7

7. Números índices 7.1 Introdução (Números) índices: medidas estatísticas que visam analisar a variação percentual sofrida por uma grandeza em dado período, relativamente a outro. Tipos de índices: i. índice simples ou elementar – referente a um só artigo; ii. índice sintético – referente a mais do que um artigo. Índices de preços, de quantidades, de valor, … 7.2 Índices simples Gt , G0: valores de uma grandeza G >

0, nos períodos t (período corrente) e 0 (período base), respectivamente; define-se índice simples do período t com base no período 0 como ( ) 100, 0,1,2, ... 0

=×t= G I G Gt 0

t

Ex.: Preço médio da gasolina de 1996 a 1998: ano 1996 1997 1998 preço 154 158 161 Índice de preços: 100 102,6 154 158 97 96 I = × ≈ , 100 104,55

154 161 I=×≈. Do exame dos valores do índice pode rapidamente avaliar-se da variação relativa do preço da gasolina. Propriedades i. Circularidade 100 98 96

0 0 tss t

II I=. ii. Reversibilidade no tempo 1 1002 I t 0I 0 t = . iii. Encadeamento 1

1122110

100 ... 0

−

=

−−−t

tttt t

IIII I. 7.3 Índices sintéticos 1. O índice sintético It 0 (G) pode obter-se como média aritmética, geométrica ou harmónica dos k índices simples

()

()

It 0 Gj .

jk

G G IG j jt tj

= ×100, 0 ≤ ≤

0

: índice simples da componente Gj. 1.a) G1, G2, …, Gk : k componentes da grandeza G, todas com a mesma importância relativa; Neste caso, considera-se uma média simples. 1.b) Se as k componentes de G não têm igual importância relativa, utilizamse médias ponderadas: w1, w2, …, wk : coeficientes de ponderação de G1, G2, …, Gk, respectivamente. No caso de se utilizar uma média aritmética, o índice sintético vem dado por 0

()Σ()Σ ==

= k j j k j tjtj 11

IGwIGw

. 2. Também se pode obter It 0 (G) por agregação: a) as k componentes têm igual ponderação: ( ) 100 00

1 0 1 0

=

== k j j

ΣΣ

×

k j

It G Gjt G ; b) as k componentes têm ponderações relativas proporcionais a wj (as quais podem diferir de período para período):

()

100.

1 00 1 0

=

ΣΣ

×

== k j jj k j t jt jt

IGwGwG

Ex.: preços médios unitários de três materiais cerâmicos em três anos: 1992 1993 1994

tijolo 51 55 59 tijoleira 188 213 225 telha 115 127 135 Coefic. de ponderação: 0,7; 0,1; 0,2. Índice agregativo ponderado dos preços para 1994, com base em 1992: 117,16129. 100 0,7 51 0,1 188 0,2 115 0,7 59 0,1 225 0,2 135 94 92

= × ×+×+× ×+×+× I=

7.4 Índices de Laspeyres, Paasche e Fisher. Índices de valor. Os índices mais importantes são

os de preços ponderados por quantidades, e os de quantidades ponderadas por preços. Sejam � G1, G2, …, Gk: k componentes da grandeza G; � pj0, qj0, pjt e qjt: preços e quantidades da componente j no período base e no período t, respectivamente. Índice de Laspeyres de quantidades ( ) 100 100 10 /0

Σ Σ = =

=×

k jjj k j j jt tp

q pq Lq. Índice de Laspeyres de preços ( ) 100 100 10 /0

=×

Σ Σ = = k jjj k j jt j tp

q pq Lp.

O índice de Laspeyres de preços fornece a relação entre o custo de um determinado cabaz de artigos construído no período base e avaliado aos preços desse período, e o custo desse mesmo cabaz avaliado aos preços do período corrente (t). O índice pode encarar-se como uma média aritmética ponderada dos índices simples de preços, com ponderações

Σ

=

k

pj qj j pj qj 0 0 1 0 0 : 100

0 1 100

Σ Σ

00

×

=

=j k jt jk jjj jj

p p pq pq 1 100

( ).

