51-60
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View 51-60 as PDF for free.
More details
- Words: 2,505
- Pages: 10
51. Вычислить:
1 2 sin .
||
Решение. Особой точкой подынтегральной функции: 1 2 sin
является точка 0, в которой функция не определена. ,
2
2 0
2
2
-
Точка 0 лежит внутри контура интегрирования. Находим вычет в этой точке. Точка 0 – существенно особая точка для функции . Найдём разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки. Воспользуемся разложением в ряд Лорана элементарных функций. || ∞. sin , 3! 5!
Тогда: 1 1 1 1 1 1 sin , 0 || ∞, 3! 5! 1 1 1 1 1 1 2 sin 2 . 3! 5! Из этого разложения: 1 1 1 11 res $ 2 sin % &' 2 2 . # 3! 6 6
По теореме Коши:
1 1 11 11)* . 2 sin res $ 2 sin % 2)* + # 6 3
||
1
52. Найти интеграл:
||#
1 . . 2
Решение. Особыми точками подынтегральной функции: 1 . 2
являются нули её знаменателя – корни уравнения . 2 0: . 2, Ln2, ln 2 *) 21), 1 0, 21, … ,
10
10
0
10
-
10
В контур интегрирования попадают точки ln 2 2 )* и ln 2 2 3)*. Находим вычеты в этих точках: 1 1 : ln 2 2 )* 1 ; 8 res 45 967 45 267 . 2 . 2 1 1 : ln 2 2 3)* 1. res 8 45 967 45 267 . 2 . 2 По теореме Коши:
||#
1 ln 2 )* 1 ln 2 )* 1 ln 2 3)* 1 ln 2 3)* 1 2)* $ % . 2 2 2 2 2
2)* +
4ln 2 1 4)*ln 2 1. 2
2
53. Найти радиус сходимости степенного ряда: ? > = . 2 *> >#
Решение. 1 &> , 2 *> 1 1 1 1 |&> | @ @ >⁄ . > > > 2 * |2 *| 3 A√3C 1
Тогда:
E lim
>G?
H1⁄3>⁄
I
lim 3⁄ √27. >G?
54. Разложить по степеням 1 функцию: 1 . 3 2*
1 1 1 1 . 3 2* 3 2* 1 1 3 2* 1 2* 3 2* 2* 1
Решение. При:
| 1| K @
13 3 2* @ 2* 2
1 1 + 3 2* 2* 1 3 2* имеем:
При:
| 1| M
13 2
?
1 1 1 3 2* 2* 1 2* 1 3 2* 2* 1 имеем:
?
2*L 1L 2*L 1L 1 1 = = . 2* 1 3 2* 3 2*L 3 2*L9 1 3 2* L# L#
?
?
L#
L#
3 2*L 3 2*L 1 = = . 2*L 1L 2*L9 1L9 2* 1 55. Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию: 1 . N 1 2
1 3 2* 1 2* 1
3
Решение. Разложим дробь на простейшие: 1 O P . 1 2 1 2
Вычисляем коэффициенты O и P: 1 1 ; O 3 1 2 1 1 P . 12 12
Тогда:
N
1 1 1 1 1 . 1 2 31 3 2
Воспользуемся табличными разложениями: ? 1 1 || 1, =1L L , 1 1 L#
?
?
1 1 1 1 L L + = L = L9 , 2 2 2 2 1 2 L# L# 2 ?
?
L#
L#
|| 2.
1 1 1 L L L N =1 = L9 , 1 2 2 3 3 Тогда:
|| 1.
56. Разложить в ряд Лорана по степеням 1 функцию: N sin . 1
11 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1 , 1 1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 cos cos 1 sin . 1 1 1 Решение.
