5.- Complejos

Cap´ıtulo 5

N´ umeros complejos. Nuestra presentaci´on de los n´ umeros complejos es b´asicamente la del texto [Ap], completado con [ApC]. V´ease tambi´en [GJPR], [Her], cap. 4, [D’A-W], cap. 18; [Lieb], cap. 6. Para ejercicios (resueltos y propuestos) son u ´tiles [Spg], [Wil], as´ı como [D’A-W] y [Lieb].

5.1.

El cuerpo complejo.

Como se˜ nala [Her], p. 195, hh las sucesivas ampliaciones de los sistemas de n´ umeros se han realizado para acomodar resultados sorprendentes en los sistemas de n´ umeros conocidos. Estos resultados sorprendentes provienen, en la mayor parte de los casos, de la resoluci´on de ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, la ecuaci´on x + 7 = 5, en la que solamente aparecen n´ umeros naturales, no posee ning´ un n´ umero natural como soluci´on; su soluci´on es el n´ umero negativo −2. Los n´ umeros naturales, junto con los n´ umeros negativos, forman el sistema de los n´ umeros enteros. Este sistema de n´ umeros es insuficiente para resolver todas las ecuaciones algebraicas; la ecuaci´on 3x = 5 no posee como soluci´on ning´ un n´ umero entero; su soluci´on es el n´ umero fraccionario 5/3. Los n´ umeros enteros, junto con los n´ umeros fraccionarios, forman el conjunto de los n´ umeros racionales. Estos n´ umeros resultan insuficientes para resolver ecuaciones cuadr´aticas; por ejemplo, la ecuaci´on√x2 = 2 √ no tiene un n´ umero racional como soluci´on; sus soluciones son los n´ umeros irracionales 2 y − 2. Los n´ umeros racionales, junto con los irracionales, forman el sistema de los n´ umeros reales.ii Entre los n´ umeros irracionales hay, incluso, much´ısimos que no son ra´ıces de polinomios con coeficientes racionales. Pese a ello, R no es ‘suficientemente completo’ desde el punto de vista algebraico: un polinomio tan sencillo como X 2 +1 sigue sin tener ra´ıces en R. En pleno Renacimiento, los algebristas italianos del siglo XVI (Tartaglia, Cardano, Bombelli: v. [Ebb], cap. 3), en su b´ usqueda de ra´ıces reales de ecuaciones c´ ubicas (de polinomios de grado 3), comenzaron un c´alculo formal con expresiones ‘imaginarias’, ‘ficticias’, en las que aparec´ıan ra´ıces cuadradas de n´ umeros negativos, comprobando que, aunque ignoraban qu´e significado atribuir a dichas expresiones, los resultados que obten´ıan a partir de ellas eran consistentes y satisfactorios, resolviendo as´ı problemas de ra´ıces de ecuaciones de segundo y tercer grado en R. La ‘inevitabilidad’ de estas expresiones llevar´ıa, tras periodos de discusi´on y desconfianza sobre su naturaleza, a la introducci´on y aceptaci´on final de los n´ umeros complejos. (Ver [GJPR], pp. 155–156.) Definici´ on 5.1.1. El cuerpo de los n´ umeros complejos es el conjunto C = {(a, b) : a, b ∈ R} dotado de las operaciones • suma: • producto:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac − bd, bc + ad).

Los elementos de C reciben el nombre de n´ umeros complejos. 141

´ CAP´ITULO 5. NUMEROS COMPLEJOS

142

Como conjunto, pues, C es simplemente R2 = R × R, que conocemos como espacio vectorial sobre R, con la misma suma que acabamos de definir. La novedad (absolutamente trascendente como veremos) est´a en la introducci´on de un producto ‘interno’, que aplica C × C en C (en R2 tenemos el producto por escalares ‘externos’, que aplica R × R2 en R2 ). Veamos que est´a justificado llamar a C el cuerpo de los n´ umeros complejos. Proposici´ on 5.1.2. Con la suma y el producto que hemos definido, C es un cuerpo conmutativo. Demostraci´ on. Enunciamos las propiedades a comprobar: 1. Propiedad asociativa de la suma. ((a1 , b1 )+(a2 , b2 ))+(a3 , b3 ) = (a1 , b1 )+((a2 , b2 )+(a3 , b3 )). 2. Propiedad conmutativa de la suma. (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a2 , b2 ) + (a1 , b1 ). 3. Existencia de elemento neutro (cero) para la suma. Hay un n´ umero complejo, el (0, 0), tal que para todo (a, b) ∈ C, (0, 0) + (a, b) = (a, b) + (0, 0) = (a, b). 4. Existencia de elemento opuesto para la suma. Para cada (a, b) ∈ C hay un n´ umero complejo (y uno s´olo), el n´ umero complejo (−a, −b), tal que (−a, −b) + (a, b) = (a, b) + (−a, −b) = (0, 0). 5. Propiedad asociativa del producto. ((a1 , b1 ) (a2 , b2 )) (a3 , b3 ) = (a1 , b1 ) ((a2 , b2 ) (a3 , b3 )). 6. Propiedad conmutativa del producto. (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) = (a2 , b2 ) (a1 , b1 ). 7. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto. Hay un n´ umero complejo, el (1, 0), tal que para todo (a, b) ∈ C es (1, 0) (a, b) = (a, b) (1, 0) = (a, b). 8. Existencia de elemento inverso para el producto. Para cada   (a, b) ∈ C \ {0} hay un a −b elemento (y uno s´olo) en C, el n´ umero complejo , tal que , a2 + b2 a2 + b2 a −b a −b ( 2 , 2 ) (a, b) = (a, b) ( 2 , 2 ) = (1, 0). 2 2 2 a +b a +b a + b a + b2 (Tiene sentido porque a 6= 0 o b 6= 0.) 9. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma. (a1 , b1 ) ((a2 , b2 ) + (a3 , b3 )) = (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) + (a1 , b1 ) (a3 , b3 ). Como muestra, probaremos 8, dejando el resto como ejercicio (ver [ApC], pp. 438 y ss.). Veamos, pues, que (a, b)(x, y) = (1, 0) ⇐⇒ x = En efecto: (a, b)(x, y) = (1, 0) 1 −b 0 a (´ unica) x = ∆

a2



a −b , y= 2 . 2 +b a + b2

 ax − by = 1 ⇐⇒ . Como ∆ = bx + ay = 0 a 1 b 0 a −b = 2 , y= = 2 . 2 a +b ∆ a + b2

a −b 2 2 on b a = a + b 6= 0, hay soluci´

El cuerpo C contiene un subconjunto que es ‘una copia isomorfa’ al cuerpo R, que identificaremos con R. Precisemos esta afirmaci´on: Proposici´ on 5.1.3. La aplicaci´ on h : R → C dada por h(a) = (a, 0), es inyectiva y para cualesquiera a, b ∈ R cumple • h(a + b) = h(a) + h(b); • h(a b) = h(a) h(b)

a ∈ R,

5.1. EL CUERPO COMPLEJO.

143

Demostraci´ on. Ejercicio. Procedemos, pues, a la identificaci´on de a ∈ R con h(a) ∈ C, lo que nos permite usar la notaci´ on simplificada a = (a, 0). Observando que todo elemento (a, b) ∈ C se puede escribir en la forma (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), si definimos la unidad imaginaria i como i = (0, 1), con esta nueva notaci´on tenemos (a, b) = a + ib. Esta manera de escribir un n´ umero complejo (forma bin´ omica) se corresponde con la repre2 sentaci´on del vector (a, b) de R en la base can´onica {(1, 0), (0, 1)}. Por tanto, si a + ib = a0 + ib0 con a y b reales, necesariamente a = a0 y b = b0 . Como es sabido, la primera componente a del n´ umero complejo z = (a, b) = a + ib se denomina la parte real de z, en s´ımbolos a = <e z, y la segunda componente b se denomina la parte imaginaria de z, en s´ımbolos b = =m z. As´ı, tanto la parte real como la parte imaginaria son n´ umeros reales. Los n´ umeros reales est´an, pues, caracterizados como los z ∈ C tales que =m z = 0. La condici´ on <e z = 0 caracteriza a los llamados n´ umeros imaginarios (imaginarios puros, en algunos textos). Una ventaja de expresar los n´ umeros complejos en forma bin´omica es que se hace m´as facil la multiplicaci´on. En efecto, teniendo en cuenta que i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 comprobamos que la ‘extra˜ na f´ormula’ (a, b) (c, d) = (ac − bd, bc + ad) se traduce en la m´as ‘natural’ (a + ib)(c + id) = ac − bd + i(bc + ad), donde para hacer esta operaci´on s´olo hace falta usar las reglas habituales de la multiplicaci´on y las identificaciones anteriormente expuestas. De pasada, hemos comprobado que el n´ umero complejo i es una ra´ız de X 2 + 1 en C (‘la otra’ es −i). Ninguna de las relaciones de orden que pueden definirse en C hacen de ´el un cuerpo totalmente ordenado: no hay posibilidad niguna de que se mantengan las mismas propiedades que en Q y en R ligan la ordenaci´on con la suma y el producto. (En efecto: en todo cuerpo totalmente ordenado es x2 + 1 > 0 para cualquier elemento x, mientras que en C tenemos i2 + 1 = 0.)

Conjugaci´ on. M´ odulo de un complejo. Un instrumento muy importante en el manejo de los n´ umeros complejos es la conjugaci´ on. Definici´ on 5.1.4. Dado un n´ umero complejo z, su complejo conjugado, denotado por z, est´ a dado por z = <e z − i =m z.

