8. Elementi Projektne Geometrije

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE ELEMENTI SITUACIONOG PLANA Situacioni plan puta sastoji se iz projektnih linija koje prikazuju tok karakterističnih tačaka poprečnog profila (osovina kolovoza, ivice planuma, granice trupa puta, granice putnog pojasa i t.sl.) i definišu njihov položaj u horizontalnoj ravni (X, Y koordinate). Najveći broj geometrijskih oblika situacionog plana sastavljen je kombinacijom pravaca, kružnih krivina i

prelaznih krivina.

PRAVCI U savremenom projektovanju puteva prave linije služe kao pomoćno sredstvo u formiranju povijene linije trase.

KRUŽNE KRIVINE Najprostiji oblik krive je kružni luk. To je kriva linija konstantne zakrivljenosti (1/R=const.)

R ⋅π ⋅α Lk = 180 α 

 B = R ⋅  sec − 1 2  

T g = R ⋅ tg

α 2

y = R − R2 − x2

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE GRANIČNI RADIJUSI Za razliku od pravca ovaj oblik (krivina) proizvodi određene uticaje na vozila u kretanju. U projektovanju puteva dolazi u obzir primena kružnih lukova čiji radijusi leže u granicama minR ≤ R ≤ maxR. maxR

Minimalni poluprečnik horizontalne krivine se određuje iz uslova stabilnosti vozila na isklizavanje. Ako u jednačinu ravnoteže:

V2 stavimo da je fr = frd , i da je q = qmax, V = Vr , dobijamo: R= 127 ⋅ ( f r + q) Vr2 Rmin =

127 ⋅ ( f rd + q max )

Minimalni radijus primenjuje se samo na onim mestima gde bi primena R > Rmin bila neprihvatljiva zbog investicionih posledica.

Maksimalni radijus ( Rmax ), kao i pravac, nema ograničenja sa voznodinamičke strane. Rmax treba ograničiti na meru gde vozač gubi osećanje zakrivljenosti (R ≥ 10000 m), pa se za gornju graničnu vrednost preporučuje Rmax = 5000 m. m Najpovoljniji efekti postižu se kod odnosa Rmax /Rmin ≤ 6.

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE PRELAZNE KRIVINE Pri direktnom prelasku iz pravca u kružni luk i obrnuto, javljaju se sledeće posledice: 1. Usled skokovite promene zakrivljenosti od 1/R = 1/∞ = 0 (pravac), do 1/R = const (kružni luk), trebalo bi da na samom ulazu u kružnu krivinu trenutno bude ostvaren okret upravljača koji odgovara zakrivljenosti 1/R = const. 2. Pri nagloj promeni zakrivljenosti javlja se skokovita promena radijalnog ubrzanja (V2/R), što se manifestuje kao bočni udar d(V2/R)/dt. 3. Direktan prelazak iz pravca u kružnu krivinu ostavlja utisak preloma vodećih linija puta. Vozač se oseća nesigurno pošto nije u stanju da sagleda krivinu i prilagodi svoje ponašanje. Problem je prvo bio aktuelan kod železnica (Pressel, kubna parabola, 1854.). Sredinom 30-tih godina prošlog veka (Schramm, Lorenz, Kassper) potvrđena je neophodnost prelazne krivine a i pokazalo se da ovaj element treba koristiti ravnopravno sa pravcem i kružnom krivinom. MATEMATIČKO REŠENJE • Promena poluprečnika prelazne krivine treba da bude obavljena postupno od R0 = ∞ do R = Ri, što znači da zakrivljenost podleže linearnoj promeni. • Kružni luk i prelazna krivina treba da u dodirnoj tački imaju zajedničku tangentu. • Pri konstantnoj brzini vožnje (V = const.) brzina okretanja prednjih točkova treba da bude konstantna, tj. dv/dt = const.

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE KLOTOIDA Kriva koja ispunjava prethodne zahteve ima spiralni oblik i naziva se klotoida ili

R · L = A2

lučna radioida. Ona je samo za jedan stepen složenija kriva od kruga. Obezbeđuje: •

Ravnomernu promenu zakrivljenosti tako da se njenim posredstvom može vršiti spajanje pravca i kruga ili krugova različitih radijusa.

