8hk. Coulomb & Medan Listrik.doc

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

BAB VIII 8.1 Pengantar 8.2 Hukum Coulomb 8.3 Medan Listrik Dan Gaya Listrik 8.4 Penghitungan Medan Listrik 8.5 Hukum Gauss 8.1 Pengantar Kita dapat mengatakan apa itu muatan listrik; kita hanya, dapat menjelaskan sifatsifatnya dan perilakunya. Orang Yunani kuno pada tahun 600 SM telah menemukan bahwa bila mereka menggosok amber (semacam resin) dengan wol, maka amber itu dapat menarik benda-benda lain. Sekarang ini kita mengatakan amber itu telah mendapat muatan listrik (electric charge) netto., atau menjadi bermuatan. Kata “listrik (electric)” diturunkan dari kata Yunani electron, yang berarti amber. Bila anda menggosokkan sepatu anda melewati permadani nilon, anda menjadi bermuatan listrik, dan anda dapat memberi muatan sebuah sisir dengan melewatkannya melalui rambut kering. Batang plastik dan bulu (asli atau palsu) sangat baik untuk mendemonstrasikan fenomena elektrostatik, yakni interaksi antara muatan-muatan listrik yang diam (atau hampir diam). Setelah kita memberi muatan setiap batang dengan cara menggosoknya dengan selembar bulu itu, kita mendapatkan bahwa batang-batang itu saling tolakmenolak.Sedangkan batang plastik dan bulu saling tarik-menarik. Eksprimen ini dan banyak eksprimen lainnya yang serupa telah memperlihatkan bahwa ada dua jenis muatan listrik; jenis muatan pada batang dan bulu ini dinamakan sebagai muatan negatif dan muatan positif, oleh Benjamin Franklin (1706-1790) dan nama ini

Fisika Dasar

VIII-1

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

masih digunakan sampai sekarang. Dua muatan positif atau muatan negatif saling tolakmenolak. Sebuah muatan positif dan sebuah muatan negatif saling tarik-menarik. 8.2 Hukum Coulomb Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) mengkaji gaya interaksi partikel-partikel bermuatan secara rinci pada tahun 1784. Dia menggunakan sebuah neraca puntir yang serupa dengan neraca yang digunakan 13 tahun keudian oleh Cavendish untuk mengkaji interaksi gravitasi yang jauh lebih lemah.Untuk muatan-muatan titik (point charge), yakni benda bermuatan yang sangat kecil dibanding dengan dengan jarak r di antara muatan-muatan itu, Coulomb mendapati bahwa gaya listrik itu sebanding dengan 1/r2. Yakni, bila jarak r menjadi dua kali lipat, maka gaya itu berkurang menjadi ¼ dari nilainya semula; bila jarak itu menjadi setengahnya, maka gaya itu bertambah menjadi empat kali nilainya semula. Gaya listirik di antara dua muatan titik bergantung juga pada kuantitas muatan pada setiap benda, yang akan kita nyatakan dengan q atau Q. Untuk menyelidiki ketergantungan Coulomb membagi sebuah muatan kedalam dua bagian yang sama dengan menempatkan sebuah konduktor bila kecil yang bermuatan, bersentuhan dengan sebuah bola yang identik tetapi tidak bermuatan; berdasarkan simetri, muatan itu dibagi secara sama di antara kedua bola itu. Jadi Coulomb dapat memperoleh setengah, seperempat, dan seterusnya, dari muatan yang semula. Dia mendapati bahwa gaya-gaya yang dikerahkan oleh kedua muatan titik q1 dan q2 pada satu sama lain adalah sebanding dengan setiap muatan dan karena itu maka akan sebanding dengan hasil kali q1q2 dari kedua muatan itu. Dengan demikian, Coulomb memperkenalkan apa sekarang yang kita namakan hukum Coulomb (Coulomb law); “Besarnya gaya listrik di antara dua muatan titik berbanding langsung dengan hasil kali muatan-muatan itu dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak di antara muatan-muatan itu”.

Fisika Dasar

VIII-2

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

Dalam suku-suku matematik, besarnya F dari gaya yang dikerahkan oleh masing-masing dari kedua muatan q1 dan q2 (yang berjarak r) terhadap satu sama lain dapat dinyatakan sebagai berikut: F=k

q1 q 2

(8.2)

r2

Di mana k adalah sebuah konstanta kesebandingan yang nilai numeriknya bergantung pada sistem satuan yang digunakan. Garis-garis tegak nilai absolut digunakan dalam persamaan diatas karena muatan q1 dan q2 dapat positif atau negatif, sedangkan besarnya gaya F selalu positif. Arah gaya yang dikerahkan oleh kedua muatan itu pada satu sama lain selalu berada sepanjang garis yang menghubungkan kedua muatan Bila q1 dan q2 mempunyai tanda yang sama, baik keduanya positif maupun keduanya negatif, gaya itu adalah gaya tolak (Gambar 8.2a ),bila muatan-muatan itu mempunyai tanda-tanda yang berlawanan, gaya itu adalah gaya tarik (Gambar 8.2b ).  F2 pada1

+ r q2

+  F1 pada 2

q1 (a)  F2 pada1

r q2

+

 F1 pada 2

(b) Gambar 8.2. (a) Muatan-muatan listrik yang tandanya sama saling tolak-menolak, (b) Muatan-muatan listrik yang tandanya berlawanan saling tarik-menarik