´ CAP´ITULO 5. NUMEROS COMPLEJOS

144

Proposici´ on 5.1.5. La aplicaci´ on de C en C que asocia a cada n´ umero complejo su conjugado, llamada conjugaci´ on, tiene las siguientes propiedades. (i) Es un isomorfismo de cuerpo, es decir, es biyectiva y para cualesquiera z, w ∈ C se verifica • z+w =z+w • zw = z w (ii) Es una involuci´on, o sea, aplicada dos veces vuelve al elemento de partida: z = z para todo z ∈ C. (iii) Deja fijos exactamente los n´ umeros reales: z = z si y solo si z ∈ R. Demostraci´ on. Son consecuencias directas de la definici´on (comprobarlo). Mediante el conjugado se puede expresar algebraicamente la parte real y la parte imaginaria de cada z ∈ C, z+z z−z <e z = , =m z = . 2 2i Tambi´en permite expresar algebraicamente su m´ odulo, que pasamos a definir, lo que facilita muchas de las operaciones que deberemos efectuar con los n´ umeros complejos. Definici´ on 5.1.6. El m´ odulo de un n´ umero complejo z es el n´ umero real no negativo p √ |z| = z z = (<e z)2 + (=m z)2 . Por tanto, |z|2 = z z. N´otese as´ı mismo que |z| = |z|. z <e z =m z = −i . |z|2 |z|2 |z|2 Las propiedades m´as importantes del m´odulo, que comparte con el valor absoluto en R, son las siguientes: Ejercicio. Para z 6= 0, probar que su inverso es

Proposici´ on 5.1.7. Dados z, w ∈ C, (i) |z| ≥ 0 siempre, y |z| = 0 si y s´ olo si z = 0. (ii) |zw| = |z||w|. (iii) |z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdad triangular). Demostraci´ on. (i) Por la propia definici´on, |z| ≥ 0 para todo z ∈ C y |0| = 0. Si ahora z = a + ib (a, b ∈ R) es tal que |z| = 0, es a2 + b2 = |z|2 = 0, y puesto que 0 ≤ a2 ≤ a2 + b2 = 0, a2 = 0 y a = 0 (sim´etricamente, b = 0). (ii) |zw|2 = (zw)(zw) = (zw)(z w) = z z w w = |z|2 |w|2 = (|z||w|)2 , y como |zw| y |z||w| son n´ umeros reales no negativos, forzosamente |zw| = |z||w|. (iii) |z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = z z + z w + w z + w w = |z|2 + z w + z w + |w|2 = |z|2 + 2<e (z w) + |w|2 , mientras que (|z| + |w|)2 = |z|2 + 2|z||w| + |w|2 = |z|2 + 2|z w| + |w|2 , y como (ver lema siguiente) <e (z w) ≤ |<e (z w)| ≤ |z w|, se obtiene la desigualdad buscada.

5.1. EL CUERPO COMPLEJO.

145

En la demostraci´on de la desigualdad triangular hemos necesitado: Lema 5.1.8. Para cada z ∈ C, <e z ≤ |<e z| ≤ |z|,

=m z ≤ |=m z| ≤ |z|.

Demostraci´ on. Pongamos a = <e z, b = =m z. De a2 ≤ a2 + b2 = |z|2 ,

b2 ≤ a2 + b2 = |z|2 ,

se sigue |a| ≤ |z|, |b| ≤ |z|, y finalmente a ≤ |a| ≤ |z|,

b ≤ |b| ≤ |z|.

Como en R, se prueba: Corolario 5.1.9 (desigualdad triangular inversa). Dados z, w ∈ C, |z − w| ≥ ||z| − |w||. Demostraci´ on. Ejercicio.

Ejercicios 18.1. Expresar los siguientes n´ umeros complejos en la forma a + ib, con a, b ∈ R: 2 + 3i i4 + i9 + i16 a) (1 + i) ; b) ; c) ; d) 3 − 4i 2 − i5 + i10 − i15 3



1+i √ 2

5 .

18.2. Calcular  4n  X 1−i m m=1

1+i

.

Indicaci´ on. Calcular primero (1−i)/(1+i) y recordar que (1−w)(w +w2 +· · ·+wN ) = w −wN +1 . 18.3. Dado z = valor de z.

3 − 2ai , con a ∈ R, determinar el valor de a para que z ∈ R y calcular entonces el 4 − 3i

18.4. Calcular dos complejos cuya suma sea 1 + 4i, cuyo cociente sea imaginario y de manera que la parte real de uno de ellos sea −1. 18.5. Hallar x, y ∈ R tales que z = x+iy sea una ra´ız cuadrada de 2−5i, es decir, (x+iy)2 = 2−5i. En general, dados a, b ∈ R, si z = x + iy es una ra´ız cuadrada de a + bi, es decir, (x + iy)2 = a + bi, expresar x e y en funci´on de a, b. 1+z es imaginario si y s´olo si |z| = 1. 1−z z−a 18.7. Sean w, z ∈ C tales que w = con 0 < a < 1. Probar que |w| < 1 si y s´olo si |z| < 1. az − 1 a−b = 1. ¿Qu´e excepci´on debe hacerse si 18.8. Probar que si |a| = 1 o |b| = 1, entonces 1 − ab |a| = |b| = 1? 18.6. Sea z ∈ C con z 6= 1. Probar que

´ CAP´ITULO 5. NUMEROS COMPLEJOS

146 18.9. Sea w =

1+z con w = u + iv y z = x + iy (x, y, u, v ∈ R). Probar que 1−z x=

2v u2 + v 2 − 1 ; y= . 2 2 (u + 1) + v (u + 1)2 + v 2

18.10. Sea z = a + ib (a, b ∈ R). Demostrar que existen p, m y n independientes de z (z 6= 0, −1) tales que (a2 + b2 )(a2 + b2 + 2a + 1) = p + mz + nz 2 . a2 − b2 + a − (1 + 2a)bi Hallar p, m y n.

5.2.

El plano complejo

En este apartado utilizaremos frecuentemente un lenguaje geom´etrico meramente intuitivo, sin atenernos estrictamente al estilo m´as deductivo del planteamiento del resto del curso. As´ı, por ejemplo, hablaremos de ´ angulos, o daremos por bueno que las funciones seno y coseno del An´ alisis matem´atico se corresponden con las funciones definidas gr´aficamente en Trigonometr´ıa, aunque para ello no tengamos ninguna justificaci´on rigurosa. Si hemos de ser totalmente honestos, ni siquiera tenemos hasta ahora una definici´on rigurosa de las funciones seno y coseno: nos hemos conformado con admitir su existencia y propiedades. Es tarea de cursos superiores la construcci´on y el estudio de estas y otras funciones elementales b´asicas, por lo que seguiremos us´andolas como hasta ahora. La idea de partida en esta secci´on es que todo n´ umero complejo z = a+ib (a, b ∈ R) lo podemos representar en el plano como el punto de coordenadas (a, b), su afijo.(*) Esto supone que tenemos fijado en el plano un sistema cartesiano de ejes coordenados. Los puntos del eje de abscisas ser´an los complejos (x, 0), o sea, los n´ umeros reales, por lo que llamaremos a este eje el eje real . An´alogamente, el eje de ordenadas estar´a formado por los puntos (0, y), los n´ umeros imaginarios puros iy, y denominaremos a este eje el eje imaginario. Nos referiremos a este sistema con el nombre de diagrama de Argand. En este contexto, la distancia eucl´ıdea en el plano, por ejemplo, permitir´a definir la distancia entre dos complejos z y w, que vendr´a dada por d(z, w) = |z − w|, ya que si z = x+iy, w = u+iv, (x, y, u, v ∈ R), ambas cantidades son iguales a En particular, para cada z ∈ C, su m´odulo mide la distancia de z a 0.

p (x − u)2 + (y − v)2 .

An´alogamente, puesto que todo punto del plano z 6= 0 queda un´ıvocamente determinado por sus coordenadas polares, es decir, su distancia al origen (i.e., su m´odulo) y por el ´angulo polar (el que forma el segmento de extremos 0 y z con el eje real), podremos utilizar para tales z la llamada representaci´ on polar o m´ odulo-argumental. La medida del ´angulo polar (en radianes) es lo que llamaremos argumento de z. (*) Esta observaci´ on fue hecha repetidamente por matem´ aticos que no lograron eco suficiente en la comunidad matem´ atica (entre ellos Argand, a cuyo nombre ha quedado asociada), hasta que fue adoptada por Gauss en 1831 y m´ as tarde por Cauchy, zanjando as´ı la pol´emica sobre la legitimidad de los n´ umeros complejos (ver [DD-P], pp. 254 y ss.)

En particular, para cada z ∈ C, su m´ odulo mide la distancia de z a 0. An´ alogamente, puesto que todo punto del plano z = 0 queda un´ıvocamente determinado por sus coordenadas polares, es decir, su distancia al origen (i.e., su m´odulo) y por el a´ngulo polar (el que forma el segmento de extremos 0 y z con el eje real), podremos utilizar para tales z la llamada representaci´ on COMPLEJO polar o m´ odulo-argumental. La medida del ´angulo polar (en radianes) es 5.2. EL PLANO 147lo que llamaremos argumento de z.

z=(a,b ) |z|

φ O

a = Re z

b= Im z

Pongamosen enorden ordenestos estosconceptos. conceptos. Pongamos Observandolalafigura, figura,tenemos tenemoslas lasigualdades igualdades Observando e z = |z| cos φ, m z = |z| senφ,φ, <e z = |z| cos φ, =m z = |z| sen de donde de donde |z|(cosφφ++i isen senφ). φ). zz==|z|(cos Como siempre sucede con medidade de´a´angulos, ngulos,hay hayaqu´ aqu´ una Como siempre sucede con lalamedida ı ıuna ambig¨ edad,puesto puestoque queφφyyφφ++2kπ 2kπcon conkk∈∈ZZhacen hacenelelmismo mismo ambig¨ uuedad, papel de cara a las igualdades anteriores. Esto nos hace abordar papel de cara a las igualdades anteriores. Esto nos hace abordar lassiguientes siguientesprecisiones precisionessobre sobrelaladefinici´ definici´ deargumento. argumento. las oonnde

