73705101 Ge Geometria Espacial 1

GEOMETRIA ESPACIAL 1. (UFPB) O reservatório de água

Prof. Chico Vieira III- Os lados AD e EF são paralelos. IV- Os pontos A, B E e G são coplanares. V- Os trapézios AFJK e EJKD têm um lado em comum.

de certo edifício tem a forma de um paralelepípedo reto retangular com base de dimensões internas 3m × 4 m, conforme a figura abaixo.

3.

(UEPB-2010) Um recipiente cúbico medindo 1 m de lado está totalmente cheio de água. Se no seu interior são lançados 200 cubinhos de aço medindo 4 cm de lado, a quantidade de água, em litros, transbordante causada pela imersão dos cubinhos é: a) 12,6 b) 12,5 litros c) 12,8 litros d) 13 litros e) 12,4 litros

4.

(UEPB-2010) Se um prisma hexagonal regular de altura 6 cm possui volume igual a 1728 3

h

De acordo com as condições do edifício, por medida de segurança, recomenda-se que, no reservatório, deve ficar retida uma quantidade de água correspondente a 18m3, para combater incêndio. Para atender essa recomendação, o ponto de saída da água, destinada ao consumo diário dos moradores e do condomínio, deve ficar a uma determinada altura (h) do fundo do reservatório, de modo que a água acumulada no reservatório até essa altura seja destinada para o combate a incêndio. Nessas condições, a altura (h) da saída da água para consumo diário deve ser, pelo menos de: a) 1 m b) 1,5 m c) 2 m d) 2,5 m e) 3 m

cm3, é verdadeiro afirmar que 6 cm a) a área lateral é igual a metade da área da base. b) a área lateral é igual a área da base. c) a área lateral é igual ao dobro da área da base.

d) e) 5.

I

J

K

L

G

D

A

a área lateral é igual ao triplo da área da base.

(UFPE-2009) Um cilindro C1, reto e de altura 4, está inscrito em uma semi-esfera de raio 21 (ou seja, uma base do cilindro repousa na base da semi-esfera e a circunferência da outra base está contida na semi-esfera), como ilustrado abaixo na figura à esquerda. Seja x a altura de outro cilindro, C2, inscrito na mesma semi-esfera, e de mesmo volume que C1.

2. (UFPB) A figura abaixo representa uma escultura que se encontra em uma praça de certa cidade, conforme figura abaixo E H

F

a área lateral é igual ao quádruplo da a área base.

4

x

C

Admitindo estes dados, analise as informações a seguir: 0-0) O raio da base de C2 é 21 − x2 .

B

1-1) 2-2) 3-3) 4-4)

Essa escultura foi feita com tubos de ferro, soldados uns aos outros, de forma que: • os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices de um paralelepípedo reto retangular; • os pontos I, J, K e L são os vértices de um quadrado;

• os

quatro triângulos, ADK, EFJ, GHI e BCL, são isósceles e congruentes dois a dois;

• os oito trapézios, AFJK, DEJK, CDKL, EHIJ, CHIL, BGIL, ABLK e FGIJ, são congruentes dois a dois. Com base nessas informações identifique as afirmativas corretas: I- Os lados EJ e HI são coplanares. II- Os lados BG e DE, são congruentes.

6.

O volume de C2 é 18 π . A altura x de C2 é raiz da equação x3 – 21x + 20 = 0. A altura x de C2 é raiz da equação x2 – 4x – 7 = 0. A área lateral de C2 é 2π 5 .

(UFPE-2009) Semanalmente, José rega o jardim da casa com uma mangueira cuja vazão média é de 15 litros de água por minuto, durante 10 minutos. Pensando em poupar água, resolveu utilizar 60 cm um balde cilíndrico igual a da figura. Para regar o jardim, gasta três baldes cheios. Dados: 1 cm3 = 1 mL π =3

30 cm

1

GEOMETRIA ESPACIAL a) utilizando o balde, ele economiza: b) c) d) e) 7.

aproximadamente, 30 litros de água por semana. utilizando o balde, ele gasta, aproximadamente, 30 litros a mais de água por semana. utilizando o balde, ele economiza mais de 50 litros de água por semana. Utilizando a mangueira, ele economiza, aproximadamente, 50 litros de água por semana. utilizando a mangueira, ele gasta, aproximadamente, 50 litros a mais de água por semana.

Prof. Chico Vieira b) c) d) e)

300 400 500 800

11.

Um cubo de lado h é inscrito num cilindro de mesma altura. A área lateral desse cilindro é: a) π ⋅ h2/4

2

b)

π ⋅ h

c) d) e)

π ⋅ h

2

2

(ASCES-2009) Qual a distância entre um vértice de um cubo, com aresta medindo 20 6 , e uma das diagonais do cubo que não passam pelo vértice?

2

π ⋅ h2

4 2

2

2 ⋅ π ⋅ h2

12.

(UPE-2009) A secção meridiana de um cone é um triângulo isósceles de 96 cm de perímetro cuja altura vale 4/3 do raio da base do cone. Corta-se o cone por um plano paralelo a base e a uma distância do vértice igual a 1/3 da altura. Calcular a razão entre as áreas laterais do tronco e do cone parcial obtidos. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

8.

(FAVIP-2010) Na ilustração a seguir, temos uma pirâmide (à direita) e sua planificação (à esquerda). A base da pirâmide é um triângulo equilátero com lados medindo 6 cm, e as faces laterais são triângulos isósceles com lados congruentes medindo 8 cm. Qual o volume da pirâmide? a) 4 39 cm3

13.

(UPE-2009) Na figura abaixo, R é a região limitada pelas inequações 5x + y ≤ 5, x ≥ 0 e y ≥ 0, e as medidas x e y são medidas em unidades de comprimento. Então o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo dos y é igual a

a) b) c) d) e)

b) 5 39 cm3 c) 6 39 cm3 d) 7 39 cm3 e) 8 39 cm

9.

3

(ASCES-2010) A média do tamanho dos fios de cabelo de Marta é de 10 cm, e o número de fios de cabelo em sua cabeça, na área coberta por cabelos, é de 200 por cm2. A área da cabeça de Marta coberta por cabelos equivale a área de uma semiesfera com diâmetro medindo 20 cm. Qual dos valores a seguir esta mais próximo da soma dos comprimentos de todos as cabelos da cabeça de Marta?

c) 30km

10.

Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quan-tidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros e seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a capacidade desse túnel, em litros é: a) 200

5/3π u.v. 2/3π u.v. 1/3π u.v.

