9. Algebra.docx

Formulario de Ciencias

Álgebra

Leyes de Signos Suma o Adición (+) + (+)

(–) + (–) (+) + (–) (–) + (+)

Leyes de Exponentes Potenciación:

Procedimientos

exponente n

b  b  b  b  b  ...  b

Sumar las cantidades (sin signo), al resultado anteponer signo (+) Sumar cantidades y al resultado anteponerle el signo (–) Restar las cantidades (mayor menos menor) al resultado anteponerle el signo de la mayor cantidad.

Donde: b  , n  , n  1 6

2  2  2  2  2  2  2  64 5

4  4  4  4  4  4  1024 1. Producto de las bases iguales m

 #    Par    #    Impar    #    Par    #    Impar  

m

Par

0

 0

a 1

a0

Nota:

0  indeterminado

0

4. Potencia de un Producto

 a  b  n  an  bn

 a,b 

5. Potencia de un Cociente

 ba 

n



n

a n b

b0

6. Exponente Negativo n 1 a  n a0 a

  

    # imag.

Impar

 m,n 

3. Exponente cero

  

Impar

 a

mn a a n a

Radicación Par

m n

2. División de bases iguales

División (+) / (+) = + (–) / (–) = + (+) / (–) = – (–) / (+) = –

Potenciación

n

a a  a

Sustracción Observación: Se suma el minuendo el sustraendo; cambiándole de signo; o también: La sustracción se convierte en adición con solamente cambiarle de signo al sustraendo. Luego se aplica ley de signos de la adición. Multiplicación (+) (+) = (+) (–) (–) = (+) (+) (–)= (–) (–) (+) = (–)

"n" veces

base

  

7. Exponente negativo de una fracción

 ba    ba  n

75

n

 a,b  0

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Álgebra

8. Potencia de potencia

14. Raíz de una potencia o potencia de una raíz

a  m

n

a

mn

n a

n p

 m  m n p  a  a

Nota:  a

m



n

a

. . . p n m

a)

z

b)

m

x

a a

xn

my

a

m

nz

p

a 

q

*

índice

n

a

signo radical

*

exponente

*

m

10. Exponente fraccionario

*

11. Raíz de un producto n : par; n : impar;

ab  a  b a  0b  0 ab

n

a  b

*

n

x

mnp

n

x a

 . . .

y

y

a

b

 . . . y yy y  . . . a ba b

x  xy

x  xb

m

n

 m  n ; a  0,1

m

n

 ab; m0

a

x

a) a  a

n

b) a  b

c) a  x  a  x ; x  0 (No siempre se cumple por ejemplo para el caso de a  1 ) 2

13. Raíz de raíz a 

n

xn a 

16. Ecuaciones Exponenciales

n

a b b  0. Si “n” par a  0  b  0 n. impar, a   b    0

m n p

mn q

a p

a a

n

12. Raíz de un cociente n

 my  n  z  p

a a a

x

m

n

a

n  xn n * x Donde el número de términos debe ser limitado o conocido.

n    Si n es par  a  + a   Si n es impar  a 

n

n

x y z

Observación:

cantidad subradical

a

y

x

Radicación:

n

m

y

c) a  n p 



a

b  a m  b mn

a Nota: Se empieza a trabajar de la parte superior hasta llegar a la base.

a

n



15. Propiedades Auxiliares

n

m

9. Exponentes sucesivos

m n

m

a

d) x e) x 76

x

n

n x

a

n

a

xa

n x 

n

n

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Álgebra

17. Expresiones finitas m

a)

n

n

n

x x x...n x 

La característica principal de estos términos es que se pueden sumar o restar.

m n 1

n

x

n 1

4. Clasificación de las Expresiones Algebraicas

"m" radicales

b) c)

m

m

x

nm

x

n

x

nm

x

n

x ...  n

m 1

x

n

a) Por su número de términos: * Monomios * Polinomios

x  ...n x 

"m" radicales

b) Por su exponente: * Racionales * Irracionales

 m nm 1 n x n 1 " m " impar    nm nm 1  x n 1 " m " par 

5. Grado Algebraicas

18. Expresiones infinitas a) b)

m

n

x 

m

n

x 

m

n

x ... 

m 1

x

n

b) Grado absoluto: Se refiere a todas las variables de la expresión

x

3 9

MONOMIO: Dado 5x y * Gº R  x   3

Polinomios 1. Expresión algebraica Conjunto de letras y números 2 3 4x  5x  4

*

GºR  y   9

*

Gº A  3  9  12

POLINOMIO: Dado: 4 5

signo

Gº:9

3

4 7

7 4

literal

Gº:5

Gº:11

Gº R  x   7 GºR  y   5

* Gº A  11 (término de máximo grado)

parte literal

3. Términos semejantes Poseen la misma parte exponente. 4 7

* *

exponente

5xy

2 3

3x y  7x y  11x y

2. Término algebraico Posee un término racional entero. coeficiente

Expresiones

a) Grado relativo: Se refiere a una variable.

n  1     x  ...     n   Donde x  n n  1 x

de

6. Reglas para determinar el grado en las diferentes operaciones algebraicas

y

4 7

3x y , 3x y ,9x y

77

Formulario de Ciencias Operaciones Adición Sustracción Multiplicación

División

Potenciación

Radicación

Álgebra Por Ruffini:

Grado Resultante Grado mayor de todos los términos Grado mayor de todos los términos Se suman los grados de los factores Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor Se multiplica el grado de la base por el exponente Se divide el grado del radicando entre el índice del radical

P x  x P  2 1 2 1

2

 3x  5 3 5 2 10 5  5   valor numérico

Observación: A los valores que anulan el valor numérico de un polinomio se les denomina raíces del polinomio.

P  x   x  2x  15 P3  0 P  5   0 2

9. Propiedades Sea el polinomio de grado “n”

Importante: Si nos piden “grado” solamente se refiere exclusivamente al G.A.

n

P(x)  a0x  a1x

n1

 a 2x

n 2

 ...  an1x  an

a 0 : Coeficiente principal a n : Término independiente a 0  1: Polinomio mónico

7. Polinomio Es toda expresión algebraica racional entera.

n : Grado del polinomio Si: x  Polinomio de variable real

Polinomios de una Variable Están en función de una sola variable.

Observación: * Suma de coeficientes P(1)   coeficientes P  1      a0  a1  a 2  ...  an

Formas Generales: * Polinomio lineal * Polinomio cuadrático * Polinomio cúbico

* 8. Valor Numérico de un Polinomio Se obtiene asignándole valores arbitrarios a la variable.

Término Independiente P(0) P  0   an

10. Polinomios Especiales

Métodos: Por sustitución:

a) Polinomios Homogéneos Todos sus términos son de igual grado absoluto. Ejemplo:

P  x   x  3x  5 2

8

3 5

8

2 6

5x  2x y  7y  3x y

P  2  2  3  2  5 P 2  5 2

78

Formulario de Ciencias

Álgebra

b) Polinomios Heterogéneos No todos sus términos son de igual grado absoluto. Ejemplo: 3

2 4

9

5x  2x y  7y  3xy

completos en una sola variable. Propiedades: *  de términos = Grado P(x) + 1 * La diferencia de los grados de dos términos consecutivos es igual a 1.

5

c) Polinomio ordenado respecto a una de sus letras Es aquel polinomio cuyos exponentes de la letra elegida aumentan o disminuyen (en forma ordenada). Ejemplo: 2

3

e) Polinomios Idénticos Dos polinomios reducidos son idénticos como los coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales. 2

*

*

f) Polinomio Idénticamente Nulo Un polinomio reducido es idénticamente nulo, cuando los coeficientes de sus términos son nulos o ceros.

Polinomio Ordenado Completo Los exponentes de una de las variables llamada variable ordenatriz están ordenados y completos. Ejemplo: 3 2 3 5x  8x  x  1 2 Polinomio Ordenado Incompleto Los exponentes están ordenados pero incompletos. Ejemplo: 5 3 1 4x  x  x  8 2

2

ax  bx  c  abc0 g) Polinomio Entero en “x” Aquel polinomio que depende únicamente de la variable “x” y sus coeficientes son números enteros. Ejemplo:

P  x   10x  4x  5x  7 5

2



3

2º





0º 1º



4





3º

4º

2

h) Polinomios Equivalentes Se denomina así a aquellos polinomios que teniendo formas distintas, al asignar cantidades iguales a sus variables dan como respuesta igual valor numérico. Ejemplo: 2 2  P  x, y   x  xy  y  x  y   3 3   Q  x, y   x  y

d) Polinomio completo respecto a una de sus letras Es aquel polinomio que tiene todas las potencias de una determinada letra (desde la potencia máxima hasta el cero). Ejemplo:

3x  7  6x  2x  9x

2

ax  bx  c  3x  2x  7 a  3 b  2 c  7

4

2y  7x  8x y  12x  4x y Está ordenado en forma ascendente respecto a x.

respecto a " x "



Asignando valores: x  3 ; y  2 2 2   P  3,2    3  3  2  2   3  2   3 3   Q  3,2   3  2

Nota: Estos polinomios siempre deben ser ordenados, a su vez que únicamente existen polinomios 79

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Álgebra

P  3,2   35   Q  3,2   35

por un Monomio Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

P  x; y    Q  x, y 

A  x,y   2x y  3x y  4x y 3 8 9

12 9

3. Recomendaciones para Multiplicar Polinomios  Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una variable (en forma descendente), en caso falte un término este se completa con un cero.  Se multiplica cada uno de los términos del multiplicando por los del multiplicador y en cada resultado obtenido se desplaza un término, con la intención de que las expresiones aparezcan en forma ordenada, para luego reducir términos semejantes. Ejemplo:

C.P.=1 3

x  2x  3 1º

 P  x  : Polinomio mónico

Multiplicación 1. Multiplicación Es la operación que consiste en hallar una expresión P(x) llamada producto, dadas otras dos denominadas multiplicando A(x) y multiplicador B(x). F x  A  x B x de

10 6

c) Multiplicación de Polinomios Se multiplica cada uno de los términos del multiplicando por los del multiplicador (en caso existan 2 factores), para luego reducir términos semejantes.

3

2. Multiplicación Algebraicas

11 4

AB  12x y  18x y  24x y

P  x   x  2x  3

3º

5

B  x,y   6x y

I) Polinomio Mónico Se denomina así al polinomio entero en “x” y se caracteriza porque su coeficiente principal es igual a la unidad.  Coeficiente del Coeficiente      término de principal    mayor grado Ejemplo:

P x 

2 3

 2x 2  3x  4x 4  5  2x  5x 2  6 

Expresiones

Método Normal

a) Multiplicación de Monomios Se multiplica primero los coeficientes de acuerdo a la ley de signos, luego las partes literales de acuerdo a la teoría de exponentes.

