8.docx

8.5

Kriteri i Nyquist-it për stabilitet

Deri më tani kemi treguar dy metoda për përcaktimin e stabilitetit të sistemeve lineare të rregullimit me një hyrje dhe një dalje : metoda e Routh-Hurzitz-it dhe lokusi i rrënjëve. Sigurisht, nëse të gjithë koeficientët e ekuacionit karakteristik janë të njohur, atëherë thejsht mundemi t'i gjejmë rrënjët e ekuacionit karakteristik me anë të Matlab-it dhe nga aty mund të caktojmë nëse sistemi është stabil apo jo. Kriteri i Nyquistit është një metodë gjysmëgrafike me anë të së cilës mund të caktojmë stabilitetin e sistemit me qark të mbyllur duke u bazuar në lakoren frekuencorë, diagramin e Nyquistit, e funksionit transmetues të lakut 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) (apo 𝐿(𝑠)) të sistemit. Specifikisht,lakorja e Nyquistit e 𝐿(𝑗𝜔) është lakore në koordinata polare të Im[𝐿(𝑗𝜔)] ndaj Re[𝐿(𝑗𝜔)] kur 𝜔 ndërron nga 0 deri në ∞. Kjo paraqet një metodë tjetër kur përdorim vetitë e lakut të sistemit për të gjetur përformancës e sistemit me qark të mbyllur. Kriteri i Nyquistit ka vetitë në vazhdim që e bëjnë atë shumë atraktive si metodë alternative për analizen dhe projektmin e sistemeve të rregullimit :  Përvec që jep informata mbi stabilitetin absolut të sistemit, të cilën gëj e bën edhe kriteri i Routh-it, kriteri i Nyquistit poashtu jep edhe informata shtesë mbi shkallën e stabilitetit të një sistemit stabil apo shkallën e jostabilitetit të një sistemi jostabil. Poshtu jep indikacion edhe për atë se si mund të përmirësohet shkalla e stabilitetit të sistemit, nëse një gjë e tillë është e nevojshme.  Lakorja e Nyquistit për 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) apo 𝐿(𝑠) është mjaft lehtë të përfitohet, sidomos me ndihmën e kompjuterit.  Diagrami i Nyquistit jep informacionet për 𝑀𝑟 , 𝜔𝑟 , 𝐵𝑊 dhe të tjera me shumë lehtësi.  Diagrami i Nyquistit është shumë i vlefshëm për sistemet që kanë vonesa të pastërta kohore, të cilat sisteme nuk mund të analizohet me metodën e Routh-Hurëitz-it dhe mjaft vështirë trajtohen me metodën e lokusit të rrënjëve. Kjo temë poashtu është trajtuar edhe në shtesën 𝐹 për rastin e përgjithshëm kur funksioni transmetues i qakut ëshë i llojit të fazës jominimale.

8.5.1

Problemi i stabilitetit

Kritëri i Nyquistit është një metodë që mundëson përcaktimin e lokacioneve të rrënjëve të ekuacionit karakteristik në referencë me anën e majtë të rrafshit kompleks. Përkundër metodës së lokusit të rrënjëve, kjo metodë nuk jëp lokacionin e saktë të rrënjëve të ekuacionit karakteristik të sistemit. Po marrim në shqyrtim funksionin transmetues të qarkut të mbyllur të një sistemi me një hyrje dhe një dalje (ang Single Input Single Output) :

ku për 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) supozojme se ka formën :

ku 𝑇-jat janë koeficient reale apo komplekt të konjuguar kurse 𝑇𝑑 është vonesë kohore reale. Për shkak se ekuacioni karakteristik i sistemit fitohet duke barazuar emëruesin e funksionit tranmetues 𝑀(𝑠) me zero, atëherë rrënjë e ekuacionit karakteristik janë poashtu zerot e 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠). Apo, rrënjët e ekuacionit karakteristik duhet të arsyetojnë ekuacionin :

