4._naizmenicne_struje (1).pdf

4 ELEKTRIČNA KOLA NAIZMENIČNE STRUJE Električna kola naizmenične struje su električna kola u kojima naponi i struje naizmenično menjaju svoj smer i intenzitet. Naizmenične promene napona i struja možemo opisati pomoću njihovih trenutnih vrednosti.

4.1 NAIZMENIČNE VELIČINE Najprostija naizmenična promena napona i struja je prostoperiodična promena. Prostoperiodična promena se opisuje se sinusnim (kosinusnim) funkcijama. i(t )  I m cos t  I m cos(2 f t )

I m - amplituda,

 I m  i (t )  I m

T - perioda , f  1 / T - frekvencija

  2 / T  2 f

 rad   s  - kružna učestanost  

t  rad  - faza

U daljem tekstu, veličine koje se prostoperiodično menjaju nazivamo naizmenične veličine.

FAZNO POMERANJE struja:

i(t )  I m cos(t )

struja fazno pomerena za početnu fazu  :

i (t )  I m cos(t   )

t  - faza    ,  - početna faza Fazno prednjačenje:

 0, t   0



t    0 ,

Fazno kašnjenje:   0,

t    0



t    0

4.2 SREDNJA I EFEKTIVNA VREDNOST NAIZMENIČNE VELIČINE SREDNJA VREDNOST Srednja (jednosmerna) vrednost periodične funkcije:

T

I sr 

1 i(t )dt T 0

Srednja vrednost prostoperiodične veličine: T

I sr 

1 1 i(t )dt   T0 2 /  

Im 2

2 / 

 0

t  2 / 

I m cos(t )dt 

Im 1 sin t 2  t 0

2   Im   sin(  )  sin( 0)   2 0  0  0  

EFEKTIVNA VREDNOST NAIZMENIČNE VELIČINE Efektivna vrednost periodične struje je ona vrednost jednosmerne struje ( I ) , koja na otporniku R u toku jedne periode T oslobodi istu količinu toplote kao i naizmenična struja  i(t )  : T

jednosmerna struja: Q  RI 2T

2 2  RI T   Ri (t )dt 0

T

naizmenična struja: Q   Ri 2 (t )dt

T

2  I 

0

Efektivna vrednost periodične veličine i (t ) : T

I

1 2 i (t )dt T 0

T 1 2 1 2 i ( t ) dt  I  i (t )dt T 0 T 0

Efektivna vrednost prostoperiodične veličine: T

1 1 I   i 2 (t )dt  T0 2 / 

2 / 



2



 I t  2 /   I t  4 t 0 4 2 m

2 m

0

2 / 



 I m2 2 / 1  cos(2t ) I cos (t )dt  dt 2 0 2 2 m

2

t  2 / 

cos(2t )dt 

0

 I m2 2  I m2 1  sin(2t ) 4  4 2 t 0

2 I m2 I m2  I2 I2 2  I  sin(2 )  sin( 0)   m  m 0  0  m 2 8   2  2 8



Veza između amplitude i efektivne vrednosti prostoperiodične veličine iznosi: I

Im 2



2 I m  0.707 I m 2

 I m  2I

Trenutna vrednost se može iskazati preo efektivne vrednosti: i(t )  2I cos(t  )

Instrumenti koji mere prostoperiodične veličine pokazuju njihove efektivne vrednosti.

4.3 ELEMENTI KOLA U PROSTOPERIODIČNOM REŽIMU idealni naponski generator, otpornik, kalem, kondenzator

4.3.1 IDEALNI NAPONSKI GENERATOR ems : e(t )  E 2 cos(t  e ) Napon: u(t )  e(t )  E 2 cos( t  e ) u(t )  U 2 cos( t  ) U E

  e Trenutna snaga generatora:

p(t )  u (t )i(t )

4.3.2 OTPORNIK Strujno-naponska karakteristika otpornika:

u(t )  Ri(t ) Za

i(t )  I 2 cos(t  )  u(t )  RI 2 cos(t  )  U 2 cos(t   ) U  RI ,   

Fazna razlika napona i struje otpornika:

