8 - Planejamento De Experimentos

Curso de MINITAB – Universidade Federal de Ouro Preto

Planejamento de Experimentos (DOE)

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1 - Introdução Um experimento é um procedimento no qual as alterações propositais são feitas nas variáveis de entrada de um processo ou sistema, de modo que se possa avaliar as possíveis alterações sofridas pelas variáveis respostas, como também as razões de suas alterações.

2 - Objetivos 1. Determinar que varáveis têm maior influência na resposta; 2. Determinar o menor valor de x que influencia y, de modo que y esteja próximo do valor desejado; 3. Determinar o menor valor de x que influencia y, de modo que a variabilidade de y seja pequena; 4. Determinar o menor valor de x que influencia y, de modo que minimize os efeitos das variáveis não controladas.

3 - Princípios básicos do DOE Réplica: as repetições do experimento são feitas sob as mesmas condições experimentais. Aleatorização: refere-se ao fato de que tanto a alocação de material experimental às diversas condições de experimentação quanto a ordem segundo a qual os ensaios individuais do experimento serão realizados, são determinados ao acaso. Formação de blocos: refere-se a formação de unidades experimentais homogêneos, blocos.

EXEMPLO 1 Proposta: Analisar as diferentes respostas das variáveis do processo e identificar a melhor condição para que se possa ter o melhor aproveitamento. Problema: Um engenheiro quer conhecer os efeitos das variáveis de entrada de um processo de otimização de calamina para melhorar os resultados em uma plante de beneficiamento de minério, visto que a seqüência aleatória representa melhor o que ocorre na mina. Dados coletados: Os testes serão realizados com amostras representativas de l kg de finos do minério calamínico. O número de teste =24 = 16, considerando as réplicas, 32 testes. A ordem dos testes será definida por sorteio, de tal maneira que os ensaios possam ser feitos de forma aleatória.

Ferramentas: • Create Factorial Design • Diplay Design • Analyse Factorial Design • Factorial Plots

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Arquivo de dados: calamina.MPJ

a b

Sulfeto de sódio Emulsão

Níveis 3000 300

c d

Silicato Hexametafosfato

0 0

Variável

+ 6000 800 3500 3500

COMANDO CREATE FACTORIAL DESIGN 1. Abra calamina.mpj 2. Selecione Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design 3. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo

4. Clique na opção Display Available Designs 5. Selecione o ícone conforme caixa de diálogo abaixo

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6. Clique em OK 7. Clique na opção Designs 8. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo

9. Clique em OK 10. Clique na opção Factors 11. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo

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12. Clique Ok em todas as caixas de diálogo.

INTERPRETANDO OS RESULTADOS Na janela Session exibe um pequeno relatório contendo um resumo do planejamento que está sendo realizado, apresentado a seguir. Full Factorial Design Factors: Runs: Blocks:

4 32 1

Base Design: Replicates: Center pts (total):

4; 16 2 0

All terms are free from aliasing.

Além deste relatório o Minitab gera a planilha no Worksheet, como mostra a figura abaixo.

Com esta planilha em mãos realizam-se os experimentos e então uma nova coluna de Rendimento é preenchida.

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COMANDO DISPLAY DESIGN Observa-se que os experimentos na planilha anterior estão expostos de maneira aleatória, segundo a primeira coluna StdOrder. E os mínimos e máximos de cada fator estão representados por seus valores, porém estes podem ser representados por –1 e 1. Estas alterações podem ser feitas segundo o comando Display Design. 1. Selecione Stat > DOE > Display Design 3. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo

4. Clique em OK.

INTERPRETANDO OS RESULTADOS Uma nova planilha de dados no Worksheet é obtida:

Observa-se, pela primeira coluna StdOrder, que os experimentos estão em ordem crescente. E os mínimos e os máximos estão representados por –1 e 1, respectivamente.

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COMANDO ANALYZE FACTORIAL DESIGN 1. Preencha a coluna Recuperação na planilha anterior, conforme a figura a seguir.

