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7

REFORMA MATEMÁTICA COSTA RICA

f' GRUPO EDITORIAL Edición especial

Copyright 2015

f' Grupo Editorial Diseño, armado y portada

f' Grupo Editorial

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita de

f ' Grupo Editorial.

[email protected] Teléfonos: 2444-1330 8614-4242 . . .

510 P945m 7

F'Prima Grupo Editorial Matemática 7: hacia la resolución de problemas / F'Prima Grupo Editorial . -- 1a ed. -- Alajuela, Costa Rica: F'Prima Grupo Editorial, 2014 160 p. ; 27 X 21 cm. ISBN 978-9930-513-00-2 1. MATEMÁTICA - ESTUDIO Y ENSEÑANZA. 2. MATEMÁTICA - ENSEÑANZA DIVERSIFICADA. I. Título.

INTRODUCCIÓN Para responder a la muestra de respeto, cortesía y admiración de tantos docentes con esta Editorial, por fin logramos desarrollar con éxito la totalidad del nuevo programa de estudio incluyendo primaria. Han sido muchos años, desde el año 2012, cuando apenas se gestaba la reforma de la educación matemática en Costa Rica, que hemos estado investigando y realimentándonos con aportes de muchísimos docentes de todo el país, para crear una colección de libros con estándares internacionales pero plenamente adaptados a la realidad nacional.

Adoptando el enfoque principal del programa de estudio de

Matemáticas, la Resolución de Problemas con énfasis en contextos reales, aprobado el 21 de mayo de 2012 por el Consejo Superior de Educación de Costa Rica. A continuación se presenta la distribución de habilidades y lecciones por periodo de octavo año, usando la estrategia sugerida en el Documento de integración de habilidades para Octavo año (Elaborado por el Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica). DISTRIBUCIÓN DE HABILIDADES Y LECCIONES PARA SÉTIMO AÑO Primer periodo

Segundo periodo

Tercer periodo

NÚMEROS

ESTADÍSTICA

GEOMETRÍA

Habilidades

Lecciones

Habilidades

Lecciones

Habilidades

Lecciones

H-1 y H-2

9

H1, H2, H3, H4, H-5 y H-6

7

H1, H2, H3, H4 y H-5

5

H-3, H-4, H-5 y H-6

7

H7, H8 y H9

12

H-6 y H-7

5

H-7, H-8 y H-9

7

RELACIONES Y ÁLGEBRA

H8, H9 y H10

4

H-10, H-11, H-12 y H-13

6

H-1 y H-2

6

H-11 y H-12

5

H-14 y H-15

10

H-3 y H-4

7

H-13 , H-14 y H-15

5

H-16 y H-17

5

H-16 , H-17, H-18 y H-19

6

H-18 y H-19

5

H-20 , H-21 y H-22

5

H-20 y 21

4 53

Suma total de lecciones por periodo 32

35

“El vehículo para transitar por el mundo de la razón es la matemática”

f' Grupo Editorial

ÍNDICE CAPITULO 1: NÚMEROS Números naturales 1. 2.

Potencias Combinación de operaciones

3. 4. 5. 6. 7. 8.

Algoritmo de la división Concepto de divisibilidad y divisor Números primos y compuestos Números compuestos y sus factores primos Mínimo común múltiplo Máximo común divisor

9. 10. 11. 12. 13.

Números enteros negativos Relaciones de orden Recta numérica Valor absoluto de un número entero Opuesto de un número entero

9 13 Teoría de números 18 19 22 23 25 26 Números enteros

14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.

40. 41. 42.

43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.

Operaciones, cálculos y estimaciones Conmutatividad y asociatividad de la suma y la multiplicación Suma de números enteros Resta de números enteros Multiplicación de números enteros División de números enteros Potencias con base entera y exponente natural Propiedades de potencias Potencias y raíces Raíz de un número entero Combinación de operaciones CAPITULO 2: GEOMETRÍA Conocimientos básicos Puntos, segmento, recta, semirrecta, rayo y plano Rectas paralelas, perpendiculares y concurrentes Visualización espacial Figuras tridimensionales y sus elementos Ángulos Ángulos llanos, adyacentes, los que forman par lineal y los opuestos por el vértice Ángulos congruentes, complementarios, suplementarios Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal Triángulos Desigualdad triangular Suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo Suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo Cuadriláteros Suma de los ángulos internos de un cuadrilátero Suma de los ángulos externos de un cuadrilátero Paralelogramos No paralelogramos Geometría analítica Puntos y figuras geométricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos Punto medio de un segmento Puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un sistema de ejes cartesianos CAPITULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA Sucesiones Ley de formación de una sucesión utilizando lenguaje natural, tabular y algebraico Relaciones Proporcionalidad inversa Proporcionalidad directa e inversa CAPITULO 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Conceptos básicos La estadística Conocimientos básicos estadísticos Variabilidad Distribución de frecuencia Medidas de resumen Máximo mínimo y recorrido CAPITULO 5: RESPUESTAS Respuestas

33 35 36 39 41 44 45 46 47 48 51 52 55 56 58

70 71 74 77 78 81 85 87 88 91 92 93 94 100 102 104

110 114 113

123 128 135 140 144 147 150

Capítulo 1

Números

f' Grupo Editorial

CONOCIMIENTOS

Números Naturales Operaciones  Suma  Resta  multiplicación  División  Potencias  Combinación de operaciones Teoría de números  Algoritmo de la división  Divisibilidad  Factor  Múltiplo  Números primos  Números compuestos  Descomposición prima Números Enteros  Enteros negativos  Concepto de número entero  Relaciones de orden  Recta numérica  Valor absoluto  Número opuesto Operaciones, cálculos y estimaciones  Suma  Resta  Multiplicación  División  Potencias  Raíces  Combinación de operaciones

HABILIDADES ESPECÍFICAS

1. Calcular expresiones numéricas aplicando el concepto de potencia y la notación exponencial. 2. Resolver una combinación de operaciones que involucre o no el uso de paréntesis 3. Aplicar el algoritmo de la división en la resolución de problemas. 4. Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos. 5. Identificar números primos y compuestos. 6. Descomponer un número compuesto en sus factores primos. 7. Obtener el Mínimo Común Múltiplo de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. 8. Obtener el Máximo Común Divisor de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. 9. Plantear y resolver problemas donde se utilice el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor. 10. Identificar números enteros negativos en contextos reales. 11. Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las relaciones de orden en los números enteros. 12. Ubicar números enteros en la recta numérica. 13. Determinar el opuesto y el valor absoluto de un número entero. 14. Simplificar cálculos mediante el uso de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación 15. Resolver problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros. 16. Calcular potencias cuya base sea un número entero y el exponente sea un número natural. 17. Utilizar las propiedades de potencias para representar el resultado de operaciones con potencias de igual base. 18. Identificar la relación entre potencias y raíces como operaciones inversas. 19. Calcular la raíz de un número entero cuyo resultado sea entero. 20. Calcular resultados de operaciones con números enteros en expresiones que incorporen la combinación de operaciones con paréntesis o sin ellos. 21. Resolver problemas en los que se apliquen las operaciones con números enteros.

Nota: En primaria la multiplicación se representa con una " x " , en secundaria se representa con un punto "  " .

Ejemplo 2  5  10

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS NATURALES Problema introductorio 1 Rosy promete regalar a Denzel 2 colones el 1 de julio, 4 colones el 2 de julio, 8 colones el 3 de julio, 16 colones el 4 de julio, y así sucesivamente hasta completar el mes. Es decir, cada día del mes, Rosy se compromete a regalar el doble de lo que regaló el día anterior. a)

¿Cuánto debe pagar Rosy el 31 de Julio?

b)

¿Te parece que podrá cumplir su promesa?

Problema introductorio 2 1)

Determine lo que se solicita en los siguientes enunciados: a)

Si una potencia equivale a 10 y su base es 10 ¿Cuál es el exponente?

b)

Si una potencia equivale a 100 y su base es 10 ¿Cuál es el exponente?

c)

Si una potencia equivale a 1000 y su base es 10 ¿Cuál es el exponente?

d)

Si una potencia equivale a 27 y su base es 3 ¿Cuál es el exponente?

e)

Si una potencia equivale a 8 y su base es 2 ¿Cuál es el exponente?

Problema introductorio 3 Escriba en forma de potencia los siguientes números. 1)

4

4)

49 

7)

2)

9

5)

27 

8) 1 4 4 

3)

36 

6) 125 

9)

f'

GRUPO EDITORIAL

81 

343 

7

8

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS NATURALES

Problema introductorio 4 Miriam va a la feria con su padre para comprar las frutas que llevarán como merienda durante la semana. Encuentran que el CNP sugiere, para esa semana, los precios que brinda en la siguiente tabla: Productos feria del agricultor U. Producto Colones Producto U. medida P. Colones medida 600 50 Apio verde Kg Limón Uno 400 650 Ayote sazón Kg Manga Kg 400 850 Ayote tierno Uno Maracuyá Kg 27 1300 Banano Uno Mora Kg 650 300 Brócoli Kg Melón Kg 1000 45 Camote Kg Naranja Uno 825 600 Cebolla seca Kg Ñampi Kg 825 470 Cebolla tren Kg Papa Kg 800 325 Coliflor Uno Papaya Kg 300 400 Coco Uno Pepino Kg 60 675 Culantro Rollo Piña Uno Chayote 350 135 Uno Plátano Uno sazón Chayote 390 250 Uno Remolacha Uno tierno 1)

Si ellos compran 1 piña, 5 kilogramos de papaya, 8 naranjas y medio kilogramo de moras. ¿Cuánto pagaron en total?

2)

Si ellos compran un cuarto de kilo de ñampí, 4 chayotes y dos kilos de papas. ¿Cuánto pagaron en total?

3)

Si Mirian compra dos kilos y medio de cebollas, 5 bananos, y su papá compra 4 plátanos y dos kilos de papas. ¿Cuánto pagaron en total?

4)

Si compraron dos cocos, tres rollos de culantro y kilo tres cuartos de camote. ¿Cuánto pagaron en total?

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS NATURALES

H1: Calcular expresiones numéricas aplicando el concepto de potencia y la notación exponencial H2: Resolver una combinación de operaciones que involucre o no el uso de paréntesis

Potencias Una potencia es una expresión matemática compuesta por una base y un exponente de la forma a n  a  a  a...a  a  b . Donde " a " es la base que se toma  n veces

como factor tantas veces como unidades tiene el exponente " n " y cuyo resultado de la operación "b " , es la potencia.

Ejemplo 1

Notación exponencial

Notación desarrollada

Potencia

32

3 3

9

Notación exponencial

Notación desarrollada

Potencia

24

2 2 2 2  

16

2 veces

Ejemplo 2

4 veces

Ejemplo 3 Notación exponencial

Notación desarrollada

33  43

3 3 3  4  4  4   3 veces

3 veces

Ejercicio de movilización 1 A. Escriba en notación desarrollada las siguientes potencias. 1) 1 2 

6)

42 

11)

65 

2) 13 

7)

43 

12)

71 

3)

22 

8)

52 

13)

73 

4)

24 

9)

53 

85 

5)

3 

14)

10)

62 

15)

103 

4

B. Escribe en notación exponencial las siguientes notaciones desarrolladas. 1)

1 1 1 

5)

5 5 5 5 5 5 5 

2)

222 

6)

666666 

3)

3 3 3 3 

7)

88888888 

4)

4 4 4 4 4 

8)

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 

f'

GRUPO EDITORIAL

9

10

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS NATURALES

H1: Calcular expresiones numéricas aplicando el concepto de potencia y la notación exponencial H2: Resolver una combinación de operaciones que involucre o no el uso de paréntesis

Propiedades de las potencias Propiedad

Caso general

Ejemplo

Multiplicación de potencias de igual base Se conserva la base y se suman los exponentes

an  am  an  m

a) 5  5  5

División de potencias de igual base Se conserva la base y se restan los exponentes

an  am  an  m

a) 5  5  5

Potencia de una potencia Se conserva la base y se multiplican los exponentes

(a n )m  a n m

a)

2   2

Potencia de un producto Se eleva cada factor al exponente indicado

(a  b) n  a n  b n

a)

(a x  b y )n  a n  x  b n  y

b)

(2  b ) 4  2 4  b 4

Potencia con exponente cero Todo número elevado a la potencia cero es igual a uno Potencia con exponente uno Todo número elevado a la potencia uno es igual al mismo número.

a 1 0

a1  a

f ' GRUPO EDITORIAL

10

8

10

8

3 5

10  8

 518

10  8

35

 52

 215

a) 7 0  1 b) (23  35 ) 0  1

1 a) 4  4

b)

(23  35 )1  (23  35 )  23  35

CAPITULO 1: NÚMEROS

Ejercicio de movilización 2

Aplique en cada caso la propiedad de las potencias (Sugerencia: No es necesario desarrollar la potencia) A. Multiplicación de potencias de igual base 1)

2 2 2 2 

3)

84  82 

5) 10 2  10 3 

2)

43 4 2 

4)

37 3 4 

6) 10 4  10 

B. División de potencias de igual base 1)

34  32 

3)

49  47 

5) 10 6  10 2 

2)

35  3 4 

4)

418  415 

6) 10 8  10 

C. Potencia de una potencia 1)

2 



3)

5 



5)

 10  

2)

5 



4)

 2 



6)

 10   

3)

 2 3 



5)

10 10 



4)

 3 2 



6)

10 10 



2 3

3 2

3 2

4 2

5

6



7

D. Potencia de un producto 1)

 4  3

2)

5  2

3

4



3



3

3

2 2

2 3

2 3

2

2

5

E. Eleve a la potencia indicada las siguientes expresiones 1)

3

2)

5



0

0



3)

7  4 



5)

10 10 



4)

2 3 



6)

10 10



2

3

f'

3 0

2 1

GRUPO EDITORIAL

2

2

2 1

0

11

12

CAPITULO 1: NÚMEROS

F. Resuelva los siguientes problemas. 1)

2)

Determine si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas: a)

5  7 

2

 52  7 2

d)

 9  3

2

 9 2  32

g)

3  4

b)

6  2

2

 62  22

e)

3  5

4

 34  5 4

h)

100  10 

6

c)

8  3

 8 2  32

f)

7  5

3

 7 3  53

i)

 32  16 

 32 3  16 4

2

5

 35  4 5

3

 100 6  10 6

Los trabajadores de una construcción deben colocar un pedido de ladrillos, si los colocan en 16 pisos y en cada piso ponen 16 ladrillos ¿Cuántos ladrillos habrá colocado en total? Exprese el resultado en notación de potencia.

3)

Cuantos libros habrá en 12 cajas si en cada caja hay 12 docenas Exprese el resultado en notación de potencia.

4)

En un supermercado los refrescos se venden en paquetes de

4

latas. Si el

dependiente apila las latas en 4 pisos y en cada piso pone cuatro paquetes de refrescos, ¿Cuántas latas habrá colocado en total? Exprese el resultado en forma de potencia. 5)

María ha preparado 5 bandejas de empanadas, cada bandeja tiene 5 filas de empanadas cada una ¿Cuántas empanadas habrá en total? Exprese el resultado en notación de potencia.

6)

Exprese en forma de potencia las siguientes situaciones:  Numero de discos si se compran 5 paquetes con 5 cada uno  Numero de flores si se hacen 17 ramos con 17 flores cada uno  Numero de trozos de pan si se parten 6 panes en seis pedazos cada uno

7)

En una urbanización hay cuatro entradas, cada entrada tiene cada escalera 4

pisos, y cada piso 4

4

escaleras,

puertas. Si en cada puerta hay 4

personas, ¿Cuántas personas hay en esa urbanización? 8)

Dos parejas de estudiantes de sétimo año han preparado una fiesta para sus compañeros. Si cada uno lleva 2 cintas de colores en cada mano ¿Cuántas cintas llevan en total?

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS NATURALES

H1: Calcular expresiones numéricas aplicando el concepto de potencia y la notación exponencial H2: Resolver una combinación de operaciones que involucre o no el uso de paréntesis

Combinación de operaciones 1)

Efectuar las operaciones entre paréntesis

2)

Calcular las potencias y raíces.

3)

Efectuar los productos y cocientes.

4)

Realizar las sumas y restas.

Ejemplo 1

 

,

Ejemplo 2

Simplifique la expresión

Simplifique la expresión

24  8  5  3 

7 – (5 – 2  2) 

24  8  5 3  

7 – (5 – 2  2) 

3  15 

7 – (5  4) 

3

4

15

18

1

7 1 

18

6

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Simplifique la expresión

Simplifique la expresión

5(23 – 5) – 8  (7 – 2  3) 

32 (10  2  9) – 3(12   3)  23 (7 – 3  2) 

5(23 – 5) – 8  (7 – 2  3) 

32 (10   2  9) – 3(12   3)  23 (7 – 3  2)   

5(8 – 5) – 8  (7 – 6) 

9(5  9) – 3( 36 )  8(7 – 6)  

8

9

6

3

1

14

5(3)  (1)   – 8   15

5

108

9(14)  –108  8 

8

126

15  8 

126  108   8 

7

18

18  8  26

f'

GRUPO EDITORIAL

8

36

1

6

13

14

CAPITULO 1: NÚMEROS

Ejercicio de movilización 3

A. Resuelva las siguientes operaciones manteniendo el orden establecido









1)

85 2 

14) 3 3 2 – 4 – 12  10 – 2  2  

2)

14  3  7 

15) 2 4 2 – 6  18   59 – 10  5  

3)

11  6  3 

4)

6  7+12  6 

5)

8  3+18  3 

6)

35  5  6  4 

7)

12 – 10 – 4  2  

8)







10)

12 –10  2  8 

11)

13 – 17  3  5 

12)

12   24 – 3  6  

13)

13   31– 5  6  







18) 7  2 5 – 2 4 – 10 2   2 4 – 2  3 

19) 3  24  2   3   8 14  2 – 3  2  





20) 5 2  8   2  3  – 2  7   3   3 2 4 2 – 3  3 

21) 5

 7  7  4  7 



17) 25  2 3 – 3  12   7 – 2  2  

18 –  23 – 3  5 

9)



16) 8   13 14 2  10 53  5 

2

 2   2 +5  2  – 6 12   6   33  8 – 3  2  







 

22) 3 2 2 3   2  3 – 5  5  3   4 3  16 – 2  4  







23) 2 4 12 2   3  4 – 3 2 3   2  5 2 150 – 12 2 













24) 10 0  66   2  33   81 4 2  1  8 2 5 2 – 25 





25) 2 2 16   2  8   5 3 4 2  16  9 2 5 2 – 24 

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

B. Resuelva los siguientes problemas 1) Si 17 estudiantes viajan en autobús toda la semana y pagan ¢ 2000 por día cada uno ¿Qué ganancia obtiene el dueño del autobús si le paga al chofer ¢58 mil por semana?

2)

Si Juan recarga su teléfono con ¢ 2000 y realiza 3 llamadas de 4 minutos, 5 llamadas de 2 minutos y manda 33 mensajes. ¿Cuánta recarga le queda si cada minuto de llamada cuesta ¢30 y cada mensaje ¢5 ?

3)

Cinco familias salen de paseo y han comprado 6 kilos de carne a ¢ 4 mil el kilo,

¢13 mil en embutidos, y ¢41 mil en refrescos. ¿Cuánto debe pagar cada familia?

4)

Una máquina etiqueta 85 botellas por minuto. ¿Cuántas botellas etiquetará en total si está funcionando sin parar durante 5 días por semana ocho horas al día?

5)

Una fotocopiadora hace 80 copias cada minuto. ¿Cuánto costarán todas las fotocopias que puede hacer durante 5 horas, si cada fotocopia cuesta ¢9 cada una?

6)

Carlos y Gabriela van a la librería Carlos compra 2 lapiceros en ¢90 y un folder en ¢45 y Gabriela compra un cuaderno en ¢450 y tres postales a ¢20 cada una. ¿Cuánto dinero pagaron entre los dos?

7)

Unos estudiantes deciden realizar una actividad para obtener dinero para el grupo por lo que compran 40 chocolates en ¢3600 y los venden a ¢135 cada uno. ¿Qué ganancia obtendrán por la venta de todos los chocolates?

f'

GRUPO EDITORIAL

15

16

CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS Problema introductorio 1 Don Manuel va a poner cerámica en el piso de una habitación que mide 4 metros por 3 metros, las piezas de cerámica miden 30cm por 15cm . Se van a colocar de forma tal que el lado mayor de la loseta sea paralela al lado mayor de la habitación.

Las piezas de cerámica pueden cortarse para que encajen en los extremos de cada fila de ellas. Don Manuel le dio las dimensiones a su hijo y éste compró 135 piezas de cerámica. Si no se quiebra ninguna. 1)

¿Le alcanzarán estas piezas de cerámica a don Manuel?

2)

¿Le sobrarán?, si es así, ¿Cuántas?

3)

¿Cuántas filas de piezas de cerámica habrá que colocar?

4)

¿Cuántas piezas de cerámica por fila?

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CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS

Problema introductorio 2

Determinar todos los posibles valores de los dígitos a y b tales que el número de 5 cifras 1a 2b1 es múltiplo de 3 .

Problema introductorio 3

¿Cuántas cifras tiene el número 215  517 ?

Problema introductorio 4

Escriba todos los números mayores que 5000 y menores que 11 000 que tienen el producto de sus dígitos igual a 343 .

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17

18

CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS

H3: Aplicar el algoritmo de la división en la resolución de problemas H4: Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos H5: Identificar números primos y compuestos H6: Descomponer un número compuesto en sus factores primos

Algoritmo de la división

Es una secuencia de instrucciones que cumpliendo etapa tras etapa se logra a una solución requerida. Se puede utilizar para determinar si un número natural es par o impar.

Ejemplos a)

Determine si 12 es par o impar

12 12

b)

Determine si 17 es par o impar

2

17 16

6

00

2 8

01

Observación: Todo número divido entre 2 y cuyo residuo es 0 , es par, por lo tanto 12 es par

Observación: Todo número divido entre 2 y cuyo residuo es diferente de 0 es impar, por lo tanto 17 es impar.

Ejercicio de movilización 4 A. Utilizando el algoritmo de la división determine si los siguientes números son pares o impares. 1) 13 8) 124 2) 15

9)

3)

28

10) 253

4)

34

11) 239

5) 86

12) 334

6) 102

13) 402

7) 111

14) 437

234

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CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS

H3: Aplicar el algoritmo de la división en la resolución de problemas H4: Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos H5: Identificar números primos y compuestos H6: Descomponer un número compuesto en sus factores primos

Concepto de divisibilidad y divisor Se dice que un número

a

es divisible por otro

b

si existe un

número c tal que a  b  c y se denota a  b , en cuyo caso b sería un divisor de a . Las reglas básicas de divisibilidad que se deben saber se presentan a continuación. Divisibilidad

Regla

Por 2

Si su última cifra es 0 o un número par.