Në rastin e përgjithshëm kur sistemi mund të ketë shumë riveprime, emëruesi i 𝑀(𝑠) merr formën :

ku 𝐿(𝑠) është funksioni transmtues i lakut, i dhën në formën 8-37. Përpara se të hyjmë në detalet e kriterin të Nyquistit, është e udhës të përmbledhin disa relacione pole-zero për funksionet transmetuese të ndryshme. Identifikimi i poleve dhe zerove Zerot e funksionit transmetues të lakut : zerot e 𝐿(𝑠) Polet e funksionit transmetues të lakut : polet e 𝐿(𝑠) Polet e funksionit transmetues të sistemit me qark të mbyllur : zerot e 1 + 𝐿(𝑠) = rrënjët e ekuacionit karakteristik, polet e 1 + 𝐿(𝑠) = polet e 𝐿(𝑠). Kushtet e stabilitetit Dallojmë dy lloje të stabiliteit varësisht nga konfiguracioni i sistemit :  Stabiliteti i sistemit me qark të hapur. Për nëj sistemi themi se është stabil me qark të hapur nëse të gjitha polet e funksionit tranmetues 𝐿(𝑠) janë në anën e majtë të rrafshit kompleks 𝑠. Një një sistemi që ka vetëm nëj degë rivepruese, kjo është ekuivalente me sistemin që është stabil kur qarku hapet në cilëndo pikë.  Stabiliteti i sistemit me qark të mbyllur. Për një sistemi themi se është stabil me qark të mbyllur, apo thjeshtë stabil, nëse polet e funksionit transmetues të sistemit me qark të mbyllur, apo zerot e 1 + 𝐿(𝑠), ndodhen të gjitha në anën e majtë të rrafshit kompleks. Përjashtime nga të dyja ndarjet e mësipërme janë sistemet ku polet apo zerot qëllimisht janë vendosur në 𝑠 = 0.

8.5.2

Përkufizimet rrethimit dhe përshrirjes (ang. encircle and enclose)

Për shkak se metoda e Nyquistit është metodë grafike, duhet t'i përkufizojne konceptet e rrethimit dhe përfshirjes të cilat janë të nevojshme për interpretimin e lakoreve të Nyquistit për stabilitet.

Rrethimi Për një pikë apo një rregjion në rrafshin kompleks, themi se është rrethuar nga një lakore e mbyllur nëse pika apo regjioni ndodhen brenda lakores së mbyllur. Për shembull, pika 𝐴 në figurën 8-14 është rrethuar në lakorja Γ nga ndodhet brenda asaj lakoreje. Kurse pika 𝐵 nuk rrethohet nga lakorja Γ ngase ndodhet jashtë saj. Për më tepër, nëse lakores së mbullyr i është caktuar një drejtim, rrethimi, nëse ka ndodhur, mund të jetë në kahjen e akrepave të orës apo në kahjen e kundërt të akrepave të orës. Në atë rast themi se regjioni është i rrethuar në kahjen përkatëse nëse regjioni ndodhet brenda lakores së mbyllur, apo themi se nuk ësthë rrethuar nëse ndodhet jashtë kësaj lakoreje. Përfshirja Për një pikë apo regjioni themi se është përfshirë nga një lakore e mbyllur nëse është rrethuar në kahjen e kundërt të akrepave të orës, apo kur pika ose regjioni ndodhët në të majtë kur lakorja e mbyllur përshkohet në kahjen e saj përkatëse. Koncepti i përfshirjës ëshë me rënëdësi të vecantë në situatat kur vetëm një pjesë e lakorës së mbyllur është paraqitur. Për shembull regjionet e hijëzuara në figurën 8-15 a dhe b konsiderohen të jenë të përfshira nga lakorja e mbyllur Γ. Me fjallë tjera, pika A në figurën 8-15a është përfshirë nga Γ por pika 𝐴 në 8-15b nuk është përfshira nga lakorja në fjalë. Megjithatë, pika B dhe i tërë regjioni i hijësuar jashtë lakorës Γ janë të përfshira.