4

3

2

4x  0x  2x  3x  5 2

 5x  2x  6 6

5

4

3

20x  0x  10x  15x  25x

A  x,y,z   3x y z

5

4

3

2

2

 8x  0x  4x  6x  10x

2 2 4

4

3

2

 24x  0x  12x  18x  30

B  x,y,z   5x y z

5 6 8 6

5

4

3

2

20x  8x  34x  11x  7x  28x  30

7 13 12

AB  15x y z

Método de Coeficientes Separados

b) Multiplicación de un Polinomio 80

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Álgebra

Se trabaja solamente con los coeficientes, al final se tiene que completar al resultado la parte literal empezando por la derecha que será el cual corresponderá término independiente. Ejemplo anterior:  4 0 2 3 5  5 2 6

20

20

0 8

 10 0  24

 15  25 4 6 0 12

10 18 30

8

 34

 11

28 30

7

 a  b  3  a 3  b 3  3ab  a  b   a  b  3  a 3  b 3  3ab  a  b  e) Trinomio al cubo:

 a  b  c  3  a 3  b 3  c 3  3a 2b 2

2

2

2

2

3a c  3b a  3b c  3c a  3c b  6abc

 a  b  c  3  a3  b3  c 3 3  a  b   a  c   b  c   a  b  c  3  a3  b3  c 3 3  ab  ac  bc   a  b  c   3abc

4. Productos Notables f) Diferencia de cubos:

a  b   a  b   a  ab  b

a) Binomio al cuadrado:

3

 a  b  2  a 2  2ab  b 2

 a  b  2   a b  2  4ab

3

2

2



2



g) Suma de cubos:

a  b   a  b   a  ab  b 3

2 2 Nota:  a  b    b  a 

3

2

h) Producto de binomios con un término común:

b) Trinomio al cuadrado:

 a  b  c   a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc 2

 x  a   x  b   x 2   a  b  x  ab  x  a   x  b   x 2   a  b  x  ab  x  a  x  b  x  c  

También:

 a  b  c  2  a 2  b 2  c 2  2  ab  ac  bc   a  b  c  2   a  b 2   a  c 2   b  c 2   a2  b2  c 2 

 a  b  c   a  b  c  2ab  2ac  2bc

x   a  b  c  x   ab  ac  bc  x  abc  x  a  x  b  x  c  

 a  b  c  2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc

x   a  b  c  x   ab  ac  bc  x  abc

2

2

2

3

2

3

 a  b  c  2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc

2

2

i) Identidades de Legendre:

 a  b 2   a  b 2  2  a2  b2 

c) Diferencia de cuadrados:

a  b   a  b a  b

 a  b  2   a  b  2  4ab

a  b   a  b

 a  b  3   a  b  3  2a  a 2  3b 2 

2

2

2

2

2

2ab

 a  b  3   a  b  3  2b  b 2  3a 2 

d) Binomio al cubo:

 a  b  4   a  b  4  8ab  a 2  b 2 

 a  b  3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 También: 81

Formulario de Ciencias

Álgebra

j) Identidad de Lagrange:

 ax  by  2   ay  bx  2   a2  b2   x 2  y 2 

k) Identidad de Argand:

 x 2m  xmyn  y 2n  x 2m  xmyn  y 2n   x 4m  x 2my 2n  y 4n

*

Casos Particulares:

 x 2  x  1 x 2  x  1  x 4  x 2  1  x 2n  x n  1 x 2n  x n  1  x 4n  x 2n  1

* *

5. Relaciones Auxiliares a) Identidades Auxiliares:

a  b  c  3abc   a  b  c   a  ab  b  ab  ac  bc  2 2 2 1   a  b  c    a  b    a  c    b  c   2 2 2 2 2 2 2 1 a  b  c  ab  ac  bc    a  b    a  c    b  c   2 3

*

*

3

3

2

2

*

 a  b  c  3  a3  b3  c 3  3  a  b   a  c   b  c 

*

 a  b  4   a  b  4  8ab  a 2  b 2 

6. Igualdades Condicionales Si: a  b  c  0

a  b  c  2  ab  ac  bc  2

2

2

3

3

3

a  b  c  3abc

a  b  c  2a b  a c  b c 4

4

4

2 2

2 2

5

2

2

3

3

3

2 2

2

2

2

c) Si: a  b  c  3abc  abc



2

d) Si: a  b  c  ...  z  0  a  b  c  ...  z  0 e) Si:

a  b  c  5abc  ab  ac  bc  5

2

b) Si: a  b  c  ab  ac  bc  abc

5

 ab  ac  bc  2  a 2b 2  a 2c 2  b 2c 2

n

 a3  b3  c 3   a2  b2  c 2  a5  b5  c 5    5 3 2   

 a5  b5  c 5   a 2  b 2  c 2  a7  b7  c 7    5 2 7   

a  n b  n c  ...  n z  0  a  b  c  ...  z  0 1

f) Si: x  x  a ; se cumple que:  x 2  x 2  a 2  2   3 3 3  x  x  a  3a 2  4 4 2   x  x   a  2  2

7. Implicaciones Notables a) Si: a  b  2  a  b b a 82

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Álgebra

7x

División

6

14x

2



4

x 2

b) División de un Polinomio entre un Monomio Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio dado. Ejemplo:

Es la operación que consiste en hallar dos polinomios q(x) y r(x) llamados cociente y residuo, donde el grado del residuo r(x) deberá ser menor que q(x) o si la división es exacta el r(x)  0; de tal modo que se cumpla:

9

7

12x  18x  54x 6x

1. Algoritmo de la División D x   d x  q x   r  x  La división de polinomios está definida en una sola variable. Donde:

12x 6x

9

4



4

18x 6x

4

7

4



54x 6x

4

4

5

3

 2x  3x  9

c) División de Polinomios Se tiene los siguientes métodos: * Método Clásico * Método de coeficientes separados * Método de coeficientes indeterminados * Método de Horner * Método de Ruffini

2. Tipos de División a) Si: r  x   0 ; (división exacta) D x  q x  d x  b) Si: r  x   0 ; (división inexacta) D x r x  q x   d x  d x 

5. Métodos para la División a) Método Clásico b) Método de los Coeficientes Separados c) Método de Coeficientes Indeterminados d) Método de Horner Se utiliza para dividir polinomios de cualquier grado. Ejemplo:

3. Propiedades a) ºD  º d b) º Q  º D  º d c) º R  º d d) º R  máx   º d  1 e) En el caso de polinomios homogéneos la propiedad (c) no se cumple. f) T.I.  D  T.I.  d T.I.  Q  T.I.  R  Donde: D: dividendo d: divisor Q: cociente R: residuo T.I.: término independiente

5

4

3

2

6x  5x  26x  33x  22x  6 2 2x  3x  1

2

6

3

5 26 9

3

14

21

a) División de Monomios Primero se dividen los coeficientes, luego las partes literales. Ejemplo:

3

83

7

4

6

7

 8 12

1

4. División de Expresiones Algebraicas

33 22

4

14

21 7

7

3 1

Formulario de Ciencias

Álgebra

Nota: El algoritmo de Horner ha sido creado para realizar divisiones de polinomios con una sola variable, en el caso que se tenga divisiones de polinomios con dos variables se considera a una de ellas como variable y a la otra como constante.

transformables a esta. 1ro. Se iguala el divisor a cero, se despeja la variable. 2do. Se reemplaza este valor en el dividendo. Ejemplo: Calcular el resto de dividir:

e) Método de Ruffini Se sugiere utilizarlo para divisores binomio de la forma ax  b .

 x  3 7   x2  x  7   x  2 8

x2

Ejemplo (1) 4

3

Solución: a) Despejando x2 0  x  2

2

2x  5x  5x  3x  10 x2 2 5 5 2 10 2 4 18 26 56 2 9 13 28  66 

b) Sustituyendo 8

7 2 R   2  3    2  2  7   2  2

Q  x   2x  9x  13x  28 R  x   66

R   1   1  4 R4

Ejemplo (2)

7. Criterios de Divisibilidad

3

4

3

7

2

8

2

2x  x  8x  3x  7 2x  3 2x  3  0 2 1 8 3 x 2 3 3 6 2 2 4 2 2 1 2 1

3

7

3

9

a) Un polinomio F(x) es divisible por otro G(x) si existe un polinomio Q(x) tal que: F x   G x  Q x  b) Si un polinomio se anula para x  a Pa  0 , ó entonces dicho polinomio será divisible por  x  a  o lo contiene.

6  2  3

Q  x   x  2x  x  3 R  x   2 3

c) Si un polinomio es divisible separadamente por  x  a  ,  x  b 

2

 x  c  ..., y entonces dicho polinomio será divisible por el producto; también se cumple el proceso inverso.

6. Teorema del Resto o de Descartes Permite calcular el resto, sin necesidad de realizar la operación de división se emplea generalmente para divisores de la forma: ax  b, o expresiones 84

Formulario de Ciencias

Álgebra

d) Si al divisor un polinomio P(x) entre varias expresiones por separado nos da un mismo resto, entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de ellas se obtendrá como resto dicho resto común.

f) Si en una división de polinomios dividimos tanto el dividendo como el divisor por un polinomio de grado no nulo, el cociente no se altera; pero el residuo queda dividido por dicho polinomio.

e) En una división de polinomios si al dividendo y al divisor se le multiplica 8. Cocientes Notables n n por otro de grado nulo, el cociente x a no se altera, pero el residuo queda Forma General: x  a multiplicado por dicho polinomio. Caso o Forma Cociente Notable (C.N.) Residuo n n n1 n 2 n 3 2 n1 Nulo x y x  x y  x y  ...  y  n xy n

x y xy n

x y xy n

x y xy

n

x x

n

x x

n

x

n1

x

n1

x

n 2

n1

x

n1 n1

n 2

n 3 2

n1

yx

n 3 2

n1

n 2

yx

n 3 2

n1

2y si n impar Nulo si n impar

x

n 2

yx

n 3 2

n1

2y sin n par

x

n 2

yx

n 3 2

n1

2y n 

yx

y  ...  y

y  ...  y y  ...  y y  ...  y

y  ...  y

Observaciones:

Nulo sin n par n

n

n

Todos los términos del cociente serán positivos.

a) El cociente es notable sólo cuando el residuo es nulo. b) El cociente tendrá tantos términos como unidades tenga el exponente común de las bases en el numerador. c) El primer término del desarrollo se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor. e) A partir del segundo término los exponentes de la primera base disminuyen de uno en uno, mientras que los de la segunda van aumentando de uno en uno. f) Para los divisores:  Diferencia (x – a):



Suma (x + a): Los términos del cociente serán alternados (positivos de lugar impar y negativos de lugar par).

9. Fórmula del Término General de un Cociente Notable t k   signo  x

n k

a

k 1

Donde: k: Lugar del término que se desea. n: Exponente de “x” y “a”, en el numerador. Signo: Depende del divisor.

85

Formulario de Ciencias *

*

Álgebra

Si el divisor   x  a   todos serán positivos



# factores     1    1    1

k 1

3. Aspa Simple Se emplea para factorizar polinomios de la forma:  Ax 2n  Bx  C P x   2m m n 2n  Ax  Bx y  Cy

Factorización 1. Definición Es el proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en un producto de polinomios primos.

Procedimiento: 1ro. Se adecua la expresión a una de las formas mencionadas.

multiplicación

x  x  2   x  3   x  x  6x 3

2

2do. Se descompone convenientemente los extremos (teniendo cuidado en el juego de signos)

factorización

2. Observaciones: a) Se trabaja generalmente en el conjunto de los números racionales (Q), salvo se indique lo contrario. b) El número de factores primos depende del conjunto numérico en que se trabaje. En el conjunto (Q) el número de factores primos se calcula contando los factores algebraicos.

3ro. Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si este coincide con el término central de la expresión, entonces se concluye que los factores serán las sumas horizontales.

Ax

2m

A1x

Ejemplo:

*



Si el divisor   x  a   signo   1

*



f  x  P x Q x R x

f  x    x  4   2x  1 tiene dos factores primos 4

g  x   3x  4x  3   5  7x  tiene tres factores primos 2

2n n

m n

n

m n

m

C1y  A 2C1x y 

m

C 2 y  A 1C 2 x y

A 2x

3

m n

 Bx y  Cy

m n Bx y

5

4. Aspa Doble Se emplea para factorizar polinomios de la forma:

P  x   AX

c) Si se cambia de signo a un número par de factores, la expresión no se altera. Ejemplo: f  x    x  2   2x  3   3x  4   5  4x  f  x    x  2   3  2x   3x  4   4x  5 

2m

m n

2n

m

n

 Bx y  Oy  Dx  Ey  F

Procedimiento: 1ro. Se adecua el polinomio a la forma general, en caso falte uno o más términos estos se completarán con ceros. 2do. Se toma el primer trinomio de la

d) Si se tiene: 86

Formulario de Ciencias

Álgebra

expresión y se le aplica un aspa simple para comprobar al término en “x” “y”. 2n

los extremos buscando mediante un aspa simple, aproximarse al término central.

n

3ro. Luego a los términos en “ y , y ” y el término independiente “F” se les aplica en aspa simple para comprobar el término en “y”.