Por 3

Si la suma de sus cifras es divisible por 3

Por 5

Si la última cifra, de un número es 0 ó 5 .

Por 6

Si se divide por 2 y 3 al mismo tiempo.

Por 7

Cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 o un múltiplo de 7 . Ejemplo 343  34 3 2 = 28 28es múltiplo de 7

Por 10

Si la última cifra, de un número es 0 .

Ejercicio de movilización 5 A. Determine entre cuáles números son divisibles los siguientes números naturales. Es decir, determine los divisores de los siguientes números naturales. 8) 189 1) 4 2)

9

9)

3)

20

10) 243

4) 17

11) 244

5) 32

12) 441

6)

64

13) 456

7)

78

14) 301

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435

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19

20

CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS

H3: Aplicar el algoritmo de la división en la resolución de problemas H4: Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos H5: Identificar números primos y compuestos H6: Descomponer un número compuesto en sus factores primos

Concepto de factor

Los factores de un número natural son los números divisores exactos de ese número natural. Es decir, todo divisor de un número natural es un factor del mismo número natural.

Ejemplos a)

3 y 4 son factores de 12

b)

Porque 3  4  12

6 y 2 son factores de 12 Porque 6  2  12

Ejercicio de movilización 6 A. Determine todos los factores de los siguientes números naturales. 1)

6

9) 13

2)

8

10) 19

3)

3

11) 27

4)

20

12) 34

5) 14

13) 35

6) 16

14) 49

7)

22

15) 43

8) 30

16) 68

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CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS

H3: Aplicar el algoritmo de la división en la resolución de problemas H4: Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos H5: Identificar números primos y compuestos H6: Descomponer un número compuesto en sus factores primos

Concepto de múltiplo

Los múltiplos se forman al multiplicar un número por todos los números cardinales  0,1, 2, 3..... . Esto significa que cada número tiene un conjunto infinito de múltiplos.

Ejemplos a)

Determinar múltiplos de 0 0  0, 0  1, 0  2, 0  3......

c)

Determinar múltiplos de 1 1  0, 1  1, 1  2, 1  3......

d)

0

b)

0

0

1

0

2

0

Determinar múltiplos de 5 5  0, 5  1, 5  2, 5  3...... 0

3

5

10

15

Determinar múltiplos de 7 7  0, 7  1, 7  2, 7  3...... 0

7

14

21

Ejercicio de movilización 7 A. Determine los primeros cinco múltiplos de los siguientes números. 1)

2

9) 12

2)

3

10) 17

3)

4

11) 14

4)

6

12) 15

5)

8

13) 16

6)

9

14) 25

7) 10

15) 33

8) 11

16) 41

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21

22

CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS

H3: Aplicar el algoritmo de la división en la resolución de problemas H4: Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos H5: Identificar números primos y compuestos H6: Descomponer un número compuesto en sus factores primos

Números primos Tienen

Números compuestos

únicamente

dos

Tienen

divisores, el número uno y el

uno o más divisores

distintos a uno y a sí mismo

mismo número

Ejemplos

Ejemplos

2, 3, 5, 7......

4, 6, 8, 9......

Ejercicio de movilización 8 A. Utilizando el siguiente algoritmo complete la siguiente tabla. 1)

Empezamos con el 2 , como primo y marcamos todos los múltiplos de 2 (es decir, 4, 6, 8 etc., números que serán compuestos de acuerdo a la definición).

2)

Se continúa con el siguiente número no marcado en la tabla, en este caso el número 3 que es primo y marcamos todos los múltiplos de 3 (es decir 6 , 9 , 12 , etc. números que serán compuestos de acuerdo a la definición).

3)

El siguiente número no marcado en la tabla es el 5 , que es primo y marcamos todos los múltiplos de 5 (es decir 10 , 15 , 20 , etc. números que serán compuestos de acuerdo a la definición). 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

(Criba de Eratóstenes. 276 a.C. 194 a.C.), podemos determinar tanto los números primos como también los números compuestos.

Otra forma de obtener números primos es la propuesta por el matemático suizo Euler (1707-1783) P n  n 2  n  41 . Sin embargo, para n  41 el resultado es un número compuesto.

 

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CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS

H3: Aplicar el algoritmo de la división en la resolución de problemas H4: Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y múltiplo de un número natural en la resolución de problemas en diferentes contextos H5: Identificar números primos y compuestos H6: Descomponer un número compuesto en sus factores primos

Números compuestos y sus factores primos

La descomposición de un número compuesto en sus factores primos se realiza determinando todos los divisores primos del número dado.

Ejemplo 1

Descomponer el 40 en sus factores primos Forma correcta Forma incorrecta

40 20 10 5 1

2 2 2 5

40 10 5 1

23  5

Nota : El número uno no se considera ni primo ni compuesto.

4 2 5 425

4 no es un factor primo

Ejercicio de movilización 9

A. Descomponga si es posible los siguientes números en factores primos. 1) 12

6) 17

11) 64

2)

7)

12) 344

43

44

3) 32

8) 128

13) 256

4)

49

9) 156

14) 512

5) 36

10) 113

15) 1024

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23

24

CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS Problema introductorio 1

Lorena es una estudiante que utiliza una red social cada

6

días. Su amigo Luis

accede cada cinco días y su hermano Alex ingresa cada 8 días. Si ellos coincidieron en su visita a esta red social el día 24 de julio, 1)

¿En qué fecha vuelven los tres a coincidir?

Problema introductorio 2 Damaris desarrolla un proyecto de bien social brindando ayuda a familias necesitadas. En su barrio, ella recogió 12 paquetes de frijoles, 18 paquetes de arroz y 30 tipos diferentes de pastas (fideos, caracolitos, lasaña, etc.). Ellos quieren hacer un pequeño diario que contenga la misma cantidad de productos con el mayor número de ellos posible sin que sobre alguno. 1)

2)

¿Cuántos paquetes podrán hacer con estas características? ¿Cuántos productos de cada tipo (arroz, frijoles y pastas) tendrá dicho diario?

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CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS

H7: Obtener el mínimo común múltiplo de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. H8: Obtener el máximo común divisor de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. H9: Plantear y resolver problemas donde se utilice el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor.

Mínimo común múltiplo

 m. c. m 

El mínimo común múltiplo

de dos o más números naturales es el

menor número que es múltiplo de todos ellos.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Forma teórica

Forma tradicional

Mínimo común múltiplo de 4 y 5

Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo de

Los múltiplos de 4 son

descomponer

4,8,12,16, 20, 24, 28,32,36, 40, 44 .

factores

es

primos

ambas cantidades y multiplicar los

Y los múltiplos de 5 son

factores.

5,10,15, 20, 25,30, 35, 40, 45,50,... En este caso podemos ver que el 20 y el 40 , son múltiplos de 4 y 5 , pero el 20

en

4 y 5

es el menor por lo tanto es el

4 2 1 1

5 5 5 1

2 2 5

22  5  20

mínimo común múltiplo.

Ejercicio de movilización 10

A. Determine el mínimo común múltiplo de los siguientes números. 1)

2, 5

5)

6, 10, 3

9)

6, 3, 4, 7

2)

3, 4

6)

4, 5, 11

10)

3, 8, 9, 5

3)

4, 7

7)

5, 2, 12

11)

4, 6, 8, 9

4)

5, 8

8)

12, 4, 8

12)

10, 15, 20, 2

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25

26

CAPITULO 1: NÚMEROS

TEORÍA DE NÚMEROS

H7: Obtener el mínimo común múltiplo de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. H8: Obtener el máximo común divisor de dos números aplicando el algoritmo correspondiente. H9: Plantear y resolver problemas donde se utilice el Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común Divisor.

Máximo común divisor El máximo común divisor

 m. c. d 

de dos o más números es el mayor número que

divide a los números en forma exacta.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Forma teórica

Forma tradicional

Determine el máximo común divisor de 12 y 18

Otra forma de encontrar el máximo

El 12 se puede dividir entre

uno o más factores primos iguales las

12  2, 12  3, 12  4 y 12  6

cantidades dadas.

común divisor es descomponer en

El 18 se puede dividir entre

18  2, 18  3 y 18  6 En este caso podemos ver que

12 18

2

6

9

3

2

3

6

el

mayor número que divide al 12 y 18

Se

es el 6 , por lo tanto decimos que el

encontramos que 6

6 es el máximo común divisor.

común divisor.

multiplican

los

factores

es el máximo

Ejercicio de movilización 11

A. Determine el máximo común divisor de los siguientes números 1)

12, 10

5)

16, 24, 32

9)

14, 28, 49, 77

2)

15, 30

6)

64, 40, 72

10)

15, 25, 40, 60

3)

12, 24

7)

48, 64, 56

11)

44, 66, 88, 64

4)

35, 49

8)

56, 22, 88

12)

256, 128, 512, 64

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y

CAPITULO 1: NÚMEROS

B. Resuelva los siguientes problemas utilizando en cada caso el

 m. c. d  1)

 m. c. m 

y el

.

Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente usando tres reglas, una regla de 2 , de 5 y de 8 decímetros de largo.

2)

¿Cuál es la menor suma de dinero con que se puede comprar un número exacto de confites de ¢30 , ¢40 , ¢50 y ¢80 cada uno y cuántos confites de cada precio podría comprar con esa suma?

3)

Si un constructor tiene tres tubos de 120 cm, 160 cm y 200 cm respectivamente y quiere dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte nada. Determine tres longitudes posibles para cada pedazo.

4)

Para comprar un número exacto de docenas de paletas de ¢80 la docena o un número exacto de docenas de lápices a

¢60

docena, ¿cuál es la menor

cantidad de dinero que se necesita?

5)

El director de un colegio le hace entrega a tres estudiantes

tres grupos de

cuadernos para que los repartan entre los compañeros, a uno le entrega

80

cuadernos, al otro 75 y al otro 60 . Si cada uno debe repartir la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada compañero y cuántos estudiantes hay en el grupo?

f'

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CAPITULO 1: NÚMEROS 6)

¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de las tres llaves que vierten: la primera 12 litros por minuto; la segunda 18 litros por minuto y la tercera 20 litros por minuto?

7)

Hallar el menor número de chocolates necesario para repartir entre tres grupos de 20 alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alumno reciba un número exacto de chocolates y cuántos chocolates recibirá cada alumno del primer, segundo y tercer grupo.

8)

En un colegio hay 161 estudiantes de noveno, 207 de octavo y 253 de sétimo y se deben hacer grupos con la mayor cantidad de estudiantes posible y que todos sean iguales. ¿Cuántos estudiantes deben haber en cada grupo y cuántas aulas se requieren para atender al mismo tiempo a todos los estudiantes?

9)

Tres corredores arrancan juntos en una carrera en la pista del estadio nacional. Si el primero tarda 10 minutos en dar una vuelta, el segundo 11 minutos y el tercero 12 minutos. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y

cuántas vueltas habrá dado cada uno?

10)

Tres aviones salen de una misma ciudad, el primero cada ocho días, el segundo cada diez días y el tercero cada veinte días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de enero, ¿cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán a salir juntos? (considere el mes de febrero con 28 días).

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CAPITULO 1: NÚMEROS 11)

Tres cajas contienen 1600 kg , 2000 kg y 3392 kg de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja?

12)

Los estudiantes de una sección realizaron ventas para el grupo. El tesorero tiene tres bolsas con monedas en una tiene ¢ 4500 en otra ¢5240 y ¢6500 . Si todas las monedas son iguales y de la mayor denominación posible, ¿Cuál es el valor de cada una y cuántas hay en cada bolsa?

13)

Se tienen tres extensiones de terreno una de 3675 m 2 , otro de 1575 m 2 y 2275 m2 respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de cada una sea el menor posible?

14)

María tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B . ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja?

f'

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29

30

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS ENTEROS Problema introductorio 1 El yak es un animal que habita en las montañas del Tíbet a unos 5000 m sobre el nivel del mar y el cachalote vive 5900 m más abajo. Determine la altura en la que suele vivir este último.

Problema introductorio 2 La temperatura promedio en Costa Rica es de 25 C

durante la estación lluviosa.

Ciudades como Nueva York pueden experimentar hasta 30 C menos. Describa a qué temperatura puede estar dicha ciudad.

.

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CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS ENTEROS

Problema introductorio 3 En Santiago de Chile se ha registrado el promedio mensual (redondeado al entero más cercano) de las temperaturas durante el último año, como se muestra en la siguiente tabla: Mes

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Set

Oct

Nov

Dic

Tem

22

30

29°

19

10

5

6

9

0

2

6

10 

1)

¿Cuál fue el mes donde hubo menor temperatura?

2)

¿Cuál fue el mes donde hubo mayor temperatura?

3)

¿Cuándo hubo mayor temperatura, en julio o en noviembre?

4)

Ordene las temperaturas de menor a mayor.

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31

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CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS ENTEROS

Problema introductorio 4 A. En el siguiente cuadro aparecen las ganancias o pérdidas en cada mes del año 2011 de una empresa:

Ventas por mes de una compañia 25 20 15 10 5 0 -5 -10

1)

¿En qué meses la empresa tuvo pérdidas?

2)

¿En qué meses la empresa tuvo ganancias?

3)

¿En qué meses no hubo ni ganancias ni pérdidas?

4)

¿Cuál fue la situación de la empresa en los meses de mayo, junio, julio y agosto?

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CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS ENTEROS

H10: Identificar números enteros negativos en contextos reales H11: Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las relaciones de orden en los números enteros. H12: Ubicar números enteros en la recta numérica H13: Determinar el opuesto y el valor absoluto de un número entero

Números enteros negativos

Es un conjunto formado por todos los números negativos que no tienen expansión decimal y el símbolo que se utiliza para representarlos es   . Notación simbólica

Notación por extensión

 ..., 5 ,  4 ,  3 ,  2 ,  1 

....  5,  4 ,  3 ,  2 ,  1

Ejemplos Analicemos algunas situaciones donde se evidencia la importancia de los números enteros negativos. Notación simbólica

Situación inicial Una temperatura de 100º sobre cero.

100

metros sobre el nivel del mar.

100

3)

Una altura de metros.

100

4)

Recorrer 500 metros hacia el Este.

500

5)

Aumentar 10 kilogramos.

10

6)

Ascender 2 pisos.

2

7)

Tener ¢1 000 000 .

8)

En el año 500 D.C

1)

2) 100

100

Notación simbólica

Situación opuesta Una temperatura de 100º bajo cero.

100

metros bajo el nivel del mar.

100

3)

Una profundidad de 100 metros.

100

4)

Recorrer 500 metros hacia el Oeste.

500

5)

Disminuir 10 kilogramos.

10

6)

Descender pisos.

1 000000

7)

Deber ¢1 000 000 .

1 000 000

500

8)

En el año 500 A.C

500

f'

1)

2) 100

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2

2

33

34

CAPITULO 1: NÚMEROS

Ejercicio de movilización 12

A. Complete el espacio subrayado escribiendo la notación simbólica que representa la situación descrita. Situación 1)

Disminuir 7 kilogramos.

2)

6)

_____________

7)

Descender 8 pisos.

8)

Aumentar 7 kilogramos.

9)

Ascender 8 pisos.

10)

Tener ¢875 .

11)

Deber ¢500 .

750

15)

12

Una

pérdida

____________ de

¢2 000 000 .

_____________ 16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

____________

Una ganancia de

¢1200 000 .

_____________

____________

Recorrer 350 metros hacia el Norte.

_____________

____________

Una temperatura de 80º sobre cero.

_____________

____________

Recorrer 125 metros hacia el Oeste.

_____________

____________

Recorrer 350 metros hacia el Sur.

_____________

____________

Recorrer 125 metros hacia el Este.

_____________

_____________

Una altura de

____________

metros.

_____________

Caminar 48 pasos a la izquierda.

Una altura de

____________

del mar. 14)

Caminar 52 pasos a la derecha.

Una profundidad de

metros sobre el nivel

En el año 1321 A.C (Antes de Cristo).

5)

13)

Una temperatura de 80º bajo cero.

N. simbólica

15 metros.

_____________

metros bajo el

nivel del mar.

4)

Situación 12)

Una profundidad de 500

3)

N. simbólica

____________

En el año 1435 D.C (Después de Cristo).

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____________

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS ENTEROS Relaciones de orden “Menor que”



H10: Identificar números enteros negativos en contextos reales H11: Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las relaciones de orden en los números enteros. H12: Ubicar números enteros en la recta numérica H13: Determinar el opuesto y el valor absoluto de un número entero

“Igual que”

“Mayor que”





“Estar entre” 



Cualquier número colocado a la izquierda de otro en la recta numérica es menor.

Cualquier número colocado a la derecha de otro en la recta numérica es mayor.

Dos o más números son iguales si son equivalentes.

Está entre otros dos números si es menor que uno de esos números, pero mayor que el otro.

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

10  15 8  5

10  6 5  8

55 8  8

Ejercicio de movilización 13

11  12  13 8   2  5

A. Escriba:  ,  ,  para cada uno de los siguientes pares de números enteros. 1)

0 _______1

10)

2 _______  3

19) 2 _ _ _ _ _ _ _ 0

2)

2 _______ 0

11)

7 _______ 2

20)  3 _ _ _ _ _ _ _ 3

3)

5_______ 6

12)

8_______  6

4)

7 _______ 7

13)

4 _______  7

5)

7 _______ 3

14)

5_______  9

6)

3_______ 4

15)

25_______17

7)

23_______14

16)

19_______ 36

8)

87 _______ 76

17)

98_______ 89

9)

112 _______ 211

18)

203_______ 302

21)  4 _ _ _ _ _ _ _  9 22)  9 _ _ _ _ _ _ _  5 23)  7 _ _ _ _ _ _ _  1 24)  2 6 _ _ _ _ _ _ _  1 8 25)  2 6 _ _ _ _ _ _ _  2 6 26)  7 6 _ _ _ _ _ _ _  6 7 27)  6 7 _ _ _ _ _ _ _  6 7 28)  3 4 5 _ _ _ _ _ _ _  3 4 6

B. Considerando a x un número entero, escriba un número que se encuentra entre los siguientes pares de números enteros. 1)

4 x9

6)

2  x  1

11)  10  x   1

2)

3 x5

7)

3  x  3

12)  1 2  x   1 0

3)

2 x7

8)

5  x  2

13)  7 2  x   6 7

4) 1  x  4

9)

5  x  0

14)  3 0  x   2 4

5)

10)  1 1  x   7

0 x 6

f'

GRUPO EDITORIAL

15)  2 3  x   2 0

35

36

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS ENTEROS Recta numérica

H10: Identificar números enteros negativos en contextos reales H11: Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las relaciones de orden en los números enteros. H12: Ubicar números enteros en la recta numérica H13: Determinar el opuesto y el valor absoluto de un número entero

La recta numérica o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números enteros. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta numérica y el conjunto de los números enteros.

Ejemplo

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

Ejercicio de movilización 14

A. Escriba en los espacios indicados los números que hacen falta para completar su representación en la recta numérica. 1)

1

2)

4

3)

0

0

3

0

4

6

12

4)

0

20 5)

0 6)

0

76 7)

37

0

f ' GRUPO EDITORIAL

24

CAPITULO 1: NÚMEROS

B. De los siguientes personajes que se presentan a continuación seleccione diez de ellos y construya una recta numérica con el año de nacimiento (línea del tiempo), los ubica y comente con los compañeros cuál fue su protagonismo en la historia. Charles Darwin Leonardo da Vinci Adolfo Hitler Elena de Troya

Mao Tse-Tung

Albert Einstein

Ernesto Guevara

Marie Curie

Aristóteles

Euclides

Martin Luther King Jr

Arquímedes

Galileo Galilei

Miguel Ángel

Blaise Pascal

Gandhi

Miguel de Cervantes

Sigmund Freud,

Hypatia de Alejandría

Napoleón Bonaparte

Confucio

Isaac Newton

Nefertite

Cristóbal Colon

Jesús de Nazareth

Nicolás Copérnico

Simón Bolívar

Johannes Gutenberg

Nikola Tesla

Sócrates

Juana de Arco

Pablo Neruda

Teresa de Calcuta

Julio César

Pablo Picasso

Thomas Edison

Karl Marx

Platón

Walt Disney

Lenin

Ramsés II

William Shakespeare

f'

GRUPO EDITORIAL

37

38

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS ENTEROS Problema introductorio 1 Carolina sale de su casa y se dirige al hogar de su mamá que se ubica 2 km al Sur del suyo. Luego de saludarla y conversar con ella, le informan que su hermano Andrés (quien estudia en el extranjero y llevaba más de 5 años de no visitar a su familia) llegó a Costa Rica y que se encuentra en su casa de habitación, a

750m

Norte de la casa de su mamá por lo que ellas se dirigen para darle la bienvenida. Considerando como punto de referencia la casa de Carolina: 1)

Determine su ubicación actual en metros.

2)

Determine la distancia en metros que hay entre la casa de Carolina y la de su hermano.

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS ENTEROS

H10: Identificar números enteros negativos en contextos reales H11: Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las relaciones de orden en los números enteros. H12: Ubicar números enteros en la recta numérica H13: Determinar el opuesto y el valor absoluto de un número entero

Valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay entre el cero y cualquier número entero en la recta numérica; dicha distancia será un número entero positivo o cero.

Ejemplo 1

Ejemplo 2 2 2

2 2

Representación gráfica

Representación gráfica

3

2

1

0

1

1

Ejemplo 3

2

1

0

3

Ejemplo 4  32   32

  10   10

Algunas propiedades a) b) c)

a a

d)

2 3  2  3

e)

52 

a b  a  b ab 

a  b

5  2

Ejercicio de movilización 15

A. Calcular el valor absoluto de los siguientes números enteros. 1)

2 

7)

 5 

13)  a 

2)

8 

8)

13 

14)  b 

3)

 10 

9)

12 

15)   m 

4)

  13 

10) 23 

16)  19 

5)

37 

11)   48 

17) 2a 

6)

 52 

12)  5 

18)   3b 

f'

GRUPO EDITORIAL

39

40

CAPITULO 1: NÚMEROS

B. Escriba en el paréntesis si las siguientes expresiones son verdaderas (V), o falsa (F).

1)

38  3  8





2)

3)

25  2  5





4)

5)

45  4  5





6)









5  8  5  8





2  3  2  3

 a  5  a  5

7)

 3  10  3  10





8)

48  4  8





9)

 6  12   6  12





10) 4  12  4  4





11)

s 4  12  4   4





12) 4  17  3   7





13) 3  11  3  11





14) a  b  a  b





15) m  n   m   n





16) x  y   x   y





f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

NÚMEROS ENTEROS

H10: Identificar números enteros negativos en contextos reales H11: Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las relaciones de orden en los números enteros. H12: Ubicar números enteros en la recta numérica H13: Determinar el opuesto y el valor absoluto de un número entero

Opuesto de un número entero

Dos números enteros son opuestos si poseen el mismo valor absoluto y se encuentran en sentidos direccionales contrarios.

