5 6 7
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View 5 6 7 as PDF for free.
More details
- Words: 4,945
- Pages: 70
Phần II :
Lý thuyết thặng dư và ứng dụng
GVHD : Ngô Thu Lương Nhóm 11 : Nguyễn Dạ Đăng Đặng Ngọc Hải Lê Sỹ Linh Lê Quang Minh Thái Thiện Phúc
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 1
Lý thuyết thặng dư và ứng dụng
6.5 6.6
Thặng dư và định lý thặng dư. Hệ quả của định lý thặng dư
6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5
Tính tích phân lượng giác xác định Tích phân không xác định Tích phân theo nhánh cắt Nguyên tắc Argument và định lý Rouché Tính tổng chuỗi vô hạn
6.7
Ứng dụng lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 2
6.5 Thặng dư và định lý thặng dư
Chúng ta đã thấy ở phần trước nếu 1 hàm phức ƒ có 1 điểm bất thường cô lập tại 1 điểm z0, thì ƒ có thể được khai triển thành chuỗi Laurent : ∞
a−2 a −1 f ( z) = ∑ a k ( z − z 0 ) = ⋅ ⋅ ⋅ + + + a 0 + a1 ( z − z 0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 z − z0 (z − z0 ) −∞ mà hội tụ tại mọi điểm z lân cận z0. Cụ thể hơn, việc khai triển là xác định ở 1 số lân cận không tồn tại của z0 hoặc trong 1 miền hở 0< │z-z0│< R. Thặng dư: hệ số a-1 của 1/(z-z0) trong chuỗi Laurent ở trên được gọi là thặng dư của hàm phức ƒ tại điểm cô lập bất thường z0 ký hiệu là: a-1 =Res( ƒ(z),z0) k
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 3
Mặt khác nếu các phần của chuỗi Laurent xác định với 0<│z-z0│
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 4
Ví dụ 1 Thặng dư
Ở phần (b) của ví dụ 2 trong mục 6.4 chúng ta thấy khi z=1 là 1 cực cấp 2 của hàm ƒ(c)=1/(z-1)2(z-3) .từ chuổi laurent thu được trong ví dụ trước là hợp lý khi bỏ đi vùng lân cận của z=1 xác định khắp 0<|z-1|<2
Chúng ta thấy hệ số 1/(z-1) là a-1 =Res(ƒ(z),1)=-1/4
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 5
Định lý 6.14:Thặng dư tại 1 cực đơn:
Nếu ƒ có 1 cực đơn tại z=z0 thì (1)
Chứng minh: Ta có : ƒ có 1 cực đơn tại z=z0 thì khai triển Laurent hội tụ tại 1 miền hở 0<│z-z0│
Với a-1≠0. Nhân cả 2 vế với (z-z0) và lấy giới hạn khi z->z0 ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 6
Định lý 6.15: Thặng dư tại 1 cực cấp n.
Nếu ƒ có 1 cực cấp n tại z=z0 thì (2)
Chứng minh: Vì ƒ có 1 cực cấp n tại z=z0, khai triển Laurent hội tụ tại 1 miền hở 0<│z-z0│
Với a-n ≠0, nhân cả hai vế với (z-z)n ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 7
rồi đạo hàm n-1 lần theo biến z:
Khi z − > z0 thi
Giải phương trình trên để tìm a-1 ta có điều phải chứng minh.Công thức (2) trở thành (1) khi n=1
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 8
Ví dụ 2.Thặng dư tại 1 cực Cho hàm có một cực đơn tại z=3 và một cực cấp 2 tại z=1. sử dụng định lý 6.14 và 6.15 tìm thặng dư Giải Vì z=3 là một cực đơn .chúng ta sử dụng (1) Tại cực cấp 2 ta có kết quả trong (2)
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 9
Khi ƒ không phải là 1 hàm hữu tỉ, tính thặng dư theo công thức (1) hoặc (2) có thể sẽ không hợp lý. Chúng ta có thể lựa chọn công thức tính thặng dư.
Để nhận được kết quả trên chúng ta sẽ định nghĩa zero cấp 1, định nghĩa đạo hàm và công thức (1). Từ hàm h có 1 zero cấp 1 tại z0, ta phải có h(z0)=0 và h’(z0)≠0. Lại có theo định nghĩa đạo hàm ở phần trước,
Thế vào (1) ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 10
Ví dụ 3. sử dụng (4) để tính thặng dư Tính ƒ(z)=1/z4+1 Giải Ta có mẫu thức z4+1=0 có 4 cực đơn.theo công thức (4) mục 1.4 ta có z1=eΠi/4,z2=e3Πi/4,z3=e5Πi/4,z4=e7Πi/4
Chúng ta sử dụng công thức với công thức Euler’s (6) mục 1.6 ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 11
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 12
Định lý 6.16:Định lý thặng dư Cauchy.
Cho D là 1 miền kín và C là 1 đường cong kín đơn nằm hoàn toàn trong D. Nếu ƒ là 1 hàm giải tích trong và trên C, ngoại trừ 1 số hữu hạn điểm bất thường z1,z2,…,zn trong C thì Chứng minh: Giả thiết C1,C2 ,…,Cn là nhưng đường tròn có tâm tại z1 ,z2 ,…,zn không cắt nhau, và hơn nữa các đường tròn có bán kính đủ nhỏ để nằm riêng biệt bên trong đường cong kín đơn C. Theo hình bên ta thấy .Trong (20) của phần 6.3 ta thấy
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 13
Ví dụ 4. Tính bằng định lý thặng dư Tính với (a). Đương cong C là hình chữa nhật với x=0,x=4, y=-1,y=1 (b).Đường cong C là đường tròn |z|=1 Giải Cả hai z=1 và z=2 là cực bên trong hình chữa nhật nên ta có
Chúng ta thấy thặng dư trong ví dụ 2 b, khi chỉ có 1 cực z=1
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 14
Ví dụ 5. Tính bằng định lý thặng dư Tính
với đường cong C là một đường tròn |z-i|=2
Giải Bằng cách khai triển mẩu thức z2+4=(z+2i)(z-2i) chúng ta thấy tích phân có cực đơn tại -2i và 2i.vì chỉ có 2i là nằm bên trong đường cong .từ (5) ta có nhưng Vì thế ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 15
Ví dụ 6. Tính giá trị thặng dư Tính đường cong C là một đường tròn |z| =2 Giải Bằng cách khai triển mẩu thức z4+5z3=z3 (z+5) chúng ta thấy tích phân có cực đơn tại z=0 và z=-5.vì chỉ có z=0 là nằm bên trong đường cong và từ (5) và (2) ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 16
6.6 Hệ quả của định lý thặng dư:
Ta sẽ dùng lý thuyết thặng dư để tính 1 số tích phân xác định có dạng (1) (2)
