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Física I Dr. Rogerio Enríquez Caldera (Graficas: Dr. Gustavo Rodríquez)

Vectores • • • • • • •

Definiciones Operaciones Básicas Componentes Vectores en 2D y 3D Magnitud Unidades Marcos de referencia

Notación • Se empleará la siguiente notación: – La recta de los números reales es denotada por ℝ – El conjunto de los pares ordenados (x,y) es denotado por ℝ² – El conjunto de las ternas ordenadas (x,y,z) es denotado por ℝ³

Vectores en 2D y 3D • Los puntos P en el plano se representan por pares ordenados de números reales – (a1, a2)

• Los números a1 y a2 se llaman coordenadas cartesianas de P

y P = (a1,a2) a2

x

a1

Vectores en 2D y 3D • Los puntos P en el espacio se representan por ternas ordenadas de números reales

z P = (a1,a2,a3)

a3

– (a1, a2, a3)

• Los números a1, a2 y a3 se llaman coordenadas cartesianas de P

a2 a1

x

y

Representación geométrica del punto (2,4,4)

Vectores • Vectores: segmentos de rectas dirigidos en el plano o el espacio con un inicio y un final • Los segmentos de recta que se obtienen uno de otro por traslación representan el mismo vector

Suma Vectorial y Multiplicación por un Escalar • Dadas dos ternas (a1, a2,a3) y (b1,b2,b3) definimos la suma vectorial como (a1 , a2 , a3 )  (b1 , b2 , b3 )  (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ).

• Dadas un escalar  y un vector (a1, a2,a3) definimos el producto escalar por medio de  (a1 , a2 , a3 )  (a1 , a2 , a3 ).

Propiedades de los Vectores •

Elemento cero

0,0,0 •

Inverso aditivo a , a , a  1 2 3

 a1,a2 ,a3 

Propiedades de la Suma y Multiplicación Escalar 1. ( )( a1 , a2 , a3 )    (a1 , a2 , a3 ) 2. (   )( a1 , a2 , a3 )   (a1 , a2 , a3 )   (a1 , a2 , a3 )

3.  (a1 , a2 , a3 )  (b1 , b2 , b3 )   (a1 , a2 , a3 )   (b1 , b2 , b3 ) 4.  (0,0,0)  (0,0,0) 5. 0(a1 , a2 , a3 )  (0,0,0) 6.1(a1 , a2 , a3 )  (a1 , a2 , a3 )

• Geométricamente los vectores son flechas que salen del origen

Los vectores son segmentos de recta dirigidos en [el plano o] el espacio representados por segmentos de recta dirigidos con un inicio (cola) y un final (punta). Los segmentos de recta que se obtienen uno de otro por traslación paralela (pero no rotación) representan el mismo vector. Las componentes (a1,a2,a3) de a son las longitudes (dirigidas) de las proyecciones de a a lo largo de los tres ejes coordenados. La suma de dos vectores se obtiene colocándolos final con inicio y trazando el vector que va del inicio al final del segundo.

Vector Que Une Dos Puntos

El Vector Que Une Dos Puntos • Si el punto P tiene coordenadas (x, y, z) y P’ tiene coordenadas (x’, y’, z’) entonces el vector PP’ de la punta de P a las punta de P’ tiene componentes

x'x, y' y, z'z 

Distancia • Dados dos vectores a = a1i+a2j+a3k y b = b1i+b2j+b3k, la distancia entre los puntos finales de a y b se define como

z

b a b a

b a x

Suma de vectores (a)

b a a+b

b

Suma de Velocidades • Una ave volando con velocidad v1, velocidad el viento v2. Velocidad resultante v1 + v2

Suma de Vectores (b)

Equivalencia Geométrica con Algebraica • Equivalencia de la definición de suma vectorial en forma geométrica y algebraica.