Ejemplo 1

a

Representación gráfica y

a a

Ejemplo 2

a

0

Representación gráfica

2

y 2 2

0

2

Ejercicio de movilización 16

A. Determinar el número opuesto, de los números enteros que se presentan a continuación. Número entero

Opuesto

Número entero

1) 0

_____________

1)

9

_____________

2)

7

_____________

2)

12

_____________

3)

8

3)

16

4)

20

4) 12

_____________ _____________ _____________

5)

5)

7)

26

_____________

h

_____________ 20

_____________

_____________

19

6)

Opuesto

_____________

_____________ _____________

8) 32

f'

6)

m

7)

a

8)

a

_____________

GRUPO EDITORIAL

_____________

41

42

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Problema introductorio 1

Buceando, Edwin se encontraba a 9m bajo el nivel del mar. Si Edwin descendió

8m más, ¿a qué profundidad estaba?

Problema introductorio 2 Pedro debe a Juan ¢250000 y le cancela ¢110 000 . ¿Cuánto le queda debiendo Pedro a Juan?

Problema introductorio 3 Alejandro Magno, uno de los más grandes generales de la historia, nació en el año 356 A.C. y murió en el año 323 A.C. ¿A qué edad murió? ¿Cuántos años hace de

eso?

Problema introductorio 4 Determine el resultado de la operación 5   4 

Problema introductorio 5 En una partida de cartas entre cinco jugadores cada uno juega con tres cartas. ¿Cuántas cartas llevan entre todos los jugadores?

Problema introductorio 6 Una fotocopiadora imprime 80 páginas por minuto si un libro tiene 240 páginas y se tienen que imprimir 35 libros. ¿Cuántos minutos tarda en imprimir todos los libros?

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Problema introductorio 7 Estamos en el piso 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor al piso 15 . ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundos en bajar 5 pisos?

Problema introductorio 8 Si una persona vive en promedio 72 años, y duerme 8 horas diarias. ¿Cuántos años de su vida se la pasa durmiendo?

Problema introductorio 9 Un grupo de estudiantes recogen dinero para comprar refrescos, si cuestan ochocientos setenta colones y son ocho estudiantes ¿cuánto aproximadamente tiene que pagar cada uno?

f'

GRUPO EDITORIAL

43

44

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H14: Simplificar cálculos mediante el uso de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación H 15: Resolver problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros

Conmutatividad de la suma

La propiedad conmutativa en la suma permite cambiar de lugar dos o más términos separados por el signo de suma.

Ejemplos a)

a  b  c   d

b)

a c    d b

5  7  5  10 5 5   7  10 

Asociatividad de la suma

10

17

La propiedad asociativa para la suma permite combinar dos o más términos que no estaban originalmente asociados.

Ejemplos a)

 a  m  b  a   m  b

b)

 2  3  7  2   3  7 

Conmutatividad de la multiplicación La propiedad conmutativa en la multiplicación permite cambiar de lugar dos o más términos sin que esto altere el resultado

Ejemplos a b  b a

5 6  65

Asociatividad de la multiplicación La propiedad asociativa para la multiplicación combina dos o más términos que no estaban originalmente asociados.

Ejemplos a  b  c  a  c  b

 2  4   3   2 3   4

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H14: Simplificar cálculos mediante el uso de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación H15: Resolver problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros

Sumas de números enteros Adición en 

Adición con   y 

Adición en  



Se procede de igual forma a la adición con números naturales que se hace en primaria.

Ejemplo 1

Se procede igual que en   pero el resultado en este caso será siempre negativo.

Ejemplo 2



En este caso los números se restan y se mantiene el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo 3

8  2  10

 8   2   10

8  2  6

8  2  6

2  8  10

 2   8   10

2  8  6

2  8  6

Suma de tres o más números enteros

Ejemplo 1

Ejemplo 2

15  6  5  38  15  6  5  38  

4  3  8  4  3  8  1

Ejemplo 3

5  6   2   4  9   5  6  2  4  9   1

21

1 8  9

21  5  38  

1  2  4  9 

26  38    

1  4  9    

1

26

9

12

5

 12

 59   4

4

Ejercicio de movilización 17

A. Efectuar las siguientes adiciones de números enteros.

3  4  2 

5  2  7 

1)

23

9)

2)

34

10)  7   5  3 

18) 5   6   2   2

3)

57 

11)  5   3   4 

19) 9   2   3  8   2 

12)  11   3  4 

20) 8   15   2  4  2 

4) 19  6 

17)

5)

30  15 

13) 12  11  4 

21) 2   5   12   4  3 

6)

20  15 

14)  13   13  23 

22) 3   5  8   2  4 

7)

92  30 

15)  16   22   3 

23)

8)

60  30 

16)

15  30  45 

f'

GRUPO EDITORIAL

9  1  7  2  4 

24) 3   8  8   2  3 

45

46

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H14: Simplificar cálculos mediante el uso de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación H15: Resolver problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros

Restas de números enteros Sustracción en  

Sustracción en   y 

Sustracción en  

En ambos caso los números se restan y se mantiene el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplos a)

82  6

b)

2  8  6



En este caso los números se suman. Si ambos números son negativos el resultado será negativo, en caso contrario el resultado es positivo. Excepto si el resultado es 0 .

Ejemplos

8  2  6

a)

2  8  6

8  2  10

b)

2  8  10

8  2  10 2  8  10

Resta de tres o más números enteros.

Ejemplos a)

4  3  8 

b)

4  3  8 

15  6  5  38 

c)

15  6  5  38  

11

9

7

7 8  1

5  6  2  4  9   5  6  2  4  9  

9  5  38 

11  2  4  9   

4  38 

9  4  9    

4

1

9

42

5

42

 59   14

Ejercicio de movilización 18

 14

A. Efectuar las siguientes sustracciones de números enteros. 1)

2  5  2 

9)

4  2  2  5 

17)

4  3  5 1  6 

2)

2 49 

10)  3   1   3  1 

18)

2  3  11 8 

3)

3  5  4 

11)

3  6  3  9 

19)

4)

15  6  4 

6  9  5  1  1 

12)  3   1   2  4 

5)

3  1  5 

13)  1   7   2  9 

6)

2  3  2 

14)   1  2  7  3 

7)

3  9  11 

15)  4  4  1  8  3 

8)

 9   2  13 

16)  4  4  3  7   2 

f ' GRUPO EDITORIAL

20)  6   5   9  3  1  21)

6  3  3  9  7 

22)

32  2 1 11 5 

23)

6   10 14  15 

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H14: Simplificar cálculos mediante el uso de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación H15: Resolver problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros

Multiplicación de números enteros Multiplicación en   Se procede de forma

Multiplicación en   y   Multiplicación en   Se procede de forma idéntica a la multiplicación en 

idéntica

  y se aplica la ley de signos     

a

la

multiplicación con  .

Ejemplos

                

a)

8 2  16

c)

8   2  16

e)

8   2  16

g)

2  8  16

b)

2  8  16

d)

2   8  16

f)

0 8  0

h)

0  80

Multiplicación de tres o más números enteros

Ejemplos a)

4   38  4   38  12

12  8  

b)

15  6  5   38  15  6  5   38  

5  6   2   4  9 

c)

 5  6  2  49   30

90

96

90  5   38  

30   2   4  9    

450   38  

60   4  9  

60

450

 96

240

17100

240  9    

 17100

2160

Ejercicio de movilización 19

 2160

A. Efectuar las siguientes multiplicaciones de números enteros. 1)

2  5

7)

3 4 7

13)

0 9 15  13 

2)

3 4

8)

7  8  2

14)

6  5 4  2 

3)

5 7

9)

7   2  6 

15)

7  2 2  6 

4)

10  30 

10)

2 3  6 

16)

4  4 3  2 

5)

60  30 

11)

9 2  5 

17)

3  9  5  2 

6)

10  34 

12)

4 5 12 

18)

3  7   5   7 

f'

GRUPO EDITORIAL

47

48

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H14: Simplificar cálculos mediante el uso de las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la adición y multiplicación H15: Resolver problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros

División de números enteros División en  

División en  

Se procede de forma

Se procede de forma idéntica a la división en 

idéntica a la división en

  y se aplica la ley de signos     

.

División en               

Ejemplos a) 8  2  4

c)  18   9  2

e) 28   7   4

b) 18  3  6

d)  12   3  4

f)

0  2  0

g)  36  4   9 h)

Ejercicio de movilización 20

A. Efectuar las siguientes divisiones de números enteros.

1) 14  2 

7)

 18  2 

13) 18   2 

2)

40   2 

8)

22   2 

14)  36  3 

3)

25   5 

9)

 15   5 

15) 15   5 

4)

24  3 

10)  64   4 

16) 28   4 

5)

 49  7 

11) 50   2 

17) 48   2 

12)  32   2 

18)  22  2 

6) 18  3 

f ' GRUPO EDITORIAL

05  0

CAPITULO 1: NÚMEROS

B. Resuelva los siguientes problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números enteros. En una cuenta bancaria se hace un depósito de ¢23000 , la siguiente semana se efectúa un retiro de ¢12 450 , en dos días después se depositan ¢ 2 500 más, y un día después se retiran ¢1589 . ¿Cuánto se tiene en la cuenta bancaria? 2) El costo de 3 muebles, es de ¢1200 , ¢5632 y ¢3845 respectivamente. Si un cliente tiene ahorrados ¢10 000 , ¿podrá comprar los 3 muebles? o en otro caso ¿Cuánto le falta? 3) Un viajero tiene un crédito de ¢50000 para todo el viaje, el transporte le costará ¢ 27 400 , el hospedaje le costará ¢10510 . ¿Cuánto le sobra al viajero para los demás gastos? 4) Un hombre nació el año de 1950 , se casó a los 28 años, 2 años después nació su primer hijo y murió cuando el hijo tenía 20 años. ¿En qué año murió? 5) La suma de dos números es 2789 y uno de ellos es 1560 t . ¿Cuál es el otro número? 6) Un bodeguero espera un cargamento de 15000 toneladas, primero llegan 3500 toneladas después llegan 330 más que la primera entrega, posteriormente llegan 505 más que la segunda entrega. ¿Cuántas toneladas faltan por entregar? 7) Si me pagaran un préstamo de ¢300 que hice, tendría ¢4500 , mi hermano tiene ahora ¢100 más que yo, y mi prima tiene ¢340 menos que mi hermano y yo juntos. ¿Cuánto tenemos entre los 3 ? 8) Si compro 12 caballos a ¢80000 cada uno ¿Cuánto debo pagar en total? 9) Si una persona estudia dos horas por día ¿Cuántos minutos estudia en siete días? 10) Un trabajador labora seis horas por día y le pagan ¢1500 la hora ¿Cuánto se gana en 13 días? 11) Cinco estudiantes de sétimo compran 10 bolsas de naranjas con 25 cada bolsa, si compraron cada bolsa por ¢1500 , ¿Cuántas naranjas compraron?, ¿Cuánto pagó cada uno? 12) Gustavo quiere saber cuánto gasta su carro de combustible tomando en cuenta el recorrido que hace para llegar a su trabajo. Viaja 60 km por día, si el carro gasta un litro cada 20 km y cuesta ¢700 el litro. ¿Cuántos litros gasta en 10 días y cuánto paga cada dos días? 1)

f'

GRUPO EDITORIAL

49

50

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Problema introductorio 1 25 31 Represente el resultado de la operación 3  3

Problema introductorio 2 ¿Cuántas naranjas tiene Mateo si recoge en 7

bolsas 7

Exprese el resultado en notación exponencial

f ' GRUPO EDITORIAL

naranjas por 7

días?

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H16: Calcular potencias cuya base sea un número entero y el exponente sea un número natural. H17: Utilizar las propiedades de potencias para representar el resultado de operaciones con potencias de igual base.

Potencias con base entera y exponente natural Base positiva Exponente par

Exponente impar

32  3  39

35  3  3  3  3  3  243  

24  2  2  2  2  16 

23  2  2  2  8   

2 veces

5 veces

4 veces

3 veces

Base negativa Exponente par

 3

2

Exponente impar

  3   3  9 

3 3 3 3 3  243  3    5

2 veces

5 veces

32    3  3  9 

35    3  3  3  3  3  243 

2 veces

5 veces

Ejercicio de movilización 21 A. Calcular las siguientes potencias 1) 12 

7)

73 

2) 13 

8)

 112 

3)

9) 113 

26 

13)   2  

18)  5 2 

14)   3  

19)   10  

15)   3  

20)   8  

16)   5  

21)  9 4 

7

4

3

10)

134 

3 

11)

13 

3 

12)   1 

4)

27 

5) 6)

4

4

3

3

17)   5   3

2

f'

GRUPO EDITORIAL

2

3

22)   13   3

51

52

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H16: Calcular potencias cuya base sea un número entero y el exponente sea un número natural. H17: Utilizar las propiedades de potencias para representar el resultado de operaciones con potencias de igual base.

Propiedades de las Potencias Propiedad

Caso general

Ejemplo 3 5 3 5  28 a) 2  2  2

Multiplicación de potencias de igual base

División de potencias de igual base

a n  a m  a n m

10

b) 5

 5 8  510  8  5 2

c) ( 3)  ( 3)  ( 3) 2

a n  a m  a n m

a)

4

2 4

 ( 3) 6

2 7  23  2 7 3  2 4

b) 510  5 8  510 8  518 c) ( 4)8  ( 4) 5  ( 4) 8 5  (  4)13

Potencia de una potencia

a)

4 

b)

  2    (2)

(2  b)4   2   b4

(a n )m  a n  m

2 3

 42  3  46 3 5

3 5

Potencia de un producto

(a  b)n  a n  b n

a)

Potencia con exponente cero

a0  1

a)

(2)0  1

b)

(23  35 ) 0  1

Potencia con exponente uno

 (  2)15

4

1 a) 4  4

a1  a

b)

f ' GRUPO EDITORIAL

2

3

 35    2 3  35   2 3  35 1

CAPITULO 1: NÚMEROS

Ejercicio de movilización 22

Resuelva las siguientes operaciones utilizando las propiedades de las potencias. A. Multiplicación de potencias de igual base 2 2 5) 8 4  8  2  1) 3  3 

9)

(  m )15  (  m ) 12 

2)

43  42 

6)

36  3  3 

10) (  x )8  (  x ) 5 

3)

53  52 

7)

( 3) 7  ( 3) 4 

11) (  p )10  (  p ) 2 

4)

38  33 

8) ( 6)12  ( 6) 8 

B. División de potencias de igual base 4 2 5) (  4) 9  (  4) 7  1) 3  3 

12) (  h ) 9  (  h ) 3  9)

(  m )10  (  m ) 2 

2)

86  84 

6)

(  2)12  (  2) 8 

10) ( b ) 9  (  b ) 3 

3)

32  34 

7)

( 4)18  ( 4)15 

11) (  x )15  (  x ) 12 

4)

(  3) 4  (  3) 2 

8)

(  5) 8  (  5) 5 

C. Potencia de una potencia 1)

2 



5)

  5  

2)

3 



6)

  3  

3)

5 



7)

  2  

8)

4)

2 3

2 3

3 2

3 

2 4



D. Potencia de un producto

12)

(  h )17  (  h ) 13 

2



9)

 a  



4 5



10)

  b  





11)

c  

  3  



12)

 m  



7)

x

3

4

2

3 3

3 5

3 7

9 3

7 8

1)

 x  3

3



4)

2 3 

2)

 2  b

2



5)

3  2 



8)

2

3)

5  m

6)

3  2 



9)

5

7)

 2  4

3



2 2

3

2 2

2

3

2 3

E. Eleve a la potencia indicada las siguientes expresiones

 1 

4

 b0  

0

 m4  

4

3

2

3

0



4)

7  4 



2)

7



5)

3  7 



8)

  b  

3)

5

6)

2 3 



9)

c  

0

0



f'

3 0

2 0

3

3

2 1

GRUPO EDITORIAL



2

1)

2



1

2



3 1

9 1





53

54

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Problema introductorio 1 ¿Qué número multiplicado por sí mismo 5 veces da como resultado 32 ?

Problema introductorio 2 ¿Qué número multiplicado por sí mismo 3 veces da como resultado 64 ?

Problema introductorio 3 ¿Son correctas las siguientes igualdades? 4  2 a)

b)

3

8  2

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H18: Identificar la relación entre potencias y raíces como operaciones inversas H19: Calcular la raíz de un número entero cuyo resultado sea entero

Potencias y raíces

Un radical es una expresión de la forma a n b , donde a es el coeficiente, b es el subradical y n el índice del radical.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

a n b donde :

3 5 9 donde :

es el signo radical " a "  coeficiente " b "  subradical " n "  índice

"3"  coeficiente " 9"  subradical "5"  índice

Nota: si el índice es 2 no se escribe.

Al analizar las equivalencias bn  a 

n

a  b podemos establecer la relación que

existe entre la potenciación y los radicales, veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

 7 

3

 5

 343  3 343  7

2

 25  25  5  5

Ejercicio de movilización 23 A. Expresese en notación exponencial. 1)

B. Expresese en notación radical .

9 3 

1)

7 2  49 

2)

3

27  3 

2)

4 2  16 

3)

3

27  3 

3)

53  125 

4)

m

bx

4)

by  x 

5)

k

d w 

5)

cn  d 

6)

r

my 

6)

5n  g 

f'

GRUPO EDITORIAL

55

56

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H18: Identificar la relación entre potencias y raíces como operaciones inversas H19: Calcular la raíz de un número entero cuyo resultado sea entero

Raíz de un número entero

La raíz de un número entero es ese valor que, cuando se multiplica por sí mismo, las veces que indica el índice, nos da el número entero del sub radical.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

42

 porque 2  2

 4

3

Ejemplo 3

27  3

 porque 3 3 3  27 

Ejemplo 4

4  25   4  25  2  5  10 2

3

5

3 3 8  343   8  343  2  7  14 2

7

Analicemos los siguientes casos de raíces a)

¿Es esta expresión verdadera 4  2 ?

No, porque

 2  2

4

y

b)

¿Es esta expresión verdadera 3

8  2 ?

Sí, porque

4  4

De los ejemplos anteriores podemos establecer que

n

Ejercicio de movilización 24

 2  3

 8

 x para " n " par xn    x para " n " impar

A. Determine la raiz de las siguientes espresiones o la equivalencia según sea el caso. 10) 16  9  9 1) 2)

16 

11)

3

1  64 

3)

3

8 

12)

4

625  16 

4)

3

27 

13)

3

 8  216 

5)

25 

14)

5

243  32 

6)

100 

15)

3

125   343 

16)

4

10000  625 

81 

7)

4

8)

5

1024 

9)

6

729 

17)

121  169 

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES Problema introductorio 1 Mateo recibió hoy de su madre

¢5000 , además ayer había prestado a tres

compañeros ¢500 a cada uno para que compraran un refresco; los tres le pagaron hoy lo que le debían. Con el dinero que ahora tiene pretende comprar tres naranjas que le cuestan ¢200 cada una y quiere también comprar un CD que cuesta ¢5700 . Modele mediante una combinación de operaciones con números enteros la situación propuesta. Obtenga el resultado de efectuar las operaciones. ¿Le alcanza a Mateo el dinero que tiene para comprar las naranjas y el CD?

Problema introductorio 2 Expresa el número 42 como producto de dos enteros, de todas las formas posibles.

f'

GRUPO EDITORIAL

57

58

CAPITULO 1: NÚMEROS

OPERACIONES, CÁLCULOS Y ESTIMACIONES

H 20: Calcular resultados de operaciones con números enteros en expresiones que incorporen la combinación de operaciones con paréntesis o sin ellos. H 21: Resolver problemas en los que se apliquen las operaciones con números enteros

Combinación de operaciones 1)

Efectuar las operaciones entre paréntesis

2)

Calcular las potencias y raíces.

3)

Efectuar los productos y cocientes.

4)

Realizar las sumas y restas.

 .

Observación: una estrategia de solución es resolver “de adentro hacia afuera del paréntesis   ”.

Ejemplo 1

Ejemplo 2









32  49  53 

3  4  53   5 27  9  25 

  32    49  53   125  7 

    3  4  5  3   5   27  25     9   15   5  3 

  32   7   125     118  32 118  

    3  4  15   5  3  5      19   2  3  19   5  2    

3776

10

57

   10  57  67

67

Ejemplo 3

 2

Ejemplo 4 3



 11  3 16  92  

    3   2   11  3 16  92       18   8      8  11  3 16  18       3   34  3 3  34    102

3  102  99

99



 

2  2   25  3 2

36  32 

3



8 

 2    3 2   2   25   3   36  32   8      6 9 5  2   4     2  4  5   3 6  9   2      9   18    2  9   3  6  18     12  18

18 3  12      36

18  36  54

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPITULO 1: NÚMEROS

Ejercicio de movilización 25

A. Considerando el orden de prioridad en la resolución de operaciones, resuelva lo que se le solicita. 3 1) 13  25  12) 12   25  2 



9  24 

2)

3)

3

8  72 

4)

3

125  122 

5)

3

8   3 

6)

 2 

7)

 5 

8)

 2 



14)

15  100  62 



4









3



2







17)   3    5 2 2 

 3 1  3 27 

10) 9 2   10 

25 

16) 32  3  5  16 

49 





2

 73 

3



5  81  34 

15)  3    2 

9) 10 2  13  2 2 





13)

3

5





8 

 



18)

3  4  22  32  3 8 

19)

2  2  3 3  3 16  22  9 

20)

4 5  2  81  3 32  2  25 

21)

  3 

11) 15  16   10   4

f'





36 

GRUPO EDITORIAL







 

3

 





 121  4 2  8  3 8   5 

59

60

CAPITULO 1: NÚMEROS

B. Resolver los siguientes problemas en los que se aplican las operaciones con números enteros 1)

¿Cuántos trajes se podrán confeccionar con 342 metros de tela, si para cada traje se necesitan 3 metros?