và
(3)
Với F ở (1) và ƒ ở (2),(3) là các hàm hữu tỷ. Với hàm hữu tỷ ƒ(x)=p(x)/q(x) trong (2),(3) ta có các đa thức p,q không có nhân tử chung.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 17
6.6.1 Tính tích phân lượng giác xác định: Tích phân có dạng: ∫ F (cosθ , sin θ )dθ 2∏
0
Cách đơn giản nhất là chuyển dạng tích phân lượng giác thành dạng tích phân phức, với đường cong C là đường tròn │z│=1 có tâm tại O. Tham số hóa đường cong với z=eiθ ,0≤θ≤2л ta có:
Từ dz=ieiθdθ và z-1 =1/z=eiθ, ta có:
Ta chuyển hóa được tích phân lượng giác xác định thành tích phân đường bằng cách thay dθ, cosθ và sinθ theo công thức trên.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 18
Ví dụ. Tích phân thực lượng giác
Tính Giải Chúng ta sử dụng (4) để biến tích phân lượng giác trở thành tích phân đường cong
Đơn giản ta được Chúng ta khai triển đa thức z2+4z+1=(z-z1)(z-z2) với z1=−2−
và z2 = −2+
3
nên tích phân có thể viết
3
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 19
Vì chỉ có z2 là nằm bên trong đường tròn C nên
Khi tính thặng dư cần chú ý z2 là một cực cấp 2 và chúng ta sử dụng (2) của phần 6.5
Do đó
Cuối cùng
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 20
6.6.2 Tích phân mở rộng
Tích phân có dạng: Giả thiết y=ƒ(x) là 1 hàm thực đuợc xác định và liên tục trong miền [0,∞).Trong cách tính thông thường thì tích phân mở rộng được chuyển thành tích phân xác định bằng giới hạn
Nếu giới hạn trên là tồn tại thì tích phân I1 được gọi là hội tụ; nếu không tích phân0 I1 được gọi là phân kỳ. f ( x ) dx ∫ Tương tự với tích phân I2= −∞ ta sẽ có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 21
Cuối cùng nếu hàm ƒ liên tục trên miền (-∞,+∞), thì sẽ được xác định
Với cả I1,I2 đều hội tụ. Nếu 1 trong 2 tích phân I1 hoặc I2 phân kỳ thì là phân kỳ. Một chú ý quan trọng là vế phải của biểu thức trên không giống với công thức:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 22
Với tích phân hội tụ, giới hạn ở công thức (5) và (6) phải tồn tại độc lập. Trong trường hợp chúng ta đã biết tích phân là hội tụ ta có thể tính nó bằng công thức
Mặt khác giới hạn ở công thức (9) có thể tồn tại cho dù tích phân mở rộng là phân kỳ. VD: tích phân là phân kỳ do . dù vậy theo (9) ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 23
Giới hạn ở công thức (9), nếu tồn tại được gọi là giá trị Cauchy (P.V.) của tích phân và được ký hiệu:
Trong (10) chúng ta có thể biểu diễn dưới dạng
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 24
Giá trị Cauchy
Khi 1 tích phân ở dạng (2) hội tụ, giá trị Cauchy của nó chính là kết quả của tích phân. Nếu tích phân là phân kỳ thì chúng có thể vẫn có 1 giá trị Cauchy. Một vấn đề cuối về giá trị Cauchy: Giả thiết ƒ(x) liên tục trên miền (-∞,+∞) và là 1 hàm chẵn ( ƒ(-x)=ƒ(x) ) thì đồ thị của nó đối xứng qua trục y và :
và
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 25
Từ (12) và (13) chúng ta kết luận nếu giá trị Cauchy tồn tại thì cả 2 tích phân đều hội tụ. Giá trị của tích phân là: và
Để tính tích phân với hàm hữu tỷ f(x)=p(x)/q(x) liên tục trên (-∞,+∞), bằng lý thuyết thặng dư chúng ta thay x một biến phức z và tích phân của hàm phức ƒ trên đường C nằm trong khoảng [-R,R] trong hệ trục thực và 1 nửa đường tròn CR có bán kính lớn đủ để bao quanh tất cả các điểm cực của f(z)=p(z)/q(z) trong nửa mặt phẳng Im(z)>0. Theo định lý 6.16 ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 26
Với zk, k=1,2…n biểu thị các cực trong nửa mặt phẳng trên. Chúng ta có thể chỉ ra rằng tích phân khi R->∞ và ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 27
Ví dụ 2.Cauchy của một tích phân mở rộng
Tính giá giá trị cauchy của
Giải Ta có f(z) = 1/(z2+1)(z2+9) với (Z2+1)(z2+9)=(z=i)(z+i)(z-3i)(z+4i) Chúng ta cần lấy diểm C là đường viền đóng bao gồm khoảng [−R, R] trên trục x và hình bán nguyệt CR có bán kính R > 3.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 28
=I1+I2
Và
Tại cực đơn z=i và z=3i.ta có tương ứng Res(f(z), i) = và Res(f(z), 3i)= 1 1 − Vì vậy
16 i
48i
Chúng ta giả sử R->∞ trong (15).chúng ta sử dụng bất đẳng thức (10) của phần 1.2 lưu ý trên đường viền CR
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 29
Từ chiều dài L Của hình bán nguyệt là iR.nó đi theo sau Từ định lý 5.3 của phần 5.2 ta có
Kết quả cuối cùng |I2| → 0 tại R → ∞,và chúng ta kết luận limR→∞ I2 = 0.từ (15) limR→∞ I1 = π/12;nói cách khác
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 30
Định lý 6.17 Giá trị của tích phân khi R->∞ Giả thiết f(z)=p(z)/q(z) là 1 hàm hữu tỷ, với bậc của đa thức p(z) là n và bậc của đa thức q(z) là m ≥ n+2. Nếu CR là 1 nửa đường tròn z=Reiθ, 0≤θ≤л, thì tích phân khi R->∞. Nói 1 cách khác, tích phân đường theo CR tiến đến 0 khi R->∞ nếu đa thức ở mẫu có bậc nhỏ hơn ít nhất là 2 so với đa thức ở tử.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 31
Ví dụ 3.cauchy P.V của tích phân mở rộng Ước lượng giá trị chính cauchy của Giải Bằng cách kiểm tra tích phân chúng ta thấy những điều kiên trong 6.17 là thỏa mãn .hơn nửa chúng ta biết từ ví dụ 3 ở muc 6.5 ta có f(z) = 1/(z4 + 1) có một cực đơn trong nửa mặt phẳng tại z=eΠi/4 và z=e3Πi/4 thặng dư tại cực là và
theo (14)
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 32
