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COMPENDIO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS Y MECANISMOS

CAPITULO 5: ENGRANAJES Ing. Freddy G. De la Barra O.

2019 5-1

MECANISMOS Y ELEMENTOS DE MAQUINAS CAPITULO 5.

ENGRANAJES

5.1. INTRODUCCIÓN Un engranaje se puede considerar como una rueda dentada que cuando se acopla con otra rueda dentada de diámetro más pequeño (piñón), transmitirá rotación de un eje a otro. La función principal de un engrane es transferir potencia de un eje a otro, manteniendo una razón definida entre las velocidades rotacionales de los ejes. Los dientes de un engrane impulsor empujan los dientes del engrane impulsado, ejerciendo una componente de la fuerza perpendicular al radio del engrane. De este modo se transmite un par detorsión y como el engrane gira, se transmite potencia. Los engranes son los transmisores de par de torsión más fuertes y resistentes. Su eficiencia de transmisión de potencia puede ser tan alta como de 98%. Por otra parte, usualmente los engranajes son más costosos que otros transmisores de par de torsión, tales como los de transmisión por cadena y banda. Los engranajes están altamente estandarizados en cuanto a forma de los dientes y tamaño. 5.2. CLASIFICACIÓN Los engranajes se dividen en tres clases fundamentalmente: engranajes de eje paralelo, engranajes de ejes no paralelos coplanares y engranajes de ejes no paralelos y no coplanares. A continuación, se hace una descripción de cada una de las clases. De acuerdo al tipo de movimiento, se clasifican en tres grandes grupos:  Cilíndricos  Tronco cónicos  Hiperbólicos Los cilíndricos a su vez también se subdividen en cinco grupos: o Dientes rectos o Dientes helicoidales o Dientes en V o doble helicoidal o Dientes escalonados o Piñón cremallera Los de dientes rectos también se dividen en: con sentido distinto: exteriores e igual sentido: interiores. Los de dientes en V o doble helicoidal, se dividen en tres grupos: Continuo, Interrumpido e Intercalado. Los engranajes tronco cónicos de dientes helicoidales se subdividen en: Rectos y Curvos. Para los engranajes hiperbólicos, se consideran tres grupos:  Helicoidales de ejes cruzados  Hipoides  Tornillo sin fin corona En los engranajes de tornillo se consideran los del tipo sin fin cilíndricos que a su vez se dividen en de corona cóncava y de rueda cilíndrica. El otro grupo son los del tipo sin fin globoides.

5-2

Esta clasificación se representa de manera más detallada en la figura y esquema subsiguientes.

Fig. 5.1. Tipos de Engranajes

5-3

to Distin o sentid

Dientes Rectos

Dientes Helicoidales (Fig. B y C)

CILÍNDRICOS (ejes paralelos) Ej. Aplicaciones: Cambio de marchas

Dientes en V o doble helicoidal

Dientes escalonados

Igual sentido

Exteriores (Fig. A)

Interiores (Fig. G)

Continuo

Interrumpido

Intercalado (Fig. D)

Piñón – cremallera (Fig. E y F) Aplicaciones: Dirección automóvil

Dientes Rectos (Fig. H e I) CLASIFICACIÓN DE LOS ENGRANAJES SEGÚN EL AXOIDE DEL MOVIMIENTO

TRONCO CÓNICOS (ejes que se cortan) Ej. Aplicaciones: Diferenciales

Recto Dientes Helicoidales Curvo (Fig. J y K)

Helicoidales de ejes cruzados (Fig. L)

HIPERBOLICOS (ejes que se cruzan)

Hipoide (Fig. M) Aplic.: Transmisión

Corona cóncava Sin fin Cilíndrico

Tornillo Sin fín - Corona

Rueda cilíndrica (Fig. N y Ñ) Sin fin Globoide Aplic.: Limpia parabrisas

Fig. 5.2. Clasificación de los Engranajes

5.2.1. Engranajes Cilíndricos Ruedas de ejes paralelos (cilíndricos): se presenta para ruedas cilíndricas que están montadas sobre ejes paralelos, pudiendo presentarse distintos casos, según como se muestran a continuación: Dientes rectos, Dientes helicoidales, Dientes en V o doble helicoidal, Dientes escalonados y Piñón cremallera

5-4

5.2.1.1. Engranajes de Dientes Rectos Los engranajes rectos son los más simples y el tipo más común. En la figura 5.3., se muestra este tipo de engranajes. Es el engranaje donde la sección de corte se mantiene constante con respecto al eje axial. Es el engranaje más práctico de fabricar y el más antiguo. Se utilizan generalmente para velocidades pequeñas y medias, a grandes velocidades. Son utilizados en situaciones en donde es necesaria la transmisión de potencia en ejes paralelos y constituyen el engranaje original con mayor tradición. Ejemplo: Máquinas sencillas cilíndricas y funcionan sobre ejes paralelos. Los dientes son rectos y paralelos a los ejes. El engranaje más sencillo es el engranaje recto, una rueda con dientes paralelos al eje, tallados en su perímetro.

Fig. 5.3. Engranaje recto

Este tipo de engranajes, a la vez se subdividen en:

Engranajes exteriores

Los dientes de ambas ruedas están tallados en la superficie exterior.

5-5

Engranajes interiores

Los dientes de una de las ruedas están tallados en la parte interna.

5.2.1.2. Engranajes de Dientes Helicoidales En la figura se muestra una transmisión por engranaje helicoidal, con los dientes de engranes cortados en una espiral que se envuelve alrededor de un cilindro. Los dientes helicoidales entran a la zona de acoplamiento progresivamente y, por lo tanto, tienen una acción más suave que los dientes de los engranajes rectos. Además, los engranajes helicoidales tienden a ser menos ruidosos. Otra ventaja de éstos es que la carga que se transmite puede ser un poco más grande, lo cual implica que la vida de los engranajes helicoidales sea más larga para la misma carga. Un engranaje helicoidal más pequeño puede transmitir la misma carga que un engranajes recto más grande. Una desventaja frente a los engranajes helicoidales es que producen un empuje lateral adicional a lo largo del eje, el cual no se presenta en los engranajes rectos. Este empuje lateral puede requerir de un componente adicional, tal como un collar de empuje, rodamientos de bolas, etc. Otra desventaja es que los engranajes helicoidales tienen una eficiencia ligeramente más baja que los engranajes rectos. La eficiencia depende de la carga normal total en los dientes, que es más alta para los engranajes rectos. Aunque la capacidad de soporte de carga total es mayor para los engranajes helicoidales, la carga se distribuye normal y axialmente, mientras que en un engrane recto toda la carga se distribuye normalmente.

Fig. 5.4. Engranaje helicoidal

5-6

5.2.1.3. Engranajes de Dientes en V o doble helicoidal Este tipo de engranajes fueron inventados por el fabricante de automóviles francés André Citroën, y el objetivo que consiguen es eliminar el empuje axial que tienen los engranajes helicoidales. El empuje axial que absorben los apoyos o cojinetes delos engranajes helicoidales es una desventaja de ellos y ésta se elimina por la reacción del empuje igual y opuesto de una rama simétrica de un engrane helicoidal doble.

Foto. 5.1. Engranaje en V o Doble Helicoidal - Intercalado

Los engranajes dobles son una combinación de hélice derecha e izquierda. El empuje axial que absorben los apoyos o cojinetes de los engranajes helicoidales es una desventaja de ellos y ésta se elimina por la reacción del empuje igual y opuesto de una rama simétrica de un engrane helicoidal doble. Un engrane de doble hélice sufre únicamente la mitad del error de deslizamiento que el de una sola hélice o del engranaje recto. Toda discusión relacionada a los engranes helicoidales sencillos (de ejes paralelos) es aplicable a los engranajes helicoidales dobles, exceptuando que el ángulo de la hélice es generalmente mayor para los helicoidales dobles, puesto que no hay empuje axial. Cada uno de ellos tienen dientes helicoidales con hélice hacia la derecha o hacia la izquierda, que pueden ser: continuos, interrumpidos o intercalados.

Foto. 5.2. Engranaje en V o Doble Helicoidal

5-7

5.2.1.4. Dientes escalonados Sirven para transmitir potencia de forma más suave que los engranajes rectos simples. Son el paso al límite de los engranajes cilíndricos rectos escalonados. En ellos aparecen menos golpes entre los dientes de ambas ruedas, luego pueden transmitir mayores potencias que los dientes rectos. Cuando cada pieza de los engranajes cilíndricos rectos empieza y termina de engranar bruscamente en toda su longitud, se presentan errores de fabricación (pequeños choques al empezar el engrane – ruido), no resultan adecuados para transmitir potencias importantes (vibraciones y ruidos), se propone tallar engranajes desplazados suavizando las variaciones bruscas, es decir, se logra un funcionamiento más suave cuanto mayor es el número de escalones.

Fig. 5.5. Esquema de Engranajes Escalonados

5.2.1.5. Piñón cremallera Es un mecanismo compuesto por un piñón o rueda dentada de dientes rectos, que engrana con una barra dentada denominada cremallera de forma que, cuando el piñón gira, la barra dentada se desplaza longitudinalmente. El mecanismo piñón-cremallera transforma el movimiento giratorio de un eje, en el que va montado un piñón, en movimiento rectilíneo, al engranar los dientes del piñón con los dientes de una barra prismática (cremallera) que se desplaza longitudinalmente.

Fig. 5.6. Sistema Piñón - Cremallera

5-8

Para que el engrane sea posible y el piñón pueda deslizarse sobre la cremallera es preciso que tanto piñón como cremallera posean el mismo módulo. Este tipo de mecanismo es reversible. Es decir puede funcionar aplicando un movimiento de giro al piñón que es transmitido a la cremallera desplazándolos de forma lineal, o viceversa, si se administran movimientos lineales alternativos a la cremallera, éstos se convierten en movimientos rotativos en el piñón. Se utiliza taladros de columna, sacacorchos, en la apertura y cierre de puertas sobre guías, y en las direcciones de los automóviles. Como dirección de los vehículos: El piñón está fijo a la barra de dirección y al volante. Al girarlo, desplaza la cremallera e inclina o alinea las ruedas.

5.2.2. Engranajes Troncocónicos Tienen forma de tronco de cono y el contacto se produce entre sus superficies laterales. Se utilizan cuando los árboles de transmisión no son paralelos. Como en el caso de las ruedas exteriores, también producen la inversión de giro. La característica común de esta clase es la reexpedición de la potencia alrededor de una esquina, como se podría requerir, por ejemplo, cuando se conecta un motor montado horizontalmente al eje del rotor montado verticalmente en un helicóptero. En la figura se muestra un engranaje cónico con dientes rectos. Obsérvese que los ejes son coplanares aunque no paralelos. Este tipo de engranajes pueden ser de dientes rectos y/o helicoidales.