Figura 8-14: Përkufizimi i rrethimit

Figura 8-15 : Përkufizimi i regjioneve dhe pikave të përfshira

8.5.3

Numri i rrethimeve dhe përfshrijeve

Kur një pikë rrethohet nga një lakore e mbyllur Γ, një numbër 𝑁 mund të përcaktohet që lidhet numrin se sa herë është rrethuar pika në fjale nga lakorja Γ. Vlera e 𝑁 mund të caktohet duhe vizatuar nëj shigjetë nga pika deri tek nëj pikë arbitrare 𝑠1 në qarkun e mbyllur Γ dhe duke lënë pikën 𝑠1 të përcjellë lakorën e mbyllur deria të arrijë në pikën startuese. Numri neto i rrotullimeve të bëra nga kjo shigjetë është 𝑁 kur totali i këndit të përshkuar është 2𝜋𝑁rad. Për shembull pika A në figurën 8-16s është rrethuar një herë, apo 2𝜋rad, kurse pika 𝐵 është rrethuar dy herë, apo 4𝜋rad, të gjitha në kahjen e akrepave të orës. Në figurën 8-16b pika A është përfshirë një herë kurse pika B është përfshirë dy herë nga Γ. Nga definicioni, 𝑁 është pozitivë kur rrethimi bëhet në kahjen e kundërt të akrepave të orës, dhe negativ të rastin tjetër.

Figura 8-16 : Përkufizimi i numrit të rrethimeve dhe numrit të përfshierjeve

8.5.4

Parimet e argumentit

Kriteri i Nyquistit fillimisht ka origjinuar si aplikim inxhinerin i temës së njohur të 'parimit të argumentit' në teorinë e variablave komplekse. Ky parim tregohet në vijim në menyrë heuristike. Le të jetë Δ(𝑠) një funksion i njëvlershëm i formës së anës së djathtë të ekuacionit 8-37, që ka një numër të fundëm të poleve në rrafshim kompleks 𝑠. I njëvlershëm ka kuptim për që secilën pikë në domënin 𝑠 ekziston një dhe vetëm një pikë (duke përfshirë pakufinë) në domenin Δ(𝑠) që i korrespondohet asaj pike. Këtu duhet pasur parasysh se pakufija në rrafshin kompleks e ka kuptimin e një pike. Supozojnë se një lakore e mbyllur dhe kontinuale Γs është zgjedhur arbitrarishtë në rrafshin 𝑠 sic është treguar në figurën 8-17a. Nëse Γ𝑠 nuk kalon nepër asnjë pol të Δ(𝑠), atëherë trajektorja ΓΔ e cila fitohet duhet pasqyruar Δ(𝑠) në rrafshin Δ(𝑠) është poashtu lakore e mbyllur, sic tregohet në 8-17b. Duke filluar nga një pikë 𝑠1, Γ𝑠 përshkruhet në kahjen e zgjedhur arbitrarisht, duke kaluar nepër pikat 𝑠2 dhe 𝑠3 dhe kthehet në 𝑠1 pasi të ketë kaluar nepër të gjith pikat e lokusit Γ𝑠 , sic tregohet në 8-17a. Lokusi korrespondues ΓΔ do fillojë nga pika Δ(𝑠1 ) dhe do kalojë nepër pikat Δ(𝑠2 ) dhe Δ(𝑠3 ), që ju korrespondojnë pikave 𝑠1, 𝑠2 dhe 𝑠3 respektivisht dhe përfundimisht do kthehet në pikën startuese Δ(𝑠1 ). Drejtimi i përshkimit të ΓΔ mund jetë CË apo CCË, pra në të njejtin drejtim apo në drejtimin e kundërt me Γ𝑠 varësisht nga funksioni Δ(𝑠). Në figurën 8-17b, drejtimi i ΓΔ është caktuar arbitrarisht, për qëllime të ilustirmit, që të jetë në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

