multiobjective possibilistic linear programming, In: Fuzzy Sets and Systems, 35, 23-28, 1990. Buckley J.J. and Y. Hayashi, Fuzzy genetic algorithm and applications, In: Fuzzy Sets and Systems, 61, 129-136, 1994. Bui, X. T. and T.R. Sivasankaran, An Intelligent Front End for MCDM Based Decision Support Systems, Proceedings of the 8th International Conference on Multiple Criteria Decision Methods, Manchester, England, 1988. Carlsson, C., Approximate Reasoning for solving fuzzy MCDM problems, In: Cybernetics and Systems: An International Journal, 18, 35-48, 1987. Carlsson, C., and R. Fuller, Fuzzy multiple criteria decision making: Recent Developments, Fuzzy Sets and Systems, vol.78, 139-153, 1996. Chakraborty, D., J.R. Rao and R.N. Tiwari, Multiobjective Imprecise-Chance Constrained Programming Problem, In: The Journal of Fuzzy Mathematics, 1, 377-387, 1993. Chang, H.G., S.H. Choi, Y.S. Choi and S.H. Kim, An MCDM-Based Integrated Economic Analysis Model for the New Telecommunication Services, IE Interfaces, vol.5, no.2, 3-17, Oct., 1992. Chen, S.J. and C.L. Hwang, Fuzzy Multiple AttributeDecision Making: Methods and Applications, Springer Verlag, Berlin, 1992. Chen, Ch., and C.M. Klein, An efficient approach to solving fuzzy MADM problems, Fuzzy Sets and Systems, vol. 88, 51-67, 1997. Cherhoff, H.and L. Moses, Elementary Decision Theory, New York, Wiley, 1959. Chiclana, F., F. Herrera, and E. Herrera-Viedma, Integrating three representation models in fuzzy multipurpose decision making based on fuzzy preference relations, Fuzzy Sets and Systems, vol.97(1), 33-48, 1998. Cho, K.I. and S.H. Kim, An Improved Interactive Hybrid Method for the Linear MultiObjective Knapsack Problem, Computers and Operations Research, Vol. 24, No. 11, 991 - 1003, 1997.

189

Cho, Y.H., J.K. Kim and S.H. Kim, Business Process Simulation Modeling and Analysis Based on Role-Based Modeling Concept, The Journal of MIS Research, vol.8, no.2, 1998. Choi, S.H., J.K. Kim, C.H. Han and S.H. Kim (1998), Knowledge-based decision system for goal directed military resource planing, International Conference on Computers and Industrial Engineering, Serial.23, Chicago, 1998. Chu, A.T., R.E. Kalaba and K.A. Spingarn, Comparision of Two Methods for Determining the Weights of Belonging to Fuzzy Sets, Journal of Optimization Theory and Application, vol. 27, No. 4, 1979. Ciucu, G., Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1968. Ciucu, G., Craiu, V., Introducere în teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1971. Ciucu G., Tudor, C., Teoria probabilităţilor şi aplicaţii, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1983. Cuculescu, I., Teoria probabilităţilor, Tipografia Universităţii Bucureşti, 1976. Cuculescu, I., Teoria probabilităţilor, Ed. All, Bucureşti, 1998. Czogala, E., Multi-criteria decision making by means of fuzzy and probabilistic sets. Fuzzy Sets and Systems, vol. 36, no. 2, june 25, 1990. Davidor, Y., Genetic Algorithms and Robotics: A Heuristic strategy for Optimization, World scientific, singapore/New Jersey/London, 1990. Davis, L.D., Handbook of Genetic Algorithms, van Nostrand Reinhold, 1991. Decker, S., On domain-specific declarative knowledge representation and database languages, In: Borgida, A., Chaudri, V., & Staudt, M. (Eds.), KRDB-98 — Proceedings of the 5th Workshop Knowledge Representation meets DataBases, Seattle, WA, 1998. Decker, S., M. Erdmann, D. Fensel and R. Studer, Ontobroker: Ontology Based Access to Distributed and Semi-Structured Information, In: Meersman, R. et al. (Eds.), Database Semantics: Semantic Issues in Multimedia Systems, 351-369. Kluwer Academic Publisher, 1999. Delgado, M., F. Herrera, E. Herrera-Viedma, and L. Martinez, Combining Numerical and Linguistic Information in Group Decision Making, Information Sciences, vol.107, 177-194, 1998. Deng H., A DSS Approach for Ranking Multicriteria Alternatives. În Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Intelligent Processing Systems, October 2001, Beijing China, pp. 1564 – 1568 Do Sperra H. and G. Maluin, Navigation in tutorial systems, Rand Corporation, 2004. Dobson R.F., Knowledge sources in tutorial system, în Proceedings of TAFEE Educational Convention, SanAntonio, 2003, pp. 65-78. Dong, W.M, H.C., Shah, and F.S. Wong, Fuzzy computations in risk and decision analysis, Civil Engineering Systems, vol.2, 201-208, 1985. Dubois, D., and H. Prade, Fuzzy sets and systems: Theory and a applications, Ed. Academic Press, 1980. Dubois, D., and H. Prade, Rough fuzzy sets and fuzzy rough sets, In: International Journal of General Systems, vol. 17, 191-200, 1990.