(UPE-2009) Onze cubinhos, todos possuindo a mesma aresta, foram colados, conforme a figura a seguir. O menor número de cubinhos, iguais aos já utilizados, que devem ser agregados ao sólido formado pelos onze cubinhos, para obtermos um cubo maciço, é igual a

b) 20km

e) 50km

4/3π u.v.

14.

a) 10km

d) 40km

3π u.v.

48 49 52 53 56

2

GEOMETRIA ESPACIAL 15.

(ITA-SP) Dados um prisma hexagonal regular, sabese que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base, o volume deste prisma, em cm3 é:

27 3 13 2 12 54 3 17 5

16.

(VUNESP) Uma piscina retangular de 10,0 m × 15,0 m e fundo horizontal está com água até a altura de 1,5 m. Um produto químico em pó deve ser misturado a água a razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a serem usados é: a) 45 b) 50 c) 55 d)60 e)75

17.

(UFMG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros, é: a) 0,8 3 b) 6 c) 60 d) 60 3 e) 900 3

18.

(PUCCAMP-SP) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base mede 2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbi-cos, é: a) 24 3 b) 36 3 c) 48 3 d) 72 3 e) 144 3

19.

(CESGRANRIO-RJ) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da base medindo 5 cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: a) 20% b) 16% c) 15% d) 12% e) 10%

20.

(FEI-SP) No projeto de um prédio foi inicialmente prevista a construção de um reservatório de água com formato cilíndrico, cujas medidas seriam: raio da base

Prof. Chico Vieira igual a 2 m e altura igual a 3 m. Depois, foi constatado que o volume do reservatório havia sido subestimado, sendo necessário, na verdade, o dobro do volume inicialmente previsto. Qual deverá ser a medida do raio da base, sabendo que a altura do reservatório não poderá ser alterada? a) 4 m b) 3 m c) 2 2 m d) 2 m e) 6 m

21.

(FUVEST-SP) A uma caixa d'água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4 cm de diâmetro e 50 m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. Soltase a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio? a) 90 cm b) 92 cm c) 4 cm d) 96 cm e) 98 cm

22.

(FATEC-SP) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência, dessa base é 8π cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é: a) 64π b) 32 π c) 8 π d) 16 π e) 48 π

23.

(MACK-SP) Na figura, a base do cone reto está inscrito na face do cubo. Supondo π = 3, se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é: 81/2 27/2 9/4 27/4 81/4

24.

(UNITAU-SP) Aumentando em 10% o raio de uma esfera, a sua superfície aumentará: a) 21% b) 11% c) 31% d) 24% e) 30%

25.

(MACK-SP) A razão entre a área lateral do cilindro equi-látero e da superfície esférica da esfera nele inscrita é: a) 1 b) 1/2

3

GEOMETRIA ESPACIAL

Prof. Chico Vieira

c) 1/3 d) 1/4 e) 2/3 26. (CESMAC-2009.1) A ilustração abaixo representa a planificação de uma pirâmide de base retangular, com lados medindo 8 cm e 5 cm, e faces laterais formadas por dois triângulos retângulos, com catetos medindo 5 cm, e dois triângulos isósceles.

29.

(FAVIP-2009.2) Na ilustração a seguir, ABCDEFGH é um paralelepípedo retângulo, e os ângulos CBG e ABE medem respectivamente, 45º e 30º. Qual o cosseno do ângulo EBG? a)

2

b)

2

c)

2

d)

2

e)

2

G

2 E

3 45º C

4 30º

5

A

B

6

30. Qual o volume da pirâmide? 40 cm3 41 cm3 42 cm3 33 cm3

27.

(UPE-2010) Um prisma reto possui como base um hexá-gono regular que pode ser inscrito em uma circunferência de raio igual a 1 metro. Se a altura desse prisma é igual ao lado do hexágono regular que forma sua base, então seu volume é, em m3, igual a: a) 3 3

4

b)

3 4

c) 3 3

2

d) 1 – 3 3

(FAVIP-2009.2) Durante um experimento, o diâmetro de uma esfera metálica sólida se expandiu de 2%. De qual percentual se expandiu o volume da esfera? Indique o valor mais próximo. a) 6,12% b) 6,22% c) 6,32% d) 6,42% e) 6,52%

31.

(FIS-2009) Os vértices de um tetraedro regular são cortados usando planos, como ilustrado a seguir. A área da superfície do sólido obtido é composta por quatro hexágonos regulares e quatro triângulos equiláteros. Qual a razão entre as áreas das superfícies do tetraedro e do sólido? 11/7 10/7 9/7 8/7 1

2

e) 1 + 3 3

32.

2

(UESPI-2009) Qual o volume do sólido obtido, pelo giro de um quadrado de lado medindo 3 2 , em torno de

28.

uma de suas diagonais? 14 π 15 π 16 π 17 π 18 π

10 cm

(CESMAC-2009.1) O recipiente ilustrado a seguir foi obtido cortando-se um cone reto por um plano paralelo à base do cone. Se o recipiente tem bases com raios medindo 4 cm e 6 cm e altura 10 cm, qual o seu volume, em cm3? 12 cm Indique o inteiro mais próximo. Dados: use a aproximação π ≈ 3,14. a) 780 cm3

b) c) d)

785 cm3 790 cm3

33.

795 cm3 8 cm

(UESPI-2009) Uma indústria química pretende construir um reservatório esférico, para armazenar certo tipo de gás. Se o reservatório deve ter volume de 113,04

4

GEOMETRIA ESPACIAL

Prof. Chico Vieira

m3, qual deve ser a área de sua superfície? Ignore a espessura do reservatório. Dados: use a aproximação π ≈ 3,14. a) 113,04 m2 b) 114,05 m2 c) 115,06 m2 d) 116,07 m2 e) 117,08 m2

34.

(UFAL-2009) Um cubo de aresta 10 cm é cortado por um plano, como ilustrado a seguir. As distâncias indicadas são: a medida da aresta do cubo e as distâncias entre os pontos de interseção do plano com as arestas do cubo e os vértices A e B do cubo. Calcule a volume da parte do cubo ilustrada a direita. 8 6

A

37.

