4.2.1 Distribucion Muestral De La Media De La Distribucion Normal.docx

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA DE LA DISTRIBUCION NORMAL. AUTOR: ING. FELIPE SALINAS VELAZQUEZ. MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA DESCRIPTIVA.. En una investigación normalmente se toma una sola muestra y, por lo tanto, medidas como 𝑋̅ y 𝑆 2 tienen un valor predeterminado por la realización (es un evento del espacio muestral) de la muestra que ocurrió. Sea x1, x2,…, 𝑋𝑛 una m.a. de una función de distribución de probabilidades 𝑓𝑋 (𝑥) con ̅ son: media 𝜇𝑋 y varianza 𝜎𝑋2 . La media y la varianza de la media muestral de 𝑿 Distribución muestral de la media mediante el muestreo con reemplazo. Propiedades. E (𝑋̅ )=𝜇𝑋̅ =𝜇𝑋 2

𝜎 Var (𝑋̅) = 𝜎𝑋2̅ = 𝑛𝑥

Des. Estándar (𝑋̅)= 𝜎𝑋̅ =

𝜎𝑥 √𝑛

Para encontrar el número de muestras 𝑵𝒏 Demuestre las propiedades con el siguiente ejercicio. Para atraer clientes, un hombre de negocios desarrolla un juego de azar basado en el juego de damas. Dicho juego se realiza por medio de tiras de papel, las cuales deben sacarse de un sombrero. Cada tira tiene un número que representa una cantidad de dinero. Hay cuatro tiras de papel. Cada cliente puede sacar dos tiras cualesquiera y recibe el promedio de las dos cantidades mostradas en las tiras de papel utilice el muestreo con reemplazo ¿Cuántos posibles resultados podemos tener? 𝑵𝒏 = 𝟒𝟐 = 16 utilice el diagrama de árbol para ver los resultados a).- ¿Cuál es el promedio de pago por cliente si las tiras están marcadas con $20, $50, $100, y $200? b).- ¿Cuál es el valor de la desviación estándar de las medias 𝜎𝑋̅ ? c).- ¿Cuál es el valor de la varianza de las medias 𝜎𝑋2̅ ?

Para obtener el resultado del inciso a), elabore un diagrama de árbol y obtenga las medias correspondientes.𝑵𝒏 = 𝟒𝟐 = 16 muestras por lo tanto tendrá 16 medias. ¿Cuáles son? Medias: Al obtener la media de todas las medias 𝜇𝑋̅ es el promedio esperado en el inciso a) de acuerdo con la propiedad 1 Para obtener el resultado del inciso b).

𝜎𝑋̅ =

𝜎𝑥 √𝑛

=

68.33 1.4142

= $ 48.32√2 = 1.4142

Para obtener el valor de la varianza de las medias 𝜎𝑋2̅ 𝜎𝑋2̅ =

𝜎𝑥2 𝑛

=

4668.75 2

= 2334.4

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente obtenga una cantidad en promedio de $150 ó más? P (𝑥̅ ≥ $150) 𝑥̅ − 𝜇𝑋̅ 150−92.5 57.5 Z= = 48.32 = 48.32 = 1.19 por lo tanto P(z≥ 1.19 ) 𝜎𝑋 ̅

P(z≥ 1.19 )= 1- 8830 = .117 x 100 = 11.7% es la probabilidad de que un cliente reciba en promedio $ 150 ó más. Grafique ¡usted puede! Ejercicios para resolver 1.- Determine la probabilidad de que un cliente reciba $ 100 ó menos. 2.- Calcule la probabilidad de que el cliente reciba entre $85 y $ 125 3.- Calcule la probabilidad de que el cliente reciba menos de $ 160 4.- Calcule la probabilidad de que el cliente reciba entre más de $120 pero menos de $155

Distribución muestral de la media mediante el muestreo sin reemplazo. PROPIEDADES: E (𝑋̅ )=𝜇𝑋̅ =𝜇𝑋 2

𝜎 𝑁−𝑛 Var (𝑋̅) = 𝜎𝑋2̅ = 𝑛𝑥 ( 𝑁−1)

Des. Estándar (𝑋̅)= 𝜎𝑋̅ =

𝜎𝑥 √

(𝑁−𝑛)

(𝑁−𝑛)

=Factor por corrección finita √ √ 𝑛 (𝑁−1) (𝑛−1)

Para encontrar el número de muestras NCn Sean x1, x2,…, Xn variables aleatorias independientes, todas con la misma distribución N~(𝜇,𝜎 2 ), es decir, que x1, x2,…, xn es una muestra aleatoria de 𝑓𝑋 (𝑥) , donde X~ N( 𝝁,𝝈𝟐 ). La media aritmética 𝑋̅ es tal que: 𝟐

̅ ~ N(𝝁, 𝝈𝒙 ) 𝑿 𝒏 Según (GIL & ZARATE DE LARA , 1990) Demuestre las propiedades con el siguiente ejercicio. a).- ¿Cuál es el promedio de pago por cliente si las tira están marcadas con $20, $50, $100, y $200? b).- ¿Cuál es el valor de la desviación estándar de las medias 𝜎𝑋̅ ? c).- ¿Cuál es el valor de la varianza de las medias 𝜎𝑋2̅ ?

