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Capítulo

6

El Coste

A. Introducción

La dimensión temporal de la producción En el capítulo anterior, no estudiamos precisamente con detalle el significado de los términos “factores de producción” y “productos” y, en especial, no analizamos la dimensión temporal de la función producción de la empresa. En su lugar preferimos hablar de “niveles” de producción y de utilización y de utilización de factores productivos, para centrarmos en las relaciones técnicas implicadas. Sin embargo, la producción es un flujo y, en consecuencia, debe tener una dimensión temporal: carece de sentido decir que una empresa produce muchas toneladas de un bien determinado a menos que especifiquemos el periodo de tiempo (horas, días, meses o años) que se invirtió en la producción. En consecuencia, la variable y tiene las dimensiones de una tasa de flujo de unidades del bien por unidad de tiempo o por periodo. Los niveles de utilización de los factores de producción deben interpretarse de igual manera. Esta interpretación es senculla de ver con factores tales como las materias primas que la empresa transforma o consume 𝑧𝑖 tendrá entonces la dimensión de un flujo de cantidad de materia prima del tipo i consumida por periodo. Sin embargo, los activos duraderos, como las máquinas, no son consumidos por la empresa, como bien indica el término. En estos casos, podemos considerar el activo en sí mismo como si fuera un stock de servicios productivos y 𝑧𝑖 fuera el flujo de servicios productivos del activo utilizado por periodo de tiempo. Por ejemplo, con una máquina del tipo i, 𝑧𝑖 serían horas de máquina (el número de horas que se usa la máquina) por día. La capacidad de un activo es el flujo máximo posible de servicios productivos que se pueden usar por periodo. En el ejemplo anterior, la capacidad de la máquina es 24 horas-máquina al día (suponiendo que no se necesita tiempo para refrigerarse, para mantenimiento, etc.). Como veremos en la Sección C, a menudo será necesario distinguir cuidadosamente entre la capacidad y el uso real. En el presente capítulo, un “factor de producción” se medirá siempre como una tasa de flujo, bien de algún bien físico (carbón, petróleo, algodón) o bien de los servicios de algún factor de producción que no se consume en el proceso de producción (mano de obra, maquinaria, etc.).

Tomas de decisión a corto y largo plazo Nos centramos en un modelo de dos factores y supondremos que 𝑧1 es un factor variable: la empresa puede modificar la cantidad que usa de él a voluntad. También puede decicidr al principio del periodo 0, el periodo “actual”, utilizar cualquier nivel de 𝑧1 en la producción durante el periodo 0 y puede llevar a cabo esa decisión. La variación de la cantidad del otro factor, 𝑧2 , necesita un tiempo: es necesario que transcurra un periodo para disponer de un aumento de 𝑧2 , por ejemplo, el flujo de servicios de una máquina o de un tipo de mano de obra cualificada. Una decisión que se tome “ahora”, al principio del periodo 0, sobre aumentar la cantidad de 𝑧2 en 𝛥𝑧2 implicará que ese aumento esté disponible para usarlo en la producción de y al principio del periodo 1. Por lo que respecta a la producción en el periodo 0, 𝑧2 es un factor limitado. La cantidad de 𝑧2 utilizada en el periodo 0 no se puede aumentar más allá de la cantidad disponible al principio del periodo 0. Por otro lado, la emprese puede o no reducir la cantidad de 𝑧2 que utilice en el periodo 0. Si el factor es divisible, la empres podrá utilizar una cantidad menor que la máxima disponible, a menos que exista alguna limitación contractual. Dado que los contratos normalmente estipulan la cantidad de un factor por la que se pagará en lugar de la cantidad deberá usarse, la divisibilidad del factor normalmente implicará la posibilidad de usarlo por debajo de su capacidad. Por ejemplo, una empresa puede contratar mano de obra mediante contratos mensuales, y puede aumentar o reducir el número de trabajadores a los cuales debe pagar un salario garantizado en ese periodo, pero si lo desea, puede permitir que los trabajadores no complan su jornada completa. La distinción entre factores variables y factores fijos tiene una consecuencia crucial para la toma de decisiones de la empresa. La empresa se sitúa al comienzo del periodo 0 (el actual) y en ese momento debe adoptat dos tipos de decisiones. Primero, dado el nivel de producción deseado para el periodo 0, debe elegir un nivel exacto de 𝑧1 para el periodo 0, recordando que la cantidad máxima de 𝑧2 es fija en el periodo 0. (Cuando 𝑧2 puede ser inferior a su nivel máximo, la empresa debe también elegir un nivel exacto de 𝑧2 para usarlo en el periodo 0.) Segundo, dado el nivel de producción deseado o planificado para el periodo 1, debe elaborar un plan que especifique los niveles deseados de 𝑧1 y 𝑧2 que se van a usar en el periodo 1. Si, en la planificación, la cantidad deseada de 𝑧2 para el periodo 1 es distinta de la cantidad de 𝑧2 que posee la empresa al principio del periodo 0, ésta deberá comenzar a organizar los cambios necesarios al principio del periodo 0, de manera que esa cantidad esté disponible al principio del periodo 1. De este modo, las elecciones llevadas a cabo por la empresa en el periodo 0 son los niveles de los factores que se van a utilizar exactamente durante el periodo 0, y enl cambio en el factor limitado disponible para el siguiente periodo. Para predecir cómo se modificará el comportamiento de la empresa en respuesta a los cambios en los niveles deseados de producción durante los periodos 0 y 1, o los cambios en los costes de los factores, debemos construir un modelo que recoja los dos tipos de decisión que ha de tomar la empresa al principio del periodo 0. En la Sección B consideraremos el

problema de encontrar los niveles deseados de 𝑧1 y 𝑧2 que hagan mínimo el coste de producción planificada para el periodo 1. En este problema, ambos factores son variables, ya que la empresa podrá realizar cualquier cambio planificado en 𝑧2 al principio del periodo 1. A esto nos referimos como el problema de minimización del coste a largo plazo. En la Sección C elaboraremos un modelo del problema que supone establecer 𝑧1 , con un valor fijo máximo de 𝑧2 , de manera que se haga mínimo el coste de producción necesario para el periodo 0. Éste será el problema de minimización del coste a corto plazo.

Costes de ajuste En lo expuesto anteriormente supusimos que era imposible aumentar 𝑧2 durante el periodo 0 pero 𝑧1 podía modificarse libremente. Esta distinción es una manera poco burda de reconocer que, generalmente, existen diferentes costes de ajuste para los diferentes tipos de factores. Los costes de ajuste son aquellos costes que se asocian únicamente a un cambio en el nivel de uso de un factor. Más aún, en los cambios en las cantidades de los factores tienen que ser planificados y organizados, además y por encima de la gestión de las actividades en curso. Todo esto absorbe recursos y de ahpi que suponga unos costes de ajuste. Por ejemplo, si una empresa desea contratar más mano de obra, puede tener que hacer publicidad para conseguir nuevos trabajadores; pero, una vez que los nuevos trabajadores estén contratados, la publicidad ya no serpa necesaria. El coste de la publicidad es un coste de ajuste: se incurre en él únicamente porque la empresa desea contratar más trabajadores, pero no se necesita para retener a los trabajadores ya empleados. Si los niveles reales de utilización de los factores son diferentes de los niveles que hacen mínimo el coste, a la empresa le merecerá la pena realizar los cambios en dichos niveles de factores. Estos cambios impondrán costes de ajuste, así que la empresa deberá elegir la tasa óptima de ajuste comparando las ganancias (menores coste de producción) y los costes de ajuste de los cambios. Estos problemas son complicados (aunque no imposibles de resolver) y aquí se adoptará la simplificación de considerar los facotres fijos y variables como casos opuestos de costes de ajuste. Puede considerarse que los factores variables tienen unos costes e ajuste nulos y que los factores fijos tienen unos costes de ajuste infinitos para cambios durante el periodo 0. El lector debe recordar que los términos “largo plazo” y “corto plazo” están basados en estos casos extremos y que la tasa de ajuste de los factores por parte de la empresa no está determinada únicamente por la tecnología: depende de una decisión económica tomada a partir de la compración entre beneficios y costes de ajuste.