Definici´ 1.2.1(Argumentos). (Argumentos). Dado \ {0}, argumento es cualquier φ tal Definici´ oonn5.2.1 Dado z ∈zC∈\C{0}, unun argumento de zdeesz cualquier φ tal queque z = |z| cos φ, z = |z| sen φ. <e z = |z| cos φ, =m z = |z| sen φ. El conjunto de los argumentos de z lo denotaremos por arg z, es decir, El conjunto de los argumentos de z lo denotaremos por arg z, es decir, arg z = {φ ∈ R : cos φ = e z/|z|, sen φ = m z/|z|}. arg z = {φ ∈ R : cos φ = <e z/|z|, sen φ = =m z/|z|}. 1

Esta observaci´ on fue hecha repetidamente por matem´ aticos que no lograron eco suficiente en la comunidad matem´ a tica (entre ellos Argand, a cuyo nombre ha quedado hasta quevalores fue adoptada Gauss en 1831 y Entonces, arg z es un conjunto. Pero ‘es obvio’ asociada), que si para dos φ0 , φ por ∈ R, se cumple m´ as tarde por Cauchy, zanjando as´ı la pol´emica sobre la legitimidad de los n´ umeros complejos (ver [DD-P], pp. 254 y ss.)

cos φ = cos φ0 ,

sen φ = sen φ0 ,

debe existir un k ∈ Z de manera que φ = φ0 + 2kπ; en otras palabras, el conjunto arg z puede describirse, conocido uno cualquiera de sus elementos, de la siguiente manera: {φ0 + 2kπ : φ0 ∈ arg z, k ∈ Z} = φ0 + 2πZ. De esta forma, en cualquier intervalo semiabierto de longitud 2π, por ejemplo (−π, π], existe un u ´nico elemento perteneciente al conjunto arg z. A este elemento se le denota por Arg z, y se le llama argumento principal (precauci´on: en algunos textos se llama argumento principal al que est´a en el intervalo [0, 2π)). Por tanto, para nosotros: Definici´ on 5.2.2 (Argumento principal). Dado z ∈ C \ {0}, Arg z = φ si y s´olo si φ ∈ (−π, π] y cos φ = <e z/|z|, sen φ = =m z/|z|. Definici´ on 5.2.3. La representaci´ on polar o m´ odulo-argumental de un n´ umero complejo no nulo viene dada por su m´ odulo y uno cualquiera de sus argumentos. Para presentarla de una manera m´as compacta, introducimos la siguiente notaci´ on. Definici´ on 5.2.4. Dado φ ∈ R, pondremos eiφ = cos φ + i sen φ. Por tanto, dado z ∈ C \ {0}, si φ ∈ arg z ser´ a z = |z| eiφ (representaci´ on exponencial de un n´ umero complejo).

´ CAP´ITULO 5. NUMEROS COMPLEJOS

148

N´otese que para z = 0 se tiene z = |z| eiφ cualquiera que sea φ ∈ R. Ejercicio. Para cada φ ∈ R, |eiφ | = 1. Rec´ıprocamente, para todo z ∈ C con |z| = 1 existe φ ∈ R tal que z = eiφ . Ejercicio. Si φ ∈ R, entonces eiφ = 1 si y s´olo si existe k ∈ Z tal que φ = 2kπ. Ejercicio. Comprobar la f´ ormula de Euler eiπ + 1 = 0. (Se ha dicho que esta es una de las m´as bellas f´ormulas de las Matem´aticas, porque liga los n´ umeros ´ fundamentales del Algebra, la Geometr´ıa y el An´alisis). Proposici´ on 5.2.5 (Representaci´on exponencial del producto de dos n´ umeros complejos). Dados iφ iφ 1 2 z1 , z2 ∈ C, si z1 = |z1 | e , z2 = |z2 | e , con φ1 , φ2 ∈ R, se tiene i(φ1 +φ2 ) z1 z2 = |z1 z2 | ei(φ1 +φ2 ) = |z1 | CAP |z2 | e´ITULO . 1. NUMEROS ´ COMPLEJOS

8

Demostraci´ on. Ya probamos que |z1 z2 | = |z1 | |z2 |. Demostraci´ Operandoon. Ya probamos que |z1 z2 | = |z1 | |z2 |. Operando eiφ1 eiφ2 = (cos φ1 + i sen φ1 ) (cos φ2 + i sen φ2 ) eiφ1 eiφ2 = (cos φ1 + i sen φ1 ) (cos φ2 + i sen φ2 ) = cos φ1 cos φ2 − sen φ1 sen φ2 + i(cos φ1 sen φ2 + sen φ1 cos φ2 ) φ sen φ2 + sen φ1 cos φ2 ) = cos φ1 cos φ2 − sen φ1 sen φ2 + i(cos = cos(φ1 + φ2 ) + i sen(φ1 + φ2 ) = ei(φ1 +φ21) , i(φ1 +φ2 ) , = cos(φ1 + φ2 ) + i sen(φ1 + φ2 ) = e y queda finalmente y queda finalmente z1 z2 = |z1 | |z2 | ei(φ1 +φ2 ) = |z1 z2 | ei(φ1 +φ2 ) . z1 z2 = |z1 | |z2 | ei(φ1 +φ2 ) = |z1 z2 | ei(φ1 +φ2 ) . Por tanto, mientras que la suma y la resta de n´ umeros complejos no son otra cosa que la suma y la resta de vectores en elque plano, que no au ficamente m´as queno la son traslaci´ de segmentos Por tanto, mientras la suma y lanecesita resta degr´ n´ meros complejos otraoncosa que la suma (ver la construcci´ n gr´afica productogr´ de dos n´ umeros complejos es oun m´ as y lafigura resta 1), de vectores en eloplano, que del no necesita aficamente m´as que la traslaci´ n depoco segmentos complicada (ver figura 2): (ver figura 1), la construcci´ on gr´ afica del producto de dos vectores es un poco m´as complicada (ver figura 2):

z .w z +w

uz

w w-z u1

z 0

0

w z

1

z-w Figura 1 Figura 1

Figura 2 Figura 2

dados z, w = |w| eiφ ∈ C, para construir z · w hemos de girar z un a´ngulo φ (con centro de giro en dados z, w = |w| eiφ ∈ C, para construir z · w hemos de girar z un ´angulo φ (con centro de giro en el el origen) y efectuar una homotecia que multiplique el m´ odulo de z por el de w. Como se muestra origen) y efectuar una homotecia que multiplique el m´odulo de z por el de w. Como se muestra en en la figura, para llevar esto a cabo basta girar el tri´ angulo de v´ertices 0, 1, z hasta que el segmento la figura, para llevar esto a cabo basta girar el tri´angulo de v´ertices 0, 1, z hasta que el segmento de extremos 0 y 1 tenga la direcci´on del segmento de extremos 0 y w, obteni´endose as´ı el tri´ angulo de extremos 0 y 1 tenga la direcci´on del segmento de extremos 0 y w, obteni´endose as´ı el tri´angulo de v´ertices 0, u1 , uz ; z · w es el punto de corte de la recta que pasa por 0 y uz con la paralela por de v´ertices 0, u1 , uz ; z · w es el punto de corte de la recta que pasa por 0 y uz con la paralela por w a la recta que pasa por u y uz (¿por qu´e?) w a la recta que pasa por u1 y1 uz (¿por qu´e?) Corolario 1.2.6 (Representaci´ on exponencial del cociente de dos n´ umeros complejos). Dados z1 , z2 ∈ C, si z1 = |z1 | eiφ1 , z2 = |z2 | eiφ2 = 0, se tiene z1

|z1 |

i(φ1 −φ2 )

5.2. EL PLANO COMPLEJO

149

Corolario 5.2.6 (Representaci´on exponencial del cociente de dos n´ umeros complejos). Dados z1 , z2 ∈ C, si z1 = |z1 | eiφ1 , z2 = |z2 | eiφ2 6= 0, se tiene z1 |z1 | i(φ1 −φ2 ) = e . z2 |z2 | Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que, seg´ un lo que acabamos de probar, |z1 | i(φ1 −φ2 ) |z1 | e z2 = |z2 | ei(φ1 −φ2 +φ2 ) = |z1 | eiφ1 = z1 . |z2 | |z2 | Nota. La expresi´on eiφ , φ ∈ R, comparte propiedades algebraicas de la exponencial real: eiφ eiψ = ei(φ+ψ) , φ, ψ ∈ R ;

(eiφ )−1 = ei(−φ) , φ ∈ R.

Por otra parte, (eiφ ) = (eiφ )−1 = ei(−φ) (que, por comodidad, escribiremos generalmente e−iφ ).

Ejercicios 19.1. Hallar los m´odulos y los argumentos umeros complejos: −2x (x ∈ R \ {0}), iy √ √de los n´ (y ∈ R \ {0}), 1 + i, −1 − i, (1 + i)(1 + i 3)( 3 − i), 2 + 5i, 2 − 5i, −2 + 5i, −2 − 5i (estos u ´ltimos, en funci´on del arc tg(5/2)). ¿Cu´al es el argumento principal? 19.2. Si φ, ψ ∈ R, entonces eiφ = eiψ si y s´olo si existe k ∈ Z tal que φ − ψ = 2kπ. 19.3. Hallar el m´odulo y el argumento principal de 1 + cos φ + i sen φ, donde −π ≤ φ ≤ π. 19.4. Hallar la parte real y la imaginaria, el m´odulo y un argumento de

1 + cos x + i sen x . 1 + cos y + i sen y

1 19.5. Sean α ∈ R y a ∈ C tales que 2 cos α = a + . Obtener 2 cos nα en funci´on de a.  a 
iα 1 iα ? Indicaci´ on. ¿Qu´e vale e − a e − a 19.6. Si x + iy = (2 + cos α + i sen α)−1 con α, x, y ∈ R, hallar x e y en funci´on de α y probar que el punto (x, y) est´a siempre en la circunferencia de di´ametro el segmento que une los puntos ( 13 , 0) y (1, 0). 19.7. Sean z1 , z2 , z3 ∈ C distintos dos a dos. Explicar el significado geom´etrico de las relaciones: (i) =m

z3 − z1 =0; z2 − z1

(ii) <e

z3 − z1 =0. z2 − z1

z2 es imaginario si y s´olo si |z1 + z2 | = |z1 − z2 |. z1 Deducir que un paralelogramo tiene sus diagonales iguales si y s´olo si es un rect´angulo. 19.8. Sean z1 , z2 ∈ C con z1 6= 0. Probar que

19.9. Demostrar que |z1 − z2 |2 + |z1 + z2 |2 = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 . Deducir que “un cuadril´atero es un paralelogramo si y s´olo si la suma de los cuadrados de las longitudes de sus diagonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de todos sus lados” (ley del paralelogramo). 19.10. Demostrar que el tri´angulo cuyos v´ertices son los puntos z1 , z2 , z3 sobre el diagrama de Argand es equil´atero si y s´olo si z12 + z22 + z32 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 . 19.11. ¿Cu´al es el lugar geom´etrico de los puntos del plano complejo tales que |z + 16| = 4|z + 1|?

