4-retas[1]

  • June 2020
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  • Words: 890
  • Pages: 5
1o SEMESTRE – 2007 GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORIAL

RESUMO AULA Retas no plano e espaço

Equação Vetorial da Reta: →

Dado um ponto A um vetor não nulo v , podemos definir a reta r que passa por A e tem →

direção de v como um conjunto: →   r =  X | X = P + k. v, ∀k ∈ R  

ou seja, cada ponto da reta corresponde a um valor de k. →

O vetor v é chamado de vetor diretor da reta e k é chamado de parâmetro da equação.

No plano: X = (x,y) P = (p1,p2) →

v = ( v 1, v 2 )

Equação vetorial da reta no plano: ( x, y ) = (p1, p 2 ) + k.( v 1, v 2 )

y

r

p2

v2

v v1

p1

x

No espaço: X = (x,y,z) P = (p1,p2,p3) →

v = ( v 1, v 2 , v 3 )

Equação vetorial da reta no plano: ( x, y, z) = (p1, p 2 , p 3 ) + k( v1, v 2 , v 3 )

z

r

c

P v

b

y

a

x

Exemplos: a) Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a →

direção do vetor v = (2,2,−1) :

Solução: ( x, y, z ) = (3,0,−5) + k.(2,2,−1) b) Determinar um ponto da reta cuja equação vetorial é ( x, y, z ) = (3,0,−5) + k.(2,2,−1) : Solução: escolhendo um valor qualquer para k, por exemplo 2, obtemos um ponto da reta, ou seja: ( x, y, z ) = (3,0,−5) + 2.(2,2,−1) ( x, y, z ) = (3,0,−5) + ( 4,4,−2) ( x, y, z ) = (7,4,−7) É um ponto da reta

c) Determinar a equação da reta r que passa pelos pontos A(3,0,-5) e B(5,2,-6): →

Solução: Neste caso é preciso inicialmente determinar o vetor diretor v da reta: →

v =B−A



v = (5,2,−6) − (3,0,−5)



v = ( 2,2,−1) E a equação pode ser determinada escolhendo um dos pontos, A ou B: ( x, y, z ) = (3,0,−5) + k.(2,2,−1) ou ( x, y, z ) = (5,2,−6) + k.(2,2,−1)

Equação Paramétrica da reta: Dado a equação vetorial de uma reta r, sua expressão pode ser reescrita em termos de equações para cada uma das variáveis, denominadas equações paramétricas.

No plano: ( x, y ) = (p1, p 2 ) + k.( v 1, v 2 ) ( x, y ) = (p1 + k.v 1, p 2 + k.v 2 )

x = p1 + k.v 1 Equação paramétrica:  y = p 2 + k.v 2

No espaço: ( x, y ) = (p1, p 2 , p 3 ) + k.( v 1, v 2 , v 3 ) ( x, y ) = (p1 + k.v 1, p 2 + k.v 2 , p 3 + k.v 3 ) x = p1 + k.v 1  Equação paramétrica: y = p 2 + k.v 2 z = p + k.v 3 3 

Exemplos: a) Determinar a equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e é →

paralela ao vetor v = ( 2,2,−1) :

x = 3 + 2.k  Solução: y = 2k  z = −5 − k 

x = 3 + 2.k  b) Determinar um ponto da reta cuja equação paramétrica é y = 2k z = −5 − k 

Solução: Escolhendo um valor para k, por exemplo -3, obtemos um ponto da reta, ou seja x = 3 + 2.( −3)  y = 2.( −3) z = −5 − ( −3)   x = −3   y = −6 z = −2  E portanto o ponto (-3,-6,-2) é um ponto da reta.

Equação Simétrica da reta: Dado a equação paramétrica de uma reta r, supondo que v i ≠ 0 (ou seja todas as componentes do vetor diretor são não nula), então a expressão da reta pode ser reescrita, isolando e igualando o parâmetro k em todas as equações.

No plano: x = p1 + k.v 1  y = p 2 + k.v 2 x − p1  k = v  1  y − p2 k =  v2 Equação simétrica:

x − p1 y − p 2 = v1 v2

No espaço: x = p1 + k.v 1  y = p 2 + k.v 2 z = p + k.v 3 3   x − p1 k = v1  y − p2  k = v2   z − p3 k =  v3 Equação simétrica:

x − p1 y − p 2 z − p 3 = = v1 v2 v3

Exercícios: 1. Determine a equação reduzida da reta no plano (y=ax+b), reescrevendo a equação simétrica da reta. 2. Qual deve ser a condição sobre os vetores diretores de duas retas distintas r e s, para que elas sejam paralelas? 3. Qual deve ser a condição sobre os vetores diretores de duas retas distintas r e s, para que elas sejam ortogonais? 4. Qual deve ser a condição A, B e C estejam alinhados ( ou seja, para que pertençam a uma mesma reta)?