190

Dumitrescu, M., Florea, D., Tudor, C., Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică. Probleme şi soluţii, Tipografia Universităţii Bucureşti, 1983. Erdmann, M., A. Maedche, H.-P. Schnurr and S. Staab, From manual to semiautomatic semantic annotation: About ontology-based text annotation tools, In: P. Buitelaar &K. Hasida (eds). In: Proceedings of the COLING 2000 Workshop on Semantic Annotation and Intelligent Content, Luxembourg, 2000. Everitt, B., Cluster Analysis, Heinemann Educational BoosLtd., 1977. Fang, H.-L., P.M. Ross and D. corne, A promising hybrid ga/heuristic approach for open-shop schedulling problems, In: A.G. Cogn, editor, Proceedings of ECAI – 94, 590-594, John Wiley, 1994. Fedrizzi M. and R. Fuller, On stability in multiobjective possibilistic linear programs, In: European Journal of Operational Reseach, 74, 179-187, 1994. Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1,3-rd ed., John Wiley and Sons, Inc., New York, 1968. Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1966. Filip F. G., Decizie asistată de calculator. Decizii, decidenţi. Metode şi instrumente de bază. Editura Tehnică şi Editura Expert,Bucureşti, 2002 Fodor J.C. and M. Roubens, Aggregation and scoring procedures in multicriteria decision-making methods, In: Proceedings of the IEEE International Conference on Fuzzy Systems, San Diego, 1261–1267, 1992. Fodor, J., and M. Roubens, Fuzzy Preference Modelling and Multicriteria Decision Support, Kluwer Academic Publishers, 1994. Fonseca, C.M., and P.J. Fleming, An overview of evolutionary algorithms in multiobjective optimization, In: Evolutionary Computation, vol.3:1, 1-16, 1995. Gallant, S.I., Connectionist Expert Systems, In: Comm. ACM, Vol. 31, 2, 152-169, 1988. Garvey, T., M. Lowrance and M. Fischer, An inference technique for integrating knowledge from disparate sources. In. Proc.7th Int. Joint Conf. Artificial Inteligence 1, 1981. Gnedenko, B., The Theory of Probability, Mir Publishers, Moscow, 1976. Gogus, O. and T.O. Boucher, A consistency test for rational weights in multi-criterion decision analysis with fuzzy pairwise comparisons, In: Fuzzy Sets and Systems (86), 129-138, 1997. Goldberg, D., Genetic Algorithms in search, Optimization and Machine Learning, reading, MA: Addison-Wesley, 1987. Goldberg, D. and K. Deb, A Comparative Analysis of Selection Schemes Used in Genetic Algorithms, In: Foundations of Genetic Algorithms, G. Rawlins, ed. MorganKaufmann, 69-93, 1991. Gomes, L.F.A.M. and P.R. Wagner, Use of a multicriteria decision support system in the problem of setting a bus tariff policy, In: Foundations of Computing and Decision Sciences, vol. 15, No.2, 1991. Gomes, L.F.A.M. and M.M.P.P. Lima, Todim: Basic and Applications of projects with enviromental impacts, In: Foundations of Computing and Decision Sciences, vol. 16, No 3-4, 1991.

191

Gomes, L.F.A.M. and J.R. Oliveira, A multicriteria approach to performance measuring for organizations processes - the case data processing centres, In: Foundations of Computing and Decision Sciences, vol. 17, No. 1, 1992. Gomes, F.A.M. and J.R. Oliveira, Analysis of Strategies for Improving Quality and Productivity of Computing Services - An Application of Multicriteria Decision Aiding. Qualitymark Editora Ltda., Rio de Janeiro, 1993. Granovski, B. and G. Rogova, Discrete Choice Models and Passenger Flow Assignment, In: Achievements of Science and Technique: Transportation, 80-101, Moscow, 1987. Green, P.E. and V. Srinivasan, Conjoint Analysis in Consumer research: issues and outlook, In: J. Consumer Res., Vol. 5, 103-123, 1978. Greenwell, M., Knowledge Engineering for Expert Systems. Ellis Horwood. Chichester, 1989. Greffenstette, J.J., Optimization of Control Parameters for Genetic Algorithms, In: IEEE Trans. Systems, Man and Cybernetics, 16(1), 122-128, 1986. Greffenstette, J.J., Strategy acquisition with genetic algorithms, In: L. Davis, editor, Handbook of Genetic Algorithms, 186-201, van Nostrand Reinhold, 1991. Haasdick, E.W., R.F. Walker, D. Barrow and M.C. Gerrets, Genetic algorithms in business, In:J. Stender, E.Hilleldrand and J. Kingdom, editors, Gas in Optimisation, Simulation and Modelling, IOS Press, Amsterdam, 1994. Halstead R.W. and M.H. Rogers, Modularisation of educational processes, în Oxford Educational Bible, Oxford Press, 2004. Harker, P.T. and L.G. Vargas, Theory of Ratio Scale Estimation: Saaty’s Analytic Hierarchy Process, In: Management Science, Vol. 33, 1383-1403, 1987. Hîncu, D., Ene, N.- Metode cantitative pentru administraţia publică, Editura Eficon, Bucureşti, 2005 Hwang, C.L., and A.S.M. Masud, Multiple objective decision making: Methods and Applications, Springer-Verlag, 1979. Hwang, C. L. and K. Yoon, Multiple Attribute Decision Making. Berlin-Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1981. Hwang, C.L., and M.J. Lin, Group decision-making Under Multiple Criteria, Springer Verlag, New-York, 1987. Ignizio, J. P., Goal Programming and Extensions, Lexington Books, Massachusetts, 1976. Ignizio, J. P., The Determination of a Subset of Efficient Solutions via Goal Programming, In: Computer and Operations Research, 8, 9-16, 1981. Ignizio, J.P., Introduction to Expert Systems. The Development and Implementation of Rule-Based Expert Systems, McGraw-Hill, 1991. Iosifescu, M., Mihoc, G., Theodorescu R., Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1966. Ishibuchi, H. and H. Tanaka, Multiobjective Programming in Optimization of the Interval Objective Function, In: European Journal of Operational Research, 48, 1990. Jain, A.K, and R.C. Dubers, Algorithms for clustering data, Prentice-Hall, 1988. Kacprzyk, J. and M. Fedrizzi, Multiperson Decision Making Models Using Fuzzy Sets and Possibility Theory, Kluwer Academic Publishers, 1990.