2)

Cada día hago

4

problemas. Cuando termine el cuaderno tendré cien

problemas. ¿En cuántos días voy a terminar esta tarea? 3)

En la comunidad Las Palmas, donde vive Manuel, se han organizado 17 familias para reforestar los terrenos que rodean a la comunidad. Cada una de las familias plantará 8 árboles. ¿Cuántos árboles plantarán en total?

4)

Los vecinos de una comunidad compraron tres camiones con sacos de cemento para arreglar la carretera, si la cantidad que traían todos era la misma ¿Cuántos sacos traía cada uno? si por cada saco se cubría medio metro cuadrado y en total se repararon 540 metros cuadrados.

5)

Si un grupo de estudiantes desean comprar pizza para el almuerzo y

3

pizzas

cuestan ¢18000 ¿Cuántos estudiantes hay en el grupo si cada uno aporta ¢600 ? 6)

En una bodega hay 825 kg de maíz. ¿Cuántos sacos de 75 kg se pueden llenar?

7)

Unos estudiantes realizan ventas y obtienen una ganancia de ¢18700 , si cada uno se gana ¢1700 ¿Cuántos estudiantes son los de ese grupo?

8)

Expresa el número 4 como diferencia de dos enteros, de cuatro formas distintas.

9)

Expresa el número 12 como producto de dos enteros, de todas las formas posibles.

10)

Expresa el número 3 como cociente de dos enteros, de cuatro formas distintas.

11)

Si un jugador de futbol en tres juegos completos anota 5 goles, en promedio cada cuántos minutos anota un gol.

f ' GRUPO EDITORIAL

Capítulo 2

Geometría

f' Grupo Editorial

CONOCIMIENTOS Conocimientos básicos Punto  Puntos colineales y no colineales  Puntos coplanares y no coplanares  Punto medio Recta  Segmento  Semirrecta  Rayo  Rectas concurrentes  Rectas paralelas en el plano  Rectas perpendiculares en el plano Plano Visualización Espacial  Caras  Aristas  Vértices  Rectas y segmentos  Paralelos  Rectas y segmentos  Perpendiculares  Planos paralelos  Planos perpendiculares Ángulos  Llano  Adyacentes  Par lineal  Opuestos por el vértice  Congruentes  Complementarios  Suplementarios Triángulos  Desigualdad triangular  Ángulos internos  Ángulos Externos Cuadriláteros  Áreas  Suma de medidas de ángulos internos  Suma de medidas de ángulos externos Geometría analítica  Ejes cartesianos  Representación de puntos  Representación de figuras

HABILIDADES ESPECÍFICAS 1. Identificar en dibujos y objetos del entorno puntos, segmentos, rectas, semirrectas, rayos, planos, puntos colineales y no colineales, puntos coplanares y no coplanares. 2. Identificar y localizar el punto medio de un segmento 3. Identificar y trazar rectas paralelas, perpendiculares, concurrentes en diferentes contextos. 4. Utilizar la notación simbólica de cada concepto estableciendo relación con su representación gráfica. 5. Enunciar relaciones entre los conceptos geométricos mediante notación simbólica. 6. Reconocer en figuras tridimensionales diversos elementos como caras, aristas, vértices. 7. Establecer relaciones entre los diversos elementos de figuras tridimensionales: vértices, caras y aristas, rectas y segmentos paralelos perpendiculares, planos paralelos y perpendiculares. 8. Reconocer en diferentes contextos ángulos llanos, adyacentes, los que forman par lineal y los opuestos por el vértice. 9. Identificar ángulos congruentes, complementarios, suplementarios en diferentes contextos. 10. Determinar medidas de ángulos sabiendo que son congruentes, complementarios o suplementarios con otros ángulos dados. 11. Aplicar la relación entre las medidas de ángulos determinados por tres rectas coplanares dadas. 12. Obtener y aplicar medidas de ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas, conociendo la medida de uno de ellos. 13. Aplicar la desigualdad triangular. 14. Aplicar la propiedad de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo. 15. Determinar medidas de ángulos internos y externos de un triángulo, conociendo medidas de los otros ángulos. 16. Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo. 17. Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero convexo. 18. Resolver problemas que involucren ángulos, triángulos, cuadriláteros, sus propiedades y cálculo de 19. Utilizar software de geometría dinámica para la visualización y la verificación de propiedades geométricas. ( se recomienda geogebra) 20. Representar puntos y figuras geométricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos. 21. Determinar algebraicamente el punto medio de un segmento. 22. Ubicar puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un plano con un sistema de ejes cartesianos.

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS Problema introductorio 1

A

C O P E

L

N

G

M R J

R a)

Un segmento.

b)

Una recta.

c)

Una semirrecta.*

d)

Un rayo.

e)

Tres puntos colineales.

f)

Tres puntos no colineales.

g)

Dos rectas concurrentes.

h)

Dos rectas perpendiculares.

i)

Dos rectas paralelas.

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69

70

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS

H1: Identificar en dibujos y objetos del entorno puntos, segmentos, rectas, semirrectas, rayos, planos, puntos colineales y no colineales, puntos coplanares y no coplanares. H 2: Identificar y localizar el punto medio de un segmento. H 4: Utilizar la notación simbólica de cada concepto estableciendo relación con su representación gráfica. H 5: Enunciar relaciones entre los conceptos geométricos mediante notación simbólica.

Puntos, segmentos, recta, semirrecta, rayo y plano Concepto

Representación gráfica

Puntos colineales Dos o más puntos son colineales si existe una sola recta que los contenga.

A

Puntos no colineales No son colineales si al trazar una recta al menos uno de los puntos se encuentra fuera de esa recta.

A - B - C

C

B

B A

Puntos coplanares Son coplanares si y solamente si están contenidos en un mismo plano.

l

C

A



B D

C

Puntos no coplanares Cuatro o más puntos son no coplanares si y solamente si no están contenidos en un mismo plano. Punto medio El punto medio de un segmento de recta es el punto que lo divide en dos segmentos de igual longitud.

Notación simbólica

A



B

C



A, C  l y B  l

A , B , C , D 

A , B , C  D 

D

A

B

C

m AB  mBC

Ejercicios de movilización 1 A. Identifique en su entorno de aula (piso, paredes, pizarra, cielo raso, ventanas, murales, etc) puntos, segmentos, rectas, semirrectas, rayos, planos, puntos colineales y no colineales, puntos coplanares y no coplanares.

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CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS

H1: Identificar en dibujos y objetos del entorno puntos, segmentos, rectas, semirrectas, rayos, planos, puntos colineales y no colineales, puntos coplanares y no coplanares. H 2: Identificar y localizar el punto medio de un segmento. H 4: Utilizar la notación simbólica de cada concepto estableciendo relación con su representación gráfica. H 5: Enunciar relaciones entre los conceptos geométricos mediante notación simbólica

Rectas paralelas, perpendiculares y concurrentes Concepto

Representación gráfica

Rectas paralelas Dos o más rectas son paralelas si son coplanares y no tienen ningún punto en común Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si al intersecarse forman ángulos de 90 Rectas concurrentes Dos o más rectas son concurrentes si tienen un punto de contacto.

A

B

C

D

Notación simbólica

l1

l 1  l2

o

l2 AB

 CD

m

m n

n

l

A  l  l1 A

l1

Ejemplo 1 A. En una misma figura se pueden determinar elementos como rectas, semirectas, puntos colinales, y otros como se muestra a continuación. 1)

Un punto

D ______

2)

Una recta

______

3)

Un plano

 ______

4)

Puntos colineales

G HI ______

5)

Puntos no colineales

ALK ______

6)

Puntos coplanares

KB ______

7)

Puntos no coplanares

ABDL ______

8)

Segmento de recta

AC ______

9)

Semirrecta

______

10)

Rayo

GH ______

11)

Rectas paralelas

_______

12)

Rectas perpendiculares

CD  CG ________

AB

A

B K

C

D 

E G

AB

CD  GH

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F L

H

I

71

72

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

Ejercicios de movilización 2

A. Con base en la figura adjunta y utilizando la simbología correcta. Escriba en el espacio indicado lo que se le solicita. 1) Una recta paralela a la recta l 2 _________ 2)

Una recta concurrente a la recta

3)

Recta perpendicular a la recta

4)

Dos rectas paralelas

_________

5)

Dos rectas perpendiculares

_________

6)

Dos rectas concurrentes

_________

l2

l1

_________ _________

7)

Dos segmentos de recta

_________

8)

Una semirrecta con origen en B

_________

9)

Una semirrecta con origen en D

_________

10)

Un rayo con origen en E

_________

11)

Un rayo con origen en A

_________

l

l 5

6

C l 1

l

4

l

D

A

l

E

B

2

3

B. Con base en los puntos señalados en la figura adjunta indique y dibuje lo que se le solicita. 1) Un punto 2)

Una recta

3)

Un plano

4)

Tres puntos colineales

5)

Tres puntos no colineales

6)

Dos segmentos de recta

7)

Dos semirrectas

8)

Dos rayos

A K

C

D 

E

9)

Dos rectas que parecen ser paralelas

10)

Dos rectas que parecen ser

G

perpendiculares 11)

B

Dos rectas concurrentes

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F L

H

I

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

VISUALIZACIÓN ESPACIAL Problema introductorio 1

H

G 

D

C

 F A

B

Con base a la figura conteste las siguientes preguntas. a)

¿Qué aristas comparten el punto (vértice) C ?

b)

¿Qué pares de planos son perpendiculares?

c)

Señale un par de re paralelas.

d)

Señale un par de rectas perpendiculares.

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73

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

VISUALIZACIÓN ESPACIAL

H 6: Reconocer en figuras tridimensionales diversos elementos como caras, aristas, vértices H 7: Establecer relaciones entre los diversos elementos de figuras tridimensionales: vértices, caras y aristas, rectas y segmentos paralelos perpendiculares, planos paralelos y perpendiculares.

Algunas figuras tridimensionales y sus elementos Prisma pentagonal

Elementos del prisma pentagonal

J

El cuadrilátero  BGHC es una cara del prisma. b) Una arista es el segmento HC a)

A I

altura

base

F cara lateral

H

G

E a

A

D

base

c)

El segmento DI es una arista del prisma.

d)

Los puntos A, B, C , D, E , F , G , H , I , J vértices del prisma.

e)

Un par de segmentos paralelos son DI y CH

f)

Un par de segmentos perpendiculares son DI y DE

g)

Un par de planos paralelos son  ABCDE y  FGHIJ

son los

C

B

C

Un par de planos perpendiculares son  ABGF y  FGHIJ

h)

Pirámide

Elementos de la pirámide F

a

p

a)

El triángulo pirámide.

b)

El segmento pirámide.

c)

Los puntos A, B, C , D, E , F de la pirámide.

d)

No existen segmentos paralelos.

e)

Un par de segmentos perpendiculares son FO y OG

f)

No existen planos paralelos.

g)

Un par de planos perpendiculares son  FGO y  ABCDE

cara lateral altura

74

E O base

A B

D G C

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ABF

es una cara de la

BF

es una arista de la son los vértices

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

Ejercicios de movilización 3

A. Determine en las siguientes figuras tridimensionales utilizando la simbología correcta: vértices, caras y aristas; rectas, segmentos paralelos y perpendiculares; planos paralelos y perpendiculares. D

C

F

E

1) 2) 3) 4) 5)

Tres vértices Dos caras Una arista Dos segmentos perpendiculares Dos planos perpendiculares

1) 2) 3) 4) 5)

Tres vértices Dos caras Todas las aristas Dos segmentos perpendiculares Dos segmentos paralelos

1)

7)

Tres vértices Tres caras Cuatro aristas Dos segmentos perpendiculares Dos segmentos paralelos Dos planos perpendiculares Dos planos paralelos

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Tres vértices Dos caras Todas las aristas Dos segmentos perpendiculares Dos segmentos paralelos Dos planos paralelos Dos planos perpendiculares

B

A Figura 1

F

G

D E

A

C

B Figura 2

F

2)



D

4)

C  A

 A

3)

E

5)



6)

B

Figura 3

H   E

G 

F

 D

A

C 

B

Figura 4

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75

76

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

ÁNGULOS

Problema introductorio 1

Si el hexágono que se le presenta a continuación es regular, entonces determine las medidas de los ángulos siguientes: 1)

EHB

2)

EHD

3)

DAB

4)

ABC

5)

 CBG

D

E

H

F

C

B

A

G

Además identifique: 1)

una pareja de ángulos adyacentes

2)

una pareja de ángulos opuestos por el vértice

3)

un par lineal

4)

¿Cuál es la relación de medida entre los ángulos DEB

y EBA , así como

 EDA y DAB ? 5)

Busque

una

correspondencia

según

la

cual

paralelos.

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ED y AB

son segmentos

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

ÁNGULOS

H8: Reconocer en diferentes contextos ángulos llanos, adyacentes, los que forman par lineal y los opuestos por el vértice H9: Identificar ángulos congruentes, complementarios, suplementarios en diferentes contextos H10: Determinar medidas de ángulos sabiendo que son congruentes, complementarios o suplementarios con otros ángulos dados.

Definición de ángulo

Es la unión de dos rayos con punto final común Representación gráfica

.

Notación simbólica 1)

B

2)



3) 4)

C

A

 A BAC CAB

Ángulo llano Llamamos a un ángulo llano cuando cambia la dirección para apuntar en la dirección contraria, se ve como una línea recta. Representación gráfica

Notación simbólica

 A

  180º C

B

Ángulos adyacentes Son adyacentes si y solo si tienen el mismo vértice, y un lado común Notación gráfica

Notación simbólica

D



A



 C

B

Par lineal Dos ángulos forman un par lineal si y solamente si son ángulos adyacentes y suplementarios.

Representación gráfica

Notación simbólica

D



m   m   180º



B

A

C

Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. Tienen la misma medida entre sí. Notación simbólica Representación gráfica

A  D





B

m  m

E

m  m



f ' GRUPO EDITORIAL

77

78

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

ÁNGULOS

H8: Reconocer en diferentes contextos ángulos llanos, adyacentes, los que forman par lineal y los opuestos por el vértice H9: Identificar ángulos congruentes, complementarios, suplementarios en diferentes contextos H10: Determinar medidas de ángulos sabiendo que son congruentes, complementarios o suplementarios con otros ángulos dados

Ángulos congruentes

Son ángulos que tienen la misma medida Representación gráfica

Notación simbólica

A

D 80º

80º

C

B

E

mABC  mFDE F

Ángulos complementarios Suman 90º y no es necesario que estén el uno junto al otro. Representación gráfica

A

Notación simbólica

B



ma  m  90 

D

C C

B

D



m  m  90º



A

E

F

Ángulos suplementarios Suman 180º y no es necesario que estén el uno junto al otro. Representación gráfica

Notación simbólica

B

 A

A D C



C

D F

E

 D

m  m  180º

B

m  m  180

 A

C

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CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

Ejercicios de movilización 4 A. Con base en la figura adjunta escriba en notación simbólica: 1) Un ángulo llano ___________ 2)

Un par lineal

___________

D

C B

3)

Dos ángulos adyacentes

___________

E

A 4)

Dos ángulos suplementarios

___________

5)

Dos ángulos complementarios

___________

6)

Dos ángulos congruentes

___________

7)

Dos ángulos opuestos por el

___________

F

G

C  A F G  A D

vértice

B. Con base en la figura, señale de forma correcta lo que se le solicita. 1) Un ángulo llano ___________ 2)

Un par lineal

___________

3)

Dos ángulos adyacentes

___________

4)

Dos ángulos suplementarios

___________

5)

Dos ángulos complementarios

___________

6)

Dos ángulos congruentes

___________

7)

Dos ángulos opuestos por el vértice

___________

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l1

l2 









l1  l2

79

80

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

C. Con base en la figura, señale de forma correcta lo que se le solicita. 1)

Dos ángulos opuestos por el vértice

2)

Dos ángulos adyacentes

3)

Dos ángulos suplementarios

4)

Dos ángulos complementarios

5)

Dos ángulos congruentes

6)

Un ángulo llano

7)

Dos rectas paralelas

8)

Dos rectas perpendiculares

9)

Un par lineal

G

F E

M

A

D

H

C B K

I

L

D. Con base en la figura adjunta escriba en notación simbólica: 1) Un punto 2)

Tres puntos colineales

3)

Tres puntos no colineales

4)

Tres segmentos de recta

5)

Tres semirrectas

6)

Tres rayos

7)

Dos rectas paralelas

8)

Dos rectas perpendiculares

9)

Dos rectas concurrentes

A



E



B



J

C





K

10)

Dos ángulos adyacentes

11)

Dos ángulos congruentes

12)

Un ángulo llano

13)

Dos ángulos complementarios

14)

Par lineal

15)

Dos ángulos suplementarios

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G D



N 

I







H

M F



CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

ÁNGULOS

H 11: Aplicar la relación entre las medidas de ángulos determinados por tres rectas coplanares dadas. H 12: Obtener y aplicar medidas de ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas, conociendo la medida de uno de ellos.

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal La relación entre las medidas de ángulos determinados por tres rectas coplanares es fácil determinarla si hacemos uso de la tecnología *. Un caso particularmente interesante son dos rectas paralelas cortadas por una secante, que permite analizar una infinidad de problemas prácticos, así como definir algunos conceptos de interés en cuanto a congruencia y suplementaridad de ángulos. Ángulos congruentes Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la transversal y en la zona interior de las rectas paralelas. Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la transversal y en la zona externa de las rectas paralelas. Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la transversal, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas. Ángulos suplementarios Ángulos colaterales internos: Se encuentran del mismo lado de la

transversal y

dentro de las rectas. Ángulos colaterales externos: Se encuentran en uno y otro lado de la transversal.

Ejemplo De acuerdo con la figura adjunta, si   45 º entonces:

 

 



l1



1)

  45 º

2)

  135 º

3)   135 º 4)   135 º 5)   135 º

 

l2

l1  l2

6)   45 º 7)

  45 º

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82

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

Ejercicios de movilización 5

A. Según las figuras adjuntas, escriba en el espacio indicado el valor de cada ángulo. 1)   ___   ___ 8) 2)



___

l

3)



___

  35 

4)

  ___

5)



  ___



 



7)

  ___

l2

l1  l2

___

6)

l1

Figura 1

9)

 

___

10)



___

11)



___

12)



___

13)



___

14)



___

B. Considere las siguientes figuras donde l1  l2  l3

62 



 55  





Figura 2

y l una transversal.

Determine la medida de los ángulos representados por letras del alfabeto griego.

l1

 

l2

l3  

  110º

1) l

2) 3)

  ___   ___

5)

  ___

6)

  ___

7)

  ___

5)

  ___

6)

  ___

7)

  ___

  ___

4)

  ___

1)

  ___

2)

  ___

3)

  ___

4)

  ___

Figura 3

l1

 

l2

  

l3 l3 42º  

l

Figura 4

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CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

C. Resuelva los siguientes problemas Si un ángulo mide 60 ¿Cuánto mide su ángulo complementario? 2) Si un ángulo mide 100º ¿Cuánto mide su ángulo suplementario? 3) Si un ángulo mide 30º ¿Cuánto mide su ángulo complementario? 4) Si un ángulo mide 70 ¿Cuánto mide su ángulo suplementario? 5) Si un ángulo mide 49º ¿Cuánto debe medir otro ángulo para que formen un par lineal? ¿Qué condición adicional deben tener ambos ángulos? 6) Si la medida de un ángulo complementario es el doble del otro ángulo, ¿cuánto miden los dos ángulos? 7) Si la medida de un ángulo suplementario es el doble del otro ángulo, ¿cuánto miden los dos ángulos? 8) Si la medida de un ángulo complementario es el triple del otro ángulo, ¿cuánto mide cada uno? 9) Si la medida de un ángulo suplementario es el triple del otro ángulo, ¿cuánto mide cada uno? 10) Si dos ángulos son congruentes y complementarios, ¿cuál es la medida de cada uno de ellos? 11) Si dos ángulos son congruentes y suplementarios, ¿cuál es la medida de cada uno de ellos? 12) Si dos ángulos forman un par lineal y uno mide el doble del otro ¿cuál es la medida de cada uno de ellos? 13) Si la suma de dos ángulos es un ángulo recto y uno es el doble del otro ¿cuál es la medida de cada uno de ellos? 3 14) Si un ángulo mide de un ángulo llano, entonces ¿cuál es su medida? 5 3 15) Si un ángulo mide de un ángulo llano, entonces ¿cuál es su medida? 4 1 16) Si un ángulo mide de un ángulo llano, entonces ¿cuál es la medida de su 2 ángulo suplementario? 2 17) Si un ángulo mide de un ángulo recto, entonces ¿cuál es la medida de su 3 ángulo complementario? ¿cuál es la medida de su ángulo suplementario? 3 18) Si un ángulo mide de un ángulo de 180º , entonces ¿cuál es la medida de su 5 ángulo suplementario? 5 19) Si un ángulo mide de un ángulo recto, entonces ¿cuál es la medida de su 6 ángulo complementario? ¿cuál es la medida de su ángulo suplementario? 1)

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84

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS Problema introductorio 1 En la casa de Cristian luego de una remodelación sobraron cuatro pedazos de cerca de 3,8m ; 4,3m ; 7,3m y 8,1m . Cristian desea utilizar ese material que sobró para hacer una cerca triangular para su perro Colitas, pero no sabe cuáles tres pedazos escoger para formar un triángulo. Intente ayudarle a Cristian. Se pide realizar dibujos tomando como escala al centímetro como metro. Luego se pueden plantear varias interrogantes: 1)

¿Cuáles escogencias sirven y cuáles no?

2)

¿Por qué algunas sirven y otras no?

3)

¿Podemos decir siempre tres segmentos forman un triángulo?

4)

¿Qué condiciones deben prevalecer para que tres segmentos formen un triángulo?

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CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS

H 13: Aplicar la desigualdad triangular H14: Aplicar la propiedad de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo H 15: Determinar medidas de ángulos internos y externos de un triángulo, conociendo medidas de los otros ángulos

Desigualdad triangular Representación gráfica

Notación simbólica

A

AB  AC  BC AC  AB  BC BC  AC  AB

B

C

Ejemplo 1

Procedimiento del ejemplo 1

Dados tres segmentos con los cuales formar un triángulo.

