75246239 Mat Geometria Espacial 002

MATEMÁTICA

GEOMETRIA ESPACIAL

1. Cilindro Considere dois planos σ e γ paralelos, C um círculo em α de raio r, e s uma reta secante aos planos σ e γ . Chamamos de cilindro circular, ou apenas cilindro, a figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta s, com uma as extremidades em um ponto de C e a outra em um ponto de γ.

chamados bases do cilindro.

ANOTAÇÕES

A reta OO’ é chamada eixo do cilindro. A altura h do cilindro é a distância entre os planos que contém as bases. Área da Base A área da base de um cilindro é exatamente a área do círculo C, isto é,

Ab = πr 2 . Área Lateral

Observe que as extremidades que pertencem ao plano σ formam um círculo C’ congruente a C. Elementos do Cilindro

A área lateral de um cilindro de raio da base r e altura h é dada por Al = 2 πrh Área Total

At = 2 AB + Al os círculos C e C’ de raio r e centros O e O’, respectivamente, são COLÉGIO VIA MEDICINA

At = 2 πr 2 + 2 πrh At = 2 πr ( r + h ) PSS 2

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Volume do cilindro

c) 10

O volume de um cilindro é calculado como se fosse um prisma, multiplicando-se a área da base pela sua altura. Assim,

d) 20

V = πr 2 h Observação: Quando a secção meridiana de um cilindro é um quadrado, chamamos este cilindro de eqüilátero. Isto significa que a altura mede o dobro da medida do raio da base. Veja a figura.

ANOTAÇÕES

e) 40

3.

(Unesp) Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a capacidade desse tonel, em litros é:

a) 200 b) 300. c) 400. d) 500. e) 800.

4.

Um cilindro reto mede 8 m de altura e a área total de sua superfície mede 306π m3. determine, em m3, o volume desse cilindro.

5.

Se aumentarmos o raio da base ou a altura de um cilindro reto em 4 cm, os volumes dos novos cilindros coincidirão. Calcule o raio da base, em cm, do cilindro inicial sabendo que a altura mede 2 cm.

6.

(Uel) Dois recipientes cilíndricos têm altura de 40 cm e raios da base medindo 10 cm e 5 cm. O maior deles contém água até 1/5 de sua capacidade.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.

A área total de um cilindro de altura 4 cm e diâmetro da base 6 cm, em

m 2 , é:

a) 24 b) 36 c) 33 d) 47 e) 9

2.

(UFPB – 2006) Uma tora de madeira, em forma de um cilindro circular reto, com 4m de altura e 2m de diâmetro, foi serrada, formando uma secção plana ABCD, conforme ilustra a figura ao lado. Se AB e CD são, respectivamente, diâmetros das bases inferior e superior, a área da região ABCD, em m2, é igual a: Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h, de a) 32 cm

b) 24 cm c) 16 cm a) 6

d) 12 cm

b) 8

e) 10 cm

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COLÉGIO VIA MEDICINA

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7.

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(UFRS) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a base inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, e água.

a) ultrapassa o meio do cano.

d) 40 e) 50

EXERCÍCIOS TAREFA 1.

b) transborda. c) não chega ao meio do cano.

(Ita – SP) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em

m 2 , vale:

d) enche o cano até a borda. e) atinge exatamente o meio do cano

a) 3 π 2/4

8.

b) 9 π (2+ π )/4

(UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e área da base igual a 1 200 cm2, está com água até a metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5 cm. Então, o volume das pedras é

c) π (2+ π ) d) π 2/2 e) 3 π ( π +1)/2

2.

a) 1 200 cm 3 . b) 2 100 cm 3 . c) 1 500 cm 3 d) 1 800 cm 3

9.

(Unirio) Seja um cilindro de revolução obtido da rotação de um quadrado, cujo lado está apoiado no eixo de rotação. Determine a medida deste lado (sem unidade), de modo que a área total do cilindro seja igual ao seu volume.

10.

(Ufpe) Um queijo tem a forma de um cilindro circular reto com 40 cm de raio e 30cm de altura. Retira-se do mesmo uma fatia, através de dois cortes planos contendo o eixo do cilindro e formando um ângulo de 60°. Se V é o volume, em cm¤, do que restou do queijo (veja a figura a seguir), determine, em

V 10 3 ⋅ π

cm 3 , o valor de

.

ANOTAÇÕES

(Fuvest – SP) A uma caixa d'água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4cm de diâmetro e 50m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. Solta-se a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?

a) 90 cm. b) 92 cm. c) 94 cm. d) 96 cm. e) 98 cm.

3.