192

Kaufmann, A., Metode si modele ale cercetarii operationale, vol. 1 si 2, Bucuresti, Editura Ştiinţifică, 1967. Keeney, R. L., Multi-dimensional utility functions, In: Theory, Assessment and Application, Technical Raport 43, Operations Research Center, MIT, 1969. Keeney, R.L, and H. Raiffa, Decision with multiple objectives: preferences and value, Trade off Cambridge University Press, 1993. Kifer, M., G. Lausen and J. Wu, Logical foundations of object-oriented and framebased languages, In: Journal of the ACM, 42, 1995. Kim, S.H., B.H. Jeong and K.J. Kim, A Model of Decision Making with Biased Information of an Agent, In: Korean Operations Research and Management Science Society, vol. 13, no.2, 1-8 Dec., 1988. Kim, S.H. and T.Y. Chung, A Knowledge-Based Decision System to Build An Influence Diagram, In: Proceedings of the first World congress on Expert System, Orlando, Florida, 16-18 Dec., 1991. Kim, S.H. and J.K. Kim, Explanation in a Decision-Theoretic System: An Axiomatic Approach, In: Applied Artificial Intelligence, Vol. 5, 393 - 409, 1991. Kim, S.H., T.Y. Chung and J.K. Kim, Building and Influence Diagram in a Knowledge-Based Decision System, In: Expert Systems with Applications: An International Journal, Vol. 4, 33 - 44, 1992. Kim, S.H., K.S. Park and K.C. Jeong, A Knowledge-Based System Using a Neural Network for Management Evaluation and Its Support, In: Journal of the Korean OR/MS Society, vol.19, no.2, 129-151, 1994. Kim, S.H., S.S. Cho, S.U. Kim and H.K. Park, Design and Implementation of Group Decision Support System using Object-Oriented Modeling Technique, In: IE Interfaces, vol.10, no.1, 1997. Kim, S.H., S.H. Choi and B.S. Ahn, Interactive group decision process with evolutionary database, In: Decision Support Systems, Vol. 23, 333 - 345, 1998. Klein, M. R. and L.B. Methlie, Knowledge-Based Decision Support Systems with Applications in Business, John Wiley and Sons, 1995. Klimov, G., Probability Theory and Mathematical Statistics, Mir Publishers, Moscow, 1986. Klir, G. J. and T. A. Folger, Fuzzy Sets, Uncertainty and Information, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, USA, 1988. Klir, G.J. and B. Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Theory and Applications, Ed. Prentice-Hall, 1995. Koksalan, M.M., M.H. Karwan and S. Zionts, An Improved Method for Solving Multiple Criteria Problem Involving Discrete Alternatives, In: IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 14, 1, 24-34, Jan., 1984. Koksalan, M. and S. Zionts, Multiple Criteria Decision Making in the New Millenium, In: Proceedings of the 15 th International Conference on Multiple Criteria Decision Making, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer-Verlag, 2001. Korhonen, P.J., A hierarchical interactive method for ranking alternatives with multiple qualitative criteria, In: European Journal of Operations Research, 24, 256-276, 1986.

193

Laarhoven, P.J.M., and W. Pedrycz, A fuzzy extension of Saaty’s priority theory, In: Fuzzy Sets and Systems, vol.11, 229-241, 1983. Lai, Y. and C. Hwang, Fuzzy multiple objective decision making. Methods and applications, Springer-Verlag, 1996. Larichev O.I., H.M. Moshkovich, A.I. Mechitov and D.L. Olson, Experiments Comparing Qualitative Approaches to Rank Ordering of Multiattribute Alternatives. In: Journal of Multi-Criteria Decision Analysis 2(1), 5-26, 1993. Lin, C. and P. Hajela, Gentic search strategies in large scale optimization, In: AIAA Structures, structural Dynamics and Materials Conference, 1993. Lloyd, J.W. and R.W. Topor, Making Prolog more expressive, In: Journal of Logic Programming, 1(3), 1984. Lomet, D.B. and B. Salzberg, The hB-Tree: A Multiattribute Indexing Method with Good Guaranteed Performence, In: ACM Transactions on Database Systems, vol. 15, no. 4, december 1990. Lu, J., M.A. Quaddus and R. Williams, A Framework and Prototype for Intelligent Multiple Objectives Decision Support System, In: Proceedings of 4th Asia Pacific Decision Sciences Institute Conference, Shanghai, China, 1999. Luban, F., Modeling imprecision and subjectiveness for the multiattribute decisions. In Actas del XII Congreso Internationa SIGEF. Instrumentos Economicos y de Gestion Aplicados a Ambiente con Alta Incertidumbre. Bahia Blanca, Argentina, Octubre 26 – 28, 2005, Univ. Nacional del Sur – Ediuns, 2005, pag. 201 – 209 Luban F.- A Fuzzy Approach for Multiattribute Analysis. In Economic Computation and Economic Cybernetics Studies and Research, Vol. 38, No. 1-4/2004, pag. 51-62 Luce, R.D. and H. Raiffa, Games and Decisions, Wiley, New York, 1958. Luhandjula, M.K., Linear programming under fuziness and randomness, In: Fuzzy Sets and Systems, 10, 45-55, 1983. Ma, J., Problem-based learning with database systems, In: Computers and Education, vol. 22, no. 3, 257-263, 1994. Ma, J., Group decision support system for assessment of problem-based learning, In: IEEE Transactions on Education, vol. 39, no.3, 383-393, 1996. Mariancu M., Lucrul cu sistemele tutoriale, EC multimodul, în Revista Românã de Psihologie Informatizatã, no. 23, pg.11-34, 2003. Masud, A.S.M. and C.L. Hwang, Interactive Sequential Goal Programming, In: Journal of the Operational Research Society, 32, 391-440, 1981. Maystre L.Y., J. Pictet and J. Simos, Multiple Criteria Methods ELECTRE: Description, Practical Advice and Cases in Environmental Management. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1994. Mica enciclopedie de matematica. Editura Tehnică, 1980. MCDM, 2002, International Society on Multiple Criteria Decision Making, http://www.terry.uga.edu/mcdm/ (September, 2002). Meldrum, P.F., B.J. King and J.-B. Yang, Style and portability guidelines for C++ programming, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/MISC/1/1, Apr., 1991.