Fig. 5.7. Engranajes Troncocónicos

Fig. 5.8. Ejemplos de representación

5-9

Efectúan la transmisión de movimiento de ejes que se cortan en un mismo plano, generalmente en ángulo recto aunque no es el único ángulo pues puede variar dicho ángulo como por ejemplo 45, 60, 70, etc., por medio de superficies cónicas dentadas. Los dientes convergen en el punto de intersección de los ejes. Son utilizados para efectuar reducción de velocidad con ejes en 90. En la siguiente figura, se muestran los tipos de engranajes troncocónicos más empleados:

Fig. 5.9. Ejemplos de engranajes troncocónicos

5.2.3. Engranajes Hiperbólicos Transmiten par y velocidad entre ejes que se cruzan en el espacio. Los más empleados comercialmente se muestran en la figura 5.10. Se describen a continuación los comprendidos en la clasificación inicial. 5.2.3.1 Engranajes Helicoidales de ejes cruzados Son la forma más simple de los engranajes cuyas flechas no se interceptan teniendo una acción conjugada (puede considerárselas como engranajes sinfín no envolventes), la acción consiste primordial mente en una acción de tornillo o de cuña, resultando un alto grado de deslizamiento en los flancos del diente. El contacto en un punto entre diente acoplado limita la capacidad de transmisión de carga para este tipo de engranes. 5.2.3.2. Engranaje cónico hipoide Un engranaje hipoide es un grupo de engranajes cónicos helicoidales formados por un piñón reductor de pocos dientes y una rueda de muchos dientes, que se instala principalmente en los vehículos industriales que tienen la tracción en los ejes traseros. Tiene la ventaja de ser muy adecuado para las carrocerías de tipo bajo, ganando así mucha estabilidad el vehículo. Por otra parte la disposición helicoidal del dentado permite un mayor contacto de los dientes del piñón con los de la corona, obteniéndose mayor robustez 5-10

en la transmisión.

Fig. 5.10. Engranajes Hiperbólicos

5.2.3.3. Tornillo Sinfin – Corona En estos mecanismos un tornillo sinfín va montado en el eje motor, haciendo girar la corona que es el eje de salida. Este mecanismo no puede funcionar en sentido contrario, es decir, es irreversible. Con estos mecanismos, se consigue transmitir fuerza y movimiento entre dos ejes perpendiculares, con relaciones de transmisión muy elevadas. Mientras los tornillos de fuerza son generalmente de rosca simple, los tornillos sinfín tienen usualmente roscas múltiples. Al número de roscas de un tornillo sinfín se le llama número de entradas. Este valor determina la velocidad de giro de la corona de salida. Si el sinfín es de una sola entrada, por cada vuelta que gira el tornillo, la corona avanza un diente. O lo que es igual para que la corona de una vuelta completa el tornillo sinfín a debido girar tantas vueltas como dientes tiene la corona.

Fig. 5.11. Tornillo Sinfin – Corona

5-11

Características de los tornillos sinfín:  Se pueden conseguir grandes reducciones en espacios reducidos, ya que su relación de transmisión es muy baja.  Se puede conseguir realizar mecanismos irreversibles, es decir, no permiten el giro forzado en uno de los sentidos.  Permiten rotar la dirección de salida del eje.  Como punto negativo, los mecanismos con tornillo sinfín tienen una gran pérdida de rendimiento, ya que generan bastantes pérdidas de energía por calor. 5.2.3.3.1. Sinfin cilíndrico La corona es igual a los engranajes cilíndricos comunes, el contacto es puntual, se utiliza para la transmisión de pequeñas potencias y velocidades reducidas, su producción es barata, la configuración se ilustra en la Figura 5.12.

Fig. 5.12 Tornillo sinfín cilíndrico.

5.2.3.3.2. Sinfin Globoide Se distinguen de las anteriores (con tornillo sinfín cilíndrico) por la forma de la parte fileteada del tornillo que representa una superficie globoidal que abraza la rueda con un cierto arco. Se emplean en el accionamiento de ascensores y montacargas. Se usan para la misma gama de potencias y relaciones de transmisión de los anteriores. Tienen considerable menor tamaño. Como desventajas, podemos decir, lubricación artificial por tener poca superficie de disipación, montajes más exactos, fabricación más compleja. Con el fin de convertir el punto de contacto en una línea de contacto y así distribuir mejor la fuerza a transmitir, se suelen fabricar tornillos sin fin que engranan con una corona glóbica. Otra forma de distribuir la fuerza a transmitir es utilizar como corona una rueda helicoidal y hacer el tornillo sin fin glóbico, de esta manera se consigue aumentar el número de dientes que están en contacto. Finalmente también se produce otra forma de acoplamiento donde tanto el tornillo sin fin como la corona tienen forma glóbica consiguiendo mejor contacto entre las superficies.

5-12

Fig. 5.13 Tornillo sinfín globoide.

5.2.3.3.3. Engranajes no paralelos no coplanares Los engranajes no paralelos no coplanares son más complejos en cuanto a geometría y fabricación que cualquier otro engranaje. Como resultado, estos engranajes son más caros que cualquier otro. En la figura se muestra esta clase de engranajes con una transmisión por tornillo sin fin con dientes cilíndricos. Estos engranajes proporcionan relaciones de reducción considerablemente más altas que los conjuntos de engranajes anteriores, pero su capacidad de soporte de carga es baja, su presión de contacto es alta y la tasa de desgasta es alta también. Así, solo se recomiendan para aplicaciones con carga ligera.

Fig. 5.14 Engranajes no paralelos no coplanares

5.3. CALCULO DE ENGRANAJES El objetivo del cálculo de engranajes es lograr una adecuada duración de las ruedas dentadas. Garantizar que el elemento cubra las solicitudes siguientes: 5-13

   

Fatiga por flexión en la base del diente Fatiga superficial por esfuerzos de contacto Capacidad térmica (sólo para transmisiones por TSF) Los otros tipos de falla (desgaste, deformación plástica, fractura, etc.), se pueden evitar con una adecuada lubricación, manufactura, tratamiento térmico y montaje y evitando interferencia.

5.3.1. Fuerzas en las Ruedas Dentadas En engranes cilíndricos de dientes rectos: Q: fuerza normal fQ ≈ 0: fuerza de fricción (f: coeficiente de fricción) Q = qB (q: fuerza por unidad de longitud) Q = Q t + Qr (suma vectorial) La fuerza Q se mueve desde a hasta b

Fig. 5.15 Fuerzas en las ruedas dentadas

Q = Q r + Qt Qt = Q cos α Qr = Q sen α Qr = Qt tan α Qt = T/(D/2) = 2T/D Se debe analizar las ecuaciones respectivas para otros tipos de ruedas dentadas.

5.3.2 Criterios de Diseño En base a los estudios de Soderberg y las expresiones de Goodman (modificadas), podemos establecer:  Existe información experimental sobre la resistencia a la fatiga de dientes de engranajes (experimentos con engranes reales) Las ecuaciones estudiadas aquí son las recomendadas por la AGMA (American Gear Manufacturers Association).  Los esfuerzos máximos y los permisibles y los factores de seguridad se calculan de acuerdo con la sección 5.6.

5-14

5.3.3 Engranajes Cilíndricos Rectos 5.3.3.1 Resistencia a los Esfuerzos por Flexión Se deben aplicar los siguientes conceptos:  Ecuación de Lewis

Y:

factor de forma de Lewis Fig. 5.16 Ecuación de Lewis

Primera ecuación útil para el esfuerzo a flexión en un diente de engranaje. Planteada por W. Lewis en 1892.



Ecuación de esfuerzos a flexión de AGMA Estándar 2001-B88

J:



Factor geométrico que tiene en cuenta la geometría y la concentración de esfuerzos

Resistencia a la fatiga por flexión AGMA Las condiciones de la ecuación AGMA son: o La razón de contacto está entre 1 y 2 o No hay interferencia entre puntas y raíces de los dientes, y no hay rebaje en la parte activa del flanco o Ningún diente es puntiagudo o Existe juego diferente de cero o Los redondeos de la raíz son estándar, son suaves y producidos por un proceso de generación 5-15

o o o

Se desprecian las fuerzas de fricción Los engranes son externos (para engranes internos AGMA define también procedimientos de diseño) Nota: si rc > 2, este procedimiento da resultados conservadores

El factor geométrico de resistencia a flexión (J), tiene en cuenta los siguientes aspectos:  La dimensión del diente en la raíz  La altura del diente  El efecto de concentración de esfuerzos  Entonces depende de: α, Z, tipo de dientes (estándar de profundidad completa o de cabeza desigual)  Tablas 11-8 a 11-15 de Norton

J también depende de si la carga máxima ocurre en las puntas o en un punto intermedio

Fig. 5.17 Carga Máxima

Por ejemplo: α = 20° (carga en las puntas): Cuadro 5.1 Factor geométrico J a flexión AGMA para dientes de profundidad total de 20° con carga en las puntas

P: piñón; G: rueda; U: rebaje debido a interferencia

5-16

Por ejemplo: α = 20° (HPSTC: highest point of single tooth contact): Cuadro 5.2 Factor geométrico J a flexión AGMA para dientes de profundidad total de 20° con carga HPSTC

P: piñón; G: rueda; U: rebaje debido a interferencia

Factor geométrico de resistencia a flexión (J): ¿Carga en la punta o HPSTC? Se escoge con base en precisión y rc Ejemplos: Para rc = 1, la carga máxima ocurre en la punta Para rc > 1.4 y alta precisión: HPSTC Para rc > 1.4 y baja precisión: en la punta

Factor dinámico (Kv): Considera cargas dinámicas (vibración e impactos) producidas por inexactitudes del perfil (error de transmisión)  Es función de Qv y de la velocidad periférica.  AGMA suministra curvas empíricas (y sus ecuaciones)

Fig. 5.18 Factores dinámicos Kv y cv de AGMA

5-17

Factor de distribución de carga (Km): La carga no se distribuye uniformemente a lo largo del diente debido a:  Desalineación axial de los engranes  Desviación axial de la forma del diente Cuadro 5.3 Factor de distribución de carga (Km)

Se recomienda que 8m < B < 16m Factor de aplicación (Ka): Tiene en cuenta cargas dinámicas debidas a las máquinas (sobrecargas, cargas pico, variaciones súbitas de carga): Cuadro 5.4 Factor de aplicación (Ka)

Factor de tamaño (Ks): Igual significado que Kb en la teoría de fatiga AGMA no ha establecido normas sobre Ks Tomar Ks = 1 Sin embargo, para dientes muy “grandes” tomar Ks del orden de 1.25 a 1.5 (Norton, 1999). Factor de espesor de aro (KB): Tiene en cuenta la posibilidad de falla del aro

Fig. 5.19

donde: 5-18

mB es la razón de respaldo (se recomienda que mB Para engranes sólidos KB = 1

0.5)

Factor de engrane intermedio o loco (KI): KI = 1.42 (loco); KI = 1 (no loco)

Fig. 5.20 Factor de engrane intermedio o loco

Resistencia a la fatiga por flexión AGMA (Sfb’): Cuadro 5.5 Resistencia a la fatiga por flexión AGMA (Sfb’) de AGMA para una selección de materiales de engrane

5-19

Fig. 5.21 Resistencia a la fatiga por flexión AGMA (Sfb’)

Diseño por esfuerzos variables a flexión:

Sfb’: Sfb: Sb: KL: KR :

esfuerzo permisible a flexión AGMA esfuerzo permisible a flexión corregido esfuerzo máximo a flexión AGMA factor de vida, KT: factor de temperatura, factor de confiabilidad 5-20

Factor de vida (KL): Sfb’ está basado en una vida de 107 ciclos. Otras vidas ver figura 5.22 para aceros.