Construimos el triángulo. A

5

3 B

A

B

AB = 3

B

C

C

Se cumple que la suma de dos lados es mayor que el otro lado 3  4 5 7  5

BC = 4

A

CA  5

Ejemplo 2

Procedimiento del ejemplo 2

Dados tres segmentos con los cuales formar un triángulo. A B

AB  2

B

BC  3

C

C

A

CA  8

Dados tres segmentos con los cuales formar un triángulo. A B AB  1 C

BC  2

C A

Intentamos construir el triángulo. B 2

3

A 8 C No es posible, se cumple que la suma de dos lados es menor que el otro lado 3  2 8

5 

Ejemplo 3

B

C

4

CA  3

8

Procedimiento del ejemplo 3 Intentamos construir el triángulo

A C

1 B

2 3

C

A

No es posible, se cumple que la suma de dos lados es igual que el otro lado 1 2 = 3 3 3

Conclusión: Podemos deducir, que con solo sumar dos de los lados de un triángulo y establecer su relación con el tercer lado, podemos decir cuando se puede construir un triángulo y cuando no.

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85

86

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

Ejercicios de movilización 6

A. Determine si las siguientes tripletas corresponden a las medidas de un triángulo. 1) 2 , 2, 1 10) 34 , 28, 43 2)

11) 23 , 28, 82

4 , 5, 7

3) 14 , 17, 19

12) 12 , 5, 17

4) 12 , 13, 14

13) 14 , 15, 17

5)

32 , 27, 23

14) 13 , 13, 25

6)

8 , 10, 12

15) 45 , 50, 70

7)

32 , 29, 37

16) 12 , 32, 19

8)

6.5 , 5.7, 4.9

17) 76 , 67, 80

9)

200 , 100, 98

18) 123 , 199, 717

B. Resuelva los siguientes problemas utilizando desigualdad triangular. 1)

Si dos lados de un triángulo tienen longitudes

4 cm

y 10 cm , entonces ¿la

longitud del tercer lado es menor que y mayor que? 2)

Si dos lados de un triángulo tienen longitudes 15 cm

y 25 cm , entonces ¿la

longitud del tercer lado es menor que y mayor que? 3)

Si dos lados de un triángulo tienen longitudes

40 cm

y 20 cm , entonces ¿la

longitud del tercer lado es menor que y mayor que? 4)

Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 23cm y 30 cm , ¿cuáles son las longitudes posibles del tercer lado?

5)

Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 67 cm y 60 cm , ¿cuáles son las longitudes posibles del tercer lado?

6)

Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 15 cm y 20 cm , ¿cuáles son las longitudes posibles del tercer lado?

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS

H 13: Aplicar la desigualdad triangular H14: Aplicar la propiedad de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo H 15: Determinar medidas de ángulos internos y externos de un triángulo, conociendo medidas de los otros ángulos

Suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo Caso general

Caso específico

B

B 

110º



A



32º

A

C

      180º

38º

C

110º  32º  38º  180º

Ejemplo 1 Solución:

¿Cuál es la medida del ángulo  ?

B



A 70º

50º

Paso 1 :

70º  50º 

Paso 2 :

180º  1 20º  

C

1 20º 60º

 60 

Ejercicios de movilización 7

A. Determine el valor del ángulo señalado con la letra griega. 1)

2)

B

5)

9)

 C

50º

A



55º

B

A

B

50º

A

4)

B



70º

A

3)

B



80º 60º C

6)

 C

40º

A 7)

A

B

B

45º

55º

A

B



58º

75º C

65º

A 8)

A



58º

65º



67º

72º

C

C

C

C

10)

11)

B



70º 30º

C

A



C

B

12)



A 80º

f ' GRUPO EDITORIAL



C

B

A

B



77º

29º

C

87

88

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS

H13: Aplicar la desigualdad triangular H14: Aplicar la propiedad de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo H15: Determinar medidas de ángulos internos y externos de un triángulo, conociendo medidas de los otros ángulos

Ángulos externos de un triángulo Caso general

B

Caso específico B



60º

ángulo externo 

A



C

ángulo externo 130º

A 70º D

C

D

60º  70º  130º

   

Suma de los ángulos externos de un triángulo Caso general E

E

B



B

80º 

A

F

Caso específico



160º

A

C G

F

      360º

120º

C G

80º  120º  160º  360º

Ejercicios de movilización 8 A.

Determine la medida del ángulo señalado con la letra del alfabeto griego.

1)

2)

3)

B

B

B

70º

80º

60º

85º

 C

A 40º 5)

 C

A 30º 6)



C

100º

110º

B

9)

C

 150º



107º

121º

B

C

D

110º 125º

115º





B

D  B

125º

12)

D 143º

C

B

11)

D 132º

C

B

 C

A 20º 8)

D

10)

C

 C

A 50º 7)

D 140º



4)

B

C

D

105º 117º

107º

f ' GRUPO EDITORIAL

B

C

127º

D  B

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

B.

Calcule en cada caso el valor del ángulo representado por la letra del alfabeto griego.

1)

2)







65º 

30º



 127º 

68º







3)



4)

100º  



38º



 





57º





38º 

5)

6)

112º  











110º

 101º

7)





121º



8)

    145º









50º

150º 

f ' GRUPO EDITORIAL







89

90

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

CUADRILÁTEROS Problema introductorio 1 La isla del Coco es uno de los grandes tesoros que tiene Costa Rica, tiene forma rectangular. Con base en la información brindada conteste lo que se le solicita.

1)

¿Cuál es el área aproximada de la isla del Coco si sus medidas son, aproximadamente 7, 6 km de largo y 4, 4 km de ancho?

2)

¿En qué año se declara parque nacional?

3)

Si la distancia de la costa pacífica costarricense a la isla del Coco es de 530 km . 

¿Cuantas horas tarda una lancha si viaja a 50 nudos en llegar de la costa costarricense a la isla?



¿A cuánto equivale aproximadamente en nudos un kilómetro?

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CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

CUADRILÁTEROS

H16: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo H17: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero convexo H18: Resolver problemas que involucren ángulos, triángulos, cuadriláteros, sus propiedades y cálculo de áreas. H19: Utilizar software de geometría dinámica para la visualización y la verificación de propiedades geométricas.

Suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo Caso general

Caso específico





140º





40º

40º

        360º

140º

140º  40º  140º 40º  360º

Ejemplo 1

Procedimiento del ejemplo 1

Determine la medida del ángulo Sumamos los tres ángulos conocidos señalado con la letra del alfabeto 130º  1 10º  95º 335º griego. Calculamos,

A



110

360º 

B



335º 



25º

25º

95

130

C

D

Ejercicios de movilización 9 A. Determine el valor de cada ángulo representado por letras del alfabeto griego. 1)

2)

80º 100º



100º

3)

112º 89º

4)

 123º

80º 103º



120º

 104º

75º 119º

B. A continuación se presentan las medidas de los ángulos internos de cuadriláteros. Escriba en el espacio indicado la medida del ángulo que falta para completar los 360º . 1) 120º  125º  24º  ______  360º 7) 98º  23º  ______  178º  360º 2) 112º  105º  37º  ______  360º 3)

______  115º  39º  123  360º

8)

______  1º  150º  155  360º

9) 90º  90º  90º  ______  360º

4) 100º  ______  119º  111º  360º

10) ______  12º  144º  160  360º

5) 89º  89º  93º  ______  360º

11) 21º  45º  ______  178º  360º

6)

______  121º  179º  20  360º

12) 100º  ______  100º  100º  360º

f ' GRUPO EDITORIAL

91

92

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

CUADRILÁTEROS

H16: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo H17: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero convexo H18: Resolver problemas que involucren ángulos, triángulos, cuadriláteros, sus propiedades y cálculo de áreas. H19: Utilizar software de geometría dinámica para la visualización y la verificación de propiedades geométricas.

Suma de los ángulos externos de un cuadrilátero convexo Caso general

Caso específico 

70



80 



110

100

        360

70  80  110  100  360º

Ejemplo 1

Procedimiento del ejemplo 1

Determine la medida del ángulo

Sumamos los tres ángulos conocidos

señalado con la letra del alfabeto griego.

115º  1 05º 

80º

300º

Calculamos, 115º

105º

360º 



80º



300º 

60º

60º



Ejercicios de movilización 10

A. A continuación se presentan las medidas de los ángulos externos de cuadriláteros. Escriba en el espacio indicado la medida del ángulo que falta para completar los 360º . 1) 11º  115º  22º  ______  360º 7) 92º  34º  ______  168º  360º 2) 115º  117º  33º  ______  360º 3)

______  125º  15º  120  360º

8)

______  18º  117º  145  360º

9) 90º  90º  89º  ______  360º

4) 90º  ______  112º  113º  360º

10) ______  12º  137º  160  360º

5) 100º  89º  113º  ______  360º

11) 100º  25º  ______  118º  360º

6)

______  112º  139º  30  360º

12) 97º  ______  110º  84º  360º

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CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

CUADRILÁTEROS Paralelogramos

H16: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo H17: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero convexo H18: Resolver problemas que involucren ángulos, triángulos, cuadriláteros, sus propiedades y cálculo de áreas. H19: Utilizar software de geometría dinámica para la visualización y la verificación de propiedades geométricas.

La resolución de problemas que involucren ángulos, triángulos, cuadriláteros, sus propiedades y cálculo de áreas, es fácil si hacemos uso de la tecnología *. Un caso particularmente interesante es cuando manipulamos un cuadrilátero cualquiera y concluimos que los puntos medios determinan siempre un paralelogramo. Suponiendo este tipo de análisis con la ayuda de la tecnología resumimos a continuación algunas de las características de los paralelogramos. Cuadrilátero

Lados

Diagonales

Ángulos

congruentes

Congruentes y perpendiculares

Congruentes y rectos

2

Suma de sus lados

Opuestos Congruentes

Congruentes

Congruentes y rectos

a

Suma de sus lados

Perpendiculares, no congruentes

Opuestos congruentes

Dd 2

Suma de sus lados

No congruentes

opuestos congruentes

bh

Suma de sus lados

Cuadrado

Rectángulo

Área

Perímetro

Rombo Congruentes

Romboide

Opuestos Congruentes

f ' GRUPO EDITORIAL

93

94

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

CUADRILÁTEROS No paralelogramos Cuadrilátero

Trapecio rectángulo

Lados

Diagonales

Ángulos

Área

Perímetro

Desiguales

Dos ángulos rectos

 Bb   h  2 

Suma de sus lados

Congruentes

Dos agudos y dos obtusos

 Bb   h  2 

Suma de sus lados

Desiguales

Desiguales

 Bb   h  2 

Suma de sus lados

Dos consecutivos congruentes

Desiguales y perpendiculares

Dos opuestos congruentes

Se calcula por triángulación

Suma de sus lados

Desiguales

Desiguales

Desiguales

Se calcula por triángulación

Suma de sus lados

Desiguales

Trapecio isósceles

No paralelos congruentes

Trapecio escaleno

Desiguales

Trapezoide simétrico

Trapezoide asimétrico

H16: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo H17: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero convexo H18: Resolver problemas que involucren ángulos, triángulos, cuadriláteros, sus propiedades y cálculo de áreas. H19: Utilizar software de geometría dinámica para la visualización y la verificación de propiedades geométricas.

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

CUADRILÁTEROS Problemas

H16: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo H17: Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos externos de un cuadrilátero convexo H18: Resolver problemas que involucren ángulos, triángulos, cuadriláteros, sus propiedades y cálculo de áreas. H19: Utilizar software de geometría dinámica para la visualización y la verificación de propiedades geométricas.

Ejemplo 1

Solución del ejemplo 1

¿Cuántos triángulos se forman al trazar las diagonales en un cuadrado y como son esos triángulos?

Como

las

congruentes

diagonales se

forman

son ocho

triángulos, cuatro pequeños triángulos congruentes entre sí e isósceles; y cuatro

grandes

congruentes también

entre

todos

triángulos sí

son

e

isósceles, triángulos

rectángulos.

Ejemplo 2

Solución del ejemplo 2

Si el área de un rombo es de 40cm2 , ¿Cuál es el área destacada en gris de la siguiente figura?

Por las características del rombo al trazar

las

cuatro

diagonales pequeños

se

forman

triángulos

rectángulos congruentes, por lo tanto el área de la región sombreada es de

10cm 2

Ejemplo 3

Solución del ejemplo 3

Si el área del sector sombreado es

Por las características propias del

igual a 5cm2 , ¿Cuál es el área total de todo el rectángulo?

rectángulo, al trazar las diagonales y los segmentos medios, se forman ocho

pequeños

triángulos

congruentes, por lo tanto el área total es de 40cm2

f ' GRUPO EDITORIAL

95

96

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

Ejercicios de movilización 11 A. Resuelva los siguientes problemas 1)

En la siguiente figura el área destacada en gris es de 4cm 2 , ¿Cuál es el área total del cuadrado?

2)

Si trazamos las diagonales de un rombo, ¿Cuántos triángulos se forman y cómo se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados y de acuerdo a la medida de sus ángulos?

3)

El área total de la siguiente figura que representa un rombo es de 32cm2 ¿Cuál es el área destacada en gris?

4)

Al trazar las diagonales de un rectángulo, ¿cuántos triángulos se forman y cómo se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados y sus ángulos?

5)

El área total del rectángulo siguiente es de destacada en gris.

f ' GRUPO EDITORIAL

160cm 2

determine el área

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

¿Cuántos triángulos se forman al trazar las diagonales de un romboide? ¿Cómo se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados y de acuerdo a la medida de sus ángulos? 7) Determine en la siguiente figura que representa un romboide si todos los triángulos pequeños tienen la misma área entre sí, ¿cuál es el área destacada 6)

en gris si el área total es de 320cm2 ?

B. Determine si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos. 1)

Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares.

2)

Los ángulos internos de un cuadrado son congruentes.

3)

Los cuatro ángulos de un rectángulo son congruentes.

4)

Un cuadrado es un rectángulo.

5)

Un rectángulo es un cuadrado.

6)

Las diagonales de un rectángulo son perpendiculares.

7)

Las diagonales de un rombo no son perpendiculares.

8)

Los ángulos internos de un romboide son congruentes.

9)

Las diagonales de un romboide son congruentes.

10)

Las diagonales de un rombo son congruentes.

11)

Los 4 ángulos internos de un trapezoide son congruentes.

12)

Los lados de un trapezoide simétrico son congruentes.

13)

Los lados de un trapezoide asimétrico son congruentes.

14)

Un cuadrado es un rombo.

15)

Un rombo es un cuadrado.

16)

El trapecio isósceles tiene sus cuatro ángulos congruentes.

17)

El trapecio escaleno tiene sus lados congruentes.

18)

El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos.

19)

El perímetro de un cuadrilátero es igual a la suma de sus lados.

20)

Las diagonales de un trapezoide son congruentes.

f ' GRUPO EDITORIAL

97

98

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

C. Con base en la información brindada en cada uno de los siguientes paralelogramos, determine el área sombreada. Figura # 1

Figura # 2

4

Figura # 3

18

30

10

4

100

Figura # 4

Figura # 5

Figura # 6

7

3 7

10 8

9)

Determine el área de un romboide si tiene las siguientes dimensiones: base y 8 de altura.

10)

Determine el área y el perímetro de un rectángulo dimensiones: 12 de base y 6 de altura.

si tiene las siguientes

11)

Determine el área y el perímetro de un cuadrado dimensiones: 20 de lado.

si tiene las siguientes

12)

Determine el área y el perímetro de un rombo si tiene las siguientes dimensiones: la diagonal mayor mide 30 y la diagonal menor 20 y el lado 19 .

13)

Determine el área de un trapecio si tiene las siguientes dimensiones: la base mayor 32 , la base menor 14 y la altura 8 .

14)

Determine el área de un trapecio si tiene las siguientes dimensiones: la base mayor 54 , la base menor 32 y la altura 18 .

f ' GRUPO EDITORIAL

10

de

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ANALÍTICA Problema introductorio 1 El siguiente croquis muestra la comunidad en donde vive Ivette. Las cuadras miden aproximadamente 100 metros de Este a Oeste y 50 metros de Norte a Sur. Si Ivette asiste al colegio de su CC C C SS SS

N

comunidad: ¿Cuál es el trayecto más corto de su casa al colegio, a través de las calles? 2) ¿Es el único trayecto con igual longitud? 3) ¿Cómo dar una dirección del colegio tomando como referencia la casa de Ivette? 4) ¿Cuántos metros camina para llegar a la CCSS? 1)

Colegio

Casa de Ivette

Problema introductorio 2

Si la Isla del Coco está ubicada entre los paralelos 530" y 534" de latitud Norte y entre los meridianos 871" y 876" longitud Oeste. 1)

Determine la ubicación aproximada tomando como referencia el gráfico adjunto.

7 6 5

4 3

2 1 90

80

f ' GRUPO EDITORIAL

70

60

50

40

30

20

0 10 0 1

10

99

100

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

H20: Representar puntos y figuras geométricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos H21: Determinar algebraicamente el punto medio de un segmento H22: Ubicar puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un plano con un sistema de ejes cartesianos.

Puntos y Figuras Geométricas en el plano Ejemplos 1)

  4,3  ;   2 , 3  ;   4,1  ;   2,1 

Ubique en el plano cartesiano los puntos

y

determine qué figura se forma.

Ubique en el plano cartesiano los puntos

 2, 2  ;  3 , 4  ;  4, 2  ;  3, 0  y

qué figura se forma.

eje y 5

 2,3

 4,3

3

2

 4,1 5

4

 2,1 3

2

1

 3,4 

4

 2,2 

 4,2 

1 0 1

1

2 3

4 5

f ' GRUPO EDITORIAL

2

3  3,0 

4

5

eje x

determine

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

Ejercicios de movilización 12 A. Ubique los pares ordenados en el plano cartesiano, una los puntos y determine qué figura geométrica se forma en cada caso, además determine el área de cada figura.

1)

 3,1 ;  1,1 ;  2,3

2)

1,1 ; 1,3 ;  3,1 ;  3,3

3)

 4, 1 ;  1, 1 ;  4, 3 ;  1, 3

4) ( 1,1); (3, 1); (1, 3); (3, 3)

eje y 5

4 3

2 1 5

4

3

2

1

0 1

1

2

3

4

5

eje x

2 3

4 5

B. En un plano cartesiano forme diferentes figuras geométricas utilizando puntos (pares ordenados) en los vértices de cada figura, luego determine cada punto



x, y



correspondiente.

f ' GRUPO EDITORIAL

101

102

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

H20: Representar puntos y figuras geométricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos H21: Determinar algebraicamente el punto medio de un segmento H22: Ubicar puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un plano con un sistema de ejes cartesianos.

Punto medio de un segmento

Para determinar algebraicamente el punto medio de un segmento necesitamos representar el segmento en un plano cartesiano y calcular el promedio de las coordenadas x y el promedio de las coordenadas y .

Ejemplo 1 1)

Dibujamos en el plano cartesiano un segmento A   x1 , y1  y el punto B   x2 , y2  ,

, señalamos el punto

AB

eje y

B

5

 x2 , y2 

4

 3, 3.5

3

A

2

 x1, y1 

1 5

4

3

2

1

0 1

1

2

3

4

5

eje x

2 3

4 5 2)

Determinamos las coordenadas

del punto medio del segmento AB con

x2  x1 y2  y1  ,  2   2

 x, y   

la fórmula: Coordenada

 x, y 

 x

Forma algebraica x  5 1 2 x3

Coordenada x2  x1 2

 y

Forma algebraica y 

5 2 2 7 y 2 y  3,5

y2  y1 2

y

x

Concluimos que las coordenadas del punto medio del segmento AB son

f ' GRUPO EDITORIAL

 3, 3.5

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

Ejercicios de movilización 13 A. Determine algebraicamente el punto medio de los segmentos señalados en el siguiente plano cartesiano.

eje y 5 H

4

1)

B

3

2 A

1 5

4

3

2

1

0 1

G

1

2

3

4

eje x

F

2

C

5

3

E

4 5 D

eje y 2)

5 J

4 3

2 I 5

K

4

3

1 2

1

0 1

1

2

3

4

5

2 3

4 5

f ' GRUPO EDITORIAL

L

eje x

103

104

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

H20: Representar puntos y figuras geométricas en un plano con un sistema de ejes cartesianos H21: Determinar algebraicamente el punto medio de un segmento H22: Ubicar puntos en el interior y en el exterior de figuras cerradas en un plano con un sistema de ejes cartesianos.

Puntos interiores y exteriores de figuras en el plano Ejemplo 1 eje y

En el plano se puede observar que

5

los puntos

4

 1,1 ; 1,1 ;  2, 1 ; 1, 1 ;  0, 1

3

y otros más, se ubican en la parte

2

interior del trapecio, y otros puntos

1

como

5

4

3

2

1

 3, 4  ;  4,3 ;  5, 4  ;  5, 4  ;  0, 3

0 1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

eje x

2

se ubican en la parte exterior.

3

4 5

Ejemplo 2 Si sumamos o restamos constantes enteras

en

las

eje y

respectivas

C '5

coordenadas de los puntos

A  4,1 ; B  4,3 ; C  1,1 ; D  2, 4 

4

B

3

2

A'

Entonces logramos trasladar la

A

figura, en este caso sumamos 1 a cada coordenada.

C

B'

5

4

D'

D 1 3

2

1

0 1

A '  4  1,1  1  A '  3, 2 

2

B '  4  1,3  1  B '  3, 4 

3

4

C '  1  1,1  1  C '  0, 2 

5

D '  2  1, 4  1  D '  1,5 

f ' GRUPO EDITORIAL

eje x

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

Ejercicios de movilización 14 A. Escriba de forma correcta cinco puntos (pares ordenados) que estén en la parte interior del cuadrilátero y cinco en la parte exterior.

eje y 5

4 3

2 1 5

4

3

2

1

0 1

1

2

2 3

4 5

f ' GRUPO EDITORIAL

3

4

5

eje x

105

106

CAPÍTULO 2 GEOMETRÍA

B. En las siguientes figuras traslade los coordenada, luego

puntos específicos sumando

a cada

calcule el área de la figura original y el área de la nueva

figura.

eje y 5

4 3

2 1 5

2

4

3

2

1

0 1

1

2

2 3

4 5

f ' GRUPO EDITORIAL

3

4

5

eje x

Capítulo 3

Relaciones y Álgebra

f' Grupo Editorial

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES ESPECÍFICAS

Sucesiones

1. Identificar la ley de formación de una



Ley de formación

sucesión utilizando lenguaje natural, tabular y



Patrones

algebraico.