(UFPE-2009.2) Um reservatório de forma cilíndrica 4m foi construído sobre um plano in-clinado, como ilustrado na figu-ra a seguir. O raio do cilindro mede 2m e, na parte mais fun-da, a altura do reservatório é de 5m, e na 5 m 4m parte mais rasa, a altura é de 4m. Qual o volume do reservatório, em m3? Indique o valor inteiro mais próximo. Dado: use a aproximação π ≈ 3,14. a) 57 m3

b) c) d) e)

58 m3 59 m3 60 m3 61 m3

38.

(UFPE-2009-Garanhuns) Vinte e sete cubos de aresta 1 devem ser colados de modo a se obter um cubo de aresta 3. Sempre que dois cubos são colocados face a face, um deles é untado com cola, para mantê-los unidos. Quantas faces devem ser untadas com cola? a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58

10 B 4

a) b) c) d) e)

820 cm3 830 cm3 840 cm3 850 cm2

39.

860 cm2

35.

(UFPE-2009-1ª etapa) As faces laterais de uma pirâmide quadrada ABCDE são triângulos equilátero com lados medindo 2. Qual a medida do ângulo AEC? E a) 90° C b) 75° D c) 60° d) 45° e) 30°

(UFPE-2009-Garanhuns) Os quatro vértices de um tetrae-dro regular são vértices de um cubo (conforme a ilustração a seguir). Qual fração do volume do cubo é ocupada pelo tetraedro? a) 1/5 b) 1/4 c) 3/5 d) 1/2 e) 1/3

B A

36.

(UFPE-2009-1ª etapa) Um paralelepípedo reto de base quadrada, como 0 ilustrado a seguir, deve ser construído de tal modo que a soma das suas arestas seja 36 cm, e a área total de sua superfície seja máxima. Qual o volume do paralelepípedo? a) 29 cm3

b) c) d) e)

28 cm3 27 cm3

h

26 cm3 25 cm3

x

40. (UFPE-2009-Lei 1) A superfície de um cosaedro regular, ilustrado abaixo é formada por 20 triângulos equiláteros congruentes. Se, usando 408 ml de tinta, é possível pintar a superfície de um icosaedro com uma camada de tinta de 0,3 mm de espessura, qual a medida da aresta do icosaedro? Dado: use a aproximação 3 = 1,7. a) b) c) d) e)

40 cm 39 cm 38 cm 36 cm 34 cm

5

GEOMETRIA ESPACIAL

Prof. Chico Vieira 45.

41.

(UFPE-2009-Lei 2) Um reser-vatório de água tem a forma de um cilindro reto. Quando são colocados 350 litros de água no reservatório, o nível de água sobe 8 cm. 1,2 m 8 cm Qual a capacidade do reservatório, se sua altura é de 1,20 m? a) 5000 litros b) 5100 litros c) 5150 litros d) 5250 litros e) 5300 litros 42. (UNIVASF-2009) De um paralelepípedo reto de madeira foi cortado um prisma tendo um trapézio como base, conforme ilustrado a seguir.

46. (UFSC) Dado o poliedro regular, é correto afirmar: (1) É um tetraedro.

(2) (04) (08) (16) (32)

É um octaedro. Todas as arestas são iguais. Obedece a relação de Euler. Suas faces são triângulos equiláteros. Tem 12 arestas.

47.

(Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi denominada fulereno. Determine o número de átomos de carbono nessa molécula e o número de ligações entre eles.

2 cm

3 cm

7 cm

6 cm

Qual o volume do prisma ilustrado acima, à direita? a) 90 cm3 86 cm3

49.

82 cm3 78 cm3 74 cm3

43.

(UNIVASF-2009) (UNIVASF-2009) Um reservatório de gás tem a forma de um cilindro reto, acoplado a duas semi-esferas nas extremidades, como ilustrado a seguir. As semi-esferas e a base do cilindro têm raios de mesma medida. Se o comprimento do reservatório é de 14 m, e o diâmetro da base do cilindro mede 6 m, qual volume de gás, em m3, o cilindro pode conter? Indique o valor inteiro mais próximo. Dado: use a aproximação: π ≈ 3,14. a) 341 m3 339 m3 337 m3

6m

b) c) d) e)

Em questões como a 46, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.

48.

5 cm

b) c) d) e)

(UnB-DF) Qual o número de lados das faces de um poliedro regular com 20 vértices e 30 arestas?

335 m3 3

333 m

14 m

(UFPel-RS) Quando João entrou na sala do professor, fez uma observação sobre a beleza do objeto de vidro Que estava sobre os papeis do mestre. Este, não resistindo a tentação de propor um problema, característica do matemático, apresentou ao aluno a seguinte questão: – Calcule o número de arestas e de vértices deste peso de papel, que é um poliedro convexo de 6 (seis) faces quadrangulares e 2 (duas) hexagonais. Responda a questão proposta no texto acima.

50.

Um poliedro convexo tem como faces 2 hexágonos regulares e 6 quadrados. Sabendo que todas as arestas desse poliedro medem a, determine a área total da superfície desse poliedro.

51.

Sabendo que as arestas medem 4 cm cada uma, determine a área total da superfície dos seguintes poliedros: a) hexaedro regular b) icosaedro regular

52. 44.

(MACK-SP) Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.

(Fuvest-SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas

6

GEOMETRIA ESPACIAL b) 12 vértices e 11 arestas c) 22 vértices e 11 arestas d) 11 vértices e 22 arestas e) 12 vértices e 22 arestas

53.

(Cesgranrio-RJ) Um poliedro convexo é formado por qua-tro faces triangulares, duas faces quadrangulares e uma face hexagonal. O número de vértices desse poliedro e: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

54.

(PUC-PR) Um poliedro convexo tem sete faces. De um dos seus vértices partem seis arestas e de cada um dos vértices restantes partem três arestas. Quantas arestas tem esse poliedro? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

55.

(UFPE) Uma formiga (ignore seu tamanho) encontrase no vértice A do paralelepípedo reto ilustrado abaixo. Qual a menor distância que ela precisa percorrer para chegar ao vértice B (caminhando sobre a superfície do paralelepípedo)?

56.

(UFPA) Num prisma regular de base hexagonal, a área lateral mede 36 m2 e a altura é 3 m. A aresta da base é: a) 2 m b) 4 m c) 6 m d) 8 m e) 10 m

Prof. Chico Vieira b)

se a área do retângulo for de 400 m2 e x uma de suas dimensões, expresse o custo dos azulejos em função de x.

59.

Uma barra de chocolate tem o formato da figura ao lado. Calcule o volume de chocolate contido nessa barra. (Use 3 = 1,73)

60.

