7-interazione Cinetica-turbolenza - Dr. A. Cuoci - Provvvisoria.pdf

Dipartimento di Chimica, Materiali e Ingegneria Chimica “G. Natta” Politecnico di Milano

Interazione cinetica-turbolenza Alberto Cuoci Chimica e fluidodinamica della combustione Anacapri, Villa Orlandi, 5-9 Ottobre 2009

Interazione cinetica-turbolenza

Il problema

2

Modellazione numerica della combustione turbolenta

Elevati gradienti di concentrazione e temperatura

Tecniche numeriche sofisticate Codici di calcolo complessi Risorse computazionali significative

Ampio spettro di scale temporali e spaziali

Schemi cinetici di grandi dimensioni: - centinaia di specie chimiche - migliaia di reazioni

Interazione cinetica-turbolenza

Interazione combustione - turbolenza

3

Chimica Miscelazione perfetta

τ (s) 103 102

Slow chemistry le reazioni di combustione, a causa dell’elevato rilascio di calore, modificano fortemente la densità e la viscosità dei gas, provocando forti accelerazioni

la turbolenza può portare ad un più efficace mescolamento dei reagenti e quindi migliorare la combustione; se troppo intensa può tuttavia portare all’estinzione della fiamma

normalized mass fraction

Inlet mixture: C33H88 + Air Temperature: 1800 K

fuel

Interazione cinetica-turbolenza

NOx

Fluidodinamica

101

Tempo medio di residenza

100 10-1

Finite-rate chemistry

10-2 10-3

Soot

10-4 10-5

Fast chemistry

Scala di Kolmogorov

10-6 10-7

CO

10-8 10-9

Mixed - Burned Adapted from Fox R.O., “Computational Models for Turbulent Reacting Flows”, Cambridge, 2003

Tempi chimici caratteristici Come e’ possibile stimare i tempi chimici caratteristici di un sistema reattivo complesso, costituito da NS specie chimiche coinvolte in NR reazioni? NS

rj = k j ∏ C iαi

j

4

Fox R.O., “Computational Models for Turbulent Reacting Flows”, Cambridge University Press, 2003

j = 1,...,NR

velocita’ di reazione

i = 1,...,NS

velocita’ di formazione

i=1

Ri =

NR

∑ν r j =1

j i j

Autovalori della matrice Jacobiana

Jik =

∂R i ∂C k

τi =

1 µi

Interazione cinetica-turbolenza

i = 1,...,NS k = 1,...,NS i = 1,...,NS

Matrice Jacobiana delle velocita’ di formazione

Tempi chimici caratteristici

Parametri caratteristici: Damköhler

5

Parametro adimensionale in grado di caratterizzare la combustione: Numero di Damköhler

Da ≡

tempo caratteristico moto del fluido τflow = tempo caratteristico di reazione τchem

Il tempo caratteristico del moto del fluido dipende dal sistema preso in considerazione. Ad esempio nel caso di fiamme premiscelate generalmente si ha

LT Tempo di vita dei grandi τ = flow ' vortici v rms Il tempo chimico caratteristico e’ diverso per ciascuna specie. Si possono dunque avere due comportamenti asintotici: Controllo Fluidodinamico

Controllo Cinetico

Da >> 1

Da << 1

Chimica estremamente veloce, sistema controllato dalla fluidodinamica

Chimica estremamente lenta, sistema controllato dalla cinetica

Peters N., “Turbulent Combustion”, Cambridge University Press, 2000

Interazione cinetica-turbolenza

Modellazione della turbolenza DNS Direct Numerical Simulation

6

DNS

Q(t)

RANS

Le equazioni vengono risolte tal quali dopo una discretizzazione sufficientemente fine.

LES tempo

LES Large Eddy Simulation

RANS Reynolds-Averaged Navier-Stokes

Descrive il moto dei grandi vortici. Le griglie di calcolo sono troppo grandi per descrivere i vortici piccoli, che vengono modellati (modelli di sottogriglia).