Relaciones 

Proporcionalidad Inversa

Representaciones 

Verbal



Tabular



Gráfica



Algebraica

2. Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones.

3. Identificar relaciones de proporcionalidad inversa en diversos contextos reales.

4. Analizar relaciones de proporcionalidad directa e inversa de forma verbal, tabular, gráfica y algebraica.

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

SUCESIONES Problema introductorio 1 Adriana recibe semanalmente ¢6500 para cubrir sus gastos de estudio. Ella decide ahorrar

¢1800 por semana para formar un fondo de ahorro. Represente en forma

tabular la cantidad total de dinero que ella gasta semanalmente, durante las 6 primeras semanas.

Problema introductorio 2 Juan vende paquetes de prensas. La siguiente tabla contiene las ganancias generadas por la venta. Cantidad paquetes

1

2

3

350

600

850

4

5

1100

1350

Ganancias en colones

1)

¿Cuál es el precio de cada paquete de prensas?

2)

Determine la ganancia fija que desde un inicio muestra la información del cuadro anterior.

3)

¿Cuánto dinero gana Juan por la venta de 321 paquetes de prensas?

f ' GRUPO EDITORIAL

109

110

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

SUCESIONES

H1: Identificar la ley de formación de una sucesión utilizando lenguaje natural, tabular y algebraico H2: Plantear y resolver problemas relacionados con sucesiones y patrones

Ley de Formación de una sucesión

Es el orden matemático que relaciona los términos en una sucesión, la ley de formación se determina utilizando operaciones matemáticas o por deducción lógica.

Ejemplo 1

Si usted invierte inicialmente ¢20 000 en la cooperativa del Colegio y gana de interés compuesto anual de 10% , describa numérica, tabular y simbólicamente la sucesión que representa la cantidad de dinero anual que tendrá, si no hace retiros. 1 ) Forma natural (numérica):

20 000 22 000 24 200 26 620 29 282 32 210 (colones) 2)

Forma tabular: Año Cantidad (colones)

3)

0 20000

Forma algebraica: la cantidad de colones

1

2

22000

24200

C (n)

… …

que tendré después de n

años se modela por la expresión: C (n)  20000 1  0,1

n

Del ejemplo anterior podemos concluir que una sucesión es un conjunto ordenado de elementos que responden a una ley de formación o patrón. La sucesión suele abreviarse de la siguiente manera:  an  

 a1 , a2 , a3 , ..., an ;



a1 : primer término, a2 : segundo término, a3 : tercer término, an: término de orden Donde, n es cualquier número natural, o término general de la sucesión.

Ejemplo 2 Sucesión 2, 4, 6,8,...

a1  2, a2  4,

En este caso la ley de formación es

a3  6, a4  8, ... , an  2n.

an  2 n

Los puntos suspensivos finales indican que consideramos sucesiones de infinitos términos.

Ejemplo 3 Sucesión 1, 4,9,16, 25,... .

a1  1, a2  4,

En este caso la ley de formación es

a3  9, a4  16, ... , an  n 2

an  n 2

Esta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales.

f'

GRUPO EDITORIAL

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

Ejercicios de movilización 1 A. Si usted invierte inicialmente ¢24 000 en la cooperativa del Colegio y gana de interés compuesto anual de 13% , describa numérica, tabular y simbólicamente la sucesión que representa la cantidad de dinero anual que tendrá, si no hace retiros durante cinco años. ¿Cuántos colones tendría en intereses a los 6 años, 8 años, 10 años? Presente la información numérica, tabular y algebraicamente.

B. Un estudiante se propone el día 1 de septiembre repasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de septiembre?

¿Cuántos ejercicios hará en total?

Presente la información

numérica, tabular y algebraicamente.

C. El alquiler de una bicicleta cuesta ¢500 la primera hora y ¢2000 más cada nueva hora ¿Cuál es el precio total de alquiler de 7 horas? Presente la información numérica, tabular y algebraicamente.

f ' GRUPO EDITORIAL

111

112

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

D. A partir de los términos generales de las siguientes sucesiones numéricas, calcula sus tres primeros términos a1 , a2 , a3 , y el que ocupa el décimo lugar a10 . 1)

an   5  3n 

4)

an   2n  1

2)

an   n2  4 

5)

an   n2  2 

3)

an   2n  1

6)

an   2n2  1

E. Determine la ley de formación mediante el cual se han formado cada una de las sucesiones numéricas siguientes, añadiendo tres términos más. 1)

1 , 2, 3, 4, 5, ...

4)

4, 7, 10, 13, 16, ...

2)

2, 4, 6, 8, 10, ...

5)

1, 8, 27, 64, 125, ...

3)

3, 6, 9, 12, 15, ...

6)

1, 3, 5, 7, 9, ...

f'

GRUPO EDITORIAL

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

RELACIONES Problema introductorio 1 La fiesta de aniversario de Rita tiene un costo de ¢36 000 si ella invita a 6 personas ¿Cuánto costará la fiesta si ella decide invitar a

15

personas? Suponga que la

relación es directamente proporcional.

Problema introductorio 2 Según la ley de gravitación universal propuesta por Newton, el efecto de la gravedad de la Tierra sobre un objeto (su peso) varía inversamente con el cuadrado de su distancia al centro del planeta. Suponga que el radio de la Tierra es 6400 km . Si el peso de un astronauta en la superficie de la Tierra es de 75 kg , ¿cuál será el peso de este astronauta a una altura de 1600 km sobre la superficie de la Tierra?

Problema introductorio 3

Represente algebraicamente las siguientes expresiones: a)

La fuerza de atracción entre dos objetos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.

b)

La intensidad luminosa es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del objeto a la fuente de luz.

c)

La energía cinética de un objeto es directamente proporcional a la masa del objeto y al cuadrado de su velocidad.

Problema introductorio 4

Considere que C varía directamente con R e inversamente con el cuadrado de S . Si C  21 cuando R  7 y S  1,5 , complete la tabla que sigue: R 120 200

S

C 22,5

12,5 15

10,5

De acuerdo a la representación tabular anterior, represéntela algebraicamente y extraiga conclusiones sobre cantidades que no están en la tabla.

f ' GRUPO EDITORIAL

113

114

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

REPRESENTACIONES

H3: Identificar relaciones de proporcionalidad inversa en diversos contextos reales H4: Analizar relaciones de proporcionalidad directa e inversa de forma verbal, tabular, gráfica y algebraica.

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si una de las magnitudes es directamente proporcional con el recíproco de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes. Es decir, que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que y  Forma tabular

k . x

Forma algebraica

Magnitud 1a

a

b

c

Magnitud 2a

a1

b1

c1

... ...

Planteando la ecuación y  Donde k es la constante

k x

son inversamente proporcionales si se verifica que: a  a1  b  b1  c  c1  ...  k

Ejemplo 1

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Forma tabular Hombres Días

Forma algebraica 9 ... 18 24 12 8 ... ? 3

6

Vemos que los productos

3  24  6  12  9  8  72

Planteando la ecuación y 

Donde y  días , k  constante , x  hombres Despejamos k

(En este caso 72 es la constante)

k x

24 

k 3

 k  72

En ambos casos despejamos la constante, recordemos la pregunta ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? R/: Sustituimos y obtenemos el resultado y 

f'

72  y  4 . R/ 4 días. 18

GRUPO EDITORIAL

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

Ejercicios de movilización 2

A. se establece entre las magnitudes, inversamente proporcionales?

son

directamente

proporcionales o

1)

Cuatro bolsas de clavos pesan cinco kilos. ¿Cuánto pesan 20 bolsas?

2)

Un queque para 6 personas necesita 240g de mantequilla ¿Cuántos gramos se necesitan para hacer un queque para 30 personas?

3)

En una remodelación 5 trabajadores duran 30 días en realizar un trabajo ¿Cuántos días tardaran 15 trabajadores?

4)

En la fiesta de fin de año a la cual iban asistir 30 estudiantes, 2 profesores y 4 encargados, se pensó en comprar 8 refrescos. Sin embargo, llegaron 5 estudiantes más y 4 encargados más ¿Cuántos refrescos más tuvieron que comprar?

5)

Un tren se desplaza con rapidez constante de 50 km / h y debe recorrer un trayecto de 500 km , entonces se demorará 10 hrs . Por lo tanto, si el maquinista quisiera hacer el mismo trayecto, pero en solo 5 hrs , ¿A qué velocidad debería viajar?

f ' GRUPO EDITORIAL

115

116

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA 6)

Un agricultor labra una determinada superficie en 12 horas utilizando dos tractores. ¿Cuánto tardará en labrarla si utiliza tres tractores?

7)

Un pintor se demora 3 días en pintar una pared, si se tienen tres pintores entonces el trabajo lo realizarán en un solo día. ¿cuántos pintores serán 1 necesarios para pintar el muro en día? 2

8)

Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 4 días?

9)

Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán con la ayuda de dos obreros más?

f'

GRUPO EDITORIAL

117

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

REPRESENTACIONES

H3: Identificar relaciones de proporcionalidad inversa en diversos contextos reales H4: Analizar relaciones de proporcionalidad directa e inversa de forma verbal, tabular, gráfica y algebraica.

Proporcionalidad directa

Es una relación entre dos variables de forma tal que la razón entre ellas es constante.

Ejemplo 1

El área de un cuadrado es directamente proporcional al cuadrado de la medida del lado, con constante de proporcionalidad igual a 1. Forma tabular Forma gráfica y  3 x …. n 1 2 4

A

1

9

4

….

16

n2  

Forma algebraica 

A  x2

x

Proporcionalidad inversa Es una relación entre dos variables de forma tal que el producto de ellas es constante.

Ejemplo 2

Si 2 hombres necesitan 16 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 10 hombres para realizar el mismo trabajo?

Forma tabular

Forma gráfica

x

2

4

8

16

32

D

16

8

4

2

1

Forma algebraica

y



 

32 D x



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

x

118

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

Ejercicios de movilización 3

A. Represente en forma tabular y gráfica las siguientes expresiones que representan fórmulas de figuras geométricas. 3 1) V  x 2)

C  2 r

3)

A  r2

4)

P 4x

5)

A  4 r 2

B. Exprese en forma tabular y gráfica (si es posible) los siguientes problemas, además determine si es proporcionalidad directa o inversa 1)

Si seis kilos de frijoles cuestan ¢3600 . ¿Cuánto cuestan siete kilos?

2)

Doce trabajadores cargan un camión en seis horas. ¿Cuánto tardarán ocho trabajadores?

3)

Un avión, en seis horas, recorre 3000km . ¿Cuántos km recorrerá en diez horas?

4)

Un carro cargado a una velocidad de 60km / h recorre cierta distancia en 9 horas. ¿Cuánto tiempo invertirá en el viaje de vuelta, descargado, a una velocidad de 90km / h ?

5)

De un tanque salen 3 litros por minuto y llena un depósito en 20 minutos. ¿Cuánto tardará en llenar ese mismo depósito otro tanque del que salen 5 litros por minuto?

6)

Si la presión P de un gas varía directamente con la temperatura T e inversamente con el volumen V del recipiente que lo ocupa, y si P  30atm cuando la temperatura es T  28C y el volumen es V  1,5litros , completar la siguiente tabla. T 15

V 0, 75

20

45

0, 4

f'

P

58

GRUPO EDITORIAL

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA

De acuerdo a la representación tabular anterior, represéntela algebraicamente y extraiga conclusiones sobre cantidades que no están en la tabla.

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119

Capítulo 4

Estadística y Probabilidad

f' Grupo Editorial

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES ESPECÍFICAS

La Estadística Conocimientos básicos  Unidad estadística  Características  Datos u observaciones  Población  Muestra  Variabilidad de los datos  Variabilidad cuantitativas y cualitativa Recolección de información  La experimentación  Interrogación Frecuencia  Absoluta  Porcentual Representación  Tabular: cuadros de frecuencia absoluta y porcentual Medidas de posición  Moda  Media aritmética  Mínimo  Máximo

1. Reconocer

la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas.

2. Analizar el desarrollo histórico de la

disciplina. 3. Analizar información estadística que ha

sido resumida y presentada en cuadros, gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas. 4. Identificar

los conceptos: unidad estadística, características o variables, observaciones o datos, población y muestra, para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos.

5. Identificar el tipo de dato cuantitativo o

cualitativo correspondiente característica o variable.

a

6. Identificar

la importancia de variabilidad para el análisis de datos.

una

la

7. Recolectar datos del entorno por medio

de experimentación o interrogación. 8. Utilizar representaciones tabulares para

resumir un conjunto de datos. 9. Determinar

medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido, para caracterizar un grupo de datos

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS Problema introductorio 1 Analice la información estadística resumida y presentada en el Gráfico 5.4. y el Cuadro 2.1. ¿Puedes reconocer la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas?, ¿Por qué?

Gráfico 5.4

Población con acceso a agua potable. 2000 y 2008 100% 95% 90% 85% 80% 75% 70%

2000

2008

Fuente Cepal CENTROAMÉRICA

Cuadro 2.1 País

Costa Rica El Salvador Guatemala Honduras Nicaragua Panamá Total

Población

4,399,000 6,999,000 12,911,000 7,362,000 5,600,000 3,288,000 40,834,000

Prevalencia de la discapacidad

Estimación de personas con discapacidad

5.4 1.5

237,546 104,985

3.7 2.7

477,707 196,774

10.3 11.3

576,800 37,154 1,623,966

Fuente: Situación de salud en las Américas. Indicadores básicos 2006 OPS-OMS y División de Población de Naciones Unidas.

Tomado de: http://www.minsa.gob.ni/bns/discapacidad/docs/epidemiiol/La%20discapacidad%20en%20Centro%20America.pdf

f ' GRUPO EDITORIAL

121

122

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS Problema introductorio 2 Se desea realizar dos investigaciones que pretenden: A. Determinar el estado de salud de las y los estudiantes de los colegios de la comunidad, por lo que se debe identificar: sexo, edad, estatura, peso, presión arterial, tipo de sangre, condición de fumador, entre otros. B. Caracterizar las viviendas de la comunidad de acuerdo con: área de construcción ( m2 ), área del lote ( m2 ), tipo de material de construcción (block, madera, ladrillo, etc.), número de dormitorios, número de baños, color de pintura, entre otros. De acuerdo con esta caracterización, responda las siguientes interrogantes: 1)

¿Cuál es el sujeto u objeto de estudio (unidad de estudio) en cada caso?

2)

¿Qué características de cada uno de esos sujetos u objetos se van a analizar?

3)

¿Cuáles de esas características proporcionan datos numéricos?

4)

¿Cuáles de esas características proporcionan datos no numéricos?

5)

¿Cuál es la importancia de los datos para atender cada problema?

6)

¿Quiénes constituyen la totalidad de unidades de estudio para cada investigación?

7)

¿Es factible conseguir la información de todas estas unidades en poco tiempo?

8)

¿Qué otra alternativa podría utilizarse para no consultar a todas las unidades de estudio?

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS

H1: Reconocer la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas H2: Analizar el desarrollo histórico de la disciplina H3: Analizar información estadística que ha sido resumida y presentada en cuadros, gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas H4: Identificar los conceptos: unidad estadística, características o variables, observaciones o datos, población y muestra, para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos. H5: Identificar el tipo de dato cuantitativo o cualitativo correspondiente a una característica o variable. H6: Identificar la importancia de la variabilidad para el análisis de datos

Concepto de la estadística

La estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la resolución de la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.

Ejemplos

A. Considere las siguientes edades de determine:

50 estudiantes de un colegio nocturno y

B. Distribución de frecuencia absoluta y frecuencia relativa para las edades de 50 estudiantes de un colegio. Edad Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 17 2% 1 18 3 6% 19 16 32% 20 10 20% 24% 21 12 5 10% 22 23 2% 1 4% 24 2 50 100% Total 1) ¿Cuántos estudiantes tiene 23 años? R/: Sólo un estudiante tiene 23 años. 2)

¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 19 años? R/: 32% .

3)

¿Cuál es la edad de estudiantes que tiene mayor frecuencia? R/: 19 .

4)

¿Cuál es la edad de estudiantes que tiene menor frecuencia? R/: 17 y 23 .

5)

¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 19 años o menos? R/: 40% .

6)

¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 20 años o más? R/: 60% .

7)

¿Cuántos estudiantes tiene más de 22 años? R/: 3 .

f ' GRUPO EDITORIAL

123

124

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

C. Considere la información que se presenta en el siguiente gráfico y determine:

Computadoras Económicas S.A Venta por mes del año 2010 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 E

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

1)

¿Cuál fue el mes con mayor venta? R/: El mes con mayor venta fue noviembre.

2)

¿Cuál fue el mes con menor venta? R/: El mes con menor venta fue enero.

3)

¿Cuáles fueron los tres meses con mayor venta? R/: Los tres meses con mayor venta fueron mayo, octubre y noviembre.

4)

¿Cuáles fueron los tres meses con menor venta? R/: Los tres meses con menor venta fueron enero, julio y agosto.

5)

¿Cuáles fueron los meses con ventas menores de 1000 computadoras? R/: Los meses con ventas menores de 1000 computadoras fueron enero y agosto.

6)

¿Cuáles fueron los meses con ventas mayores de 1000 computadoras? R/: Los meses con ventas mayores de 1000 computadoras fueron febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, setiembre, octubre, noviembre y diciembre.

7)

¿Cuáles fueron los meses con ventas mayores de 1500 computadoras? R/: No hubo meses con ventas mayores de 1500 computadoras.

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

Ejercicios de movilización 1 A. Investigue en internet la importancia de la Estadística en el desarrollo científico de otras disciplinas. Proporcione ejemplos de usos de la Estadística en áreas como: Biología, Medicina, Economía, Educación, entre otras. Se puede recurrir a ejemplos de representaciones tabulares, gráficas o de otra naturaleza que evidencie estas aplicaciones.

B. Investigue en internet sobre el desarrollo histórico y las principales críticas que se le asocian a la estadística. C. Considere la información sobre los libros que tiene un estudiante de secundaria en su hogar y determine: Número de páginas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 150 3% 1 160 5 16% 170 6% 2 210 13% 4 225 7 22% 250 5 16% 300 3 9% 345 6% 2 372 3 9% 32 100% Total 1) ¿Cuántos libros tiene 300 páginas? 2)

¿Qué porcentaje de libros tiene 210 páginas?

3)

¿Cuál es el libro que tiene mayor frecuencia?

4)

¿Cuál es el libro que tiene menor frecuencia?

5)

¿Qué porcentaje de libros tiene 300 páginas o menos?

6)

¿Qué porcentaje de libros tiene 210 o más?

7)

¿Cuántos libros tiene más de 250 páginas?

8)

¿Cuántos libros tiene menos de 210 páginas?

f ' GRUPO EDITORIAL

125

126

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

D. Considere la información que se presenta en el siguiente gráfico y determine:

Robos denunciados por provincia Heredia Limón Cartago Guanacaste Puntarenas Alajuela San José 0

5000

10000

15000

20000

25000

1)

¿Cuál fue la provincia con mayor cantidad de denuncias por robos?

2)

¿Cuál fue la provincia con menor cantidad de denuncias por robos?

3)

¿Cuáles fueron las tres provincias con mayor cantidad de denuncias por robos?

4)

¿Cuáles fueron las tres provincias con menor cantidad de denuncias por robos?

5)

¿Cuáles fueron las provincias con una cantidad de denuncias por robos menores de

6)

¿Cuáles fueron las provincias con una cantidad de denuncias por robos mayores de

7)

5000 ?

5000 pero menores de 10000 ?

¿Cuál fue la provincia con una cantidad de denuncias por robos mayores de 10000 pero menores de 15000 ?

8)

¿Cuáles fueron las provincias con una cantidad de denuncias por robos mayores de

10000 ?

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

E. Considere la información que se presenta en el siguiente gráfico y determine:

Edades de 50 estudiantes de un Colegio Nocturno 23 años 2%

22 años 10%

20 años 20%

24 años 4%

21 años 25%

19 años 33%

18 años 6%

1)

¿Cuántos estudiantes tiene 23 años?

2)

¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 19 años?

3)

¿Cuál es la edad de estudiantes que tiene mayor frecuencia?

4)

¿Cuál es la edad de estudiantes que tiene menor frecuencia?

5)

¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 19 años o menos?

6)

¿Qué porcentaje de estudiantes tiene 20 años o más?

7)

¿Cuántos estudiantes tiene más de 22 años?

8)

¿Cuántos estudiantes tiene menos de 20 años?

f ' GRUPO EDITORIAL

127

128

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS

H1: Reconocer la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas H2: Analizar el desarrollo histórico de la disciplina H3: Analizar información estadística que ha sido resumida y presentada en cuadros, gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas H4: Identificar los conceptos: unidad estadística, características o variables, observaciones o datos, población y muestra, para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos. H5: Identificar el tipo de dato cuantitativo o cualitativo correspondiente a una característica o variable. H6: Identificar la importancia de la variabilidad para el análisis de datos

Conceptos básicos estadísticos Unidad estadística

Es el elemento al cual pertenece (o contiene) la información requerida por la investigación Población Es el conjunto de todos los elementos que son objeto del estudio estadístico.

Muestra Es un subconjunto, extraído de la población (mediante técnicas de muestreo), cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población Variable Es una característica que al ser medida en diferentes “individuos” es susceptible de adoptar diferentes valores. Variable cualitativa Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Por ejemplo el género, el estado civil y el color de ojos. Variable cuantitativa Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Discreta

Continua

Son aquellas cuyos valores son numerables. Por ejemplo el número de hijos y el número de hermanos.

Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo el peso, la estatura y el promedio de notas obtenidas por un estudiante.

Datos estadísticos Conjunto de datos numéricos que han sido organizados, resumidos y presentados para mostrar las características o evolución de un cierto fenómeno de interés en particular, por ejemplo, las cifras de accidentes de tránsito en Costa Rica en el año 2010 y las cifras de nacimientos en Costa Rica en el año 2010 .

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS

H1: Reconocer la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas H2: Analizar el desarrollo histórico de la disciplina H3: Analizar información estadística que ha sido resumida y presentada en cuadros, gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas H4: Identificar los conceptos: unidad estadística, características o variables, observaciones o datos, población y muestra, para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos. H5: Identificar el tipo de dato cuantitativo o cualitativo correspondiente a una característica o variable. H6: Identificar la importancia de la variabilidad para el análisis de datos

Identificar conceptos estadísticos Ejemplo 1

Una fábrica de celulares se desea hacer un control de calidad para determinar el estado de éstos (bueno o malo). Para ello, toma un celular de cada lote (en total hay 50 lotes de

1000 celulares cada uno) y los somete a una serie de pruebas.

