7 Division Algebraica.pdf

- 87 -

- 86 -

R

=

(x_y)2 + (x-y+z)(x+y-z)

+

+(y-z+x)(y+z-x)+(z-x+y)(z+x-y) +z(z-2x) A) 2yz

B) 2xy

O) O

E)

=

+

E =

O) O

2

B)b

E) a2+b2+c2

2

C)c

(a-b)(a+b-c)

+

(b-c Hb+c-e

l+

+ (c-a) (c+a-b )

+ 2 [a(b-a)+b(c-b)+c(a-c)] A)a2

División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente. conocidas otras dos. llamadas dividendo y divisor.

20.- Simplificar:

(a_~)2+(b,c)2+(c_a)2

DIVISION ALGEBRAICA

DEFHIICION.-

yz

A) O D) /

2

C) b

7

~_--,

P _ (a+l)(a_l)(a4+a2+1)(a6-a3+1)(a6+a3+1) a9 + 1

C) 2xz

18. - Efectuar:

y

CAPITULO

19.- Simpl ificar:

NOTA If.tPORTANTE.- En toda división. la nomencl a tura de grados es así: 1)

° ID I

grado del dividendo

2)

o

grado del divisor

3)

° [q I

4)

o

Id I

IRI

PROPIEDADES

6)

•

En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4.

CASOS DE LA OIVISION.1.- Cuando se trata de dos monomios.1) Se dividen los signos mediante la regla de los signos. 2) Se dividen los coeficientes. 3) Se dividen las letras aplicando Teoría de exponentes. Ejemplo: Dividir:

grado del cociente

=

48-

E

grado del resíduo o resto. DE LA DIVISIO~I.-

En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor:

-16x y z' 254

-x

y

z

Efectuando:

1)

I

°lql = °101 - °ldl

En toda división el grado del divi den do es mayor o igual que el grado del divisor:

2)

3)

En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del res-

2.- Cuando se trata de dos polinomios.-· Se puede utilizar cualquiera de los siguientes métodos: 1) Método Método dos. 3) Método 4) ~étodo

2)

normal. de coeficientes

separa-o

de Horner. de Ruffini.

1) Método Normal.- Para dividir median te es te método se de be seguir los siguientes pasos: -

to:

1

o

Id I

>

01 R I

4f

En toda división el grado m~ximo .del resto es igual al grado del divisor menos 1:

5)

En el caso de po l i non i os homogéneos el grado del resto es ~ayor que el grado del divisor:

1

°IRI

>

°ldl

1) Se ordenan los polinomios. generalmente en forma decreciente. 2) Se escriben en línea horizontal uno a continuación del otro utilizando el signo de la división aritméti ca. 3) Se divide el primer término del dividendo. entre el orimer térmi no del divisor.obte,~·icndc el prT mer término del cociente. 4) Este término se mu l t i pl i ca porca da uno de los ténl1inos del divi-=sor y se pasan a re s t ar con los correspondient~s términos Jel di videndo. 5) Se divide el prime" tét"mino del

- 88 -

- 89 Ejemplo Ilustrativo.-

res to obten ido entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente. 6) Se procede como en el paso 4 y ~ sí suces ivamente has ta termi nar la división.

Efectuar la siguiente división:

13

6 - 20 -6

6x 5 +Sx 4 y-26x 32y +33x 23y -24xy 4+6y 5 2x2-3xY+i

2 -

+

18 - 6

+

6

- 21

+

+

21 -

5 4 3 2 ~_+.2x 1_-_3::;.x,---,,-y _ 3 2

2 3

+14x y-29x y +33x y 43223 -14x y+21x y - 7x y 3 2

2 3

7

4

o

5

24 -

5 + 7

24 +

8

4

xy - y

[q I

=

q

5

3) De esta manera 'Z

3x +7x y-4xy +7y <1 5 E 1 resto es: xy - y 2)

Método de coeficientes

3

se obtienen los coeficientes con sus signos del polinomio cociente. 4) Para determinar el orado del cociente y resto se anl i cen Las prp piedades:

separados.'Iq¡

En este caso, además de las consideraciones anteriores se debe tener en cue~ ta: 1) Se trabaja solamente con los co~ ficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor. 2) En caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero,tanto en el dividendo como en el divisor. Procedimiento.-

8

3 -

o

101

o

Id I

5 - 2

=

nos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha. .