∞
Tích phân có dạng ∫ f ( x) cos α xdx và −∞
∞
Vì tích phân mở rộng có dạng ∫ f ( x) sin α xdx thường −∞ gặp trong các ứng dụng của phân tích Fourier nên người ta còn gọi nó là tích phân Fourier. Tích phân Fourier xuất hiện trong phần thực và phần ảo của tích phân không xác định theo công thức Eule eiαx = cosαx + isinαx, với α là số thực dương, chúng ta có thể viết
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 33
Hai tích phân ở vế phải luôn hội tụ. Giả thiết ƒ(x)=p(x)/q(x) là 1 hàm hữu tỷ liên tục trên (-∞,+∞). Khi đó cả 2 tích phân ở vế phải có thể được tính bằng cách xét đến tích phân phức , với α>0, và đường cong C chứa khoảng [-R,R] trên hệ trục tọa độ thực và nửa đường tròn CR có bán kính đủ lớn để chứa tất cả các cực của f(z) ở nửa mặt phẳng trên
Ta sẽ cho rằng điều kiện đủ để tích phân đường theo CR tiến đến 0 khi R->∞
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 34
Định lý 6.18 Giá trị của tích phân khi R->∞
Giả thiết f(z)=p(z)/q(z) là 1 hàm hữu tỷ, với bậc của đa thức p(z) là n và bậc của đa thức q(z) là m ≥ n+2. Nếu CR là 1 nửa đường tròn z=Reiθ, 0≤θ≤л, và α>0 thì tích phân khi R->∞.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 35
Ví dụ 4 sử dụng tính đối xứng Tính giá trị cauchy của Giải cần lưu ý đến cận lấy tích phân trong đó tích phân đã cho không phải dạng -∞ đến ∞ nên ta đưa về dạng -∞ đến ∞ để giải .vì hàm (x.sinx/x2+9) là hàm chẳn nên ta có
Với α=1 chúng ta có tích phân đường viền
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 36
Với C là chu tuyến được biểu diễn trong hình 6.12 Theo định lý 6.16
Với f(z)=z/(z2+9) và
Từ (4) của mục 6.5,khi đó từ định lý 6.18 chúng ta kết luận khi R→∞
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 37
Đặt thành phương trinh thực và ảo và Cuối cùng ta có giá trị của tích phân.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 38
Định lý 6.19 Giá trị của tích phân khi r->o
Giá trị của tích phân khi r->0 Giả thiết hàm f có cực đơn tai z=c trên hệ tọa độ thực. Nếu CR là 1 đường cong có phương trình z=c+reiθ, 0≤θ≤л, khi đó
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 39
Chứng minh: Từ f có 1 cực đơn tại z=c theo chuỗi laurent ta có
Với hệ số a-1 = Res(f(z),c) và g khả tích tại c. Sử dụng chuỗi Laurent và tính định hướng của Cr ta có
Trước hết ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 40
Lại có g khả tích tại c và nó liên tục tại điểm đó và lân cận của nó; như vậy tồn tại 1 điểm M sao cho │g(c+reiθ)│≤M . Ta sẽ có
Theo bất đẳng thức cuối ta có limr->oI2 │=0 hay limr>oI2 =0 .Lấy giới hạn khi r->0 ta có điều phải chứng minh.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 41
Ví dụ: Sử dụng đường bao lõm Tính giá trị Cauchy của tích phân Giải Tích phân cho theo dạng (3),chúng ta sử dụng tích phân
Hàm ƒ(z) =1/z(z2-2z+2) có cực tại z=0 và tại z=i+1 trong nửa mặt phẳng trên. Đường C theo hình bên. Ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 42
Với .Nếu ta lấy giới hạn của (20) khi R->∞ và khi r->0, theo định lý 6.18 và 6.19 ta có
Lại có và Vậy
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 43
Dùng e-1+i=e-1(cos1+ isin1), rút gọn so sánh phần thực và phần ảo ta có đẳng thức
Và
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 44
6.6.3 Tích phân theo nhánh cắt
Điểm rẽ tại z=0. Ta sẽ khảo sát tích phân dạng trong đó hàm số tích phân là 1 hàm đại số. Những tích phân này sẽ cần 1 dạng đường đặc biệt vì ƒ(x) được chuyển thành hàm phức, kết quả của hàm số tích phân ƒ(z), ngoài các cực của nó, có sự phụ thuộc tại z=0. Ta sẽ khảo sát 1 trường hợp đặc biệt của tích phân thực
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 45
Với α là 1 hằng số thực nằm trong khoảng 0<α<1. Chú ý rằng khi α=1/2 và thay x bằng z, hàm số tích phân của (21) trở thành hàm đa trị
Nguyên nhân là do với điểm rẽ khi z1/2 có 2 giá trị với mọi z≠0. Nếu hình dung đi dọc theo 1 đừong tròn quanh gốc z=0, bắt đầu từ 1 điểm z=reiθ, r>0, sẽ trở lại điểm ban đầu z, nhưng góc θ đã tăng lên 1 giá trị bằng 2л. Một cách tưong tự, giá trị của z1/2 thay đổi từ z1/2= trỏ thành 1 giá trị khác hay 1 nhánh khác:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 46
Theo đó ta có thể làm z1/2 có giá trị duy nhất bằng cách cho góc θ biến thiên trong 1 đoạn 2л. Đối với (22) ta chọn trục dương x làm nhánh cắt, hay nói 1 cách khác là cho góc θ chạy trong đoạn từ 0<θ<2л, ta có thể đảm bảo là biểu thức có giá trị đơn.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 47
6.6.4 Nguyên tắc Argument và định lý Rouché
Định lý 6.20: Nguyên tắc Argument Cho C là 1 đường cong kín nằm hoàn toàn trong miền D. Giả thiết f là hàm giải tích trong miền D ngoại trừ các cực tới hạn nằm trong C, và f(z)≠0 trên C. Ta có
Với N0 là tổng số zeros của f nằm trong C và NP là tổng số cực của f nằm trong C. Để chọn N0 và NP , số zeros và cực được tính theo thứ tự của chúng hoặc vô hạn.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 48
Định lý 6.21: Định lý Rouché
Cho C là 1 đường cong kín nằm hoàn toàn trong miền D. Giả thiết ƒ và g là các hàm giài tích trong miền D. Nếu bất đẳng thức │ƒ(z)-g(z)│<│ƒ(z)│ đúng với mọi z trên C, thì hai hàm ƒ và g có cùng số zeros ( tính theo thứ tự của chúng hoặc vô hạn).