2. Selecione Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design 3. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo

4. Clique na opção Graphs 5. Complete a caixa de dialogo conforme mostra a figura

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6. Clique em OK em todas caixas de dialogo. INTERPRETANDO OS RESULTADOS Na janela Session mostra-se três grupos de relatórios como se segue. Estimated Effects and Coefficients for Recuperação (coded units) Term Constant sulfeto de sódio emulsao silicato hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao sulfeto de sódio*silicato sulfeto de sódio*hexametafosfato emulsao*silicato emulsao*hexametafosfato silicato*hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao*silicato sulfeto de sódio*emulsao* hexametafosfato sulfeto de sódio*silicato* hexametafosfato emulsao*silicato*hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao*silicato* hexametafosfato

S = 1,56566

R-Sq = 99,80%

Effect 0,75 7,29 16,02 22,87 -8,46 -11,20 13,07 7,24 -9,56 -9,34 6,73 -21,74

Coef 45,12 0,37 3,64 8,01 11,44 -4,23 -5,60 6,53 3,62 -4,78 -4,67 3,37 -10,87

SE Coef 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768 0,2768

T 163,02 1,35 13,17 28,94 41,32 -15,29 -20,23 23,61 13,09 -17,28 -16,87 12,16 -39,28

P 0,000 0,196 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

15,00

7,50

0,2768

27,10

0,000

11,07 -14,00

5,53 -7,00

0,2768 0,2768

19,99 -25,30

0,000 0,000

R-Sq(adj) = 99,62%

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Para saber qual fator ou efeito é significante é necessário avaliar o valor do p-value, visualizado na coluna P, comparando-o ao nível de significância, normalmente considerase o nível de significância α = 0.05 (este nível é utilizado para comparação na tabela). Portanto pode-se observar que o único fator que não é significante, de acordo com o teste “T” é o sulfeto, pois este possui o p-value maior que 0.05. Analysis of Variance for Recuperação (coded units) Source Main Effects 2-Way Interactions 3-Way Interactions 4-Way Interactions Residual Error Pure Error Total

DF 4 6 4 1 16 16 31

Seq SS 6668,3 4791,3 6923,5 1568,8 39,2 39,2 19991,1

Adj SS 6668,25 4791,29 6923,54 1568,84 39,22 39,22

Adj MS 1667,06 798,55 1730,89 1568,84 2,45 2,45

F 680,07 325,77 706,11 640,00

P 0,000 0,000 0,000 0,000

A estatística acima foi realizada através do teste “F” e considerando o mesmo nível de significância (α = 0.05) pode-se observar que os principais efeitos, os efeitos com duas interações, três interações e quatro interações possuem o p-value menor que 0.05, ou seja todos são significantes para a recuperação. Estimated Coefficients for Recuperação using data in uncoded units Term Constant sulfeto de sódio emulsao silicato hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao sulfeto de sódio*silicato sulfeto de sódio*hexametafosfato emulsao*silicato emulsao*hexametafosfato silicato*hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao*silicato sulfeto de sódio*emulsao* hexametafosfato sulfeto de sódio*silicato* hexametafosfato emulsao*silicato*hexametafosfato sulfeto de sódio*emulsao*silicato* hexametafosfato

Coef -47,1620 0,0100947 0,0860900 0,0712060 0,00923514 -9,94333E-06 -1,36797E-05 2,87429E-06 -7,54629E-05 2,95429E-06 -2,79358E-05 1,57990E-08 -5,89524E-09 4,98593E-09 3,46620E-08 -6,09687E-12

Neste relatório apresenta-se os coeficientes de cada termo para o interesse em construir um modelo de equação do tipo: y = aX1 + bX2. Os gráficos são exibidos a seguir.

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Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is Recuperação, Alpha = ,10) 99 D

95 90

Percent

F actor A B C D

C ACD

80 70

B BC A BC

60 50 40

AD BC D

Name sulfeto de sódio emulsao silicato hexametafosfato

AB CD BD AC

30 20

A BCD

10 5

1

Effect Ty pe Not Significant Significant

ABD

-40

-30

-20

-10 0 10 20 Standardized Effect

30

40

50

O gráfico de probabilidade normal demonstra que os pontos que estiverem mais afastados da reta são significantes para a recuperação, no caso abaixo é possível visualizar que somente um ponto não é significante que está em preto e todos os demais que estão em vermelho são significantes. Pareto Chart of the Standardized Effects (response is Recuperação, Alpha = ,10) 1,75 F actor A B C D

D A BD C ACD

Name sulfeto de sódio emulsao silicato hexametafosfato

ABC D

Term

AD AC BC D BD CD AB B BC A BC A

0

10

20 30 Standardized Effect

40

O gráfico de Pareto, abaixo, mostra que todos os efeitos que ultrapassam a linha no valor de 1,75 são significantes, desse modo pode-se confirmar, mais uma vez, que somente o efeito A não é significante para a recuperação.