3

=

2x3 - 6x2 - 7x + 8

5) Se reduce la siguiente

columna y se coloca el resultado en la par te superior para dividir10 entre el primer coeficiente del divisor v obtener el seQundo término del cociente. -

El resto es de grado:

2

+

8

El coci ente es:

_14x2y3+21xy4_7yS

3

+

+

El cociente es de grado:

+14x y -20xy +6y

El cociente es:

1

3

4

~ 3x 3y 2 -12x 2 y 3+ 4xy 4 2 3

I

31 - 12

+

8x y +26x y -24xy

7

2 - 6 25

5 4 32 23 4 5 6x +5x y-26x y +33x y -24xy +6y

+

2 +

Procedimiento.-

4

25 - 12

15

18 +

+

0101

'1 Riel

°ldl

di

o

IR I

=

El resto es:

o

Idl

-

R

3x -

=

1 =

2

,

1

~1ETODO DE HORr:ER.- Este método es un caso particular del método de coeficientes separados y se emplea para la 1ivisión de dos Dolinomios de cualquier grado. . 3)

Procedimiento: 5) Este método es recomendable para po1inomios de una sola variable. Ejemplo Ilustrativo.-

Efectuar la división: 4 3 6x5-20x -13x +25x2-12x+i x2-x+1

6) Se multiplica

este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la terce ra fila y corriendo un lugar ha~ cia la derecha.

7) Se continúa

este procedimiento hasta obtener el término debajo del último término del dividendo, seDarando inmediatamente los términos del cociente y resto.

1) Se escriben los coeficientes del dividendo en una fila con su pr.Q. pio signo. 2) Se escriben los coeficientes del divisor en una columna a la iz'quierda del primer término del dividendo; el primero de e llos con su propio signo y los restan tes con signos cambiados. 3) El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente. 4) Se multiplica este término del cociente solamente por los térmi

8) Pa ra ob tener los coefi ci entes de 1 residuo se reducen directamente cada una de las columnas que per tenecen. Ejercicio

Ilustrativo.-

Efectuar la división de poli-

nomios: 8x5+14x4+Sx3+16x2+3x+2 4/+x+3 Solución.-

Los grados del cociente y r~

- 91 - 90 I

5) Se suma la tercera co1umna,da -4,se divide entre 4, da -1, este resultado es el tercer coeficiente del cociente. 6) -1, se multiplica por (-1, -3) Y da la fila +1, +3, corriendo un lugar hacia la derecha. 7) Se suma la cuarta columna, da +8,se divide entre 4, da 2,este resultado es el cuarto coeficiente del cocie~ te. 8) 2, se multiplica por (-1, -3) Y da la fila -2 y -6, 9) Como el último término de este producto queda debajo del último coefi ciente del dividendo 2, se separa con una línea los términos obtenidos los cuales pertenecen al ccc en te. 10) Se reducen las siguientes columnas, da 4 y -4 Y se bajan directamente, son los coeficientes del resto.

siduo serán:

'1 d I 1

= 5 - 2

= 2'-

1

=

=

3

1

Procedimiento: 4

12 - 4 + 8' 8 + 14 + 5 + 16:+ 3 + 2 2 - 6

-1

- 3 -

-3

+

9:, 1:+ , 'I

12+

3-1+2

'-------y---'

coeficientes de 1 coci ente

- 6

2)

3)

4)

4 - 4

'-~

-x

4

+

O

+

x a -

3 3

x a J

= o

SOLUCION.- Utilizando el método de coeficientes separados,e1 resto debe ser un po1inomio idénticamente nulo,

Igualando a cero los factores: m

l+m = O

=

-1

m +

12 - 9 + 14 8 +

O

-12

n-p

O + 2 - 6

L3

24

+ 2

4 -

- 9 +

6 + 24-m +

+ 9

O + + 6

Q(x)

2x3+3x2-x+2

R(x)

4x-4

n 18

6

n-lB - p

30-m O

- 4

30-m

n-22

6

+12 - p+

12

PROBLE~t~ 3.- Calcular p y q, si la división es exacta:

Como la división no deja resto, debe te nerse que:

PROBLEMA 1.- Hallar el valor de "m" para que la división sea exa~ ta.