Costes de oportunidad Antes de que podamos analizar los problemas de minimización del coste debemos definir lo que es el “coste” de un factor para la empresa. El coste marginal de oportunidad de un factor es el valor de la alternativa a la que renuncia la empresa por el uso de una unidad adicional de ese factor. Si la empresa no dispone en este momento de la unidad adicional (ya sea en propiedad o en alquier) tendrá que comprarla o alquilarla, y el coste marginal de oportunidad serpa el precio de mercado o de alquiler de dicho factor. Si la empresa ya dispone en este momento de la unidad adicional, no tendrpa que realizar ningún desembolso de efectivo adicional, pero, dado que dicha unidad podía haberse vendido en el mercado, este precio de mercado será el valor de la alternativa (vender la unidad en lugar de usarla) que se ha perdido. En el análisis que realizaremos en este capitulo interpretaremos en “coste” de un factor como su coste marginal de oportunidad y supondremos que se mide para los factores variables por el precio de mercador del factor. Este supuesto puede no ser válido por varias razones: (a) Si el precio de mercado del factor aumenta (se reduce) cuando la empresa compra cantidades mayores de dicho factor, entonces el coste marginal de oportunidad del factor para la empresa será mayor (menor) que su precio de mercado. El coste de una unidad extra para la empresa será el precio de mercado para esa unidad más el efecto del cambio de precio sobre el coste total de las unidades que la empresa ha decidido comprar. Dejaremos el análisis de este caso para el Capítulo 10 y supondremos al largo de este capítulo qye los precios de los factores son fijos en lo que concierne a la empresa. (b) La empresa se puede enfrentar a diferentes precios de mercado para el factor dependiendo de si desea comprarlo o venderlo. Los impuestos que gravan la compra pueden hacer que el precio de compra supere el precio deventa. Pueden existir costes de utilización de los mercados debido a los costes de adquisición de información, negociación, etc., de manera que un vendedor puede recibir un precio neto pro debajo de lo pagado por el comprador. Estos costes de transacción pueden incluir también los honorarios y las comisiones que se pagan a los agentes y a los corredores de bolsa. El contrato de alquiler o de compra de un factor puede crear una diferencia entre lso precios de compra y de venta. Por ejemplo, una empresa puede alquilar un almacén según un contrato que prohíbe a la empresa subarrendarlo. Entonces el precio de venta es cero, pero el precio de compra del espacio adicional para almacpen es el precio de mercado. Considere otra vez el caso de una empresa que contrata mano de obra según un contrato que concede a los trabajadores el derecho a un mes de preaviso en caso de despido, de manera que sus salarios son un coste inevitable durante ese periodo. El coste marginal de oportunidad del factor en el problema de decisión a corto plazo en dichos casos es el precio de venta (cero en los dos casos

anteriores) para cantidades menoras que las que la empresa ya posee o tiene contratadas, y el precio de mercado para cantidades mayores. A largo plazo (un mes en el ejemplo del contrato laboral), el coste marginal de oportunidad es el precio de mercado independientemente de la cantidad que la empresa desee usar. En general, el coste marginal de oportunidad de un factor dependerá de la cantidad que la empresa desee usar, de la cantidad que ya tiene comprada o contratada, de los costes asociados al mercado, y de los términos del contrato bajo el cual se intercambiarán los factores. Como se indica en los dos ejemplos anteriores, también dependerá del horizonte temporal de decisión para el cual se realicen los cálculos de costes, es decir, de si la decisión es a corto o largo plazo, o de si el factor es fijo o variable.

Ejercicio 6 A 1. Si la empresa puede pedir prestado y prestar, a la tasa de interes anual r, ¿cuál es el coste de oportunidad de usar durante un año activo infinitamente duradero, cuando existe y cuando no existe un mercado de segunda mano para dicho activo duradero? ¿Cómo afectaría a su respuesta la existencia de unos costes de transacción significativos (debido a la necesidad de demantelar y transportar el activo cada vez que se vende)? ¿Y si supone que el activo tiene una vida limitada?

B. Minimizacin del coste a largo plazo El problema de minimización del coste a largo plazo de la empresa consiste en formular un plan (una combinación de factores) que minimice el cosre de producir un nivel de producción específico durante algún periodo de tiempo lo suficientemente amplio como para que todos los factores se puedan considerar variables. Se supone que la empresa puede comprar factores, o vender los que ya posee, a un precio constante positivo, de manera que el coste total que se busca minimizar es ∑𝑝𝑖 𝑧𝑖 . Se supone también que la función de producción que condiciona la minimización es estrictamente cuasi-cóncava y dos veces continuamente diferenciable. El problema de minimización del coste a largo plazo es:

Donde y es el nivel de producción requerido. El Gráfico 6.1 ilustra una versión del problema con dos factores. Las rectas 𝐶 1 , 𝐶 2 , 𝐶 3 son rectas isocostes que muestran las combinaciones de los factores que tienen el mismo coste total. La recta 𝐶 1 , por ejemplo, representa la ecuación: o

En este caso, en el que los precios de los factores son independientes de las cantidades que compra la empresa, las rectas isocoste son rectas paralelas con pendiente:

Cuanto más alejadas del origen, más elevados serán los costes totales representados por las rectas: 𝑧 2 𝑒𝑛 𝐶 2 es una combinación de factores que contiene más cantidad de ambos factores que 𝑧1 𝑒𝑛 𝐶 1 . Así pues, debe costar más, y dado que todos los puntos situados sobre la misma recta isocoste tienen el mismo coste total, todos los puntos situados en 𝐶 2 cuestan más que todos los puntos de 𝐶 1 . 𝐼0 es la isocuanta que indica la producción requerida y, como argumentamos en la Sección 5B, la solución debe estar en esta isocuanta cuando los precios son positivos. El problema consistirá en elegir el punto sobre 𝐼0 que tenga el coste más bajo, es decir, que estpe sobre la recta isocoste más baja. En este caso, la combinación de factores de coste más bajo es 𝑧 ∗ donde 𝐼0 es tangente a 𝐶 2 . Las combinaciones situadas a lo largo de las rectas isocoste más bajas, como 𝐶 1 , cuestan menos que𝑧 ∗ pero no permite obtener suficiente producción, como 𝑧 3 𝑒𝑛 𝐶 3 , satisfacen la restricción de producción, pero tienen costes más elevados. La pendiente de la isocuanta es el valor negativo de la relacion marginal de sustitución técnica entre 𝑧1 𝑦𝑧2 y, en la solución interior que se ilustra aquí, el coste minimiza donde:

El cociente de los precios de los factores es igual al cociente de los productos marginales. Recordando esta expresión da lugar a

que es una condición necesarioa para minimizar el coste. 𝑓1 es el producto marginal de 𝑧1 : la 1

tasa a la cual aumenta y cuando aumenta 𝑧1 , y 𝑓 es la tasa a la cual debe aumentar 𝑧1 para 1

que aumente y; es aproximadamente el número de unidades necesarias de 𝑧1 para aumentar y en una unidad. 𝑝1 es el coste de una unidad adicional de 𝑧1 . Entonces, 𝑝1 veces 1/𝑓1 es el coste de aumentar la producción de y en una unidad aumentando el factor 𝑧1 . 𝑝2 /𝑓2 tiene una interpretación análoga. Cuando se minimizan los costes, la empresa puede incrementar y aumentando 𝑧1 o 𝑧2 , indistintamente. Cuando los factores se eligen de manera óptima, el efecto sobre el coste total es el mismo, se cual sea el factor que se modifica para aumentar la producción en una unidad. Entonces,𝑝1 / 𝑓1 = 𝑝2 /𝑓2 = 𝐶𝑀𝐿 es el cosre marginal a largo plazo en el que incurre la empresa para aumentar su producción: la tasa a la cual aumenta el coste a medida que aumenta y cuando se minimiza el coste para cada nivel de y, y todos los factores son variables. En la Sección 5B presentamos dos definiciones distintas, pero relacionadas, de eficiencia (eficiencia desde el punto de vista de la producción y eficiencia técnica) y ahora presentaremos una tercera: eficiencia económica. Una combinación de factores es eficiente económicamente cuando hace mínimo el coste de producción de un prodcuto determinado. Es importante que queden claras las relaciones entre estos tres tipos de eficiencia: la eficiencia económica implica eficiencia técnica, la cual, a su vez, implica eficiencia de producción, pero no se cumple ninguna de las implicaciones inversas.

El método de Lagrange en el problema de minimización del coste Dado que la solución a [B.1] satisfará 𝑦 = 𝑓(𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ) según nuestras hipótesis sobre los precios de los factores y de la tecnología, si suponemos también que todos los factores se utilizan en cantidades positivas en el óptimo, se puede analizar la solución a [B.1] construyendo la función de Lagrange:

Las condiciones de primer orden para un mínimo de L son

Escribiendo las condiciones para 𝑧𝑖 como 𝑝𝑖 = 𝜆𝑓𝑖 y dividiendo la condiciín i-ésima por la jésima, tenemos la extensión para el n-factor de [B.3]:

Como en todos los problemas económicos que utilizan las técnicas de Lagrange, puede darse una interpretación económica a 𝜆. El valor óptimo de𝜆 es la tasa a la cual aumenta el valor optimizado de la función objetivo a medida que aumenta el parámetro de la restricción. (Véase el Apéndice F.) En [B.1] la función objetivo es el coste total y el parámetro de la restricción es la producción, de manera que el valor óptimo de 𝜆 es la tasa a la cual aumenta el coste cuando aumenta la producción, es decir, el coste marginal a largo plazo (CmaL) de manera que:

donde C es el valor mínimo de ∑𝑝𝑖 𝑧𝑖 . Esta interpretación se ve respaldada si escribimos las condiciones [B.6] como:

y utilizando la argumentación anterior del caso de los factores en [B.4].