L

L2 x = ∫ cos dL 2 2⋅ A 0 L

•

•

Na mestu spajanja sa kružnim lukom klotoida i kružni luk imaju zajedničku tangentu. Pri konstantnoj brzini vožnje ostvaruje se ravnomerna brzina okretanja upravljača, što proističe iz linearne promene zakrivljenosti, tj. 1/R = const · L.

L2 y = ∫ sin dL 2 2 ⋅ A 0 RAZLIKE I STEPEN SLOŽENOSTI

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE UTICAJ KLOTOIDE NA PROMENU ZAKRIVLJENOSTI

Searles – ova spirala Sastoji se od niza kružnih lukova različitih radijusa, čije su tetive dužine 100 stopa, a centralni uglovi od 10′ , 20′ , 30′ , 40′ , ..., respektivno odgovaraju radijusima od R = R1 do R = Rk.

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE OSOBINE KLOTOIDE Klotoida se definiše parametrom A koji predstavlja faktor veličine. Za klotoidu parametar A ima isto značenje kao i radijus R za kružnu krivinu. Njegovim uvećanjem ili smanjenjem menja se i veličina klotoide ali njen oblik ostaje isti. To znači da su sve klotoide geometrijski slične.

Karakteristični elementi za geometrijsku konstrukciju klotoide

Grafička ilustracija nekih osobina klotoide

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE GRANIČNE VREDNOSTI KLOTOIDE Apsolutno minimalna vrednost koja se sme primeniti na osnovu vozno dinamičkog kriterijuma: Za Rmin

2,725 ⋅ Vr ⋅ f Rd L= x

∆R = 0,90m

Amin = Rmin ⋅ Lmin

L

Za Rmin< R < Rg = 3 · Rmin

200 150

L

m) 9 , 0 R= =f(∆

A = R ⋅ Lmin = Amin

100

,3m) 0 = R ∆ ( L =f

Za R ≥ Rg = 3 · Rmin

Vrac=80km/h

Lmin

A = 1,638 ⋅ R 0,75

50 L=f(x)

R

250 100 R min

500

750

1000

1500

R Rmin

L2min ∆R ≅ 24 ⋅ R

∆R = 0,30m

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE GRANIČNE VREDNOSTI KLOTOIDE U konstruktivnom pogledu: U estetskom pogledu:

Vr (km/h) ≤ 40 imax (%) 1,5

60 1,0

≥ 80 0,75

τ l ≥ 3,18°

A = R/3

L = R/9

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE PRIMENA PRELAZNICA

• • •

800 600

Linija sastavljena samo od delova prelaznice (izuzetno) A1/A2 ≤ 1,5 Primena dve istosmerne prelaznice sa kratkim umetnutim pravcem ili bez njega nije dozvoljena Spajanje dve prelaznice na njihovim krajevima (temena klotoida), R = 600 m.

Primena kružnog luka bez prelaznica moguća je za: Vr (km/h)

≤ 80

R (m)

1500

90

100

110

120

1800

2000

2500

3000

400 300

e Do nljiv br o p o p o o d ru c je dr uc je

manji kružni luk leži unutar većeg kružni lukovi su jedan pored drugog ili se seku Vrlo dobro područje – može bez prelaznice

1000

je ruc d o p e o br odrucj o D op iv nlj e im Pr

Pr im

-

1500 Podrucje koje se mora izbeci

Između pravca i kružnog luka Između dva suprotnosmerna kružna luka (∆ ∆R1 = ∆R2) Između dva istosmerna kružna luka i to:

o br e do cj lo ru Vr pod

• • •

R (m) 1800

200

Podrucje koje se mora izbeci

100

50

50

100

200

300

400

600 800 1000

1500 1800

R (m)