30-m

O

m = 30

n-22

O

n = 22

-p+ 12

O

p = 12

+6

Dividiendo por el método normal. Si la división es exacta, el residuo debe ser un polinomio idénticamente nulo.

d

a'

x2 _ ax +

+p

+6

-5 +36

-5

x2

r

+6

a2

xa _ ma2

I

(m+llx2a2 J

--,x:::a,-xa

3

_

(

+q

O

-30 -5p-155

el resto es: (6p+156)x + (-5p+q-155)

+

mxa3 +

Por condición:

( r

p+3l

-5p+q-155 R (x) := Ox + O

Luego el cociente es: Q(x) = /+6x+(p+3Il

2

+ px

SOLUCION.- Para que una división seaexa~ ta,e1 resto debe ser un po1inomio idénticamente nulo, dividiendo por el método de Horner:

60+186 +

4

+ g x2 _ 6x + 5

x

O

SOLUC ION.-

2 2 x a

2 2 mx a

(l+m)(_xa3+x4)

EJERCICIOS RESUELTOS.-

o

x a ...:+~_--".x~a

PROBLEr1A 2.- Hallar m, n y p si la divi sión que sigue no deja reI to: 5 l2x -9x4+l4x3_mx2+nx_p 3x3+2x-6

Fac tori zando:

-

coeficientes de 1 res to

2 2

a

m=-l

Escribiendo su parte literal:

Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es el primer coeficie~ te del cociente, 2, se multiplica por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo (-1, -3), dando como resul tado: -2, -6 que se colocan en la segunda fila corriendo un lugar hacia la derecha. Se suma la segunda columna (correspondiente al.dividendo) y el resultado se divide entre 4 igual a 3, este valor es el segundo coeficiente del cociente. 3, se multiplica por (-1, -3) Y da la tercera fila -3, - 9, corriendo, un lugar hacia la derecha. x4

Rpta.:

Si la división es exacta: _(I+m)xa3 + (1+m)x4

í

Explicación: 1)

I

(6p+155)x + (-5p+q-155) _ Ox identificando

coeficientes:

6p + 156

O

p

-26

-5p+q-155

O

q

25

+

O

- 92 Rpta.:

p = -26,

- 93 -

q = 25

deja como resto:

33m-190 --4-=

PROBLEMA 4.- Determinar m y n si la división:

_x4 t

SOLUCION.- Aplicando la división normal se tendrá: mxa3 t

x2a2 t

t 2x3a

de un cociente cuyos coeficientes van aumentando de 4 en 4 y deja un resto igual a 34x+3, hallar el valor de:

n = 27

-3

nt~= Rpta. : m = 6 n = 27

E =

20

5

t

2x2a2 t

(a+b) - (c+d)

SOLUCION.- Dividiendo por Horner:

PROBLEt1A 6.- Si la división:

/ _ 2xa - 2a 2

x3a _ x2a2 2x3a _ Ox2a 2

20x4+6ax3-3bx2-17Cx+9d Sx2-7x+2

6

2

x4 -3x3atx2a 2+mxa 3+na 4 x2-axta2 x4 _ 3x3a t

m =

2

+6a

-3b

+28

-8

-17c

+9d

+7 56

-16

-2 (rn)xa3 + 7a 3

m a3

El resto es:

m

(n+2)a4 = 8a4

=

4xZ-S.+m SOLUCION.- Dividie' ~J por Horner:

identificando coeficientes:

-24

-17c+68

9d-24

(-17c+68)x + (9d-24)

El cociente es:

identificando

4/+8x+ 12

n = 6

PROBLEHA 5.- Calcular' m y n si el resto de división es: 2x-3. 4 12x -23x3_8mx2_35x+n

Por dato, el resto es: ha3 + 8a4 mxa3 + (n+2)a4 = 7xa3 + 8a4

12

8

4

84

coeficientes:

-17c + 68

El resto es: (-17c+68)x

9d

+ (9d-2~)

1) El segundo coeficiente es 8 ya aumenta de 4 en 4, luego:

Rpta.:

que

c =

34

24

d

3

por lo tanto:

Para el cociente:

34x·3

3

E.= (2-4) - (2+3)

E=-7

PROBLEMA 7.- Calcular el valor de: 4 +5 -m

I I

12

I

-23

+8m

+15

-3m

I

+2m 25m-50

-4-

-5m2+IOm 4

3

-2

5m-l0 -4-

\

2 + (n + -Sm +10m) R(x) = (33m-190)x 4 4

-3b-8+S6 5

= 2

(33m-190)x 4

+

E = a+b si la división c+l exac ta .

es 12, luego:

12

b = -4

SOLUC ION.Dividiendo por Horner:

_5m2+.1Om n + --4--

133m~190

Luego:

El resto es:

iJ

Para el res to:

I

~

6a+28 _ 8 -5-2) El tercer coeficiente

-la

I

+n

-35

2 (n + 10m-5m ) - 2x-3 4

(a+lf términos

.,-----

~I

O

O

2

-1 4

I

O

R(x)

2x-3

2n-2

Identificando coeficientes: +2

+3

+c

-2

I

Por condición:

-b

O

(n-I)

/f

- n+l

2n

-n

-b+n+l

c-n

es

¡

- 95 -

- 94 identificando

El cociente es:

=

Q(x)

xa-2 + 2xa-3 + 3xa-4 + ... + n

-b+n+l

c-n

El res to es: R(x)

=

=

(-b+n+l)x + (c-n)

e

O

b = n+ 1

=

O

c

=

n

Rpta .: E

Ox

-B

("r)

-C

=

2

_ a2+ab+b2 - a2_3b2-

PROBLEMA 3.- Calcular:

x4+(a_b)x3+(a_b)x+b2

si la división: es exac ta.

R( x) _ Ox + O (-b+n+1)x + (c-n) "

(s)

y y:

a-l ... (a)

2) Si la división es exacta:

Luego:

=

-B

-C

B+C

x2_(a_b)x+b2

SOLUCIOII.- Dividiendo por el método de Horner:

+ O

l

l

-(A+B)

-C

-B

-C

-B

-(A+B+C)

O

Rpta. : A + B + C

El cociente es:

El resto es:

=

O

/+x+1

PROBLHIA 10.- Calcular "a" Y "b" división:

-(A+B+C)

/ +ax+b es exac ta. /+2x+l

R = O

Condición:

SOLUC ION.- Dividiendo Horner:

Luego: -2 O -2

O

(a-b)

A (A+B+C)

En la expresión pedida, reemplazando a,

El coeficiente "n" del cociente corresponde al término (a-l) en el dividendo; se tendrá: 1) n

l,

coeficientes:

A

A

A (A+B)

+3 O

-4 O

+5 O

-6 O

si la

por el método de

+b

a

-1

c2 +4

a-b

)

-2b2(a_b) (a_b){2(a_b)2-b2¡

-6

I

-b2{2(a_b)2_b:·

+2

-1

-3 +4

+8

-10 '. -5 2

2

2

(a-b)(2a -4ab-b +l)-b [1-:2(a-b)

2

-b

2.·

iJ

El cociente es:

r•

x2+2(l.~;~·¡2(a-b)2-b2¡ El resto e s: R(x) = (a_b'(2a2_~ab_b2+l)x

4b2 + 2b2 + b2 .4b2 _ 3b2

+

- b2[1_(2(a_b)2_b2!] Rpta.: Por 1a cond i r i .'

E

=

-3/2

Y

R(x)

E =

R( x ) " O

'\x4 + (AtB)x3 + (A+B+C)/

+ (6+C)x - A-B A/+~~:Z--_·_----

- ."( a- b ) 2"IJ : .: J-'.!

Ox~O

no deja resto. CJ0ricientes:

a =

b

SOLUC 1011.-

a = 2b

En la expre sión ; "dra e

=

b:

Dividiendo por Horner:

= (a+7)Á ' (b+6)

Como la división es exact~:

si la divi-

Es decir:

I

+3

-4

+5

-6

+6

a+7

b+6

identificando

cs :

El resto es:

PROBLEMA 9.- Hallar A+B+C sión:

Luego:

identifican¿J

El cociente

2b:

En la eÁ~resión, para a

-2

+12

(a+n -, + (b+S)

Ox + O

coeficientes:

a + 7

O

= - 7

b + 6

O

b = -6

PROBLEr·lA11.- Calcular la relación entre p y q si la división de: es x4 + (p+2m)x + q-l entre exac ta . SOLUC ION.Dividiendo por Horner:

- 96 m2+1 O

-m O

- 97 -

p+2m

9-1

+1

-m

+m2

m2+1

-m

-3i

3

+d3

p-m

Determinando el grado de cada expresión: p{x)7 = 7 x 3

R{x) = (p_m3)x + (m2+q) Como la división es exacta:

x + 3d 21

identificando p - m

3

Luego:

=

15

(_a+6d2)x2+{b_8d3)x+{_c+3d4)