Fig. 5.22 Factor de vida (KL) de AGMA

Factor de temperatura (KT): Sólo usar para aceros:

Factor de confiabilidad (KR): Los datos AGMA se basan en una confiabilidad de 99% (1 falla por cada 100 muestras). Cuadro 5.6 Factor de confiabilidad (KR)

5-21

5.3.3.2 Resistencia Superficial Los dientes de las ruedas dentadas están sujetos a rodadura y deslizamiento soportando esfuerzos de compresión por contacto variables (de contacto hertziano, dinámicos)  fatiga superficial. Se toman en cuenta, los siguientes conceptos:  Ecuación de esfuerzos superficiales AGMA  Resistencia a la fatiga superficial AGMA Contacto Cilindro – Cilindro:

Fig. 5.23

Ecuación de esfuerzos superficiales AGMA

Sc: esfuerzo máximo de compresión por contacto Qt: fuerza tangencial, B: ancho del diente, D: diámetro primitivo Ca = Ka, Cm = Km, Cv = Kv y Cs = Ks (factores de aplicación, de distribución de carga, dinámico y de tamaño) I: factor de geometría superficial Cp: coeficiente elástico Cf: factor de acabado superficial

5-22

Factor de geometría superficial (I): De acuerdo con AGMA:

donde p y g: radios de curvatura de los dientes del piñón y la rueda α: ángulo de presión, Dp: diámetro primitivo del piñón Para todas las ecuaciones: el signo superior se toma para engranes externos y el inferior cuando uno es interno. Factor de geometría superficial (I): Donde:

m: módulo, R p: radio primitivo del piñón, A: distancia entre centros xp: coeficiente de cabeza del piñón xp = 0, para dientes estándar (de profundidad completa) xp = 0.25, para dientes del piñón con 25% más de altura de cabeza, etcétera Coeficiente elástico (Cp): Considera las diferencias entre los materiales de los dientes:

Ep y Eg: p y g:

módulos de elasticidad del piñón y la rueda relaciones de Poisson

Coeficiente elástico (Cp): Cuadro 5.7 Coeficiente elástico

AGMA (Cp) en unidades de (psi)

0,5

0,5 1

[(Mpa] )

1

Los valores de este cuadro son aproximados y se aplicó v = 0,3 como aproximación de la razón de Poisson para todos los materiales. De haber disponibles cifras más precisas para Ep y para v, deberán aplicarse en la ecuación para obtener cp.

5-23

Factor de acabado superficial (Cf): Tiene en cuenta acabados superficiales de los dientes extraordinariamente ásperos. Para métodos de manufactura convencionales Cf = 1.

Resistencia a la fatiga superficial AGMA (Sfc’): Sfc’ corresponde a un esfuerzo permisible AGMA ha publicado valores para algunos materiales (aceros, hierros fundidos y bronces): Cuadro 5.8 Resistencia a la fatiga superficial AGMA (Sfc’) para una selección de materiales de engranes

5-24

Fig. 5.24 Resistencia a la fatiga superficial AGMA (Sfc’) para los aceros

Diseño por esfuerzos superficiales variables:

Sfc’: esfuerzo superficial permisible AGMA Sfc: esfuerzo superficial permisible corregido Sc: esfuerzo máximo de compresión por contacto AGMA CT = KT y CR = KR (factores de temperatura y confiabilidad) CL: factor de vida superficial, CH: factor de razón de dureza Factor de vida superficial (CL): Igual significado que KL Sfc’ se obtiene para 107 ciclos

Fig. 5.24 Factor de vida o Resistencia a la fatiga superficial AGMA (SL) para los aceros

5-25

Factor de razón de dureza(CH): Los dientes de la rueda se endurecen por deformación cuando aquellos del piñón son más duros. Se aplica a la rueda (no al piñón). CH 1  aumenta el esfuerzo permisible Factor de razón de dureza(CH): Los dientes de la rueda se endurecen por deformación cuando aquellos del piñón son más duros Se aplica a la rueda (no al piñón) CH 1  aumenta el esfuerzo permisible. Para piñones endurecidos en su masa que operan contra ruedas endurecidas en su masa:

Para piñones endurecidos superficialmente (> 48 HRC) y ruedas endurecidas en su masa:

HBp y HBg: Rq:

durezas Brinell del piñón (p) y la rueda (g). aspereza superficial media cuadrática de los dientes del piñón.

5.3.3.4 Factor de Seguridad y Diseño

Nb: Nc: Nb y Nc >

factor de seguridad para los esfuerzos a flexión factor de seguridad para los esfuerzos superficiales (nota: el esfuerzo es proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza) 1

Proceso de diseño iterativo. Se asumen unos parámetros y se calculan otros. Datos iniciales: T o P, i y 1, duración, temperatura, confiabilidad, etc. Datos a determinar: diámetros primitivos, módulo, ángulo de presión, tipo de diente (estándar o de 5-26

cabeza larga), ancho del diente, materiales, factores de seguridad, método de manufactura, precisión de fabricación de los dientes, etc. Se itera hasta obtener factores de seguridad aceptables.

5.3.4 Engranajes Cilíndricos de Dientes Helicoidales Se usan las mismas ecuaciones para Sb (esfuerzo por flexión) y Sc (esfuerzo de compresión por contacto):

Pero los valores de J e I son diferentes. J: (factor geométrico de resistencia a flexión): tablas de Norton I: (factor de geometría superficial):

Cuadro 5.9 Factor geométrico de resistencia a flexión (J) Por ejemplo: α = 20°, = 10° (carga en las puntas)

P: piñón; G: rueda; U: rebaje debido a interferencia.

5-27

Factor de geometría superficial (I):

nr = na =

parte fraccionaria de la razón de contacto (transversal) rc parte fraccionaria de la razón de contacto axial rca (Numero promedio de dientes engranando a lo largo de una línea axial). mN: razón de distribución de carga Lmin: longitud mínima de las líneas de contacto pa: paso axial : ángulo de inclinación del diente : ángulo de base de la hélice p yg: radios de curvatura de los dientes A: distancia entre centros real (de operación) Las resistencias del material, así como los factores de seguridad, se obtienen de la manera explicada en la sección anterior.

Nb:

factor de seguridad para los esfuerzos a flexión 5-28

Nc: Nb y Nc >

factor de seguridad para los esfuerzos superficiales 1

5.3.5 Engranajes Cónicos Esfuerzo a flexión (Sb) para dientes rectos o en espiral:

Tp: Dp: Ka, Km, Ks y Kv Kx = 1

par de torsión del piñón diámetro primitivo del piñón se pueden calcular de la misma forma que para engranes cilíndricos de dientes rectos para dientes cónicos rectos y es una función del radio de la herramienta para engranes en espiral o Zerol Factor geométrico J (figuras de Norton)

Fig. 5.25 Factor geométrico (J) (dientes rectos, α = 20°)

5-29

Esfuerzo de compresión por contacto (Sc) para dientes rectos o en espiral:

Cp, Ca, Cm, Cv, Cs y Cf se pueden calcular de la misma forma que para engranes cilíndricos de dientes rectos. Cb = 0.634 (constante de ajuste de esfuerzos). Cxc (factor de abombamiento): Cxc = 1 (dientes sin abombamiento) ó 1.5 (con abombamiento). z = 0.667 (si Tp < TD) ó 1 (en caso contrario). Tp: par de torsión de operación del piñón. TD: par de torsión de diseño del piñón (valor mínimo que produce una huella de contacto óptima):

Sfc’: resistencia a la fatiga superficial (tablas de Norton). Cmd: factor de montaje. Para dientes abombados: Cmd = 1.2 (ambos engranes a horcajadas) o Cmd = 1.8 (ambos engranes en voladizo) o un valor intermedio si un elemento está a horcajadas y el otro en voladizo. Para dientes sin abombamiento multiplique los valores anteriores por 2. Factor geométrico I (estándar 2005-B88 de AGMA)

Fig. 5.26 Factor geométrico (I) (dientes rectos, α = 20°)

Las resistencias del material, así como los factores de seguridad, se obtienen de la manera explicada en la sección anterior.

5-30

Nb: factor de seguridad para los esfuerzos a flexión Nc: factor de seguridad para los esfuerzos superficiales Nb y Nc > 1

5.3.5 Engranajes de Tornillo sinfín Debido al gran deslizamiento en las transmisiones de TSF, las fallas usuales son la fatiga superficial o el desgaste. Diseño con base en:  Fatiga por flexión  Fatiga superficial  Capacidad térmica (capacidad para manejar cierta potencia) Ver normas AGMA o Norton.

5.3.6 Materiales para Engranajes Más usados: aceros, hierros fundidos, maleables, nodulares, bronces y termoplásticos. Aceros:  Para transmisión de grandes potencias a altas velocidades.  Gran resistencia  Costo competitivo  Al carbono o aleados  Bajo, medio o alto C  Generalmente tratados térmicamente  (temple, nitruración, cementación, cianuración)

Foto 5.4 Aceros

5-31

Hierros fundidos grises:  Bajo costo.  Fácil manufactura.  Bajo coeficiente de fricción, alta resistencia al desgaste y amortiguación interna (inclusiones de grafito).  Baja resistencia a los esfuerzos de tracción.  Adecuados para transmisiones de TSF y para ruedas de gran tamaño. Los hierros nodulares tienen mayor resistencia a la tracción pero son más costosos.

Foto 5.5 Hierros fundidos grises.

Bronces: Bajo coeficiente de fricción. Mejor distribución de las fuerzas (bajo E). Para ambientes corrosivos y transmisiones de TSF (Ejemplo: TSF de acero y rueda de bronce).

Foto 5.6 Bronces.

5-32

Termoplásticos:  Baja resistencia.  Para transmisiones de baja potencia (impresoras, juguetes).  Algunos materiales comunes son el Nylon y el acetal.

Foto 5.7 Termoplásticos.

5.4 DIMENSIONAMIENTO DE ENGRANAJES 5.4.1 Ley Fundamental del Engrane La ley fundamental del engrane define las condiciones que se deben cumplir para transmitir el movimiento con relación de transmisión constante. Se tiene entonces por hipótesis que: i= cte y consideremos que el sólido S1 de la figura 5.27, por contacto directo en el punto N arrastra al sólido S2. La velocidad del punto N según se considere pertenezca a S1 o S2 será:

Fig. 5.27 Ley de Engrane

5-33

Descomponiendo las v1 y v2 según la normal nn y tangente tt a los perfiles, por semejanza de triángulos se puede escribir:

Como las velocidades N1 y N2 deben ser iguales para que se mantenga el contacto:

Además por semejanza de los triángulos O1 A1 I ~ O2 A2 I

En consecuencia el punto I es un punto fijo o lo que es lo mismo cualquiera sea el punto N de contacto de los perfiles, para que la relación de transmisión sea constante, la normal a I es fija porque además debe cumplirse que O1O2 = Rp1 + Rp2 = cte. El punto I recibe el nombre de Punto Primitivo. LEY DE ENGRANE Para que la relación 2/1 = i se mantenga constante; la perpendicular a los perfiles, en el punto de contacto debe pasar en todo instante por el punto primitivo. Perfiles que cumplen con esta ley reciben el nombre de perfiles conjugados. Circunferencias primitivas son aquellas que con centro en O1 y O2 pasan por el punto primitivo. Pueden concebirse los perfiles conjugados solidarios a las circunferencias primitivas. Estas rotarán con velocidades w1 y w2 respectivamente y tendrán un rodamiento puro en el punto de tangencia I. Se plantea un primer problema; el de la determinación de los perfiles que cumplan con esta condición.Se pueden presentar dos casos: 1. Dado un perfil cualquiera hallar el conjugado. 2. Elegir perfiles conjugados con características adecuadas para la transmisión del movimiento. Perfiles conjugados empleados en la técnica En las aplicaciones prácticas en general no se requiere fijar a priori una de las superficies conjugadas. Es práctica común adoptar partes de curvas conjugadas constituidas por curvas geométricas que tengan características aptas para la transmisión del movimiento. Las curvas casi universalmente utilizadas pertenecen a la familia de las cicloides. Son curvas que se 5-34

generan como trayectorias de un punto de una circunferencia (Ruleta) que rueda sin resbalar sobre otra circunferencia fija. (Base). 1) Cicloide: La cicloide es aquella curva definida como la trayectoria de un punto P de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta. En este caso la ruleta tendrá un radio finito  y la base puede interpretarse como una circunferencia de radio Rb de valor infinito.