´ CAP´ITULO 5. NUMEROS COMPLEJOS

150

5.3.

Polinomios en C y en R.

Reflexionando sobre lo que hemos hecho hasta ahora, parece que nuestros logros son m´as bien modestos. Hemos a˜ nadido a R b´asicamente un n´ umero, i, que nos genera ‘linealmente’ C, y que es una ra´ız del polinomio concreto X 2 + 1. ¿Qu´e suceder´a con los dem´as polinomios? Lo que pasa lo expone estupendamente el premio Nobel de F´ısica, Richard Feynman, en un cap´ıtulo llamado Algebra (de lectura absolutamente recomendada en su totalidad) de su libro [Fey], p. 22-10: hh

Ahora ustedes dir´an: “¡Esto puede seguir indefinidamente! Hemos definido las potencias de los imaginarios y todo lo dem´as y cuando estamos listos, viene alguien con otra ecuaci´ on 6 2 que no puede ser resuelta como x + 3x = −2. ¡Entonces tenemos que generalizar todo de nuevo!” Pero resulta que con esta invenci´ on adicional que es simplemente la ra´ız cuadrada de −1, ¡toda ecuaci´ on algebraica puede ser resuelta! Este es un hecho fant´astico que debemos dejar que lo demuestre el Departamento de Matem´aticas. Las demostraciones son hermosas y muy interesantes, pero ciertamente no son evidentes por s´ı mismas. De hecho, la suposici´ on m´as evidente es que vamos a tener que inventar de nuevo, de nuevo y de nuevo. Pero el milagro m´as grande es que no tenemos que hacerlo. Esta es la u ´ltima invenci´on. Despu´es de esta invenci´on de los n´ umeros complejos, encontramos que las reglas siguen funcionando con los n´ umeros complejos y hemos terminado de inventar cosas nuevas. Podemos encontrar la potencia compleja de cualquier n´ umero complejo, podemos resolver cualquier ecuaci´ on escrita algebraicamente en t´erminos de un n´ umero finito de esos s´ımbolos. No encontramos m´as n´ umeros nuevos. ii

Comenzaremos la b´ usqueda de ra´ıces en C por lo m´as sencillo, identificando las ra´ıces de unos polinomios muy particulares, los de la forma X n − z para un z cualquiera de C, o sea, construyendo las ra´ıces n-´esimas de z.

5.3.1.

Potencias y ra´ıces de un n´ umero complejo

Nuestro desarrollo de esta parte es, esencialmente, el de [Ap], pp. 26–28. Definici´ on 5.3.1. Dados z ∈ C y n ∈ Z, se define ( z 1 = z, z n+1 = z n z
z 0 = 1, z n = z −1 −n

si n ≥ 1, si z = 6 0 y n < 0.

Corolario 5.3.2 (F´ormula de De Moivre.). Dado φ ∈ R, para todo n ∈ N es (cos φ + i sen φ)n = cos(nφ) + i sen(nφ). Demostraci´ on. Escrita en forma exponencial, (eiφ )n = einφ , se obtiene c´omodamente por inducci´on. Para n = 1 es trivialmente cierta, y si es cierta para un n, entonces (eiφ )n+1 = (eiφ )n eiφ = einφ eiφ = ei(nφ+φ) = ei(n+1)φ .

Ejercicio. ¿Qu´e ocurre con la f´ormula de De Moivre para n ∈ Z? Proposici´ on 5.3.3. Dados dos enteros m y n, tenemos, siempre que est´en definidas las potencias, z m z n = z m+n ,

(z m )n = z mn ,

(z1 z2 )n = z1n z2n .

Demostraci´ on. Para m, n ≥ 0, es un ejercicio de inducci´on (hacerlo). Para m o n < 0, aplicar la definici´on y los resultados para exponentes no negativos (cf. [Ap], Teorema 1.50).

5.3. POLINOMIOS EN C Y EN R.

151

Ra´ıces cuadradas de un n´ umero complejo Como para n´ umeros reales, diremos que un n´ umero complejo w es ra´ız cuadrada de otro 2 n´ umero complejo z si w = z, es decir, si w es una ra´ız del polinomio X 2 − z. Pero en el ´ambito de los n´ umeros complejos las cosas cambian de manera sustancial. Mientras que hay n´ umeros reales sin ra´ız cuadrada real, todo n´ umero complejo tiene por p lo menos una iα ra´ız cuadrada. Esto se ve mejor empleando la forma exponencial: si z p = |z| e , y |z| es la ra´ız iα/2 para que w 2 = z. cuadrada no negativa del n´ umero real no negativo |z|, basta tomar w√= |z| √e √ √ 6 2 Por ejemplo, si z = 1 + 3i = 2 eiπ/3 , tomar´ıamos w = 2 eiπ/6 = + i. 2 2 Si z tiene una ra´ız cuadrada w, tambi´en −w es una ra´ız cuadrada de z, con lo que si z 6= 0 (luego w 6= 0), ya tenemos al menos dos ra´ıces cuadradas de z. ¿Habr´a m´as? Afortunadamente no, pues si w12 = z y w22 = z, w12 = w22 ⇐⇒ w12 − w22 = 0 ⇐⇒ (w1 − w2 )(w1 + w2 ) = 0 ⇐⇒ o bien (w1 − w2 ) = 0 o bien (w1 + w2 ) = 0 ⇐⇒ o bien w1 = w2 o bien w1 = −w2 . En resumen: Proposici´ on 5.3.4. Todo n´ umero complejo no nulo tiene exactamente dos ra´ıces cuadradas, una opuesta de la otra. Concretamente, si z = |z| eiα 6= 0, dichas ra´ıces son  p  p p |z| eiα/2 , − |z| eiα/2 = |z| ei(α+π)/2 . Para z = 0, su u ´nica ra´ız cuadrada es 0. Problemas de notaci´ on para las ra´ıces √ Si queremos mantener las notaciones z ´o z 1/2 que emple´abamos para las ra´ıces cuadradas no negativas de los n´ umeros reales no negativos, ¿c´omo proceder ahora, que no tenemos n´ umeros complejos “positivos” o “negativos” y no hay ning´ un criterio preferente para distinguir entre las dos ra´ıces de un complejo no nulo? Los convenios utilizados var´ıan de unos textos a otros, por lo cual, para no caer en ambig¨ uedades, merece la pena explicitar siempre el significado exacto atribuido a los s´ımbolos que se est´en manejando, sin necesidad de decantarse por ninguno. Por ejemplo, pondr´ıamos: • para a, b, c ∈ C, a 6= 0,

az 2 + bz + c = 0

si y s´olo si z= es decir,

−b ±

√

b2 − 4ac , 2a

√ b2 − 4ac −b − b2 − 4ac z= o z= , 2a 2a √ donde b2 − 4ac indica una cualquiera de las ra´ıces cuadradas del complejo b2 − 4ac. −b +

√

Ra´ıces n-´ esimas de un n´ umero complejo Definici´ on 5.3.5. Sea z un n´ umero complejo y sea n ∈ N. Todo n´ umero complejo w tal que wn = z recibe el nombre de ra´ız n-´ esima de z. Cuando n = 1, w1 = z es lo mismo que w = z, y la definici´on anterior carece de inter´es. Cuando z = 0, para cualquier n es wn = 0 si y s´olo si w = 0. En general, ¿cu´antas ra´ıces n-´esimas distintas tiene un n´ umero complejo no nulo, y cu´ales son? Tenemos la respuesta completa para n = 2, y podemos inspirarnos en ella para resolver el problema general. Comencemos con un ejemplo.