16

identificando

Q{x)4

=

m2 + q

= =

O

5 x 4 x 4

-q

=

m

p{x)5 + Q{x)4

=

m

6

2 y (! t)

al cuadrado

Elevando (I) se obti ene:

-q

y de estas dos últimas

3

in

P

=-q

16

(I)

IP{x)7 + Q5{x) 12n

=

21 x (2n)

(II)

IP{x)5 + Q4{x) In+3

=

16{n+3)

al cubo

relaciones

¡p5{x)

+ Q (x))

-a + 6d2 3 b + 8d

O

-c + 3d4

O

a

=

=

a

bl E

=

{6i)3

6

216d

(8d3)2

=

=

3.375

646

3.375

PROBLE~IA 14.- Hallar la condición que la división:

para

x\m/+nx+a.b x2+ax+b

6d2

b = 8d3 c = 3d4

O

sea exacta. SOLUCION.-

Dividiendo

por Horner:

+m-a

m

r,

+ab

-a -a

.", Grado:

-b{m-a)

,,-a

se ob

3

Q5{x).;2n 4 n+3

Ox2+)x+O

los coeficientes:

42n

ab-b{m-a)

n-b-a{m-a)

Por condición: El cociente es:

42n - 16{n+3) = 4,

+

=

3

estos valores en la condi-

-b

PROBLE~1A 12.- Hallar el valor de "n" si , el qrado de P{x) y Q{x) es igual a 3 y 4 respectivamente ..y se conoce que el grado de la expreslon: lp7{x)

=

el R " O Rpta.:

Ó

tiene: 2

21

Ox + O

P

O

i

p{x)7 + Q{x)5

coeficientes: = m3

del problema

20

por lo tanto: "

+3d4

Sustituyendo ción:

Q{x)5 = 5 x 4 p{x)5

R{x) " O

2

_9d3

El cociente es:

Por condición

+ (m +q)

9d2

-c

3d

El resto es:

{p_m3)x

+3d

+d3

m +q

x2_mx+{m2+1)

q{x)

+b

_3d2

2

3

SOLUCION.-

El cociente es:

-a

+3d

-m -m -m

+3d O

x + (m-a) operandO:

Rpta.:

Sustituyendo

(I)

= m

valor de m en (si) :

n = 2 Por condición:

PROBLE~

2a

de donde:

n - b - a{2a-a)

R " O

13.- Si la división: luego:

x4 -a/+bx-c -7'--~--=-+-~ es exa cta . 3 .x _3dx2+3d2x-d3

Calcular:

[n-b-a{m-a)]x identificando 1.-

es igua 1 a 4. SOLUCION.- Dividiendo

por Horner:

n - b

de donde: Ox + O

+ [ab-b{m-a)] coeficientes:

(n-b)

a{m-a)

=

Sustituyendo valor de (I), en (3) :

"al!

O; a2

(8)

que sale

de

2

O

2.-

eb - b{m-a)

= O;

reduciendo:

ab - bm +ab

= O;

n - b =

i

4{n-b)

PRO~LErIA 15.- Calcular m, n y p resto es 5x2+7x+8.

si

el

- 98 5

3

2

8x +4x +mx +nx+p 2x3+x2+3

2

-¡-1

I

O

I

SOLUC ION.-

8

O -4

do se dividen entre el primer coeficiente del divisor.

R ~ 16

Dividiendo -4

I

- 99 -

por Horner:

e) El resto obt en i do

+2 +4

+m

o

-12

+2

D

+6

-1

O

-3

m-l3

n+6

p-3

I

-3

+n

+p Su forma general: ax sí:

I

Ejemplo Ilustrativo.-

b. Se procede a·

o

:

i

+1

-2

El cociente es:

1) Se factoriza ~

(ax ~ b ) :: a (x

1.- Cuando el coeficiente del primer término del divisor es igual a 1.-

4x2 -2x+ 1

a ltera-

Su forma general: x ~ b , Se opera as í :

b ) Se divide

entre primer caso.

(x

!

Hallar cociente y resto en:

13x5-25x3-5x2-12x-16 3x+2

a) Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es aecir:

I

4

no sufre

ción.