Fisika Dasar

VIII-3

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

Nilai konstanta kesebandingan k dalam hukum Coulomb bergantung pada sistem satuan yang digunakan. Dalam kajian kita mengenai listrik dan kemagnetan, kita akan menggunakan satuan SI secara eksklusif. Satuan listrik SI memasukkan kebanyakan satuan yang sudah dikenal seperti volt, ampere, ohm, watt. Satuan SI dari muatan listrik dinamakan satu coulomb (1C). Dalam satuan SI konstanta k dalam persamaan diatas adalah k = 8,987551787 x 109 N.m2/C2 = 8,988 x 109 N.m2/C2. Dalam SI kita biasanya menuliskan konstanta k dalam persamaan (22-1) sebagai 1/4  0 , dimana  0 (“epsilon nol”) adalah sebuah konstanta lain. Hal ini kelihatannya membuat semuanya lebih rumit, tetapi konstanta itu sesungguhnya menyederhanakan banyak rumus yang akan kita jumpai dalam bab-bab selanjutnya. mulai sekarang, kita biasanya akan menuliskan hukum Coulomb sebagai F=

1

q1 q 2

4 0

r2

(Hukum Coulomb).

(8.3) Konstanta-konstanta dalam persamaan ( 8.3 ) adalah kira-kira  0 = 8,854 x 10-12 C2/N.m2 dan

1 4

0

= k = 8,988 x 109 N.m2/C2.

Dalam contoh-contoh dan soal-soal kita akan sering menggunakan nilai aproksimasi 1 4

0

= 9,0 x 109 N.m2/C2.

Yang berada sekitar 0,1 %dari nilai yang sebenarnya. Hukum Coulomb, seperti yang telah kita nyatakan, hanya menggambarkan interaksi dari dua muatan titik. Eksprimen memperlihatkan bahwa bila dua muatan mengarahkan gaya secara serempak pada sebuah muatan ketiga,maka gaya total yang beraksi pada muatan itu adalah jumlah vektor dari gaya-gaya yang dikerahkan oleh kedua muatan itu secara individu. Sifat penting ini, yang dinamakan prinsip superposisi gaya-gaya (princpile of superposition of forces). Berlaku untuk sebarang banyaknya muatan. Dengan menggunakan prinsip ini, kita dapat menerapkan hukum Coulomb pada sebarang kumpulan muatan.

Fisika Dasar

VIII-4

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

Contoh 1 Muatan-muatan tiga titik ditempatkan pada sumbu –x seperti terlihat pada gambar dibawah ini. berapakah jumlah bersih (netto) gaya yang bekerja pada muatan -5µC yang disebabkan kedua muatan lainnya? Penyelesaian : Berhubung muatan yang bertentangan tanda saling tarik menarik maka gaya-gaya pada muatan -5µC terdapat sesuai gambar. Besaran

F3 dan F8 dinyatakan oleh hokum

Coulumb. 3µC + 20 cm

-5µC -

8µC + 30 cm

x F3

F8

9 2 2 F3 = (9 x 10 N .m / C )

(3 x 10 6 C )(5 x 10 6 C )  3,375 N (0,20 m) 2

9 2 2 F8 = (9 x 10 N .m / C )

(8 x 10 6 C )(5 x 10 6 C )  4,00 N (0,30 m) 2

Perhatikan dua hal mengenai perhitungan: (1) Satuan-satuan (Coulomb dan meter) yang benar, yang harus digunakan. (2) Berhubungan kita ingin hanyalah besaran gayagaya, kita tidak membawa kemana-mana tanda-tanda muatan (yaitu kita gunakan nilai mutlaknya). Arah setiap gaya diberikan oleh gambar, yang kita gambar waktu inspeksi keadaan. Dari gambar, gaya resultan dimuatan pusat adalah: F3 = F8 – F3 = 4,00 N – 3,375 N = 0,625 N Dan searah dengan sumbu +x.

Contoh 2

Fisika Dasar

VIII-5

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

Sebuah partikel

 (alpha) adalah inti atom helium. Partikel itu mepunyai massa m =

6,64 x 10-27 kg dan muatan q = +2e = 3,2 x 10-19 C. Bandingkanlah gaya tolakan listrik di antara dua partikel

 denga gaya tarikan gravitasi di antaranya.

Penyelesaian : Besarnya gaya listrik Fe diberikan oleh persamaan (8.3), Fe =

1 4

0

q2 r2

Dan besarnya gaya gravitasi Fg diberika oleh persamaan sebelumnya yakni, Fg = G

m2 r2

Untuk membandingkan besarnya kedua gaya ini, kita menyusun rasionya: Fe 1 (3,2  10 19 C ) 2 9,0  10 9 N . m 2 C 2 q2 = = 4 0 G m 2 Fg 6,67  10 11 N . m 2 kg 2 (6,67  10  27 kg ) 2