Unidad estadística El celular Población Todos los celulares que están en los lotes, es decir, 50  1000  50 000 celulares. Muestra Los 50 celulares seleccionados al azar de todos los lotes. Variable El estado de los celulares Variable cualitativa El estado de cada celular es bueno o malo. Variable cuantitativa No aplica Discreta

Continua

No aplica

No aplica

Datos estadísticos El conjunto de todos los resultados del control de calidad efectuado a los celulares

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS

H1: Reconocer la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas H2: Analizar el desarrollo histórico de la disciplina H3: Analizar información estadística que ha sido resumida y presentada en cuadros, gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas H4: Identificar los conceptos: unidad estadística, características o variables, observaciones o datos, población y muestra, para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos. H5: Identificar el tipo de dato cuantitativo o cualitativo correspondiente a una característica o variable. H6: Identificar la importancia de la variabilidad para el análisis de datos

Identificar conceptos estadísticos Ejemplo 2

En un Colegio del país se desea conocer el peso de los estudiantes, a fin de determinar si existe sobrepeso en éstos. Para ello, seleccionan a dos estudiantes de cada sección para pesarlos (en total hay 21 secciones de 30 estudiantes cada una). Unidad estadística El estudiante Población Todos los estudiantes del Colegio, es decir, 21  30  630 estudiantes. Muestra Los estudiantes seleccionados al azar de todas las secciones, es decir, 21  2  42 estudiantes. Variable El peso de los estudiantes Variable cualitativa No aplica Discreta

Continua

No aplica

Aplica

Datos estadísticos El conjunto de todos los resultados del pesaje efectuado a los estudiantes

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

Ejercicios de movilización 2 1)

Considere las proposiciones I y II I.

Todos los niños de Costa Rica que nacieron en el año 2003 .

II.

En un estudio socioeconómico de los estudiantes del Liceo de Aserrí se analizarán los que viven en el Barrio Corazón de Jesús.

¿Cuáles de ellas corresponden a ejemplos de población? Ambas. B) Ninguna. Considere las siguientes situaciones.

Solo la I. D) Solo la II.

A)

2)

I.

C)

En una editorial, para determinar la calidad de la impresión de un libro de texto, se procedió a revisar las páginas con numeración par.

II.

Para determinar la preferencia por el sabor de un refresco entre los adolescentes, se encuestó a los estudiantes de Tercer Ciclo de todo el país.

De ellas, ¿cuáles corresponden a muestras? Ambas. B) Ninguna. Considere las siguientes situaciones. A)

3)

I.

Solo la I. D) Solo la II. C)

El MOPT, para estimar en qué medida es utilizada una autopista recién construida, decidió estudiar la cantidad de automóviles que transitan por ella en una semana.

II.

El departamento de Orientación de un colegio, para saber la condición socio familiar de sus estudiantes de sétimo año, decidió pasar una encuesta a éstos.

De ellas, ¿en cuáles se ha hecho uso del muestreo? A) B)

Ambas. Ninguna.

Solo la I. D) Solo la II. C)

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA 4)

Considere las siguientes proposiciones. I.

Para determinar la preferencia por un deporte entre los estudiantes de una institución, se encuestó a todos los estudiantes de 14 años.

II.

En una disquera, para determinar la calidad de un disco compacto, se procede a revisar uno de cada diez discos producidos.

De ellas, ¿en cuáles se ha hecho uso del muestreo? A) B) 5)

6)

Ambas. Ninguna.

Solo la I. D) Solo la II. C)

Uno de los principales procedimientos estadísticos para escoger una muestra es A)

Uso de encuestas.

C)

Ordenar los datos en tablas.

B)

Elaboración de gráficos.

D)

Selección aleatoria o al azar.

La siguiente información se refiere a un estudio del nivel socioeconómico de las familias que habían en una provincia en Costa Rica. I.

Familias de zona rural.

II.

Familias de más de dos hijos.

La información anterior se identifica como

7)

A)

I – muestra, II – muestra.

C)

I – muestra, II – población.

B)

I – población, II – muestra.

D)

I – población, II – población.

Considere las siguientes características. I.

Ingreso familiar en colones por año.

II.

Edad de una persona (niño, joven, adulto, anciano)

De ellas, ¿cuáles corresponden a variables cualitativas?

8)

A)

Ambas.

C)

Solo la I.

B)

Ninguna.

D)

Solo la II.

Considere las siguientes características. I.

Cantidad de gasolina requerida por un automóvil (en litros)

II.

Gastos mensuales de una familia (excesivos, moderados, bajos)

De ellas, ¿cuáles corresponden a variables cualitativas? A)

Ambas.

C)

Solo la I.

B)

Ninguna.

D)

Solo la II.

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA 9)

Considere las siguientes características. I.

Estado civil (soltero, casado, divorciado, viudo, unión libre)

II.

Estatura (en centímetros)

III.

Salario (muy alto, alto, promedio, bajo, muy bajo)

De ellas, ¿cuáles corresponden a variables cualitativas?

10)

11)

12)

A)

Solo la I y la II.

C)

Solo la II y la III.

B)

Solo la I y la III.

D)

La I, la II y la III.

Un ejemplo de variable cualitativa es A)

estatura.

C)

peso.

B)

salario.

D)

sexo.

Un ejemplo de variable cualitativa es A)

la temperatura.

C)

el pulso.

B)

la escolaridad.

D)

la edad.

Un ejemplo de variable cuantitativa discreta es A)

el estado civil de una persona.

B)

el

número

de

hijos

de

C)

un

matrimonio. 13)

la velocidad a la que viaja un carro.

D)

la estatura de unos los alumnos.

C)

la edad de una persona en años.

D)

la estatura de una persona en

Una variable cuantitativa continua es A)

el color de la piel.

B)

el número de carros de una familia. metros.

14)

Considere el siguiente enunciado. “En un colegio se realiza un estudio, a cargo del Departamento de Orientación, sobre la condición socioeconómica de los alumnos de noveno año.” En el enunciado la variable estadística es A)

El colegio.

C)

La condición socioeconómica.

B)

Los alumnos de noveno año.

D)

El departamento de orientación.

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134

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA 15)

Considere las siguientes variables estadísticas I.

Estatura.

II.

Color.

III.

Edad.

¿Cuáles de ellas se clasifican en variables cuantitativas continuas? Solo la I B) Solo la II 16) Considere las siguientes características. A)

Solo la I y II D) Solo la II y la III C)

I.

Edad de una persona.

II.

Masa en kilogramos de una persona.

De ellas, ¿cuáles corresponden a variables cuantitativas continuas? Ambas. B) Ninguna. 17) Considere las siguientes características. A)

Solo la I. D) Solo la II. C)

I.

Mes de nacimiento.

II.

Ingreso familiar mensual en colones.

De ellas, ¿cuáles corresponden a variables cualitativas? A) B)

Ambas. Ninguna.

Solo la I. D) Solo la II. C)

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

CONOCIMIENTOS BÁSICOS

H1: Reconocer la Estadística como una herramienta imprescindible para el análisis de datos dentro de diferentes contextos y áreas científicas H2: Analizar el desarrollo histórico de la disciplina H3: Analizar información estadística que ha sido resumida y presentada en cuadros, gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas H4: Identificar los conceptos: unidad estadística, características o variables, observaciones o datos, población y muestra, para problemas estadísticos vinculados con diferentes contextos. H5: Identificar el tipo de dato cuantitativo o cualitativo correspondiente a una característica o variable. H6: Identificar la importancia de la variabilidad para el análisis de datos

Variabilidad

El concepto de variabilidad juega un papel clave dentro de la Estadística. Si los hechos no se repitieran o se repitieran sin variación, la Estadística casi no tendría razón de ser; pero la realidad es que la mayoría de los fenómenos se repiten y lo hacen mostrando variaciones de mayor a menor intensidad; de ahí la importancia que tiene la Estadística en el mundo moderno, al suministrarnos procedimientos válidos y confiables para analizar esos hechos que se repiten y hacer inferencias acerca de ellos a pesar de la variabilidad que presentan. Básicamente al analizar un conjunto de datos, se tiene en mente dos objetivos, por una parte, se trata de descubrir las irregularidades que puedan existir en él y de resumirlas a través de un valor típico (un promedio por ejemplo); y por otra parte, se procura establecer la medida en que los datos se concentran o se dispersan alrededor de ese valor típico, o sea, la importancia de las desviaciones de los elementos individuales respecto a ese valor representativo escogido para caracterizar el grupo. Aunque el dato resulta de vital importancia, debe quedar claro que para posibilitar análisis estadísticos un dato aislado no es una fuente de análisis, sino la variabilidad que presenten los valores de un dato a otro. Si todos los datos fueran iguales, o sea si no existiera variabilidad en las respuestas u observaciones realizadas, los análisis estadísticos carecerían de importancia. En los problemas anteriores se ofrecen algunos ejemplos que ponen en evidencia la relevancia de la variabilidad. Debido a que la totalidad de estudiantes debe asistir con uniforme al colegio, todos emplean el mismo color de pantalón o enagua; por ello los datos son todos iguales y la respuesta es única, no se requiere de más análisis. Por otro lado, el número de miembros de los hogares es muy variable, y por eso para comprender este patrón de variabilidad se requiere clasificar los datos, agruparlos y buscar algún tipo de representación como el cuadro, el gráfico o incluso el uso de medidas de resumen: promedio, moda, mínimo o máximo, incluso puede ser de interés determinar el recorrido debido a que representa la mayor diferencia en el tamaño de los hogares.

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Problema introductorio 1 Analice cada una de las siguientes situaciones y resuelva el problema que se genera en cada caso: A. Caracterizar a las y los estudiantes del grupo de acuerdo con la variable: número de miembros del hogar.

B. Caracterizar a las y los estudiantes del grupo de acuerdo con la variable: color del pantalón o enagua que utiliza regularmente para asistir al colegio.

C. ¿Cuáles son los meses en los que se presenta el mayor y menor número de cumpleaños en el grupo?

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Problema introductorio 2

Suponga que la información siguiente corresponde al número de miembros de los hogares de una muestra de 50 familias.

5 7 8 6 9

2

4

9

5 8 7 6

5

2 2

4

3 3

6 4

7 10 8 7 6

4

5 4

6 3

5 6 8 7 5

6 5 6 3 5

5 4

6 5 6

7 5 3 6 7

Realice un análisis comparativo entre la información anterior y la de los hogares del grupo.

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138

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN

H7: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación H8: Utilizar representaciones tabulares para resumir un conjunto de datos H9: Determinar medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido, para caracterizar un grupo de datos.

Ejercicios de movilización 3

A. Se desea conocer la opinión de cinco miembros de su grupo: 1) ¿Cuántos hermanos tiene usted? 2)

¿Generalmente utilizan algún medio de transporte para viajar al Colegio? ¿Cuál?

3)

¿Cuánto tiempo se demoran en llegar al Colegio desde la casa?

4)

¿Cuántos idiomas habla usted?

5)

¿Cuántos idiomas hablan en su casa?

6)

¿Cuántos libros hay en su casa?

7)

¿Cuántos libros ha leído usted?

8)

¿Le gusta el lugar dónde vives?

9)

¿Le gustaría vivir en otro lugar?

10)

¿Le gusta el colegio?

11)

¿Cuál materia le gusta más?

12)

¿Cuál materia le gusta menos?

13)

En la semana pasada, ¿cuántos días su profesor(a) de Matemática le dejó tareas?

14)

¿Aprender Matemática es fácil para usted?

15)

En el lugar donde haces tus tareas en casa, ¿eres molestado o interrumpido frecuentemente?

16)

¿Qué carrera universitaria le gustaría estudiar a usted?

17)

¿Cuántos televisores hay en su casa?

18)

¿Cuántas computadoras hay en su casa?

19)

¿Cuántos teléfonos celulares hay en su casa?

20)

¿Cuál es la religión que profesa su familia?

21)

¿Cuál es su equipo de fútbol preferido?

22)

¿Por quién votaría en las próximas elecciones?

23)

¿Cuál es su mascota preferida?

24)

¿Cuáles son sus frutas preferidas?

25)

¿Cuáles son los colores de zapatos que más se utilizan?

26)

¿Cuántos estudiantes tienen edad entre los 12 y 14 años?

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

B. Posterior al estudio realizado, conteste: 1) ¿Se obtiene la misma respuesta en todos los casos para cada pregunta? 2)

¿Cuáles de los datos generados se parecen más entre sí?

3)

¿En cuáles de esas características se presenta variabilidad? ¿Por qué?

4)

¿La variabilidad de las respuestas obtenidas ha afectado el análisis de la información? ¿Por qué?

C. ¿Cuáles son los excandidatos para presidente en Costa Rica que presentan mayor y menor simpatía en el grupo?

D. ¿Cuáles son los equipos de fútbol de primera división de Costa Rica que presentan mayor y menor número de seguidores en el grupo?

E. ¿Cuáles son las materias del Colegio que presentan mayor y menor número de seguidores en el grupo?

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140

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN

H7: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación H8: Utilizar representaciones tabulares para resumir un conjunto de datos H9: Determinar medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido, para caracterizar un grupo de datos.

Distribución de frecuencias

Es como se denomina en estadística a la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase.

Ejemplo Las edades de 50 estudiantes de un colegio nocturno corresponden a 19

23

19

19

21

22

18

20

20

19

20

22

21

22

19

21

21

20

20

20

19

20

19

21

21

21

19

19

19

19

20

19

21

21

20

19

21

19

22

19

21

24

24

18

18

19

22

17

21

20

Distribución de frecuencia absoluta y frecuencia relativa para las edades de 50 estudiantes de un colegio Edad Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

17

1

18

3

19

16

20

10

21

12

22

5

23

1

24

2

Total

50

1  0, 02  2% 50 3  0, 06  6% 50 16  0,32  32% 50 10  0, 2  20% 50 12  0, 24  24% 50 5  0,1  10% 50 1  0, 02  2% 50 2  0, 04  4% 50 100%

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

Ejercicios de movilización 4 A. Construya una distribución de frecuencias absolutas y frecuencias relativas para cada uno de los siguientes problemas. 1)

Las edades de 40 estudiantes universitarios que practican baloncesto de corresponden a

2)

20

24

20

20

22

23

19

21

22

20

21

23

22

21

20

22

22

21

21

21

20

21

20

22

22

22

20

20

20

20

21

20

22

22

21

20

22

20

21

20

Una constructora entrevista a sus clientes para realizar la distribución de los apartamentos que dispone, para lo cual solicita a cada uno de los clientes le informen cuál es su preferencia respecto al piso (nivel) en el que les gustaría que estuviera su apartamento. Las respuestas se muestran a continuación.

1

3

5

7

9

11

12

12

12

11

3

5

9

11

11

7

7

8

2

4

6

8

10

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

11

10

9

8

7

7

6

1

8

9

11

11

12

12

12

11

12

9

8

1

1

3

4

5

12

10

7

7

1

2

2

2

3

3

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141

142

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA 3)

Estudiantes de un colegio dieron un paseo en patineta, salieron del parque rumbo a dicha institución, la velocidad en kilómetros por hora de cada estudiante se describe a continuación.

22

23

21

21

22

22

21

25

25

25

23

24

21

22

25

25

25

22

21

23

21

22

25

21

22

23

24

25

21

22

23

24

25

25

21

21

26

22

23

23

26

26

21

21

24

26

21

21

26

23

23

26

24

24

23

4)

La siguiente lista contiene el número de horas que las familias representadas por estudiantes de un Colegio invierten en ver televisión por semana.

8

11

11

11

10

13

14

7

13

8

14

7

9

10

8

7

9

10

11

12

9

12

11

8

10

9

12

12

12

9

10

13

13

10

7

10

14

11

13

9

11

12

14

8

12

9

7

11

14

12

13

14

7

11

12

12

13

8

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA 5)

La siguiente lista contiene el resultado de consultar a un grupo de estudiantes la cantidad de veces que accedan a una red social por internet durante una semana.

12

14

17

13

20

16

17

18

12

12

14

16

15

17

13

12

12

17

13

15

15

16

12

19

18

15

20

12

14

18

17

15

15

13

14

14

12

16

12

6)

El número de páginas de los libros de una biblioteca de un hogar se muestran a continuación.

151

351

151

351

171

311

251

251

141

226

226

201

251

371

226

251

226

201

311

226

201

371

151

226

151

201

311

171

151

251

371

226

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144

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN

H7: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación H8: Utilizar representaciones tabulares para resumir un conjunto de datos H9: Determinar medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido, para caracterizar un grupo de datos.

Medidas de resumen

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. La moda Se expresa con el símbolo M o y es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. Por tanto, puede existir varias modas o no existir ninguna moda en los datos.

Ejemplo 1

Determine la moda de las siguientes temperaturas en una ciudad durante una semana 13° , 14° , 14° , 15° , 16° , 12° , 14° .

M o  14

Ejemplo 2

Determine la moda de las siguientes temperaturas en una ciudad durante una semana 13° , 14° , 18° , 21° , 23° , 24° , 28° . M o : no existe

La media aritmética Datos sin agrupar  xi x n

Datos agrupados   xi ni  x n

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Calcule

el

aritmética)

promedio de

las

(media siguientes

Determine el promedio (media aritmética) de hijos por padre de familia.

temperaturas 13° , 14° , 18° , 21° , 23° , 24° , 28° , 29° .

x

Número de hijos 1

Frecuencia absoluta 4

2

6

3

5

4

3

 xi

n 13  14  18  21  23  24  28  29 x 8 x  21, 25

x

  x n  i

i

n 1  4  2  6  3  5  4  3  x 18 x  2,39

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CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

145

Ejercicios de movilización 5 A. Considere la información que se presenta a continuación y determine el promedio (media aritmética) y la moda para cada uno de los ejercicios. 1)

Las temperaturas registradas durante una semana en una provincia son 13° , 17° , 20° , 22° , 24° , 27° , 28° .

2)

Los pesos en kilogramos de 7

niños son 39, 40, 45, 47 , 44, 43, 42.

3)

Las notas obtenidas por 7 estudiantes en un examen son 95, 89, 80, 71, 84, 89, 80.

4)

La estatura en metros de 5

5)

El número de horas que había dormido un estudiante en los últimos días fue

jóvenes de un colegio son 1, 61; 1, 64; 1, 62; 1, 65 ; 1, 60.

9, 7, 7, 8, 10, 5, 7, 4, 8, 8.

6)

La cantidad de minutos que tardó un grupo de estudiantes en realizar una prueba fue

28, 30, 32, 31, 34, 30, 28, 32, 31, 30, 31, 28.

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146

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA 7)

Las notas obtenidas por un grupo de estudiantes fue

90

85

60

65

70

65

70

90

90

85

100

75

90

70

85

90

68

70

60

70

95

60

60

90

70

85

65

75

75

85

8)

Resultado de una encuesta a padres de familia:

Número de hijos Frecuencia absoluta

9)

1

4

2

6

3

5

4

3

Los libros de una pequeña biblioteca y sus respectivas páginas.

Número de páginas Frecuencia absoluta 110

2

120

10

130

11

140

7

150

6

f ' GRUPO EDITORIAL

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA

147

RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN

H7: Recolectar datos del entorno por medio de experimentación o interrogación H8: Utilizar representaciones tabulares para resumir un conjunto de datos H9: Determinar medidas estadísticas de resumen: moda, media aritmética, máximo, mínimo y recorrido, para caracterizar un grupo de datos.

Máximo, mínimo y recorrido

En estadística descriptiva se denomina rango estadístico R o recorrido estadístico al intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo de la variable; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

Ejemplo 1 Determine el máximo, el mínimo y recorrido de las notas de los estudiantes. Nota

71

73

75

77

79

81

86

91

93

94

Número de estudiantes

2

2

3

7

8

18

16

10

2

2

Máximo: 94

Mínimo: 71

Recorrido:

R  94  71 R  23

Ejercicios de movilización 6 A. Determine el máximo, el mínimo y el recorrido de los datos para cada uno de los ejercicios. 1)

El número de horas que había dormido un estudiante en los últimos días fue 9, 7, 7, 8, 10, 5, 7, 4, 8, 8.

2)

Las temperaturas registradas durante una semana en una provincia son 13° , 17° , 20° , 22° , 24° , 27° , 28° .

3)

Los pesos en kilogramos de 6 niños son 40, 45, 47 , 44, 43, 42.

4)

Las notas obtenidas por 7

5)

La cantidad de minutos que tardó un grupo de estudiantes en realizar una prueba fue 28, 30, 32, 31, 34, 30, 28, 32, 31, 30, 31, 28.