3 así:3(x +.?) 3

1:»

a ~),

2) Dividiendo

como en el

entre x +

t

a

c) Los coeficientes

3) Previamente con cero.

del cociente obteni

se completa el dividendo

El resto es: (m-13)x2 + (n+6)x

1) Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal; 2) Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coe ficiente del primer término del di'/f dendo; -

(p-3) el resto es 5x2+7x+8

Por condición

+

Por lo tanto: (m-13)/

' (n+6)x + (p-3).

identificando m - 13 n +

5

ó

p.-

m ~ 18,

3) Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente, es igual al primer coeficiente del dividendo; 4) Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

coeficientes: m

~ 18

n

~

p

8 n

=

11

,. ~ 11

1,

Ejemplo Ilustrativo.-

Obtener el cocien te y el resto en

la división:

4) REGLA DE RUFFINI.-

4x4 _5x3 +6/ +7x +8 x+1

Finalidad.- Se utiliza para dividir po-----1 i nom ios cuando el divisor es un b i nor"; de primer grado. Se estudian 3 Ca;J5: 4 -1 4

L.

Procedimi ento:

-5

+6

+7

+3

-4

+9

-15

.8

-9 ______ coeficientes

+15 ·3 ,,-.----J

I

3"

"6

-29

--5

-12

-16

-12

+8

+14

-6

+12

18

-12

-21

.\'-------ycoeficientes

5-1 Cociente

=

primario

4 -1

-

El cociente verdadero: q

R

=

-4 de la forma:

1

4x3 - 9x2

+

15x - 8

de la variable

Ejercicio

Ilustrativo.-

del divi-

Hallar el cocien te y el reste

6x36+17x27_16xI8+17x9+12 3x9+1 Procedimiento.-

6x4-4x3-7x2+3x_6

del cociente

q

te

en:

En este caso para que ladivisión se pu~ da efectuar los exponentes de la Nariable del dividendo, deben ser múltiplos

cociente:

~

./

COC1~":~

4 18x4-12x3-21x2+9x-18

6

Grado del cociente:

del

Dividiendo todo el cociente primario en tre 3, porque es el primer coeficiente del divisor, se tiene:

El res to:

resto

-9~-resto

-

del exponcn sor.

El grado del cociente obtenido es:

3.- Cuando el divisor es axJl+b.-

L-~._+-

o

18 2

- 3'

6

La primera observación dá que los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos del exponente 9 del divisor, luego se puede aplicar el método. ~aciendo x9 = y, la división es: 6y4+17y3.16y2+17Y+12 3y+1 Apl icando el segundo ca so:

+ 17

-16

+17

+12

-2

-5

+7

-8

+15

-21

+24

~

- 100 -

- 101 -

R

=

+4

primario:

el resto es:

6y3 + 15y2 - 21y + 24

EJERCICIOS RESUELTOS.-

Cociente

se anula para x = ~ y para x = ~. Hállese otro valor q~e también 10creduzca a cero.

PROBLEr-IA4. - Sea el poli nomio: Dividiendo te:

entre 3 da verdadero

3

2y3 + 5y2 - 7y + 8

q

x2 + ax + 2

Resto:

R

2

-2

-2a-2

a+2

a2+2a

2a+4

~

a ti

por Ruffini:

abc

b2c

ab2

_b2c

_c2b

O

abc O

2b

C

O

abc

x-I2+1

de la siguiente divi-

SOLUCION.- Aplicando O

3a-2

O

Ruffini:

+2a+7

O

3-212' 12-1 3-2a 1r-~a~-~l~~~~~~~~-

a-l

-1

12-1

a+l

.", Rllta.: c , el otro valor. a

6x3-5x2+ax-l entre 2x+l sabiendo que su cociente toma el valor numérico de 2 para x = l.

PROBLEr·1A.- Hallar el residuo de la divi

SOLUCION.- Dividiendo

~ ox

PROBLEr-IA 3.-

6 - 3x2 - mx - 6

1 2

2x - 3 "m"

si la división

es exac-

6 3

2" 6

SOLUC ION.- Dividiendo

-3

-m

+9

+9

.+6

9-m

por Ruffi ni:

6

l2

El cociente (9-m)

_

óx2

_

El cociente

- 6

~~m)

Según el prob1ema,e1 resto debe ser cero, es dec ir :

primario: 6x2 + 6x + 9 - m entre 2 da el cociente 3x

+ 3x +

2

1

-5

+a

-

-3

+4

- 2"1 (a+4)

-8

a+4

- 2"1 (a+4) -

1

eliminando denominadores:

primario: 8x

~ (9-m) - 6

real: Rpta.:

m

O; de donde:

6 -8

+ a + 4 div. entre 2:

+ a +

a

es: 2

9-m

por Ruffini:

-6

3x2 _ 4x + (a+4)

2

sión de:

, El otro valor es ~ porque al dividir en tre el valor ~ daao para x, se anula. a

I

1"[-1

_ 3

Dividiendo

_/b_ac2

_b2a,_c2b

c a

I

Cociente

-abc

x5 + (3/Z'-2)x3 + 212' + 7

el resto

Calcular ta:

a2b+b 2c+c 2a

2 a c

b e

+2

2

SOLUCION.-

- abc

-a2c_b 2a_c2b

abc

abc

+2_a2_2a

PROBLE~1A 2.Hallar sión:

+

+ (a2b+b2c+c2a)x

2

SOLUCIO~.- Dividiendo

a Cociente:

2

y el co-

x -2x +(2-a -2a)x-2a-2 x-a-2

reemplazando y = x9 el cociente es: q = 2x27 + 5x18 7x9 + 8

a+2

abcx3 _ (a2c+b2a+c2b)x2

PROBLE~l~ 1.- Hallar el resto ciente en:

cocien-

3 -

a+4 4 + -2- = 2

=

4

=

Si e 1 res to es:

2"1 (a+4) -

R

El valor numérico para x = 1 será: 3(1)2 - 4(1) + -a+4 = 2 2

4

sus t. a

2:

R

-

R

-4

i (2+4)

1;

- 1

-

- 103 -

102 -

A) 24

B) 21

O) 12

El 16

6.- Ca(cular:

6a+ób+2c

PROBLEt-1AS PROPUESTOS.-

1~1.-

Calcular A+B si la división: 2x4

3x2 + Ax + B es exac ta. 2x2 + 2x + 3 +

s) 4

Dl 12

/;.-

El

e)

B)

Al

O

2

3

2

2

x.+{2a+m)x +(a +b+n)x+ab x2+ax+b dar el valor de:

B) 16

O) 210

E) 49

C) 50

2x2 + xy - 2/

3p

-Jp

D)

m-n

2p

2x2-3x+l

B) 4

O)

E) 3

O

10

P{x)

x8 - 2~4 _ 16x2 + t!

para x

= /~

Al 5 .

B) 32

Dl 37

El 27

.3

Al

!tia

O) 4

E) Ninguna

18.- En el po l inomio:

A) 4

=

(13 _l2)x5

_212x3

- 2 /!x + 12 + 2

¡r;

4

se observa que la suma algebraica de los coeficientes del cociente es cero. El valor de este último:

2 , es 9.- S·1 e 1 p:, 111110: x23 +2;;¡x+Sax+b divisible entre: x -3nx+2a. Encontrar el valor de (a/b).

C)-I

Calcular p(13 + 12)

15

nx4+{n_n2+1)x3+x2_n2x+n2_7 x-n+1

16

a

x - a ". 1

Cl II

B) 3

14.- Al efectuar la división:

. C) 5

C) - 27

17.- Hallar el resto de la división:

P{x)

O)

12

16.- Hallar el valor de E = n-m, si la divi s ión: 12x4 + 29x3 - 5mx2 - 49x + n 4x2 + 7x - m

Cl 2

B) -4

A) -4

C)

x4 _ (a+2)x3 + ax2 + x + /.+

13.- Evaluar: C) 4

Al -4

es exacta.

D) 3

8.- Si a y b son mayores que cero. Calcular E = a+m, sabiendo que el resto de la división: 3x 4 -4x3+ax2+5x-2 es R = 8x 2. 2 x -x+rn

10,E)

Bl 2m-n

A) 4

2a2m2 + m2b2

A) 13

/4. - El residuo en la división es -ló: .46x - x 3y 6x 22y + 5xy 3_.:..lL4

mn

p

12.- Hallar n-m si la división es exacta: 2mx3 -mx2+3nx-6

E)

O)

Hal.lar ABC.

é)

n2 + a2m2

B)

-4x2+Cx-15

A) m+n

E) Ninguna

El 5

O) -6

E =

BO

C) 4

Bl 8

2

7.- En la siguiente división exacta:

C) -1

. el cociente es: 3x+B; el resto:

11.- Hallar la relación existente entre Ilmll, I'nll, Ilpll si la siguiente divi sión es exacta: (3x3_mx2+nx+p) (x2-al

i . x 3 -7a 2+6b 3 s2. e 1 po l momio entre: x -(a+c)x+ac, deja como resto cero.