(UEPG-PR) As medidas internas de uma caixa-d'água em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2 m, 1 m e 0,7 m. Sua capacidade é de: a) 8400 ℓ

b) c) d)

84 ℓ 840 ℓ

8,4 ℓ e) n.d.a.

61.

(Unesp-SP) A área da superfície da Terra é estimada em 510 000 000 km2. Por outro lado, estima-se que, Se todo o vapor de água da atmosfera terrestre fosse condensado, o volume de líquido resultante seria de 13 000 km3, Imaginando que toda essa água fosse colocada no interior de um paralelepípedo retângulo, cuja área da base fosse a mesma da superfície da Terra, a medida que mais se aproxima da altura que o nível da água alcançaria é: a) 2,54 mm b) 2,54 cm c) 25,4 cm d) 2,54 m e) 0,254 km

62.

(UnB-DF) A figura abaixo ilustra alguns degraus de uma escada de concreto. Cada degrau é um prisma triangular reto de dimensões 15 cm, 30 cm e 60 cm. Se a escada tem 20 degraus, qual o volume (em decímetros cúbicos) do concreto usado para construir a escada?

57.

(UFC) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 3, 5 e 7. Sabendo que a diagonal mede 4 83 cm, calcule o volume do paralelepípedo.

58.

(FGV-SP) Um arquiteto tem dois projetos para construção de uma piscina retangular com 1 m de profundidade: Projeto 1: dimensões do retângulo: 16 m × 25 m Projeto 2: dimensões do retângulo: 10 m × 40 m Sabendo que as paredes laterais e o fundo são revestidos de azulejos cujo preço é R$ 10,000 metro quadrado:

a)

qual a despesa com azulejos em casa projeto.

63.

(UFPel-RS) De um reservatório de forma cúbica cheio de água foram retirados 2 ℓ dessa água. Verificandose que houve uma variação de 5 cm no nível do líquido, calcule quanto mede a aresta interna da caixareservatório.

64.

(FCMSC-SP) Dispondo de uma folha de cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando-se um

7

GEOMETRIA ESPACIAL

Prof. Chico Vieira

quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha (ver figura abaixo). Qual será o volume dessa caixa, em centímetros cúbicos?

70.

(Unifor-CE) A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 4 cm. Qual é o volume dessa pirâmide, se sua altura mede 6 3 cm?

65.

(UENF-RJ) Na construção de um hangar, com a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas abaixo. Airbus A3XX-100 ENVERGADURA

a) 432 cm3 b) 392 cm3 c) 286 cm3 d) 144 cm3 e) 132 cm3

71.

(FUC-MT) Determine o volume de uma pirâmide cuja planificação é:

79,8 metros COMPRIMENTO E ALTURA TOTAL 24,1 metros

72.

73 metros (Adaptado de Veja, 14/6/2000)

Calcule o volume mínimo desse hangar. 66. (Vunesp-SP) Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura.

67.

(ITA-SP) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 45º. Calcular a razão entre a área da base e a área lateral.

68.

(PUC-BA) A aresta de um tetraedro regular mede 4 cm. Sua área total, em centímetros quadrados, é: a) 2 3 b) 4 3 c) 8 3 d) 16 3 e) 32 3

69.

(UFOP-MG) A figura abaixo mostra duas pirâmides regulares cujas bases coincidem com duas faces de um cubo de aresta a. Sabe-se que as alturas das pirâmides são iguais a diagonal do cubo. Determine a área total do sólido formado pelas pirâmides e o cubo.

(UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de volume e 4 em de altura. Qual a medida de aresta da base? a)

2 cm

b) 3 cm c) 2 2 d)

3

e)

3 3

cm cm

73.

(UFRN) Uma pirâmide regular tem base quadrada inscrita em um círculo de raio 8 cm e seu apótema é igual ao semiperímetro da base. Calcular o volume da pirâmide.

74.

(MACK-SP) Uma pirâmide, cuja base é um quadrado de lado 2a, tem o mesmo volume que um prisma, cuja base é um quadrado de lado a. Determine a razão entre as alturas da pirâmide e do prisma.

75.

(Unicamp-SP) Dado um cubo de aresta ℓ, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo?

8

GEOMETRIA ESPACIAL 76. (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao retirar as 8 pirâmides é igual a: a) b) c) d) e)

1 2 3 4 2 3 5 6 3 8

V V V

Prof. Chico Vieira a) π 3 b) 2π 3 c) 15π 3 d) 20π 3 e) 30π 3

82.

(UFLA-MG) Um retângulo de lados a e b, girando em torno de b, gera um cilindro de volume 324π cm3 e, girando em torno de a, gera outro cilindro de volume de 144π cm3. Calcule os valores de a e b.

V V

77. Uma forma de gelo, como a da figura abaixo, tem a forma de tronco de pirâmide, de bases retangulares, com as medidas indicadas.

83.

Um prisma regular hexagonal de altura 15 cm e aresta da base medindo 20 cm apresenta um furo cilíndrico cujo raio é 8 cm. Sendo 2,5 g/cm3 a densidade do material, determine a massa, em quilogramas, desse sólido. (Use π = 3,14 e 3 = 1,73).

84. a)

Qual a quantidade de água, em mililitros, necessária para encher completamente essa forma de gelo?

b)

Sabendo-se que, ao congelar, o volume de água aumenta em 8%, qual o volume de gelo que teremos após o congelamento?

78.

(PUC-RS) Em uma pirâmide quadrangular regular, a secção feita a 3 dm do vértice tem área igual a 45 dm2. Calcular o volume da pirâmide, sabendo que a sua altura é de 6 dm.

79.

(PUC-SP) Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 2 814 cm3 de volume. A altura do tronco mede 18 cm e o lado do quadrado da base maior mede 20 cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede: a) 8 cm b) 6 cm c) 3 cm d) 12 cm e) 14 cm

80.

Uma bobina de papel para a fabricação de jornal tem a forma cilíndrica. Sabendo que essa bobina tem 102 cm de diâmetro por 137 cm de comprimento, qual a quantidade mínima (área) de papel utilizado para embalar cada um desses rolos cilíndricos? (Use n = 3,14.)

81.

(lTA-SP) Num cilindro circular reto, sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números n, h, r formam, nessa ordem, uma PA de soma 6π . O valor da área total desse cilindro é:

(FGV-SP) Um produto é embalado em recipientes com formato de cilindros retos. O cilindro A tem altura 20 cm e raio da base 5 cm. O cilindro B tem altura 10 cm e raio da base 10 cm. a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material?

b)

O produto embalado no cilindro A é vendido a R$ 4,00 a unidade, e o do cilindro B a R$ 7,00 a unidade. Para o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa?

