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ELT221 - Circuitos Elétricos II Prof. Tarcísio Pizziolo

7) Filtros Filtros são circuitos elétricos (eletrônicos) que permitem que seus sinais de saída sejam limitados em função de valores de freqüências previamente determinadas. Estas freqüências previamente determinadas que irão limitar o sinal de saída do Filtro são denominadas Frequência(s) de Corte. Os Filtros também são definidos como sendo quadripolos capazes de atenuar determinadas frequências do espectro do sinal de entrada e permitir a passagem das demais. Os Filtros podem ser classificados como Passivos ou Ativos. Os Filtros Passivos são constituídos de componentes elétricos passivos tais como resistores, capacitores e indutores, não precisando assim de alimentação para produzir o resultado desejado. Os Filtros Ativos são constituídos de componentes elétricos ativos os quais necessitam de alimentação para produzir o resultado desejado juntamente com os elementos passivos. Tais componentes ativos são as Válvulas, os Transistores e os Amplificadores Operacionais. Os indutores são raramente utilizados em Filtros pelo fato de serem grandes e de alto custo. Os tipos de Filtros serão especificados em função do comportamento da saída de seus sinais para a variação da freqüência de pequenos a grandes valores passando pela(s) Freqüência(s) de Corte. Tipos de Filtros mais Utilizados 1) Passa – Faixa => O sinal de saída é limitado em uma faixa de freqüência. Existirão duas Frequências de Corte, uma cortando a saída do sinal para as baixas e outras para as altas freqüências. 2) Passa – Baixa => O sinal de saída é limitado em baixas freqüências. Existirá uma Frequência de Corte limitando a saída do sinal para baixas freqüências e cortando-o para as altas frequências. 3) Passa – Alta => O sinal de saída é limitado em altas freqüências. Existirá uma Frequência de Corte limitando a saída do sinal para altas freqüências e cortando-o para as baixas frequências. 4) Corta – Faixa => O sinal de saída é cortado em uma faixa de freqüência. Existirão duas Frequências de Corte, uma limitando a saída do sinal para as baixas e outras para as altas freqüências. Freqüência de corte wc: Freqüência de corte wc é definida como a freqüência na qual a potência média de saída é igual à metade da potência média de entrada, ou seja, quando o ganho de potência for 0,5. Então: P V2 V2 1 A P = o = ; como Po = o e Pi = i Pi 2 Ro Ri Para R o = R i ⇒ Vo =

Vi 2

⇒ Vo ≅ 0,707.Vi

Daí a(s) Frequência(s) de Corte ocorrerá(ão) quando: H( jω c ) =

H( jω) máx 2

.

a) Filtro Passa-Faixa: Seja o circuito:

1   H( jω) = 2 2   1  1  1    + wC −   H( jω) = ;  R wL     1   1     + jwC −    ϕ(ω) = −tg −1 R wC − 1  R   ωL     wL    1 Para H( jw ) máx ⇒ w o = LC

Daí :

H( jw o ) máx

H( jw o ) máx = R ⇒

2

Faixa de passagem (BANDA )  w c1 ≤ ω ≤ w c 2   B = w c2 − w c1 

(

R

=

2

⇒ Frequência(s ) de Corte

w o → frequência central   w c1 e w c 2 → frequências de corte

)

Análise da variação de w para esboçar os Gráficos: Para baixas e altas frequências => |H(jw)| → 0 (Passa-Faixa!). Para w → 0 => φ(w) → π/2 e para w → ∞ => φ(w) → -π/2.

wc1

wo

wc2

f (w) π 2

0

−

π 2

Resposta em Fase

1 LC

w (rd/s)

b) Filtro Passa-Baixa: Seja o circuito:

H( jω) =

2

[(2 − w ) + j2w ] 2

;

H( jw ) =

Simplifica ndo :

H( jw ) =

H( jw c ) =

⇒

2 2

+ 4w 2

2

⇒ w o = 0 ; Daí : H( jw o ) = 1

H( jw ) máx 2

1  w 1 +  c 2  

(2 − w )

1 w 1+   2

Para : H( jw ) máx

2

  

2

 

=

⋅ ⇒

1

H( jw c ) =

⇒

2

1 w  1+  c   2 

2

=

1 2

1 ⇒ w c = 2 (rd / s ) 2

Assim, o intervalo de freqüência que o sinal de saída passa é: 0 ≤ w ≤ 2 rd/s.  2w  A resposta em fase é dada por: ϕ( w ) = − tg −1  . 2   2− w 

(

)

Análise da variação de w para esboçar os Gráficos:

}

Para baixas freqüências w → 0 => |H(jw)| → 1. Para altas freqüências w → ∞ => |H(jw)| → 0.