(Fatec – SP) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6m e raio da base 3m. O nível da água nele contida está a 2/3 da altura do tanque. Se π =3,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:

a) 113 040 b) 169 560 c) 56 520

a) 10

d) 37 680

b) 20

e) 56 520

c) 30 COLÉGIO VIA MEDICINA

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4.

5.

(UFPE) Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20 π m2. Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner. (UFPE) O trapézio 0ABC da figura a seguir gira completamente em torno do eixo 0x. Calcule o inteiro mais próximo do volume do sólido obtido.

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estimado, sendo necessário, na verdade, o dobro do volume inicialmente previsto. Qual deverá ser a medida do raio da base, sabendo que a altura do reservatório não poderá ser alterada?

ANOTAÇÕES

a) 4 m b) 3 m

2

c) 2

2

d)

m m

e) 6 m

9.

6.

(FGV – SP) Um produto é embalado em recipientes com formato de cilindros retos.

(Fatec – SP) abe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é

O cilindro A tem altura 20cm e raio da base a) 1250 π de 5cm. O cilindro B tem altura 10cm e raio da base 2 b) 1250 π de 10cm.

a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material?

b) O produto embalado no cilindro A é vendido a R$4,00 a unidade, e o do cilindro B a R$7,00 a unidade. Para o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa?

7.

c) 6,25 π

2

d) 625 π e) 625 π

2

10.

(Fei – SP) Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro 2 vezes maior que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente?

(Faap – SP) Sabendo-se que uma lata de azeite cilíndrica tem 8cm de diâmetro e 18,5cm de altura e ainda que nela vem marcado o conteúdo 900ml, o volume de ar contido na lata "cheia" e "fechada" é: (Adote π = 3,14) a) 29,44 ml a) 1,5 cm

b) 10,0 ml

b) 2 cm

c) 15,60 ml

c) 2,5 cm

d) 21,72 ml

d) 4,5 cm

e) 35,50 ml

e) 5 cm

8.

11.

(Fei – SP) No projeto de um prédio foi inicialmente prevista a construção de um reservatório de água com formato cilíndrico, cujas medidas seriam: raio da base igual a 2m e altura igual a 3m. Depois foi constatado que o volume do reservatório havia sido sub-

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(Unesp) Suponha que o raio e a altura de um recipiente cilíndrico meçam, respectivamente, r cm e h cm. Vamos supor ainda que, mantendo r fixo e aumentando h de 1cm, o volume do recipiente dobre e que, mantendo h fixo e aumentando r de COLÉGIO VIA MEDICINA

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1cm, o volume do recipiente quadruplique. Nessas condições, calcule:

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artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.

ANOTAÇÕES

a) o valor de h; b) o valor de r.

12.

(UECE) O volume de um cilindro

circular reto é 36 6 πcm 3 . Se a altura desse cilindro mede 6 6 cm , então a área total desse cilindro, em cm2 , é:

a) 72 π b) 84 π c) 92 π

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será

a) o triplo. b) o dobro.

d) 96 π

c) igual.

13.

d) a metade.

(UFG) Uma empresa de engenharia fabrica blocos na forma de um prisma, cuja base é um octógono regular de lado 20 cm e altura 1 m. Para fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de um cilindro circular reto, cujo raio da base e a altura medem 1 m, conforme a figura abaixo. Calcule o volume do material necessário para fabricar o molde para esses blocos.

e) a terça parte.

16.

(UERJ) Para a obtenção do índice pluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da chuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado pluviômetro. A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de captação de 0,5 m2 e raio interno do cilindro de depósito de 10 cm.

14.

(Cefet – MG) O diâmetro da base de um reservatório cilíndrico mede 2 metros. Sabendo-se que sua altura mede 60 centímetros, sua capacidade aproximada, em litros, é de

a) 1.884

Considere que cada milímetro de água da chuva depositado no cilindro equivale a 1 L/m2. No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, aproximadamente:

b) 1.970

a) 15

c) 2.764

b) 25

d) 3.140

c) 35

15.

d) 45

(Enem – 2006) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm × 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a COLÉGIO VIA MEDICINA

17.

(UEL) Um fabricante de latas com formato de um cilindro possui chapas retangulares de alumínio com PÁGINA 5

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as dimensões: 25 cm de largura por 9 cm de comprimento, conforme a figura que segue. Ele deseja saber como utilizar essas chapas de forma a ter maior capacidade para as latas oriundas de tais chapas. Ele pensou em duas formas deconfeccionar essas latas: unindo o lado AD da chapa de alumínio no lado BC formando uma lata que tem o formato de um cilindro circular reto C1 ou unindo o lado AB ao lado DC formando uma lata cujo formato é um cilindro circular reto C2 .