85.

(PUCC-SP) Uma piscina circular tem 5 m de diâmetro. Um produto químico deve ser misturado a água na razão de 25 g por 500 ℓ de água. Se a piscina tem 1,6 m de profundidade e está totalmente cheia, quanto do produto deve ser misturado à água? (Use π = 3,1.) a) 1,45 kg b) 1,55 kg c) 1,65 kg d) 1,75 kg e) 1,85 kg

86.

Atira-se uma pedra em um vaso cilíndrico de 1,2 m de diâmetro da base, parcialmente cheio de água. Determine o volume da pedra se, em consequência da imersão, a água elevou-se 0,54 m.

87.

Duzentos litros de um líquido serão armazenados em latas cilíndricas de raio 5 cm e altura 13 cm. Cada lata deverá ser preenchida em até 80% do seu volume. Quantas latas, no mínimo, serão necessárias?

88.

Uma fábrica de sopa em lata decidiu aumentar em 20% a altura de suas latas cilíndricas, mas mantendo o mesmo volume. Qual deverá ser a diminuição, em

9

GEOMETRIA ESPACIAL porcentagem, do raio da lata para que o volume permaneça constante?

89.

(UFPE) Interceptando-se um cilindro reto com raio da base igual a 2 cm e altura 5 cm com dois pianos Que passam pelo eixo do cilindro e formam um ângulo de 36° entre eles, obtém-se o sólido ilustrado abaixo.

Prof. Chico Vieira d) 1 700 cm3 e) 1 900 cm3

95.

(UFV-MG) O trapézio retângulo abaixo sofre uma rotação de 360º em torno da base maior. Sabendo-se que AB = 3 cm, CE = 5 cm e que o volume do sólido obtido é 84π cm3, determine AC.

96.

Deseja-se utilizar um cone reto de papelão com 16 cm de diâmetro e 30 cm de altura como embalagem para um produto. Nessas condições:

Indique o inteiro mais próximo do volume desse sólido, em centímetros cúbicos.

a) qual a quantidade de papelão (em m2) utilizado em cada embalagem?

b)

qual a capacidade, em litros, dessa embalagem?

90.

(Unicamp-SP) Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo a sua base, resultando no sólido ilustrado na figura. Calcule o volume desse sólido em termos do raio da base r, da altura máxima AB = a e da altura mínima CD = b. Justifique seu raciocínio.

91.

(UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total, em metros quadrados, vale: a) 52π b) 36π c) 20π d) 16π e) 12π

97.

(UFPel-RS) Duas substâncias, A e B, que não se misturam, são colocadas num recipiente de forma cônica, de modo que a substância A ocupe até a metade da altura do cone e a substância B, o restante (conforme a figura). A razão entre o volume de A e o volume de B é: a) b)

8 7 1 7

c) 1 d)

1 8

e) 7

92.

(UFES) Com um setor circular, cujo ângulo central mede 120°, constrói-se um cone circular reto de raio igual a 3 cm. Determine o volume do cone assim obtido.

93.

Na figura, a base do cone reto está inscrita numa face do cubo e seu vértice está no centro da face oposta. Se a área total do cubo é 54 m2, determine o volume do cone.

98.

(UFPE) Um cone circular reto, com altura igual a 60 cm, é interceptado por um plano perpendicular ao seu eixo, resultando numa circunferência de raio igual a 40 cm. Se a distância desse plano à base do cone é 30 cm, quanto mede, em centímetros, o raio da base do cone?

99.

(UFRN) A figura abaixo registra o momento em que

7 8

do volume de areia da ampulheta encontra-se na

parte inferior.

94.

(UniSantos-SP) Com um semicírculo de papel, com raio igual a 20 cm, um pipoqueiro faz saquinhos para vender pipocas, com a forma de cone circular reto. O volume desses saquinhos, usando π ≃ 3, é mais próximo de: a) 1 100 cm3 b) 1 300 cm3 c) 1 500 cm3

10

GEOMETRIA ESPACIAL

Prof. Chico Vieira

 1  3

O volume de um cone circular reto é dado por V = 

π R2h, sendo R o raio e h a altura do cone. Calcule o valor da fração numérica que representa a proporção entre y e h nesse momento. Sugestão: expresse o valor da altura y em função de h.

100.

(UnB-DF) A figura abaixo representa um coador de café (em forma de um tronco de cone) apoiado sobre um vaso cilíndrico com perímetro da base igual ao perímetro da boca do coador. Calcule r, de acordo com os dados da figura e sabendo que a capacidade do coador é um quarto da capacidade do vaso.

Figura 1

Figura 2

104. (Fuvest-SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência, em centímetros, é: 1 2 3 4 5

105.

Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8π cm2, calcule o raio da esfera.

106. 101.

(UFPR) Um sólido tem o formato de um tronco de cone circular reto com uma cavidade na forma de cone com a mesma altura do tronco e com base igual a base menor do tronco, conforme a figura. Calcule o volume do sólido, sabendo que as medidas do tronco são: 16 cm de altura; 250 cm2 de área da base maior e 40 cm2 de área da base menor.

Uma esfera cuja superfície tem área igual a 676π cm2 é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do seu centro, determinando um círculo. Nessas condições, determine: a) a área desse círculo;

b) c)

o comprimento da circunferência máxima dessa esfera; o volume do cone reto cujo vértice é o centro da esfera e a base é o círculo determinado pela intersecção do plano com a esfera.

107.

102.

Na figura ao lado tem-se um recipiente com a forma de um cone circular reto, com um líquido que atinge metade de sua altura. Se V é a capacidade do cone, qual o volume do líquido?

103.

Uma taça em forma de cone tem raio da base igual a 5 cm e altura 10 cm. Coloca-se champanhe em seu interior até Que atinja, a partir do vértice da taça, 5 cm de altura, conforme mostra a figura 1. Vedando a taça e virando-a para baixo, conforme mostra a figura 2, pergunta-se: em que altura (h), a partir da base do cone, ficará o nível do champanhe nessa nova posição? (Considere 3 7 = 1,91).

Uma firma de arquitetura apresentou a maquete de uma construção na forma de uma semi-esfera. Nessa maquete, o diâmetro da semi-esfera é 20 cm. Sabendo que a escala utilizada foi 1 : 400, responda (use π = 3,14): Qual a área da superfície dessa construção? Qual o volume dessa construção?