Fig. 5.28 Cicloide

2) Epiciloide: En este caso la ruleta rueda exteriormente sobre la base de radio finito Rb. 3) Hipocicloide: La ruleta rueda interiormente sobre la base de radio Rb. 4) Periciloide: En este caso el radio de la ruleta es mayor que el radio Rb de la base.

Fig. 5.29

5) Evolvente de círculo: En el caso extremo que el radio  de la ruleta tome un valor infinito transformándose en una recta.

Fig. 5.30 Evolvente

5-35

Casi la totalidad de los engranajes empleados en la industria tienen sus dientes con perfiles tallados con evolventes de círculo. Estos dentados se destacan por las siguientes características: a) Permiten su tallado con mayor rapidez y precisión. b) Resultan insensibles a deficiencias en el montaje en lo que respecta a la distancia entre ejes. c) Resulta un diente más robusto. Esta característica es importante para la transmisión de potencia. d) Todas las ruedas de igual paso son armónicas (Pueden engranar entre sí). Los perfiles basados en las otras cicloides tienen su mayor aplicación en relojería y mecanismos afines. Sus características son: a) Engrane más correcto. b) En ruedas chicas los dientes se comportan mejor. c) Tienen mayor superficie de contacto superficial, y por consiguiente menor presión de contacto superficial, en consecuencia el desgaste es menor. d) Para que las ruedas de igual paso sean armónicas deben haber sido trazadas con ruletas del mismo diámetro. Propiedades de la curva evolvente La evolvente de círculo puede concebirse como la trayectoria de un punto de una recta que rueda sin resbalar sobre una circunferencia que toma el nombre de circunferencia base. En la figura Rb es el radio de la circunferencia base de la evolvente e que tiene su punto de arranque en A; la recta es tangente a la circunferencia en el punto T. El punto P es el punto de la recta que va generando la evolvente.

Fig. 5.31 Propiedades de la Evolvente

De acuerdo a la definición pueden enunciarse las siguientes propiedades de la curva evolvente: a) Arco AT = PT. La longitud del arco de la circunferencia base comprendido entre el punto de arranque A y el punto de tangencia T es igual a la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia T y el punto P. b) La recta tangente a la circunferencia base es normal a la evolvente. En la figura la evolvente es generada por la trayectoria del punto P de la tangente que rueda sin resbalar sobre la circunferencia. En consecuencia, T es centro instantáneo de rotación del movimiento relativo y la trayectoria de P es normal a la tangente. c) El segmento de tangente TP es el radio de curvatura de la evolvente e en el punto P. d) La circunferencia base es el lugar geométrico de los centros de CURVATURA de la evolvente en consecuencia la circunferencia base es la evoluta de la evolvente. e) Supongamos la curva evolvente materializada, rígida y solidaria con su circunferencia base (Supongamos recortada en cartón la curva evolvente y su circunferencia base como se indica en la figura). 5-36

Fig. 5.32

Supuesta la tangente con una dirección fija en el plano y la circunferencia base con centro fijo girando, la velocidad tangencial. VA del origen A, es igual a la velocidad del punto P a lo largo de la tangente. La evolvente e de punto de arranque A cortara a la tangente en P al girar la circunferencia base y pasar el punto de arranque a la posición A’, la evolvente (solidaria a la circunferencia base) ocupará la posición e’ y cortará a la tangente fija en el punto P’. Se verificara: AT = PT A’T = P’T Si consideramos un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, en cuyo caso los desplazamientos de A y de P serán también infinitésimos, podemos decir:

Siendo: VA = Velocidad tangencial del punto de arranque de la evolvente. Vp = Velocidad lineal de desplazamiento del punto P sobre la tangente fija. Fig. 5.33

Si w es la velocidad angular de la circunferencia base, podemos escribir: VA = w Rb = Vp La expresión es válida para velocidades instantáneas, en general VA, w y Vp no tienen por qué ser constantes. Acciones reciprocas entre dos curvas evolventes Dispongamos dos evolventes materializadas de tal manera que las mismas se hallen en contacto en un punto P sobre la tangente común a ambas circunferencias bases. Al girar una de ellas, por ejemplo la e1 arrastrará a la e2 por contacto directo. De esta manera se podrá transmitir el movimiento de rotación con las características que más adelante se enumeran. 5-37

1) El punto de tangencia P de dos curvas evolventes en contacto se halla ubicado sobre la tangente común a las dos circunferencias bases. (Teoría fundamental del engrane). 2) La relación entre las velocidades angulares de las circunferencias bases se mantiene constante. La envolvente e1 solidaria a la Circunferencia base de radio Rb1 se mueve alrededor del centro O1 con velocidad angular w1. e1 impulsa por contacto directo a la evolvente e2 solidaria a la base de radio Rb2 que se mueve alrededor del centro O2 con velocidad angular w2. Para que se verifique el contacto, la velocidad lineal del punto P supuesto perteneciente a una u otra evolvente, deberá ser la misma.

Fig. 5.34

3)

Variando la distancia entre los centros de las circunferencias bases se mantiene el contacto y no varía la relación de velocidades angulares.

Si suponemos las evolventes en contacto en una posición determinada y hacemos rodar una de las circunferencias bases sobre la tangente común, el contacto se mantiene en todo instante, variando únicamente la distancia entre centros. Si en la nueva posición una de las evolventes impulsa a la otra, la relación de velocidades angulares, que solo dependen de los radios de las bases no variara respecto de la relación que correspondía en la posición original.

Fig. 5.35

Interesa encontrar las circunferencias primitivas del par de evolventes conjugadas definidas por las circunferencias bases de radios Rb1 y Rb2 con centros en O1 y O2 respectivamente. Evidentemente la tangente común a las bases, a su vez normal a las curvas en contacto, pasara por el punto primitivo I que por otra parte estará ubicado sobre la línea de los centros.

5-38

De la figura:

El ángulo de presión α queda determinado cuando se fija la posición de los centros O1 y O2.-

Fig. 5.36

5.4.2 Ruedas cilíndricas de dientes rectos. Elementos geométricos Definiciones: Las ruedas dentadas o de engranajes, consisten en una llanta o corona en la cual se empotran una serie de dientes iguales cuyas superficies laterales o flancos cumplen con las leyes cinemáticas del engrane. Estas superficies están limitadas radialmente, en el caso más general, por los cilindros de cabeza, de raíz y sus proyecciones sobre el plano radial representan respectivamente: Perfil del diente: Constituido por curvas cíclicas o evolventes. Circunferencia de cabeza o exterior: De diámetro De. Circunferencia primitiva: Diámetro Dp. (Intersección de las superficies primitivas). Circunferencia de raíz o interior: De diámetro Dp. Circunferencia base: La circunferencia desde la cual se desarrolla la curva evolvente de diámetro Db.

Fig. 5.37 Partes del Engranaje

5-39

Se definen además como: Altura de cabeza k: A la distancia radial ente la circunferencia de cabeza y la circunferencia primitiva. Altura de raíz W: A la distancia radial entre la circunferencia primitiva y la de raíz. Altura del diente h: k + W a la altura total del diente. Se verifica entonces que De = Di + 2h = Dp + 2k Juego de cabeza: Sk = W - k Ancho del diente b: A la dimensión del diente en dirección paralela al eje de rotación. Espesor del diente l : Llamado también lleno. Hueco del diente v: Llamado también vacío. Juego de los flancos: Sf = v - l Diferencia entre el vacío y el lleno de los dientes. El espesor y el vacío del diente teóricamente tendrían que ser iguales, condición que en las máquinas modernas de tallado prácticamente se consigue, pero siempre se da cierta diferencia que consigue, pero siempre se da cierta diferencia que constituye el juego de los flancos. Cubo: Es la parte de la rueda que se vincula al eje o árbol por medio de una chaveta. Brazos: Son los elementos de la rueda que unen la llanta al cubo. Radio del acuerdo: Es la curva de transic corona Paso del dentado: Se llama paso del dentado t a la distancia medida sobre la circunferencia primitiva entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos. Si z es el número de dientes, se verificará lo siguiente: z . t = π . Dp Dp = t/π . z De la que se deduce que: como z es siempre un número entero, el Dp será un número racional, siempre que lo sea el cociente t/π. Esto obliga a que el paso t sea siempre un múltiplo de π a fin de que su irracionalidad quede excluida como magnitud determinante del diámetro de la circunferencia primitiva Dp. En la práctica resultan ser mediciones muchísimo más fáciles las del diámetro primitivo D p ó del exterior de antes que el paso t, por lo tanto reviste interés que tales dimensiones sean números racionales. Estas circunferencias han llevado a adoptar en la práctica una unidad o módulo como característica del dentado, que se estandariza y en función del cual se expresan las dimensiones de las ruedas dentadas. Tal unidad ha sido definida según el país de origen, aunque siempre partiendo de la relación: z . t = π . Dp por lo tanto haremos distinción entre el sistema métrico y el sistema inglés: a) Sistema métrico o alemán: En este sistema se define como módulo M a la relación:

Recibe además el nombre de paso diametral porque resulta también de dividir el Dp por el número de dientes z. Los valores de M se hallan normalizados por el DIN 780.

5-40

Cuadro 5.10 Valores de modulo standard M (mm)

b) Sistema ingles Se define el modulo inglés o Diametral Pitch

El valor (

)

(

) recibe el nombre de Circular Pith.

Los valores de “P” también se hallan normalizados. Cuadro 5.11 Valores estándar de P” y su equivalencia con el módulo

Como ha de haber un número entero de dientes en cada engranaje, los Dp en consecuencia y las distancias entre centros posibles no tienen una variación continua. Los intervalos son menores a mayor P”. [Dp = z/P”] Por ejemplo:

En el caso que la distancia entre centros deseada no pueda ser obtenida para el diametral Pitch dado, es necesario el uso de un circular Pitch especial. El sistema de circular Pitch se aplica también a los engranajes fundidos y en los casos en que los dientes sean mayores que el diametral Pitch (P < 1).

5-41

Equivalencia entre el Módulo y el Diametral Pitch Podemos escribir:

en consecuencia, dada la equivalencia irracional de la pulgada con los milímetros, no existe correspondencia exacta entre M y P”. Relación de Transmisión en función de los Diámetros Primitivos y del Número de Dientes. Se define a la relación de transmisión como el cociente del número de vueltas n2 de la rueda conducida sobre el número de vueltas n1 de la rueda motriz.