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b) 10.000 π .

ANOTAÇÕES

c) 5.500 π . d) 5.000 π . e) 1.100 π .

19.

(FGV – SP) O sólido da figura 1 foi obtido a partir de duas secções em um cilindro circular reto de altura 24 cm e raio da base 10 cm. As secções foram feitas na intersecção do cilindro com um diedro de 60°, como mostra a figura 2:

Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir. I. A área da superfície lateral do cilindro C1 é igual à área da superfície lateral do cilindro C2 II. A capacidade do cilindro C1 é maior que a capacidade do cilindro C2 . III. Se o fabricante dobrar as dimensões da chapa, a capacidade do cilindro C1 dobra. IV. Se o fabricante dobrar as dimensões da chapa, a área da superfície lateral do cilindro C2 dobra.

Sabendo que os pontos A, B, C, A', B' e C' pertencem às faces do diedro e às circunferências das bases do cilindro, como mostra a figura 2, a área da superfície BB'C'C, contida na face lateral do cilindro, em cm2, é igual a

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) 60 π

a) I e II. b) I e III. c) II e IV. d) I, III e IV.

b) 40

3π

c) 80 π d) 90

3π

e) II, III e IV.

e) 160 π

18.

20.

(Unifesp) A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo, com uma base no solo, e de um semicilindro.

(UFV) Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras a seguir.

Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipienDado que o raio da circunferência da base tes cilíndricos e em dois recipientes em do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume forma de paralelepípedo, como representado bloco de concreto, em cm¤, é do na figura acima, a quantidade preparada, em litros, foi de: a) 11.000 π . (Use π = 3,14) PÁGINA 6

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a) 1,01 b) 1,19 c) 1,58 d) 1,64 e) 1,95

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gua derramada, em dm3, é aproximadamente de:

a) 155 b) 263 c) 353 d) 392

21.

(Fatec – SP) Um cilindro circular reto tem volume igual a 250 π cm3. Um plano, paralelo ao eixo desse cilindro, à distância de x cm desse eixo, determina uma seção retangular de área igual a 60 cm2. Se a medida da altura do cilindro é igual ao dobro da medida do raio da base, então x é igual a

a) 9/2 b) 4 c) 2

3

d) 13/4

10

e)

22.

(UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm.

ANOTAÇÕES

Gabarito 01. B 02. C 03. A 04. 2m 05. 29 06. a) As áreas totais das embalagens A e B são, respectivamente, 250 π cm2 e 400 π cm2. Portanto, gasta-se menos material na embalagem A. b) Sendo PA e PB, respectivamente, os preços do cm3 nas embalagens A e B, temos: PA = 8/(1000 π )R$/cm3 e PB = 7/(1000 π )R$/cm3. Como PB < PA, a embalagem B é a mais vantajosa para o consumidor. 07. A 08. C 09. E 10. C 11. h = 1 e r = 1 12. B

(π − 0,1928 ) m 3

13. 15. B 18. A 21. E 24. A

16. A 19. A 22. D 25. D

14. A 17. A 20. A 23. B

2. Cone Considere um círculo C de centro O e raio r em um plano α , e V um ponto não pertencente ao plano α . A reunião de todos os segmentos de reta com uma das extremidades em V e outra no círculo C é denominada cone circular, ou simplesmente cone.

Após o gelo derreter completamente, a altura do nível da água no copo será de aproximadamente

a) 8,5 cm. b) 8,0 cm. c) 7,5 cm. d) 9,0 cm.

23.

(UERJ) Um tonel cilíndrico, sem tampa e cheio de água, tem 10 dm de altura e raio da base medindo 5 dm. Considerando π = 3,14, ao inclinarmos o tonel em 45°, o volume de áCOLÉGIO VIA MEDICINA

Os cones podem ser classificados em retos ou oblíquos. PÁGINA 7

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1 V = πr 2h . 3

ANOTAÇÕES

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Cone Reto

1.

Determine a área total e o volume de um cone que possui altura 12 cm e diâmetro da base 10 cm.

2.

Determine a medida do ângulo central de um setor circular obtido pela planificação da superfície lateral de um cone reto cuja geratriz mede 60 cm e o raio da base é 10 cm.

3.

(Fatec – SP) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8 π cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é

Cone Oblíquo

É notável a relação:

g 2 = h2 + r 2 Área lateral do Cone Para o cálculo da área lateral do cone é preciso que planifiquemono, como a figura abaixo.

a) 64 π b) 48π c) 32π d) 16π e) 8π Usando a expressão do comprimento de um arco, temos o resultado:

α=

2 πr g

Como a área de um setor circular é dada por mos:

Ou seja,

1 ( ângulo ) ⋅ ( raio )2 , te2

1 2 πr 2 Al = ⋅ ⋅g 2 g

Al = πrg

4.