= 3,1 x 1035 Bilangan besar yang mengherankan ini memperlihatkan bahwa gaya gravitasi dalam situasi ini sepenuhnya dapat diabaikan dibandingkan dengan gaya listrik ini selalu benar untuk interaksi partikel atomik dan partikel subtomik. (Perhatikan bahwa hasil ini tidak

 itu). Tetapi didalam benda yang

bergantung pada jarak r diantara kedua partikel

berukuran besar manusia atau planet, muatan positif dan muatan negatif hampir sama besarnya, dan gaya listrik netto itu biasanya jauh lebih kecil daripada gaya gravitasi Contoh 3 Dua muatan titik q1 = +25 nC dan gaya q2 = -75 nC, terpisah sejauh 3,0 cm (Gambar 8.3a) Carilah besar dan arah dari a) gaya listrik yang dikerahkan oleh q1 pada q2, b) gaya listrik yang dikerahkan oleh q2 pada q1. Penyelesaian a). Besarnya gaya yang dikerahkan oleh q1 pada q2 diberikan oleh hukum Coulomb, Persamaan (8.3). Dengan mengkonversi muatan ke coulomb dan jarak ke meter, kita memperoleh F1 pada 2 = Fisika Dasar

1 4 0

= (9,0 x 109 N.m2/C2)

(25  10 9 C )( 75  10 9 C ) (0,030m) 2

VIII-6

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

= 0,019 N. Karena kedua muatan itu mepunyai tanda yang berlawanan, gaya itu adalah gaya tarik: yakni, gaya yang beraksi pada q2 diarahkan menuju q1 sepanjang garis yang menghubungkan kedua muatan itu, seperti yang diperlihatkan dalam gambar 8.3b. b). Ingatlah bahwa hukum ketiga newton berlaku pada gaya listrik. Walaupun muatanmuatan itu mepunyai besar yang berbeda, besarnya gaya yang dikerahkan oleh q2 pada q1 adalah sama besarnya dengan gaya dikerahkan oleh q1 pada q2 : F2 pada 1 = 0,019 N. Hukum ketiga newton juga menyatakan bahwa arah yang dikerahkan oleh q2 pada q1 persis berlawanan dengan arah gaya yang dikerahkan oleh q1 pada q2 ; ini diperlihatkan dalam gambar 22-2c. Perhatikan bahwa gaya pada q1, diarahkan menuju q2, seperti yang seharusnya, karena muatan-muatan yang tandanya berlawanan saling tarik-menarik. q1

q2  F 1 pada 2

+

q2

q1

 F 2 pada 1

r (a)

(b)

(c)

Gambar 8.3 Berapakah gaya yang dikerahkan oleh q1 pada q2, dan berapakah gaya yang dikerahkan oleh q2 pada q1 ? Gaya gravitasi dapat diabaikan. (a). Kedua muatan itu. (b). Diagram benda bebas untuk muatan q2. (c). Diagram benda bebas untuk muatan q1.

Contoh 4 Dua muatan titik diletakkan pada sumbu x positif dari sebuah sistem koordinat (gambar 8.4). Muatan q1 = 1,0 nC berada 2,0 cm dari titik asal, dan muatan q2 = -3,0 nC berada 4,0 cm dari titik asal. Berapakah gaya total yang dikerahkan oleh kedua muatan ini pada sebuah muatan q3 = 5,0 nC yang diletakkan di titik asal? Gaya gravitasi dapat diabaikan. Penyelesaian : Gaya total pada q3 adalah jumlah vektor dari gaya-gaya yang disebabkan oleh q1 dan q2 secara individu. Dengan mengkonversi muatan ke coulomb dan jarak ke meter, maka besarnya F 1 pada 3 dari gaya dari q1 dan q3. F1 pada 3 =

Fisika Dasar

1 4 0

q1 q3 r2

= (9,0 x 109 N.m2/C2)

(1,0  10 9 C )(5,0  10 9 C ) (0,020m) 2

VIII-7

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

= 1,12 x 10-4 N = 112  N. Gaya ini mempunyai komponen x negatif karena q2 ditolak (yakni didorong dalam arah x negatif) oleh q1, yang mempunyai tanda yang sama. q3

q1

+

q2

+

_

x (cm)

O 2,0 cm 4,0 cm (a) F1 pada 3

F2 pada 3 q3 (b)

Gambar 8.4 Berapakah gaya total yang dikerahkan pada muatan titik q3 oleh kedua muatan titik lainnya? (a). Ketiga muatam itu. (b). Diagram benda bebas untuk muatan q3.

Besarnya F2 pada 3 dari gaya dari q2 pada q3 adalah F2 pada 3 =

1 4 0

q 2 q3 r2

= (9,0 x 109 N.m2/C2)

(3,0  10 9 C )(5,0  10 9 C ) (0,040m) 2

= 8,4 x 10-5 N = 84  N. Gaya ini menpunyai komponen x positif karena q2 ditarik (yakni ditarik dalam arah x positif) oleh muatan q2. Penjumlahan komponen-komponen x itu adalah Fx = -112  N + 84  N. Tidak ada komponen y atau komponen z. Jadi gaya total pada q2 diarahkan ke kiri, dengan besarnya 28  N = 2,8 x 10-5 N. 8.3 Medan Listrik Dan Gaya Listrik

