824

ELEMENTE DE MATEMATICI FINANCIARE 1. DOBÂNDA SIMPLĂ 1.1 Definiţii şi relaţii de calcul Noţiunea de bază în matematicile financiare este dobânda. Dobânda se poate defini în următoarele moduri: a - Dobânda reprezintă suma de bani care este plătită de către debitor unui creditor pentru o anumită sumă de bani pe care debitorul a împrumutat-o de la creditor. b – Dobânda reprezintă suma de bani corespunzătoare plasării sumei ( S 0 ) de către un partener P1 către un partener P2 pe o durată de timp (t ) în anumite condiţii precizate. Dobânda este direct proporţională cu ( S 0 ) şi (t ) . În sensul general al cuvântului, dobânda reprezintă suma de bani primită pentru un împrumut bănesc.

Dobânda unitară (i) – reprezintă suma de bani dată de o unitate monetară pe timp de 1 an. Procentul (p) – reprezintă dobânda obţinută ca urmare a plasării sumei100 unităţi monetare (u.m.) pe timp de 1 an. Relaţiile dintre p şi i sunt: p = 100 ⋅ i i=

p 100

Dobânda simplă (D) – reprezintă dobânda calculată asupra sumei ( S 0 ) pe perioada (t ) . Dobânda simplă se calculează cu relaţia:

D = S0 ⋅ i ⋅ t D=

S0 ⋅ p ⋅ t 100

Formula dobânzii conţine patru elemente (D,p,t, S 0 ) şi în consecinţă dacă se cunosc trei dintre acestea se poate determina cel de al patrulea element.

1

Valoarea finală ( S t ) - reprezintă suma totală obţinută de creditorul care a plasat suma ( S 0 ) , pe o perioadă (t ) cu dobânda iniţială (i ) . S t = S 0 + D = S 0 + S 0 ⋅ i ⋅ t = S 0 (1 + i ⋅ t ) Valoarea finală este cunoscută în matematicile financiare şi sub denumirea de valoare revenită sau valoare acumulată . Dacă anul este împărţit în (k ) părţi egale şi (t k ) este un număr de astfel de părţi pentru care se calculează dobânda, obţinem: S0 ⋅ p ⋅ tk 100 ⋅ k S t = S 0 (1 + i ⋅ t k ) D = S0 ⋅ i ⋅ tk =

Dacă: t k - este un număr de zile, atunci k=360 (numărul de zile al anului financiar) t k - este un număr de luni (luna financiară are 30 zile) atunci k=12 Rezultă că:

S 0 ⋅ i ⋅ t ( zile) S 0 ⋅ p ⋅ t ( zile) = 360 36000 S ⋅ i ⋅ t (luni ) S 0 ⋅ p ⋅ t (luni ) D= 0 = 12 1200 D=

Scadenţă - perioada (t) pentru care s-a împrumutat o anumită sumă de bani. Să considerăm sumele de bani S1 , S 2 ,..., S n împrumutate cu acelaşi procent (p) dar care au respectiv scadenţele t1 , t 2 ,..., t n . Fie suma de bani (S)

Scadenţă comună – timpul (t) în care suma de bani (S) produce aceeaşi dobândă ca şi cele (n) sume cu scadenţele respective. Se calculează cu relaţia: t=

S1t1 + S 2 t 2 + ... + S n t n S

Dacă S = S1 + S 2 + ... + S n atunci scadenţa comună dată de relaţia anterioară se numeşte scadenţă medie. Scadenţa medie se calculează cu relaţia:

2

t=

S1 ⋅ t1 + S 2 ⋅ t 2 + ... + S n ⋅ t n S

Procentul mediu de plasament Să considerăm că se împrumută sumele S1 , S 2 ,..., S n cu scadenţele t1 , t 2 ,..., t n şi respectiv cu procentele p1 , p 2 ,..., p n . Se numeşte procent mediu de plasament procentul p cu care trebuie împrumutate sumele S1 , S 2 ,..., S n cu scadenţele t1 , t 2 ,..., t n pentru a produce aceeaşi dobândă. Procentul mediu de plasament se calculează cu relaţia:

p=

S1 p1t1 + S 2 p 2 t 2 + ... + S n p n t n S1t1 + S 2 t 2 + ... + S n t n

1.2. Aplicaţii 1.Se împrumută suma S 0 cu procentul p, iar după t ani se încasează suma S t . a) Care este valoarea sumei S t dacă S 0 = 10000u.m. ,iar t = 2,5 ani şi p=8? b) Cât este durata t dacă S 0 = 10000u.m. ,p=10 şi S t = 13000 ? c) Care este valoarea procentului p dacă S 0 = 10000u.m. , S t = 11000u.m. iar t=4 ani? 2. Se împrumută suma S 0 cu procentul p, iar după t ani se încasează suma S t . a) Care este valoarea sumei S t dacă S 0 = 3000 RON, iar t=3 ani şi p=6? b) Cât este durata t dacă S 0 = 3000 RON, p=5 şi S t = 4000 RON? c) Care este valoarea procentului p dacă S 0 = 3000 RON, S t = 5000 RON, iar t=5 ani? 3. Se împrumută suma S 0 cu procentul p, iar după t ani se încasează suma S t . a) Care este valoarea sumei S t dacă S 0 = 2000 $,iar t = 2 ani şi p=5? b) Cât este durata t dacă S 0 = 2000 $, p=6 şi S t = 5000 $ c) Care este valoarea procentului p dacă S 0 = 4000 $, S t = 6000 $ iar t=3 ani? 4. Se împrumută sumele: S1 = 5000u.m. , S 2 = 7000u.m. , S 3 = 2000u.m. , S 4 = 1000u.m. cu acelaşi procent p pe termenele: t1 = 2 ani, t 2 = 3 ani, t 3 = 1 an, t 4 = 3,5 ani. Să se calculeze scadenţa medie.

3

S1 = 4000 RON , S 2 = 6000 RON , S 3 = 1000 RON , S 4 = 5000 RON cu acelaşi procent p pe termenele: t1 = 1 an, t 2 = 2 ani, t 3 = 3 ani, t 4 = 4 ani. Să se calculeze scadenţa medie.

5.