108. tem

(UFJF-MG) Duas esferas são concêntricas, a menor 19 cm de raio. A área da secção feita na esfera

maior por um plano tangente a esfera menor é 81π cm2. Calcule: a) o raio da esfera maior; b) o volume da esfera maior. 109. (Unitau-SP) Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta 4 cm. Calcule a área da superfície esférica e o volume da esfera.

11

GEOMETRIA ESPACIAL

Prof. Chico Vieira

110.

(UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é 16 cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se podem obter com toda a massa é: a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100

114.

(PUC-PR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água subirá cerca de 1,2 cm. Sabe-se, então, que o raio da bolinha vale, aproximadamente: a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm d) 2,5 cm e) 3 cm

111.

O recipiente da figura é feito de madeira com densidade 0,7 g/cm3, com formato de uma semi-esfera com raio externo de 20 cm e raio interno de 17 cm. Calcule a massa, em quilogramas, desse recipiente.

B

115. (UFMG) Observe esta figura: Nessa figura, ABC é um quadrante de círculo de raio 3 cm e ADEF é um D E quadrado, cujo lado mede 1 cm. Considere o sólido gerado pela C rotação de 360°, em torno da reta AB, A F da região colorida na figura. Sabe-se que o volume de uma esfera de raio r é igual a

4π r 3 3

112.

(UnB-DF) Um sorveteiro vende sorvetes em casquinhas de biscoito que tem a forma de cone de 3 cm de diâmetro e 6 cm de profundidade. As casquinhas são totalmente preenchidas de sorvete e, ainda, nelas é superposta uma meia bola de sorvete de mesmo diâmetro do cone. Os recipientes onde é armazenado o sorvete tem forma cilín-drica de 18 cm de diâmetro e 5 cm de profundidade. De-termine o número de casquinhas que podem ser servidas com o sorvete armazenado em um recipiente cheio.

a) 14π b) 15π c) 16π d) 17π

. Assim sendo, esse sólido tem um volume de: cm3 cm3 cm3 cm3

116.

(PUC-SP) Um cone circular reto, cujo raio da base é 3 cm, está inscrito em uma esfera de raio 5 cm, conforme mostra a figura. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera? a) 26,4% b) 21,4% c) 19,5% d) 18,6% e) 16,2%

117. Sorvete

113.

Recipiente

(UFPE) A figura ilustra a esfera de maior raio contida no cone reto de raio da base igual a 6 e altura igual a 8, tangente ao plano da base do cone. Qual o inteiro mais próximo da metade do volume da região do cone exterior a esfera?

Uma esfera está inscrita num octaedro regular de aresta 12 cm. Calcule: a) o raio da esfera; b) o volume da esfera.

118.

(FGV-SP) Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica, com diâmetro de 2 cm, é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas paredes laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V.

12

GEOMETRIA ESPACIAL 119. (PUC-RS) A região R da figura está limitada por três semicírculos.

Prof. Chico Vieira 124.

(Unitau-SP) Aumentando em 10% o raio de uma esfera, a sua superfície aumentará: a) 11% b) 24% c) 21% d) 31% e) 30%

125. Sabendo que R efetua uma volta completa em torno do eixo do x, calcule o volume do sólido gerado.

120.

(Cesgranrio-RJ) Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: a) 2π R2 b) 4π R2 c)

3π R2 4

126.

4π R2 3

121.

(UEL-PR) Um cilindro circular reto e uma esfera são equiva-lentes (mesmo volume). Se o raio da esfera e o raio de ba-se do cilindro têm medida 1, a área lateral desse cilindro é: a) b) c)

14 π 3 11 π 3 11 π 4

d) e)

8 π 3 5 π 4

(MACK-SP) A razão entre a área lateral do cilindro equilátero e a superfície esférica nele inscrita é:

b) c)

1 3 1 4 2 3

1 4

de seu volume

total. Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2 mℓ do perfume, das alternativas abaixo, a que indicará o maior período de tempo de duração do perfume será: a) 16 dias b) 31 dias c) 26 dias d) 54 dias e) 43 dias 127. (UFPA) Um cone reto tem raio de base R e altura H. Se uma esfera tem raio R e volume igual ao dobro do volume desse cone, podemos afirmar que: a) H = R d) H = 3R b) H = 2R

122.

a)

(MACK-SP) Um frasco de perfume de forma esférica,

com raio de 4 cm, contém perfume em

d) 3π R2 e)

(MACK-SP) Um tanque de gás tem a forma de um cilindro de 4 m de comprimento, acrescido de duas semiesferas, de raio 2 m, uma em cada extremidade, como mostra a figura. Adotando π = 3, a capacidade total do tanque, em m3, é: a) 80 b) 70 c) 60 d) 55 e) 50

c) H =

e) H =

R 2

R 3

d) 1 e)

128.

(MACK-SP) Um recipiente cilíndrico reto, com raio da base igual a 4 cm, contém água até a metade de sua altura. Uma esfera maciça, colocada no seu interior, fica totalmente submersa, elevando a altura da água em 2 cm. O raio da esfera é:

1 2

123.

(lTA-SP) A razão do volume de uma esfera para o volume de um cubo nela inscrito é:

3

a) 2 3 3

d)

b) 4

e) 2

5 2

c) 3 3 2 a) 3 2

d) π 2

π 2

e) π 3

2π

b)

c) 2π

3 2

129.

(UERJ) Uma cuba de superfície semi-esférica, com diâmetro de 8 cm, está fixada sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba.

13

GEOMETRIA ESPACIAL Desprezando-se a espessura do material usado para fabricar a cuba, determine:

a)

a maior área, em cm2, pela qual a bola de gude poderá se deslocar na superfície da mesa;

b)

O volume, em cm3, da maior esfera que poderia ser colocada embaixo dessa cuba.

130.

(ITA-SP) Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm. O raio da esfera inscrita nesse cone mede, em centímetros:

a)

2

d)

b)

3

e)

c)

7 4 10 3

3 5

.

132.

(FGV-SP) Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma exposição. Se, para o revestimento total do piso, utilizaram-se 78,5 m 2 de lona, quantos metros quadrados de lona se utilizariam na cobertura completa do galpão? (Considerar π = 3,14.) a) 31,4 b) 80 c) 157 d) 208,2 e) 261,66

133.