La función de coste Los niveles de factores que hacen mínimo el coste y que resuelven la Ecuación [B.1] son las demandas condicionadas de factores y son funciones de los precios de los factores y del nivel de producción requerido:

Las demandas de los factores dependen de la producción de la empresa, así que una explicación completa de las demandas de factores de la empresa debe incluir una teoría

de su elección del nivel de producción. Los resultados que obtenemos de la minimización del coste se pueden aplicar a cualquier modelo completo de empresa que requiera que el coste de producción óptima de la empresa sea mínimo. La función de coste relaciona el coste mínimo en el que incurre la empresa con los precios de los factores y con la producción:

Resulta de interés ahora analizar los efectos que producen los cambios en los precios de los factores y en la producción sobre las demandas condicionadas de factores de la empresa y sobre su coste minimizado. De [B.10] se deduce que las propiedades de z(p.y) y C(p,y) están claramente relacionadas. El lector habrá advertido que el problema de la empresa de minimizar el coste de un determinado nivel de producción y es extraordinariamente similar en la forma al problema del consumidor de la Sección 3A que consistía en hacer mínimo el gasto necesario para alcanzar un nivel de utilidad determinado. De hecho, si z representaba una cesta de bienes, y la utilidad,f(z) la función de utilidad yp el vector de precios de los bienes de consumo, [B.1] sería idéntico al problema de minimización del gasto del consumidor. Esto significa que los resultados que obtuvimos concernientes al problema de minimización del gasto se pueden trasladar directamente al problema de minimización del coste de la empresa. Todo lo que se necesita es una asignación adecuada de los nuevos términos, de manera que en lugar de las demandas hicksianas de utilidad constante hi(p,u) de los bienes para el consumidor, nos referiremos a las demandas condicionadas de factores zi (p, y) y, en lugar de la función del gasto m(p, u),se hará referencia a la función de coste de la empresa C(p,y). En la sección 3A examinamos las propiedades de la función del gasto. Aquí volvemos a plantear algunas de ellas en términos de la función de coste de la empresa: a) b) c) d)

C(p,y) es creciente en y , y no decreciente en p; C(p,y) es linealmente homogénea en p: C(kp, y) = kC(p,y); C(p,y) es continua y cóncava en p; Es el lema de Sherphard: C(p, y)/pi =zi(p, y).

Haremos un uso extensivo de estas propiedades en nuestro análisis de los efectos de p y de y sobre la función de coste y las demandas condicionadas de factores. Dado que ya se analizaron estas propiedades en la Sección 3A, se deja que el lector aplique los argumentos de esa sección (con la adecuada asignación de los nuevos

términos) a la función de coste de la empresa. Sin embargo, se presenta una demostración alternativa del lema de Shephard que es más ordenada, aunque quizás menos intuitiva, que la mostrada en la Sección 3A. Consideremos la función: G(p,p0,y)=C(p,y)—pz(p0,y)≤0

[B.11]

Esta expresión no puede ser positiva, porque z(p0, y) es la combinación de factores que hace mínimo el coste para los precios de los factores p0 y no puede tener un coste de producción y más pequeño para ningún otro vector de precios p que la combinación de factores z(p,y), que es la que hace mínimo el coste parap. Sin embargo, para p= p0, z(p0, y) es óptimo, el coste de la función es C(p0, y) = p0z(p0, y) yG(p0, p0, y) = 0. Así que G(p, p0, y) se maximiza con respecto a p para p = p0. Por tanto, para p =p0 las derivadas parciales de G con respecto a pi deben ser iguales a cero:

Dado que Ci (p0, y) = zi(p0, y) debe cumplirse para todo p0 , hemos probado el lema de Shephard.

La función de coste es útil porque contiene toda la información económicamente relevante acerca de la tecnología de la empresa que hace mínimo el coste de producción.

Si conocemos la función de coste, podremos descubrir la combinación de factores que minimiza el coste z(p, y) de cualquier nivel de producción y a cualesquiera precios p utilizando el lema de Shephard. Así, se puede encontrar un conjunto de combinaciones de factores que se pueden usar para producir y; dado que sabemos que la minimización del coste implica que la empresa es eficiente desde el punto de vista de la producción, este conjunto debe ser un subconjunto de la isocuanta que indica el nivel de producción y. Puede haber otras combinaciones de factores que también estén sobre la isocuanta y pero como no hacen mínimo el coste para ningún p no son económicamente relevantes: ninguna empresa que minimice el coste los elegiría. El Gráfico 6.2 muestra una tecnología bastante extraña en la cual el conjunto de requerimientos factoriales Z(y 0) es no-convexo y la región no-económica no está vacía (nótense los segmentos con pendiente positiva de la isocuanta I(y0). La isocuanta I(y0)es la totalidad de la frontera inferior de Z(y°). El lector debería comprobar representandográficamente las rectas isocoste dependiente negativa que ninguna empresa que quiera hacer mínimo el coste y que se enfrente a precios positivos de los factores elegirá producir l a partir de una combinación de factores en los segmentos de I(y0)situados al noreste de a od, o entre b y c. Dichos puntos sobre la isocuanta son factibles pero nunca se elegirán por una empresa que quiera hacer mínimo el coste y que desee producir y0. Las únicas elecciones de combinaciones de factores que siempre pueden tenerse en cuenta son aquellas entre a y b. y entre c y d. Éstas son idénticas a las elecciones de factores hechas, por una empresa que desee minimizar el coste y que se enfrente a una tecnología que dé lugar a un conjunto de requerimientos factoriales Z*(y 0) que consiste en Z(y 0 ) más las regiones sombreadas. Así, aunque el conocimiento de la función de coste no nos dice todo acerca de la tecnología, contiene toda la información que es relevante para modelizar empresas que minimizan el coste. Adviértase que Z*(y 0) es convexa incluso aunque Z(y 0)no lo sea, de manera que no hay pérdida de generalidad en suponer que las empresas que minimizan el coste se enfrentan a funciones de producción cuasi-cóncavas. Se supuso que f(z) era estrictamente cuasi-cóncava y dos veces continuamente diferenciable porque estas hipótesis permiten aplicar métodos de cálculo para estudiar los problemas deoptimización. En la función de coste se resumen las características económicamente relevantes de la tecnología. Además, la función de coste tiene las propiedades expuestas anteriormente bajo condiciones más débiles sobre la tecnología de las que se exigen para poder aplicar directamente los métodos de la función de Lagrange para analizarla elección de los factores que minimizan el coste.

Elección de factores y nivel de producción El Gráfico 6.3 ilustra los efectos que producen los cambios en y sobre la elección óptima de la combinación de factores que minimiza el coste. z0, z1, z 2 son las elecciones de las combinaciones de factores para producir las cantidades de producto y 0, y1, y 2 con costes mínimos C0, C1, C2 respectivamente. La senda de expansión EP es el lugar geométrico de las combinaciones óptimas de factores que se obtienen cuando varía la producción requerida mientras se mantienen constantes los precios de los factores. Aquí EP tiene pendiente positiva, lo que indica que los aumentos en y hacen que aumente la cantidad utilizada de ambos factores. Sin embargo, con una tecnología diferente, la senda de expansión puede tener pendiente negativa en alguno de sus tramos, como se muestra en el Gráfico 6.4. Aquí cuando y aumenta desde y0 hasta y1, la cantidad utilizada de z disminuye desde 𝑧 0 hasta 𝑧1 . En este 1

1

intervalo de valores z1 es un factor inferior o regresivo y 𝑧2 es un factor normal. (¿Por qué debe ser normal al menos un factor?) En la Sección 5C demostramos que, si la función de producción es homotética, las pendientes de las isocuantas son constantes a lo largo de cualquier radio vector que parta del origen. Dado que [B.7] es una condición necesaria para minimizar el coste, entonces, si la función de producción es homotética, la proporción de factores es la misma para todos los nivelesde producción, y la senda de expansión será un rayo vector que parte del origen. Sólo los cambios en los precios relativos de los factores producirán cambios en las proporciones de factores.

Curvas a coste a largo plazo La relación que existe entre el coste a largo plazo y el nivel de producción puede derivarse a partir de la senda de expansión del Gráfico 6.3 y está representada en el Grafico 6.5(a). Las rectas isocoste proporcionan el coste total y las isocuantas el nivel de producción para cada punto de la EP. Por ejemplo, el coste (mínimo) de y 0es C 0, de y1es C1, yde y2es C2. En elGráfico 6.5(a) estos niveles de producción se representan a lo largo del eje horizontal y los costes totales correspondientes a lo largo del eje vertical. LTCes la curva de coste total a largo plazo que se obtiene de hacer mínimo el coste para cada nivel de producción cuando todos los

factores son variables. Tal como se representa gráficamente, incorpora algunas hipótesis sobre la tecnología que aclaramos a continuación. Las curvas de coste medio y marginal a largo plazo (LACy LMC) que se representan en la parte (b) del Gráfico 6.5 se obtienen a su vez de la curva LTC. El coste medio a largo plazo de producir y 0es C 0/y 0que es la pendiente de la recta OA en (a). que va desde el origen hasta el punto de la curva LTCdonde y = y 0y C = C 0 La curva LACes la representación gráfica de las pendientes de los rayos vectores que van desde el origen hasta la curva LTC. El hecho de que los rayos vectores disminuyan su pendiente hasta el punto B. y después se hagan más inclinados, explica la forma de U de la curva LAC.

El Gráfico Dado que el coste marginal a largo plazo es la tasa a la cual aumenta el coste a largo plazo cuando aumenta la producción (LMC= C/ y) la curva LMC,se obtiene

representando gráficamente la pendiente de la curva LTCpara cada nivel de producción. La curva LMCcortadesde abajo a la curva LACen el punto en el que LACalcanza el mínimo ya que para la producción y2el rayo vector que parte del origen OB es también tangente a la curva. Se puede demostrar que esta relación debe cumplirse siempre por el mismo razonamiento que se aplicó en el caso de la relación existente entre las curvas de producto medio y marginal en la Sección 5D. (Véase la Pregunta 1, Ejercicio 6B.) Adviértase también que la producción y1, para la que LMCtiene un mínimo, se corresponde con el punto de inflexión de la curva LTC. y queLACes decreciente en este punto (los rayos vectores (a) siguen disminuyendo su pendiente). De nuevo la curvatura de la curvaLTCen (a), con su pendiente, aunque siempre positiva, que disminuye al principio y después aumenta, explica la forma de U de la curvaLMCen (b).