Se

împrumută

sumele:

6. Se împrumută sumele: S1 = 7000$ , S 2 = 6000$ , S 3 = 5000$ , S 4 = 4000$ cu acelaşi procent p pe termenele: t1 = 2 ani, t 2 = 3 ani, t 3 = 4 ani, t 4 = 5 ani. Să se calculeze scadenţa medie. 7. Care este procentul mediu de plasament al sumelor: S1 = 1000u.m. , S 2 = 3000u.m. , S 3 = 7000u.m. , S 4 = 5000u.m. , S 5 = 8000u.m. cu scadenţele: t1 = 2 ani,

t 2 = 1 an, t 3 = 3 ani, t 4 = 2 ani, p1 = 10, p 2 = 5, p 3 = 12, p 4 = 8, p5 = 6.

t 5 = 4 ani

8. Care este procentul mediu de plasament S 2 = 3000 RON , S 3 = 4000 RON , S 4 = 5000 RON ,

t1 = 1 an, t 2 = 2 ani, t 3 = 3 ani, t 4 = 4ani, p1 = 10, p 2 = 12, p 3 = 13, p 4 = 14, p5 = 15.

cu

procentele

al sumelor: S1 = 2000 RON , S 5 = 6000 RON cu scadenţele: t 5 = 5 ani

cu

procentele

9. Care este procentul mediu de plasament al sumelor: S1 = 1000$ , S 2 = 2000$ , S 3 = 3000$ , S 4 = 4000$ , S 5 = 5000$ cu scadenţele: t1 = 3 ani, t 2 = 4 ani, t 3 = 5 ani, t 4 = 6 ani, t 5 = 7 ani . 10. Să se determine scadenţa unei sume de 25000 u.m. care produce o dobândă egală cu suma dobânzilor produse de 3500 u.m. pe timp de 72 zile; 4500 u.m. pe timp de 105 zile; 6000 u.m. pe timp de 124 zile şi 5000 u.m. pe timp de 150 zile. 11. Suma S 0 = 3600 u.m. a fost împrumutată pentru 1 an de zile în regim de dobândă simplă cu procentele anuale de 5,6,7,8 şi 10% pentru duratele consecutive de 30,45,60, 75 şi respectiv 150 zile. Să se calculeze dobânda corespunzătoare acestui împrumut. 12. Suma S 0 = 5000 RON a fost împrumutată pentru 2 ani de zile în regim de dobândă simplă cu procentele anuale de 5,6,7,8 şi 9% pentru duratele consecutive de 30,45,60, 75 şi respectiv 510 zile. Să se calculeze dobânda corespunzătoare acestui împrumut.

2 – DOBÂNDA COMPUSĂ 2.1. Definiţii şi relaţii de calcul O sumă de bani este plasată cu dobândă compusă dacă la sfârşitul primei perioade, dobânda simplă a acestei perioade este adăugată la sumă pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare.

4

Notaţii: S 0 - sumă iniţială p - procentul p   i - dobânda unitară  i =   100  t - durata de plasament a sumei S 0 (t – număr întreg) S t - durata finală după t perioade Dacă valoarea sumei plasate S 0 se modifică periodic pe durata de timp - t – după o anumită regulă, iar între două modificări consecutive sumei modificate i se aplică o dobândă simplă atunci vom afirma că s –a realizat un proces de dobândă compusă sau că plasarea sumei S 0 s-a efectuat în regim de dobândă compusă. Dacă se împrumută suma S 0 cu dobânda p, după t = 1 an această sumă devine: p   S t =1an = S 0 1 +  = S 0 (1 + i ) = S 0 ⋅ u  100 

Notaţie: u = 1 + i

(Factor de fructificare)

Suma finală după – t – ani va fi: S t = S 0 (1 + i ) t = S 0 ⋅ u t (Formula de fructificare) Dobânda compusă va fi pentru t – întreg D = S t − S 0 = S 0 (1 + i ) t − S 0 = S 0 (u t − 1) Suma iniţială depusă va fi: S0 = St ⋅

1

(1 + i )

Notaţie: v =

t

= S t ⋅ v t (Formula de actualizare)

1 (1 + i )

(Factor de actualizare)

Factorii – u – şi – v – se găsesc în tabele financiare pentru diferite procente şi diferite perioade întregi. Dacă t (durata de plasament) a sumei S 0 nu este un număr întreg de ani ci este fracţionară h (ani plus trimestre, luni sau zile): t = n + , există două soluţii pentru S t . k

5

Soluţia raţională:

h = S 0 (1 + i ) n (1 + i ) k Soluţia comercială: St = S

St = S

h n+ k

n+

h k

= S 0 (1 + i )

n+

h k

2.2. Aplicaţii 1. Ce sumă trebuie să depunem astăzi pentru a încasa peste 3 ani suma de 10000 RON ştiind că dobânda unitară este de 2,5%? 2. Cu ce procent trebuie depusă suma de 3450 RON timp de 8 ani pentru a deveni 5324,45 RON? 3. Să se calculeze valoarea finală a sumei de 10000 RON plasată timp de 8 ani şi 5 luni cu procentul anual de 5%. Se cer soluţia raţională şi soluţia comercială. 4. Se depune la C.E.C. cu dobânda p=5 suma S 0 = 10000 RON. Ce sumă se va obţine la lichidarea carnetului după 3 ani şi 5 luni? Se cer soluţia raţională şi soluţia comercială. 5. O sumă de 900000 RON este depusă într-un cont cu dobânda anuală de 8%. Care este suma disponibilă peste 4 zile? Dar peste 3 luni? Dar peste 1 semestru? 6. Ce sumă va ridica o persoană peste 5 ani cu dobândă compusă dacă astăzi depune 500000 RON cu 4%. Care este dobânda obţinută?

3 - DOBÂNDA ANUALĂ EFECTIVĂ De la începutul anului 2005 a intrat în vigoare legea creditelor de consum. Printre cele mai importante reglementări ale acestei legi intră şi obligativitatea băncilor şi a comercianţilor de a afişa dobânda anuală efectivă, pe scurt D.A.E. Acest parametru reprezintă costul total al creditului la consumator. Articolul 5 al aceleiaşi legi prevede că în orice anunţ publicitar şi în orice ofertă pentru un contract de credit pentru consumatori afişată în localurile comerciale, prin care o persoană declară că acordă un credit sau intermediază încheierea de contracte de credit şi prin care se indică o dobândă sau orice alte cifre referitoare la costul creditului, trebuie să se menţioneze D.A.E. în mod clar şi inteligibil, şi trebuie să se respecte prevederile legale privind publicitatea.

6

Dobânda anuală efectivă (D.A.E.) este calculată pornind de la caracteristicile unui credit şi conţine toate costurile asociate cu împrumutul respectiv, dobânda anuală, costul asigurării, comision analiză dosar. D.A.E. trebuie obligatoriu să fie prezentată în toate ofertele de credit de consum, întrucât permite compararea costurilor suportate de consumator în cazul contractării unui împrumut. Spre exemplu, un credit poate părea în aparenţă mai scump decât un altul, dacă se compară numai dobânda anuală. Pentru a şti cât costă un credit şi pentru a se putea face comparaţii, este necesar să se cunoască D.A.E. pentru fiecare ofertă, deoarece aceasta include tot ce trebuie plătit în plus faţă de dobânda împrumutului. Menţionarea D.A.E. este obligatorie numai pentru ofertele de credit de consum – nevoi personale, bunuri de folosinţă îndelungată, carduri de credit. Pentru creditele imobiliare şi pentru cele destinate persoanelor fizice autorizate sau persoanelor juridice pentru desfăşurarea activităţii nu este obligatorie prezentarea D.A.E. Rata de plată rămâne nemodificată , chiar dacă D.A.E. raportat la vechea dobândă dă impresia unei creşteri a acesteia D.A.E. nu se foloseşte pentru calculul ratelor unui împrumut, ci doar pentru a se face o comparaţie între diversele oferte de credit. Consumatorii de credite trebuie să ştie că aceste produse au costuri şi riscuri asociate . De aceea, condiţiile contractuale trebuie citite cu atenţie. De multe ori ceea ce este scris cu litere mici ascunde lucruri importante, cum ar fi, de exemplu, penalizări practicate la întârzierea ratelor, condiţii de rambursare anticipate şi alte asemenea informaţii pe care de obicei ofiţerii de credit le spun în treacăt sau nici nu le menţionează. Un aspect ce trebuie reţinut este acela că, în general creditele pe perioade lungi sunt dezavantajoase. Afişarea D.A.E. ajută la observarea acestui lucru mai uşor. Unele bănci au redus recent rata anuală a dobânzii la creditele în lei. Cât de ieftine au devenit însă aceste împrumuturi se poate vedea doar după verificarea D.A.E.