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Normal Probability Plot of the Residuals (response is Recuperação) 99

95 90

Percent

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

-3

-2

-1

0 Residual

1

2

3

No gráfico da probabilidade normal versus resíduos a normalidade é identificada quando os dados tendem a uma reta, o que ocorre neste caso. Residuals Versus the Fitted Values (response is Recuperação) 2

Residual

1

0

-1

-2 0

10

20

30

40 50 Fitted Value

60

70

80

90

O gráfico de dispersão, acima, indica normalidade quando os dados plotados situam-se entre os pontos, no eixo dos resíduos, -2 e 2; neste caso, também se verifica a normalidade dos dados.

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Residuals Versus the Order of the Data (response is Recuperação) 2

Residual

1

0

-1

-2 2

4

6

8

10

12

14 16 18 20 Observation Order

22

24

26

28

30

32

O gráfico acima demonstra normalidade quando os dados não ultrapassam os limites –2 e 2, quando não apresentam configurações lineares constantes, crescentes ou decrescentes e quando apresentam boa dispersão dos dados; mais uma vez, observa-se a normalidade dos dados neste caso. COMANDO FACTORIAL PLOTS 1. Selecione Stat > DOE > Factorial > Factorial Plots 2. Complete a caixa de diálogo conforme figura abaixo

3. Em todas as opções de Setup, preencher da seguinte maneira.

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4. Clique OK em todas as caixas. INTERPRETANDO OS RESULTADOS Gera, então, os seguintes gráficos. Main Effects Plot (data means) for Recuperação sulfeto de sódio

emulsao

55

Mean of Recuperação

50 45 40 35 -1

1

-1

silicato

1 hexametafosfato

55 50 45 40 35 -1

1

-1

1

No gráfico acima, pode-se observar que a quantidade de hexametafosfato tem o maior efeito principal, pois a linha que conecta as respostas médias para o nível baixo e o nível alto tem inclinação íngreme comparada aos demais efeitos principais. E o sulfeto tem o menor efeito principal quando analisado de maneira análoga ao hexametafosfato.

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Interaction Plot (data means) for Recuperação -1

1

-1

1

-1

1

sulfeto de sódio -1 1

60

40

sulfeto de sódio

20 60

emulsao -1 1

40

emulsao

20

silicato -1 1

60

40

silicato

20

hexametafosfato

No gráfico acima, apresenta-se interações entre dois efeitos. A interação que demonstrou maior recuperação foi entre o sulfeto e o hexametafosfato ( no ponto de aproximadamente 63,75). Quando a recuperação está no nível máximo do hexametafosfato e no máximo do sulfeto. Logo poderia-se dizer que a fim de conseguir maior recuperação para o experimento, deveria utilizar hexametafosfato e sulfeto no nível máximo, considerando as interações acima. Cube Plot (data means) for Recuperação

55,130

1

28,130

50,625

77,845

34,550

49,385

57,985

36,465

emulsao 76,115

24,335

3,580

79,425

1 silicato 0,000

21,335

-1

47,035 -1

-1

sulfeto de sódio

1 -1

hexametafosfato

1

79,980

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O gráfico do cubo, acima, mostra as demais interações entre os fatores. Pode-se observar que o maior valor apresentado é o 79,980. Esta recuperação é obtida quando se utiliza o máximo de hexametafosfato, o máximo de sulfeto, o mínimo de silicato e o mínimo de emulsão. CONCLUSÕES Portanto, segundo os dados e gráficos apresentados pelo MINITAB, pode-se dizer que para obter o ótimo da recuperação o melhor efeito é o “ad”, ou seja, quando os fatores são utilizados nos seguintes níveis: sulfeto, nível máximo; emulsão, nível mínimo; silicato, nível mínimo e hexametafosfato, nível máximo.