100 100

pqLp pqt k k j jt j jjj

=

Σ

Σ

=

×=

=

Índice de Paasche de quantidades ( ) 100 10 1 /0

=×

Σ Σ = = k j jt j k j jt jt tp

q pq Pq. Índice de Paasche de preços ( ) 100 10 1 /0

Σ

=×

Σ = = k j j jt k j jt jt tp

q pq Pp. O índice de Paasche de preços fornece a relação existente entre o custo de um determinado cabaz de artigos construído no período corrente e avaliado aos preços deste período eo custo do mesmo cabaz avaliado aos preços do período base. Ex.: Três produtos, em dois anos

consecutivos, com as seguintes quantidades produzidas aos preços indicados na tabela: Ano 1997 1998 Produto q p q p A 100 30 120 40 B 110 11 130 15 C 120 25 110 25 ( ) 100 3 1 97 97 3 1 98 97 98/97

Σ Σ = = jjj jjj

pq pq Lp

=×

100 119,97 30.100 11.110 25.120 40.100 15.110 25.120 × ≈ ++ ++ =

( ) 100 3 1 97 97 3 1 97 98 98/97

Σ Σ

=×

= = jjj jjj

pq pq Lq 100 107,91 30.100 11.110 25.120 30.120 11.130 25.110 × ≈ ++ ++

=

( ) 100 3 1 97 98 3 1 98 98 98/97

=×

Σ Σ = = jjj jjj

pq pq Pp 100 122,11 30.120 11.130 25.110 40.120 15.130 25.110 × ≈ ++ ++ =

( ) 100 3 1 98 97 3 1 98 98

98/97

=×

Σ Σ = = jjj jjj

pq pq Pq 100 109,83 40.100 15.110 25.120 40.120 15.130 25.110 × ≈ ++ ++ =

Inconvenientes de L e P: Em L(q) as quantidades ponderamse pelos preços do ano base, não se considerando alterações temporais dos mesmos. Em P(p) pressupõe-se que se

conhece as quantidades consumidas no período para que se calcula o índice, o que usualmente não sucede. Para evitar tais inconvenientes, surgem os índices de Fisher. Índice de Fisher de preços F t 0( p ) L t 0 ( p )P t 0 ( p ) = . Índice de Fisher de quantidades Ft 0(q) Lt 0 (q)Pt 0 (q) = . Índice de valor: mede a variação temporal do valor total dos artigos de determinado cabaz. 100 100 1 /0

=×

Σ

Σ = = k jjj k j jt jt

pq pq IV ; Pode calcular-se com recurso aos índices L e P: t

()() ()() 100 100 00 00 /0

LqPp

LpPq IV tt tt t

= =

. Critérios de Fisher: segundo Fisher, um índice deve verificar: i. nunca é zero nem indeterminado nem infinito (boa determinação); ii. toma o valor 100 se calculado para o ano base (identidade); iii. deve ser independente da unidade em que se expressa a grandeza G (homogeneidade);

iv. se as componentes Gi, 1≤ i ≤ k, da grandeza G, aumentam proporcionalmente h, então o índice deve sofrer o mesmo aumento (proporcionalidade). v. 1002 1 0 0 = It I t (reversibilidade no tempo); vi.

()() 100 100 100 00

Σ Σ = = k

= 1×

jjj k t t j jt jt

pq IpIqpq (reversibilidade de factores); vii. 1 0 1122110

100 ... tt

I IIII =− tttt

−−−

(encadeamento). i. — iv.: verificados pelos índices de Laspeyres, Paasche e Fisher; v. e vi.: não é verificado pelo índice de Laspeyres nem o de Paasche; vii.: apenas verificado pelos índices simples e índices agregativos com

ponderações constantes. I.é: nenhum dos índices conhecidos satisfaz todos os critérios.