3. OPERAŢIUNI DE SCONT 3.1. Definiţii şi relaţii de calcul În general, operaţiunea de scont constă din cumpărarea de către băncile comerciale a unor poliţe înainte de scadenţa acestora, percepând o anumită taxă pentru un astfel de serviciu făcut deţinătorilor acestor documente financiare, iar la scadenţă vor încasa de la creditorul poliţei valoarea integrală a acesteia. O poliţă se cumpără la un moment dat cu preţul sau suma S 0 . Aceasta este evaluată cu procentul de emisiune p = 100 ⋅ i şi este scadentă după momentul sau durata θ . Valoarea finală la scadenţă a poliţei, K va fi:

7

K = S 0 (1 + i ⋅ θ ),θ ≤ 1an K = S 0 (1 + i )θ ,θ > 1an Dacă la un moment dat θ 1 < θ , adică la t = θ − θ 1 până la scadenţă, poliţa poate fi vândută unei bănci comerciale, atunci poliţa va avea o valoare finală sau curs.

K 1 = S 0 (1 + i ⋅ θ 1 ),θ 1 ≤ 1an K 1 = S 0 (1 + i )θ1 ,θ 1 > 1an K 1 − valoarealuiS 0 lamomentulθ 1 Valoarea scontată a poliţei (adică valoarea actuală la momentul vânzării acesteia; la momentul θ 1 = θ − t se notează cu K a .

Notaţii: S 0 - valoarea iniţială a operaţiunii (preţ de cumpărare, valoare de emisiune a poliţei) p - procent nominal de evaluare sau procent de emisiune a poliţei. K 1 - valoarea finală la scontare sau curs al poliţei la data scontării (sau vânzării) acesteia. K - valoarea finală a operaţiunii sau valoarea nominală la scadenţă a poliţei sau capital disponibil sau nominal la scadenţă. q - procent anual, procent de scont al poliţei. K a - valoarea actuală a poliţei la momentul vânzării acesteia sau valoare scontată sau capital scontat. Se numeşte taxă de scont sau scont diferenţa dintre capitalul nominal K şi capitalul scontat K a . S = K −Ka Prin urmare, la momentul θ 1 < θ ,deţinătorul poliţei va primi din partea băncii comerciale suma K a , care în general este mai mică decât valoarea finală de fructificare K 1 a acesteia, iar banca comercială va încasa la scadenţă suma sau valoarea nominală corespunzătoare K . Există posibilitatea ca banca scontatoare să vândă şi ea poliţa unei alte bănci comerciale sau bănci centrale înainte de scadenţă. Procedeul general de evaluare a poliţei rămâne acelaşi iar operaţiunea se numeşte rescontare.

3.2. Scontul simplu raţional (SSR) Scontul simplu raţional este dobânda dată de K a pe perioada t , cu dobânda unitară j:

8

SSR = K a ⋅ j ⋅ t Ka =

K 1+ j ⋅t

K = K a (1 + j ⋅ t ) q t SSR = 100 q 1+ t 100 K ⋅ j ⋅t SSR = 1+ j ⋅t Notaţii: K

q = 100 ⋅ j - procent de scont (procentul de scont poate fi egal sau diferit de procentul de emisiune al poliţei p = 100 ⋅ i ) j - dobânda unitară de scont t - durata scontării, în ani În practică, produsul jt fiind mic se neglijează, adică: 1+ j ⋅t ≅ 1 În acest caz obţinem: SSR = K ⋅ j ⋅ t Orice scont care aproximează scontul raţional se numeşte scont comercial.

3.3. Scontul simplu comercial (SSC) Scontul simplu comercial este dobânda dată de valoarea nominală K , pe perioada t, cu dobânda unitară j: SSC = K ⋅ j ⋅ t K a = K (1 − jt ) Ka 1 − jt SSC = SSR (1 + j ⋅ t ) K=

SSR =

SSC 1 + jt

9

3.4. Scontul compus Scontul compus este scontul în care calculele se fac în regim de dobândă compusă. Dacă dobânda se aplică asupra valorii K a cu dobânda unitară j, pe perioada t (în regim de dobândă compusă) se obţine scontul compus raţional (SCR). Orice scont care aproximează scontul compus raţional se numeşte scont compus comercial (SCC) Dacă K = 1u.m. şi t = 1 an se obţine: SSR =

j 1+ j

Scontul unitar sau unitate de scont (d): d=

j 1+ j

Factor de actualizare sau factor de scont ( ϑ ): 1 1+ j d = 1−ϑ

ϑ=

În regim de dobândă compusă se poate scrie relaţia: K = K a (1 + j ) t Aplicând definiţia scontului compus raţional obţinem scontul compus raţional: SCR = K a [(1 + j ) t − 1] SCR = K [1 − (1 + j ) −t ] = K (1 − ϑ t ) Ka =

K (1 + j ) t

Dezvoltăm în serie de puteri (1 + j) t . Obţinem: (1 + j ) t = 1 + jt + j 2

t (t − 1) + ... 2

Neglijând termenii de rang superior (mai mari sau egali cu 2) deoarece dobânda unitară este redusă pe piaţa financiară obţinem:

10

 1  Kjt SCR = K 1 − =   1 + jt  1 + jt Având în vedere că orice scont care aproximează scontul compus raţional se numeşte scont compus comercial, obţinem pentru scontul compus comercial relaţia: SCC = K a jt Ka =

K 1 + jt

K = K a (1 + jt )

3.5. Aplicaţii 1. La data de 01.02.2004 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 120.000 u.m., având scadenţa 10 luni mai târziu, cu procentul anual de 10%. Din anumite motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă. Se cere: - valoarea nominală a poliţei la scadenţă - valoarea finală a poliţei la momentul scontării - valoarea scontată a poliţei, aplicând atât scontul simplu raţional, cât şi scontul simplu comercial cu procentele q1 = 8%, q 2 =10%. 2. La data de 01.01.2005 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 100.000 RON, având scadenţa 12 luni mai târziu, cu procentul anual de 12%. Din anumite motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 6 luni înainte de scadenţă. Se cere: - valoarea nominală a poliţei la scadenţă - valoarea finală a poliţei la momentul scontării - valoarea scontată a poliţei, aplicând atât scontul simplu raţional, cât şi scontul simplu comercial cu procentele q1 = 3%, q 2 = 6%. 3. La data de 01.03.2005 a fost cumpărată o poliţă în valoare de 50.000$, având scadenţa 4 luni mai târziu, cu procentul anual de 11%. Din anumite motive posesorul poliţei o prezintă la scontare cu 5 luni înainte de scadenţă. Se cere: - valoarea nominală a poliţei la scadenţă - valoarea finală a poliţei la momentul scontării - valoarea scontată a poliţei, aplicând atât scontul simplu raţional, cât şi scontul simplu comercial cu procentele q1 = 4%, q 2 = 8%. 4. O poliţă are valoarea de emisie de 100.000 u.m. şi este scadentă peste 5 ani, cu procentul de 8%. Dacă scontarea se face cu procentul q1 = 8% sau q 2 = 10% în regim de scont compus, se cere: - valoarea nominală - cât va primi beneficiarul cu doi ani înainte de scadenţă?