Fisika Dasar

VIII-8

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

Untuk mengetahui secara eksprimental apakah ada sebuah medan listrik di sebuah titik tertentu, kita menempatkan sebuah benda bermuatan, yang kita namakan sebuah muatan uji (test charge), di titik itu (gambar 8.6). Jika muatan uji itu mengalami sebuah gaya listrik, maka ada sebuah medan di titik tersebut. Medan ini dihasilkan oleh muatan yang lain yang bukan q0 Gaya adalah sebuah kuantitas vektor, sehingga medan listrik adalah juga sebuah kuantitas vektor Perhatikan penggunaan tanda-tanda vektor, seperti juga huruf tebal dan plus, mines, dan tanda sama dengan dalam pembicaraan berikut). Kita mendefinisikan 

medan listrik E di sebuah titik sebagai gaya listrik

 F0

yang dialami oleh sebuah

muatan titik uji q di titik itu, dibagi dengan muatan q0. Yakni, medan listrik di sebuah titik tertentu sama dengan gaya listrik per satuan muatan yang dialami sebuah muatan di titik itu. + +

  F0 E q0

+ +

Muatan uji A

q0

Gambar 8.6 Sebuah benda yang bermuatan menciptakan sebuah medan listrik dalam ruang di sekitarnya

  F0 E (definisi medan listrik sebagai gaya listrik per satuan muatan) q0

(8.4)

Dalam satuan SI, satuan gaya adalah 1 N dan satuan untuk muatan adalah 1 C, maka satuan besarnya medan listrik adalah 1 Newton per Coulomb (1 N/C). 

Jika medan E di sebuah titik tertentu diketahui, maka penyusunan kembali persamaan (8.4) memberikan gaya

 F0

yang dialami oleh sebuah muatan titik q0 yang ditempatkan 

d titik itu. Gaya ini sama dengan medan listrik E yang dihasilkan di titik itu oleh muatan-muatan yang lain yang bukan q0, dikalikan oleh muatan q0.   F0  q 0 E

Fisika Dasar

(8.5)

VIII-9

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

Muatan q0, dapat positif ataupun negatif. q0 adalah positif, gaya dialami oleh muatan itu 

berada dalam arah yang sama seperti E ; jika q0 adalah negatif,

 F0



dan E berada

dalam arah berlawan (Gambar 8.7). Sementara konsep medan listrik itu mungkin merupakan konsep baru untuk anda, namun, pemikiran dasarnya-bahwa satu benda menimbulkan medan dalam ruang disekitarnya, dan sebuah benda kedua menaggapi medan tersebut adalah satu pemikiran yang sesungguhnya telah anda gunakan sebelumnya. Bandingkanlah persamaan (8.5) dengan pernyataan yang cukup dikenal untuk gaya gravitasi

 Fg

yang dikerahkan oleh

bumi pada sebuah massa m0:   Fg  m0 g

(8.6) 

Dalam pernyataan ini, g adalah percepatan yang ditimbulkan gravitasi. Jika kita membagi kedua ruas dari persamaan (8.6) dengan massa m0, kita mendapatkan   Fg g m0 

Jadi g dapat dipandang sebagai gaya gravitasi per satuan massa. Jika distribusi sumber itu adalah sebuah muatan titik q, maka mudah untuk mencari medan listrik yang dihasilkannya. Kita menamakan letak muatan itu sebagai titik sumber ,dan kita menamakan titik P di mana kita menentukan medan itu sebagai titik medan. Juga akan berguna untuk memperkenalkan sebuah vektor satuan rˆ yang menunjuk sepanjang garis dari titik sumber ke titik medan (Gambar 8.8a). Vektor satuan  ini sama dengan vektor pergeseran r dari titik sumber ke titik medan, dibagi oleh jarak  r  r

di antara kedua titik ini; yakni

 rˆ  r r .

Jika menempatkan sebuah muatan uji

yang kecil q0 di titik medan P, sejauh r dari titik sumber, maka besarnya F0 dari gaya itu diberikan oleh hukum Coulomb, persamaan (8.3): F0 =

1

qq 0

4 0 r 2

+

 F0

 E

q0

Fisika Dasar

VIII-10

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

(a)  F0

-

 E

q0 (b)   Gambar 8.7. Gaya F0 yang dikerahkan pada sebuah muatan q0 oleh sebuah medan listrik E .   (a).Jika q0 adalah positif, maka F0 dan E berada dalam arah yang sama. (b). Jika q0 adalah   negatif, maka F0 dan E berada dalam arah yang berlawanan.

Dari persamaan (8.4) besarnya E dari medan listrik di P adalah E

q 1 (besarnya medan listrik dari sebuah muatan titik), 4 0 r 2

(8.7)

Dengan menggunakan vektor satuan rˆ , kita dapat menuliskan sebuah persamaan vektor 

yang memberikan besar sekaligus arah dari medan listrik E :  E

1 q rˆ (medan listrik dari sebuah muatan titik). 4 0 r 2

(8.8)

Berdasarkan definisi maka medan listrik dari sebuah muatan titik selalu arahnya menjauhi sebuah muatan positif (yakni, dalam arah yang sama seperti rˆ ; lihat gambar 8.8b) dan menuju sebuah muatan negatif (yakni, dalam arah yang berlawanan dengan rˆ ; lihat gambar 8.8c). Sebuah situasi lain yang mudah untuk menemukan medan listrik adalah di dalam sebuah konduktor. Jika ada medan listrik di dalam sebuah konduktor, medan itu mengerahkan gaya pada tiap-tiap muatan dalam konduktor itu, yang memberikan sebuah gerak netto pada muatan-muatan bebas itu. Berdasarkan definisi, situasi elektrostatik adalah situasi ketika muatan itu tidak mempunyai gerak netto. Kita menyimpulkan bahwa dalam elektrostatik medan listrik di tiap-tiap titik di dalam bahan sebuah konduktor harus sama dengan nol. Contoh 5