194

Meldrum, P.F., P. Sen and J.-B. Yang, The analytic hierarchy process: the problem of right-left eigenvector asymmetry, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/12/1, Dec., 1991. Mihalca R., A.Uţã and Şt.Kovacs, Computer Based Intelligent Learning Environments (CBILE) specific to the high level safety training, in International Conference on Computer Systems and Technologies, CompSysTech 2005. Mihoc, G., Ciucu, G., Craiu, V., Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970. Mihoc, G., Iosifescu, M., Urseanu V., Elemente de teoria probabilităţilor şi aplicaţiile ei, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1966. Mihoc, G., Craiu, V., Tratat de statistică matematică, Ed. Academiei, Vol. I, Selecţie şi estimaţie, 1976; Vol. II, Verificarea ipotezelor statistice, 1977. Negoiţă, C.V., şi D.A. Rălescu, Mulţimi vagi şi aplicaţiile lor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1974. Negoiţă, C. V., Expert Systems and Fuzzy Systems, The Benjamin Cumming Publishing Company, Inc., Menlo Park, California, USA, 1985. Negoiţă, C.V. and D.A. Rălescu, Simulation, Knowledge-Based Computing, and Fuzzy Ststistics, Van Nostrand Reinhold Company Inc., New York, 1987. von Neumann, J. and O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behaviour, Princeton, Princeton University Press, 1947. Ngweenyama, O.K. and N. Bryson, A formal method for analyzing and integrating the rule-sets of multiple experts, In: Information Systems, vol. 17, No 1, 1-16, 1992. North, D.W., A tutorial Introduction To Decision Theory, In Systems Science and Cybernetics, vol. 4, nr. 4, 1968. Onicescu, O., Comparative Estimation Methods for multi-characteristic objects, In: Review of Statistic, Bucharest, Romania, No. 4, pp. 18-28, 1970. Onicescu, O., Calculul probabilităţilor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1956. Onicescu, O., Mihoc, G., Ionescu-Tulcea, C.T., Calculul probabilităţilor şi aplicaţii, Ed. Academiei, Bucureşti, 1956. Orlovski, S.A, Decision-making with a fuzzy preference relation, In: Fuzzy Sets and Systems, vol.1, 155-167, 1978. Orlovski, S.A., On formalization of a general fuzzy mathematical problem, In: Fuzzy Sets and Systems, 3, 311-321, 1980. Orlovski, S.A., Multiobjective Programming Problems with Fuzzy Parameters, In: Control and Cybernetics, 4, 175-184, 1984. Quaddus, M.A. and A.G. Holzman, IMOLP: An Interactive Method for Multiple Objective Linear Programs, In: IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, SMC-16, 3, 462 –468, 1986. Paolucci, M. and R. Pesenti, A New Cost Function to Solve Multi-Attribute Decision Making Problems with Non Separable Attributes, In: IEEE Int. Conf. on Systems, Man, and Cybernetics, 1961-1965, 1991. Papamichail, H.N., Explaining and justifying decision support advice in intuitive terms, In: Proceedings of the 13th European Conference on Artificial Intelligence, 102-103, H. Prade Ed., John Wiley&Sons, 1998.

195

Park, K.S., S.H. Kim and W.C. Yoon, An Extended Model for Establishing Dominance in Multi-attribute Decisionmaking, In: Journal of the Operational Research Society, Vol. 47, 1415 - 1420, 1996. Paryen, E., Modern Probability Theory and Its Applications, John Wiley and Sons, New York, 1960. Pawlak, Z., Rough set approach to knowledge-based decision support, In: European Journal of Operational Research, vol.99, 48-57, 1997. Perny, P., and B. Roy, The use of fuzzy outranking relations in preference modelling, In: Fuzzy Sets and System, vol. 49, 33-53, 1992. Pinson, S. and P. Moraitis, An Intelligent Distributed System for Strategic Decision Making, In: Group Decision and Negotiation, 6, 77-108, 1996. Pi-Shen, D.C., W. Holsapple and A.B. Whinston, A skill refinement learning model for rule-based expert systems, In: I.E.E.E. Expert Systems, IV, 1990. Pârvu, D., Andreica, M. (coord.) – Eficienţa şi finanţarea investiţiilor, Editura Cibernetica MC, Bucureşti, 2003 Poh, K., Knowledge-Based Guidance System for Multi-Attribute Decision Making, In: Artificial Intelligence in Engineering,12, 3, 315-326, 1998. Poh, K.L., M.A. Quaddus and K.L. Chin, MOLP-PC: An Interactive Decision Support Environment for Multiple Objective Linear Optimization, In: M. C. T. L. Goh (ed.) OR Applications in Singapore, Operational Research Society of Singapore, 25-39, 1995. Preda, V., Statistică matematică, Editura Universităţii Bucureşti, 1993. Proceedings of TAFEE Educational Convention, SanAntonio, 2003, pp. 125-127. Ralph, H.S.Jr. and J.W. Hugh, Decision Support for Management, Prentice Hall, New Jersey, 1995. Reeks, S., Genetic algorithms for strategy acquisition, B. Sc. Final Year Project Report, 1994. Reuhklin W., About loss in communication between trainers and student, în American Journal for Higher Education, no 123, pp. 12-22, January 2005. Resteanu, C., F.G. Filip, C. Ionescu and M. Somodi, Knowledge-based Simulation in Multiattribute Decision Making, In: Proceedings of EUROSIM ‘95 Simulation Congress (Vienna, Sep. 11-15). F.Breitenecker and I.Husinsky (Eds.), North-Holland, Elsevier Science, Amsterdam, 1271-1276, 1995. Resteanu, C., F.G. Filip, C. Ionescu and M. Somodi, On Optimal Choice Problem Solving, In: Proceedings of SMC ‘96 Congress (Beijing, Oct. 14-17), A.P. Sage and W. Zheng (Eds.), IEEE Publising House, Piscataway NJ,1864-1869, 1996. Resteanu, C., A. Popa, M. Somodi, E. Mitan şi I. Călin, Programare liniară cu mai multe funcţii obiectiv. Set integrat de instrumente în domeniul deciziilor multiatribut. Faza: Produs program MADM, Manual de utilizare, Bucureşti, oct. 1995. Riano, D., Automatic Construction of Descriptive Rules, In: Communications: the European Journal on AI, vol.11 (1), 1998. Ribeiro, R.A, Fuzzy multiple attribute decision making: A review and new preference elicitation techniques, In: Fuzzy Sets and Systems, vol.78, 155-181, 1996. Ritthoff, O., R. Klinkenberg, S. Fischer and I. Mierswa, A hybrid approach to feature selection and generation using an evolutionary algorithm, In: J.A. Bullinaria, editor,