N sin
Воспользуемся разложением в ряд Лорана элементарных функций: || ∞, sin , 3! 5! S || ∞. cos 1 , 2! 4! Тогда: 1 1 1 1 sin , 0 | 1| ∞, 1 1 3! 1 5! 1 1 1 1 1 , 0 | 1| ∞, cos 2! 1 4! 1S 1
4
N sin
1
1 1 1 1 3! 1 5! 1 1 1 cos 1 1 % 2! 1 4! 1S 1 1 1 1 sin 1 $1 % cos 1 $ 1 % 2! 1 4! 1 3! 1 5! 1S 1 1 1 1 1 sin 1 $ % cos 1 $1 %. 1 3! 1 5! 1 2! 1 4! 1S 1 1 $sin 1
?
57. Вычислить, пользуясь теоремой о вычетах интеграл: #
. 1 -T
Решение. Так как подынтегральная функция чётная, то: ?
?
1 . 1 -T 2 1 -T #
'?
Для того чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной: 1 U# T . 1 VT
Строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси WX; XY и полуокружности Z[ \|| X, Im M 0^, выбрав X так, чтобы все особые точки > 1 1, 2, … , ` функции , лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах: [
L
T 2)* = res . I - 1
'[
>
ab
(*)
Переходим к пределу при X G ∞. Так как степени многочленов U# и VT удовлетворяют соотношению c M ` 2, то: lim 0.
[G9?
ab
Поскольку правая часть в (*) не зависит от X, имеем: ?
L
1 T 2)* = res T , I 1 - 1
'?
>
где > – особые точки функции: 1 T , 1 5
лежащие в верхней полуплоскости (Im > d 0). Особыми точками функции: 1 T 1
являются нули её знаменателя – корни уравнения T 1 0, T 1, > .
696> 7 T
.
6 6> e 9 f7 T ,
1 0, 1, 2, 3, 4, 5.
, 1
1
1
1
-
В верхней полуплоскости лежат точки . h 7 , . h 7 и . h 7 . Вычисляем вычеты в этих точках: g
1 1 8 g: res T k 1 6 l h m
1
6
6. T 7
1 1 res T 8 ig : n 1 6 l h m 1 1 res T 8 jg : i 1 6 l h m Тогда: ?
6
1
6
1
6 6. T 7
6
6
jg
6
. T7 . T7 67 ; 6. 6
6 6. T 7
ig
6
.T7
6.
o6 7 T
6.
#6 7 T
6
.T7
6
.T7 ; 6 6
.T7 . 6 6
6
6
. T7 . T 7 . T 7 . T7 . T 7 . T 7 T 2)* p q 2)* + - 1 6 6 6 6
'?
)* ) ) 3) 3) 5) 5) cos * sin cos * sin cos * sin 3 6 6 6 6 6 6 1 1 )* 2) )* √3 √3 * s + 2* . r * 0* 2 2 2 3 3 3 2
6
?
#
1 2) ) + . 3 1 2 3
-T
?
58. Найти интеграл: - cos - . - 1 #
Решение. Так как подынтегральная функция чётная, то: ?
?
- cos 1 - cos - - . - 1 - 1 2 #
9?
'?
Для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл:
'? 9?
- . 7t - 1
9?
и воспользоваться формулой:
- . 7t - cos - Re . - 1 - 1
'?
'?
Чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной: . 7 . 1
Строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси WX; XY и полуокружности Z[ \|| X, Im M 0^, выбрав X так, чтобы все особые точки > 1 1, 2, … , ` функции , лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах: [
L
- . 7t 2)* = res . I - 1
'[
>
ab
(*)
Переходим к пределу при X G ∞. Так как в нашем случае: v 1
есть правильная рациональная дробь и w 1 d 0, то условия леммы Жордана выполнены и, следовательно, lim 0.
[G9?
ab
7
Поскольку правая часть в (*) не зависит от X, имеем: 9?
L
- . 7t . 7 2)* = res , I 1 - 1 >
'?