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 49
6.6.5 Tính tổng chuỗi vô hạn
Dùng cot лz: Trong 1 số trường hợp đặc biệt, thặng dư tại 1 điểm cùa hàm lượng giác cot лz có thể cho chúng ta tìm đựoc tổng chuỗi vô hạn. Trong phần 4.3 chúng ta đã biết các zeros của sinz là những số thực z=kл, k=0,±1,±2… Như vậy hàm cot лz có cực đơn tại các zeros của sin лz, với лz=kл, hay z=k,k=0,±1,±2..Nếu hàm đa thức p(z) có các hệ số thực (i), có bậc n≥2 (ii),và ko có số zeros nguyên (iii), thì hàm có vô hạn cực đơn z=0,±1,±2… từ cot лz và 1 số hữu hạn các cực zp1 ,zP2 ,…,zPr từ số zeros của p(z). Hình chữ nhật C có các đỉnh , với n đủ lớn để C chứa các cực đơn z=0,±1,±2…,±n và các cực zP1 ,zP2,…,zpr.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 50
Theo định lý thặng dư
Ta có
và n->∞ (38) trở thành .Như vậy
Theo phần 6.5( với g(z)=лcos лz/p(z),h(z)=sinлz,h’(z)= лcos лz) ta có thể dễ dàng tính thặng dư tại các cực 0,±1,±2…:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 51
Kết hợp (40) và (39) ta có điều cần phải chứng minh
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 52
Dùng csc лz
Nếu p(z) là 1 hàm đa thức và thỏa mãn các điều kiện (i) và (iii), thì hàm
Có vô số các cực đơn z=0,±1,±2… từ csc лz và 1 số hữu hạn các cực zP1 ,zP2 ,…,zPr từ zeros của p(z). Trong trường hợp này ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 53
6.7 Ứng dụng:
Trong 1 số vấn đề của toán học hay kỹ thuật ta có thể dùng biến đổi Laplace cho hàm số thực ƒ xác định với t≥0,
Trong ứng dụng này ta gặp phải 2 vấn đề cơ bản: Bài toán thuận: cho hàm f(t) thỏa mãn điều kiện bài toán tìm dạng Laplace của nóNếu tích phân (1) là hội tụ, kết quả là 1 hàm của s. Bài toán ngược: Cho trước dạng biến đổi F(s) tìm hàm ƒ(t) Hàm F(s) được gọi làm dạng biến đổi Laplace ngược và ký hiệu là
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 54
Biến đổi tích phân: Giả thiết ƒ(x,y) là 1 hàm 2 biến thực. Tích phân theo 1 biến nào đó của hàm ƒ. Ví dụ ta giữ coi y là hằng số tích phân theo biến x ta có Như vậy 1 tích phân xác định như biến đổi 1 hàm f của biến x thành 1 hàm theo biến α. Chúng ta nói rằng
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 55
là 1 biến đổi tích phân của hàm ƒ. Dạng tích phân xuất hiện ở dạng cặp đôi. Có nghĩa rằng ta có thể tìm lại hàm f ban đầu bằng 1 phép biến đổi tích phân khác
gọi là biến đổi ngược.Hàm K(α,x) trong (2) và hàm H(α,x) trong (3) gọi là nhân tử của phép biến đổi. Chú ý rằng nếu α thay cho 1 biến phức, tích phân xác định (3) trở thành 1 tích phân đường.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 56
Biến đổi Laplace: Giả thiết ở tích phân (2) thay ký hiệu α bằng ký hiệu s, hàm f là 1 hàm số thực xác định trong khoảng [0,+∞) thì tích phân (2) là 1 tích phân không xác định và được tính bằng giới hạn: Nếu giới hạn trên tồn tại, chúng ta nói rằng tích phân trên là tồn tại hay hội tụ; nếu giới hạn trên không tồn tại tích phân trên cũng không tồn tại hay là phân kỳ. Hàm K(s,t)=e-st , với s là 1 biến phức, là nhân tử ở (4) cho phép biến đổi Laplace được xác định bởi (1). Tích phân để thực hiện phép biến đổi Laplace có thể phân kỳ đối với 1 số dạng của hàm ƒ.VD và ko tồn tại.Mặt khác giới hạn (4) sẽ chỉ tồn tại với 1 vài giá trị cụ thể của biến s.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 57
Ví dụ 1 .định lý tồn tại Biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace của f(t)=1 , t ≥ 0 là
Nếu s là một biến phức, s = x + iy, khi đó ta có
Từ (6) ta thấy trong (5) e-sb →0 khi b→∞ nếu x>0.nói cách khác,(5) với diều kiện Re(s) > 0.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 58
Định lý 6.23 Hàm giải tích của biến đổi Laplace Giả thiết hàm f liên tục từng phần trên [0,∞) và biến thiên theo quy luật hàm mũ c với t>T. Hàm biến đổi Laplace của f:
là 1 hàm giải tích trên nửa mặt phẳng xác định bởi Re(s)>c.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 59
Định lý 6.24 Biến đổi Laplace ngược Nếu ƒ và ƒ’ liên tục từng phần trên [0,∞) và ƒ biến thiên theo quy luật hàm mũ c với t≥0, và F(s) là hàm biến đổi Laplace, thì hàm biến đổi Laplace ngược là
với γ >c.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 60
Định lý 6.25: Biến đổi Laplace ngược Giả thiết F(s) là hàm biến đổi Laplace có 1 số hữu hạn các cực s1 ,s2 ,…,sn phía bên trái đường thẳng Re(s)= γ nằm song song với Oy và C là nửa đường tròn theo hình vẽ. Nếu sF(s) được nằm trong miền khảo sát khi R->∞, thì
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 61
Ví dụ 2 Biến đổi Laplace ngược Thính £-1{1/z3},Re(s)>0 Giải Coi như một hàm của một biến phức s, khi đó hàm F(s)=1/z3 có một cực cấp 3 tại z=0,vì vậy theo (9) và (2) cuẩ mục 6.5 ta có f(t)=£-1{1/s3}=Res(est1/s3,0)= =
=t2/2
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 62
Ví dụ: Biến đổi laplace ngược Tính Giải Tính thặng dư ở cực đơn khi s=1 và s=3. ta cần chú ý sau khi tổ hợp số mũ của hàm và thay thế bằng t-2 thay vào (16) ta được:
Vì vậy từ (17),(9) và (1) trong mục 6.5
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 63
=-1/2et-2+1/2e3(t-2)
Nói cách khác
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 64
Biến đổi Fourier Giả thiết ƒ(x) là 1 hàm số thực xác định trong khoảng (-∞,+∞). Ta có hàm biến đổi Fourier
Và hàm biến đổi Fourier ngược
Ta thấy ở đây hàm K(α,x)=eiαx và H(α,x)=e-iθx/2Π, và α là biến thực.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 65
Ví dụ 4. biến đổi chuổi Fourier Tìm biến đổi Fourier f(x)=e-|x| Giải Đồ thị của ƒ là hình bên,
từ miền xác định mở rộng của ƒ trong (21),từ công thức (19) ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 66