196

Proceedings of the 2002 U.S. Workshop on computational intelligence, (UKCI-02), 147-154, Birmingham, U.K., Sep., 2002. Roubens, M. and P.Vincke, Preference Modeling, Springer-Verlag, Berlin, 1985. Roubens, M. and J. Teghem Jr., Comparison of methodologies for fuzzy and stochastic multi-objective programming, In: Fuzzy Sets and Systems, 42, 119-132, 1991. Rouning, X., and Z. Xiaoyan, Fuzzy logarithmic least squares ranking method in the analytic hierarchy process, In: Fuzzy Sets and Systems, vol.77, 175-190, 1996. Roy, B., Classement et choix en presence de poits de vue multiples (la methode ELECTRE), In: R.A.I.R.O., vol. 2, nr. 8, 1968. Roy, B. and P. Bertier, La methode ELECTRE II / Une application au media planning, In: 6th Conf. Int. Oper. Res., Dublin, 1972. Roy, B., The outranking approach and the foundations of Electre methods, In: Theory and Decision, vol.31, 49-73, 1991. Roy, B., Multicriteria Methodology for Decision Aiding, Kluwer, 1996. Rumelhart, D.E. and J.L. McClelland, (Eds.) Parallel Distributed Processing, Cambridge, MIT Press, 1986. Saaty, R., The Analytic Hierarchy Process - What it Is and How it Is Used, In: Mathematical Modeling, Vol. 9, 161-176, 1987. Saaty, T.L., A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures, In: Journal of Mathematical Psychology, vol. 15, nr. 3, 1977. Saaty, T.L., The Analytical Hierarchy Process, McGraw-Hill, 1980. Saaty, T.L., Axiomatic Foundation of the Analytic Hierarchy Process, In: Management Science, Vol. 32, 841-855, 1986. Sage, A.P., Decision Support Systems Engineering, John Wiley and Sons, Inc., 1991. Sakawa, M., and H. Yano, Feasibility and Pareto Optimality for Multiobjective Nonlinear Programming Problems with Fuzzy Parameters, In: Fuzzy Sets and Systems, 43, 1-15, 1991. Sakawa, M., H. Yano and J. Takahashi, Pareto Optimality for Multiobjective Linear Fractional Programming Problems with Fuzzy Parameters, In: Information Sciences, 63, 33-53, 1992. Sakawa, M., Fuzzy Sets and Interactive Multiobjective Optimization, Applied Information Technology, Plenum Press, New York, 1993. Saphier, I. şi A. Rusu, Algoritm de ordonare a unei mulţimi de obiecte pe baza caracteristicilor comune, In: Revista de statistică, nr. 8, 1971. Schnurr, H.-P. and S. Staab, A proactive inferencing agent for desk support, Staab & O’Leary, 2000. Scott, J. A., D. S. Todd and P. Sen, An Evolutionary Approach to the Scheduling of Ship Design and Production Processes, In: PRADS'98, Practical design of ships and mobile units, International symposium; 7th Sep., The Hague, Netherlands. Elsevier, Developments in Marine Technology 11, 351-358, ISBN 0444829180, ISSN 09282009, 1998. Sen, P. and J.-B.Yang, Multiple criteria decision making and engineering design, Springer Verlag, ISBN 3540199322, 1988. Sen, P., Marine design: the multiple criteria approach, In: Trans RINA, v. 134 pt B, 261-276, 1992.

197

Sen, P., Application of multiple criteria decision making techniques in engineering design, In: Portsmouth EDC Seminar on Adaptive Search and Optimization in Engineering Design; Nov., Plymouth University, UK. ISBN not stated, 1992. Sen, P., P.K. Chawdhury and J.-B. Yang, Multiple criteria approaches to design selection and synthesis, In: Seminar on Optimization and the Genetic Algorithm, Polytechnic South West EDC, 6 Dec., 1992. Sen, P. (University of Newcastle upon Tyne, Marine Technology Dept), The analytic hierarchy process (AHP). In: Multiple Attribute Decision Making Introductory Workshop for CODASID & AHP, Newcastle upon Tyne, 24 Feb., sponsored by Engineering Design Centre at the Universities of Newcastle upon Tyne, Northumbria at Newcastle, Sunderland, & Tyneside TEC Ltd. [Organised by TMTU on behalf of Engineering Design Centre]. [Workshop notes], Paper No. 7, 6 & [25] p., 1993. Sen, P. and J.-B. Yang, A multiple criteria decision support environment for engineering design, In: Proceedings of ICED 93, 9th International Conference on Engineering Design, 17-19 Aug., 1993, The Hague, Netherlands. Organised by KIvI & WDK. Edited by N.F.M. Roozenburg. Switzerland; Heurista, Schriftenreihe WDK 22, v 1, 465-471. ISBN 3 85683 0272, 1993. Sen, P. and J.-B. Yang, Interactive trade-off analysis in multiple criteria preliminary design of a semi-submersible, In: IMCES 93, Proceedings of 6th International Conference on Marine Engineering Systems, Marine Systems Design and Operation, 29 Sep. -1 Oct., 1993; University of Hamburg, Germany. Sponsored by I.Mar.E. /Institut fur Schiffbau, Hamburg /Institut fur Schiffstechnik, Berlin. Marine Management Holdings Ltd, Transactions Institute of Marine Engineers, Series C, Vol. 105, No. 3, 105-114, ISBN 0907206530, 1993. Sen, P. and J.-B.Yang, Design decision making based upon multiple attribute evaluation and mininal preference information, In: Mathematical and Computer Modelling, v 20 n 3, 107-124, ISSN 0895-7177, 1994. Sen, P. and J.-B. Yang, Combining objective and subjective factors in multiple criteria marine design, In: Proceedings IMDC '94, 5th International Marine Design Conference and Summer Meeting of the German Society of Naval Architects, Delft, Netherlands, 24-27 May, ed. S. Erichsen, et al., Delft University of Technology, IMDC '94, Vol. 1, 505-519, Vol. 2, 149-151, 1994. Sen, P., C.R. Labrie and J. Wang, Design for safety: in the Context of Fault Tree Analysis: Introductory Concepts: a Risk Indentification and Risk Evaluation Tool, In: Design for Safety, [course], Newcastle upon Tyne, 13 Jul., Engineering Design Centre, at the Universities of Newcastle upon Tyne, Northumbria at Newcastle, Sunderland, [43 & 26] p. including reprints, 1994. Sen, P. and J.-B.Yang, Preference modelling in multiple criteria design decisions, In: Proceedings Conference on Informing Technologies to Support Engineering Decision Making, Nov. London, UK. EPSRC, DRAL (sponsors). Powell, J. (ed). DRAL, 133142, ISBN 0902 376 152, 1994. Sen, P. and J.-B.Yang, Multiple criteria decision making in design selection and synthesis, In: Journal of Engineering Design, v 6 n 3, 207-230, ISSN 0954-4828, 1995. Sen, P. and M.M. Andresen, Many approaches in evaluation and decision-making in design, In: Journal of Engineering Design, v 6 n 3, 171-172, ISSN 0954-4828, 1995.