Descrivono solo il flusso medio. turbolenza deve essere modellata.

La

Modellazione dei termini di generazione Bilancio di materia Equazioni RANS

Interazione cinetica-turbolenza

%k ¶rw ¶ ¶ ± + Vk ,i wk + r u²i'' wk'' + W (r u%i w%k ) = k ¶t ¶ xj ¶ xj

(

)

Effetto delle fluttuazioni (I)

7

La velocità di formazione di una generica specie è un termine non lineare rispetto alla composizione e fortemente non lineare rispetto alla temperatura:

R = k(T)∏ c iαi

 E  k(T) = AT n exp  − a   RT 

i

Legge di Arrhenius

Di conseguenza la velocita’ di reazione media NON coincide con la velocita’ di reazione calcolata in corrispondenza dei valori medi di temperatura e concentrazione:

(

)

( )

R ( c , T ) = R c + c ', T + T ' ≠ R c , T

La complessità può essere risolta attraverso uno sviluppo in serie di Taylor intorno ai valori medi di temperatura e concentrazione

∂R R ( c, T ) = R c + c ', T + T ' = R c , T + ∑ i=1 ∂c i

(

1 ∂ 2R 2 ∂T 2

1 NS ∂ 2R T' + ∑ 2 i=1 ∂c i∂T

)

2

c,T

Interazione cinetica-turbolenza

(

c i' T ' c,T

)

NS

∂R c + ∂T c,T ' i

c,T

1 NS NS ∂ 2R T '+ ∑∑ 2 i=1 j=1 ∂c i∂c j

+ termini di ordine superiore

ci'c 'j + c,T

Effetto delle fluttuazioni (II)

8

Applicando l’operatore di media:

1 NS NS ∂ 2R R ( c, T ) ≈ R c, T + ∑∑ 2 i=1 j=1 ∂c i∂c j

(

(I)

)

(II)

1 ∂ 2R cc + 2 ∂T 2 ' ' i j

c,T

1 NS ∂ 2R T' + ∑ 2 i=1 ∂ci∂T 2

c,T

ci' T ' c,T

(IV)

(III)

Questi termini devono essere modellati, ovvero espressi in funzione delle sole variabili medie

I termini (II), (III) e (IV) sono direttamente associati alla non linearita’ della velocita’ di formazione rispetto alla temperatura e alla concentrazione. Essi sono funzione delle fluttuazioni di concentrazione e di temperatura e in generale non possono essere trascurati

(

)

R ( c, T ) = R c, T + C C

Interazione cinetica-turbolenza

Fluttuazioni di temperatura e concentrazione

9

Le fluttuazioni di temperatura hanno un effetto estremamente importante, soprattutto sulle reazioni con elevata energia di attivazione Esempio: reazione del secondo ordine

 E  R = AT n exp  − a  c 2  RT  Ea = 10000 cal/mol

Eatt = 50000 cal/mol 30

R(c + c’, T + T’) R(c , T)

1.8 20

1.4 1 0.6 -0.2

temperatura T' δ= T

concentrazione c' δ= c T' temperatura δ = T -0.1

Interazione cinetica-turbolenza

0

δ

0.1

0.2

0.3

10

δ=

concentrazione 0 -0.2

-0.1

0

δ

0.1

0.2

c' c 0.3

Effetto delle fluttuazioni turbolente (I) T

10

Turbulent fluctuations

TT==TT ++ TT '

t

mean

CO mole fraction

Fast chemistry: CO

equ ival enc

Interazione cinetica-turbolenza

e ra tio

e tur a r pe tem

[K]

Effetto delle fluttuazioni turbolente (II)

11

Slow chemistry: NOx NO mole fraction

mole fraction

Steady value

mean

tem pe rat ur e[

cycle number

K]

ce alen v i u eq

ratio

mean eq uiv al e nc er at i o cycle number

Interazione cinetica-turbolenza

soot volume fraction [ppm]

volume fraction

Finite-rate chemistry: Steady value Soot

[K ure t a r pe tem

]

