4486234 A Excelente Apostila De A 2 Grau

Análise Combinatória Fatorial de um número: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 Definições especiais: 0!=1 1!=1 100!+101! . 99! 100!+101! 100 .99!+101 .100 .99! = = 100 + 101 .100 = 100 + 10100 = 10200 99! 99!

1) Calcule o valor da expressão

( x + 1)! = 56. ( x − 1)! ( x + 1)! ( x + 1)( x)( x − 1)! = 56 ⇒ = 56 ⇒ ( x + 1)( x) = 56 ⇒ x 2 + x = 56 ⇒ ( x − 1)! ( x − 1)!

2) Resolva a equação

x = 7 − 1 ± 225 − 1 ± 15 ⇒ x= ⇒ 2 2 x = -8 Resposta : x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo. ⇒ x 2 + x − 56 = 0 ⇒ x =

3) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos campeões do mundo. Quantas são as possibilid ades para os três primeiros lugares? R : Existem 4 possibilid ades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilid ades para o 2º lugar e 2 possibilid ades para o 3º lugar → 4.3.2 = 24 possibilid ades.

Arranjo simples: An , p =

4) Calcule

n! ( n − p )!

A6, 2 + A4, 3 − A5, 2 A9, 2 + A8,1

A6, 2 + A4 ,3 − A5, 2 A9 , 2 + A8,1

.

6! 4! 5! + − (6 − 2)! ( 4 − 3)! (5 − 2)! 30 + 24 − 20 34 17 = = = = 9! 8! 72 + 8 80 40 + (9 − 2)! (8 −1)!

5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos sistema decimal (0,1,2,3,4 ,5,6,7,8,9 ) sem os repetir, de modo que : a) COMECEM COM 1. R : O número pode possuir tr

ês algarismos

, sendo que para o primeiro

possibilid ade (1) e para os outros dois ainda existem 9 números 9! 9! 9.8.7! 1. A9 , 2 = = = = 9.8 = 72 números. (9 − 2)! 7! 7! b) COMECEM

COM 2 E TERMINEM

disponívei

do

existe apenas 1 s:

COM 5.

R : Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilid ade (2), e para o terceiro também existe apenas 1 possibilid ade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilid ades : 1.1. A8,1 =

8! 8! 8.7! = = = 8 números. (8 −1)! 7! 7!

c) SEJAM DIVISÍVEIS POR 5. R : Para um número ser divisível 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeirame vamos calcular o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 : →Para o terceiro existem 9 números

algarismo disponívei

existe apenas 1 possibilid s. Portanto

ade (0), e para os dois primeiros

o número de divisíveis

9! 9! 9.8.7! 1. A9 , 2 = = = = 9.8 = 72 números. (9 − 2)! 7! 7! →Agora calculamos quantos divisíveis por 5 terminam

por 5 que terminam

com 5 : para o terceiro

nte ainda com 0 é :

algarismo

existe apenas uma possibilid ade (5). Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilid ades, pois o número não pode começar com 0 (senão seria um número de 2 algarismos ). E para o segundo

algarismo

também

existem 8 possibilid

ades (o segundo

algarismo

pode ser 0).

8! 8! 8! 8! 8.7! 8.7! . = . = . = 8.8 = 64 números. (8 −1)! (8 −1)! 7! 7! 7! 7! : O número de divisíveis por 5 é 72 + 64 =136 números.

1. A8,1 . A8,1 = Resposta

6) Quantos são os números compreendi dos entre 2000 e 3000 formados por algarismos distintos escolhidos entre 1,2,3,4,5, 6,7,8 e 9? R : O número deve ter quatro algarismos (pois está entre 2000 e 3000). Para o primeiro algarismo disponívei 1. A8,3

existe apenas uma possibilid ade (2), e para os outros três ainda existem 8 números s, então : 8! 8! 8.7.6.5! = = = = 8.7.6 = 336 números. (8 −3)! 5! 5!

Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos. Pn = n!

7) Quantos números de 5 algarismos P5 = 5! = 5.4.3.2.1 =120 números. 8) Quantos

anagramas

distintos

da palavra EDITORA

podem ser formados

por 1,2,3,5 e 8?