198

Sen, P. and J.-B.Yang, An investigation into the influence of preference modelling in ship design with multiple objectives, In: PRADS'95, 6th International Symposium on Practical Design of Ships and Mobile Units, 17-22 Sep.; Seoul, Korea, Society of Naval Architects of Korea (organiser). Various sponsors. Kim, H. & Lee, J.W. (eds) . Society of Naval Architects of Korea, v 2, 2.1252-2.1263, ISBN 89-950016-2-3, 1995. Sen, P., Z. Rao and P.N.H. Wright, Mulitcriteria robust optimization of engineering design systems under uncertainty, In: ICED'97; 11th International Conferences on Engineering Design; 19-21 Aug., Tampere, Finland, Tampere Univ Technology, WDK, n 25, v 2, 357-364, ISBN 9517227884, 1997. Shafer, G., A Mathematical Theory of Evidence, Princeton, MIT Press, 1976. Shaw, M.J., and M.S. Fox, Distributed artificial intelligence for group decision support. In: Decision Support Systems, vol. 9, nr. 4, VI, 1993. Slowinski, R., and J. Teghem, Stochastic versus fuzzy approaches to multiobjective mathematical programming under uncertainty, Kluwer, 1990. Staab, S., J. Angele, S. Decker, M. Erdmann, A. Hotho, A. Maedche., R. Studer, and Y. Sure, Semantic Community Web Portals, In: Proceedings of the 9th World Wide Web Conference (WWW-9), Amsterdam, Netherlands, 2000. Staab, S. and A. Maedche, Ontology engineering beyond the modeling of concepts and relations. In: Proceedings of the ECAI’2000 Workshop on Application of Ontologies and Problem-Solving Methods, IOS Press, Amsterdam, 2000. Staab, S. and O’Leary, D. (Eds.). Bringing Knowledge to Business Processes. Workshop in the AAAI Spring Symposium Series, Stanford, March 20-22, Menlo Park, CA. AAAI, 2000. Stănciulescu, F. şi V. Popa, Sistem experimental pentru modelarea şi simularea bazată pe cunoştinţe. Raport de cercetare, I.C.I., iunie, 1993. Steur, R.E., Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Application. New York, John Wiley & Sons, 1986. Steuer, R. E., An Interactive Multiple Objective Linear Programming Procedure, In: TIMS Studies in the Management Sciences, 6, 225-239, 1977. Stoleru, L., L’equilibre et la croissance economique, Dunod, Paris, 1969. Sulowinski, R. and J. Teghem Jr. Stochastic versus Fuzzy Approaches to Multiobjective Mathematical Programming under Uncertainty, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1990. Tecle, A. and L. Duckstein, (eds) A Procedure for Selecting MCDM Techniques for Forest Resource Management, Springer-Verlag, New York, 1992. Todd, D., Multiple criteria decision making in engineering design using genetic algorithms: PhD first year report, University of Newcastle upon Tyne, EDC Internal Report, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/50/1, 1995. Todd, D.S. and P. Sen (Univ Newcastle, ESPRC Eng Design Centre, & Dept Marine Technology), A multiple criteria genetic algorithm for containership loading, In: ICGA 97: Proceedings of the 7th international conference on genetic algorithms; 19-23 Jul.; Michigan State University, East Lansing. MI, USA. Back, Thomas (editor). ONR, NRL, Philips Lab, Intnl Society Genetic Algorithms, MSU GARAGe (supporters). Morgan Kaufman Publishers Inc, , p 674- 681, ISBN 1-55860-498-1, 1997.