11

5. O poliţă are valoarea de emisie de 75.000 RON şi este scadentă peste 3 ani, cu procentul de 6%. Dacă scontarea se face cu procentul q1 = 6% sau q 2 = 12% în regim de scont compus, se cere: - valoarea nominală - ce sumă va încasa beneficiarul cu 1 an înainte de scadenţă? 6. O poliţă are valoarea de emisie de 50.000 % şi este scadentă peste 2 ani, cu procentul de 10%. Dacă scontarea se face cu procentul q1 = 3% sau q 2 = 5% în regim de scont compus, se cere: - valoarea nominală - ce sumă va încasa beneficiarul cu 8 luni înainte de scadenţă?

4. PLĂŢI EŞALONATE Prin plăţi eşalonate sau rente se înţeleg sumele de bani care se plătesc la intervale egale de timp. Intervalul de timp care separă plata a două sume consecutive se numeşte perioadă şi poate fi: anul, semestrul, trimestrul, luna. Plăţile eşalonate se numesc: -

anuităţi: - dacă se plătesc anual semestrialităţi: - dacă se plătesc semestrial trimestrialităţi: - dacă se plătesc trimestrial mensualităţi: - dacă se plătesc lunar

Plăţile eşalonate pot fi constante sau variabile după cum sumele plătite periodic sunt sau nu constante. Plăţile eşalonate pot fi imediate sau amânate în funcţie de prima plată care poate fi imediată sau amânată după un anumit număr de ani stabilit prin contract.

4.1. Anuităţi constante posticipate Plata eşalonată la sfârşitul fiecărui an în sumă constantă se numeşte anuitate posticipată constantă. Notaţii: T- valoarea anuităţii constante n – numărul de ani i – dobânda unitară anuală S n - suma finală a unui şir de anuităţi la momentul plăţii ultimei anuităţi.

S n = T (1 + i ) n −1 + T (1 + i ) n− 2 + ... + T (1 + i ) + T

12

(1 + i ) n − 1 Sn = T (1 + i ) − 1 (1 + i ) n − 1 Sn = T i 1+ i = u

u n −1 Sn = T i Dacă T = 1 (valoarea anuităţii posticipate este de 1 leu) rezultă că valoarea finală a şirului de anuităţi posticipate este:

s n = 1 + (1 + i ) + ... + (1 + i )

n −1

un −1 = i

Rezultă că:

S n = T ⋅ sn Ak - valoarea actuală a plăţii T efectuată peste un număr - k – de ani T (1 + i ) k Dacă peste k ani se plăteşte suma T aceasta echivalează cu plata sumei Ak în momentul de faţă. Ak =

An - suma actuală a şirului de anuităţi în momentul semnării contractului adică cu o perioadă înaintea primei plăţi. An = T

(1 + i ) n − 1 1 ⋅ i (1 + i ) n

1−ϑ n An = T i Dacă T = 1 (valoarea anuităţii posticipate este de 1 leu) atunci valoarea actuală a şirului de anuităţi posticipate este: 1−ϑ n ; An = T ⋅ a n i Între valoarea actuală An a şirului de anuităţi posticipate şi valoarea finală S n a şirului de anuităţi posticipate există relaţia: an =

13

(1 + i ) n − 1 1 1 ⋅ = Sn n i (1 + i ) (1 + i ) n Relaţia de calcul a valorii actuale a unui şir de anuităţi constante posticipate, temporare, amânate în condiţiile în care prima plată se face după – r – ani, posticipat, adică la momentul r + 1 , timp de n − r ani, este: An = T

T 1 − (1 + i ) − ( n− r ) ⋅ r An = i (1 + i ) r 1 − ϑ n−r r An = Tϑ i r r An = T ⋅ ϑ ⋅ a n − r r

Relaţia de calcul a valorii finale a unui şir de anuităţi constante posticipate, temporare, amânate, în condiţiile în care prima plată se face după r ani, posticipat, adică la momentul r + 1 , iar ultima plată la momentul n, timp de n-r ani, este: (1 + i ) n− r − 1 i S = T ⋅ s r n n−r r Sn = T

Între valoarea actuală An a şirului de anuităţi constante, posticipate, temporare, amânate după r ani şi valoarea finală corespunzătoare există relaţiile: r r An = T ⋅ ϑ

1 − ϑ n−r u n−r − 1 = Tϑ n = r Sn ⋅ϑ n i i

4.2. Aplicaţii 1. Care este valoarea finală a unui şir de 12 anuităţi posticipate a 7000 u.m. la momentul plăţii ultimei anuităţi. Procentul este 5,5%. 2. Care este valoarea finală a unui şir de 10 anuităţi posticipate a 5000 RON la momentul plăţii ultimei anuităţi. Procentul este 6%. 3. Care este valoarea finală a unui şir de 9 anuităţi posticipate a 4000 $ la momentul plăţii ultimei anuităţi. Procentul este 7%. 4. Care este valoarea sumei unice care trebuie depusă imediat pentru a înlocui plata a 12 anuităţi posticipate a 1250 u.m. fiecare cu procentul 5%? 5. Care este valoarea sumei unice care trebuie depusă imediat pentru a înlocui plata a 10 anuităţi posticipate a 1500 RON fiecare cu procentul 6%? 6. Care este valoarea sumei unice care trebuie depusă imediat pentru a înlocui plata a 8 anuităţi posticipate a 1000 $ fiecare cu procentul 8%?

14

4.3. Anuităţi constante anticipate Anuităţile anticipate se fac la începutul anului adică la momentele 0,1,2,…,n-1. Suma finală este evaluată la un an după ultima plată şi se notează cu S na . (1 + i ) n − 1 i n u −1 S na = T ⋅ u i S na = T (1 + i )

Pentru T = 1 valoarea finală a unui şir de anuităţi anticipate de 1 u.m. este: (1 + i ) n − 1 (1 + i ) i S na = T ⋅ s na s na =

Valoarea actuală a unui şir de anuităţi constante, anticipate, imediate, temporare este sume necesară în momentul iniţial pentru a putea plăti la fiecare scadenţă suma fixă T. Ana = T (1 + i )

1 − (1 + i ) − n i

Pentru T=1 a na = (1 + i )

1 − (1 + i ) − n i

Ana = T ⋅ a na Valoarea actuală a unui şir de anuităţi anticipate, constante, temporare, amânate: a − ( n −1) ⋅ r An = T (1 + i )

r

1 − (1 + i ) − ( n − r ) i

Ana = T ⋅ ϑ r −1 ⋅ a na− r

4.4. Plăţi eşalonate fracţionate Se numeşte plată eşalonată fracţionată constantă, plata eşalonată în care rata anuală T este T împărţită în – k – părţi egale fiecare cu rk = care se plătesc fie la sfârşitul perioadei fie k la începutul perioadei.