:

a) COMEÇAM POR A. Para a primeira letra existe apenas uma possibilid ade (A), e para as outras 6 letras existem 6 possibilid ades. Então o total é : 1.P6 =1.6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas. b) COMEÇAM Para a primeira

POR A e terminam

com E.

letra existe 1 possibilid ade (A), e para última também só existe 1 (E),

e para as outras 5 letras existem 5 possibilid ades. Então o total é : 1.1.P5 =1.1.5! = 5.4.3.2.1 =120 anagramas. 8) Calcule de quantas maneiras podem ser dipostas 4 damas e 4 cavalheiro s, numa fila, de forma que não fiquem juntos dois cavalheiro s e duas damas. R :Existem duas maneiras de fazer isso : C - D - C - D - C - D - C - D ou D - C - D - C - D - C - D - C Colocando um cavalheiro na primeira posição temos como número total de maneiras P4 .P4 = 4!. 4! = 24 .24 = 576 maneiras. Colocando uma dama na primeira posição temos também : P4 .P4 = 4!. 4! = 24 .24 = 576 maneiras. Portanto

o total é 576 + 576 =1152 maneiras.

Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes. Cn, p =

n! p!( n − p )!

:

9) Resolver a equação C m ,3 − C m, 2 = 0. m! m! − =0 3!(m − 3)! 2!(m − 2)! m.( m − 1).( m − 2).( m − 3)! m.( m − 1).( m − 2)! − =0 3!(m − 3)! 2!( m − 2)! m.( m − 1).( m − 2) m.( m − 1) − =0 3! 2! m 3 − 2m 2 − m 2 + 2m m 2 − m − =0 6 2 m 3 − 3m 2 + 2m − 3m 2 + 3m = 0 ⇒ m 3 − 6 m 2 + 5m = 0 6 m' = 5 6 ± 16 m 2 − 6m + 5 = 0 ⇒ m = ⇒  2 m' ' = 1 Resposta : m = 5. obs : m = 1 não é a resposta porque não pode haver C1,3 . 10) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes podem ser feitas? C10 , 6 =

10! 10 .9.8.7.6! 5040 5040 = = = = 210 tipos de saladas. 6!.(10 − 6)! 6!.4! 4! 24

11) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3 rapazes e 4 moças? RAPAZES - C 7 ,3 MOÇAS - C 6, 4 O resultado é o produto C 7 ,3 .C 6, 4 . 7! 6! 7.6.5.4! 6.5.4! 210 30 . = . = . = 35 .15 = 525 comissões. 3!(7 − 3)! 4!(6 − 4)! 3!.4! 4!.2! 3! 2

Binômio de Newton Introdução Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Se quisermos calcular

, podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de . Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais Sendo n e p dois números naturais binomial de classe p, do número n, o número

, chamamos de coeficiente , que indicamos por

(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:

É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

Exemplos:

Propriedades dos coeficientes binomiais Se n, p, k

e p + k = n

1ª) então Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares. Exemplos:

Se n, p, k

e p

p-1

0

2ª) então Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567). Exemplos:

Triângulo de Pascal

A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna. Por exemplo, os números binomiais números binomiais

,

,

,

, ...,

,

,

e

estão na linha 3 e os

, ... estão na coluna 1.

Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

Construção do triângulo de Pascal

Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los: 1ª) Como

= 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como

= 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel). Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

Propriedade do triângulo de Pascal P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.

De fato, esses binomiais são complementares.

P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é

.

De modo geral temos:

P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 1 + 4 + 10 + 20 = 35

P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton Como vimos, a potência da forma chamada binômio de Newton. Além disso: •

quando n = 0 temos

•

quando n = 1 temos

•

quando n = 2 temos

•

quando n = 3 temos

•

quando n = 4 temos

, em que a,

, é

Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:

De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:

Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos.

Fórmula do termo geral do binômio Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos que cada um deles é da forma

•

Quando p = 0 temos o 1º termo:

•

Quando p = 1 temos o 2º termo:

•

Quando p = 2 temos o 3º termo:

.

•

Quando p = 3 temos o 4º termo:

Quando p = 4 temos o 5º .............................................................................. •

termo:

Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:

Cilindro Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:

Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento paralelo à reta r :

Assim, temos:

,

Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r. Elementos do cilindro Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

•

bases: os círculos de centro O e O'e raios r

•

altura: a distância h entre os planos

geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r •

Áreas

Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (AL) Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :

b) área da base ( AB):área do círculo de raio r

c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases

Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura: Vcilindro = ABh No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ; portanto seu volume é:

Esfera Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume O volume da esfera de raio R é dado por:

Partes da esfera Superfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

Cone circular Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos .

Elementos do cone circular Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

•

altura: distância h do vértice V ao plano

geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência •

•

raio da base: raio R do círculo

eixo de rotação:reta vértice do cone •

determinada pelo centro do círculo e pelo

Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

G2 = h2 + R2 Secção meridiana A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:

Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento :

Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área lateral (AL): área do setor circular

b) área da base (AB):área do circulo do raio R

c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base

Volume Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:

d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e S=área da superfície

Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:

Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:

O CG do triângulo está a uma distância Logo:

do eixo de rotação.

