1o SEMESTRE – 2007 GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORIAL
RESUMO AULA Retas no plano e espaço
Equação Vetorial da Reta: →
Dado um ponto A um vetor não nulo v , podemos definir a reta r que passa por A e tem →
direção de v como um conjunto: → r = X | X = P + k. v, ∀k ∈ R
ou seja, cada ponto da reta corresponde a um valor de k. →
O vetor v é chamado de vetor diretor da reta e k é chamado de parâmetro da equação.
No plano: X = (x,y) P = (p1,p2) →
v = ( v 1, v 2 )
Equação vetorial da reta no plano: ( x, y ) = (p1, p 2 ) + k.( v 1, v 2 )
y
r
p2
v2
v v1
p1
x
No espaço: X = (x,y,z) P = (p1,p2,p3) →
v = ( v 1, v 2 , v 3 )
Equação vetorial da reta no plano: ( x, y, z) = (p1, p 2 , p 3 ) + k( v1, v 2 , v 3 )
z
r
c
P v
b
y
a
x
Exemplos: a) Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a →
direção do vetor v = (2,2,−1) :
Solução: ( x, y, z ) = (3,0,−5) + k.(2,2,−1) b) Determinar um ponto da reta cuja equação vetorial é ( x, y, z ) = (3,0,−5) + k.(2,2,−1) : Solução: escolhendo um valor qualquer para k, por exemplo 2, obtemos um ponto da reta, ou seja: ( x, y, z ) = (3,0,−5) + 2.(2,2,−1) ( x, y, z ) = (3,0,−5) + ( 4,4,−2) ( x, y, z ) = (7,4,−7) É um ponto da reta
c) Determinar a equação da reta r que passa pelos pontos A(3,0,-5) e B(5,2,-6): →
Solução: Neste caso é preciso inicialmente determinar o vetor diretor v da reta: →
v =B−A
→
v = (5,2,−6) − (3,0,−5)
→
v = ( 2,2,−1) E a equação pode ser determinada escolhendo um dos pontos, A ou B: ( x, y, z ) = (3,0,−5) + k.(2,2,−1) ou ( x, y, z ) = (5,2,−6) + k.(2,2,−1)
Equação Paramétrica da reta: Dado a equação vetorial de uma reta r, sua expressão pode ser reescrita em termos de equações para cada uma das variáveis, denominadas equações paramétricas.
No plano: ( x, y ) = (p1, p 2 ) + k.( v 1, v 2 ) ( x, y ) = (p1 + k.v 1, p 2 + k.v 2 )
x = p1 + k.v 1 Equação paramétrica: y = p 2 + k.v 2
No espaço: ( x, y ) = (p1, p 2 , p 3 ) + k.( v 1, v 2 , v 3 ) ( x, y ) = (p1 + k.v 1, p 2 + k.v 2 , p 3 + k.v 3 ) x = p1 + k.v 1 Equação paramétrica: y = p 2 + k.v 2 z = p + k.v 3 3
Exemplos: a) Determinar a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e é →
paralela ao vetor v = ( 2,2,−1) :
x = 3 + 2.k Solução: y = 2k z = −5 − k
x = 3 + 2.k b) Determinar um ponto da reta cuja equação paramétrica é y = 2k z = −5 − k
Solução: Escolhendo um valor para k, por exemplo -3, obtemos um ponto da reta, ou seja x = 3 + 2.( −3) y = 2.( −3) z = −5 − ( −3) x = −3 y = −6 z = −2 E portanto o ponto (-3,-6,-2) é um ponto da reta.
Equação Simétrica da reta: Dado a equação paramétrica de uma reta r, supondo que v i ≠ 0 (ou seja todas as componentes do vetor diretor são não nula), então a expressão da reta pode ser reescrita, isolando e igualando o parâmetro k em todas as equações.
No plano: x = p1 + k.v 1 y = p 2 + k.v 2 x − p1 k = v 1 y − p2 k = v2 Equação simétrica:
x − p1 y − p 2 = v1 v2
No espaço: x = p1 + k.v 1 y = p 2 + k.v 2 z = p + k.v 3 3 x − p1 k = v1 y − p2 k = v2 z − p3 k = v3 Equação simétrica:
x − p1 y − p 2 z − p 3 = = v1 v2 v3
Exercícios: 1. Determine a equação reduzida da reta no plano (y=ax+b), reescrevendo a equação simétrica da reta. 2. Qual deve ser a condição sobre os vetores diretores de duas retas distintas r e s, para que elas sejam paralelas? 3. Qual deve ser a condição sobre os vetores diretores de duas retas distintas r e s, para que elas sejam ortogonais? 4. Qual deve ser a condição A, B e C estejam alinhados ( ou seja, para que pertençam a uma mesma reta)?