Effetto delle fluttuazioni turbolente (III) Fast chemistry: CO

12

mole fraction

mole fraction

Slow chemistry:NO

mean temperature [K]

mean temperature [K]

Finite-rate chemistry: Soot

volume fraction

L’effetto delle fluttuazioni di temperatura e’ piu’ difficile da descrivere nel caso del soot, principalmente a causa della dipendenza non monotona con la temperatura stessa

mean temperature [K] Interazione cinetica-turbolenza

Interazione tra cinetica e turbolenza

Pollutant formation

DNS RANS LES

local amount

Y(t)

13

DNS LES RANS

time Ret

Modello di interazione cinetica-turbolenza (Modello di combustione turbolenta) Fast chemistry: CO Eddy-Dissipation (ED) Steady Laminar Flamelet Model (SLFM)

Slow chemistry: NOx Finite rate chemistry: PAH e soot Interazioni tra cinetica e turbolenza particolarmente forti

Interazione cinetica-turbolenza

Post-processamento cinetico basato sul disaccoppiamento tra chimica e fluidodinamica

Modelli di combustione turbolenta

14

Infinitely Fast Chemistry

1. Eddy Break-Up 2. Eddy Dissipation 2. Eddy Dissipation – Finite Rate

1. Fast Chemistry – PDF mixture fraction

Finite Rate Chemistry

1. Eddy Dissipation Concept 2. Transported PDF Flamelet Model 3. PASR

1. Flamelet Approach

Reaction Rates Approach (RRA)

Primitive Variables Approach (PVA)

Reaction rates approach (RRA)
viene modellato solo il termine di reazione
il termine di reazione può essere calcolato offline (all’esterno del codice fluidodinamico) e memorizzato in opportune librerie (flamelet approach) oppure deve essere calcolato on-line (EDC, PASR)
costo computazionale molto alto
buona accuratezza

Interazione cinetica-turbolenza

Primitive variables approach (PVA)
devono essere determinati solo i campi di opportuni scalari, le variabili primitive
non vengono risolti i bilanci di temperatura e di materia sulle singole specie nel dominio di calcolo
la struttura della fiamma viene determinata offline in funzione delle variabili primitive e memorizzata in opportune librerie
costo computazionale inferiore rispetto all’approccio Reaction Rates

Metodi RRA

15

Reaction Rate Approach

1.Eddy Break-Up Model 2.Eddy Dissipation Model 3.Eddy-Dissipation / Finite-Rate Model 4.Eddy Dissipation Concept Model

Interazione cinetica-turbolenza

Eddy Dissipation Break-Up (EBU) F + rO → (1 + r)P

Reazione irreversibile one-step

ε 1 ≈ κ τmix

velocita’ di formazione

RF r

RP =

RF 1+ r

Equazione di trasporto

( ) (

tempo di mescolamento

)

 µ  ∂ µ  ρωF'' 2 + ∇ ρvωF'' 2 = ∇  + T  ∇ωF'' 2  + R ωF'' 2 ∂t  Sc Sc T  

Termine di reazione

R ωF''2 = PωF''2 + DωF'' 2 + K ωF'' 2

termine di produzione

termine di interazione con la cinetica termine di dissipazione

Interazione cinetica-turbolenza

Spalding D.B., “Development of the Eddy Break-Up Model of turbulent combustion”, 16th Symposium (International) on Combustion, 1976

Varianza della frazione massiva del fuel

ε Velocita’ di RF = CEBUρ ωF'' 2 reazione κ

RO =

16

Eddy Dissipation Break-Up (EBU) Equazione di trasporto

) (

(

17

)

 µ  ∂ µ  ρωF'' ωO'' + ∇ ρvωF'' ω''O = ∇  + T  ∇ωF'' ωO''  + R ωF'' ωO'' ∂t  Sc Sc T  

R ωF'' ωO'' = PωF'' ωO'' + DωF'' ωO'' + K ωF'' ωO''

