6 Ecuaciones De Segundo Grado

4to. 1ra. T. T. - Matemática Prof. Flavia Terrizzano

Ecuaciones de segundo grado Parte teórica Para resolver ecuaciones de segundo grado se aplica. x1, 2

− b ± b 2 − 4ac = 2a

Esta ecuación se denomina ecuación cuadrática. La ecuación puede tener:  Dos soluciones Ejemplo x2 + 6 x – 27 = 0 x1, 2 =

− 6 ± 36 − 4(−27) 2

x1, 2 =

− 6 ± 36 + 108 2

− 6 ± 144 2 − 6 ± 12 = 2

x1, 2 = x1, 2

x1=3 x2=-9

 Una solución Ejemplo 3x2 + 6x + 3 = 0 x1, 2 =

− 6 ± 36 − 4.3.3 2.3

x1, 2 =

− 6 ± 36 − 36 6

x1, 2 =

−6 = −1 6

x1 = x2 Tiene solución única. b 2 − 4.a.c = 0

 Soluciones imaginarias. Ejemplo x2 - 4x + 5 = 0 1

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x1, 2 =

4 ± 16 − 4.5 2

x1, 2 =

4± −4 2

x1, 2 =

4 ± 2i 2

x1 = 2 + 2i x2 = 2 – 2i

Ecuaciones bicuadradas Se llama ecuación bicuadrada a una ecuación de la forma a x4 + b x2 + c = 0 (a ≠ 0) Para resolver una ecuación de este tipo hacemos la siguiente sustitución x2 = z y x4 = z2 luego, puede escribirse a z2 + bz + c = 0 y resolverse como una ecuación de segundo grado. Finalmente se vuelve a sustituir z por x. Ejemplo Hallar las raíces de la ecuación x4 – 3 x2 + 2 = 0 Sustituimos z = x2 y nos queda z2 – 3 z + 2 = 0 z1, 2 =

3 ± 9 − 8 3 ± 1 3 ±1 = = 2 2 2

x1,22 = 1

z1 = 1

x1= 1 x2 = -1

x3,42 = 2

z2 = 2

x3 =

2

x4 = - 2 Factorización del trinomio de segundo grado Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación a x2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) entonces el trinomio de segundo grado puede escribirse a x2 + b x + c = a (x – x1) (x – x2) Ejemplo Factorear el trinomio 4 x2 – 16 x – 48. Hallamos las raíces x1, 2 =

16 ± 256 + 768 16 ± 32 = 8 8

x1 = 6 x2 = -2 2

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Factoreamos el trinomio teniendo en cuenta que a = 4, x1 = 6 y x2 = -2 4 x2 – 16 x – 48 = 4 . (x-6) (x + 2) Parte Práctica 1) Resolver las siguientes ecuaciones: a) x2 – 2 (x + 4) = 0

b)

c) x (x-1) + 2x = x + 25 e) 3 x ( x-1) – 2 (2x2 – 2x) = - 6 1 2  g)  2 x − . x −  = 0,08 5 5  2 x − 5 2x − 1 3 i) − = 2 4 4 2 2 2( x − 3) x + 3 x2 k) − = x+ 4 2 2

2x + 3 x + 5 = x−3 x−5 d) (x – 1)2 = (x + 3) (x – 1) – 4x2 f) 7 – 5 x (x – 2) = x (2 – 6x)

h) (2x – 1)2 – 9 = 0 j)

x + 3 2 x 2 − 1 x + 2 67 = − − 5 4 2 20 2 10 x − 2 x l) = 3x − 1 3x + 1

2) Dado x2 – 2x – 1 = 0. Hallar x12 + x22 3) La suma de dos números es 4 y su producto es 1 ¿Cuáles son los números? 4) La superficie de un rectángulo es de 48 cm2 y el perímetro es de 28 cm. Calcular la diagonal del rectángulo. 5) Los lados de un triángulo rectángulo son números consecutivos. Calcular el perímetro del rectángulo. 6) Si al triple de un número se le suma la mitad de su cuadrado, se obtiene el duplo del mismo número. ¿Cuáles son los números que cumplen esa condición? 7) Dada mx2 + 4x + 4 = 0. Hallar m para que las raíces sean iguales. 8) Resolver a) 4 (x2 – 1)2 + 3x2 – 3 = 0

b) 2 x2 + 4 = - (x2 + 2).(x2 – 2)

9) Factorear a) x2 – 4x – 5 =

b)

1 2 x + 5x + 8 = 2

3

c) x2 – 6x =

d) 9x2 + 6x +1 =