Fisika Dasar

VIII-11

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

Berapakah besarnya medan listrik di sebuah titik medan yang jauhnya 2,0 m dari sebuah muatan titik q = 4,0 nC? (Muatan titik itu dapat mewakili sebarang benda yang bermuatan kecil dengan nilai besar q tersebut, asalkan dimensi benda itu jauh lebih kecil daripada jarak dari benda itu ke titik medan). q0

rˆ

q

r

P

S (a)

 E

q0 q

rˆ

+ S

P (b)  E

rˆ

q

q0 P

S (c) Penyelesaian E=

1

q

4 0

r2

= (9,0 x 109 N. m2/C2)

4,0  10 9 C = 9,0 N/C. ( 2,0m) 2

Secara alternatif, kita mula-mula dapat menggunakan hukum coulomb, Persamaan (8.3), untuk mencari besarnya F0 dari gaya pada sebuah muatan uji q0 yang ditempatkan 2,0 m dari q: F0 = q0

1 4 0

qq 0 r2

9

2

2

= (9,0 x 10 N. m /C )

( 4,0  10 9 C ) q 0 (2,0m) 2

= (9,0 N/C)

. 

Maka, dari persamaan (8.4), besarnya E adalah E=

Fisika Dasar

F0 = 9,0 N/C. q0

VIII-12

Hukum Coulomb dan Medan Listrik 

Karena q adalah positif, arah E di titik ini adalah sepanjang garis dari q menuju q0, 

seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 22-7b. Akan tetapi, besar dan arah dari E tidak bergantung pada tanda q0. Apakah anda tahu mengapa demikian Contoh 6

Sebuah muatan titik q = -8,0 nC diletakkan di titik asal. Carilah vektor medan listrik di titik medan x = 1,2 m, y = -1,6 m y q = -8,0 nC O.S x

rˆ r = 2,0 m

1,6 m  E

 r

P 1,2 m . Penyelesaian: Medan listrik itu diberikan dalam bentuk vektor oleh persamaan (8.8). Jarak dari muatan di titik sumber S (yang dalam contoh ini berada di titik asal O) ke titik medan P adalah r=

x2  y2

=

(1,2m) 2  ( 1,6m) 2

= 2,0 m

Vektor satuan rˆ diarahkan dari titik sumber ke titik medan. Ini sama dengan vektor  pergeseran r dari titik sumber itu ke titik medan (yang diperlihatkan digeser ke satu sisi dalam Gambar 8.9 agar tidak mengaburkan vektor-vektor lain), dibagi oleh besarnya r.        r (1,2m)i  ( 1,6m) j xi  yj = = = 0,60 i - 0,80 j . rˆ = 2,0m r r

Maka vektor medan listrik itu adalah

Fisika Dasar

VIII-13

Hukum Coulomb dan Medan Listrik  E

=

1 4 0

( 8,0  10 9 C ) q  9 2 2 ˆ r = (9,0 x 10 N.m /C ) (0,60 i - 0,80 2 2 (2,0m) r 

= (-11 N/C) i + (14 N/C)

 j )

 j .



Karena q adalah negatif, E menunjuk dari titik medan ke muatan itu (titik sumber),  dalam arah yang berlawanan dengan r (bandingkan Gambar 8.8c). Perhitungkan besar 

dan arah E disisakan sebagai latihan untuk anda. 8.4 Penghitungan Medan Listrik Untuk mencari medan yang disebabkan oleh sebuah distribusi muatan, kita membayangkan distribusi itu sebagai sesuatu yang terbentuk dari banyak muatan titik q1,q2,q3,......(Ini sesungguhnya merupakan sebuah gambaran realistik, karena kita telah melihat bahwa muatan diangkut oleh elektron dan proton yang begitu kecil sehingga hampir berupa titik). Pada sebarang titik P yang diberikan, setiap muatan titik menghasilkan medan listriknya sendiri

   E1 , E 2 , E 3 , …,sehingga

yang ditempatkan di P mengalami sebuah gaya   F2  q 0 E 2

  F1  q 0 E1

sebuah muatan uji q0 dari muatan q1, gaya

dari muatan q2, dan gaya total F0 yang dikerahkan oleh distribusi muatan

itu pada q0 adalah jumlah vektor dari gaya-gaya individu ini:        F0  F1  F2  F3  ...........  q 0 E1  q 0 E 2  q 0 E3  ........



Efek gabungan dari semua muatan dalam distribusi itu oleh medan listrik total E di titik P. Dari definisi medan listrik, persamaan (8.4) ini adalah   F0    E  E1  E 2  E 3  ......... q0

Medan listrik total P adalah jumlah vektor dari medan-medan di P yang ditimbulkan oleh setiap muatan titik dalam distribusi muatan itu. Inilah prinsip superposisi medanmedan listrik (principle of superposition of electric fields). Bila muatan didistribusikan sepanjang sebuah garis, pada sebuah permukaan, atau dikeseluruhan volume suatu benda, beberapa suku tambahan akan berguna. Untuk sebuah distribusi muatan garis (seperti sebuah batang plastik bermuatan yang panjang dan tipis) kita menggunakan  (“lambda”) untuk menyatakan kerapatan muatan