Economías de escala y rendimientos a escala La elasticidad del coste respecto a la producción es una medida de la sensibilidad del coste a los cambios en la producción. Se define como el cambio proporcional en el coste dividido porel cambio proporcional en la producción:

(recuerde que Cy = LMC y C/y = LAC). Se dice que la función de coste tiene economías de escala si LMC/LAC < 1 y deseconomías de escala si LMC/LAC >1. Dado que LMC < LAC implica que LAC es decreciente con y, existen economías de escala cuandola curva LAC es decreciente. A la inversa, existen deseconomías cuando la curva LAC es creciente. En el Gráfico 6.5 existen economías de escala hasta 𝑦 2 , y deseconomías a partir de ese punto. La relación que existe entre la producción y los costes depende de la tecnología subyacente.Supongamos que hay rendimientos crecientes a escala y que z (p, 𝑦 0 ) minimiza el coste para un nivel de producción 𝑦 0 a los precios p. En ese caso será posible producir el doble dey 0 a partir de sz (p, 𝑦 0 ) (definido por f (s(z ( p, 𝑦 0 )) =2𝑦 0 )) donde s < 2. Por lo tanto, el coste será menor que el doble, mientras que la producción se duplicará, y por eso se dice que hay economías de escala. (Nótese que si sz(p, y 0) no minimiza el coste para y = 2𝑦 0 el argumento se cumple a afortiori.) Ahora suponga que hay rendimientos decrecientes a escala y que z(p, 𝑦 0 ) minimiza el coste para un nivel de producción 𝑦 0 a los precios p. Entonces, será posible producir la mitad de 𝑦 0 a partir de sz (p, 𝑦 0 ) (definidopor f (s ( z(p, 𝑦 0 ))= 𝑦 0 / 2))donde s < 1/2. Por tanto, el coste será más de la mitad, mientras que la producción se reducirá a la mitad, y poreso se dice que hay deseconomías de escala. De modo que se ha probado:

Donde E es la elasticidad de la producción con respecto a la escala.

Homoteticidad y la función de coste Recuérdese que una función de producción homotética puede escribirse de la forma g(z) = F(f(z)) donde F >0 y f (z) es linealmente homogénea. Con una función de producción homotética, la proporción de factores que minimiza el coste es independiente del nivel de producción requerido, de manera que, si z( p, 𝑦 0 ) produce la cantidad 𝑦 0 a un coste mínimo, s(y)z(p, y 0) producirá una cantidad y a un coste mínimo. s(y) es el cambio proporcional en la cantidad de factores necesario para producir y, ypor lo tanto C(p,y) = s(y) C (p,y0). Pero F(s(y)f(z(p,y0)))= y implica que: s(y)f (z(p, y 0 )) = F —1(y) = a(y) donde a(y) = F —1(y) es la inversa de F(·). Por tanto, el coste de producir y es:

Donde b (p) = C(p, 𝑦 0 )/f( z ( p, 𝑦 0 )). (Compárese con la función de gasto del consumidor en el caso de preferencias homotéticas.).) Así, si la función de producción es homotética, entonces la función de coste puede escribirse de la forma C(p, y) = a(y)b(p). Las funciones homogéneas son homotéticas, de manera que el lector puede comprobar que, cuando la función de producción es homogénea de grado n, a(y) tiene la formay1/n. En especial, si la función de producción es linealmente homogénea, el coste es directamente proporcional a la producción dado que un aumento proporcional en la producción requiere el mismo aumento proporcional en la cantidad de factores utilizada. El lector debe demostrar que (véase la Pregunta 5))

es decir que La elasticidad del coste respecto a la producción es el inverso de la elasticidad de escala si la función de producción es homotética. Dado que, si la función de producción eshomotética, la proporción de factores que minimiza el coste no varía con la producción, los cambios en la producción sólo necesitan de cambios de escala. Por esa, la relación que existe entre el coste y la producción depende sólo de la relación que exista entre la producción y la escala. El coste varía proporcionalmente con la escala, pero la producción puede modificarse proporcionalmente más o menos que la escala. Por ejemplo, con rendimientos crecientes

(E>1), los costes variarán proporcionalmente menos que la producción y se tendrán economíasde escala (Eyc <1).

Los precios de los factores y las demandas condicionadas de factores Pueden utilizarse las propiedades de la función de coste para examinar las relaciones que existen entre los precios de los factores y las demandas condicionadas de los factores. La derivada parcial de C (p, y) con respecto de pi es zi (p, y) (propiedad (d) – lema de Shephard). Dado que la función de coste es homogénea de grado uno en p (propiedad (b)), la derivada parcial de C(b, y) con respecto a pi es homogéneade grado cero (recuerde la discusión acerca de las funciones homogéneas en la Sección 5C). Por tanto, zi (p, y) es homogénea de grado cero y los cambios en la misma proporciónen todos los precios de los factoresno tienen ningún efecto sobre las elecciones de las combinaciones de factores que minimizan el coste: z (sp, y) = z (p, y). Si todos los precios de los factores cambian en la misma proporción, las pendientes de las rectas isocoste del Gráfico 6.1 no cambian y, por tanto, el valor z * donde la recta isocoste es tangente a la isocuanta tampoco cambia. De una manera menos informal (y sin requerir ninguna restricción complicada sobre la tecnología): si pz* ≤ pzpara todo z en Z(y), yz* minimiza el coste para p, entonces spz * ≤ spz para todo z en Z(y) y z* también hace mínimo el coste para los precio ssp. A continuación, supongamos que p cambia desde p0 haciap1donde p1 no es necesariamente proporcional ap0. La elección de combinación de factores que minimiza el costep satisfacepz(p, y) ≤pz para todoz en Z(y) y, por tanto,z(p1, y) no puede costar menos enp0 quez(p0, y): p0z(p0,y)—p0z(p1,y)=p0[z(p0,y)—z(p1,y)]≤0

[B.16]

De igual modo, z(p0,y) no puede costar menos en p1quez(p1,y): p1zp0,y)—p1z(p1,y)=p1[z(p0,y)—z(p1,y)]≥0

[B.17]

Restando [B.17] de [B.16] obtenemos: (p0—p1)[z(p0,y)—z(p1,y)]≤0

[B.18]

de modo que la suma de los cambios de precio por los cambios de la demanda de factores no puede ser positiva.

Si solo cambia pi, el cambio resultante en zi (p, y)es el efecto susitucion propio. [B.18] se reduce a (p0i – p1i)|zi(p0,y) – zi(p1,y)|≤0. Puede demostrarse que el efecto sustitucion propio es no positivo. El grafico 6.6 ilustra el caso en el cual las isocuantas son continuas. Con precios de los factores que inicialmente dan lugar a rectas isocoste como la C0, la combinacion de factores que minimiza el coste es z0, donde la isocuanta I0 es tangente a C0. Suponga que el precio de z1 aumente, las rectas isocoste pivotaran alrededor de sus puntos de interseccion con el eje z2 y se inclinaran más. La nueva eleccion optima sera z1 donde la recta isocoste C1sera tangente a I0. El aumento en el precio relativo del factor 1 debe reducir la demanda condicional, para que aumente la pendiente de las rectas isocoste y las isocuantas se inclinen mas a medida que disminuya z1 (z2 sustituye a z1). Se puede llegar a la misma conclusion aplicando el lema de Shephard y teniendo en cuenta la concavidad de la funcion de coste (propiedad (c )). La concavidad impone restricciones a las derivadas parciales de segundo orden de la funcion de coste. En particular, las derivadas parciales propias de segundo orden Cii(p,y) deben ser no positivas, lo cual, utilizando el hecho de que Ci(p,y)= zi(p,y) (lema de Shephard) implica que:

En la Seccion 5C se presento la elasticidad de sustitución como una medidad de la relación que existe entre la pendiente de la isocuanta y el cociente de los factores z1/z2 y se indico que el concepto seria útil en el análisis de la demanda para los factores. La discusión completa sobre este tema deberá posponerse al Capitulo 10, dado que aun no tenemos un modelo de la elección de producción de la empresa; pero adviértase, a partir del Grafico 6.6, que el efecto de los cambios en los precios relativos de los factores p1/p2 sobre la proporción de factores utilizada para producir un bien dado depende de la curvatura de la isocuanta. La

minimización del coste requiere que la pendientede la isocuanta sea igual a la pendiente de la recta isocoste – p1/p2 y asi, cuanto mayor sea la elasticidad de sustitución, mayores serán los efectos sustitución de factores como consecuencia de los cambios en los precios de los factores.