Teniendo en cuenta que en el punto de tangencia de las circunferencias primitivas las velocidades son iguales:

y además, como :

5.4.3 Elementos Cinemáticos del Engrane. Definiciones. Recta de presión: Es la recta de acción de la fuerza con que el flanco del diente de la rueda conductora actúa sobre el correspondiente de la rueda conducida. Evidentemente, la presión transmitida entre los flancos actuará siempre sobre la normal común y que por su condición de superficies conjugadas ha de pasar todo instante por el punto primitivo. En el caso de perfiles a evolvente la recta de presión es invariable. Es la tangente común a las circunferencias bases.

5-42

Fig. 5.38 Recta de presión

Ángulo de Presión α: Es el ángulo que forma la recta de presión con la tangente común a las circunferencias primitivas. En el caso de los perfiles a evolvente es invariable. Se encuentra normalizado según DIN 867 en 20°, en otras normas, según veremos, también se emplea 14°30’; 15° y 22°30’. Cuanto mayor es el ángulo de presión α: 1. Los dientes resultan más anchos en su base y en consecuencia son más resistentes. 2. Disminuye el zpmin que evita la interferencia. (z < 14). 3. Disminuye la velocidad relativa entre los flancos. 4. Aumenta la presión radial, y por lo tanto sobre los apoyos. 5. Disminuye la duración del engrane. 6. La forma de los flancos es más convexa. 7.

Fig. 5.39 Angulo de presión α

Línea de Engrane: Es el lugar geométrico de los puntos en que se verifica el contacto entre los flancos de los dientes. En los dientes a evolventes la línea de engrane es la recta de presión limitada por los respectivos círculos de cabeza. En razón de la interferencia que veremos más adelante, la longitud de la línea de engrane no puede sobrepasar los puntos de tangencia con las circunferencias base. 5-43

Fig. 5.40 Línea de engrane

Flanco Activo: No todo el flanco de los dientes de una rueda toma parte en el engrane. La parte del flanco de los dientes que efectivamente toma contacto con los dientes de la otra rueda se llama flanco activo. Todos los puntos de la cabeza de un diente pertenecen al flanco activo, pero no todos los puntos de la raíz. Para determinar el límite del flanco activo sobre la raíz, bastará encontrar el punto de ella que se pone en contacto con el extremo de la cabeza del diente de la otra rueda.

Fig. 5.41 Flanco activo

5-44

Refiriéndose a la figura, el contacto se inicia en A, sobre la línea de engrane, entre los puntos Fa’, límite del flanco activo del diente de la rueda motora (1) y K” extremo de la cabeza del diente de la rueda conducida (2). El contacto se seguirá verificando según los puntos definidos por la línea de engrane entre puntos de la raíz de la motora y la cabeza de la conducida durante el ángulo de acceso hasta el punto primitivo I, pasando éste, durante el ángulo de receso en forma invertida. Conociendo la línea de engrane, la determinación de los puntos Fa de las raíces de los dientes es inmediata teniendo en cuenta que su trayectoria es circular. Por ejemplo, el punto Fa’ de la rueda (1) tomará contacto siempre en el punto A, en consecuencia, la circunferencia de radio O1 A nos define el punto Fa’. En la figura se observa que las longitudes de los flancos que se pondrán en contacto son distintos, razón por la cual existirá un deslizamiento. Este deslizamiento que se produce durante el contacto de todos los puntos del flanco activo, excepto los que están sobre la primitiva, se traduce en perdida de potencia por roce, desgaste etc. Arco de Engrane: Es el arco de primitiva barrido por el diente mientras dura su contacto. El contacto del punto extremo k” con su conjugado tendrá lugar cuando el punto r de la primitiva p2 determinado por la normal al perfil en k” pase por el punto primitivo I. Ello es lógico, en cada instante k”-r es normal común a las superficies en contacto y debe pasar por I. En consecuencia, mientras los puntos de p2 comprendidos en el arco r - I van pasando por I entran en contacto los puntos de la cabeza del perfil de la rueda (2): k”- I con los puntos de la raíz de la rueda (1): I - Fa’. Asimismo el contacto del punto extremo k’ con su conjugado tendrá lugar cuando el punto q de la primitiva p1 pase por I (que se determina trazando por k’ la normal del perfil del diente) mientras los puntos de p1 comprendidos en el arco I-q pasan por I, entran en contacto los puntos de la cabeza del perfil de la rueda (1): k’-I con los puntos de la raíz del perfil de la rueda (2) comprendidos entre k” e I.

Fig. 5.42 Arco de engrane

5-45

El arco de engrane, que indudablemente tiene el mismo valor para cualquiera de las 2 ruedas. a = Arco (r - I) + Arco (I - q) comprende dos partes: Arco de Acceso: Arco de Receso:

Desde el comienzo del engrane hasta la posición en que el contacto se verifica en correspondencia del punto primitivo. (Arco r - I). Desde que el contacto se verifica en I hasta el final del engrane (Arco I - q) (si admitimos el sentido de giro indicado en la figura de referencia).

Se define como: duración de engrane, grado de recubrimiento o seguridad, a la relación:

Es importante definir ( ); debe asegurarse que el engrane no quede interrumpido en ningún momento, procurando que cuando deje el contacto un diente, comience o haya comenzado el engrane del diente siguiente. Si esto no sucediera, se producirían irregularidades de marcha con choques inadmisibles, la rueda motora se aceleraría y la conducida se frenaría. Es necesario en consecuencia que el arco de engrane sea mayor o igual que el paso y la duración del engrane igual o mayor que la unidad: a

tó

1

Técnicamente sin embargo, no es suficiente esta condición y para aliviar el trabajo de los dientes se adopta: 1,2 a 1,4 El grado de seguridad aumenta en los engranajes de perfil cicloidal cuando se aumenta el radio de la ruleta y en los engranajes de perfil a evolvente cuando se disminuye el ángulo de presión α. En ruedas de gran número de dientes y paso relativamente pequeño, hay siempre dos o más dientes en contacto ( > 2), lo cual es una ventaja, la marcha es más suave a medida que aumenta el número de dientes en contacto. Perfiles Normalizados Usuales: A fin de obtener engranajes económicos y de buen rendimiento es conveniente un conocimiento de los problemas que ordenan las proporciones apropiadas para los dientes. Surge de inmediato que, como resultado del gran número de variables que gobiernan este problema, son infinitas las soluciones posibles al proporcionamiento del diente. Sin embargo su importancia ha obligado preferente atención e investigación por lo que las mejores formas para diente se reducen en la práctica a algunos perfiles normalizados que cubren satisfactoriamente la gran mayoría de las aplicaciones. Varios sistemas especifican detalladamente las distintas magnitudes que configuran el diente, generalmente referidas al módulo o al diametral Pitch. En algunos casos esos mismos sistemas se corrigen para acentuar algunas de sus características y extraer mayores posibilidades, otras veces las condiciones impuestas de resistencia dinámica, desgaste, velocidad periférica, tamaños, son tan críticas que obligan a desarrollar sistemas especiales que aunque más complejos y precisos solucionan los problemas planteados. 5-46

Fig. 5.43 Duración de engrane, grado de recubrimiento o seguridad,

Como es obvio, por naturaleza de este trabajo nos limitaremos a los sistemas estándar más usuales, derivando a la bibliografía indicada toda atención a este problema. Las características de los sistemas más importantes se describen en lo que sigue, siempre a través de la cremallera básica. Debe observarse que con estos sistemas estándar resultan engranajes intercambiables; se supone además su fabricación con métodos generativos, por lo que todo problema posible de interferencia es salvable por el recorte que se produce en la raíz del diente. Por esta razón se indica en cada caso el número estándar mínimo de dientes que origina recortes indeseables.

5-47

1)

Sistema de Módulo

Fig. 5.44

El radio de acuerdo  puede expresarse teniendo en cuenta la figura:

Fig. 5.45

2)

Sistema Diametral Pitch

Fig. 5.46

a) Sistema AGMA α = 14º 30’ y profundidad total

Los piñones de menos de 32 dientes resultan recortados. El recorte es inadmisible para menos de 22 dientes, para un par de 22 dientes cada uno, la duración del engrane es =1,4 , valor que aumenta si los dientes en uno o en ambos engranajes es mayor. 5-48

b) Sistema AGMA α = 20º y profundidad total

En este sistema con el mayor ángulo de presión α resulta un segmento de engrane mayor, la circunferencia base menor y en consecuencia admite menor número de dientes sin recorte Zp mín. = 18. El recorte es excesivo con menos de 14 dientes. Para un par de 14 dientes cada uno, la duración del engrane resulta = 1,4. Es interesante comparar estos dos sistemas AGMA de α = 14°30’ y 20°: suponiendo un diametral Pitch de 1” = P” los piñones de mínimo tamaño posible en ambos sistemas son: para :

Resultan piñones 36% más pequeños (14/22 = 0,64) las demás consideraciones no varían. Suponiendo la misma velocidad de rotación, la importante magnitud que es la velocidad tangencial se reducirá en consecuencia. Por otro lado, el mayor ángulo de presión α incrementa la carga sobre los cojinetes y también la fricción sobre los dientes. Los engranajes generalmente serán más ruidosos. c) Sistema estándar α = 20° y diente STUB

Con este sistema se procura atenuar el recorte en piñones de pocos dientes acortando la altura total del diente. El ángulo de presión de 20° en combinación con un diente más corto le confiere gran capacidad de carga; ventaja que en cierto modo se reduce por el aumento de carga dinámica debido a su pequeño arco de engrane. Su mayor problema reside en su baja duración del engrane. Por ejemplo un par de engranajes de 12 dientes cada uno es de = 1,13. Resultan engranajes más ruidosos a menos que se compense con una mayor precisión de fabricación y montaje. El diente STUB es ampliamente usado en transmisiones para automotores donde se requieren 5-49

engranajes helicoidales está más difundida la aplicación de estos dientes ya que por sus características de funcionamiento se atenúan los inconvenientes apuntados. Interferencia en engranajes a evolvente: El contacto entre dos perfiles de evolvente se produce siempre sobre la tangente común a las circunferencias bases y siempre debe ser dentro del segmento T1 - T2.

Fig. 5.47 Interferencia en engranajes a evolvente

En el engranaje la evolvente es materializada por los perfiles de los dientes y los puntos de contacto (recta de engrane) quedan limitados por las circunferencias de cabeza en los puntos xy de la figura. En consecuencia la línea de engrane siempre debe ser interior al segmento comprendido entre los puntos de tangencia T1 T2 de las circunferencias bases. De no ser así se produce el llamado problema de interferencia en engranajes. Supuesto O2 fijo, reduciendo el diámetro de p1, el punto T1 se aproxima a x hasta un valor límite mínimo cuando T1 x Es decir para cada valor Dp existe un valor Dp1 mínimo por debajo del cual se produce interferencia.

Fig. 5.48

5-50

Trataremos de calcular ese valor Dp1 min. Del triángulo O2 T2 x

con:

Desarrollando los cuadrados

Es la ecuación de una hipérbola de asíntota horizontal.

Fig. 5.49

Conocidos α y k para cada valor Rp2 se tiene un Rp1 mín. Para Rp2  resulta (dividiendo por Rp2):

es decir para la cremallera, el Rp1 mín.