Fisika Dasar

VIII-14

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

linear (muatan per satuan panjang, yang di ukur dalam C/m). Bila muatan didistribusikan pada sebuah permukaan (seperti permukaan tabung pembentuk citra dari dari mesin fotkopi), kita menggunakan

 (“sigma”) untuk menyatakan kerapatan

muatan permukaan (muatan per satuan luas, yang di ukur dalam C/m 2). Dan bila muatan didistribusikan di keseluruhan volume suatu benda, kita menggunakan  (“rho”) untuk menyatakan kerapatan muatan volume (muatan per satuan volume, C/m3). Contoh 7 Muatan-muatan titik q1 dan q2 berturut-turut sebesar +12 nC dan -12 nC, ditempatkan terpisah 0,10 m terhadap satu sama lain (Gambar 8.21). Gabungan dari dua muatan dengan besar yang sama dan tanda yang berlawanan dinamakan sebuah dipol listrik. (Gabungan seperti itu sering terdapat di alam.Misalnya sisir yang bermuatan, Muatan di dalam molekul bahan pengisolasi dapat bergerak sedikit. Sebagai akibatnya, sisir bermuatan dapat menarik isolator netral.Menurut hukum ketiga Newton, isolator netral itu mengarahkan gaya tarik yang sama besarnya pada sisir bermuatan itu). Hitunglah medan listrik yang disebabkan oleh q1, medan yang disebabkan oleh q2, dan medan total a). di titik a,

b). di titik b,

c). di titik c.

Penyelesaian: 

a). Di titik a, baik medan E1 yang disebabkan oleh muatan positif q1, maupun medan  E 2 yang disebabkan oleh muatan negatif q2 diarahkan menuju ke kanan. Besarnya   E1 dan E 2 adalah

E1 

12  10 9 C 1 q1 9 2 2 = (9,0 x 10 N.m /C ) = 3,0 x 104 N/C (0,060m) 2 4 0 r 2

E2 

12  10 9 C 1 q2 9 2 2 = (9,0 x 10 N.m /C ) = 6,8 x 104 N/C. (0,040m) 2 4 0 r 2 



Komponen-komponen dari E1 dan E 2 adalah

Fisika Dasar

VIII-15

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

E1 x  3,0 x 104 N/C,

E1 y = 0,

E 2 x = 6,8 x 104 N/C,

E2 y

Maka di titik a medan listrik total E a

= 0.

  = E1 + E 2 mempunyai komponen-komponen

( E a ) x = E1x  E 2 x = (3,0 + 6,8) x 104 N/C, ( E a ) y  E1 y  E 2 y = 0.

Dititik a medan total itu mempunyai besar E a = 9,8 x 104 N/C dan diarahkan menuju ke kanan, sehingga  Ea

= (9,8 x 104 N/C) iˆ . 

b). Di titik b medan E1 yang ditimbulkan oleh q1 diarahkan menuju ke kiri, sedangkan 



medan E 2 yang ditimbulkan oleh q2 darahkan menuju ke kanan. Besarnya E1 dan  E2

adalah E1 

12  10 9 C 1 q1 9 2 2 = (9,0 x 10 N.m /C ) = 6,8 x 104 N/C. (0,040m) 2 4 0 r 2

E2 

12  10 9 C 1 q2 9 2 2 = (9,0 x 10 N.m /C ) = 0,55 x 104 N/C. (0,140m) 2 4 0 r 2 



Komponen-komponen dari E1 , E 2 dan medan total

 Eb

di titik b dalah

E 1x = -6,8 x 104 N/C,

E 1y = 0

E 2x = 0,55 x 104 N/C.

E 2y = 0

( Eb ) x = E1 x + E 2 x = (-6,8 + 0,55) x 104 N/C

(Eb)y = E1y + E2y = 0 Yakni, medan listrik di b mempunyai besar Eb = 6,2 x 104 N/C dan diarahkan menuju ke kiri, sehingga  E b

= (-6,2 x 104 N/C) iˆ .





c). di titik c. E1 dan E 2 mempunyai besar yang sama, karena titik ini berjarak sama dari kedua muatan dan besarnya muatan itu sama: 12  10 9 C 1 q 9 2 2 = (9,0 x 10 N.m /C ) = 6,39 x 103 N/C. 4 0 r 2 (0,13m) 2   Arah dari E1 dan E 2 diperlihatkan dalam gambar. Komponen x dari kedua vektor E1  E 2 

adalah sama: Fisika Dasar

VIII-16

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

E1 x  E 2 x = F1 cos

 = (6,39 x 103 N/C)

5 13

= 2,64 x 103 N/C.

Berdasarkan simetri, komponen y, E1 y dan E 2 y adalah sama dan berlawanan dan jumlahnya adalah nol. Maka kompnen-komponen dari medan total

 Ec

adalah

( E c ) x = E1 x + E 2 x = 2(2,46 x 103 N/C) = 4,9 x 103 N/C,

(Ec)y = E1y + E2y = 0 Maka di titik c medan listrik total itu mepunyai besar E c = 4,9 x 103 N/C dan diarahkan menuju ke kanan, sehingga  E c = (4,9

x 103 N/C) iˆ .

Apakah mengherankan bagi anda bahwa di titik c medan itu sejajar dengan garis di antara kedua muatan tersebut ? Sebuah alternatif untuk mencari medan listrik di c adalah dengan menggunakan 

pernyataan vektor untuk medan itu di sebuah muatan titik. Vektor pergeseran r1 dari q1 ke titik c sejauh r = 13,0 cm dari c, adalah  r1 = r cos



iˆ + r sin



ˆj

.