3ro. Lo que falta se descompone en la parte central buscando aspas simples a ambos lados.

4to. Posteriormente se aplica un aspa de extremo a extremo para comprobar el término en “x”.

 a1x2n  k1xn  e1  a2x2n  k 2xn  e2 

4to. Los factores se agrupan en forma horizontal.

Ax

4n

5to. Finalmente se determina que los factores serán las sumas horizontales.

a1x

P  x, y   Ax

a 2x

2m

m n

 Bx y  Cy

2n

 Dx

m

n

Ey  F Ax

2m

A1x

m n

 Bx y  Cy

m

C1y

m

Donde:

  

  

n

n

C2y



F2



 Bx

3n

 Cx

2n

k 2x

e1

n

e2

m

n

2n

2n

2n

2n

 kx

2n

Raíz de un Polinomio Dado un polinomio P(x) no constante, “a” es una raíz del polinomio P(x), si y sólo si P(a) = 0.



5. Aspa Doble Especial Se aplica para factorizar polinomios de la forma: 4n

k 1x

 Dx  E

n

6. Divisores Binomiales Se utiliza para factorizar los polinomios en una variable y de grado superior, siempre y cuando admita por lo menos un factor lineal.



P  x,y   A1x  C1y  F1 A 2x  C 2y  F2

P  x   Ax

2n

Falta:  C  a1e 2  a 2e1  x

(II)

n

n

2n

Se tiene (ST):  a1e 2  a 2e1  x

F1

      

m

 Cx

Se debe tener (SDT): Cx

  I  : A x m C y n  A x m C y n  Bx my n 1 2 2 1   n n   II  : C2y  F2   C2y  F1   Ey n    III  : A x m  F   A x m  F   Dx m 1 2 2 1 

Luego:

3n

Lo que falta m

 Dx  Ey  F

(III)

(I)

A 2x

2n

 Bx

Ejemplo: P  x   x  2x  3 2

n

 Dx  E

Observe que: P3  3  23  3  0 2

Procedimiento: 1ro. Se ordena de acuerdo a la forma general, colocando cero en el lugar del término que falta. 2do. Se descompone adecuadamente

Entonces diremos que “3” es una raíz de P(x). Determinación de los posibles ceros 87

Formulario de Ciencias

Álgebra

o raíces racionales (P.C.R.) de un polinomio P(x). Para conocer los posibles ceros racionales de un polinomio P(x) de coeficientes enteros.

P  x   a0 x  a1x n

n1

Son aquellos polinomios que tienen por característica: si una raíz cualquiera es “” la otra necesariamente es “ 1

 /  0; ” los siguiente forma: P1  x   ax  a

 ...  an

a 0  an  0 Se utiliza el siguiente criterio:   Divisores de a n   P.C.R.     Divisores de a   0  

(caso especial)

P3  x   ax  bx  bx  a 3

2

P4  x   ax  bx  cx  bx  a 4

3

2

Importante: Sea P(x) un polinomio de grado impar entonces  x  1 ó  x  1 será uno de sus factores. Procedimiento para factorizar 1ro. Se extrae la parte literal del término central dado lugar a expresiones de la 2 3 forma: x  1 , x  12 , x  13 ,... x x x

Observación Nº 3 Dado un polinomio P(x), el número “b” es un cero de este polinomio, si y sólo si  x  b  será un factor de P(x).

2do. Se hace el cambio de variable 1 con lo cual se logra disminuir el x x grado del polinomio en la mitad.

Procedimiento para factorizar Dado el polinomio: n1

la

P2  x   ax  bx  a

Observación Nº 2 Toda raíz racional de un polinomio pertenece, necesariamente al conjunto de los ceros racionales.

n

tienen

2

Observación Nº 1 Un polinomio tiene factores de primer grado de coeficientes racionales, si y sólo sí, si tiene raíces racionales.

P  x   a0 x  a1x

cuales

MCD y MCM

 ...  an

1. Máximo Común Divisor El M.C.D. de dos o más polinomios, es otra expresión algebraica entera de mayor coeficiente numérico y de mayor grado contenida un número exacto de veces en cada una de las expresiones dadas.

a 0  an  0 de coeficientes racionales, se procede de la siguiente manera: 1ro. Se halla los posibles ceros racionales que nos permiten encontrar la raíz o el cero racional, luego, mediante el teorema del factor.

2. Mínimo Común Múltiplo El M.C.M. de dos o más polinomios, es otra expresión algebraica entera de menor coeficiente que contiene un número entero de veces a las expresiones dadas.

2do. Se hace una división por Ruffini entre el polinomio y el primer factor encontrado, siendo el coeficiente de esta división el otro factor buscado. 7. Polinomios Recíprocos 88

Formulario de Ciencias

Álgebra a) Fracciones Propias Si el grado de N(x) es menor que el grado de D(x). Ejemplo:

3. Reglas para determinar el M.C.D. y M.C.M. a) Por Factorización: 1ro. Se factorizan las expresiones dadas.

F x 

2

x  3x  5 3

x  5x  2

b) Fracciones Impropias Si el grado de N(x) es mayor que el grado de D(x). Ejemplo:

2do. El M.C.D. se determina considerando sólo a los factores comunes y todas las expresiones pero elevados a su menor exponente.

4

x  5x  3 3

x 7

3ro. El M.C.M. se denomina considerando sólo a los factores comunes a todas las expresiones pero elevados a su mayor exponente y luego multiplicado por los no comunes.

c) Fracciones Homogéneas Un grupo de fracciones algebraicas son homogéneas si todas poseen el mismo polinomio denominador. Ejemplo:

b) Por Divisiones Sucesivas: Puede Determinarse sólo el M.C.D. cuando la factorización de los polinomios es muy laboriosa.

3

4

x  5x  3 x  3x  2 y 2 2 x 7 x 7 d) Fracciones Heterogéneas Un grupo de fracciones algebraicas son heterogéneas si todas poseen diferente polinomio denominador. Ejemplo:

4. Propiedades a) El M.C.D. de dos o más expresiones primas entre sí es la unidad y su M.C.M. el producto.

3

b) Sólo para dos expresiones polinomios se cumple que: A  B  M.C.D.  A,B   M.C.M.  A,B 

x  5x  3

o

2

x 5

4

y

x  3x  4 2

x 7

e) Fracciones Equivalentes Son aquellos que admiten el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores atribuido a sus variables, excepto aquellos que hagan cero su denominador. Ejemplo: 6 6   x  1  x  3  x 2  2x  3

Fracciones Algebraicas 1. Fracción Algebraica Es la división indicada de dos polinomios N(x) y D(x), siendo D(x) un polinomio no constante N  x  D(x)  0 ; D x

 x  1,  3 f) Fracciones Complejas o Compuestas

2. Clasificación 89

Formulario de Ciencias

Álgebra

Cuando tienen como numerador y/o denominador otras fracciones algebraicas. Ejemplo: 3x 2 2x 5 x 1   F x  x 3 2x  3 g) Fracciones Irreductibles Aquellas que ya no pueden simplificadas. Ejemplo: 2

2

b) La fracción sea irreductible, caso contrario se realiza dicha simplificación. c) El denominador debe presentar un polinomio que pueda ser factorizado. 5. Casos a) Cuando el denominador presenta factores de primer grado no repetidos de la forma  x  a  , deberá asumirse tantas fracciones parciales de la forma: A como xa factores existan.

ser

2

x y z x5 ; 2x  3 x 3  y 3  z 3

b) Si el denominador contiene factores de primer grado repetidos de la

3. Operaciones con Fracciones

 x  a forma: considerarse “n” parciales de la forma:

n

a) Suma de Fracciones

deberá fracciones

b) Resta de Fracciones A1 A2 An , ,..., x  a  x  a 2  x  a n

c) Multiplicación de Fracciones d) División de Fracciones

c) Si el denominador contiene factores cuadráticos no repetidos de la

e) Simplificación de Fracciones Consiste en transformarla en otra equivalente e irreductible, aplicando los criterios de factorización.

F x 

2

forma: deberá x  bx  c ; considerarse fracciones parciales de Ax  B la forma:

2

x x6

2

x  bx  c

2

x  4x  3  x  2  x  3 F x   x  3   x  1  x  2 F x   x  1

d) Si el denominador contiene factores cuadráticos repetidos de la forma:

 x 2  bx  c n ,

deberá considerarse “n” fracciones parciales de la forma: A1x  B1

4. Descomposición de Fracciones Parciales Para descomponer una fracción en fracciones parciales, se debe cumplir: a) La fracción sea propia; sino lo fuese se efectúa la división.

2

x  bx  c

,

x

A 2x  B 2 2

 bx  c 

2

,...,

x

A nx  Bn 2

 bx  c 

Donde: A1, A 2, A 3,..., A n;B1,B 2,B3,...,Bn 90

n

son

Formulario de Ciencias

Álgebra

coeficientes que se calculan utilizando los criterios de los polinomios idénticos.

n

b

, c

a) Radicales Homogéneos Tiene igual índice

1. Definición n

A  r  r  A ; n

2 5 x , 6 5 3y , 7 5 5z

Donde: n : índice

: A : r :

p / n q/ n n

4. Clasificación de Radicales

Radicación n

p q

a b c a

b) Radicales Semejantes Tiene igual índice y además radicandos iguales. 3 1 26 a  6 a  6 a,m6 a 4 5

signo radical cantidad subradical raíz

2. Signo de una Raíz 5. Leyes

2n

# positivo  

2n

# negativo  # imag.

2n 1

# positivo  

2n1

# negativo  

a)

c)

a) Raíz de un Producto:

ab  n a

n

b

n

a;b

n

a  b

n

a b

y n z  n x yz

e)

n

x

2n

y z  x yn z

h)

b  0 y n 

i)

k)

 a  a Observación: n

a

m



n

nr

a

m



n

a  b  a  b   a  b

2n

n

n

a b

 x  # imaginario

2n 1

n

2

x  R

m

a



 n a

m

 x, si : x  0 2 x  x    x, si : x  0

6. Raíz Cuadrada de un Polinomio Dado un polinomio P(x) de grado para hallar su raíz cuadrada significa determinar otros dos polinomios q(x) y R(x), tal que:

mr

d) Raíz de Raíz m n

x

d)

c) Potencia de una Raíz m

n

x n

j) n



g) a  n b 

b) Raíz de un Cociente: n

1 xn

n

f)



n

x x

a a a

b)

3. Leyes de los Radicales:

n

n

a  mn a donde m, n 

P x R x Donde:

e) Extraer en un Radical 91

q x 

Formulario de Ciencias P x :

Álgebra

  x  y  z  2 xy A B C D     2 xy  2 yz

es el polinomio radicando de grado par es el polinomio raíz

q x  : R x :

es el polinomio residuo

a) Identidad Fundamental Radicación

de

Igualando partes irracionales xyz  A

la

P x   q  x   R x  2

b) Clases de Raíz Cuadrada  Raíz Cuadrada Exacta

P x  q  x  Raíz Cuadrada Inexacta

racionales

e

…(1)

2 xy  B  4xy  B

…(2)

2 xz 

C  4xz  C

…(3)

2 yz  D  4yz  D

…(4)

2



Regla Práctica: Una manera práctica es formando un trinomio cuadrado perfecto en el radicando.