Ta tính tích phân không xác định I2
Với limb→∞e-bcosbα=0 và limb→∞e-bsinbα=0 vớib>0 Tính tích phân I1
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 67
Cộng I1 và I2 cho ta giá trị Fourier (22)
hoặc
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 68
Chú ý:
(i) Hai điều kiện liên tục từng phần và biến thiên theo quy luật là điều kiện đủ nhưng có thể không cần cho sự tồn tại của F(s). VD hàm ƒ(t)=t-1/2 không liên tục từng phần trong khoảng [0,∞) nhưng vẫn tồn tại. (ii) Ta thừa nhận hàm F(s) có 1 số hữu hạn các cực trong mặt phẳng phức. Nó thường xuất hiện trong trường hợp F(s) tạo thành bởi 1 phương trình vi phân thông thường. Trong cách giải xung quanh phương trình vi phân thành phần thường hiếm gặp hàm F(s) với vô hạn các cực. Trong trường hợp đó thì giá trị của tích phân sẽ bằng tổng giá trị các thặng dư. (iii) (1) còn dùng để tính dạng nghịch đảo của 1 số hàm phức tạp như F(s)=(s2 +a2 )-1/2 (iv) Ta không đề cập đến điều kiện để biến đổi Fourier của hàm ƒ(x) tồn tại. Những điều kiện này chặt chẽ hơn nhiều so với điều kiện để tồn tại biến đổi Laplace.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 69
The End
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 70
Lý thuyết thặng dư và ứng dụng
GVHD : Ngô Thu Lương Nhóm 11 : Nguyễn Dạ Đăng Đặng Ngọc Hải Lê Sỹ Linh Lê Quang Minh Thái Thiện Phúc
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 1
Lý thuyết thặng dư và ứng dụng
6.5 6.6
Thặng dư và định lý thặng dư. Hệ quả của định lý thặng dư
6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5
Tính tích phân lượng giác xác định Tích phân không xác định Tích phân theo nhánh cắt Nguyên tắc Argument và định lý Rouché Tính tổng chuỗi vô hạn
6.7
Ứng dụng lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 2
6.5 Thặng dư và định lý thặng dư
Chúng ta đã thấy ở phần trước nếu 1 hàm phức ƒ có 1 điểm bất thường cô lập tại 1 điểm z0, thì ƒ có thể được khai triển thành chuỗi Laurent : ∞
a−2 a −1 f ( z) = ∑ a k ( z − z 0 ) = ⋅ ⋅ ⋅ + + + a 0 + a1 ( z − z 0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 z − z0 (z − z0 ) −∞ mà hội tụ tại mọi điểm z lân cận z0. Cụ thể hơn, việc khai triển là xác định ở 1 số lân cận không tồn tại của z0 hoặc trong 1 miền hở 0< │z-z0│< R. Thặng dư: hệ số a-1 của 1/(z-z0) trong chuỗi Laurent ở trên được gọi là thặng dư của hàm phức ƒ tại điểm cô lập bất thường z0 ký hiệu là: a-1 =Res( ƒ(z),z0) k
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 3
Mặt khác nếu các phần của chuỗi Laurent xác định với 0<│z-z0│
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 4
Ví dụ 1 Thặng dư
Ở phần (b) của ví dụ 2 trong mục 6.4 chúng ta thấy khi z=1 là 1 cực cấp 2 của hàm ƒ(c)=1/(z-1)2(z-3) .từ chuổi laurent thu được trong ví dụ trước là hợp lý khi bỏ đi vùng lân cận của z=1 xác định khắp 0<|z-1|<2
Chúng ta thấy hệ số 1/(z-1) là a-1 =Res(ƒ(z),1)=-1/4
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 5
Định lý 6.14:Thặng dư tại 1 cực đơn:
Nếu ƒ có 1 cực đơn tại z=z0 thì (1)
Chứng minh: Ta có : ƒ có 1 cực đơn tại z=z0 thì khai triển Laurent hội tụ tại 1 miền hở 0<│z-z0│
Với a-1≠0. Nhân cả 2 vế với (z-z0) và lấy giới hạn khi z->z0 ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 6
Định lý 6.15: Thặng dư tại 1 cực cấp n.
Nếu ƒ có 1 cực cấp n tại z=z0 thì (2)
Chứng minh: Vì ƒ có 1 cực cấp n tại z=z0, khai triển Laurent hội tụ tại 1 miền hở 0<│z-z0│
Với a-n ≠0, nhân cả hai vế với (z-z)n ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 7
rồi đạo hàm n-1 lần theo biến z:
Khi z − > z0 thi
Giải phương trình trên để tìm a-1 ta có điều phải chứng minh.Công thức (2) trở thành (1) khi n=1
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 8
Ví dụ 2.Thặng dư tại 1 cực Cho hàm có một cực đơn tại z=3 và một cực cấp 2 tại z=1. sử dụng định lý 6.14 và 6.15 tìm thặng dư Giải Vì z=3 là một cực đơn .chúng ta sử dụng (1) Tại cực cấp 2 ta có kết quả trong (2)
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 9
Khi ƒ không phải là 1 hàm hữu tỉ, tính thặng dư theo công thức (1) hoặc (2) có thể sẽ không hợp lý. Chúng ta có thể lựa chọn công thức tính thặng dư.
Để nhận được kết quả trên chúng ta sẽ định nghĩa zero cấp 1, định nghĩa đạo hàm và công thức (1). Từ hàm h có 1 zero cấp 1 tại z0, ta phải có h(z0)=0 và h’(z0)≠0. Lại có theo định nghĩa đạo hàm ở phần trước,
Thế vào (1) ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 10
Ví dụ 3. sử dụng (4) để tính thặng dư Tính ƒ(z)=1/z4+1 Giải Ta có mẫu thức z4+1=0 có 4 cực đơn.theo công thức (4) mục 1.4 ta có z1=eΠi/4,z2=e3Πi/4,z3=e5Πi/4,z4=e7Πi/4
Chúng ta sử dụng công thức với công thức Euler’s (6) mục 1.6 ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 11
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 12
Định lý 6.16:Định lý thặng dư Cauchy.
Cho D là 1 miền kín và C là 1 đường cong kín đơn nằm hoàn toàn trong D. Nếu ƒ là 1 hàm giải tích trong và trên C, ngoại trừ 1 số hữu hạn điểm bất thường z1,z2,…,zn trong C thì Chứng minh: Giả thiết C1,C2 ,…,Cn là nhưng đường tròn có tâm tại z1 ,z2 ,…,zn không cắt nhau, và hơn nữa các đường tròn có bán kính đủ nhỏ để nằm riêng biệt bên trong đường cong kín đơn C. Theo hình bên ta thấy .Trong (20) của phần 6.3 ta thấy
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 13
Ví dụ 4. Tính bằng định lý thặng dư Tính với (a). Đương cong C là hình chữa nhật với x=0,x=4, y=-1,y=1 (b).Đường cong C là đường tròn |z|=1 Giải Cả hai z=1 và z=2 là cực bên trong hình chữa nhật nên ta có
Chúng ta thấy thặng dư trong ví dụ 2 b, khi chỉ có 1 cực z=1
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 14