      0 (napon i struja su u fazi) Impedansa i admitansa otpornika: Z U / I  R

  ,

Y  I / U  1/ R

S 

Trenutna snaga otpornika:

p(t )  u (t )i(t )  2RI 2 cos 2 (t  )  2RI 2 cos 2 (t  )  RI 2 1  cos(2t  2)  p(t ) RI 2  RI 2 cos(2t  2)

RI 2 - konstantni član i RI 2 cos(2t  2) - prostoperiodični član čija je srednja vrednost jednaka nuli. Srednja (aktivna) snaga otpornika

1 T 1 T 2 p ( t ) dt  RI dt T 0 T 0 1 T   RI 2 cos(2t  2)dt T 0

PR 

0

1  RI 2T  RI 2 T

PR  RI 2

4.3.3 KALEM Strujno-naponska karakteristika kalema: u (t )  L Za

di (t ) dt

i(t )  I 2 cos(t  )  di (t ) u (t )  L  LI 2 sin(t   )  L I 2 cos(t     / 2) dt XL   X L I 2 cos(t  )  U 2 cos(t  ) U

U  X L I , X L   L - otpornost kalema,

/2

Fazna razlika napona i struje kalema:        / 2 (napon prednjači struji za  / 2 )

Impedansa i admitansa kalema: Z  U / I  L  X L

  ,

Y  I / U  1/ L

S 

Trenutna snaga kalema:

p(t )  u (t )i (t )  LI 2 2sin(t   )cos(t   )  LI 2 sin(2t  2 )  LI 2 sin(2t  2  )  LI 2 sin(2t  2(   / 2))  LI 2 sin(2t  2) Trenutna snaga ima dvostruko veću učestanost. Srednja snaga kalema: PL 

LI 2 T /2



T /2

0

sin(2t  2)dt  0

PL  0 Magnetna energija kalema:

p(t )  u(t )i(t )  L 

WL (t ) 

di(t ) d 1  d i(t )   Li 2 (t )   WL (t ) dt dt  2  dt

1 2 Li (t ) 2

4.3.4 KONDENZATOR Strujno-naponska karakteristika kondenzatora: Za

u(t )  U 2 cos(t   )

iC (t )  C

du (t ) dt



du (t )  CU 2 sin(t  )  CU 2 cos(t     / 2) dt U U  2 cos(t     / 2  )  2 cos(t     / 2) 1 / C XC 

i (t )  C

XC

 I 2 cos(t  ) I  U / X C , X C  1 / C - otpornost kondenzatora,      / 2

Fazna razlika napona i struje kondenzatora:        / 2 (napon kasni za strujom za  / 2 ) Impedansa i admitansa kondenzatora: Z  U / I  1/ C

  ,

Y  I / U  C

S 

Trenutna snaga kondenzatora:

p(t )  u (t )i (t )  CU 2 2sin(t  )cos(t  )  CU 2 sin(2t  2) Trenutna snaga ima dvostruko veću učestanost (dvostruko manju periodu). Srednja snaga kondenzatora: PC 

CU 2 T /2



T /2

0

sin(2t  2)dt  0

PC  0

Električna energija kondenzatora:

p(t )  u(t )i(t )  Cu(t ) 

1 WC (t )  Cu 2 (t ) 2

du(t ) d  1 2  d   Cu (t )   WC (t ) dt dt  2  dt

Strujnonaponska karakteristika

Veza između efektivnih vrednosti napona i struje

Impedansa

Fazna razlika između napona i struje

Snaga i energija

(    )

PR  RI 2 Otpornik

Kalem

u  Ri

uL

i dt

U  RI

U  XLI

0

R

X L  L

 2

WR  RI 2t toplotna PL  0 1 WL (t )  Li 2 (t ) 2 magnetna PC  0

Kondenzator

i C

du dt

U  XC I

XC 

1 C



 2

1 WC (t )  Cu 2 (t ) 2 električna

4.4 ANALIZA KOLA POMOĆU TRENUTNIH VREDNOSTI Za kola promenljivih struja važe Kirhofovi zakoni. Primer. Posmatrajmo rednu vezu otpornika i kalema prikazanu na slici. Poznata je struja i(t )  I 2 cos(t  0 ) , odrediti napon u (t ) 0

