5-150425224203-conversion-gate02.pptx

TEOREMA PYTHAGORAS Disusun (Text ,Gambar dan Animation) Oleh R. SITIO

A. PENGERTIAN TEOREMA PYTHAGORAS Teorema Pythagoras adalah Rumus yang berkaitan dengan Luas Persegi pada Sisi Segitiga Siku-siku. Pada setiap segitiga siku-siku terdapat 2 sisi siku-siku dan 1 sisi miring. C Pada ∆ABC , ∠A = 900 , maka : Sisi siku-siku : AB dan AC. Sisi Miring : BC Catatan : Sisi Miring selalu didepan sudut siku-siku 900 dan merupakan sisi yang terpanjang pada B A setiap segitiga siku-siku. Jadi pada ∆ABC dikiri ini sisi miring tetap BC kalaupun segitiga itu diputar.

• Luas Persegi Rumus untuk menghitung luas Persegi adalah : Luas = sisi x sisi , atau L = s2 Contoh : 1. Hitunglah Luas Persegi jika panjang sisinya 25 cm. 2. Tentukan masing-masing Luas persegi (i) dan (ii) dikanan ini! Jawab : 1. L = (25cm)2 = 625 cm2 2. L(i) = AB2 L(ii) = BC2

C

A

B

Persegi (i)

B. TEOREMA(RUMUS) PYTHAGORAS Pada ∆ ABC , Siku-siku di A , maka : AB dan AC sisi siku-siku dan BC sisi miringnya. Luas Persegi :

C (iii) (ii)

B

A (i)

1). L (i) = AB2 2). L(ii) = AC2 3). L(iii) = BC2 Jadi : L(i) + L(ii) = L(iii) atau AB2 + AC2 = BC2

Jadi Teorema (Rumus) Pythagoras berlaku untuk setiap segitiga siku-siku sebagai berikut : Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya Sudut siku-siku A

B

Pada ∆ ABC : C 1). Sudut A = sudut siku-siku = 900 2). AB dan AC adalah Sisi siku-siku 3). BC = Sisi miring(Hipotenusa) 4). Rumus : BC2 = AB2 + AC2 Catatan : Sisi miring selalu didepan sudut siku-sikunya

Contoh 1 : Gunakan teorema Pythagoras untuk menentukan panjang diagonal AC pada persegi panjang ABCD berikut ini! A

D

Dik. : Siku-siku di B , maka sisi miring = AC Sisi siku-siku : AB = 24 cm dan AC = 7 cm Dit. : AC = …?

24 cm B

Penyelesaian : Pada ∆ ABC :

7 cm

C

Jawab : BC2 = AB2 + AC2 = 242 + 72= 576 + 49 = 625 Maka : BC = √625 = 25 Jadi panjang diagonal persegi panjang ABCD adalah 25 cm

Contoh 2 : Segitiga ABC adalah sama sisi dengan tinggi DC. Apabila panjang sisinya = 10 cm , tentukanlah AD! Jawab : Karena ∆ABC sama sisi , maka : AC = AB = BC = 10 cm dan

5√3 cm

C

A

5 cm

D

5 cm

B

AD = DB = ½ AB = 5 cm Pada ∆ADC : AC2 = AD2 + DC2 ↔ 102 = 52 + DC2 ↔ 100 = 25 + DC2 ↔ DC2 = 100 – 25 = 75 ↔ DC = √75 = 5√3 Jadi tinggi ∆ABC = DC = 5√3 cm

Catatan : Pada Contoh 2 Panjang sisi ∆ABC = 10 cm

dan tingginya = 5√3 cm Pada setiap segitiga sama sisi : Jika sisinya = S , maka tingginya = ½S√3 Misalnya : Sebuah segitiga sama sisi panjang sisinya = 36 cm , maka : tingginya = ½.36√3 cm = 18√3 cm

Contoh 3 : Kubus KLMN.OPQR panjang rusuknya = 8 cm. Tentukan panjang : a. KM b. KQ R