2 P x   q  x   R x 

c) Propiedades  Si el grado de P(x) es “2m”, entonces el grado de q(x) es “m”.  El grado del residuo es menor que el grado de la raíz salvo que el residuo sea nulo.

a  b  c  2 ab  2 ac  2 bc

 a b c 

2

a b c

3ra. Forma: 7. Transformación Dobles en Simples

de

Radicales

A B C D 

AB

1ra. Forma:

AC  2

AB 

y z

Elevando al cuadrado:   x  y  z  2 xy A B C D     2 xz  2 yz

AC 2

Donde: C

x

2

A  B …. (raíz exacta)

Igualando partes irracionales: x  y  z  A … (1)

Regla práctica: Una manera práctica es formando un trinomio cuadrado perfecto en radicando. A  B  2 AB 





A  B

2 xy  B 2 xz 

2

A B x

… (2)

C … (3)

2 yz  D … (4) xyz  A

2da. Forma:

A B C D  Elevando al cuadrado:

racionales

y z

92

… (1)

2 xy  B  4xy  B

… (2)

2 xz   C  4xz  C

… (3)

e

Formulario de Ciencias

2 yz   D  4yz  D

Álgebra … (4)

a  b Factor racionalizante:

4ta Forma: 3

AB  x y

a

Racionalizando:

Debe existir 3

2

C  A  B … (raíz exacta) Donde:



3

4x  3xC  A

m a

2



Racionalización

Racionalizar:

1. Factor racionalizante (F.R.) Expresión irracional que se multiplica a los dos términos de la fracción.

 

2. Primer Caso

A n

a

n

an  m

a

nm



n

a

nm

n

nm

A a  a

nm

3

Racionalizar:

a x

 2

9

m a b ab

7

3 7  4

3



   3 

3

7

7  3

7  3

3

Racionalizar:

9

b

 

Ejemplo:

Ejemplo:

9

a

b

 

Racionalizando:

a

a

4. Tercer Caso C C ó 3 a  3 b 3 a2  3 ab  3 b2 Para ello debemos recordar:  3 3 2 3 3 2 3   a  b  a  ab  b  a  b    3 a  3 b  3 a 2  3 ab  3 b 2  a  b 

m

Factor racionalizante:

n

   b 

Ejemplo:

Consiste en transformar una expresión irracional en otra racional.

A

b

Diferencia de cuadrados

y  x C

n

B



x

7

x

7



a 9

x

a x x

5 4 63 9 3

Si:

2

9

3

3

7

2

4  3 6  3 9  3 2  3 3 2  3 3

factor racionalizante: Racionalizando:

3. Segundo Caso 93

3

23 3

2

Formulario de Ciencias 3

5 2

3

2  3 3 2  3 3

2

3

Álgebra 36!  36  1 2  3  . . . .  36

23 3 23 3

n!  1 2  3 . . .  n  1 n; n 

3 33 2

3. Propiedades a) Los factoriales solo están definidos para números naturales. 2 No existen: 5 ; 3 ; 7

5. Cuarto Caso  n  2  a

n

a  a b o también n1

a

n

n 2

a

n

n1 2

b a

a

n1

b  ...  b

b) El factorial de un número puede expresarse en función del factorial de otro número menor. 9!  9  8  7!  n  5 !   n  5  n  4  n  3 !

En estos casos se aplica cocientes notables.  n n1 n n 2   n a  n b   a  a b    a  b  n an3b2  ...  n bn1   

n!  n  n  1 !

n 

n!  n  n  1  n  2  ! 80!  80  79  78!

 n n1 n n 2   n a  n b   a  a b    a  b  n an3b2  ...  n bn1    n   impar 

4. Cofactorial n!!  n 1 3  5  ...xn   2  4  6  ...xn

 n n1 n n 2   a  b   a  a b    a  b  n an3b2  ...  n bn1    n   par  n

n

 si " n " es impar   si " n " es par 

5. Relación entre Cofactorial y el Factorial a) Si “n” es impar: n! n!!  n1 n  1 2 2 2

Análisis Combinatorio 1. Factorial de un Número Se define como el producto que se obtiene al multiplicar todos los números naturales desde la unidad hasta el número dado.

b) Si “n” es par: n

n!!  2 2

 n2  !

n También:  2n  !!  2  n!

2. Notación n!  n, se lee factorial de “n”

6. Permutaciones Si en cada grupo figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación. pn  n!

También: 4!  4  1 2  3  4  24 94

Formulario de Ciencias

Álgebra a) Regla Práctica

a) Permutaciones con Repeticiones Permutaciones de “n” objetos de los cuales “a” son iguales, “b” son iguales, . . . ., “z” son iguales. n n! Pa,b,c...,z  a  b  c  ...  z

n

n

Cr  n

Cr 

Vr r!

n  n  1  n  2  ...  n   r  1  1 2  3  ...  r " r " factores

b) Permutaciones Circulares sin Repetición Permutaciones de “n” objetos que se disponen en forma circular: Pn c    n  1 !

Ejemplo: * *

7. Variaciones Si en cada grupo figuran sólo algunos de los elementos disponibles, no importando su orden de colocación: n n! Vr   n  r !

*

65 4  20 1 2  3 9 987 65 C4   630 1 2  3  4 12 12  11 10  9  8  7 C6   924 1 2  3  4  5  6 6

C3 

b) Propiedades n

1ro. Cn  1 n

2do. C1  n a) Variaciones con Repeticiones Variaciones con repeticiones de “m” elementos, tomados de “n” en “n”: m

VRn  m

n

3ro. C0  1 4to. Cr  Cnr  comb. complement.  n

n

a  b n n 5to. Si: Ca  Cb   a  b  n n n1 n 6to. Cr   Cr 1 t

8. Combinaciones Si en cada grupo figuran sólo algunos de los elementos disponibles, no importando su orden de colocación y un grupo se diferencie de otro al menos en un elemento. n  n n! Cr      r   n  r  !r!

n

n1

n

7mo. Cr  Cr 1  Cr 1

n n1 8vo. Cr  n Cr nr n n 9no. Cr  n  r  1 Cr 1 r

9. Número Combinatorio  n n  índice superior    Cr r  índice inferior   n  n n! Cr      r   n  r  !r! Donde: n,r 

n

10. Coeficiente Binómico Coeficiente binómico de “n” sobre “r” " r " factores

 n  n  n  1  n  2  ...  n   r  1    1 2  3  ...  r r " r " factores

n  r 

Donde: n  95

; r

Formulario de Ciencias

Álgebra n: exponente del binomio  n  x: primer término a: segundo término

Binomio de Newton 1. Desarrollo del Binomio de Newton

 x  a n  Cn0xn  C1nxn1a  Cn2xn2a2  ...  Cnnan

4. Propiedades del desarrollo del Binomio de Newton a) El número de términos del desarrollo es igual a “ n  1” b) El desarrollo del polinomio se caracteriza por ser completo, ordenando y homogéneo c) Los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales. d) Si el exponente es “par” el desarrollo tendrá un número impar de términos, en el cual el término central presenta exponentes iguales. e) Para hallar un término a partir del final (extremo derecho) se intercambia las bases y aplicamos la fórmula conocida.

También:  n  0

 n  1

 n  2

 n  n

 x  a n    xn    xn1a    xn2a2  ...    an

2. Métodos Prácticos a) Relación Coeficiente Exponente y # de Términos Coeficiente de un   término cualquiera   Exponente de la 1ra base  Coeficiente del   del término anterior  término anterior     # de términos que le preceden

b) Triángulo de Pascal

*

 x  a

0

 x  a 1  x  a

2

 x  a 3  x  a 4  x  a 5

1 1 1 1 1 1



n nk k

t k 1  c k x

a

contado del inicio

1 2 3 4 5

*

1 3 1 6 4 1 10 10 5 1

n nk k

t k 1  c k a

x

contado del final

f) La suma de los coeficientes de

 x  a  n es igual a 2n : n

n

n

n

n

C0  C1  C2  ...  Cn  2

g) La suma de coeficientes de lugar par es igual a la suma de coeficientes de lugar impar, en

3. Cálculo del Término General: n a) Para:  x  a  :

 x  a n :

 n  nk k t k 1    x a k

h) La suma de los exponentes del desarrollo de  x  x

b) Para:  x  a  : k  n  nk k t k 1   1   x a k Donde: k  1 lugar del término que se desea n

a

por:  exp.   a  b i)

b

n ,

está dado   n n  1

2 El coeficiente de valor máximo en el n desarrollo de  x  a  es igual a:

96

Formulario de Ciencias n

Cn 2

Álgebra

“n”  par

1

a n x  1  x 

n

donde:

a 1 x

c) Si se tiene  1  x  y “x” es un valor pequeñísimo se cumple: n

5. Casos Particulares a) Si x  1  Cn  aCn  a 2Cn  a 3Cn   1 2 3   1 a n   0   n n  ...  a Cn 

 1  x  n  1  nx d) El

n

n

n

n

numéricamente

más

grande en:  1  x  Término de orden  r  1 : n

b) Si: x  a  1 n

término

  n 1   r    1 x     r

n

2  C0  C1  C2  C3  ...  Cn 6. Potencia de los Polinomios

Observación: 1ro. Si:  x  1 Aumentando el valor de “r” podemos hacer el factor anterior tan cercano a   x  como queramos. Los términos crecen consecutivamente en tal caso no habrá término máximo.

Fórmula de Leibnitz

 a  b  c  d  ...1 n      m! a b c d ...l  !  !  !... ! Donde , , ... reciben todos los sistemas de valores naturales posibles (enteros positivos) con la condición:        ...    n    , , ,...,    0



2do. Si:  x  1 El factor continúa positivo y decrece hasta que r  n  1; y a partir de este punto se vuelve negativo, pero siempre permanece menor que uno numéricamente, de donde se concluye que habrá un término máximo.

7. Desarrollo del Binomio de Newton para Exponente Negativo y/o Fraccionarios  n  0

 n  1

 n  2

 x  a n    xn    xn1a    xn 2a2  ...  

Números Complejos

Término general:

 n  nk k t k 1    x a k

1. Cantidades Imaginarias Son aquellas que resultan de extraer una raíz de índice par a un número negativo.

Observaciones: n a)    1 0

4  número imaginario 2. Unidad Imaginaria Se define:

b) Si se tiene  x  a  cuando n  N se recomienda colocarlo de la siguiente manera: n

2

1  1  1 

97 1

1

Formulario de Ciencias

Álgebra

(Notación de Gauss) Así tenemos:

a i

 36  6 i

Im

9  3i 19 

Eje imaginario

a 

b) Forma Polar o Trigonométrica

19 i

3. Potencias de la Unidad Imaginaria 1

i i

 a;b   a  bi b z

Re

 0

a

2

i  1 i  i  i   1 i  i 3

2

c) Forma Exponencial: Z  re

2

5

4

6

4

i

i

Z  re  r  Cos   iSen   (fórmula de Euler)

i  i  i   1   1  1 4

Eje real

2

i  i i  i 2

i  i  i  1

d) Forma Factorial z  x  yi  z 

Observación: Las potencias de “i” se repiten cada cuatro veces y pueden tomar uno de los cuatro valores: i,  1, i ó 1

6. Operaciones Si: z1  a  bi

z 2  m  ni 4. Números Complejos Es un par (x;y) ordenado de números reales.  x : Re  z  z   x; y    y : Im  z  Notación de Gauss, si: z  x  yi x  0  y  0 z : # complejo x  0  y  0 z : # real x  0  y  0 z : # imag. puro x  0  y  0 z : # complejo nulo

a) Adición z1  z 2   a  m    b  n  i b) Sustracción z1  z 2   a  m    b  n  i c) Multiplicación z1  z 2   am  bn    an  bm  i d) División z1  am  bn   bm  an    i z 2  m2  n2   m2  n2 

5. Representación Gráfica a) Forma Cartesiana

e) Potenciación Si: z1  a  bi

Eje imaginario

Im

z1   a  b

 a;b  Afijo

2

b

a

2

  2abi

f) Radicación Para este caso se debe plantear y resolver la siguiente ecuación:

Re 0

2

Eje real

98

Formulario de Ciencias n

Álgebra

z1  c  di

Elevando al cuadrado la relación, para eliminar el radical; y formar un sistema de ecuaciones.

i

*

e  Cos   iSen 

*

e

i

b) Fórmulas de Moivre Si: z  r  Cos   iSen  

7. Clasificación a) Complejos Conjugados Si: z  x  yi Entonces su conjugado es: z  x  y¡

 r  Cos   iSen   

Ecuaciones 1. Ecuación Se llama así a una igualdad condicional que se verifica para ciertos valores de su incógnita. La raíz o solución es el conjunto de valores que satisfacen la ecuación.