Trenutne vrednoste napona: uR (t )  Ri(t )  RI 2 cos t , di uL (t )  L  LI 2 sin t dt

u(t )  u(t ) R  u(t ) R  2RI  cos t  2LI  sin t Opšti oblik trenutnog napona u (t ) :

u(t )  U 2 cos(t  )  2U cos   cos t  2U sin   sin t 

RI  U cos  ,

LI  U sin 

Efektivna vrednost napona:

RI  U cos , LI  U sin  / 2 

U 2  (RI )2  (LI )2  (R2  (L)2 ) I 2

U  I R2  (L)2 Impedansa redne veze R i L

Z

U  R2  (L)2 I

Fazna razlika napona u i struje i :

U sin  U sin  L  tan ,  U cos  U cos  R L         arctan R 0



tan  

L R

Konačni izraz za napon:

u(t )  2I R2  (L)2 cos(t  arctan

L ) R

Zaključak: Analiza čak i prostijih kola naizmenične struje je komplikovana.

4.5 ANALIZA KOLA POMOĆU FAZORA

nepokretni vektor

Nepokretni vektor A : f.o. - fazna osa

f. o.

a  A cos  - projekcija A na faznu osu Obrtni vektor A rotira u pozitivnom matematičkom smeru konstantnom brzinom  i sa početnom fazom  0

obrtni vektor

Naziva se obrtni fazor i obeležava se sa A . Projekcija obrtnog fazora na faznu osu predstavlja trenutnu vrednost prostoperiodične veličine:

f. o.

Am cos(t  0 )  2 A cos(t  0 ) Položaj fazora u proizvoljnom trenutku vremena je jednoznačno određen položajem fazora u trenutku t  0 . Oznaka fazora: A ( A 0 )

U

( U  ) ,

I

( I  )

obrtni fazor

f. o.

4.5.1 FAZORSKI DIJAGRAMI OTPORNIKA, KALEMA I KONDENZATORA

OTPORNIK:

u  Ri

U, I

Impedansa



U  RI

R

0

Fazori

Oznake

f.o.

zelena boja: f.o.

KALEM:

i uL dt

KONDENZA -TOR:

du i C dt

U  XLI

X L  L

 2

f.o.

plava boja:

I I 

U  X CU

1 XC  C



 2

crvena boja: f.o.

U U 

4.5.2 REDNA VEZA OTPORNIKA, KALEMA I KONDENZATORA

f.o.

f.o.

Neka je i(t )  I 2 cos(t ),   0 ,     0    0 ,

u(t )  U 2 cos(t   )

U  U R  U L  UC U  U R2  (U L  U C )2 ,

    arctan

X  XC   arctan L  arctan R

L  R

1 C ,

U L  UC , UR

Z  R 2  (L  1/ C )2

R  Z cos  ,

X L  X C  Z sin 

Redna rezonansa, L  1 / C Z  R 2  (L  1/ C )2  R U L  X L I  LI 

  arctan

L  R

I  UC C

 U L  U C  0  U  RI

1 C  0

L  1/ C 

  r 

1 LC

rezonantna učestanost

Pretežno induktivno kolo, L  1 / C U L  UC ,

L  1/ C    1/ LC  r ,

0

Pretežno kapacitivno kolo, L  1 / C U L  UC ,

L  1/ C    1/ LC  r ,

0

4.5.3 PARALELNA VEZA OTPORNIKA, KALEMA I KONDENZATORA

f.o.

Neka je u(t )  U 2 cos(t ),   0 ,

f.o .

  0     0 , i(t )  I 2 cos(t  )

I  I R  I L  IC I  I R2  ( I C  I L )2 ,

     arctan

IC  I L I I  arctan L C IR IR

1/ Z  1/ R 2  (C  1/ L) 2 ,

     arctan

1/ X C  1/ X L 1/ L  C  arctan 1/ R 1/ R

L  1 / C

Paralelna rezonansa (antirezonansa),

1/ Z  1/ R 2  (C  1/ L)2  1/ R I L  IC



  arctan

I U / R

1/ L  C 0 1/ R

L  1/ C 

  r 

Pretežno kapacitivno kolo, IC  I L ,

(antirezonantna učestanost)