(Uel) Um cone circular reto tem altura de 8cm e raio da base medindo 6cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral?

a) 20π b) 30π c) 40π d) 50π e) 60π

5.

Volume de um cone

(Ufpb) A figura abaixo representa uma secção meridiana de um cone circular reto.

Calcule o volume desse cone.

6. O volume de um cone é dado por PÁGINA 8

(Fuvest – SP) Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor cir COLÉGIO VIA MEDICINA

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cular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é:

a) 144°

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EXERCÍCIOS TAREFA 1.

Calcule a medida da altura de um cone circular reto em que o raio da base mede 8 cm e uma geratriz mede 17 cm.

2.

Cada geratriz de um cone circular reto de raio da base 4 cm forma com o plano da base um ângulo de 30º. Calcule a medida da altura desse cone.

3.

Uma secção meridiana de um cone circular reto é uma região limitada por um triângulo isósceles de lados

b) 192° c) 240° d) 288° e) 336°

7.

(Fuvest – SP) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa?

a) 10

3

cm.

b) 3

10

cm.

c) 20

2

cm.

2 2 cm , 2 2 cm e 4 cm . Calcule a medida do ângulo que uma geratriz forma com o plano da base do cone.

4.

Dado um cone circular reto de raio da base 5 cm e geratriz 13 cm, calcule: a) a área lateral do cone

b) a área total do cone c) a medida, em radianos, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone.

d) 20 cm. e) 10 cm.

8.

(UNESP) No trapézio ABCD da figura a seguir, os ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno em D é tal que sua tangente vale 5/6. Se åî=2.åæ, o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da reta por B e C é dado por:

a) (3/4)

π a3

b) (5/8)

π a3

c) (6/5)

π a3

d) (20/13) e) (8/5)

π a3

π a3

ANOTAÇÕES

5.

Um plano α paralelo à base de um cone circular de altura 15 cm determina nesse cone uma secção de área 3 cm². Sabendo que a área da base do cone é 27 cm², calcule a distância do plano α ao vértice do cone.

6.

Uma secção meridiana de um tronco de cone circular reto é um trapézio isósceles de lados 5 cm, 5 cm, 2 cm e 8 cm. Determine o volume, a área lateral e a área total desse tronco.

7.

(Mack – SP) O setor circular da figura a seguir é a superfície lateral de um cone cuja base tem diâmetro 4 e área igual a k% da área total do cone. Então k vale:

a) 20. b) 25. c) 30. d) 35. e) 40.

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8.

(Faap – SP) Um copo de chope é um cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até o nível da bebida fica exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é: a) 3/4

b) 1/2

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b) 144π

ANOTAÇÕES

c) 108π d) 72π e) 36π

11.

(UFLA) Parte do líquido de um cilindro completamente cheio é transferido para dois cones idênticos, que ficam totalmente cheios.

c) 2/3 d) 3/8 e) 1/8

9.

(Faap – SP) Um chapéu de papel em forma de cone tem 10 centímetros de diâmetro e 10 centímetros de profundidade. Seu vértice é empurrado para baixo e para dentro conforme a figura a seguir. Que distância sua ponta penetra no espaço interno do chapéu se o novo volume do chapéu é 4/5 do volume original?

A relação entre as alturas do líquido restante no cilindro (h1) e a altura (H) do cilindro é:

a) h1 = H/4 b) h1 = H/2 c) h1 =

H /2

d) h1 = H/3

12.

a)

3

200

b)

3

80

c)

3

100

d)

3

e)

3

300 150

10.

(Mack – SP) Na rotação do triângulo ABC da figura a seguir em torno da reta r, o lado AB descreve um ângulo de 270°. Desta forma, o sólido obtido tem volume:

(UFRS) Um cone circular reto é tal que cada seção obtida pela interseção de um plano que passa por seu vértice e pelo centro da sua base é um triângulo retângulo de catetos iguais. Se cortarmos esse cone ao longo de uma geratriz, abrindo e planificando sua superfície lateral, será obtido um setor circular cujo ângulo central tem medida α . Então,

a)

α

< 180°.

b) 180°

≤ α

< 200°.

c) 200°

≤ α

< 220°.

d) 220°

≤ α

< 240°.

e) α

≥

240°.

13.