CONJUNTOS NUMÉRICOS • Conjunto dos números naturais (IN)

IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*: IN*={1, 2, 3, 4, 5,...}  o zero foi excluído do conjunto IN. Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo:

• Conjunto dos números inteiros (Z)

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} O conjunto IN é subconjunto de Z. Temos também outros subconjuntos de Z: Z* = Z-{0} Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} Observe que Z+=IN. Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo:

• Conjunto dos números racionais (Q) Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador ∈ Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. 5 3 3 Então : -2 , − , −1, , 1, , por exemplo, são números 4 5 2

racionais.

Exemplos: −3 − 6 −9 = = 1 2 3 1 2 3 b) 1 = = = 1 2 3 a) − 3 =

Assim, podemos escrever: Q = {x | x =

a , com a ∈ Z , b ∈ Z e b ≠ 0} b

É interessante considerar a representação decimal de um número racional , a que se obtém dividindo a por b. b

Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas: 1 = 0,5 2

−

5 = −1,25 4

75 = 3,75 20

Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: 1 = 0,333 ... 3

6 = 0,8571428571 42 ... 7

7 = 1,1666 ... 6

Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. • Conjunto dos números irracionais Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois

2 =1,4142135

...

3 =1,7320508

...

inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3: Um número irracional π =3,1415926535...

bastante

conhecido

é

o

número

• Conjunto dos números reais (IR) Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:

IR=Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional} O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos: IR* = IR-{0} IR+ = conjunto dos números reais não negativos IR_ = conjunto dos números reais não positivos Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo: • Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... • Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

Determinantes Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: •

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;

cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices; •

Determinante de 1ª ordem Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11: det M =Ia11I = a11 Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo. Por exemplo: •

M= [5]

det M = 5 ou I 5 I =

5

M = [-3] = -3 •

det M = -3 ou I -3 I

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Menor complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:

b) Sendo

•

Cofator

, de ordem 3, temos:

•

Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij . Veja:

a) Dada matriz M são:

b) Sendo

, os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da

, vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:

Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando

, temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, . Regra de Sarrus O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para

.

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3 Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Propriedades dos determinantes Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades: P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo. Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. Exemplos:

P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo:

P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos:

P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos:

P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por

.

Exemplos:

P11)

Para

A

e

B

matrizes

quadradas

de

mesma

. Como: Exemplo:

P12) Exemplo:

Equações algébricas (com uma variável) Introdução

ordem

n,

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0 Não são equações: 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade) (não é sentença aberta, nem igualdade) A equação geral do primeiro grau: ax+b = 0 onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: ax = -b dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5. Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

Observe este outro exemplo: •

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Daí concluímos que: Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações: •

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais. •

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S. •

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência: •

Substituir a incógnita por esse número.

•

Determinar o valor de cada membro da equação.

Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. •

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

•

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0

=> -2 = 0. (F) Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F) Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V) Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F) Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

•

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) 5 = 1 => -7 = 1. (F) Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F) Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F) Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Função de 1º grau - Afim Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x 3, onde f(x) = -2x 7, onde f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

a a

= =

5 -2

e e

b b

= =

-

3 7

Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a)

Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

b)

Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto,

e outro ponto é

. Marcamos os pontos (0, -1) e dois com uma reta.

no plano cartesiano e ligamos os

x 0

y -1 0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. Zero e Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0

ax + b = 0

Vejamos alguns exemplos: 1.

Obtenção

do

zero

da

f(x) = 0 da

raiz

função

f(x)

=

2x

-

5:

2x - 5 = 0

2.

Cálculo

da função g(x) = 3x g(x) = 0 3x + 6 = 0

+ 6: x = -2

3.

Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) =

0;

então: h(x) = 0

-2x + 10 = 0

x=5

Crescimento e decrescimento Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x y

-3 -10

-2 -7

-1 -4

0 -1

1 2

2 5

3 8

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral: a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); Justificativa:

para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). • para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). •

Sinal Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz possíveis:

. Há dois casos

1º) a > 0 (a função é crescente) y>0

ax + b > 0

x>

y>0

ax + b < 0

x<

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente) y>0

ax + b > 0

x<

y>0

ax + b < 0

x<

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos de equações exponenciais: 1) 3x =81 (a solução é x=4) 2) 2x-5=16 (a solução é x=9) 3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1) 4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1) Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: am = an ⇒ m = n

( a ≠ 1 e a > 0)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) 3x=81

Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34 E daí, x=4. 2) 9x = 1

Resolução: 9x = 1 ⇒ 9x = 90 ; logo x=0. x

81 3 3)   = 256 4 x

x

x

4

81 34 3 3 3 3 Resolução :   = ⇒   = 4 ⇒   =   ; então x = 4. 256 4 4 4 4 4 4) 3 x = 4 27 3

Resolução : 3 x = 4 27 ⇒ 3 x = 4 33 ⇒ 3 x = 3 4 ; logo x =

3 4

5) 23x-1 = 322x

Resolução: 23x-1 = 322x ⇒ 23x-1 = (25)2x ⇒ 23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10, de onde x=-1/7.