где > – особые точки функции: . 7 , 1
лежащие в верхней полуплоскости (Im > d 0). Особыми точками функции: . 7 1 являются нули её знаменателя – точки 2*. ,
2
2 2
2
-
В верхней полуплоскости находится точка * – полюс второго порядка функции . Вычисляем вычет в этой точке: . 7 . 7 . 7 res x y res x y lim x * + y G7 7 1 7 * * * * z2 + . 7 + . 7 + *{ * . 7 + 2 * . 7 lim x y lim G7 * G7 *S W2 * * 2Y. 7 W2 * 2* 2Y. 7 W* 2*Y. 7 lim lim lim G7 G7 G7 * * * n n W* * 2*Y*. 7 W* * 2*Y*. 7 0. * * 8* 9?
Следовательно,
- . 7t 2)* + 0 0, - 1
'?
8
9?
- cos - 0, - 1
'? 9?
#
- cos - 0. - 1
59. Разложит в ряд Лорана по степеням в кольце 1 || 2 функцию: 1 . 1 2 Решение. Разложим дробь на простейшие: 1 O P . 1 2 1 2
Вычисляем коэффициенты O и P: 1 1; O 12 1 P 1. 21 Тогда:
1 1 1 . 1 2 1 2
Воспользуемся табличными разложениями: ? ? 1 1 1 1 1 1 + = L = L9 , 1 ||, 1 11 L# L# ? ? 1 1 1 1 L L || 2. + = = , 2 2 1 2 2L 2L9 L# L# 2 ?
?
L#
L#
1 1 L = L9 = L9 , 1 2 2 Тогда:
1 || 2.
60. Разложит в ряд Лорана по степеням функцию: . ⁄ . Решение. Воспользуемся табличными разложениями: || ∞. . 1 , 1! 2! 3!
Тогда:
9
11 1 1 1 1 , 0 || ∞, 1! 2! 3! 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 . . ⁄ 1 1! 2! 3! 1! 2! 3! 4! 5!
. ⁄ 1
10
1 2 sin .
||
Решение. Особой точкой подынтегральной функции: 1 2 sin
является точка 0, в которой функция не определена. ,
2
2 0
2
2
-
Точка 0 лежит внутри контура интегрирования. Находим вычет в этой точке. Точка 0 – существенно особая точка для функции . Найдём разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки. Воспользуемся разложением в ряд Лорана элементарных функций. || ∞. sin , 3! 5!
Тогда: 1 1 1 1 1 1 sin , 0 || ∞, 3! 5! 1 1 1 1 1 1 2 sin 2 . 3! 5! Из этого разложения: 1 1 1 11 res $ 2 sin % &' 2 2 . # 3! 6 6
По теореме Коши:
1 1 11 11)* . 2 sin res $ 2 sin % 2)* + # 6 3
||
1
52. Найти интеграл:
||#
1 . . 2
Решение. Особыми точками подынтегральной функции: 1 . 2
являются нули её знаменателя – корни уравнения . 2 0: . 2, Ln2, ln 2 *) 21), 1 0, 21, … ,
10
10
0
10
-
10
В контур интегрирования попадают точки ln 2 2 )* и ln 2 2 3)*. Находим вычеты в этих точках: 1 1 : ln 2 2 )* 1 ; 8 res 45 967 45 267 . 2 . 2 1 1 : ln 2 2 3)* 1. res 8 45 967 45 267 . 2 . 2 По теореме Коши:
||#
1 ln 2 )* 1 ln 2 )* 1 ln 2 3)* 1 ln 2 3)* 1 2)* $ % . 2 2 2 2 2
2)* +
4ln 2 1 4)*ln 2 1. 2
2
53. Найти радиус сходимости степенного ряда: ? > = . 2 *> >#
Решение. 1 &> , 2 *> 1 1 1 1 |&> | @ @ >⁄ . > > > 2 * |2 *| 3 A√3C 1
Тогда:
E lim
>G?
H1⁄3>⁄
I
lim 3⁄ √27. >G?
