9-asignacion En Redes

ASIGNACIÓN PARTICIÓN MODAL CONJUNTA EN REDES COMBINADAS DE TRANSPORTE PUBLICO: FORMULACIÓN MATEMÁTICA Y ALGORITMO DE SOLUCIÓN •

Joaquín de Cea Ch. y J.Enrique Fernández L. Departamento de Ingeniería de Transporte Pontificia Universidad Católica de Chile Casilla 306, Santiago 22, CHILE TELEFONO: (56-2) 686-4270 FAX: (56-2) 552 4054

RESUMEN

En este trabajo se formula un problema de asignación y partición modal conjunta para sistemas combinados de transporte público, con consideración explícita de redes compuestas y de las interacciones entre los usuarios de las diferentes subredes existentes. Los supuestos básicos del modelo consideran que en cada una de las subredes (bus, metro y bus-metro) los usuarios eligen sus rutas de acuerdo al primer principio de Wardrop y que la repartiaón de la demanda en transporte público (matriz de distribución de viajes) entre dichas subredes se realiza según un modelo logit. Evidentemente, en el equilibrio los niveles de servicio empleados para determinar las particiones modales son los mismos que resultan de asignar dichas demandas a las subredes correspondientes. El modelo es planteado como una desigualdad variacional en la que el Jacobiano del vector de funciones de costo es asimétrico y el de las funciones de demanda es simétnco. Dada esta característica se propone usar el algoritmo de diagonalización como método de solución. Luego de la presentación de la formulación matemática del problema y de un esbozo del algoritmo de solución propuesto, se discuten algunos aspectos relevantes de implementación, entre los que destaca el tema relacionado con el algoritmo de cálculo de rutas mínimas en redes combinadas metro-bus. Se enfatizan las diferencias que este algoritmo de cálculo de rutas mínimas presenta respecto del de determinación de rutas mínimas en redes combinadas auto-metro.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

ASIGNACIÓN PARTICIÓN MODAL CONJUNTA EN REDES COMBINADAS DE TRANSPORTE PUBLICO. FORMULACIÓN MATEMATI

1. INTRODUCCIÓN El problema de elección de rutas en redes de transporte público de gran tamaño, con consideración de restricción de capacidad de los vehiculos, ha sido un tema de preocupación bastante reciente entre los investigadores de transporte. En De Cea y Fernández (1993) se presenta un modelo de equilibno de tráfico con demanda fija, basado en el concepto de ruta de transporte público, en el que la función de costo asociada a los arcos de viaje en vehículo depende de los flujos de pasajeros, considerándose en forma implícita, tal como se hace en el caso de redes viales, las restncciones de capacidad del sistema. Dado que el Jacobiano del vector de funciones de costo es asimétnco, el problema variacional que representa las condiciones de equilibrio de tráfico óptimo de usuarios no tiene un problema de optimización equivalente, por lo que se propone para su solución el algontmo de diagonalización. Wu et al (1994) proponen un modelo de equilibrio óptimo de usuarios, basado en el concepto de estrategia, que también resuelven mediante un procedimiento de diagonalización. Si bien es posible simular con ambos modelos la elección de rutas en redes de transporte público con diferentes clases de servicio (por ejemplo bus, metro y combinaciones metro-bus) es evidente que suponer que dicha elección es el resultado del equilibrio de los costos generalizados de viaje constituye un enfoque inocente y limitado del problema que se desea resolver. Por esto, los dos modelos citados tienen su campo de aplicación más adecuado en la asignación de viajes sobre redes puras de transporte público (buses o metro, por ejemplo). Resulta bastante evidente que en un sistema con modos puros y combinados de transporte público el enfoque de modelación debe ser diferente al antenor. En general se supondrá que un viajero en este sistema enfrentará al menos dos decisiones al realizar su viaje entre un par dado de zonas. Debe elegir el modo puro o compuesto y luego su ruta sobre la red correspondiente. El modelo de equilibrio en este caso será uno de asignación-partición modal conjunta. En el caso de los modos combinados existe para los viajeros una tercera decisión posible, que es la del punto de transbordo entre los modos (ver modelo 3 propuesto en Fernández et al, 1994). En este trabajo se analizará en detalle el problema de asignación-partición modal conjunta y se supondrá que para el caso de las rutas sobre modos combinados el nodo de transbordo entre modos resulta del proceso de elección de rutas sobre la red compuesta (asignación). Se considerará explícitamente la existencia de modos compuestos, en forma similar a lo expuesto en Fernández et al (1994) para el caso de las redes compuestas auto-metro y se discutirán en detalle las particulandades de este problema. Se supondrá que se tiene una red integrada de servíaos (líneas) de bus y metro, sobre la que circulan (e interactúan, compitiendo por la capacidad de los servicios ofrecidos) diferentes tipos de viajeros aquellos que utilizan sólo servicios de bus y sólo servicios de metro (usuarios de modos puros de transporte público) y aquellos que utilizan una combinación de servicios de bus y de metro (usuanos del modo compuesto bus-metro). La demanda origen destino se reparte entre los modos alternativos de acuerdo a un modelo logit y las demandas modales son asignadas a sus respectivas redes de manera tal que en el equilibrio se cumpla, en cada caso, el pnmer principio de Wardrop.

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El articulo ha sido organizado de la siguiente manera. Luego de esta breve introducción, en el capitulo 1 se presentan algunas definiciones básicas. En particular se define la red subyacente al modelo, las funciones de costo asociadas a sus diferentes arcos y los modelos de partición modal entre servíaos puros y combinados de transporte público. El capítulo 3 se dedica a la formulación matemática del problema. Se establecen las condiciones de equilibrio y a partir de ellas se plantea el problema como una desigualdad variacional. En el capítulo 4 se discute el algoritmo de solución y finalmente en el capítulo 5 se presentan comentarios referentes a la implementación computacional del modelo, haciendo especial énfasis en los algoritmos de cálculo de rutas mínimas en redes compuestas bus-metro.

2. DEFINICIONES PREVIAS 2.1

La red "multimodal"

La red multimodal de transporte público está dada por un grafo donde N es la unión de los conjuntos de nodos que representan los centroides de zonas , paradas de las líneas de transporte público de superficie (Nb) y estaciones de metro (Nm) y S es la unión de los conjuntos de arcos que corresponden a los arcos virtuales de viaje para servicios de bus [Sb) y de metro (Sm), a los arcos de acceso (egreso) y a los arcos de transbordo superficie-metro (Sa) • La red que se muestra en la figura 1 representa una red compuesta (tipo bus-metro), codificada en términos de los arcos virtuales de viaje en transporte público que conforman cada una de las sub-redes. También están representados en ella los arcos de transbordo que unen la red de superficie con la red de metro y los arcos de acceso (egreso) que unen los centroides de zonas con los nodos de la red de buses. Es necesario considerar que un arco virtual de viaje está formado por un conjunto de líneas y tiene asociados atnbutos tales como un tiempo un esperado de viaje en vehículo, una tarifa, una frecuencia que corresponde a la suma de las frecuencias de las líneas que lo conforman, una capacidad correspondiente a la suma de las capacidades de dichas líneas, un tiempo de espera, un flujo, etc. (para mayores detalles sobre este tipo de redes se recomienda ver De Cea y Fernández, 1993). En el modelo que se presenta en este trabajo se considerarán tres redes modales diferentes: •

Red de buses, que contiene sólo arcos virtuales de viaje del modo bus, arcos de transbordo entre servíaos de buses y arcos de acceso.

•

Red de metro, que contiene sólo arcos virtuales de viaje del modo metro, arcos de transbordo superfiae-metro y arcos de acceso.

•

Red compuesta bus-metro, que corresponde a la suma (superposición) de las dos redes anteriores.

Además, en términos de la disponibilidad para los viajeros de modos de transporte público se distinguen dos tipos distintos de pares de zonas origen-destino:

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WP '• conjunto de pares O-D en los que los usuarios disponen de los modos metro y bus para realizar sus viajes. Estas son parejas en las que los centroides de origen y destino están conectados directamente al metro, por lo que se supone no relevante la alternativa combinada. Wc '• conjunto de pares O-D en los que los usuanos disponen del modo compuesto bus-metro y del modo bus para realizar sus viajes. Estas son parejas en las que sólo uno de los centroides (ongen o destino) o ninguno de ellos están conectados directamente al metro. En este último caso el modo compuesto tendrá rutas del tipo bus-metro-bus. 2.2

Funciones de costo

Las funciones de costo para los arcos virtuales de viaje (que como se ha dicho representan conjuntos atractivos de líneas) en una red de transporte público tienen, en términos generales, la siguiente forma (ver De Cea y Fernández, 1993):

c

f \ ir V+ =, +\1L) + ÑI ' V>\

W

~ \"

(1) (i)

V Ks J

donde: /, d, Vs ys Ks

tiempo de viaje en vehículo más tarifa tanfa para el arco s. frecuencia total del arco s. flujo flujo de pasajeros en el arco s.s. flujo flujo de de otros otros arcos arcos de de viaje, viaje, que que contienen contienen alguna alguna línea línea de de las las que que pertenecen pertenecen al al arco s, que compite por la capacidad del arco s. capacidad del arco s. parámetros de calibración.

Observando la expresión (1), es fácil ver que aun cuando los parámetros de las funciones anteriores fueran los mismos para todos los arcos de viaje el Jacobiano de las funciones de costo no Observando la expresión (1), es fácil ver que aun cuando los parámetros de las funciones antenores («r, P, nj fueran los mismos para todos los arcos de viaje el Jacobiano de las funciones de costo no será, en general, simétrico, dado que diferentes líneas tienen diferentes capacidades. Para el problema de partición modal y asignación conjunto, en que los arcos de las redes de bus y metro son compartidos por pasajeros que utilizan estos modos simples para realizar sus viajes y por pasajeros que utilizan el modo compuesto bus-metro, las funciones de costo deben considerar esta interacción de flujos. No obstante se supondrá que los costos percibidos por un usuario de modo puro o modo compuesto, sobre un arco de bus (o de metro), serán idénticos. Por lo tanto, las funciones de costo tendrán la siguiente forma:

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(2)

(3)

donde: costo del arco s. costo del arco s para usuarios del modo c (b=bus, m=metro, c=compuesto). flujo de pasajeros de bus que utilizan el arco s eSb • flujo de pasajeros de metro que utilizan la el arco s eSmflujo de pasajeros del modo compuesto bus-metro, que utilizan el arco s, sea de bus o de metro. Si se llama

a la suma

y

a la suma

se tienen las siguientes

expresiones para las funciones de costo:

(4)

(5)

Los arcos de acceso y arcos de transbordo tienen un costo constante y equivalente al tiempo de caminata sobre ellos.

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2.3

Modelos de partición modal

La distribución de viajes se considera fija, es decir, se supone conocida la matnz de viajes totales ai transporte público, la que se denominará Por lo tanto, el análisis de la demanda se centra. únicamente, en los modelos de partición modal. Se pueden distinguir dos situaciones de elección modal entre pares de zonas ongen-destino, suponiendo, como se ha mencionado, que el modo compuesto bus-metro no es relevante cuando el viaje puede realizarse sólo en metro. Estas situaciones son las siguientes: •

Bus v/s bus-metro, para Bus v/s metro, para

i) Bus v e r s u s Bus-Metro

Suponiendo que en este caso la partición modal se explica por un modelo logit binomial, éste puede expresarse de la siguiente forma: (6)

de donde: (7)

La notación utilizada es la siguiente: proporción de viajes que utilizan el modo bus para viajar entre el par w e Wt • viajeros que utilizan el modo bus para viajar entre el par w 6 Wc • percepaón por parte de los usuarios de los modos bus-metro y bus, respectivamente, del costo generalizado de viaje entre el par w E|f ( en el equilibno. parámetros a calibrar usando información de elecciones modales.

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cg|

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ii) Bus versus Metro En este caso, en forma similar al caso anterior, se puede expresar el modelo de partición modal mediante: (8)

con:

(9) donde:

Las matrices de viajes obtenidas de los modelos de partición modal anteriores son las siguientes: Modo bus Modo metro Modo bus-metro : Estas matrices deben ser asignadas sobre las redes modales correspondientes: bus, metro, bus-metro.

3. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA Antes de plantear las condiciones de equilibrio y formular matemáticamente el problema, conviene definir los diferentes conjuntos de rutas existentes sobre la red multimodal y las subredes puras, estos conjuntos son los siguientes: conjunto de rutas entre pares w sobre la red de buses. conjunto de rutas entre pares w sobre la red de metro, conjunto de rutas entre pares w sobre la red compuesta.

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conjunto de rutas compuestas entre pares w sobre la red compuesta.

Las condiciones de equilibrio del problema propuesto son entonces: a) Para cada modo, sea éste puro o compuesto, no existe incentivo para que los usuanos cambien unilateralmente de ruta sobre la red correspondiente. En el caso de los modos puros (bus=b y metro=m), el pnncipio de equilibrio (Wardrop, 1952) se expresa como: (10)

(11)

Para el caso de los usuarios de modo compuesto bus-metro, las condiciones antenores toman la forma siguiente:

(12)

En la notación utilizada

representa el costo de una ruta, con t"

perteneciente a alguno de los conjuntos de rutas definidos anteriormente. Los superindices, cuando aparecen, indican el modo al que dicha ruta pertenece y el * denota costos en el equilibrio. En el caso del modo compuesto la tiene una parte en cada modo, lo que también sucede con el costo de la ruta compuesta. Los parámetros yh y y m deben ser calibrados a partir de datos observados, para ajustar la percepción que los usuarios tienen de los costos en los arcos de las redes de bus y metro respectivamente. b) En el equilibrio ningún viajero tiene incentivo para cambiar unilateralmente de modo, puro o compuesto. Esto significa que la diferencia entre las desutilidades modales será igual a la inversa de las funciones de elección modal. (13)

(14)

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Las condiciones de equilibrio del problema de asignación/partición modal conjunta definidas por las ecuaciones (10) a (14) son equivalentes a la siguiente desigualdad variacional: (15)

donde c\y *) representa el vector de funciones de costos en los arcos de la red multimodal, evaluadas en los flujos de equilibrio evaluadas en las demandas

el vector de la inversas de las funciones de demanda modal Los flujos

y las demandas

deben satisfacer las

siguientes restricciones, que definen el conjunto factible (16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

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4. ALGORITMO DE SOLUCIÓN Dado que, como se ha mencionado, el vector de funciones de costo c(F) tendrá en general Jacobiano asimétrico, no existe en este caso un problema de optimización equivalente. Así, un enfoque de solución podría usar algún método para resolver directamente (15), como el algoritmo de planos cortantes propuesto en Nguyen y Dupuis (1984), o cualquier otro método para resolver desigualdades variacionales (ver Harker y Pang, 1987). Uno de los enfoques más usados para resolver problemas de redes con costos asimétricos es, debido a la simplicidad de implementación, el algoritmo de diagonalizacion (ver Flonan, 1977 y Abdulaal y LeBlanc, 1979). Este es un procedimiento iterativo similar al método general de Jacobi para resolver ecuaciones no lineales (ver Pang y Chang, 1982). En este caso, dada una solución inicial factible, deberán diagonalizarse las funciones de costos de operación en los arcos de buses y metro, y al interior de cada diagonalizacion deberá resolverse un problema de optimización similar al propuesto en Fernández et al (1994) para el caso de modos combinados auto-metro. Estas funciones de costo diagonalizadas, en la iteración k, son de la forma:

(26)

(27)

en las que Vs representa el flujo de pasajeros sobre el arco de viaje s (suma de los pasajeros del modo puro, bus o metro según sea el caso, y de los pasajeros del modo compuesto). Los flujos compitentes son dejados constantes (evaluados para la solución factible de la iteración k) por lo que los costos cs son separables, esto es, dependen sólo de su propio flujo. La convergencia del algoritmo de diagonalizacion tiene como condición de suficiencia la monotonicidad de c(V)(ver Flonan y Spiess, 1982). Sin embargo en la práctica los algontmos de diagonalizacion han mostrado muy buenas características de convergencia aun en casos en que dicha condición no se satisface. Al interior de una iteración del algoritmo de diagonalizacion se debe resolver el siguiente problema de optimización:

rninz = Yb^\l'cixjdx + y^'c.{x)dx- £ \f G^dy '£/

sesb

s^Sm

(28) (28)

»We

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m

a

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(29) s.a

{V,g}efl

(29)

El problema (28)-(29) tiene solución única si las funciones de costo son monótonas crecientes y los modelos de partición modal son funciones estrictamente decrecientes de las diferencias entre las desutilidades modales (Florian y Spiess, 1983) y puede resolverse fácilmente usando el algoritmo propuesto en Evans (1976), que es una adaptación del algoritmo de Frank-Wolfe. En la fase de aproximación lineal (búsqueda de dirección) es necesario calcular rutas mínimas sobre las redes puras y la red compuesta, con lo que se obtienen los niveles de servicio (desutilidades) requeridos para calcular particiones modales y así obtener flujos origen-destino por modos. Dichas demandas son asignadas a las rutas mínimas en cada red, con lo se obtiene una solución auxiliar (flujos en arcos y flujos O/D), que junto a la solución inicial de la iteración definen la dirección de máximo cambio factible de la función objetivo (28). Hecho esto se pasa a la etapa de minimización unidimensional, que indica cuanto avanzar en la dirección anterior.

5. ASPECTOS DE IMPLEMENTACION El algoritmo de diagonalización esbozado en el capítulo anterior requiere un algoritmo eficiente de cálculo de rutas mínimas y de asignación a rutas mínimas en redes puras y compuestas de transporte público. Para el caso de las redes puras (bus y metro) se ha implementado un algoritmo (ver De Cea y Fernández, 1989) que ha resultado muy eficiente tratando redes de transporte público de gran tamaño, como la red de buses de Santiago. Es necesario, sin embargo, desarrollar un algoritmo eficiente de cálculo de rutas mínimas y de asignación de viajes a redes compuestas de transporte público. En Malbrán (1994) se realiza una detallada revisión de los algoritmos de cálculo de rutas mínimas más usados en el caso de las redes de transporte. Se propone además un algoritmo de dos fases para calcular rutas mínimas en redes combinadas. Dicho algoritmo, sin embargo, está principalmente orientado a tratar redes combinadas auto-metro, caso en el que los viajes tratados y, en consecuencia, las rutas que deben ser calculadas tienen una etapa en auto y una etapa en metro. Esto no es necesariamente así para las rutas combinadas bus-metro. En este caso, si bien una parte importante de las rutas combinadas son de una estructura como la de las rutas auto-metro (una etapa en bus y una etapa en metro) existe una proporción de ellas con tres etapas: una primera etapa en bus, una segunda etapa en metro y una etapa final en bus. Ni el algoritmo de dos fases de Malbrán (1994) ni los algoritmos de cálculo de rutas mínimas en redes combinadas implementados en ESTRAUS (ver SECTU, 1989) consideran la existencia de este tipo de rutas. Probablemente la poca importancia relativa de los viajes observados en Santiago sobre rutas de este tipo (bus-metro-bus) para la

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encuesta origen-destino de 1991 han llevado a los modeladores a olvidarlos. No obstante, en redes integradas, con una mayor cobertura de la red de metro, como las que se analizan para planes futuros de la ciudad de Santiago, la importancia de este tipo de viajes aumentará sustancialmente, por lo que un algoritmo de rutas mínimas sobre redes combinadas de transporte público debe considerar su existencia. En un trabajo de investigación en curso se ha desarrollado e implementado la versión preliminar de un algoritmo más general que los disponibles que está en etapa de prueba y promete ser eficiente. Gruesamente, la parte del algoritmo (que es una adaptación del algoritmo de Dijkstra, 1959) que determina rutas mínimas del tipo bus-metro y bus-metro-bus consiste en calcular y almacenar, en primer lugar, los árboles de rutas mínimas desde las estaciones de metro (nodos de metro en la red multimodal) hacia todos los centroides, exigiendo sólo para el primer pivot (origen del arco) que el etiquetaje a nodos vecinos se realice sólo para nodos de metro, imponiendo así la restricción de buscar rutas mínimas desde el metro, usando al menos un arco de metro. Hecho esto se calculan árboles de rutas mínimas desde los centroides de origen no conectados a la red de metro hasta las estaciones de metro (no existen en este caso los arcos de metro). Cada vez que un nodo de metro llega a ser pivot, todos los centroides de destino (todos menos el origen del árbol que se está calculando) se etiquetan con un tiempo que se obtiene sumando al tiempo hasta el pivot el tiempo de la ruta mínima desde la estación de metro al centroide de destino y con un predecesor que corresponde al pivot. El esfuerzo de cálculo adicional respecto al de un algontmo de Dijkstra convencional (red pura) se relaciona principalmente con el cálculo de árboles adicionales. En el caso convencional se calcula un árbol por cada centroide de ongen. En este caso, además de ésos se debe calcular un árbol por cada nodo de metro. Por otro lado, el etiqutaje directo de los centroides a partir de los pivots nodos de metro introduce implícitamente un número no despreciable de arcos ficticios a la red. Esto es, exactamente

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ASIGNACIÓN PARTICIÓN MODAL CONJUNTA EN REDES COMBINADAS DE TRANSPORTE PUBLICO. FORMULACIÓN MATEMATI

Figura 1 Representación de una Red de Compuesta Bus-Metro

Centroides Nodos Estaciones de metro Secciones de ruta (bus) Arcos de acceso Secciones de ruta (metro)

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CALIBRACIÓN DE REDES DE TRANSPORTE: COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS BINIVEL Y HOOKS & JEEVES Rene M. Alvarez Cárcamo Ingeniero Civil de Industrias U.C. Estudios Econométricos Ingenieros Asociados Colón 3773, Depto 72. Fono: 206 31 62

RESUMEN La calibración de redes de transporte consiste en determinar los parámetros de las curvas flujovelocidad de los arcos componentes de la red, de tal forma que luego de producida la asignación de equilibrio, los valores modelados de flujos en los arcos se aproximen tanto como sea posible a los conteos de tráfico efectuados a nivel de calles y avenidas. Para lo anterior se requiere contar con tres elementos fundamentales: una red de transporte modelada en base a arcos, nodos y centroides; una matriz Origen-Destino obtenida a través de encuestas de preferencias, expandida y corregida en forma independiente a la red; y conteos de tráfico independientes de la matriz y los parámetros de la red modelada. En la literatura se han propuesto distintos métodos para calibrar redes, entre los que destaca el método binivel propuesto por Suh et al. para calibrar una red interurbana en Corea del Sur (Suh, Parky Kim, 1990) y utilizado en la calibración de la red estratégica de la Encuesta Origen Destino de Viajes de Santiago 1991. Este trabajo muestra los resultados de calibración de una red de transporte privado a través de los métodos binivel y de Hooks &Jeeves. Luego de un análisis de resultados, se fundamenta la elección del método de Hooks &Jeeves para calibrar redes de transporte privado cuyas funciones de costo en los arcos son del tipo BPR. La Metodología y resultados del presente trabajo fueron desarrollados como parte del estudio "Análisis y Recalibración de los Modelos de ESTRÁUS" realizado por la empresa consultora Fernández y De Cea Ingenieros Ltda., por encargo de la Secretaría Ejecutiva de la Comisión de Planificación de Inversiones en Infraestructura de Transporte (SECTRA)

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CALIBRACIÓN DE REDES DE TRANSPORTE- COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS BINIVEL Y HOOKS & JEEVES

1. EL MÉTODO BINIVEL 1.1

•-, Descripción General del Método

. -

El Problema Binivel consta de dos problemas de optimización resueltos secuencialmente. En el pnmero de ellos (Pl), se determinan los parámetros de la función de costos de cada categoría de arcos, que minimizan las diferencias entre los flujos observados y los flujos modelados En el segundo problema (P2), se modelan los flujos a través de una asignación de equilibrio utilizando los parámetros de la función de costos determinados en (Pl). El Problema Binivel asi descnto se plantea como:

(Pl)

donde

M,na^(f:-fa(a,p))2

es tal que resuelve:

(1.1)

(1.2)

(P2) (1.3) (1.4)

(1.5) (1.6) donde: Función de costo del arco a Parámetros de la función de costos Demanda entre el par w Par Ongen-Destino (IJ) Flujo observado en el arco a Flujo modelado en el arco a toma el valor 1 si el arco a está en la ruta p, y 0 si no Conjunto de todas las rutas sobre la red Conjunto de rutas que unen el par w Elemento de P Flujo en la ruta p Tal como se desprende de (1.3), (1.4), (1.5) y (1.6), (P2) es un problema de equilibno de usuarios que puede ser resuelto por ejemplo, a través del algoritmo de Frank-Wolfe. El proceso iterativo del algontmo binivel, se muestra en la Figura 1.1.

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RENE M. ALVAREZ CÁRCAMO.

Figura 1.1 Proceso Iterativo Algoritmo Binivel

1.2

Función de costo

La función de costo utilizada en este trabajo es la BPR (BPR 1964):

1.3

Expresión de los Flujos en Función del Costo en el Arco

El (Pl) requiere expresar los flujos modelados en (P2) como una función lineal de los costos de equilibrio

(1.8) A partir de la ecuación (1.7), y despejando de ella el flujo asignado fa , se obtiene la siguiente ecuación: (1.9)

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CALIBRACIÓN DE REDES DE TRANSPORTE- COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS BINIVEL Y HOOKS & JEEVES

sacando logantmo y reordenando se obtiene:

(1.10)

finalmente haciendo los siguientes cambios de variables:

(LID (1.12) (1.13)

(1.14)

resulta la función de una recta: (1.15) donde z es una función de la variable Dado lo anterior, el (Pl) de la ecuación (1.1) se puede plantear como: (116)

donde:

(1.17)

(1.18)

lo que es equivalente a plantear el (P4):

(P4) El (P4) encuentra su mínimo cuando los flujos observados y los modelados se igualan.