15

Dacă plata eşalonată este limitată la – n – ani, atunci plata fracţionată de – k – rate pe an va fi în număr de - k ⋅ n . Valoarea finală a unui şir de plăţi eşalonate temporare, imediate, fracţionate de – k – ori pe ani se calculează cu relaţia: n

jk  k  1 +  − 1 k  k Sn = T  jk k

j   1 + i = 1 + k  k   T (1 + i ) n − 1 i S nk = ⋅ i jk S nk = T ⋅ s n ⋅

i jk

Valoarea actuală a plăţilor eşalonate posticipate, temporare, imediate, fracţionate de – k – ori pe an se calculează cu relaţia: Ank = T ⋅

i 1 i ⋅ = T ⋅ an n j k (1 + i ) jk

Plăţile eşalonate perpetue posticipate, imediate, fracţionate de k ori pe an se calculează cu relaţia: A∞k = T

i T ⋅ a∞ = jk jk

Plăţile eşalonate temporare posticipate, amânate, fracţionate de – k – ori pe an se calculează cu relaţia: k r Sn = T

(1 + i ) n− r − 1 i i ⋅ =T ⋅ s n−r i jk jk

4.5. Aplicaţii 1. De ce sumă de bani va dispune o persoană care depune timp de 15 ani câte 200 u.m. la sfârşitul fiecărei luni cu un procent de 5 %? 2. De ce sumă de bani va dispune o persoană care depune timp de 10 ani câte 100 RON la sfârşitul fiecărei luni cu un procent de 6 %? 3. De ce sumă de bani va dispune o persoană care depune timp de 8 ani câte 50 $ la sfârşitul fiecărei luni cu un procent de 8 %?

16

5. ÎMPRUMUTURI

5.1. – Definiţii şi relaţii de calcul Se numeşte împrumut operaţia financiară prin care un partener numit creditor, plasează o sumă de bani, pe o anumită perioadă de timp,în anumite condiţii unui alt partener numit debitor. Operaţiunea prin care debitorul restituie suma creditorului se numeşte rambursare sau amortizare a împrumutului. Un împrumut care nu se mai înapoiază se numeşte împrumut nerambursabil. Sumele rambursate anual care au rolul de a amortiza treptat suma împrumutată se numesc amortismente.

5.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate Notaţii: V0 - suma împrumutată la momentul iniţial T1 ,..., Tn - anuităţi (rate) succesive. Anuitatea T1 se plăteşte la sfârşitul primului an. n - durata în ani a rambursării a1 ,..., a n - amortismentele succesive conţinute în prima, a doua şi a n-a anuitate Tabelul de amortizare a unui împrumut prin anuităţi constante posticipate se prezintă astfel: Momente

Amortizări

Dobânda

Anuităţi

Suma rămasă de plată V0

0

-

-

-

1

Q1

d 1 = V0 ⋅ i

T1 = Q1 + d1

2


P

Q2
Qp

d 2 = V1 ⋅ i
d p = V p −1 ⋅ i

T2 = Q2 + d 2
Tp = Qp + d p

V2 = V1 − Q2
V p = V p −1 − Q p


n


Qn


d n = Vn −1 ⋅ i


Tn = Qn + d n


Vn = Vn −1 − Qn = 0

V1 = V0 − Q1

Acest tabel este valabil pentru orice lege a anuităţilor pentru care nu s-a formulat nici o ipoteză privind plata acestora. Tn = Qn (1 + i )

17

Ultima anuitate este egală cu ultimul amortisment la care se adaugă dobânda corespunzătoare. Relaţia între suma împrumutată V0 şi amortismente este: V0 = Q1 + Q2 + ... + Qn Suma împrumutată este egală cu suma amortismentelor. Relaţia dintre anuităţi şi amortismente este: T p +1 − T p = Q p +1 − Q p (1 + i )

5.2. Împrumuturi cu anuităţi constante, plătibile la sfârşitul anului

T1 = T2 = ... = Tn = T T p +1 − T p = 0 Q p +1 = Q p (1 + i ) Q p +1 = Q1 (1 + i ) p (1 + i ) n − 1 V0 = Q1 i i T T Q1 = V0 ; Qn = ; Qn −1 = n 1+ i (1 + i ) − 1 (1 + i ) 2 i T = V0 1 − (1 + i ) − n Calculul dobânzilor: d 1 = T − Q1 d 2 = T − Q2


d n = T − Qn Calculul diferenţelor dobânzilor: d 1 − d 2 = Q1 ⋅ i d 2 − d 3 = Q1 ⋅ i ⋅ (1 + i ) Diferenţele succesive ale dobânzilor formează o progresie geometrică crescătoare având primul termen Q1 ⋅ i şi raţia (1 + i ).

18

Tabelul de amortizare a unui împrumut cu anuităţi (rate) constante, plătibile le sfârşitul anului (posticipat) se prezintă astfel: Suma datorată la începutul perioadei V0

Dobânda

Amortismentul

Anuitatea

d 1 = V0 i

Q1

T = d1 + Q1


n-1

V1
Vn − 2

d 2 = V1i
d n −1 = Vn − 2 i

Q2
Qn−1

T = d 2 + Q2
T = d n −1 + Qn −1

n

Vn −1

d n = Vn−1i

Qn

T = d n + Qn

Anii

1 2

Suma datorată la sfârşitul perioadei V1 = V0 − Q1

V2 = V1 − Q2
Vn −1 = Vn − 2 − Qn −1 Vn = 0

Aplicaţii 1. Un împrumut de 10.000 u.m. urmează să fie rambursat în 4 ani prin anuităţi constante posticipate cu 5%. Să se întocmească tabelul de amortizare. 2. Un împrumut de 15.000 RON urmează să fie rambursat în 3 ani prin anuităţi constante posticipate cu 6%. Să se întocmească tabelul de amortizare. 3. Un împrumut de 9000 $ urmează să fie rambursat în 4 ani prin anuităţi constante posticipate cu 8%. Să se întocmească tabelul de amortizare.