199

Todd, D.S. and P. Sen, Multiple criteria scheduling using genetic algorithms in a shipyard environment, In: ICCAS'97; 9th International Conference on Computer Applications in Shipbuilding, 13-17 Oct., Yokohama, Japan, IFIP; Soc Naval Architects Japan (sponsors). Johansson, K.; Koyama, T. (editors). Tokyo, Society of Naval Architects of Japan, v 1. 259-274, ISBN 4930966027, 1997. Triantaphyllou, E. and C.T. Lin, Development and evaluation of five fuzzy multiattribute decision-making methods, In: International Journal of Approximate Reasoning, 14, 281-310, 1996. Triantaphyllou, E., Multi-criteria decision making methods: A comparative study, Kluwer Academic Publishers, 2002. Tseng, T.Y., and C.M. Klein, A new algorithn for fuzzy multicriteria decision making, In: International Journal of Approximate Reasoning, vol.6, 45-66, 1992. Turban E., Aronson J.E., Decision Support Systems and Intelligent Systems. Sixth edition. Upper Saddle River, NJ, 2001 Vaduva, I., Analiză dispersională, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1970. Vaduva, I., Metode de simulare cu calculatorul, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1977. Vaduva, I., Modele de simulare, Editura Universităţii Bucureşti, 2004. Valls, A., and V. Torra, Using classification as an aggregation tool in MCDM, In: Fuzzy Sets and Systems, vol.115, 159-168, special issue on Soft Decision Analysis, 2000. Verdegay J.L. and M. Delgado eds., The Interface between Artificial Intelligence and Operations Research in Fuzzy Environment, Verlag T¨UV Rheinland, ISR Series no. 95, 1989. 4 Vincke, P., Multicriteria Decision-Aid, Ed. John Wiley & Sons, ISBN:0-471-93184-5, 1992. Wanders G. and Fooa M.E., Education as a common buisness, în Proceedings of the XXX Arpa Convention, New Jersey, 1999 . Wang, J. and M. Bender, Connectionist Decision Support Systems for Multiple Criteria Decision Making, In: IEEE Int. Conf. on Systems, Man, and Cybernetics, 1955-1960, 1991. Werners, B., Interactive Multiple Objective Programming Subject to Flexible Constraints, In: European Journal of Operational Research, 31, 324-349, 1987. Werners, B. and H.-J. Zimmermann, Evaluation and selection of alternatives considering multiple criteria, In: A.S. Jovanovic, K.F. Kussmaul, A.C.Lucia and P.P.Bonissone eds., 7th Proceedings of an International Course on Expert Systems in Structural Safety Assessment (Stuttgart, Oct. 2-4) Springer- Verlag, Heilderberg, 167183, 1989. Wiss, G., (Ed.) Multiagent systems: a modern approach to distributed artificial intelligence, The MIT Press, Cambridge, 1999. White, C.C, A.P. Sage and S. Dozono, A Model of Multi-Attribute Decision Making and Trade-off Weights Determination Under Uncertainty, In: IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 14, 2, 223-229, March, 1984. Wooldridge, M., An introduction to multiagent systems, John Wiley & Sons, 2002. Yager, R. R. and D. Basson, Decision Making with Fuzzy Sets, In: Decision Sciences, vol. 6, nr. 3, 1976.

200

Yager, R.R., Fuzzy decision making including unequal objectives, In: Fuzzy Sets and Systems, vol.1, 87-95, 1978. Yager, R.R., A new methodology for ordinal multiobjective decisions based on fuzzy sets, In: Decision Science, vol.12, 589-600, 1981. Yager, R.R., On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision-making, In: IEEE Trans. On Systems, Man, and Cybernetics, SMC-18, 183190, 1988. Yager, R.R., Non-numeric Multi-Criteria Multi-Person Decision Making, In: International Journal of Group Decision Making and Negotiation, vol.2, 81-93, 1993. Yang, J.-B., A decision support software sub-system for multiple attribute decision making: the C++ source code and applications, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/MISC/2/1, 1991. Yang, J.-B., An integrated multiple criteria decision support system for engineering design, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/16/1, 1991. Yang, J.-B., MADM and a simple decision rule (MADM), In: Multiple Attribute Decision Making Introductory Workshop for CODASID & AHP, Newcastle upon Tyne, 24 Feb., sponsored by Engineering Design Centre at the Universities of Newcastle upon Tyne, Northumbria at Newcastle, Sunderland, & Tyneside TEC Ltd. [Organised by TMTU on behalf of Engineering Design Centre]. [Workshop notes], Paper No. 4, 5 & [17] p., 1993. Yang, J.-B., The CODASID method and design selection, In: Multiple Attribute Decision Making Introductory Workshop for CODASID & AHP, Newcastle upon Tyne, 24 Feb., sponsored by Engineering Design Centre at the Universities of Newcastle upon Tyne, Northumbria at Newcastle, Sunderland, & Tyneside TEC Ltd. [Organised by TMTU on behalf of Engineering Design Centre]. [Workshop notes], Paper No. 6, 7 & [28] p., 1993. Yang, J.-B., User manual on software for AHP and CODASID, In: Multiple Attribute Decision Making Introductory Workshop for CODASID & AHP, Newcastle upon Tyne, 24 Feb 1993, sponsored by Engineering Design Centre at the Universities of Newcastle upon Tyne, Northumbria at Newcastle, Sunderland, & Tyneside TEC Ltd. [Organised by TMTU on behalf of Engineering Design Centre]. [Workshop notes], Paper No. 8, 5 & [4] p. & disk, 1993. Yang, J.-B. and P. Sen, A gradient-based local region search approach for multiobjective optimization. University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/30/1, 1993. Yang, J.-B. and P. Sen, An interactive MADM method for design systhesis with assessment and optimization of local utility funtions, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/37/1, 1993. Yang, J.-B. and P. Sen, A hierarchical evaluation process for multiple attribute design selection with uncertainty, In: Industrial and Engineering Applications of Artificial Intelligence and Expert Systems; IEA/AIE 93; Proc. of 6th International Conference; 1-4 Jun, Edinburgh, UK., Chung, P.W.H., et al (eds). Gordon & Breach Science Publishers, 484-493. ISBN 2881246044, 1993.