Maka vektor satuan yang menunjuk dari q1 ke c adalah  r rˆ1  1 = cos  iˆ + sin  ˆj . r y

 c

13,0 cm

 Eb

b

q1 4,0 cm

Fisika Dasar



13,0 cm

a

+

 Ec

 Ea

q2 x

6,0 cm

4,0 cm

VIII-17

Hukum Coulomb dan Medan Listrik Gambar 8.8 Medan listrik di tiga titik a,b, dan c yang ditimbulkan oleh muatan q1 dan q2 yang membentuk sebuah dipol listrik.

Dan medan yang ditimbulkan oleh q1 di c adalah  E1 

1 q1 1 q1 rˆ (cos 2 1 = 4 0 r 4 0 r 2



iˆ + sin



ˆj

),

Karena simetri maka vektor satuan rˆ2 yang menunjuk dari q2 ke titik c mempunyai komponen x yang berlawanan, tetapi mempunyai komponen y yang sama, sehingga medan di c ditimbulkan oleh q2 adalah  E2 

1 q2 1 q2 rˆ  (-cos 2 2 4 0 r 4 0 r 2



iˆ + sin



ˆj

),

Karena q2 = -q1, medan total di c adalah 



Ec  E1  E 2 =

1 q1 (cos 4 0 r 2



iˆ + sin



ˆj

)+

1   q1  (-cos 4 0 r 2



iˆ + sin



ˆj

), =

1 q1 (2 cos 4 0 r 2



iˆ

12  10 9 C   5   ˆ  2  i = (9,0 x 10 N.m /C ) (0,13m) 2   13   9

2

2

= (4,9 x 103 N/C) iˆ . 8.5 Hukum Gauss Jumlah garis-garis gaya listrik yang menembus suatu permukaan secara tegak lurus didefenisikan sebagai fluks magnetic  . Bila diketahui kuat medan E, maka jumlah garis gaya d yang menembus suatu elemen dA tegak lurus pada E adalah : ur ur d   E  d A  E.dA

(8.9)

Bila permukaan dA tidak tegak lurus maka jumlah garis yang keluar dari dA haruslah ur ur d   E  d A  E.dA.cos Dimana dA = ndA

  dA  ndA



atau n adalah vektor normal dan  sudut antara dA

dengan bidang yang tegak lurus pada E. Bila kuat medan pada elemen seluas dA adalah E, maka jumlah garis gaya yang keluar dari seluruh permukaan S adalah : Fisika Dasar

VIII-18

Hukum Coulomb dan Medan Listrik







 d   E  dA S

(8.10) Untuk permukaan tertutup, elemen dA tegak lurus pada permukaan dan arahnya keluar. Fluks total untuk permukaan tertutup      E  dA 

1

 4

0

 q 1 q rˆ  dA  2 4 0 r 2 r

 d S

1 q q  (4r 2 )  2 4 0 r 0

(8.20)

Ternyata ada hubungan yang erat antara fluks listrik pada suatu permukaan tertutup dengan muatan listrik yang berada dalam permukaan tersebut. Ini yang dikenal dengan hukum Gauss, yaitu” jumlah garis gaya yang keluar dari suatu permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tetutup tersebut per  0 atau bahwa fluks medan listrik yang melewati suatu luasan tertutup ternyata tetap dan tidak bergantung pada yang melingkupi sejauh tidak ada sumber muatan lain. ur ur q   Ed A   i i 0 S

(8.21)

dimana S adalah suatu permukaan tertutup ∑qi adalah jumlah muatan yang dilingkupi oleh permukaan tetutup S. Jadi dengan hukum Gauss kita dapat menentukan muatan yang ada di dalam permukaan tetutup, bila kita tahu berapa garis gaya yang keluar dari permukaan tetutup tersebut. 8.5.1 Pemakaian Hukum Gauss a. Pelat Tipis Bermuatan Bila kita mempunyai selembar pelat tipis dengan luas yang cukup besar diberi muatan +Q yang tersebar secara homogen pada pelat tersebut maka rapat muatannya adalah  

Q . Untuk menghitung kuat medan E pada jarak r, digunakan hukum Gauss pada A

pers. (8.21) di atas, yaitu: 







 E  dA   (iˆE )  (iˆdA)   EdA  EA s

s

s

Karena plat tipis dan memiliki dua permukaan, maka : Fisika Dasar

VIII-19

Hukum Coulomb dan Medan Listrik





Q

 E  dA  EA  EA  2 EA   S

0

sehingga : E

 Q , dengan rapat muatan   2 0 A

Contoh 8 : Sebuah pelat tipis dengan luas A = 2 m2 diberi muatan Q = 10-6C. Sebuah elektron bermassa m = 10-30kg dan bermuatan e = 1,6 x 10-19C ditahan pada jarak 10 cm dari pelat. Hitung : a. gaya pada elektron b. Bila kemudian elektron dilepas, berapa besar laju elektron sampai di pelat, abaikan gaya gravitasi Penyelesaian : a. Karena muatan elektron, maka gaya Coulomb F = -qE = -eE, arah ke kiri. Kuat medan E=i/(20) sehingga gaya pada elektron adalah F=-eE= i/(20) Q 106  C  1  9 x109 , maka Untuk rapat muatan maka diperoleh     2  dan A 2 m  4 0 gaya pada elektron adalah