Figura 8-17 : (a) Lakorja e mbyllur arbitrare e zgjedhur në rrafshin s (b) lokusi korrespondues 𝚪𝐬 në rrafshin𝚫(𝒔)

Edhe pse pasqyrimi nga rrafshi 𝑠 në atë Δ(𝑠) është i njëvlershëm, procesi i kundërt nuk ëshët pasqyrim i njëvlershëm. Për shëmbull të marrim në shqyrtim funksionin :

që ka pole në në 0, -1 dhe -2 në rrafshin kompleks. Për cdo pikë në rrafshin kompleks 𝑠 kemi vetëm një pikë që i korrespondohet në rrafshin Δ(𝑠). Megjithatë, për secilën pikë në rrafshin Δ(𝑠), funksioni pasqyrohet në tri pika korresponduese në rrafshin 𝑠.Menyra më e thjeshtë për ta ilustruar këtë është që ekaucionin e fundit të shkruajmë në formën :

Nëse Δ(𝑠) është konstantë reale, që paraqet një pikë në boshtin real në rrafshin Δ(𝑠), ekuacioni i fundit ëshët ekuacion i rendit të tretë andaj jep tri zgjidhje në rrafshin 𝑠. Parimi i argumentit mund të formulohet si : Le të jetë 𝚫(𝒔) një funksion i njëvlershëm që ka nëj numër të fundëm të poleve në rrafshin kompeks 𝒔. Supozojmë që ëshë zgjedhur një lakore e cfardoshme 𝚪𝒔 në rrafshin 𝒔 ashtu që kjo lakore nuk kalon nepër asnjë pol dhe zero të 𝚫(𝒔); lokusi korrepodues 𝚪𝚫 që pasqyrohet në rrafshin 𝚫(𝒔) do rrethojë origjinën aq herë sa është dallimi mes numrit të zerove dhe poleve të 𝚫(𝒔) që janë rrethuar nga lokusi 𝚪𝒔 . Në formë të ekuacionit, parimi i argumentit mund të shprehet në formën :

ku 𝑁 - numri i rrethimeve që i bëhet origjinës që i bëhen nga lokusi i ΓΔ në rrafshin Δ(𝑠). 𝑍 - numri i zerove te Δ(𝑠) të rrethuara nga lokusi Γ𝑠 i rrafshit 𝑠 në rrafshin 𝑠. 𝑃 - numri i poleve te Δ(𝑠) të rrethuara nga lokusi Γ𝑠 i rrafshit 𝑠 në rrafshin 𝑠. Në përgjithësi, 𝑁 mund të jetë pozitiv (𝑍 > 𝑃), zero (𝑍 = 𝑃) apo negativ (𝑍 < 𝑃). Këto tri situata janë treguar më në detale në pjesën në vazhdim :  𝑁 > 0 (𝑍 > 𝑃). Nëse lokusi në rrafshin 𝑠 rrethon më shumë zero sesa pole të Δ(𝑠) në një drejtim të caktuar, atëherë 𝑁 është numër i poltë pozitiv. Në këtë rast lokusi ΓΔ në rrafshin Δ(s) do rrethojë orrigjinën 𝑁 herë në kahjen e njejtë sikurse Γ𝑠 .  𝑁 = 0 (𝑍 = 𝑃). Në lokusi në rrafshin 𝑠 rrethon aq zero sa edhe pole të Δ(𝑠), lokusi ΓΔ në rrafshin Δ(𝑠) nuk do rrethojë asnjëherë origjinën.  𝑁 < 0 (𝑍 < 𝑃). Nëse lokusi Γ𝑠 përfshinë me shumë pole sesa zero të Δ(𝑠) në një drejtim të caktuar, atëherë 𝑁 do jetë numër i plotë negativ. Në këtë rast lokusi ΓΔ do rrethojë 𝑁 herë origjinën e rrafshit Δ(𝑠) në drejtimin e kundërt me Γ𝑠 . Një menyrë e përshtatshme për caktimin e 𝑁 në referencë me origjinën e rrafshit Δ(𝑠) (apo cilësdo pikë tjetër) ëshët dukë vizatuar një drejt nga ajo pikë deri në nëj pikë tjetër, e cila është e larguar për aq sa është e nvojshme; numri neto i pikëprerjeve në këtë drejtëz me lokusin e Δ(𝑠) jep vlerën e 𝑁. Figura 8-18 jep disa shembuj të caktimit të vlerë së 𝑁 me anë të kësaj metodëe. Në shembujt e ilustruar është supozuar se lokusi Γ𝑠 ka kahje të kundërt me akrepat e orës.