201

Yang, J.-B and M.G. Singh, An evidential reasoning approach for multiple attribute decision making with uncertainty. In: IEEE Trans on Systems, Man, and Cybernetics, v. 24 n 1, 1-18, ppr SMC 093-03-0352. ISSN 0118-9472 Jan., 1994. Yang, J.-B. and P. Sen, An artificial neural network approach for nonlinear optimization with discrete design variables, In: System Modelling and Optimization: Proc of 16th IFIP-TC7 Conference; 5-9 Jul., 1993; Compiegne, France. J. Henry & J.P. Yvonn (eds). Springer-Verlag, Lecture Notes in Control and Information Sciences, v 197, 761-770. ISBN 3 540 19893 8, 0 387 1893 8, 1994. Yang, J.-B and P. Sen, Evidential reasoning based hierarchical analysis for design selection of ship retro-fit options, In: Artificial Intelligence in Design '94; 3rd Intl Conf on Artificial Intelligence in Engineering Design; 15-18 Aug., Lausanne, Switzerland. Swiss Federal Institute of Technology. J.S. Gero & F. Sudweeks (eds). Kluwer Acadamic Publishers, 327-344, ISBN 0 7923 294 5, 1994. Yang, J.-B. and P. Sen, An interactive gradient projection approach for multiobjective optimization, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/44/1, 1994. Yang, J.-B. and D. Li, Optimization scheme using interative parametric minimax method, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/45/1, 1994. Yang, J.-B. and P. Sen, Multiple objective design optimization by estimating local utility functions, In: Advances in Design Automation; 20th annual ASME Design Automation Conference, 11-14 Sep., Minneapolis, MN, USA. Gilmore, B.J. (ed). ASME, Publn, DE 1994, v 69, 135-146. ISBN 0791812839 & 20, 1994. Yang, J.-B. and P. Sen, A general multi-level process for hybrid MADM with uncertainty, In: IEEE Trans on Systems, Man, and Cybernetics, v 24 n 10, Oct.,14581473, ppr SMC 093-03-0352, ISSN 0118-9472, 1994. Yang, J-.B. and P. Sen, An artificial neural network approach for nonlinear optimization with discrete design variable, In: Lecture Notes in Control and Information Sciences, n 197, ISSN 0170-8643, EDCM/MCDM/RESC/51/1, 1994. Yang, J.-B. and P. Sen, Multiobjective optimization using local preference information for large engineering product design, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/48/1, 1995. Yang, J.-B. and P. Sen, Non-linear discrete optimization by artificial neural networks for engineering design synthesis, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/49/1, 1995. Yang, J.-B. and P. Sen, Interactive trade off analysis and preference modelling for preliminary multiobjective ship design, In: Systems Analysis, Modelling and Simulation, v 26, n 1-4, 25-55, ISSN: 0232-9298, 1996. Yang, J.-B., P. Sen and P.F. Meldrum, Multiple attribute evaluation in engineering decision support using limited compensation and reference designs, In: Information and Systems Engineering, v 9, 1-23, 1996. Yang, J.-B. and P. Sen, Preference modelling by estimating local utility functions for multi-objective optimization, In: European Journal of Operational Research, v 95 n 1, 115-138, ISSN 0377-2217, 1996.

202

Yang, J.B. and D. Li, Iterative parametric minimax method for a class of composite optimization problems, In: Journal of Mathematical Analysis and Applications, v 198 n 1, ISSN 0022-247X, 1996. Yang, Y.-B. and P. Sen, Multiple attribute design evaluation of complex engineering products using the evidential reasoning approach, In: Journal of Engineering Design, v 8 n 3, 211-230, ISSN 0954-4828, 1997. Yoon, K.P., and C.L. Hwang, Multiple Attribute Decision Making: An Introduction, Thousand Oaks, SAGE Publications, 1995. Yuan, Y., and M.J. Shaw, Induction of fuzzy decision trees, In: Fuzzy Sets and Systems, vol.69, 125-139, 1995. Wang, J., J.-B. Yang and P. Sen, Reliability and safety based cost modelling for maintenance optimization, University of Newcastle upon Tyne, Engineering Design Centre, In: Report No. EDCN/MCDM/RESC/39/1, 1993. Wang, J., J.-B. Yang and P. Sen, Safety analysis and synthesis using fuzzy sets and evidential reasoning, In: Engineering Reliability and Systems Safety, v 47 n 2, 103-118, ISSN 0951-8320, 1995. Wang, J., J.-B. Yang and P. Sen, Multi-person and multi-attribute design evaluations using evidential reasoning based on subjective safety and cost analysis, In: Reliability Engineering and System Safety, v 52 n 2, 113-128, ISSN 0951-8320, 1996. Wang, J., J.-B.Yang, P. Sen and T. Ruxton, Safety based design and maintenance optimisation of large marine engineering systems, In: Applied Ocean Research, v 18 n 1, 13-27, ISSN 0141-1187, 1996. Zadeh, L.A., Fuzzy sets, Information Control, vol.8, 338-358, 1968. Zadeh, L.A., Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility, In: Fuzzy Sets and Systems, vol.1, 3-28, 1978. Zadeh, L.A., A computational approach to fuzzy quantifiers in Natural Languages, In: Computers and Mathematics with Applications, vol.9, 149-184, 1983. Zadeh, L.A., Fuzzy Sets and Applications: Selected paper, R.R. Yager, S. Ovchinnikov S., Tony R. M. and Ngnyen H. T. editors, A Wiley Inter-science Publication, New York, USA, 1987. Zeleny, M., Multiple Criteria Decision Making. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1976. Zeleny, M., Multiple Criteria decision-making, McGraw-Hill, New-York, 1982. Zeleny, M., An Essay into a Philosophy of MCDM: AWay of Thinking or Another Algorithm? In: Computers & Operations Research, (19), 563-566, 1992. Zhu, J., Data envelopment analysis vs principal component analysis: an illustrative study of economic performance of Chinese cities, In: European Journal of Operational Research, 111, 50-61, 1998. Zitzler, E., Evolutionary algorithms for multiobjective optimization: Methods and applications, Ph.D. dissertation, Swiss Federal Inst. Technology (ETH), Zurich, Switzerland, 1999. Zimmermann, H.-J., “Fuzzy Sets, Decision Making, and Expert Systems”, Boston/MA, USA, 1987.

203

Zimmermann, H.-J., Decision-making in ill-structured environments and with multiple criteria, in: Bana e Costa ed., Readings in Multiple Criteria Decision Aid Springer Verlag, 119-151, 1990. Zimmermann, H.-J., L.A. Zadeh and B.R. Gaines, “Fuzzy Sets and Decision Analysis”, Kluwer Academic Publishers, Boston, USA, 1992. Zionts, S. and J. Wallenius, An Interactive Programming Method for Solving the Multiple Criteria Problem, In: Management Science, 22, 6, 652-663, 1976. Zions, S., A Multiple Criteria Method for Choosing Among Discrete Alternatives, In: Eur. J. Op. Res., Vol 7, 143-147, 1981. Zopounidis, C., Multicriteria classification and sorting methods: a literature review, In: European Journal of Operational Research, vol.138, 229-246, 2002.