L  1 / C

L  1/ C    1/ LC  r ,

Pretežno induktivno kolo, IC  I L ,

1 LC

0

L  1 / C

L  1/ C    1/ LC  r ,

0

4.6 ANALIZA KOLA POMOĆU KOMPLEKSNIH BROJEVA 4.6.1 KOMPLEKSNI BROJEVI Algebarski oblik kompleksnog broja z  a  jb Realni i imaginarni deo kompleksnog broja

a  Re z i b  Im z Modul i argument kompleksnog broja z  z  a 2  b2

  arg z  arctan

b a

Trigonometrijski oblik z  z(cos  j sin  ) Eksponencijalni oblik

z  ze j

4.6.2 PREDSTAVLJANJE FAZORA KOMPLEKSNIM BROJEM Svaki fazor se može predstaviti jednim kompleksnim brojem. Fazori

Kompleksni brojevi

f.o.

4.6.3 KOMPLEKSNI PREDSTAVNICI PROSTOPERIODIČNIH VELIČINA Trenutna vrednost napona i struje

u(t )  2U cos(t  ) ,

i(t )  2I cos(t  )

Kompleksni napon i struja

U  Ue j

I  Ie j

4.6.4 ANALIZA KOLA U KOMPLEKSNOM DOMENU I i II Kirhofov zakon za trenutne vrednosti struja i napona:

 i (t )  0 u jednom čvoru, j

j

 u (t )  0 duž zatvorene putanje k

k

I i II Kirhofovi zakoni u kompleksnom obliku:

I

 0 u jednom čvoru,

j

j

U

k

 0 duž zatvorene putanje

k

gde su I j kompleksna struja u j-toj grani, a U k kompleksni napon k-te grane u kolu. Primer. i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )  0

u1 (t )  u2 (t )  u3 (t )  0



I1  I2  I3  0



U1  U 2  U 3  0

4.6.5 KOMPLEKSNI NAPON I STRUJA, KOMPLEKSNA IMPEDANSA Kompleksni napon i struja

U  Ue j - kompleksni napon

U - efektivna vrednost napona,  - fazni pomeraj napona I  Ie j - kompleksna struja

I - efektivna vrednost struje,  - fazni pomeraj struje Kompleksna impedansa

Z

Z  U / I - moduo kompleksne impedanse

U Ue j U j (  )  j  e  Ze j I Ie I

     - argument kompleksne impedanse

Realni i imaginarni deo impedanse

Z  Ze j  Z  cos   j sin   Z cos   j Z sin   R  jX R

X

Aktivna i reaktivna otpornost

R  Z cos 

- aktivna otpornost,

X  Z sin  - reaktivna otpornost

Otpornik:

Z  R e j0  R ,

Kalem:

Z  X L e j/2  L e j/2  L j  jL ,

Kondenzator: Z  X C e j /2 

Veza između kompleksnih napona i struje Otpornik

U  RI

Kalem

U  jL I

Kondenzator

I  jCU 1 U I jC

U  RI U  jL I

1  j /2 1 1 1 e  ( j )   j  , C C C jC

Kompleksna Impedansa

Z

R jL

1 1 j jC C

Eksponencijalni oblik kompleksne impedanse

Z

1 I jC

Kompleksna admitansa

Y

1 Z

1 R

R L e

U

j

 2

1  j 2 e C

1 1 j jL L

jC

4.6.6 KOMPLEKSNA, AKTIVNA, REAKTIVNA I PRIVIDNA SNAGA PRIJEMNIKA Kompleksna snaga prijemnika

S  U I * - kompleksna saga j (  ) j

S  U I  Ue Ie *

 j

 UI e



 Se j

S

 S  cos   j sin    S cos   j S sin  P

 P  jQ

S  P  jQ S  UI - prividna snaga

S  S  P2  Q2

Q

Aktivna snaga prijemnika P  UI cos   S cos 

Reaktivna snaga prijemnika Q  UI sin   S sin 

Ostali izrazi za kompleksnu snagu *

U  U2 S UI U    * Z Z *

S

U2 Z*

S  U I *  Z I I *  ZI 2 , S  ZI 2

4.6.7 FAKTOR SNAGE PRIJEMNIKA Faktor snage prijemnika

k

P S cos    cos  S S

k  cos 

0  k 1 k  1 - za čisto otporničke prijemnike k  0 - za čisto reaktivne prijemnike (kalem i kondenzator)