54. Разложить по степеням 1 функцию: 1 . 3 2*
1 1 1 1 . 3 2* 3 2* 1 1 3 2* 1 2* 3 2* 2* 1
Решение. При:
| 1| K @
13 3 2* @ 2* 2
1 1 + 3 2* 2* 1 3 2* имеем:
При:
| 1| M
13 2
?
1 1 1 3 2* 2* 1 2* 1 3 2* 2* 1 имеем:
?
2*L 1L 2*L 1L 1 1 = = . 2* 1 3 2* 3 2*L 3 2*L9 1 3 2* L# L#
?
?
L#
L#
3 2*L 3 2*L 1 = = . 2*L 1L 2*L9 1L9 2* 1 55. Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию: 1 . N 1 2
1 3 2* 1 2* 1
3
Решение. Разложим дробь на простейшие: 1 O P . 1 2 1 2
Вычисляем коэффициенты O и P: 1 1 ; O 3 1 2 1 1 P . 12 12
Тогда:
N
1 1 1 1 1 . 1 2 31 3 2
Воспользуемся табличными разложениями: ? 1 1 || 1, =1L L , 1 1 L#
?
?
1 1 1 1 L L + = L = L9 , 2 2 2 2 1 2 L# L# 2 ?
?
L#
L#
|| 2.
1 1 1 L L L N =1 = L9 , 1 2 2 3 3 Тогда:
|| 1.
56. Разложить в ряд Лорана по степеням 1 функцию: N sin . 1
11 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1 , 1 1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 cos cos 1 sin . 1 1 1 Решение.
N sin
Воспользуемся разложением в ряд Лорана элементарных функций: || ∞, sin , 3! 5! S || ∞. cos 1 , 2! 4! Тогда: 1 1 1 1 sin , 0 | 1| ∞, 1 1 3! 1 5! 1 1 1 1 1 , 0 | 1| ∞, cos 2! 1 4! 1S 1
4
N sin
1
1 1 1 1 3! 1 5! 1 1 1 cos 1 1 % 2! 1 4! 1S 1 1 1 1 sin 1 $1 % cos 1 $ 1 % 2! 1 4! 1 3! 1 5! 1S 1 1 1 1 1 sin 1 $ % cos 1 $1 %. 1 3! 1 5! 1 2! 1 4! 1S 1 1 $sin 1
?
57. Вычислить, пользуясь теоремой о вычетах интеграл: #
. 1 -T
Решение. Так как подынтегральная функция чётная, то: ?
?
1 . 1 -T 2 1 -T #
'?
Для того чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной: 1 U# T . 1 VT
Строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси WX; XY и полуокружности Z[ \|| X, Im M 0^, выбрав X так, чтобы все особые точки > 1 1, 2, … , ` функции , лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах: [
L
T 2)* = res . I - 1
'[
>
ab
(*)
Переходим к пределу при X G ∞. Так как степени многочленов U# и VT удовлетворяют соотношению c M ` 2, то: lim 0.
[G9?
ab
Поскольку правая часть в (*) не зависит от X, имеем: ?
L
1 T 2)* = res T , I 1 - 1
'?
>
где > – особые точки функции: 1 T , 1 5
лежащие в верхней полуплоскости (Im > d 0). Особыми точками функции: 1 T 1
являются нули её знаменателя – корни уравнения T 1 0, T 1, > .
696> 7 T
.
6 6> e 9 f7 T ,
1 0, 1, 2, 3, 4, 5.
, 1
1
1
1
-
В верхней полуплоскости лежат точки . h 7 , . h 7 и . h 7 . Вычисляем вычеты в этих точках: g
1 1 8 g: res T k 1 6 l h m
1
6
6. T 7
1 1 res T 8 ig : n 1 6 l h m 1 1 res T 8 jg : i 1 6 l h m Тогда: ?
6
1
6
1
6 6. T 7
6
6
jg
6
. T7 . T7 67 ; 6. 6
6 6. T 7
ig
6
.T7
6.
o6 7 T
6.