Termine di reazione

termine di produzione termine di dissipazione

termine di interazione con la cinetica

Tempo di mixing Numero di Da Controllo Fluidodinamico

Controllo Cinetico Il contributo di interazione con la cinetica nel termine di reazione ha un peso notevole Interazione cinetica-turbolenza

Libby A.L., Williams F. A., “Turbulent Reacting Flows”, Academic Press, 1994

Il termine di interazione con la cinetica puo’ essere trascurato

Eddy Dissipation (ED) Reazione irreversibile one-step F + rO → (1 + r)P

18 Magnussen B.F., Hjertager B.,H. “On mathematical modeling of turbulent combustion”, 16th Symposium (International) on Combustion, 1976

Collision Mixing Model

Fenomeni diffusivi limitanti velocità di reazione determinata dalla velocità di miscelazione dei vortici di combustibile e ossidante, supposti distinti velocità di reazione del Fuel

% e± RF = CEDr %w F k

velocità di reazione dell’ossidante

% ± ew RO = CEDr % O k r

velocità di propagazione della fiamma

% ± e w ' RP = CEDr % P k 1+ r

velocità di reazione

Interazione cinetica-turbolenza

min(RF RO RP )y

min(RF RO RP )

controllo fluidodinamico

controllo cinetico

1.0 0 Dae

Da

Si cerca di tener conto del fatto che la dissipazione non e’ distribuita uniformemente, ma concentrata in alcune regioni

Dae ~ 10-3

Eddy Dissipation – Finite Rate (ED-FR) Reazione one-step irreversibile

19

F + rO → (1 + r)P

Fenomeni diffusivi limitanti

Cinetica limitante

velocità di reazione determinata dalla velocità di miscelazione dei vortici di combustibile e ossidante, supposti distinti

velocità di reazione secondo un’espressione di tipo Arrhenius

velocità di reazione del Fuel

velocità di reazione dell’ossidante

±% C e ° RO = A O % r k

velocità di propagazione della fiamma

± % C e ° RP = AB P % 1+ r k

velocità di reazione

Interazione cinetica-turbolenza

n ° kr = Ar T exp(- Ea RT°)

% e ° ° RF = A CF k%

NR

°A = k ° R r Õ [C j ,r ] j= 1

°F R °O R °P ± min R RA

(

)

h j ,r

ED-FR consistente

20

Reazione chimica interessata da equilibrio Diretta

A+B
C+D

Inversa

Cinetica

Finite-Rate/Eddy-Dissipation

Miscelazione Velocità limitante Velocità netta

Diretta

Finite-Rate/Eddy-Dissipation consistente

Cinetica Velocità netta secondo Arrhenius Miscelazione Velocità netta

Interazione cinetica-turbolenza

Inversa

Eddy Dissipation Concept (EDC)

21

Gran I.R., Magnussen B.F. “A numerical study of a bluff-body stabilized diffusion flame”, Combustion Science and Technology, 119 (1-6), 1996

Fine Structures Turbolenza prossima all’isotropia 1/ 4

æne ö gl = 2.13 çç 2 ÷ ÷ çè k ÷ ø t = 0.4082

Variabili calcolate dal codice RANS CFD

ρ u% v% w% T% ω% i k% ε%

tempo di residenza medio nelle fine structures

n e

*

frazione volumetrica delle fine structures

Reattori omogenei ed isobari

%i0 w Reattore stazionario perfettamente miscelato

m& *

%i w

ωi* T * ρ * fine structure

τ*

0 i

w

cella di calcolo * i

*

w T r

*

m& *

reagenti

prodotti *

* i

ri (T , w ) = Interazione cinetica-turbolenza

wi* - wi0

t*

±= R i

r g l3 t

*

(1- g

3 l

(w )

* i

%i ) - w

Metodi PVA

22

Primitive Variable Approach

1.Fiamme laminari diffusive 2.Mixture fraction 3.Stutture di fiamma e Mixing 4.Probability Distribution Functions (PDF)