Passa-Baixas!

Para baixas freqüências w → 0 => φ(w) → 0. Para altas freqüências w → ∞ => φ(w) → -π.

2

⇒

c) Filtro Passa-Alta:

Seja um circuito representado pela Função de Transferência dada: 2s 2 H (s ) = 2 ; então : s + 4s + 8

(

H( jw ) = Assim :

Para

)

[( jw )

2( jw ) 2 2

+ 4( jw ) + 8

− 2w 2 − w 2 + j4w + 8

] ( 2w 2

H( jw ) =

H( jw ) máx

=

(w

2

)

− 8 + (4w ) 2

⇒

⇒ H( jw ) =

)

H( jw ) =

2

⇒ w → ∞ ; Então :

[(w

2w 2

)

− 8 − j4w

2

]

1  1 16   + 4 4 w 

H( jw ) máx = 2

Determinação de w c : H( jw c ) =

1 2

H( jw ) máx

⇒

H( jw c ) =

2

1

⇒

2

1 16 + 4 w c4

=

2 2

⇒ wc = 2 2

Assim, o intervalo de freqüência que o sinal de saída passa é: w ≥ 2 2 rd/s.

 − 4w A resposta em fase é dada por: ϕ( w ) = −tg −1  2  w −8

(

 . 

)

Análise da variação de w para esboçar os Gráficos:

}

Para baixas freqüências: w → 0 => |H(jw)| → 0. Para altas freqüências: w → ∞ => |H(jw)| → 2. Para baixas freqüências: w → 0 => φ(w) → π. Para altas freqüências: w → ∞ => φ(w) → 0.

Passa-Altas!

d) Filtro Corta-Faixa:

Seja um circuito representado pela Função de Transferência dada: H (s ) =

[

]

3(s 2 + 25) 3 ( jw ) + 25 ; H( jw ) = 2 (s + s + 25) (jw )2 + ( jw ) + 25

[

2

]

⇒ H( jw ) =

(

3 25 − w 2

)

[(25 − w ) + jw ] 2

Então : 3

H( jw ) =

 w  1+    25 − w 2 

2

;

H( jw ) máx ⇒ ω o , H( jw ) máx = 3

Determinação de w c : H ( jw c ) =

1 2

⋅ H ( jw ) máx

⇒

H ( jw c ) =

3 2

Mas qual w ⇒ H ( jw c ) = 0 ⇒ 25 − w = 0 ⇒ w = 5 rd 2

s

Daí : H ( jw c ) =

3 2

 w c = 4,525 ⇒  1  w c 2 = 5,525

Assim, o intervalo de freqüência que o sinal de saída passa é: w < 4,5 e w > 5,5 rd / s .

  w A resposta em fase é dada por: ϕ( w ) = − tg −1  . 2  25 − w  

(

)

Para baixas e altas freqüências => |H(jw)| → 3 (Corta-Faixa!). Para baixas freqüências w → 0 => φ(w) → 0. Para altas freqüências w → ∞ => φ(w) → 0.

Fatores de Escala na H(s) Fator de Escala de Impedância (K i ) :

Seja o circuito:

Z(s ) = sL + R +

1 sC

A impedância Z será alterada por um fator de escala K i se Z' = K i ⋅ Z Assim: 1  1  Z' = K i  sL + R +  = s( K i L ) + K i R + sC   C  s  Ki 1 Como : Z' = sL'+ R'+ ; tem − se : sC' C L' = K i L ; R' = K i R e C' = Ki

  

Fator de freqüência (K f ) :

Para Z(s ) = sL + R +

1 sC

A freqüência será alterada por um fator de escala K f se s' = K f s Assim:

 s' Z' (s ) = Z  Kf

  L  = s'  K   f 

 1  + R +  C  s'   Kf

  

Daí : L C ; R' = R e C' = Kf Kf Pode-se alterar tanto as impedâncias como as freqüências em escala numa H(s). L' =

Para obter um circuito com uma aplicação prática deve-se primeiramente alterar em escala a freqüência, em seguida, para obter-se valores dos elementos, deve-se alterar em escala as impedâncias.