Figura 8-18 : Shembuj të përcaktimit të N në rrafshin 𝚫(𝒔)

Pika kritike Për thjeshtësi manipulimi, origjinës së Δ(𝑠) do i referohemi si pikë kritike prej nga vlera e 𝑁 do përcaktohet. Më vonë, pikave tjera në rrafshin kompleks do ju referohemi si pika kritike, varësisht nga mënyra se si aplikojmë kriterin e Nyquistit. Një vërtetim rigoroz i parimit të argumentit nuk do jepët këtu. Shembulli heuristik në vijim mund të konsiderohet si sqarim heuristik i parimit. Të konsiderojmë se funksioni Δ(𝑠) është në formën :

ku 𝐾 është numër pozitiv real. Polet dhe zerot e Δ(𝑠) janë ashtu sic tregohen në figurën 8-19a. Funksioni Δ(𝑠) mund ët shkruhet tani si :

Figurar 8-19a tregon një trajektore të zgjedhur arbitrarisht Γ𝑠 në rrafshin 𝑠, më një pikë arbitrare 𝑠1 në lakore, dhe Γ𝑠 nuk kalon nepër asnjë zero dhe pole të Δ(𝑠). Funksioni Δ(𝑠) i vlerësuar në pikën 𝑠 = 𝑠1 është

Termi (𝑠1 + 𝑧1 ) grafikisht mund të paraqitet nga vektori i vizatuar nga −𝑧1 deri tek 𝑠1. Vektorë të ngjajshëm mund të vizatohet (𝑠1 + 𝑝1 ) dhe (𝑠 + 𝑝2 ). Andaj, Δ(𝑠1 ) është paraqitur nga vektorët e viztuar nga polet dhe zerot e funme të Δ(𝑠) deri tek pika 𝑠1, sic tregohen në 8-19a. Tani, nëse pika 𝑠1 lëvizohet nepër lokusin Γ𝑠 derisa të kthehet në pozitën fillestare, këndet që gjenerohen nga vektorët e të dy poleve që nuk rrethohen nga Γ𝑠 kur 𝑠1 kompleton një rrotullim janë zero, ku vektori (𝑠1 + 𝑧1 ) e vizatuar nga zero në −𝑧1 , që përshihet nga Γ𝑠 , gjeneron një kënd pozitiv prej 2𝜋 radian, që nënkupton se Δ(𝑠) korresponduese duhet rrotulluar rreth origjinës për 2𝜋 radian, apo një rrotullim të plotë, në drejtim të kundërt me akrepat e orës, sic tregohet në figurën 8-19b. Kjo është arsyeja që vetëm polet dhe zerot e Δ(𝑠) që janë brenda trajektores Γ𝑠 do kontribojnë në vlerën e 𝑁 të ekuacionit 8-42. Për shkak se polet e Δ(𝑠) kontribojnë në faze negative, kurse zerot kontribojnë në fazë pozitive, atëherë vlerë e 𝑁 varet në ndryshimin mes 𝑍 dhe 𝑃. Për shembullin e treguar në figurën 8-19 𝑍 = 1 dhe 𝑃 = 0. Andaj