Interazione cinetica-turbolenza

Flamelets laminari

air

23

o basso stretching o basso strain rate

Fiamma turbolenta non premiscelata

Insieme di flamelets

fuel air

air

o alto stretching o alto strain rate

fuel

fuel

air

fuel temperature fuel diffusion layer

air diffusion layer

oxygen Flamelet laminare Interazione cinetica-turbolenza

Le fiamme turbolente non premiscelate possono essere viste localmente come un insieme di flamelets laminari, con caratteristiche fluidodinamiche che dipendono dallo stretching della fiamma turbolenta

Fiamme laminari diffusive

24 Fronte di fiamma

ρ

∂ω k = R k + ρΓ ( ∇ z ∇ z ) ∇ 2 ω k ∂t

Il picco di temperatura, la posizione della fiamma e dei picchi dei prodotti principali sono in corrispondenza della composizione stechiometrica In generale, nel caso di combustione in aria e per fiamme non troppo sbilanciate, il fronte di fiamma e’ localizzato sul lato aria

Interazione cinetica-turbolenza

Piano di ristagno

Strain rate

25

Temperatura [K]

2500

Lo Strain rate è una stima del tempo di residenza in fiamma.

2000

Strain rate

1500

Formula approssimata per il calcolo dello strain rate:

1000

0.5 2v O  v C  ρC   1 + K=    L  v O  ρO    

500

Soluzione spenta 0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 Distanza dall’ugello aria [cm]

All’aumentare dello strain rate si osserva la deformazione dei profili di temperatura e velocità assiale fino ad arrivare allo spegnimento della fiamma.

1.4 80

Velocità assiale [cm/s]

0

40

Strain rate

0

-40

Soluzione spenta

-80 0

Interazione cinetica-turbolenza

0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 Distanza dall’ugello aria [cm]

1.4

Mixture fraction

26

Reazione irreversibile

F + rO → (1 + r ) P

Equazione di conservazione delle specie

∂ (ρωk ) + ∇ (ρvωk ) = ∇ [ρΓ∇ωk ] + Rk ∂t

Equazione di conservazione dell’energia

 λ  Q ∂ (ρT ) + ∇ (ρvT ) = ∇  ∇ωk  − RF ∂t  CP  CP

Z1

Z2

Z1 = rωF − ωO

Z2 =

CP T + ωF Q

Z3

Scalare passivo

Lato fuel

Lato ossidante

C T Z3 = r P + ωO Q

Z1

rωF0

−ω0O

Z2 ∂ (ρZ j ) + ∇ (ρvZ j ) = ∇ (ρΓ∇Z j ) ∂t

Mixture fraction zi =

Z j − Z oj ZFj − ZOj

CP TF0 + ωF0 Q CPTF0 r Q

Z3

Equazione di trasporto ∂ (ρzi ) + ∇ (ρvzi ) = ∇ (ρΓ∇zi ) ∂t

Poinsot T., Veynante D., “Theoretical and Numerical Combustion”, Edwards, 2001

Interazione cinetica-turbolenza

I numeri di Lewis per le diverse specie sono assunti unitari e il calore specifico indipendente dalla temperatura

CP TO0 Q CP TO0 r + ω0O Q

zi = 0

Lato ossidante

zi = 1

Lato fuel

Peters N., “Turbulent Combustion”, Cambridge University Press, 2000

Struttura di fiamma nello spazio z

27 Poinsot T., Veynante D., “Theoretical and Numerical Combustion”, Edwards, 2001

∇z

x2 superficie iso-z

y3 y2

x1

piano tangente alla superficie iso-z

x3

Equazioni Flamelets non stazionerie

Equazioni Flamelets stazionarie

∂ωk 1 = Rk + ρχ∇2 ωk ∂t 2

1 Rk = − ρχ∇ 2ωk 2

ρ

ρ

Scalar Dissipation Rate

∂T 1 = R T + ρχ∇2 T ∂t 2

ωk = ωk ( t,z )