´ CAP´ITULO 5. NUMEROS COMPLEJOS

152 Ejemplo. Hallar las ra´ıces s´eptimas de 128 i.

Respuesta. Buscamos todos los n´ umeros complejos w tales que w7 = 128i. Escribiendo en forma exponencial w = r eiφ y 128i = 128 eiπ/2 , puesto que w7 = r7 ei7φ , ser´a  r7 = 128 = 27 ⇐⇒ r = 2 (r real ≥ 0) 7 w = 128i ⇐⇒ π 2kπ 7φ = π + 2kπ para alg´ un k ∈ Z ⇐⇒ φ = + para alg´ un k ∈ Z 2 14 7 As´ı pues, mientras que |w| = r s´olo puede tomar el valor r = 2, φ puede tomar infinitos valores seg´ un k var´ıa en Z. ¿Hay, pues, infinitos w? No, “se repiten”: φ es un argumento, que llevar´ a al 0 00 mismo w siempre que tengamos dos valores de k, digamos k y k , tales que los correspondientes π 2k 0 π π 2k 00 π φ0 = + y φ00 = + difieran en un m´ ultiplo de 2π, lo que sucede cuando y s´olo cuando 14 7 14 7 k 0 − k 00 es un entero, es decir, cuando y s´olo cuando k 0 − k 00 es m´ ultiplo de 7 o, equivalentemente, 7 π 2kπ (4k + 1)π k 0 y k 00 son congruentes m´odulo 7. Evaluando φk = + = para los valores “m´ as 14 7 7 sencillos” de k obtenemos los valores correspondientes wk k k k k k k k

=0 =1 =2 =3 =4 =5 =6

w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6

= 2 eπi/14 = 2 e5πi/14 = 2 e9πi/14 = 2 e13πi/14 = 2 e17πi/14 = 2 e21πi/14 = 2 e25πi/14

que a partir de aqu´ı se repiten peri´odicamente k=7 k=8 k=9 k = 10 k = 11 k = 12 k = 13 etc.

w7 = 2 e29πi/14 = 2 eπi/14 = w0 w8 = 2 e33πi/14 = 2 e5πi/14 = w1 w9 = 2 e37πi/14 = 2 e9πi/14 = w2 w10 = 2 e41πi/14 = 2 e13πi/14 = w3 w11 = 2 e45πi/14 = 2 e17πi/14 = w4 w12 = 2 e49πi/14 = 2 e21πi/14 = w5 w13 = 2 e53πi/14 = 2 e25πi/14 = w6 etc.

y tambi´en, sim´etricamente, para valores negativos de k k = −1 k = −2 k = −3 k = −4 k = −5 k = −6 k = −7 etc.

w−1 w−2 w−3 w−4 w−5 w−6 w−7 etc.

= 2 e−3πi/14 = 2 e25πi/14 = w6 = 2 e−7πi/14 = 2 e21πi/14 = w5 = 2 e−11πi/14 = 2 e17πi/14 = w4 = 2 e−15πi/14 = 2 e13πi/14 = w3 = 2 e−19πi/14 = 2 e9πi/14 = w2 = 2 e−23πi/14 = 2 e5πi/14 = w1 = 2 e−27πi/14 = 2 eπi/14 = w0

Naturalmente, algunas exponenciales pueden ‘simplificarse’ para expresarlas con n´ umeros m´ as peque˜ nos, pero creemos que as´ı se percibe mejor la situaci´on. En cualquier caso, hemos encontrado justamente 7 ra´ıces s´eptimas distintas para el n´ umero complejo (no nulo) propuesto. Que esto es lo que sucede siempre se prueba a continuaci´on.

5.3. POLINOMIOS EN C Y EN R.

153

Teorema 5.3.6. Dado n ∈ N, para cada n´ umero complejo z 6= 0 existen exactamente n ra´ıces n-´esimas de z distintas. Adem´ as, si α es un argumento de z, estas ra´ıces son los n´ umeros complejos z0 , z1 , . . . , zn−1 , dados por las f´ ormulas zk = r eiϕk , k = 0, 1, . . . , n − 1, donde

α 2kπ r = |z|1/n , ϕk = + (k = 0, 1, . . . , n − 1). n n 1.3. POLINOMIOS EN C Y EN R. 11 Demostraci´ on. (**) (Cf. [Ap], p´ags 27–28) iϕk , k = 0, 1, . . . , n − 1, son distintos entre s´ Los n n´ umeros complejos r e27–28) ı: pues si tomamos Demostraci´ on. (Cf. [Ap], p´ ags iϕk = r eiϕj se sigue ei(ϕk −ϕj ) = 1 [porque r 6= 0 iϕ enteros k, j, con 0 ≤ k ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ n − 1, de r e k Los n n´ umeros complejos r e , k = 0, 1, . . . , n − 1, son distintos entre s´ı: pues si tomamos −iϕj ] y de aqu´ iϕjk = y enteros basta multiplicar ı ϕde alg´ ueni(ϕm ∈j )Z; entonces k −ϕ k − = 2mπ r eiϕj para se sigue = pero 1 [porque r = 0 k, j, con 0 por ≤ k (1/r) ≤ n −e1, 0 ≤ j ≤ n − 1, r eϕ 2kπ multiplicar α 2jπ por (1/r) e−iϕj ] yk de − jaqu´ı ϕ − ϕ = 2mπ para alg´ α y basta k un jentero, y dado queun m ∈ Z; pero entonces + − − = 2mπ, es decir, = m es n α n2kπ n α n2jπ kn − j + − − = 2mπ, es decir, = m es un entero, y dado que n n n n −(n − 1) 0 − (n −n1) k−j (n − 1) − 0 n−1 −1 < −(n − 1)= 0 − (n − 1)≤ k − j≤ (n − 1) − 0= n − 1< 1, n n = ≤ n ≤ = n < 1, −1 < n n n n n n k−j eso s´olo puede cumplirse si k − j= 0, es decir, si k = j. = 0, es decir, si k = j. eso s´olo puede cumplirse si n numeros es una ra´ız n-´esima de z: Adem´as, cada uno de tales n´ Adem´as, cada uno de tales n´ umeros es una ra´ız n-´esima de z: k k (r(r eiϕekiϕ)kn)n== rnreninϕ == |z||z| ei(α+2kπ) |z||z| eiαeiα== z.z. einϕ ei(α+2kπ)==

Poru u ´ltimo,nonohay hayotras otrasra´ra´ ıcesn-´ n-´ esimasdedez zdistintas distintasdedelaslasanteriores, anteriores,pues puesununpolinomio polinomiodede Por ´ltimo, ıces esimas grado n puede tener a lo m´ a s n ra´ ıces distintas, y las ra´ ıces n-´ e simas de z son justamente ıces grado n puede tener a lo m´as n ra´ıces distintas, y las ra´ıces n-´esimas de z son justamente laslasra´ra´ ıces n n −− polinomioP (X) P (X) deldelpolinomio == XX z.z. Obs´ervese que todas las ra´ıces n-´esimas de un complejo z tienen el mismo m´odulo, |z|1/n , y que Obs´ervese que todas las ra´ıces n-´esimas de un complejo z tienen el mismo m´odulo, |z|1/n , y que sus argumentos difieren en m´ ultiplos de 2π/n radianes, de modo sus argumentos difieren en m´ ultiplos de 2π/n radianes, de modo que sus afijos est´an sobre una circunferencia de centro el origen que sus afijos1/n est´an sobre una circunferencia de centro el origen eπi/5 y radio |z| , ocupando los v´ertices de un pol´ıgono regular de 1/n y radio |z| , ocupando los v´ertices de un pol´ıgono regular de e 2πi/5 n lados. n lados. Ejemplo. Para cada n ∈ N existen n ra´ıces n-´ esimas de la π/5 Ejemplo. Para cada n ∈ N existen n ra´ ıces n-´ e simas desobre la 2πi/n 2(n−1)πi/n umeros 1, 2πi/n e , . . . ,2(n−1)πi/n e , situados unidad , los n´ unidad , los n´ u meros 1, e , . . . , e , situados sobre 0 los v´ertices de un pol´ıgono regular de n lados inscrito en la 1 loscircunferencia v´ertices de un pol´ıgono regularel de n lados inscrito en laas, unidad, de centro origen y radio 1. Adem´ circunferencia de respecto centro el del origen y radio 1. Adem´ el pol´ıgono esunidad, sim´etrico eje real. Estas ra´ıcesas, son e -2πi/5 el las pol´ ıgono es sim´ e trico respecto del eje real. Estas ra´ ıces son 2πi/n potencias sucesivas de e , y pueden obtenerse numerosas e -πi/5 lasrelaciones potenciasalgebraicas sucesivas deentre e2πi/n , y pueden obtenerse numerosas ellas. relaciones algebraicas entre ellas. √ Problemas de notaci´ o n para las ra´ıces. Si queremos mantener las notaciones z 1/n ´o n z que (**) ´ n alternativa. Una ademostraci o emple´ bamos para las ra´ıces n-´esimas no negativas de los n´ umeros reales no negativos, ¿c´omo proPara un complejo w = |w| eiφ , ser´ a ceder ahora, que para cada z ∈ C \ {0} tenemos n ra´ıces diferentes sin ning´ un criterio incontestable (√  n ¿qu´   1/2 1/n ? ¿qu´ |w|z? = |z|1/n para distinguir entre ellas? En particular: e significa z e significa |w| = |z|√ |w| = |z| n n inφ iα w = z ⇐⇒ |w| e = |z| e ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ 2kπ 1/n Podr´ıamos reservar el s´ımbolo ezinφ =´oeiαn z para lanφra´ n-´ esima deαz,+definida como =ız α+ 2kπ, k ∈ Zprincipalφ = , k ∈ Z. n

n

e , k, k ∈ Z, ¿Cu´ antos valores distintos de w obtenemos as´ı? No|z| demasiados: dados 1/n i(Arg z)/n

0

0 queda entre −π y π), o utilizar uno de ellos donde Arg z indica el argumento principal que 2kπ α 2k0 π α α 2kπde zα(el 2k π + = + + 2mπ para alg´ un m ∈ Z |z|1/n ei( n + n ) = |z|1/n ei( n + n ) ⇐⇒ n lasn ra´ıces n n-´ (o los dos) para el conjunto de todas ensimas de z. 0 0 ⇐⇒ 2kπ = 2kutilizados π + 2mnπ var´ paraıan alg´ un unos m ∈ Ztextos ⇐⇒ ka=otros, k + mn alg´ unpara m ∈ no Z ⇐⇒ ≡ ambig¨ k0 (m´ oduedades, n). Los convenios de porpara lo cual, caerken merece la pena explicitar el significado exacto los“representantes s´ımbolos que se est´en Hay, en consecuencia, tantas ra´ıcessiempre distintas como clases de restos m´ oduloatribuido n, o sea, n,acon can´ onicos” k= 0, 1, 2, . . . , n sin − 1. necesidad de decantarse por ninguno. Por ejemplo, pondr´ıamos: manejando,

• para a, b, c ∈ R, a = 0, si y s´ olo si

az 2 + bz + c = 0 √

2

´ CAP´ITULO 5. NUMEROS COMPLEJOS

154

Problemas de notaci´ on para las ra´ıces n-´ esimas. Si queremos mantener las notaciones z 1/n √ n ´o z que emple´abamos para las ra´ıces n-´esimas no negativas de los n´ umeros reales no negativos, ¿c´omo proceder ahora, que para cada z ∈ C \ {0} tenemos n ra´ıces diferentes sin ning´ un criterio incontestable para distinguir entre ellas? √ Podr´ıamos reservar el s´ımbolo z 1/n ´o n z para la ra´ız n-´ esima principal de z, definida como |z|1/n ei(Arg z)/n , donde Arg z indica el argumento principal de z (el que queda entre −π y π), o utilizar uno de ellos (o los dos) para el conjunto de todas las ra´ıces n-´esimas de z. De nuevo los convenios utilizados var´ıan de unos textos a otros, y por ello, repetimos nuestro consejo: ‘para no caer en ambig¨ uedades, merece la pena explicitar siempre el significado exacto atribuido a los s´ımbolos que se est´en manejando, sin necesidad de decantarse por ninguno’. Cuando z sea un n´ umero real no negativo, z ∈ [0, +∞), como z = 0 o Arg z = 0, se obtiene como ra´ız n-´esima principal de z justamente su ra´ız n-´esima real no negativa, en cuyo caso la √ interpretaci´on sobreentendida de z 1/n ´o n z es esta ra´ız principal (¡si no se dice expl´ıcitamente otra cosa!)