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(1.19)

RENE M. ALVAREZ CÁRCAMO.

2. EL MÉTODO DE HOOKS & JEEVES 2.1

Descripción del M é t o d o

La aplicación del método de Hooks & Jeeves a la calibración de la red vial, permite determinar los parámetros a y P de la función de costos (1.7) para cada categoría de arcos a través de un proceso de prueba y error. Este proceso consiste en efectuar una búsqueda exploratoria a través de cada una de las coordenadas del espacio de soluciones (parámetros a y p de las funciones de costo) a fin de encontrar una dirección de descenso local de la función objetivo (1.19). En la Figura 2.1 se describe el proceso en dos dimensiones:

Figura 2.1 Método de Hooks & Jeeves en 2 Dimensiones

La idea de establecer un nuevo Punto Base a una distancia K • d del Punto Base original, es permitir al proceso "salir" de posibles mínimos locales de la función objetivo, tal como se muestra en la Figura 2.2

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CALIBRACIÓN DE REDES DE TRANSPORTE- COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS BINIVEL Y HOOKS & JEEVES

Figura 2.2 Método de Hooks & Jeeves

Las etapas del proceso de Hooks & Jeeves son las siguientes ¡)

Exploración desde el Punto de Base y obtención de la Dirección de Descenso

Se efectúan cambios individuales de magnitud ±5 en los parámetros a y P de cada categoría de arcos y se evalúa la función objetivo en cada nuevo punto a través de una asignación de equilibrio. La dirección de descenso está determinada por un vector de dimensión n (número de parámetros a y P) cuyos componentes registran el resultado de cada exploración individual. Si luego de modificar un parámetro se produce una mejora en la función objetivo, se registra en el vector de descenso un ± 5. Si la función objetivo no mejora, se registra un 0. Dado esto, el vector de descenso es del tipo: (2.1) ")

Evaluación en el Punto de Descenso

Se modifican en forma conjunta todos aquellos parámetros a y p que produjeron una mejoría de la función objetivo en la etapa de exploración, efectuándose una nueva asignación de equilibrio en este punto.

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RENE M. ALVAREZ CÁRCAMO.

Si se produce una mejora en la función objetivo, se acepta esta dirección como una dirección en que la función objetivo disminuye y se continúa con el paso iii). El punto encontrado se denomina Punto de Descenso. Si no se produce una mejoría en la función objetivo, se repite el paso i) con una magnitud de

exploraciói III)

Avance A partir del Punto Base se efectúa un avance K -d En este punto se efectúa una nueva evaluación de la función objetivo. Si mejora el valor de la función objetivo, se establece este punto como nuevo Punto Base, repitiéndose el proceso de exploración i). Si no mejora la función objetivo, se efectúa un avance {K ¡2)- d desde el Punto Base original. Si mejora el valor de la función objetivo, se establece este punto como nuevo Punto Base, repitiéndose el proceso de exploración i). Si no mejora la función objetivo, se establece el Punto de Descenso como nuevo Punto Base y se repite el proceso de exploración y).

El método finaliza cuando el 5 a través del cual son efectuadas las exploraciones en i), se hace arbitrariamente pequeño y la función objetivo no mejora en la dirección de descenso indicada. 3. COMPARACIÓN DE LOS DOS MÉTODOS DE CALIBRACIÓN 3.1

Descripción de la Red, Conteos y Matriz Utilizadas

Con la finalidad de comparar los dos métodos de calibración de redes de transporte privado, se experimentó con una red, matriz y conjunto de conteos de prueba, especialmente preparados para tal efecto. La red de prueba utilizada consta de 3.081 arcos de viaje, 731 arcos de acceso, 988 nodos, y 264 zonas. Los arcos se encuentran divididos en 12 categorías cuyos parámetros de las función de costos (1.7) se muestran a continuación: Tabla 3.1 Parámetros de las Funciones de Costo de la Red de Prueba

Categoría 1 2 3 4 5 6

a 2,0 1,5 1,4 2,1 2,1 2,3

P

6,0 5,5 5,5 5,1 5,4 4,6

Categoría 7 8 9 10 11 12

a

P

1,9 2,4 0,2 0,8 2,5 0,2

4,5 4,5 6,0 4,0 5,2 4,0

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La matriz de prueba utilizada tiene un total de 169.735 viajes, distribuidos entre 264 zonas. Los conteos de prueba fueron obtenidos a través de una asignaaon de equilibno de la matriz sobre la red de prueba, seleccionándose en forma aleatoria un subconjunto de 565 arcos y sus respectivos flujos de equilibrio (para las categorías 11 y 12 no se obtuvo conteos). 3.2

Calibración con Método Binivel

Como punto de partida, se tomó los valores a = 0,2 y p = 4 (Recomendados por el Burean qf Public Roads para autopistas, 1964) para las 12 categorías de arcos de la red. En la figura 3.1, se muestra la evolución de la función objetivo (1.19) luego de 100 iteraciones del algoritmo. Figura 3.1 Método Binivel: Evolución de la Función Objetivo

En el mencionado gráfico, se aprecia que el proceso iterativo posee características oscilantes. En un principio la función objetivo tiende a disminuir pero a partir de la iteración 50 se produce un ascenso que estabiliza su valor en torno a 300. En la Figura 3.2 se muestra la evolución del coeficiente de determinación de la muestra o correlación al cuadrado (r2) entre flujos totales observados y modelados, a lo largo de las 100 iteraciones. Figura 3.2 Método Binivel: Evolución de r2

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RENE M. ALVAREZ CÁRCAMO.

El coeficiente de determinación se calculó a partir de la siguiente expresión:

(3.1)

En la Figura 3.2, se aprecia que a partir de la iteración 50 se produce un brusco descenso coincidente con el ascenso del valor de la función objetivo mostrado para dicha iteración en la figura 3.1. Finalmente, el valor de r2 se estabiliza en torno a 0,7. Los valores de a y p alcanzados luego de las 100 iteraciones son mostrados en la Tabla 3.2 Tabla 3.2 Parámetros Finales del Método Binivel luego de 100 iteraciones Correlación Función Objetivo Alfa Categoría 1 10.300,0 2 57,0 3 993,0 4 1.590,0 5 203.000.000,0 6 144.000,0 7 4.970,0 8 65,0 9 1.000,0 10 136.000,0

Beta 5,1 8,6 2,1 3,9 8,9 8,2 5,8 0,6 5,7 4,5

0,6752 289,63 r2 0,7428 0,4356 0,6613 0,7189 0,1087 0,3224 0,9319 0,9909 0,4669 0,5365

Es fácil apreciar que los valores de los parámetros a y p, obtenidos luego de 100 iteraciones del proceso difieren substancialmente de los valores con que fueron generados los conteos. Finalmente, es relevante señalar que el proceso fue detenido arbitrariamente en la iteración 100, toda vez que no se aprecia convergencia hacia ningún valor claro de la función objetivo, de r2 o de los parámetros a y p.

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3.3

Calibración con Método de Hooks & Jeeves

En esta sección se describen los resultados de calibrar la red de prueba descrita en la sección 3.1, a través del método Hooks & Jeeves, utilizando la misma matriz, conteos y punto de partida utilizados en 3.2. Tal como se aprecia en la Tabla 3.3, el valor de la función objetivo en el punto de convergencia es 2,72, sensiblemente inferior al 289,63 alcanzado al utilizar el método binivel. Además de lo anterior, el r alcanzado (99,78 %) es claramente cercano a uno, y notablemente mayor que el alcanzado al utilizar binivel (67,52 %). Tabla 3.3 Resultados de la Calibración Hooks & Jeeves Parámetros H&J Categoría 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Correlación Función Objetivo

a 2,3 3,1 1,8 2,2 2,4 2,1 1,6 3,4 2,8 2,2

3 6,9 9,2 7,1 4,9 5,3 4,4 3,4 6,2 9,5 4,9

r2 por Categoría 0,9978 0,9916 0,9966 0,9973 0,9843 0,9911 0,9988 0,9999 0,9803 0,9991 0,9978 2,7200

En algunas categorías (por ejemplo 1, 4, 5 y 6) los parámetros obtenidos son bastante cercanos a los parámetros originales (ver Tabla 3.1). Para otras (por ejemplo 3 y 7), los valores son razonablemente similares. Sin embargo las categorías 2, 8, 9 y 10 presentan diferencias lo que hace suponer la existencia de múltiples óptimos locales. 4. ANÁLISIS DE RESULTADOS 4.1

Método Binivel

El método Binivel tiene un largo transiente en el cual el r2 y la función Objetivo se comportan en forma osalante. Luego de aproximadamente 50 iteraciones se produce una relativa estabilidad de estos indicadores.

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A pesar de lo anterior, es posible afirmar que el método no converge hacia valores razonables de la función objetivo, de r2 o de los parámetros a y p. En efecto, los valores del parámetro a (en especial para la categoría 5) aparecen claramente erróneos y fuera de rango. Finalmente, es del caso señalar que a pesar de trabajarse con la misma red y la misma matriz con que fueron generados los conteos, se lograron valores de ajuste relativamente pobres (¿=0,61).

4.2

Método de Hooks & Jeeves

El método de Hooks & Jeeves, entregó valores razonables de r2 y de la función objetivo. En efecto la función objetivo alcanzó un valor de 2,7 , cercano al valor ideal 0. Por su parte el r2 alcanzó un valor de 0,998 que es muy cercano al valor ideal 1, lo que indica que el proceso se comportó adecuadamente. Finalmente, los valores reportados para los parámetros a y p están claramente dentro de rangos aceptables. Llama la atención que a pesar de que los indicadores utilizados (valor de la función objetivo y r2) indican que la calibración se llevó a efecto con éxito, existan diferencias entre los parámetros con que fueron originados los conteos o "verdaderos", y los parámetros logrados luego de haberse logrado la convergencia del proceso. Lo anterior sugiere la existencia de múltiples óptimos locales.

5. CONCLUSIONES De la experiencia descrita en este trabajo se puede concluir que el método binivel no es apropiado para calibrar redes de transporte privado, ya que no converge hacia valores adecuados de la función objetivo y de r2, arrojando valores claramente fuera de rango para los parámetros a y p. Por su parte, el método de Hooks & Jeeves sí converge adecuadamente hacia valores apropiados de los parámetros calibrados, entregando buenos valores para la función objetivo y r2. Dada la existencia de múltiples óptimos locales se hace especialmente apropiada la utilización del método de Hooks & Jeeves para la calibración de redes de transporte privado. Finalmente, es de interés señalar que el método de Hooks & Jeeves aquí descnto fue utilizado con éxito para la recalibración de la red estratégica de Santiago en 1994.

REFERENCIAS

] Bureau of Public Roads. (1964) Traffic Assignement Manual. U.S. Department of Commerce, Urban Planning División, Washington D.C. SECTRA (1994) Recalibración de la Red Estratégica de Santiago SECTRA (1991) Encuesta Origen Destino de Viajes del Gran Santiago Suh, Park y Kim. (1990) A highway capacity function in Korea: meseaurement and calibration. Transportation Research A, Vol.24 A N°3, pp 177-186.

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MODELOS DE REDES DE CARGA: ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO J. Enrique Fernández L. y Joaquín de Cea Ch. Dpto. Ingeniería de Transporte, U. Católica de Chile Casilla 306, Santiago 22, CHILE

RESUMEN

Los sistemas de transporte interurbano pueden ser representados a través de modelos de redes multimodales; estos últimos han experimentado un fuerte desarrollo durante las últimas dos décadas en su aplicación a sistemas urbanos de transporte de pasajeros, sin embargo su aplicación a sistemas interurbanos ha sido mucho más limitada. Por otra parte, aunque los pnncipios de modelación relacionados con teoría de grafos y redes, modelos matemáticos de opümización y pnncipios de teoría microeconómica, son útiles para tratar ambos problemas, sus características específicas son bastante diferentes, haciendo que no sea posible realizar una extensión o adaptación de modelos desarrollados en un caso (por ejemplo urbano) a su aplicación en el otro (por ejemplo interurbano). En este trabajo se realiza un análisis crítico de la literatura respecto del desarrollo de modelos de transporte interurbano de carga. En cada caso se estudian los supuestos y planteamientos teóncos básicos y las implicancias para su aplicación práctica, y se efectúa un análisis comparativo para el caso de los modelos de redes, en el que se evalúan las ventajas y limitaciones de los distintos enfoques propuestos en la literatura especializada. Como conclusión se especifican los aspectos más relevantes que requieren de investigación y desarrollos futuros y las formas posibles de enfrentar dichos desarrollos.

I ¡i presente investigación ha sido parcialmente financiada por FONDEC YT-Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile.

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1. INTRODUCCIÓN La modelación de los flujos interurbanos de carga presenta una gran complejidad inherente, lo que ha llevado a distintos autores a tomar diversos enfoques desde la perspectiva de diferentes disciplinas. Es así como podemos encontrar en la literatura modelos que tratan de representar y explicar desde el comportamiento de los agentes individuales en la elección de rutas, hasta el fenómeno de entrada y salida de empresas del mercado de transporte interurbano de carga. Sin embargo, en el centro de todos estos modelos está presente el concepto de la predicción del comportamiento de los diversos agentes que intervienen en el movimiento de la carga. Harker (1987), propone el diagrama de la Figura 1 para representar los distintos agentes que normalmente participan y las interrelaciones que entre ellos se producen. Los productores son los agentes económicos que producen los bienes; los consumidores demandan dichos bienes para el consumo. Típicamente, se consideran distintos sub-grupos de productores y consumidores que se localizan en diversas zonas dentro de la región que se desea analizar, los que se comunican mediante el conjunto de precios de los bienes y servicios que ellos venden y compran. Por lo tanto, si las distintas zonas consideradas se encuentran unidas por un sistema de transporte y hay intercambio entre ellas, debe existir un conjunto de agentes, denominados despachadores (shippers) que cumplen la función de administrar el movimiento de la carga desde su origen hasta su destino. En la práctica ellos están representados por un conjunto de entidades tales como los departamentos de despacho de empresas manufactureras, departamentos de distribución, despachadores de carga independientes, departamentos recibidores de carga de las empresas, etc. En general, los despachadores, son el conjunto de los agentes que toman las decisiones relativas a la forma operacional en que la carga se mueve dentro del área bajo estudio: la generación de viajes desde cada origen, su distribución hacia los distintos destinos posibles, y el conjunto de modos y empresas de transporte que tomarán parte en el traslado de la carga. Las elecciones que los despachadores realizan se basan en las condiciones que el mercado plantea que se resumen en los precios observados. Una de las decisiones más importantes que los despachadores deben tomar se refiere al conjunto de modos que se utilizarán en el transporte de la carga desde su origen hasta su destino y en particular las empresas que realizarán el servicio; a estas se les denomina transportistas (carriers) y su función propia es la producción de servicios de transporte. Se supone además que su objetivo fundamental es maximizar el beneficio obtenido de su operación. Por lo tanto, despachadores y transportistas son respectivamente los demandantes (consumidores) y oferentes (productores), en el mercado de servicios de transporte. Harker (1987) denomina decisiones de ruteo de los despachadores, a la elección que estos realizan de uno o varios transportistas (cadena de servíaos) para mover la carga; a través de dicho proceso, los despachadores crean una demanda por servicios de transporte, que es el producto de los transportistas. Estos a su vez producen una oferta de servicios de transporte, que en su conjunto determinará un nivel de servicio del sistema. Esta interrelación se representa por una flecha bidireccional en la Figura 1.

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Figura 1. Relaciones en el Mercado de Transporte de Carga Normalmente, el sistema de transporte de carga se considera además integrado por otros dos agentes: los transportistas potenciales y el Gobierno. Los primeros son agentes que normalmente no realizan servíaos de transporte, pero tienen el potencial de hacerlo y por lo tanto influyen en el establecimiento de las tanfas de los servicios, dada la presión que su potencial entrada al mercado ejerce sobre los operadores normales. El segundo está representado por todas las agencias estatales relevantes, tanto de nivel central, como regional y local. Ellas influyen en el sistema fundamentalmente a través de las regulaciones que imponen a la operación y de la provisión y mantención de infraestructura.

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2. MODELOS DE REDES DE TRANSPORTE DE CARGA Una red representa al sistema de transporte, como un conjunto de arcos y nodos con una topología definida, que especifica la estructuración espacial y funcional de los distintos servicios de transporte ofrecidos y que generalmente coincide además con la distribución física de la infraestructura. En el caso interurbano, los nodos representan lugares de acceso a la red de servicios o de encuentro de distintos modos: puertos, aeropuertos, patios ferroviarios etc.; los arcos representan vías sobre las cuales se movilizan los vehículos: carreteras, autopistas, líneas férreas, vías de navegación, etc. En general, cada elemento de la red lleva además asociado un índice del nivel de servicio y/o de los costos de operación experimentados, el que en las representaciones más sencillas es constante pero en los modelos más sofisticados corresponde a una función que depende del flujo y la capacidad del elemento en cuestión. Los modelos de redes típicos suponen un análisis de corto plazo, en el que dado un cierto capital invertido en la red y por lo tanto características definidas de capacidad y costos de operación, que estructuran una función global de oferta de corto plazo, se predicen los flujos y niveles de servicio que se observarían si se consideraran determinadas demandas entre los diferentes pares OrigenDestino, las que pueden ser constantes o elásticas dependiendo del caso. A continuación revisaremos los modelos de redes de transporte de carga más importantes que han sido desarrollados y reportados en la literatura especializada desde 1960.

2.1 El Modelo Harvard-Brookings. Sin duda este es el primer desarrollo significativo de un modelo predictivo de redes de transporte interurbano de carga. Creado inicialmente por Roberts (1966) y extendido posteriormente por Kresge y Roberts (1971) fue usado en Colombia para la elaboración de un plan de desarrollo del sistema de transporte interurbano de dicho país. Este modelo usa una red multimodal, incluyendo carreteras, ferrocarriles, rutas marítimas y rutas aéreas y distingue distintos productos a ser transportados. Sin embargo, solo considera la simulación del comportamiento de los despachadores, que son los únicos agentes representados. Los costos de operación de los modos de transporte se suponen constantes y la elección de modo y ruta por parte de los despachadores se basa en el cálculo de rutas mínimas sobre la red multimodal, para cada tipo de producto separadamente. Los costos de transporte resultantes se usan en dos submodelos de distribución distintos, dependiendo del tipo de producto: i) un sub-modelo estándar del tipo Koppmans-Hitchckok (K-H), que calcula los flujos 0-D para productos homogéneos de bajo valor agregado (principalmente graneles) ii) un submodelo gravitacional estándar (Isard, 1975, Cap. 3) para los productos especiales de alto valor agregado. Las generaciones y atracciones necesanas para especificar las restricciones de los submodelos de distribución se obtienen en forma extema, a partir de un modelo macroeconómico. Una vez obtenidos los flujos O-D por cada tipo de producto, estos se asignan a la red multimodal usando las mismas rutas mínimas calculadas inicialmente. Nótese que, dado que se supone que no existe congestión, no es necesario revisar los costos de operación calculados inicialmente, ya que

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estos son independientes del nivel de flujo asignado. El procedimiento de asignación se completa cargando volúmenes apropiados para considerar el retomo de los vehículos vacíos a su punto de origen.

2.2 El Modelo de Redes de Transporte de CACI. Este modelo fue desarrollado por CACI Inc., como parte del Estudio Nacional de Energía y Transporte (CACI, 1980, Bronzini, 1980a-c) y su objetivo inicial fue estudiar la eficiencia energética de los distintos modos de transporte de carga interurbanos, debido a lo cual se realizó una representación de los costos de energía más detallada que lo que es normal en este tipo de modelos La versión original es mulümodal y multiproducto, aunque las demandas por transporte son fijas entre pares O-D. Los supuestos básicos son los siguientes: El ruteo de la carga es resultado exclusivo de las decisiones de los despachadores, cuyo objetivo es encontrar las rutas de costo mínimo. El costo relevante para las decisiones de ruteo se obtiene mediante una combinación lineal del costo de operaaon, el tiempo de viaje y el uso de energía. Estos supuestos ignoran por completo el rol que cumplen los transportistas en el ruteo de los envíos de la carga y utilizan una expresión inusual del costo de transporte, al mezclar en una misma medida factores que son de interés para los transportistas, como el costo de operaaon, con otros perabidos por los despachadores y usuarios como el tiempo de viaje. A pesar de que sus creadores califican la versión más reaente del modelo como de equilibno y multiproducto, el procedimiento de asignación de equilibno usado trabaja con funciones de costos agregadas (para el conjunto de los productos), en vez de diferenciadas por producto, lo cual es equivalente a considerar un solo producto. En la última versión, se incluye un submodelo separado que simula las decisiones de ruteo de los transportistas (Bronzini y Sherman, 1983) pero que usa costos fijos y asignación a rutas mínimas.

2.3 Modelo de Peterson. Peterson propuso un modelo (Peterson y Fullerton, 1975) predictivo de transporte ferroviano que utiliza alternativamente los dos principios de comportamiento de Wardrop para modelar las decisiones de los operadores de transporte, aunque el autor opina que el segundo pnnapio (optimización de sistema) es más adecuado para modelar sistemas de transporte de carga. La formulación está basada en un problema de programación matemática, en el que se minimiza una función objetivo que está construida usando funaones no lineales de tiempo de viaje sobre los arcos de la red, que son función de los flujos agregados que los utilizan; las restricciones corresponden a las típicas conservaciones y nonegatividad de los flujos. En la solución se utiliza el conoado algoritmo de Frank-Wolf propuesto por Leblanc et al., (1975).

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Las demandas por transporte son constantes y determinadas exógenamente y se considera un solo producto y un solo operador. Además, tampoco se modela el retomo de los vehículos vacíos. 2.4 Modelo de Lansdowne. Aunque este modelo es menos general que los anteriores, es de interés por ser el primero que incluye las interacciones que se presentan entre despachadores y transportistas (operadores) (Lansdowne, 1981). El modelo es unimodal y considera demanda fija, la que se le debe entregar a través de una matnz de viajes en ferrocarril. Como resultado, entrega un conjunto de rutas ferroviarias incluyendo la localización de las interlineas, que corresponden a los puntos de la red en que el control de la carga es transferido de un operador a otro. Las decisiones de elección de ruta incluyendo el número y localización de las interlineas es determinado conjuntamente por los despachadores y transportistas involucrados. A pesar de que el punto de transferencia de la carga (interlinea) puede ser especificado por el despachador, es más comúnmente determinado por el primer operador que interviene en la cadena de transporte; este tiene por objetivo maximizar su beneficio económico, pero debe ofrecer un nivel de servicio razonable al despachador a fin de mantenerlo como cliente. Los principios usados en la modelación son los siguientes: La elección de rutas considera como criterio, minimizar el número de interlíneas. Los operadores eligen la ruta mínima dentro de su propia red. Si existen varias rutas elegibles se escoge la que maximiza el ingreso percibido por el primer operador en la cadena de transporte. Si existe más de un operador inicial potencial la carga se divide entre todos ellos de acuerdo con alguna regla pre especificada. A pesar de que el proceso de transferencia de la carga en los puntos interlínea ocasiona costos, demoras e incertidumbres adicionales que normalmente tratan de evitarse, la aplicación del primer principio especificado ignora varios factores importantes en la operación real de un sistema de transporte de carga; por ejemplo, las condiciones y trazado de las líneas y las demoras causadas por la congestión existente en las líneas y patios intermedios, influyen en forma importante en la elección de ruta en la práctica. El segundo, y cuarto principios, parecen razonables y el segundo se basa en el reconocimiento de la fuerte posición negociadora que tiene el primer operador con respecto al resto de los subsecuentes operadores, dado que el aporta el equipo y negocia las tarifas con el despachador. El modelo no considera el problema del retorno del equipo vado. 2.5 El modelo de Prínceton. Este es también un modelo ferroviario (Kornhauser et al., 1979) conformado por dos submodelos. El primero simula las decisiones de ruteo al intenor de un operador y el segundo determina los movimientos entre distintos operadores. Las rutas al interior de un operador son determinadas calculando rutas mínimas sobre la subred correspondiente y suponiendo costos fijos en cada arco.

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Los movimientos entre operadores son determinados considerando una red total, que incluye las de todos los operadores, unidas por arcos especiales que representan los puntos de interlinea; a estos arcos se les asigna un elevado costo de operación a fin de evitar que sean elegidos con demasiada frecuencia. En ambos modelos se utilizan libre y discrecionalmente los costos de operación sobre los arcos, como parámetros de calibración a fin de obtener el mejor ajuste posible entre los flujos observados y los modelados. No se considera el retomo de vehículos vados.

2.6 Otros Modelos. Los dos modelos más importantes desarrollados a la fecha: i) el Modelo de Equilibno de Redes de Transporte de Carga (Freight Network Equilibnum Model: FNEM) y ii) el Modelo de Planificación Estratégica para Flujos Multiproducto de Carga Interurbanos (STAN), serán tratados en forma separada en las secciones siguientes. Estos modelos son los más sofisticados disponibles y constituyen el estado del arte en materia de modelos interurbanos de redes de transporte de carga y por lo tanto merecen un análisis más detallado. Antes de ello revisaremos sin embargo un enfoque alternativo de modelación, que es complementano al revisado en la presente sección y que algunos autores han propuesto recientemente integrar con los modelos de redes más desarrollados existentes, Fneszetal, (1993).