0  k  1 - veza otpornika sa kalemovima i/ili kondenzatorima

4.6.8 REDNA, PARALELNA I MEŠOVITA VEZA ELEMENATA KOLA

Ze  Z1  Z 2 

 Zn

1 1 1    Z e Z1 Z 2



1 Zn

4.7 REŠAVANJE SLOŽENIH KOLA U KOMPLEKSNOM DOMENU 4.7.1 KIRHOFOVI ZAKONI

I

j

0 ,

j

U

k

0

k

4.7.2 ODREĐIVANJE NAPONA IZMEĐU DVE TAČKE Kao i kod kola stalnih struja, napon između tačaka 1 i 2 može se odrediti po formuli: 1

U12    E ,  Z I  2

4.7.3 METOD KONTURNIH STRUJA Z11 Ik1  Z12 Ik 2 

 Z1nk Iknk  Ek1

Z12 Ik1  Z 22 Ik 2 

 Z 2 nk Iknk  Ek 2

Z nk 1 Ik1  Z nk 2 Ik 2 

 Z nk nk Iknk  Eknk

4.8 TROFAZNA ELEKTRIČNA KOLA 4.8.1 JEDNOFAZNI I VIŠEFAZNI ELEMENTI Jednofazni (monofazni) elementi (generatori, prijemnici) imaju po dva priključka međusobno se povezuju dvožičnim vodovima Višefazni (polifazni) elementi (generatori, prijemnici) imaju više od dva priključka sastavljani od više jednofaznih elemenata

polifazni generator

polifazni prijemnik

U praksi se koriste trofazni simetrični sistemi sa 3 simetrično raspodeljene faze.

4.8.2 SIMETRIČAN TROFAZNI SISTEM 4.8.2.1 Simetrični trofazni generator Dobija se vezivanjem tri kalema, koji se nazivaju faze, pod sledećim uslovima: - kalemi su simetrično raspoređeni u prostoru, - efektivne vrednosti napona kalemi su jednake, - fazne razlike dve uzastopne ems su jednake i iznose 2 3 rad  1200 . Trenutne vrednosti napona na krajevima faza iznose: e1 (t )  2E cos(t  1 ) , često se usvaja 1  0

e2 (t )  2E sin(t  1  2 3) e3 (t )  2E sin(t  1  2 3)

odakle sledi:

e1 (t )  e2 (t )  e3 (t )  0 Prethodni sistem ems naziva se simetrični direktni sistem ili kraće simetrični sistem.

stalni magnet

kalemovi

Kompleksne vrednosti napona faza: E1  Ee j1 , često se usvaja 1  0 E2  Ee j (1  2 /3)  E1e  j 2 /3 E3  Ee j (1  2 /3)  E2e j 2 /3

odakle sledi:

E1  E2  E3  0 Načini vezivanja faza generatora: - trougao i - zvezda. Jednostavnosti radi, u narednom delu razmatramo idealne trofazne generatore (bez unutrašnjih impedansi, Z g  0 ).

Idealni trofazni generator vezan u trougao

A

Fazni naponi: U f 1  E1  U f e j1  U f , usvaja se 1  0

U f 2  E2  U f e j 2/3

+ +

B +

U f 3  E3  U f e j 2/3

C

U f - efektivna vrednost faznog napona

Linijski (međufazni) naponi: U AB  U f 1  U

U BC  U f 2  Ue j 2/3  U ABe j 2/3 UCA  U f 3  Ue j 2/3  U ABe j 2/3

U - efektivna vrednost linijskog napona II kirhofov zakon za trougao:

Veza između efektivnih vrednosti linijskih i faznih napona

U U f

U AB  U BC  U CA  U AB 1  e j 2 /3  e j 2 /3   U AB  0  0

Idealni trofazni generator vezan u zvezdu Fazni naponi: U A  E1  U f e j1  U f , usvaja se 1  0 U B  E2  U f e j 2/3  U Ae j 2/3 UC  E3  U f e j 2/3  U Ae j 2/3