Im

b r

2. Clases de Ecuación 1ro. Pueden ser ecuaciones algebraicas o trascendentes.

b Re

 a

a) Ecuaciones Algebraicas

 z  a  bi   z  r  Cos   iSen   2

2

 Cos n  iSen n 

   2k  z  n r Cis    n  Donde: K  0,1,2,...  n  1 , lo cual nos da las “n” raíces del complejo.

8. Relación entre la Forma Cartesiana y Polar

a b

n

n

a  c Si: z1  z 2  b  d

r

r

También:

c) Complejos Iguales Sean: z1  a  bi y z 2  c  di

a

n

    2k     2k   n z  n r  Cos    iSen    n   n   

b) Complejos Opuestos Si: z  x  y¡ Entonces su opuesto es: z  x  y¡

0

 Cos   iSen 

*

Pueden ser: Polinomiales 4

(radio vector) *

b (argumento) a Eje polar: viene a ser “x” Polo: es el origen de coordenadas   Arc  Tg

*

3

9. Fórmulas Fundamentales a) Fórmula de Euler

2

5x  3x  4x  2  0 Fraccionarias 3x  4 3  3x  x  3 7  5x Irracionales 3

2  4x  x  1 

3x  5

b) Ecuaciones Trascendentes 99

Formulario de Ciencias

Álgebra

Si al menos una expresión es no algebraica. *

Exponenciales

Despejando: x  

3x  4

*

*

5  2x  7 Trigonométricas  2x  3 Cos    5 Tg3x    Logarítmicas 2x 1 6xLog2  3 3

 a  0 ax  bx  c  0 Para resolver se hace uso de la factorización por el aspa simple. 2

*

a) Fórmula General El conjunto solución de:

 a  0 ax  bx  c  0 Es:   b  b 2  4ac b  b 2  4ac     ;   2a 2a   2

Compatible Determinada Si el número de soluciones es finito  2x  1  3x  4   0  C.S. 

  1 4 ; 2 3

b) Discriminante 2

  b  4ac

Compatible Indeterminada Si el número de soluciones es infinito

 2x 

3 

0

b a

4. Ecuaciones Cuadráticas Son aquellas que se reducen a la forma siguiente:

2do. Por su Conjunto Solución: a) Ecuación Compatible Es toda ecuación que al menos tiene una solución. *

Son aquellas que se reducen a la forma siguiente: ax  b  0

c) Teorema de Cardano – Viete En la ecuación

 a  0 ax  bx  c  0 de raíces x1 y x 2 , se cumple: 2

 log10

b) Ecuación Incompatible Son aquellas que no tienen o no admiten solución. 3 3  7 2x  4 2x  4  absurdo  07 c) Ecuaciones Equivalentes Dos o más ecuaciones son equivalentes, si dependiendo de la misma incógnita o incógnitas admiten las mismas y el mismo número de soluciones. 3. Ecuaciones de Primer Grado

*

*

*

Suma de Raíces b x1  x 2   a Producto de Raíces c x1  x 2  a De la Identidad de Legendre

 x1  x 2  2   x1  x 2  2  4x1  x 2 d) Formar una ecuación cuadrática a partir de las raíces x1 y x 2

100

Formulario de Ciencias

Álgebra

x   x1  x 2  x  x1  x 2  0

f) Método de los Determinantes (Regla de Cramer).

2

5. Ecuación Cúbica Es aquella que se reducen a la siguiente forma:

 a  0 ax  bx  cx  d  0 La cual tiene tres (3) raíces x1  x 2 y 3

2

x 3 . La ecuación factorizada será:

a  x  x1  x  x 2   x  x 3   0

a) Teorema de Cardano – Viete En la ecuación

 a  0 de ax  bx  cx  d  0 raíces x 1, x 2 y x 3 se cumple: Suma de raíces b x1  x 2  x 3  a Suma de productos binarios de las raíces c x1  x 2  x1  x 3  x 2  x 3  a Producto de las raíces d x1  x 2  x 3   a 3

*

*

*

Matrices y Determinantes

2

6. Sistema de Ecuaciones Lineales Se llama así cuando las ecuaciones que la conforman son de primer grado. Se resuelven por los siguientes métodos:

1. Matriz Es un ordenamiento rectangular de elementos tales como números, funciones, etc., dispuestos en filas o columnas.  a11 a12 . . . a1n    a a 22 . . . a 2n  A   21      am1 am2 . . . amn  Esta matriz tiene columnas.

“m” filas

y

“n”

2. Orden de una Matriz En la matriz “A” observamos que hay m filas y n columnas, luego decimos que esta matriz es de orden m  n.

A mn

columna

fila

Ejemplos: 5 3 a) B   1  4  La matriz 2  3  B 23 

7 8  B es

de

orden

de

orden

a) Método de Sustitución b) Método de Igualación c) Método de Reducción d) Método de los Indeterminados e) Método de las Gráficas

Coeficientes

5  3   b) C   1 4    2   La matriz C 3  2  C 32 

es

3. Igualdad de Matrices 101

Formulario de Ciencias

Álgebra

Dos matrices del mismo orden son iguales si todos sus elementos de la misma posición son respectivamente iguales. Para cada i y para cada j Sean: y B   bij  A   aij  mn

mn

A  B  aij  bij

Ejemplos Sean: 5 5 3 3 M   y N    1 4   1 4  Son iguales porque tienen el mismo orden 2  2 y tienen los mismos elementos. 4. Tipos de Matrices Cuadradas a) Matriz Cuadrada Cuando su número de filas es igual a su número de columnas. A mn es cuadrada si m  n Ejemplo: 2 6 A  4 7 b) Matriz Diagonal Cuando los elementos fuera de la diagonal principal son ceros y por lo menos un elemento de la diagonal principal es diferente de cero. 5 0 0    0 3 0   0 0 8 

c) Matriz Escalar Cuando todos los elementos de la diagonal principal son iguales no nulos.

a 0 0 A   0 a 0   0 0 a  d) Matriz Identidad (I) Es una matriz escalar en cuya diagonal sus elementos son “1” (unos). 1 0 0 I   0 1 0   0 0 1 

Recuerde: A  I  A e) Matriz Triangular Superior Cuando los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son ceros. 5 6  3 A   0 7 2   0 0 3  f) Matriz Triangular Inferior Cuando los elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal son ceros.  3 0 0  A   4 7 0   7 2 3  g) Matriz Simétrica Cuando los elementos dispuestos simétricamente a la diagonal principal son iguales.  3 4 7  A   4 5 2   7 2 3  h) Matriz Antisimétrica Cuando los elementos dispuestos simétricamente a la diagonal principal son de signos opuestos.

102

Formulario de Ciencias  3 4 A   4 5  7 2

i)

Álgebra cumplir que:

7 2  3 

*

Matriz Transpuesta  A  Se cambian los elementos de filas a columnas. T

*

5. Tipos de Matrices Rectangulares a) Matriz Rectangular Cuando el número de filas es distinta al número de columnas. 6  3  A 4 5  9 2

7 1 3

2 6  1 

b) Matriz Fila o Vector Fila Cuando está formada por una sola fila. A 1n   a1 a 2 a 3...a n  c) Matriz Columna Cuando está formado por una sola columna.  a1  a   2 A n1   a 3       an  6. Matriz Nula Es aquella matriz cuadrada o rectangular en la cual todos sus elementos son ceros. 0 0 0   0 0 0

  2  1  8  7    3 15      A  B    4  3   10  9     7 19    6  5   12  11  11 23 

b) Sustracción de Matrices 2 8  11 5  A   4 10  y B   9 3   6 12   7 1 

  2  11  8  5    9 3      A  B    4  9   10  3     5 7    6  7   12  1   1 11 c) Multiplicación de Matrices * Multiplicación de un escalar por una matriz. Ejemplo: a b c  Si: A    d e f  5  a 5  b 5  c  5A    5  d 5  e 5  f  *

se

Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna. Si:

7. Operaciones con Matrices a) Adición de Matrices Para sumar matrices

Ambas tienen que ser del mismo orden. El orden resultante será el común a ambas. Ejemplo: 2 8  1 7    A   4 10  y B   3 9   6 12   5 11

debe 103

Formulario de Ciencias

A1n

Álgebra 1 1  3  2 2 A   2  1 4  2

 b1  b   2   a1 a 2 a 3...an ; B n1   b 3       b n 

8. Determinante de una matriz El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada la transforma es un escalar.

Luego: A  B   a1  b1  a2  b2  ...  an  bn 11 A B 

1 3  3  4  2  3  4  4 

Notación: El determinante de una matriz A se representa por A o det  A  .

n

 ak  bk

k 1

*

Multiplicación de dos matrices La multiplicación de una matriz A y otra matriz B existe si y solo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Dado dos matrices y B   b jk  A   aij  mn

np

a11 . Ejemplo: Sea: A   7   A  7 b) Matriz de Orden Dos a12  a Sea: A   11  a a  21 22 

 AB  C   Cik  mp n  AB    aij  b jk    Cik  mp  j1 

d) Potencia de Matrices Sea A una matriz cuadrada de orden k  k   , definimos: ; A0 I;n  0 n A   A ;n  1  A  A  A  A ; n  ; n  2  " n " veces Ejemplo: 1 3 2 Si: A    entonces A es: 2 4 1 3 1 3 2 A     2 4 2 4

a) Matriz de Orden Uno El determinante de una matriz de primer orden, formando por el elemento a11 , al propio elemento

Se define su determinante: A  a11  a 22  a 21  a12 c) Matriz de Orden Tres  a11 a12 a13  Sea : A   a 21 a 22 a 23   a 31 a 32 a 33  Se define su determinante:  a11  a22  a33  a32  a23   a12  a23  a31 A   a21  a33   a13  a21  a32  a31  a22  9. Cálculo de Determinantes a) Regla de Sarrus Se aplica la matriz trasladando las

104

Formulario de Ciencias

Álgebra

dos primeras columnas a la parte final y se aplican multiplicaciones en dirección de las diagonales.

2do. Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden se tendrá. AB  A  B

 a11 a12 a13  Sea : A   a 21 a 22 a 23   a 31 a 32 a 33  Entonces: – – –  a11 a12 a13 a11 a12  A   a 21 a 22 a 23 a 21 a 22   a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 

3ro. Si una matriz cuadrada tiene los elementos de dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales, se dirá que su determinante es cero. 4to. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su determinante solo cambia de signo.

+

+

5to. Dos matrices cuadradas equivalentes por filas o columnas, tienen el mismo determinante cuando a una fila o columna se le suma una cierta cantidad de veces otra fila o columna.