3. MODELOS DE EQUILIBRIO ESPACIAL DE PRECIOS Al igual que los modelos revisados en la sección anterior, estos utilizan una representación explícita del sistema de transporte mediante una red. En este caso sin embargo se consideran solo las interacciones entre productores, consumidores y despachadores, correspondientes a las representadas en el tnángulo supenor de la Figura 1; los transportistas u operadores se dejan fuera del análisis y en su lugar se definen funciones de costo de transporte sobre los elementos de la red, que los representan en forma indirecta. En general la representación de la red o sistema de transporte es más bien agregada y simplificada. El modelo considera un conjunto de nodos que se pueden clasificar en dos clases diferaites: centroides, que representan regiones productoras y/o consumidoras y nodos de transferencia (ruteadores) que corresponden a puntos de intersección (o confluencia) de distintos arcos de la red, en los que no existe generación ni atracción de viajes, sino que únicamente transferencia de flujos. Los arcos pueden ya sea conectar directamente distintos centroides, o hacerlo a través de una serie de nodos de transferencia. A cada centroide que representa una región productora se le asocia una función de oferta y una función de demanda a cada región consumidora. Sobre dicha red se busca un conjunto de flujos de equilibrio caracterizados por las siguientes dos condiciones: Si existe un flujo del producto "k" desde la región A (exportadora) hacia la región B (importadora), entonces el precio final de equilibrio en la región A más el costo de transporte entre A y B, debe ser igual al precio final de equilibrio en la región B. Si el precio final del producto "k" en la región A más el costo de transporte entre A y B es mayor que el precio final en la región B, entonces no puede haber flujo desde A hacia B.

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En este modelo las demandas por transporte son derivadas de la necesidad de mover los productos entre regiones exportadoras e importadoras, que alcanzan un equilibrio espacial de precios, cuando están unidas por un sistema de transporte. La noción de equilibrio entre mercados espacialmente separados y las demandas de transporte resultantes ha sido desarrollada por diversos autores.

(a)

(b)

(c)

Figura 2. Redes consideradas en los Modelos de Equilibrio Espacial de Precios

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En un paper clásico en este tema, Samuelson (1952) elabora el enfoque antenor proponiendo una formulación, basada en programación matemática, como un problema de optimizadón, sobre una red como la de la figura 2-a. Usando una función objetivo que interpreta como "baieficio social neto", aplica las condiciones de Kuhn-Tucker para obtener las condiciones matemáticas de IUI equilibrio espacial de preaos. Beckman, et al., (1956) en un capítulo acerca de "Algunos Problemas no Resueltos", plantea que el modelo de equilibrio espaaal de preaos seria muy útil en el análisis de sistemas de transporte de carga. Takayama y Judge (1964 y 1971), plantean un problana de programación cuadrática suponiendo que las funaones de oferta y demanda tiaiai una fonna lineal y los costos de transporte son constantes e independientes de los flujos. El modelo considera vanos productos y los autores lo aplican para resolver un ejemplo. Flonan y Los (1982), consideran una red con nodos de transferenaa, como la mostrada ai la Figura 2.2-b, y funaones no lineales, para formular un problana de optimización cuya solución corresponda a un equilibno espacial de preaos. Sin anbargo, su procedimiaito de solución presenta problemas debido a que está basado en un enfoque que requiere enumeraaón de rutas aitre pares O-D. Tobin y Fnesz (1983), usan una red general del tipo presentado en la Figura 2.2-c, ai la que LUÍ nodo puede representar un ongai, un destino o un punto de transferaiaa A partir de dicha fonnulacion muestran que no es necesano considerar explícitamente los flujos en rutas (como ai el caso de Florian y Los, 1982), con lo que se reduce considerablanente el esfuerzo computacional requendo para obtener una solución. Sin embargo, este enfoque de modelación supone ai fonna implícita que existe sustituibihdad de productos en cada nodo de la red, esto quiere dear que ai LUÍ nodo de transferenaa, los flujos que aitran y salen no puedaí ser identificados y distinguidos según su destino final. Esto resulta en una modelación poco realista ai aquellas situaciones ai que se requiere identificar movimientos especificos entre pares O-D, como es el caso de carros de ferrocarnl (Harker, 1985). Los autores examinan también las propiedades de existenaa y unicidad de las soluaones, para lo cual usan una fonnulacion como problana complementario no lineal (PCN) y analizan las características de convergaiaa de LUÍ algoritmo de solución correspondíale Existen vanas aplicaciones de este concepto ai estudios de transporte de carga, sin embargo, pocas de ellas consideran un enfoque multiproducto y la mayoría corresponde al análisis de los sectores agrícola y de energía.

4. EL ESTADO DEL ARTE EN MODELOS DE REDES DE TRANSPORTE DE CARGA El estado del arte en la modelaaón de redes de transporte interurbano de carga, esta represaitado fundamentalmente por dos modelos i) el Modelo de Equilibno de Redes de Transporte de Carga (Freight Network Equilibnum Model FNEM) y n) el Modelo de Planificación Estratégica para Flujos Multiproducto de Carga Interurbanos (STAN) A continuación se hace un análisis de cada uno de ellos:

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4.1 El Modelo de Equilibrio en Redes de Transporte de Carga (FNEM). Este modelo (FNEM) fue desarrollado por un equipo conjunto de investigadores de la Universidad de Pennsylvania (Penn) y el Argonne National Laboratory (ANL), bajo el patrocinio del Departamento de Energía de los Estados Unidos de Norte América. Una descripción conceptual del modelo puede encontrarse en Friesz et al., (1981) y una descripción resumida se entrega en Friesz et al., (1983b). •

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Las características más importantes de FNEM son las siguientes: Se modelan en forma explícita las decisiones de despachadores y operadores (transportistas). Se usan dos redes distintas, una agregada para modelar el comportamiento de los despachadores y otra desagregada para modelar el comportamiento de los operadores. Se consideran distintos modos y diferentes productos en forma simultánea. Las funciones de costos y demoras consideradas tienen una forma no lineal. Los costos y las demoras dependen de la congestión en el sistema, la que es determinada por los niveles de flujos que usan cada elemento de la red multimodal. Las producciones y atracciones de los productos a ser transportados son fijas, pero su distribución O-D es variable. FNEM, modela las decisiones de los despachadores y operadores en forma secuencial, tal como se representa en el diagrama de la Figura 3. Se supone, que los despachadores tratan unilateralmente de minimizar el precio de entrega final de los productos que envían, el que se compone de la suma del precio en origen más el costo de transporte (que incluye la tarifa y el costo económico del tiempo de viaje), por lo que su comportamiento puede representarse mediante una variante del primer principio de Wardrop (equilibrio de usuarios).

Figura 3. Estructura del Modelo secuencia! Despachador-Operador

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Por lo tanto, el submodelo de despachadores considera demandas elásticas en términos de distnbución y su representación analítica corresponde a un problema de programación matemática (problema de optimización) Además, usa una representación agregada de la red, que considera arcos sintéticos entre nodos, que puedaí ser centroides, nodos de transferencia, o interlineas; cada uno de dichos arcos corresponderá ai la práctica a un conjunto de arcos reales, o una sección completa de la red de un operador. La solución de este submodelo, conduce a la determinación de cantidades demandadas, por producto, despachador, modo o combinaaon de modos que sean utilizados, y por operador. FNEM usa un detallado procedimiaito de tipo contable, que está implementado ai un algontmo daiominado de descomposición (Figura 3), para determinar las matnces O-D correspondientes a cada operador que controla una subred. Cada operador corresponde a una empresa, que se supone actúa de acuerdo a un cnteno de maxiiruzación de beneficios; sin embargo, dado que ai el enfoque secuaiaal utilizado, el submodelo de los operadores recibe matnces fijas de demandas por transporte aitre pares O-D, detenninadas por los despachadores (correspondíaite al resultado del submodelo de despachadores) el ingreso percibido será constante y por lo tanto puede considerarse que maximización de benefiaos es equivalente a minimización de costos. Por lo tanto, el comportamiento de los operadores es represaitado a través del segundo pnnapio de Wardrop (óptimo de sistema). El submodelo de operadores se fonnula como un problema de programaaón matemática, correspondiente a un modelo de asignación de equilibno con costos marginales de operaaon (óptimo de sistema) y demanda fija. La red individual de cada operador es considerada en forma completa y daallada para la defimaón del problana de asignación equivalente; ai la Figura 4 se muestra una represaitación de las características de las redes usadas ai los submodelos de despachadores y operadores Los dos submodelos son resueltos mediante un algontmo del tipo Frank-Wolfe (LeBlanc a al., 1975) utilizando procedimiaitos de diagonahzaaón (Fernández y Fnesz, 1983) para tratar las interacciones aitre distintos productos

Figura 4. Redes usadas en FNEM

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Los flujos de retorno de vehículos vacíos son considerados en forma indirecta mediante ajustes de las funciones de costos y demoras.

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Es importante hacer notar que FNEM no está restringido a trabajar con funciones de costos y demoras que sean estrictamente crecientes, como en el caso de los modelos urbanos de redes de transporte. Sin embargo, si se utilizan funciones decrecientes, para representar la existencia de economías de escala o de densidad de flujos, las funciones objetivo de los submodelos de despachadores y operadores pueden resultar no convexas, lo que ocasionará la posibilidad de obtener múltiples soluciones correspondientes a óptimos locales de los problemas de programación correspondientes. Cuando esto ocurre, el mismo algoritmo de Frank-Wolfe puede usarse para obtener una solución, pero debe tenerse cuidado en la elección del paso de avance de la segunda etapa del algoritmo, a fin de garantizar la obtención de un óptimo local. Avriel (1976) provee detalles respecto de varias reglas de selección, que pueden ser usadas para garantizar la convergencia del algoritmo a un óptimo local, cuando la función objetivo no es convexa. Se han realizado extensivas pruebas de validación de este modelo aplicándolo a la red de transporte interurbano de carga de Estados Unidos (Friesz, Gotrfried y Morlok, 1983) y los resultados indican que su capacidad de predicción es substancialmente superior que la de los modelos anteriores (ver sección 2). 4.2 El Modelo de Planificación Estratégica para flujos Multimodales Multiproducto de Carga Interurbanos (STAN) Es también un modelo de redes que considera distintos modos (multimodal) y distintos productos (multiproducto) (Crainic, Florian y Leal, 1990). Fue desarrollado inicialmente por investigadores de la Universidad de Montreal y es actualmente comercializado a través de la empresa canadiense ENRO Consultants Inc. La demanda es determinada exógenamente y se expresa en la forma de matrices de viajes O-D para cada producto considerado. Para ello, el paquete computacional con que STAN es comercializado permite implementar un procedimiento de cálculo y balanceo de matrices; también es posible importar los resultados de un modelo Insumo-Producto, si es que este se encuentra disponible. Además, se debe especificar el modo o conjunto de modos posibles de ser utilizados por cada producto y por lo tanto, puede ser usado en forma integrada con modelos econométricos de demanda. El énfasis de la modelación está en la simulación de las operaciones sobre la red (infraestructura). En STAN un producto representa a un conjunto de bienes o pasajeros, que demandan servicios de transporte y en consecuencia generan flujos sobre la infraestructura disponible. Cada producto es definido por un conjunto de características que describen sus atributos físicos y la forma en que es transportado, tal como la especificación del tipo de vehículo requendo para su transporte en cada modo usado. Un modo es un medio de transporte que permite mover productos y posee determinadas características operacionales y de costos. Los modos se diferencian también por el tipo de infraestructura que utilizan, sin embargo, el modo involucra un concepto más amplio que puede ser usado para modelar un espectro de posibilidades. Los modos pueden ser usados para modelar diferentes tipos detracción (ej. diesel y eléctrica en el caso ferroviario) o de vía (normal, de montaña

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MODELOS DE REDES DE CARGA: ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO

etc.) o ámbito de operación (navegación costera u oceánica). También se puedaí ídaitificar diferencias geográficas y de tipo de administración mediante una adecuada especificación de los modos. Para cada modo se define un vehículo típico ai términos de su peso muerto y capacidad de transporte, así como largo o composición cuando corresponda (tren, convoy, camión multi-trailer, etc.) La red base está compuesta por un conjunto de nodos, arcos y modos que represaitan todos los movimientos posibles sobre la infraestructura disponible. Cada arco es identificado mediante tres parámetros: el nodo cabeza, el nodo cola y el modo al que el arco pertenece, si existe más de un modo disponible para transportar un producto aitre dos nodos adyacentes, éstos se represaitan mediante arcos paralelos. En esta forma, el modo es una parte integral de la red y no solo un atnbuto de los arcos. La definición de cada arco mediante tres parámetros es importante para evitar dificultades con la aplicación de algontmos de redes (ej. rutas mínimas). Los nodos representan localizaciones físicas ai el espacio analizado (ciudades, puertos, patios de carga, interlíneas, etc.). Existen dos tipos de nodos que juegan LUÍ rol especial ai la red los caitroides y los nodos de transferencia intermodal. Estos últimos debaí ser asociados con las funciones de costo y de demoras apropiadas, lo cual puede requenr una expansión mediante su reemplazo por vanos nodos y arcos especiales, que formen un grafo bipartito. Los caitroides a su vez, tienai asociados generaaones y atracaones de viajes y se unai a la red mediante arcos daiominados conectores, los que pueden usarse para modelar los puntos de entrada de los productos ai las zonas Los flujos son las pnnapales vanables del modelo. Estos son expresados ai dos formas diferaites i) en términos de una unidad común de medida, normalmente toneladas, lo que pemiite asegurar la compatibilidad entre diferentes modos mediante una modelaaón uniforme del flujo a través de toda la red y ü) en términos del número de vehículos necesanos para transportar el flujo asignado a cada arco de la red, a fin de realizar un cálculo realista de los costos de operaaón sobre la infraestructura y las demoras denvadas de la congestión produada. La congestión tiene una influencia muy importante en los niveles de serviao finalmente obtandos. El modelo considera funciones flujo-demora que afectan tanto a los tiempos de viaje, como a los costos de transporte; estas pueden ser calibradas como funciones no lineales, que en pnnapio puedaí ser no-convexas y asimétncas, en términos de la consideraaón de los efectos cruzados de congestión, produados por el transporte de aferentes productos. Se define una funaón de costo generalizado sobre cada elemento de la red multimodal, como una suma ponderada de una funaón de costos de operación, una funaón de tiempo de viaje (danora) y una función de consumo de energía; los ponderadores de cada uno de estos términos son parámetros que indican la importanaa relativa de cada uno de los componentes considerados En casos particulares es posible dar valor cero a algunos de estos parámetros, a fin de usar un cnteno espeaal de análisis; en otros casos, los pesos relativos de cada componente pueden calibrarse para reflejar diferentes pnondades o políticas. El uso de STAN no impone ninguna regla espeaal para la elecaón de los elementos de costo a considerar (tracaón, mantención, personal, combustibles, lubncantes etc.), sin embargo los mismos elementos debieran incluirse para todos los modos y ai las mismas unidades

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El modelo STAN es formulado matemáticamente como un problema de optimización no lineal, correspondiente a la forma general de un modelo de asignación a redes multimodales y multiproducto. La función objetivo es minimizar el costo total generalizado del sistema y las restricciones corresponden a continuidad de flujos y nonegatividad; por lo tanto, la solución producida corresponde a un equilibrio de sistema. En este sentido es más simplista y menos sofisticado que FNEM, el que simula explícitamente el comportamiento de los principales agentes y sus interacciones. La flexibilidad y generalidad en la formulación y consideración de las funciones de costo, es fundamental en STAN para contrarrestar las limitaciones que puede imponer el enfoque de minimización de costos, ya que en una gran cantidad de situaciones a nivel micro-operacional, la forma en que los productos son transportados está en gran media determinada por un conjunto de circunstancias restrictivas de carácter físico y de costos. La obtención de soluciones numéricas se logra mediante la aplicación de un algoritmo del tipo gradiente (Frank-Wolfe), el que, a fin de evitar problemas de dimensionalidad, usa un enfoque de descomposición por producto.

5. DESARROLLOS FUTUROS Los análisis de las secciones anteriores permiten concluir que los modelos existentes presentan todavía algunas limitaciones en los siguientes aspectos importantes: 1. Interacciones despachadores operadores. Aún los modelos más avanzados que consideran en la modelación los principales agentes que intervienen en el sistema en la realidad, realizan una modelación secuencial de las decisiones de los despachadores y operadores. Sin embargo, solo una modelación simultánea (determinación simultánea y consistente de las decisiones de todos los agentes interactuantes) asegura la obtención de una solución única y consistente. Harker y Friesz (1985, 1986a, 1986b) muestran que, si se supone una interacción del tipo CournotNash entre despachadores y operadores, es posible formular el problema de equilibrio conjunto con una sola desigualdad variacional; además, bajo ciertos supuestos, es posible usar una combinación de algoritmos de linearización (gradiente), relajación y diagonalización, para resolver dicha desigualdad variacional. Los subproblemas que se obtienen como consecuencia de la aplicación de diagonalización, pueden ser expresados como problemas de optimización y resueltos mediante la aplicación del bien conocido algoritmo de Frank-Wolfe y otros algoritmos estándar. 2. Equilibrio parcial vs. Equilibrio general. Los modelos existentes usan como datos los precios que los productos a ser transportados tienen en distintas localizaciones del espacio. Por lo tanto, no toman en cuenta las interacciones que existen entre el equilibrio del mercado de los productos, que son objeto de transporte (y que determina los precios finales de estos) y el equilibrio del mercado de transporte que determina las cantidades transportadas y los niveles de servicios y costos experimentados. A fin de obtener un resultado consistente entre ambos mercados es preciso realizar un tratamiento simultáneo que considere las interacciones que entre ellos existen.

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Como se mencionó en la sección 3 , Tobín y Fnesz (1983) y Fnesz et al., (1983b), muestran que el concepto tradicional de "problema de equilibno espacial de precios", puede ser extendido con la consideración de redes de transporte que incluyan explícitamaite funciones de costos, demanda y oferta no lineales La formulación típica del problema de equilibno espacial de precios (ver sección 3 ), no incluye explícitamente funciones de demanda por servíaos de transporte, sino que las considera en forma implícita, denvando las cantidades de servíaos demandados, como consecuencia de las características de producaón y consumo en mercados espaaalmente separados. En consecuenaa, debiera ser posible usar un modelo de equilibrio espaaal de precios para reemplazar el submodelo de despachadores incluido ai FNEM, con lo que este se convierte ai un modelo con generaaón vanable y aidógaia. En tal caso, el resultado obtenido aitrega simultáneamaite, tanto las condiaones de equilibno sobre el mercado de transporte (flujos y niveles de serviao), como los preaos de equilibno de los productos transportados, en cada localizaaón espaaal considerada; es dear, se obtiene lo que se daiomina un equilibno general. Tal fonnulaaón, con generaaón aidógena fue propuesta por Harker y Fnesz (1985, 1986a, 1986b) y da ongai a lo que Harker (1987) daiomina Modelo Gaieralizado de Equilibno Espaaal de Preaos (GSPEM). 3. Monotonicidad de las Funciones de Costos En el caso de sistemas de transporte de carga existen funaones de costos (ej. en el modo ferroviano) que pueden decrecer en un comienzo, debido a la presenaa de economías de escala y crecer postenormaite, debido a la apanaón de congestión cuando el flujo se aproxima a la capaadad (Morlok, 1978); dichas funaones no son monótonas lo que produce formulaaones no convexas, que tratan de evitarse en la mayoría de los modelos dado que generan múltiples soluaones (óptimos locales) 4. Consideración de Vehículos Vacíos. Se refiere a la necesidad de modelar adecuadamente los flujos de los vehículos (carros, camiones, barcazas, etc.), que una vez realizada una operaaón de transporte debaí ser retornados vados a su lugar de ongen, para recomenzar el aclo de operaaón. Existai dos impactos de estos vehículos que debieran ser considerados: i) los flujos de retomo de vehículos vacíos producen congestión que afectan a los costos de operaaón de los demás vehículos ii) la disponibilidad de vehículos vacíos en el origen, ai el momento necesario, define la capaadad de transporte desde dicho punto del espacio, en el modo respectivo (Solo el modelo STAN incluye explíatamente este tipo de restncaón). 5. Consideración de Estrategias de Operación. En la operaaón ferroviaria se usan trenes de distinta longitud, compuestos de distintos tipos de carros que son agrupados en bloques que poseen el mismo o similares destinos. Este fenómaio tiaie una importante influenaa ai la correcta modelación de la operaaón de los patios ferrovianos de clasificaaón y por lo tanto seria benefiaoso considerarlo en los modelos. 6. Competencia Imperfecta En la práctica el mercado de transporte se aleja comúnmente de presentar condiciones de competenaa perfecta, dada la posibilidad e incentivos que existen para que haya colusión entre operadores en la negoaaaón de tanfas con los despachadores. Ninguno de los modelos existentes considera esta posibilidad y por lo tanto este es otro aspecto que puede ser mejorado

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AGRADECIMIENTOS La presente investigación ha sido parcialmente financiada por FONDECYT-Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile.

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MODELOS DE REDES DE CARGA. ESTADO DEL ARTE TRANSPORTE INTERURBANO

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J. ENRIQUE FERNANDEZ L, - JOAQUÍN DE CEA CH.

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MODELOS DE REDES EN TARIFICACIÓN VIAL URBANA Fernando Bravo F. C1S Asociados Consultores en Transporte Ltda. Austria 2066 Providencia. Stgo Chile. Fono Fax 2051034-2051033-2051029 Manuel Díaz C. Dirección de Planeamiento Ministerio de Obras Públicas MOP Morando 59 Stgo. Chile Fono 6992233-2612 Fax 6716178

RESUMEN El tratamiento de la tanficación vial en redes viales urbanas de transporte, constituye hoy en día una interrogante recurrente en ingeniería de transporte, dada la vanedad de impactos que provoca en el sistema de transporte, y las posibilidades que presentan los modelos disponibles en el mercado para representarlos y simularlos. El presente trabajo pretende responder a parte de estas inquietudes, a través de un ejercicio eminentemente operativo , recuiriendo para ello a dos modelos ampliamente conocidos en la literatura: SATURN y EMME2. Junto con investigar la respuesta a las interrogantes, se ha pretendido encontrar como responden los modelos, dadas las pnncipales características que poseen, destacando sus ventajas y desventajas ante determinadas situaciones a simular en una red vial urbana tanficada. Para realizar lo antenor, el trabajo comienza con una descnpaón teórica del problema que se resuelve, los enfoques que este posee, los supuestos pnncipales involucrados, indicando los pnncipales algontmos que disponen los modelos estudiados para responder a la solución de los problemas. Enseguida se realiza una descnpaón operativa de los modelos, indicando sus prinapales características. Especial interés adquiere, el tratamiento de la compatibilidad de informaaón. En Chile, tradiaonalmente el tratamiento de las redes viales se ha hecho en ambiente SATURN, lo cual equivale a disponer de una gran cantidad de parámetros e informaaón calibrada y validada bajo este modelo. Posteriormente se formula un conjunto de interrogantes, las cuales se han pretendido responder realizando un ejerciao de simulaaón para una red vial existente para el eje "Proyecto Costanera Norte de Santiago", cuya red base fue calibrada onginalmente con SATURN. El trabajo culmina con una sene de respuestas a las preguntas planteadas y una sene de recomendaciones sobre la matena.

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2.- REVISIÓN TEÓRICA FUNDAMENTAL La solución de los problemas de asignación de viajes en las redes de transporte urbano con demanda inelástica, conocidos también como problemas de equilibrio de tráfico, se fundamentan en los conocidos como 1er y 2 Principios de Wardrop. La forma de representar las funciones de oferta o costos en los arcos para los distintos usuarios y h forma como estos usuarios perciben estos costos da origen a distintos planteamientos y enfoques para solucionar los problemas. En este punto se revisan los planteamientos relativos a la asignación multiclases de usuarios que disponen los modelos SATURN y EMME2, dada las facilidades que otorgan para simular de mejor forma el efecto de la tarifa o peaje en las funciones de oferta por arco. Junto a esto se revisan los enfoques deterministico y estocástico para enfrentar los problemas. Se comienza describiendo la notación, la cual será válida para los dos modelos estudiados: 2.1 Notación índices a = Arco, m = Clase de usuario, w = Par origen-destino (zona i-zona j), p = Ruta vanaoles = Viajes en par origen-destino w, para usuarios de clase m. = Viajes en ruta p para usuarios de clase m. = Flujo de usuarios de clase m sobre arco a. = Flujo de usuanos total sobre arco a = Costo Total sobre arco a percibido por usuario clase m. = Costo Total de viaje percibido por usuarios de clase m sobre ruta p. = Tiempo de viaje sobre arco a . = K-ava componente fija del costo sobre el arco a. = 1 si el arco a es usado por ruta p, 0 en otro caso. •

Conjuntos = Conjunto Total de arcos de la red. = Conjunto Total de pares origen-destino de viajes. = Conjunto Total de clases de usuarios en la red. = Conjunto Total de rutas posibles en el par origen-destino w, para usuario m. = Conjunto Total de rutas en la red, para usuario m. = Conjunto Total de costos fijos en un arco.

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MODELOS DE REDES EN TARIFICACIÓN VIAL URBANA

2.2 Equilibrio Multiusuarios (Enfoque Determinístico) - SATURN En este caso SATURN (SATURN, 1985) expresa el costo en el arco a como: (1) • .

• • • .

donde = Valor del tiempo percibido por usuario de clase m - Valor unitario de la componente K-ava del costo de viaje para usuario de clase m Para plantear el problema es necesario considerar dos restncciones : En la expresión para el costo (1) sólo la componaite para el tiempo de viaje es dependiente del flujo El tiempo en el arco a depende sólo del flujo en ese arco (función separable) y además del total de flujo en el arco. (2) donde

Considerando lo anterior la función objetivo para el problema, expresada en unidades de tiempo, puede plantearse como:

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FERNANDO BRAVO F. - MANUEL DÍAZ C.

donde (4)

El primer término de la función objetivo es la integral estándar del tiempo de equilibrio con una clase de usuario, mientras que el segundo término es el conjunto total de costos percibidos en unidades de tiempo, sumados sobre todos los arcos a, para todas las clases m de usuarios y para todas las componentes k fijas del costo ( una de estas puede ser por ejemplo la tarifa ).