A + 0 +

+

U f - efektivna vrednost faznog napona

Linijski (međufazni) naponi U AB  U A  U B  U A  U Ae j 2 /3  U A 1  e j 2 /3   U f 3e j/6  U f 3e j/6  Ue j/6

U BC  U B  U C  U Ae j 2 /3  U Ae j 2 /3  U A 3e j/2  U f 3e j/2  Ue j/2

U CA  U C  U A  U Ae j 2 /3  U A  U A 3e j 5/6  U f 3e j 5/6  Ue j 5 /6

U - efektivna vrednost linijskih napona: U  U f 3

B

C N

Fazorski dijagram napona

U AB  U f 3e j/6 U BC  U f 3e j/2 U CA  U f 3e j 5/6 Efektivne vrednosti linijskih i faznih napona u elektroenergetskom sistemu Niskonaponska gradska mreža: linijski napon je U  400 V fazni napon je U f  230 V Napomena. Učestanost u elektroenergetskim sistemima: kod nas i u svim evropskim zemljama f  50 Hz u nekim drugim zemljama (na primer, SAD) je f  60 Hz

4.8.2.2 Simetrični trofazni prijemnik

Z p1  Z p 2  Z p 3  Z p  Z P e

j p

,

A

+

Z p impedansa,  p - faza prijemnika

0

Veza prijemnika u zvezdu

B

Linijske struje su jednake faznim strujama

C N

I p1  I A 

Uf U  j UA   f e p j p Z p ZPe Zp

I p2

 j 2  /3 U f j ( 2 /3 p ) UB U f e  IB    e  I p1e j 2 /3 j p Zp Zp Z Pe

I p3

j 2  /3 U f j (2/3 p ) UC U f e  IC    e  I p1e j 2 /3 j p Zp Z Z Pe p

Efektivne vrednosti faznih struja prijemnika: I  I p  U f / Z p

+ +

U A  U f e j0  U f U B  U f e j 2/3

UC  U f e j 2/3

Fazorski dijagram

Struja neutralnog provodnika:

I N  I A  I B  IC  I A  I Ae  j 2  /3  I Ae j 2  /3

 I A 1  e  j 2  /3  e j 2  /3   I A  0  0 Neutralni provodnik se može izostaviti! U praksi, sistem nikada nije potpuno uravnotežen, u neutralnom provodniku postoji struja, ali je ona obično znatno manja od struja u fazama voda

Veza prijemnika u trougao ZP  ZPe

j p

U AB  Ue j 0

A

+

U BC  Ue j 2 /3 U CA  Ue j 2  /3

B

Fazne struje: C

+ +

I p1 

U AB U U  j p  j   e  Ife p Zp Zp Zp

I p2 

U BC Ue j 2  /3 U  j (2  /3 p )  j (2  /3 p )   e  Ife  I p1e  j 2  /3 j p Zp Zp Z Pe

I p3 

U CA Ue j ( 1  2  /3) U j (2  /3 p )   e  I f e j ( 1  2  /3)  I p1e j 2  /3 j Zp Zp Z Pe p

I f  U / Z p - efektivna vrednost fazne struje

U - efektivna vrednost linijskog napona

Linijske struje:

I A  I p1  I p 3  I p1  I p1e j 2 /3  I p1 1  e j 2 /3   I p1 3e j/6 

3I f e

IB  I p 2  I p1  I p1e j 2 /3  I p1  I p1  e j 2/3  1  I p1 3e j 5/6 

j (  /6  p )

3I f e

j ( 5  /6  p )

IC  I p 3  I p 2  I p1e j 2 /3  I p1e  j 2 /3  I p1  e j 2 /3  e  j 2 /3   I p1 3e  j 3/2 

3I f e

j ( 3 /2  p )

I  3I f  3U / Z p - efektivne vrednosti linijskih struja

U - efektivna vrednost linijskog napona

Kod prijemnika vezanog u trougao, efektivna vrednost linijskih struja je puta veća od efektivne vrednosti faznih struja.