5-51

Aplicando esta fórmula a los distintos dentados normalizados se pueden definir los números de dientes mínimos posibles para el piñón sin que aparezca interferencia. Cuadro 5.12 Aplicaciones

La recta a 45° define el punto A con Z1 mín. para dos ruedas iguales. Es evidente que lazona de validez de la curva es a la derecha del punto A. Para dos ruedas iguales:

ecuación de 2º grado en Rp1 mín. en consecuencia:

5-52

5.4.4 Perfiles Corregidos Aunque la mayoría de los engranajes utilizan los sistemas estándar de igual altura de cabeza para piñón y rueda, no siempre es necesario y a veces no es deseable el uso de tal proporción. Es interesante entonces aprovechar la característica de los perfiles a evolvente que da la posibilidad de variar las proporciones de la cabeza y espesor del diente sin que se alteren sus condiciones cinemática y lo que es más, estas variaciones en los métodos por generación pueden producirse con herramientas estándar. A los efectos de transmitir el movimiento y potencia en forma uniforme y con un mínimo de perdida de energía, los perfiles de los dientes deben cumplir en su engrane con las siguientes condiciones fundamentales: a) Perfiles conjugados: La ley cinemática del engrane requiere que “la normal común a los perfiles en los sucesivos puntos de contacto debe pasar en todo instante por el punto primitivo”. Cumpliendo esta ley cualquier par de perfiles puede ser utilizado y se dice que con conjugados. b) Continuidad del engrane: Las dimensiones del flanco activo deben ser tales que se cumpla que antes de terminar el engrane de un par de dientes ya haya comenzado el del par siguiente. La satisfacción de esta condición es perfectamente interpretada a través de la duración de engrane . Estas dos condiciones pueden ser cumplidas con una adecuada elección de las superficies utilizadas como flancos al mismo tiempo que las proporciones del diente. Los perfiles normalizados vistos indudablemente han sido estudiados para que cumplan estas condiciones pero es interesante analizar y comprender hasta qué punto puede apartarse de esos sistemas corrigiendo los perfiles para solucionar problemas planteados en aplicaciones particulares.

Fig. 5.50 Perfiles Corregidos

5-53

La línea de engrane es el lugar geométrico de los puntos de contacto. La forma de esta línea depende de los perfiles conjugados. En el caso de perfiles constituidos por evolventes de círculo es una recta coincidente con la recta de presión y es válida en el segmento comprendido entre las circunferencias de cabeza o exteriores. La máxima longitud alcanzable por el segmento de engrane sin que las evolventes pierdan su condición de conjugadas está fijado por los límites T1 y T2 de tangencia con las circunferencias bases. Es inmediato entonces que los máximos diámetros exteriores posibles para piñón y rueda quedan definidos por esos puntos T1 y T2 . El engrane siempre ha de verificarse dentro de la zona rayada en la figura anterior. El punto primitivo I define el punto de tangencia de las circunferencias primitivas. En los sistemas normalizados vistos los dientes se distribuyen y proporcionan sobre estas circunferencias fundamentales cumpliéndose por ejemplo para el sistema de M.

Según estas proporciones la altura de cabeza K es igual para piñón y rueda y los diámetros exteriores que resultan no alcanzan los valores máximos establecidos por los límites de la línea de engrane, T1 ; T2. En la práctica moderna de tallado de engranajes por generación (peines o creadoras) se aprovecha la posibilidad de variar la altura de cabeza del diente acercando o separando la herramienta generatriz de su posición teórica respecto de la circunferencia primitiva. A fin de obtener la profundidad total correcta del diente los diámetros exteriores de los cuerpos de las ruedas se harán mayores o menores que lo indicado por el sistema estándar en cantidad doble al acercamiento o separación de la herramienta.

Fig. 5.51

Es decir, si la herramienta es separada a una distancia C el diámetro exterior del cuerpo se hará 2 C mayor que el indicado por el sistema estándar. En la figura se muestra un par corregido en el cual se aumentó la altura de cabeza de la rueda al máximo valor posible. La altura de cabeza de piñón resulta acortada en la misma cantidad. En general, para evitar recorte y para alcanzar igualdad de resistencia de los dientes de rueda y piñón es costumbre acortar la cabeza de los dientes de la rueda.

5.5 RUEDAS CILÍNDRICAS CON DIENTES INCLINADOS En este tipo de ruedas los dientes tienen cierta inclinación definida por el ángulo  con respecto al eje de rotación.

5-54

Fig. 5.52 Ruedas cilíndricas con dientes inclinados

Se pueden definir dos pasos: tc : Paso circunferencial. Medido sobre la rueda frontal tn: Paso normal . Distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos medida sobre el cilindro primitivo normalmente a los dientes. Se puede establecer: tn = tc c cos  (aproximadamente porque los pasos están medidos sobre los arcos). Al definir dos pasos quedan definidos dos módulos: Módulo circunferencial: M c = tc / n Módulo normal: Mn = tn / π Mc cos  y dos ángulos de presión: Ángulo de presión circunferencial: αc Ángulo de presión normal: αn El primero es un ángulo de presión tomado sobre la rueda frontal y el segundo es el ángulo que forma la fuerza que actúa normalmente a los dientes en contacto con el plano que es tangente común a los cilindros primitivos. 5.6 RUEDAS CILÍNDRICAS CON DIENTES HELICOIDALES Si el tallado de los dientes inclinados de una rueda cilíndrica se realiza de tal manera que el flanco del diente es una superficie helicoidal se dice entonces que es una rueda cilíndrica de dientes helicoidales. Estudiaremos previamente la superficie denominada helicoide desarrollable. 5.6.1 Helicoide desarrollable En la figura se representa en perspectiva un helicoide desarrollable y a dicha figura habrá que remitirse para interpretar adecuadamente lo que a continuación se enuncia. Sobre un cilindro de radio r0 cilindro base, tracemos una hélice de paso p y ángulo de inclinación ß0. El lugar geométrico de todas las tangentes a la hélice es una superficie reglada denominada helicoide desarrollable. Las principales cualidades de esta superficie, son: 1) Es una superficie reglada y desarrollable. 2) Los planos π tangentes al cilindro base cortan al helicoide según una de las rectas generatrices. 3) Las secciones del helicoide con planos normales al eje del cilindro base son evolventes de circulo 5-55

con su punto de arranque sobre la hélice. 4) Las secciones del helicoide con cilindros concéntricos al cilindro base y de radio R > r0 son hélices de igual paso y en consecuencia tendrán un ángulo de inclinación menor. En efecto, si R es el radio del cilindro concéntrico al cilindro base, el ángulo de inclinación ß de la hélice que se obtiene como traza de su intersección con el helicoide, debe verificar la condición:

Fig. 5.53

Fig. 5.54

5-56

Fig. 5.55

5.6.2 Características del engrane Al estudiar el engrane de los engranajes de dientes rectos se definió la recta de engrane como lugar geométrico de los sucesivos puntos de contacto. La recta de engranes será tangente a las circunferencias bases. Considerando el contacto ya no del perfil solamente sino del flanco del diente, se tendrá el plano de engrane como lugar de las rectas de contacto a lo largo del diente. El plano de engrane será tangente a ambos cilindros bases. Es decir entonces que cuando un diente de un engranaje cilíndrico de dientes rectos comienza a engranar, el contacto, teóricamente, se extiende a lo largo del diente sobre una recta paralela al eje de rotación. (La recta intersección del flanco con el plano de engrane). En los engranajes helicoidales los dientes toman contacto de manera completamente distinta, siendo esta una de sus características más importantes. El plano de engrane sigue siendo el plano tangente a ambos cilindros bases y la intersección del flanco con dicho plano será la línea de contacto. De acuerdo a las propiedades del helicoide desarrollable, la intersección de la superficie helicoidal con un plano tangente al cilindro base es una recta. En consecuencia las líneas de contacto son en cada instante rectas tangentes a la hélice de retroceso del flanco del diente, y forman un ángulo (90 - ßr) constante con el eje. Los dientes por lo tanto no entran en contacto íntegramente en forma instantánea, como en las ruedas de dientes rectos, sino que el engrane comienza, en un punto del borde extremo del mismo y se extiende gradualmente según rectas diagonales sobre el flanco a medida que el engranaje gira para ir reduciéndose nuevamente hasta terminar el contacto en un punto sobre el otro borde. El engrane y la aplicación de carga en forma gradual, reduce el ruido y las tensiones dinámicas, de modo que pueden funcionar a mayores velocidades y soportar mayores fuerzas tangenciales que los engranajes cilíndricos del mismo tamaño de dientes rectos. Son comunes velocidades de 20 m/s hasta 36 m/s en engranajes de automóviles y turbinas (se han usado hasta velocidades de 60 m/s).

5-57

Fig. 5.56

Duración del engrane en engranajes helicoidales: En estos engranajes la duración del engrane se define por:

en la que tc es el paso circunferencial (sobre la rueda frontal) . El engrane comienza con el contacto del extremo de la cabeza del perfil frontal de una cara (punto A) y finaliza con el contacto del extremo del perfil activo (punto B de la raíz de la otra cara). En consecuencia, el arco de engrane de un diente helicoidal abarca: 1) El arco de engrane de la rueda frontal, más: 2) El arco que existe entre los ejes de los dos perfiles frontales tomado sobre la primitiva. Este arco se denomina salto del diente S y con suficiente aproximación puede tomarse como:

5-58

Fig. 5.57

En consecuencia:

Siendo f duración del engrane de la rueda frontal equivalente. La duración del engrane de las ruedas helicoidales resulta entonces mayor que la duración del engrane de la rueda frontal equivalente de dientes rectos, lo cual trae como consecuencia que se tenga un mayor número de dientes simultáneamente en contacto. Se favorece con ello la suavidad del movimiento y disminuye la solicitación que soporta cada uno de los dientes.

Fig. 5.58

Proporciones de los dientes: Las proporciones de los dientes de los engranajes helicoidales son usualmente las correspondientes a los del diente STUB 20°, utilizándose este tipo de dentado por sus condiciones de resistencia ya que sus problemas de ruido se encuentran superados por las características del engrane. Los valores más comunes son:

5-59

El número mínimo de dientes para el piñón se puede reducir en la siguiente relación: Z’p mín. = Z p min cos 3 en la cual: Z’p min.: es el número de dientes mínimo del piñón de dientes helicoidales. Z p min.: ídem del de dientes rectos.

Acciones reciprocas y reacciones de apoyo: Interesa para el dimensionamiento conocer las acciones entre los dientes. El diente motor actuará sobre el conducido con una fuerza normal a los flancos en contacto. Esta fuerza Pn conviene descomponerla según tres direcciones adecuadas como se indica en el esquema.

Fig. 5.59

De las relaciones geométricas se deduce:

5-60

Reacciones de los apoyos:

Fig. 5.60

1) Componentes Pt, Pr y Pa sobre el punto A. 2) Componentes sobre el punto A trasladadas al punto B (se agregan los pares de traslación Mf y Mt). 3) Pt Provoca las reacciones R’Pt y R”Pt . 4) Pr Provoca las reacciones R’Pr y R”Pr . 5) Pa Provoca la reacción axial R”Pa en el apoyo fijo. 6) El momento Mf provoca en los apoyos R’Mf y R”Mf (par de igual momento que Mf). 7) El momento Mt constituye un momento torsor que se utiliza para la transmisión de potencia y no tiene ningún efecto sobre los apoyos.