#6 7 T
6
.T7
6
.T7 ; 6 6
.T7 . 6 6
6
6
. T7 . T 7 . T 7 . T7 . T 7 . T 7 T 2)* p q 2)* + - 1 6 6 6 6
'?
)* ) ) 3) 3) 5) 5) cos * sin cos * sin cos * sin 3 6 6 6 6 6 6 1 1 )* 2) )* √3 √3 * s + 2* . r * 0* 2 2 2 3 3 3 2
6
?
#
1 2) ) + . 3 1 2 3
-T
?
58. Найти интеграл: - cos - . - 1 #
Решение. Так как подынтегральная функция чётная, то: ?
?
- cos 1 - cos - - . - 1 - 1 2 #
9?
'?
Для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл:
'? 9?
- . 7t - 1
9?
и воспользоваться формулой:
- . 7t - cos - Re . - 1 - 1
'?
'?
Чтобы применить теорему Коши о вычетах, вводим функцию комплексной переменной: . 7 . 1
Строим контур, состоящий из отрезка вещественной оси WX; XY и полуокружности Z[ \|| X, Im M 0^, выбрав X так, чтобы все особые точки > 1 1, 2, … , ` функции , лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах: [
L
- . 7t 2)* = res . I - 1
'[
>
ab
(*)
Переходим к пределу при X G ∞. Так как в нашем случае: v 1
есть правильная рациональная дробь и w 1 d 0, то условия леммы Жордана выполнены и, следовательно, lim 0.
[G9?
ab
7
Поскольку правая часть в (*) не зависит от X, имеем: 9?
L
- . 7t . 7 2)* = res , I 1 - 1 >
'?
где > – особые точки функции: . 7 , 1
лежащие в верхней полуплоскости (Im > d 0). Особыми точками функции: . 7 1 являются нули её знаменателя – точки 2*. ,
2
2 2
2
-
В верхней полуплоскости находится точка * – полюс второго порядка функции . Вычисляем вычет в этой точке: . 7 . 7 . 7 res x y res x y lim x * + y G7 7 1 7 * * * * z2 + . 7 + . 7 + *{ * . 7 + 2 * . 7 lim x y lim G7 * G7 *S W2 * * 2Y. 7 W2 * 2* 2Y. 7 W* 2*Y. 7 lim lim lim G7 G7 G7 * * * n n W* * 2*Y*. 7 W* * 2*Y*. 7 0. * * 8* 9?
Следовательно,
- . 7t 2)* + 0 0, - 1
'?
8
9?
- cos - 0, - 1
'? 9?
#
- cos - 0. - 1
59. Разложит в ряд Лорана по степеням в кольце 1 || 2 функцию: 1 . 1 2 Решение. Разложим дробь на простейшие: 1 O P . 1 2 1 2
Вычисляем коэффициенты O и P: 1 1; O 12 1 P 1. 21 Тогда:
1 1 1 . 1 2 1 2
Воспользуемся табличными разложениями: ? ? 1 1 1 1 1 1 + = L = L9 , 1 ||, 1 11 L# L# ? ? 1 1 1 1 L L || 2. + = = , 2 2 1 2 2L 2L9 L# L# 2 ?
?
L#
L#
1 1 L = L9 = L9 , 1 2 2 Тогда:
1 || 2.
60. Разложит в ряд Лорана по степеням функцию: . ⁄ . Решение. Воспользуемся табличными разложениями: || ∞. . 1 , 1! 2! 3!
Тогда:
9
11 1 1 1 1 , 0 || ∞, 1! 2! 3! 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 . . ⁄ 1 1! 2! 3! 1! 2! 3! 4! 5!
. ⁄ 1
10
Related Documents
5160-tese
November 2019 16
Labgc Labels -5160
October 2019 3
Inspiron 5160 Manual
June 2020 7
5160 Perkiomen Ave Demographics
June 2020 6