(UEL-PR) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jóia exclusiva. Para isso, imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo uma perola inscrita, com o formato de uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir. Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de comprimento, o volume da perola, em cm3, é:

2π 3

8π 3

c) 8 2 π

9

d) 4 6 π

9

e) 8 6 π

27

134.

b) a 2

e) a 3

2

c) 2a

135.

(Unicap-PE) As proposições desta questão estão relacio-nadas a poliedros. I – II 0–0 Em um poliedro convexo, se o número de vértices é 8 e o de arestas é 12, então o número de faces é igual a 4.

3–3 A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é dada por 360º ⋅ V, em que V é o número de vértices.

(UFG) Considere um cone circular reto de altura h e raio r, h > r, inscrito em uma esfera de raio R. Determine a

b)

d) a 3

2

2–2 Um poliedro convexo pode ter duas faces em um mesmo plano.

131.

a)

a) a 2

1–1 Existem seis, e somente seis, classes de poliedros de Platão.

15 5

altura do cone quando r =

Prof. Chico Vieira

(UFPI) A esfera circunscrita a um octaedro regular de aresta a tem raio igual a:

4–4 Em um poliedro de Platão, em cada vértice concorre o mesmo número de arestas.

136.

(UFRJ) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra pedra, do mesmo material, que tem a forma de um paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura e 3 cm de espessura?

137.

(UENF-RJ) Para uma demonstração prática, um professor utiliza um tanque com a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas correspondem a 30 cm de largura, 60 cm de comprimento e 50 cm de altura. Esse tanque possui uma torneira que pode enchê-lo, estando ele completamente vazio, em 10 minutos, e um ralo que pode esvaziá-lo, estando ele completamente cheio, em 18 minutos. O professor abre a torneira, deixando o ralo aberto, e solicita que um aluno registre o tempo decorrido até que o tanque fique totalmente cheio. Estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno.

138.

(MACK-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 4 quadrangulares e 5 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: a) 25 b) 12 c) 15 d) 9 e) 13

139.

(UEL-PR) A figura construída segundo a sequência abaixo é denominada Esponja de Sierpinski ou Esponja de Menger. Representa um fractal gerado a partir de um cubo. Partindo-se do cubo inicial, obtêm-se outros cubos menores, com arestas iguais a

1 3

da aresta deste. O

cubo central e os cubos do centro de cada face são

14

GEOMETRIA ESPACIAL

Prof. Chico Vieira

removidos. O procedimento se repete em cada um dos cubos menores restantes. O processo é interado infinitas vezes, gerando a Esponja.

Fig. 1

Fig. 2

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide será: a) 36 b) 27 c) 18 d) 12 e) 4 142. (UFV-MG) Em um supermercado, as latas de óleo de determinada marca foram empilhadas de tal forma que cada nível tem uma lata a menos que o nível anterior e o vigésimo nível tem apenas uma lata. A visão frontal de parte dessa pilha está ilustrada na figura abaixo. Sabendo-se que a lata de óleo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 0,10 m × 0,10 m × 0,18 m, o volume da pilha de latas é, em m3: a) 0,342 b) 0,036 c) 0,756 d) 0,378 e) 0,360

143. Fig. 3

Fig. 4

Supondo que a medida da aresta do cubo inicial seja igual a 1 m, qual é a área, em m2, de uma face da figura 30? 30

a)  8  9

19

d)  20   27 

29

b)  8  9

30

c)  9  8

19

e)  27   20 

140.

(MACK-SP) O recipiente da figura, que contém água, é um prisma reto cujas bases são triângulos equiláteros de altura 2. A superfície da água é paralela à face ABCD. Se o volume ocupado pela água é metade do volume do prisma, o valor de h é: a)

6 5

b)

3

c)

2

d) e)

141.

1 2 3 4

(Vunesp-SP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

(ITA-SP) Uma pirâmide regular tem por base um hexágo-no cuja diagonal menor mede 3 3 cm. As faces laterais dessa pirâmide formam diedros de 60° com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2, é: a) 81 3

d) 27 3

b) 81 2

e) 27 2

2

2

c)

81 2

144.

(Fuvest-SP) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide, 3 m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130

145.

(ITA-SP) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja

1 8

do volume da

pirâmide original? a) 2 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m

15

GEOMETRIA ESPACIAL e) 8 m

Prof. Chico Vieira c) 3 d) 4 e) 5

150. 146.

(UFJF-MG) Uma pirâmide quadrangular regular tem 36 dm2 de área da base e 4 dm de altura. Encontre a área total dessa pirâmide.

147.

(UEPA) Um empresário paraense, querendo aproveitar o estoque de caixas de papelão existente no almoxarifado, contratou uma empresa para produzir embalagens cilíndricas de tal forma que cada caixa contivesse 12 unidades do produto, conforme secção reta abaixo. Sabendo-se que a altura das caixas de papelão é de 30 cm e que a altura das embalagens deve coincidir com a altura dessas caixas, pergunta-se: a) Qual o raio da embalagem cilíndrica a ser produzida? b) Qual o volume da embalagem cilíndrica a ser produzida?

(ENEM-99) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la, o número mínimo de medições a serem realizadas é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

151.

(UFMG) Num cilindro de 5 cm de altura, a área da base é igual a área de uma secção por um plano que contém o eixo do cilindro, tal como a secção ABCD na figura abaixo. O volume desse cilindro é de: a) b) c) d)

250 cm3 π 500 cm3 π 625 cm3 π 125 cm3 π

152. 148.

(UEL-PR) As superfícies de um cubo e de um octaedro regular interpenetram-se, dando origem a figura mostrada abaixo. Sobre cada face do cubo elevam-se pirâmides que têm a base quadrada e as faces em forma de triângulos equiláteros. Os vértices das bases das pirâmides estão localizados nos pontos médios das arestas do cubo mede 2 cm. qual o volume do sólido limitado pela figura? 12 cm3 14 cm3 16 cm3 18 cm

3

(ENEM) Em muitas regiões do estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma prática dessas regiões: I- Da-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.

II- O

barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento e medido com fita métrica.

20 cm3

IIIO quadro abaixo refere-se às questões 149 e 150. Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada.

149.

(ENEM-99) Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de medições a serem realizadas é: a) 1 b) 2

O valor obtido com essa medida e multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume estimado de madeira.

Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente as perdas de madeira no processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de: a) 30% b) 22% c) 15% d) 12%

16

GEOMETRIA ESPACIAL e) 5%

Prof. Chico Vieira c)

153.