Si definimos al costo en unidades de tiempo como

se tiene:

(5) Es demostrable, usando la expresión (2), que el Jacobiano de la función de costo anterior es simétrico ya que se cumple:

(6) - Algoritmo de Solución Dado que el problema es diagonal, el algoritmo que se usa para resolver el problema (3) es esencialmente una generalización del algoritmo de Frank-Wolfe, realizando el proceso tradicional de dos fases del algoritmo aplicado en este caso consecutivamente a cada clase. Etapa 1. Generar Solución Factible Se debe generar una solución inicial factible, asignando por ejemplo los viajes T™ "todo o nada" a costos a flujo libre por clase . De esto se obtiene iteraciones Etapa 2. Aplicación Algoritmo Frank Wolfe (F-W) para cada clase Se deben repetir los pasos 2.1 a 2.5 siguientes para las clase m=l, ,M, excluyendo aquellas clases de usuarios con b„m=0, dado que estas permanecen con sus rutas fijas, calculadas de la etapa 1, al no depender los costos de los flujos en la red. 2.1

£22

Dado

^ ^

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

MODELOS DE REDES EN TARIFICACIÓN VIAL URBANA

2.2

Ia Fase F-W, Búsqueda Solución Auxiliar: Asignar mínimo vigente para obtener la solución auxiliar

2.3

2° Fase F-W, Optimización dirección descenso : Actualizar los flujos para cada clase de acuerdo a:

todo o nada a la ruta de costo

, con permaneciendo el resto de las clases de usuarios inalterable. La solución de 2.3 se obtiene, resolviendo el problema de ec. (3) con respecto a lambda, es decir:

Si hacemos la derivada de Z con respecto a A. igual a cero se obtiene:

La expresión anterior indica que se debe transferir un número suficiente de viajes para cada clase de usuanos, desde sus rutas de costo mínimo Fam de manera tal que se cumpla que la suma total de los costos actuales percibidos por clase Vam sean iguales a los de las ruta de costo mínimo.

2.4 Actualizar el flujo total en cada arco de A, de la forma: -

2.5

•

:

Incrementar m y volver a 2.1

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

" •

AO'l

FERNANDO BRAVO F. - MANUEL DÍAZ C.

Etapa 3. Si los criterios de convergencia descritos abajo no son satisfechos, íncremetar I en 1 y retomara Etapa 2. Criterios de Convergencia Se define una medida del exceso de flujo sobre la ruta de costo mínimo de la siguiente forma:

donde:

- EMME2 En EMME2 (EMME, 1994) se utiliza la misma lógica para enfrentar el problema, asumiendo que los costos del arco a percibidos por el usuario de clase m pueden ser expresarse como: (7)

Lo anterior implica que las diferentes clases de usuarios están sometidos al mismo efecto de congestión (que depende del flujo total del arco), pero cada clase de usuario percibe una constante diferente B™. Como se puede apreciar la expresión (7), tiene la misma estructura que la expresión (5) anterior, por lo cual se cumplen las condiciones representadas en (6) y es válido el mismo planteamiento de problema utilizado en SATURN, representado en (3). EMME2 utiliza también el algoritmo de Frank Wolfe para solucionar el problema, aplicado consecutivamente a cada clase, de la misma forma como se presentó en el caso de SATURN.

A94

^ ^

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

MODELOS DE REDES EN TARIFICACIÓN VIAL URBANA

2.3. Equilibrio Multiusuarios (Enfoque Estocástico) El enfoque determinístico de los problemas de asignación asume que los usuarios eligen sus rutas de mínimo costo, asumiendo que estos tiene información perfecta de los tiempos de viaje ai la red, que ellos actúan en forma racional y de igual forma. El enfoque estocástico relaja algunos de estos supuestos incluyendo una componente aleatoria en la percepción que tienen los viajeros del tiempo de viaje. Cada usuario al percibir distinto los costos de viaje puede escoger rutas diferentes; luego el costo de viaje de cada ruta es una variable aleatona, asociada a alguna función de probabilidad. La magnitud de la varianza de la percepción del tiempo de viaje debiera ser determinada empíricamente en cada caso, no habiendo ninguna razón para pensar a pnon que esta es nula, como supone el enfoque determinístico. Considerando ésto, se puede demostrar que la formulación de un problema de equilibrio de tráfico del punto de vista estocástico corresponde a la formulación general del problema, siendo el planteamiento determinístico un caso particular, cuando la varianza en la percepción es cero (Sheffi, 1985). - SATURN

En SATURN se realiza un supuesto simple que indica que cualquier costo que quede ai el rango [(l-a)Ca;(l + a)Ca]

,Vore/l

es igualmente atractivo para el usuario, donde Q es la media del costo en el arco y parámetro de dispersión que debe indicar el el modelador modelador en ai cada caso.

es el

- Algoritmo de Solución La solución del problema se realiza a través de un algoritmo conocido como "Método de los Promedios Sucesivos", (MSA) que presaita una lógica similar al algontmo de Frank-Wolfe Sin embargo las diferencias diferaicias se presentan en la fonna como se solucionan las fases del algontmo: •

Primera fase: La búsqueda de la solución auxiliar se realiza a través de una asignación del tipo Burrell, en vez de una asignación todo o nada como en el caso detenninístico

Segunda fase: La búsqueda de la nueva solución se realiza usando la relación 1/1, ai vez de hacerse una combinación lineal de mejores soluciones factibles (búsqueda del lambda) como en el caso deternnnístico.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

mm

625

FERNANDO BRAVO F - MANUEL DÍAZ C,

El problema con la asignación de Burrell es que no toma en cuenta la congestión, al no considerar la dependencia del costo del flujo. Sheffi (Sheffi, 1981), usando una asignación tipo Dial, ha demostrado que en el límite (después de un número considerable de iteraciones) el algoritmo MSA converge a la solución del problema estocástico. < • " . . .

-

.

rt-

.

"

*.-.:

•

. - - . - •

. ; . • • -

La razón de escoger el factor promedio 1/1 en la segunda fase, asegura que después de I iteraciones el flujo total es dividido igualmente entre todas las I rutas soluciones de cada iteración, generándose de ahí el nombre de los promedios sucesivos. La solución del problema multiclase estocástico también se determina aplicando el algoritmo MSA consecutivamente para cada clase, siguiendo la misma lógica de etapas presentada para el caso deterministico. - EMME2 Usando la misma argumentación que en SATURN, supone que en cada asignación estocástica el costo de cada arco de la red se compone de un término deterministico dado por la función original de flujo tiempo, y por un término aleatorio que perturba el costo del arco. Esta perturbación se genera con un número aleatorio, el cual es distinto para cada arco y para cada asignación. Así, el costo del arco percibido Ca está dado por la siguiente expresión: Ca{Va) = Ca(Va){\ + a 6)

,VaeA

donde 6 a

= Término aleatorio que varía entre 0 y 1. = Factor de peso para limitar la aleatoriedad en la percepción de los arcos.

El Algoritmo de solución en EMME2 también utiliza un algoritmo del tipo promedios sucesivos para la solución del problema, aplicado consecutivamente para cada clase. 3 - DESCRIPCIÓN DE MODELOS Dado que el software SATURN es bastamente conocido en el mercado chileno, por lo cual no merece mayor presentación; en este punto, se describen las principales características del sotfware EMME2, considerando la mayor novedad que presenta en Chile para el tratamiento de redes. Se hará mención de SATURN cuando se requiera, sólo de manera comparativa para ciertos procesos. EMME2 "Equilibre Multimodal and Multimodal Equilibrium" Versión 2 es un sistema interactivo gráfico para la planificación de transporte multimodal urbano e interurbano. Ofrece un conjunto de herramientas para la modelación de la demanda de transporte, para el modelamiento y análisis de redes multimodales y para la realización de diferentes procedimientos de evaluación. El software

<526

^ ^

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

MODELOS DE REDES EN TARIFICACIÓN VIAL URBANA

también provee procedimiaitos útiles para el manejo de datos, incluyaido validaaon de datos de entrada. Su base de datos se estructura de modo de permitir la descnpción, el análisis y la comparación simultánea de vanos escálanos. En su concepción, EMME2 está construido ai base a los planteamientos del modelo de transporte de cuatro etapas, ofreciaido como alternativas los enfoques secuencial y simultáneo para enfrailar el problema de equilibno de mercado. En la Tabla 1 siguiaite se presenta una comparación entre los modelos estudiados, indicando la fonna de tratar los elemaitos pnnapales que interviene! en el análisis de redes urbanas, presentando sus pnnapales ventajas y desventajas. Tabla 1 Comparación de Modelos SATURN / EMME2 Elementos de Análisis

SATIIRN

EMME2

Concepción del modelo

Sólo resuelve el problema de asignación de vehículos a la red (equilibrio de tráfico con demanda inelástica )

Resuelve problema de equilibno de tráfico y también equilibrio de mercado multimodal.

Codificación de las redes

Red para transporte privado, donde los vehículos del resto de los modos se especilican descontando capacidad. La codificación se formula a partir de un formato estándar

Tiene la ventaja que considera una red común donde mteractúan todos los modos, especificándose en cada arco los modos que acceden a el I ,a codificación puede ser realizada en formato estándar, o interactivamente con comandos gráficos

Especificación de funciones oferta

Ventaja en el tratamiento de red INNER para redes tácticas, además de poseer la alternativa de formato BUITER útil para redes estratégicas

El tratamiento es únicamente estratégico, el cual incluye funciones de penalización ai los giros para representar con mayor exactitud la operación de la red.

Tratamiento de transporte público

Se codifica externamente las lineas como rutas lijas y funcionan descontado capacidad, efectiva de asignación para los vehículos livianos donde se entreme/clan los vehículos No existe asignación de pasajeros a las diferentes lineas.

Tiene la ventaja que las líneas se codifican interactivamente o en fonna externa. Resuelve además el problema de asignación de usuanos a la red de transporte público . usando el criterio de estrategia óptima (Spiess et al. 1990)

Calibración de redes

1 Itih/ü maximi/üción de entropía para el ajuste de matrices mediante conteos, 1.1 ajuste de parámetros de la red es manual

Al igual que SATURN. el ajuste de los parámetros es manual, aunque el algontmo de ajuste es distinto, conespondiendo a un método de aproximación de gradiente (Spiess. 1991)

Corridas del modelo

Se puede operar el modelo en forma interactiva, o concatenando módulos y procesos repetitivos a través de archivos de comandos

121 términos generales es similar a la operación con SATI IRN. con archivos de comandos operando en la modalidad de macros.

Análisis de redes

Eos resultados son analizados Iradicionalmente en formato de archivos. I '.xiste módulo gráfico poco utilizado

Posee la ventaja que los resultados . v en general todos los elementos de la red . matrices y los procesos, pueden ser validados y analizados naturalmente en fonna gráfica, ademas de archivos.

Compatibilidad de la información

I.a información de matrices, redes BUITER. y transporte público son compatibles. La compatibili/üción a ni\ el de nodos . movimientos v características de estos no es directa (redes INNER SATURN)

1 -líente Elaboración Propia

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FERNANDO BRAVO F - MANUEL DÍAZ C

4.- APLICACIONES Y SIMULACIONES Considerando los elementos teóricos y operativos reseñados en los puntos antenores, la inquietud fundamental pasa por responder una sene de interrogantes relativas a como incorporar los efectos de tarificación en una red urbana. A continuación se presentan una serie de aplicaciones de los modelos, sobre una red vial calibrada en ambiente SATURN, para la suma de los cuadrantes Nor-Oriente y Nor-Poruente de la ciudad de Santiago, sobre la cual se ha incorporado el eje de proyecto conocido como Costanera Norte. Se comienza describiendo la red utilizada, posteriormente se presentan las preguntas y las aplicaciones realizadas para responder a cada una de ellas. 4.1 ALCANCES SOBRE LA RED UTILIZADA Es importante mencionar que en este ejercicio sólo se ha tomado el eje Costanera Norte como referencial, en ningún caso esto constituye ni mucho menos la solución que se incorporará para este proyecto. Así, se han hecho algunos supuestos relativos al trazado y los accesos del proyecto. La red utilizada (ver Figl) corresponde a una red tipo buffer SATURN que tiene las siguientes caractensticas: Tabla2 Características red utilizada Nodos Base Eje Provecto

549 (-) 27

Arcos 1225 52

Longitud (km) (+) 849,58 69,96

(-) De los cuales 135 corresponden a centroides de zona (+) Corresponde a los Km sumando longitud de ara» de la malla

La demanda de viajes considerada corresponde a una matnz hora Punta Mañana con 81377

Para el análisis de cada corrida del eje de proyecto tanficado sobre la red antenor, se han definido tramos del eje con su código, basados en viajes tipos, asoaándole un arco representativo al tramo, en el cual se localizaría el punto de cobro, quedando con sus tanfas por sentido expresado en la Tabla 3 . Además, se tarifican algunos accesos al eje de proyecto, los cuales se expresan en la Tabla 4 siguiente:

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MODELOS DE REDES EN TARIFICACIÓN VIAL URBANA

Tabla 3 Localización y Tarifa de Puntos de Cobro CÓDIGO

1 2 3 4 5 6

TRAMO

UBICACIÓN DEL PUNTO DE COBRO

Lo Bamechea- Vespucio A Vespucio-Puente el Cerro Puente el Cerro-Centro Santiago Centro Santiago-Vivaceta Vivaceta-Ruta 5 Ruta 5-Ruta 68

Entre Juan XXIII y A Vespucio Al llegar al Puente A la etrada del Túnel Entre Independencia y Vivaceta Pasado Ruta 5 Pasado Apóstol Santiago

TARIFAS O-P P-O ($) 100 50 100 '¡O 100 50 50 100 50 100 50 100

Tabla 4 Accesos al Eje proyecto ACCESO

UBICACIÓN

TARIFA (+)

($) 1 2 3

Vivaceta Ruta 5 A.Vespucio

50 50 50

(+) Sólo sentido de entrada al Eje

4.2

INQUIETUDES PRINCIPALES PLANTEADAS

Las preguntas principales que se ha intentado responder son las siguientes: L- ¿ Como incorporar la tarifa ? Se plantean dos enfoques para incorporar la tarifa: En fonna continua a través del eje o representando el cobro mediante un conjunto discreto de puntos en él. Aplicaciones realizadas: 1.1

Corrida a $15/km con 1 clase de usuario con un valor subjetivo del tiempo (VST) medio de $2302 ($/hr) (obtenido de acuerdo a Tabla 7).

i.2

Corrida con 1 clase de usuano con VST medio, discretizando el cobro ai puntos del eje de acuerdo a las tabla 3 y 4. shrLos resultados obtenidos se presentan en las tablas 5 y 6 siguientes: •

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FERNANDO BRAVO F. - MANUEL DÍAZ C.

Tabla 5 Resultado Comparación Corridas i.l versus i.2 Sentido Oriente-Poniente EMME2

SATURN

Tramo

i.2

i1 4 ARCOS

i.2

il

Flujo

Tiempo

Flujo Long. (veq/hr) (km) 1118 8 56

Tiempo (seg) 7.91

(veq/hr) 1510

(seg) 7 94

Flujo (veq/hr) 1130

Tiempo (seg) 7.86

Flujo (veq/hr) 1460

Tiempo (seg) 7.93

1

6

2

4

5.22

4016

6 40

3411

5 37

4035

6 29

3323

5 28

3

4

3 28

3293

3.85

2750

3.24

3244

3.80

2814

3.26

4

1

0 65

2866

0.60

702

0.60

2682

0.65

773

0.60

5

2

3 47

836

3.20

455

3.20

818

3.25

452

3.20

6

Total

9

13 87

317

12 80

480

12.80

318

12.78

478

12 80

26

35 05

1667

34 76

1524

33 16

1657

34.63

1511

33.07

-142

-1.601

DIFERENCIAS

-146

-1 560

DIFERENCIAS

Tabla 6 Resultado Comparación Corridas i.l versus i.2 Sentido Poniente-Oriente EMME2 1,2

SATURN

Tramo

i1 «ARCOS

1

6

2

4

3 4

1.2

Long. Flujo (veq/hr) (km) 8 56 883

i1

Tiempo (seg) 7.91

Flujo (veq/hr) 1360

Tiempo (seg) 7.93

Flujo (veq/hr) 998

Tiempo (seg) 7.86

Flujo (veq/lir) 1360

Tiempo (seg) 7.93

4.70

387

4.70

388

4.71

387

4.70

5 09

404

4

3 28

2159

3.03

1792

3 03

2176

3.05

1792

3.03

1

0 65

1895

0.60

0

0.60

1870

0.65

0

0.60

5

2

3.47

536

3.20

397

3 20

528

3.25

397

3 20

6

9

13 86

228

12.79

291

12.79

260

12.77

291

12.79

791

32 24

780

32 26

828

32.29

780

32 26

-11

0.020

DIFERENCIAS

-47

-0.030

Total

DIFERENCIAS

.

.

.

•

.

,

. .

Comparando la corrida i. 1 con i.2, se observan diferencias importantes solamente en los tramos mas cortos, ya que la tanfa por km en este caso es despreciable; sin embargo, a nivel de total del eje las diferencias son bastante menores. Por su parte, los resultados que entrega EMME2 y SATURN a nivel determinístico para una clase de usuano son muy similares, mantienen la misma estructura tanto en flujo como en tiempo, son ambos nulos en el tramo 4 para la coinda i.2, aumentando la similitud en sentido Poniente-Oriente, donde existan menos demanda. ¡L-

¿ Como representar la tarifa ?

Se investiga, siguiendo el aifoque detenninístico, el efecto de la asignación multiclase de usuanos.

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MODELOS DE REDES EN TARIFICACIÓN VIAL URBANA

Aplicación realizada: 11 1

Eje tarificado de acuerdo a Tabla 3 para 3 clases de usuanos suponiendo los siguiaites VST: Tabla 7

Valores Subjetivos Tiempo por Tipo de Usuarios Tipo usuario

vsr

% de la l'obl ición

Ingleso Alto Ingleso Medio Ingreso Bajo

($/hr) 1500 2200 3240

"5(1

40 30

Los resultados de las corndas realizadas con los modelos para responder la pregunta son los siguiaites: Tabla 8 Resultado Comparación Corridas ii.l Sentido Oriente-Poniente ambos modelos SATURN Alto

1

I-.MMH2

Muios ( leq/lir)

Tramo

Medio

Tiempo

Total

Bajo

505

5X5

387

2

2023

1007

3

1697

799

4

1029

5

320

(muí)

Tiempo

Flujos ( veq/hr) Alto

Medio

Iíau>

Total

(muí)

1477

7 94

4X2

574

393

144X

7 93

264

3293

5 30

16.31

143X

321

3390

5 35

405

2902

3 24

135.3

1077

339

2769

3 20

118

41

1188

0.60

796

113

39

94X

0 60

174

123

616

3.20

242

176

116

5.3.3

.3 20

6

171

1X4

119

473

1 2 80

167

185

111

462

12 80

I (tal

812

494

244

1551

33.09

677

601

241

1519

3.3 08

Tabla 9 Resultado Comparación Corridas ii.l Sentido Poniente-Oriente ambos modelos SATURN Tramo

i;MMh2

Flujos ( eq/hr) Alto

1

419

2

Medio 540

Tiempo

Bajo

'Total

(muí)

) Ba < >

Tiempo

Timos ( teq/lu Alto

Medio

410

1.370

7 9.3

403

4X9

4 70

225

'Total

(muí)

.374

129.3

7 92

176

96

497

4 70

344

1744

3 0.3

19

0 60

515

2.34

149

106

3

7.34

694

.361

1788

.3 0.3

682

718

4

22

0

0

22

0 60

19

0

0

5

1.38

157

106

401

3 20

129

154

107

390

3 20

6

127

106

39

272

12 79

110

104

.38

251

12 79

.301

30.3

188

792

32 26

281

.304

175

761

.32 25

Total

No se observan mayores diferaicias aitre las corndas detenninisticas con clases de usuanos aitre SATURN y EMME a nivel del tiempo y flujo total. Sin embargo, a nivel de clases de usuanos

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FERNANDO BRAVO F - MANUEL DÍAZ C

existen algunas diferaicias ai el flujo ai las categorías de ingresos altos en el tramo Onaite-Poniaite de mayor demanda. Si comparamos esta cornda iii. 1 con la cornda i.2 antenor para una clase usuano, aparecaí ai ni 1, en el tramo 4 de Poniaite a Onente, usuanos de ingresos altos dispuestos a pagar $ 100 por su uso, lo cual ya nos habla de un impacto importante de la tanficacion ai la asignación ai las distintas clases, aunque ai el total de flujo y ti aupo no se observaí grandes diferencias. iii.-

¿Como responden los distintos tipos de usuarios de la red a la tarificación, dependiendo del enfoque de modelación como sean tratados?

Las corridas anteriores de i- y ii- se realizaron siguiaido un enfoque detenninístico; ai este punto, se introduce el arfoque estocástico. Aplicaciones realizadas: iii. 1

Eje tarificado de acuerdo a tabla 3 para 1 clases de usuario, para una dispersión alta ( a = 0.2 ).

iii.2

Eje tarificado de acuerdo a tabla 3 para 3 clases de usuanos para una dispersión igual y baja ai cada uno de ellos (esta cornda se trabajó solo con S ATURN, con un parámetro de dispersión a= 0.06).

Tabla 10 Resultado Comparación Corridas iii. 1 versus iii.2 Sentido Oriente-Poniente SATURN Tramo

di 2

Flujo

Tiempo

(veq/hr)

(mm)

m 1

Flujo (veq/hr) Alto

Medio

1

1425

7 94

507

600

2

3367

5.35

2018

3

2730

3.28

1697

4

759

0 60

936

5

479

3 20

283

6 Tota]

BMME2

iii. 1

Bajo

Total

Tiempo

Flujo

Tiempo

(mm)

(veq/hr)

(mm)

378

1486

794

1217

95

3330

878

256

2831

109

29

1075

192

135

610

1581

7 89

5.33

3430

4 81

3 26

2552

3 02

0.60

849

0 60

3 21

570

3 20

434

12 80

198

183

113

494

12.80

477

12 80

1483

33.17

815

543

192

1550

33 14

1527

32 32

67

-0.031

DIFHRHNCIAS

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1 9 9 5 )

MODELOS DE REDES EN TARIFICACIÓN VIAL URBANA

Tabla 11 Resultado Comparación Corridas iii. 1 versus iii.2 Sentido Poniente-Oriente SATURN iii.l

Tramo

1

FMMF.2 iii 1

iii 2

Mujo

Tiempo

(veq/lir)

(muí)

1275

7 92

Flujo (vec|/hr) Alto

Medio

424

Bajo

55.3

Total

39.3

1370

Tiempo

Tiempo

Flujo

(mm)

(veq/hr)

7 93

(mm)

1294

7 90

2

548

4 70

267

152

103

521

4 70

649

4 69

3

17.34

3 0.3

725

715

360

1799

3 0.3

1780

3 02

4

33

0 60

21

0

0

21

0 60

32

0 59

5

392

3 20

137

159

107

402

3 20

3X6

1 20

6 TOTAL

277

12 79

123

110

42

276

12 79

272

12 78

77.3

32 25

304

311

185

800

32 26

797

32 19

28

0.013

DIFHRHNCIAS

Se observa una gran similitud entre la cornda estocástica ni 1 para una clase de usuano realizada con SATURN y la realizada con EMME2, lo cual nos indica que los algontnios estocasticos tanto de uno como otro modelo se comportan muy similares. >

• :

A su vez, ambas corndas estocásticas con 1 clase de usuano son muy similares a in 2 realizada con SATURN para 3 clases de usuanos, aunque se observan diferencias importantes en tramos del eje cortos mas congestionados (tramo 4 de 650 mts.) a favor de la asignación multiclase Sin embargo analizando iii.2 se aprecia que esta es bastante mas similar a ii 1; faiómaio interesante al corresponder ii.l al caso extremo, de dispersión nula por clase o asignación multiclase deterministica. IV.

¿De que manera varían los resultados anteriores al existir mayor congestión en la red vial ?

Se aumaita la congestión ai el sistema, llevando la matnz asignada al doble; es decir, se asignan 162754 viaje/hr, revisando el efecto a nivel detenninistico como estocásüco y sólo con SATURN, considerando la similitud de los resultados aitregados por EMME2 ai las pruebas antenores. iv. 1

Eje tanficado de acuerdo a tabla 3 para 3 clases de usuanos, aifoque detemunístico

iv.2

Eje tanficado de acuerdo a tabla 3 para 3 clases de usuanos, aifoque estocastico con baja dispersión.

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FERNANDO BRAVO F - MANUEL DÍAZ C

Tabla 12 Resultado Comparación Corridas iv. 1 versus iv.2 Sentido Oriente-Poniente Tramo

IV

1

IV

Mujo (veq/hr)

Tiempo

Flujo (veq/hr)

Tiempo (min)

2

(rain)

Alto

Medio

Bajo

Total

16.90

1118

1472

1033

3624

1721

8311

36.11

3669

3517

1140

8326

36.20

1104

7815

19.66

3466

3089

1262

7817

19.67

519

5361

0.81

2666

2159

562

5387

0.81

1307

428

3766

3 97

2012

1286

495

3794

3.97

611

541

370

1522

13.07

576

603

365

1544

13 10

1898

1673

775

4345

90.53

1812

1747

794

4353

90.97

74

19

8

0 447

Alio

Medio

Bajo

Total

1

1130

1464

1053

3647

2

3862

3273

1176

3

3668

3043

4

2875

1966

i

2031

6

Total

-85

DIFERENCIAS

t.