që nënkupton se lokusi ΓΔ në rrafshin Δ(𝑠) duhet të rrethojë origjinën një herë në kahjen e njejtë me loksin Γ𝑠 në rrafshin 𝑠. Duhet pasur parasysh se 𝑍 dhe 𝑃 ju referohen vetëm zerove dhe poleve të Δ(𝑠) që janë të rrethuara nga Γ𝑠 dhe jo numrit total të poleve dhe zerove të Δ(𝑠). Në përgjithësi, këndi neto i përshkuar nga lokusi në rrafshin Δ(𝑠), kur lokusi në rrafsin 𝑠 përshkuhet një herë në cilindo drejtim, është :

Ky ekuacion implikon që nëse ka 𝑁 zero më shumë sesa pole të Δ(𝑠) që rrethon në rrafshin 𝑠 nga lokusi Γ𝑠 , në një kahje të caktuar, atëherë lokusi në rrafsin Δ(𝑠)lokusi në rrafshin Δ(𝑠) do rrethojë 𝑁 herë origjinën në kahje të njejtë me atë të lokusit Γ𝑠 . Në të kundërten, nëse 𝑁 pole më shumë sesa zero rrethohen nga lokusi Γ𝑠 , atëherë lokusi ΓΔ do rrethojë 𝑁 herë origjinën e rrafshit Δ(𝑠) në kahje të kundërt me atë të lokusit Γ𝑠 . Një përmbledhje e të gjitha rezultateve të përimit të argumentit është dhënë në tabelën 8.1.

Figure 1 : (a) Konfiguracioni pole zero i 𝚫(𝒔) në ekuacionin 8-44

8.5.5

Lakorja e Nqyuistit

Vite më parë kur Nyquisti është përballur me problemin e gjetjes së zgjedhjes së problemit të stabilitetit, që përfshinë caktimin e asaj se a ka funksioni Δ(𝑠) = 1 + 𝐿(𝑠) zero në anën e djathtë të rrafshit kompleks, është e qartë se ai vërejtmi se parimi i argumentit mund të aplikohet për të zgjidhur problemin e stabilitetit nëse lokusi Γ𝑠 në rrafshin 𝑠 merret i tillë që rrethon tërë gjysmën e djathtë të rrafshit kompleks 𝑠. Sigurisht, si alternativë lokusi Γ𝑠 mund të zgjedhet ashtu që të rrethojë gjysmën e majtë të rrafshit kompleks, andaj zgjedhja është relative. Figura 8-20 ilustron një lokus Γ𝑠 me kahje të kundërt me akrepat e orës që rrethon anën e djathtë të rrafshit. Lakorja Γ𝑠 e treguar në figurën 8-20 definohet si lakorja e Nyquistit. Për shkak se lakorja Γ𝑠 nuk guxon të kalojë nepër zero apo pole të Δ(𝑠)

janë gjysmërrathët e treguar në boshtin imagjinarë 𝑗𝜔 në figurën 8-20, që tregojnë se lakorja duhet të shkojë anash këtyre poleve dhe zerove qe ndodhën në boshtin imagjinarë 𝑗𝜔. Ëshë e qartë se nëse ka ndonjë pol apo zero që ndodhët në anën e djathtë të rrafshit kompleks, atëherë ai pol/zero do rrethohet nga lakorja e Nyquistit Γ𝑠 .

Figura 8-20 : Lakorja e Nyquistit

8.5.6

Kriteri i Nyquistit dhe lakorja 𝑳(𝒔) (apo 𝑮(𝒔)𝑯(𝒔))