Efectos de los cambios en los precios de los factores sobre los costos El efecto que tendra un aumento proporcional en p sobre el coste medio y total de la empresa es directo, dado que sabemos que C(p,y) cambiara en la misma proporción (propiedad (b)linealidad homogénea-): asi cambiara también el coste medio C(p,y)/y. por lo tanto, las curvas de coste total y medio de la empresa se desplazaran hacia arriba en la misma proporción. Dado que el coste marginal a largo plazo es pi/fi (véase [B.8]), la curva CMaL también se desplazara proporcionalmente. Los efectos que tiene el cambio de precio de un solo factor sobre las curvas CTL y CMeLson también bastante directos. Aplicando el lema de Shepard, la elasticidas de coste respecto a pi se puede escribir como:

La sensibilidad del coste a un cambio en el precio de un factor individual es igual a la proporción que representa el gasto en ese factor sobre el coste total. Dado que el coste medio es C(p,y)/y e y se mantiene constante para determinar el efecto de pi sobre el coste medio, se deja al lector que demuestre que la elasticidad del coste medio respecto a pi es también igual a la participación en el gusto del factor i. El efecto de un aumento dado en pi sobre las curvas CTL y CMeLserá desplazar estas curvas verticalmente hacia arriba en una cantidad que dependerá de la proporción que suponga el gasto en zi sobre el coste total. Esto no significa que las curvas se desplacen en la misma proporción para todos los niveles de producción, dado que es posible que la proporción de C que se gasta en zivarie con el nivel de producción. El efecto del cambio en pi puede ser aumentar, o reducir, el nivel de producción para el cual CMeLalcanza el minimo y aumentar, o reducir, la pendiente de la curva CMeLpara cualquier nivel de producción. Los efectos precisos dependerán de la función de producción. Por ejemplo, si ésta posee sendas de expansión lineales (RMST constante a los largo de cualquier radio vector que parta del origen), entonces la proporción del coste total que se gasta en el factor i-ésimo será constante, dado que las proporciones de factores son constantes a lo largo de todas las sendas de expansión. Por tanto, las curvas CTL y CMeL se desplazaran verticalmente hacia arriba en la misma proporción para todos los niveles de producción, y la producción para la cual CMeLalcanza el minimo no se vera afectada. El efecto sobre la curva CMaLde la empresa es menos fácil de predecir si no se conoce la función de producción. La razón de esto se muestra en el grafico 6.7. Los precios iniciales de

los factores dan lugar a rectas isocoste C0, C2 y combinaciones óptimas de factores z0, z2 para niveles de producción y0 e y1. El nuevo precio de p1, más elevado, produce rectas isocoste C1, C3 y combinaciones óptimas z1, z3 para niveles de productos y0 e y1. El cambio en el coste total provocado por el cambio en la producción ∆y= y1-y0 con el precio inicial mas bajo de z1 es ∆C= C2-C0 y esto se puede medir en el grafico como p2 veces la distancia AB. De manera similar, con el precio mas alto de z1, el cambio en el coste provocado por un cambio en la producción desde y0 hasta y1 es ∆C= C3-C1 y se mide como p2 veces la distancia DC.

En el grafico 6.7, ∆C’>∆C y, por tanto, el efecto del aumento en p1 es aumentar el coste marginal de ∆y. Sin embargo, con una isocuanta que tenga una forma diferente, es posible que ∆C’<∆C. (Represente el grafico) por eso, es imposible predecir el efecto que ejerce un aumento en pi sobre el coste marginal sin conocer la función de producción. El empleo del lema de Shephardmuestr exactamente que es necesario para que el coste marginal Cy(p,y) aumente o disminuya con pi. Dado que las derivadas parciales cruzadas no dependen del orden de diferenciación se obtinene:

Luego ∂zi(p,y)/∂y es el efecto de un aumento en la producción sobre la demanda del factor i, manteniendo los precios constantes, y es positivo o negativo en la medida en que zi sea un factor normal o regresivo. Por tanto, un aumento en pi aumenta el coste marginal si y solo si zi es un factor normal. Si la senda es expansiva es un rayo vector que parte del origen, de modo que todos los factores son normales, el coste marginal deberá aumentar con pi. Por lo tanto, [B.21] implica que si la función de producción es homotética, el coste marginal aumenta con pi.

EJERCICIO 6B

1. Tecnologia de proporciones fijas. Ilustre la solución al problema de minimización del coste si la empresa tiene la tecnología de Leontief de proporciones fijas y=min(z1/β1, z2/β2). Demuestre que la función de coste es C(p,y)=y(β1p1 + β2p2). Represente gráficamente las curvas de coste. Obtenga las funciones de demanda condicional de los factores. 2. Tecnologia lineal. Suponga que la función de producción es y=α1z1+ α2z2 . represente gráficamente las iscuantas de la empresa y la solución al problema de minimización del coste. Demuestre que la función de coste es C(p,y)= ymin(p1/α1,p2/α2). Dibuje las curvas de coste. Obtenga las funciones de demanda condicional de un factor. Compare los resultados con los de la pregunta 1. 3. Tecnologia Cobb-Douglas. Demuestre que la función de coste para una empresa con la función de producción Cobb-Douglas con rendimientos constantes de la pregunta 5, ejercicio 5B es ,donde B es una función de A y de α únicamente. Represente gráficamente las curvas de coste. Obtenga las demandas condicionadas de los factores. 4. Suponga que la empresa posee z10 unidades de z1 y que los precios constantes de compra y de venta de z1 difieren debido a la existencia de costes de transacion. Represente graficaente las rectas isocoste de la empresa y la solucion al problema de minimizacion del coste. Represente graficamente tambien la senda de expansion y las curvas de coste a largo plazo. 5. Homotecidad y funcion de coste. (a) demuestre que si la funcion de produccion es homogenea de grado n, entonces la funcion de coste se puede escribir como (b) Demuestre que si la funcion de produccion es homotetica. 6. Elasticidad de sustitucion. ¿Cuál es la relacion entre la elasticidad de sustitucion y el efecto que ejerce un cambio en los precios relativos de los factores sobre el gasto relativo de la empresa en los factores que utiliza, en el caso de una funcion de produccion de dos factores? 7. Indivisibilidad y la funcion de costes. Suponga que la empresa emplea un solo factor indivisible para producir y, y que una unidad del factor puede producir unidades de producto. De modo que para producir , la empresadebe usar una unidad, para producir deberia utilizar dos unidades y asi sucesivamente. Suponga que los costes de los factores son p por unidad. Represente graficamente as curvas de coste medio y total. ¿Cuál es el coste marginal?

Minimización de costes a largo plazo El problema de minimización de costes a corto plazo consiste en elegir un par de valores (z1,z2) que minimice el coste de una producción determinada, cuando existen restricciones sobre la modificación del factor fijo z2. La función de costes a corto plazo y las curvas asociadas muestran la relación que existe entre y, y el coste minimo, y se obtienen a partir del problema de minimización. Las restricciones sobre z2, y por tanto la función de coste a corto plaz, pueden tomar varias formas (véase la Seccion a). Supondremos que la restricción tiene la forma . Existe un límite fijo sobre la cantidad disponible de z2 en el periodo pero, dado que se supone que lo factores son divisibles, la empresa puede elegir usar menos cantidad si lo desea. Para estudiar las circunstancias bajo las cuales lo elegirá o no, consideraremos los dos casos siguientes: a. La empresa se enfrenta a una cuota o cantidad limitada de z2 y paga el precio de mercado p2 por comprar unidades de z2, hasta un máximo de z20 unidades. El coste marginal de oportunidad de z2 es p2 para e infinito para . El coste total a corto plazo es y las rectas isocoste a corto plazo tienen una pendiente (el valor negativo del cociente de los costes marginales de oportunidad) de –p1/p2 para z2>, es decir, uno que está sujeto a un nivel máximo de utilización, no implica necesariamente un coste fijo (todo depende de la naturaleza del contraro pertinente al que se ha comprometido la empresa). Aquí el coste total a corto plazo es , donde p1z1 es el coste variable total y p2z20 es el coste fijo total. Dado que los cambios en z2 por debajo del nivel de capacidad de z20 no provocan cambios en los costes, el coste marginal de oportunidad de z2 es cero para z2z20 (no se puede tener mas cantidad de factor a ningún precio). La obtención de las curvas de coste a corto plazo para los casos (a) y (b9, y su relación con la curva de coste a largo plazo, se muestra en los Graficos 6.8 y 6.9. En el grafico 6.8, la curva SE de nuevo representa la senda de expansión (el lugar geométrico de los puntos de tangencia de las rectas de precios de pendiente- p1/p2 con las isocuantas). Los apres de puntos que indican combinaciones de producción y costes que están a los largo de SEse recogen en la

curva de coste total a largo plazo en el grafico 6.9 En los graficos se muestran tres de dichos puntos. El nivel de producción y01, correspondiente a a la isocuanta I1, y el coste minimo asociado C1; el nivel de producción y0 correspondiente a la isocuanta I0, y su coste minimo C0; y el nivel de producción y2 con coste C2. Consideremos ahora el análisis a corto plazo. Tomemos en primer lugar el caso (a). Para z2
concide con SE hasta el punto z0 inclusive y, en todo el intervalo correspondiente de niveles de producción, la curva de coste total a corto plazo coincide con la curva de coste total a largo plazo en este caso. Para niveles de producción mayores que y0, movernos masalla de ese punto a lo largo de SE requerirá cantidades de z2>z20 que no están disponibles para la empresa. Por ejemplo, el nivel de poroduccion y2, correspondiente a la isocuanta I2, necesitaría una cantidad de z2 que viene dada por la ordenada del punto z2 en el grafico. Para producir una cantidad y2, lo mejor que podría hacer la empresa es elegir el punto z4, que utiliza el factor fijo hasta el límite de su capacidad en z20, y una cantidad del factor variable z1 mayor que en z2. De aquí se deduce que, para esa producción, el coste total de producción a corto plazo será mayor que a largo plazo. El punto z4 pertenece a la recta isocoste C4 mostrada en el grafico, y C4>C2. Por tanto, para todos los niveles de producción mayores que y0 en el grafico 6.9, el coste total a corto plazo será mayor que el coste total a largo plazo. La restricción de capacidad sobre z2 es operativa y provoca, a corto plazo, una desviación de la combinación optima de factores ara cada nivel de producción.