Exemplo: Dado o circuito, altere-o em escala para se obter: w c = 2000π ( rd ) (f c= 1 KHz ) utilizando capacitores de 10 mF e 5 mF. s w c = 2 (rd ) para o circuito . s

(

)

(Filtro Passa-Baixas) H (s ) =

Vo (s ) 2 = 2 Vi (s ) s + 2s + 52

(

( )

⇒ 2000.π = K f . 2

)

s' = s.K f

;

⇒

( )

⇒ K f = (1000 ). 2 .π ; C' =

Para C' = 10 nF ⇒ 10 × 10 −9 =

Para C' = 5 nF ⇒ 5 × 10 −9 =

1 2 K i 10 3

1 4 K i 10 3

( 2 )π

( 2 )π

C K i .K f

⇒ Ki =

⇒ Ki =

10 5

( )

2 2π 10 5

( )

2 2π

 10 5  .(2 ) ⇒ R' = 22,5 KΩ Como R' = K i R ⇒ R' =    2 2 π

( )

Exemplo: Dado o circuito, altere- o em escala para obter-se w o = 1000 (rd ) s utilizando-se capacitores de 1 µF e 4 µF .

Vi

i i + i1 + i 2 = 0 ∴

1  2 +  s 

+

Vo Vo + =0 ∴ s 2

sV V sVi + o + o =0 (2s + 1) 4 2

Vo (s ) sVi 4s s+2 = − =− 2 Vo ∴ (2s + 1)  4  Vi (s ) 2s + 5s + 2 − j4w − j4w 1 H( jw ) = ⇒ H ( jw ) = = − 2w 2 + j5w + 2 2 − 2w 2 + j5w  5  1 − w 2    − + j   2w   4   1 Daí : H(jw ) = ; H (jw ) máx ⇒ w o = 1 (rd ) s 2 25  1 − w 2   + 16  2w 

(

(

 w →0 ⇒  w → ∞ ⇒ Para :

)

)

(

)

H (jw ) → 0

H (jw ) → ∞

H( jw ) =

0,8 2

Fator de escala : S' = K f .s ⇒ 10 3 = K f .(1) ∴ K f = 10 3 C'1 = 10 −6 =

C1 K i .K f

C' 2 = 4.(10 −6 ) =

⇒ 10 −6 =

1 K i .K f

0,25

∴ K i = 250

K i 9.(10 3 )

⇒ K i = 250

Então : R' = K i .R ⇒ R' = 250.( 2) ⇒ R' = 500Ω

Atenuação ou Perda Em um Filtro, a Atenuação (ou perda) varia de acordo com a freqüência e é definida pela fórmula:

α( w ) = −20 log H( jw ) ∴ α( w ) = −20 log Exemplo: Dado um Filtro com H(s ) =

(s

V2 ( jw ) V ( jw ) dB ∴ α( w ) = 20 log 1 dB V1 ( jw ) V2 ( jw ) 1 2

+ 2s + 1

⇒

)

H( jw ) =

1 1 + w4

Esboçar o gráfico de Atenuação do sinal. Filtro Passa-Baixas ⇒ w c = 1 (rd ) s

(

A atenuação em decibéis será dada por: α( w ) = 20 log 1 + w 4

)

(

⇒ 10 log 1 + w 4

)

Gráfico:

Exercício: Dado um Filtro com H(s ) =

0,2s (s + 0,2s + 1) 2

calcule as perdas em dB em

w = 0,905 rd/s.

α( w ) = −20 log H( jw ) dB H( jw ) =

Daí :

(− w

j0,2w 2

)

+ j0,2w + 1

H (jw ) =

⇒ H( jw ) =

j0,2w

[(1 − w ) + j0,2w ] 2

=

1   1 − w 2   1 − j   0 , 2 w   

1 1− w2 1 +   0, 2 w

   

2

     1 − w 2 2    1    = 10 log 1 +  α( w ) = −20 log | H( jw ) |= −20 log   0, 2 w   2    2        1+ 1− w    0, 2 w          1 − (0,905) 2  2    = 3 dB’s (de perda!). Para w = 0,905 => α( w ) = 10 log 1 +    (0,2).(0,905)    