+

 a11  a 22  a 33  a12  a 23  a 31   A   a13  a 21  a 32  a 31  a 22  a13   a a a a a a 33 21 12  32 23 11

b) Regla de la Estrella Se multiplican los elementos siguiendo el esquema.  a11 a12 a13    Sea: A   a 21 a 22 a 23   a 31 a 32 a 33 

a11 a12

a13

a11 a12

n

kA  k A ; k es un escalar.

11. Inversa de una Matriz Sea A una matriz cuadrada de orden n  n . Si existe una matriz cuadrada B de orden n  n tal que: AB  BA  I

 a11  a 22  a 33  a12  a 23  a 31   A   a13  a 21  a 32  a 31  a 22  a13   a a a a a a 33 21 12  32 23 11

10. Propiedades 1ro. Una matriz cuadrada y su transpuesta tienen el mismo determinante.

A  A

siendo A cuadrada

7mo. El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es igual a cero. 8vo. Sea A una matriz de orden n; se cumple:

a13

A  a 21 a 22 a 23  a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33

T

6to. El determinante de una matriz diagonal triangular inferior o triangular superior es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Entonces se dice que B es la matriz inversa de A y se denota por B  A

AA

1

1

 A A 1

Observaciones: 105

1

Formulario de Ciencias * *

*

Álgebra

Si una matriz tiene inversa, entonces esta inversa es única. Si B es la matriz inversa de A entonces también se puede decir que A es la matriz inversa de B. No siempre una matriz cuadrada tiene inversa.

límite superior o supremo. 5. Clases de Intervalos a) Intervalo Abierto Es aquel que está determinado por dos números a y b  a  b  y es el conjunto de todos los números. x  a  x  b

Desigualdades e Inecuaciones

Notación: a;b ó  a;b 

a;b   x 

1. Desigualdad Es una comparación que se establece entre dos números reales “a, b” utilizando los símbolos de la relación de orden, el cual puede ser verdadero o falso. ab ab ab ab 2. Ley de la Tricotomía Dados dos números reales cualquiera “a y b” se cumplirá una y sólo una de las siguientes relaciones. ab  ab  ab



/ a  x  b

b Si: a  b  a;b      b) Intervalo Cerrado Es aquel que si considera a los límites. Notación:  a;b 

 a;b    x  R/a  x  b 

Números positivos  +  



 3 2 1

0

1

2

b

Si: a  b  a;b  a c) Intervalos Semiabiertos Es una combinación de los anteriores, existen los siguientes casos: *

3

a;b  ; x  a;b   a  x  b



Números negativos    *

b

 a;b ; x   a;b  a  x  b





x a

106



x a

4. Intervalo Es aquel conjunto de números reales comprendido entre dos límites; a estos se denomina límite inferior o ínfimo y



x a

3. Recta Numérica Real Es aquella recta geométrica donde a cada uno de sus puntos le corresponde uno y sólo un número real.



x a

b

Formulario de Ciencias

Álgebra

d) Intervalos Infinitos Es aquel que tiene por lo menos como uno de sus extremos a ó  a;    x/x  a



x 

a

 a;    x/x  a



x 

a

;b   x/x  b 

x 

b

ax  b  0 ax  b  0 ax  b  0 ax  b  0 8. Método de Resolución Para resolver de manera práctica una inecuación lineal o de primer grado se sigue: 1ro. Se transponen todos los términos que contienen a la variable “x” al primer miembro y las constantes al segundo miembro. 2do. En la recta numérica identificar el intervalo al cual pertenece la variable. 9. Inecuación Cuadrática Son aquellas que se reducen a una de las formas siguientes: 2

ax  bx  c  0

;b    x/x  b

2

ax  bx  c  0



x 

b

2

ax  bx  c  0

;    x/x   x 



6. Operaciones con Intervalos Sean A y B dos intervalos, se tiene: A  B   x  / x  A  x  B A  B   x  / x  A  x  B

A  B  x 

/ x  A  x  B

C  A  A '   x  '/ x  A A ' : Complem. de A respecto de a A'   A A

2

ax  bx  c  0

C

7. Inecuaciones de Primer Grado Son aquellas que se reducen a:

10. Resolución de Inecuaciones Cuadráticas 1ro. Se recomienda presentar positivo el coeficiente principal y la inecuación debe estar reducida de modo que en el segundo miembro figure el cero. 2do. Factorizar el trinomio, luego igualar cada factor a cero y encontrar los puntos críticos. 3ro. Si no se puede factorizar, se debe resolver como ecuación de segundo grado, encontrando de esta manera los puntos críticos. 4to. Se ubican los puntos críticos en la 107

Formulario de Ciencias

Álgebra

recta numérica. 5to. Se aplica la siguiente regla de signos de derecha a izquierda: +–+–+... 6to. La solución de la inecuación estará expresada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad original es mayor que (>) o mayor o igual que () o por las zonas negativas si el sentido de la desigualdad original es menor que (<) o menor o igual que (). 11. Inecuaciones de Grado Superior Son aquellas cuyo grado es mayor que dos y tienen la siguiente forma: n

a0 x  a1x

n1

 a 2x

n 2

P x  0 Q x  Donde P(x) y Q(x) son polinomios no nulos de coeficientes reales; además ºQ x   1

a) Conjunto de Valores Admisibles P x  0 El C.V.A. de: Q x   Es:

b) Resolución General

P x   0  P x Q x 0  Q x  0  Q x  Para la resolución de este tipo de inecuaciones se recomienda aplicar el método de los puntos críticos.



 ...  an  0

a0  0;a0;a1;a2;..;an   x  : x  x y n  3 2

2

12. Método de los puntos críticos 1ro. Se halla los valores críticos o ceros del polinomio factorizando o resolviendo mediante la ecuación. 2do.

Se

ubica

dichos

valores

r1; r2; r3;...;rn sobre una recta numérica y

se señala los intervalos de variación. 3ro. Se empieza por asignar el signo (+) en el último intervalo en rn,  y luego en los demás intervalos de variación se alterna los signos (–), (+), (–), (+),…, de derecha a izquierda. 4to. La solución de la inecuación polinómica será la unión de los intervalos (+) si ésta es mayor que cero, o unión de los intervalos (–) si ésta es menor que cero. 13. Inecuaciones Fraccionarias Son aquellas que tienen la forma:

  x / Q  x   0

14. Sistema de Inecuaciones Es el conjunto de dos o inecuaciones en una variable.  P1  x   0 ... (1)     P2 x  0 ... (2)  P  x   0 ... (3)  3

más

Sean S1 ; S2 ; S3 las soluciones de (1), (2) y (3). Entonces el conjunto solución será: C.S.  S1  S2  S3 15. Inecuación Irracionales Una inecuación irracional variable tiene la forma: P x  0

en

una

P(x) es una expresión algebraica irracional. Para su resolución se debe utilizar el conjunto de valores admisibles o universo correspondiente a las ecuaciones irracionales.

108

Formulario de Ciencias

Álgebra

x  a  a  0  a  x  a)

Teoremas: a) x, y  ;n 

:

17. Inecuaciones con Valor Absoluto Sea: f  x   g  x 

2n

x  2n y  0  x0  y0 b) x, y 

:

Resolución: 1ro. De la definición g  x   0 de la

x  y; si y sólo si:

x  0 y  0 x  y c)  y  0

cual se obtiene una solución  S1  .

2

x  y  x0  xy

2do. Como f  x  y g  x  son ambos no negativos; luego elevando al cuadrado.

2

16. Valor Absoluto El valor absoluto o magnitud de x  , denotado por x es un número no negativo definido por: si : x  0 x  x  0 si : x  0  si : x  0  x Teorema: a) x  0  x  b) x  0  x  0

f  x

2

x

2



x

d) x  e) x  f) x; y 

  

x  x x  x xy  x y

g) x; y 

; y0

  f  x   g  x     f  x   g  x    0 De

g  x   f  x   g  x  ,

obteniéndose una solución  S 2  .

18. Desigualdades e Inecuaciones Exponenciales Si: b  0 y b  1 , definimos b como potencia del número b, siendo “n” un número real y “b” la base. Teoremas a) Si: b  1, se cumple:  b x  b y  x y  b  b

h) x; y 



2

x y

2

x; y 

xy  x  y j)

donde:

n

2

x x  y y

i)

2 2 2  g  x  f  x  g  x  0

3ro. La solución general: x  S1  S2

c) x 

x  y

2

 xy  xy

b) Si: 0  b  1, se cumple:  b x  b y  x y  b  b

a x  a  a  0   x  a  x  a  x  a  x  a  x  a) 109

 xy  xy

Formulario de Ciencias

Álgebra Observación: Una relación R de A a en A que sea reflexiva, simétrica y transitiva, se llama relación de equivalencia.

Relaciones y Funciones 1. Relación , del conjunto A al Una relación conjunto B, es todo subconjunto del producto cartesiano A x B; es decir, es una relación de: A a B  R  A B

4. Relación de R en R a) Producto Cartesiano de R  R El producto cartesiano de R  R se define: R  R  R    x; y  / x  2

Se denota: R R : A  B o A  B

2. Dominio y Rango de una Relación Sea R una relación a) Dominio Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que forman la relación R y se denota por: Dom (R).

y P1  2;3 

x

b) Rango Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que forman la relación R y se denota por: Ran  R  3. Propiedades de una Relación Binaria Sea A   y R una relación de A en A, es decir R  A  A

P3  4; 3 

P2  3; 2 

c) Dominio y Rango de una Relación de R en R *

Dominio Es el conjunto de valores reales que toma la variable independiente “x” (primera componente). Estos valores por lo general pertenecen a intervalos que son subconjuntos del eje real “x”.

*

Rango Es el conjunto de valores reales que toma la variable dependiente “y” (segunda componente). Estos valores por lo general pertenece a intervalos que son subconjuntos del eje real “y”.

a) Diremos que R es una relación reflexiva:   a;a   R, a  A b) Diremos que R es una relación simétrica:   a;b   R,   b;a   R



y

b) Gráfica de Pares Ordenados Ubiquemos los siguientes puntos: P3  4; 3  P1  2;3  P2  3; 2 

c) Diremos que R es una relación transitiva:   a;b   R   b;c   R   a;c   R

110

Formulario de Ciencias

Álgebra

d) Gráfica de una Relación de R en R Los pasos más importantes son: * Cálculo del dominio * Cálculo del rango * Tabulación 5. Gráfica de Relaciones Notables a) Recta con pendiente e intersección dadas.  Ecuación : y  c   Dominio :  Rango :  c  

y

L

 0,b 

d) Recta Vertical

y

 a,0 

 no está m  definido

x

0

L

m  Tg

c

 Ecuación : y  mx  b   Dominio :  Rango :

x

0  Ecuación : y  c   Dominio :  Rango :  c  

b) Recta con pendiente y punto de paso dadas

y

L P1  h;k  

0

e) Rectas con pendiente positiva

y

x

m4

m2 m1 m  1/2 m  1/4

m  Tg

 Ecuación : y  k  m  x  h    Dominio :  Rango : 

0

f) Rectas con pendiente negativa

c) Recta Horizontal y 111 c

x 0º    90º

L

m  4 m  2 m  1 m   1/2

y

m  1/4

x

Formulario de Ciencias

Álgebra

g) Circunferencia con centro en el origen y

 Ecuación : x 2  y 2  r 2   Dominio :  r;r    Rango :  r;r 

r x

0

y 0

F

 Ecuación : x 2  y 2  r 2   Dominio :  r, r    Rango :  r, r  h) Circunferencia con centro en el punto  h;k 

 Ecuación : y  ax 2  a  0    Dominio :  Rango : ,0  

y P  x, y 

r

k

x

j)

C  h,k 

Parábola con el eje paralelo al eje “x”, con vértice en el origen

y 0

h

x

 Ecuación :  x  h  2   y  k  2  r 2   Dominio :  h  r,h  r    Rango :  k  r,k  r 

i)