Recuérdese que, en el caso (b), p2zz0 es un coste fijo y el coste marginal de oportunidad de z2 es cero. Dado que z2 es divisible, el tramo de la senda de expansión SE a la izquierda del punto z0 en el grafico 6.8 es todavía alcanzable para la empresa, pero la empresa no elegirá estar en el. La senda de expansión elegida ahora por la empresa será la recta horizontal z20z3z0z4. Para comprobarlo suponga que la empresa eligiera el punto z1 para producir y1 sobre la isocuanta I1. Moviendose a lo largo de I1 hasta z3, reduciría la cantidad de z1 en ∆z1 y, por tanto, ahorraría costes en una cantidad igual a p1∆z1. No se produce un aumento correspondiente en el coste debido al aumento del uso de z2 porque su coste marginalde oportunidad es cero: todos los costes asociados con z2 son fijos y no varian con su nivel de utilización. Por lo tanto, la empresa siempre utilizara z2 hasta su capacidad incluso cuando tenga la opción (tecnológica) de no hacerlo. Este argumento se puede repetir para todos los niveles de producción hasta y0. Para niveles de producción por encima de y0 el argumento anterior se sigue cumpliendo (no se puede utilizar una cantidad mayor que z20 para la producción). De modo que en el caso (b) la senda de expansión a corto plazo es la recta horizontal que pasa por z20. (Esta conclusión tiene que cumplirse donde esta recta corta a una línea de contorno. Vease la pregunta 3, ejercicio 6C). Las consecuencias de esto para la curva CTC en el caso (b) son fáciles de ver. Para todos los niveles de producción por debajo de y0, los costes totales, aunque minimizados dada la restricción de capacidad, son superiores a los de largo plazo. Para una producción cero, el coste fijo p2z20 debe seguir pagándose, como indica el segmento OF de la curvCTC en el Grafico 6.9. Cuando la producción aumenta, CTC está por encima de CTL (compare C3, el coste de la combinación de factores z3, con C1 en el Grafico 6.8) pero converge hacia ella.

Para y0, los costes a corto y a largo plazo son iguales. Esto ocurre porque y0 es el único nivel de producción con la propiedad de que el nivel del factor z20 es en realidad el nivel óptimo de z2a largo plazo para ese nivel de producción. Para niveles de producción superiores de y0 , las combinaciones de factores del corto plazo son de nuevo distintas del valor optimo: CTC se situa por encima de CTL y se distancia progresivamente de ella. De modo que concluimos que en elcaso (a), dada la restricción del factor z2≤z20, la curva de coste total a corto plazo coincide con la curva de coste total a largo plazo hasta el nivel de producción y0 (el único valor de la producción para el cual z20 es realmente optimo) y después es la curva CTC que se muestra en el Grafico 6.9. En el caso (b), por otra parte, la curva de coste total a corto plazo coincide completamente con la curva CTC.

Costes medios y marginales a corto plazo Ahora podemos obtener las curvas de costes medio y marginal a corto plazo a partir del Grafico 6.9 para el caso (b), dejando el caso (a) mas simple (en el cual no hay costes fijos) para el lector. Las curvas de costes medio y marginal a corto plazo se obtienen del mismo modo que las curvas a largo plazo en la Seccion b y se muestran en el Grafico 6.10 junto con las curvas a largo plazo. CmeCrepresentael coste medio a corto plazo y CMaCes la curva de coste marginal a corto plazo. Notese que la CMaCcorta a la CMeCdesde abajo en el nivel de producción para el cual CMeCtiene un minimo. CMeCse situa por encima de CmeLpara niveles de producción distintos de y0, dado que el coste total a corto plazo es mayor que el coste total alargo plazo para niveles de producción distintos de y0. Si S(y) es el coste a corto plazo, tenemos S(y)≥C(y) y, por lo tanto S(y)/y≥C(y)/y, o lo que es lo mismo, el coste medio a corto plazo nunca es menor que el coste medio a largo plazo. CMeCes tangente a CMeLen y0 porque S(y) es tangente C(y) en y0. Diferenciando CMeC =S(y)/y con respecto a y obtenemos:

pero en y0, dS/dy es igual a dC/dy y S = C, de esta manera la pendiente de laCMeC es igual a la pendiente de la CMeL. Nótese también que la tangente de S y C en y0 implica que la CMaC es igual a la CMaL en y0, ya que los costos marginales a corto y largo plazo son las pendientes de las curvas de costes totales a corto y largo plazo respectivamente. En el caso (b), el coste a corto plazo es la suma del coste variable (CV) y el coste fijo (CF): S = CV + CF = 𝑝1 𝑧1 + 𝑝2 𝑧20

[C.1]

donde z1 varía con y. En la figura 6.10 la curva punteada CVMerepresentael coste variable mediop1z1/y, y la curva CFMeel coste fijo medio (𝑝2 𝑧20 /𝑦) la cual es una hipérbola rectangular. y/z1es el producto medio PMe1 de z1 (ver sección 5D), y entonces:

CVMe =

𝑝1 𝑧1 𝑦

=

𝑝1 𝑃𝑀𝑒1

[C.2]

Por argumentos similares a los anteriores usados en el caso a largo plazo CMaC =

𝑝1 𝑓1

=

𝑝1 𝑃𝑀𝑎1

[C.3]

El lector deberá comparar la relación entre las curvas de coste medio y marginal a corto plazo mostradas en la Figura 6.10 con la relación que existe entre las curvas de producto medio y marginal del capítulo 5, Figura 5.6. La forma general delas primerases la inversa de las segundas, debido a [C.2] y [C.3].

La propiedad de la envolvente Fijando la restricción z2a diferentes niveles generará diferentes curvas de costes de corto plazo, cada una de las cuales, en el caso (b), estará por encima de la curva de largo plazo con excepción en el punto donde ambos son tangentes para un nivel de producción en el que nivel de z2 es el que minimiza los costes a largo plazo. Si la senda de expansión es de pendiente positiva como se muestra en la Figura 6.8 las curvas de coste de corto y largo plazo tocarán niveles altos a medida que el nivel fijo z2se incremente. Esto se ilustra en la parte (a) de la Figura 6.11 donde S0, S1, S2 son curvas de costes a corto plazo para restricciones de z2sujetas a 𝑧20 > 𝑧21 > 𝑧22 . A medida que ocurra una variación en los niveles de z2,

se generan más curvas de costes a corto plazo y podremos notar que la curva de coste a largo plazo C es el límite inferior o la envolvente de las curvas de corto plazo ya que estas se encuentran por encima de C excepto para el nivel de producción en el que son tangentes. En la parte (b) de la figura se muestra las curvas de coste medio y marginal obtenidas de la parte (a). Las curvas CMeC0, CMeC1, CMeC2 y CMaC0, CMaC1, CMaC2 son las curvas de coste medio a corto plazo y coste marginal obtenidas de S0, S1, S2. Cada una de las curvas de CMeC están por encima de la curva de CMe excepto cuando la producción se encuentra en la situación S = C, donde serán tangentes. Sin embargo, las curvas CMaC cortan a la curva CMeLen el nivel de producción para el cual sus respectivas curvas CMeC son tangentes a CMeL, y en ese caso la curva CMeL no sería la envolvente de las curvas de CMaC. El coste marginal a corto plazo debe ser mayor o menor que el de largo plazo dependiendo en el nivel de producción y el nivel del factor fijo. Cuando el factor fijo está al nivel que minimiza el coste a largo plazo, para un nivel de producción determinado, CMaC es igual que CMaL. En la vecindad de este punto, para grandes niveles de producción, CMaC excederá a CMaL, indicando que costará más en el corto plazo expandir la producción que en el largo plazo. Por el contrario, pequeños niveles de producción a aquellos en los que para los cualesz2fijo es óptimo, los costes marginales a corto plazo están por debajo de los costes marginales a largo

plazo. Esto es debido a que la expansión de la producción en este intervalo mejora la tasa de utilización del factor fijo: las combinaciones de factores a corto plazo convergen hacia la combinación de factores a largo plazo (comparar con Figura 6.8). Esta relación entre la CMaC y la CMaL es obtenida por la relación de las curvas CTC y CTL en la vecindad del nivel de producción en la que el factor fijo se encuentra en su nivel óptimo a largo plazo. Dado que la curva CTCes tangente por encima a la curva CTLen y0, la pendiente de la curva CTC (CMaC) debe ser menor que la pendiente de la curva CTL(CMaL) para y < y0y mayor para y > y0 para alguna vecindad de y0: 𝜕𝐶𝑀𝑎𝐶 𝜕𝑦

|

𝑦=𝑦 0

>

𝜕𝐶𝑀𝑎𝐿 𝜕𝑦

|

𝑦=𝑦 0

[C.4]

Sin embargo, es posible construir curvas CMaL con la propiedad de la envolvente, pero teniendo CMaC> (<) CMaL para algún y < (>)y0 fuera de la vecindad inmediata de y0. (Demostrar.) Las implicaciones de la relación entre CMaC y CMaLtiene la respuesta de la empresa a los cambios en el precio de la producción a corto y a largo plazo se estudiarán en el capítulo siguiente, en la Pregunta 4, Ejercicio 7B.