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE PRIMERI PROJEKTNIH ELEMENATA SA PRIMENOM KLOTOIDE

Običan prelazni luk

S – kriva sa jednim parametrom

Prosta putna krivina

S – kriva sa dva parametra

Temena klotoida

Jajasta - O - kriva

Korpasta klotoida

Dvostruka - O - kriva sa obuhvatnim krugom

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE IZRAČUNAVANJE ELEMENATA HORIZONTALNIH KRIVINA Kružna krivina: Poznato R, α

Simetrična krivina sa prelaznicama: Poznato R, L, α

α 2

t = R ⋅ tg Dk =

α 2

R ⋅π ⋅α 180

 α  s = R ⋅  sec − 1 2  

≥ τl

 α  ( ) B = R + ∆ R ⋅  sec − 1 + ∆R Tg = ( R + ∆R ) ⋅ tg + d 2   2 R ⋅π  α  R ⋅π  α  D = L+  −τl  +  −τl  + L 180  2  180  2 

α

D = 2⋅ L +

R ⋅π (α − 2 ⋅ τ l ) 180

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE IZRAČUNAVANJE ELEMENATA HORIZONTALNIH KRIVINA Nesimetrična krivina sa prelaznicama, L' ≠ L"; L'= Lm < L"= Lv; Poznato: R, L', L", α

τ l' + τ l" ≤ α

Tg m = (R + ∆Rm ) ⋅ tg

D = L'+

α 2

+ dm +

∆Rv − ∆Rm sin α

R ⋅π  α  R ⋅π  α  ⋅  − τ l'  + ⋅  − τ l"  + L" 180  2  180  2 

Tg v = (R + ∆Rm ) ⋅ tg

α 2

+ dv −

∆R v − ∆R m tgα

 α  B = (R + ∆Rm ) ⋅  sec − 1 + ∆Rm 2  

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE IZRAČUNAVANJE ELEMENATA HORIZONTALNIH KRIVINA Temena klotoida (granični slučaj), τl = α/2: Poznato: R, L, α; τl = α/2.

Tg = (R + ∆R ) ⋅ tg

D = 2⋅ L +

α 2

+d

R ⋅π ⋅ (α − 2 ⋅ τ l ) = 2 ⋅ L 180

 α  B = (R + ∆R ) ⋅  sec − 1 + ∆R 2   pošto je α = 2⋅τl.

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE IZRAČUNAVANJE ELEMENATA HORIZONTALNIH KRIVINA Nesimetrična krivina sa jednom prelaznicom, L' = Lm = 0: Poznato: R, L=Lv, α.

Tg m = R ⋅ tg

α 2

+

∆R sin α

Tg v = R ⋅ tg

α 2

+d −

∆R tgα

α   B = R ⋅  sec − 1 2  

ELEMENTI PROJEKTNE GEOMETRIJE ODREĐIVANJE DUŽINE PRELAZNICE NA OSNOVU GEOMETRIJE OSOVINE Raspored kružnih krivina se u praksi definiše na dva načina: preko temenog poligona i preko poligona centara.

KONTRAKRIVINE – uobičajen uslov je da prelaznice predstavljaju tzv. "S" - krivinu, tj. tj. da da nema pravca izmeđ između kontrakrivina. Prelaznice u "S" - krivini mogu biti istog parametra A ili mogu biti raspoređ raspoređene na neki drugi način, npr. konstantno ∆R.

Poligon temena

Uslov konstantnog parametra, A = const. Podrazumeva da su prelaznice srazmerne centrifugalnoj sili, tj. obrnuto srazmerne veličini poluprečnika. L1 V2 V2 = m⋅ r :m⋅ r L2 R1 R2

Poligon centara krugova

→

L1 ⋅ R1 = L2 ⋅ R2

→

L1 R2 = L2 R1

Uslov ∆R1 = ∆R2, podrazumeva dužinu prelaznica

srazmernu veličini poluprečnika, baš suprotni zahtev od prethodnog. L12 L22 = 24 ⋅ R1 24 ⋅ R2

→

L1 = L2

R1 R2

Geometrijski uslov: Raspodela međ međupravca na prelaznice

L1 L2 α α + = T1T2 − ( R1 ⋅ tg 1 + R2 ⋅ tg 2 ) 2 2 2 2