Ví dụ 5. Tính bằng định lý thặng dư Tính
với đường cong C là một đường tròn |z-i|=2
Giải Bằng cách khai triển mẩu thức z2+4=(z+2i)(z-2i) chúng ta thấy tích phân có cực đơn tại -2i và 2i.vì chỉ có 2i là nằm bên trong đường cong .từ (5) ta có nhưng Vì thế ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 15
Ví dụ 6. Tính giá trị thặng dư Tính đường cong C là một đường tròn |z| =2 Giải Bằng cách khai triển mẩu thức z4+5z3=z3 (z+5) chúng ta thấy tích phân có cực đơn tại z=0 và z=-5.vì chỉ có z=0 là nằm bên trong đường cong và từ (5) và (2) ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 16
6.6 Hệ quả của định lý thặng dư:
Ta sẽ dùng lý thuyết thặng dư để tính 1 số tích phân xác định có dạng (1) (2)
và
(3)
Với F ở (1) và ƒ ở (2),(3) là các hàm hữu tỷ. Với hàm hữu tỷ ƒ(x)=p(x)/q(x) trong (2),(3) ta có các đa thức p,q không có nhân tử chung.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 17
6.6.1 Tính tích phân lượng giác xác định: Tích phân có dạng: ∫ F (cosθ , sin θ )dθ 2∏
0
Cách đơn giản nhất là chuyển dạng tích phân lượng giác thành dạng tích phân phức, với đường cong C là đường tròn │z│=1 có tâm tại O. Tham số hóa đường cong với z=eiθ ,0≤θ≤2л ta có:
Từ dz=ieiθdθ và z-1 =1/z=eiθ, ta có:
Ta chuyển hóa được tích phân lượng giác xác định thành tích phân đường bằng cách thay dθ, cosθ và sinθ theo công thức trên.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 18
Ví dụ. Tích phân thực lượng giác
Tính Giải Chúng ta sử dụng (4) để biến tích phân lượng giác trở thành tích phân đường cong
Đơn giản ta được Chúng ta khai triển đa thức z2+4z+1=(z-z1)(z-z2) với z1=−2−
và z2 = −2+
3
nên tích phân có thể viết
3
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 19
Vì chỉ có z2 là nằm bên trong đường tròn C nên
Khi tính thặng dư cần chú ý z2 là một cực cấp 2 và chúng ta sử dụng (2) của phần 6.5
Do đó
Cuối cùng
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 20
6.6.2 Tích phân mở rộng
Tích phân có dạng: Giả thiết y=ƒ(x) là 1 hàm thực đuợc xác định và liên tục trong miền [0,∞).Trong cách tính thông thường thì tích phân mở rộng được chuyển thành tích phân xác định bằng giới hạn
Nếu giới hạn trên là tồn tại thì tích phân I1 được gọi là hội tụ; nếu không tích phân0 I1 được gọi là phân kỳ. f ( x ) dx ∫ Tương tự với tích phân I2= −∞ ta sẽ có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 21
Cuối cùng nếu hàm ƒ liên tục trên miền (-∞,+∞), thì sẽ được xác định
Với cả I1,I2 đều hội tụ. Nếu 1 trong 2 tích phân I1 hoặc I2 phân kỳ thì là phân kỳ. Một chú ý quan trọng là vế phải của biểu thức trên không giống với công thức:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 22
Với tích phân hội tụ, giới hạn ở công thức (5) và (6) phải tồn tại độc lập. Trong trường hợp chúng ta đã biết tích phân là hội tụ ta có thể tính nó bằng công thức
Mặt khác giới hạn ở công thức (9) có thể tồn tại cho dù tích phân mở rộng là phân kỳ. VD: tích phân là phân kỳ do . dù vậy theo (9) ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 23
Giới hạn ở công thức (9), nếu tồn tại được gọi là giá trị Cauchy (P.V.) của tích phân và được ký hiệu:
Trong (10) chúng ta có thể biểu diễn dưới dạng
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 24
Giá trị Cauchy
Khi 1 tích phân ở dạng (2) hội tụ, giá trị Cauchy của nó chính là kết quả của tích phân. Nếu tích phân là phân kỳ thì chúng có thể vẫn có 1 giá trị Cauchy. Một vấn đề cuối về giá trị Cauchy: Giả thiết ƒ(x) liên tục trên miền (-∞,+∞) và là 1 hàm chẵn ( ƒ(-x)=ƒ(x) ) thì đồ thị của nó đối xứng qua trục y và :
và
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 25
Từ (12) và (13) chúng ta kết luận nếu giá trị Cauchy tồn tại thì cả 2 tích phân đều hội tụ. Giá trị của tích phân là: và
Để tính tích phân với hàm hữu tỷ f(x)=p(x)/q(x) liên tục trên (-∞,+∞), bằng lý thuyết thặng dư chúng ta thay x một biến phức z và tích phân của hàm phức ƒ trên đường C nằm trong khoảng [-R,R] trong hệ trục thực và 1 nửa đường tròn CR có bán kính lớn đủ để bao quanh tất cả các điểm cực của f(z)=p(z)/q(z) trong nửa mặt phẳng Im(z)>0. Theo định lý 6.16 ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 26
Với zk, k=1,2…n biểu thị các cực trong nửa mặt phẳng trên. Chúng ta có thể chỉ ra rằng tích phân khi R->∞ và ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 27
Ví dụ 2.Cauchy của một tích phân mở rộng
Tính giá giá trị cauchy của
Giải Ta có f(z) = 1/(z2+1)(z2+9) với (Z2+1)(z2+9)=(z=i)(z+i)(z-3i)(z+4i) Chúng ta cần lấy diểm C là đường viền đóng bao gồm khoảng [−R, R] trên trục x và hình bán nguyệt CR có bán kính R > 3.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 28
=I1+I2
Và
Tại cực đơn z=i và z=3i.ta có tương ứng Res(f(z), i) = và Res(f(z), 3i)= 1 1 − Vì vậy
16 i
48i
Chúng ta giả sử R->∞ trong (15).chúng ta sử dụng bất đẳng thức (10) của phần 1.2 lưu ý trên đường viền CR
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 29
Từ chiều dài L Của hình bán nguyệt là iR.nó đi theo sau Từ định lý 5.3 của phần 5.2 ta có
Kết quả cuối cùng |I2| → 0 tại R → ∞,và chúng ta kết luận limR→∞ I2 = 0.từ (15) limR→∞ I1 = π/12;nói cách khác
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 30
Định lý 6.17 Giá trị của tích phân khi R->∞ Giả thiết f(z)=p(z)/q(z) là 1 hàm hữu tỷ, với bậc của đa thức p(z) là n và bậc của đa thức q(z) là m ≥ n+2. Nếu CR là 1 nửa đường tròn z=Reiθ, 0≤θ≤л, thì tích phân khi R->∞. Nói 1 cách khác, tích phân đường theo CR tiến đến 0 khi R->∞ nếu đa thức ở mẫu có bậc nhỏ hơn ít nhất là 2 so với đa thức ở tử.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 31