Estáticas comparativas en el corto plazo Ya hemos considerado el efecto de variaciones en la producción sobre los costes a corto plazo y la utilización de factores para la obtención de las curvas de costes a corto plazo. Ahora examinaremos el efecto del cambio en el precio en el factor variable sobre las curvas de costes de la empresa. En el caso (a) definimos anteriormente, la senda de expansión de a corto plazo de la empresa es su senda de expansión hasta y = y0y la recta 𝑧2 = 𝑧20 de ahí en adelante. Por lo tanto, los cambios en p1causará que la senda de expansión para y ≤ y0cambie de la mismamanera que la senda a largo plazo y de este modo se aplican todas las observaciones hechas para el caso a largo plazo. Para y > y0la senda de expansión es idéntico al caso (b), sobre el cual ahora nos enfocaremos. En el caso (b) la senda de expansión es lineal y sigue la ecuación 𝑧2 = 𝑧20 para todos los niveles de producción. Esta senda es la misma para todos los niveles de p1de manera que la combinación óptima de factores a corto plazo es independiente de p1. El coste variable es p1z1 y el coste variable promedio es p1z1/y, así que un cambio porcentual en p1desplazará las curvas de CV y CVMe hacia arriba en la misma proporción. Dado que las combinaciones óptimas de factores no cambian cuando cambia p1, PMa1= f1(z1, z2) tampoco se verá afectada y así CMaC = p1/f1variará proporcionalmente con p1. Compare los resultados análogos a largo plazo donde el efecto de los cambios p1sobre CMaL no podía predecirse sin un conocimiento detallado de la función de producción.

Análisis formal Los resultados obtenidos gráficamente para el caso en el que un factor es variable y el otro es un factor fijo también se mantiene cuando hay más de dos factores. Denotamos el vector n de factores variables zv = (zv1, . . ., zvn) y pvel correspondiente vector n de precios de los factores variables. Sea m el vector de factores fijos zk = (zk1,…,zkm) y pk el correspondiente vector m 0 de precios de los factores fijos. La empresa se ha comprometido a pagar por 𝑧𝑘𝑓 unidades del factor fijo j-ésimo, pero puede usar una cantidad menor si lo desea; es decir, solo consideraremos el caso (b) aquí. 𝑧𝑘0 es el vector m de restricciones en los factores fijos. El problema de minimización para el coste a corto plazo de la empresa es

𝑚𝑖𝑛 𝑝 𝑧 𝑧𝑣 ,𝑧𝑘 𝑣 𝑣

+ 𝑝𝑘 𝑧𝑘0 𝑠. 𝑎. 𝑦 = 𝑓(𝑧𝑣 , 𝑧𝑘 )

0 𝑧𝑘𝑗 ≥ 𝑧𝑘𝑗 ≥ 0

𝑧𝑣𝑖 ≥ 0

𝑗 = 1, . . . , 𝑚

[C.5]

𝑖 = 1, . . . , 𝑛

El lagrangeano para este problema es 0 𝐿 = 𝑝𝑣 𝑧𝑣 + 𝑝𝑘 𝑧𝑘0 + 𝜆[𝑦 − 𝑓(𝑧𝑣 , 𝑧𝑘 )] + ∑𝑗 𝜇𝑗 (𝑧𝑘𝑗 − 𝑧𝑘𝑗 )

[C.6]

Asumimos que la función de producción es estrictamente cuasi-cóncava y dos veces continuamente diferenciable y así la solución al problema se reducirá a usar todos los factores. En ese caso las siguientes condiciones de Kuhn-Tucker son necesarias y suficientes: 𝐿𝑣𝑖 = 𝑝𝑖 − 𝜆𝑓𝑣𝑖 = 0 𝐿𝑘𝑗 = − 𝜆𝑓𝑘𝑗 + 𝜇𝑗 = 0

𝑖 = 1, … , 𝑛

[C.7]

𝑗 = 1, … , 𝑚

[C.8]

𝐿𝜆 = 𝑦 − 𝑓(𝑧𝑣 , 𝑧𝑘 ) = 0 0 𝐿𝜇𝑗 = 𝑧𝑘𝑗 − 𝑧𝑘𝑗 =0

[C.9] 𝜇𝑗 ≥ 0,

0 𝜇𝑗 (𝑧𝑘𝑗 − 𝑧𝑘𝑗 ) = 0,

𝑗 = 1, … , 𝑚

[C.10]

Las condiciones [C.7] en los factores variables son idénticos en su forma a los del problema a largo plazo [B.1] y tienen la misma interpretación. La relación marginal de sustitución técnica entre los factores variables será igual al cociente de sus precios. El multiplicador de Lagrange λ sobre la restricción de la producción, de nuevo

proporciona la tasa a la cual la función objetivo incrementa con y, solo que ahora λ es el coste marginal a corto plazo en lugar del coste marginal a largo plazo. μj es el multiplicador de Lagrange sobre la restricción que se aplica sobre la cantidad del factor fijo j y es la tasa a la que se reduce la función objetivo cuando se relaja la 0 restricción. (Nótese que zkj tiene signo negativo en L mientras que y tiene signo positivo.) Es la reducción en el coste de producción y si a la empresa se le diera una unidad gratuita del factor fijo j-ésimo. A partir de [C.8] se comprueba que μj > 0 solo si el producto marginal del factor fijo j-ésimo es positivo en la solución. Si el producto marginal es cero, entonces es coste no podrá reducirse sustituyendo el factor fijo por factores variables, porque la producción caería por debajo del nivel exigido. Utilizando el Teorema de la Envolvente (Apéndice J) el efecto sobre el coste de la empresa de comprar otra unidad de factor j-ésimo al precio pkj es pkj - μj. De este modo, si pkj< μj,la empresa puede reducir su coste comprando la unidad adicional de zkjy reduciendo la cantidad utilizada de zvi. Los vectores de factores fijos y variables que minimizan el coste son zv (p, v, zk0 ) y zk (p, v, zk0 ), dondep = (pv , pk ) es el vector n+m de todos los precios de los factores, y la función de coste restringida o a corto plazo es: 𝑆(𝑝, 𝑦, 𝑧𝑘0 ) = 𝑝𝑣 𝑧𝑣 (𝑝, 𝑦, 𝑧𝑘0 ) + 𝑝𝑘 𝑧𝑘 (𝑝, 𝑦, 𝑧𝑘0 )

[C.11]

Esta función posee las mismas propiedades que la función de costes a largo plazo C(p, y), como el lector debería comprobar (ver la Pregunta 5). En particular, el lema de Shephard se cumple para los factores variables: 𝜕𝑆(𝑝,𝑦,𝑧𝑘0 )

= 𝑧𝑣𝑖 (𝑝, 𝑦, 𝑧𝑘0 )

[C.12] 𝜕𝑝𝑣𝑖 El lema de Shephard puede utilizarse para estudiar la relación que existe entre las respuestas a corto y a largo plazo en la cantidad de factores utilizada ante cambios en los precios de los factores. Sea 𝑧(𝑝, 𝑦) = (𝑧𝑣 (𝑝, 𝑦), 𝑧𝑘 (𝑝, 𝑦)) el vector den+m factores que resuelve el problema de minimización del coste a largo plazo a los precios p para un nivel de producción y. Supongamos que el vector de factores fijos 𝑧𝑘0 en el problema a corto plazo fuera óptimo en el problema de minimización del coste a largo plazo para un nivel de producción y0a un vector de precios de factores p0de modo que 𝑧𝑘 (𝑝0 , 𝑦 0 ) = 𝑧𝑘0 . Entonces, a los precios p0, las soluciones a los problemas de minimización del coste de producción de y0 a corto plazo son idénticas.

134

133

Para comprobar esto, nótese (𝑧𝑣 (𝑝0 , 𝑦 0 ), 𝑧𝑘 (𝑝0 , 𝑦 0 )) resuelve el problema a largo plazo si y solo si, para todos los pares (𝑧𝑘 , 𝑧𝑘0 ) son factibles en Z(y0), 𝑝𝑣0 𝑧𝑣 (𝑝0 , 𝑦 0 ) + 𝑝𝑘0 𝑧𝑘 (𝑝0 , 𝑦 0 ) ≤ 𝑝𝑣0 𝑧𝑣 + 𝑝𝑘0 𝑧𝑘

[C.13]

y

𝑆(𝑝0 , 𝑦 0 , 𝑧𝑘0 ) = 𝐶(𝑝0 , 𝑦 0 )

[C.16]

Para otros precios p, el valor zkque minimiza el coste a corto y a largo plazo no coincidirá y la definición de (𝑧𝑣 (𝑝, 𝑦 0 ), 𝑧𝑘 (𝑝, 𝑦 0 )) como la elección que minimiza el coste a largo plazo para un nivel de producción y0implica que: 𝐶(𝑝, 𝑦 0 ) = 𝑝𝑣 𝑧𝑣 (𝑝, 𝑦 0 ) + 𝑝𝑘 𝑧𝑘 (𝑝, 𝑦 0 ) ≤ 𝑝𝑣 𝑧𝑣 (𝑝, 𝑦 0 , 𝑧𝑘0 ) + 𝑝𝑘 𝑧𝑘0 = 𝑆(𝑝0 , 𝑦 0 , 𝑧𝑘0 )

[C.17]