5.3. Împrumuturi cu anuităţi constante cu dobândă plătită la începutul anului În condiţiile în care se plăteşte la începutul anului dobânda pentru primul an (V0 ⋅ i ), înseamnă că suma reală împrumutată este V0 − V0 ⋅ i . Pentru fiecare din anii care urmează dobânda se calculează asupra sumei rămase de plătit şi se plăteşte odată cu amortismentul. Tabelul de amortizare a unui împrumut cu anuităţi (rate) constante cu dobândă plătită la începutul anului (anticipat) se prezintă astfel:

19

Anii

Amortismentele

Dobânzi

Anuităţi

0

-

d 0 = V0 ⋅ i

-

Suma rămasă de plată la sfârşitul anului V0 − V 0 i

1

Q1

d1 = V1 ⋅ i

T1 = Q1 + V1i

V1 = V0 − Q1

2


P

Q2
Qp

d 2 = V2 ⋅ i
d p = Vp ⋅ i

T2 = Q2 + V2 i
Tp = Qp + Vpi

V2 = V1 − Q2
V p = V p −1 − Q p


n


Qn


d n = Vn ⋅ i


Tn = Qn + Vn i


Vn = Vn −1 − Qn = 0

Deoarece Vn = 0 , rezultă că Tn = Qn Diferenţa a două anuităţi succesive este: T p +1 − T p = Q p +1 (1 − i ) − Q p Deoarece anuităţile sunt constante, se poate scrie: T1 = T2 = ... = T p = T p +1 = ... = Tn = T obţinem: Q p +1 =

Qp 1− i

=

Q1 (1 − i ) p

Suma împrumuturilor efectiv este egală cu suma amortismentelor. Rezultă că: V0 = Q1 + Q2 + ... + Qn 1 − (1 − i ) n 1 − i V0 = Q1 ⋅ i (1 − i ) n i (1 − i ) n Q1 = V0 (1 − i )[1 − (1 − i ) n ]

Aplicaţii 1. Un împrumut de 40.000 u.m. este rambursabil în cinci ani prin anuităţi constante cu dobândă plătibilă la începutul anului cu procent de 5%. Să se întocmească tabelul de amortizare.

20

2. Un împrumut de 30.000 RON este rambursabil în patru ani prin anuităţi constante cu dobândă plătibilă la începutul anului cu procente de 6%. Să se întocmească tabloul de amortizare. 3. Un împrumut de 20.000 $ este rambursabil în trei ani prin anuităţi constante cu dobândă plătibilă la începutul anului cu procente de 4%. Să se întocmească tabloul de amortizare.

5.4. Împrumuturi rambursabile o singură dată Pot exista două cazuri:

Cazul I Persoana sau instituţia care a contractat împrumutul V0 plăteşte anual dobânzile aferente sumei împrumutate V0 urmând ca suma împrumutată să fie plătită după – n – ani la data expirării contractului de împrumut împreună cu dobânda ultimului an. Dacă dobânzile sunt calculate în condiţiile unei dobânzi unitare – i – se poate scrie: Anul 1: T1 = V0 ⋅ i = d1 Anul 2: T2 = V0 ⋅ i = d 2 …………………… Anul n: Tn = V0 + V0 ⋅ i = V0 + d n Acest mod de rambursare a unui împrumut este utilizat în situaţiile în care suma V0 nu are o valoare foarte mare.

Cazul II Persoana sau instituţia care a contractat împrumutul îşi creează suma împrumutată V0 prin depuneri periodice la o bancă, timp de – n – ani pe baza dobânzilor unitare i ' . Anuităţile T ' fiind cunoscute se poate scrie: Anul 1: T1 = T ' + V0 ⋅ i ' Anul 2: T2 = T ' + V0 ⋅ i ' ……………………… Anul n: Tn = T ' + V0 ⋅ i ' Acest sistem de rambursare se numeşte sistem american. Suma care urmează să fie rambursată după – n – ani se calculează cu relaţia: Qn = V0 (1 + i ) n 21

Pentru pregătirea acestei sume persoana sau instituţia care a contractat împrumutul va depune la sfârşitul fiecărui an la o bancă o anuitate constantă care se calculează cu relaţiile: i' i' i' ' n T = V0 = V0 (1 + i ) = Qn 1 − (1 + i ' ) − n (1 + i ' ) n − 1 (1 + i ' ) n − 1 '

Aplicaţii 1. O persoană împrumută suma de 10.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze peste 5 ani împreună cu dobânda calculată cu procent de 4%. Pentru a constitui această sumă persoana depune la sfârşitul fiecărui an o sumă de bani cu procent de 5 %. Care este suma pe care o depune? 2. O instituţie împrumută suma de 20.000 RON pe care urmează să o ramburseze peste 6 ani împreună cu dobânda calculată cu procent de 5%. Pentru a constitui această sumă persoana depune la sfârşitul fiecărui an o sumă da bani cu procent de 7%. Care este suma pe care o depune? 3. O persoană împrumută suma de 5000$ pe care urmează să o ramburseze peste 3 ani împreună cu dobânda calculată cu procent de 5%. Pentru a constitui această sumă persoana depune la sfârşitul fiecărui an o sumă de bani cu procent de 6 %. Care este suma pe care o depune?

5.5. Împrumuturi cu amortismente egale Amortismentele fiind egale se poate scrie relaţia: Q1 = Q2 = ... = Qn = Q Dar, V0 = Q1 + Q2 + ... + Qn = n ⋅ Q Obţinem: Q=

V0 n

Anuităţile verifică relaţia: T p +1 − T p = Q p +1 − Q p (1 + i ) T p +1 − T p =

V0 V0 V − (1 + i ) = − 0 ⋅ i n n n

Obţinem:

22

T p +1 = T p −

V0 ⋅ i = Tp − Q ⋅ i n

Tabloul de amortizare a unui împrumut cu amortismente egale se prezintă astfel: Anii

Amortismentele

Dobânzi

Anuităţi

1

Q

d 1 = V0 ⋅ i

T1 = Q + d1

Suma rămasă de plată la sfârşitul anului V1 = V0 − Q

2

Q


P


Q

d 2 = V1 ⋅ i
d p = V p −1 ⋅ i

T2 = Q + d 2
Tp = Q + d p

V2 = V1 − Q
V p = V p −1 − Q


n


Q


d n = Vn −1 ⋅ i


Tn = Q + d n


Vn = 0

Aplicaţii 1. O persoană a împrumutat suma de 25.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 5% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Să se întocmească tabloul de amortizare. 2. O persoană a împrumutat suma de 30.000 RON pe care urmează să o ramburseze în 3 ani cu procentul de 6% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Să se întocmească tabloul de amortizare. 3. O persoană a împrumutat suma de 40.000 $ pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 7% prin anuităţi posticipate cu amortismente egale. Să se întocmească tabloul de amortizare.

ELEMENTE DE MATEMATICI ACTUARIALE 1.DEFINIŢII Riscul reprezintă o problemă de mare importanţă a societăţii contemporane fiind un efect al dezvoltării economice, al degradării mediului înconjurător, al calamităţilor naturale şi al accidentelor. Existenţa oricărui risc atrage necesitatea asigurărilor, care oferă posibilitatea de evitare a riscului sau a consecinţelor nedorite ale acesteia.

Sistemul de asigurări se defineşte ca fiind totalitatea instituţiilor care pe baza unor norme şi garanţii oferă persoanelor asigurate posibilitatea recuperării pierderilor provocate de accidente sau calamităţi naturale precum şi surse financiare suplimentare de existenţă în cazul incapacităţii de muncă sau în caz de deces.