1 R T = − ρχ∇2T 2

χ = 2Γ ( ∇z∇z )

T = T ( t,z )

Struttura di fiamma

ωk = ωk ( z )

la struttura di fiamma dipende solo dalla mixture fraction z (e dal tempo t)

Interazione cinetica-turbolenza

T = T (z)

Struttura di fiamma-Mixing

28

Cinetica chimica Termodinamica

Condizioni al contorno Condizioni iniziali Geometria Campo di moto

1. Struttura di fiamma

2. Mixing

Determinazione dei campi ωk(z) e T(z)

scalar dissipation rate

Determinazione del campo z (xi)

Soluzione del problema T(xi) - ωk(xi) La descrizione della struttura di fiamma puo’ avvenire secondo diversi approcci, a seconda del grado di accuratezza desiderato:

scalar dissipation rate

-approccio mixed-burned - equilibrio - flamelets

E’ attraverso lo scalar dissipation rate che si tiene conto degli effetti di mixing sulla struttura di fiamma

Interazione cinetica-turbolenza

La determinazione del campo della mixture fraction richiede la risoluzione di una corrispondente equazione di trasporto

Modelli di struttura di fiamma (I)

29

Problema. Determinare la struttura di fiamma, ovvero i seguenti legami funzionali: ωk = ωk ( z )

T = T (z)

Soluzione: Approccio CFDF (Counter-Flow Diffusion Flames) 1. Risolvere una fiamma a controdiffusione laminare ad un assegnato strain rate 2. Calcolare la mixture fraction in ogni punto della fiamma a partire dalla sua definizione 3. Riparametrizzare la soluzione non piu’ in funzione della coordinata spaziale, ma della mixture fraction Fiamma a controdiffusione ad un assegnato strain rate

Interazione cinetica-turbolenza

1

Fiamma parametrizzata in funzione della mixture fraction e dello strain rate

3

Modelli di struttura di fiamma (II)

30

Soluzione: Approccio Flamelets Si risolvono direttamente le equazioni delle flamelets stazionarie nello spazio della mixture fraction 1 Rk = − ρχ∇ 2ωk 2 Lo scalar dissipation e’ funzione della mixture fraction secondo la seguente espressione

χ = χ0 e

−2  erf −1(1− 2z )  

2

A rigore questa espressione e’ valida solo se avviene un’unica reazione irreversibile e infinitamente veloce

1 R T = − ρχ∇2T 2 Le strutture di fiamma risultano essere parametrizzate in funzione della mixture fraction e dello scalar dissipation rate massimo χ0

χ0 =

K π

Legame tra scalar dissipation rate e strain rate

Vantaggi Fiamma parametrizzata in funzione della mixture fraction e del massimo valore dello scalar dissipation rate

- Basse richieste computazionali - Buona descrizione della struttura di fiamma per specie relativamente veloci

Svantaggi -Presuppone numeri di Lewis unitari per tutte le specie chimiche e quindi non tiene conto degli effetti di diffusione differenziale - Non e’ adeguato per la descrizione di specie dalla chimica lenta

Interazione cinetica-turbolenza

Modelli di struttura di fiamma (III)

31

Soluzione: Approccio Mixed Is Burned temperatura CH4

Se si assume che avvenga un’unica reazione irreversibile infinitamente veloce esiste una soluzione analitica delle equazioni flamelets La soluzione non dipende dallo scalar dissipation rate

O2

Non e’ possibile la coesistenza di combustibile e ossigeno

Soluzione: Equilibrio temperatura CH4

O2

Interazione cinetica-turbolenza

Puo’ essere pensata come la soluzione flamelet nel caso limite in cui lo scalar dissipation rate tenda a zero La soluzione non dipende dallo scalar dissipation rate

Mixing

32

Il campo della mixture fraction viene determinato attraverso la corrispondente equazione di trasporto, ricavata a partire dalla definizione stessa di mixture fraction Equazione di trasporto della mixture fraction