0

Parábola con eje paralelo al eje “y” y con vértice en el origen. y 112

F

x

F

Formulario de Ciencias

Álgebra

 Ecuación : x  ay 2  a  0    Dominio :  0;    Rango : y

0

F

2 2  y x  Ecuación : 2  2  1;  b  a  0   b a   Dominio :  a;a   Rango :  b;b  

x

 Ecuación : x  ay 2  a  0    Dominio : ;0    Rango :

m) Hipérbola con eje transverso paralelo al eje "x", con centro en el origen. y L1 L2

k) Elipse con eje mayor paralelo al eje “x” y

a

b

F2

F1

a

a

F1

a

0

F2

x

b

Ecuación: 2 2  y x  Ecuación : 2  2  1;  a  b  0   a b   Dominio :  a;a   Rango :  b;b  

l)

x

2

a

2



2

a  0 1  b  0 b y

2

  Dominio  ; a   a;     Rango 

Elipse con eje mayor paralelo al eje “y” con centro en el origen

b   L1 : y   a x Asíntotas  L 2 : y  b x  a

y b F1 a

a

0 F2

b

x

n) Hipérbola con eje transverso paralelo al eje “y”, con centro en el origen 113

Formulario de Ciencias

Álgebra

y L2

L1

F1 b

x b

 x y a  0 1    a b  b  0   Dominio :  a;a   Rango :  b;b 

F2

2 2  y a  0 x  Ecuación : 2  2  1,  b  0  a b  Dominio : Rango ; b   b;    b   L1 : y   x   a  Asíntotas :   b L 2 : y  x   a 

6. Función Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se llaman función f de A en B a cualquier relación que vincula a cada elemento x  A, le corresponde un único elemento y  B. Se denota:

ñ) Cuadrado con diagonales paralelas a los ejes coordenados, con centro en el origen y c

Condiciones de Existencia y Unicidad Sea: F : A  B

c

c

F B F : A  B o A 

x

*

*

c

 Ecuación : x  y  c   Dominio :  c;c   Rango :  c;c  

que  x;y   F . Expresado así:

c  0

 x; y   F   x;z   F  y  z

o) Rombo con diagonales paralelas a los ejes coordenados, con centro en el origen

y

7. Dominio y Rango de una Función En vista que una función es un tipo especial de correspondencia, las definiciones para el dominio y rango también son válidas para una función. Sea una función:

b a

Existencia Para cada elemento x  A , existe un elemento y  B , tal que  x; y   F. Unicidad Para un elemento x  A, debe haber un solo elemento y  B, tal

a

114

x

Formulario de Ciencias

Álgebra

F : A  B/y  F x 

a) Función Constante

Dom  F    x  A /  x;y   F

y

Ran  F    y  B /  x;y   F

yc c

Además: Dom  F   A  Ran  F   B 8. Función Real de Variable Real Una función F : A  B es una función real en variable real si y sólo A y B son sólo subconjuntos de R, es decir, el dominio y el rango son subconjuntos de los números reales. 9. Representación Gráfica de una Función Dados los conjuntos: A  1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6

0

x m0

 Dom  F     Ran  F    C b) Función Identidad

y

yx

F x  x

B  m ; n ; p ; q ; r 

x

Se define una función F : A  B

F   1;m  ;  2;m  ;  3;p  ;  4;q  ;  5;q   Dom  F     Ran  F  

Diagrama Sagital:

F m

1 2 3 4 5 6

p q

c) Función Valor Absoluto

y

y  II

n

r

A

Dom  F 

B

x

Ran  F 

Propiedad: En el plano cartesiano, una cierta gráfica es la representación de una función si al trazar cualquier recta vertical, ésta debe cortar a lo más en un solo punto.

Donde:  x; x   x

si : x  0 si : x  0

 Dom  F     Ran  F    0, 

10. Funciones Notables d) Función Raíz Cuadrada 115

Formulario de Ciencias f(x) 

Álgebra

x

 Dom  F     Ran  F  

y y

x

g) Función Signo

x

Se define:

si : x  0 1;  sgn  x    0; si : x  0  1; si : x  0   Dom  F    0;     Ran  F    0;  e) Función Potencial Elemental Par

F x  x ; n

yx

n: par

x 

1

y

6

yx

yx

Propiedad: x  x  sgn  x  ; y

x

0

4

1

2

 Dom  F   R   Ran  F    0; 

f) Función Potencial Elemental Impar

F x  x ; n

n: impar

y

yx

7

yx yx

Dom  F    Ran  F    1;0;1

x

0

h) Función Escalón Unitario Se define: si : x  a 1; Ua x     0; si : x  a Propiedades:  U x   Ua x  a    Ua x   U x  a 

y

5

y  Ua x 

3

x

1

yx

x 0

116

a

Formulario de Ciencias

Álgebra

Dom  F    Ran  F   0;1 i)

*

Función de Dirichlet Se define: y

y  D x 

1

nx  x  x 

x

0 1; D x    0;

 x ;  x 1 2x  x  x  2 1 2 3x  x  x   x 3 3 n   n2 x

*

x x

1 2 n 1  x   ...  x  n n n

k) Función Mantisa Se define: F x   man  x   x  x

y



Dom  D    Ran  D   0;1

1  3 2 1

j)

Función Máximo Entero Se define: x  n  n  x  n  1 n  F x   x

1

2 3

x

 Dom  man     Ran  man    0;1

y l)

 3 2 1

1

2

3

x

Función Hiperbólica 1 Se define: f(x)  x y

y

1 x

x

* *

* *

Propiedades: x  : x  x  : x  x  x  1 0 x x 1 x  n  x  n ; n  x  x  x

Dom  F     0  Ran  F     0 11. Función Par 117

Formulario de Ciencias

Álgebra

Una función F, definida por y  F  x   x  Dom  F  Se dice que es par si y sólo si:  Dom  F  es un conjunto Simétrico     F  x  F  x  ; x  Dom  F 

Ejemplo:

B A

12. Función Impar Una función F, definida por y  F  x   x  Dom  F  Se dice que es impar si y sólo si.  Dom  F  es un conjunto Simétrico     F  x  F  x  ; x  Dom  F 

Propiedades:

*

2

b

3

c

4

f  x

x

Ejemplo:

Se dice que es periódica si y sólo si existe un número real “T” no nulo que satisface las siguientes condiciones:  x  Dom  F   x  T  Dom  F     F x  T   F  x  ; T : periodo de F  x 

*

a

y

15. Función Sobreyectiva o Suryectiva Cuando el rango es todo el conjunto de llegada.

13. Función Periódica Una función F, definida por y  F  x   x  Dom  F 

*

1

Si T es el periodo de F  T también es periodo de F, donde:     0 Si p y q son periodo de F  p  q es periodo de F. Si p y q es el periodo de F  p   q es periodo de F, donde: ,   (ambos a la vez no son nulos)

14. Función Univalente o Inyectiva Cuando a cada elemento del primer conjunto (Dominio) le corresponde un solo elemento del segundo conjunto (Rango) es decir se da una correspondencia biunívoca (uno a uno).

A

B

a

2

y

  x

f  x

x

b c

4 x

16. Función Biyectiva Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez; es decir es biunívoca (uno a uno). Ejemplo: A a

B 1

y

f  x

x

b

2

c

3

17. Función Inversa: Dada una función f biyectiva se define como la función inversa de f denotado por f*, como: Si:

118

Formulario de Ciencias

Álgebra

f   x,f  x   / x  Dom f  biyectiva Existe: ¡¡Importante!! Dom f  Rang f   x Rang f  Dom f   y Ejemplo: Si tenemos: f    1;2   2;3   3; 4   4;5 

f

f  g  4    f  5   2

f g  1   f  4    ;4  Dom f  x  Luego:  f ó g     2; 4   0;1  4;2  

Logaritmos

Entonces su función inversa es: 1

f  g  0    f  3   1

  2;1  3;2   4;3   5;4 

18. Función de Funciones Dadas las funciones (g y f): g: A  B  f :B  C Entonces la función composición será:  f ó g : A  C y está determinada por:  f ó g   x   f  g  x  

1. Teorema de Existencia y Unicidad del Logaritmo Dados dos números reales a y b tales que: a  0; a  1 y b  0 Existe un único número real x, que x

cumple: a  b 2. Definición del Logaritmo Dado un número real a  o y a  1, el logaritmo de un número x  0 en la base “a”, es el exponente “y” al que debe elevarse “a”, de manera que se y

a

b  g a 

f  g  a  

cumpla que a  x. Luego se tiene que: y

loga x  y  a  x Dom  f o g 

x  0; a  0; a  1

Ran  f o g 

Ejemplo: Sean las funciones: f    2;0   1; 4   3;1  5;2  y R    2; 1  0;3   1;4   2;0   4;5 

Entonces la función composición será:  f o g   x   f  g  x   f  g  2    f  1  4

f  g  2    f  0    ;0  Dom f  x 

3. Identidad Fundamental de los Logaritmos   x  0 log x a a  x   a  R  1 4. Propiedades sobre Logaritmos a) No existe el logaritmo de los números negativos en el campo de los números reales pero si en el de los complejos. b) La base de un logaritmo debe ser siempre positiva y diferente de la unidad. 119

Formulario de Ciencias

Álgebra

c) Si la base; b  1: logb    logb 0  

 log Nn n  logb N   b n N  logn b 

Si la base; 0  b  1 logb    logb 0   d) Si: b  0  b  1 logb 1  0 e) Si: b  0  b  1 logb b  1 f) Si: N,b  0  b  1 log N

b b N g) Sabiendo que: A  0  B  0 Además b  0  b  1 logb  A  B   logb A  logb B

h) Sabiendo que: A  0  B  0 Además b  0  b  1 A logb  logb A  logb B B i) Sabiendo que: N  0  B  0  n n

logb N  nlogb N Sabiendo que: N  0  b  0  b  1 n    0 1 logb n N  logb N n k) Cambio de Base M, N, a, b  0; a, b  1 loga N logb N  loga b j)

l)

Consecuencia: 1 logb a  loga b Regla de la cadena a,b,c, . . . ,z  0   1 loga b  logb c      log y z  loga z

m) Sabiendo que: N  0  b  0  b  1  n    0

n) Regla del Cambio M, N, b  0, b  1 logb N

M

logb M

N

5. Cologaritmo (Colog) Es el logaritmo de la inversa del número dado. 1 cologb N  logb   logb N N b0 b 1 x0 Observaciones: a) Para expresar un cologaritmo en función de un logaritmo sólo basta con anteponer el signo menos al logaritmo. b) El cologaritmo también conocido como inverso aditivo del logaritmo pues, es la suma del logaritmo de un número con su respectivo cologaritmo (en la misma base) dará como resultado “cero”. 6. Antilogaritmo (Antilog) Se define como la operación inversa a la logaritmación. antilogaritmo

Nb

antilogb x  b

x

b0

b 1

x

x

Propiedades: * antilogb  logb x   x *

logb  antilogb x   x

x0

b0

7. Sistema de Logaritmos 120

b 1

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Álgebra

Cualquier número positivo, diferente de la unidad, puede utilizarse como base de un sistema de logaritmos, por lo tanto, el número de sistemas de logaritmos es ilimitado, los más importantes son: a) Sistema de Logaritmos Vulgares, Decimal o de Briggs. Este sistema tiene como base a 10. Notación: logN  log10 N Se lee: logaritmo decimal de N, no se escribe la base, se sobreentiende que es 10. b) Sistema de Logaritmos Naturales, Neperiano o Hiperbólico. Este sistema tiene como base al número irracional e  2,7182...