5.7 ENGRANAJES PARA EJES CONCURRENTES 5.7.1 Superficies primitivas cónicas Suponiendo dos sólidos rotando sobre sendos ejes que se cortan en un punto 0 sus rotaciones relativas a un bastidor B, quedarán expresadas por:

Fig. 5.61 Superficies primitivas cónicas

5-61

Interesa estudiar el movimiento relativo [ ]

El movimiento relativo es otra rotación. Si la relación i =

es constante la dirección de ̂ 12 también lo

será. El movimiento relativo de A1 / A2 puede reemplazarse por el rodamiento de los conos que serán las superficies primitivas. Relación de transmisión La relación de transmisión =

aplicando el teorema del seno puede expresarse para este caso:

En general i será un dato, lo mismo que el ángulo . Además = 1 + 2 Para i = cte; 1 + 2 serán fijos. Interesa conocer su valor:

5.7.2 Estudio cinemático sobre la superficie esférica El movimiento relativo (A1 / A2) o el equivalente de los conos primitivos es un movimiento polar. Este movimiento puede representarse y estudiarse a través del movimiento de las figuras que se obtienen sobre las superficies de las esferas cuyo centro coincide con el polo o punto fijo. En nuestro caso adoptamos una esfera con centro en el punto de intersección de los ejes x1 y x2. Estos ejes cortarán a la superficie de la esfera en los puntos O1 y O2. Los conos primitivos giran en torno de los ejes x1 x2 y su intersección con la superficie esférica determinarán dos circunferencias que constituyen las circunferencias primitivas p1 y p2. La traza de la generatriz de contacto de los conos primitivos con la superficie esférica será el punto primitivo I. De esta manera pueden definirse sobre la superficie esférica todos los elementos vistos en engranajes para ejes paralelos sobre el plano normal a los ejes, En realidad el caso de engranajes para ejes paralelos es un caso particular del movimiento polar analizado, en el cual el punto fijo es un punto impropio y la superficie esférica se transforma en una superficie plana. La línea de los centros O1 y O2 sobre la superficie esférica se encuentra sobre la circunferencia máxima (Meridiano) que pasa por los puntos O1 O2. Sobre ese meridiano se encontrará el punto I y se verificara el contacto de las circunferencias primitivas que rodarán como los conos primitivos. 5-62

Fig. 5.62

Fig. 5.63

Fig. 5.64

La tangente común a las circunferencias primitivas sobre la superficie esférica estará constituida por otro meridiano perpendicular al que pasa por O1 O2. La recta de presión será otro meridiano que forma el ángulo de presión con el anterior y así sucesivamente. Si ligamos solidariamente a una de las circunferencias primitivas una curva esférica K2 a p2 por ejemplo, en el movimiento relativo (p2 / p1), K2 va a ser envuelta por una curva esférica K1 solidaria a p1 . A su vez K1 es envuelta por K2 en el movimiento relativo (p1 / p2). K1 y K2 son pares de curvas esféricas conjugadas. La transmisión del movimiento puede verificarse también por el contacto entre pares de curvas esféricas conjugadas que, en general, tienen un 5-63

movimiento relativo de rodamiento con resbalamiento. K1 y K2 estarán en todo instante en contacto en un punto denominado punto característico y tendrán una tangente común en el contacto. La línea esférica normal a la tangente común en el contacto y por tanto a K1 y K2 pasa en todo instante por el punto primitivo. Veamos cómo se obtendría el perfil de un diente a evolvente esférica. Trazando por el punto primitivo I explicado, representara la línea de engrane equivalente a la recta de engrane de los engranajes para ejes paralelos, concéntricas a las circunferencias primitivas se trazan sobre la esfera dos circunferencias tangentes a la línea de engrane. Serán las circunferencias bases de las evolventes esféricas que definen el perfil de los dientes. Las líneas evolventes esféricas, intersección de la esfera con las superficies conjugadas, se obtendrán como lugar geométrico de las sucesivas posiciones de puntos de la línea de engrane que rueda sin resbalar sobre las circunferencias bases. Proyectando las evolventes desde el centro de las esferas se obtienen superficies conjugadas que constituirán los flancos de los dientes de ruedas dentadas cónicas de dientes rectos. En este caso el contacto se verificará según rectas que pasan por el punto fijo 0. En general las superficies de los flancos de los dientes pueden tener cualquier forma, bastará que las secciones con esferas concéntricas de centro 0 determinen pares de perfiles para engranajes cónicos. Los métodos descriptos para el trazado de superficies conjugadas operando sobre secciones esféricas es rigurosamente exacto, pero constituye un proceso muy complicado y laborioso. En consecuencia, en la práctica se reemplaza por métodos aproximados que resuelven el problema con más facilidad. 5.7.2.1 Distintas disposiciones de engranajes cónicos. En las figuras siguientes pueden verse cortes de engranajes cónicos a partir de sus correspondientes conos primitivos y complementarios. En el primer caso para ejes concurrentes formando un ángulo de 90° y en el otro un ángulo menor.

Fig. 5.65 Disposiciones de engranajes cónicos

Si el cono primitivo de uno de los componentes de un par de ruedas cónicas se hace igual a 90°, este cono primitivo se convierte en una superficie plana y la rueda resultante se llama rueda plana.

5-64

Fig. 5.66 Rueda cónica

Una rueda plana es a los engranajes cónicos como una cremallera lo es a los cilíndricos. El cono complementario de una rueda plana es un cilindro y la evolvente que resulta para sus dientes es una recta. En la rueda plana la longitud de los dientes debe ser pequeña, pues de lo contrario el espesor interior resulta demasiado delgado.

Fig. 5.67 Rueda plana

5.7.2.2 Engranajes cónicos con dientes curvos Los engranajes cónicos de dientes rectos son fáciles de proyectar y sencillos de fabricar, dando un resultado aceptable cuando su montaje es correcto. Sin embargo cuando las exigencias de precisión son mayores su fabricación es más delicada y se hacen muy ruidosos para valores de velocidad grandes. En estos casos se recurre a otras metodologías de fabricación como la de GLEASON en la que el elemento tallador de los dientes es una rueda con herramientas que enfrenta al engranaje virgen y por rotación va generando el diente. De esta manera resultan los dientes con curvatura que favorecen posteriormente el funcionamiento. La curvatura del diente puede ser un arco de circunferencia, un arco de espiral, etc. La inclinación se mide por el ángulo formado en la parte media del diente. Si el ángulo de inclinación es nulo se tiene los engranajes tipo ZEROL. Estos engranajes no tienen ventajas substanciales sobre los engranajes cónicos de dientes rectos, se proyectan sencillamente para aprovechar la maquinaria de tallado de engranajes cónicos en espiral. 5-65

Fig. 5.68 Corte de dientes de un engrane espiral sobre la cremallera de corona básica

Los engranajes hipoides si bien se fabrican con estas talladoras de dientes no son propiamente engranajes cónicos sino engranajes para ejes alabeados y en consecuencia a pesar de su parecido físico no corresponden a estos engranajes.

Fig. 5.69 Engranajes hipoides

5-66

5.7.2.3 Acciones reciprocas en engranajes cónicos Para determinar las cargas y las fuerzas actuantes durante el funcionamiento de los engranajes cónicos, la práctica usual es utilizar la fuerza tangencial proveniente de la potencia en juego considerándola concentrada en el punto medio del diente. En realidad la fuerza resultante real se produce en algún punto situado entre el punto medio y el extremo mayor del diente pero el error cometido es mínimo. Las fuerzas se pueden visualizar esquemáticamente en el siguiente dibujo. Para su cálculo se simplificará el problema considerando engranajes cónicos para ejes concurrentes a 90° entre sí.

Fig. 5.70 Engranajes cónicos

5-67

La rueda motora empuja a la conducida mediante la aplicación de las fuerzas Fx , Fy y Pt y ésta reacciona con fuerzas iguales y opuestas - Fx , - Fy y - Pt .

Fig. 5.71

La descomposición de fuerzas son evidentes con simple observación de los esquemas.

5.7.2.4 Reacción de apoyo en Engranajes Cónicos PIÑON

Fig. 5.72

Para la rueda es similar. 5-68

5.8 ENGRANAJES PARA EJES ALABEADOS 5.8.1 Transmisiones por tornillo sin fin y rueda helicoidal Las transmisiones por tornillo sin-fin y rueda helicoidal son en realidad un caso particular de transmisión del movimiento entre ejes alabeados por medio de ruedas de dientes helicoidales, en el cual una de las ruedas tiene un diámetro menor y un ángulo de inclinación del diente mayor que los habituales, de manera que para que sus dientes puedan llegar a los flancos frontales deben seguir enroscándose en la corona, transformándose en filetes. Los dientes helicoidales tienen forma de hélice, sucediendo habitualmente que se emplea una parte limitada de la hélice; pero cuando el ángulo de inclinación de la hélice es muy pequeño y el radio de la rueda relativamente pequeño (Comparado con las restantes dimensiones) el diente se transforma en filete y la rueda en un tornillo sinfín. El par de ruedas que engranan se convierte entonces en:  1 tornillo sin-fin (Rueda helicoidal transformada)  1 rueda de dientes helicoidales común. El tornillo sin-fin puede tener uno o más dientes ubicados en el paso de la hélice y será de una o varias entradas. El número de dientes o filetes comprendidos en el espacio del paso de la hélice, será siempre un número entero. Para los perfiles Standard comúnmente empleados, corresponde una sola entrada o filete para un ángulo de inclinación de la hélice del orden de 4°. Las transmisiones por tornillo sin-fin se emplean en todo tipo de árboles alabeados, pero generalmente se trata de ejes de direcciones normales entre sí. En lo sucesivo nos referiremos en consecuencia a transmisiones entre ejes normales.

Fig. 5.73 Transmisiones por tornillo sin fin y rueda helicoidal

En el tornillo es necesario distinguir entre el paso de la hélice p el paso entre espiras tc (filetes o dientes).

5-69

Fig. 5.74

Fig. 5.75

Fig. 5.76

5-70

Un corte longitudinal del tornillo puede dar una sección del filete trapecial o curvo. En ambos casos es un helicoide, la forma depende de la generación.

Fig. 5.77

5.8.2

Relación de transmisión

Fig. 5.78

Como siempre: En función del número de dientes toma la forma:

que puede deducirse teniendo en cuenta que: VT = VR

5-71

5.8.3 Formas constructivas 1) RUEDA Y TORNILLO CILÍNDRICOS

Fig. 5.79

2) TORNILLO CILÍNDRICO Y RUEDA GLOBOIDE

Fig. 5.80

3) TORNILLO Y RUEDA GLOBOIDE

Fig. 5.81

5-72

Construcción: a) Rueda con tornillo fresa. b) Tornillo con fresa o torneado. c) Materiales de bajo coeficiente de roce.  Tornillo acero.  Rueda bronce fosforoso.

Fig. 5.82 Aspecto Exterior

5.8.4 Transmisiones por Tornillo sin fin Si se tiene que trasmitir cargas considerables, del orden de decenas y centenares de kilovatios, con una gran relación de transmisión, se emplean las transmisiones por tornillo sinfín. Las formas deseables de los cuerpos primitivos de los elementos de la transmisión de este tipo se representan más abajo. Las ventajas de las transmisiones por tornillo sin fin comprenden: a) compacidad, es decir posibilidad de efectuar grandes relaciones de engranaje, siendo relativamente pequeñas las dimensiones exteriores de la transmisión; b) seguridad de funcionamiento y sencillez de servicio; c) posibilidad de auto frenado. Las relaciones de engranaje que se consideran normales para las transmisiones por tornillo sin fin de fuerza son i = 25 + 200; más raramente se emplean las relaciones de engranaje i = 25 + 8.