 µ ∂ µT   % % ρ z + ∇ ρ v z = ∇ + ( )   ∇z%  ∂t  Sc Sc T  

( )

In generale, oltre al valor medio della mixture fraction, e’ necessario avere anche a disposizione delle informazioni sulle sue fluttuazioni turbolente Equazione di trasporto della varianza della mixture fraction

Varianza della Mixture fraction

z'' 2

( ) (

)

 µ  ∂ µ ε ρ z'' 2 + ∇ ρv% z'' 2 = ∇  T ∇z%  + 2 T ∇z% ∇z% − Cρ z'' 2 ∂t κ Sc T  Sc T 

Mixture fraction (valore medio)

z%

Interazione cinetica-turbolenza

Scalar Dissipation Rate χ = 2Γ ( ∇z% ∇z% )

Codice CFD - Flamelets

33

Codice CFD

Flamelet (laminare)

-Temperatura media - Composizione media 10

Mixture Fraction PDF

P(z)

8 6 4 2

Effetto della turbolenza Interazione cinetica-turbolenza

0

0

0.2

0.4

z

0.6

0.8

1

Probability Distribution Function (PDF)

34

z

z

P(z)

t

La funzione densità di probabilità di una variabile casuale continua x è la curva che delimita la probabilità che un certo evento cada in un intervallo assegnato +∞

∫ P ( z ) dz = 1

−∞

z% =

+∞

∫

zP ( z ) dz

−∞

media

Interazione cinetica-turbolenza

g=z = '' 2

+∞

∫ ( z − z% ) P ( z ) dz 2

−∞

varianza

Double Delta Function (I) z

a0

z+

35

g

Region 4 Region 2

z%

Region 3

Si assume che la fluttuazione possa essere descritta come uno stato di intermittenza tra z- e z+

zRegion 1 t P(z)

P(z)

Region 1

a0

z%

z-

1

z

z+

P(z)

P(z)

Region 3

a0

Region 2

a0

0

z%

z

Il principale vantaggio associato all’uso della Double Delta Function e’ associato al suo costo computazionale estremamente basso, che non richiede in generale la costruzione di una libreria flamelet ad hoc in una fase di pre-processing

z

z+

Region 4

Yeoh G.H., Yuen K.K., “Computational

Fluid Dynamics in Fire Engineering Theory, Modelling and Practice”, Butterworth-Heinemann Ltd, 2009

z-

z%

Interazione cinetica-turbolenza

1

z

0

z%

1

z

Double Delta Function (II) Region 1

( )

36

Region 2

( )

      1 − z% g −   δ (1) P(z) =  δ z +  2 g   %  1 − z% +   (1 − z ) + g  1 − z%  

P(z) = 0.5δ z − + 0.5δ z +

( )

−

z = z% − g z + = z% + g

z − = z% − g z+ = 1

Region 3  P(z) =   

(

Region 4

    g  z%  δ z+  δ (0) +  2 z% + g    z% + g    z%   

)

z− = 0 z + = z% + g

Interazione cinetica-turbolenza

( )

P(z) = (1 − z% ) δ ( 0 ) + z% δ (1) g = z% (1 − z% )

Clipped Gaussian

37

Per la mixture fraction non e’ possibile utilizzare direttamente una funzione di distribuzione di probabilita’ Gaussiana, dal momento che questa ha un supporto infinito, mentre al contrario la mixture fraction deve essere limitata tra 0 e 1

P(z)

µ = −0.02 σ = 0.03

µ = 0.2 σ = 0.05

µ = 0.5 σ = 0.07 µ = 0.9 σ = 0.1

Si ricorre quindi ad una Clipped Gaussian, cioe’ una Gaussiana definita sull’intervallo (0;1) e completata con due delta di Dirac nelle posizioni 0 (ossidante puro) e 1 (combustibile puro) 1

0

 1  z − µ 2  P(z) = A 0δ ( 0 ) + exp  −    H ( z ) − H ( z − 1) + A1δ (1) 2 σ σ 2π     1