3x5 _ 2x4 _ 3x3 + mx2 + nx + p 3x3 - 2x2 + A) 3

15

b

5

Calcular m+n+p~ si la división deja co~~ resto: 2x-+x-5.

e)

B) 12

Al -6

B)

O)

E)

2

!J.- En la siguiente 'm+n+p

8x5

Cl ti

-2

3

división:

calcular

4x3 + mx2 + nx + ~ 2x3 + + 3

i

C) -4

si el resto es igual a: 5/-3x+7. Hallar el valor de "y". A)

B) 3 _

A)

J.. 5m

C) 2

B) )jii

(

O) -1

t,

E) 4

F) \ \o

O) ~

I

5.- Cuando ~l poljnomio: 8x4_AX3+8x2+Cx+D se divide entre: 2x2-x+l; se obtiene un cociente cuyos coeficientes van disminuyendo de I en I a partir del primer térmi no. y un res iduo igual a 5x+l. Hallar: A+B+C+O.

~

¡Al'-

E) ~

C) 5m

F)\

Indicar e1 re3to que.resulta al di'1idir: 8x +4x--6mx+15 entre (2x-l), sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.__ .4) -1

B)

0)

%

1

E) -3

A) 27

._ El s i qu ien te-e squema representa la división por el método Horner:

m

g

E) 36

B) 40

C) 35

E) Ninsuna F~ II 2 20.- Determinar a2+b p~ra que la división: D) 85

d

sea exacta.

e 9

C) -35 -2

35

(1r\

determinar

P

(m+p) .

4

I

-3

A) 625

Bl

25

O) 620

E) 600

e) 650

- 104 -

- 105 -

CLAVE DE RESPUESTAS 1 A,

2 B,

3 A,

13 E, 14 C, 15 B,

4 C,

5 E,

6 B,

7 A,

8 A,

CAPITULO 9 A,

8

'------- I

10 D, 11 C, 12 E,

TEORH1A DEL RESTO O DE DESCARTES

16 E, 17 B, 18 C, 19 A, 20 C. FINALIDAD.una división,

Este teorema tiene por obje tivo determinar el resto en sin efectuar la división.

REGLA PRACTICA PARA HALLAR EL RESTO.(1)

Se iguala

r

ENUNCIADO DEL TEOREMA.-"E1 resto de dividir un po1 ino mio racional y entero en "x" entre un binomio de la forma "ax±bx" es· igual al valor numérico que adquiere dicho po 1 inomio cuando se reemplaza en él ,x por + b/a". DE~10STRACION DEL TEORE~1A.- En forma nera1: Dividendo

?(x) , racional

Divi

ax!b

SOY'

Cociente

q(x)

Resto

R

"La t!"iStez3 y el lamento s.::>n ::!e ~ecios; la ale5~ra y el )p~imismo SO:l :~ sa:,ios" J. G. G.

:!:

(3)

Se reemplaza en el dendo "x" por

ge-

a cero:

=

b

Se despeja

O

"x":

po1 inomio

divi-

- b + -

y entero.

a

!!..) a

R = p(+

"-

Ejemplo

En toda

divisor

(2)

-S P(+ ~) a

=

el ax

I1ustrativo.-

Hallar de las

el resto Siguientes

divisiones:

división: A)

+

(x_3)64

x - 3

D = dq + R

2

- 19x + 14x - 15 2x - 3

D = dividendo d = divisor c = cociente R = resto, reernpl a ze ndo por P(x) hac i endo :

sus

" (ax x =

equivalentes:

± b ) qí x)

+ ~.a

'

+ R '.'

P(+

(+ b ~ b).

La""

El primer factor cero, luego:

A) En la

primera

x - 3

2)

x

í

s ión:

= O =

3;

Su s t i tuyendo

(3_3)64

Pp)

+ (3_3)40

:

+ (3_1)16

+ R

+

_ 164

a

q(:;:~)

a

del .s equndo

R

O + O + 216

164

R

216

216 _ 216

+ R

mienibro

R

1) R = P(+ !!..)

a

(24)4

es B) E11 la

ó:

d iv

1)

3) R

la(:;: ~) + b "1 q(:;' ~)

a

-

reemp1azandoen(l)

P(.;: !!..) . a ~)

(1)

Solución,

L.Q,Q.D.

2)

segunda 2x

=

O

división:

-

3 = O = ~

; Sustituyendo:

O