(Unesp) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.

a) 48π PÁGINA 10

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a) 2,0

ANOTAÇÕES

b) 2,8 c) 3,0 d) 3,8 e) 4,0 Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e usando a aproximação π = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente,

a) 120. b) 150. c) 160.

17.

(Ita – SP) Um dos catetos de um

triângulo retângulo mede 3

2 cm . O

volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é

π cm 3 .

Determine os ângulos

deste triângulo.

18.

(UFV) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm, recortando-se um setor circular de ângulo

2π 3

d) 240.

θ=

e) 360.

dos. A área da base do chapéu, em

14.

cm 2 , é:

(PUC – SP) Considere o triângulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém o lado AB gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é

a) 256 π b) 298,6 π c) 307,2 π d) 316 π e) 328,4 π

15.

(Ita – SP) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m2.

16.

(UFG) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60° com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina.

Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de COLÉGIO VIA MEDICINA

radianos e juntando os la-

a) 140 π b) 110 π c) 130 π d) 100 π e) 120 π

19.

(UERJ) Para revestir externamente chapéus em forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da base medindo 10 cm, serão utilizados cortes retangulares de tecido, cujas dimensões são 67 cm por 50 cm. Admita que todo o tecido de cada corte poderá ser aproveitado. O número mínimo dos referidos cortes necessários para forrar 50 chapéus é igual a:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

20.

(Ita – SP) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção PÁGINA 11

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meridiana do cone. O volume deste cone, em cm3, é igual a

3

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b) 192° c) 240°

a)

πR

b)

πR 3 2

e) 336°

πR 3 2

23.

c)

d)

πR 3 3

e)

πR 3 3

21.

(PUC – RS) A figura abaixo mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x. Retirando-se o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é

ANOTAÇÕES

d) 288°

(Fuvest – SP) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20cm. Com essa cartolina um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa?

a) 10

3 cm.

b) 3

10 cm.

c) 20

2 cm.

d) 20 cm. e) 10 cm.

24.

(Unesp) No trapézio ABCD da figura a seguir, os ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno em D é tal que sua tangente vale 5/6. Se AD = 2AB, o volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno da reta por B e C é dado por:

a)

2πx 3 3

b)

4 πx 3 3

c)

8πx 3 3

a) (3/4) π a3

2πx 2 3

c) (6/5) π a3

8πx 2 3

e) (8/5) π a3

d)

e)

22.

(Fuvest – SP) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é:

a) 144° PÁGINA 12

b) (5/8) π a3

d) (20/13) π a3

25.

(Fuvest – SP) Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V. COLÉGIO VIA MEDICINA

GEOMETRIA ESPACIAL

MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

V=

4 3 πr 3

ANOTAÇÕES

Superfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Gabarito 01. 15 cm

02.

4 3 cm 03. 45º 3

04. a) 65 π cm2 05. 5 cm 08. E 12. E

06. V = 28 π cm³ 09. C 10. E

13. A

16. C 18. D 19. B 23. A

b) 90 π cm2 c)

14. C

15.

10π rad 13

Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

07. B 11. D

96π m 2

17. 30º, 60º e 90º 20. E 24. E

21. B 25.

22. D

4 πcm 3 3

3. Esfera

A área da superfície esférica é dada por:

As = 4 πr 2 Zona esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume O volume da esfera de raio R é dado por: COLÉGIO VIA MEDICINA

A área da zona esférica é dada por:

S = 2 πrh Calota esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

Ä área da calota esférica é dada por:

S = 2 πrh PÁGINA 13

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GEOMETRIA ESPACIAL

Fuso esférico O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo α , (0 < α < 2π ) em torno de seu eixo:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.

ANOTAÇÕES

Calcule a área e o volume de cada uma das esferas cujas medidas estão indicadas abaixo.

a) R = 1,6 cm b) O raio de uma secção feita a 3 cm do seu centro mede 4 cm.

2.

Determine a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro.

3.

Um fabricante de sucos vende seu produto em embalagens cilíndricas, todas com 6 cm de diâmetro da base e 12 cm de altura. Ele pretende substituir essas embalagens por outras de forma esférica. Qual deve ser o diâmetro da nova embalagem para que possa conter a mesma quantidade de suco que a primeira?

4.

Determine o raio de uma esfera de superfície 36π cm².

5.

Determine a área de uma esfera, sendo 2304π cm³ o seu volume.

6.

Considerando a Terra uma esfera cujo diâmetro é 12 800 km e considerando 1 a Lua uma esfera cujo diâmetro é 4 do da Terra, calcule a razão entre os volumes dos dois astros.

7.