23

Sistemele de asigurări presupun existenţa unor fonduri de asigurări. Aceste fonduri se realizează prin vărsăminte financiare ale persoanelor fizice şi ale persoanelor juridice. Din punct de vedere al naturii lor asigurările pot fi: - obligatorii - facultative Asigurările obligatorii sunt prevăzute prin lege în timp ce asigurările facultative se realizează pe baza înţelegerii între părţi. În sens general, indiferent de natura lor asigurările pot fi: - asigurări de persoane - asigurări de bunuri Asigurările de persoane pot fi: - asigurări de accidente - asigurări de viaţă Asigurarea se stabileşte prin lege sau prin contract de asigurare între asigurator şi asigurat. Contractul sau legea de asigurare prevede condiţii de asigurare sau obligaţii precise pentru fiecare parte contractantă. Operaţiile de asigurări presupun probleme de ordin juridic, de ordin tehnic şi de ordin economic.

Matematicile actuariale au ca obiect de studiu rezolvarea problemelor de ordin economic referitoare la asigurări. Matematicile actuariale au la bază elemente ale teoriei probabilităţilor şi ale statisticii matematice. Relaţia asigurat – asigurator presupune obligaţia asiguratului de a plăti la termenele stabilite prin lege sau prin contract primele de asigurare asiguratorului, acesta având obligaţia de a plăti suma asigurată la termenul stabilit sau în momentul în care se produce evenimentul (riscul) asigurat. În situaţia asigurărilor de persoane, asiguratul plăteşte primele de asigurare numai cât se află în viaţă sau până la expirarea termenului de asigurare. Primele de asigurare pot fi unice sau periodice. Primele de asigurare unice se plătesc o singură dată pentru tot timpul asigurării, iar primele de asigurare periodice se plătesc anual, trimestrial sau lunar. Prin primă unică de asigurare se înţelege valoarea medie a sumelor plătite de asigurat.

24

2.FUNCŢII BIOMETRICE Valorile primelor de asigurare pentru asigurările de viaţă se stabilesc prin introducerea în calcule ai unor factori reprezentaţi prin diferite constante statistice determinate de societăţile de asigurare.

Mortalitatea este unul dintre aceşti factori şi este influenţat de condiţiile de viaţă, vârstă, profesie, sex. Pentru o anumită colectivitate, mortalitatea se determină cu ajutorul unor variabile scalare numite funcţii biometrice.

3. TEOREMA COMPUNERII CONTRACTELOR Dacă A este o asigurare de viaţă compusă din asigurările parţiale A1 , A2 ,..., An iar P1 , P2 ,..., Pn sunt primele corespunzătoare asigurărilor parţiale atunci valoarea primei totale pentru asigurarea de viaţă A este: P = P1 + P2 + ... + Pn

Demonstraţie Să notăm cu: X – valoarea actuală a sumelor pe care instituţia de asigurări le va încasa pentru asigurarea A. X i - valoarea actuală a sumelor parţiale care urmează să fie încasate pentru asigurările parţiale Ai (i = 1,2,..., n) Sumele se plătesc dacă asiguratul este în viaţă. Primele de asigurare fiind valori medii ale variabilelor aleatoare X, respectiv X i se poate scrie: P = M (X ) P1 = M ( X 1 ); P2 = M ( X 2 );...; Pn = M ( X n ) Având în vedere că: X = X 1 + X 2 + ... + X n Obţinem: M ( X ) = M ( X 1 ) + M ( X 2 ) + ... + M ( X n )

25

Rezultă că: P = P1 + P2 + ... + Pn

4. CALCULUL PRIMELOR LA ASIGURĂRILE DE PERSOANE 4.1. Prime nete unice, cu plată unică, în asigurările individuale de supravieţuire Asigurarea se defineşte ca fiind un procedeu de creare a fondului de asigurare prin prima de asigurare în vederea compensării pierderilor provocate de calamităţi şi accidente. Să consideră o populaţie de indivizi de aceeaşi vârstă – x – (ani) pe care o notăm cu M x . Fie A evenimentul ca o persoană din M x să fie în viaţă la împlinirea vârstei de (x+1) ani. Probabilitatea de viaţă este probabilitatea evenimentului A. Asigurarea (prima netă unică unitară) prin care asiguratul în vârstă de – x – ani va primi la împlinirea vârstei de (x+n) ani suma de 1 u.m. se calculează cu relaţia:

Ex = V x ⋅

I x+n Ix

Se notează cu D x expresia: Dx = V x ⋅ I x Obţinem:

Ex =

Dx+n Dx

Notaţiile au următoarele semnificaţii: E x - prima netă unică unitară I x - funcţia de supravieţuire V - factor anual de actualizare n - numărul de ani D x - număr de comutaţie Numerele de comutaţie D x sunt indicate în tabele financiare. Prima netă unică (P) pentru suma asigurată ( S a ) se calculează cu relaţia:

26

P = S a ⋅n E x

Aplicaţie: O persoană cu vârsta de x=20 ani încheie o asigurare de supravieţuire pentru n=10 ani, suma asigurată fiind S a = 100000 RON. Să se calculeze prima netă unică P, dacă se cunosc numerele de comutaţie: D20 = 4921,33928 şi D30 = 1098,24269

4.2. Prime nete unice, cu plăţi eşalonate viagere, în asigurările individuale de supravieţuire Anuităţi viagere imediate, nelimitate şi anticipate Se calculează cu relaţia:

a x( A) =

Nx Dx

a x( A) - reprezintă prima netă unică plătită de un asigurat cu vârsta de x (ani) pentru asigurarea prin care urmează să primească pe toată durata vieţii sale, la începutul fiecărui an câte 1 u.m.

Anuităţi viagere imediate, nelimitate şi posticipate Se calculează cu relaţia:

a x( P ) =

N x +1 Dx

a x( P ) - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asigurat în vârstă de x (ani) pentru asigurarea prin care urmează să primească pe toată durata vieţii sale, la sfârşitul fiecărui an câte 1 u.m.