Tabla 13 Resultado Comparación Corridas iv.l versus iv.2 Sentido Poniente-Oriente iv 1

Tramo

i\ 2 Tiempo

Flujo (veq/hr) Alto

Medio

Bajo

Total

(min)

Tiempo

Flujo (veq/hr) Alto

Medio

Bajo

Total

(min)

]

808

1105

800

2713

10.19

828

1106

797

2732

10.36

2

1107

1390

297

2793

4 82

1119

1416

320

2854

4.84

1542

1777

1193

4512

4 77

1189

0.60

3

1542

1769

1155

4467

4.73

4

786

153

43

981

0.60

842

287

60

5

868

586

281

1735

3 68

874

639

282

1796

3.67

6

1008

873

376

2258

14.14

988

902

373

2263

14 15

1040

1094

561

2696

38 16

1042

1119

570

2731

38 38

2

25

8

35

0 221

Total

DIFERENCIAS

Se observa, que si biai la demanda ai la red vial ai su conjunto aumaito al doble, el eje de proyecto ai saitido Poniente Oriaite, aumaita aproximadamente al tnple. Esto, se traduce en diferencias importantes ai el tiempo total para cruzar el eje (Onente a Poniaite del orden de 90 min. contra 38 ai el saitido opuesto), situación no observada ai las situaciones antenores, donde el tiempo para ambos saitidos era de 32 a 33 minutos ai total, ai cualquier saiüdo. Esto, indica una presencia importante de congestión en el sistema, que se traduce en una gran demanda por el eje que presenta mejores niveles de servicio que el resto de la malla. Sin embargo persisten las similitudes al existir una malla congestionada aitre las asignaciones multiusuanos siguiendo un aifoque determinístico y LUÍ aifoque estocástico con poca dispersión ai cada clase de usuano.

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MODELOS DE REDES EN TARIFICACIÓN VIAL URBANA

5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES - Respecto a la compatibilidad de información A nivel de redes buffer SATURN - con lógica de arco, titiles ai estudios estratégicos - , los resultados de los ejercicios realizados indican que existe plaia compatibilidad de información de SATURN con EMME2, una vez conocidas de las redes calibradas con SATURN las especificaciones y los valores de los parámetros de las curvas flujo-velocidad. A nivel de redes detalladas - con lógica de nodo, conocidas como 1NNER en SATURN, útiles ai estudios tácticos -, SATURN provee ciertas vaitajas al ser conoada su integración con modelos de simulación de tráfico como TRANSYT En este caso, se reconnaida seguir investigando esta integración con EMME2, el cual requiere ai su lógica que ingresai como inputs los parámetros y las especificaciones de las funciones flujo-demora ai el nodo, situación que ai SATURN se simula a nivel de red interna convirtiáidose ai LUÍ producto del modelo. - Respecto a la tarificación vial La tanficación por $/km aitrega asignaciones distintas a una tanficación por puntos de cobro, pnncipalmaite ai aquellos arcos de corta longitud, donde la relación $/km pierde relevancia y donde al tanficar por punto, se presaitan alternativas de fuga importantes. En este saitido se recomiaida ai una via tanficada tratar especialmaite los accesos del eje, para evitar las posibles fugas, pnncipalmaite ai aquellas vías que no constituya! nuevas aperturas. La asignación con multiclases de usuanos provee mayores posibilidades de captar mejor las respuestas al peaje por tipo de usuanos, de acuerdo a su valoración del tiempo. No se observan mayores diferaicias, ante cualquier nivel de congestión ai la red, ai trabajar con una asignación multiclase estocástica con poca dispersión para percibir los costos por arco ai cada clase y una asignación "todo o nada" por clase Dados los resultados obtandos y las incertidumbres de los algontmos estocásticos para redes urbanas, se recomiaida trabajar con asignación multiclase, con una cantidad razonable de clases de usuanos - no mas de 5 - que pemiitan suponer baja dispersión ai cada una de ellas y utilizar asignación deteiminísüca (algontmo de Frank-Wolfe de la manera tradicional ) para cada clase. Respecto a los resultados obtaiidos, se observa una gran similitud ai los niveles de servicio y las asignaciones obtaiidas ai todas ellas, a nivel del total del flujo por arco. Esto confinna los resultados de las modelaciones de redes existaites de diferaites estudios urbanos, para resolver el problema de equilibno de tráfico con demanda inelástica, las cuales, ai gaieral se han hecho ai amblarte SATURN con una sola clase de usuano y con enfoque detenmnistico Estas por lo gaieral han obedecido a otros propósitos - no para tanficar la red - , concluyáidose de este trabajo, que los resultados a nivel de totales por arco, no serían muy distintos a aquellos obtaiidos si las modelaciones hubiesai sido efectuadas con asignación multiclase

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FERNANDO BRAVO F - MANUEL DÍAZ C

Finalmente, es importante continuar con esta linea de trabajo para al caso de equilibno de mercado con demanda elástica, debiáidose en este caso realizar la comparación de EMME2 con ESTRAUS, modelo utilizado para resolver el problema de equilibno de mercado en Santiago . BIBLIOGRAFÍA •

Sheffi Yosef , (1985) Urban Transportation Network : Equilibríum Analysis with Mathematical Progrannning Methods. Prentice-Halljnc, Englewood Cliffs, New Jersey 07632 Sheffi Y. and Powell W. (1981). A Compansion of stochastic and deterministic traffic assignment over congeted networks. Transportation Research 15B, 53-64. Spiess,H. and Flonan, M. (1989), Optimal Strategies:A New Assignment Model for Transit Networks, Transportation Research B, Vol. 23B, 2, 83-102. Spiess, H (1990), A Gradient Approach for the O-D Matrix Adjustment Problem, Publication 693, Centre for Research on Transportation , University of Montreal. SATURN NOTES, Versión 7.1 (1985). The Institute for Transport Studies. The University of Leeds. and WS Atkins Planning Consultants Ltda. EMME/2 User's Manual (1994) . Cap 6 Algonthms 6-23. INRO Consultans Inc., Montreal. Canadá. rIC»lJKA 1

ACTAS DEL SE PUMO CONGRiSQ CHtLíNO D£ I' l ü f r i;b ki A Dt TRANSPORTE ( 1 9 9 5 )

COMPARACIÓN DE MODELOS DE ASIGNACIÓN DE TRAFICO EN EVALUACIÓN DE PROYECTOS VIALES. Mark Smith, Universidad de Chile. Casilla 228-3, Santiago, Chile. Fono: 689 4206 Fax: 6712799-678 4373

RESUMEN

Este trabajo consiste en una investigación sobre la forma en que los resultados de la evaluación de proyectos viales, pueden ser afectados por los supuestos del modelo de asignación del tráfico. La metodología está basada en una teoría de sistemas complejos relacionada con desarrollos recientes de dinámica no lineal, la cual fue elaborada como tesis doctoral del autor. El método de evaluación del Departamento de Transporte del Reino Unido fue usado como experimento en los que fueron comparados distintos modelos de asignación. Se experimentó con redes simples, comenzando con una matriz de viajes aleatoria. Un arco fue elegido al azar, al cual se le podía aumentar la capacidad, y se usó el modelo de asignación de los viajes en la red con y sin cambio de capacidad. Los costos y beneficios se calcularon según este aumento. Una sucesión de tales evaluaciones fue hecha con pequeños cambios de la matriz de viajes. Luego el proceso fue repetido con un modelo de asignación distinto, con la misma matriz de viajes inicial. Los resultados se compararon con los del primer modelo. Esto se experimentó repetidas veces, con distintas matrices de viajes inicial o distintos valores de algunos parámetros. El modelo de equilibrio de Wardrcp fue comparado con otros dos, basados en (i) minimización del costo total de viajes de la red y (ii) minimización del costo impuesto por cada conductor en los demás. Esto concluyó, que distintos supuestos en la asignación de tráfico, entregan resultados de evaluación, en que, si bien hay diferencias apreciables en los casos individuales, estos no guardan una tendencia estable que diferencie en el global los resultados asociados a los distintos supuestos.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

mm

A37

MARK 5MITH.

1. INTRODUCCIÓN. El objetivo de este trabajo consiste en: Dado dos modelos distintos de asignación de tráfico: ¿ Es posible que las diferencias calculadas entre los flujos de los arcos de una red, influyan en los beneficios calculados en proyectos viales? La respuesta a esta pregunta puede ser altamente complicada, por las siguientes razones: (i) Existe un proceso de retroalimentación a largo plazo, en el cual, los resultados de una evaluación pueden influir sobre los datos utilizados en una evaluación siguiente, generada por los cambios de la red vial y los viajes realizados. (ii) El sistema de modelación, planificación y uso de la red vial, se involucran en un sistema social muy complejo, en el cual las interacciones entre el sistema y el ambiente influyen posiblemente de una manera más profunda en el comportamiento, que, las interacciones entre sí dentro del sistema. Estos problemas, en sistemas complejos han ocurrido en otros campos de investigación, durante los últimos años, dando como resultado, el desarrollo de un enfoque nuevo, utilizando una base teórica de dinámica no lineal. (Ver ejemplos en Schieve y Alien, 1982). En este enfoque, se pone el énfasis no en la predicción del comportamiento de sistemas, sino, en su entendimiento. Además, se reconoce el rol jugado por las interacciones entre las escalas grandes y pequeñas y de los fenómenos aléatenos o caóticos. Filosóficamente este es distinto del enfoque cartesiano, en el cual se forman leyes de tipo mecánico en un sistema, que se usa para predecir su futuro. La metodología empleada en este trabajo se desarrolló a partir de esta misma base. En el siguiente capítulo se expondrá dicha metodología.

2. METODOLOGÍA. Vemos en el diagrama de la Fig. 1 una representación simple del proceso que estudiamos.

Fig. 1. Proceso de retroalimentación entre modelación y realidad.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

COMPARACIÓN DE MODELOS DE ASIGNACIÓN DE TRAFICO EN EVALUACIÓN DE PROYECTOS VIALES

El modelo es parte de un sistema de retroalimentación que influye en lo que sucede en el sistema de transporte real. Esta clase de sistema se puede denominar "autorreferencial", es decir, un sistema en que existe un elemento de autodescripción, por lo cual la información que determina el comportamiento del sistema está codificada dentro del mismo sistema. En el caso que vamos a estudiar esta información está contenida en el modelo, y podrá ser representada por ejemplo, por caracteres de un articulo, o por dígitos bínanos en la memoria de un computador. Bartlett y Súber (1987) presentan ejemplos abstractos de autorreferencia, y Jantch (1982) discute sistemas reales con esta propiedad. Lo que nos interesa aquí es cómo los contenidos del recuadro "modelo" de la Fig. 1 pueden influir ai lo que pasa en el recuadro "sucesos reales". En algún caso dado de la planificación, es posible que no haya vanación de gran magnitud en el comportamiento del sistema, pero aún así puede pasar que, sobre una larga sucesión de casos, el comportamiento muestre diferencias persistentes en el largo plazo. El problema es que el uso de alguna forma de modelo matemático para investigar el sistema completo exigirá supuestos tan profundos como los usados en los modelos estudiados, y por lo tanto revelaría muy poco. Luego, lo que se necesita es una forma de "metamodelo" en que quepa todo el sistema representado en la Fig. 1 sin hacer los mismos supuestos que se hacen en el recuadro de dicho sistema. En resumen, el proceso para llegar a la solución de este problema fue el siguiente: (i) Se vio que el recuadro "modelo" de la Fig. 1 puede ser representado por definición por un programa de computación. (Aquí se considera únicamente modelos matemáticos.) (ii) Luego, se consideró que los recuadros "modelo" y "objetivos" importan y exportan informaciones, que consisten en variables observables y cuantificables, como por ejemplo cantidad de viajes, duración de viajes, tarifas de buses, etc. Estas variables también se pueden representar en un programa de computación. (iii) Dado el punto (ii), podemos ver que el recuadro "sucesos reales" debe importar y exportar variables numéricas. Luego, es posible considerar esta parte como una "caja negra" que acepta las decisiones tomadas en la planificación como entradas, y exporta los datos usados en la modelación. Sin embargo, el funcionamiento de esta caja negra queda por conocerse. (iv) Si nos imaginamos una sucesión de n vueltas del lazo de la Fig. 1, vemos que cada vuelta genera una "fotografía" de la realidad, como visto por una "lente" del modelo. Se puede representar cada fotografía por un vector X, de variables observables, y luego una sucesión completa de tales fotografías por el conjunto ordenado: Sj = < X , . . . . X n >

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

MARK SMITH

También podemos definir el conjunto de todos los conjuntos semejantes:

j

También podemos definir el conjunto de todos los conjuntos semejantes: E * {Sj} *

Este conjunto, E forma el espacio de todas las trayectorias posibles de la parte del sistema que representa la "realidad", es decir, de todas las sucesiones que pudieran ser generadas por la realidad, como es percibido por el modelo. (v) Lo que buscamos no son las propiedades absolutas de un modelo dado, sino sus propiedades relativas en comparación con otro. Si vamos a concluir que existe una diferencia sistemática entre estas propiedades, la conclusión tiene que ser válida sobre la mayor parte del espacio S. Sin embargo, como es imposible probar todas las sucesiones S„ tenemos que escoger una muestra a, donde I D O , (vi) Las sucesiones Sj generadas en la "caja negra" de la Fig. 1, determinan la muestra a (por elegir algún mecanismo para conectar los valores importados con los valores exportados). Si este mecanismo fuera un modelo deterministico, se esperaría que los supuestos que se hicieron en el modelo influirían en la comparación. Luego, se eligen las sucesiones al azar, para hacer que dicho mecanismo sea una conexión aleatona. (En la practica es sólo media aleatona, por que es mejor hacer la selección del conjunto de sucesiones creíbles en S. Por ejemplo, I podría incluir sucesiones como una triplicación de la demanda por viajes siguiendo a una duplicación de tiempos de viaje.) La filosofía de esta técnica se puede resumir así: Si los dos modelos probados dan efectos distintos sobre una "realidad" aleatoria, es probable que darían la misma diferencia en la realidad real. Más adelante veremos como funciona esta técnica en la práctica. 3

ANÁLISIS

Actualmente en el Reino Unido, las inversiones públicas en proyectos viales son políticamente controversiales. Mucha gente cree que no vale la pena sufrir los efectos ambientales y la destrucción de propiedades para acortar tiempos de viaje en auto en unos pocos minutos. Por lo tanto se hacen muchas críticas del proceso de evaluación usado, que consiste en un análisis de costos y beneficios (COBA). Una crítica específica es que en la asignación de tráfico se supone que los viajeros se comportan de una manera egoísta, y por lo tanto el proceso de evaluación tiende a favorecer esta forma de comportamiento. En el siguiente análisis, se investiga la posibilidad que este supuesto influya en los resultados de la evaluación en comparación con los otros dos.

i 3.2. El Proceso del COBA.

Cabe considerar que el COBA (ver DTp, 1981) consiste en cuatro distintas etapas: (i) Se determina la matriz de viajes por encuestas. (ii) Los flujos observados se asignan a la red actual, y así, se calcula el costo total de viajes.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

Dado que se considera que la vida útil de la via es de 30 años, el costo total durante este periodo se calcula de la siguiente manera: (a) Para cada año de vida útil de la vía, el flujo de cada arco se multiplica por un factor que representa el crecimiento del nivel de tráfico predicho por el " National Road TrafTic Forecast" (Pronóstico de Tráfico Vial Nacional). (b) Se calcula el nuevo costo para ese nivel de flujo. (c) Este total se descuenta a los precios de 1979, y los totales se suman sobre los 30 años de la vida del proyecto para llegar a su valor actual. (ni) la etapa (ü) se repite bajo el supuesto que se haya realizado el proyecto propuesto. (iv) El total de (iii) se sustrae del total de (ii) para dar el valor corriente de beneficios (PVB). Los costos de planificación y construcción, y los costos ambientales, se calculan a los precios de 1979. Se llega al valor neto corriente del proyecto (NPV) al sustraer el total de los costos del PVB. Se considera justificable un proyecto que tenga un valor positivo del NPV. 3.3. Detalles del Análisis. Dos redes pequeñas fueron creadas para el análisis; se las muestra en las Figs. 2 y 3.

Fig. 2: Red de 4 nodos (red 1).

Fig. 3: Red de 7 nodos (red 2).

1. Los cambios en el número de viajes desde zona i (Oi) hasta zona j (Dj) se calcularon así:

ACTAS DEL SÉPTIMO C O N G R E S O C H I L E N O DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

m

a

AA]

MARK SMITH.

- con un ajuste para asegurar que 1

2. La matriz de viajes {Tij} se calculó de 0¡ y Dj. Además, se tomó en cuenta que el aumento de la capacidad de un arco en la iteración anterior puede generar viajes adicionales. Si la ruta de costo mínimo entre i y j pasa por el arco cuya capacidad fue aumentada, se calculan los viajes generados mediante la función: •

AT¡j = T¡j(-0.1+0.2mB)

(1) donde m es el factor de aumento de la capacidad vial (Ver etapa 3). La partición modal se calcula según la fórmula: (2)

donde By es el número de viajes en bus de i a j Ciy es el costo de viajar en auto de i a j C2ij es el costo de viajar en bus de i a j y es la sensibilidad de la partición modal a los costos relativos. En cada iteración, se asignaron los viajes en bus a la ruta de costo mínimo. En cambio, los viajes en auto fueron asignados al azar entre tres conjuntos de rutas mínimas. Los costos generalizados de viajes fueron calculados de la manera normal, con costos fijos de tiempo y distancia. Los tiempos de viaje en bus incluían un componente para representar los tiempos de espera e intercambio entre rutas. Las tarifas de buses consistieron en un precio fijo por kilómetro, (que se fijaron al nivel que recuperara los costos de operación). Las frecuencias de los buses (que operaban por todos los arcos) fueron cambiadas al azar en cada iteración por -2 hasta +2 buses por hora. 3. Se eligió el arco más congestionado, es decir, el arco con la mayor razón de flujo a capacidad, para ser evaluado. Se propuso un proyecto que aumenta la capacidad del mismo arco por la misma razón (la m de ecuación (1)). 4. El modelo de asignación se utilizó para calcular los flujos de los arcos, con y sin el cambio de capacidad, con una matriz de viajes dada. 5. Con estos flujos, el costo total para los usuarios, según el manual de COBA (en peniques, 100p=£l esterlina), se calcularon de la siguiente forma: costo de viaje = c,t + Cdd C = 2.86 + 41.3^ + 0.00094^

642

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CONGRESO CHILENO CHILENO DE DEINGENIERÍA INGENIERÍADE DETRANSPORTE TRANSPORTE(1995) (1995)

(3)

COMPARACIÓN DE MODELOS DE ASIGNACIÓN DE TRAFICO EN EVALUACIÓN DE PROYECTOS VIALES

donde t, d, v son tiempo, distancia y velocidad media del viaje, con unidades de minutos, kilómetros y km/hora, respectivamente. El valor actual (PV) del total de costos de usuanos (S) se calculó por la fórmula:

(4)

y los beneficios como la diferencia entre los valores actuales del proyecto sin y con la construcción. Su costo se obtiene por una ecuación sencilla: costo del proyecto =

(5)

donde t, d, v son tiempo, distancia y velocidad media del viaje, con unidades de minutos, kilómetros y km/hora, respectivamente. El valor actual (PV) del total de costos de usuanos (S) se calculó por la fórmula: 30 / PV(S) = £ 5/(1.07)' (4) y los benefiaos como la diferencia entre los valores actuales del proyecto sin y con la construcción. Su costo se obtiene por una ecuación sencilla: costo del proyecto = kd(Cd-Ca) (5) y

donde k es una constante Ca es la capacidad sin el proyecto Cd es la capacidad con el proyecto d es el largo de la via en km. Se supone un costo fijo por unidad de capacidad por km. Se nota que este método para calcular el costo de un proyecto es muy simple, pero no pretende ser creíble como una representación de dicho costo. La justificación para usar una función tan simple es que nuestro ínteres es comparar dos maneras de llegar a los benefiaos de un proyecto, por lo cual el costo sirve solamente para un base de comparaaón; lo importante es que sea igual en los dos casos. Luego se usa una forma que es fácil y rápida para calcular. El NPV se calculó como la diferenaa entre este costo y el PVB arriba calculado. 3.4. Procedimiento. La sucesión de etapas 1-5, que constituye una iteraaón (es dear una vuelta de la Fig. 1) se repitió 30 veces con cada modelo comparado, partiendo con la misma matriz de viajes iniaal. Este proceso se repitió 10 veces con diferentes matnces de viajes iniciales, y se calculó valores medios de las 4. LOS utilizadas MODELOS DE ASIGNACIÓN. variables para comparaaón, los que serán descntos en la sección 5. c Sea:

= número de viajes de i a j por ruta p = costo del viaje de i a j por ruta p en auto = costo mínimo del viaje de i a j en auto

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

™"

643

MARK SMITH.

En asignación de tráfico, lo normal (y lo que se usa en COBA) es asignar los viajes a la red de tal manera que ningún usuario pueda bajar el costo de viaje por cambiar su ruta. Este estado se llama el equilibrio de Wardrop, y se expresa así:

(6) El modelo busca un conjunto de rutas, {Tp¡j} que cumpla estas condiciones. Lo hace al minimizar una función objetivo, la que en este caso es:

(7) sujeto a la restricción:

(8)

La función Z0 representa el costo en exceso (es decir, superior al mínimo) de todos los viajes en la red. En este trabajo, vamos a comparar el equilibrio de Wardrop (el que vamos a llamar el Caso 0) con otros dos casos: Caso 1: Se supone, que el tráfico se distribuye de tal manera que minimiza el costo total de todos los viajes en la red. Claramente, en este caso la función objetivo es la función de costo total de la red: (9) El problema es cómo identificar condiciones equivalentes a (6), que definen el patrón de flujos que minimiza dicha función. Es posible probar que la cantidad:

(10)

actúa como la función de costo en el caso de Wardrop. Luego, para buscar el equilibrio de costo mínimo, se usa la función bajo la sumatoria en lugar de la del costo, ca(v).

644

^ ^

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

COMPARACIÓN DE MODELOS DE ASIGNACIÓN DE TRAFICO EN EVALUACIÓN DE PROYECTOS VIALES

Caso 2: Se supone, que cada uno de los conductores trata de minimizar el costo impuesto por su viaje sobre los demás. Se duda que este supuesto represente la realidad. (Seguramente si fuera la verdad todos irían en bus o andarían en bicicleta.) No obstante, como es el contrario del supuesto de Wardrop, es interesante comparar los dos. En este caso, la función objetivo es:

(11)

y, como la derivada de función objetivo es la siguiente:

(12) en vez de ca(v) se usa la función bajo la sumatoria.(La prueba se omite por brevedad.) 4.1 Diferencias en Flujos Asignados. Como vamos a comparar los modelos en un contexto dinámico y complejo, es útil conocer cómo se diferencian en un caso estático, en términos de los flujos que generan. Por esto, se corrieron los tres modelos con la misma matriz de viajes aleatoria y se compararon los flujos obtenidos. Se repitió este proceso unas 50 veces, y se calcularon las diferencias medias en cada uno de los arcos. Los resultados para la red 2 (para valores de distancia de lp/km y de tiempo de lp/seg, lOOp -; £1 esterlina) se resume en al Fig. 4:

Fig. 4: Diferencias en flujos asignados entre los modelos alternativos (los casos 1 y 2) y el de Wardrop (el caso 0). Por falta de espacio se presenta las diferencias solamente para la red 2, de las cuales sólo aquellas de los arcos 6, 7, 9,15 y 18 no fueron significativas en ningún caso. Las de la red 1 fueron parecidas.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

MARK SMITH.

Sin discutir los detalles de estos resultados, podemos ver que los dos modelos alternativos calculan flujos significativamente distintos de los obtenidos con el equilibrio de Wardrop. Sin embargo, aunque se obtienen flujos diferentes, no debemos suponer que vayan a dar diferencias en los cambios de flujos que surgen de un cambio de capacidad vial. Esto es lo que se trata de resolver con el análisis descrito en este trabajo. Los resultados se presentan a continuación.

5. RESULTADOS DEL ANÁLISIS. :

Recordamos que el objetivo de la aleatorización es escoger sucesiones que cubran lo mejor posible el espado de sucesiones L (ver sección 2). Vemos que la región de S en la que estamos está determinada por los parámetros usados en la "realidad" aleatoria. Luego, cabe considerar el espacio de estos parámetros equivalente al espacio Z. Desafortunadamente, debido al tiempo exigido para correr cada experimento, no nos fue posible probar muchos valores de los parámetros, por lo cual el espacio de parámetros explorado contiene pocos puntos. No obstante, los resultados obtenidos sirven para sacar una conclusión interesante. Se usaron dos grupos de valores de parámetros:

Grupo

Partición modal (y)

Valor de distancia (p/km)*

Valor de tiempo (p/seg.)*

Pronóstico de tráfico a o ajo

100p=£l esterlina. Cabe señalar que los valores de tiempo y distancia son los usados en la parte del programa que representa la "realidad". Dentro de los modelos de asignación, se usaron valores de lp/seg para tiempo y 0 o 1 p/km para distancia (los valores frecuentemente usados en el modelo SATURN). Luego, podemos mostrar los resultados distribuidos sobre tres "dimensiones" del espaao de parámetros, es decir: A el grupo de parámetros (1 o 2) B el valor de distancia utilizado en el modelo de asignación (0 o 1) C la red usada (1 o 2, ver Figs. 2 y 3) Nos vamos a centrar en dos variables que nos muestran el comportamiento del sistema: (i) Los beneficios calculados por cada evaluación (aquí dados en millones de libras esterlina, £M). (ii) La capacidad media por km de las vías de la red (en veh/hora). En todos los gráficos que siguen, la cantidad mostrada en el eje vertical representa la diferencia en variable (i) o (ii) entre el caso 0 y el caso alternativo (es decir, el valor de caso 1 o 2 menos el de caso 0). Esta diferencia es la media para el experimento, y es representado por el punto mostrado en el gráfico.