Ví dụ 3.cauchy P.V của tích phân mở rộng Ước lượng giá trị chính cauchy của Giải Bằng cách kiểm tra tích phân chúng ta thấy những điều kiên trong 6.17 là thỏa mãn .hơn nửa chúng ta biết từ ví dụ 3 ở muc 6.5 ta có f(z) = 1/(z4 + 1) có một cực đơn trong nửa mặt phẳng tại z=eΠi/4 và z=e3Πi/4 thặng dư tại cực là và
theo (14)
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 32
∞
Tích phân có dạng ∫ f ( x) cos α xdx và −∞
∞
Vì tích phân mở rộng có dạng ∫ f ( x) sin α xdx thường −∞ gặp trong các ứng dụng của phân tích Fourier nên người ta còn gọi nó là tích phân Fourier. Tích phân Fourier xuất hiện trong phần thực và phần ảo của tích phân không xác định theo công thức Eule eiαx = cosαx + isinαx, với α là số thực dương, chúng ta có thể viết
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 33
Hai tích phân ở vế phải luôn hội tụ. Giả thiết ƒ(x)=p(x)/q(x) là 1 hàm hữu tỷ liên tục trên (-∞,+∞). Khi đó cả 2 tích phân ở vế phải có thể được tính bằng cách xét đến tích phân phức , với α>0, và đường cong C chứa khoảng [-R,R] trên hệ trục tọa độ thực và nửa đường tròn CR có bán kính đủ lớn để chứa tất cả các cực của f(z) ở nửa mặt phẳng trên
Ta sẽ cho rằng điều kiện đủ để tích phân đường theo CR tiến đến 0 khi R->∞
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 34
Định lý 6.18 Giá trị của tích phân khi R->∞
Giả thiết f(z)=p(z)/q(z) là 1 hàm hữu tỷ, với bậc của đa thức p(z) là n và bậc của đa thức q(z) là m ≥ n+2. Nếu CR là 1 nửa đường tròn z=Reiθ, 0≤θ≤л, và α>0 thì tích phân khi R->∞.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 35
Ví dụ 4 sử dụng tính đối xứng Tính giá trị cauchy của Giải cần lưu ý đến cận lấy tích phân trong đó tích phân đã cho không phải dạng -∞ đến ∞ nên ta đưa về dạng -∞ đến ∞ để giải .vì hàm (x.sinx/x2+9) là hàm chẳn nên ta có
Với α=1 chúng ta có tích phân đường viền
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 36
Với C là chu tuyến được biểu diễn trong hình 6.12 Theo định lý 6.16
Với f(z)=z/(z2+9) và
Từ (4) của mục 6.5,khi đó từ định lý 6.18 chúng ta kết luận khi R→∞
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 37
Đặt thành phương trinh thực và ảo và Cuối cùng ta có giá trị của tích phân.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 38
Định lý 6.19 Giá trị của tích phân khi r->o
Giá trị của tích phân khi r->0 Giả thiết hàm f có cực đơn tai z=c trên hệ tọa độ thực. Nếu CR là 1 đường cong có phương trình z=c+reiθ, 0≤θ≤л, khi đó
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 39
Chứng minh: Từ f có 1 cực đơn tại z=c theo chuỗi laurent ta có
Với hệ số a-1 = Res(f(z),c) và g khả tích tại c. Sử dụng chuỗi Laurent và tính định hướng của Cr ta có
Trước hết ta có:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 40
Lại có g khả tích tại c và nó liên tục tại điểm đó và lân cận của nó; như vậy tồn tại 1 điểm M sao cho │g(c+reiθ)│≤M . Ta sẽ có
Theo bất đẳng thức cuối ta có limr->oI2 │=0 hay limr>oI2 =0 .Lấy giới hạn khi r->0 ta có điều phải chứng minh.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 41
Ví dụ: Sử dụng đường bao lõm Tính giá trị Cauchy của tích phân Giải Tích phân cho theo dạng (3),chúng ta sử dụng tích phân
Hàm ƒ(z) =1/z(z2-2z+2) có cực tại z=0 và tại z=i+1 trong nửa mặt phẳng trên. Đường C theo hình bên. Ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 42
Với .Nếu ta lấy giới hạn của (20) khi R->∞ và khi r->0, theo định lý 6.18 và 6.19 ta có
Lại có và Vậy
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 43
Dùng e-1+i=e-1(cos1+ isin1), rút gọn so sánh phần thực và phần ảo ta có đẳng thức
Và
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 44
6.6.3 Tích phân theo nhánh cắt
Điểm rẽ tại z=0. Ta sẽ khảo sát tích phân dạng trong đó hàm số tích phân là 1 hàm đại số. Những tích phân này sẽ cần 1 dạng đường đặc biệt vì ƒ(x) được chuyển thành hàm phức, kết quả của hàm số tích phân ƒ(z), ngoài các cực của nó, có sự phụ thuộc tại z=0. Ta sẽ khảo sát 1 trường hợp đặc biệt của tích phân thực
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 45
Với α là 1 hằng số thực nằm trong khoảng 0<α<1. Chú ý rằng khi α=1/2 và thay x bằng z, hàm số tích phân của (21) trở thành hàm đa trị
Nguyên nhân là do với điểm rẽ khi z1/2 có 2 giá trị với mọi z≠0. Nếu hình dung đi dọc theo 1 đừong tròn quanh gốc z=0, bắt đầu từ 1 điểm z=reiθ, r>0, sẽ trở lại điểm ban đầu z, nhưng góc θ đã tăng lên 1 giá trị bằng 2л. Một cách tưong tự, giá trị của z1/2 thay đổi từ z1/2= trỏ thành 1 giá trị khác hay 1 nhánh khác:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 46
Theo đó ta có thể làm z1/2 có giá trị duy nhất bằng cách cho góc θ biến thiên trong 1 đoạn 2л. Đối với (22) ta chọn trục dương x làm nhánh cắt, hay nói 1 cách khác là cho góc θ chạy trong đoạn từ 0<θ<2л, ta có thể đảm bảo là biểu thức có giá trị đơn.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 47
6.6.4 Nguyên tắc Argument và định lý Rouché
Định lý 6.20: Nguyên tắc Argument Cho C là 1 đường cong kín nằm hoàn toàn trong miền D. Giả thiết f là hàm giải tích trong miền D ngoại trừ các cực tới hạn nằm trong C, và f(z)≠0 trên C. Ta có
Với N0 là tổng số zeros của f nằm trong C và NP là tổng số cực của f nằm trong C. Để chọn N0 và NP , số zeros và cực được tính theo thứ tự của chúng hoặc vô hạn.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 48
Định lý 6.21: Định lý Rouché
Cho C là 1 đường cong kín nằm hoàn toàn trong miền D. Giả thiết ƒ và g là các hàm giài tích trong miền D. Nếu bất đẳng thức │ƒ(z)-g(z)│<│ƒ(z)│ đúng với mọi z trên C, thì hai hàm ƒ và g có cùng số zeros ( tính theo thứ tự của chúng hoặc vô hạn).