Fig. 5.83 Transmisiones por Tornillo sin fin

5-73

Existen también transmisiones por tornillo sin fin con relaciones de engranaje muy altas, del orden de 500 - 1000, pero en estos casos estas transmisiones se emplean para transferir pequeñas potencias. A continuación se enumeran los inconvenientes de estas transmisiones: 1. grandes pérdidas de potencias; o sea bajo rendimiento mecánico. 2. necesidad del empleo de bronces de alta calidad; 3. necesidad del empleo de herramientas e instrumentos muy caros. Para fabricar una rueda helicoidal de precisión es necesario disponer de fresas sin fin que correspondan a los parámetros del tornillo, en el par con el cual deberá después trabajar dicha rueda dentada. Acciones reciprocas entre rueda y tornillo:

Fig. 5.84 Acciones reciprocas entre rueda y tornillo

5-74

TORNILLO MOTOR

Reacciones de apoyo: En el tornillo

Fig. 5.85

Para la rueda es similar.

5.4.8.2 Condiciones de Reversibilidad Resulta de interés determinar la fuerza tangencial que debe aplicarse al engranaje motor para que la F tangencial del conducido tenga un valor determinado. Si el tornillo es motor:

5-75

Si la rueda es motora

Cuando la rueda es motora no siempre es posible la transmisión del movimiento. ßn >  condición de reversibilidad. ßn <  condición de irreversibilidad.

5.4.8.3 Rendimiento Si el tornillo es motor:

Fig. 5.86

5-76

Fig. 5.87

Derivando se obtiene que el rendimiento máximo se verifica para ßn = 45° - /2  = 0,02 Tornillos muy bien tallados.  = 0,05 En baño de aceite, valor común en ascensores.  = 0,1 a 0,15 En rozamiento seco. Algunos autores sostienen que  depende de la velocidad de deslizamiento.

Fig. 5.88

con Vd en [pies/minuto].

5-77

5.5 MECANISMOS DE ENGRANAJES 5.5.1 Pares de Engranajes El conjunto o juego de 2 engranajes, de los cuales uno es motriz o conductor y el otro conducido, recibe el nombre de par de engranajes. Sean para el engranaje conductor: n1: número de vueltas por unidad de tiempo. z1: número de dientes. Dp1: diámetro de la circunferencia primitiva. y n2 , z2 , Dp2

los valores correspondientes al engranaje conducido.

Fig. 5.89

Se define como relación de transmisión RT del par, a la relación:

Teniendo en cuenta la igualdad de las velocidades tangenciales a la altura de las primitivas, en el caso de ejes paralelos y concurrentes:

y además por la igualdad de módulos en ambos engranajes:

se puede expresar:

Estas distintas formas de expresar la RT no son todas generales, es decir no son aplicables cualquiera sea el tipo de engranajes considerado. Por ejemplo, la tercera forma: Dp1 / Dp2 no expresa en general la RT de un par de ruedas helicoidales para ejes alabeados donde intervienen otros factores. En cambio son expresiones generales:

5-78

La expresión i = w2 / w1 permite definir signo al valor de i. Si bien no es común tener en cuenta el signo de i, en algunas aplicaciones resulta muy útil. en el módulo w:

será z positivo o negativo según coincidan o no los signos de w1 y w2.

Fig. 5.90

En consecuencia resultará: i < 0 cuando exista inversión del sentido de giro en la transmisión del movimiento. i > 0 si no hay inversión. Es común denominar Rueda al engranaje de diámetro mayor y Piñón al de diámetro menor. Un par es multiplicador cuando | i | > 1 Un par es reductor cuando | i | < 1

| n2 | > |n1 |

| n2 | < |n1 |

En los reductores el piñón es motor y la rueda conducida, y viceversa en los pares multiplicadores. 5.5.2 Trenes de Engranajes Cuando entre la rueda motora y la rueda conducida se intercalan otras ruedas dentadas para la transmisión del movimiento, se obtiene un tren de engranajes. Se define como relación de transmisión del tren a la siguiente relación:

Si

| i | > 1 el tren es multiplicador. | i | < 1 el tren es reductor.

i será (+) cuando la última rueda gire en el mismo sentido que la primera; y será (-) en caso contrario. 5-79

Los trenes de engranajes tienen por fin fundamental obtener relaciones de transmisión de un orden tal que no sea posible conseguir con un solo par de engranajes. Por ejemplo: La relación i de un par de engranajes reductor de ejes paralelos y dientes rectos se aconseja no sea inferior a 1/5 a fin de evitar interferencias y además para que no resulten ruedas de demasiado diámetro. Una relación del orden de 1/12 por ejemplo, puede conseguirse utilizando dos pares de relaciones 1/3 y ¼. 5.5.3 Relaciones de Momentos En algunos casos es muy útil considerar la relación de momentos (cuplas) aplicadas a la entrada y salida del tren. El momento resistente aplicado a la primer rueda motora y el momento resistente aplicado a la última rueda conducida son, respectivamente:

siendo:

el rendimiento de la transmisión.

5.5.4

Clasificación de los Trenes de Engranajes

5-80

Trenes ordinarios Son aquellos en los cuales la posición relativa de los ejes de los engranajes que los componen se mantiene fija. Se designan como trenes simples aquellos que tienen una rueda sobre cada eje y por trenes compuestos a los que tienen dos o más ruedas en por lo menos uno de sus ejes. Sea por ejemplo, el tren de engranajes representado en la figura, formado por 5 engranajes:

Fig. 5.91

La RT es:

Si expresamos las RT parciales:

dado que n3 = n4 Se puede definir:

Expresando en función de los números de dientes:

Se observa que las ruedas 1; 2 y 4 son conductoras y las 2; 3 y 5 conducidas, en consecuencia la RT del tren también puede expresarse por:

5-81

Puede notarse que en el ejemplo considerado la rueda 2 influye únicamente en el signo de la RT y no en su valor. Este tipo de ruedas se llaman parásitas. Cuando en un eje intermedio se monta una sola rueda, ésta es parásita. Trenes Coaxiles Son aquellos en los cuales coinciden la recta de acción de los ejes de la primera y última rueda. Los trenes coaxiles no presentan respecto de los trenes comunes ninguna particularidad excepto que por la condición geométrica impuesta, no existe tanta libertad para fijar el número de dientes de las ruedas. En el tren coaxil de dos etapas indicado en la figura, la coaxialidad impone la siguiente condición:

Fig. 5.92

5.5.5 Determinación del Número de Dientes En un reductor, al transmitir la misma potencia a través de todas las ruedas, resulta que la cupla transmitida por el último engranaje es mayor que la transmitida por el primero. En consecuencia el diseño podrá hacerse con distintos módulos. En general es conveniente disponer las mayores reducciones en los ejes de mayor velocidad. La distribución de las reducciones entre los sucesivos pares de un tren puede complicarse cuando se requieren relaciones de transmisión exactas. Ejemplos de Trenes de Engranajes: 1. Caja de velocidades de un automóvil. 2. Tren de retardo de un torno. 3. Caja Norton de los tornos. 4. Tren del mecanismo horario de un reloj. Trenes Planetarios Los trenes planetarios son aquellos en los cuales los ejes de algunos de los engranajes se desplazan con respecto a los ejes de los otros engranajes que componen el tren. Estos mecanismos incluyen como componentes: 1. un engranaje llamado Sol. 2. uno o varios engranajes llamados Satélites. 3. un brazo Porta satélite. 5-82

Fig. 5.93

Al rodar los satélites sobre el sol describirán en su movimiento epiciloides o hipocicloides. Por esta razón se denominan mecanismos epi o hipocicloidales. Pueden distinguirse: 1. Los planetarios planos cuando todos los ejes son paralelos y en consecuencia los engranajes cilíndricos. 2. Los planetarios esféricos cuando los ejes son concurrentes y en consecuencia los engranajes cónicos. Estudio Cinemático de los Mecanismos Planetarios Para analizar las velocidades en estos trenes existen varios métodos, por su potencialidad y simplicidad utilizaremos el método de la fórmula de WILLIS. Método de la fórmula de WILLIS En este método se tiene en cuenta que el movimiento de cada rueda podrá considerarse como absoluto (respecto del bastidor, supuesto fijo) o relativo respecto del brazo porta satélite que es móvil. Para cada rueda i corresponde considerar: 1. una velocidad angular absoluta ni. 2. una velocidad angular relativa al brazo (B) niB. 3. una velocidad angular de arrastre del brazo (B) o una velocidad angular absoluta del brazo nB. Recordando la expresión del movimiento relativo; la velocidad absoluta es igual a la velocidad relativa más la velocidad de arrastre, tendremos: expresión válida para todos los valores de i = 1; ... ; u siendo u el número total de ruedas. Si se supone el brazo fijo, el mecanismo resulta un tren ordinario y la RT relativa al brazo, por definición:

como por otra parte la RT de un tren es: i = producto RT parciales,

que es la expresión de la fórmula de Willis. 5-83

La fórmula de Willis permite relacionar los Nº de dientes de los engranajes que componen el tren con las velocidades angulares. De esta manera es posible resolver la totalidad de los problemas que se presentan, aún cuando el mecanismo actúe como diferencial que es cuando se imprimen movimientos distintos a dos de los elementos del tren, por ejemplo al brazo y una de las ruedas, resultando el movimiento de las resultantes. Ejemplos y Aplicaciones 1) JUEGO EPICICLOIDAL SIMPLE

Fig. 5.94

a) si la rueda 1 es fija: n1 = 0 y si nB es motor

si la rueda 2 es motora

b) si el brazo es fijo nB = 0 y el sistema es un par ordinario

2) JUEGO HIPOCICLOIDAL SIMPLE

Fig. 5.95

5-84

a) si la rueda 1 es fija n1 = 0 y si nB es motor.

3)

JUEGO CON RUEDA PARÁSITA

Fig. 5.96

a) si la rueda 1 es fija n1 = 0. El juego es epicicloidal.

b) si la rueda 3 es fija n3 = 0. El juego es hipocicloidal.

c) si 1 y 3 son motores y B conducido actúa como mecanismo diferencial.

5-85

Trenes Planetarios Cuando sobre el brazo móvil se montan varios engranajes se tiene un tren planetario. En este caso se aplica la fórmula de Willis de la misma manera que en los planetarios simples. Sea por ejemplo:

Fig. 5.97

a) si la rueda 1 es fija n1 = 0 y B es motriz:

Ejemplo: Si: z1 = 80 Z3 = 20 Z5 = 121

Z2 = 20 Z4 = 30

Trenes Planetarios Coaxiales Como en el caso de los trenes de engranajes de ejes fijos, puede disponerse un tren planetario de manera que los ejes motriz y conducido sean coaxiles, obteniéndose un tren planetario coaxial. a)

Tren planetario coaxial epicicloidal (Tren de Pecquer)

5-86

Fig. 5.98

Si la rueda 1 es fija n1 = 0 y el brazo motor:

Ejemplo: Si: z1 = 49 Z3 = 51

Z2 = 50 Z4 = 50

de manera que por cada 2500 resoluciones del brazo, la rueda 4 experimenta sólo 1 vuelta. b)

Tren planetario coaxial hipocicloidal

Fig. 5.99

Si la rueda 1 es fija, la rueda 4 conducida y el brazo motor, se tendrá:

Si B es fijo nB = 0 (deja de ser un planetario).

resulta una inversión del movimiento. 5-87

Si la rueda 4 es fija n4 = 0, el brazo motor y la rueda 1 conducida:

5-88