Considere uma esfera de raio 6 cm, feita com massa de modelar. Dividese essa massa em quatro partes iguais e são construídas quatro novas esferas. Qual o raio de cada uma dessas quatro esferas?

8.

Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera.

9.

Um plano seciona uma esfera de 34 cm de diâmetro. Determine o raio da seção obtida, sendo 8 cm a distância do plano ao centro da esfera.

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo α, (0 < α < 2π ) :

O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

10.

Pretende-se transportar 100 bolinhas esféricas, maciças e feitas de vidro, em caixas que comportam, cada uma, um “peso” máximo 0,50 kg. Sabendo-se que o diâmetro de cada bolinha é 2,1 cm e que a densidade do vidro é 2,60 g/cm³, qual o número mínimo de caixas necessárias para o

PÁGINA 14

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GEOMETRIA ESPACIAL

transporte de 100 bolinhas? (use π =

MATEMÁTICA – Jorge Oliveira

22 ). 7

11.

Um aquecedor a gás tem a forma de um cilindro com duas semi-esferas acopladas em suas extremidades, conforme mostra a figura ao lado. Se o diâmetro do aquecedor é 0,90 m e seu comprimento total é 1,50 m, calcule:

a) a área de sua superfície. b) o volume máximo de gás que o seu interior pode conter.

12.

A secção plana de uma esfera feita a 35 cm do centro tem 144π cm² de área. Calcule a área do círculo máximo dessa esfera.

13.

Determine a área de uma superfície esférica, sendo 36π cm o comprimento da circunferência do círculo máximo.

14.

Uma vasilha tem a forma de uma semi-esfera com diâmetro interno de 12 cm. Se ela tem 0,25 cm de espessura e a densidade da madeira é 0,87 g/cm³, qual o “peso” aproximado dessa vasilha? (use π = 3)

15.

Determine a área da superfície e o volume de uma esfera, sabendo que 1 do raio de outra esfeo raio mede 5 ra cujo volume é 4 500π cm³.

16.

Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcule a área da secção feita na esfera maior por um plano tangente à outra esfera.

17.

Duas esferas de ferro de raios 4

cm e 3 61 cm fundem-se para formar uma esfera maior. Determine:

a) o raio da nova esfera b) o “peso” da nova esfera, sabendo que a densidade do ferro é 7,8 g/cm³ e considerando π = 3.

18.

Uma esfera tem 25 π cm² de superfície. Em quanto devemos aumentar o raio para que a área passe a ser 64π cm²?

19.

Um silo tem a forma de um cilindro circular reto (com fundo) encimado por uma semi-esfera. Determine o volume e a área da superfície desse COLÉGIO VIA MEDICINA

silo, sabendo que o raio do cilindro mede 2 m e que a altura do silo mede 8 m.

ANOTAÇÕES

20.

Um depósito de grãos num armazém tem o formato de um cilindro reto encimado por um hemisfério.

a) Se o raio da base do cilindro for 2 m e o volume do recipiente for de 50π m³, qual será a altura do cilindro? 47 π m³ 3 e o cilindro tiver 15 m de altura, qual será o raio da base do cilindro (que é o mesmo do hemisfério)?

b) Se o volume do recipiente for

21.

Calcule com os dados abaixo: π a) A área de um fuso de α = rad em 6 uma esfera de raio 5.

b) A área total e o volume da cunha de α=

π rad em uma esfera de raio 6. 6

22.

Qual é a área de um fuso de 28º pertencente a uma esfera de 4 π m² de superfície?

23.

Um fuso de 10º de uma esfera de 1 cm de raio é equivalente a uma seção plana da esfera. Determine a distância da seção ao centro da esfera.

24.

Determine o volume de uma cunha cujo ângulo mede 60º, em uma esfera cujo volume vale 288π m³.

25.

Considerando uma esfera de raio R, avalie cada uma das afirmações a seguir:

a) Duplicando-se o raio, o volume da esfera quadruplica.

b) Duplicando-se o raio, a área da fica duplicada.

c) Se V m³ é o volume da esfera é S m², a sua área, então V < S sempre que 0 < R < 3.

d) Se R = 3 m, o volume da cunha esférica de ângulo

π rad é 6π m³. 3

e) Se R = 3 m, a área do fuso esférico de ângulo

π rad é 6π m². 3 PÁGINA 15

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01. * 02. **

10. três 11. *** 12. 1369π m²

03. 6 3 3 cm 04. 3 cm

13. 676π cm²

05. 576π cm²

14. 49 g

06. 1/64 ou 64

15. *V

GEOMETRIA ESPACIAL

19. V 20. V* 21. V**

b)

2 πr 3 3

22.