6)

La estatura en metros de 5

estudiantes en un examen son 95, 89, 80, 71, 84, 89, 80.

jóvenes de un colegio son 1, 61; 1, 64; 1, 62; 1, 65; 1, 60.

f ' GRUPO EDITORIAL

148

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA 7)

Resultado de una encuesta a padres de familia: Número de hijos Frecuencia absoluta

8)

1

4

2

6

3

5

4

3

Los libros de una pequeña biblioteca y sus respectivas páginas. Número de páginas Frecuencia absoluta

9)

110

2

120

10

130

11

140

7

150

6

Puntuaciones de 1 a 10 , obtenidos por un grupo de atletas. Puntuación Frecuencia absoluta 3

4

4

4

5

6

6

14

7

5

8

7

9

16

10

10

f ' GRUPO EDITORIAL

Capítulo 5

Respuestas

f' Grupo Editorial

150

CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de Ejercicios de movilización 1 Parte A 1) 1.1 2) 1.1.1 3) 2.2 4) 2.2.2.2 5) 3.3.3.3 6) 4.4 7) 4.4.4 8) 5.5 9) 5.5.5 10) 6.6 11) 6.6.6.6.6 12) 7 13) 7.7.7 14) 8.8.8.8.8 15) 10.10.10

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Parte B 1 2 3 5 5 6 8 10

Ejercicios de movilización 2

1) 2) 3) 4) 5) 6)

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Parte A 2 4 8 3 10 10

Parte B 3 3 4 4 10 10

Parte C 2 5 5 2 10 10 Parte D 1) 4 ∙ 3 2) 5 ∙ 2 3) 2 ∙ 3 4) 3 ∙ 2 5) 10 6) 10 Parte E 1) 1 2) 1 3) 1 4) 2 ∙ 3 5) 10 ∙ 10 6) 1 Parte F 1.1) F 1.2) F 1.3) V 1.4) V 1.5) F 1.6) F 1.7) V 1.8) V 1.9) F 2) 2. 16 3) 3. 12 4) 4. 4 5) 5 6.1) 5 6.2) 17 6.3) 6 7) 4 8) (4) 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Ejercicios de movilización 3 Parte A 1) 18 2) 35 3) 29 4) 44 5) 30 6) 31 7) 10 8) 10 9) 28

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

-1 11 18 14 13 22 83 9 102 20 196 -203 -4 3174 128 44 Parte B 24000 1175 34800 204000 216000 645 18000

13) 1,2,3,4,6,8,12,19,24,38,57,76,152, 228,456 14) 1,7,43,301 Ejercicios de movilización 6 1) 1,2,3,6 2) 1,2,4,8 3) 1,3 4) 1,2,4,5,10,20 5) 1,2,7,14 6) 1,2,4,8,16 7) 1,2,11,22 8) 1,2,3,5,6,10,15,30 9) 1,13 10) 1,19 11) 1,3,9,27 12) 1,2,17,34 13) 1,5,7,35 14) 1,7,49 15) 1,43 16) 1,2,4,17,68 Ejercicios de Ejercicios de movilización 7

Ejercicios de movilización 4 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)

Impar Impar Par Par Par Par Impar Par Par Impar Impar Par Par Impar Ejercicios de movilización 5 1,2,4 1,3,9 1,2,4,5,10,20 1,17 1,2,4,8,16,32 1,2,4,8,16,32,64 1,2,3,6,13,26,39,78 1,3,7,9,21,27,63,189 1,3,5,87,145, 435 1,3,9,27,81,243 1,2,4,61,122,244 1,3,7,9, 49,63,147,

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

2→ 0,2,4,6,8 3→ 0,3,6,9,12 4→ 0,4,8,12,16 6→ 0, 6,12,18,24 8→ 0,8,16,24,32 9→ 0,9,18,27,36 10→ 0,10,20,30,40 11 → 0,11,22,33,44 12→ 0,12,24,36,48 17→ 0,17,34,51,68 14 0,14,28,42,56 15→ 0,15,30,45,60 16→ 0,16,32,48,64 25 → 0,25,50,75,100 33→ 0,33,66,99,132 41→ 0,41,82,123,164

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

f ' GRUPO EDITORIAL

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

Ejercicios de Ejercicios de movilización 10

1) 10 2) 12 3) 28 4) 40 5) 30 6) 220 7) 60 8) 24 9) 84 10) 360 11) 72 12) 60

Ejercicios de movilización 8

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

Ejercicios de movilización 9 1) 2 ∙ 3 2) 43 3) 2 4) 7 5) 2 ∙ 3 6) 17 7) 2 ∙ 11 8) 2 9) 2 ∙ 3 ∙ 13 10) 113 11) 2 12) 2 ∙ 43 13) 2 14) 2 15) 2

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99 100

Ejercicios de movilización 11 Parte A 1) 2 2) 15 3) 12 4) 7 5) 8 6) 8 7) 8 8) 2 9) 7 10) 5 11) 2 12) 64

CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

CAPÍTULO 1: NÚMEROS Parte B

Ejercicios de movilización 13 Parte A 1) < ₵40 , 24 confites de ₵50 y 15 confites 2) > de ₵80 3) 40cm, de 120 son 3 pedazos, de 160 son 3) < 4 pedazos, de 200 son 5 pedazos 4) = 4) ₵240 5) > 5) 5 , Hay 16,15,12estudiantes 6) < 6) 180 litros 7) > 7) 5 a cada uno, primer grupo 4c/u, 8) > segundo grupo 5c/u y tercer grupo 6c/u 9) < 8) 23 estudiantes, 27 aulas, son 7,9 y 11 10) > aulas 11) < 9) 660 min, primero 66 vueltas, segundo 12) < 60 vueltas, tercero 55 vueltas. 13) > 10) c/40 días, son 11 de febrero y 14 de 14) > marzo 15) < 11) 16kg, primera caja 100 bloques, 16) > segunda caja 125 bloques, tercera caja 17) < 212 bloques 18) > 12) 20, primera bolsa 225, segunda bolsa 262, tercera bolsa 325 19) > 13) 175 20) < 14) 120 21) > 22) < Ejercicios de movilización 12 23) < 24) < 1) -7 25) = 2) -500 26) < 3) -80 27) = 4) -1321 Parte B 5) 52 1) 5,6,7,8 6) -48 2) 4 7) -50 8) 7 3) 3,4,5,6 9) 8 4) 2,3 10) 875 5) 1,2,3,4,5 11) -500 6) -1,0 12) -15 7) -2,-1,0,1,2 13) 750 8) -4,-3,-2,-1,0,1 14) 12 9) -4,-3,-2,-1 15) -2000000 10) -10,-9,-8 16) 125 11) -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,17) -350 2 18) -180 12) -11 19) 80 13) -71,-70,-69,-68 20) 420 14) -29,-28,-27,-26,-25 21) 1200000 15) -22, -21 22) 1435 1) 40cm 2) 1200, 40 confites de ₵30, 30 confites de

Ejercicios de movilización 14 Parte A 1) -4,-3,-2,1,2,3 2) -8,-6,-2,2,4,8 3) -12,-9,-6,3,6,9 4) -15,-10,-5,5,10,15,20 5) -24,-18,-12,-6,6,12,18 6) -57,-38,-19,19,38,57,76 7) -148,-111,8) 74,37,74,111,148 Parte B PERSONAJES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

f ' GRUPO EDITORIAL

151

152

CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

CAPÍTULO 1: NÚMEROS Ejercicios de movilización 15 Parte A 1) 2 2) 8 3) -10 4) -13 5) 37 6) 52 7) -5 8) 13 9) 12 10) 23 11) -48 12) -5 13) –a 14) b 15) –m 16) -19 17) 2a 18) -3b Parte B 1) V 2) V 3) F 4) F 5) V 6) F 7) F 8) V 9) F 10) V 11) F 12) V 13) V 14) F 15) V 16) V

Ejercicios de movilización 16 NU 0 7 -8 12 -16 20 26 32 -9 -12 -16 -20 -h m -a a

OPUE 0 -7 8 -12 16 -20 -26 -32 9 12 16 20 h -m a -a

Ejercicios de movilización 17 1) 5 2) 7 3) 12 4) 25 5) 45 6) 35 7) 122 8) 90 9) -9 10) -9 11) -12 12) -10 13) -27 14) -3 15) -41 16) -90 17) 0 18) -5 19) 10 20) -3 21) -16 22) 8 23) 5 24) 4

Ejercicios de movilización 18 1) -9 2) -11 3) -12 4) -13 5) 1 6) 1 7) 1 8) -20 9) 9 10) 0 11) -9 12) -4 13) -1 14) -11 15) -20 16) -16 17) -9 18) 4 19) -20 20) 4 21) -16 22) -51 23) 5 Ejercicios de movilización 19 1) 10 2) 12 3) 35 4) 300 5) 1800 6) 340 7) 84 8) 112 9) 84 10) 36 11) -90 12) -240 13) 0 14) 240 15) 168 16) 96 17) -270 18) -73

Ejercicios de 9) 1331 movilización 20 10) -28561

Parte A 1) 7 2) -20 3) -5 4) 8 5) -7 6) 6 7) -9 8) -11 9) 3 10) 16 11) -25 12)

13) -9 14) -12 15) -3 16) -7 17) -24 18) -11 Parte B 1) 11461 2) 677 3) 12090 4) 2000 5) 1229 6) 3335 7) 16660 8) 9720000 9) 840 10) 117000 11) 250 naranjas y c/u pago 3000 12) 21000 y cada dos días paga 4200 Ejercicios de movilización 21 1) 1 2) 1 3) 64 4) 128 5) -81 6) 27 7) 343 8) -121

11) 2197 12) 1 13) -128 14) 81 15) -27 16) 625 17) -125 18) -25 19) 100 20) 512 21) -6561 22) -2197 Ejercicios de movilización 22 Parte A 1) 81 2) 1024 3) 3125 4) 243 5) 64 6) 27 7) -27 8) 1296 9) 10) 11) 12) Parte B 1) 9 2) 64 3) 729 4) 9 5) 16 6) 16 7) -64 8) -125 9) 10) 11) (− ) 12) (−ℎ) Parte C 1) 64 2) 729 3) 15625 4) 256

f ' GRUPO EDITORIAL

5) 15625 6) 3486784401 7) 256 8) -19683 9) –

10) – 11) 12)

Parte D 1) 27x 2) 4b 3) 125m 4) 5184 5) 1296 6) 1259712 7) x 1 8) 2 b 9) 5 m Parte E 1) 1 2) 1 3) 1 4) 1 5) 1 6) 72 7) 16 8) – b 9) c

Ejercicios de movilización 23 Parte A 1) 3 = 9 2)3 = 27 3)−3 = −27 4)x = b 5)w = d 6)y = m Parte B 1) √49 = 7 2) √16 = 4

3) √125 = 5 4) √x = b 5) √d = c 6) g = 5

Ejercicios de movilización 25 Parte A 1) 6 2) -13 3) 47 4) -139 5) -25 6) -25 7) 218 8) 4 9) 117 10) 73 11) 9981 12) 9 13) -5−450 14) -690 15) 29 16) 20 17) 59 18) 17 19) -19 20) Parte B 1) 114 2) 25 3) 136 4) 360 5) 30 6) 11 7) 11 8) Ejemplo 62, 8-4 9) Ejemplo 4 ∙ 3, 12 ∙ 1, 6 ∙ 2, 2 ∙ 2 ∙ 4 10) Ejemplo 30 ÷ 10 11) 54

CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

CAPÍTULO 2: GEOMETRIA Ejercicios de movilización 1 T.I.C.E Ejercicios de movilización 2 Parte A 1) l ǁl 2) l Y l 3) l ⊥l 4) l ǁl 5) l ⊥2 6) l y l 7) ADY BE 8) BE⃗

9) DE⃗ 10) ED⃗ 11) AC⃗

Parte B Revisado Por el Docente

Ejercicios de movilización 3 Parte A Hay Varias Opciones Figura 1 1) A,D,B 2) ADC Y ADB 3) AD 4) DE ⊥ EF 5) DEF Y ACB

3) ⊀CDE y ⊀EDF 4) ⊀GAM y MAH 5) ⊀GAH y ⊀ABI 6) ⊀EDA ⃖⃗ 7) ⃖EH⃗ǁCI

Figura 2 1) F,A,B 2) AFB Y BFC 3) AF, FB, FC, FD 4) FE ⊥ EG 5) AB ∥ DC 6) FEG Y DACB Figura 3 1) D,A,C 2) ACB,DFE Y FEBC 3) FC, EB, DA, AB 4) CF ⊥ CB 5) FCǁ EB 6) FEBC Y ACB 7) DFE Y ACB Figura 4 1) H,E,F 2) HGFE Y AEHD 3) EH, EF, EA, GH, GF, GC, CB, 4) CD, AD, AB, HD, FB 5) FGCB Y HGFE 6) CBǁ GF 7) FGCB Y EHDA 8) BF, FE Ejercicios de movilización 4 Parte A Hay Varias Opciones 1) ⊀ GAD 2) ⊀ GAB Y ⊀ BAD 3) ⊀ GAB Y ⊀ BAD 4) ⊀ GAB Y ⊀ BAD 5) ⊀ BAC Y ⊀ CAD 6) ⊀ CAD Y ⊀ GAF 7) ⊀ CAD Y ⊀ GAF Parte B Hay Varias Opciones 1) η y ∝ 2) α y θ 3) αy θ 4) ∝ y η 5) ωy β 6) θy η 7) η y θ Parte C Hay Varias Opciones 1) ⊀FDE, ⊀CDA, 2) ⊀CDE Y ⊀ED

⃖ ⃗ ⊥ EH ⃖ ⃗ 8) GA 9) CDE Y EDF Parte D Hay Varias Opciones 1) • B 2) A-B-C 3) A,B,D 4) AB,CD, HF 5) BA⃗, DG⃗, HM⃗ 6) CJ⃗, CK⃗, NI⃗ ⃖ ⃗ǁMN 7) GC ⃖ ⃗ ⃖ ⃗ ⊥ AB 8) EB ⃖ ⃖ ⃗ 9) EB, DG⃗

10) ⊀BDG, ⊀GDH 11) ⊀ABD, ⊀BCN, 12) ⊀EBD 13) ⊀BCD, ⊀DCN 14) ⊀EBA, ⊀ABD 15) ⊀EBA, ⊀ABD

Ejercicios de movilización 5 Parte A 1) 35° 2) 415° 3) 145° 4) 145° 5) 35° 6) 35° 7) 145° 8) 63° 9) 55° 10) 125° 11) 125° 12) 117° 13) 118° 14) 62° Parte B Figura 3 1) 110° 2) 70° 3) 110° 4) 110°

f ' GRUPO EDITORIAL

5) 110° 6) 70° 7) 70° Figura 4 1) 42° 2) 42° 3) 138° 4) 138° 5) 138° 6) 42° 7) 42° Parte C 1) 30° 2) 80° 3) 60°, agudo 4) 110°, obtuso 5) 131° Comparta lado y vértice 6) 30° y 60° 7) 60° y 120° 8) 22,5° y 67,5° 9) 45° y 135° 10) 45° 11) 90° 12) 60° y 120° 13) 30° y 60° 14) 180° 15) 135° 16) 90° 17) 30° y 120° 18) 72° 19) 15° y 105° Ejercicios de movilización 6 Parte A 1) Si 2) Si 3) Si 4) Si 5) Si 6) Si 7) Si 8) Si 9) No 10) Si 11) No 12) No

153

154

CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

CAPÍTULO 2: GEOMETRIA 13) Si 14) Si 15) Si 16) No 17) Si 18) si Parte B 1) DE 7 A 13 2) DE 11 A 39 3) DE 21 A 59 4) DE 8 A 52 5) DE 8 A 126 6) DE 6 A 34

5) δ = 68°, π = 42°, θ = 138°, β = 70° 6) δ = 59°, π = 42°, θ = 121°, β = 138°, α = 79°, ω = 101°, λ = 59° 7) δ = 122°, π = 57°, θ = 58°, β = 65°, α = 58°, ω = 57°, λ = 122° 8) δ = 130°, π = 65°, θ = 115°, β = 115°

4) 4, ,2 acutangulos, 2 obtusangulo s y lados isósceles 5) 60cm 6) 4, congruentes dos a dos, isoseles 7) 40cm Parte B

1) V 2) V 3) V Ejercicios de movilización 9 4) V Parte A 5) F 1) 80° 6) F 2) 36° Ejercicios de movilización 7 3) 303° 7) F 8) F 4) 62° 1) 60° 9) F Parte B 2) 70° 10) F 1) 91° 3) 60° 11) F 2) 106° 4) 40° 12) F 3) 83° 5) 60° 13) F 4) 30° 6) 50° 14) V 5) 89° 7) 55° 15) F 6) 40° 8) 50° 16) F 7) 61° 9) 60° 17) F 8) 54° 10) 20° 18) V 9) 90° 11) 50° 19) V 10) 44° 12) 74° 20) F 11) 116° Ejercicios de movilización 8 Parte A 1) 110° 2) 110° 3) 110° 4) 105° 5) 140° 6) 110° 7) 120° 8) 125° 9) 107° 10) 110° 11) 136° 12) 128° Parte B 1) δ = 115°, π = 85°, θ = 95°, β = 150° 2) δ = 68°, π = 53°, θ = 112°, β = 127°, α = 59°, ω = 121°, λ = 121° 3) δ = 76°, π = 142°, θ = 38°, β = 104°, α = 76°, ω = 38°, λ = 142° 4) = 123°, = 85°, = 95°, = 142°

1) 32cm 2) 4 triángulos escalenos, rectángulos 3) 8cm

T.I.C.E Ejercicios de movilización 13 Parte A 1) (−3,2) 2) (−2, −3.5) 3) (3,2.5) 4) (2.5,-2) Parte B 1) (0.5,2.5) 2) (0, −3)

(−1,1)(−1,2)(1,1)(2,2)(2,1)

2) EXTERIOR

(−3, −4)(−3, −5)(−4, −3) (−5,4)(3,3)

Parte B

Figuras Ejercicios de movilización 10 1) 8 1) 212° 2) 90 2) 95° 3) 1125 3) 100° 4) 4) 45° 5) 70 5) 58° 6) 24 6) 79° Preguntas 7) 66° 9) D.A=80 8) 80° 10) 10.E.A=72, P=36 9) 91° 11) 11.F.A=400, P=80 10) 51° 12) 12.G.A=300, P=76 11) 117° 13) 13.H.A=184 12) 69° 14) 14.I.A=774 Ejercicios de movilización 11 Parte A

Parte B

Ejercicios de movilización 14 Parte A 1) INTERIOR

Parte C

12) 60°

3) Rectángulo A=6, P=10 4) Rombo A=4 y P no es posible determinarlo

Ejercicios de movilización 12 Parte A 1) Triángulo, A=2, P=no es posible determinarlo Cuadrado A=4, P=8

f ' GRUPO EDITORIAL

En todos los casos las áreas son las mismas. Cuadrado =4, rombo=2, triángulo= 3 y romboide=6

CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

CAPÍTULO 3: RELACIONES Y ALGEBRA Ejercicios de movilización 1 Parte A 6 años 8 años 10 años

49966.6 63802.2 81468.9

Parte B 1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

TOTAL 211 Parte C 1) 12500 2) C = 500 + 2000(n − 1) Parte D En n=1 2 -3 1 3 -1 1

-1 0 3 5 2 7

-4 5 5 7 7 17

1 1 2 0

1 2 2 2

1 3 2 4

1 4 2 6

1 5 2 8

Ejercicios de movilización 3 Parte A 1) Cubo x V

2 3 4 … n 8 27 64 …

1 1

2) Círculo

-25 96 19 21 98 199

r C

1

2 4

2

3) Círculo

Parte E 1) a 2) a 3) a 4) a 5) a 6) a

1 0 1 8

Ejercicios de movilización 2 1) 25k 2) 1200g 3) 10 días 4) 10 frescos 5) 100km/h 6) 8h 7) 6 pintores 8) 12h 9) 1,2 h

= n + 1, 6,7,8 = 2n, 12,14,16 = 3n, 18, 21, 24 = n + 3, 19,22, 25 = n , 216, 343, 512 = 2 + n + 1, 11, 13 15

r A

1

2 4

1 4

2 8

5) Esfera r

1

A 4

f ' GRUPO EDITORIAL

3

4 … …

n 2

4 … n 16 …

3 4 … n 12 16 … 4

2 16

8

9

4) Cuadrado x P

3 6

4 … n

3 36

64

… 4

Parte B 1) 4200 2) 4 horas 3) 5000km 4) 6 horas 5) 12min

6) 30, 1.5, 28

155

156

CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA Ejercicios de movilización 1

Parte A y B T.I.C.E Parte C 1) 3 2) 13% 3) 225 páginas 4) 150 páginas 5) 85% 6) 75% 7) 8

6) A 7) D 8) D 9) B 10) D 11) B 12) B 13) D 14) C 15) A 16) A

17) C

8) 8 Parte D 1) San José 2) Heredia 3) Puntarenas, Alajuela, San José 4) Heredia, Limón, Cartago 5) Heredia y Limón 6) Cartago, Guanacaste , Puntarenas 7) Alajuela 8) Alajuela, San José Parte E 1) 1 2) 32% 3) 21 años 4) 23 y 17 años 5) 40% 6) 60% 7) 3

8) 20 Ejercicios de movilización 2 1) C 2) A 3) C 4) A

5) D

Ejercicios de movilización 3 Es variado Ejercicios de movilización 4 1) Edad 19 20 21 22 23 24 Total

FA 1 15 8 11 4 1 40

2) Pisos

FA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

6 5 6 3 4 3 8 6 6 4 9 10 70

f ' GRUPO EDITORIAL

FR 0,025 0,0375 0,2 0,275 0,1 0,025 1

2,5% 37,5% 20% 27,5% 10% 2,5% 100%

FR 0,085 0,071 0,085 0,042 0,057 0,042 0,11 0,085 0,085 0,057 0,12 0,14 1

8,5% 7,1% 8,5% 4,2% 5,7% 4,2% 11,42% 8,5% 8,5% 5,7% 12,8% 14,2% 100%

CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

CAPÍTULO 4: ESTADISTICA 3) Kilómetros

Ejercicios de movilización 5

21 22 23 24 25 26 Total

Frecuencia absoluta

Frecuencia Relativa

14 9 10 6 10 6 55

0,25 0,16 0,18 0,10 0,18 0,10 1

25,4% 16,3% 18,18% 10,9% 18,18% 10,9% 100%

4) Horas 7 8 9 10 11 12 13 14 Total

Frecuencia absoluta 6 6 7 7 9 10 7 6 58

Frecuencia Relativa 0,10 0,10 0,12 0,12 0,15 0,17 0,12 0,10 1

10,3% 10,3% 12,06% 12,06% 15,51% 17,24% 12,06% 10,3% 100%

5) Veces 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Total

Frecuencia absoluta 9 4 5 6 4 5 3 1 2 39

Frecuencia Relativa 0,23 0,10 0,12 0,15 0,10 0,12 0,07 0,02 0,05 1

23,07% 10,25% 12,82% 15,38% 10,25% 12,82% 7,69% 2,56% 5,12% 100%

Frecuencia Relativa 0,03 0,15 0,0625 0,125 0,218 0,15 0,09 0,0625 0,09 1

3,125% 15,625% 6,25% 12,5% 21,87% 15,625% 9,37% 6,25% 9,37% 100%

Pregunta 1 2 3 4 5 6

Mediana 21,57 42,85 84 1,624 7,3 30,41

7 8 9

76,93 2,38 131,38

Ejercicios de movilización 6 Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6) Páginas 141 151 171 201 226 251 311 351 371 Total

Frecuencia absoluta 1 5 2 4 7 5 3 2 3 32

Moda No hay No hay 89 No hay 7 y8 28, 30 y 31 70 y 90 2 130

f ' GRUPO EDITORIAL

Máximo 10 28 47 95 34 1,65 4 150 10

Mínimo 4 13 40 71 28 1,60 1 110 3

Recorrido 6 15 7 24 6 0,05 3 40 7

157

158

CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

APUNTES

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CAPÍTULO 5: RESPUESTAS

APUNTES

f ' GRUPO EDITORIAL

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