3 ¿,46

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE ( 1 9 9 5 ) ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

COMPARACIÓN DE MODELOS DE ASIGNACIÓN DE TRAFICO EN EVALUACIÓN DE PROYECTOS VIALES

Se presentan en la Fig. 5 las diferencias en los beneficios, y en la Fig. 6 las déla capacidad media.

D caso 1 - caso 0

x caso 2 - caso 0

Fig. 5: Diferencias en beneficios (£M) entre los modelos alternativos y el equilibrio de Wardrop, distribuidas sobre el espacio de parámetros. Los parámetros A, B y C son los arriba descritos.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

MARK SMITH.

D caso 1 - caso 0

x caso 2 - caso 0

Fig. 6: Diferencias en capacidad media (veh/hora) entre los modelos alternativos y el equilibrio de Wardrop, distribuidas sobre el espacio de parámetros. Los parámetros A, B y C son los arriba descritos.

Si bien algunas de las diferencias son estadisticamente significativas, no todas van en la misma dirección (ni en el caso 1 ni en el 2). Así, los resultados no nos muestran ninguna tendencia. Resulta entonces que no es necesario hacer una gran cantidad de experimentos con diferentes valores de parámetros. Como los valores investigados no rinden diferencias constantes, parece razonable concluir que tales diferencias no existen sobre todo el espacio de parámetros.

6. CONCLUSIONES. Los resultados obtenidos indican que se puede usar cualquiera de los supuestos aquí comparados sin influir en la tasa de construcción vial. Lo sorprendente es que este resultado sale así tanto para los supuestos de Wardrop como los de la minimización de costo impuesto (el caso 2), los cuales son directamente opuestos.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

COMPARACIÓN DE MODELOS DE ASIGNACIÓN DE TRAPICO EN EVALUACIÓN DE PROYECTOS VIALES

Sin embargo, hay que tomar esta conclusión con cuidado. Lo que se demuestra es que sobre cierto conjunto de matnces de viajes, las diferencias generadas por el uso de los distintos modelos no favorecen a ningún modelo específico. Es discutible si eso se debe a los procesos aleatonos ai el análisis o a las propiedades de los modelos. Por esto, es importante reconocer la posibilidad que estos existan en algún caso especifico. Luego, aunque no se haya probado una diferencia pronosticable, queda la posibilidad que la selección del modelo influya sobre las decisiones tomadas, y por consecuencia, sobre la realidad. Esta conclusión lleva a un tema más amplio: el de la subjetividad de los modelos empleados en planificación. En el Capítulo 1, se suginó que esta investigaaon, si bien se trata de un problema específico, puede que en el fondo el tema no sea analítico, sino filosófico. Luego, cabe señalar que implicaciones surgen de esta forma de análisis. En el enfoque aquí expuesto, el modelo se considera como un componente inseparable del sistema que intenta describir. Por lo tanto, es inevitable que el modelo influya de alguna manera sobre lo que se pretende predecir. Este efecto es independiente a la ausencia de diferencias aitre modelos específicos, dado que en todos casos es posible elegir un modelo que tenga distinta influenaa sobre las decisiones. Otra investigación (Smith, 1994) en este tema, ha demostrado un caso en que tales influencias diferencian con modelos de calidades técnicas iguales. Otros autores (Tnbe, 1972, Wachs 1985) han expuesto ejemplos reales de la influencia de modelos sobre la política, pero no con un enfoque analítico. Luego, resulta que la responsabilidad de quienes construyen o eligen modelos en planificaaón se extiende mas allá de la exactitud de sus predicciones. También tienen que tomar en cuenta las posibles consecuencias éticas o comerciales de sus acciones. Es característica de las ciencias soaales que seamos actores del sistema, el cual estudiamos Por ello, nuestros modelos, sean matemáticos o conceptuales, no pueden tener la objetividad de las aaiaas físicas.

AGRADECIMIENTOS. Agradezco a los profesores guías de mi tesis: Sr Howard Kirby y Sr. John Bnndley, de la Universidad de Leeds, Inglaterra; así como al Science and Engineenng Research Counal del Reino Unido por financiar este proyecto.

7. REFERENCIAS. BARTLETT, S.J. y SÚBER, P. (Compiladores) (1987). Self-reference: reflectwns on reflextvity. Nijhoff, Holland. Dtp. (1981). COBA 9Manual. Department ofTransport, London.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

MARK SMiTH.

-

JANTSCH, E. (1982). From Self-Reference to Self-Transcendance: The Evolution of SelfOrganization Dynamics. En Schieve y Alien (1982). SCHIEVE, W. y ALLEN, P. (Compiladores) (1982). Self-Organisation and Dissipative Systems. Uni versity of Texas Press.

J

SMJTH, M.A. (1994). Identifying Subjectívity in Transport Models. Presentado al 26 congreso del University Transport Studies Group, Leeds, 1/94. (No publicado). TRIBE, L. (1972). Policy Science: analysis or ideology? Philosophy and Public Ajfairs 2 p66. WACHS, M. (1985). Planning, Organisations and Decision-Making: A Research Agenda. Transportation Research 19 A p521.

..-

'j-

650

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

ANÁLISIS DE SOLUCIÓN DE ASIGNACIÓN DINÁMICA A REDES DE TRANSPORTE J. Enrique Fernández L., Joaquín de Cea Ch. y Derek BulI H. Depto. Ingeniería de Transporte, U. Católica de Chile Casilla 306, Santiago 22, FAX 5524054

RESUMEN En este trabajo se analizan las características de las soluciones del problema de asignación dinámica a redes de transporte. Para ello se utiliza un modelo recientemente propuesto por los autores y que se basa en la Teoría de Control. Sobre la base de dicha formulación se analizan las características de las soluciones correspondientes utilizando las condiciones de optimalidad obtenidas al aplicar el Principio Máximo de Pontryagin y las interpretaciones económicas y operacionales correspondientes. A continuación se describe un algoritmo de solución y se realizan algunos experimentos de aplicación del algoritmo con un ejemplo de prueba. Finalmente, se analizan los resultados obtenidos, tanto en términos de funcionamiento del algoritmo como de las soluciones encontradas

1. INTRODUCCIÓN Durante los últimos años ha aparecido un gran interés por la formulación y desarrollo de modelos dinámicos de redes de transporte. Dichos modelos aparecen como una evolución natural de los modelos estáticos de equilibrio , que han llegado a una etapa de madurez, tanto en sus desarrollo teórico como aplicación práctica a la planificación estratégica de sistemas de transporte. Ha existido también un fuerte incentivo proveniente de los gobiernos de países desarrollados y de la industria automotriz internacional, que ven a los modelos dinámicos como una condición necesaria para la implementación de "sistemas de carreteras inteligentes" (1VHS) tendientes a resolver los graves problemas actuales de congestión. Vanos autores han propuesto distintas formulaciones modelisticas para el problema de asignación dinámica a redes de transporte: Merchant y Nemhauser (1978a, 1978b), Carey (1986,1987,1992), Fnesz et al (1989), Wie, Fnesz y Tobín (1990), Janson (1991) y Ran, Boyce y LeBlanc (1993) entre otros; estos mismos autores han propuesto también métodos de solución basados en distintos enfoques, que en general están estrechamente relacionados con la formulación del modelo planteado.

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

mm

65 1

J ENRIQUE FERNANDEZ L - JOAQUÍN DE CEA CH - DEREK BULL H

1 En este trabajo se utiliza una formulación basada en la Teoría de Control Óptimo, y un algoritmo de solución recientemente propuestos por los autores (Fernández y De Cea, 1994 y 1995) para analizar las características de las soluciones al problema de asignación dinámica. En la próxima sección se presenta brevemente la formulación del modelo y sus principales características. Luego se analizan las condiciones de optimalidad correspondientes a la aplicación del Principio Máximo de Pontryagín y su interpretación económica. A continuación se describe un algoritmo de solución y finalmente se presentan los resultados de algunos experimentos de aplicación el algoritmo con un ejemplo de prueba y se analizan los resultados obtenidos, tanto en términos de funcionamiento del algoritmo como de las soluciones encontradas.

2. FORMULACIÓN DEL MODELO Consideremos una red representada por un grafo G = (N,A), en que N representa el conjunto de nodos y A el conjunto de arcos; los arcos son las vías por las que circulan los vehículos; los nodos representan intersecciones, o puntos especiales del espacio en los cuales los arcos experimentan cambios en sus características de diseño y centroides en los que se localizan los orígenes y destinos de viajes. Usaremos un índice general apara identificar un arco y los índices j,k,n,m identificarán nodos, con k,n,m reservados para centroides (k para Orígenes (O) y n,m para Destinos (Z))) y j para nodos normales de la red. Además adoptaremos la siguiente notación básica: W w P Pw p

: conjunto de los pares O-D en la red. : elemento genérico del conjunto W, con w = (k,n). : conjunto total de rutas en G . : subconjunto de las rutas asociadas con el par O-D w . : elemento genérico del conjunto P.

/ . ( / ' ) : número de vehículos en el arco a, al principio del período / . / " ( / ) : número de vehículos con destino n , que se encuentran en el arco a, al comienzo de / . u"a(i) : flujo con destino n que entra al arco a en ; . g"a(i) : flujo con destino n que sale del arco a, en / (demanda). Sw(i) Ta(i) la

'• flujo instantáteneo que sale del origen k con destino n, en i' . '• tiempo de viaje sobre el arco a, para un vehículo que entra en / . : largo del arco a .

dav)

'• \fa\0' h\ densidad de tráfico en el arco a, en i: .

A(j) B(j)

: conjunto de arcos cuya cola es el nodo j . : conjunto de arcos cuya cabeza es el nodo j .

652

^ ^

ACTAS DEL SÉPTIMO CONGRESO CHILENO DE INGENIERÍA DE TRANSPORTE (1995)

ANÁLISIS DE SOLUCIÓN DE ASIGNACIÓN DINÁMICA A REDES DE TRANSPORTE

A fin de obtener soluciones numéricas al problema de asignación dinámica usaremos una versión discreta del modelo correspondiente (Fernández y De Cea 1955b) en la que el período de análisis ÍO, 7"] es dividido en un número finito de intervalos discretos de la misma longitud El conjunto de intervalos correspondiente, se denotará por T = excluye el último período se identifica por subconjunto el subconjunto

y el subconjunto que Definiremos ademas el

de los primeros intervalos de T, cuya duración total es igual a compuesto por los últimos l intervalos del

conjunto T, cuya duración total es igual a y el conjunto complementario que contiene el resto de los intervalos iniciales de T La versión discreta del problema de asignación dinámica puede formularse como sigue: (1)

<2»

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

•

(5)

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J. ENRIQUE FERNÁNDEZ L. - J O A Q U Í N DE CEA C H . - DEREK BULL H.

(6)

(7)

(8)

Este modelo puede ser considerado ya sea como la formulación de un problema general de programación matemática, como hacen Merchant y Nemhauser (1978a, 1978b), o como un problema de control óptimo en tiempo discreto. Nosotros tomaremos este último enfoque. La función objetivo

representa el costo total incurrido, por todo el tráfico que circula en

la red, durante el período de análisis T. Su expresión es consecuencia de considerar que dicho costo total viene dado por la suma de los tiempos de viaje experimentados por los vehículos que salen de cada arco de la red durante cada uno de los intervalos del período T: (9)

con

igual al tiempo de viaje sobre el arco a que experimenta un vehículo que entra

en dicho arco en el intervalo

es la función de egreso que determina el número de

vehículos que salen del mismo arco durante / :

(10)

Por lo tanto, reemplazando (10) en (9) se obtiene la función objetivo(l).

Las ecuaciones (2), describen la dinámica de los flujos sobre cada arco y determinan por lo tanto las características de progresión y propagación de ellos sobre la red. Las ecuaciones (3) especifican la forma funcional de las funciones de egreso ga y de los tiempos de viaje en los La expresión usada para la función de egreso está basada, en este caso, en la relación ftindamental del tránsito (Drew, 1965); es importante observar que en su definición se

654

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ANÁLISIS DE SOLUCIÓN DE ASIGNACIÓN DINÁMICA A REDES DE TRANSPORTE

de tal forma que la cantidad de vehículos

introduce un desfase, igual al tiempo de viaje

que salen de un arco en el intervalo / depende de la cantidad de vehículos que había en dicho La inclusión del tiempo de viaje en forma explícita es una arco en el intervalo particularidad de esta formulación, que permite eliminar problemas en la descripción dinámica de los flujos, presentados generalmente por los modelos propuestos anteriormente (ver Fernández y De Cea, 1995a). El modelo supone que el tiempo de viaje sobre cada arco se puede determinar en el momento en que un vehículo ingresa a él y depende de las características de diseño de la infraestructura y de la cantidad de vehículos que están en el arco en ese momento (ver(3e)). • .

.

.

•

.

•

.

Las ecuaciones (4) y (5) son restricciones combinadas que afectan a las variables de control y las variables de estado; ellas aseguran la satisfacción de las demandas por viajes existentes entre cada par w (ecuaciones (4)) y la continuidad de flujos en cada nodo normal j de la red La tasa de viajes (ecuaciones (5)) para cada intervalo O— D, w , en cada intervalo i' es un dato externo del problema.

demandada entre cada par

Las ecuaciones (6) aseguran que cada flujos en el destino usadas en el caso estático. Estas no pueden utilizarse en el caso dinámico, dado que el momento (intervalo / ) en que el flujo con destino // llegará a dicho centroide es desconocido a pnon, ya que es parte de alas incógnitas del problema,pues depende de los tiempos de viaje experimentados sobre la red. Las ecuaciones (7) determinan el estado de la red en el momento inicial (intervalo / = 0) y las ecuaciones (8) obligan que las variables de control y de estado no sean negativas. Estas últimmas son necesarias, ya que como consecuencia de la definición de las funciones de egreso no siempre se tendrá que

3. CONDICIONES DE OPTIMALIDAD A continuación presentaremos las condiciones necesanas para una solución óptima del problema de control (1) - (8). Para ello aplicaremos la expresión discreta del pnncipio mínimo de Pontryagin (1962) y usaremos además los resultados denvados por Budelis y Bryson (1970) para modelos de control óptimo con desfases en la variables de estado. Primero es necesario formular el Hamiltoniano cuya expresión discreta es la siguiente:

(11)

1 Para determinar el intervalo / . en que un vehículo egreso del arco, a parir del intervalo considerarse solo la parte altera del valor del tiempo de viaje

en que ingresa, o viceversa, debe

lin «tras palabras el valor del tiempo de viaje debe egresarse

en unidades enteras de intervalos,

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(12)

(13) (14)

(15)

(16a)

(16b)

(16c)

(16d)

(17)

donde diferencias adjunta.

656

la ecuación (12), (13), se denomina ecuación de

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ANÁLISIS DE SOLUCIÓN DE ASIGNACIÓN DINÁMICA A REDES DE TRANSPORTE

Adicionalmente, los controles óptimos deben minimizar el Hamiltoniano, sujeto a las restriciones de conservación de flujos: J

(18)

está definido por las restricciones (4), (5) y (6), de continuidad en los nodos y las donde de nonegatividad en (8). Las condiciones de Kuhn-Tucker, correspondientes a la minimización del Hamiltoniano expresada en (18) implican que:

(19)

(20)

(21)

además de las ecuaciones de conservación de flujos (4), (5), (6) y no negatividad de los controles,(8). Es fácil ver que el gradiente del Lagrangiano, correspondiente al Hamiltoniano con sus restnciones en (18), con respecto a las variables de control n"a{i) es:

(22)

Es útil recorder que los multiplicadores (Fernández y De Cea, 1994):

tienen la siguiente interpretación económica

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J. ENRIQUE FERNANDEZ L. - J O A Q U Í N DE CEA C H . - DEREK BULL H.

represalia el costo marginal, producido por un vehículo adicional que sale en el //"(/), represalia el costo marginal, producido por un vehículo adicional que sale en el intervalo / desde el nodo j hacia el destino n, y viaja a través de una ruta de costo marginal mínimo.

4. ALGORITMO DE SOLUCIÓN A continuación se presenta un algoritmo de solución para el problema (PD). Este hace uso directamente de las condiciones de optimalidad expresadas en las ecuaciones (12) a (21) para resolver en forma iterativa un serie de problemas con valores en dos puntos de borde ("two point boundary valué problems"). La solución de cada uno de estos problemas consisten en tres pasos principales realizadas a partir de una solución factible cualquiera: 1) cálculo de los flujos de egreso ga, y resolución hacia adelante (/ = 1,...,/) de las ecuaciones de estado; 2) resolución hacia atrás (/ = /,...,l) de las ecuaciones adjuntas; 3) minimización del Hamiltaniano con respecto a las variables de control, para cada intervalo / sT, sujeto a las restricciones de conservación de flujos y no negatividad. Para este último paso se usa un método de gradiente. Los tres pasos anteriores constituyen un ciclo interno de iteraciones que se realizan manteniendo constante el valor de los los que son a su vez actualizados en un ciclo extemo cada vez que se multiplicadores obtienen nuevos valores de las variables Un aspecto importante de la implementación del algoritmo es el uso explícito de la estructura especial (de red) que presenta el problema y de la interpretación de los multiplicadores dada en la sección anterior.

2 1 ui realidad, no es necesario que la solución inicial sea factible, ya que esta condición es posteriormente impuesta internamente en el algoritmo, sin embargo es normalmente mas cómodo construir una solución factible cualquiera para empezar.

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ANÁLISIS DE SOLUCIÓN DE ASIGNACIÓN DINÁMICA A REDES DE TRANSPORTE

Descripción del Algoritmo Paso 1: Inicializacion Hacer r = 0 y s = 0 , (índices del ciclo externo e interno). i) especificar los valores inciales de las variables de estado ii) determinar valores de los tiempos sobre los arcos de la red

suponiendo condiciones

de flujo libre para todos los intervalos: iii) elegir valores de la variables de control para iniciar el proceso:

Para empezar, se puede dar un valor ceroa todas las variables de control, iv) elegir los valores iniciales de los multiplicadores ú:

e ir al Paso 2. Paso 2: Problema con valores en dos puntos de borde. Subpaso 1: Comprobar el cumplimiento de las restricciones de conservación de flujos de los nodos y de ser necesario, corregir proporcionalmente los valores de las variables de control

Partiendo con los valores iniciales de las variables de estado el tiempo las ecuaciones de estado:

resolver hacia adelante en

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mM

659

Subpaso 2: Partiendo de los valores de borde de las variables adjuntas Á(I) = 0, resolver hacia atrás en el tiempo las ecuaciones adjuntas:

Subpaso 3: Determinar la dirección de descenso para la minimización del Hamiltoniano. Para que minimizan el valor ello, calcular los valores auxiliares de las variables de control del Hamiltoniano, manteniendo constantes los valores de las variables de estado y adjuntas recién determinados en el Subpaso 2:

Subpaso 4: Calcular el paso óptimo de avance problema de minimización unidimensional:

Para ello se debe resolver el siguietnte

Subpaso 5: Calcular los nuevos valores de las variables de control, usando el valor óptimo obteniendo en el Subpaso 4:

Subpaso 6: Test de Convergencia Interno

dado por (22).

660

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ANÁLISIS DE SOLUCIÓN DE ASIGNACIÓN DINÁMICA A REDES DE TRANSPORTE

i) Si es satisfecho, ir al Paso 3. ü) Si no, hacer s = s + 1 y volver al Subpaso 1. Paso 3: Actualización de ¡u yy Test Test de Convergencia Externa. i) calcular los nuevos valores valores de de los los multiplicadores multiplicadores f-í:

^'(/) = [...^f»(/),...,...,//f»(/),. íi) realizar el test de convergencia:

Si la condición se cumple: PARE; En caso contrario, hacer r = r + 1 y regresar al Paso 2. END En la aplicación del algoritmo es importante considerar los siguientes procedimientos, que se basan en la estructura especial del problema y en la interpretación de los multiplicadores 1) En el Paso 1, para r = 0 , los valores de

se pueden determinar calculando las rutas

mínimas dinámicas sobre la red, usando los valores de tiempo de viaje

Esto puede

entregar un buen punto de partida cuando la congestión en la red no es muy elevada Sin embargo, si no es posible calcular las rutas mínimas dinámicas directamente o el sistema está muy congestionado, se puede partir haciendo Para

una

forma

alternativa

de

actualizar

es

haciendo

es el valor obtenido en la última iteración del 3

Paso 2 . 3) La minimización del Hamiltoniano, en el Subpaso 4, se puede realizar muy eficientemente aplicando el siguiente simple procedimiento que hace uso de la estructura de redes del problema: - Para cada nodo j de la red, calcular:

3 YXÍ este caso, se está haciendo uso de la interpretación especial de los multiplicadores dada ai la sección 2

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- De entre los arcos que pertenecen al conjunto A[j) seleccionar aquel,

que posee el menor

valor de -Asignar uT] = G""s)(/') y hacer wS,re) = 0, Va * a*, a e A(j).

4. CARACTERÍSTICAS DE LAS SOLUCIONES DINÁMICAS

En esta sección se presentan los resultados numéricos obtenidos con dos redes de prueba que han sido usdas para estos mismos efectos por otros autores (ver Wie, Tobin y Friesz, 1994).

Figural. Esquema de la Red Chica

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ANÁLISIS DE SOLUCIÓN DE ASIGNACIÓN DINÁMICA A REDES DE TRANSPORTE

Figura 2. Esquema de la Red Grande El pnmer caso corresponde a una pequeña red de 10 arcos y 7 nodos. El segundo, a una red de tamaño medio de una ciudad amencana (Sioux Falls), que ha sido utilizada en la literatura desde hace mas de dos décadas para probar algontmos de redes (LeBlanc et al., 1975); ella consta de 24 nodos y 76 arcos direccionales. La topología de las dos redes se muestra gráficamente en las figuras 1 y 2. En la primera red se supone una demanda tnangular de viajes entre el par 0-D=(l,7). El número de viajes demandado empieza en cero en el período cero y aumenta linealmente hasta máximo de 20 en el período 50, para después decaer linealmente hasta cero en el período 100; entre los períodos 100 y 120 la demanda es nula. Los resultados de este ejemplo se muestran en las Figuras 3, 4 y 5; la dos primeras muestran la evolución de los valores de las variables de control na y las variables de estado fa, para los distintos arcos de una ruta típica (formada por los arcos 2,5,8,10= y la tercera muestra la evolución de los valores de los multiplicadores: //, correspondiente al nodo 5 y A7/I9 correspondientes a los arcos que salen del nodo 5.

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En el caso de la red grande se suponen demandas entre los siguientes cuatro pares 0-D: (1,10), (2,10), (13,10), (20,10). las demandas son en este caso también triangulares entre los períodos 0 y 100 con máximos en el período 50 de 12,5;5; 10 y 12,5 respectivamente. Los resultados correspondientes a una ruta típica formada por los arcos: 2,7,36 y 32 se presentan en las figuras 6,7 y 8. Las dos primeras muestran la evolución de las variables de control y de estado correspondientes a los distintos arcos de la ruta; la tercera muestra la evolución de los multiplicadores: // 3 correspondiente al nodo 3 y A¡,A6 y X7 correspondientes a los arcos que salen del nodo 3.

5. CONCLUSIONES En este trabajo hemos analizado las características de los resultados numéricos obtenidos de la aplicación de un nuevo algoritmo a un modelo de asignación dinámica recientemente propuesto (Fernández y De Cea, 1994 y 1995). Los resultados obtenidos en los ejemplos de prueba analizados enla sección 4, son mas realistas que los recientemente publicados por otros autores (Wie, Tobin y Friesz, 1994 y Wie et al. 1995). En particular ellos no adolecen el tipico problema de propagación instantánea del flujos, los que en nuestro caso avanzan a través de las distintas rutas de la red a una velocidad finita, determinada por las condiciones de operación en cada arco y sus respectivos tiempos de viaje, que son considerados explícitamente en nuestro modelo y son función del nivel de congestión. Los resultados obtenidos presentan también características interesantes no intuitivas, en especial en lo que respecta al comportamiento oscilatorio de los flujos. Será interesante en el futuro encontrar las razones de dicho comportamiento, no observado en la realidad cuando los flujos no son socialmente óptimos. El algoritmo utilizado se comporta eficientemente en comparación con otros propuestos en la literatura anteriormente, lo que muestra la utilidad de hacer uso de la estructura especial del problema. Figura 3. Red Chica.Variables de Control en Ruta: (2,5,8,10)

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Figura 4. Red Chica. Variables de Estado en Ruta: (2,5,8,10)

Figura 5. Red Chica. Condición de optimaUdad en nodo 5

Figura 6. Red Gande. Variables de Control en Ruta: (2,7,36,32)

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Figura 7. Red Gande Variables de Estado en Ruta: (2,7,36,32)

Figura 8. Red Gande. Condición de optimalidad en nodo 3

AGRADECIMIENTOS La presente investigación ha sido parcialmente financiada por FONDECYT-Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile.

REFERENCIAS BUDELIS, J.J. Y BRYSON, A.E. (1970) Some Optimal Control Results for DifferencialDifference Systems IEEE Transactíons on Automatic Control, Shortpapers, April, 237-241.