Interpretación Geométrica Multiplicación Escalar por un Vector

Interpretación Geométrica de la Resta de Dos Vectores

Distancia • Dados dos vectores a = a1i+a2j+a3k y b = b1i+b2j+b3k, la distancia entre los puntos finales de a y b se define como

z

b a b a

b a x

Suma de los Vectores u + v y 2u

Multiplicación de (-1,1,2) por -2

Base Canónica • Existen tres vectores especiales a lo largo z de los ejes x, y, z: – i: (1,0,0) – J: (0,1,0) – k: (0,0,1)

• Sea (a1, a2,a3) entonces a = a1i+ a2j+ a3k

k i x

y

j

Base Canónica • Representación del vector (2,3,2) en términos de la base canónica

Los Tres Planos Coordenados

Producto Interno • Dados dos vectores a = a1i+a2j+a3k y b = b1i+b2j+b3k, el producto interno de a y b se define como

a b  a1b1  a2b2  a3b3 Nótese que el producto interno es un escalar.

Producto Interno • Propiedades del producto interno. Sean a, b, c vectores en ℝ³ y  y  números reales, entonces 1. a  a  0; a  a  0  a  0. 2. a  b   (a  b) y a  b   (a  b). 3. a  (b  c)  a  b  a  c y (a  b)  c  a  c  b  c. 4 a  b  b  a.

Longitud • Dado un vector a = a1i+a2j+a3k en ℝ³ definimos su longitud como a 

z P = (a1,a2,a3)

a12  a22  a32

a12  a22  a32

a3

 (a  a)

a2 a1

x

y

Vectores Normalizados • Dado el vector a = a1i + a2j + a3k diferente de cero, para normalizarlo forme el vector

a a

Ejemplos • Normalizar el vector v = 15i – 2j + 4k. Solución v  152  (2) 2  4 2  7 5 ,

La normalización del vector v está dada por u

1 15 2 4 v i j k. v 7 5 7 5 7 5

Ejemplos • Defina en el plano el vector

er  (cos )i  (sen ) j Observe que es un vector Unitario.

Vectores Ortogonales • Si a y b son vectores diferentes de cero y  es el ángulo entre ellos. Entonces a b  0 si y sólo si los vectores son ortogonales. • Ejemplo – Los vectores de la base canónica i, j, k, son ortogonales entre si. – Los vectores er  cos  i  sen  j y e  sen  i  cos  j

son ortogonales.

Vectores Ortonormales

A

 B

A

cB

B

C

A

 KB

Por tanto A=kB+C

B

C

A

 KB

Por tanto A=kB+C

B

¿Cómo despejar o reslover para k?

Usemos lo que conocemos:

i) Ortogonalidad o perpendicularidad

ii) Producto punto

Por otro lado:

c.a. | cB | cos    hip | A | pero || AB || cB  || B || entonces AB  cos  || B |||| A ||

A

 B

A

 KB

B

cos (180 –  ) = cos 180 cos  + sen 180 sen  = cos 



A

B

u u

A

x



A

B

Por tanto si A es unitario

u B = || u || || B || cos 

= Bu

Y por tanto si || B || solo escribimos B Bx = B cos  By = B sen  porqué? Y asi B = ux B cos  + uy B sen  = B ( ux cos  + uy sen  )

ii  jj  kk  1 ij  jk  ki  0 AB  (iax  jay  kaz )(i bx  jby  kbz )  N

AB   ai bi i 1

V  ( A  B)(A  B)  A  B  2 AB  2

2

2

A  B  2 AB cos  2

2

V 2  ( A  B)(A  B)  A2  B 2  2 AB  A2  B 2  2 AB cos  N

V   Vl l 1

V  2

V

l

todos

2

2

V V l

parejas

m

Ejemplos • Calcule el angulo entre los vectores A = 2i + 3j – k y B = - i + j + 2k Solución: AB  cos  || B |||| A || Usando AB  2(1)  3(1)  (1)2  1

A  4  9  1  3.74unidades B  1  1  4  2.45unidades 1  cos     0.109que ? 9.17 oceano  96.30

Reflexiones • Ángulo en grados o en radianes • Se mide con respecto a que? • Ejemplo en el Planeta Tierra

Ejemplos • Encuentre los angulos que forma el vector A = 2i + 3j + 2k con los ejes x & z Solución

Ax  Asen cos  Ay  Asensen Az  A cos 

Base Canónica • Representación del vector (2,2,2) en términos de la base canónica

AxB No es conmutativa A x B = - B x A Es asociativa? Es distributiva ? | A x B | = A B sen 

Significado Físico?