6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.

Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: 32x–6.3x–27=0 ⇒ (3x)2-6.3x–27=0 Fazendo 3x=y, obtemos: y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos ⇒ y’=-3 e y’’=9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y: y’=-3 ⇒ 3x’ = -3 ⇒ não existe x’, pois potência de base positiva é positiva y’’=9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’=2 Portanto a solução é x=2

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a ∈ IR+ e a≠ 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 01)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

X

-2

-1

0

1

2

y

1/4

1/2

1

2

4

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: X Y

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a rel="nofollow">1

0
f(x) é crescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 rel="nofollow">x1 ⇒ y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 ⇒ y2
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos de inequações exponenciais: 1) 3 x > 81 2) 2

2x - 2 x

(a solução é x > 4)

≤2

x 2 −1

(que é satisfeita para todo x real) −3

4 4 3)   ≥   (que é satisfeita para x ≤ -3) 5  5  4) 25 x - 150.5 x + 3125 < 0 (que é satisfeita para 2 < x < 3)

Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1

0
am rel="nofollow"> an ⇒ m>n

am > an ⇒ m
(as desigualdades têm mesmo sentido)

(as desigualdades têm sentidos diferentes)

EXERCÍCIO RESOLVIDO: 1) 4 x −1 + 4 x − 4 x +1 > Resolução

:

A inequação Multiplica

−11 4

4x −11 + 4 x − 4 x .4 > . 4 4 ndo ambos os lados por 4 temos : pode ser escrita

4 x + 4.4 x −16 .4 x > −11 , ou seja : (1 + 4 −16 ). 4 x > −11 ⇒ -11 .4 x > −11 e daí, 4 x <1 Porém, 4 x <1 ⇒ 4 x < 4 0. Como a base (4) é maior que 1, obtemos 4 <4 x

0

Portanto

:

⇒ x <0 S = IR - (reais negativos)

FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a≠ 1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o

conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais). GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 0
y=log2x (nesse caso, a=2, logo a rel="nofollow">1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x y

4)

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0
x y

1/4 2

1/2 1

1 0

2 -1

4 -2

Nos dois exemplos, podemos observar que d) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1; f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a rel="nofollow">1

0
f(x) é crescente e Im=IR Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 rel="nofollow">x1 ⇒ y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 ⇒ y2
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos de equações logarítmicas:

log3x =5 (a solução é x=243) 2 8) log(x -1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2) 9) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4) 2 10) logx+1(x -x)=2 (a solução é x=-1/3) 7)

Alguns exemplos resolvidos:

log3(x+5) = 2 Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5 log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4 Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}. 1)

log2(log4 x) = 1 Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0 log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16 Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}. 2)

3) Resolva o sistema:

 l o xg + l o gy = 7   3.l o xg − 2.l o gy = 1 Resolução: condições de existência: x>0 e y>0 Da primeira equação temos: log x+log y=7 => log y = 7-log x Substituindo log y na segunda equação temos: 3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 => => log x =3 => x=103

Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos: log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104. Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}. INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos de inequações logarítmicas: 1) log2x > 0 (a solução é x>1) 2) log4(x+3) ≤ 1 (a solução é –3<x≤ 1) Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1

0
logam rel="nofollow"> logan ⇒ m>n>0

logam > logan ⇒ 0<m
(as desigualdades têm mesmo sentido)

(as desigualdades têm sentidos diferentes)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) log2(x+2) > log28

Resolução: Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1) Como a base (2) é maior que 1, temos: x+2>8 e, daí, x>6 (S2) O conjunto solução é S= S1 ∩ S2 = {x ∈ IR| x>6}. Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está representado logo abaixo no desenho:

2) log2(log3x) ≥ 0

Resolução: Condições de existência: x>0 e log3x>0 Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim: log2(log3x) ≥ log21 Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x ≥ 1. Como log33 = 1, então, log3x ≥ log33 e, daí, x ≥ 3, porque a base (3) é maior que 1. As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x ∈ IR| x ≥ 3}.

Função Quadrática Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 1. 2. 3. 4. 5.

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x -3 -2 -1

y 6 2 0

0 1 2

0 2 6

Observação: Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: •

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

•

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber: •

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

•

quando é zero, há só uma raiz real;

•

quando é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são

. Veja os gráficos:

Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 1ª - quando a > 0,

a>0

0, é o conjunto

2ª quando a < 0,

a<0

Construção da Parábola É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte: 1.

O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;

3.

O vértice V máximo (se a< 0);

indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou

4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; 5.

Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. 2 Conforme o sinal do discriminante = b - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1º- >0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0 y > 0 y < 0 x1 < x < x2

(x

<

x1

ou

x

>

x2)

quando a < 0 y y<0

2º -

> 0 (x < x1 ou x > x2)

x1

=0

quando a > 0

<

x

<

x2

quando a < 0

3º -

<0

quando a > 0

quando a < 0

GEOMETRIA ANALÍTICA Retas Introdução Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:

A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

Plano cartesiano A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

Exemplos: • •

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Equações de uma reta Equação geral

Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos: ax + by + c = 0 (equação geral da reta r) Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n): •

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;

•

se am + bn + c

0, P não é ponto da reta. Acompanhe os exemplos:

Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4). •

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos: •

-3 - (-1) + 2 = 0

-3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então P r.

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos: 1-2+2

0

Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.

Geometria Analítica: Circunferência

Equações da circunferência Equação reduzida Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .

Equação geral Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é: ( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Geometria Analítica - Cônicas Elipse Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

A figura obtida é uma elipse. Observações: 1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento. 2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos. 3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

•

focos : os pontos F1 e F2

•

centro: o ponto O, que é o ponto médio de

•

semi-eixo maior: a

•

semi-eixo menor: b

•

semidistância focal: c

•

vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

•

eixo maior:

•

eixo menor:

•

distância focal:

Relação fundamental Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 =b2 + c2 Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1. Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência. Equações Vamos considerar os seguintes casos: a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse elipse:

, obtemos a equação da

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é:

Hipérbole Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Parábola Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d. Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:

1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. 3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco. 4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.

Matrizes Introdução O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: Química Inglês

Literatura Espanhol

A

8

7

9

8

B

6

6

7

6

C

4

8

5

9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos:

•

•

é uma matriz do tipo 2 x 3

é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

Na matriz

, temos:

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5. Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4. •

•

Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna.

Por

exemplo,

,

do

tipo

3

x

1

Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por •

exemplo, a matriz 2.

é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1 a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1) Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n. •

Por

exemplo,

.

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo: •

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: •

Assim,

para

uma

matriz

identidade

.

Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocandose ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: •

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At. Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo, •

ou

seja, •

é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, temos sempre a = a ij ij.

Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de

todos os elementos de A. Por exemplo,

.

Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

.

Operações envolvendo matrizes Adição Dadas as matrizes matrizes a matriz :

, chamamos de soma dessas , tal que Cij = aij + bij , para todo

A+B=C Exemplos:

•

•

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Propriedades Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 Subtração Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B: A-B=A+(-B) Observe:

Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij: B = x.A Observe o seguinte exemplo:

Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x . (yA) = (xy) . A b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da jésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz obtém cada Cij: •

1ª linha e 1ª coluna

•

1ª linha e 2ª coluna

•

2ª linha e 1ª coluna

•

2ª linha e 2ª coluna

para entender como se

Assim,

.

Observe que:

Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes

:

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): •

Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5

•

Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto

•

Se

A

4

x

2

e

B

2

x

,

1

então

(

A

.

B

)

4

x

1

Propriedades Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C ) b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou (A+B).C=A.C+B.C c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n. Matriz inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . Representamos a matriz inversa por A-1 .

Grandezas - Introdução Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção. Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: Tempo (minutos) Produção (Kg) 5 100 10 200 15 300 20 400 Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos 5min ----> 100Kg 10 min ----> 200Kg

o

tempo,

a

produção

também

duplica.

Quando triplicamos 5min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg

o

tempo,

a

produção

também

triplica.

Assim: Duas

grandezas

variáveis

dependentes

são

diretamente

proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo Velocidade (m/s) 5 8 10 16 20

Tempo (s) 200 125 100 62,5 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5m/s ----> 200s 10 m/s ----> 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5m/s ----> 200s 20 m/s ----> 50s Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a

razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

POLINÔMIOS •

Definição

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0. Onde: an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes. n ∈ IN x ∈ C (nos complexos) é a variável. GRAU DE UM POLINÔMIO: Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an≠ 0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos: a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0. b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1. c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5. Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio. •

Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo: Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x3+2x2+x-4 P(2)= 23+2.22+2-4 P(2)= 14 Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

Alguns exercícios resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a. Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0 3a = -10 => a=-10/3 Resposta: a=-10/3 2º) Calcular m ∈ IR para que o polinômio P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja: a) do 3ºgrau b) do 2º grau

c) do 1º grau

Resposta: a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser diferentes de zero. Então: m2-1≠ 0 => m2≠ 1 => m≠ 1 m+1≠ 0 => m≠ -1 Portanto, o polinômio é do 3º grau se m≠ 1 e m≠ -1. b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a

zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então: m2-1=0 => m2=1 => m=± 1 m+1≠ 0 => m≠ -1 Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1. c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser

iguais a zero. Então: m2-1=0 => m2=1 => m=± 1 m+1=0 => m=-1 Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1. 3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1). Resolução: Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c. Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema: P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1 P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8 P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3