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ANÁLISIS DE SOLUCIÓN DE ASIGNACIÓN DINÁMICA A REDES DE TRANSPORTE

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J. ENRIQUE FERNÁNDEZ L. - JOAQUÍN DE CEA CH. - DEREK BULL H

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CONFORMACIÓN DE REDES PARA PROGRAMACIÓN DE SEMÁFOROS Irene Baeza y Mónica Zucker Consorcio INTRAT-CITRA Andrés VUlaseca Universidad Católica de Chile Manuel Albornoz Unidad Operativa de Control de Tránsito

Universidad de Chile

RESUMEN El problema general dentro del cual se enmarca el presente trabajo es el de ordenar, en el espacio y en el tiempo, la operación de un conjunto de semáforos. Cuando hay proximidad entre semáforos, su funcionamiento periódico introduce regularidades en la circulación, con lo cual se forman pelotones de vehículos; por esto, la coordinación entre semáforos pude ser sumamente beneficiosa en términos de disminuir significativamente las demoras y detenciones. Sin embargo, para lograr este beneficio, además de la proximidad de los semáforos (variable espacial), debe darse que tengan una periodización común (variable temporal) y ciclo compatible (homogeneidad operacional). Es decir, la contigüidad espacial es sólo una condición necesaria pero no suficiente para que un conjunto de semáforos opere en forma óptima en red. Lo que ocurre en realidad es que la definición de los límites de una red, su ciclo y su periodización, constituyen un problema simultáneo. El reconocimiento de este hecho introduce la posibilidad de que a distintas horas del día, las agrupaciones de semáforos a ser coordinados, sean diferentes. Recientemente en el marco de la ejecución del proyecto denominado "Construcción de un Sistema de Control del Área de Tráfico para la Ciudad de Santiago (SCAT)" se ha elaborado una metodología para abordar el problema considerando su solución por etapas, teniendo en cuenta criterios espaciales, temporales, operacionales y también de políticas de gestión de tránsito para la conformación de redes. En este trabajo se presenta la metodología y se comentan resultados de su aplicación en Santiago.

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IRENE BAEZA. - MONICA ZUCKER. - ANDRÉS VILLASECA. - MANUEL ALBORNOZ. - JAIME GIBSON

1. INTRODUCCIÓN Usualmente la definición de redes de semáforos no ha sido enfocada desde una perspectiva de control de tráfico centralizado ni ha incorporado aspectos de variabilidad temporal y operacional. Lo que normalmente se ha hecho es, primero, definir redes sólo por consideraciones de tipo espacial y luego, dada esa estructura rígida en el tiempo, se ha definido la periodización y la programación para cada período. Con este enfoque se puede incurrir en altos costos al tener intersecciones operando, forzadas por el grupo, con un ciclo muy lejano a su óptimo, en períodos que no le son propios; si bien es cierto que para conformar redes en pos de la coordinación es necesario permitir que los semáforos no operen exactamente con su ciclo óptimo y que sus períodos no sean exactamente los que les corresponden individualmente, este alejamiento de los valores óptimos debe ser controlado. Este trabajo presenta una perspectiva amplia que define una red como un conjunto de intersecciones conexas que operan con ciclo común, durante un mismo período de tiempo. En este sentido, la agrupación de semáforos en redes depende de los siguientes factores: a) ubicación espacial b) periodización, determinada fundamentalmente por los patrones de demanda c) ciclos óptimos de operación individual de cada intersección, determinados fundamentalmente por los niveles de demanda Dada la gran cantidad de datos que se requeriría para la solución rigurosa de este problema simultáneo, la gran complejidad de su planteamiento matemático y la inexistencia de teoría que pudiera resolverlo, se ha optado por diseñar un método secuencial que a pesar de ser aproximado, es capaz de captar la interdependecia entre las variables espaciales, temporales y operacionales. El método considera las siguientes tres etapas: ETAPA 1: Subdivisión espacial: en esta etapa se generan grupos de intersecciones semaforizadas aisladas espacialmente, con distinto grado de dependencia de las variables temporales y operacionales. ETAPA 2: Periodización: en esta etapa se definen los períodos y la agrupación de intersecciones en cada uno de ellos. ETAPA 3: Programación: en esta etapa se conforman definitivamente las redes de semáforos que operan con un ciclo común durante un cierto período de tiempo. En la primera etapa se acota el problema a aquellos grupos en que realmente hay dependencia entre las variables espaciales y temporales. En efecto, en la práctica el problema de la interdependencia de las tres variables no se da de la misma forma; de hecho, de acuerdo a criterios espaciales o de politícas de gestión de tránsito, se pueden definir grupos donde su definición espacial es constante en el tiempo.

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CONFORMACIÓN DE REDES PARA PROGRAMACIÓN DE SEMÁFOROS

En segundo término, se realiza la etapa de periodización, la cual depende de los patrones de demanda de las intersecciones críticas representativas de un grupo. Con este enfoque se minimiza la cantidad de datos que es necesario recabar. Por último, se llega a la etapa final con el problema suficientemente resuelto de tal forma que se saben exactamente los períodos en que es necesario tomar datos de flujo para cada intersección, de forma tal de definir la conformación definitiva de redes y calcular su programación óptima en cada periodo. En el capítulo 2 se explican los criterios que permiten, en una primera aproximación, realizar una subdivisión espacial que genera una tipificación de grupos de semáforos. El capítulo 3 presenta el procedimiento utilizado para introducir la variable temporal en los tipos de grupos cuya definición espacial y temporal son dependientes entre sí. En el capítulo 4 se explica cómo introducir la variabilidad operacional, cuyo resultado es la conformación final de las redes para la programación de semáforos. Finalmente, en el capítulo 5 se presentan algunos de los resultados obtenidos al aplicar la metodología a la Ciudad de Santiago, en el marco del Proyecto SCAT, (CONSORCIO INTRATCITRA, 1995).

2. SUBDIVISIÓN ESPACIAL La primera etapa de la metodología propuesta constituye la realización de una subdivisión espacial que genera distintos tipos de grupos de semáforos, con diferentes grados de dependencia de las variables temporales y operacionales. Considerando criterios de espacialidad, que tienen relación con la forma de llegadas de los flujos a cada acceso de una intersección, se define la frontera del grupo. Es así como dependiendo de la varianza de la velocidad de operación de ciertos ejes o áreas, pueden definirse distintas agrupaciones de semáforos. La aplicación del criterio de espacialidad a un área de intersecciones semaforizadas genera semáforos aislados, grupos de semáforos conexos aislados (nucleares) y grupos conexos sin límites distinguibles en su interior (básicos). Además, en esta etapa se introducen criterios de políticas de gestión de tránsito, considerando que puede existir el interés de asegurar una buena coordinación en algún eje o área en especial porque se sabe que presentan condiciones de homogeneidad espacial y operacional semejantes y por la alta jerarquía del eje o área en relación a las intersecciones de su entorno. De este modo surgen los grupos prioritarios. En la Figura N°l se muestra un esquema de la etapa de subdivisión espacial del procedimiento elaborado para la conformación de redes para programación de semáforos. A continuación se define cada grupo y se explícita el grado de dependencia entre las variables espacio-tiempo-operación.

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2.1 GRUPOS NUCLEARES Cuando todas las intersecciones pertenecientes a los grupos conexos aislados presentan patrones de demanda similares, se definen como grupos nucleares. En este tipo de grupos, la vanable espacial y la temporal están fijas; sólo la operacional podría modificarlos; es decir, este grupo tiene sus límites claramente definidos y su periodización es única, la cual estará determinada por la de su o sus intersecciones críticas. Aún cuando para estos tipos de grupos este resuelto el problema de la definición de penodos, queda por resolver su conformación definitiva en función de la variable operacional (ciclo de operación) en la etapa de programación. Como ejemplo de este tipo se puede citar el grupo de semáforos de Puente Alto que está formado por 8 intersecciones semaforizadas contiguas que poseen patrones de demanda similares entre sí. Los semáforos frontera de este grupo están alejados de otros por una distancia mayor de 1 OOOm.

2.2 GRUPOS BÁSICOS Los grupos básicos están conformados por un conjunto denso y numeroso de semáforos, en los que no es posible definir límites de subdivisiones con claridad y se observan distintos patrones de demanda en su interior. A diferencia de los grupos nucleares, su conformación espacial es dependiente de la penodización, incluso su conformación puede ser distinta para distintos períodos. Finalmente, al igual que en los grupos anteriores, en la etapa de búsqueda de ciclo óptimo su conformación espacial en cada período puede ser modificada con el fin de agrupar intersecciones con ciclos óptimos similares. similares Un ejemplo de este tipo de grupo es el sector de Providencia y Ñuñoa limitado por los ejes Carlos Antúnez-A.Vespucio (exclusive)-S.Bolivar-Tobalaba y Av. Italia, que tiene un total de 130 intersecciones sernaforizadas.

2.3 GRUPOS PRIORITARIOS Estos grupos están compuestos por un conjunto de nodos no necesariamente aislados desde el punto de vista espacial, pero cuya operación como red independiente interesa mantener por un criterio de política de gestión de tránsito, es decir, constituyen un grupo por decisión exógena, lo cual hace que sean rígidos; esta rigidez se manifiesta en los tres puntos siguientes:

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tienen periodizacion única la etapa de búsqueda de ciclo no debiera modificar su estructura otros grupos adyacentes podrían eventualmente unirse en algún período común a un grupo prioritario si poseen ciclo de operación compatible, imponiendo que la programación del grupo prioritario no se altere para facilitar la unión entre ellos. Un ejemplo de esto es el grupo Alameda, formado por el tramo del Eje Alameda Libertador Bernardo 0"Higgins entre las calles Santa Rosa y Ecuador. Si bien es cierto que este grupo está inserto en una zona de alta densidad de semáforos, es tal la diferencia en su jerarquía, que es conveniente priorizarla.

2.4 GRUPOS RESIDUALES Finalmente, luego de definir algunos grupos como prioritarios, pueden generarse los grupos residuales, que son aquéllos rodeados por grupos nucleares o prioritarios. Estos grupos tienen periodizacion única, en la etapa de búsqueda de ciclo pueden modificarse en cada periodo y podrían eventualmente ser unidos a otros adyacentes en algún período común si poseen ciclo de operación compatible. Un ejemplo de este grupo es el sector sur de Ñuñoa conformado por los semáforos ubicados al sur de Av. Grecia (que es un grupo prioritario) y conformado por los ejes Pedro de Valdivia, J.Pedro Alessandri, E.Fernández y Marathón; está constituido por 26 semáforos.

3. PERIODIZACION Para los grupos cuya definición espacial es constante en todos los períodos (nucleares, pnontanos y residuales) la obtención de su periodizacion se realiza de acuerdo a la metodología definida por Hadjes y Gibson (1990) que se encuentra implementada en el programa computacional PERQT y las últimas metodologías definidas por Gibson (1995) en relación al tratamiento de intersecciones semaforizadas en períodos punta. Para los grupos básicos, en cambio, donde su conformación espacial está ligada con la penodización, se aplica un procedimiento estructurado, que se describe a continuación y que cuenta con las siguientes cinco etapas: ETAPA 1: ETAPA 2: ETAPA 3: ETAPA 4: ETAPA 5:

Definición de subgrupos nucleares Periodizacion individual de cada subgrupo Redefinición del grupo básico Periodizacion global Visión global de la periodizacion

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IRENE BAEZA - M Ó N I C A ZUCKER. - ANDRÉS VILLASECA. - MANUEL ALBORNOZ. • JAIME G1BSON

3.1

ETAPA 1: Definición de subgrupos nucleares

Dentro de cada grupo básico, se define en su interior subgrupos de los cuales no cabe duda que deben operar en red por la proximidad de sus semáforos y la homogeneidad de su operación. Teóricamente, cualquier combinación de nodos conexos en el interior del grupo básico sería posible y debiera analizarse. Sin embargo, en la práctica, el conocimiaito del área de estudio y la intención de por ejemplo- privilegiar un sentido de tránsito en algunos períodos, permitirá definir un número razonable de subgrupos, cada uno de ellos indivisible en la etapa de periodización. Estos pasan a constituir subgrupos nucleares al interior de un grupo básico.

3.2

ETAPA 2: Periodización individual de cada subgrupo

Se elige en cada subgrupo las intersecciones críticas representativas de su comportamiento global y se periodiza cada una utilizando la metodología definida por Hadjes y Gibson (1989) y las últimas metodologías definidas por Gibson (1995).

3.3

ETAPA 3: Redefinición del grupo básico

Con la información de la periodización de cada subgrupo nuclear y superponiéndole las características propias de la zona en estudio, es posible separar del grupo básico aquellos subgrupos que tendrán periodización única, para seguir trabajando sólo con el grupo de semáforos en que aún hay duda de cómo se ordenará en el tiempo y el espacio.

3.4

ETAPA 4: Periodización global

El subgrupo apartado tendrá periodización única y se calcula utilizando la metodología definida por Hadjes y Gibson (1989) y las últimas metodologías definidas por Gibson (1995). Al grupo básico restante, se le aplica el procedimiento que se describe a continuación. Pnmero se periodiza en forma conjunta, utilizando todas las intersecciones criticas elegidas dentro de cada subgrupo, considerando las metodologías anteriormente referidas. Dado que el programa computacional PERQT admite a lo más cinco intersecciones por corrida, si el número de intersecciones criticas totales es mayor, se eligen las cinco más representativas del conjunto. Luego, se comparan los períodos obtenidos para el grupo con los períodos individuales. De esta comparación surgen dos alternativas:

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CONFORMACIÓN DE REDES PARA PROGRAMACIÓN DE SEMÁFOROS

a)

que los periodos obtenidos del conjunto sean similares en cantidad y tengan extensiones semejantes a los resultantes de la periodización individual. •

.

En este caso se comparan los ciclos asociados a los tramos del grado de saturación obtenido para las intersecciones críticas de cada subgrupo. Si los subgrupos aceptan un ciclo compatible en todos los períodos, la combinación bajo análisis pasará a conformar un grupo con la periodización única dada por PERQT para el conjunto. b)

que existan sólo algunos períodos con extensiones similares, tanto en la periodización individual como en la del conjunto. En este caso se procede a realizar un análisis de los grados de saturación de las intersecciones críticas para determinar si éstas aceptan la implementación de un tiempo de ciclo común. Bajo estas condiciones se constiuirán grupos cuya conformación será vanable con la penodización. Cabe señalar que lo más probable es que los puntos de cambio de esos períodos en los subgrupos, no coincidan exactamente. Para definir un horario de cambio del período único obtenido para la combinación de los subgrupos, se define como período de análisis el dado por la penodización del conjunto.

3.5

ETAPA 5: Visión global de las periodizaciones

Antes de comenzar con la etapa de programación, es necesario efectuar una revisión global de las penodizaciones obtenidas para evitar que algún área quede dividida por periodización en alguna hora del día y que en realidad las diferencias de los periodos respectivos sean muy menores. La idea de esta mirada general es permitir uniones de grupos que producto de la aplicación del procedimiento hayan resultado con períodos pareados; esto es posible en particular para algún grupo pnontano o residual con alguno básico contiguo ya que en las etapas antenores no se analizaron coi y ui luiu ita ne Lo que se pretende es abnr la posibilidad de obtener una buena coordinaaón entre los arcos que unen estos grupos, siempre y cuando en la etapa de programación acepten un aclo común de operaaón. En la Figura N°2 se muestra un esquema de la etapa de periodizaaón para los grupos básicos del procedimiento elaborado para la conformación de redes para programación de semáforos.

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IRENE BAEZA. - MÓNICA ZUCKER. - ANDRÉS VILLASECA. - MANUEL ALBORNOZ - JAIME GIBSON

4.

PROGRAMACIÓN

Una vez que se cuenta con las regiones espacio-tiempo definidas y revisadas, comienza la etapa de búsqueda de ciclo y determinación de programaciones para cada una ellas en cada período. La importancia de esta etapa final es que, por primera vez, se trabaja con datos de todas las intersecciones y no sólo con algunas representativas. En la etapa de búsqueda de ciclo óptimo, dependiendo de los ciclos individuales sugeridos para cada nodo por período, podrán tomarse decisiones como: - mantener la configuración del grupo .

.

.

- subdividirlo por incompatibilidad de ciclos. Estas decisiones podran diferir entre penodos y llevaran a regiones espacio-tiempo-operacion distintas. La metodología utilizada para la determinación de ciclos óptimos de un conjunto de intersecciones es la propuesta por Barrientes, Fernández y Gibson (1989). Una vez que se ha constituido la conformación definitiva de redes, se determina la programación óptima utilizando TRANSYT. Los repartos son determinados por equisaturación y los desfases son optimizados con las subrutinas del modelo. Para la optimizacion de desfases podrán usarse recursos tales como: uso de ponderadores positivos para privilegiar algún sentido de tránsito, uso de ponderadores nulos para arcos de transporte público donde la interferencia de paraderos es importante, optimizacion por etapas para privilegiar algún eje de importancia, etc. El resultado final de esta etapa será un mapa de redes que podrá variar entre períodos. En la Figura N°3 se muestra un esquema de la etapa de progamación del procedimiento elaborado para la conformación de redes para programación de semáforos.

5.

ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

En este capítulo se muestran los resultados de la aplicación de la metodología en Santiago, en el marco del Proyecto SCAT. Cabe destacar que la aplicación aún no se encuentra terminada, ya que la etapa de programación está aún en desarrollo por parte del CONSORCIO INTRAT-CITRA. Sin perjuicio de lo anterior interesa destacar que el desarrollo de la etapa de subdivisión espacial ha agrupado las 1144 intersecciones semaforizadas de la ciudad de Santiago en: 35 semáforos aislados, 31 grupos nucleares que contienen 225 intersecciones semaforizadas (7 en promedio por cada

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grupo), 3 grupos prioritarios que contienen 55 intersecciones semafonzadas (18 en promedio por cada grupo), 5 grupos residuales que contienen 68 intersecciones semaforizadas (14 en promedio por cada grupo) y 9 grupos básicos que contienen un total de 761 intersecciones semafonzadas (85 en promedio por grupo). Es así como se tiene que al menos dos tercios del total de intersecciones semaforizadas están sujetos a la interrelación de las vanables espaciales, temporales y operacionales para definir su agrupación. Esto confirma la gran importancia de lo planteado en este trabajo. Por otro lado, al observar las periodizaciones obtenidas para los distintos grupos de semáforos, se nota que no sólo varían en términos de número de períodos, sino que los períodos punta difieren tanto en duración como en ubicación a lo largo del día. Por ejemplo: se tienen períodos punta mañana que van desde las 7:00 hasta las 9:30, con duraciones variables de una, dos y hasta dos horas y media. Con respecto a la aplicación de la etapa de periodización en los grupos básicos, los resultados van desde que todos los subgrupos nucleares operen juntos en todos los periodos, hasta la situación inversa en que se dividen en todos los subgrupos, en todos los períodos, pasando por la agrupación de subgrupos en algunos períodos y en otro no. Como ejemplo de este último caso, se tiene el grupo básico que contiene los siguientes 7 subgrupos: Independencia (1), Recoleta (2), Centro de Santiago al poniente (3) y onente (4) de Ahumada y José María Caro-Bellavista (5), Vivaceta (6) y BrasilCumming(7). En el período punta mañana la conformación de redes es: Red 1: subgrupo 1 Red 2: subgrupo 2 Red 3: sugrupo 3 + subgrupo 4 + subgrupo 5 Red 4: subgrupo 6 Red 5: subgrupo 7 En los otros períodos, en cambio, la conformación de redes es: Red 1: subgrupo 1 Red 2: subgrupo 2 Red 3: sugrupo 3 + subgrupo 4 Red 4: subgrupo 5 Red 5: subgrupo 6 Red 6: subgrupo 7 Idéntica situación se da con la aplicación de la etapa de programación, es decir, los grupos pueden tanto dividirse como mantenerse unidos. Por ejemplo, el grupo Vicuña Mackena Sur, que fue definido originalmente como un grupo nuclear y por lo tanto todos sus semáforos tienen periodización común, fue dividido en la etapa de programaaon quedando en algunos períodos operando en dos redes y en otros formando una red única.

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AGRADECIMIENTOS •

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El presente trabajo ha sido desarrollado en marco de la ejecución del proyecto "Construcción de un Sistema de Control de Área de Tráfico para la Ciudad de Santiago (SCAT)", encargada por la Intendencia Región Metropolitana a las empresas SONDA AUTOMATIZACIÓN LTDA. y AUTER S.A. y cuya supervisión técnica está a cargo de MINTRATEL a través de la Unidad Operativa de Control Tránsito (UOCT), cuyo Dirctor Técnico es el Ing. Sr. Femando Jorré. Por último, queremos agradecer a Alejandro Aldea por sus valiosos comentarios en las etapas de discusión y elaboración del método propuesto y al equipo de ingenieros que ha participado en la aplicación del método, conformado por Antonieta Eguía (INTRAT), Paulina Figueroa (UOCT), Claudia Oddó (UOCT), Gabriela Ramos (INTRAT), Claudio Sepúlveda (PUC), Miguel Ángel Silva (CITRA), Carolina Simonetti (UOCT), Ernesto Valderrama (CITRA) y Marcelo Vallejos (PUC).

REFERENCIAS CONSORCIO INTRAT-CITRA (1995). Informe de Sectorización Funcional "Construcaón de un Sistema de Control de Área de Tráfico para la Ciudad de Santiago (SCAT)". Hadjes, V. y Gibson, J (1990). Tratamiento de la variabilidad temporal del flujo en la evaluación de proyectos de vialidad urbana. Actas del VI Congreso Panamericano de Transporte, Colombia. Gibson, J. (1995). Estimación de demoras en intersecciones semaforizadas en períodos punta. Presentado en el VII Congreso Chileno de Ingeniería de Transporte, Santiago, Chile. Fernández, D, Barnentos, R y Gibson, J (1989). Metodología para el análisis del tiempo de ciclo óptimo en redes de semáforos. Actas del IV Congreso de Chileno de Ingeniería de Transporte, Valparaíso, Chile.

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CONFORMACIÓN DE REDES PARA PROGRAMACIÓN DE SEMÁFOROS

Etapa 1: Subdivisión Espacial Figura N° 1

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Etapa 2: Periodización (Grupo Básico) rigurd ii L

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CONFORMACIÓN DE REDES PARA PROGRAMACIÓN DE SEMÁFOROS

Etapa 3: Programación Figura N°3

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CALIBRACIÓN DE MODELOS DE ASIGNACIÓN DE VIAJES A REDES DE TRANSPORTE PUBLICO

Joaquín de Cea Ch. y J.Enríque Fernández L. Departamento de Ingeniería de Transporte Pontificia Universidad Católica de Chile Casilla 306, Santiago 22, CHILE TELEFONO: (56-2) 686-4270 FAX: (56-2) 552 4054

} RESUMEN En general, luego del proceso de calibración de la red vial de un determinado sistema de transporte es necesario abordar la calibración de los modelos de asignación o elección de rutas. Entre ellos, cabe destacar los de asignación de viajes a redes de servicios de transporte público. Cualesquiera que sean las suposiciones que se hagan respecto del comportamiento de los viajeros frente a la elección de caminos sobre dichas redes, minimización de la función de "costos generalizados" de viaje para itinerarios, rutas o estrategias, será necesario estimar los valores de los parámetros de dicha función de costos. De esta forma, dada la topología de la red de transporte público, una cierta "matriz observada" de viajes y conocidos los tiempos de recorrido de los servicios sobre la red vial, se entenderá por calibración del modelo de asignación la determinación de aquellos parámetros que permiten minimizar las diferencias entre los conteos observados (flujos de pasajeros en arcos) y flujos modelados (cargas obtenidas al asignar sobre la red la "matriz observada"). En este trabajo se presenta un breve análisis crítico de algunos procedimientos conocidos de calibración de modelos de asignación de viajes a redes de transporte público y se describe un nuevo método basado en una aplicación del algoritmo de Hooke y Jeeves. Finalmente, se analizan los pnncipales resultados de una aplicación para el caso de la red de buses de la ciudad de Santiago.

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CALIBRACIÓN DE MODELOS DE ASIGNACIÓN DE VIAJES A REDES DE TRANSPORTE PUBLICO

1. INTRODUCCIÓN Una de las etapas importantes en el proceso de análisis de sistemas de transporte es la de calibración de los modelos de asignación de viajes. Una vez calibrada la red vial o red base, por la que se desplazan los vehículos de transporte público y privado, es necesano pasar a la calibración de la red de transporte público. Esto es, la red de servicios utilizados por los pasajeros para realizar sus viajes. No resulta claro, sin embargo, separar en este caso lo que se entiende por calibración de la red y por calibración del modelo de asignación de viajes sobre ella, y de hecho en la literatura ambos procesos se suelen confundir en uno solo (ver por ejemplo De Cea, Chapleau y Trottier, 1981). En este trabajo nos centraremos en la calibración del modelo de asignación de equilibrio en redes de transporte público, propuesto por De Cea y Fernández (1993). Este modelo considera que los efectos de "congestión" sobre la red, debidos a la insuficiente capacidad de las líneas de transporte público están concentrados en los paraderos. Así, los tiempos de espera dependen de la afluencia de pasajeros, en tanto los costos asociados a los restantes elementos del sistema (caminata, tarifa, viaje en vehículo, transbordo, etc.) son independientes de los flujos que la usan. Los tiempos de viaje en bus son exógenos al procedimiento de asignación y se consideran dados a partir de los tiempos de viaje obtenidos al calibrar la red vial. Por esto, con la excepción de lo que sucede con las funciones de tiempos de espera, que como veremos se propone calibrarlas independientemente, no tiene sentido, en este caso, imponer al procedimiento de calibración el requerimiento de reproducir los tiempos de viaje observados. La calibración del modelo de asignación de transporte público al intentar reproducir conteos observados está tratando, en cierto modo, de reproducir las rutas utilizadas por los usuanos de la red y en consecuencia, si la red vial y las funciones de tiempos de espera han sido bien calibradas, la reproducción aceptable de los tiempos de viaje está prácticamente garantizada. .