Kriteri i Nyquistit është aplikim direkt i parimit të argumentit kur lokusi në rrafshin 𝑠 është lakorja e Nyquistit e treguar në figurën 8-20. Në parim, kur të jetë përcaktuar lakorja e Nyquistit, stabiliteti i sistemit me qark të mbyllur mund të përcaktohet duhe paraqitur lokusin e Δ(𝑠) = 1 + 𝐿(𝑠) ku 𝑠 merr vlera përgjatë lakores së Nyquistit, dhe më pas duke analizuar sjelljen e lakores së Δ(𝑠) në referencë me pikën kritike, që në këtë rast ëshët origjina e rrafshit Δ(𝑠). Për shkak se funksioni 𝐿(𝑠) përgjithësisth është i njohur, do ishtë më e thjeshtë të konstruktojmë lakoren e 𝑳(𝒔) që i korrespondohet lakores së Nyquistit, dhe të njëjtat konkludime në stabilitetin e sistemit të mbyllur mund të nxjerren duke vëzhguar sjelljen e lakores së 𝑳(𝒔) në referencë me pikën (−𝟏, 𝒋𝟎) në rrafshin 𝑳(𝒔). Kjo është për shkak se origjina e Δ(𝑠) = 1 + 𝐿(𝑠) i korrespondohet pikës (−1, 𝑗0) në rrafshin 𝐿(𝑠). Andaj pika (−1, 𝑗0) në rrafshin 𝐿(𝑠) bëhet pika kritike për përcaktimin e stabilitetit të sistemit me qark të mbyllur. Për sistemet e nëj degë rivepruese, 𝐿(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠), zhvillimi paraprak dërgon deri në përcaktimin e stabilitetit të sistemit me qark të mbyllur duke analizur sjelljen e lakorës 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) ndaj

pikës (−1, 𝑗0) në rrafshin 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠). Andaj kriteri i Nyquisitit për stabilitet është edhe një shembull tjetër ku përdorim vetitë e lakut të sistemit për të gjetur sjelljën e sistemit me lak të mbyllur. Andaj, nëse na është dhënë një sistem rregullues që ka ekuacionin karakteristik që fitohet duke barazuar polinomin në emërues me zero 1 + 𝐿(𝑠), ku 𝐿(𝑠) është funksioni i lakut të sistemit, aplikimi i kriterit të Nyquisitit në stabilitet përshinë hapa në vijim :  Definohet lakorja e Nyquisitit sikurse në figurën 8-20.  Lakorja 𝐿(𝑠) që i korrespondondohet lakores së Nyquistit konstruktohet në rrafshin 𝐿(𝑠).  Vlera e 𝑁, pra numri i rrethimeve të (−1, 𝑗0) nga lakorja e 𝐿(𝑠), vëzhgohet.  Kriteri i Nyquistit më pas rrjedh nga ekuacioni (8-42)

ku 𝑁 = numri i rrethimeve të pikës (−1, 𝑗0) nga lakorja 𝐿(𝑠) 𝑍 = numri i zerove të 1 + 𝐿(𝑠) që janë brenda lakores së Nyquistit, në anën e djathtë të rrafshit kompleks. 𝑃 = numri i poleve të 1 + 𝐿(𝑠) që janë brenda lakores së Nyquistit, pra që janë në anën e djtathtë të rrafshti kompleks. Duhet vërejtur se polet e 1 + 𝐿(𝑠) janë po ato të 𝐿(𝑠). Kërkesat për stabilitet për dy llojet e stabilitetit të treguara më herët interpretohet me anë të 𝑍 dhe 𝑃. Për stabilitetit të qarkut të mbyllur, 𝒁 duhet të jetë zero. Për stabilitet të qarkut të hapur, P duhet të jetë zero. Andaj, kushti për stabiliteti sipas kriterit të Nyquistit merr formën :

Thënë ndryshe, që një sistem me qark të mbyllur të jetë stabil, lakorja e 𝑳(𝒔) duhet të rrethojë pikën (−𝟏, 𝒋𝟎) aq herë sa është numri i poleve të 𝑳(𝒔) që ndodhën në anën e djathtë të rrafshit kompleks, dhe rrethimi, nëse ekziston, duhet të jetë në drejtimin e akrepave të orës (nëse 𝚪𝒔 definohet drejtimin e kundërt të akrepave të orës).