Temos um sistema de três variáveis:

a + b+ c= -1   4 a+ 2 b+ c = - 8  9 a+ 3 b+ c = 3  Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: a=9, b=-34, c=24 Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24. O problema pede P(-1): P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24 P(-1)= 66 Resposta: P(-1)= 66 •

Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)≡ B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 ≡ a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1). Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos: x2-2x+1 ≡ ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 1x2-2x+1 ≡ (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c) Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

a+ b = 1  a+ b+ c = −2 a+ c = 1  Substituindo a 1ª equação na 2ª: 1+c = -2 => c=-3. Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: a-3=1 => a=4.

Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 4+b=1 => b=-3. Resposta: a=4, b=-3 e c=-3. Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos. •

Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo: 1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 P( x)

D( x )

R( x)

Q( x)

Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão. Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Se D(x) é divisor de P(x) ⇔ R(x)=0 Exemplo: Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2. Resolução: Aplicando o método da chave, temos: x 4 + x 3 −7 x 2 +9 x −1 − x 4 −3 x 3 + 2 x 2

x 2 +3 x −2 x 2 −2 x +1

−2 x −5 x +9 x −1 3

2

+ 2 x 3 +6 x 2 −4 x x 2 +5 x −1 − x 2 −3 x + 2 2 x +1 → R ( x )

→ Q( x)

Verificamos que: 4 2 x + x 3 - 7x +9x - 1 ≡ (x 2 + 3x - 2) (x 2 - 2x + 1) + (2x + 1)       P(x)

•

D(x)

Q(x)

R(x)

Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1. Utilizando o método da chave temos: 4 x 2 −2 x +3 −4 x 2 +2 x

2 x −1 2x

3

Logo: R(x)=3 A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2. Agora calculamos P(x) para x=1/2. P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3 P(1/2) = 3 Observe que R(x) = 3 = P(1/2) Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

•

Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a). Note que –b/a é a raiz do divisor. Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1. Resolução: Achamos a raiz do divisor: x+1=0 => x=-1 Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1): P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x) Resposta: R(x) = -5.

•

Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0 Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x2px+2 seja divisível por x-2. Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0. P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19 Resposta: p=19. •

Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2. Temos: a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1) b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2) E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq. 3) O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=cx+d Da eq.3 vem: P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d Fazendo: x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4) x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5) Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

 c a+ d = r1   c b+ d = r2 Resolvendo o sistema obtemos:

r1 − r2 ar − ar1 e d= 2 , com a ≠ b a −b a −b r − r2 ar − ar1 Logo : R ( x ) = 1 x+ 2 , com a ≠ b a −b a −b

c=

Observações: 1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos: P(a)= r1 =0 P(b)= r2 =0 Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois: R( x) =

r1 − r2 ar − ar1 x+ 2 = 0 +0 = 0 a −b a −b

2ª) Generalizando, temos: Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) então P(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an). Exemplo: Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)? Resolução: 0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1) 1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2) E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x)

(eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo: R(x)=ax+b Da eq.3 vem: P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b Fazendo: x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

b= 6  a+ b= 8

(eq. 4) (eq. 5)

Logo, b=6 e a=2. Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6 Resposta: R(x) = 2x+6. •

O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b). Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2). Resolução:    2

RAIZ DO DIVISOR

COEFICIENT S DE P(x)     E   3 −5 1 −2

↓

3.( 2) −5

1.( 2) +1

3 3  1   COEFICIENT

ES DO QUOCIENTE

Q(x)

3.( 2) −2 4 RESTO

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4. Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos: 1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”. 2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo. 3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste. 4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente. 5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente. •

Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinômio é do 2º grau. De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:

ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2) Exemplos: 1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4. Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2. Logo: x2-4 = (x-2)(x+2). 2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.

Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2. Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3. Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também. Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x. Resolução: 2x3-x2-x = x.(2x2-x-1)  colocando x em evidência Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0. Uma das raízes já encontramos (x=0). As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2. Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é: 2.x.(x-1).(x+(1/2)). Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma: anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)

Observações:

1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc. 2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.

PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 2. Idem, o evento em que: a)

A ou B ocorrem;

b)

B e C ocorrem;

c)

Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução: 1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. 2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B ∩ C = {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; B ∩ Ac ∩ Cc = {K3,K5,R2} 3.

A e C são mutuamente exclusivos, porque A ∩ C = ∅

Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Propriedades Importantes: 1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre ∅ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

Probabilidade Condicional Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. Fórmula de Probabilidade Condicional P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.

Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim:

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos: P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2) De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos: P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Progressões Aritméticas Progressão aritmética é uma sequência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada razão. Fórmula do termo geral de uma P.A. :

a n = a1 + (n −1).r

Soma de termos de uma P.A. finita : S n =

(a1 + a n ).n 2

Logo abaixo temos alguns exercícios de progressões aritméticas resolvidos. 1) Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo. Primeirame nte encontramo s a razão : r = a2 − a1 ⇒ r = −15 − ( −19 ) ⇒ r = 4. Logo, o termo geral é : an = a1 + ( n −1). r ⇒ an = −19 + ( n −1). 4 ⇒ an = −19 + 4n − 4 ⇒ an = 4n − 23

2) Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13. No problema

: a1 = −8,

an =13 ,

n = 8 (pois 6 meios aritmético s serão interpolad os

entre os dois extremos, que são - 8 e 13. Logo, existem 8 termos na P.A.). Para interpolar os valores, devemos encontrar a razão : an = a1 + ( n −1). r ⇒ 13 = −8 + (8 −1). r ⇒ 13 = −8 + 7 r ⇒ 13 +8 = 7 r ⇒ 21 ⇒ r = 3. 7 a razão, basta interpolar

7r = 21 ⇒ r = Encontrada

os meios aritmético s :

- 8, - 5, - 2, 1, 4, 7, 10, 13

3) Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.

 a1 + a 2 + a3 = 1 2  2 2 2  a1 + a2 + a3 = 8 0 S a b e m oq su ea 2 = a1 + r e q u e a3 = a1 + 2r. E n tã sou b s titu oimsn os is te maac im :a  a1 + (a1 + r ) + (a1 + 2r ) = 1 2  3a1 + 3r = 1 2 ⇒ ⇒  2  2 2 2 2 2 2 2  a1 + (a1 + r ) + (a1 + 2r ) = 8 0  a1 + a1 + 2a1 r + r + a1 + 4a1 r + 4r = 8 0  →  3a1 + 3r = 1 2 ⇒   3a 2 + 6a r + 5r 2 = 8 0 1  1

a1 =

1 2− 3r → 3

a1 = 4 − r

S u b stitudinon as e g u n deaq u a ç ãteo m o:s 3(4 − r ) 2 + 6(4 − r )r + 5r 2 = 8 0 3(1 6− 8r + r 2 ) + (2 4− 6r )r + 5r 2 = 8 0 4 8− 2 4r + 3r 2 + 2 4r − 6r 2 + 5r 2 = 8 0 4 8+ 2r 2 = 8 0 → 2 r2 = 8 0− 4 8 → 2 r2 = 3 2 → r 2 = 1 6→ r = 1 6 → r = ± 4 A g o rae n c o n tra m s oop rim e iro te rm :o 1 )P a rar = 4 : a1 = 4 - r → a 1 = 4 - 4 → a 1 = 0 P .A: (0 ,4 ,8 ) 1 )P a rar = − 4 : a1 = 4 - r → a 1 = 4 - (-4 ) → a 1 = 8 P .A: (8 ,4 ,0 ) R e s p o s :ta(0 ,4 ,8 o) u (8 ,4 ,0 ).

4) Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3. Entre 13 e 247 existem 233 números. nós devemos

calcular

total de números

primeirame

Para calcular

nte quantos

quantos

números

(233) pelo número de múltiplos,

números

NÃO são múltiplos

SÃO múltiplos

de 3,

de 3, e logo após subtrair

o que dará como resultado

o número

o número de NÃO múltiplos.

Para calcular o número de múltiplos de 3 : a1 =15 (pois é o primeiro múltiplo de 3 depois do 13) r = 3,

a n = 246 (pois é o último múltiplo

a n = a1 +( n −1). r Dos 233 números,

→ 246 =15 +(n - 1)3 78 são múltiplos

de 3 antes do 247). Basta achar o n, que é o número de múltiplos → 231 = 3n - 3

→ n=

de 3, logo 155 não são múltiplos

de 3.

234 3

→ n = 78

:

5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética. Para ser uma P.A. : a3 − a 2 = a 2 − a1 3 x −( x +1) = ( x +1) − 2 x 2 x −1 =1 − x 2 x + x =1 +1

→

3x = 2

→

x=

2 3

6) Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é: (a1 + r ) + (a1 + 6r ) = (a1 + 3r ) + a k 2a1 + 7 r = a1 + 3r + a k 2a1 − a1 + 7 r − 3r = a k

→ a k = a1 + 4r

Logo k = 5, pois a 5 = a1 + 4r.

7) Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:

r= 4  P e el no u n oc bi at deo mos ,eo g s u di na dt: e oa1s s= − 9 0  a = 9 4( p oa Si sd e sv eme r a qi ouz ree r o ) n n B a es nt ac o o n túr ma dr et re or :m o s an = a1 + (n − 1) r. 9 4= − 9 +0 (n − 1) 4. 9 +4 9 0= 4n − 4 1 8+ 4 = 4n → n =

188 → n= 4 7 4

8) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.

r = 2 ; a1 = 2 ; S n = 1 3 2 a n = a1 + (n − 1) .r → an = 2 + (n − 1) .2 → an = 2 + 2n − 2 → an = 2n S u b s titud in on af ó r m udlaas o m ate m o: s (a + a ) .n ( 2 + 2n) n S n = 1 n → 1 3 2= → n 2 + n − 1 3 2= 0 2 2 − 1 ± 1 + 4.1.1 3 2 − 1 ± 5 2 9 − 1 ± 2 3  n = − 1 2 n= = = = ⇒ n= 11 n = 1 1 2 2 2 

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão. Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2. Cálculos do termo geral Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira: a1

a2

a3

...

a1

a1xq a1xq2 ...

a20

...

a1xq19

an ... a1xqn-1 ...

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica. an = a1 x qn-1 Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então: an = 2 x (1/2)n-1 Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos: a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8 A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela

multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí. Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e viceversa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an Multiplicando ambos os membros Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q

pela

razão

q

vem:

Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: S n . q = S n - a 1 + an . q Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo: Calcule Temos:

a

soma

dos

10

primeiros

termos

da

PG

(1,2,4,8,...)

Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo: Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta x = 50.

Proporções - Introdução Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade

é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

• •

b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção.

Exemplo: Dada a proporção , temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Razões - Introdução Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart). Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão. A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida. Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero) o quociente

ou a:b.

A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos: Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: •

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado). Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão entre o número de mulheres e o número de convidados: •

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). Observações: 1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo: Razão entre 1 e 4:

1:4 ou

ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos: A razão entre 1 e -8 é

A razão entre

.

é

.

Observe a razão: (lê-se "a está para b" ou "a para b"). Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo: 3:5 = Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m2) 1,2 1,5

Energia (Wh) 400 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) 400 480

Tempo (h) 3 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas 3 5

Preço (R$) 120 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia 8 5

Prazo para término (dias) 20 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas 8 5

Caminhões 20 x

Volume 160 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens 8 4

Carrinhos 20 x

Dias 5 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. Exercícios complementares Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

Sistemas Lineares Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

(

Veja alguns exemplos de equações lineares: •

3x - 2y + 4z = 7

•

-2x + 4z = 3t - y + 4

(homogênea)

•

As equações a seguir não são lineares: •

xy - 3z + t = 8

•

x2- 4y = 3t - 4

•

Sistema linear Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. Matrizes associadas a um sistema linear A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes: matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. •

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema. •

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

Sistemas homogêneos Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

Veja um exemplo:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única). No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução). Resumindo, um sistema linear pode ser: a) possível e determinado b) possível e indeterminado c) impossível (não tem solução).

(solução (infinitas

única); soluções);

Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na

matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única. Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. c) impossível, se D=0 e solução.

Dxi 0, 1

i n; caso em que o sistema não tem

Exemplo:

Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.

Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo, dados os sistemas:

e verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.

Propriedades a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. Por exemplo:

e S1 ~S2

b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S1 ~S2

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

Dado , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:

S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas. Sistemas escalonados Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente nãonulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema: I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1: 1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes: Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1: •

Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação: •

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação: •

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação: Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação: •

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo. -2z=-6

z=3

Substituindo z=3 em (II): -7y - 3(3)= -2

-7y - 9 = -2

y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I): x + 2(-1) + 3= 3

x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2: 1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação: Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação: •

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação: •

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação: Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação: •

Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação: •

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação: •

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação: Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação •

O sistema está escalonado. Como m
Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

•

Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:

GI = n-m = 4-3 = 1 Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t= , substituindo esse valor na 3º equação, obtemos: 12z - 6 = 30

12z= 30 + 6

=

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:

Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:

Assim, a solução do sistema é dada por S= IR. Para cada valor que seja atribuído a solução para o sistema.

, com

, encontraremos uma quádrupla que é

Trigonometria Catetos e Hipotenusa Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos. Observe a figura:

Hipotenusa: Catetos:

e

Seno, Cosseno e Tangente Considere um triângulo retângulo BAC: Hipotenusa:

, m(

) = a.

Catetos:

, m(

) = b.

, m(

) = c.

Ângulos:

,

e

.

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. •

Assim:

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. •

Assim:

Tangente Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. •

Assim:

Exemplo:

Observações: 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. Assim:

2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º Considere as figuras:

quadrado de lado l e diagonal

Triângulo

eqüilátero

lado I e altura

Seno, cosseno e tangente de 30º

de

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 45º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de 45º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 60º Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

Resumindo x 30º 45º 60º

sen x

cos x

tg x