El problema de definición de las funciones de espera en paraderos, ha sido analizado en detalle en Gendreau (1984). Considerando que en un paradero se produce una "cuasi-fila de espera" (en inglés "scheduled departure queue"), y basado en los trabajos de Bailey (1954), Dowton (1955,1956), Kotiah, Thompson y Waugh (1969), Kadosch (1976) y Powell (1981), formula un modelo teónco de espera y plantea la denvación de una forma funcional, a partir de resultados empíricos o de un proceso de simulación. Para lo que sigue de este trabajo se supondrá que dichas funciones de espera son, junto a los tiempos de viaje (en vehículo, caminata, transbordos y accesos) en la red, datos exógenos del procedimiento de calibración del modelo de asignación. Calibrar es un modelo de equilibrio determinístico, que supone que al elegir sus rutas los viajeros se comportan de manera de minimizar sus propios costos generalizados de viaje (Wardrop, 1952), dicha calibración consiste en determinar los valores del conjunto de parámetros que mejor repliquen la repartición de los viajeros en la red, suponiendo que éstos eligen sus rutas de la forma indicada. A partir de lo anterior, la calibración del modelo de asignación se reduce a la estimación de los parámetros de la función de "costo generalizado de viaje" (ponderadores de sus diversos componentes). Dado que el modelo de asignación a

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Los procedimientos reportados de calibración de modelos de asignación de viajes a redes de transporte público, que son pocos, tienen características relativamente similares. Así por ejemplo, De Cea, Chapleau y Trottier (1981) describen un método iterativo, por "tanteo", usado para calibrar la red de transporte público de la ciudad de Montreal. Este método busca determinar los valores de los parámetros de la función de costo generalizado de viaje que mejor reproducen los itineranos observados, provenientes de una encuesta origen-destino de viajes que, además de proveer la información tradicional, cuenta con datos relativos a las líneas efectivamente usadas por los viajeros. Con esta información, para distintos conjuntos de valores de los parámetros de calibración se obtienen itinerarios simulados (asignados), los que se comparan luego con los respectivos itinerarios observados. El objetivo a maximizar en este caso es el numero de coincidencias entre e itinerarios simulados y observados. Dadas las características del proceso descrito, se le denominó "calibración desagregada" de un modelo de asignación a redes de transporte público. Como parte del "Estudio de Evaluación y Desarrollo del Sistema de Transporte Urbano de la Ciudad de Santiago" (ver SECTU, 1989) se reporta un procedimiento de calibración de ajustes sucesivos de los parámetros de la función de costo generalizado de viaje. El objetivo buscado, en este caso, consistió en replicar algunos indicadores importantes (básicamente flujos observados) al asignar una matriz observada, usando un conjunto dado de valores para dichos parámetros. Sin embargo, en la aplicación descrita no se disponía para ninguno de los modos de transporte público de la matriz observada mencionada más arriba. Por este motivo, fue necesario considerar un proceso de estimación de matrices para obtener una matriz de viajes ("matriz observada") que debía ser asignada sobre la red que se estaba calibrando. Esta matriz se obtuvo, en cada caso, a partir de una matriz a priori y de un conjunto de conteos de flujos en arcos, usando el modelo ESMATUC (De Cea y Cruz, 1986). El proceso utilizado para calibración consistió, en líneas generales, en lo siguiente: se realizó una precalibración en la que se definió la red. A continuación, se estimó una "matriz observada" utilizando dicha red, a partir de una matriz a prion y conteos observados de flujos en arcos. Esta "matriz observada" se asignó sobre la red y de acuerdo a los resultados obtenidos, se modificaron los valores de los parámetros de calibración señalados antenormente. Con la nueva red definida se inició una nueva estimación de la "matriz observada", continuándose el procedimiento descrito, hasta satisfacer algunos cntenos en la reproducción de flujos observados en arcos. Este proceso combinado de estimación de una matriz de viajes y de su asignación, para fines de calibración de las redes, presenta algunas limitaciones importantes. En pnmer lugar, la matriz "observada" que se supone representa la realidad es estimada a partir de una matriz a priori y de conteos observados. Esto constituye en sí un problema importante, pues el modelo en el que descansa el procedimiento de estimación de matrices está basado en hipótesis (distribución según maximización de la entropía del sistema) que aunque aceptables no necesanamente son válidas al punto de que se pueda tomar el resultado obtenido como una realidad para fines de calibración. Por otro lado, la estimación de la "matriz observada" requiere de una red calibrada, lo que obliga a plantear el procedimiento iterativo descrito, que no presenta indicios de ser convergente a una solución óptima (ni local ni global). Finalmente, el procedimiento de "calibración", en la etapa de asignación de la matriz "observada", constituye un mero tanteo de diferentes conjuntos de valores de los parámetros del problema. Naturalmente, este proceso de "tanteo" no asegura la obtención de

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™"

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valores óptimos para dichos parámetros, sino más bien, termina una vez que el analista considera que se han determinado "buenos" valores, que permiten replicar de una manera aceptable los flujos observados. Con el objeto de obviar las limitaciones anteriores, se ha desarrollado una nueva metodología de calibración de redes de transporte público, que presenta dos cambios fundamentales respecto a la usada hasta ahora en Santiago. Dado que para el año de aplicación de esta metodología de calibración (1991) se cuenta con una encuesta origen-destino de viajes a partir de la que se han estimado matrices aceptables de viajes por modo, estas matrices son consideradas como la realidad observada. La ventaja de este enfoque radica en que la matriz observada es obtenida de una forma absolutamente independiente de la red que se desea calibrar. Si bien esto lleva a la obtención de peores ajustes que los obtenidos mediante el procedimiento anterior, las redes resultantes son mejores para fines de predicción puesto que el modelo no es forzado a replicar los conteos, como sucede con el procedimiento basado en la estimación de matrices. La segunda modificación importante al procedimiento de calibración consiste en reemplazar la etapa de "tanteo" para los parámetros de la red por el uso del algontmo propuesto por Hooke y Jeeves (1961). El contenido de este artículo ha sido organizado como sigue. Luego de esta breve introducción, en la sección 2 se describe someramente el modelo de asignación que se desea calibrar. En la secciones 3 y 4 se formula el problema de calibración como un problema de optimización con función objetivo no explícita, y se explica como puede resolverse usando el algoritmo de Hooke y Jeeves. A continuación, en la sección 5 se reporta una aplicación del método para el caso de la red de buses de Santiago. Finalmente, en la sección 6, se presentan algunos comentarios y conclusiones.

2. BREVE DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE ASIGNACIÓN DE VIAJES 2.1 Supuestos Básicos El modelo de equilibrio propuesto considera una red G( N, S), en la que N representa la unión de los conjuntos de centroides (N')y nodos ruteadores (N" ) y S la unión de los conjuntos de arcos de acceso ( S ' ) y arcos de transporte público (S" ) que contienen conjuntos de "líneas atractivas" para viajar entre determinados pares de nodos ruteadores. Si para viajar entre dos nodos de A/' existen líneas "rápidas" y líneas "lentas" (definidas en términos de su tiempo de viaje en vehículo) dan origen a arcos paralelos de transporte público. El primero de ellos contendrá a las líneas "rápidas" en tanto los restantes contendrán subconjuntos disjuntos de las líneas "lentas". En general, sobre una red del tipo G{N,S) existirán muchas secuencias alternativas de arcos (rutas) para viajar entre un par de centroides determinado. El modelo propuesto supone que los viajeros seleccionan aquella ruta que minimiza su tiempo (costo o costo generalizado) de viaje. Dado que se considera que el sistema tiene capacidad limitada, al aumentar el flujo de pasajeros aumentará el tiempo de viaje, debido al aumento de los tiempos de espera en los paraderos. Así, cuando algunos caminos o rutas se congestionan los pasajeros considerarán otras rutas para realizar su viaje y el

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número de alternativas crecerá al crecer la congestión. Para mayores detalles referentes a las suposiciones básicas de este modelo se sugiere ver De Cea y Fernández (1993). 2.2 Notación

El modelo de equilibrio propuesto usa una red G( /v, S), ya definida, y la siguiente notación básica: Conjunto de pares origen-destino O-D de la red (pares de elementos de N'). Elemento del conjunto W. Conjunto de rutas en G, disponibles para los viajeros. Conjunto de rutas asociado al par O-D w. Un elemento de R Demanda fija de transporte público entre el par O-D w . Conjunto de líneas asociadas al arco s,V se S'. Flujo de pasajeros sobre el arco s, V s e S Rujo de pasajeros sobre la ruta r . Vector de flujos en las rutas de la red G(N,S). Costo de viaje experimentado por los usuarios de la ruta r . Función de costo de viaje asociada al arco s. Costo de viaje en vehículo (no se considera la espera) para el arco s. Vector de funciones de costo en los arcos de la red G (N, S). Vector de costos en las rutas de la red G (N, S). elemento de la matriz de incidencia arco-ruta para transporte privado: toma el valor 1 si el arco s pertenece a la ruta r y 0 si no. Nodo origen del arco s. Para las líneas de transporte público se usará, además, la nomenclatura siguiente: Flujo de pasajeros en la línea /, sobre el arco s e S" . Frecuencia de la línea /. Capacidad práctica de la línea I. Frecuencia total del arco s e S" Capacidad práctica del arco S e S " . Frecuencia efectiva de la línea / en el nodo / (s) ,• s:¡e S".. Frecuencia efectiva total del arco s <= S" . Tiempo de espera asociado al arco s e S" . Tiempo de espera asociado al arco S £ S " (caso sin congestión).

-•-i-i,--:.; «o; -e ¡nuq. £ Í«;- <;QU>--«¡\> ; ; H ' i b oimanís ¡e Ú¡,.->.

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2.3 Funciones de Costo El modelo supone que los viajeros esperan "un arco de transporte público" (conjunto de líneas atractivas) en lugar de una línea específica. En general el tiempo de espera experimentado por un pasajero que desea utilizar el arco s (un vehículo de las líneas que pertenecen a él) en su nodo origen i(s) dependerá de: i) el flujo total de pasajeros que desean utilizar el arco s, ü) el flujo total de pasajeros que desean utilizar otros arcos con nodo inicial / (s), que contienen líneas pertenecientes a s , y iii) el flujo de pasajeros que suben a todas las líneas pertenecientes al arco s en un nodo anterior a i(s) y bajan en un nodo posterior a / (s). Si se denota por Vs a la suma de los flujos (ii) e (iii), el costo de viaje para un arco de transporte público puede ser expresado de la siguiente forma:

(1) donde represalia el costo de viaje en vehículo son parámetros de más la tarifa y donde ts representa el costo de viaje en vehículo (c s ) más la tarifa y a , / ? y n son parámetros de calibración de la función de tiempo de espera, proceso exógeno al que nos ocupa. Para los arcos de acceso (s é S) el costo cs es constante. Es evidente que el Jacobiano del vector de funciones de costo, J(c), es asimétrico. 2.4 Formulación Matemática •

•

•

Si se supone que los usuarios de la red G(N, S) se comportan de acuerdo al primer principio de Wardrop, un vector factible de flujos en las rutas será de equilibrio si y sólo si satisface las siguientes condiciones:

(2)

donde uw es el costo de equilibrio de todas las rutas usadas que conectan el par w. Estas condiciones de equilibrio son equivalentes al siguiente problema variacional: (3) donde C es el vector de flujos en las rutas, H * es un vector de flujos de equilibrio en las rutas, H un vector factible de flujos en las rutas y Cl es el conjunto que contiene todos los vectores factibles de flujos en las rutas, definido por las siguientes restricciones:

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mm

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(4)

(6) (7) Las restricciones (4), (5) y (7) son las restricciones clásicas de los problemas de equilibno en redes, en tanto las restricciones (6) representan la repartición de los flujos en los arcos de transporte público(\/ ) entre las secciones de línea que pertenecen a ellos. Normalmente, para los modelos sin congestión, el flujo total sobre un arco es distribuido entre las líneas que pertenecen a él, proporcionalmente a sus frecuencias nominales (Chriqui, 1974). Cuando existe congestión, sin embargo, una fracción de los vehículos que lleguen a i(s) estarán llenos y los viajeros que deberían subir a ellos no podrán hacerlo. Para representar este fenómeno se ha introducido el concepto de "frecuencia efectiva", que en general es una función del vector de flujos en los arcos V (ver De Cea y Fernández, 1993). Así, cuando hay congestión, los flujos V* se deberían distribuir entre las líneas correspondientes, proporcionalmente a sus frecuencias efectivas. El problema (3) puede formularse también en términos del vector de flujos en los arcos, de la siguiente manera:

(8) La principal dificultad para resolver el problema (8) radica justamente en las restricciones no lineales (6). Con el objeto de resolver el problema se propone un modelo simplificado en el cual las restricciones (6) son reemplazadas por las siguientes restricciones lineales: (9) En esta formulación simplificada, el flujo V* es repartido entre las líneas pertenecientes al arco de transporte público s, proporcionalmente a las frecuencias nominales de las líneas que lo componen. De esta forma, el efecto de congestión es considerado para obtener un equilibrio sobre la red G(N,S). Sin embargo, la distribución de los flujos V* entre sus correspondientes líneas es independiente del nivel de uso de la red. Así, reemplazando el conjunto original r> por D. (cambiando las restncciones (6) por las restricciones lineales (9)) el problema (8) se transforma en:

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(10)

De acuerdo a lo señalado, una ruta cualquiera p tendrá un costo: (11)

y estará formada por arcos de acceso (al inicio y final del viaje) con un tiempo de caminata asoaado (TCAM ), arcos de transbordo con una penalidad asociada (TTRAN), y arcos de viaje en transporte público, con elementos de costo como los de la ecuación (1): tarifa (TAR), tiempo de viaje en vehículo (TVIA ) y tiempo de espera (TESP). El costo generalizado de viaje sobre la ruta p, CGEN ( p ) , corresponde a la suma ponderada de sus diferentes elementos de costo. Así,

CGEN(p) = xl • TCAM(p) + x2 • TTRAN(p) + x} • TAR(p) + TVIA(p) + x4 • TESP(p)

(12)

donde x, a x4 son los parámetros de calibración del modelo de asignación (arbitrariamente se ha ha definido igual a 1,0 el ponderador del tiempo de viaje).

3. EL PROBLEMA DE CALIBRACIÓN DE UN MODELO DE ASIGNACIÓN DE VIAJES A REDES DE TRANSPORTE PUBLICO Considérese ahora una red de servicios de transporte público que operan sobre una red vial G = (N,A) donde N representa el conjunto de centroides y nodos ruteadores ya definidos y A un conjunto de arcos (calles). Sea Ac el conjunto de arcos de la red vial sobre los que existen conteos observados de pasajeros de buses. Sean además f° el flujo de pasajeros de buses observado en el arco a y fa el flujo modelado de pasajeros de buses en el arco a . El flujo modelado sobre un arco es el resultado de la asignación de equilibrio (óptimo de usuarios) de la matnz observada de viajes sobre la red de servicios de transporte público (buses en este caso). Está implícito que los atributos de los arcos de la red de servicios, con la excepción del tiempo de espera, son constantes e independientes de los flujos que existan sobre ella. De esta forma, dados los tiempos de espera (función de los flujos de pasajeros, cuyos parámetros han sido calibrados con anterioridad a la calibración del modelo de asignación), los tiempos de viaje en vehículo (que están determinados por las condiciones de equilibrio de la red vial), los tiempos de caminata y las tanfas (costos de viaje), las únicas "variables de ajuste" para intentar reproducir los conteos observados al asignar la matriz de viajes son los parámetros de la función de costo generalizado de viaje Así, si se define el vector de parámetros de calibración X = (x,, x2, , x n ), se puede representar el flujo modelado sobre un arco a como función del vector de parámetros X, lo que se debe interpretar como que el flujo modelado (asignado) de pasajeros sobre el arco a depende de los valores de los

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parámetros de calibración. De esta forma, dado un conjunto de parámetros, la asignación de la matriz de viajes observados sobre la red produce como resultado los flujos modelados fa. El problema de calibración del modelo de asignación puede formularse como se muestra en el problema Pl:

(Pl) (13) s.a. (14) (15) 4. APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE HOOKE Y JEEVES La metodología de calibración propuesta se basa en la aplicación del algoritmo de Hooke y Jeeves para determinar valores óptimos de los parámetros de calibración de las redes de transporte público. Esto es, para determinar los valores del vector X=(xvx2 x 3 ), que es la solución del problema de optimización (Pl) anterior. Dicho algoritmo es un procedimiento iterativo usado para resolver problemas de optimización con función objetivo no convexa y sin expresión explícita para sus derivadas respecto de las variables de decisión del problema. Sí se requiere que la función objetivo sea cxjntinua y evaluable para cualquier valor factible de las variables. El algoritmo consiste en la repetición de dos etapas: a) "Búsqueda Exploratoria" a través de cada una de las coordenadas del espacio de soluciones, con el objeto de encontrar una buena dirección local de descenso (reducción del valor de la función objetivo). La búsqueda se efectúa variando el valor de cada coordenada en una cantidad preestablecida S y evaluando la función objetivo en cada punto así determinado. Si la búsqueda desde un determinado punto no tiene éxito, se reduce el valor de ó en una cantidad pre-definida. b) "Patrón de Movimiento", que consiste en avanzar según la dirección determinada en la etapa anterior. La longitud del avance está dada por la distancia entre los puntos que definieron la dirección, multiplicada por un parámetro a . La convergencia global del algoritmo no está asegurada a menos que la función objetiva sea estrictamente convexa, lo que no ocurre en este caso. Así, el algoritmo puede encontrar como solución un óptimo local. Sin embargo puede trabajar con cualquier función continua, por extraña que sea su forma. Con el objeto de aumentar las posibilidades de salir de óptimos locales se deben

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probar distintos valores de los parámetro a y 8 • También se suele trabajar repitiendo la aplicación del algontmo a partir de distintos puntos (soluciones iniciales factibles), escogidos en forma aleatoria. En las figuras 1 y 2 se describe en detalle el método, en términos del diagrama de flujos de la implementación computacional del algoritmo. La figura 1 describe el procedimiento general, en tanto la figura 2 presenta un detalle de la etapa de búsqueda exploratona. En el caso de la aplicación del algoritmo al problema de calibración de una red de transporte público, las coordenadas del espacio de soluciones (variables de decisión del problema de optimización) son los parámetros de calibración. Debe notarse que aunque la función de costo generalizado de viaje es la suma de los tiempos de viaje en vehículo, tiempos de espera, de caminata y costo de viaje o tarifa, multiplicados por los factores de calibración, no se considera entre los parámetros a calibrar un factor para el tiempo de viaje en vehículo. Esto, porque normalmente es necesario expresar todos los términos de la función de costo generalizado de viaje en relación a uno de ellos, elegido arbitranamente. En este caso se ha elegido el tiempo de viaje en vehículo como término de referencia. Finalmente, es importante mencionar que la implementación del método de calibración utiliza el modelo de asignación a redes de transporte público ARTP (ver De Cea y Fernández, 1989), en el contexto de un algoritmo de diagonalización que resuelve el problema de asignación de equilibrio. Debe recordarse que cada vez que el algontmo de calibración requiere evaluar la función objetivo necesita conocer los flujos modelados y éstos sólo pueden ser determinados asignando la matnz observada de viajes sobre la red, considerando los últimos valores de los parámetros de calibración.

5. PRUEBA DEL MÉTODO DE CALIBRACIÓN: UNA APLICACIÓN PARA LA RED DE BUSES DE SANTIAGO El procedimiento de calibración descrito ha sido aplicado en el contexto del estudio "Análisis y Recalibración de los Modelos de ESTRAUS" (Fernández y De Cea, 1994), realizado para SECTRA. Dado que el modelo ESTRAUS no tiene implementado aun un modelo de asignación de equilibrio en redes de transporte público, la aplicación que se reporta consistió en la calibración de un modelo de asignación a rutas mínimas. La información básica utilizada para la calibración de la red de buses de Santiago está constituida por la matnz observada de viajes (que incluye los viajes del modo bus más las etapas de viaje en bus de los modos combinados metro-bus y taxicolectivo-bus), el conjunto de conteos de pasajeros en buses para un determinado conjunto de arcos de la red vial, la red de buses (trazados de las líneas de buses sobre la red vial y sus características de operación, arcos de acceso y arcos de transbordo) y los tiempos de equilibrio sobre los arcos de la red vial, a partir de los cuales se obtienen los tiempos de viaje en bus. Todos los datos menaonados están dados para el año de calibración (1991) que corresponde al año de realización de la última encuesta origen-destino de viajes realizada en Santiago. Las pnncipales dimensiones del problema de calibración que se reporta en este artículo son

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las siguientes: 535 zonas, 3895 arcos, 1574 nodos ruteadores, 794 líneas unidireccionales, 1060 arcos de acceso y 326 arcos viales con conteos. Con el objeto de probar el método de calibración propuesto se ha realizado una prueba para la red de buses. Se calibraron los ponderadores del tiempo de caminata, tiempo de espera, y el factor de conversión de unidades monetarias a unidades de tiempo. Los valores iniciales de dichos factores fueron 16,00; 8,00 y 15,00 respectivamente. Los parámetros propios del algontmo, a y 8 , fueron los siguientes: 8 parámetro 1 = 1,00; 8 parámetro 2= 0,50; 8 parámetro 3 = 0,60; a = 2,00. En las tablas 1 y 2 se presentan los principales resultados del algoritmo de Hooke y Jeeves para la aplicación reportada. En la tabla 1 se muestra la evolución de la función objetivo y del coeficiente de correlación (al cuadrado) entre flujos observados y modelados. Se realizó un número fijo de 10 iteraciones y en los casos en que no aparecen datos significa que en esa iteración no se obtuvo mejora de la función objetivo y, por lo tanto, no se obtuvo un mejor punto base que el que se tenía hasta ese momento. En la tabla 2 se entrega la evolución de los valores de los parámetros de calibración en las diferentes iteraciones del algoritmo. Como se puede apreciar en ella el mejor punto obtenido corresponde a valores del factor de conversión de pesos a minutos, el ponderador del tiempo de caminata y el ponderador del tiempo de espera de 1,00; 2,85 y 1,00 respectivamente.

Tabla 1 Aplicación del Método de H-J a la Calibración de la Red de Buses de Santiago; Período Punta Mañana, Corrida 1 Variación de la Función Objetivo y r 2

ITERACIÓN

F. OBJETIVO

Inicialización

7,897 x 109

r 0,7157

1

7,828 x 109

0,7141

2

9

0,7203

9

0,7447

9

4,317 x 10

0,7729

4,312 x 10

0,7732

3 4

7,388 x 10 6,058 x 10

5 6 7

9

4,304 x 10

0,7736

8 9 10

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Tabla 2 Aplicación del Método de H-J a la Calibración de la Red de Bnses de Santiago; Período Punta Mañana, Corrida 1 Variación de los Valores de los Parámetros Calibrados ITERACIÓN

FACTOR

S/MIN.

PONDERADOR TPO.CAMINATA

PONDERADOR TPO. ESPERA

Inicialización

16.00

8.00

15.00

1

15.00

7.50

14.40

2

12.00

6.00

12.60

3

5.00

3.50

8.40

4

1.00

1.50

1.00

6

1.00

1.95

1.00

7

1.00

2.85

1.00

5

8 9 10

Con el objeto de chequear que los parámetros obtenidos permiten obtener tiempos modelados de viaje razonablemente similares a los observados (respuestas de la encuesta ongen-destino), se comparó el histograma de la distribución de tiempos en ambos casos. Esta comparación se muestra en la tabla 3 y en la figura 3. Los valores promedio de dichos tiempos de viaje son de 41 minutos según información de la encuesta y de 40 minutos según resultados de la asignaaon (debe recordarse que los tiempos de viaje en bus para un arco determinado corresponden al tiempo de viaje en auto, obtenido de la calibración de la red vial, multiplicado por un factor dado para cada tipo de arco).

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Tabla 3 Histograma Agregado de Tiempos de Viaje Comparación EOD vs Red Modelada

INTERVALO (min) 0,0- 7,5 7,5 - 22,5 22,5 - 37,5 37,5 - 52,5 52,5 - 67,5 67,5 - 82,5 82,5 - 97,5 > 97,5 TOTAL

Pro p% EOD 91 Modelado 0,49% 1,22% 16,64% 28,22% 32,59% 24,87% 22,27% 17,87% 18,21% 12,81% 5,63% 8,47% 2,95% 3,72% 1,22% 2,80% 100,00% 100,00%

6. COMENTARIOS Y CONCLUSIONES

En este trabajo se ha formulado el problema de calibración de una red de transporte público en términos de un problema de optimización y se ha implementado un algoritmo que permite calibrar redes de transporte público en forma sistemática. Si bien, dadas las características de la función objetivo del problema planteado, no está garantizada la obtención del óptimo global (el algoritmo puede llegar a un óptimo local) dependiendo de la forma de aplicación del algoritmo de Hooke y Jeeves (repetir las corridas partiendo de soluciones iniciales muy diferentes y cambiar los valores de los parámetros del algoritmo) es posible aumentar la posibilidad de alcanzarlo. De todas formas, aún obteniéndose un óptimo local, el algoritmo propuesto presenta una indiscutible ventaja respecto de los tradicionales métodos de "tanteo". Respecto a los requerimientos de recursos computacionales del algoritmo (especialmente tiempo de cálculo), es necesario mencionar que es de gran importancia contar con un algoritmo eficiente de asignación de viajes a redes de transporte público, dado que cada vez que se varía alguno de los parámetros de calibración (variables de decisión del problema de calibración) es necesario realizar una asignación para proceder a evaluar la función objetivo. Si se supone que las variables que deben ser explorada son n y que el número de iteraciones del algoritmo de Hooke y Jeeves es N, el número de evaluaciones de la función objetivo (y en consecuencia de asignaciones a la red de transporte público) será, en promedio, N(í, bn + 1). Para una aplicación como la reportada, con tres parámetros de calibración y 10 iteraciones del algoritmo de Hooke y Jeeves se realizaron 69

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asignaciones. El algoritmo ARTP (ver De Cea y Fernández, 1989), para la red utilizada, en un computador DIGITAL DEC ALPHA AXP 3000/400, requiere del orden de 3 minutos de CPU. Así, la coirida completa del algontmo de Hooke y Jeeves requiere del orden de 3,5 horas de CPU. • -' •

REFERENCIAS

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Figura 1: Diagrama de Flujo del Proceso de Calibración

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Figura 2: Diagrama de Flujo del Proceso de Calibración

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