F = -i 4,25 x 10 –5 N

b. Bila elektron dilepas maka ia akan bergerak dengan kecepatan tetap yaitu : a = F/m = -I 4,25 x1025 m/s2 Karena kecepatan awal v0 = 0 dan x = 10 cm = 0,1 m, maka v 2 = v02 + 2 ax = 2 ax sehingga diperoleh, v  3 x 10 12 m/s b. Bola Bermuatan Misalkan diambil sebuah bola terbuat dari bahan isolator dengan jari-jari R. Bola ini mempunyai muatan yang tersebar merata di dalam bola isolator tersebut. Kemudian , bagaimana menghitung kuat medan listrik di dalam dan diluar bola. Karena muatan tersebut merata dalam bola, rapat muatan dalam bola adalah :



Fisika Dasar

Q Q 3Q   3 3 V  R 3 4 R 4

(8.25)

VIII-20

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

Sehingga jumlah muatan dalam bola pada jarak r dari pusat 4  q  V     r 3  (8.26) 3  ur ur Pada permukaan Gauss, d A  rdA , sehingga E  rE ˆ ˆ karena baik medan listrik maupun elemen luasan , keduanya dalam arah radial. Harga E tak bergantung pada arah dan pada dA. Dengan demikian integral permukaan pada Gauss dapat ditulis sebagai : 



 E  dA

 Erˆ  rˆdA  E (4r



2

)

S

Dengan mensubstitusi kedalam hukum Gauss, maka diperoleh :   (4 / 3) r 3 4 r 3 2 E  d A  E ( 4  r )     S 0 3 o

r E (r )  3 0

atau

E (r ) 

Q r 4 0 R 3



dimana

(8.27)

3Q 4 R 3

Untuk medan diluar bola, kita pandang titik Q di luar bola dan berjarak r dari pusat bola . Kuat medan pada titik Q dapat dihitung dengan membuat permukaan Gauss melalui titik Q. Permukaan Gauss S dibuat membentuk bola dengan jari-jari r. Muatan q yang dilingkupi S sama dengan muatan total Q pada bola, kuat medan E sejajar dA, maka hukum Gauss menjadi : 



 E  dA



 Erˆ  rˆdA  E (4 r S

2

)

Q 0

Dengan demikian diperoleh: E (r ) 

1 Q 4 0 r 2

(8.28)

Persamaan diatas menyatakan bahwa kuat medan diluar bola sama dengan medan yang dihasilkan bila seluruh muatan Q terletak di pusat bola. SOAL –SOAL LATIHAN

Fisika Dasar

VIII-21

Hukum Coulomb dan Medan Listrik

1. Dua keping mata uang masing-masing diberi muatan yang sama. Berapakah muatan setiap keping kalau diketahui gaya pada masing-masing adalah 2,0 N? jarak pisah 1,5 m. 2. Dua buah muatan berada pada sumbu x yakni + 3 µC di x = 0 dan -5 µC di x = 40 cm. Dimana muatan ketiga q adalah positif. Apabila diletakkan di antara titik B dan C, kedua gaya yang dialaminya mempunyai arah yang sama, maka tak dapat saling meniadakan. Apabila diletakkan disebelah kanan titik C, gaya tarik oleh muatan -5 µC akan selalu lebih besar dari pada gayan tolak oleh muatan +3 µC. Karena itu mustahil-lah gaya resultan pada q akan nol, bila diletakkan di daerah ini. Hanya apabila diletakkan dalam daerah disebelah kiri titik B akan terjadi bahwa kedua gaya itu saling meniadakan. (Dapatkak anda tunjukkan bahwa itu benar juga pada q bertanda negatif?). 3. Perhatikan muatan-muatan pada Gambar dibawah ini. tentukan gaya pada muatan 4 µC

oleh kedua muatan yang lain. F3 60o

F2

60o + 4 µC

20 cm

+ 2 µC 4.

20 cm

60o

60o

+ 3 µC

Hitunglah (a) intensitas medan listrik E di suatu titik pada jarak 30 cm dari muatan titik q1 = 5 x 10-9 C dalam udara (b) gaya pada muatan q2 = 4 x 10-10 C yang diletakkan pada jarak 30 cm dari q1; dan (c) gaya pada muatan q3 = -4 x 10-10 C terletak pada jarak 30 cm dari q1 (tetapi q2 sudah diriadakan).

5.

Perhatikan Gambar 24-5 dan tentukan (a) intensitas medan E di titik P; (b) gaya pada muatan -4 x 10-8 C di titik P; (c) dimana intensitas medan adalah nol? q1 + 20 x 10-8 C

Fisika Dasar

5 cm

P

5 cm

q2 - 5 x 10-8 C

VIII-22

Hukum Coulomb dan Medan Listrik 6.

Tiga buah muatan diletakkan pada ketiga buah sudut suatu bujur sangkar, seperti terlihat pada gambar. setiap sisi dari bujur sangkar adalah 30 cm. Hitung E di sudut keempatnya? Berapakah gaya pada muatan 6µC yang ditempatkan di ujung yang kosong?

8 µC

- 5 µC

E5

- 4 µC

Fisika Dasar

E4

E8

VIII-23