Ejercicios 20.1. Dado x ∈ R, hallar la parte real y la imaginaria de: n a) (1  + cos x + i sen x) ; n 1 + cos x + i sen x b) . 1 + cos y + i sen y   1 + sen a + i cos a n 20.2. Calcular , n ∈ N y a ∈ R. 1 + sen a − i cos a √ √ 20.3. Calcular todos los valores de 4 −1, 6 1 + i. 20.4. Hallar los n´ umeros complejos que son iguales a la potencia n-´esima de sus conjugados. 20.5. Probar que la suma de las potencias n-´esimas de las ra´ıces k-´esimas de la unidad es k o 0, seg´ un n sea o no m´ ultiplo de k. 4π 6π 8π 2π + cos + cos + cos = 0 y dar una interpretaci´on geom´etrica. 20.6. Probar que 1 + cos 5 5 5 5 Probar que √ √ π 5+1 5−1 2π cos = , cos = . 5 4 5 4 20.7. Probar que π 2π 3π 4π + cos − cos + cos 5 5 5 5 π 2π 3π 4π − sen + sen − sen + sen 5 5 5 5

1 − cos

= 0 = 0

20.8. Probar que si n ∈ N se tiene  √ √ n π n  nπ π n 1 + i tan + 1 − i tan =2 6 − 2 cos 12 12 12 20.9. Hallar la suma 1 + 2 cos θ + 2 cos 2θ + · · · + 2 cos nθ. 20.10. Expresar en potencias de cos θ (θ ∈ R): cos 6θ, cos 3θ, Expresar en en potencias de sen θ(θ ∈ R): sen 3θ, sen 7θ.

sen 6θ sen 5θ , . sen θ sen θ

5.3. POLINOMIOS EN C Y EN R.

155 √

2πi/13

20.11. Sea ω = e

. Probar que ω +

ω3

+

ω4

+

ω9

+

ω 10

+

ω 12

=

Indicaci´ on: Si S es la suma, ¿qui´en es (2S + 1)2 ? 20.12. Sea z =

e2πi/7 .

Calcular

6 X

13 − 1 . 2

2

zn .

n=1

5.3.2.

´ Teorema fundamental del Algebra y sus consecuencias

Desde el punto de vista algebraico, la principal ventaja del cuerpo complejo es que, al contrario que R, C es algebraicamente cerrado, i.e., todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene una ra´ız en C.(***) Este hecho fue ‘presentido’ antes de que se llegara a formular adecuadamente y mucho antes de que se lograra una demostraci´on incuestionable (ver [DD-P], pp. 248–253). No es un resultado f´acil de demostrar con argumentos elementales pero, en cursos posteriores, ser´ a una consecuencia sencilla del an´alisis de las funciones complejas de variable compleja. No obstante, puede verse una demostraci´on relativamente asequible (bastante larga) en [A-K], pp. 344–352; ver tambi´en [D’A-W], pp. 324 y ss. Pero donde se encuentra una exposici´on completa e inmejorable, debida a R. Remmert, es en [Ebb, chap. 4]. Aqu´ı nos limitaremos a enunciar el teorema y a deducir las consecuencias que de ´el se derivan en relaci´on con el estudio de las ra´ıces y de la factorizaci´on de los polinomios en C[X] y en R[X]. Teorema 5.3.7 (D’Alembert-Gauss). Todo polinomio no constante con coeficientes complejos admite al menos una ra´ız en C. Corolario 5.3.8. Los polinomios irreducibles en C[X] son los de grado 1 (lineales), de manera que todo polinomio en C[X] de grado n, n ∈ N, admite una factorizaci´ on como producto de n factores lineales. Demostraci´ on. Ya comentamos que los polinomios de grado 1 son siempre irreducibles. Cualquier otro polinomio p en C[X] de mayor grado ya no es irreducible, pues tendr´ıa una ra´ız z ∈ C y ser´ıa por tanto de la forma p(X) = (X − z) q(X), con deg q = deg p − 1 6= 0. La segunda conclusi´on se sigue del teorema de factorizaci´on u ´nica: necesariamente, p(X) = a(X − z1 ) · · · (X − zn ) a 6= 0, z1 , . . . , zn ∈ C si deg p = n. Corolario 5.3.9. Sea n ∈ N. Todo polinomio en C[X] de grado n posee exactamente n ra´ıces, si se cuenta cada una de ellas tantas veces como indique su multiplicidad. Demostraci´ on. Dado p ∈ C[X] de grado n, agrupando los factores X − z repetidos en la descomposici´on anterior, si z1 , . . . , zk , son las distintas ra´ıces de p, con multiplicidades m1 , . . . , mk , resulta p(X) = a(X − z1 )m1 · · · (X − zk )mk y por tanto m1 + · · · + mk = n. Pasemos ahora a caracterizar los polinomios irreducibles en R[X]. (***)

Sigue d´ andose una condici´ on de minimalidad: C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R. Con mayor precisi´ on, si un cuerpo algebraicamente cerrado contiene un subcuerpo isomorfo a R, debe contener un subcuerpo isomorfo a C.

´ CAP´ITULO 5. NUMEROS COMPLEJOS

156

Lema 5.3.10. Dado p ∈ R[X], si z ∈ C es tal que p(z) = 0, entonces p(z) = 0. En palabras, si un polinomio con coeficientes reales tiene una ra´ız compleja z, tambi´en su conjugado z es ra´ız del polinomio. Demostraci´ on. Por las propiedades de la conjugaci´on, si p(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n , y a0 , a1 , . . . , an ∈ R, para todo z ∈ C es p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n = a0 + a1 z + · · · + an z n = a0 + a1 z + · · · + an z n = p(z). En particular, p(z) = 0 implica p(z) = p(z) = 0. Corolario 5.3.11. Los polinomios irreducibles en R[X] son los polinomios lineales y los polinomios cuadr´ aticos de la forma a[(X − b)2 + c2 ], con a, b, c ∈ R, a 6= 0 y c 6= 0 (que son los polinomios cuadr´ aticos sin ra´ıces en R). Demostraci´ on. Los polinomios lineales son siempre irreducibles, y los polinomios cuadr´aticos del enunciado son irreducibles en R[X] por ser de segundo grado y no tener ra´ıces en R (n´otese que las ra´ıces en C de a[(X − b)2 + c2 ] son b + ic y b − ic). Cualquier polinomio irreducible q en R[X] es de esta forma. Pues si tiene alguna ra´ız en R, es lineal. Y si no, mirado en C[X], admitir´a al menos una ra´ız compleja b + ic con c 6= 0; pero tambi´en tendr´a por ra´ız b − ic seg´ un el lema. Por tanto, es divisible (en principio en C[X]) por (X − (b + ic))(X − (b − ic)) = (X − b)2 + c2 , que tiene coeficientes reales; el cociente de q por (X − b)2 + c2 es el mismo en C[X] que en R[X] (¿por qu´e?), luego debe ser un a ∈ R[X] con deg a = 0, o sea, una constante real no nula. Nota. Los polinomios de segundo grado irreducibles en R[X] son, equivalentemente, los de la forma AX 2 + BX + C con B 2 − 4AC < 0 (¿por qu´e?).

Ejercicios 21.1. Factorizar X 4 + 1 y X 4 + 4 en C[X], en R[X] y en Q[X]. 21.2. Descomponer en factores irreducibles el polinomio X n + X n−1 + · · · + X + 1 (i) en C[X]; (ii) en R[X]. 21.3. Mediante factorizaci´on, probar que todo polinomio real de grado impar admite al menos una ra´ız real. 21.4. Hallar dos n´ umeros complejos cuya suma sea 4 y cuyo producto sea 8. Indicaci´ on. ¿Qui´en es (X − a)(X − b)? 21.5. Si z1 , z2 son las dos soluciones de la ecuaci´on az 2 + bz + c = 0, donde a, b, c ∈ R, demostrar que z1n + z2n ∈ R para todo n ∈ N. Si la ecuaci´on es en particular z 2 − 2z + 2 = 0, calcular z1n + z2n . √ √ 21.6. Sabiendo que la ecuaci´on z 2 − ( 3 + i 3)z + p = 0 tiene por soluci´on z = −1 + i, hallar p y la otra ra´ız. 21.7. ¿Qu´e condici´on han de cumplir los n´ umeros reales a, b, c, d para que la ecuaci´on 3 2 z + az + (b + ic)z + b + id = 0 admita una ra´ız real? 21.8. Comprobar que z = 3 + 4i es una soluci´on de la ecuaci´on z 4 − 10z 3 + 62z 2 − 178z + 325 = 0 y hallar las otras tres ra´ıces. 21.9. Consid´erese la ecuaci´on z 3 − 2z + c = 0, donde c ∈ R. Hallar sus soluciones sabiendo que una de ellas est´a en la bisectriz del primer cuadrante del plano complejo.