Anuităţi viagere imediate, limitate şi anticipate Se calculează cu relaţia:

im

a x( A) =

N x − N x+n Dx

a x( A) - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asiguratul în vârstă de – x – ani pentru asigurarea prin care urmează să primească în următorii – n – (ani) , la începutul fiecărui an, câte 1 u.m. im

27

Anuităţi viagere imediate, limitate şi posticipate Se calculează cu relaţia:

im

a x( P ) =

N x +1 − N x + n +1 Dx

a x( P ) - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asigurat în vârstă de – x – (ani) pentru asigurarea prin care urmează să primească în următorii – n – (ani) , la sfârşitul fiecărui an, câte 1 u.m. im

Anuităţi viagere amânate, nelimitate şi anticipate Se calculează cu relaţia:

nl

a x( A) =

N x+n Dx

a x( A) - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asiguratul în vârstă de – x – (ani) pentru asigurarea prin care urmează să primească, dacă este în viaţă, peste – n – (ani) pe toată durata vieţii sale, la începutul fiecărui an, câte 1 u.m. nl

Anuităţi viagere amânate, nelimitate şi posticipate Se calculează cu relaţia:

nl

a x( P ) =

N x + n +1 Dx

a x( P ) - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asiguratul în vârstă de – x – (ani) pentru asigurarea prin care urmează să primească, dacă este în viaţă, peste – n – (ani) pe toată durata vieţii sale, la sfârşitul fiecărui an, câte 1 u.m. nl

Anuităţi viagere anticipate, amânate – r – (ani) şi limitate la – n – (ani) Se calculează cu relaţia:

rlm

a x( A) =

N x+r − N x+r +n Dx

28

a x( A) - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asigurat în vârstă de – x – (ani) pentru asigurarea prin care urmează să primească (dacă este în viaţă) peste – r – (ani) timp de – n – (ani), la începutul fiecărui an, câte 1 u.m. rlm

Anuităţi viagere posticipate, amânate – r – (ani) şi limitate la – n – (ani) Se calculează cu relaţia:

rlm

a x( P ) =

N x + r +1 − N x + r + n +1 Dx

a x( P ) - reprezintă prima netă unică unitară plătită de asiguratul în vârstă de – x – (ani) pentru asigurarea prin care urmează să primească (dacă este în viaţă) peste – r – (ani) timp de – n – (ani), la sfârşitul fiecărui an, câte 1 u.m. rlm

Aplicaţie O persoană în vârstă de 40 ani încheie o asigurare prin care urmează ca de la împlinirea vârstei de 60 ani să primească o rentă viageră anuală posticipată de 1000 RON. Cunoscând numerele de comutaţie: D40 = 1520,36; D61 = 106,14; N 61 = 980,87 , să se calculeze prima netă unică (P) plătită de asigurat.

4.3. Prime nete unice în asigurările de deces Asigurarea de deces nelimitată Această asigurare este cunoscută şi sub denumirea de asigurare pe viaţă. Se calculează cu relaţia:

Ax =

Mx Dx

Ax - reprezintă prima netă unică unitară aferentă asigurării cu suma de 1 u.m. plătită beneficiarului asigurării la mijlocul anului de deces al asiguratului.

Asigurarea de deces temporară Această asigurare este cunoscută şi sub denumirea de asigurare de deces limitată. Se calculează cu relaţia:

29

ln

ln

Ax =

M x − M x+n Dx

Ax - reprezintă prima netă unică unitară aferentă asigurării cu suma de 1 u.m. plătită beneficiarului asigurării la mijlocul anului de deces al asiguratului, dacă acesta decedează în perioada de valabilitate a asigurării (n – ani)

În funcţie de modul în care se face plata sumei asigurate, prima netă unică poate fi anticipată sau posticipată.

Asigurarea de deces amânată – n – ani Această asigurare se calculează cu relaţia:

nl

nl

Ax =

M x+n Dx

Ax - reprezintă prima netă unică unitară pentru suma asigurată de 1 u.m. plătibilă la mijlocul anului de deces al asiguratului şi care intră în vigoare peste n – ani.

Asigurarea de deces amânată r – ani şi limitată la n –ani Această asigurare se calculează cu relaţia:

r ln

Ax =

M x+r − M x+r +n Dx

Asigurarea de deces nelimitată cu plata la momentul decesului Această asigurare se calculează cu relaţia: Ax = Ax( P ) ⋅

i

δ

δ = ln(1 + i ) i – dobânda instantanee Ax - reprezintă prima netă unică unitară pentru suma asigurată de 1 u.m. plătibilă la momentul decesului asiguratului.

30

Aplicaţie O persoană în vârstă de x=45 ani încheie o asigurare de deces pentru n=10 ani prin care urmaşii săi să primească în cazul decesului său suma S a = 10.000 RON. Cunoscând numerele de comutaţie: D45 = 1800,0456; M 45 = 135,4569; D55 = 745,2546; M 55 = 135,1246. Să se calculeze prima netă unică (P).

4.4 Prime nete unice în asigurările mixte Asigurarea mixtă generală Această asigurare se calculează cu relaţia:

ln

ln

PAM x = α ⋅

Dx+ n M − M x+n +β⋅ x Dx Dx

PAM x - reprezintă prima netă unică a asigurării mixte pe – n – (ani) prin care instituţia plăteşte suma de - α - u.m. dacă asiguratul este în viaţă peste – n – ani sau suma de - β - u.m. la decesul asiguratului dacă acesta a survenit înainte de momentul – n.

Asigurarea mixtă cu sumă dublă Această asigurare se calculează cu relaţia:

Dx+n + M x Dx AMD x ,n - reprezintă prima netă unică a asigurării mixte cu sumă dublă prin care instituţia de asigurări plăteşte suma de 1 u.m. dacă asiguratul este în viaţă peste n – ani sau suma de 1 u.m. la decesul asiguratului dacă acesta a survenit înainte de momentul n, iar în cazul supravieţuirii asiguratului la scadenţa poliţei instituţia de asigurări îi oferă acestuia gratuit o asigurare de deces nelimitată. AMD x , n =

Asigurarea mixtă cu termen fix Această asigurare se calculează cu relaţia: AMFx ,n = V n V =

1 1+ i

31

AMFx ,n - reprezintă prima netă unică a asigurării mixte cu termen fix de n – ani prin care instituţia de asigurări plăteşte la scadenţa poliţei suma de 1 u.m. dacă asiguratul este în viaţă peste n – ani sau suma de 1 u.m. la decesul asiguratului dacă acesta a survenit înainte de momentul n.

Asigurarea mixtă cu termen fix şi sumă dublă Această asigurare se calculează cu relaţia:

AMFD x ,n = V n +

M x+n Dx

AMFD x , n - reprezintă prima netă unică unitară prin care instituţia de asigurări plăteşte la termenul fix de n – ani 1 u.m. dacă asiguratul este în viaţă şi, ulterior, aceeaşi sumă urmaşilor săi la decesul asiguratului oricând acesta s-ar produce, fără ca asiguratul să mai plătească în plus dacă a supravieţuit termenului contractului.

Aplicaţie O persoană având vârsta x=35 ani încheie o asigurare mixtă cu sumă dublă care prevede ca instituţia de asigurări să-i plătească peste n=15 ani suma α = 5000 RON dacă este în viaţă sau să plătească urmaşilor săi, la sfârşitul trimestrului în care se va produce decesul său, suma β = 2500 RON. Cunoscând numerele de comutaţie: D35 = 4300; M 35 = 875; D50 = 989 , să se determine prima netă unică (P) plătită de asigurat.

32

Bibliografie 1. Baciu A. – “Matematici economice şi financiare”, Editura fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 2003 2. Grama I.G. – “Asigurări şi reasigurări”, Editura “Europolis”, Constanţa, 2002 3. Matei A. – “Curs de matematici pentru studenţii economişti”, Editura fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 1998 4. Purcaru I. – “Matematici financiare”, Editura “Economică”, Bucureşti, 1998

33

34