Para obtener el resultado del inciso a), elabore un diagrama de árbol y obtenga las medias correspondientes. NCn= 4C2=6 muestras por lo tanto tendrá 6 medias. ¿Cuáles son? Medias: Al obtener la media de todas las medias 𝜇𝑋̅ es el promedio esperado en el inciso a) de acuerdo con la propiedad 1 Para obtener el resultado del inciso b).

Des. Estándar (𝑋̅)= 𝜎𝑋̅ =

𝜎𝑥 √

(𝑁−𝑛)

68.33

(4−2)

68.33

2

= 1.4142 √ 4−1 = 1.4142 √3 = $39.43 √ 𝑛 (𝑁−1)

Para obtener el valor de la varianza de las medias 𝜎𝑋2̅ 2

𝜎 𝑁−𝑛 4668.75 4−2 Var (𝑋̅) = 𝜎𝑋2̅ = 𝑛𝑥 ( 𝑁−1) = 2 (4−1)= 2334.375 X 0.666= 1554.7

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente obtenga una cantidad en promedio de $150 ó más? P (𝑥̅ ≥ $150) 𝑥̅ − 𝜇𝑋̅ Z= 𝜎𝑋 ̅

𝑥̅ − 𝜇𝑋̅

150−92.5

𝑥 √ √𝑛 (𝑁−1)

39.43

=𝜎

= (𝑁−𝑛)

=

57.5 39.43

= 1.46

P (𝑥̅ ≥ $150)= P(Z≥ 1.46)= 1-0.9279=0.0721 X 100 = 7.21% es la probabilidad de que un cliente reciba en promedio $ 150 ó más. Grafique ¡usted puede! EL TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL Si la población o el proceso del cual se extrae una muestra tienen una distribución normal, entonces la distribución de muestreo para la media también será una distribución normal siempre que la muestra sea n≥ 30. Determinación de los valores de probabilidad para la distribución de muestreo de la media muestral, con varianza conocida. Problema 1La gerencia de producción de cemento cruz azul de Lagunas Oaxaca, manifiesta una producción promedio diario de 2.5 toneladas con una desviación estándar de 0.6 toneladas. Considere que en un cierto año se toma como una muestra la producción de 36 días. 1).- Utilice el muestreo con reemplazo y determine: a).- ¿Cuál es la producción promedio diario de la empresa? E (𝑋̅ )=𝜇𝑋̅ =𝜇𝑋 es igual a 2.5 toneladas. b).- ¿Cuál es el valor de la varianza muestral de la media?

𝜎𝑋2̅ =

𝜎𝑥2 𝑛

=

.62 36

=

.36 36

= 0.01

c).- ¿Cuál es el valor de la desviación estándar muestral de la media? Des. Estándar (𝑋̅)= 𝜎𝑋̅ =

𝜎𝑥 √𝑛

=

0.6 √36

=

0.6 6

= 0.1

d).- ¿Cuál es la probabilidad de que si se selecciona un día cualquiera y de un año dado se obtenga una producción entre 2.40 y 2.63 toneladas en promedio? Lo que se busca es la probabilidad: P(2.40≤ 𝜇𝑋̅ ≤ 2.63) Primero: el 2.40 ton/día como límite inferior se transforma en: Z=

(𝑋̅−𝜇𝑥 ) 𝜎𝑥 √𝑛

Z inferior 𝑍𝑖 =

Z superior

2.40−2.5

2.63−2.5

0.1

0.1

= -0.1𝑍𝑆 =

= 1.3

P (−0.1 ≤ 𝑍 ≤ 1.3) Segundo: se busca en la tabla las probabilidades usando la tabla z P(z ≤ 1.3)= .9032 P(z≥ −0.1 )= .4602 Tercero: se obtiene la diferencia entre la probabilidad mayor y menor. 0.9032-0.4602=0.443

que multiplicado por 100 se convierte en 44.3%

e).- Defina la variable aleatoria de acuerdo con el problema. X= La producción diaria en toneladas de cemento cruz azul en lagunas Oaxaca. f).- Determine la estimación puntual e interprete el resultado. 𝜇𝑋̅ = 2.5 ton. 2.5 es la producción promedio diario en toneladas de cemento cruz azul en lagunas Oaxaca g).- ESTABLEZCA UN INTERVALO DE CONFIANZA DE 95% E INTERPRETE. Fórmula: I.C.= [𝑋̅ - 𝑍∝ 𝜎⁄ ≤ 𝜇𝑋 ≤ 𝑋̅ +𝑍∝ 𝜎⁄ ] 𝑛 2 2 √ √𝑛 𝐿 = 𝑋̅ - 𝑍∝ 𝜎⁄ 𝐿̅ = 𝑋̅ +𝑍∝ 𝜎⁄ 2 2 √𝑛 √𝑛