5.4. FRACCIONES RACIONALES.

157

21.10. Resolver la ecuaci´on (iz + 1)5 = (1 − z)5 . 21.11. Demostrar que el polinomio (X +i)n −(X −i)n tiene todas sus ra´ıces reales y determinarlas. 21.12. (i) Demostrar que si a ∈ R, 2m

(z + a)

2m

− (z − a)

= 4amz

m−1 Y k=1

kπ z + a cotg 2m 2

2

2

 .

(ii) Usando el apartado anterior, probar que m−1 Y k=1

(

N Y

cotg

kπ = 1. 2m

zk significa z1 · · · zN .)

k=1

5.4.

Fracciones racionales. Fracciones simples.

Como se˜ nal´abamos al construir los n´ umeros racionales a partir de los enteros, la misma construcci´on puede llevarse a cabo partiendo de cualquier dominio de integridad, para sumergirlo en un ‘cuerpo de fracciones’. En particular, el m´etodo puede aplicarse al dominio K[X] de los polinomios en la indeterminada X con coeficientes en un cuerpo conmutativo K, obteni´endose as´ı el cuerpo de las fracciones racionales (tambi´en llamado ‘de las fracciones algebraicas’, ver [Pest]). No daremos ninguna demostraci´on, puesto que basta repetir las empleadas en la construcci´on de Q, cambiando simplemente ‘n´ umero entero’ por ‘polinomio’ (el lector puede comprobarlo en alg´ un caso para una mejor comprensi´on del proceso). Lema 5.4.1. Sea Φ = K[X] × (K[X] \ {0}), y ∼ la relaci´ on en Φ dada por (p1 , q1 ) ∼ (p2 , q2 ) cuando y s´ olo cuando p1 q2 = p2 q1 . Entonces ∼ es una relaci´ on de equivalencia en Φ. A los elementos de Φ los denominaremos fracciones algebraicas en la indeterminada X, con coeficientes en K. Definici´ on 5.4.2. El cuerpo de las fracciones racionales es el conjunto cociente K(X) = Φ/ ∼. Sus elementos, que denominaremos fracciones racionales, son las clases de equivalencia [(p, q)]. Nota sobre nomenclatura y notaci´ on. No hay una denominaci´on est´andar universalmente utilizada para los elementos de Φ y de K(X): es habitual llamar indistintamente a unos y otros ‘fracciones algebraicas’ o ‘fracciones racionales’. Para mayor complicaci´on, el s´ımbolo empleado normalmente para la relaci´on de equivalencia ∼ en Φ es =. Igualmente, se emplea la notaci´ on cl´asica p/q para los dos objetos distintos (p, q) ∈ Φ o [(p, q)] ∈ K(X). A veces, se dice que una fracci´ on racional admite una representaci´ on p/q para indicar que (p, q) es un representante de la clase de equivalencia que constituye dicha fracci´on. Es realmente notable que a pesar de todos estos ‘abusos’, no haya dificultades serias de entendimiento si se considera en cada situaci´on cu´al es el sentido adecuado al contexto. El lector queda advertido, pues, de que poco a poco iremos relajando la precisi´on adhiri´endonos a la pr´actica habitual, aunque en este primer apartado intentaremos ser fieles a la notaci´ on y nomenclatura introducidas. Como muestra, por ejemplo:

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158

Definici´ on 5.4.3. Una fracci´on algebraica p/q se dice irreducible si p y q son relativamente primos, es decir, si mcd(p, q) = 1. (Evidentemente, aqu´ı p/q ∈ Φ, aunque no se indique expl´ıcitamente.) Ejercicio. Probar que toda fracci´ on algebraica es equivalente a una fracci´ on irreducible; dicho de otro modo, que toda fracci´ on racional admite un representante que es una fracci´ on irreducible. Respuesta. Dados polinomios p, q ∈ K[X] con q 6= 0 y mcd(p, q) = d, si p = p1 d, q = q1 d, entonces p/q ∼ p1 /q1 y p1 /q1 es irreducible (¿por qu´e?). Definici´ on 5.4.4. Dadas

p 1 p2 , ∈ Φ, su suma es q1 q2 p1 p2 p1 q 2 + p 2 q 1 + = (∈ Φ), q1 q2 q1 q2

y su producto

p1 p2 p1 p2 = (∈ Φ). q1 q2 q1 q2 p 1 r 1 p 2 r2 p1 r1 p2 r2 Lema 5.4.5. Dados , , , en Φ tales que ∼ , ∼ , se verifica q1 s1 q2 s2 q1 s1 q2 s2 p 1 p2 r1 r2 + ∼ + , q1 q2 s1 s2 Definici´ on 5.4.6. Dadas dos fracciones racionales a la fracci´ on racional

p 1 p2 r1 r2 ∼ . q1 q2 s1 s2 p 1 p2 , ∈ K(X), llamaremos suma de ambas q1 q2

p1 p2 p 1 q 2 + p2 q 1 + = [∈ K(X)], q1 q2 q1 q2

y producto a la fracci´ on racional p1 p 2 p1 p2 = [∈ K(X)]. q1 q 2 q1 q2 Seg´ un el lema previo, la on suma (respectivamente, producto) de K(X)×K(X) en K(X)  aplicaci´ p1 q 2 + p 2 q 1 p1 p2 que hace corresponder a , ∈ K(X) × K(X) la fracci´on racional (respectivaq q q1 q2 1 2  p1 p2 mente, est´a bien definida. q1 q2 Proposici´ on 5.4.7. Con la suma y el producto que hemos definido, K(X) es un cuerpo conmutativo. Proposici´ on 5.4.8. La aplicaci´ on h : K[X] → K(X) dada por h(p) = p/1 ∈ K(X),

p ∈ K[X],

tiene las siguientes propiedades: (i) es inyectiva, h(p1 ) 6= h(p2 ) si p1 6= p2 ; (ii) transforma sumas en sumas, h(p1 + p2 ) = h(p1 ) + h(p2 ); (iii) transforma productos en productos, h(p1 p2 ) = h(p1 ) h(p2 ). Es decir, h es un isomorfismo entre K[X] y h(K[X]) por lo que, desde este momento, consideramos K[X] ⊆ K(X) y p = p/1 para todo p ∈ K[X].

5.4. FRACCIONES RACIONALES.

5.4.1.

159

LECTURA: funciones racionales.

Igual que hemos hablado de funciones polin´omicas, obtenidas mediante evaluaci´on de polinomios, ¿podemos definir funciones racionales mediante evaluaci´on de fracciones racionales? Ahora las cosas se complican: mientras que no hay ning´ un problema en evaluar p(x) para cada p ∈ K[X] y x ∈ K, no podemos decir lo mismo sobre la evaluaci´on de p/q ∈ K(X) en cualquier x ∈ K. Si bien hemos exigido que q 6= 0, eso no impide que puedan existir x ∈ K para los que q(x) = 0 (las posibles ra´ıces de q), lo que hace que p(x)/q(x) no tenga sentido en K. Es, pues, necesario ajustar nuestro planteamiento. Definici´ on 5.4.9. Una funci´ on racional es un cociente de funciones polin´ omicas. Por tanto, su dominio ser´a todo K salvo un n´ umero finito de elementos, a lo m´as (los que anulen al denominador). En consecuencia, dos representantes distintos de una misma fracci´on racional originan dos X +1 funciones racionales diferentes: por ejemplo, mientras que las fracciones racionales y X2 − 1 X −2 son iguales, las funciones racionales f y g, cocientes respectivamente de las funciones X 2 − 3X + 2 polin´omicas x + 1 y x2 − 1, x − 2 y x2 − 3x + 2, son distintas puesto que dom f = K \ {1, −1}, dom g = K \ {1, 2}. Evidentemente, en los x pertenecientes a la intersecci´ on de sus dominios 1 . ambas toman el mismo valor, igual a su vez a x−1 Esto es lo que sucede en general: Sea p/q ∈ Φ y r/s una fracci´on irreducible equivalente a p/q; el conjunto de ceros de s est´a contenido en el conjunto C de ceros de q, y la funci´on racional asociada a p/q es la restricci´on a K \ C de la funci´on racional asociada a r/s.

5.4.2.

Fracciones simples

Las fracciones racionales admiten una representaci´on ‘est´andar’ que es muy u ´til en ciertas aplicaciones. En lo que sigue, para simplificar los enunciados, suponemos que deg p ≤ deg q significa hh p = 0 o deg p ≤ deg q ii. Lema 5.4.10. Dada una fracci´ on p(X)/q(X), existen polinomios p0 (X), p1 (X) un´ıvocamente determinados tales que deg p1 < deg q y p(X) p1 (X) = p0 (X) + . q(X) q(X) Demostraci´ on. La igualdad del enunciado puede reescribirse p0 (X)q(X) + p1 (X) p(X) = , q(X) q(X) lo que significa, por definici´on, que

(****)

p(X)q(X) = [p0 (X)q(X) + p1 (X)]q(X), que equivale, cancelando q (o, para la implicaci´on inversa, multiplicando por q), a p(X) = p0 (X)q(X) + p1 (X). Por tanto, el lema es s´olo otra manera de enunciar la existencia y unicidad de la divisi´on de polinomios. (****)

Aqu´ı estamos mirando p/q como elemento de K(X).