(Unesp-SP) Um tanque subterra-neo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de petróleo. Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é: a) 2π d) 8 b) 7 c)

e)

7π 3

8π 3

(Fatec-SP) Divide-se a altura de um cone circular reto de volume V em três partes de medidas iguais. Pelos pontos de divisão são traçados planos paralelos a base. O volume do tronco de cone compreendido entre esses planos é igual a: a) b) c)

(UFSCar-SP) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro. Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é: a) 7 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 15 cm

155.

(ENEM) Uma empresa de transporte armazena seu com-bustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontal-mente. Seu conteúdo é me-dido com uma vara graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações consecutivas representa sempre o mesmo volume. A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é: a) b) c) d) e)

4π R 3

157.

1!!3

154.

3

1 27 5 27 7 27

8 27

V

d)

V

e) V

V

V

158.

(ESPM-SP) Assinale a alternativa que apresenta coerência entre as formas das taças e seus respectivos volumes em litros:

a) b) c) d) e)

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

1 litro 1 litro 1 litro 2 litros 2 litros

2 litros 2,5 litros 2 litros 3 litros 3 litros

3 litros 3 litros 4 litros 4 litros 6 litros

159.

(ENEM) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da haste indicada, obtém-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E

b) c) d) e)

1B, 2C, 3D, 4E, 5A 1B, 2D, 3E, 4A, 5C 1D, 2E, 3A, 4B, 5C 1D, 2E, 3B, 4C, 5A

156.

(ITA-SP) Considere o triangulo isósceles OAB, com lados OA e OB de comprimento 2R e lado AB de compri-mento 2R. O volume do sólido obtido pela rotação desse triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB é igual a:

π R3 2

d) 2 π R3

b) π R3

e) 3 π R3

a)

17

GEOMETRIA ESPACIAL

Prof. Chico Vieira

160.

(ENEM-2001) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em cm. 5 5

163.

(Unesp-SP) Aumentando em 2 cm a aresta a de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície total aumenta em 216 cm2, em relação a do cubo C2.

4

6

a) 0,144 b) 0,206 c) 1,44 d) 2,06 e) 20,6

15 10 5

6

5 4

Os sólidos são fabricados nas formas de I- um cone reto de altura 1cm e raio da base 1,5cm. II- um cubo de aresta 2 cm. III- uma esfera de raio 1,5cm. IV- um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2cm, 3cm e 4cm V- um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1cm. O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos a) I, II e III d) II, III, IV e V b) I, II e V e) III, IV e V c) I, II, IV e V

161.

a) b) c) d) e)

(UFPB) Depois de desistir de retirar a pipa do poste, João foi jogar futebol no quintal da casa. Ao chutar a bola com muita força, fez com que ela caísse num reservatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é 96 cm. Maria percebeu que exatamente a metade da bola ficou submer96 cm sa, o que elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver desenho). O raio dessa bola e: 10 cm 11 cm 12 cm 13 cm 14 cm

162.

(Fatec-SP) Duas esferas maciças iguais e tangentes entre si estão inscritas em um paralelepípedo reto-retângulo oco, como mostra a figura abaixo. Observe que cada esfera tangencia as quatro faces laterais e uma das bases do paralelepípedo. O espaço entre as esferas e o paralelepípedo está preenchido com um líquido. Se a aresta da base do paralelepípedo mede 6 cm, o volume do líquido nele contido, em litros, é aproximadamente igual a:

Determine: C1 C2 a) a medida da aresta do cubo C1; b) o volume do cubo C2.

164.

(BRDE-2009) Em um prisma cuja aresta da base quadrada mede 4 cm e cuja altura é 10 cm (medidas internas), é colocado água até atingir a altura de 6 cm. O prisma é virado, passando a apoiar-se em uma de suas faces retangulares. Sem haver perda de líquido, a altura alcançada pela água é, então, de: a) 1,4 cm b) 1,8 cm c) 2,1 cm d) 2,4 cm e) 3,2 cm

165.

O volume de um cubo que tem para a soma de todas as arestas 24 cm é: a) 4 cm3 b) 8 cm3 c) 16 cm3 d) 24 cm3 e) 36 cm3

166.

(UFPE-2008-2ª etapa) Seja x a área total da superfície de um cubo, e y, o volume do mesmo cubo. Analise as afirmações a seguir, considerando essas informações. 0 0- Se x = 54 então y = 27 1 1- 6y = x3 2 2- O gráfico de y em termos de x é 4 3 2 1 0

10

20

3 3- As diagonais do cubo medem

30

40

x/2 .

4 4- As diagonais da face do cubo medem

2 y1 / 3 .

18

GEOMETRIA ESPACIAL 167. (UFCG-2010) Em homenagem ao Ano Internacional da Matemática, um artista propôs a construção de uma pirâmide posicionada sobre um hemisfério. A base da pirâmide é um quadrado inscrito no circulo da base do hemisfério, como pode ser visto na figura abaixo. Se o volume da parte esférica e o volume da parte em forma de pirâmide são iguais, qual a razão entre o comprimento da aresta da base da pirâmide e a altura da pirâmide? a)

π 2

b)

π 3

c)

2 π

d)

π 3

e)

Prof. Chico Vieira

170.

(UFPE-2010) O cubo duplo, ilustrado a seguir, é construído a partir de um cubo, de aresta 2cm, adicionando, em cada uma de suas faces, um tetraedro, que é congruente ao obtido do cubo cortando-o por um plano que passa pelos pontos médios de duas arestas incidentes em um vértice, e pelo outro extremo da terceira aresta que incide no vértice. Calcule a área da superfície do cubo duplo, em cm2.

3 2

168.

a(UFPE-2007) Um pedaço de queijo tem a forma de um prisma triangular reto tendo por base um triângulo com um dos lados medindo 8 cm, como ilustrado a seguir.

171.

x 8 cm

O queijo deve ser dividido em dois pedaços de mesmo volume por um plano paralelo a uma das faces, como ilustrado acima. Qual o valor de x? a) 25/2 cm

b)

23/8 cm c) 4 cm d) 24/3 cm

e)

5 cm

169.

(UFPE-2010) Na ilustração a seguir, a esquerda, uma pirâmide regular invertida, com base quadrada de lado medindo 2 e altura 6, esta preenchida por um liquido, até dois terços de sua altura. Se a pirâmide é colocada na posição ilustrada à direita, qual será então a altura h do liquido? Indique (h + 2 3 19 )2 .

19