Q P

8 cm

O

N

K

8 cm

M L

Jawab : a. Pada ∆KLM , ∠L = 900 KL = LM = 8 cm , maka : KM2 = KL2 + LM2 ↔ KM2 = 82 + 82 ↔ KM2 = 64 + 64 ↔ KM2 = 64.2 ↔ KM = √64.2 = 8√2 Jadi KM = 8√2 cm

b. Pada ∆KMQ , ∠M = 900 maka : MQ = 8 KM2 = 64 X 2 R

Q P

O

8 cm

KQ2 = KM2 + MQ2 ↔ KQ2 = 64.2 + 82 ↔ KQ2 = 64.2 + 64 ↔ KQ2 = 64.3 ↔ KQ = √64.3 = 8√3 Jadi KM = 8√3 cm

N K

8 cm

M L

Catatan : Pada setiap kubus yang panjang rusuknya = S , maka panjang : (i). Setiap Diagonal Sisi = S√2 (ii). Setiap Diagonal Ruang = S√3 Misalnya : Sebuah kubus panjang rusuknya = 23 cm. Maka : panjang Diagonal Sisi = 23√2 cm Panjang diagonal Ruang = 23√3 cm

Contoh 4 : Pada gambar balok dibawah ini , tentukan : a. Panjang BD b. Panjang BH G

F E

8 cm

H

C D

B

12 cm

A

Jawaban contoh 4 : a. Pada ∆ABD , ∠A = 900, maka : BD2 = AB2 + AD2 = 92+ 122 = 91 + 144 = 225 BD = √225 = 15 b. Pada ∆ABD , ∠A = 900, Jadi panjang BD = 15 cm maka : G

F E

8 cm

H

C D

BH2 = BD2 + DH2 = 225 + 82 = 225 + 64 = 289 BH = √289 = 17

B 12 cm

Panjang BH = 17 cm A

TRIPLE PYTHAGORAS Triple Pythagoras ialah tiga buah bilangan yang memenuhi Rumus Pythagoras C Contoh 1 : Pada segitiga ABC dikanan ini , jika AB = 5 cm, dan AC = 12 cm , dapat dihitung bahwa 12 panjang BC = 13 cm. Maka : bilangan 5 , 12 dan 13 adalah A Triple Pythagoras

13

5

B

Ciri-ciri Triple Pythagoras Kita telah mengetahui bahwa pada segitiga siku-siku , sisi miring selalu merupakan sisi yang terpanjang. Jika 3 , 5 dan 4 Triple Pythagoras , maka 5 adalah merupakan sisi miring , 3 dan 4 sebagai sisi siku-siku. Sehingga : 52 = 32 + 42 Contoh 1 : Apakah 7 , 24 dan 25 merupakan Triple Pythagoras? Jawab : Bilangan terbesar adalah 25 , maka kita selidiki apakah 252 sama dengan 72+ 242 252 = 625 dan 72 + 242 = 49 + 576 = 625 Maka 7 , 24 dan 25 adalah Triple Pythagoras , sebab : 252 = 72+ 242 = 625

Contoh 3 : Manakah kelompok bilangan berikut yang merupakan Triple Pythagoras? a. b. c.

6 , 8 , 10 14 , 48 , 50 4.5 , 6 , 7.5

Cara Menentukan Triple Pythagoras • Sisi siku-siku ke 1 = n 2– 1 n Sisi siku-siku ke 2 = 2 n2 + 1 = 2 Sisi miring

• Sehingga : n x

Untuk

n>1

2+ 1 2– 1 n n k, xk x k dan 2 2

adalah merupakan Triple Pythagoras

Contoh : Jika Sisi siku-siku ke 1 = n = 2 , maka 2– 1 n Sisi siku-siku ke 2 = 2

= =

Sisi miring =

n2 + 1 2

=

22 – 1 2 3 2 = 22 + 1 2

1,5

= 2,5

Sehingga 2x4 , 1,5x4 dan 2,5x4 , yaitu 8 , 6 dan 10 adalah Triple Pythagoras