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160

Lema 5.4.11. Si q(X) ∈ K[X] es de la forma q(X) = q1 (X)q2 (X) con mcd(q1 , q2 ) = 1, toda fracci´ on racional p(X)/q(X) puede descomponerse en suma de fracciones con denominadores q1 y q2 ; es decir, existen polinomios p1 y p2 tales que p(X) p1 (X) p2 (X) = + . q(X) q1 (X) q2 (X) Demostraci´ on. Puesto que existen dos polinomios u y v tales que uq1 + vq2 = 1, p p(uq1 + vq2 ) pv pu = + . = q q1 q2 q1 q2 Ejemplo. En R(X), 1 1 √ √ . = 2 X4 + 1 (X + 2X + 1)(X 2 − 2X + 1) √ √ Llamemos A = X 2 + 2X + 1, B = X 2 − 2X + 1. Puesto que √ √ B = (X − 2)X + 1, A = B + 2 2X, (algoritmo de Euclides ‘salvo constantes’) se sigue que √

1 = B − (X − 2)X = B − (X − √ √ X+ 2 X− 2 √ √ = B− A, 2 2 2 2

√

√ √ 1 X− 2 X− 2 √ )−A √ 2) √ (A − B) = B(1 + 2 2 2 2 2 2

y de aqu´ı √ √ √ √ (X + 2)B (X − 2)A 1 X+ 2 1 X− 2 1 √ √ √ √ = − = √ − √ . X4 + 1 2 2AB 2 2AB 2 2 X 2 + 2X + 1 2 2 X 2 − 2X + 1 —An´alogamente, para X +1 X +1 = , X3 − 1 (X − 1)(X 2 + X + 1) de X 2 + X + 1 = (X − 1)(X + 2) + 3 se sigue que X +1 X3 − 1

= =

1 X + 1 1 (X + 1)(X + 2) 1 (X − 1) + 2 1 (X 2 + X + 1) + (2X + 1) − = − 2 3 X −1 3 X +X +1 3 X −1 3 X2 + X + 1 1 2 1 2X + 1 − . 3 X − 1 3 X2 + X + 1

Este segundo ejemplo sugiere que el lema anterior puede refinarse cuando el numerador es un polinomio de menor grado que el denominador . Lema 5.4.12. Si q(X) ∈ K[X] es de la forma q(X) = q1 (X)q2 (X) con mcd(q1 , q2 ) = 1, toda fracci´ on algebraica p(X)/q(X) con deg p < deg q puede descomponerse, de manera u ´ nica, en suma de fracciones con denominadores q1 y q2 y numeradores p1 y p2 tales que deg p1 < deg q1 , deg p2 < deg q2 ; es decir, existen polinomios un´ıvocamente determinados p1 y p2 tales que deg p1 < deg q1 , deg p2 < deg q2 y p(X) p1 (X) p2 (X) = + . q(X) q1 (X) q2 (X)

5.4. FRACCIONES RACIONALES.

161

Demostraci´ on. Sean p1 y p2 como en el lema anterior. Si deg p1 ≥ deg q o deg p2 ≥ deg q, dividiendo ser´ıa p1 = c1 q1 + r1 , p2 = c2 q2 + r2 , deg r1 < deg q1 , deg r2 < deg q2 o nulos. Haciendo operaciones p = (c1 +c2 )q +r1 q2 +r2 q1 ; deg(r1 q2 ) < deg q1 +deg q2 = deg q, deg(r2 q1 ) < deg q2 +deg q1 = deg q, lo que significa que c1 + c2 es el cociente de la divisi´on de p por q, necesariamente nulo porque deg p < deg q (el resto ser´ıa r1 q2 + r2 q1 ). Por tanto p(X) r1 (X) r2 (X) = + , q(X) q1 (X) q2 (X)

deg r1 < deg q1 , deg r2 < deg q2 .

La unicidad se sigue de que si tambi´en p(X) s1 (X) s2 (X) = + , q(X) q1 (X) q2 (X)

deg p1 < deg q1 , deg s2 < deg q2 ,

se deduce que r1 q2 + r2 q1 = s1 q2 + s2 q1 , es decir, (r2 − s2 )q1 = (s1 − r1 )q2 , y como q1 y q2 son relativamente primos, q1 |(s1 − r1 ); pero entonces s1 − r1 = 0, pues en caso contrario, deg q1 ≤ deg(s1 − r1 ) ≤ m´ax{deg s1 , deg r1 } < deg q1 , imposible. Por lo mismo, r2 − s2 = 0. Lema 5.4.13. Toda fracci´ on racional de la forma p(X)/[q(X)]m puede expresarse como p(X) p1 (X) pk (X) pm (x) = p0 (X) + + ··· + + ··· + m k [q(X)] q(X) [q(X)]m [q(X)] con deg pk < deg q, 1 ≤ k ≤ m. Demostraci´ on. Dividiendo repetidamente por q se obtiene p = c1 q + pm = (c2 q + pm−1 )q + pm = · · · = (· · · (p0 q + p1 )q + · · · + pm−1 )q + pm , con deg pk < deg q, 1 ≤ k ≤ m, lo que equivale a la igualdad del enunciado. Nota. Los polinomios p0 , p1 , . . . , pm est´an un´ıvocamente determinados (probarlo como ejercicio). Definici´ on 5.4.14. Un elemento de K(X) es una fracci´ on simple si puede escribirse en la forma k p(X)/[q(X)] , donde q(X) es irreducible en K[X] y el grado de p(X) ∈ K[X] es estrictamente menor que el de q(X). a Ejemplo. En C(X) las fracciones simples son s´olo de la forma , con a, b ∈ C. En R(X) (X − b)k a1 + a2 X aparecen adem´as fracciones del tipo , a1 , a2 , b, c ∈ R. [(X − b)2 + c2 ]k Proposici´ on 5.4.15 (Descomposici´on en fracciones simples). Todo elemento p/q de K(X) admite una expresi´ on u ´nica como suma de un polinomio en X m´ as una suma de fracciones simples. Demostraci´ on. Es consecuencia de los lemas anteriores. Ejercicio. Simplificar y descomponer en fracciones simples en C(X) y en R(X) las siguientes fracciones: (X + 1)3 X 3 − 27 X 2 + 5X + 6 (a) ; (b) ; (c) ; X2 − 1 X2 − 9 X2 − 4 2X − 3 1 X 5 + 5X 3 − X + 6 (d) ; (e) ; (f) . (X − 1)(X − 2)(X − 3) (X 2 − 9)2 X3 − 1 Nota. Los programas de c´alculo simb´olico (maple, Mathematica) permiten generalmente efectuar estas operaciones, lo que no es excusa para desentenderse del asunto e ignorar lo que hay entre el input y el output. Por ello, recomendamos calcular ‘a mano’ los coeficientes num´ericos pedidos en alguno de los ejercicios anteriores, y plantear cuando menos la forma del resultado en todos los dem´as. Solo despu´es es aconsejable pasar al ordenador. (Para maple, la sintaxis es hh convert((a0 + a1 ∗ x + · · · )/(b0 + b1 ∗ x + · · · ),parfrac,x);ii y para Mathematica, hh Apart[(a0 + a1 x + · · · )/(b0 + b1 x + · · · )]ii)

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162

5.5.

LECTURA: N´ umeros complejos y geometr´ıa plana.

En los ejercicios de un apartado anterior hemos apuntado t´ımidamente la interrelaci´on entre la geometr´ıa del plano y el c´alculo con n´ umeros complejos. Lamentablemente, no podemos extendernos en esta direcci´on, pero como un aut´entico regalo para cualquier aficionado a las Matem´aticas proponemos la lectura de un libro muy especial, Liang-shin Hahn: Complex Numbers and Geometry. Mathematical Association of America, 1994., (que contiene resultados geom´etricos m´as profundos que los que aparecen aqu´ı), y ofrecemos una lista de ejercicios suplementarios ‘fuera de con-curso’ para esos ratos en los que apetece salirse de la rutina (algunos de ellos pertenecen a otro libro interesante en este aspecto, [Wil]).

Ejercicios 22.1. Desigualdades triangulares. Probar que la longitud del lado de un tri´angulo es menor que la suma de las longitudes de los otros dos y mayor que su diferencia. 22.2. Mediatriz de un segmento. Probar que “el lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos A y B es la recta perpendicular al segmento AB por su punto medio.” 22.3. Demostrar que: (i) Si z1 + z2 + z3 = 0 y |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1, los puntos z1 , z2 y z3 son v´ertices de un tri´angulo equil´atero inscrito en la circunferencia unidad. (ii) Si z1 + z2 + z3 + z4 = 0 y |z1 | = |z2 | = |z3 | = |z4 |, los puntos z1 , z2 , z3 y z4 o bien son v´ertices de un rect´angulo o bien coinciden de dos en dos. 22.4. ¿Bajo qu´e condici´on tres puntos z1 , z2 y z3 , distintos dos a dos, estar´an sobre una misma recta? 22.5. ¿Bajo qu´e condici´on cuatro puntos z1 , z2 , z3 y z4 , distintos dos a dos, estar´an sobre una misma circunferencia o sobre una misma recta? 22.6. Demostrar que las alturas de un tri´angulo son concurrentes (es decir, que las tres se cortan en un mismo punto, el ortocentro del tri´angulo). 22.7. ¿Puede probarse algebraicamente que un paralelogramo tiene las diagonales perpendiculares si y s´olo si es un rombo? ¿Y que tiene las diagonales iguales si y s´olo si es un rect´angulo?

Bibliograf´ıa [A-K]

Aleksandrov. A. D.; Kolmogorov, A. N.; Laurentiev, M. A. & al.: La matem´ atica: su contenido, m´etodos y significado (vol. I). Alianza Editorial, Madrid, 1973. Cit. p. 128, 155

[ApC]

Apostol, T.M.: Calculus, vol. I (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1989. Cit. p. 141, 142

[Ap]

Apostol, T.M.: An´ alisis Matem´ atico (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1991. Cit. p. 129, 141, 150, 153

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Feynman, R. & al.: F´ısica. Volumen I: Mec´ anica, radiaci´ on y calor. Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, Delaware, 1987. Cit. p. 150

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´ Hern´ andez, E.: Algebra y geometr´ıa. Addison-Wesley/UAM, Madrid, 1994. Cit. p. 141

[Lieb]

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163

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BIBLIOGRAF´IA