 1  z − µ 2  A0 = ∫ exp  −   dz  2  σ   −∞ σ 2π 0

A1 =

+∞

∫ 1

1

 1  z − µ 2  exp  −   dz σ 2π  2  σ   1

Interazione cinetica-turbolenza

 1  z − µ 2  z% = ∫ exp  −   dz 2 σ σ 2 π     0 1

1

g=∫ 0

1

( z − z% )

 1  z − µ 2  exp  −   dz 2 σ σ 2π     2

z

β−PDF

38 10

La PDF più diffusa nell’ambito della combustione è la cosiddetta β-PDF

Γ(a)Γ(b)

z a−1 (1 − z )

b −1

8

P(z)

P(z) =

Γ (a + b)

z = 0.5 z”2 = 0.002 z = 0.5 z”2 = 0.2

6

z = 0.2 z”2 = 0.01

z = 0.7

4

z”2 = 0.02

Dove la funzione Γ è definita: ∞

Γ (x) = ∫ e t

− t x −1

2

dt

0

I due parametri a e b della funzione sono ottenuti dalla media e varianza della mixture fraction

 z% (1 − z% )  a = z%  − 1  g  b=

Interazione cinetica-turbolenza

a −a z%

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z La β-PDF e’ in grado di descrivere abbastanza correttamente la vera PDF della mixture fraction in un ampio range di casi. In particolare tende ad una doppia delta di Dirac quando la varianza e’ molto elevata. Al contrario il suo comportamento diventa molto simile a quello di una Gaussiana quando la varianza di z e’ molto piccola.

Infinitely Fast Chemistry

39

Struttura locale della fiamma Variabili trasportate dal codice RANS

r

%i w T%

u% v% w% z% z² ''2 1

r F%=

Modello di turbolenza

Temperatura

Soluzione

Ossigeno

Fuel

mixture fraction

ò r F (z ) ×pdf (z ) ×dz 0

PDF della mixture fraction

k% e%

mixture fraction

Interazione cinetica-turbolenza

Finite Rate Chemistry

40

Struttura locale della fiamma

Variabili risolte dal codice RANS

Soluzione

r

%i T% w

u% v% w% z% z² ''2 ¥

r F%=

1

ò ò r F ×pdf (c ) ×pdf ( z ) ×d c dz 0

0

Modello di turbolenza

k e

Modellazione della scalar dissipation rate% ± '' 2

c%st = c st (k , e%, z )

Interazione cinetica-turbolenza

PDF della mixture fraction

PDF scalar dissipation rate

mixture fraction

scalar dissipation rate

Reaction Rate - Flamelets

41 Struttura locale della fiamma

Variabili risolte dal codice RANS

Termini di generazione

ρ u% v% w% T% %i w z% z² ''2

Ωi(z,χ)

% R % R R i

¥

%= r R

T

1

ò ò r R ×pdf (c ) ×pdf ( z ) ×d c dp 0

0

Modello di turbolenza

mixture fraction

PDF della mixture fraction

PDF scalar dissipation rate

mixture fraction

scalar dissipation rate

k e Modellazione della scalar dissipation rate ± '' 2

c%st = c st (k%, e%, z )

Interazione cinetica-turbolenza

Testi consigliati

42

Poinsot T., Veynante D., “Theoretical and Numerical Combustion”, Edwards, 2001 Fox R.O., “Computational Models for Turbulent Reacting Flows”, Cambridge, 2003 Peters N., “Turbulent Combustion”, Cambridge University Press, 2000 Libby A.L., Williams F. A., “Turbulent Reacting Flows”, Academic Press, 1994 Yeoh G.H., Yuen K.K., “Computational Fluid Dynamics in Fire Engineering Theory, Modelling and Practice”, Butterworth-Heinemann Ltd, 2009

Interazione cinetica-turbolenza

Acknowledgements

43/20

Chemical Reaction Engineering and Chemical Kinetics Tiziano Faravelli Alessio Frassoldati Eliseo Ranzi