14π m² 45

c)

πr 3 .

23.

2 2 cm 3

d)

2r 3 .

e)

2πr 3 .

3.

(Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará:

24.48 π m³

25. FFVVV 07. 3 3 2 16. 161π cm² cm 08. 29 cm 17. a) 5 cm 26. V*** b) 3900g 09. 15 cm 18. 1,5 cm 2.10 8 27. 3π km² 256 2048 π cm²; V = π cm³ 25 375 500π cm³ b) A = 100π cm²; V = 3 97556π 02. A = 3364π cm²; V = cm³ 3 11. a) 1,35π m²; b) 0,234π m³

01. a) A =

15. A = 36π cm²; V = 36π cm³ 88π m³; A = 36π m² 19. V = 3 67 20. a) m b) r = 1 m 6 25π 21. a) b) AT = 48π c) V = 24π 3 26. AT = 27π m² c) V = 18π m³

b) 11 %. c) 31 %. d) 24 %. e) 30 %.

4.

b) 2.

5.

3

b)

2 3

c)

3 3

d)

4 3 3

e)

3 3 2

6.

d) 4. e) 5. (Unitau) Uma esfera de raio R está inscrita em um cilindro. O volume do cilindro é igual a:

πr 3

(Mack – SP) A razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita a um mesmo cubo é:

a)

c) 3.

a)

(UFPE) Um triângulo equilátero tem lado 18 3 cm e é a base de um prisma reto de altura 48 cm. Calcule o raio da maior esfera contida neste prisma.

1.

(Fuvest – SP) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio desta circunferência, em cm é: a) 1.

ANOTAÇÕES

a) 21 %.

EXERCÍCIOS TAREFA

2.

.

3 .

PÁGINA 16

(Mack – SP) A altura de um cone reto é igual ao raio da esfera a ele circunscrita. Então o volume da esfera é: a) o dobro do volume do cone.

b) o triplo do volume do cone. c) o quádruplo do volume do cone. d) 4/3 do volume do cone. COLÉGIO VIA MEDICINA

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Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas.

e) 8/3 do volume do cone.

7.

(UFF) Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h - um cilindro, uma semi-esfera e um prisma cujos volumes são V1 , V2 e V3 , respectivamente.

ANOTAÇÕES

10.

(Mack – SP) A razão entre a área lateral do cilindro eqüilátero e da superfície esférica, da esfera nele inscrita, é:

a) 1 b) 1/2 c) 1/3 A relação entre

V1 , V2 e V3

é:

d) 1/4

a)

V3 < V2 < V1

e) 2/3

b)

V2 < V3 < V1

11.

c)

V1 < V2 < V3

d)

V3 < V1 < V2

e)

V2 < V1 < V3

8.

(Puc – MG) Uma esfera de raio r = 3 cm tem volume equivalente ao de um cilindro circular reto de altura h = 12 cm. O raio do cilindro, em cm, mede: a) 1

b) 2

9.

É correto afirmar que

a) somente I é verdadeira.

c) somente III é verdadeira. d) somente I e III são verdadeiras.

d) 3 e)

I. Se um plano intercepta uma superfície esférica, a intersecção é um ponto ou uma circunferência. II. Se os segmentos åæ e èî são dois diâmetros de uma esfera, então o quadrilátero ABCD é um retângulo. III. Todo plano tangente a uma superfície esférica é perpendicular ao raio que contém o ponto de tangência.

b) somente II é verdadeira.

3

c)

(Puc Campinas/SP) Considere as sentenças:

13

e) I, II e III são verdadeiras.

12. (UFRJ) Ping Oin recolheu 4,5m¤ de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em comemoração à chegada do verão no Pólo Sul. O boneco será composto por uma cabeça e um corpo ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou π por 3.

(UFRS) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera.

Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era

a) 27/8 cm b) 19/6 cm c) 18/5 cm COLÉGIO VIA MEDICINA

PÁGINA 17

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d) 10/3 cm e) 7/2 cm

13.

(Puc – SP) Um cone circular reto, cujo raio da base é 3cm, está inscrito em uma esfera de raio 5cm, conforme mostra a figura a seguir.

GEOMETRIA ESPACIAL

circular reto de raio 2cm e altura 8cm. Serão administradas ao paciente 30 gotas por minuto. Admitindo-se que uma gota é uma esfera de raio 0,2cm, determine:

ANOTAÇÕES

cm 3 , do frasco e de cada gota (em função de π ).

a) o volume, em

b) o volume administrado em cada minuto (considerando a quantidade de gotas por minuto) e o tempo gasto para o paciente receber toda a medicação.

16. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera?

a) 26,4 % b) 21,4 %

(UEL) Considere um cone circular reto e um cilindro circular reto, ambos com diâmetro da base igual a 12 cm e também uma esfera com diâmetro de 12 cm, todos com volumes iguais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamente iguais a:

c) 19,5 %

a) 12 cm e 4 cm

d) 18,6 %

b) 30 cm e 10 cm

e) 16,2 %

c) 24 cm e 8 cm

14.

d) 9 cm e 3 cm

(UFMG) Observe esta figura:

e) 18 cm e 6 cm

17.

(Cefet – MG) Considere uma bola

de sorvete de Nessa figura, ABC é um quadrante de círculo de raio 3cm e ADEF é um quadrado, cujo lado mede 1cm. Considere o sólido gerado pela rotação de 360°, em torno da reta AB, da região hachurada na figura. Sabe-se que o volume de uma esfera de raio r é igual a

4 3 πr . Assim sendo, esse 3

sólido tem um volume de:

a)

14π cm 3

b)

15π cm

3

c)

16π cm 3

d)

17π cm 3

15.

(UNESP) Um paciente internado em um hospital tem que receber uma certa quantidade de medicamento injetável (tipo soro). O frasco do medicamento tem a forma de um cilindro

PÁGINA 18

36π cm 3

de volume e

uma casquinha cônica de 3 cm de raio. A altura da casquinha, para que o sorvete, ao derreter, ocupe todo o seu espaço, em cm, é

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12

18.

(UFU – 2006) Uma esfera maciça de ferro de raio 10 cm será fundida e todo o material derretido será usado na confecção de um cilindro circular e de um cone circular ambos, maciços com raio da base r cm e altura também r cm. Não havendo perda de material durante o processo, r será igual a

a) 4 cm. b) 8 cm. c) 5 cm. COLÉGIO VIA MEDICINA

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d) 10 cm.

19.

(UFRS) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura abaixo.

tamente a metade da bola ficou submersa, o que elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver desenho). O raio dessa bola é:

Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é

a) 10 cm

a) 1/5.

b) 11 cm

b) 1/4.

c) 12 cm

c) 1/3.

d) 13 cm

d) 1/2.

e) 14 cm

e) 2/3.

22.

20.

(UFPB) Se

V1 , V2 e V3

são,

respectivamente, os volumes dos cones circular, hemisfério e cilindro circular representados abaixo.

ANOTAÇÕES

(UFPB) Suponha que a área da superfície lateral de um determinado cilindro circular reto é igual à área da superfície de uma esfera de raio 3cm. Sabendo-se também que o volume desse cilindro é igual ao volume dessa esfera, qual o raio do cilindro?

a) 1 cm b) 3 cm Então é correto afirmar que:

V1 V2 V3 a) = = 1 2 3 b)

V1 = 2V2 = 3V3

c)

V3 V2 V1 = = 1 2 3

d)

V3 = 2V2 = 3V1

e)

V1 + V2 = V3 2

21.

(UFPB) Depois de desistir de retirar a pipa do poste, João foi jogar futebol no quintal da casa. Ao chutar a bola com muita força, fez com que a mesma caísse num reservatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é de 96 cm. Maria percebeu que exaCOLÉGIO VIA MEDICINA

c) (2/3) cm d) 2 cm e) 1,5 cm

23.

(UFPB) Na venda de bolas de tênis, são utilizadas embalagens em forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro interno mede

128 cm e π

corresponde a um terço

da altura interna. A área, em cm2, da superfície lateral interna de cada embalagem é:

a) 96 b) 128 c) 128 π d) 384 e) 384 π PÁGINA 19

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24.

(UFPB) Uma bola esférica está apoiada em um aro circular cujo raio interno R mede 9 c m, conforme a figura ao lado. Sabendo-se que a distância entre o centro do aro e o da bola é igual a 12 c m, é correto afirmar que o diâmetro externo da bola mede:

ANOTAÇÕES

a) 24 cm b) 25 cm c) 26 cm d) 28 cm e) 30 cm

25.

(Ita – SP) Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume

8 3 cm , encontram-se nos vértices de 3

um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas. Gabarito 01. E 04. 09 07.E 10. A

02. E 05. C 08.C 11. E

14. D

V gota = 18. D 22. D

15. a)

4π 3 cm 375

19. D 23. D

03. A 06. C 09.r = 0,5 e R = 1 12. D 13. E

V frasco = 32π cm 3 16. C

17. D

20. A 24. E

21. C 25.

e

4 ( 6 − π) cm 3 3

PÁGINA 20

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