Datos: 𝑋̅= 2.5 𝑍∝ =±1.96

𝜎 = 0.6

n=36

2

√36 = 6

𝐿= 2.5 – [(1.96)(0.1)]= 𝐿̅ = 2.5 + [(1.96)(0.1)]= h).- Grafique especificando el intervalo de confianza. , e interprete ESTABLEZCA UN INTERVALO DE CONFIANZA DE 95% E INTERPRETE, CON VARIANZA DESCONOCIDA. Los siguientes 40 datos corresponden a una muestra del tiempo en minutos en que el encargado de un CIBER en Juchitán asignó los equipos de cómputo a los usuarios. Calcule el rango dentro del cual podemos encontrar el tiempo promedio 𝜇𝑥 en minutos en atender a los usuarios. 3.1, 4.9, 2.8, 3.6, 4.5, 3.5, 2.8, 4.1, 2.9, 2.1, 3.7, 4.1, 2.7, 4.2, 3.5, 3.7, 3.8 2.2, 4.4, 2.9, 5.1, 1.8, 2.5, 6.2, 2.5, 3.6, 4.8, 3.6, 5.6, 4.8, 3.6, 6.1, 5.1, 3.9, 4.3, 5.7, 4.7, 4.6, 5.1, 4.9 ,4.2, 3.1 Fórmula: I.C. = [𝑋̅ - 𝑇∝ (𝑛 − 1) 𝑆⁄ ≤ 𝝁 ≤ 𝑋̅ +𝑇∝ (𝑛 − 1) 𝑆⁄ ]1-∝ 2 2 √𝑛 √𝑛 ∝ = 1-0.95= 0.05

∝ 2

= 0.025

𝑇0.025(39) = 2.0227 usando la tabla T- student se

busca el 0.025 en la columna y el renglón 39 en la intersección se obtiene el valor de t 𝑋̅ = 3.9225

𝑠𝑥 = 1.1072

1.1072 𝐿 = 𝑋̅ - 𝑇∝ (𝑛 − 1) 𝑆⁄ = 3.9225-[ 2.0227x ( ) = 3.56 2 √𝑛 √40

𝐿̅ = 𝑋̅ +𝑇∝ (𝑛 − 1) 𝑆⁄ = 4.276 2 √𝑛 Grafique especificando el intervalo de confianza. , e interprete.

Problema 2 Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente normal con una media de 174.5 cms., y una desviación estándar de 6.9 cms. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de ésta población, determine: a).- E (𝑋̅ )=𝜇𝑋̅ =𝜇𝑋 es igual a 174.5 cms. b).- Var (𝑋̅) = 𝜎𝑋2̅ = 𝜎𝑥2 𝑁−𝑛 𝑛

( 𝑁−1) =

47.61 25

𝜎𝑥2 𝑁−𝑛 𝑛

( 𝑁−1)𝜎𝑥2 = 47.1 N=1000 n=25

𝜎𝑥

(𝑁−𝑛)

√ (𝑁−1) =

6.9 √25

N-1=999

975

( 999 ) = 1.9044 (.976)= 1.858

c).- Des. Estándar (𝑋̅)= 𝜎𝑋̅ =

√𝑛

N-n=975

(1000−25)

√ (1000−1) =

𝜎𝑥 √

6.9 5

(𝑁−𝑛)

√ 𝑛 (𝑁−1) (975)

√(999) = 1.36

d).- Cuál es la probabilidad de que si se selecciona a un estudiante al azar, este tenga entre 173 y 176 cms., en promedio? Lo que se busca es la probabilidad: P (173 ≤ 𝜇𝑋̅ ≤ 176) Primero: el 1.73 cms., como límite inferior se transforma en: Z=

(𝑋̅−𝜇𝑥 ) 𝜎𝑥 (𝑁−𝑛) √ √𝑛 (𝑁−1)

Z inferior 𝑍𝑖 =

Z superior

173−174.5 1.36

= -1.10

𝑍𝑆 =

176−174.5 1.36

= 1.5

P (−1.10 ≤ 𝑍 ≤ 1.5) Segundo: se busca en la tabla las probabilidades usando la tabla z P (z ≤-1.10)=.1357 P (z ≥ 1.5 )= .9332 Tercero: se obtiene la diferencia entre la probabilidad mayor y menor. 0.9332-0.1357= 0.7975

que multiplicado por 100 se convierte en 79.75%

e).- Si son 200 muestras que se extraen ¿Cuál es el número de estaturas medias que caen entre 173 y 176 cms? Multiplicar la probabilidad encontrada en este caso es 0.7975 * la cantidad de muestras extraídas que son 200 entonces el resultado es: 0.7975*200=159.5 ≅160 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA EMPLEANDO LA DISTRIBUCION NORMAL. En una muestra aleatoria de 30 clientes tomada de una población grande de clientes se encontró que reciben en promedio muestral, una cantidad de $92.50 y la desviación estándar muestral de $68.33. Estime un intervalo de confianza del parámetro 𝜇𝑥̅ con un 95% de confianza e interprete el resultado.