Se lee: logaritmo natural de N Observación: La función f  x   e se puede desarrollar mediante la serie de Mac Laurin x

x

 x x x   ...   2! 3! n1 n! 2

3

n

Si: x  1, entonces: 1

e  1 1

 F  x   0 loga F  x   b  b  F  x   a

2do. Caso a  0  a  1, la ecuación:

loga F  x   loga G  x  Se resuelve de la siguiente forma:  F  x   0  G  x   0 : CVA    F x  G  x  3er. Caso a  0  a  1, la ecuación:

loga F  x   loga G  x   b Es equivalente a resolver:  F  x   0  G  x   0 : CVA  b  F  x   G  x   a 4to. Caso La ecuación logarítmica: logG x  F  x   b

Notación: LnN  loge N

e  1 x 

a  0  a  1, la ecuación:

1 1   ...  2,7182... 2! 3!

Es equivalente a resolver:   F  x   0  G  x   0  G  x   1: CVA  b  F  x    G  x   9. Desigualdades Logarítmicas Se caracteriza por tener al menos una incógnita afectada del operador logarítmico. Resolución: 1er. Caso: Cuando a  1

8. Ecuaciones Logarítmicas Es aquélla ecuación trascendente donde, por lo menos, una incógnita está afectada del operador logarítmico. Resolución: 1er. Caso

 x  0 loga x  b   b  x  a

2do. Caso: Cuando a  1 121

Formulario de Ciencias

Álgebra

 x  0 loga x  b   b  x  a

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Definición.Se llama progresión aritmética o por diferencia, a una sucesión de números, en la cual cada término siguiente después del primero, se obtiene sumándole al anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia de la progresión.

3er. Caso: Cuando a  1

 x1  0  loga x1  loga x 2   x 2  0 x  x 2  1

Símbolos: a1  Primer término

4to. Caso: Cuando 0  a  1  x  0 loga x  b   b  x  a

an  Término de lugar “n” ó último término r  Razón o diferencia n  Número de términos S  Suma de términos Notación de una Progresión Aritmética  a1 , a2 , a3 ,   an1,an

5to. Caso: Cuando 0  a  1  x  0 loga x  b   b  x  a

Por definición: an  an1  r De donde:

6to. Caso: Cuando 0  a  1

loga x1  loga x 2

r  an  an1

La razón de una P.A. se obtiene restando de un término cualquiera su inmediato anterior. Si: r  0 , la P.A. es creciente

 x1  0    x2  0 x  x 2  1

Ejemplo 1:  3 , 8 , 13 , 18 , .... ; r  8  3  5  0

Progresiones

Si: r  0 , la P.A. es decreciente

Es un conjunto de números que aparecen ordenados, en forma general una sucesión numérica se escribe así: a1 , a2 , a3 ,   ak ,   El número “ a1 ” se le llama primer término de la sucesión, el número “ a2 ”, segundo término, el número “ a3 ”, tercer término, etc. Generalmente los términos se obtienen unos de otros en virtud de una ley constante.

Ejemplo 2:  7 , 4 , 1 ,  2 , .... ; r  4  7  3  0 La progresión se llama limitada cuando tiene un número finito de términos, llamándose al primer y al último término extremos: Ejemplo 3:

122

 a1 , a2 , a 4 , .... , an

"n" términos

Formulario de Ciencias

Álgebra

La progresión se llama ilimitada cuando tiene infinitos términos: Ejemplo 4:  a1 , a2 , a3 , a4 , .....

2. En una P.A. la suma de dos términos equidistantes de los extremos es constante e igual a la suma de los extremos: En efecto, sea la P.A. de razón “r”:

Propiedades: 1. En una P.A. un término cualquiera es igual al primer término más tantas veces la razón como términos le preceden.

an  a1   n  1 r

 a1 , a2 , a 4 , .... , an

Por definición se tiene: a1  a1 a 2  a1  r  a3  a 2  r   ....................    n  1 Tér minos ....................  an1  an 2  r  an  an1  r 

x  a1  kr

Tér mino central

 a1 , ..... , b , x , c , ..... , an  k  1 tér minos

En la progresión:

 k  1 tér minos

x  a1  kr

x  an  kr Sumando miembro a miembro: También:

y

La formula  1 está en función de cuatro variables: an , a1 , n , r, Se puede hallar una de ellas cuando se conozcan los valores de las otras tres. De  1 despejando: Primer término:

2x  a1  an 

a  an x 1 2

4. La suma de los términos de una P.A. limitada es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por el número de términos:  a  an   n    2 S 1 2 En efecto, sea la P.A.  a1 , a2 , a3 , ...... , an1 , an

a  a1 r n n1

Número de términos:

 k+1 términos

3. En una P.A. de un número impar de términos, el término central es igual a la semisuma de los extremos:

"n" términos

Razón:

 k 1 términos

y  an  kr Sumando miembro a miembro: x  y  a1  an

En efecto, sea la P.A.

a1  an   n  1 r

a1 ,....., b , x , ..... y , c , ..... , an

En la progresión:

    1

Sumando miembro a miembro simplificando: an  a1   n  1 r

tér minos equis tan tes de los extremos

"n" términos

a  a1 n n 1 r

La suma de sus términos es: S  a1  a2  ....  an1  an

123

Formulario de Ciencias

Álgebra

     También: S  an  an1  ......  a2  a1      

Para lo cual se debe calcular la razón. De: an  a1   n  1 r

Sumando        : "n" veces

a  a1 r n n 1

2S   a1  an    a2  an1   ......   a2  an1    a1  an 

Cada uno de los “n” paréntesis por ser la suma de dos términos equidistantes de los extremos, valen:  a1  a n  , luego: 2S   a1  an  n S

 a1  an   n

… (3) 2 Generalmente el último término no se da como dato, luego reemplazando en la última formula: an  a1   n  1 r , se obtiene:

 a  a   n  1 r   n S  1 1 2  2a1   n  1 r   n … (3) S 2 Medios Aritméticos o Medios Diferenciales.- Son los términos de una P.A. comprendido entre sus extremos.

n  m 2 n  1 m  1 a  a1 Luego: r  n m1 Llamada razón de interpolación Pero: y

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Definición.Se llama progresión geométrica o por cociente a una sucesión de números en la cual el primer término es distinto de cero y cada uno de los términos siguientes se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante, distinta de cero, llamada razón de la progresión: Símbolos: t1  Primer termino

t n  Termino de lugar “n” o último termino q  Razón n  Número de términos S  Suma de términos P  Producto de términos

"n" términos  a1 , a2 , a3 , ...... , an1 , an

"m" medios aritméticos

Donde: n  m  2 Interpolar Medios Aritméticos o Diferenciales entre dos Números Dados.- Es formar una P.A. cuyos extremos sean precisamente los números dados. Ej. Interpolar “m” medios aritméticos o diferenciales entre a1 y an . Se debe formar la P.A. "n" términos

 a1 ,

 a1  r 

,

 a1  2r 

, ...... , an

Notación de una Progresión Geométrica:   t1 , t 2 , t 3 , ...... , t n1 , t n Por definición:

De donde:

t n  t n1  q

q

tn t n1

La razón de una P.G. , se obtiene dividiendo un termino cualquiera entre su inmediato anterior.

"m" medios aritméticos

124

Formulario de Ciencias

Álgebra

Si: q  1 , la P.G. es creciente

t1 

Primer termino:

  4 , 20 , 100 , ...... ;

20  51 4 Si: 0  q  1 , la progresión es decreciente.

tn

n 1

q

q

  36 , 12 , 4 , ...... ; q 

12 1  1 36 3

2. En una P.G. el producto de dos términos equivalentes de los extremos es constante e igual al producto de los extremos: En efecto, sea la P.G. de razón “q”:

Si: q  0 , la P.G. es oscilante   6 ,  12 , 24 , ...... ;

q

12  2  0 6

Propiedad: 1. En una P.G. un término cualquiera es igual al primer término multiplicado por la razón elevada al número de términos que le preceden. n1

t n  t1  q

tér minos equidis tan tes de los extremos

  t1 , ...... , a , x , ...... , y , b , ...... , t n  k  1 tér minos

k

x  t1  q

  t1 , t 2 , t 3 , ...... , t n1 , t n "n" términos

tn k

3. En una P.G. de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Por definición se tiene: t1  t1 t 2  t1  q  t3  t2  q   .................    n  1 tér minos .................  t n1  t n 2  q  t n  t n1  q  

n1

 y

q Multiplicando miembro a miembro: x  y  t1  t n

En efecto, sea la P.G.

miembro

 k  1 tér minos

En la progresión:

… (1)

Multiplicando miembro a miembro y simplificando:

t q  n1 n t1

Razón:

Tér min o central

  t1 , ...... , a , x , b , ...... , t n  k  1  términos

En la progresión: a

t n  t1  q La formula  1 está en función de cuatro variables: tn , t1 , q , n , se puede hallar uno de ellos cuando se conozcan los valores de los otros tres. De  1 despejando:

 k  1  términos

k

x  t1  q

t x n k q Multiplicando miembro a miembro:

También:

2 x  t1  t n 

x

t1  t n

4. En una P.G. limitada el producto de sus términos es igual a la raíz cuadrada del producto de sus extremos, elevada al número de términos de la progresión.

125

Formulario de Ciencias P

Álgebra S  q  1  t n  q  t1

 t1  t n  n

t  q  t1 S n q1

En efecto, sea la P.G.   t1 , t 2 , t 3 , ...... , t n 1 , t n

Generalmente el último término no se da como dato, luego reemplazando en la

"n" términos

n1

última formula: t n  t1  q

El producto de sus términos es: … (1) P  t1  t 2      tn1  tn Multiplicando  1   2  :

Cada uno de los “n” paréntesis por ser el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos  t1  t n  . Luego: n



P

 t1  t n  n

5. La suma de los términos de una P.G. limitada es igual al último término, multiplicada por la razón menos el primer término, dividido todo entre la diferencia de la razón y la unidad. t  q  t1 … () S n q1 En efecto, sea la P.G.   t1 , t 2 , t 3 , ...... , t n1 , t n La suma de sus términos es: S  t1  t 2  t 3  ......  tn2  tn1  tn … ()

    

y

n



… (3)

6. El límite de la suma de los términos de una P.G. decreciente ilimitada es igual al primer término dividido entre la diferencia de la unidad y la razón: t LimS  1 ; 1 q Para una P.G. decreciente infinita: 0  q  1 ; n  

Lim S 

t1 1 q

Medios Geométricos o Medios Proporcionales.- Son los términos de una P.G. comprendidos entre sus extremos: "n" términos

  t1 , t 2 , t 3 , ...... , t n1 , t n "m" medios geométricos

Donde: n  m  2

Multiplicando ambos miembros por “q”: qS  qt1  qt 2  qt 3  ......  qt n2  qt n1  qt n Es decir: qS  t 2  t 3  t 4  ......  tn1  tn  qtn … () Restando tendremos:



t  q  t1 t1 q  1 S 1  q1 q1

P   t1  t n  t 2  tn1        t 2  tn1  t1  tn 

2

q1

n

"n" veces

P   t1  t n 

 t1  qn1  q  t1

S

También: P  tn  tn1      t 2  t1 … (2)

, se obtiene:

simplificando

Interpolar Medios Geométricos entre dos Números Dados.- Es formar una P.G. cuyos extremos sean precisamente los números dados. Ej. Interpolar “m” medios geométricos o proporcionales entre t1 y t n Se debe formar la P.G. "n" términos

qS  S  t n  q  t1

126

  t1 ,

 t1  q 

,

 t1  q 2 

, ...... , t n

"m" medios geométricos

x x

Formulario de Ciencias

Álgebra

Para lo cual se debe calcular la razón: De:

n1

t n  t1  q

t q  n1 n t1 Pero: y

n  m 2 n  1 m  1

t Luego: q  m 1 n t1

127