3

4.8.2.3 Vezivanje trofaznih elemenata Trofazno kolo čine bar jedan trofazni generator, trofazni vod i trofazni prijemnik. U kolu mogu biti vezani i monofazni elementi. A

B C N

4.8.2.4 Snage simetričnih trofaznih prijemnika Snaga prijemnika vezanog u zvezdu Kompleksna snaga trofaznog prijemnika je:

S 

U 2f Z

* p



U 2f Z

 3U f Ie S  3UIe 

* p

j p

j p



U 2f Z



* p

3

U 2f Z pe

3UIe

 j p

3

U 2f Zp

e

 j p

 3U f

Uf Zp

e

j p

j p

 3UI  cos( p )  j sin( p ) 

3UI cos( p )  j 3UI sin( p )

A

+

 P  jQ

0

Aktivna snaga trofaznog prijemnika:

P  3U f I cos( p )  3UI cos( p )

B

C N

+

+

Rekativna snaga trofaznog prijemnika:

Q  3U f I sin( p )  3UI sin( p ) Prividna snaga trofaznog prijemnika: S S 

3UIe

j p

 3UI  3U f I

S  3U f I

Može se pokazati da trenutna snaga ovog prijemnika iznosi: p(t )  p1 (t )  p2 (t )  p3 (t )  u p1i p1  u p 2i p 2  u p 3i p 3  3UI cos( p )  3U f I cos( p )

Ukupna trenutna vrednost snage trofaznog simetričnog prijemnika je konstantna i nezavisna od vremena. Ona je jednaka aktivnoj snazi: p (t )  P

Snaga prijemnika vezanog u trougao Kompleksna snaga: S 

U2 U2 U2 U2 U 2 j p U j p    3  3 e  3U e  j p * * * Zp Zp Zp Zp Zp Z pe

 3UI f e

j p

S  3UIe

j p



3UIe

j p

 3UI  cos( p )  j sin( p )  

3UI cos( p )  j 3UI sin( p )

Aktivna, reaktivna i prividna snaga iznose: P  Re S  3UI cos( p )  3UI f cos( p )

Q  Im S  3UI sin( p )  3UI f sin( p ) S  S  3UI f  3UI Dobijaju se isti izrazi za snage kao i kod prijemnika vezanog u zvezdu. Međutim to ne znači sa su snage prijemnika vezanog u zvezdu i trougao jednake.

Odnos snaga prijemnika vezanog u trougao i zvezdu

3

U2 cos( p ) Zp

2

U  P     3 U 2f P U f   3 cos( p ) Zp U2 3 sin( p ) Zp

2

U  Q   3 2  U  Uf Q f  3 sin( p )  Zp

3

U2 Zp

2

U  S    3 2 U f  U f  S 3 Zp

Aktivna, reaktivna i prividna snaga tri puta je veća u slučaju prijemnika vezanog u trougao u odnosu na prijemnik vezan u zvezdu.

4.8.3 TROFAZNI NESIMETRIČNI PRIJEMNIK VEZAN U ZVAZDU U slučaju nesimetričnog prijemnika vezanog u zvezdu, koji je priključen na simetrični trofazni sistem imamo: Z p1  Z p 2  Z p 3

Z p1  R1  jX1  Z p1e j1 , Z p 2  R2  jX 2  Z p 2e j2 , Z p3  R3  jX 3  Z p3e j3

Jačine struja u fazama prijemnika

I p1 

U f1

I p2 

Uf2

I p3 

Uf3

Z p1

Z p2

Z p3







U f e j1 Z p1e

Uobičajeno je da se početna faza prvog faznog napona usvaja za nulu:

j1

U f e j (1 2 /3)

1  0

Z p 2e j2 U f e j (1  2 /3) Z p 3e j3

,

I N  I p1  I p 2  I p 3  0

Snage nesimetričnog trofaznog prijemnika: S

U 2f Z *p1



U 2f Z *p 2



U 2f Z *p 3



U 2f Z p1e

 j p1



U 2f Z p 2e

 j p 2

 1 j p1 1 j p 2 1 j p 3   U 2f  e  e  e  Z  Z p2 Z p3  p1 

S S P  ReS Q  ImS



U 2f Z p 3e

 j p 3