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 49
6.6.5 Tính tổng chuỗi vô hạn
Dùng cot лz: Trong 1 số trường hợp đặc biệt, thặng dư tại 1 điểm cùa hàm lượng giác cot лz có thể cho chúng ta tìm đựoc tổng chuỗi vô hạn. Trong phần 4.3 chúng ta đã biết các zeros của sinz là những số thực z=kл, k=0,±1,±2… Như vậy hàm cot лz có cực đơn tại các zeros của sin лz, với лz=kл, hay z=k,k=0,±1,±2..Nếu hàm đa thức p(z) có các hệ số thực (i), có bậc n≥2 (ii),và ko có số zeros nguyên (iii), thì hàm có vô hạn cực đơn z=0,±1,±2… từ cot лz và 1 số hữu hạn các cực zp1 ,zP2 ,…,zPr từ số zeros của p(z). Hình chữ nhật C có các đỉnh , với n đủ lớn để C chứa các cực đơn z=0,±1,±2…,±n và các cực zP1 ,zP2,…,zpr.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 50
Theo định lý thặng dư
Ta có
và n->∞ (38) trở thành .Như vậy
Theo phần 6.5( với g(z)=лcos лz/p(z),h(z)=sinлz,h’(z)= лcos лz) ta có thể dễ dàng tính thặng dư tại các cực 0,±1,±2…:
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 51
Kết hợp (40) và (39) ta có điều cần phải chứng minh
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 52
Dùng csc лz
Nếu p(z) là 1 hàm đa thức và thỏa mãn các điều kiện (i) và (iii), thì hàm
Có vô số các cực đơn z=0,±1,±2… từ csc лz và 1 số hữu hạn các cực zP1 ,zP2 ,…,zPr từ zeros của p(z). Trong trường hợp này ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 53
6.7 Ứng dụng:
Trong 1 số vấn đề của toán học hay kỹ thuật ta có thể dùng biến đổi Laplace cho hàm số thực ƒ xác định với t≥0,
Trong ứng dụng này ta gặp phải 2 vấn đề cơ bản: Bài toán thuận: cho hàm f(t) thỏa mãn điều kiện bài toán tìm dạng Laplace của nóNếu tích phân (1) là hội tụ, kết quả là 1 hàm của s. Bài toán ngược: Cho trước dạng biến đổi F(s) tìm hàm ƒ(t) Hàm F(s) được gọi làm dạng biến đổi Laplace ngược và ký hiệu là
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 54
Biến đổi tích phân: Giả thiết ƒ(x,y) là 1 hàm 2 biến thực. Tích phân theo 1 biến nào đó của hàm ƒ. Ví dụ ta giữ coi y là hằng số tích phân theo biến x ta có Như vậy 1 tích phân xác định như biến đổi 1 hàm f của biến x thành 1 hàm theo biến α. Chúng ta nói rằng
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 55
là 1 biến đổi tích phân của hàm ƒ. Dạng tích phân xuất hiện ở dạng cặp đôi. Có nghĩa rằng ta có thể tìm lại hàm f ban đầu bằng 1 phép biến đổi tích phân khác
gọi là biến đổi ngược.Hàm K(α,x) trong (2) và hàm H(α,x) trong (3) gọi là nhân tử của phép biến đổi. Chú ý rằng nếu α thay cho 1 biến phức, tích phân xác định (3) trở thành 1 tích phân đường.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 56
Biến đổi Laplace: Giả thiết ở tích phân (2) thay ký hiệu α bằng ký hiệu s, hàm f là 1 hàm số thực xác định trong khoảng [0,+∞) thì tích phân (2) là 1 tích phân không xác định và được tính bằng giới hạn: Nếu giới hạn trên tồn tại, chúng ta nói rằng tích phân trên là tồn tại hay hội tụ; nếu giới hạn trên không tồn tại tích phân trên cũng không tồn tại hay là phân kỳ. Hàm K(s,t)=e-st , với s là 1 biến phức, là nhân tử ở (4) cho phép biến đổi Laplace được xác định bởi (1). Tích phân để thực hiện phép biến đổi Laplace có thể phân kỳ đối với 1 số dạng của hàm ƒ.VD và ko tồn tại.Mặt khác giới hạn (4) sẽ chỉ tồn tại với 1 vài giá trị cụ thể của biến s.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 57
Ví dụ 1 .định lý tồn tại Biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace của f(t)=1 , t ≥ 0 là
Nếu s là một biến phức, s = x + iy, khi đó ta có
Từ (6) ta thấy trong (5) e-sb →0 khi b→∞ nếu x>0.nói cách khác,(5) với diều kiện Re(s) > 0.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 58
Định lý 6.23 Hàm giải tích của biến đổi Laplace Giả thiết hàm f liên tục từng phần trên [0,∞) và biến thiên theo quy luật hàm mũ c với t>T. Hàm biến đổi Laplace của f:
là 1 hàm giải tích trên nửa mặt phẳng xác định bởi Re(s)>c.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 59
Định lý 6.24 Biến đổi Laplace ngược Nếu ƒ và ƒ’ liên tục từng phần trên [0,∞) và ƒ biến thiên theo quy luật hàm mũ c với t≥0, và F(s) là hàm biến đổi Laplace, thì hàm biến đổi Laplace ngược là
với γ >c.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 60
Định lý 6.25: Biến đổi Laplace ngược Giả thiết F(s) là hàm biến đổi Laplace có 1 số hữu hạn các cực s1 ,s2 ,…,sn phía bên trái đường thẳng Re(s)= γ nằm song song với Oy và C là nửa đường tròn theo hình vẽ. Nếu sF(s) được nằm trong miền khảo sát khi R->∞, thì
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 61
Ví dụ 2 Biến đổi Laplace ngược Thính £-1{1/z3},Re(s)>0 Giải Coi như một hàm của một biến phức s, khi đó hàm F(s)=1/z3 có một cực cấp 3 tại z=0,vì vậy theo (9) và (2) cuẩ mục 6.5 ta có f(t)=£-1{1/s3}=Res(est1/s3,0)= =
=t2/2
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 62
Ví dụ: Biến đổi laplace ngược Tính Giải Tính thặng dư ở cực đơn khi s=1 và s=3. ta cần chú ý sau khi tổ hợp số mũ của hàm và thay thế bằng t-2 thay vào (16) ta được:
Vì vậy từ (17),(9) và (1) trong mục 6.5
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 63
=-1/2et-2+1/2e3(t-2)
Nói cách khác
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 64
Biến đổi Fourier Giả thiết ƒ(x) là 1 hàm số thực xác định trong khoảng (-∞,+∞). Ta có hàm biến đổi Fourier
Và hàm biến đổi Fourier ngược
Ta thấy ở đây hàm K(α,x)=eiαx và H(α,x)=e-iθx/2Π, và α là biến thực.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 65
Ví dụ 4. biến đổi chuổi Fourier Tìm biến đổi Fourier f(x)=e-|x| Giải Đồ thị của ƒ là hình bên,
từ miền xác định mở rộng của ƒ trong (21),từ công thức (19) ta có
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 66
Ta tính tích phân không xác định I2
Với limb→∞e-bcosbα=0 và limb→∞e-bsinbα=0 vớib>0 Tính tích phân I1
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 67
Cộng I1 và I2 cho ta giá trị Fourier (22)
hoặc
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 68
Chú ý:
(i) Hai điều kiện liên tục từng phần và biến thiên theo quy luật là điều kiện đủ nhưng có thể không cần cho sự tồn tại của F(s). VD hàm ƒ(t)=t-1/2 không liên tục từng phần trong khoảng [0,∞) nhưng vẫn tồn tại. (ii) Ta thừa nhận hàm F(s) có 1 số hữu hạn các cực trong mặt phẳng phức. Nó thường xuất hiện trong trường hợp F(s) tạo thành bởi 1 phương trình vi phân thông thường. Trong cách giải xung quanh phương trình vi phân thành phần thường hiếm gặp hàm F(s) với vô hạn các cực. Trong trường hợp đó thì giá trị của tích phân sẽ bằng tổng giá trị các thặng dư. (iii) (1) còn dùng để tính dạng nghịch đảo của 1 số hàm phức tạp như F(s)=(s2 +a2 )-1/2 (iv) Ta không đề cập đến điều kiện để biến đổi Fourier của hàm ƒ(x) tồn tại. Những điều kiện này chặt chẽ hơn nhiều so với điều kiện để tồn tại biến đổi Laplace.
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 69
The End
lý thuyêt thặng dư và ứng dụng
Trang 70
Related Documents
Cuadros 5-6-7
October 2019 20
6-3 5-7
May 2020 8
5 6 7
June 2020 4
5, 6 Y 7.docx
May 2020 11
Bab 5 6 7 Perencanaan.docx
November 2019 10