En la parte (a) de la Figura 6.12, las funciones de coste a corto y a largo plazo están representadas en función de uno de los precios del factor variable, manteniendo 0 0 (𝑗 = 1, … , 𝑛; 𝑗 ≠ 𝑖) o 𝑝𝑘𝑗 (𝑗 = 1, … , 𝑚) y la constantes todos los demás en 𝑝𝑣𝑗 producción en y0. 𝑆(𝑝0 , 𝑦 0 , 𝑧𝑘0 ) se sitúa por encima de 𝐶(𝑝, 𝑦 0 )en todo intervalo, 0 0 excepto en 𝑝𝑣𝑖 = 𝑝𝑣𝑖 , donde p es igual a p0. En las proximidades de 𝑝𝑣𝑖 , 𝑆(𝑝0 , 𝑦 0 , 𝑧𝑘0 ) 0 debe estar menos inclinada que 𝐶(𝑝, 𝑦 0 ) para 𝑝𝑣𝑖 < 𝑝𝑣𝑖 , más inclinada que ella para 0 0 𝑝𝑣𝑖 > 𝑝𝑣𝑖 , y ser tangente a ella en 𝑝𝑣𝑖 = 𝑝𝑣𝑖 . Pero las pendientes S y C en la parte (a) son exactamente sus derivadas con respecto a 𝑝𝑣𝑖 y el lema de Shephard se cumple para los factores variables tanto a corto como a largo plazo. Por lo tanto, 𝑆𝑣𝑖 (𝑝0 , 𝑦 0 , 𝑧𝑘0 ) = 𝑧𝑣𝑖 (𝑝0 , 𝑦 0 , 𝑧𝑘0 ) es menor que, mayor que o igual a 𝐶𝑣𝑖 (𝑝, 𝑦 0 ) = 0 𝑧𝑣𝑖 (𝑝, 𝑦 0 ) cuando 𝑝𝑣𝑖 es menor que, mayor que o igual a 𝑝𝑣𝑖 . El eje vertical de la parte (b) de la Figura 6.12 representa las pendientes de S y C con respecto a 𝑝𝑣𝑖 desde 0 1 𝑝𝑣𝑖 hasta 𝑝𝑣𝑖 , vemos que en las proximidades de p0 la respuesta de la demanda de 𝑧𝑣𝑖 que minimiza el coste ante cambios en su precio es más pequeña en el corto plazo que en el largo plazo: 𝜕𝑧𝑣𝑖 (𝑝0 ,𝑦 0 ,𝑧𝑘0 ) 𝜕𝑝𝑣𝑖

=

𝜕𝑧𝑣𝑖 (𝑝0 ,𝑦 0 ) 𝜕𝑝𝑣𝑖

[C.18]

Este resultado ilustra el Principio de Le Chatelier-Samuelson de que al imponer restricciones adicionales a un problema de optimización reduce la sensibilidad de las variables elegidas a los cambios en las variables exógenas. El caso de dos factores es un ejemplo extremo: a corto plazo la mezcla de factores que minimiza el coste no se

ve afectada por los precios de los factores, mientras que en el problema a largo plazo se espera que las elecciones varíen con p.

Un argumento similar se puede utilizar para confirmar nuestro anterior análisis gráfico sobre la relación que existe entre las curvas a corto y a largo plazo. En lugar de comparar el efecto que produce la modificación de los precios de los factores, manteniendo constante la producción, en el coste a corto y a largo plazo, se podrían comparar los efectos de la modificación de la producción manteniendo constante los precios de los factores. Para p0 los costes a corto y a largo plazo de producir y0 son iguales: 𝐶(𝑝0 , 𝑦 0 ) = 𝑆(𝑝0 , 𝑦 0 ), pero para otros niveles de producción: 𝐶(𝑝0 , 𝑦) = 𝑝𝑣0 𝑧𝑣 (𝑝0 , 𝑦) + 𝑝𝑘0 𝑧𝑘 (𝑝0 , 𝑦) ≤ 𝑝𝑣0 𝑧𝑣 (𝑝0 , 𝑦, 𝑧𝑘0 ) + 𝑝𝑘0 𝑧𝑘 = 𝑆(𝑝0 , 𝑦, 𝑧𝑘0 )

La función de costes a corto plazo se sitúa por encima de la función a largo plazo para todos los niveles de producción, excepto en y0donde es tangente a ella. De este modo,

el coste marginal a corto plazo será igual al coste marginal a largo plazo en y0y aumentará más rápidamente con la producción que el coste marginal a largo plazo en las proximidades de y0.

Ejercicio6C 1. Resuelva el problema de minimización del coste a corto plazo y represente gráficamente las curvas de coste a corto plazo para una empresa con una tecnología de coeficientes fijos y distintas actividades. ¿Por qué la curva de coste marginal a corto plazo se hace vertical? 2. Repita la Pregunta 1 para el caso de una función de producción CobbDouglas. ¿Se hace vertical la curva CMaC? ¿Por qué? En caso contrario, ¿por qué no? 3. ¿Qué ocurre en la Figura 6.8 si parte de la línea de contorno se sitúa por debajo de la recta horizontal en 𝑧20 ? ¿De qué manera serán diferentes la senda de expansión y las curvas de coste a corto plazo? 4. Suponga que una empresa desea producir una determinada cantidad de producto para el mes siguiente, que ya se ha comprometido a contratar 𝑧20 unidades de trabajo al precio de 𝑝2 por unidad y que no puede despedir a los trabajadores sin avisarles con un mes de antelación, es decir, sin pagarles por el tiempo que podían haber trabajado durante ese mes. Sin embargo, considere que la empresa puede contratar mano de obra adicional para el mes siguiente al precio de 𝑝2 , aunque no puede revender las horas de trabajo que ya ha contratado. Resuelva el problema de minimización de coste a corto plazo para una empresa con algún otro factor variable y represente gráficamente las curvas de coste a corto plazo. ¿En qué se diferencian los resultados que obtiene de los expuestos en el texto? 5. Muestre que la función de coste a corto plazo 𝑆(𝑝, 𝑦, 𝑧𝑘0 ) obtenida a partir de [C.5] satisface las propiedades (a) a (d) de la sección B.

Minimización del coste con varias plantas Muchas empresas possen más de una planta de producción y, por lo tanto, se enfrentan al problema de asignar una determinada producción total entre sus plantas para minimizar el costo total de esa producción. El problema se puede resolver en 2

etapas. En primer lugar, cada planta resuelve el problema de producir un determinado nivel de producción de factores que minimice el coste de la planta. Cada planta tiene una función de costes que se obtiene de la manera habitual . En el problema de dos plantas , la función de costes de la planta es: 𝐶𝑖 = 𝐶𝑖 (𝑦 𝑖 ) 𝑖 = 1,2 𝑖 Donde 𝐶𝑖 es el coste total de la planta i, 𝑦 es la producción en la planta i (𝑦 1 e 𝑦 𝑖2 son los mismos bienes pero producidos en plantas diferentes) y donde los precios de los factores se han omitido como argumentos de las funciones de costes , 𝐶𝑖 puede ser la función de costes a corto plazo o a largo plazo dependiendo de las restricciones sobre el ajuste de los factores. La segunda etapa del problema es :

el coste marginal en la planta i es 𝐶´𝑖 (𝑦´) . Se supone que las funciones de costes son estrictamente convexas en y´por lo que el coste marginal crece con la producción: 𝐶´´𝑖 (𝑦´) > 0, y≥0. Esto significa que 𝐶1 + 𝐶2 es convexo en los niveles de producción y, por lo tanto, las condiciones de Kuhn- Tucker son necesarias y suficientes. La función de Lagrange es: y las condiciones de Kuhn- Tucker son:

𝜆 es la tasa a la cual el coste de la empresa aumentaría si su nivel de producción 𝑦 0 exigido aumentara; es el coste marginal de la empresa con carias plantas. Al menos una de las 𝑦 𝑖 debe ser positiva para satisfacer la restricción de producción necesaria,y para la 𝑦 𝑖 positiva también dber ser cierto que 𝜆 = 𝐶´𝑖 (𝑦´).Dado que el coste marginal es positivo también debe serlo 𝜆, y así la restricción de producción´requerida deber ser efectiva en la solución. Existen 2 tipos de solución dependiendo de sis se utilizan solo una o ambas plantas cuando se minimixan los costes. Si se utilizan ambas plantas , entonces [D.3] implica:

Lo que significa que se minimizan los costos cuando la producción se asigna entre las plantas, de forma que se igualen los costes margianles de las 2 plantas. El gráfico 6.13 ilustra este tipo de solución. Las curvas de coste marginal 𝐶´1 𝑦 𝐶´2 para las dos plantas se muestran en las partes a) y b) y la producción que minimiza el coste de la planta i es 𝑦 𝑖∗ , con 𝑦1∗ + 𝑦 2∗ = 𝑦 0 . Si 𝐶´1 no fuera igual a 𝐶´2 para asignación donde se utilizan ambas plantas, sería posible reducir el coste transfiriendo producción desde la planta con el coste marginal más alto hasta la planta con el coste marginal más bajo. Por ejemplo, si 𝐶´1 > 𝐶´2 entonces, aumentando 𝑦 2 en una unidad y reduciendo 𝑦1 en una unidad, se dejaría la producción total sin cambios y se reduciría el coste total en , aprox 𝐶´1 − 𝐶´2 > 0.

En el gráfico 6.13 , muestra el coste marginal de la empresa de producir diferentes cantidades totales de producto , cada nivel de producción se asigna entre la sdos plantas de modo que se minimiza el coste total. Puede observarse que para niveles de producción mayores que 𝑦 solo se utiliza la planta 1; la curva de coste marginal de la empresa 𝐶´(𝑦) coincide con la curva de coste marginal de la planta 1. Para niveles de producción mayoes que 𝑦 , la minimización del coste requiere que se utilicen ambas plantas y que los costes marginales de las plantas sean iguales; en este caso la curva de coste marginal de la empresa es la suma horizontal de las curvas de costes marginales de las dos plantas.